高考数学一轮总复习 12命题及其关系、充分条件与必要条件课后强化作业 北师大版 (1)

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习1-2命题及其关系、充分条件与必要条件课后强化作业北师大版"基础达标检测一、选择题1．(文)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析]本题考查充要条件．a＝1成立，则|a|＝1成立．但|a|＝1成立时a＝1不一定成立，所以a＝1是|a|＝1的充分不必要条件．(理)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析]本小题考查的内容是充分与必要条件的判定．若a＝1，则N＝{1}，∴N⊆M，反之不成立．2．(2013·湖南高考)“1<x<2”是“x<2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]因为“1<x<2”⇒“x<2”，而x<2⇒/“1<x<2”，故“1<x<2”是“x<2”的充分不必要条件，故选A.3．(文)命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析] 原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题：若a >－6，则a >－3为假命题，则否命题也为假命题，故选B.(理)若命题p 的逆命题是q ，否命题是r ，则命题q 是命题r 的( ) A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．不等价命题[答案] C[解析] 因为命题p 的逆命题是q ，即命题q 的逆命题是p ，又p 的否命题是r ，所以命题q 是命题r 的逆否命题，故选C.4．(文)a <0，b <0的一个必要条件是( ) A ．a ＋b <0 B ．a －b >0 C.ab >1 D.ab<－1 [答案] A[解析] 由a <0，b <0可得a ＋b <0，所以a <0，b <0的一个必要条件是a ＋b <0，故选A. (理)对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 考查平面向量平行的条件． ∵a ＋b ＝0，∴a ＝－b .∴a ∥b .反之，a ＝3b 时也有a ∥b ，但a ＋b ≠0.故选A. 5．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题； ④“若A ∪B ＝B ，则A ⊇B ”的逆否命题． 其中真命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④[答案] C[解析] 写出相应命题并判定真假．①“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”为真命题；②“不相似三角形的周长不相等”为假命题；③“若方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0没有实根，则b >－1”为真命题；④“若A ⊉B ，则A ∪B ≠B ”为假命题．6．(文)“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 两直线垂直的充要条件是1－m ＝0，即m ＝1，故选C. (理)“sin α＝12”是“cos2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题主要考查充要条件和三角公式． ∵cos2α＝1－2sin 2α＝12，∴sin α＝±12，∴sin α＝12⇒cos2α＝12，但cos2α＝12 ⇒ sin α＝12，∴“sin α＝12”是“cos2α＝12”的充分而不必要条件．二、填空题7．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根”的否命题是____________________． [答案] 若m ≤0，则方程x 2＋x －m ＝0没有实数根．8．在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．[答案] 3[解析] 原命题为假命题，所以逆否命题也是假命题，逆命题“若m 2>n 2，则m >－n ”也是假命题，从而否命题也是假命题．9．设有如下三个命题：甲：m ∩l ＝A ，m ，l α，m ，l β； 乙：直线m ，l 中至少有一条与平面β相交； 丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的__________条件． [答案] 充要[解析] 由题意乙⇒丙，丙⇒乙． 故当甲成立时乙是丙的充要条件． 三、解答题10．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围． [解析] (1)由x 2－8x －20≤0， 得－2≤x ≤10.∴P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9.∴这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3.综上可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件.能力强化训练一、选择题1．(文)有下列命题：①两组对应边相等的三角形是全等三角形； ②“若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0”的逆命题； ③“若a >b ，则2x ·a >2x ·b ”的否命题； ④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题． 其中真命题共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] B[解析] ①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题．(理)下列命题中，假命题为()A．存在四边相等的四边形不是正方形B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1D．对于任意n∈N＋，C0n＋C1n＋…＋C n n都是偶数[答案] B[解析]本题考查了命题的真假判断，选项A中，菱形满足条件，选项B中只需z1与z2的虚部互为相反数即可，故B错；选项C、D显然正确，故选B.2．(2013·山东高考)给定两个命题p，q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q 的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由q⇒綈p且綈p⇒/q可得p⇒綈q且綈q⇒/p，所以p是綈q的充分不必要条件．