华东师大版九年级数学上册同步练习：24.1 测量-学习文档

合集下载

华师大版初中数学九年级上册《24.1 测量》同步练习卷(含答案解析

华师大新版九年级上学期《24.1 测量》同步练习卷一．选择题（共17小题）1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=2，AB=3，则CD 为（）A．B．C．2D．32．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若AB=2，BC=4．则DC的长度为（）A．1B．C．3D．23．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=3，BD=1，则BC的值是（）A．2B．C．2D．44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=4，AD=6，则AB的值为（）A．10B．10C．8D．85．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=4，BD=9，则CD的长是（）A．B．6C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A．B．C．D．37．如图，在Rt△ABC，∠BAC=90°，AD⊥BC，AB=10，BD=6，则BC的值为（）A．B．C．D．8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（）A．AC2=AD•AB B．CD2=CA•CB C．CD2=AD•DB D．BC2=BD•BA 9．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若BD=4，CD=6，则AD的长为（）A．8B．9C．10D．1210．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=6，AB=9，则AD=（）A．2B．3C．4D．511．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且∠BAD=∠C，则下列结论一定正确的是（）A．AB2=AC•BD B．AB•AD=BD•BCC．AB2=BC•BD D．AB•AD=BD•CD12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD=（）A．2B．4C．D．313．如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，若AC=3，AB=4，则AD=（）A．1B．C．D．514．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=8，AB=10，则AD等于（）A．4.4B．5.5C．6.4D．7.415．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边的高．若AD=8，BD=2，则CD=（）A．10B．2C．12D．416．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CD=6，BD=4，则AB的长为（）A．10B．11C．12D．1317．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DC=4，BC=9，则AC为（）A．5B．6C．7D．8二．填空题（共24小题）18．如图在Rt△ABC中，∠A=90°，斜边上的高AD交BC于D，若BD=9，CD=4，则AD的长度等于．19．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若BD=1，AD=3，则CD=．20．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AD=4，BD=1，则CD的长为．21．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，已知AB=6，BC=9，则图中线段的长BD=，AD=，AC=．22．如图，CD是Rt△ABC中斜边上的高，已知AD=6，BD=3，则CD=．23．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD=．24．已知CD是Rt△ABC斜边上的高，若AB=25，BC=15，则BD的长为．25．在Rt△ABC，若CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AD=3，CD=4，则BC=．26．在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BD=4，CD=9，则AD=．27．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，BD=1，CD=2，那么AD=．28．如图，若CD是Rt△ABC斜边CD上的高，AD=3cm，CD=4cm，则BC的长等于cm．29．如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD=．30．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD 的长为．31．一直角三角形的两直角边之比为2：3，若斜边上的高分斜边为两线段，则较小的一段与较大的一段之比是．32．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，CD=6，BD=4，则AD=．33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=3，BD=8，则CD=．34．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，BC=，BD=1．求AD=．35．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=1cm，DB=2cm，则AC=cm．36．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BD=3，CD=12，则AD的长为．37．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是，AC的长是．38．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，CA=6cm，AD=3cm，则BD=cm．39．矩形ABCD中AE⊥BD于E，AB=4，∠BAE=30°，求△DEC的面积是．40．在Rt△ABC中，C为直角顶点，过点C作AB的垂线，若D为垂足，若AC、BC为方程x2﹣6x+2=0的两根，则AD•BD的值等于．41．两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a，b的正方形拼成一个大正方形．图中Rt△ABC的斜边AB的长等于（用a，b的代数式表示）．三．解答题（共9小题）42．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高．若AB=4cm，BC=10cm，求BD的长．43．如图，在△ABC中，BD=3，CD=6，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，求AD的长．44．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，如果AC=3，AB=6，求BD的值．45．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于D．已知AC=6，AD=2，求AB？46．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，求证：AD2=CD•BD．47．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，求AD的长．48．【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC 与△ACD相似证明AC2=AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；（2）若DE=2CE，求OF的长．49．已知Rt△ABC中，∠C=90°，CH⊥AB于点H，AC=3，CH=2，求BC的长．50．已知关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab=0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若CD是AB边上的高，AC=2，AD=1，求BD的长．华师大新版九年级上学期《24.1 测量》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=2，AB=3，则CD 为（）A．