2013年高考真题分类汇编(理科数学)5：平面向量
2013高考数学试题分类汇编：专题08 平面向量(解析版)
专题08 平面向量一、选择题：1. (山东省济南市2013年1月高三上学期期末理10)非零向量,a b 使得||||||a b a b +=-成立的一个充分非必要条件是A. //a bB. 20a b +=C. ||||a ba b =D. a b =2．(山东省德州市2013年1月高三上学期期末校际联考理11)若12,e e是平面内夹角为60的两个单位向量，则向量12122,32a e e b e e =+=-+的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．90D ．1203. (山东省烟台市2013年1月高三上学期期末理6)在△ABC 中，AB=3,AC=2,1,2BD BC =uu u r uu u r则AD BD ⋅uuu r uu u r的值为A.52-B.52C.54-D.54【答案】C【解析】因为1,2BD BC =uu u r uu u r 所以点D 是BC 的中点，则1()2AD AB AC =+，11()22BD BC AC AB ==- ，所以11()()22AD BD AB AC AC AB ⋅=+⋅-2222115()(23)444AC AB =-=-=- ，选C.4. （山东省济宁市2013届高三1月份期末测试理8）已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，则PA PB PC AB ++=是点P 在线段AC 上的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（山东省诸城市2013届高三12月月考理）已知a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b不共线，且存在m ，n∈R 使c ma nb =+ 成立，若a 、b 、c的终点共线，则必有A ．m+n=0B ．m －n= 1C ．m+n =1D ．m+ n=－16. （山东省诸城市2013届高三12月月考理）若向量(1,2),(4,)a x b y =-= 相互垂直，则93x y +的最小值为 A ．6B ．23C ．32D ．127.（山东省青岛一中2013届高三1月调研理）已知两点(1,0),3),A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且120=∠AOC ，设2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R则等于A ．1-B ．２C ．1D ．2-8.（山东省诸城市2013届高三12月月考理）已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈。
2013年高考理科数学山东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共45页） 数学试卷 第2页（共45页） 数学试卷 第3页（共45页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共6页,满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立,那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a ,b ∈R ,i 是虚数单位,若i a -与2i b +互为共轭复数,则2(i)a b += ( )A .54i -B .54i +C .34i -D .34i + 2.设集合{||1|2}A x x =-<,{|2,[0,2]}x B y y x ==∈,则A B =( ) A .[0,2] B .(1,3)C .[1,3)D .(1,4) 3.函数()f x( )A .1(0,)2B .(2,)+∞C .1(0,)(2,)2+∞D .1(0,][2,)2+∞4.用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A .方程30x ax b ++=没有实根B .方程30x ax b ++=至多有一个实根C .方程30x ax b ++=至多有两个实根D .方程30x ax b ++=恰好有两个实根5.已知实数x ,y 满足x y a a <（01a <<）,则下列关系式恒成立的是( )A .221111x y >++ B .22ln(1)ln(1)x y +>+ C .sin sin x y >D .33x y >6.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.B.C .2D .47.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为 ( )A .6B .8C .12D .188.已知函数()|2|1f x x =-+,()g x kx =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( )A .1(0,)2B .1(,1)2C .(1,2)D .(2,)+∞9.已知x ,y 满足约束条件10,230,x y x y --⎧⎨--⎩≤≥当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值时,22a b +的最小值为( )A .5B .4CD .210.已知>0a b >,椭圆1C 的方程为22221x y a b +=,双曲线2C 的方程为22221x y a b-=,1C 与2C 的则2C 的渐近线方程为 ( )A.0x = B0y ±= C .20x y ±= D .20x y ±=第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.执行如图所示的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的n 的值为 .12.在ABC △中,已知t a n A B A C A = ,当π6A =时,ABC △的面积为 .13.三棱锥P ABC -中,D ,E 分别为PB ,PC 的中点,记三棱锥D ABE -的体积为1V ,P ABC -的体积为2V ,则12V V = . 14.若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20,则22a b +的最小值为 .15.已知函数()()y f x x =∈R .对函数()()y g x x I =∈,定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈,()y h x =满足：对任意x I ∈,两个点(,())x h x ,(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x是()g x =关于()3f x x b =+的“对称函数”,且()()h x g x >恒成立,则实数b 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.16.（本小题满分12分）已知向量a (,cos2)m x =,b (sin 2,)x n =,函数()f x =a b ,且()y f x =的图象过点π(12和点2π(,2)3-. （Ⅰ）求m ,n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ(0π)ϕ<<个单位后得到函数()y g x =的图象,若()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求()y g x =的单调递增区间.17.（本小题满分12分）姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共45页） 数学试卷 第5页（共45页） 数学试卷 第6页（共45页）如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是等腰梯形,60DAB ∠= ,AB =22CD =,M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：1C M 平面11A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.18.（本小题满分12分）乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域A ,B ,乙被划分为两个不相交的区域C ,D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次,落点在C 上记3分,在D 上记1分,其它情况记0分.对落点在A 上的来球,队员小明回球的落点在C 上的概率为12,在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球,小明回球的落点在C 上的概率为15,在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ,B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-,求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分13分）设函数2e 2()(ln )x f x k x x x =-+（k 为常数,e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时,求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点,求k 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时,ADF △为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1l l ,且1l 和C 有且只有一个公共点E . （ⅰ）证明：直线AE 过定点,并求出定点坐标；（ⅱ）ABE △的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由.3 / 15数学试卷 第10页（共45页） 数学试卷 第11页（共45页） 数学试卷 第12页（共45页）5 / 15数学试卷第16页（共45页）数学试卷第17页（共45页）数学试卷第18页（共45页）7 / 15数学试卷第22页（共45页）数学试卷第23页（共45页）数学试卷第24页（共45页）59 / 15数学试卷第28页（共45页）数学试卷第29页（共45页）数学试卷第30页（共45页）。
高考数学(理)真题专题汇编：平面向量
高考数学（理）真题专题汇编：平面向量一、选择题1.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ） 已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．－3 B ．－2C ．2D ．33.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ） 已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64.【来源】2018年高考真题——理科数学（天津卷）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅AE BE 的最小值为(A) 2116(B) 32(C) 2516(D) 35.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷II ） 已知向量a ，b 满足|a |=1，a ·b =－1，则a ·(2a －b )= A ．4B ．3C ．2D ．06.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ） 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=A.43AB －41ACB. 41AB －43AC C. 43AB ＋41AC D. 41AB ＋43AC7.【来源】2016年高考真题——理科数学（天津卷）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ）（A ）85-（B ）81（C ）41（D ）8118.【来源】2017年高考真题——数学（浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OB OA ⋅，I 2=OC OB ⋅，I 3=OD OC ⋅，则A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3 ＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ． I 2＜I 1＜I 39.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅲ卷）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3B ．22C 5D ．210.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅱ卷）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是（ ）A.-2B.23-C. 43-D.-111.【来源】2016年高考真题——理科数学（新课标Ⅱ卷）12.【来源】2014高考真题理科数学（福建卷）在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e二、填空题13.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.14.【来源】2019年高考真题——理科数学（天津卷）在四边形ABCD 中，,23,5,30ADBC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅= . 15.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅲ）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若25=-c a b ，则cos ,<>=a c ___________. 16.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．17.【来源】2019年高考真题——数学（江苏卷）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.18.【来源】2018年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________． 19.【来源】2018年高考真题——数学（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ． 20.【来源】2017年高考真题——数学（浙江卷）已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，则|a +b |+|a －b |的最小值是________，最大值是_______．21.【来源】2017年高考真题——数学（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，A （－12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，若20≤⋅PB PA ，则点P 的横坐标的取值范围是 .22.【来源】2017年高考真题——数学（江苏卷）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°。
13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编5：平面向量
【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编5：平面向量一、填空题1 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）如图,在等腰三角形ABC 中,已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点,且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 则MN 的最小值是_____.【答案】772 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）在△ABC 中,若AB =1,AC =3,||||AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r ,则||BA BC BC ⋅u u u r u u u r u u u r =________. 【答案】答案:12. 本题主要考查向量与解三角形的有关知识.满足||||AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r 的A ,B ,C 构成直角三角形的三个顶点,且∠A 为直角,于是BA BC ⋅u u u r u u u r =2BA u u u r =13 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）在ABC ∆中,已知AB=2,BC=3,60ABC ∠=︒,BD ⊥AC,D 为垂足,则BD BC ⋅u u u r u u u r 的值为____. 【答案】277 4 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知向量a r ,b r ,满足1a =r ,()(2)0a b a b +-=r r r r g ,则b r 的最小值为___________. 【答案】12AB M N ECF 第14题图5 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）在平面直角坐标系xOy中,(1,0)A ,函数x y e =的图像与y 轴的交点为B ,P 为函数xy e =图像上的任意一点,则OP AB u u u r u u u r g 的最小值_______.【答案】16 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知向量a r ,b r 的夹角为045,且1a =r ,210a b -=r r ,则b =r ________. 【答案】327 ．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知OA →=(3,-1),OB →=(0,2).若OC →·AB →=0,AC →=λOB →,则实数λ的值为________.【答案】28 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知向量a r ,b r 满足()22,4a b +=-r r ,()38,16a b -=-r r ,则向量a r ,b r 的夹角的大小为______.【答案】p9 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知向量(12,2)a x =-r ,()2,1b -r=,若a b ⊥r r ,则实数x =______.【答案】0;10．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）若1e ,2e 是两个单位向量,212e e a -=,2145e e b +=,且a ⊥b ,则1e ,2e 的夹角为________.【答案】23π 11．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知圆(x -1)2+(y -1)2=4,C 为圆心,点P 为圆上任意一点,则OP CP ⋅u u u r u u u r 的最大值为____.【答案】4+22;12．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）在平面四边形ABCD 中,点E ,F 分别是边AD ,BC 的中点,且AB 1=,2EF =,CD 3=.若15AD BC ⋅=uuu r uu u r ,则AC BD ⋅uuu r uu u r 的值为______.【答案】1313．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）在平面直角坐标系中,已知向量AB uur = (2,1),向量AC uuu r = (3,5),则向量BC uu u r 的坐标为____.【答案】(1,4)14．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知向量a=(-2,2), b= (5,k).若|la+b|不超过5,则k 的取值范围是________.【答案】[6,2]-15．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知向量()()k b a ,1,1,2-==,若b a ⊥,则k 等于____.【答案】216．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）如图, 在等腰三角形ABC中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB =u u u r u u u r , 若12BD AC ⋅=-u u u r u u u r , 则AB CE ⋅= .【答案】017．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）在菱形ABCD中,23AB =,23B π∠=,3BC BE =u u u r u u u r ,3DA DF =u u u r u u u r ,则EF AC ⋅=u u u r u u u r ______. 【答案】12-;18．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知向量a r ,b r 满足2a =r ,1b =r ,且对一切实数x ,a xb a b +≥+r r r r 恒成立,则a r 与b r 的夹角大小为______.【答案】34π 二、解答题 19．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）已知向量a=(cos λθ,cos(10)λθ-),b=(sin(10)λθ-,sin λθ),,R λθ∈(1)求22a b +r r 的值; (2)若a b ⊥r r ,求θ;(3)20πθ=,求证:a b r r P 【答案】(1)∵|a ρ|=cos 2λθ+cos 2(10-λ)θ ,|b ρ|=sin 2(10-λ)θ+sin 2λθ (算1个得1分)|a ρ|2+|b ρ|2=2,(2)∵a ρ⊥b ρ,∴cos λθ·sin(10-λ)θ +cos(10-λ) θ·sin λθ=0∴sin((10-λ) θ+λθ)=0,∴sin10θ=0∴10θ=k π,k ∈Z,∴θ=10πk ,k ∈Z (3)∵θ=20π, cos λθ·sin λθ-cos(10-λ) θ·sin[(10-λ) θ] =cos 20λπ·sin 20λπ-cos(2π-20λπ)·sin(2π-20λπ) =cos 20λπ·sin 20λπ-sin 20λπ·cos 20λπ=0, ∴a ρ∥b ρ。
