【数学】湖南省衡阳八中、长郡中学等十三校重点中学2017届高考二模试卷(理)(解析版)

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2017届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第二次月考数学(理)试题

衡阳市八中2017届高三第二次月考数学试题答案（考试内容：集合与逻辑用语、函数、导数、三角函数）共150分，考试用时120分钟。

一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件答案：B2.已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =( ) (A)-16 (B) -2 (C)16 (D)2 【答案】D3.设232555322555a b c ===（）,（（），则a ， b ，c 的大小关系是（A ）A 、a ＞c ＞bB 、a ＞b ＞cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a4．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象作以下平移得到（ D ） A. 向右平移π6 B. 向左平移π6 C. 向右平移 π12 D. 向左平移 π125．已知函数31(),3(),(2log 2)3(1),3xx f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为（ B ）A ．227-B ．154C ．227D ．54-6. 已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（B ）A ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭7．若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos = （ A ） A ．97-B ．31- C ．31 D ． 978.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ A )【解析】：由题意得，x a =，x b =为()f x 的零点，由图可知，01a <<，1b <-，∴()g x 的图象可由xy a =向下平移b -个单位得到，∵01a <<，由于1-<b ，1->∴b 故可知A 符合题意，故选A ．9．设12322()log (1)2x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为（ C ） A ．(1,2)(3,)⋃+∞ B．)+∞C．(1,2))⋃+∞D ．（1，2）10. 已知函数1()()2ln ()f x a x x a R x =--∈，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的范围为( B ) A ．[2e ，+∞) B ．(0，+∞) C ．[0，+∞) D ．(2e，+∞) 【答案】B11．已知函数()224|log |02151222x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ B ）. A ． ()16,21 B ．()16,24 C ．()17,21 D ．()18,24 【答案】B.1,0log 2=∴=∴ab ab 从而的两根是方程则记,12521,,log 422t x x d c t b =+-=2416,2416,40),12(2<<∴<<∴<<-=abcd cd t t cd 而12．已知定义在R 上的奇函数f (x )的导函数为)(x f '，当x <0时，f （x ）满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则f (x )在R 上的零点个数为( A )A .1B .3C . 5D .1或3 【答案】A仅一个零点又时时)(,0)0(.0)()(0.0)(,0x f f x f x f x x f x ∴=>--=>∴<< 二填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B = 【答案】{1,4}14.以曲线x y 2cos =为曲边的曲边形(如下图阴影部分)面积为45|2sin 21|2sin 212cos 2cos :434412434412=-=-=⎰⎰ππππππππx x xdxxdx S 解15．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)则(0)f 的值是 .解：353(,,241234T T ππππω=--=∴=∴=把5(,2)12π代入，得552sin()22662ππϕπϕ+=⇒+=+2,,3223k k Z ππππϕπϕϕ∴=-+∈-<<∴=-()2sin(2)(0)2sin()33f x x f ππ∴=-∴=-= 16. 已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式为_____________________________. 【答案】2y x = 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则1()x f x e x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．三解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。

湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2017-2018学年高考数学二模试卷(理科) Word版含解析

湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）一．选择题1．（6分）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{3，4，5} B．{4，5，6} C．{x|3＜x≤6} D．{x|3≤x＜6}2．（6分）下列中，真是（）A．∃x0∈R，使得B．s in2x+≥3（x≠kπ，k∈Z）C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件3．（6分）已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）A．B．C．D．64．（6分）f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．y=f（x+1）一定是偶函数5．（6分）已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为（）A．B．C．D．6．（6分）运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．1008 B．2015 C．1007 D．﹣10077．（6分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）8．（6分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数f p（x）=，则称函数f p（x）为f（x）的“P界函数”．若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）A．f p=f B．f p=f C．f=f p D．f=f p9．（6分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．18．已知函数的最大值为2．（1）求函数f（x）在上的单调递减区间；（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．20．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（I）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；（II）若S n是数列{a n}的前n项和，求满足S n＞0的所有正整数n．21．（13分）已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．22．（13分）已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题1．（6分）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{3，4，5} B．{4，5，6} C．{x|3＜x≤6} D．{x|3≤x＜6}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集．解答：解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈R|x2﹣3x＞0}={x∈R|x＜0或x＞3}∴A∩B={4，5，6}．故选B．点评：本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法．化简A、B两个集合，是解题的关键．2．（6分）下列中，真是（）A．∃x0∈R，使得B．s in2x+≥3（x≠kπ，k∈Z）C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．∀x∈R，e x＞0，即可判断出正误；B．取x=，则sin2x+=1﹣2=﹣1＜3，即可判断出正误；C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，即可判断出正误；D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，即可判断出正误．解答：解：A．∀x∈R，e x＞0，因此是假；B．取x=，则sin2x+=1﹣2=﹣1＜3，因此是假；C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，因此共有3个，是假；D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，因此a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，是真．故选：D．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、函数零点的判定方法、不等式的性质、指数函数的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（6分）已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）A．B．C．D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；图表型．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个正三棱柱，其高已知，底面正三角形的高已知，由此可先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．解答：解：如图将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为4，设底面连长为a，则，∴a=6．故体积．故答案为C．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的2015届高考中有加强的可能．4．（6分）f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数D．y=f（x+1）一定是偶函数考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件可得x=1是函数f（x）的一条对称轴，故函数y=f（x+1）为偶函数，从而得出结论．解答：解：∵函数f（x）在x=1处取最大值，∴x=1是函数f（x）的一条对称轴，将函数f（x）向左平移1个单位，得到函数f（x+1）的图象，此时函数关于y轴对称，则函数y=f（x+1）为偶函数，故A、B、C都不正确，故选：D．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据函数最值和对称轴之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．5．（6分）已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为（）A．B．C．D．考点：三角函数的化简求值；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：对于m值，求出函数的值，然后用排列组合求出满足f（m）•f（n）=0的个数，以及所有的个数，即可得到f（m）•f（n）=0的概率．解答：解：已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0m=3，9时，满足f（m）•f（n）=0的个数为m=3时8个m=9时8个，n=3时8个，n=9时8个，重复2个，共有30个．从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）的值有72个，所以函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为：=，故选A．点评：本题考查概率的应用，排列组合的应用，注意满足题意，不重复不要漏，考查计算能力．6．（6分）运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．1008 B．2015 C．1007 D．﹣1007考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S．解答：解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件n＜2015，S=1，k=2；满足条件n＜2015，S=﹣1，k=3；满足条件n＜2015S=2，k=4；满足条件n＜2015S=﹣2，k=5；满足条件n＜2015S=3，k=6；满足条件n＜2015S=﹣3，k=7；满足条件n＜2015S=4，k=8；…观察规律可知，有满足条件n＜2015S=1006，k=2012；满足条件n＜2015S=﹣1006，k=2013；满足条件n＜2015S=1007，k=2014；满足条件n＜2015，S=﹣1007，k=2015；不满足条件n＜2015，输出S的值为﹣1007．故选：D．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键，属于基础题．7．（6分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：求出以OP为直径的圆的方程，y2=4x代入整理，利用在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，即可求出实数m的取值范围．解答：解：以OP为直径的圆的方程为（x﹣）2+y2=，y2=4x代入整理可得x2+（4﹣m）x=0，∴x=0或x=m﹣4，∵在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，∴m﹣4＞0，∴m＞4，故选：B．点评：本题考查抛物线、圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．8．（6分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数f p（x）=，则称函数f p（x）为f（x）的“P界函数”．若给定函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）A．f p=f B．f p=f C．f=f p D．f=f p考点：分段函数的应用．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，求出f2（x）=，再对选项一一加以判断，即可得到答案．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，∴f2（x）=，∴A．f p=f2（﹣1）=2，f=f（﹣1）=1+2﹣1=2，故A成立；B．f p=f2（﹣2）=2，f=f（﹣2）=4+4﹣1=7，故B不成立；C．f=f（﹣1）=2，f p=f2（﹣1）=2，故C成立；D．f=f（2）=﹣1，f p=f2（2）=﹣1，故D成立．故选：B．点评：本题考查新定义的理解和运用，考查分段函数的运用：求函数值，属于中档题．9．（6分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．．故选B．点评：本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．10．（6分）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．解答：解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得=．故选：B．点评：本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．【选做题】11．（6分）如图，BD是半圆O的直径，A在BD的延长线上，AC与半圆相切于点E，AC⊥BC，若，AE=6，则EC=3．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连结OE，由切线的性质定理得到OE⊥AC，从而可得OE∥BC．根据切割线定理得AE2=AD•AB，解出AB=，可得AO=，最后利用比例线段加以计算得到AC长，从而可得EC的长．解答：解：连结OE，∵AC与半圆相切于点E，∴OE⊥AC，又∵AC⊥BC，∴OE∥BC．由切割线定理，得AE2=AD•AB，即36=，解得AB=，因此，半圆的直径BD=，AO=BD=．可得，所以AC==9，EC=AC﹣AE=3．故答案为：3点评：本题给出半圆满足的条件，求线段EC之长．着重考查了切线的性质定理、切割线定理与相似三角形等知识，属于中档题．【【选做题】12．（3分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P为直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0上一点，点Q为曲线为参数）上一点，则|PQ|的最小值为．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为直角坐标方程x﹣y﹣4=0．利用点到直线的距离公式可得：|PQ|=．再利用二次函数的单调性即可得出最小值．解答：解：由直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为x﹣y﹣4=0．由点到直线的距离公式可得：|PQ|===≥=．当且仅当t=2时取等号．∴|PQ|的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了把直线的极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，属于基础题．【选做题】13．（3分）已知函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|，若对任意的x∈R，f（x）≥f（3）=f（4）都成立，则k的取值范围为．考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：利用绝对值的几何意义得出f（x）≥f（3）=f（4）都成立，意义为k，2k的距离之和，即：即2≤k≤3成立，求解即可．解答：解：∵函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|，∴函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|的最小值为|k|，∵f（x）≥f（3）=f（4）都成立，∴根据绝对值的几何意义得出：即2≤k≤3．故答案为：点评：本题考查了绝对值不等式的解法，几何意义，关键是理解给出的条件，属于中档题．五、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）14．（5分）设a=（sinx+cosx）dx，则二项式的展开式的常数项是﹣160．考点：二项式系数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：求定积分可得a的值，在二项式的展开式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．解答：解：∵a=（sinx+cosx）dx==2，则二项式=，它的展开式的通项公式为T r+1=（﹣1）r•，令3﹣r=0，求得r=3，故展开式的常数项是﹣=﹣160，故答案为：﹣160．点评：本题主要考查二项式定理的应用，求定积分，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．15．（5分）如果实数a，b满足条件：，则的最大值是．考点：简单线性规划的应用；简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点与原点（0，0）连线的斜率，求出的范围，利用函数的最值求解表达式的最大值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，如图，表示可行域内的点与原点（0，0）连线的斜率，设z的几何意义表示可行域内点P与原点O（0，0）连线的斜率，∵当连线OP过点B（，）时，取最大值，最大值为3，连线OP过点A（1，1）时，取最小值，最小值为1，∈．∴===2﹣，∵∈．∴的最大值为：．故答案为：．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，是中档题．16．（5分）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．由||=1，不妨设=（1，0）．由•=1，•=2，可设=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得，（m+n）2=3+4mn≥0，再利用数量积运算=2+mn即可得出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．∵||=1，∴不妨设=（1，0）．∵•=1，•=2，∴可设=（1，m），=（2，n）．∴=（﹣1，m﹣n）．∵|﹣|=2，∴，化为（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴，当且仅当m=﹣n=时取等号．∴=2+mn．故答案为：．点评：本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．三．解答题17．（12分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球编号都不相同的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，先求出其对立事件“取出的3个球恰有两个编号相同”的概率．由古典概型公式，计算可得答案．（II）X的取值为1，2，3，4，分别求出P（X=1），P（X=3），P（X=4）的值，由此能求出X的分布列和X的数学期望．解答：解：（Ⅰ）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，设“取出的3个球恰有两个编号相同”为事件B，则P（B）===，∴P（A）=1﹣P（B）=．答：取出的3个球编号都不相同的概率为．（Ⅱ）X的取值为1，2，3，4．P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以X的分布列为：X 1 2 3 4PX的数学期望EX=1×+2×+3×+4×=．点评：本题考查等可能事件的概率计算与排列、组合的应用以及离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．18．已知函数的最大值为2．（1）求函数f（x）在上的单调递减区间；（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）将f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值为2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间为（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在上的单调递减区间；（2）由（1）确定的f（x）解析式化简f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，再利用正弦定理化简，得出a+b=ab①，利用余弦定理得到（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，将①代入②求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（1）f（x）=msinx+cosx=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），∴f（x）的最大值为，∴=2，又m＞0，∴m=，∴f（x）=2sin（x+），令2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），解得：2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），则f（x）在上的单调递减区间为；（2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意C=60°，c=3，得====2，化简f（A﹣）+f（B﹣）=4sinAsinB，得sinA+sinB=2sinAsinB，由正弦定理得：+=2×，即a+b=ab①，由余弦定理得：a2+b2﹣ab=9，即（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，将①式代入②，得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，解得：ab=3或ab=﹣（舍去），则S△ABC=absinC=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间角；空间向量及应用．分析：（I）根据PD⊥平面ABCD，得到AC⊥PD，结合菱形ABCD中AC⊥BD，利用线面垂直判定定理，可得AC⊥平面PBD，从而得到平面EAC⊥平面PBD；（II）连接OE，由线面平行的性质定理得到PD∥OE，从而在△PBD中得到E为PB的中点．由PD⊥面ABCD得到OE⊥面ABCD，可证出平面EAC⊥平面ABCD，进而得到BO⊥平面EAC，所以BO⊥AE．过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，证出AE⊥BF，由二面角平面角的定义得∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO=45°．分别在Rt△BOF和Rt△AOE中利用等积关系的三角函数定义，算出OE=，由此即可得到PD：AD的值．解答：解：（I）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD=D∴AC⊥平面PBD又∵AC⊂平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；（II）连接OE，∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，PD⊂平面PBD∴PD∥OE，结合O为BD的中点，可得E为PB的中点∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，又∵OE⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，∵平面EAC∩平面ABCD=AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF因此，∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO=45°设AD=BD=a，则OB=a，OA=a，在Rt△BOF中，tan∠BFo=，可得OF=Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE=OF•AE即a•OE=a•，解之得OE=∴PD=2OE=，可得PD：AD=：2即PD：AD的值为．点评：题给出一个特殊四棱锥，要我们证明面面垂直，并在已知二面角大小的情况下求线段的比值，着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明和二面角平面角的求法等知识，属于中档题．20．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（I）求证：数列{a2n﹣}是等比数列；（II）若S n是数列{a n}的前n项和，求满足S n＞0的所有正整数n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设b n=a2n﹣，则=﹣，==，由此能证明数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）由b n=a2n﹣=﹣•（）n﹣1=﹣•（）n，得+，从而a2n﹣1+a2n=﹣2•（）n﹣6n+9，由此能求出S2n．从而能求出满足S n＞0的所有正整数n．解答：（Ⅰ）证明：设b n=a2n﹣，则=（）﹣=﹣，====，∴数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得b n=a2n﹣=﹣•（）n﹣1=﹣•（）n，∴+，由a2n=﹣3（2n﹣1），得a2n﹣1=3a2n﹣3（2n﹣1）=﹣•（）n﹣1﹣6n+，∴a2n﹣1+a2n=﹣﹣6n+9=﹣2•（）n﹣6n+9，S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）=﹣2﹣6（1+2+3+…+n）+9n==（）n﹣3（n﹣1）2+2．由题意得n∈N*时，{S2n}单调递减，又当n=1时，S2=＞0，当n=2时，S4=﹣＜0，∴当n≥2时，S2n＜0，S2n﹣1=S2n﹣a2n=﹣，故当且仅当n=1时，S2n+1＞0，综上所述，满足S n＞0的所有正整数n为1和2．点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前2n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、等比数列性质、分组求和法的合理运用．21．（13分）已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题；综合题．分析：（I）根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得a，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得．（II）P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而可推断x0的范围，把直线PM的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM 和PN的距离．求得x0和y0的关系式，进而求得m+n和mn的表达式，进而求得|MN|．把点P代入椭圆方程根据弦长公式求得MN|．记，根据函数的导函数判断函数的单调性，进而确定函数f（x）的值域，进而求得当时，|MN|取得最大值，进而求得y0，则P点坐标可得．解答：解：（I）∵圆（x﹣1）2+y2=1的圆心是（1，0），∴椭圆的右焦点F（1，0），∵椭圆的离心率是，∴∴a2=2，b2=1，∴椭圆的方程是．（II）设P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），由得，∴．直线PM的方程：，化简得（y0﹣m）x﹣x0y+x0m=0．又圆心（1，0）到直线PM的距离为1，∴，∴（y0﹣m）2+x02=（y0﹣m）2+2x0m（y0﹣m）+x02m2，化简得（x0﹣2）m2+2y0m﹣x0=0，同理有（x0﹣2）n2+2y0n﹣x0=0．∴，，∴=．∵P（x0，y0）是椭圆上的点，∴，∴，记，则，时，f'（x）＜0；时，f'（x）＜0，∴f（x）在上单调递减，在内也是单调递减，∴，当时，|MN|取得最大值，此时点P位置是椭圆的左顶点．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查考生分析问题、解决问题的能力．22．（13分）已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．专题：分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）f（x）在（1，+∞）上为减函数，等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为f′（x）max≤0，根据二次函数的性质可得f′（x）max；（2）“若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1）易求f′（x）max+a，从而问题等价于“当x∈时，有f（x）min”，分①a，②a＜两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a＜时可求得f′（x）的值域为，再按（i）﹣a≥0，（ii）﹣a＜0两种情况讨论即可；解答：解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，故f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，又f′（x）=﹣a=﹣+﹣a=﹣，故当，即x=e2时，，所以0，于是a，故a的最小值为．（2）“若∃x1，x2∈，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1），当x∈时，f′（x）max=，所以f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈时，有f（x）min”，①当a时，由（1），f（x）在上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；②当a＜时，由于在上为增函数，故f′（x）的值域为，即．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在上恒成立，故f（x）在上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=e﹣ae≥e＞，不合题意；（ii）若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一，使f′（x0）=0，且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；所以，，，所以a﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；综上，得a．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生分析解决问题的能力．。