B．C．2D．3【分析】根据勾股定理就可求得AB的长，再根据△ABC的面积=•AC•BC=•AB•CD，即可求得．【解答】解：根据题意得：BC===．∵△ABC的面积=•AC•BC=•AB•CD∴CD===2．故选：C．【点评】本题主要考查了勾股定理，根据三角形的面积是解决本题的关键．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若AB=2，BC=4．则DC的长度为（）A．1B．C．3D．2【分析】由已知先证△ABC∽△DAC，可证=，即可求DC的长．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ADC=∠BAC=90°，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△DAC，∴=，∵AB=2，BC=4，∴AC=2，∴=，∴DC=3．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，有两角对应相等则此两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=3，BD=1，则BC的值是（）A．2B．C．2D．4【分析】利用射影定理得到BC2=BD•BA，然后把AD=3，BD=1代入计算即可．【解答】解：根据射影定理得BC2=BD•BA，即BC2=1×（1+3），所以BC=2．故选：C．【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=4，AD=6，则AB的值为（）A．10B．10C．8D．8【分析】据射影定理得到：AC2=AD•AB，把相关线段的长度代入，即可求得线段AB的长度．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC2=AD•AB，又∵AC=4，AD=6，∴（4）2=6×AB，∴AB=8．故选：C．【点评】本题考查了射影定理．解题时注意：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=4，BD=9，则CD的长是（）A．B．6C．D．【分析】根据射影定理得到：CD2=BD•AD，代入求值即可．【解答】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=4，BD=9，∴由射影定理得：CD2=BD•AD=9×4=36，∴CD=6（舍去负值）．故选：B．【点评】本题考查了射影定理．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A．B．C．D．3【分析】根据射影定理得到：AC2=AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC2=AD•AB，又∵AC=3，AB=6，∴32=6AD，则AD=．故选：A．【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．7．如图，在Rt△ABC，∠BAC=90°，AD⊥BC，AB=10，BD=6，则BC的值为（）A．B．C．D．【分析】根据射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项即可得出BC的长．【解答】解：根据射影定理得：AB2=BD×BC，∴BC==．故选：D．【点评】本题考查射影定理的知识，属于基础题，注意掌握每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（）A．AC2=AD•AB B．CD2=CA•CB C．CD2=AD•DB D．BC2=BD•BA 【分析】直接根据射影定理对各选项进行判断．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴AC2=AD•AB，CD2=DA•DB，BC2=BD•BA．故选：B．【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．9．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若BD=4，CD=6，则AD的长为（）A．8B．9C．10D．12【分析】根据直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项求出AD的长．【解答】解：根据射影定理，CD2=AD•BD，∵BD=4，CD=6，∴AD=9，故选：B．【点评】本题考查的是射影定理，掌握直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项是解题的关键．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=6，AB=9，则AD=（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用射影定理得到：AC2=AD•AB，把相关线段的长度代入进行解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∴AC2=AD•AB，∵AC=6，AB=9，∴36=9AD，则AD=4．故选：C．【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．11．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且∠BAD=∠C，则下列结论一定正确的是（）A．AB2=AC•BD B．AB•AD=BD•BCC．AB2=BC•BD D．AB•AD=BD•CD【分析】先证明△BAD∽△BCA，则利用相似的性质得AB：BC=BD：AB，然后根据比例性质得到AB2=BC•BD．【解答】解：∵∠BAD=∠C，而∠ABD=∠CBA，∴△BAD∽△BCA，∴AB：BC=BD：AB，∴AB2=BC•BD．故选：C．【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD=（）A．2B．4C．D．3【分析】根据射影定理得到CD2=AD•BD=4，然后利用算术平方根的定义求解．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴CD2=AD•BD=1×4=4，∴CD=2．故选：A．【点评】本题考查了射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．要善于合理使用射影定理进行几何计算．13．如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，若AC=3，AB=4，则AD=（）A．1B．C．D．5【分析】利用两角法证得△ACB∽△ADC，然后由该相似三角形的对应边成比例来求AD的长度．【解答】解：如图，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，又∵∠C=90°，∴∠ACD=∠B（同角的余角相等）．又∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADC，∴=，即=，∴AD=．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=8，AB=10，则AD等于（）A．4.4B．5.5C．6.4D．7.4【分析】根据射影定理得到AC2=AD•AB，然后把AC=8，AB=10代入计算即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC2=AD•AB，∴AD==6.4．故选：C．【点评】本题考查了射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．常用此定理进行几何计算．15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边的高．若AD=8，BD=2，则CD=（）A．10B．2C．12D．4【分析】根据射影定理即可求此题，即斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高∴∠BDC=∠ACB=90°∵∠B=∠B∴△ABC∽△CBD∴CD2=AD•BD，∵AD=8，BD=2，∴CD==4．故选：D．【点评】此题主要考查了射影定理，即：斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．16．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CD=6，BD=4，则AB的长为（）A．10B．11C．12D．13【分析】根据直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项求出AD的长，计算出AB的长．【解答】解：根据射影定理，CD2=AD•BD，∴AD=9，∴AB=AD+BD=13．