大学物理上册第九章1

d2 由转动定律： M J J dt2

J mR 2 md 2 2mR 2
2 d 2 2mR Rmg sin Rmg 2 dt
mg
d2 g 0 2 dt 2R
此振动为简谐振动。

g 2R
2R T 2 g
2
二、简谐振动的运动学方程 1、运动学方程（振动表达式）：
d2 3 g 即： 0 2 dt 2l 2 d 3g 2 2 0 故： 2 dt 2l
O

l
mg
复摆作简谐振动。
例题2 半径为R 的圆环静止于刀口O 点上，令其在自身平面 内作微小摆动，证明其摆动为简谐振动，并计算其振动周期。 证明 设圆环偏离角度为θ。圆环可看作刚体，分析所受力 矩：取逆时针为正方向。 M Rmg sin o
1、简谐振动的动能：
1 1 2 E k mv kA2 sin2 ( t ) 2 2
2、简谐振动的势能： E 1 kx2 1 kA2 cos 2 ( t ) p 2 2 3、简谐振动的总能量： 4、能量平均值：
1 E E k E p kA2 2
简谐振动系统的动能和势能在一个周期内的平均值相等， 且等于总能量的一半。
两振动步调相同。
反相:
（ 2k 1 ） (k 0、 1、 2....)
两振动步调相反。 ② 超前和滞后：
当 0时, 振动2比振动1超前。
x A1 A2 o
x1
x2
反相 t
x
A1 A2
x1
x2
振动2比振动 1超前
x2 比 x1 较早达到正最大。
当 0时, 振动2比振动1落后。
v0 0
1s
由矢量图可得： 2 / 3
t = 1s 时位移达到正的最大值，即： A 画出矢量图：知：

A
x
4 4 t 1s 3 t 3 A 2 4 x 2 cos t 3 3

A
x
四、 简谐振动的能量
A cos(t )
2
o
A
A
t
v
v t图
T
o
A
t
a
A 2
a t图
说明 1） v、a 与 x 的ω 相同。
o
A 2
T
t
2） 三者相位依次差π/ 2 。
4、由初始条件确定振幅 和初相位 初始条件： t 0 时，x x0 , v v0
x0 A cos
A
x
2 0

2 v0 2

k m
M
v0 tg x 0

t0
3、旋转矢量法：
o
t
t
p
x
作业：9- 4、5、9 预习：§9 - 2、3
三、简谐振动的表示方法 1、解析法：
x A cos( t )
A、、
已知表达式
已知A、 、 表达式 2、曲线法： 已知曲线 A、 、
x A o A
T
t
已知 A、 、 曲线
3、旋转矢量法：
x A cos(t )
旋转矢量： 作坐标轴 O x , 自O 点作一矢量 OM ，用 A 表示 。
2 d x 2 由： x 0 2 dt
x
A
x A cos( t )
t
o
T
解得：
x A cos( t )
2、描述简谐振动的物理量: 1） 振幅A：离开平衡位置的最大距离 2） 角频率 ： 2π 秒内完成振动的次数。
x A cos( t ) A cos[ (t T ) ]
x0 v0
x0 v0
x0 v0
x0 v0
例题4 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所 x(cm) 示，试写出振动方程。 2
解 设该简谐振动的振动方程为
1
x A cos(t )
由图可知，A = 2 cm ，当t = 0 时
0 1
2
t (s)
x0 2 cos 1
1、受力特征：
F kx
物体在与偏离平衡位置的位移成正比、方向相反的回复力 作用下围绕平衡位置的运动叫简谐振动。 说明 1）位移是相对平衡位置的。 2）平衡位置是物体受力为零的位置。
2、简谐振动的微分方程 ① 弹簧振子： 在水平方向上：
k
f
N
m
F k x
o
mg x
x
2 d x 由牛顿第二定律，有： k x m dt2
dv d at l l dt dt2 d2 l g sin 2 dt 若θ 很小，则有： sin
2