专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =． 故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+． 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美 人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金 分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】 答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点 在中，有即所以圆的方程为 可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以 其中， 所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ． 另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即 ， ，所以，设 ，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离， ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ． 法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高． 即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，． 两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3． 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为 解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通 法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大． 【考点】 平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ． 考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积 难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题 二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题 三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-． 解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________． 【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23． 【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ． 【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=． 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________． 【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以 所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题 【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______． 【答案】 解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想 难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算 难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____． 【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2． 考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。
2013年高考试题分类汇编(平面向量)
2013年高考试题分类汇编（平面向量）考点1 平面向量基本定理1.（2013·广东卷·理科）设a 是已知的平面向量且0a ≠.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ,总存在向量c ，使a b c =+；②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+；③给定向量b 和正数，总存在单位向量c ,使a b c λμ=+.④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ,使a b c λμ=+.上述命题中的向量b , c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A.1B.2C.3D.42.（2013·陕西卷·理科）设,a b 为向量，则“a b a b ⋅=”是“a b ∥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.（2013·北京卷·理科）向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示， 若c a b λμ=+(,)R λμ∈，则λμ= .4.（2013·江苏卷）设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 . 考点2 平面向量基本运算1.（2013·安徽卷·理科）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ==⋅=则点集{},1,,|P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是a b cA.2.在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==，12AP AB AB =+．若12OP <，则OA的取值范围是A.B.C.D. 3.（2013·安徽卷·文科）若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则a 与b 夹角的余弦值为 . 4.（2013·江西卷·理科）设12 e e ，为单位向量。
2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数 学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．复数的1i 1z =-模为 ( ) A.12B.22C.2D.2【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数，利用2i 1=-对复数进行化简，然后再求模.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】111112i,i i 12222z z ==--∴=--=-. 2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}|2B x x =，则 A B = （ ）A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了对数不等式及交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】{}{}4|0log 1|14A x x x x =<<=<<，{}|2B x x =，{}{}{}14212A B x x x x x x ∴=<<=<.3．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB 同方向的单位向量为 （ ）A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【测量目标】向量的基本概念.【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】()3,4AB =-，则与其同方向的单位向量34(,)55ABAB==-e . 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；3p ：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； 4p ：数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为 （ ）A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出d >0的等差数列，求数列的增减性. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】根据等差数列的性质判定.0d >,∴1n n a a +>,∴1p 是真命题， （步骤1）1n n +>,但是n a 的符号不知道，∴2p 是假命题. （步骤2）同理3p 是假命题.13(1)340n n a n d a nd d +++--=>,∴4p 是真命题. （步骤3）5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)20,40,40,60， [)[)60,80,80,100，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 （ ） A.45 B.50 C.55 D.60第5题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是00050012003...+⨯=（），所以该班的学生人数是15500.3=. 6．在ABC △上，角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠= ( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式.【考查方式】给出三角形各边长及角和边长的公式，求角. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得sin sin cos A B C +1sin sin cos sin 2C B A B =, （步骤1）又sin 0B ≠,∴ sin cos A C +1sin cos 2C A =,∴1sin sin 2(A C )B +==.（步骤2）a b >,∴π6B ∠=. （步骤3） 7．使得()3nx n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项的最小的n 为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查了二项展开式的通项公式. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解.()521=C 3C 3rn r n rr r n r r nn T x x x x ---+= ⎪⎝⎭，当1r T +是 常数项时，502n r -=，当2r =，5n =时成立. 8．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S = （ ）A ．511B ．1011C ．3655D ．7255第8题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出输入值10n =，求输出值S . 【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题解析】13S =，410i =<， 21123415S ∴=+=-，610i =<，（步骤1）22135617S ∴=+=-， 8<10i =，23147819S ∴=+=-，1010i ==，2415910111S ∴=+=-，1210i =>，输出S . （步骤2）9．已知点()()()30,0,0,,,.O A b B a a 若OAB △为直角三角形，则必有 （ ）A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= 【测量目标】直线的倾斜角与斜率.【考查方式】给出三点坐标，由三角形l 的边的性质，求出,a b 之间的关系.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；（步骤1）若π2A ∠=，则30b a =≠，若π2B ∠=，根据斜率关系可知 321a b a a -=-，3()1a a b ∴-=-，即310b a a--=.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件.（步骤2）10．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）A．2 B ．．132D ．【测量目标】立体几何的综合问题.【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】根据球的接三棱柱的性质求解.直三棱柱中13412AB ,AC ,AA ,===AB AC ⊥,∴5BC =,且BC 为过底面ABC 是截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面11BCC B ，矩形11BCC B 的对角线长即为球直径，∴213R =,即132R =.11．已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+.设1()H x ()(){}max ,f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =，{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最小值为B ，则A B -=( )A.2216a a --B.2216a a +- C.16- D.16【测量目标】二次函数的图象与性质.【考查方式】给出两函数解析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】根据二次函数图象的特征解决.由()()f x g x =，得2()4x a -= ， （步骤1）∴当2x a =-和2x a =+时，两函数值相等.()f x 图象为开口向上的抛物线，()g x 图象为开口向下的抛物线，两图象在2x a =-和2x a =+处相交，则1()H x =()(2),()(22),()(2),f x x ag x a x a f x x a -⎧⎪-<<+⎨⎪+⎩2()(2),()()(22),()(2),g x x a H x f x a x a g x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩ （步骤2）∴1min ()(2)44A H x f a a ==+=--，2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+，∴16.A B -=-（步骤3）12．设函数()f x 满足()()2e 2x xf x xf x x '+=，()2e 28f =，则0x >时，()f x （ ）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力.通过导数判断函数单调性，考查知识的 灵活应用能力. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】由题意知2'33e 2()e 2()()x x f x x f x f x x x x-=-=.（步骤1） 令2()e 2()x g x x f x =-，则()222e 2()e 2()4()e 2()2()e e 1x xxxx g x x f x xf x x f x xf x x x ⎛⎫'''=--=-+=-=- ⎪⎝⎭.（步骤2）由()0g x '=得2x =，当2x =时，222mine ()e 2208g x =-⨯⨯=，即()0g x ，则当0x >时，3()()0g x f x x'=，（步骤3） 故()f x 在()0,+∞上单调递增，既无极大值也无极小值.（步骤4） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .第13题图【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，求体积. 【难易程度】容易 【参考答案】16π16-【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为 4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π16.- 14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .【测量目标】等比数列及其性质，等比数列的前n 项和.【考查方式】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数 列为递增数列求出数列的前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】63 【试题分析】13,a a 是方程2540x x -+=的两个根，且数列｛}n a 是递增的等比数列，∴131,4,2,a a q ===661263.12S -==-15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F 椭圆C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,AF BF ，若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则C 的离心率e = . 【测量目标】余弦定理，椭圆的简单几何性质.【考查方式】画图表示椭圆及直线位置，通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数，考查数形结合的能力.【难易程度】中等 【参考答案】57【试题解析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为1F ，直线过原点，16AF BF ∴==,BO AO =.（步骤1）在ABF △中，设BF x =，由余弦定理得24361002105x x =+-⨯⨯，（步骤2） 解得8x =，即8BF =.90BFA ∴∠=,ABF ∴△是直角三角形，（步骤3）26814a ∴=+=,即7a =.（步骤4）又在Rt ABF △中，BO AO =，152OF AB ∴==，即5c =，（步骤5） 57e ∴=.（步骤6） 16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组 的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的 最大值为 .