故选：D．【点评】本题考查的是射影定理，掌握直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项是解题的关键．17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DC=4，BC=9，则AC为（）A．5B．6C．7D．8【分析】根据射影定理：直角三角形中，一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项计算即可．【解答】解：由射影定理得，AC2=CD•CB=4×9=36，∴AC=6．故选：B．【点评】本题考查的是射影定理的应用，掌握直角三角形中，一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项是解题的关键．二．填空题（共24小题）18．如图在Rt△ABC中，∠A=90°，斜边上的高AD交BC于D，若BD=9，CD=4，则AD的长度等于6．【分析】根据直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项计算．【解答】解：由射影定理得，AD2=BD•CD，则AD2=9×4=36，∴AD=6，故答案为：6．【点评】本题考查的是射影定理，掌握直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项是解题的关键．19．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若BD=1，AD=3，则CD=9．【分析】先根据题意得出△ABD∽△CAD，然后根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°．∵AD⊥BC于点D，∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，∠B=∠CAD，∴△ABD∽△CAD，∴AD2=BD•CD，∵BD=1，AD=3，∴CD=9，故答案为：9【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应变成比例求边长．20．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AD=4，BD=1，则CD的长为2．【分析】根据射影定理得到：CD2=BD•AD，代入求值即可．【解答】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=4，BD=1，∴由射影定理得：CD2=BD•AD=1×4=4，∴CD=2（舍去负值）．故答案是：2．【点评】本题考查了射影定理．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．21．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，已知AB=6，BC=9，则图中线段的长BD=4，AD=2，AC=3．【分析】根据射影定理得AB2=BD•BC，则可计算出BD=4，再计算出CD=BC﹣BD=5，然后根据AD2=BD•CD计算出AD，利用AC2=CD•BC计算出AC．【解答】解：∵AB⊥AC，AD⊥BC，∴AB2=BD•BC，即62=BD•9，解得BD=4，∴CD=BC﹣BD=5，∵AD2=BD•CD，∴AD==2，∵AC2=CD•BC，∴AC==3．故答案为4，2，3．【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．22．如图，CD是Rt△ABC中斜边上的高，已知AD=6，BD=3，则CD=3．【分析】根据同角的余角相等证明∠DCB=∠CAD，利用两角对应相等证明△ADC ∽△CDB，列比例式可得结论．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵CD是高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠DCB=∠CAD，∴△ADC∽△CDB，∴，∴CD2=AD•BD，∵AD=6，BD=3，∴CD=故答案为：3【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．23．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD=．【分析】利用射影定理得到AC2=AD•AB，然后把AC、AB的长代入可计算出AD 的长．【解答】解：根据射影定理得AC2=AD•AB，所以6AD=32，所以AD=．故答案为．【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．24．已知CD是Rt△ABC斜边上的高，若AB=25，BC=15，则BD的长为9．【分析】根据射影定理计算即可．【解答】解：由射影定理得，BC2=BD•AB，则BD==9，故答案为：9．【点评】本题考查的是射影定理，直接三角形每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．25．在Rt△ABC，若CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AD=3，CD=4，则BC=．【分析】根据射影定理求出BD的长，再根据射影定理计算即可．【解答】解：如图所示：∵CD是Rt△ABC斜边CD上的高，∴CD2=AD•DB，则16=3BD故BD=，可得AB=AD+BD=，∵BC2=BD•BA=×，∴BC=，故答案为：．【点评】本题考查的是射影定理的应用，射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．26．在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BD=4，CD=9，则AD=6．【分析】根据直角三角形中的射影定理来做：AD2=BD•CD．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AD是斜边BC上的高，∴AD2=BD•CD（射影定理），∵BD=4，CD=9，∴AD=6．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质：射影定理．27．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，BD=1，CD=2，那么AD=4．【分析】根据射影定理得到CD2=BD•AD，然后把BD=1，CD=2代入可计算出AD 的长．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴CD2=BD•AD，即22=1•AD，∴AD=4．【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．28．如图，若CD是Rt△ABC斜边CD上的高，AD=3cm，CD=4cm，则BC的长等于cm．【分析】根据射影定理求出BD的长，再根据射影定理计算即可．【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边CD上的高，∴CD2=AD•DB，∴BD=，则AB=AD+BD=，∵BC2=BD•BA=×，∴BC=，故答案为：．【点评】本题考查的是射影定理的应用，射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．29．如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD=6．【分析】根据射影定理得到等积式，代入已知数据计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，CD⊥AB，∴CD2=BD•AD=36，∴CD=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是射影定理的应用，掌握直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项是解题的关键．30．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD的长为4．【分析】根据射影定理得到：CD2=AD•BD，把相关线段的长度代入计算即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，∴CD2=AD•BD=8×2，则CD=4．故答案是：4．【点评】本题考查了射影定理．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2=BD•DC；②AB2=BD•BC；AC2=CD•BC．31．一直角三角形的两直角边之比为2：3，若斜边上的高分斜边为两线段，则较小的一段与较大的一段之比是4：9．【分析】画出图形，根据射影定理，得到AC2=AD×AB，BC2=BD×BA，再根据=，即可得到=．