Ft
T

d2 g 0 2 dt l
其中：
mg
g l
d 2 2 0 即： 2 dt
小球作简谐振动。
3、简谐振动的动力学定义 若物理量x，满足
2 k 2 d x 2 令： x0 则有： 2 m dt
加速度与离开平衡位置的位移大小成正比，方向相反。 注意 ω 仅由系统本身决定，与振动情况无关。
② 单摆在小角度摆动时的运动情况 单摆受回复力： Ft mg sin 小球的切向运动方程为：
Ft ma t mg sin
旋转矢量在 x 轴上的投影坐标 作 简谐振动。
例题3 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅 A = 0.12 m，周期T = 2s ，当 t = 0 时，质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06m ，此时 向x 轴正向运动。求振动的表达式。 解 取平衡位置为坐标原点。
设振动方程为： x A cos(t )
大学物理学
第九章 机械振动和机械波
机械振动：
物体在某一位置附近所作的来回往复的运动。 振动: 描述物体状态的物理量在某一数值附近往复变化。 波动：
振动在空间或媒质中的传播过程。简称为波。 机械振动在弹性媒质中的传播称为机械波。
变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波。
§9.1 简谐振动
一、简谐振动的特征
利用旋转矢量法求解，根据初始条件就可画出振幅矢量 的初始位置，从而得到：


3
O
2 T
x0

A 2
v0 0
x
x 0.12 cos( t

3
)
讨论
v0 > 0 时， 在3，4象限。 v0 < 0时， 在1，2象限。 A A 在1，4象限。 x0 < 0 时，在2，3象限。 x0 > 0 时，

A
t
M
A 在t = 0 时与x 轴的夹角－ 初相 φ A 以恒定角速度ω 绕O 点作逆时针转动 － 角频率ω t 时刻 A 与x 轴的夹角－ 相位 ω t + φ
矢量
A A － 振幅A

t0 A
o
p
x
A
的端点M 在x 轴上的投影点P 的坐标为：
x A cos(t )
o
x
t
A1 A2
x1
x1 比 x2 较早达到正最大。
o
x2
t
振动2比振动 1落后
3、简谐振动的速度和加速度 由：x A cos(t ) 取 0
A
x
x t图
T
dx v A sin(t ) dt π A cos(t ) 2 dv a 2 A cos(t ) dt
1)
2）
2
2 v0
v0 A sin 写为： v0 A sin
1) 2) 得：
2 2
2 A2 x0
2
2 v0
A
2 x0
2) / 1) 得：
注意
v0 tg x0
1）A 可以由公式直接确定。
2） 仅由公式不能唯一确定，还需考虑x 0、v 0 的正负。
1 Ek E p T

Байду номын сангаас
t T t
1 E 2 E k dt kA 4 2
小
1、简谐振动的定义式：
结
x A cos(t )
d2 x 2 x 0 或： 2 dt
2、描述简谐振动的物理量: ① 振幅A： ② 角频率 ： ③相位( t + ) 和 初相
d2 x 2 x0 2 dt
且ω 由系统性质决定，则称 x 作简谐振动。 步骤： 1）确定研究对象，分析受力。 2）找出平衡位置，写出回复力（或回复力矩）的表达式。 3）写出动力学方程（利用牛顿第二定律或刚体定轴转动定律） 由此，判断是否作简谐振动，并求出ω。
例题1 一长为 l 的均匀细棒悬于其一端的光滑水平轴上， 作 成一复摆。试证明此摆作微小摆动时为简谐振动。 解 均匀细棒可看作刚体，分析所受力矩： 取逆时针为正方向。 l M mg sin 2 由转动定律： l d2 1 2 d2 mg sin J J 2 ml 2 dt 3 dt2 1 2 d2 l l g 0 θ很小，则： 2 3 dt 2
2 2 T 2 T
T 2 m T 2 k
l g
3）相位 (t ) ：描述运动状态的量。 ※ t 在0 ~ 2π 内与（x、v）存在一一对应的关系。 ※ 当相位变化了2π 时，质点恢复到原来的运动状态。 ※ 初相 ( t 0) 描述质点初始时刻的运动状态。
4）相位差 ：