【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数，求样本数据中的最大值. 【难易程度】较难 【参考答案】10【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知2222212345123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个整数的平方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）设向量)()π,sin ,cos ,sin ,0,.2x x x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a b（I ）若=a b 求x 的值； （Ⅱ）设函数()f x =a b ，求()f x 的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值. 【考查方式】给出两向量坐标，两向量模的关系，函数与向量的关系，求x 的值，函数的最大值. 【难易程度】容易 【试题解析】（Ⅰ）2222222(3sin )sin 4sin ,cos sin 1,x x x x x =+==+=a b ,=a b∴24sin 1.x = （步骤1）又x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴1sin ,2x =∴π6x =. （步骤2）（Ⅱ）()3sin f x x ==a b 2311π1cos sin sin 2cos 2sin(2),2262x x x x x +=-+=-+ ∴当π3x =∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，πsin(2)6x -取最大值1. （步骤3） ∴()f x 的最大值为32. （步骤4）18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点. （I ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（II ）若2AB AC PA ===，1，1,求证：二面角C PB A --的余弦值.第18题图【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系和空间向量及其运算.【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活应用能力，空间直角坐标系的建立考查空间想象能力及运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥,（步骤1） 由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA BC ⊥,又PA AC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,BC ∴⊥平面PAC BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC .（步骤2）(Ⅱ)解法一：如图（1），以点C 为坐标原点，分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 在Rt ABC △中,2AB =,1AC =,3BC ∴=又1PA =,()0,1,0A ∴,)3,0,0B,()0,1,1P .（步骤3）故()3,0,0CB =,()0,1,1CP =.设平面BCP 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0,CB CP ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n 11130,0,x y z ⎧=⎪∴⎨+=⎪⎩不妨令11y =，则()10,1,1=-n .（步骤4）()0,0,1AP =,()3,1,0AB =-,设平面ABP 的法向量为()2222,,x y z =n ,则220,0,AP AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 2220,30,z x y =⎧⎪∴⎨-=⎪⎩（步骤5） 不妨令21x =，则()21,3,0=n . 于是1236cos ,422==n n . 由图（1）知二面角C —PB —A 为锐角，故二面角C —PB —A 的余弦值为64.（步骤6）第18题图（1）解法二：如图（2），过C 作CM AB ⊥于M ，PA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,PA CM ∴⊥.又PA AB A =,且PA ⊂平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,CM ∴⊥平面PAB . 过M 作MN PB ⊥于N ,连接NC ,由三垂线定理得CN PB ⊥ CNM ∴∠为二面角C —PB —A 的平面角.（步骤3） 在Rt ABC △中,由2AB =,1AC =,得3BC =,32CM =,32BM =. 在Rt PAB △中,由2AB =,1PA =,得5PB =.Rt BNM △∽Rt BAP △,3215MN∴=,35MN ∴=.（步骤4） ∴在Rt CNM △中,30CN =,6cos CNM ∴∠=,∴二面角C —PB —A 的余弦值为6.（步骤5）第18题图（2）19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，同学从中任取3道题解答.（I ）求同学至少取到1道乙类题的概率；（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立.用X 表示同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.【测量目标】古典概型，互斥事件与对立事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】至少类问题反面求解考查转化化归能力，分布列及数学期望的求解考查运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】 (1)设事件A =“同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A = “同学所取的3道题都是甲类题”．()36310C 1C 6P A ==，()()516P A P A ∴=-=.（步骤1）(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.（步骤2）()020232140=C 555125P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（步骤3） ()11021022321324281C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤4） ()2112122321324572C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤5） ()222324363C 555125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（步骤6） X ∴的分布列为：X 0 12 3P4125 28125 5712536125（步骤7）()428573601232125125125125E X ∴⨯⨯⨯⨯=＝＋＋＋.（步骤8）20．（本小题满分12分）如图，抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ），012x =-，切线MA的斜率为12-.（I ）求p 的值；（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为第20题图【测量目标】导数的几何意义，圆锥曲线的轨迹方程.【考查方式】给出两抛物线方程，利用导数的几何意义及坐标中点与直线的关系求解；利用椭圆与直 线的位置关系及待定系数法求解. 【难易程度】中等 【试题解析】（Ⅰ）抛物线21:4C x y =上任意一点（,)x y 的切线斜率为'2xy =，且切线MA 的斜率为12-，∴A 点坐标为（1-，14）， （步骤1） ∴切线MA 的方程为11(1)24y x =-++. (步骤2).点M （01)y 在切线MA 及抛物线2C 上，∴0113(2244y -=--+=-①20(1322y p p-=-=-② （步骤3）由①②得2p =. （步骤4）（Ⅱ）设22121212(,),(,),(,),,44x x N x y A x B x x x ≠N 为线段AB 中点∴122x x x +=，③22128x x y +=.④ （步骤5） ∴切线MA,MB 的方程为2111()24x x y x x =-+，⑤2222()24x x y x x =-+.⑥ （步骤6）由⑤⑥得MA,MB 的交点M （00,)x y 的坐标为121200,.24x x x xx y +== （步骤7）点M （00,)x y 在2C 上，即200,4x y =-∴221212.6x x x x +=-⑦ （步骤8） 由③④⑦得24,0.3x y x =≠ （步骤9）当12x x =时，A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O ，坐标满足24.3x y =∴AB 中点N 的轨迹方程为24.3x y = （步骤10）21．（本小题满分12分）已知函数()()21e xf x x -=+，()312cos 2x g x ax x x =+++.当[]0,1x ∈时， （I ）求证：()111x f x x-+ ；（II ）若()()f x g x 恒成立，数a 取值围.【测量目标】利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题.【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法，通过导数证明，考查简单的转化化归能力；第二问的两种解法都对转化化归能力进一步升级考查，解法一利用第一问的结论进行转化，解法二通过构造函数，两次利用导数转化. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)证明：要证[]0,1x ∈时，()21e 1xx x -+-，只需证明()()1e 1e x x x x -+-.（步骤1） 记()()(1)e 1e xx h x x x -=--＋，则()()e e x x h x x -'=-，（步骤2） 当()0,1x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在[]0,1上是增函数，（步骤3） 故()()00h x h =.所以()[]10,1f x x x ∈－，．（步骤4） 要证[]0,1x ∈时，21(1)e 1xx x-+＋，只需证明e1x x ＋.（步骤5）记()e 1x K x x =--，则()e 1x K x '=-，（步骤6）当()0,1x ∈时，()0K x '>，因此()K x 在[]0,1上是增函数，（步骤7） 故()()00K x K =.所以()11f x x+，[]0,1x ∈．（步骤8） 综上，()111xf x x-+，[]0,1x ∈．（步骤9） (Ⅱ)解法一：()()32(1)e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭＋3112cos 2x x ax x x -----2(12cos )2x x a x =-＋＋＋．（步骤10）设()22cos 2x G x x =＋，则()2sin G x x x '=-.（步骤11） 记()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，（步骤12）当()0,1x ∈时，()0H x '<，于是()G x '在[]0,1上是减函数，（步骤13）从而当()0,1x ∈时，()()00G x G ''<=，故()G x 在[]0,1上是减函数．（步骤14） 于是()()02G x G =，从而()13a G x a ＋＋＋.（步骤15）所以，当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤16） 下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()3112cos 12x f x g x ax x x x -----+ 32cos 12x x ax x x x -=---+ 212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，（步骤17）记()2112cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++， 则()21()(1)I x G x x -''=++，（步骤18） 当()0,1x ∈时，()0I x '<，故()I x 在[]0,1上是减函数，（步骤19）于是()I x 在[]0,1上的值域为[12cos 13]a a ＋＋，＋．（步骤20）因为当3a >-时，3>0a ＋，()00,1x ∴∃∈，使得()00I x >，（步骤21） 此时()()00f x g x <，即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22） 综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23） 解法二：先证当[]0,1x ∈时，22111cos 124x xx --.（步骤10）记()21cos 12F x x x =-＋，则()sin F x x x '=-＋.（步骤11）记()sin G x x x =-＋，则()cos 1G x x '=-＋，（步骤12） 当()0,1x ∈时，()0G x '>，于是()G x 在[]0,1上是增函数，（步骤13）因此当()0,1x ∈时，()()00G x G >=，从而()F x 在[]0,1上是增函数．（步骤14）因此()()00F x F =，所以当[]0,1x ∈时，211cos 2x x -.（步骤15）同理可证，当[]0,1x ∈时，21cos 14x x -.（步骤16）综上，当[]0,1x ∈时，22111cos 124x x x --.（步骤17）当[]0,1x ∈时，()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭321(1)12124x x ax x x ⎛⎫------ ⎪⎝⎭()3a x =-+.（步骤18）所以当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤19） 下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭3211121122x ax x x x ⎛⎫----- ⎪+⎝⎭ 23(3)12x x a x x =+-++ 32(3)23x x a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（步骤20） ()00,1x ∴∃∈ (例如0x 取33a +和12中的较小值)满足()()00f x g x <．（步骤21） 即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22）综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23）请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为半圆O 的直径，直线CD 与半圆O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 与F ，连接,AE BE .证明：（I ）FEB CEB ∠=∠； （II ）2.EF AD BC =⋅第22题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系，根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形 的全等和线段间的关系求解. 【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)直线CD 与⊙O 相切，∴.CEB EAB ∠=∠ （步骤1）AB 为⊙O 的直径，∴AE EB ⊥,∴π2EAB EBF ∠+∠=； （步骤2） 又EF AB ⊥,∴π2FEB EBF ∠+∠=. （步骤3） ∴FEB EAB ∠=∠.∴.FEB CEB ∠=∠ （步骤4）（Ⅱ）BC CE ⊥,EF AB ⊥,,FEB CEB BE ∠=∠是公共边， ∴Rt BCE △≌Rt BFE △,∴BC BF =. （步骤5）类似可证Rt ADE △≌Rt AFE △,得AD AF =. （步骤6）又在Rt AEB △中，EF AB ⊥,∴2EF AF BF =，∴2EF AD BC =. （步骤7）23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为π4sin ,cos 2 2.4ρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（I ）求1C 与2C 交点的极坐标；（II ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t ∈R 为参数），求,a b 的值.【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】给出各直线的极坐标方程或参数方程，联立1C 与2C 方程求交点；由参数方程的性质求 解.【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)圆1C 的直角坐标方程为2224x y +-=（），直线2C 的直角坐标方程为40x y -+=. 解222440x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩（），，得1104x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=⎩， (步骤1) ∴1C 与2C 交点的极坐标为ππ42224⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. （步骤2） 注：极坐标系下点的表示不是唯一的.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为()()0213，，，.∴直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+=， (步骤3)由参数方程可得b aby x 22=-+1. （步骤4）∴12122b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，，解得12a b =-⎧⎨=⎩，. （步骤5）24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，其中1a >. （I ）当=2a 时，求不等式()fx 4x a --的解集；（II ）已知关于x 的不等式(2)2()f x a f x +-2的解集为{1xx}2，求a 的值.【测量目标】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法.【考查方式】给出函数方程，求不等式的解集.再给出不等式的解集，求未知数a 的值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）当2a =时，2624224264x x fx x x x x .-+⎧⎪+-=<<⎨⎪-⎩，，（），，， (步骤1) 当2x时，由4f x x -（）4-得264x -+，解得1x ； （步骤2） 当24x <<时，44f x x --（）无解； （步骤3） 当4x时，由44f x x --（）得264x -，解得5x. （步骤4）∴44f x x --（） 的解集为{1x x或}5x. （步骤5）（2）记22h x f x a f x =+-（）（）（），则204202a x h x x a x a a x a.-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，，（），，， （步骤6）由2h x （），解得1122a a x-+. （步骤7） 又2h x （）的解集为{}12x x ，∴112122a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，， ∴3a =. （步骤8）。
十年高考数学真题分类汇编 专题15 平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理(解析版)
