求解二维对流扩散方程的交替分带并行算法

边界条件为
ｆＵ（０，Ｙ，ｆ） 一ｆ１（ｙ，ｆ），“（１，Ｙ，￡）一ｆ２（ｙ，￡），
（２）
ｌ“（ｚ，０，ｆ） 一ｆ３（ｚ，￡），ｕ（ｘ，１，￡）＝＾（ｚ，ｔ），
初始条件为
ｕ（ｘ，Ｙ，ｏ）＝ｆ（ｘ，歹），
（３）
其中，０≤ｚ，∥≤１，０≤ｔ≤Ｔ，￡＞０，ｋ１，惫２为常数．
在刻画流体运动的某些物理现象以及研究热的
ＡＢｄＣ—Ｎ格式的矩阵形式为 （Ｊ＋ｒＧｌ）Ｕ。＋１一（，一ｒＧ２）“。＋ｂｌ， （１３）
万方数据
图２ Ｆｉｇ．２
ＡＢｄＣ—Ｎ格式第（ｎ＋１），（竹＋２）层的几何设计 Ｔｈｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ＡＢｄＣ－Ｎ ｓｃｈｅｍｅ，（”＋ １）ｔｈ ａｎｄ（行＋２）ｔｈ ｌｅｖｅｌ
（Ｉ＋ｒＧ２）Ｕｎ＋２一（ｊ—ｒＧｌ）ａｎ－－１＋ｂ２． （１４）
带中差分格式（４）～（１２）的组合方式．很明显，ａ，ｂ
两个子带是不可以单独计算的，必须组成独立分带
（ＩＢｄ）才能独立计算．
下面给出ＡＢｄＣ—Ｎ格式的几何设计．
假设ｍ为奇数，令ｍ一１—２ｓＬ＋ｓ，其中Ｌ表示
独立分带（ＩＢｄ）的个数，Ｓ表示独立分带（ＩＢｄ）的规
模，如图２中的（ｎ＋１）所示．假设行为偶数，若不考
收稿日期：２００５—０８—１７． 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０４７１１２８）；国家８６３惯性约束聚变技术探索基金资助项目 作者简介：贾蠢涛（１９８０一），男，硕士研究生，主要从事微转方程数值解的研究．
万方数据
第２期
贾云涛，等：求解二维对流扩散方程的交替分带并行算法
４－（１＋ｓｒ）ｕｊ
４－０／１
ｒ
ｄ３Ⅲ汁１小什１一ａ４Ⅲ州＋１．州＝百ａｌ“Ｈ小Ｈ十
专ａｚ‰一，。＋（１一ｓｔ）‰一
（１１）
一一ａａ，１ⅢⅢｆ，．１，，，Ｍ斗州１一一÷ｉａａ２。““ｗ。＿１＿．１．科科１。十＋Ｌ（１ ４－３９ｒ）ｕ。Ⅵ。Ⅲ｝， ｝１一
专虿ａａ３。毗毗－＿¨１ｍ。”。＋】＋－一一口口４ａ俐俐ｈ。Ｊ……科科１一，虿一ａ号２“ａ。Ⅵ‰叱川，。ｒ十＋
ａａｌｌ俐俐ＨＨ。ｍ”，十。＋虿；口口２２Ｕｉ，ｊ－１，十 ｎ＋（Ｌ１１—一３ｓｔ）“。“¨，，。”十＋
｛虿ｊａａ。３甜甜汁ｍｌ小，，”，十。＋口口４４化化。ｚｊ，＋，什，１。川，
（Ｌ５８）Ｊ
—ａ１础ｒ＿１．，．“１一ａ２ ｒｕ…１．＾１＋（１＋３ｓｔ）“。．Ｈ】一
万方数据
丢ｉａａ３。““汁汁１小。。＂＋。１一＋，虿一口丢４口“。Ⅵ“＋１。·＋，什．１＝什ｏ上，一一（￡１一ｒ ￡Ｊ甜ｒ）ｗ‰，，ｎ十＋
鼍嚣７鹬穿
囊淡大学学缀《理学叛； 毒。盯ｎｈａｔｔｌ ｐｏｆ：／Ｚ／ｈｗｅｗｊｉｗａｎ．ｇｊ伽Ｕ，ｎｎｉｖａｌｅ。ｒ．ｓｉ硝ｔｙ凯（Ｓｅｄｃｉ珏ｅｎ．ｃ。ｅｎ／Ｅ。ｄ。ｉｉ２２。刖
ＶＭｏｌ。．，３．４。Ｎ删ｏ，２
求解二维对流扩散方程的交替分带并行算法
贾云涛１，孙方裕１，张 勇２ （１＋浙江大学数学系，游江抗努｜３１００２７；２．中国矿韭大学信息与电气工稷学院，江苏徐髑２２１００８）
似值“。卅，和甜。时。，将￡井，（￡删）层划分为若干个
独立的分带．一般来说，可以按照ｒ方向和ｙ一方向
将网格划分为规模大小不同的分带，为了计算方便，
通常把它设计为ｒ方向和ｙ一方向，分带规模大小是
一样的．图１给出了一个可以独立计算的独立分带
（ＩＢｄ），其中用●表示该点采用差分格式（９）～