【解答】解：如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，∴AC2=AD×AB，BC2=BD×BA，∴==，又∵=，∴=，故答案为：4：9．【点评】本题主要考查了射影定理，解题时注意：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．32．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，CD=6，BD=4，则AD=9．【分析】根据射影定理列出算式，计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，CD⊥AB，∴CD2=AD•BD，∴AD==9，故答案为：9．【点评】本题考查的是射影定理的应用，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=3，BD=8，则CD= 2．【分析】根据射影定理列出等积式，代入已知数据计算即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴CD2=AD•BD=24，则CD=2，故答案为：2．【点评】本题考查的是射影定理的应用，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．34．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，BC=，BD=1．求AD=5．【分析】根据射影定理列出等积式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：由射影定理得，BC2=BD•BA，则BA=6，∴AD=BA﹣BD=5，故答案为：5．【点评】本题考查的是射影定理的应用，掌握直角三角形每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项是解题的关键．35．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=1cm，DB=2cm，则AC=cm．【分析】由射影定理求出CD，再根据勾股定理求出AC即可．【解答】解：如图所示：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴由射影定理得：CD2=AD•DB=1×2=1，∴CD=1cm，由勾股定理得：AC===（cm）．故答案为：．【点评】本题考查了射影定理、勾股定理；熟练掌握射影定理，由射影定理求出CD是解决问题的关键．36．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BD=3，CD=12，则AD的长为6．【分析】根据射影定理得到AD2=CD•BD，代入计算即可得到答案．【解答】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴AD2=CD•BD=36，∴AD=6，故答案为：6．【点评】本题考查的是射影定理的应用，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．37．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是4，AC的长是2．【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B，又由∠CDB=∠ACB=90°，可证得△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得AD，然后根据勾股定理即可求得AC．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴△ACD∽△CBD，∴，∵CD=2，BD=1，∴，∴AD=4，在Rt△ACD中，AC===2，故答案为：4，2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形的对应边成比例定理的应用．38．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，CA=6cm，AD=3cm，则BD=9cm．【分析】根据射影定理得到AC2=AD•AB，即62=3AB，则可求出AB，然后计算AB ﹣AD即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD⊥AB，∴AC2=AD•AB，即62=3AB，∴AB=12，∴BD=AB﹣AD=12﹣3=9（cm）．故答案为9．【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．39．矩形ABCD中AE⊥BD于E，AB=4，∠BAE=30°，求△DEC的面积是．【分析】根据已知条件，先求出线段AE，BE，DE的长度，进而求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等即可得出答案．【解答】解：如图，过点C作CF⊥BD于F．∵矩形ABCD中，AB=4，AE⊥BD，∠BAE=30°，∴AB2=BE×BD，BE=2，AE=2，∴ED=BD﹣BE=6，∴∠ABE=∠CDF=60°，AB=CD=4，AEB=∠CFD=90°．∴△ABE≌△CDF．∴AE=CF．∴S=ED•AE，S△ECD=ED•CF△AED=S△CDE，∴S△AED∵AE=2，DE=6，∴△ECD的面积是6．故答案为：6．【点评】本题考查了射影定理及矩形的性质，解题的关键是要注意问题的转化．此题还要求掌握直角三角形的性质，直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．40．在Rt△ABC中，C为直角顶点，过点C作AB的垂线，若D为垂足，若AC、BC为方程x2﹣6x+2=0的两根，则AD•BD的值等于．【分析】由AC、BC是方程x2﹣6x+2=0的两根，则可得x1=，x2=，所以，可得斜边AB及其高CD的长，根据射影定理即可得出AD•BD的值；【解答】解：∵AC、BC为方程x2﹣6x+2=0的两根，∴x1=，x2=，令AC=，BC=，∴AB==4，又AB×CD=AC×BC，∴CD===，∴AD•BD=CD2==．故答案为：．【点评】本题主要考查了学生对于射影定理、勾股定理及三角形面积公式的理解及运用．41．两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a，b的正方形拼成一个大正方形．图中Rt△ABC的斜边AB的长等于（用a，b的代数式表示）．【分析】Rt△ABC的边BC在斜边AB上的射影为a，利用勾股定理直接解答即可．【解答】解：Rt△ABC的边BC在斜边AB上的射影为a，由BC2=a•AB可得，AB=．故答案为：．【点评】本题考查射影定理的知识，属于基础题，注意掌握每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．三．解答题（共9小题）42．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高．若AB=4cm，BC=10cm，求BD的长．【分析】根据射影定理列出算式，代入数据计算即可．【解答】解：∵AD是Rt△ABC斜边上的高，∴根据射影定理可知，AB2=BD•BC，代入数据得：．【点评】本题考查的是射影定理的应用，射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．43．如图，在△ABC中，BD=3，CD=6，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，求AD的长．【分析】根据射影定理得到AD2=CD•BD，代入计算即可得到答案．【解答】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴AD2=CD•BD=18，∴AD=3，【点评】本题考查的是射影定理的应用，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．44．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，如果AC=3，AB=6，求BD的值．【分析】利用射影定理解答即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，∴，∴BD=AB﹣AD=6﹣1.5=4.5．【点评】此题主要考查了射影定理，得出AD的长是解题关键．45．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于D．已知AC=6，AD=2，求AB？【分析】根据射影定理得到等积式，代入计算即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC2=AD•AB，又AC=6，AD=2，∴AB=18．【点评】本题考查的是射影定理的应用，射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．