专题15 平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理十年大数据*全景展示平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件主要考查平面向量的线性运算及向量共线的充要条件平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件考点47平面向量的概念与线性运算1．（2014新课标I ，文6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA. BC B ． 12AD C ． AD D ． 12BC 【答案】C【解析】=+FC EB 11()()22CB AB BC AC +++=1()2AB AC +=AD ，故选C ． 2．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)==e eB ．12(1,2),(5,2)=-=-e eC ．12(3,5),(6,10)==e eD ．12(2,3),(2,3)=-=-e e【答案】B【解析】对于A ，C ，D ，都有1e ∥2e ，所以只有B 成立．考点48平面向量基本定理及其应用1．（2020江苏13）在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ．【答案】185【解析】由向量系数33()22m m +-=为常数，结合等和线性质可知321PAPD =，故263PD PA ==，3AD PA PD AC =-==，故C CDA ∠=∠，故2CAD C π∠=-． 在ABC ∆中，3cos 5AC C BC ==；在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin CD ADCAD C=∠， 即sin(2)sin 23182cos 23sin sin 55C C CD AD AD C AD C C π-=⋅=⋅=⋅=⨯⨯=．2．（2018•新课标Ⅰ，理6文7）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB = ) A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】A【解析】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，∴12EB AB AE AB AD =-=- 11()22AB AB AC =-⨯+3144AB AC =-，故选A ．3．（2015新课标Ⅰ，理7）设D 为?ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 4．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数和，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c 和实数，使λμ=+a b c ； ④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题．综上，本题选B ．5．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45．若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m n += ．λμμλλμa μλb =+λμλμ+≥b c a【答案】3【解析】由可得72sin 10α=，，由OC =m OA +n OB 得22OC OA mOA nOB OA OC OB mOB OA nOB⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩，即2cos cos(45)2cos 45cos(45)m n m n ααα⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，两式相加得，2(cos cos 45)()(1cos(45))m n αα+=+++，所以22222cos 2cos 4510231cos(45)227221102102m n αα⨯+⨯++===+++⨯-⨯，所以． 6．（2013北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (λ，μ∈R )，则= ．【答案】4【解析】 如图建立坐标系，则()1,1a =-，()6,2b =，()1,3c =-．由c a b λμ=+，可得12,2λμ=-=-，∴4λμ=7．(2015北京)在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =，若MN x AB y AC =+，则x =tan 7α=2cos 10α=3m n +=λμ；y = ．【答案】12 16【解析】由1111()3232MN MC CN AC CB AC AB AC =+=+=+-1126AB AC =- =x AB y AC +．所以12x，16y ． 考点49平面向量的坐标运算及平面向量共线的充要条件1．（2019•新课标Ⅱ，文3）已知向量(2,3)a =，(3,2)b =，则||(a b -= ) AB ．2C ．D ．50【答案】A【解析】(2,3)a =，(3,2)b =，∴(2a b -=，3)(3-，2)(1=-，1)，2||(1)a b ∴-=-故选A ． 2．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】，所以，这样同方向的单位向量是． 3．（2011广东）已知向量a =（1，2），b =（1，0），c =（3，4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=124．（2018•新课标Ⅲ，理13）已知向量(1,2)a =，(2,2)b =-，(1,)c λ=．若//(2)c a b +，则λ= ． 【答案】12【解析】向量(1,2)a =，(2,2)b =-，∴2(4,2)a b +=，(1,)c λ=，//(2)c a b +，∴142λ=，解得12λ=．5．(2016新课标，文13) 已知向量a =(m ，4)，b =(3，−2)，且a ∥b ，则m =___________．【答案】6-3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3,4)AB =-||5AB =134(,)555AB =-【解析】因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．6．（2015•新课标Ⅱ，理13）设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ= ． 【答案】12【解析】向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，(2)2a b t a b ta tb λ∴+=+=+， ∴12t tλ=⎧⎨=⎩，解得实数12λ=．7．(2015江苏)已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n - 的值为___． 【答案】－3【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-8．(2014北京)已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=__．【解析】∵||1=a ，∴可令(cos ,sin )θθ=a ，∵0λ+=a b ，∴cos 20sin 10λθλθ+=⎧⎨+=⎩，即2cos 1sin θλθλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得25λ=得||λ=9．（2014陕西）设20πθ<<，向量()sin 2cos θθ=，a ，()cos 1θ，b ，若∥a b ，则=θtan _______．【答案】12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cosθθ=，∴22sin cos cos θθθ=，∵(0,)2πθ∈，∴1tan 2θ=．。
【十年高考】24-2013年高考数学真题分类汇编(教师自己整理)：平面向量
平面向量一、选择填空题1.（江苏2003年5分）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P AB ACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的【】A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 。
【考点】向量的线性运算性质及几何意义。
【分析】∵AB AB、AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，∴AB ACAB AC +的方向与∠BAC 的角平分线一致。
再由()AB ACOP OA AB ACλ=++可得到()AB AC OP OA AB AC λ-=+ ，即()AB ACAP AB ACλ=+可得答案：向量AP 的方向与∠BAC的角平分线一致。
∴一定通过△ABC 的内心。
故选B 。
2.（江苏2004年4分）平面向量b a ,中，已知a =(4，－3)，b =1，且b a ⋅=5，则向量b = ▲ . 【答案】43, 53⎛⎫- ⎪⎝⎭。
【考点】平面向量数量积的运算。
【分析】∵a =(4，－3)，∴5a =。
又∵b =1，b a ⋅=5，∴5cos , 151a b a b a b ⋅===⨯⋅。
∴, a b 同向。
∴()1143 4, 3, 5553b a ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ 。
3.（江苏2005年4分）在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则OA (OB OC )⋅+的最小值是 ▲ 【答案】－2。
【考点】向量与解析几何的综合应用。
【分析】如图，由向量的运算法则，得OA (OB OC)2OA OM 2OA OM ⋅+=⋅⋅=-⋅。
设OA x = ，则由AM=2得，OM 2x =-。
则()()22OA (OB OC)2224212x x x x x ⋅+=--=-=-- 。
∴当x =1时，OA (OB OC)⋅+有最小值－2。
4.（江苏2006年5分）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ||MP |MN NP 0⋅+⋅=，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为【 】（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= 【答案】B 。
2013年湖南高考理科数学试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()i 1i z =+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【测量目标】复数乘法的运算法则,复数集与复平面上的点对应关系. 【考查方式】利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】i (1i)1i z =+=-+∴复数z 对应复平面上的点是(1,1),-该点位于第二象限.2.某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 （ ） A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法 【测量目标】分层抽样.【考查方式】给出实际案例，判断其解决问题的方法属于四种抽样方法的哪一种. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法. 3.在锐角中ABC △，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b =则角A 等于（ ）A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π3【测量目标】正弦定理.【考查方式】给出三角形中的边角关系，运用正弦定理求解未知角. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】在ABC △中，2sin ,2sin a R A b R B ==(R 为ABC △的外接圆半径).（步骤1）2sin 3,2sin sin 3.a B b A B B =∴=3sin A ∴=（步骤2）又ABC △为锐角三角形，π3A ∴=.（步骤3）4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．52-B ．0C ．53D ．52【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】利用线性规划知识求目标函数的最值问题. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】根据不等式组作出其平面区域，令2,z x y =+结合2z x y =+的特征求解.不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，（步骤1）平行移动11,22y x z =-+可知该直线经过2y x =与1x y +=的交点12(,)33A 时，z 有最大值为145=333+.（步骤2）第4题图5.函数()2ln f x x =的图象与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【测量目标】函数图象的应用.【考查方式】先作出常见函数图象再确定其图象交点个数. 【难易程度】中等 【参考答案】B 【试题解析】22()45(2)1,g x x x x =-+=-+又当2x =时，()2ln 2ln 41,f x ==>（步骤1）在同一直角坐标系内画出函数()2ln f x x =与2()45g x x x =-+的图象，如图所示，可知()f x 与()g x 有2个不同的交点.（步骤2）第5题图6. 已知,a b 是单位向量，0=a b .若向量c 满足1,--=c a b 则c 的取值范围是（ ）A ．22+1⎡⎤⎣⎦B ．22+2⎡⎤⎣⎦C ．2+1⎡⎤⎣⎦D ．2+2⎡⎤⎣⎦【测量目标】向量数量积的运算及定义、向量加法的几何意义.【考查方式】将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律以及向量数量积定义的求解. 【难易程度】较难 【参考答案】A3 / 13【试题解析】由题意，不妨令(0,1),(1,0),(,)x y ===a b c ，由1--=c a b 得22(1)(1)1x y -+-=，（步骤1）22x y =+c 可看做(,)x y 到原点的距离，而点(,)x y 在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．（步骤2）如图所示，当点(,)x y 在位置P 时到原点的距离最近，在位置P '时最远，而21PO =-,21P O '=+，故选A ．（步骤3）第6题图 7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B ．2 C ．212- D ．2+12【测量目标】空间几何体三视图.【考查方式】根据正方体的正视图的形状来求解其面积值. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为2cos θ，如图所示．故正视图的面积为π2cos (0)4S θθ=，∴12S ，而21<12-，故面积不可能等于212-.第7题图8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到点P （如图）.若光线QR 经过ABC △的重心，则AP 等于（ ）第8题图A ．2B ．1C ．83D ．43【测量目标】直线的斜率，直线的方程.【考查方式】已知一个三角形的边长关系，建立平面直角坐标系求解未知边的值. 【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题解析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．（步骤1）设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭.设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，（步骤2）因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴12P D P D k k =，即4443344433mm -+=+-，（步骤3）解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去．∴43m =.（步骤4）第8题图二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xOy 中，若:x t l y t a =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，过椭圆C 3cos :2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点，则常数a 的值为 .【测量目标】参数方程的转化，椭圆的简单几何性质.【考查方式】先将参数方程化为普通方程后求解，再运用椭圆的简单几何性质求出未知参数. 【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为22194x y +=，（步骤1）所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3. （步骤2） 10.已知,,,236,a b c a b c ∈++=R 则22249a b c ++的最小值为 . 【测量目标】柯西不等式，最值问题.【考查方式】使用柯西不等式化简式子求其最值. 【难易程度】中等 【参考答案】12【试题解析】由柯西不等式得2222222(111)(49)(23)a b c a b c ++++++，即22241912a b c++，（步骤1）当232a b c ===时等号成立，所以222419a b c ++的最小值为12. （步骤2） 11.7的O 中,弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为 .5 /13第11题图【测量目标】圆的相交弦定理及圆的弦的性质，解三角形.【考查方式】由相交弦定理求出圆内线段的长再根据弦的性质求解三角形中未知数. 【难易程度】中等【参考答案】32【试题解析】如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知PD PC PA PB =，（步骤1）所以PC ＝4，CD ＝5，则CE ＝52，OC ＝7.（步骤2）所以O 到CD 距离为2253722OE ⎛⎫=()-= ⎪⎝⎭.（步骤3）第11题图必做题（12-16题）12.若20d 9,Tx x =⎰则常数T 的值为 .【测量目标】微积分基本定理.【考查方式】利用微积分基本定理建立方程求解. 【难易程度】中等 【参考答案】3 【试题解析】∵321=3x 'x ⎛⎫⎪⎝⎭，∴2330011d 0933T T x x x T ==-=⎰，∴3T =. 13.执行如图所示的程序框图，如果输入1,2,a b a ==则输出的的值为 .第13题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读程序框图，运行程序得出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】9【试题解析】输入1,2,a b ==不满足8,a >故a ＝3；a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5；a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，终止循环．输出a ＝9.14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126,PF PF a +=且12PF F △的最小内角为30，则C 的离心率为___.【测量目标】双曲线的定义，余弦定理.【考查方式】根据双曲线的定义及已知条件，利用余弦定理建立关于,a c 的方程求解. 【难易程度】较难 【参考答案】3【试题解析】不妨设|PF 1|＞|PF 2|，由1212||||6,||||2PF PF a PF PF a +=⎧⎨-=⎩可得12||4,||2.PF a PF a =⎧⎨=⎩（步骤1）∵2a ＜2c ，∴∠PF 1F 2＝30°，∴222242cos30224c a a c a︒()+()-()=⨯⨯，（步骤2）整理得，223230c a ac +-=，即22330,3e e e -+=∴=.（步骤3）15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n *=--∈N 则（1）3a =_____； （2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.【测量目标】已知递推关系求通项，数列的前n 项和. 【考查方式】根据1(2)n n n a S S n -=-建立关于n a 的关系式，根据n a 的关系式归纳寻找其规律后求解.【难易程度】中等 【参考答案】116- 10011(1)32- 【试题解析】111111(1)(1),22n n n n n n n n n a S S a a ----=-=----+111(1)(1)2n n n n n na a a --∴=---+（步骤1）当n 为偶数时，11,2n n a -=-当n 为奇数时，1122n n n a a -+=,（步骤2）∴当4n =时3411216a =-=-.