2017年湖南省衡阳八中、长郡中学等十三校重点中学高三理科二模数学试卷

2017年湖南省衡阳八中、长郡中学等十三校重点中学高三理科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 若复数满足，则复数在复平面对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 函数的零点所在的大致区间是A. B. C. D.3. 设，是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设随机变量服从正态分布，若，则A. B. C. D. 与的值有关5. 中心在坐标原点的双曲线的两条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为A. B. C. D. 或6. 已知函数与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，，，，则等于A. B. C. D.7. 曲线与围成封闭区域（含边界）为，直线与区域有公共点，则的最小值为A. B. C. D.8. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是A. B. C. D.9. 如图，正方形中，，分别是，的中点，若，则A. B. C. D.10. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥各个侧面中，最大的侧面面积为A. B. C. D.11. 已知抛物线和动直线（，是参变量，且，）相交于，两点，直角坐标系原点为，记直线，的斜率分别为恒成立，则当变化时直线恒经过的定点为A. B. C. D.12. 已知函数，点，是函数图象上不同两点，则（为坐标原点）的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 的展开式中，的系数是______（用数字作答）．14. 设表示不大于的最大整数，集合，，则______．15. 已知，是函数在内的两个零点，则______．16. 已知在中，，则角的最大值为______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知数列的前项和为，且．（1）证明数列是等比数列，求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．18. 为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取人，从文科乙班抽取人参加环保知识测试．附：，．（1）根据题目条件完成下面列联表，并据此判断是否有的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关．优秀人数非优秀人数总计甲班乙班总计（2）现已知A，B，C三人获得优秀的概率分别为，，，设随机变量表示A，B，C三人中获得优秀的人数，求的分布列及期望．19. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，．（1）证明：平面平面；（2）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是．20. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点．（1）求椭圆的方程及点的坐标；（2）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点，，且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值．21. 已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若时，不等式成立，求实数的取值范围．22. 在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，求的面积．23. 设函数．（1）解不等式；（2）若，使得，求实数的取值范围．答案第一部分1. B2. B3. A4. C5. D6. A7. D8. A9. D 10. A11. D 12. A第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）令，得，由此得．由于，则，两式相减得，即．所以，即，故数列是等比数列，其首项为，故数列的通项公式是，故数列的通项公式是．（2）由（）得，所以数列的前项和．18. （1）列联表如下优秀人数非优秀人数总计甲班乙班总计由算得，，所以有的把握认为学生的环保知识成绩与文理分科有关．（2）设A，B，C成绩优秀分别记为事件，，，则，．所以随机变量的取值为，，，．，．所以随机变量的分布列为：．19. （1）直三棱柱中，平面，所以：，又，所以：平面，平面，所以：平面平面．（2）由（1）平面，以为原点，，，方向为，，轴建立空间直角坐标系，设正四棱锥的高，，则，，，，，，，设平面的一个法向量，则取，则，所以，设平面的一个法向量．则取，则，，所以．二面角的余弦值是，所以．解得，（舍）．所以正四棱锥的高为．20. （1）设短轴一端点为，左右焦点分别为，，其中，则．由题意，为直角三角形，所以，解得，所以椭圆的方程为；代入直线，可得，又直线与椭圆只有一个交点，则，解得，所以椭圆的方程为．由，解得，则，所以点的坐标为．（2）解法一：作伸缩变换，令，，则椭圆变为圆，设此时，，，对应的点分别为，，，，如图所示：，，两式相比，得，由圆幂定理得，，所以，即，原命题成立．解法二：设在上，由，平行，得的参数方程为代入椭圆中，得，整理得，设两根为，，则有，而，，，且，所以，即存在满足题意的值．21. （1）当，，．．当时，，单调递增；当时，，单调递减．综上，的单调递增区间为；单调递减区间为．（2）由题意得，时，恒成立，可得由题意得，不等式对于任意的恒成立．设，，．当时，，不满足题意；当时，要使时，不等式成立，需，即；当时，，设，，，．显然在上单调递增，所以．所以在上单调递增，．即由可知时，满足题意．22. （1），．（2），圆的圆心到的距离，，．23. （1）不等式，即，即，，解得或．所以不等式的解集为或．（2），故的最小值为．因为，使得，所以，解得．。

【试题】高三数学第二次质检试题理

【关键字】试题衡阳八中2017届高三年级第二次质检试卷理科数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第二次质检试卷，分两卷。

其中共24题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.设全集U={x∈N|x≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁UA）∩B等于（）A．{0，2} B．{5} C．{1，3} D．{4，6}2.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数4.已知，则的大小关系是（）A．B．C．D．5.已知椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为，若直线与椭圆交于M点，满足∠MFF2=2∠MF1，则离心率是（）A．B．C．D．6.已知为原点，点，的坐标分别为，，其中常数，点在线段上，且，则的最大值是（）A. B. C. D.7.已知数列{an}为等差数列，满足=a3+a2013，其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2015的值为（）A．B．C．2016 D．20138.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．9.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的取值范围是（）A．B．C．D．10.若x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．11.已知函数，则满足的实数的取值范围是（）A. B. C. D.12.过双曲线右焦点作一条直线，当直线斜率为时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A. B. C. D.第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.的展开式中项的系数为20，则实数．14.从中随机抽取一个数记为，从中随机抽取一个数记为，则函数的图象经过第三象限的概率是____．15.已知变量x，y满足，则的取值范围是．16.空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是．三.解答题（共8题，共70分）17.（本题满分12分）数列{an}的前n项和为Sn，满足：Sn=f（n）=n2+|n﹣2|．（1）若数列{an}为递加数列，求实数a的取值范围；（2）当a=时，设数列{bn}满足：bn=2an，记{bn}的前n项和为Tn，求Tn，并求满足不等式Tn＞2015的最小整数n．18.（本题满分12分）某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分为六组，第一组.如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为.若，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率；（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数的分布列及期望. 19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）设PM=tMC ，若二面角M ﹣BQ ﹣C 的平面角的大小为30°，试确定t 的值．20.（本题满分12分）已知椭圆（a ＞b ＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P （4，0），M ，N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点． 21.（本题满分12分）已知函数()ln af x x x=-，()()6ln g x f x ax x =+-，其中a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设函数2()4h x x mx =-+，当2a =时，若1(0,1)x ∃∈，2[1,2]x ∀∈，总有12()()g x h x ≥成立，求实数m 的取值范围.选做题：考生从22、23题中任选一题作答，共10分。

湖南省衡阳市2017届高三下学期第二次联考数学(理)试题含答案

2017届高中毕业班联考（二）理科数学第Ⅰ卷(共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。

已知复数cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则z z ⋅=（）A ．cos 2θB ．1C ．2cos θD ．cos 2isin θθ+2.已知集合(){}lg 1A x y x ==+，30x B x x -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则有( ） A ．3A -∈ B ．()1,0A B ⋂=- C ．A B R ⋃= D ．A B ⊇3。

如图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为（）A ．6πB ．233π+．4π D ．23π+4.已知函数()g x 的定义域为{}0x x ≠，且()0g x ≠，设p ：函数()()11122x f x g x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭是偶函数；q ：函数()g x 是奇函数,则p 是q 的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件5。

已知圆O ：221x y +=交x 轴正半轴于点A ，在圆O 上随机取一点B ,则使1OA OB -≤成立的概率为（）A ．16B ．13C 。

12D ．236。

设01a <<,e 为自然对数的底数，则a ,e a ，1ae -的大小关系为( ）A ．1a e e a a -<<B ．1e a a a e <<-C 。

1e a a e a <-<D ．1a e a e a <-<7.执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为1-，则判断框内，对于下列四个关于n 的条件的选项，不能．．填入的是（）A ．3?n >B ．5?n >C 。

32?n >D ．203?n >8。

集合(){},1,,1M x y x y y x y =+≤≤≥-，()(){}222,2,0N x y x y r r =-+=>，若M N ⋂≠∅，则r 的取值范围为（）A ．22⎤⎥⎣⎦B ．10⎡⎣ C.210⎣ D ．10⎡⎢⎣⎦9。