46．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，求证：AD2=CD•BD．【分析】利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC，则可判断Rt△ADB∽Rt△CDA，所以AD：CD=BD：AD，然后根据比例的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠B+∠BAD=90°，而∠BAD=∠DAC=90°，∴∠B=∠DAC，∴Rt△ADB∽Rt△CDA，∴AD：CD=BD：AD，∴AD2=CD•BD．【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．47．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，求AD的长．【分析】根据勾股定理求出AB，根据射影定理得到AC2=AD•AB，代入计算即可．【解答】解：∵AC⊥BC，AC=8，BC=6，∴AB==10，∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴AC2=AD•AB，∴AD==6.4．【点评】本题考查的是射影定理和勾股定理的应用，掌握直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项是解题的关键．48．【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC 与△ACD相似证明AC2=AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；（2）若DE=2CE，求OF的长．【分析】【问题情境】通过证明Rt△ACD∽Rt△ABC得到AC：AB=AD：AC，然后利用比例性质即可得到AC2=AD•AB；【结论运用】（1）根据射影定理得BC2=BO•BD，BC2=BF•BE，则BO•BD=BF•BE，即=，加上∠OBF=∠EBD，于是可根据相似三角形的判定得到△BOF∽△BED；（2）先计算出DE=4，CE=2，BE=2，OB=3，再利用（1）中结论△BOF∽△BED得到=，即=，然后利用比例性质求OF．【解答】【问题情境】证明：如图1，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，而∠CAD=∠BAC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AD•AB；【结论运用】（1）证明：如图2，∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD=90°，∴BC2=BO•BD，∵CF⊥BE，∴BC2=BF•BE，∴BO•BD=BF•BE，即=，而∠OBF=∠EBD，∴△BOF∽△BED；（2）∵BC=CD=6，而DE=CE，∴DE=4，CE=2，在Rt△BCE中，BE==2，在Rt△OBC中，OB=BC=3，∵△BOF∽△BED，∴=，即=，∴OF=．【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质．49．已知Rt△ABC中，∠C=90°，CH⊥AB于点H，AC=3，CH=2，求BC的长．【分析】根据勾股定理求得AB的长度，然后利用射影定理来求得BH、BC的长度．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，CH⊥AB于点H，AC=3，CH=2，∴AH2=AC2﹣CH2=5．∴AH=．又∵CH2=AH•BH，∴BH==，∴BC2=BH•AB=×（+）=，则BC=．【点评】本题考查了射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．50．已知关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab=0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若CD是AB边上的高，AC=2，AD=1，求BD的长．【分析】（1）根据判别式等于0可得出三边的关系，继而可判断出三角形的形状；（2）结合（1）的结论，利用射影定理即可直接解答．【解答】解：（1）∵两根相等，∴可得：4（a+b）2﹣4（c2+2ab）=0，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形；（2）由（1）可得：AC2=AD×AB，∵AC=2，AD=1，∴AB=4，∴BD=AB﹣AD=3．【点评】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，综合性较强，注意掌握射影定理的运用．。

届九年级数学上册24.1测量练习(新版)华东师大版【含答案】

��
２２２在R △A 由勾股定理 , 知A t B C 中, B ＋B C ＝A C ．
题．
第３题图
第４题图
பைடு நூலகம்
第５题图
他把绳子下端拉开５米后 , 发现下端刚好接触地面 , 求旗杆的高度．
１２２２ ) 解得 x＝２ ∴ x ＋５＝( x＋２．．４
学生解答 : 这棵树高为１５米．

华东师大版九年级上册数学第24章《解直角三角形》分课时练习题及答案

数学九年级上册第24章解直角三角形 24.1 测量同步练习题1．如图，一场暴风雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为( )A. 5 米B. 3 米 C．(5＋1)米 D．3米2. 如图，李光用长为3.2m的竹竿DE为测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿顶端、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距(AE)8m，与旗杆相距(BE)22 m，则旗杆的高为()A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m3. 身高为1.5米的小华在打高尔夫球，她在阳光下的影长为2.1米，此时她身后一棵树的影长为10.5米，则这棵树高为()A．7.5米B．8米 C．14.7米 D．15.75米4. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为()A．11米 B．12米 C．13米 D．14米5. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行______米．6. 如图，B，C是河岸上两点，A是对岸岸边上一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．7. 如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2 m，长臂长为8 m，当短臂端点下降0.6 m时，长臂端点升高______m .(杆的粗细忽略不计)8. 如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7米的亮区，已知亮区一边到窗口下的墙脚距离EC＝8.7 米，窗口高AB＝1.8米，那么窗口底边离地面的高BC＝________米．9. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝_______．10. 如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是______米．11. 如图，一人拿着一把有厘米刻度的小尺，他站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12厘米恰好遮住电线杆，已知臂长约60厘米，求电线杆的高．12. 如图，是一个照相机成像的示意图．(1)如果像高MN是35 mm，焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，拍摄点离景物有多远？(2)如果要完整的拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？13. 如图，正方形城邑DEFG的四面正中各有城门，出北门20步的A处(HA＝20步)有一树木，出南门14步到C处(KC＝14步)，再向西行1775步到B处(CB＝1775步)，正好看到A处的树木(点D在直线AB上)，求城邑的边长．14. 亮亮和晶晶住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，晶晶站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，晶晶的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D.