（步骤3）根据以上{}n a 的关系式及递推式可求：135724681111,,,,2222a a a a =-=-=-=-246824681111,,,.2222a a a a ====（步骤4）21436535111,,,,222a a a a a a ∴-=-=-= (12100214310099231001111)()()()()2222S S S a a a a a a ∴+++=-+-++--++++ (399210010011111111)()()(1)22222232=+++-+++=-……（步骤6） 16．设函数(),0,0.xxxf x a b c c a c b =+->>>>其中（1）记集合M ={(,,),,a b c a b c 不能构成一个三角形的三条边长，且a b =}，则(,,)a b c M ∈所对应7 / 13的()f x 的零点的取值集合为____.（2）若,,a b c 是ABC △的三条边长，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>②,x ∃∈R 使,,xxxa b c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC △为钝角三角形，则()1,2,x ∃∈，使()0.f x =【测量目标】对数的运算，对数、指数函数的性质，余弦定理，函数零点存在性定理.【考查方式】由三角形的构成条件与函数的零点存在性求解未知参数的范围，以及举反例验证. 【难易程度】较难 【参考答案】{}01x x < ①②③【试题解析】(1)0,0,c a c b a b >>>>=且,,a b c 不能构成三角形三边，02, 2.c ac a∴<∴（步骤1）令()0f x =得2xxa c =，即2xc a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（步骤2）21log 2log 1c ac x x a ∴=∴=01x∴<（步骤3）（2）①,,a b c 是三角形的三条边长，0,0,01,01a ba b c c a c b c c∴+>>>>>∴<<<<∴当(,1)x ∈-∞时， ()()()1(1)0x x x x x x x xa b a b a b c f x a b c c c c c c c c c +-⎡⎤=+-=+->+-=>⎢⎥⎣⎦（步骤4）(,1),()0x f x ∴∀∈-∞>故①正确（步骤5）；②令2,3,4,a b c ===，则,,a b c 可以构成三角形.但2224,9,16a b c ===却不能构成三角形，故②正确；（步骤6）③,c a c b >>且ABC △为钝角三角形，2220a b c ∴+-<又222(1)0,(2)0f a b c f a b c =+->=+-<∴（步骤7）函数()f x 在()1,2上存在零点，故③正确. （步骤8）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数2ππ()sin()cos(),()2sin632x f x x x g x =-+-=. （I ）若α是第一象限角，且33()f α=.求()g α的值； （II ）求使()()f x g x 成立的x 的取值集合.【测量目标】两角和与差的正、余弦公式，二倍角的余弦公式以及三角函数不等式的解法. 【考查方式】运用三角恒等变换公式化简函数求解. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f .（步骤1）23π41sin ,(0,)cos ,()2sin 1cos 52525g αααααα⇒=∈⇒===-=且（步骤2） （II ）31π1()()3sin 1cos sin cos sin()2262f xg x x x x x x ⇒-⇒+=+（步骤3） ππ5π2π[2π,2π][2π,2π],6663x k k x k k k ⇒+∈++⇒∈+∈Z （步骤4）18．（本小题满分12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（I ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； （II ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.第18题图【测量目标】古典概型，分布列数学期望.【考查方式】利用古典概型求概率，根据所求概率列出分布列，结合期望公式求解. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(1,2),8对格点恰好“相近”.所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率821239P ==⨯.（步骤1） （Ⅱ）三角形共有15个格点.与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4).所以2(51)15P Y ==（步骤2），与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).所以4(48)15P Y ==（步骤3），与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0，1) ,(0，2),(0，3).所以6(45)15P Y ==（步骤4）与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1).所以3(42)15P Y ==（步骤5）如下表所示：X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 频数 2463概率P152 154 156 1539 / 132463102192270126690()5148454246151515151515E Y +++=⨯+⨯+⨯+⨯===46)(=∴Y E . （步骤6）19．（本小题满分12分）如图，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=，13AD AA ==.（I ）证明：1AC B D ⊥； （II ）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值.第19题图【测量目标】线面垂直的判定与性质，线面角.【考查方式】利用空间线面垂直的性质证明线线垂直，建立空间直角坐标系用向量法证明，再求直线与平面所成角的正弦值 【难易程度】中等 【试题解析】(Ⅰ)1111ABCD A B C D -是直棱柱1AC ∴⊥面ABCD ，且面BD ⊂面1ABCD BB AC⇒⊥（步骤1）又AC BD ⊥，且1BDBB B =，AC ∴⊥面1BDB ，1B D ⊂面1BDB ，1AC B D ∴⊥.（步骤2） （Ⅱ）11////,B C BC AD ∴直线11B C 与平面1ACD 的夹角即直线AD 与平面1ACD 的夹角θ.（步骤3）建立直角坐标系，用向量解题.设原点在A 点，AB 为y 轴正半轴，AD 为x 轴正半轴，1AA 为z 的正半轴. 设()10,00,(3,0,0),(3,0,3),(0,,0),(1,,0)A D D B y C y ，，11(0,,3),(1,,3)B y C y 则(1,,0),(3,,0),AC y BD y AC BD ==-⊥210300,0 3.(1,3,0),(3,0,3).AC BD y y y AC AD =⇒-+=>⇒=∴==（步骤4）设平面1ACD 的法向量为(,,)x y z n ，则10AC AD ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩n n 平面1ACD 的一个法向量11313,100BC ==（-，，）（，，）n （步骤5） 所以平面1ACD 的一个法向量1111321313,100sin |cos ,|77B C B C θ==⇒=<>==（-，，）（，，）n n所以11B C 与平面1ACD 夹角的正弦值为217.（步骤6）第19题（Ⅱ）图20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图所示的路径123MM M M N 与路径1MN N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心.（I ）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II ）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.第20题图【测量目标】绝对值函数最值.【考查方式】将实际案例中的关系先列出式子再将其转化为含绝对值的和的形式，进行分类讨论求解. 【难易程度】较难【试题解析】（I ）设点(,)P x y ，且0.y点P 到点A （3，20）的“L 路径”的最短距离d 等于水平距离加上垂直距离，即320d x y =-+-，其中0,.yx ∈R （步骤1）（Ⅱ）点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v （且h 和v 互不影响）.显然当y =1时，v = 20+1=21；显然当[10,14]x ∈-时，水平距离之和(10)14324h x x x =--+-+-,且当x =3时，h =24.因此,当P (3,1)时，d =21+24=45. （步骤2）所以，当点(,)P x y 满足P (3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45. （步骤3） 21．（本小题满分13分）过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ，且122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l 与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l .11 / 13（I ）若120,0k k >>，证明；22FM FN p <；（II ）若点M 到直线l的距离的最小值为，求抛物线E 的方程. 【测量目标】抛物线的定义，向量数量积的定义，圆的方程，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】先将直线方程带入抛物线的方程，利用向量数量积的坐标运算求解，再求出圆的相交弦方程利用点到直线的距离公式及函数思想求解. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)已知抛物线的焦点为(0,).2p F 设112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 4412123434(,),(,),(,)D x y M x y N x y ，（步骤1）直线1l 方程：1,2p y k x =+与抛物线E 方程联立，化简整理得22120x pk x p -++=：（步骤2） 2221212112121121112,,(,)22x x px x k p x x p x k p y k p FM k p k p +⇒+==-⇒===+⇒=（步骤3）同理221234234222,(,)22x x px k p y k p FN k p k p +⇒===+⇒=.（步骤4）2222212121212(1)FM FN k k p k k p p k k k k ⇒=+=+（步骤5）222121212*********,0,,221,(1)1(11)2k k k k k k k k k k FM FN p k k k k p p >>≠=+>⇒<∴=+<⨯⨯+=所以，22FM FN p <成立. （步骤6） （Ⅱ）设圆M N 、的半径分别为22121121111,[()()][2()],22222p p pr r r y y p k p k p p ⇒=+++=++=+ 211,r k p p ⇒=+（步骤7）同理2222,r k p p =+则M N 、的方程分别为22212121()()x x y y r -+-=， 22234342()()x x y y r -+-=，（步骤7）直线l 的方程为：2222223412341212341234122()2()0x x x y y y x x y y r r -+-+-+--+=.222121123412341234123421212()2()()()()()()()0p k k x p k k y x x x x y y y y r r r r ⇒-+-++-++-+-+= 222222222222222212112121221122()2()()()()()(2)0p k k x p k k y p k k p k k k k p k k k k ⇒-+-+-+-++-++=0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒yx k k p k k p p y x （步骤8）点1212(,)M x y 到直线l 的距离为：2211112()()144||||55d p p -+-+====8p ⇒=⇒抛物线的方程为216x y =（步骤9）22．（本小题满分13分）已知0a >，函数()2x af x x a-=+.（I ）记()f x 在区间[]0,4上的最大值为g a (),求g a ()的表达式；（II ）是否存在a ，使函数()y f x =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【测量目标】利用导数求分段函数的最值，导数的几何意义.【考查方式】根据已知条件转化函数为分段函数再求导，判断极值点所在区间进行分类讨论，依题意将问题转化为函数单调性不一致区间上的两个点处的导数之积等于1-建立方程求解. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)当0,a >○13()1,22x a af x x a x a-==-++ 当2x a <-或x a 时，是单调递增的；（步骤1）○23()122x a af x x a x a-+==-+++,当2a x a -<<时，是单调递减的.由上知，（步骤2）当4a >时()f x 在[0,4]x ∈上单调递减，其最大值为31(0)122a f a =-+=,（步骤3）当4a 时，()f x 在[0,]a 上单调递减，在[,4]a 上单调递增. （步骤4）令31(4)1(0)422a f f a =-<=+，解得：(1,4]a ∈，即当(1,4]a ∈时，()g a 的最大值为(0)f ，（步骤5）当(0,1]a ∈时，()g a 的最大值为(4)f ，综上，(]()31,0,142()=1,1,2a a ag a a ⎧-∈⎪⎪+⎨⎪∈+∞⎪⎩.（步骤6）（II ）由前知，()y f x =的图象是由两段反比例函数的图象组成的.因此，若在图象上存在两点),(),,(2211y x Q y x P 满足题目要求，则P ,Q 分别在两个图象上，且12()()1f x f x ''=-.（步骤7）223,2,(2)()3,2;(2)ax a x ax a f x a a x a x a ⎧<-⎪+⎪'=⎨-⎪-<<⎪+⎩或(04a <<)（步骤8）不妨设12122212331,(0,),(,4]3(2)(2)(2)(2)a ax a x a a x a x a x a x a -=-∈∈⇒=++++2222212121222324032402()43224a ax a a a ax a x x a x x a a x x a x a a x ⎧--<<--⎪⇒=+++-⇒=⇒+⎨+⎪<<⎩22222203242342434111224223404(0,)222484228x a x a a ax a a x a a a a a a a x a x <--<--<-⎧⎧⎧⎪⎪⎪⇒<+⇒-<⇒<-⇒<<<⇒∈⎨⎨⎨⎪⎪⎪-<<<<<⎩⎩⎩，且（步骤9）13 / 13所以，当)21,0(∈a 时，函数()y f x =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直. （步骤10）。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：平面向量
（ D． -1
）
B． 3
C． 2
B 1, 2 . C 2, 1 . D 3, 4 ,则向量
（
AB 在 CD 方向上的投影为
A．
）
C．
5 , 2 2
D．
7 , 2 2
【答案】D
b 0 .若向量 7 ． （ 2013 年 高 考 湖 南 卷 （ 理 ） ） 已 知 a , b 是 单 位 向 量 , a
c 满足
（
c a b 1, 则 c 的取值范围是
, 2+1 A． 2-1， , 2+1 C． 1，
P | OP OA OB, 1, , R 所表示的区域的面积是
A． 2 2
【答案】D
（
）
B． 2 3
C． 4 2
D． 4 3
6 （ ．2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学 （理） 试题 （含答案） ） 在平面上,
1 AB , 且 对 于 边 AB 上 任 一 点 P , 恒 有 4
（
0
PB PC P0 B P0C .则
A． ABC 90
【答案】D 4 ． （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）在四边形 ABCD
0
）
B． BAC 90
C． AB AC
3 2 2
[
B．
3 15 2
2013年全国高考理科数学试题分类汇编5：导数与积分
f (e x ) x e x , 则 f x (1)
______________【答案】2
9 ． （2013 年高考湖南卷（理） ）若
C． 有两个不等的实数解， 即 ln x 2ax 1 有两个实数解， 从而直线 y 2ax 1 与曲线 y ln x 有两 个交点. 过点（0，－1）作 y ln x 的切线，设切点为（x0，y0） ，则切线的斜率 k 程为 y
1 ，切线方 x0
x 1 x 1 . 切点在切线上，则 y0 0 1 0 ，又切点在曲线 y ln x 上，则 x0 x0
ex ex 2 „„（1） 。在已知 x f ( x) 2 xf ( x) 中令 x 2 ， x x e2 ex 2 并将 f (2) 代入，得 f (2) 0 ；因为 x f ( x) 2 xf ( x) ，两边乘以 x 后令 8 x ex x 2 x e ，显然 g ( x) x3 f ( x) ex 2[ x2 f ( x)](2) 。求导并将（1）式代入， g ( x) e x 2 x x 并且由 （2） 式知 g (2) 0 ， x (0, 2) 时， g ( x) 0 ， g ( x) 减； x (2, ) 时， g ( x) 0 ， g ( x) 增； 3 所以 g (2) 0 为 g ( x) 的最小值，即 g ( x) 0 ，所以 x f ( x) 0 ，在 x 0 时得 f ( x) 0 ，所 以 f ( x ) 为增函数，故没有极大值也没有极小值。
解：由已知， [ x f ( x)]
2013届高三数学名校试题汇编(第3期)专题05 平面向量
【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）专题05 平面向量一．基础题1.【安徽省2013届高三开年第一考】已知向量,a b ，且||1a = ，||2b = ，则|2|b a -的取值范围是（ ）A ．[1,3]B ．[2,4]C ．[3,5]D ．[4,6] 【答案】C【解析】|2|b a -==[3,5]∈，选C2.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】 已知向量(1,cos ),(1,2cos )θθ=-=a b 且⊥a b ，则cos 2θ等于 （ ）A.1-B.0 C .12D.23.【广州市2013届高三年级1月调研测试】设向量=a ()21x ,-，=b ()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】 已知向量i=(l,0)，j= (0,1),则与垂直的向量是A i —2jB 2i-jC 2i+j D. i+2j 【答案】A【解析】∵0i j ∙= ∴22(2)(2)220i j i j i j +∙-=-= ∴(2)(2)i j i j +⊥-5.【惠州市2013届高三第三次调研考试】已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则+p q的值为（ ）A．．5 D ．13 【答案】B【解析】26304(23)(46)(23)x x p q ⨯+=⇒=-⇒+=-+-=-=，，，B ．6.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件7.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】已知•=﹣12，||=4，和的夹角为135°，则||为（ ） ．，，向量与垂直，则实数λ的值为（ ）﹣【解析】∵已知，，向量与∴（）•（．112直线l 2过点（﹣1，1）且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为（ ）10.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点，从焦点F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为．学年河南省中原名的正方形的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则的最大值是（ ）．﹣（（故，即∴•=1+sin212.【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-=，若a b ⊥ ，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于A.13-B.13C.3-D.316.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】已知21e e ，是夹角为060的两个单位向量，且向量212e e a +=___________。