(全优试卷)湖南省衡阳市高三下学期第二次联考数学(理)试题 Word版含答案

2017届高中毕业班联考（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则z z ⋅=（） A ．cos2θ B ．1 C ．2cos θ D ．cos2isin θθ+2.已知集合(){}lg 1A x y x ==+，30x B xx -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则有（） A ．3A -∈ B ．()1,0A B ⋂=- C ．A B R ⋃= D ．A B ⊇ 3.如图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为（）A ．6πB ．23π+．4π D ．2π4.已知函数()g x 的定义域为{}0x x ≠，且()0g x ≠，设p ：函数()()11122xf xg x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭是偶函数；q ：函数()g x 是奇函数，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知圆O ：221x y +=交x 轴正半轴于点A ，在圆O 上随机取一点B ，则使1OA OB -≤uu r uu u r成立的概率为（） A ．16 B ．13 C.12 D ．236.设01a <<，e 为自然对数的底数，则a ，e a ，1a e -的大小关系为（） A ．1a e e a a -<< B ．1e a a a e <<- C.1e a a e a <-< D ．1a e a e a <-<7.执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为1-，则判断框内，对于下列四个关于n 的条件的选项，不能．．填入的是（）A ．3?n >B ．5?n > C.32?n > D ．203?n >8.集合(){},1,,1M x y x y y x y =+≤≤≥-，()(){}222,2,0N x y x y r r =-+=>，若M N ⋂≠∅，则r 的取值范围为（）A ．⎤⎥⎣⎦B ．⎡⎣C.2⎣ D ．1,2⎡⎢⎣⎦9.已知()()sin f x t ωθ=+，其中0ω>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()120f x f x ''==，21min 2x x π-=，()f x = 3f x π⎛⎫-⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移6π个单位得()G x ，则()G x 的单调递减区间是（）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦C. 5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ D ．7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ 10.双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，P 点在该双曲线的右支上且到直线x =的距离为128PF PF +=，则双曲线的标准方程为（）A ．22144x y -=B ．22188x y -= C. 2211616x y -= D ．以上答案都不对11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()355134a a -+=，()388132a a -+=，则下列选项正确的是（）A ．1212S =，58a a > B ．1224S =，58a a > C.1212S =，58a a < D ．1224S =，58a a <12.设214a D =+.()a R ∈，则D 的最小值为（）AB ．D ．2 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的和为p ，其二项式系数之和为q ，若64是p 与q 的等比中项，则n = ．14.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系xOy 平面内，若函数()[)1,0cos ,0,2x f x x x π∈-=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩的图象与x 轴围成一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为．15.如图所示，在正方体1AC 中，2AB =，1111AC B D E ⋂=，直线AC 与直线DE 所成的角为α，直线DE 与平面11BCC B 所成的角为β，则()cos αβ-= ． 16.若数列{}n a 满足11912a =，20212n n a a +=，则12n a a a ⋯的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos a Bb A=，4a =，5c =. （1）求边b 的长；（2）若1a b >，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上，当12AEF ABC S S =V V 时，求AEF V 周长l 的最小值.18.当今信息时代，众多高中生也配上了手机.某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩，用茎叶图表示如下图：（1）根据茎叶图中的数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？（2）从50人中，选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数列题，甲、乙独立解决此题的概率分别为1P ，2P ，20.4P =，若120.3P P -≥，则此二人适合结为学习上互帮互助的“师徒”，记X 为两人中解决此题的人数，若() 1.12E X =，问两人是否适合结为“师徒”？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，BA ∥平面PCD ，平面PAD 平面ABCD ，CD AD ⊥，APD V为等腰直角三角形，PA PD ===（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若三棱锥B PAD -的体积为13，求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余弦值. PDCAB20.在平面直角坐标系xOy 内，动点(),M x y 与两定点()2,0-，()2,0连线的斜率之积为14-. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y 是轨迹C 上相异的两点.（Ⅰ）过点A ，B分别作抛物线2y =的切线1l ，2l ，1l 与2l两条切线相交于点()N t ，证明：0NA NB ⋅=uur uu u r；（Ⅱ）若直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，证明：AOB S V 为定值，并求出这个定值. 21.已知函数()ln f x x =. （1）证明：当1x >时，()()2110x x f x -+->；（2）若函数()()2g x f x x ax =+-有两个零点1x ，2x （12x x <，0a >），证明：12213x x g a +⎛⎫'<- ⎪⎝⎭.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系.曲线1C ：1p =.（1）若直线l 与曲线1C 相交于点A ，B ，点()1,1M ，证明：MA MB ⋅为定值；（2）将曲线1C 上的任意点(),x y 作伸缩变换x y y⎧'=⎪⎨'=⎪⎩2C 上的点(),x y ''，求曲线2C 的内接矩形ABCD 周长的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x=+()0x ≠（1）求不等式()1f x x <-的解集；（2）若对()(),00,x ∀∈-∞⋃+∞，不等式()1f x x a x >--+恒成立，求实数a 的取值范围.2017届衡阳市高三第二次联考数学（理）答案一、选择题1-5:BCCCB 6-10:BCCAA 11、12：AC二、填空题13.4 14. 4π+ 15.6692- 三、解答题17.解：（1）由正弦定理及二倍角公式，得sin 2sin 2A B =，A B ∴=或2A B π+=当2A B π+=时，直角ACB V ，易知3b =.当A B =时，等腰ABC V ，4b =.（2）依题可知：a b >，2C π∴∠=，3b =，3cos 5A =.依题：1sin 2AE AF A ⋅⋅11sin 22bc A =⋅⋅AE AF ⇒⋅=11522bc =.由余弦定理EF =周长()l AE AF =+≥=当AE AF ==. 18.解：（1）由题意得列联表为：由列联表可得： ()2250201310730202723K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 4.84 3.841≈>，所以，有95%的把握认为经常使用手机对学习有影响.（2）依题：解决此题的人数X 可能取值为0,1,2，可得分布列为()12 1.12E X P P =+=10.72P⇒=，120.320.3P P -=≥，二人适合结为“师徒”. 19.解：（1）依题：CD ADPAD ABCD⊥⎧⎨⊥⎩面面CD ⇒⊥面PAD CD AP ⇒⊥，又AP PD ⊥，AP ∴⊥平面PCD ，又AP ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD（2）ABCD PCD CD BA PCD ⋂=⎧⎨⎩平面平面∥平面BA CD ⇒∥，由（1）知AB ⊥面PAD1132B PAD V AB PA PD -∴=⋅⋅113AB =⇒=，取AD 中点O ，PO AD ⊥，平面PAD 平面ABCD ，PO ∴平面ABCD ，以过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，如图建系，各点坐标如图.由（1）易知平面PAD 的一法向量为()1,0,0m =u r ，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r.()1,1,1PB =-uu r ，()2,1,1PC =--uu u r.0n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu r r uu ur 020x y z x y z +-=⎧⇒⎨--=⎩，取2x =，()2,1,3n =r . cos ,m n =u rr 7m n m n⋅=u r ru r r，故所求二面角的余弦值为7.20.解：（1）依题意：1224y y x x ⋅=-+-()22124x y x ⇒+=≠±（2）（Ⅰ）设直线NA 的斜率为1k ，设直线NB 的斜率为2k，设切线为：(y t k x -=(2y t k x y ⎧-=+⎪⎨⎪=⎩2120ky k ⇒-++=， 0∆=⇒2330k +-=，121k k =-，0NA NB ∴⋅=uur uu u r.（Ⅱ）由条件得：12124y y x x =-，2222121216y y x x =2212161144x x ⎛⎫⎛⎫=--⇒ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22124x x +=，22121y y ∴+=.AOBS =V==1==. 21.解：（1）欲证()()2110x x f x -+->证()()21ln 01x K x x x -=->+， ()()()22101x K x x x -'=>+Q ，()K x ∴在()1,+∞上递增，()()10K x K ∴>=（2）1x >Q ，()21ln 1x x x ->+，取21xx x =⇒121212ln ln 2x x x x x x -+<-.21112222ln 0ln 0x x ax x x ax ⎧+-=⎪⇒⎨+-=⎪⎩1212ln ln x x x x --()121212x x a x x +=<+()1212210a x x x x ⇒-+-<⎡⎤⎣⎦+. ()112g x ax x '=+-，121222x x g x x +⎛⎫'=- ⎪+⎝⎭()1210a x x +-<⎡⎤⎣⎦. ()2120g x a x ''=--<，()g x '在()0,+∞上递减，1212232x x x x ++>Q ，故12122032x x x x g g ++⎛⎫⎛⎫''<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ln 0x x ax +-=⇒()2ln x x a h x x +==，()312ln x x h x x --'=，令()12ln s x x x =--，易知()s x 在()0,+∞递减，()10s =， 01x <<，()0s x >，()h x ↑，1x >，()0s x <，()h x ↓，()()1h x h ∴≤， 1x >，()0h x >，0x →，()h x →-∞，要合题意，如图，01a <<，10a ->，右大于左，原题得证22.解：（1）曲线1C ：221x y +=. 221cos 1sin 1x t y t x y αα⎧=+⎪=+⎨⎪+=⎩()22cos sin 10t t αα⇒+++=，121MA MB t t ⋅==. （2）伸缩变换后得2C ：2213x y +=.其参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 不妨设点()m,A n 在第一象限，由对称性知：周长为())44sin m n θθ+=+8sin 83πθ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，（6πθ=时取等号）周长最大为8. 23.解：（1）不等式211x x x+⇔<-()211x x x ⇒+<- ()()21011x x x x x -≥⎧⎪⇒⎨+<-⎪⎩或()()21011x x x x x -<⎧⎪⎨+<--⎪⎩得{}1x x <-（2）11x a x a --+≤+Q ，此题可转化为()min 1f x a >+ 由均值不等式12x x⇒+≥，21a ∴>+ 得{}31a a -<<。