（１２），用口表示该点采用差分格式（５）～（８），用●
ＡＳＣ—Ｎ（Ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇ Ｓｅｇｍｅｎｔ Ｃｒａｎｋ—Ｎｉｃｏｌｓｏｎ
ｍｅｔｈｏｄ）方法．作为对ＡＳＣ—Ｎ的推广，并借鉴文献 ［５］中对二维扩散问题的求解方法，把ｓａｕｌ’ｙｅｖ型 非对称差分格式和Ｃｒａｎｋ—Ｎｉｃｏｌｓｏｎ结合起来，构造 了一种薪的求解二维对流扩敖方程，露方程（１）酶并
ＡＧ琶（Ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇ Ｇｒｏｕｐ Ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｍｅｔｈｏｄ），ＡＢＣ，－Ｎ （Ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇ Ｂｌｏｃｋ Ｃｒａｎｋ—Ｎｉｃｏｌｓｏｎ ｍｅｔｈｏｄ），ＡＢｄＣ－Ｎ
（Ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇ Ｂａｎｄ Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ ｍｅｔｈｏｄ），文献Ｅ８］ 对一维的对流扩散方程也做了一些工作，构造了
『＿，计ｌ（１＋３ｅｒＵｉ
行算法．该方法绝对稳定，具有良好的并行性质，适 合在高性能的并行计算机上直接使用，且可推广到 非线性方程上去．数值实例表明该方法有很好的 精度．
１ 交替分带的Ｃ—Ｎ格式的构造
首先将区域（ｏ，１）×（ｏ，１）×（ｏ，Ｔ），记Ａ：ｃ，Ａｙ 和ｒ分别表示空间３２方向，ｙ方向和时间ｔ方向的网 格步长，为了计算方便，令Ａ：ｃ—Ａｙ—ｈ，其中ｈ一
号（ａｓｍ汁·。州＋口ａⅢ。扎计，）一
号（口·俐Ｈ。。＋Ｏｆ２俐ｉ，ｊ－－ｌ，ｎ）＋（１—２ｓｔ）‰，＋
专（ａ㈣蛳。＋ａ４础ｉ，ｊ＋ｌ，ｎ）．
（４）
在构造ＡＢｄＣ—Ｎ格式之前，还需要８个ｓａｕｌ’ｙｅｖ型 非对称差分格式
（１＋￡ｒ）“研．科，一号ａｓ“汁，。科，一号ａｎ“。＋，，计，一
ｄ１Ⅲｒ＿１，Ｍ＋口２俐ｉ，ｊ １，。＋（１—３ｅｒ）“ｈＪ，。＋
表示该点采用Ｃ—Ｎ格式（４）．每个独立分带是由ａ，ｂ
两个子带组成的．为了计算方便，假设ａ，ｂ两个子带
的规模均为Ｓ，ａ子带的网格点可以通过差分格式
（５），（６），（１１）（１２）和Ｃ—Ｎ格式（４）来计算，ｂ子带的
网格点可以通过差分格式（７）～（１０）和Ｃ—Ｎ格式
（４）来计算．图１（ａ），（ｂ）中分别给出了ａ，ｂ两个子
（Ｌｂ６，）
一一虿吾口口１１““ＨＨｍｍ什什１一ｌ一ｉａ丢２“ａ２ｆ‰． １，ｎ＋ｌ１ Ｌ 十
Ⅵ，计１一
丢虿ａａ１１甜甜Ｈ·ｆ＿，１·。＂．十虿。乜＋÷２“乜Ⅵ２一‰１ｔＨ”，十。Ｌ１＋一（１—３ｓ“ｔ）Ｗ‰，ｎＭ十＋
ａ３俐：＋ｌｍ。＋０１４ＦＵ“Ｊ＋１…
（７）
一号ａｚ甜州吨。＋，＋（１＋ｅｒ）“叫．井·～号ａ。“川。计·一
虑时间层，则第（，２＋１）层的内部节点包含： ｛（ｉ，歹）｝， ｉ，Ｊ一１，２，…，ｍ一１．
ａ子带的内部节点包含： （１，．『），…，（ｍ一１，歹），
Ｊ一２ｓｌ＋１，…，２ｓｌ＋Ｓ，Ｚ一０，１，２，…，Ｌ． ｂ子带的内部节点包含：