二、填空题3．有下列判断：①命题“若q则p”与命题“若綈p则綈q”互为逆否命题；②“am2<bm2”是“a<b”的充要条件；③“平行四边形的对角相等”的否命题；④命题“∅⊆{1,2}或∅∈{1,2}”为真．其中正确命题的序号为________．[答案]①④[解析]①两个命题的条件与结论互逆且否定，故正确．②am2<bm2，∴m2>0，∴可以推出a<b；但反之不能(如m＝0)．故错误．③命题“平行四边形的对角相等”的否命题是“若一个四边形不是平行四边形，则它的对角不相等”是假命题．④∅⊆{1,2}是真命题，∅∈{1,2}是假命题，故正确．4．(文)设集合A＝{x|xx－1<0}，B＝{x|x2－4x<0}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件．[答案] 充分不必要[解析] 若m ∈A ，则mm －1<0，∴0<m <1.若m ∈B ，则m 2－4m <0，即0<m <4. 故“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分条件． 取m ＝2，则m m －1＝2，于是mm －1<0不成立，所以m ∈A 不成立．故“m ∈A ”不是“m ∈B ”的必要条件． 综上所述，“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件． (理)对于下列四个结论：①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件； ④“x ≠0”是“x ＋|x |>0”的必要不充分条件． 其中，正确结论的序号是________． [答案] ①②④[解析] ∵“A ⇐B ”，∴“綈A ⇒綈B ”，故①正确．“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0，故②正确．∵x ≠1⇒ x 2≠1，例如x ＝－1，故③错误． ∵x ＋|x |>0⇒x ≠0，但x ≠0⇒ x ＋|x |>0， 例如x ＝－1.故④正确． 三、解答题5．(文)判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假． (1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆内接四边形；(2)在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，若b 2－4ac <0，则该函数图像与x 轴有交点． [解析] (1)该命题为真命题．逆命题：若四边形是圆内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆内接四边形．真命题． 逆否命题：若四边形不是圆内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题． (2)该命题是假命题.逆命题：在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，若该函数的图像与x 轴有交点，则b 2－4ac <0.假命题．否命题：在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，若b 2－4ac ≥0， 则该函数图像与x 轴没有交点．假命题．逆否命题：若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴没有交点，则b 2－4ac ≥0.假命题． (理)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点． (1)求证：“如果直线l 过点(3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题． (2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解析] (1)设l ：x ＝ty ＋3，代入抛物线y 2＝2x ， 消去x 得y 2－2ty －6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝2t ，y 1·y 2＝－6， OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＋y 1y 2 ＝－6t 2＋3t ·2t ＋9－6＝3. ∴OA →·OB →＝3，故为真命题．(2)(1)中命题的逆命题是：“若OA →·OB →＝3，则直线l 过点(3,0)”它是假命题． 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝2x ， 消去x 得y 2－2ty －2b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1·y 2＝－2b . ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－2bt 2＋bt ·2t ＋b 2－2b ＝b 2－2b ， 令b 2－2b ＝3，得b ＝3或b ＝－1，此时直线l 过点(3,0)或(－1,0)．故逆命题为假命题．6．(文)(2014·江西盟校第二次联考)求证：方程x 2＋ax ＋1＝0(a ∈R )的两实根的平方和大于3的必要条件是|a |>3，这个条件充分吗？为什么？[解析] ∵方程x 2＋ax ＋1＝0(a ∈R )有两实根， 则Δ＝a 2－4≥0，∴a ≤－2或a ≥2.设方程x 2＋ax ＋1＝0的两实根分别为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝1， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝a 2－2≥3.∴|a |≥5> 3.∴方程x 2＋ax ＋1＝0(a ∈R )的两实根的平方和大于3的必要条件是|a |>3；但当a ＝2时，x 21＋x 22＝2≤3.因此这个条件不是其充分条件．(理)已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}． (1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件． [解析] (1)由 M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5， 因此M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是{a |－3≤a ≤5}．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0.故a ＝0是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件．。