2017年湖南省衡阳八中高考数学二模试卷及答案(理科)

2017年湖南省衡阳八中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．（5分）已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里4．（5分）设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，则的最小值是（）A．B．C．D．25．（5分）已知非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，则（α2+1）（1+cos2α）的值为（）A．2 B．C．D．6．（5分）己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（）的实数x为（）A．B．C．D．7．（5分）已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点．若，其中m，n∈R．则m+n的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）8．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）9．（5分）利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（5分）祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）11．（5分）已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤5 B．a＜5 C．0＜a＜5 D．a≥512．（5分）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（，2）D．（2，+∞）二.填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知数列{a n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S n，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则=．14．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，△BCD为边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为．15．（5分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则：①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形；③，，若，则△ABC为锐角三角形；④若O为△ABC的外心，；⑤若sin2A+sin2B=sin2C，，以上叙述正确的序号是．16．（5分）我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图所示，在空间直角坐标系xOy平面内，若函数f（x）=的图象与x轴围成一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱的体积为．三.解答题（共8题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，S n=2a n+1，其中S n为{a n}的前n项和（n∈N*）．（Ⅰ）求S1，S2及数列{S n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥2时，．18．（12分）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求频率分布直方图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC ⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD交于点P，Q，若=t．（1）当t=时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；（2）是否存在实数t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为？若存在，求出实数t的值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知A，B分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）在x轴正半轴，y 轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|=．（1）求椭圆C的离心率；（2）直线l：y=kx+m（﹣1≤k≤2）与圆x2+y2=2相切，并与椭圆C交于M，N两点，求|MN|的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[]上有解，求实数a 的取值范围．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．[选修4-5不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥3x+2的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2017年湖南省衡阳八中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2014•红桥区二模）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|2x+1＞1}={x|x＞﹣1}，C B A=[3，+∞）．故选A．2．（5分）（2016•普宁市校级学业考试）已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由=，则复数在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．故选：C．3．（5分）（2017•凉山州模拟）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选：C．4．（5分）（2017•雁峰区校级二模）设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，则的最小值是（）A．B．C．D．2【解答】解：画出可行域如图，由得到H（1，1），∵当a＞0，b＞0，所以z在H（1，1）处取得最小值，故a+b=2，∴，所以的最小值是2；故选D．5．（5分）（2017•雁峰区校级二模）已知非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，则（α2+1）（1+cos2α）的值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：由题意非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，可得，tanα=﹣α，可得（α2+1）•（1+cos2α）=（1+tan2α）（2cos2α）=2（cos2α ）×（+1）=2．故选：A．6．（5分）（2017•泰安一模）己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（）的实数x为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x+1）为奇函数，即f（x+1）=﹣f（﹣x+1），即f（x）=﹣f（2﹣x）．当x∈（1，2）时，2﹣x∈（0，1），∴f（x）=﹣f（2﹣x）=﹣log2（2﹣x）．又f（x）为偶函数，即f（x）=f（﹣x），于是f（﹣x）=﹣f（﹣x+2），即f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4），故f（x）是以4为周期的函数．∵f（1）=0，∴当8＜x≤9时，0＜x﹣8≤1，f（x）=f（x﹣8）=log2（x﹣8）．由f（）=﹣1，f（x）+2=f（）可化为log2（x﹣8）+2=﹣1，得x=．故选：D．7．（5分）（2017•雁峰区校级二模）已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点．若，其中m，n∈R．则m+n 的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：∵|OC|=|OB|=|OA|，，∴1=m2+n2+2mncos∠AOB当∠AOB=60°时，m2+n2+mn=1，m＜0，n＞0，即（m+n）2﹣mn=1，即（m+n）2=1+mn＜1，所以（m+n）2＜1，∴﹣1＜m+n＜1，当，趋近射线OD，由平行四边形法则=+=m+n，此时显然m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，∴m+n＜0，所以m+n的取值范围（﹣1，0）．故选B．8．（5分）（2016•长宁区二模）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：若满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则0＜x1＜1，1＜x1＜3，则log3x1=﹣log3x2，即log3x1+log3x2=log3x1x2=0，则x1x2=1，同时x3∈（3，6），x4∈（12，15），∵x3，x4关于x=9对称，∴=9，则x3+x4=18，则x4=18﹣x3，则x1x2x3x4=x3x4=x3（18﹣x3）=﹣x32+18x3=﹣（x3﹣9）2+81，∵x3∈（3，6），∴x3x4∈（45，72），即x1x2x3x4∈（45，72），故选：B．9．（5分）（2017•洛阳三模）利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由程序框图知，i=6时，打印第一个点（﹣3，6），在圆x2+y2=25外，i=5时，打印第二个点（﹣2，5），在圆x2+y2=25外，i=4时，打印第三个点（﹣1，4），在圆x2+y2=25内，i=3时，打印第四个点（0，3），在圆x2+y2=25内，i=2时，打印第五个点（1，2），在圆x2+y2=25内，i=1时，打印第六个点（2，1），在圆x2+y2=25内，∴打印的点在圆x2+y2=25内有4个．故选：C．10．（5分）（2017•洛阳三模）祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h （0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，截面为圆环，小圆半径为r，大圆半径为2，设小圆半径为r，则，得到r=h，所以截面圆环的面积为4π﹣πh2=π（4﹣h2）；故选D．11．（5分）（2017•上饶一模）已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤5 B．a＜5 C．0＜a＜5 D．a≥5【解答】解：∵定义域为（0，+∞）的单调函数f（x）满足f[f（x）+log x]=4，∴必存在唯一的正实数a，满足f（x）+log x=a，f（a）=4，①∴f（a）+log a=a，②由①②得：4+log a=a，log a=a﹣4，a=（）a﹣4，左增，右减，有唯一解a=3，故f（x）+log x=a=3，f（x）=3﹣log x，由方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，即有|log x|=x3﹣6x2+9x﹣4+a，由g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a，g′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），当1＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递增．g（x）在x=1处取得最大值a，g（0）=a﹣4，g（3）=a﹣4，分别作出y=|log x|，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象，可得两图象只有一个交点，将y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象向上平移，至经过点（3，1），有两个交点，由g（3）=1即a﹣4=1，解得a=5，当0＜a≤5时，两图象有两个交点，即方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解．故选：A．12．（5分）（2015•江西校级一模）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（，2）D．（2，+∞）【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF2|，即有＞c2，∴b2＞3a2，∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选：D．二.填空题（每题5分，共20分）13．（5分）（2017•奉贤区二模）已知数列{a n}是无穷等比数列，它的前n项的和为S n，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则=70．【解答】解：由题意，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数=35，公比是复数的模，∴==70，故答案为70．14．（5分）（2017•雁峰区校级二模）已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，△BCD为边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为π．【解答】解：根据已知中底面△BCD是边长为2的正三角形，AB⊥面BCD，可得此三棱锥外接球，即为以△BCD为底面以AB为高的正三棱柱的外接球∵△BCD是边长为2的正三角形，∴△BCD的外接圆半径r=，球心到△BCD的外接圆圆心的距离d=1故球的半径R==，∴三棱锥的外接球体积为=π．故答案为：π．15．（5分）（2017•雁峰区校级二模）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则：①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；②若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形；③，，若，则△ABC为锐角三角形；④若O为△ABC的外心，；⑤若sin2A+sin2B=sin2C，，以上叙述正确的序号是①③④⑤．【解答】解：①若cosBcosC＞sinBsinC，则cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）＞0，即﹣cosA＞0，cosA＜0，则∠A为钝角，故△ABC一定是钝角三角形，正确．②若acosA=bcosB，则由正弦定理得2rsinAcosA=2rsinBcosB，即sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=180，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，错误；③，，则=tanA+tanB+tanC=（1﹣tanAtanB）tan（A+B）+tanC＞0tan（A+B）+tanC＞tanAtanBtan（A+B）⇒0＞tanAtanBtan（A+B）∴必有A+B＞，且A，B都为锐角∴C也必为锐角，∴△ABC为锐角三角形，正确，④O为△ABC的外心，•=•（﹣）=•﹣•，=||•||cos＜，＞﹣||•||•cos＜，＞=||2﹣||2=（b2﹣c2），正确，⑤若sin2A+sin2B=sin2C，则由正弦定理得a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形，∴（﹣）•（﹣）=0，∴﹣•（+）+=0，∴=﹣2，∵﹣=+，∴2=2+2+2，∴52=2+2，即结论成立．故答案为①③④⑤．16．（5分）（2017•衡阳二模）我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图所示，在空间直角坐标系xOy平面内，若函数f（x）=的图象与x轴围成一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱的体积为π+4．【解答】解：由题意，函数f（x）=的图象与x轴围成一个封闭的区域A的面积为π+=π+1，∴此圆柱的体积为4（π+1）=π+4，故答案为：π+4．三.解答题（共8题，共70分）17．（12分）（2017•雁峰区校级二模）已知数列{a n}满足a1=1，S n=2a n+1，其中S n为{a n}的前n项和（n∈N*）．（Ⅰ）求S1，S2及数列{S n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，且{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥2时，．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}满足S n=2a n+1，则S n=2a n+1=2（S n+1﹣S n），即3S n=2S n+1，∴，即数列{S n}为以1为首项，以为公比的等比数列，∴S n=（）n﹣1（n∈N*）．∴S1=1，S2=；（Ⅱ）在数列{b n}中，，T n为{b n}的前n项和，则|T n|=|=．而当n≥2时，，即．18．（12分）（2017•雁峰区校级二模）根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表：（1）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求频率分布直方图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．（2）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列．【解答】解：（1）①由第四组的频率为1﹣（0.006+0.024+0.006）×25=0.1，得25a=0.1，解得a=0.004；②去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）；因为42.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进；（2）由题意可得：PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，X的可能取值为0，1，2，3；P（X=k）=•（1﹣0.9）3﹣k•0.9k，可得P（X=0）=0.001，P（X=1）=0.027，P（X=2）=0.243，P（X=3）=0.729；X的分布列为：19．（12分）（2017•葫芦岛一模）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD交于点P，Q，若=t．（1）当t=时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；（2）是否存在实数t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为？若存在，求出实数t的值；若不存在，说明理由．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）E为CD中点，∴四边形ABCE为矩形，∴AE⊥CD，当t=时，Q为AD中点，PQ∥CD，所以PQ⊥AE，∵平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，∴SE⊥面ABCD，∵PQ⊂面ABCD，∴PQ⊥SE，∴PQ⊥面SAE，所以面MNPQ⊥面SAE．（2）如图，以E为原点，ED，EA，ES直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系；设ED=a，则M（（1﹣t）a，（﹣）a，a），E（0，0，0），A（0，，0），Q（（1﹣t）a，，0），=（0，，），面ABCD一个方向向量为=（1，0，0），设平面MPQ的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（0，，2），平面ABCD的法向量为=（0，0，1）∵二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为，∴由题意：cosθ===，解得t=或t=，由图形知，当t=时，二面角M﹣PQ﹣A为钝二面角，不合题意，舍去综上：t=．20．（12分）（2017•雁峰区校级二模）已知A，B分别为椭圆C：+=1（a ＞b＞0）在x轴正半轴，y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为，且|AB|=．（1）求椭圆C的离心率；（2）直线l：y=kx+m（﹣1≤k≤2）与圆x2+y2=2相切，并与椭圆C交于M，N 两点，求|MN|的取值范围．【解答】解：（1）由丨AB丨==，=，解得：a=2，b=，c=1则椭圆离心率e==；（2）由（1）可知：椭圆的标准方程：，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3k2+4）x2+6kmx+3m2﹣12=0，x1+x2=﹣，x1x2=，由直线l与圆x2+y2=2相切，则=，则m2=2（k2+1），则丨MN丨=•=，=，令3k2+4=t，t∈[4，16]，则丨MN丨=•=•，由≤≤，∴f（）=，在[，]单调递增，则≤丨MN丨≤，∴|MN|的取值范围[，]．21．（12分）（2016•湘潭一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[]上有解，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，函数φ（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+，∴φ′（x）==；x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0∴函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上单调递增∴x=4时，φ（x）min=2ln2﹣；（2）方程e2f（x）=g（x）可化为x2=﹣，∴a=﹣x3，设y=﹣x3，则y′=﹣3x2，∵x∈[]∴函数在[]上单调递增，在[，1]上单调递减∵x=时，y=；x=时，y=；x=1时，y=，∴y∈[]∴a∈[][选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•郑州三模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．[选修4-5不等式选讲]23．（2017•雁峰区校级二模）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥3x+2的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣2|≥2，由此可得x≥4或x≤0．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0，即或，即或，又a＞0，故不等式组的解集是{x|x≤﹣}，由题设得﹣=﹣1，故a=2．参与本试卷答题和审题的老师有：733008；sxs123；陈高数；zcq；qiss；刘长柏；lcb001；maths；742048；双曲线；whgcn；zlzhan；铭灏2016；刘老师（排名不分先后）菁优网2017年6月23日。