2013年全国各省市高考真题——平面向量(带答案)
2013年全国各省市文科数学—平面向量1、2013大纲文T3.已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-12、2013辽宁文T3.已知点()()1,3,4,1,A B AB - 则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 3、2013福建文T10．在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==，则该四边形的面积为（ ）A ．5B ．52C ．5D ．104、2013广东文T10．设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量 a 的分解，有如下四个命题：①给定向量 b ，总存在向量 c ，使=+ a b c ；②给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+ a b c ；③给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+ a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+ a b c ；上述命题中的向量 b ， c 和 a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 5、2013陕西文T2. 已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于(A) (D) 06、2013湖南文T8.已知a,b 是单位向量，a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为1127、2013湖北文T7．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为A B C ．D ．8、2013新课标文T13.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60 ，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =_____。
2013年高考理科数学江苏卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ,2x ,⋅⋅⋅,n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11ni i x x n ==∑棱锥的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 为高棱柱的体积公式V Sh =,其中S 是棱柱的底面积,h 为高一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卡相应．．．．．位置上．．．. 1.函数π3sin(2)4y x =+的最小正周期为 .2.设2(2i)z =-（i 为虚数单位）,则复数z 的模为 .3.双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 .4.集合{1,0,1}-共有 个子集.5.如图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 .6.则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 . 7.现有某类病毒记作m n X Y ,其中正整数m ,n (m 7,n 9)≤≤可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为 .8.如图,在三棱柱111A B C ABC -中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,1AA 的中点.设三棱锥F ADE -的体积为1V ,三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ,则12:V V = .9.抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）.若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点,则2x y +的取值范围是 .10.设D ,E 分别是ABC △的边AB ,BC 上的点,12AD AB =,23BE BC =,若DE =12AB AC λλ+（1λ,2λ为实数）,则12λλ+的值为 .11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时,2()4f x x x =-,则不等式()f x x >的解集用区间表示为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d .若21d =,则椭圆C 的离心率为 .13.在平面直角坐标系xOy 中,设定点(,)A a a ,P 是函数1(0)y x x=>图象上一动点.若点P ,A 之间的最短距离为则满足条件的实数a 的所有值为.14.在正项等比数列{}n a 中,512a =,673a a +=,则满足1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅的最大正整数n 的值为 .二、解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知向量a (cos ,sin )αα=,b (cos ,sin )ββ=,0πβα<<<. （Ⅰ）若|a -b |=求证：a ⊥b ；（Ⅱ）设c (0,1)=,若a +b =c ,求α,β的值.16.（本小题满分14分）如图,在三棱锥S ABC -中,平面SAB ⊥平面SBC ,AB BC ⊥,AS AB =.过A 作AF SB ⊥,垂足为F ,点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点.求证：（Ⅰ）平面EFG 平面ABC ；（Ⅱ）BC SA ⊥.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页） 17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,点(0,3)A ,直线l ：24y x =-.设圆C 的半径为1,圆心在l 上.（Ⅰ）若圆心C 也在直线1y x =-上,过点A 作圆C 的切线,求切 线的方程；（Ⅱ）若圆C 上存在点M ,使2MA MO =,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.18.（本小题满分16分）如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50 m/min .在甲出发2 min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1min 后,再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ,山路AC 长为1 260 m ,经测量,12cos 13A =,3cos 5C =.（Ⅰ）求索道AB 的长；（Ⅱ）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短？ （Ⅲ）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内？19.（本小题满分16分）设{}n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列(0)d ≠,n S 是其前n 项的和.记2nn nS b n c=+,*n ∈N ,其中c 为实数.（Ⅰ）若0c =,且1b ,2b ,4b 成等比数列,证明：2*(,)nk k S n S k n =∈N ；（Ⅱ）若{}n b 是等差数列,证明：0c =.20.（本小题满分16分）设函数()ln f x x ax =-,()e xg x ax =-,其中a 为实数.（Ⅰ）若()f x 在(1,)+∞上是单调减函数,且()g x 在(1,)+∞上有最小值,求a 的取值范围； （Ⅱ）若()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数,试求()f x 的零点个数,并证明你的结论.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A .（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,AC 经过圆心O ,且2BC OC =. 求证：2AC AD =.B .（本小题满分10分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A 1002-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,B 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求矩阵A -1B .C .（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1,2,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）,曲线C 的参数方程为22tan ,2tan ,x y θθ⎧=⎨=⎩（θ为参数）.试求直线l 和曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.D .（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知0a b ≥＞,求证：332222a b ab a b --≥.【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）如图,在直三棱柱111A B C ABC -中,AB AC ⊥,2AB AC ==,14A A =,点D 是BC 的中点.（Ⅰ）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（Ⅱ）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.23.（本小题满分10分）设数列{}n a ：1,2-,2-,3,3,3,4-,4-,4-,4-,⋅⋅⋅,11(1),,(1)k k k k k ---⋅⋅⋅-个,⋅⋅⋅,即当*(1)(1)()22k k k k n k -+∈N ＜≤时,1(1)k n a k -=-.记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+*()n ∈N .对于*l ∈N ,定义集合{|l n P n S =是n a 的整数倍,*n ∈N ,且1}n l ≤≤. （Ⅰ）求集合11P 中元素的个数； （Ⅱ）求集合2000P 中元素的个数.数学试卷 第7页（共21页） 数学试卷 第8页（共21页） 数学试卷 第9页（共21页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）理科数学答案解析数学Ⅰ一、填空题 1.【答案】π【解析】函数π3sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==． 【提示】将题中的函数表达式与函数sin(+)y A x ωϕ=进行对照，可得2ω=，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期． 【考点】三角函数的周期性． 2.【答案】5【解析】2(2i)34i z =-=-，所以|||34i |5z =-=．【提示】把给出的复数展开化为+i()a b a b ∈R ，的形式，然后直接利用莫得公式计算． 【考点】复数的概念和代数形式的四则运算．3,【答案】34y x =±【解析】由双曲线方程可知4a =，3b =所以两条渐近线方程为34y x =±．【提示】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程． 【考点】双曲线的简单几何性质． 4.【答案】8【解析】由于集合中有3个元素，故该集合有328=（个）子集．【提示】集合1,{}2,3P =的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集． 【考点】集合的含义 5.【答案】3【解析】算法流程图执行过程如下：1220n a a ==<，，；8220a n a ==<，，；26320a n a ==>，，，输出3n =．【提示】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a 值，并输出满足20a ≥的最小n 值，模拟程序的运行过程可得答案． 【考点】选择结构和循环结构的程序框图． 6.【答案】2【解析】由表中数据计算得90x =甲，90x =乙，且2222221[(8790)+(9190)+(9090)+(8990)+(9390)]45s =-----=甲，2222221[(8990)+(9090)+(9190)+(8890)+(9290)]25s =-----=乙．（步骤1）由于22ss≥乙甲，故乙的成绩较为稳定，其方差为2.（步骤2）【提示】直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求． 【考点】数据平均数和方差的计算． 7.【答案】2063【解析】因为正整数m ，n 满足7m ≤，9n ≤，所以(,)m n 所有可能的取值一共有7963⨯=（种），（步骤1）其中m ，n 都取到奇数的情况有4520⨯=（种），因此所求概率为2063p =．（步骤2）【提示】求出m 取小于等于7的正整数，n 取小于等于9的正整数，m 取到奇数，n 取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解． 【考点】古典概型． 8.【答案】1:24【解析】设三棱柱的底面ABC 的面积为S ，高为h ，则其体积为2V Sh =．（步骤1） 又因为F 为1AA 的中点，所以三棱锥F ADE -的体积为12111113422424V Sh Sh V =⨯==，故12:1:24V V =．（步骤2）【提示】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值． 【考点】三棱柱、三棱锥体积的计算．9.【答案】12,2⎡-⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由于2y x '=，所以抛物线在1x =处的切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-．画出可行域（如图）．（步骤1） 设2x y z +=，则1122y x z =-+经过点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)B -时，z 分别取最大值和最小值，此时最大值max12z =，最小值min 2z =-，故取值范围是12,2⎡-⎤⎢⎥⎣⎦．（步骤2）第9题图【提示】利用导数求出抛物线在1x =处的切线方程，画出可行域，找出最优解，则2x y+的取值范围可求．【考点】导数的几何意义，直线方程，线性规划问题． 10.【答案】12【解析】由题意212112()++323263DE BE BD BC BA AC AB AB AB AC =-=-=-=-，（步骤1）于是116λ=-，223λ=，故121+2λλ=．（步骤2）【提示】由题意和向量的运算可得12+63DE AB AC =-，结合12+DE AB AC λλ=，可得1λ，2λ的值，求和即可．【考点】平面向量的几何表示和加法、减法及数乘等线性运算． 11.【答案】(5,0)(5,+)-∞【解析】先求出函数()f x 在R 上的解析式，然后分段求解不等式()f x x >，即得不等式的解集．设0,x <则0,x ->于是22()()4()4f x x x x x -=---=+，（步骤1） 由于()f x 是R 上的奇函数，则2()+4f x x x -=，即2()4f x x x =--，（步骤2）数学试卷 第10页（共21页） 数学试卷 第11页（共21页） 数学试卷 第12页（共21页）且(0)0,f =于是224,0()0,04,0x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩（步骤3） 当0x >时，由24x x x ->得5x >；当0x <时，由24x x x -->得50x -<<， 故不等式的解集为(5,0)(5,+)-∞（步骤4）【提示】作出x 大于0时，()f x 的图象，根据()f x 为定义在R 上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x 小于0的图象，所求不等式即为函数()f x 图象在y x =上方，利用图形即可求出解集．【考点】函数奇偶型的应用，一元二次不等式的求解． 12.【解析】依题意，222a b d c c c=-=．又BF a =，所以1bc d a =．（步骤1） 由已知可得26b bc c a．所以2ab =，即42226()c a a c =-，整理得223a c =，所以离心率c e a ==．（步骤2）【提示】根据“21d =”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得1bc d a =，从而得到a 与b 的关系，可求得ba，从而求出离心率．【考点】椭圆的定义． 13.【答案】1-【解析】依题意可设1,(0)P x x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则222222111||()++2++2P A x a a x a x a x xx ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（步骤1）令1+x t x=，则2t ≥且22222||22+2()+2PA t at a t a a =--=--．（步骤2）若2a ≥，则当t a =时，2||PA 取最小值22a -，令222a-=，解得a =a =舍去）；若2a <，则当2t =时，2||PA 取最小值2242a a-+，令22242a a -+=，解得1a =-（3a =舍去）（步骤4）综上，满足条件的所有a的值为1-（步骤5） 【提示】设点1,(0)P x x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，利用两点间的距离公式可得||PA ，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a 的值．【考点】两点间距离公式，均值不等式，二次函数的最值，换元法． 14.【答案】12【解析】设{}n a 的公比，则由已知可得4121,21(+)3,2a q q q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得11,322.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩（步骤1） 于是13212(12)1+++(21)1232n n n a a a -==--，(1)(1)221211232n n n n n n n a a a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭．（步骤2） 由1212+++n n a a a a a a >可得(1)211(21)23232nn n n -⎛⎫-> ⎪⎝⎭，整理得2111+522212n n n -->． （步骤3）由2111+52222n n n ->，可得2111+522n n >-，即213+100n n -<，n <（步骤4）取12n =，可以验证当12n =时满足1212+++n n a a a a a a >，故n 的最大值为12.（步骤5）【提示】设正项等比数列{}n a 首项为a 1，公比为q ，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和12+++n a a a 及12n a a a 的表达式，化简可得关于n 的不等式，解之可得n 的范围，取上限的整数部分即可得答案．【考点】等比数列的通项公式，求和公式以及不等式的性质． 二、解答题15.【答案】（1）见解析 （2）5π6α=π6β=【解析】（1）证明：由题意的2||2a b -=，即222()2+2a b a a b b -=-=．（步骤1）又因为2222||||1a b a b ====，所以222a b -=，即0a b =，故a b ⊥．（步骤2）（2）因为+(cos +cos ,sin +sin )(0,1)a b αβαβ==，所以cos +cos 0,sin +sin 1,αβαβ=⎧⎨=⎩（步骤3） 由此得，cos cos(π)αβ=-，由0πβ<<，得0ππβ<-<，又0πα<<，故παβ=-（步骤4）代入sin +sin 1αβ=，得1sin sin 2αβ==，而αβ>，所以5π6α=，π6β=．