然后测出两人之间的距离CD＝1.25m，晶晶与楼之间的距离DN＝30 m(C，D，N在一条直线上)，晶晶的身高BD＝1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8m．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？15. 某同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另外一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得台阶上的影长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为多少米？答案：1—4 CAAB5. 106. 507. 48. 49. 1.5 10. 5411. 解：电线杆的高为6米12. 解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴MN AB ＝LCLD (1)∵像高MN 是35mm ，焦距是50 mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，∴3550＝4.9LD ，解得LD ＝7.∴拍摄点距离景物7 m (2)拍摄高度AB 是2 m 的景物，拍摄点离景物LD ＝4 m ，像高MN 不变，∴35LC ＝24.解得LC ＝70.∴相机的焦距应调整为70 mm13. 解：设正方形的边长为x 步，由已知可得△ADH∽△ABC ，∴AH AC ＝DHBC ，即2020＋x ＋14＝12x 1775，整理得x 2＋34x －71000＝0，解得x 1＝250，x 2＝－284(舍去)，所以城邑的边长为250步14. 解：过A 作CN 的平行线交BD 于点E ，交MN 于点F.由已知可得FN ＝ED ＝AC ＝0.8 m ，AE ＝CD ＝1.25 m ，EF ＝DN ＝30 m ，∠AEB ＝∠AFM ＝90°，又∠BAE＝∠MAF，∴△ABE ∽△AMF ，∴BE MF ＝AE AF ，即1.6－0.8MF ＝ 1.251.25＋30，解得MF ＝20.∴MN ＝MF ＋FN ＝20＋0.8＝20.8(m)，所以住宅楼的高度为20.8 m15. 解：设落在地面上的影子4.4米所对应的树高为x米，则有x4.4＝10.4，∴x＝11，落在第一阶台阶上的影子长为0.2米对应的树高为0.5米，所以树高为11＋0.5＋0.3＝11.8(米)数学九年级上学期《24.2直角三角形的性质》同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF．正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列判断：①有两个内角分别为55°和25°的三角形一定是钝角三角形；②直角三角形中两锐角之和为90°；③三角形的三个内角中至少有两个锐角；④三条高不相交的三角形一定是钝角三角形，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．43．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，∠ABC 的平分线BE分别交CD、CA于点F、E，则下列结论正确的有（）①∠CFE=∠CEF；②∠FCB=∠FBC，③∠A=∠DCB；④∠CFE与∠CBF互余．A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③4．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（）A．75° B．60° C．45°D．30°5．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，则∠A=（）A．45° B．55°C．65° D．75°6．如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，与∠1互余的角有（）A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD 7．直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个锐角的度数是（）A．18° B．36° C．54°D．72°8．直角三角形两个锐角平分线相交所成角的度数为（）A．90° B．135° C．120°D．45°或135°9．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，则∠B=（）A．30° B．40° C．50°D．60°10．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论错误的是（）A．∠A=∠2 B．∠1和∠B都是∠A的余角C．∠1=∠2 D．图中有3个直角三角形11．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=61°，则∠B=（）A．61° B．39°C．29° D．19°12．如图，在△ABC中，∠ACB=105°，∠B=30°，∠ACB的平分线CD交AB 于点D，则AD：BD=（）A．B．C．1：2D．二．填空题（共10小题）13．如图，已知∠AON=40°，OA=6，点P是射线ON上一动点，当△AOP 为直角三角形时，∠A=°．14．在一个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个锐角的度数是°．15．如图，在直角三角形ABC中，两锐角平分线AM、BN所夹的钝角∠AOB=度．16．如图△ABC中，点M是BC的中点，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，AN平分∠BAC，AN⊥CN，则MN=．17．如图示在△ABC中∠B=．18．直角△ABC中，∠A﹣∠B=20°，则∠C的度数是．19．直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为．20．在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=23°，则∠B=°，与∠B相邻的外角为°．21．一块直角三角板放在两平行直线上，如图，∠1+∠2=度．22．在直角三角形中，若一个锐角为35°，则另一个锐角为．三．解答题（共5小题）23．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=30°，求∠DCB．24．小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．（1）M为边AC上一点，则BD、MF的位置是．请你进行证明．（2）M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是．请你进行证明．（3）M为边AC延长线上一点，猜想BD、MF的位置关系是．请你进行证明．25．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数；②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．26．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．参考答案一．选择题1．C．2．D．3．A．4．C．5．B．6．C．7．D．8．D．9．B．10．C．11．C．12．A．二．填空题13．50或90．14．4515．13516．4．17．25°．18．20°或90°．19．40°或15°．20．67；113．21．90．22．55°．三．解答题23．解：∵∠A=30°，∴∠B=90°﹣30°=60°，∵CD⊥AB，∴∠DCB=90°﹣∠B=30°．24．解：（1）BD∥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME，∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°，又∵∠AFM+∠AMF=90°，∴∠ABD=∠AFM，∴BD∥MF；（2）BD⊥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，∴∠ABC=∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠AMF，∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠AMF+∠ADB=90°，∴BD⊥MF；（3）BD⊥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，∴∠ABC=∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠AMF，∵∠AMF+∠F=90°，∴∠ABD+∠F=90°，∴BD⊥MF．25．