（１，Ｊ），…，（ｍ一１，Ｊ）， Ｊ一２ｓ（Ｚ一１）＋Ｓ＋１，…，２ｓｌ， Ｚ一１，２，…，Ｌ． 当ｍ一１３时，图２中的（咒＋１）给出了第（行＋１）层 的几何设计，虚线将独立分带（ＩＢｄ）和ａ，ｂ两个子带 区分开来．类似地，在第（ｎ＋２）层中，将ｂ一分带换为 驴分带，将矿分带换为ｂ一分带，即将差分格式中的 （５）～（８）对应换为（９）～（１２），将差分格式中的 （９）～（１２）对应换为（５）～（８），就可得到ＡＢｄＣ—Ｎ 格式在第（靠＋２）层的几何设计，如图２中的（，ｚ＋２） 所示．在第（挖＋１）层和第（咒＋２）层上交替使用式 （１３）和（１４），就可以得到求解方程（１）～（３）的 ＡＢｄＣ—Ｎ格式．
÷虿ａａ３幽“扎州，ｍ”＋十丢ｉａａ４４ Ｕｉ，ｊ＋ｌ，ｎ，’
（Ｌ。５）Ｊ
一虿Ｔ－ａ１Ｕｉ－１，ｊ，抖，＋（， １＋１ ｅｒ）ｕｗ，计，一寺０１ｒ ４Ｕｉ，ｊ＋ｌ，计，一
委Ｕｉ ｉ
ｌ，ｊ，ｎ
口口２２础础…一Ｊ‘～１１，ｔ”。＋十（１Ｌ—ｌ—３ｆＪｉｔ＂）％Ｊ’．“Ｊ㈨，”。十＋
ａ３３ⅢⅢ汁汁¨㈨．”。十＋要百ａ４ａＵ４ｉ，ｊ＋ｌ，ｎ，，
丢ｉａ３ａ“埘扎扎Ｍ，十＋虿丢ａａ４４“‰ｗ…＋１。．，¨
（Ｌ９））
一一虿 要ａａ１ｌＵｉ ｌ，ｊ，ｎ＋ｌ～口２ ｆｌ，计ｌ十Ｌ十
）“ “…ｗ，，计计ｌｌ— 一
ｒ
ｒ
０＇３ Ｆ／。ｉ＋Ⅵ，计１一虿ａｄ“ｗ上１．州５虿ａｌ“ＨⅢ”十
（１一∥）“。．。＋号ｄａ甜。＋－，。，
（１０）
一一丢百ａａｌ１““ＨｍＨ什ｍ什ｌ～１～ ÷ａ虿２“ａ２ｉ，ｊ－Ｉ，ｎ－－］十 ＋（１Ｌ＋１３十 ｅ－ｒ５）“）Ⅵ“，Ⅵ，计计１１一一
１５４
浙江大学学报（理学版）
第３４卷
（５）（６）（５）（６）
（ａ）
（ａ１）
（８） （７） （８） （７）
（９）（１ ｏ）（９）（１０）
（ｂ）
（ｂ１）
（ｎ＋１）
（ＩＢｄ）
图１ ＡＢｄＣ—Ｎ格式的独立分带（ＩＢｄ）和基本分带
Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｂａｎｄ（ＩＢｄ）ａｎｄ ｂａｓｉｃ ｂａｎｄ ｏｆ ＡＢｄＣ－Ｎ ｓｃｈｅｍｅ
传导、粒子的扩散问题时，常常归结为求勰对流一扩
教方程，因此研究对流一扩教方程酶求解方法具有缀
重要的现实意义．在求鼹方程（１）的差分方法中，Ｃ— Ｎ（Ｃｒａｎｋ—Ｎｉｃｏｌｓｏｎ）格式是无条｛譬稳定的，但叁予 Ｃ－Ｎ格式是隐式格式，需要解大型的线性方程组，不 适合并行计算．随着科学技术的发展，并行计算发挥 着越来越重要的作用．近年来，文献［１～７］针对扩散 方稷（一维和二维）挺窭了一系列的并行算法，爨螺
（１一￡ｒ）“，，Ｊ，。＋｛＿乜３ＭＨ．１．，，，，．
厶
（１２）
其中，ｒ—ｆ／＾２，ａｌ一￡＋忌ｌｈｉ２，口２一ｅ＋愚２ｈ／２，ａ３
一￡一点１ ｈ／Ｚ，口４一ｅ一忌２ｈ／Ｚ．
下面用以上给出的差分格式（４）～（１２），构造
交替分带的Ｃ—Ｎ格式．
假设方程（１）在ｔ。层上的近似值‰ｈ，，（ｉ，Ｊ一０， １，…，ｍ）已经给定，为了计算￡升，层和￡科：层上的近
ｈｉｇｈ ａｃｃｕｒａｃｙ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｎｖｅｃｔｉｏｎ－ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ；ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇ ｂａｎｄ Ｃｒａｎｋ—Ｎｉｅｏｌｓｏｎ ｓｃｈｅｍｅ；ｐａｒａｌｌｅｌ ｃｏｍｐｕ— ｔｉｎｇ
０引 言
考虑二维的对流一扩散方程
詈＋是，菘０ｕ＋是。苟Ｏｕ—ｅ ｏｅｕ ４－ｏ。２ｕ），㈤