（步骤5） 【提示】（1）由给出的向量a ，b 的坐标，求出a b -的坐标，由模等于列式得到cos cos +sin sin 0αβαβ=，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+a b ，由+(0,1)a b =列式整理得到2π3αβ-=，结合给出的角的范围即可求得α，β的值． 【考点】平面向量的坐标运算，诱导公式． 16.【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】（1）因为AS AB =，AF SB ⊥，AF SB ⊥，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．（步骤1）又因为E 是SA 的中点，所以EF AB ∥．（步骤2）因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ABC ∥平面（步骤3） 同理EG ABC ∥平面．又EFEG E =，所以A C EFG B ∥平面平面．（步骤4）（2）因为1ADC SBC ⊥平面平面，且交线为SB ，又AF SAB ⊂平面，AF SB ⊥， 所以AF SBC ⊥平面．（步骤5）因为BC SBC ⊂平面，所以AF BC ⊥．（步骤6） 又因为AB BC ⊥，AFAB A =，AF SAB ⊂平面，BC SAB ⊥平面（步骤7）因为SA SAB ⊂平面，所以BC SA ⊥．（步骤8）第16题图【提示】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F 为SB 的中点．从而得到SAB △和SAC△中，EF AB ∥且EG AC ∥，利用线面平行的判定定理，证出EFABC ∥平面且EG ABC ∥平面．因为EF 、EG 是平面EFG 内的相交直线，所以平面数学试卷 第13页（共21页） 数学试卷 第14页（共21页） 数学试卷 第15页（共21页）A C EFGB ∥平面平面；（2）由面面垂直的性质定理证出AF SBC ⊥平面，从而得到AF BC ⊥．结合AF 、AB 是平面SAB 内的相交直线且AB BC ⊥，可得BC SAB ⊥平面，从而证出BC SA ⊥． 【考点】面面平行的判定定理和线面垂直的证明． 17.【答案】（1）3y =或3+4120x y -=（2）120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由题设，圆心C 是直线24y x =-和1y x =-的交点，解得点(3,2)C ，于是切线的斜率必存在．（步骤1）设过11P 的圆C 的切线方程为+3y kx =由题意得，1=，解得0k =或34k =-，（步骤2）故所求切线方程为3y =或3+4120x y -=．（步骤3）（2）因为圆心在直线24y x =-上，所以圆C 的方程为22()+[2(2)]1x a y a ---=．（步骤4）设点(,)M x y ，因为2MA MO =，=化简得22+230x y y +-=，即22+(+1)4x y =，所以点M 在以(0,1)D -为圆心，2为半径的圆上．（步骤5） 由题意，点(,)M x y 在圆C 上，所以圆C 和圆D 有公共点，则|21|2+1CD -≤≤，即13．整理，得285120a a -≤-≤．（步骤6） 由251280a a -+≥，得a ∈R ；由25120a a -≤，得1205a ≤≤．所以a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦（步骤7）【提示】（1）联立直线l 与直线1y x =-解析式，求出方程组的解得到圆心C 坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值，确定出切线方程即可；（2）设(,)M x y ，由2MA MO =，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以(0,1)-为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ，由M 在圆C 上，得到圆C 与圆D 相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围．【考点】圆的方程、圆的切线方程以及两圆间的位置关系． 18.【答案】（1）1040m（2）35(min)37（3）1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：m/min ） 【解析】（1）在△ABC 中，因为12cos 13A =，3cos 5C =，所以5sin 13A =，4sin 5C =．（步骤1）从而5312463sin sin[π(+)]=sin(+)sin cos +cos sin +13513565B AC A C A C A C =-==⨯⨯=．（步骤2）由正弦定理sin sin AB AC C B =，得636512604sin 1040(m)sin 5AC AB C B ==⨯= 所以索道AB 的长为1040m ．（步骤3）（2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50)m t ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得222212(100+50)+(130)2130(100+50)200(3770+50)13d t t t t t t =-⨯⨯⨯=-．（步骤4）由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当35(min)37t =时，甲、乙两游客距离最短．（步骤5）（3）由正弦定理sin sin BC AC A B =，得636512605sin 500(m)sin 13AC BC A B ==⨯=（步骤6） 乙从B 出发时，甲已走了50(2+8+1)550(m)⨯=，还需走710m 才能到达C ．（步骤7） 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤，（步骤8） 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：m/min ）范围内．（步骤9） 【提示】（1）作出相应的图形，根据cos C 的值，求出tan C 的值，设出BD 表示出DC ，由cos A 的值，求出tan A 的值，由BD 表示出AD ，进而表示出AB ，由+CD AD AC =，列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值，即可确定出AB 的长；（2）设乙出发x min 后到达点M ，此时甲到达N 点，如图所示，表示出AM 与AN ，在三角形AMN 中，由余弦定理列出关系式，将表示出的AM ，AN 及cos A 的值代入表示出2MN ，利用二次函数的性质即可求出MN 取最小值时x 的值；（3）由（1）得到BC 的长，由AC 的长及甲的速度求出甲到达C 的时间，分两种情况考虑：若甲等乙3分钟，此时乙速度最小，求出此时的速度；若乙等甲3分钟，此时乙速度最大，求出此时的速度，即可确定出乙步行速度的范围． 【考点】正弦定理的实际应用和函数的最值问题． 19.【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】（1）由0c =，得1+2N n S n b a d n -==又因为124b b b ，，成等比数列，所以2214b b b =， 即23++22d a a a d ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得220d ad -=．（步骤1）因为0d ≠，所以2d a =．因此，对于所有的*m ∈N ，有2m S m a =． 从而对于所有的k ，*n ∈N ，有2222()nk k S nk a n k a n S ===．（步骤2）（2）(1)+2(1)2(1)2(1)2(1)222222222222(1)+2+++2+n d a n d a n d a n d a n d a nn n n c c c nS n d a b n c n c n c n c--+-+-+-++--====-(*)（步骤3）若{}n b 是等差数列，则+n n n b A B =型．观察(*)式后一项，分子幂低于分母幂，故有：(1)2220+n d ac n c -+=，（步骤4） 即(1)+202nd a c-=，而(1)+22n d a-≠0，故0c =． 经检验，当0c =时，{}n b 是等差数列．（步骤5）【提示】（1）写出等差数列的通项公式，前n 项和公式，由124b b b ，，成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n 项和公式得到n S ，在前n 项和公式中取n nk =可证结论；（2）把n S 代入2+n n nS b n c =中整理得到(1)222(1)+22+n d a n c n d ab n c-+-=-，由等差数列的通项公式是+n a An B =的形式，说明(1)2220+n d ac n c-+=，由此可得到0c =. 【考点】等差数列的通项公式与前n 项和，等比数列的定义及性质． 20.【答案】（1）(e,+)a ∈∞（2）当0a ≤或1e a -=时，()f x 的零点个数为1；数学试卷 第16页（共21页） 数学试卷 第17页（共21页） 数学试卷 第18页（共21页）当10e a -<<时，()f x 的零点个数为2 【解析】（1）令11()0ax f x a x x-'=-=<，（步骤1） 考虑到()f x 的定义域为(0,)+∞，故0a >，进而解得1x a ->，即()f x 在1(,)a -+∞上是单调减函数．同理，()f x 在1(0,)a -上是单调增函数．（步骤2）由于()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，故(1,)+∞1(,)a -⊆+∞，从而11a -≤，即1a ≥．（步骤3）令()e 0xg x a '=-=，得ln x a =．当ln x a <时，()0g x '<；当ln x a >时，()0g x '>．又()g x 在(1,)+∞上有最小值，所以ln 1a >，即e a >． 综上所述两种情况，得(e,+)a ∈∞．（步骤4） （2）当0a ≤时，()g x 必为单调增函数；当0a >时，令()e 0xg x a '=->，解得e x a <，即ln x a >．（步骤5）因为()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数，类似（1）有ln 1a ≤-，即0e x a <≤． 结合上述两种情况，得1e a -≤．（步骤6） 当0a =时，由(1)0f =以及1()0f x x'=>，得()f x 存在唯一的零点；（步骤7） 当0a <时，由于(e )e (1e )0aaaf a a a =-=-<，(1)0f a =->，且函数()f x 在[e ,1]a上的图象连续，所以()f x 在(e ,1)a上存在零点．（步骤8） 另外，当0x >时，1()0f x a x'=->，故()f x 在(0,)+∞上是单调增函数，所以()f x 只有一个零点．（步骤9） ①当10e a -<≤时，令1()0f x a x'=-=，解得1x a -=；当10x a -<<时，()0f x '>；当1x a ->时，()0f x '<，所以1x a -=是()f x 的最大值点，且最大值为1()ln 1f a a -=--．（步骤10）②当ln 10a --=，即1e a -=时，()f x 有一个零点e x =．（步骤11）③当ln 10a -->，即10e a -<<时，()f x 有两个零点．实际上，对于10e a -<<，由于11(e )1e 0f a --=--<，1()0f a ->，且函数()f x 在11[e ,]a --上的图象连续，所以()f x 在11(e ,)a --上存在零点另外，当1(0,)x a -∈时，1()0f x a x'=->，故()f x 在1(0,)a -上只有一个零点．（步骤12）下面考虑()f x 在1(,)a -+∞上的情况．先证112(e )(e )0a a f a a ---=-<．为此，我们要证明：当e x >时，2e x x >．设2()e x h x x =-，则()e 2x h x x '=-，再设()()e 2x l x h x x '==-，则()e 2xl x '=-．（步骤13）当1x >时，()e 2e 20x l x '=->->，所以()()l x h x '=在(1,)+∞上是单调增函数．（步骤14）故当2x >时，2()e 2(2)e 40x h x x h ''=->=->，从而()h x 在(2,)+∞上是单调增函数，（步骤15）进而当e x >时，2e 2()e (e)=e e 0x h x x h =->->，即当e x >时，2e x x >．（步骤16） 当10e a -<<，即1e a ->时，11112(e )e (e )0a a a f a a a a -----=-=-<．又1()0f a ->，且函数()f x 在11[,e ]a a --上的图象连续，所以()f x 在11(,e )a a --上存在零点．（步骤17）又当1x a ->时，1()0f x a x'=-<，故()f x 在1(,)a -+∞上是单调减函数，所以()f x 在1(,)a -+∞上只有一个零点．（步骤18）综合上述可知，当0a ≤或1e a -=时，()f x 的零点个数为1； 当10e a -<<时，()f x 的零点个数为2.（步骤19）【提示】（1）求导数，利用()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，转化为10a x-≤在(1,)+∞上恒成立，利用()g x 在(1,)+∞上有最小值，结合导数知识，即可求得结论； （2）先确定a 的范围，再分类讨论，确定()f x 的单调性，从而可得()f x 的零点个数． 【考点】函数的单调性、极值、最值、零点等性质以及函数与导数的联系．数学Ⅱ21A.【答案】证明：连结OD ，因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以90ADO ACB ∠=∠=︒．（步骤1）又因为A A ∠=∠，所以Rt ADO △∽Rt ACB △所以BC ACOD AD=． 又22BC OC OD ==，故2AC AD =．（步骤2）第21题图【提示】结合三角形和圆相交的一些条件，运用三角形相似的性质从而得出线段间的比例关系．【考点】几何证明．21B.【答案】101212=1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 【解析】设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，（步骤1）即 102201a b c d --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故1a =-，0b =，0c =，12d =，（步骤2） 从而A 的逆矩阵为10A =102--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以101212=1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．（步骤3） 【提示】给出两矩阵，利用矩阵与逆矩阵相乘为单位矩阵的性质求出对应参数． 【考点】矩阵与行列式初步． 21C.【答案】220x y --=22y x =(2,2) 1,12⎛-⎫⎪⎝⎭【解析】因为直线l 的参数方程为+12x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），由+1x t =得1t x =-，代入2y t =，得到直线l 的方程为220x y --=．（步骤1）同理得到曲线C 的普通方程为22y x =．数学试卷 第19页（共21页） 数学试卷 第20页（共21页） 数学试卷 第21页（共21页）联立方程组22(1)2y x y x=-⎧⎨=⎩，解得公共点的坐标为(2,2)，1,12⎛-⎫⎪⎝⎭．（步骤2）【提示】给定直线和曲线的参数方程，用代入法消去参数t 化为普通方程，联立方程求出公共点的坐标． 【考点】坐标系与参数方程．21D.【答案】证明：∵3322322322+(22)+()a b ab a b a ab a b b --=--=2222222()()()(2+)(+)()(2+)a a b b a b a b a b a b a b a b -+-=-=-，（步骤1）又∵0a b ≥>，∴0a b +>，0a b -≥，2+0a b >，∴()()(2+)0a b a b a b +-≥（步骤2） ∴3322220a b ab a b --+≥∴332222a b ab a b -≥-．（步骤3） 【提示】用作差比较法证明不等式． 【考点】不等式选讲． 22.【答案】（1（2【解析】（1）以{}1,,AB AC AA 为单位正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,0,4)A ，(1,1,0)D ，1(0,2,4)C ．∴1(2,0,4)A B =-，1(1,1,4)C D =--（步骤1）∴111111cos ,20A B C DA B C D A B C D<>==，∴异面直线1A B 与1C D ．（步骤2） （2）(0,2,0)AC =是平面1ABA 的的一个法向量，设平面1ADC 的法向量为(,,)m x y z =， ∵(1,1,0)AD =，1(0,2,4)AC =，（步骤3）由m AD ⊥，1m AC ⊥，∴0240x y y z +=⎧⎨+=⎩取1z =，得2y =-2x =，∴平面1ADC 的法向量为(2,2,1)m =-（步骤4） 设平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角为θ，∴42|cos |cos ,233||||AC m AC m AC m θ-=<>===⨯，得sin 3θ=． ∴平面1ADC 与平面1ABA ．（步骤5）第22题图【提示】建立空间直角坐标系求异面直线的余弦值和两平面间二面角的正弦值． 【考点】异面直线，二面角，空间向量及其运算，空间直角坐标系，空间向量的应用． 23.【答案】（1）由数列{}n a 的定义得：11a =，22a =-，32a =-，43a =，53a =，63a =，74a =-，84a =-，94a =-，104a =-，115a =，∴11S =，21S =-，33S =-，40S =，53S =，66S =，72S =，82S =-，96S =-，1010S =-，115S =-（步骤1）∴111S a =，440S a =，551S a =，662S a =，11111S a =-，（步骤2） ∴集合11P 中元素的个数为5.（步骤3）（2）证明：用数学归纳法先证(21)(21)i i S i i +=-+，事实上，①当1i =时，(21)31(2+1)3i i S S +==-⨯=-故原式成立；②假设当i m =时，等式成立，即(2+1)(2+1)m m S m m =-故原式成立．（步骤4）则：+1i m =，时，22(+1)[2(+1)+1](+1)(2+3(2+1)(2+1)(2+2)m m m m m m S S S m m ==+-）222(2+1)(2+1)(2+2)(2+5+3)(+1)(2+3)m m m m m m m m =-+-=-=-，（步骤5）综合①②得：(2+1)(2+1)i i S i i =-于是22(+1)[2+1](2+1+(2+1)(2+1)+(2+1)(2+1)(+1)i i i i S S i i i i i i ==-=），（步骤6）由上可知：(2+1i i S 是(2+1)i 的倍数，而(+1)(2+1)2+1(122+1)ii j a i j i +==，，，，所以(2+1)+(2+1)(2+1)i i j i i S S j i =+，（步骤7）是(+1)(2+1)+i i j a (122+1)j i =，，，的倍数，又(+1)(2+1)(+1)(2+1)i i S i i =不是2+2i 的倍数，而(+1)(2+1)+(2+2)i i j a i =-(122+2)j i =，，，，所以(+1)(2+1)+(2+1)(+1)(2+2)i i j S i i j i =-，(+1)(2+1)+(+1)(2+1)(2+2)i i j i i S S j i =-不是(+1)(2+1)(122+2)i i j a j i +=，，，的倍数，（步骤8）故当(2+1)l i i =时，集合l P 中元素的个数为21+3++21i i -=（），（步骤9） 于是当(2+1)+12+1l i i j j i =≤≤（）时，集合l P 中元素的个数为2+i j ，又200031231=⨯⨯（），故集合2000P 中元素的个数为231+471008=．（步骤10） 【提示】给出数列的规律，由此求出数列相应的项及各项之和，采用列举法写出所满足的元素；由特殊形式推广到一般形式，采用计数原理和数学归纳法来证明得之． 【考点】集合，数列的概念和运算，计数原理，数学归纳法．。
2013全国各地高考理科数学试题及详解汇编(上,78页)
2 1 a1 ，解得 a1 =1， 3 3 2 1 2 2 1 2 当 n ≥2 时， an = Sn Sn1 = an －( an 1 )= an an 1 ，即 an = 2an1 ， 3 3 3 3 3 3 n 1 ∴{ an }是首项为 1，公比为－2 的等比数列，∴ an = (2) .