解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB；（2）①当∠B=34°时，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=34°，由（1）知，∠BCD+∠B=90°，∴∠BCD=56°，由折叠知，∠A'CD=∠ACD=34°，∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=56°﹣34°=22°；②当∠B=n°时，同①的方法得，∠A'CD=n°，∠BCD=90°﹣n°，∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=90°﹣n°﹣n°=90°﹣2n°．26．证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．27．证明：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB．数学九年级上学期《24.3锐角三角函数》同步练习一．选择题（共9小题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，AB=2，则AC长是（）A．B．C．D．22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A．B．C．D．3．如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanC的值是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA的值是（）A．B．C．D．5．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA=（）A．B．C．D．6．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）A．B．1 C．D．7．若0°＜∠A＜45°，那么sinA﹣cosA的值（）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定8．下列说法正确的个数有（）（1）对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1（2）对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2（3）如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2（4）如果cotα1＜cotα2，那么锐角α1＞锐角α2A．1个B．2个C．3个D．4个9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA的值等于，则AB的长度是（）A．3 B．4 C．5 D．二．填空题（共5小题）10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=BC，则cos∠B=．11．如图，若点A的坐标为，则sin∠1=．12．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值为．13．如图，∠AOB放置在正方形网格中，则∠AOB的正切值是．14．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有．三．解答题（共5小题）15．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合．（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是；（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：；α的取值范围是．16．已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=2+2，c=4，求锐角A的度数．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，AD=BC=5，cos∠ADC=，求：sinB的值．19．设θ为直角三角形的一个锐角，给出θ角三角函数的两条基本性质：①tanθ=；②cos2θ+sin2θ=1，利用这些性质解答本题．已知cosθ+sinθ=，求值：（1）tanθ+；（2）||．参考答案一．选择题1．A．2．D．3．A．4．D．5．C．6．A．7．B．8．C．9．C．二．填空题10．．11．．12．3．13．．14．①②③④．三．解答题15．解：（1）连接CD，OM．根据旋转的性质可得，MC=MD，OC=OD，又OM是公共边，∴△COM≌△DOM，∴∠COM=∠DOM，又∵OC=OD，∴CD⊥OM；（2）由（1）知∠COM=∠DOM，∴∠COM=，在Rt△COM中，CM=OC•tan∠COM=m•tan；因为OD与OM不能重合，且只能在OC右边，故可得α的取值范围是0°＜α＜90°．16．解：将a+b=2+2两边平方，整理得ab=4，又因为a+b=2+2，构造一元二次方程得x2﹣（2+2）x+4=0，解得x1=2，x2=2则（1）sinA==时，锐角A的度数是30°，（2）sinA==时，锐角A的度数是60°，所以∠A=30°或∠A=60°．17．解：∵∠C=90°，MN⊥AB，∴∠C=∠ANM=90°，又∵∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC，∴==，设AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC==x，在Rt△ABC中，cosB===．18．解：∵AD=BC=5，cos∠ADC=，∴CD=3，在Rt△ACD中，∵AD=5，CD=3，∴AC===4，在Rt△ACB中，∵AC=4，BC=5，∴AB===，∴sinB===．19．解（1）∵cosθ+sinθ=，∴（cosθ+sinθ）2=（）2，cos2θ+2cosθ•sinθ+sin2θ=，cosθ•sinθ=，∴tanθ+=+===4；（2）∵（cosθ﹣sinθ）2=cos2θ﹣2cosθ•sinθ+sin2θ=1﹣2×=，∴cosθ﹣sinθ=±，∴|cosθ﹣sinθ|=．数学九年级上学期《24.4解直角三角形》同步练习一．选择题（共11小题）1．如图，四边形ABCD中，∠ABC=Rt∠．已知∠A=α，外角∠DCE=β，BC=a，CD=b，则下列结论错误的是（）A．∠ADC=90°﹣α+βB．点D到BE的距离为b•sinβC．AD=D．点D到AB的距离为a+bcosβ2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=，那么AB的长是（）A．3 B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，若AC=6cm，则BC的长度为（）A．8cm B．7cm C．6cmD．5cm4．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为（）A．2 B．C．D．5．已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（）A．B．2C．3D．66．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，那么BC的长为（）A．m•tanα•cosαB．m•cotα•cosαC．D．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AB上一点，且AD：DB=3：2，过点D作DE⊥AC于E，连结BE，则tan∠CEB的值等于（）A．B．2 C．D．8．一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（）A．B．C．D．9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=4，E为BC中点，AE 平分∠BAD，连接DE，则sin∠ADE的值为（）A．B．C．D．10．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OE⊥AC于O交BC于E，连接AE．若AB=1，AD=，则AE=（）A．B．C．D．2 11．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A．50B．51 C．50+1D．101二．填空题（共6小题）12．在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=，则∠ABC的大小为度．∠ABH=，则13．已知等腰△ABC，AB=AC，BH为腰AC上的高，BH=3，tanCH的长为．14．已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为．15．