衡阳市2017届高考数学二模试卷(理科) 含解析

2017年湖南省衡阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z=cosθ+isinθ（i为虚数单位),则=（）A．cos2θB．1 C．cos2θD．cos2θ+isinθ2．已知集合A={x|y=lg（x+1）｝，B=，则有（）A．﹣3∈A B．A∩B=（﹣1,0) C．A∪B=R D．A⊇B3．如图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为（）A．6πB．C．4πD．4．已知函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，且g（x）≠0，设p：函数是偶函数；q：函数g(x)是奇函数,则p是q的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知圆O：x2+y2=1交x轴正半轴于点A，在圆O上随机取一点B，则使成立的概率为（）A．B． C． D．6．设0＜a＜1,e为自然对数的底数,则a，a e，e a﹣1的大小关系为（）A．e a﹣1＜a＜a e B．a e＜a＜e a﹣1 C．a e＜e a﹣1＜a D．a＜e a﹣1＜a e 7．执行如图所示的程序框图,若输出S的值为﹣1,则判断框内，对于下列四个关于n的条件的选项,不能填入的是（)A．n＞3? B．n＞5？C．n＞32? D．n＞203?8．集合M={(x，y）｜x+y≤1，y≤x，y≥﹣1},N={(x，y)|(x﹣2）2+y2=r2，r＞0｝，若M∩N≠∅,则r的取值范围为（）A． B．C．D．9．已知f（x)=sin（ωx+θ）,其中ω＞0，θ∈（0,），f（x1）=f(x2）=0，|x2﹣x1｜min=．f（x）=f（），将f(x）的图象向左平移个单位得G（x)，则G（x）的单调递减区间是( ）A．[kπ，kπ+] B．［kπ+，kπ+］C．［kπ+,kπ+］ D．[kπ+,kπ+]10．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直,F1，F2分别为C的左，右焦点，P点在该双曲线的右支上且到直线x=﹣a的距离为3，若｜PF1｜+|PF2｜=8，则双曲线的标准方程为( ）A．B．C．D．以上答案都不对11．设等差数列{a n｝的前n项和为S n，已知，，则下列选项正确的是( )A．S12=12，a5＞a8B．S12=24，a5＞a8C．S12=12，a5＜a8 D．S12=24,a5＜a812．设D=+1．（a∈R），则D的最小值为（）A．B．1 C．D．2二、填空题在的展开式中，各项系数的和为p，其二项式系数之和为q,若64是p与q的等比中项，则n= ．14．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积,“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图所示，在空间直角坐标系xOy平面内，若函数f（x）=的图象与x轴围成一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移4个单位,得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱的体积为．15．如图所示，在正方体AC1中，AB=2，A1C1∩B1D1=E，直线AC 与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos（α﹣β）= ．16．若数列｛a n}满足,,则a1a2…a n的最小值为．三、解答题（本大题共5小题,共70分。

