人教A版高中数学必修五数列学生版

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
数 列 （A 班）
第1讲 数列的概念
考点1 数列的通项公式
题型1 已知数列的前几项，求通项公式 【例1】求下列数列的一个通项公式： ⑴
⑵
变式1、求下列数列的一个通项公式：
（1）
（2）,,21,15,10,6,3,1
题型2 已知数列的前n 项和，求通项公式
【例2】已知下列数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求它们的通项公式n a .
⑴n n S n 322
+=；
⑵
.
变式1、已知
为数列{}
n a 的前项和，且
，
求数列{}n a 的通项公式
题型3 已知数列的递推公式，求通项公式
（应用迭加（迭乘、迭代）法求通项或者构造等差数列或等比数列求通项公式）
【例3】数列{}
n a 中，，求
和数列{}n a 的通项公式
变式1、 ⑴已知数列{}
n a 中，
，求数列{}n a 的通项公式；
⑵已知
为数列{}
n a 的前项和，
，
，求数列{}n a 的通项公式.
变式2、已知数列{}
n a 中，
，求数列{}n a 的通项公式.
题型4 已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项
a中，.
【例4】数列{}
⑴是数列中的第几项？
⑵为何值时，有最小值？并求最小值.
变式1、数列{}n a中，.
⑴求这个数列的第10项；
⑵是否为该数列的项，为什么？
⑶求证：；
⑷在区间内有无数列的项，若有，有几项？若无，说明理由.
第2讲 等差数列
1. 等差数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数
，
这个数列叫做等差数列，常数为公差. 2、⑴通项公式
，
为首项，
为公差
⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=
或d n n na S n )1(2
1
1-+=. 3.等差中项：如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2 4.等差数列的判定方法 ： ⑴定义法：d a a n n =-+1
（+∈N n ，是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：21
2+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.
5.等差数列的常用性质： ⑴d m n a a m n
)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )
⑵若),,,(+∈+=+N q p n m q p n
m ，则q p n m a a a a +=+；
考点1等差数列的通项与前n 项和
题型1已知等差数列的某些项，求某些项 【例1】已知{}n a 为等差数列，20,86015
==a a ，则=75a
变式1：⑴已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；
⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n .
⑶数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .
变式2. 已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.
题型2求等差数列的前n 项和
【例2】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，2
12n n S n -=.
⑴求321a a a ++； ⑵求10321a a a a ++++ ； ⑶求n a a a a ++++ 321.
变式1、已知
n
S 为等差数列
{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；
变式2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，
327++=n n T S n n ，则=5
5b a .
变式3、.含12+n 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）
.
A n n 12+ .
B n n 1+ .
C n n 1
- .D n
n 21+
变式4、（倒序相加法求和）设2
21)(x
x x f +=，求： ⑴)4()3()2()()()(21
3141f f f f f f +++++； ⑵
).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++
考点2 等差数列的证明和综合应用
【例3】已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=
N n n
S b n
n .求证：数列{}n b 是等差数列.
变式1、n S 为数列{}n a 的前n 项和，n n S n 2
11212+=
；
数列{}n b 满足：113=b ，n n n b b b -=++122，前9项和为.153 ⑴求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； ⑵设n T 为数列{}n c 的前n 项和，)12)(112(6
--=n n n b a c ，求使不等式57
k T n >对+∈∀N n 都成立的最大正
整数k 的值.
第3讲 等比数列
1、等比数列的概念
一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，q 为公比.
2、 ⑴通项公式：1
1-=n n q a a ，
⑵前n 项和公式：①当1=q 时，
1na S n = ②当
时，.
3.等比中项：如果成等比数列，那么
叫做a 与b 的等比中项. 即成等比数列.
4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：
（
+∈N n ，
是常数）⇔{}n a 是等比数列；
⑵中项法：
(+∈N n )且⇔{}n a 是等比数列.
5.等比数列的常用性质 ⑴
⑵若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则；
⑶若等比数列{}
n a 的前n 项和n S ，则
、
、
、
是等比数列.
考点1等比数列的通项与前n 项和
题型1已知等比数列的某些项，求某项 【例1】已知{}
n a 为等比数列，，则
变式1、⑴已知为等比数列{}
n a 前项和，
，，公比，则项数 .
⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间
两数之和为，求这四个数.
变式2、已知
为等比数列{}
n a 前项和，
，，则 .
题型2 求等比数列前项和 【例2】（1）等比数列中从第5项到第10项的和.
a前项和，，求
（2）已知为等比数列{}
a前项和，，求
（3）（采用错位相减法求和）已知为等比数列{}
a为等比数列，，求的值.
变式1.已知{}
考点2 等比数列的证明和综合应用
例3】已知数列的首项，，…．证明：数列是等比数列；
变式1、已知数列满足，，.
⑴求数列的通项公式；⑵求数列的前项和；。