2013 年高考理科数学试题解析（课标Ⅰ） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、 选择题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的一项。 1、已知集合 A=｛x|x2－2x＞0｝ ，B=｛x|－ 5＜x＜ 5｝，则 ( ) A、A∩B= B、A∪B=R C、B⊆A D、A⊆B 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(- ,0)∪(2,+ ), ∴A∪B=R,故选 B. 2、若复数 z 满足 (3－4i)z＝|4＋3i |，则 z 的虚部为 ( ) 4 4 A、－4 （B）－ （C）4 （D） 5 5 【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题. 1 ，故选 D. 18 9 x 2 2 x, x 0 11、已知函数 f ( x ) = ，若| f ( x ) |≥ ax ，则 a 的取值范围是 ln( x 1), x 0 A . (, 0] B . (,1] C .[-2,1] D .[-2,0]
2013年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量Word版含答案
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量一、选择题1．（ 2013 年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其他极点为终点的向量分别为a1 ,a2 , a3, a4 ,a5; 以 D 为起点 , 其他极点为终点的向量分别为d1 , d2 , d3 , d4 , d5.若m, M分别为 (a i a j a k ) (d r d s d t ) 的最小值、最大值, 此中{i , j , k} {1,2,3,4,5}, { r , s, t} {1,2,3,4,5} , 则m, M知足（）A．m 0, M 0 B．m 0, M 0 C．m 0, M 0 D．m 0, M 0【答案】D．2．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点A 1,3 ,B4, 1 , 则与向量 AB同方向的单位向量为（）3， -4B．4， -3C．34D．43A．5555，5，555【答案】 A3 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设ABC , P0是边AB上必定点,知足P0B 1AB,且关于边AB上任一点P,恒有4PB PC P0B P0C .则（）． ABC900．BAC900．AB AC ．AC BCA B C D【答案】 D4 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯WORD版））在四边形ABCD中, AC(1,2) , BD(4,2) ,则四边形的面积为（）A．5B．2 5C． 5D． 10【答案】 C5 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在平面直角坐标系中 ,O是坐标原点,两定点 A,B知足 OA OB OAOB 2,则点集P|OP O A O, B 1 ,,所表R示的地区的面积是（）A．2 2B．2 3C．4 2D．4 3【答案】 D6 ．（2013 年一般高等学校招生一致考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上 ,ABAB , OB 1OB 2 1 , APAB1, 则 OA 的取值范围AB .若 OP1 2122是（）A ．0,5B ．5 , 7 C ．5, 2D ．7, 222222【答案】 D7 ．（ 2013 年 高 考 湖 南 卷 （ 理 ）） 已 知 a, b 是 单 位 向 量 ,a b 0 . 若 向 量 c 满 足ca b 1, 则 c 的取值范围是（）A ．， B ．2-1，, 2+22-1 , 2+1C ． ，D ． 1，, 2+21 , 2+1【答案】 A8 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD 版含答案（已校正） ） 已知向量m1,1 , n2,2 , 若 mnm n , 则 =（）A ． 4B ． 3C ． 2D ． -1【答案】 B9 ．（ 2013 年高考湖北卷（理） ） 已知点 A 1,1.B1,2 .C 2, 1 . D 3,4 , 则向量 AB在 CD 方向上的投影为（ ）A ．3 2B ．3 15C ． 3 2D ．3 152222【答案】 A二、填空题10．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理） （纯 WORD 版含答案）） 已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点 , 则 AE BD_______.【答案】 211（． 2013 年上海市春天高考数学试卷 ( 含答案 ) ）已知向量 a (1，k ) , b (9，k 6) . 若 a // b ,则实数 k __________3【答案】412．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试山东数学（理）试题（含答案））已知向量 AB 与 AC的夹角为 120°, 且 AB 3 ,AC 2,若 APABAC,且AP BC,则实数的值为 __________.【答案】71213（． 2013 年高考新课标（1理））已知两个单位向量a, b 的夹角为60°,c=t a+(1-t)b,若 b·c=0,则 t =_____.【答案】 t =2.14．（ 2013 年高考北京卷（理））向量a, b, c 在正方形格中的地点如下图. 若c=λa+μb ( λ, μ ∈R), 则=_________.bca【答案】 415．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设e1,e2为单位向量 , 非零向量b xe1ye2 , x, y R ,若 e1 ,e2的夹角为, 则| x |的最大值等于6| b | ________.【答案】216．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯WORD版含附带题））设D，E分别是A B C AB，BC上的点,AD1AB ,BEBC,若的边223DE1 AB2AC (1，2为实数),则12 的值为__________.【答案】1217．（2013 年高考四川卷（理））在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB ADAO ,则_________.【答案】 218 ．（ 2013年高考江西卷（理））设 e1, e2为单位向量.且 e1,e2的夹角为, 若3a e13e2, b2e1,则向量 a 在b方向上的射影为___________【答案】52ABCD 19．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试天津数学（理）试题（含答案））在平行四边形中,AD= 1,BAD60 ,E 为 CD的中点.若 AD·BE1,则 AB的长为______.【答案】1 2。
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2013高考试题解析分类汇编（理数）5：平面向量一、选择题错误！未指定书签。
1．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a;以D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d.若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++ 的最小值、最大值,其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足 （ ）A ．0,0m M =>B ．0,0m M <>C ．0,0m M <=D ．0,0m M <<D ． 【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>，其余均有0i r a d ⋅≤ ，故选D ．2错误！未指定书签。
．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，A.(3,4)AB =- ，所以||5AB =，所以同方向的单位向量是134(,)555AB =- ，选A. 错误！未指定书签。
3．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P 00∙≥∙.则（ ）A ．090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =D 以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设AB=4，C （a ，b ），P （x ，0）则BP 0=1，A （﹣2，0），B （2，0），P 0（1，0） 所以=（1，0），=（2﹣x ，0），=（a ﹣x ，b ），=（a ﹣1，b ）因为恒有所以（2﹣x ）（a ﹣x ）≥a ﹣1恒成立 整理可得x 2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立所以△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a 2≤0所以a=0，即C 在AB 的垂直平分线上 所以AC=BC故△ABC 为等腰三角形 故选D错误！未指定书签。
4．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））在四边形ABCD 中,(1,2)AC = ,(4,2)BD =-,则四边形的面积为（ ）A B ．C ．5D ．10C.由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出AC BD ==，则算出S=5．故答案C错误！未指定书签。
5．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．D.1,,,,=++=μλμλ其中是线外一点则三点共线若P C B A . 在本题中，32cos 4cos ||||πθθθ=⇒==⋅⋅=⋅.建立直角坐标系，设A(2,0),).(10,0).31(含边界内在三角形时，，则当OAB P B ≤+≥≥μλμλ344=⨯=的面积三角形的面积根据对称性，所求区域OAB S所以选D错误！未指定书签。
6．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,12AB AB ⊥ ,121OB OB == ,12AP AB AB =+ .若12OP < ,则OA 的取值范围是 （ ）A ．0,2⎛ ⎝⎦ B ．22⎛⎝⎦ C ．2⎛⎝ D ．2⎛⎝ D.【命题立意】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。
因为12AB AB ⊥，所以将在直角坐标系中取点12,,A B B ，因为121OB OB ==，所以过点12,B B 作一个半径为1的单位圆，圆心为(,)O a b .设12(0,),(,0)B y B x ，因为12AP AB AB =+，所以(,)P x y 。
因为121OB OB == ，所以2222()1,()1x a b a y b -+=+-=，两式相加得2222()()2x a y b b a -+-++=，又2,O P O b =所以222OP OA +=，即222OA OP =-，所以OA =，因为12OP < ，所以214OP < ，即212224OP -<-≤ ，即27224OP <-≤ <≤，即2OA <≤,所以OA 的取值范围是，选D. 错误！未指定书签。
7．（2013年高考湖南卷（理））已知,a b 是单位向量,0a b = .若向量c满足1,c a b c --=则的取值范围是（ ）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦A.本题考查数量积的应用。
因为0a b ⋅= ，即a b ⊥，又1a b == ，所以a b += 妨让,a b固定，设u a b =+ ，则1c u -= ，即c 的终点在以u 对应点为圆心，半径为1的圆上。
则当c 与u 方向相同时，max1c=，当c 与u 方向相反时，min1c=，所以c的取值范围是⎤⎦，选A.错误！未指定书签。
8．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+ ,若()()m n m n +⊥-,则=λ（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-1B 因为，． 所以=（2λ+3，3），．因为， 所以=0，所以﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选B ．9错误！未指定书签。
．（2013年高考湖北卷（理））已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD方向上的投影为（ ）A B C ．D ． A.本题考查向量的投影以及数量的坐标运算。
因为(2,1),(5,5A B CD == ,所以(2,1)(5,5)1A B C D ⋅=⋅= ，CD ==。
所以向量在方向上的投影为cos ,2AB CD AB AB CD CD⋅<>=== ，选A. 二、填空题10错误！未指定书签。
．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =_______.2 因为已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则 =0，故 =（ ）•（）=（）•（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为 2．11错误！未指定书签。
．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知向量AB 与AC的夹角为120°,且3AB = ,2AC = ,若AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥ ,则实数λ的值为__________.。
向量AB 与AC 的夹角为120，且||3,||A B A C == 所以1c o s 1203232A B A C A B A C ⋅=⋅=-⨯⨯=-。
由A P B C⊥ 得，0A P B C ⋅= ，即()()0A P B C A B A C A C A B λ⋅=+⋅-= ，所以22(1)0AC AB AB AC λλ-+-⋅= ，即493(1)0λλ---=，解得712λ=。
12错误！未指定书签。
．（2013年高考新课标1（理））已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t =_____.t =2. 因为，，所以=0，所以tcos60°+1﹣t=0，所以1=0，解得t=2．故答案为2．13错误！未指定书签。
．（2013年高考北京卷（理））向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________.4 以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系 可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3） 因为所以，解之得λ=﹣2且μ=﹣因此，==4故答案为：414错误！未指定书签。
．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x b ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,||b 的最大值等于________.2 |x ||b |=|x |(x e 1+y e 2)2=|x |x 2+y 2+3xy =1x 2+y 2+3xyx 2=1⎝⎛⎭⎫y x 2+3y x+1=1⎝ ⎛⎭⎪⎫y x − 3 22+14，所以|x ||b |的最大值为215错误！未指定书签。
．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________.12 易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+所以1212λλ+=16错误！未指定书签。
．（2013年高考四川卷（理））在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=_________.2 因为四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ， 所以+=，又O 为AC 的中点， 所以=2， 所以+=2， 因为+=λ，所以λ=2．故答案为：2．17错误！未指定书签。
．（2013年高考江西卷（理））设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为3π,若123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________52。
本题考查向量的投影的概念，以及平面向量的数量积的运算。
向量a 在b 方向上的射影为c o s,a ba ab b ⋅<>=。
2b = ，21211121(3)2262652a b e e e e e e ⋅=+⋅=+⋅=+⨯= ，所以向量a 在b 方向上的射影为52a b b⋅= 。