湖南省衡阳市2017届高三下学期第二次联考数学理试题

2017届高中毕业班联考（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则z z ⋅=（）A ．cos 2θB ．1C ．2cos θ D ．cos 2isin θθ+2.已知集合(){}lg 1A x y x ==+，30x B xx -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则有（） A ．3A -∈ B ．()1,0A B ⋂=- C ．A B R ⋃= D ．A B ⊇ 3.如图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为（）A ．6πB ．23π+．4π D ．2π4.已知函数()g x 的定义域为{}0x x ≠，且()0g x ≠，设p ：函数()()11122xf xg x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭是偶函数；q ：函数()g x 是奇函数，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知圆O ：221x y +=交x 轴正半轴于点A ，在圆O 上随机取一点B ，则使1OA OB -≤uu r uu u r成立的概率为（） A ．16 B ．13 C.12 D ．236.设01a <<，e 为自然对数的底数，则a ，ea ，1ae -的大小关系为（） A ．1aee a a -<< B ．1eaa a e <<- C.1eaa e a <-< D ．1aea e a <-<7.执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为1-，则判断框内，对于下列四个关于n 的条件的选项，不能．．填入的是（）A ．3?n >B ．5?n > C.32?n > D ．203?n >8.集合(){},1,,1M x y x y y x y =+≤≤≥-，()(){}222,2,0N x y x y r r =-+=>，若M N ⋂≠∅，则r 的取值范围为（）A ．⎤⎥⎣⎦B ．⎡⎣C.⎣ D ．⎡⎢⎣⎦9.已知()()sin f x t ωθ=+，其中0ω>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()120f x f x ''==，21min 2x x π-=，()f x = 3f x π⎛⎫-⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移6π个单位得()G x ，则()G x 的单调递减区间是（）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦C. 5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ D ．7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ 10.双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，P 点在该双曲线的右支上且到直线2x a =的距离为128PF PF +=，则双曲线的标准方程为（）A ．22144x y -= B ．22188x y -= C. 2211616x y -= D ．以上答案都不对11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()355134a a -+=，()388132a a -+=，则下列选项正确的是（）A ．1212S =，58a a >B ．1224S =，58a a > C.1212S =，58a a < D ．1224S =，58a a <12.设214a D =+.()a R ∈，则D 的最小值为（）A．2B ．．2 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的和为p ，其二项式系数之和为q ，若64是p 与q 的等比中项，则n = ．14.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系xOy 平面内，若函数()[)1,0cos ,0,2x f x x x π∈-=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩的图象与x 轴围成一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为．15.如图所示，在正方体1AC 中，2AB =，1111AC B D E ⋂=，直线AC 与直线DE 所成的角为α，直线DE 与平面11BCC B 所成的角为β，则()cos αβ-= ． 16.若数列{}n a 满足11912a =，20212n n a a +=，则12n a a a ⋯的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos a B b A=，4a =，5c =. （1）求边b 的长；（2）若1a b>，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上，当12AEF ABC S S =V V 时，求AEF V 周长l 的最小值.18.当今信息时代，众多高中生也配上了手机.某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩，用茎叶图表示如下图：（1）根据茎叶图中的数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？（2）从50人中，选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数列题，甲、乙独立解决此题的概率分别为1P ，2P ，20.4P =，若120.3P P -≥，则此二人适合结为学习上互帮互助的“师徒”，记X 为两人中解决此题的人数，若() 1.12E X =，问两人是否适合结为“师徒”？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，BA ∥平面PCD ，平面PAD 平面ABCD ，CD AD ⊥，APD V为等腰直角三角形，2PA PD ===（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若三棱锥B PAD -的体积为13，求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余弦值. PDCAB20.在平面直角坐标系xOy 内，动点(),M x y 与两定点()2,0-，()2,0连线的斜率之积为14-. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y 是轨迹C 上相异的两点.（Ⅰ）过点A ，B分别作抛物线2y =的切线1l ，2l ，1l 与2l两条切线相交于点()N t ，证明：0NA NB ⋅=uu r uu u r；（Ⅱ）若直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，证明：AOB S V 为定值，并求出这个定值. 21.已知函数()ln f x x =. （1）证明：当1x >时，()()2110x x f x -+->；（2）若函数()()2g x f x x ax =+-有两个零点1x ，2x （12x x <，0a >），证明：12213x x g a +⎛⎫'<- ⎪⎝⎭.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系.曲线1C ：1p =.（1）若直线l 与曲线1C 相交于点A ，B ，点()1,1M ，证明：MA MB ⋅为定值；（2）将曲线1C 上的任意点(),x y 作伸缩变换x y y⎧'=⎪⎨'=⎪⎩2C 上的点(),x y ''，求曲线2C 的内接矩形ABCD 周长的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x=+()0x ≠ （1）求不等式()1f x x <-的解集；（2）若对()(),00,x ∀∈-∞⋃+∞，不等式()1f x x a x >--+恒成立，求实数a 的取值范围.2017届衡阳市高三第二次联考数学（理）答案一、选择题1-5:BCCCB 6-10:BCCAA 11、12：AC二、填空题13.4 14. 4π+692- 三、解答题17.解：（1）由正弦定理及二倍角公式，得sin 2sin 2A B =，A B ∴=或2A B π+=当2A B π+=时，直角ACB V ，易知3b =.当A B =时，等腰ABC V ，4b =.（2）依题可知：a b >，2C π∴∠=，3b =，3cos 5A =.依题：1sin 2AE AF A ⋅⋅11sin 22bc A =⋅⋅AE AF ⇒⋅=11522bc =.由余弦定理EF =周长()l AE AF =+≥=当AE AF ==. 18.解：（1）由题意得列联表为：由列联表可得： ()2250201310730202723K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 4.84 3.841≈>，所以，有95%的把握认为经常使用手机对学习有影响.（2）依题：解决此题的人数X 可能取值为0,1,2，可得分布列为()12 1.12E X P P =+=10.72P⇒=，120.320.3P P -=≥，二人适合结为“师徒”. 19.解：（1）依题：CD ADPAD ABCD⊥⎧⎨⊥⎩面面CD ⇒⊥面PAD CD AP ⇒⊥，又AP PD ⊥，AP ∴⊥平面PCD ，又AP ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD（2）ABCD PCD CDBA PCD⋂=⎧⎨⎩平面平面∥平面BA CD ⇒∥，由（1）知AB ⊥面PAD 1132B PAD V AB PA PD -∴=⋅⋅113AB =⇒=，取AD 中点O ，PO AD ⊥，平面PAD 平面ABCD ，PO ∴平面ABCD ，以过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，如图建系，各点坐标如图.由（1）易知平面PAD 的一法向量为()1,0,0m =u r ，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r.()1,1,1PB =-uu r ，()2,1,1PC =--uu u r.0n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu r r uu ur 020x y z x y z +-=⎧⇒⎨--=⎩，取2x =，()2,1,3n =r . cos ,m n =u rr 7m n m n⋅=u r ru r r7.20.解：（1）依题意：1224y y x x ⋅=-+-()22124x y x ⇒+=≠± （2）（Ⅰ）设直线NA 的斜率为1k ，设直线NB 的斜率为2k ，设切线为：(y t k x -=+(2y t k x y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩2120ky k ⇒-++=， 0∆=⇒2330k -=，121k k =-，0NA NB ∴⋅=uu r uu u r.（Ⅱ）由条件得：12124y y x x =-，2222121216y y x x =2212161144x x ⎛⎫⎛⎫=--⇒ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22124x x +=，22121y y ∴+=.AOBS =V==1==. 21.解：（1）欲证()()2110x x f x -+->证()()21ln 01x K x x x -=->+， ()()()22101x K x x x -'=>+Q ，()K x ∴在()1,+∞上递增，()()10K x K ∴>= （2）1x >Q ，()21ln 1x x x ->+，取21x x x =⇒121212ln ln 2x x x xx x -+<-.21112222ln 0ln 0x x ax x x ax ⎧+-=⎪⇒⎨+-=⎪⎩1212ln ln x x x x --()121212x x a x x +=<+()1212210a x x x x ⇒-+-<⎡⎤⎣⎦+. ()112g x ax x '=+-，121222x x g x x +⎛⎫'=- ⎪+⎝⎭()1210a x x +-<⎡⎤⎣⎦. ()2120g x a x ''=--<，()g x '在()0,+∞上递减，1212232x x x x ++>Q ，故12122032x x x x g g ++⎛⎫⎛⎫''<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ln 0x x ax +-=⇒()2ln x x a h x x +==，()312ln x x h x x --'=，令()12ln s x x x =--，易知()s x 在()0,+∞递减，()10s =， 01x <<，()0s x >，()h x ↑，1x >，()0s x <，()h x ↓，()()1h x h ∴≤， 1x >，()0h x >，0x →，()h x →-∞，要合题意，如图，01a <<，10a ->，右大于左，原题得证22.解：（1）曲线1C ：221x y +=. 221cos 1sin 1x t y t x y αα⎧=+⎪=+⎨⎪+=⎩()22cos sin 10t t αα⇒+++=，121MA MB t t ⋅==. （2）伸缩变换后得2C ：2213x y +=.其参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 不妨设点()m,A n 在第一象限，由对称性知：周长为())44sin m n θθ+=+8sin 83πθ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，（6πθ=时取等号）周长最大为8. 23.解：（1）不等式211x x x+⇔<-()211x x x ⇒+<- ()()21011x x x x x -≥⎧⎪⇒⎨+<-⎪⎩或()()21011x x x x x -<⎧⎪⎨+<--⎪⎩得{}1x x <-（2）11x a x a --+≤+Q ，此题可转化为()min 1f x a >+ 由均值不等式12x x⇒+≥，21a ∴>+ 得{}31a a -<<。

湖南省衡阳市2017届高三下学期第二次联考理科数学试题含答案

2017届高中毕业班联考（二）理科数学注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.时量120分钟，满分150分。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上.3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4．考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数cos sin z i θθ=+ （i 为虚数单位），则z z =A ．cos 2θB ．1C ．2cos θ D ．cos 2sin 2i θθ+ 2．已知集合{}{}3log(1),0x A x y x B x x-==+=<，则有A ．3A -∈B ．(1,0)A B =-C ．A B R =D ．A B ⊇3．如右图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为A ．6πB ．233π+ C ．4π D ．23π4．已知函数()g x 的定义域为{}0x x ≠，且()0g x ≠，设p ：函数11()()()122xf xg x =--是偶函数；q :函数()g x 是奇函数，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知圆O ：221x y +=交x 轴正半轴于点A ，在圆O 上随机取一点B ，则使1OA OB -≤成立的概率为A ．16B ．13C ．12D ．236．设01,a e <<为自然对数的底数,则a ，ea ，1ae-的大小关系为A ．1ae e a a -<<. B ．1ea aa e <<-C ．1ea ae a <-<D ．1ae a ea <-<7．执行如图所示的程序框图，若输出S 的僵值为1-，则判断框内,对于下列四个关于n 的条件的选项，不能填入的是 A ．3?n > B ．5?n > C ．32?n > D ．203?n >8．集合{}{}222(,)1,,1,(,)(2),0M x y x y y x y N x y x y r r =+≤≤≥-=-+=>,若M N φ≠，则r 的取值范围为A ．[2B ．[1C ．[2D ． 9．已知()sin()f x x ωθ=+，其中''120,(0,),()()02fx f x πωθ>∈==，21min 2x x π-=,()()3f x f x π=-，将()f x 的图象向左平移6π个单位得()G x ，则()G x 的单调递减区间是A ．[,]2k k πππ+ B ．2[,]63k k ππππ++C ．5[,]36k k ππππ++ D ．7[,]1212k k ππππ++10·双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，1F 、2F 分别为C的左，右焦点，点P 在该双曲线的右支上且到直线x =的距离为128PF PF +=,则双曲线的标准方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．2211616x y -=D ．以上答案都不对11．设等差数列{}na 的前n 项和为nS ，已知335588(1)34,(1)32a a a a -+=-+=，则下列选项正确的是 A ．125812,Sa a =>B ．125824,Sa a => C ．125812,Sa a =< D ．125824,Sa a =<12．设21,(04a D a R =+∈,则D 的最小值为A ．22B ．1C 2D ．2第Ⅱ卷本卷包括必做题与选做题两部分,第13～2l 题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选做题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题。

湖南省衡阳市2017届高三下学期第二次联考数学(理)试题解析(解析版)Word版含解斩

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

为虚数单位），则错误！未找到引用源。

（）A. 错误！未找到引用源。

B. 1C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】B【解析】错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

2. 已知集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则有（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】C3. 如图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】由图可知该几个体由一个圆锥和一个半球组成，所以该几何体表面积为：错误！未找到引用源。

4. 已知函数错误！未找到引用源。

的定义域为错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，设错误！未找到引用源。

：函数错误！未找到引用源。

是偶函数；错误！未找到引用源。

：函数错误！未找到引用源。

是奇函数，则错误！未找到引用源。

是错误！未找到引用源。

的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由函数错误！未找到引用源。

是偶函数可得：错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，所以函数错误！未找到引用源。

是奇函数，充分条件成立，当函数错误！未找到引用源。

是奇函数时，有错误！未找到引用源。

，又错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，可得函数错误！未找到引用源。

，所以函数错误！未找到引用源。

是偶函数，即必要条件也成立，所以错误！未找到引用源。

是错误！未找到引用源。

的充要条件.5. 已知圆错误！未找到引用源。

：错误！未找到引用源。

交错误！未找到引用源。

2017年湖南省衡阳八中、长郡中学等十三校重点中学联考高考数学一模试卷(理科)(解析汇报版)

2017年湖南省衡阳八中、长郡中学等十三校重点中学联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1 .已知集合A={x€ Z||x - 1| V3} , B={x|x 2+2X-3V0}，则A H B=（）A. （-2, 1）B. （1, 4）C. {2 , 3}D. { - 1, 0}2. 记复数z的共轭复数为•，若•（1 - i ）=2i （i为虚数单位），则复数z的模|z|=（）A. 了B. 1C. 2 7D. 23. 在等差数列{a n}中，a9=.a12+3,则数列{a n}的前11项和Sn=（）A. 24B. 48C. 66D. 1324 .已知［x］表示不超过实数x的最大整数，g （x）=［x］为取整函数，In/-的零点，则g （X。

）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4 5.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为空和P,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为一•.假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（）D.x=5时，那么运行算法流程图输出的结6.如图，是一个算法流程图，当输入的A . 10B . 20 C. 25 D. 357.二项式（x-灵）9展开式中，x3项的系数为（）8 .设F 为抛物线C: y 2=2px 的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交曲线C 于A , B 两点（B 点在第一象限，A 点在第四象限），O 为坐标原点，过A 作C 的准线的垂线，垂足为M 则|OB|与|OM|的比为（）A.二B. 2C. 3D. 49. 已知函数f （x ）的定义域为R,且f （2） =2,又函数f （x ）的导函数y=f ' （x ）的图象如图所示，若两个正数 a 、b 满足f （2a+b ）v 2,贝「一的取值范围a+22 2 2A.（片，2）B.（-x ，〒）u （ 2，+x ）C. （2，+x ）D.（-x ，）10.已知正厶ABC 内接于半径为2的圆O,点P 是圆O 上的一个动点，贝U - :? - ■ 的取值范围是（）A. [0，6]B. [ - 2，6]C. [0，2]D. [ - 2，2]11.三棱锥S-ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S-C .21~2D.21~2ABC 的外接球的表面积为Ji.A. 32 n12. 设函数f （x）是定义在（-%, 0）上的可导函数，其导函数为f'（x ），且有xf'(x)> x2+3f (x),则不等式8f (x+2014) + (x+2014) 3f (- 2)> 0 的解集为( )A. (-X,- 2016)B. (- 2018,- 2016) C . (- 2018, 0) D. (-^,-2018)二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)13. 函数f (x)= . :cos (3x -0) - sin (3x-0)是奇函数，则tan B 等于_____________ .14. 已知边长为2的正方形ABCD勺四个顶点在球O的球面上，球O的体积为V球二」，则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为 _______ .、? /15. 双曲线E: —^ - =1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是E坐a支上一点，且|PF1|=|F丘|，直线PF2与圆x2+y2=a2相切，则E的离心率为_____ . 16. 已知函数f (x) =x2co^^4，数列｛a n｝中，a n=f (n) +f (n+1) (n€ N)，则数列｛a n｝的前100项之和S°0= __ .三、解答题(共5小题，满分60分)17. 设△ ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足sinA+sinB=[cosA-cos (n- B) ] ? sinC .(1)试判断△ ABC的形状，并说明理由；(2)若a+b+c=1+=，试求△ ABC面积的最大值.18. 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1: 2: 3,其中第2小组的频数为12.(I)求该校报考飞行员的总人数；(n)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望.a bAC=AA=2, AB=BC=2「，/ AAG=60°,平面ABC丄平面AAGC, AC与A i C相交于点D.(1)求证：BG丄平面AAC i C;到上顶点的距离为「，点C(m 0)是线段OF上的一个动点.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在过点F且与x轴不垂直的直线I与椭圆交于A、B两点，使得(.：+ 。

【湖南省长沙市长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学】2017届高三第二次联考理科综合物理试卷-答案

由闭合电路欧姆定律可得 ②
联立①②解得 ③
根据楞次定律和右手螺旋定则判断ab中的电流方程为 ④
（2）由题意可知导轨平面与水平面夹角为
对在内静止的ab受力分析有 ⑤
联立③⑤解得 ⑥
（3）由题意可知后，c内的磁感应强度减为零，ab滑入区域Ⅱ，
由直导轨足够长可知ab进入圆形轨道时已经做直线运动，
设此时ab速度为v，其电动势为，电流为
联立①②③可得 ④
U形管中减少的水银柱长度
②自由落体状态下，设稳定后A侧空气柱的长度为，压强为，
由玻意耳定律可得 ⑤
由于U形管中的水银处于完全失重状态，水银对气体的压强为零，可得
联立②⑤⑥解得
34．（1）ACD
（2）①波源A产生的波传到C的时间为，有：
波源B的振动传播到C点的时间
则波源A引起的质点C振动的路程为
ab能滑到圆轨最高点，有
33．（1）ACE
（2）①以cmHg为压强单位，设A侧空气柱长度时的压强为p
当两侧水银面的高度差为时，空气柱的长度为，压强为
由玻意耳定律可得 ①
由力学平衡条件可得 ②
打开开关K放出水银的过程中，B侧水银面处的压强始终为，而A侧水银面处的压强随空气柱长度的增加逐渐减小，B、A两侧水银面的高度差也随之减小，直至B侧水银面低于A侧水银面为止，由力学平衡条件有 ③
（2）a球与b球的碰撞，由动量守恒定律得：
由能量守恒得：，解得，
对a球，洛伦兹力提供向心力，，解得
设a球落地点与圆心的连线和地面夹角为，有，可得
故a球离开电磁场用时，，
B球不带电，碰后做平抛运动，竖直方向，得
（3）对a球，设a球水平位移为，
对b球：