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，计算tan∠BA4C=，…按此规律，写出tan∠BA n C=（用含n的代数式表示）．16．已知△ABC中，满足+=，AB=10．则AC+BC=17．在△ABC中，AB=AC，若BD⊥直线AC于点D，若cos∠BAD=，BD=2，则BC为．三．解答题（共8小题）18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边的中点，BD=2，tanB=（1）求AD和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．19．如图，四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD是锐角．（1）若BD=BC，证明：sin∠BCD=．（2）若AB=BC=4，AD+CD=6，求的值．（3）若BD=CD，AB=6，BC=8，求sin∠BCD的值．（注：本题可根据需要自己画图并解答）20．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sinA=，点D在AB边上，且∠BDC=45°，BC=5．（1）求AD长；（2）求∠ACD的正弦值．21．在数学活动课上，老师带领学生去测量操场上树立的旗杆的高度，老师为同学们准备了如下工具：①高为m米的测角仪，②长为n米的竹竿，③足够长的皮尺．请你选用以上的工具，设计一个可以通过测量，求出国旗杆高度的方案（不用计算和说明，画出图形并标记可以测量的长度或者角度即可，可测量的角度选用α，β，γ标记，可测量的长度选用a，b，c，d标记，测角仪和竹竿可以用线段表示）．（1）你选用的工具为：；（填序号即可）（2）画出图形．22．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）23．每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC=15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC=60°，AD=4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）24．小明与班级数学兴趣小组的同学在学校操场上测得旗杆BC在地面上的影长AB为12米，同一时刻，测得小明在地面的影长为2.4米，小明的身高为1.6米．（1）求旗杆BC的高度；（2）兴趣小组活动一段时间后，小明站在A，B两点之间的D处（A，D，B三点在一条直线上），测得旗杆BC的顶端C的仰角为α，且tanα=0.8，求此时小明与旗杆之间的距离．25．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．参考答案一．选择题1．C．2．A．3．A．4．B．5．C．6．C．7．D．8．B．9．B．10．C．11．C．二．填空题（共6小题）12．30或150．13．3或14．15．；．16．14．17．2或2．三．解答题18．解：（1）∵D是BC的中点，BD=2，∴BD=DC=2，BC=4，在Rt△ACB中，由 tanB==，∴=，∴AC=3，由勾股定理得：AD===，AB===5；（2）过点D作DE⊥AB于E，∴∠C=∠DEB=90°，又∠B=∠B，∴△DEB∽△ACB，∴=，∴DE=，∴sin∠BAD===．19．解：（1）如图1中，过点B作AD的垂线BE交DA的延长线于点E，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴四边形ABCD四点共圆，∴∠BDE=∠ACB，∠EAB=∠BCD，∵∠BED=∠ABC=90°，∴△BED∽△ABC，∴==sin∠EAB=sin∠BCD；（2）如图2中，过点B作BF⊥BD交DC的延长线于F．∵∠ABC=∠DBF=90°，∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BAD=180°﹣∠BCD=∠BCF，∵∠BCF=∠BAD，BC=BA，∴△DAB≌△CBF，∴BD=BF，AD=CF，∵∠DBF=90°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BD=DF，∵AD+CD=6，∴CF+CD=DF=6，∴BD=3，AC==4，∴==．（3）当BD=CD时，如图3中，过点B作MN∥DC，过点C作CN⊥MN，垂足为N，延长DA交MN于点M，则四边形DCNM是矩形，△ABM∽△BCN，∴===，设AM=6y，BN=8y，BM=6x，CN=8x，在Rt△BDM中，BD==10x，∵BD=DC，∴10x=6x+8y，∴x=2y，在Rt△ABM中，AB==6y，∴sin∠BCD=sin∠MAB===．20．解：（1）∵∠B=90°，∠BDC=45°，∴BC=BD=5，∵sinA=，∴AB=12，∴AD=AB﹣BD=12﹣5=7；（2）过A作AE⊥CE交CD延长线于点E，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE=，则sin∠ACD=．21．解：（1）选用的工具为：①③；故答案为：①③；（2）如图所示：可以量出AM，AC，AB的长，以及α，β的度数，即可得出DC，NC的长．22．解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行且等于EG．故四边形EGHD是矩形．∴ED=GH．在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10（米）．在Rt△FGE中，i==，∴FG=EG=10（米）．∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7（米）；（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长=×（3+10﹣7）×10×500=25000﹣10000（立方米）．答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为（10﹣7）米；（2）完成这项工程需要土石（25000﹣10000）立方米．23．解：过点A作AE⊥CD于点E，∵∠BAC=15°，∴∠DAC=90°﹣15°=75°，∵∠ADC=60°，∴在Rt△AED中，∵cos60°===，∴DE=2，∵sin60°===，∴AE=2，∴∠EAD=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，在Rt△AEC中，∵∠CAE=∠CAD﹣∠DAE=75°﹣30°=45°，∴∠C=90°﹣∠CAE=90°﹣45°=45°，∴AE=CE=2，∴sin45°===，∴AC=2，∴AB=2+2+2≈2×2.4+2×1.7+2=10.2≈10米．答：这棵大树AB原来的高度是10米．24．解：（1）依题意有：=，即=，解得BC=8．故旗杆BC的高度是8米；（2）如图，在Rt△CFE中，tan∠CEF===0.8，解得EF=8，则BD=8．故此时小明与旗杆之间的距离是8米．25．解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为（15+15）海里．（2）∵AC=15+15（海里），轮船乙从A到C的时间为=+1，由B到C的时间为+1﹣1=，∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．。

2019年秋华东师大版九年级上册数学习题：24.1 测量课后作业(共10张PPT)

点H处时，正好看到树尖A．点B、C、D在同一条直线上．已
知小明的眼睛距离地面1.7 m，且量得CD＝12 m，CF＝1.8 m， DH＝3.8 m．请你求出这棵松树的高．
解：根据光的反射原理可以推出∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH. ∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，∴∠ABC＝∠EFC＝∠EFD＝∠GHD＝90°， ∴△BCA∽△FCE，△ADB∽△GDH，∴EAFB＝CBFC，GAHB ＝DBHD .
• 2．【甘肃兰州中考】如图，小明为了测量一凉亭的高度 AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5米，A、B、C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15米，然后端沿A，直测线得CGEG后＝退3到米点，E小处明，身这高时1恰.6米好，在则镜凉子亭里的看高到度凉A亭B约的为顶A ()
图1
图2
解：如图，过点 A 作 AF⊥BC，垂足为点 F，过点 D 作 DH⊥AF，垂足为点 H.∵AF⊥BC，垂足为点 F，∴BF＝FC＝12BC＝40 cm.根据勾股定理，得 AF＝ AB2－BF2＝ 1202－402＝80 2(cm)．∵∠DHA ＝∠DAC＝∠AFC＝90°，∴∠DAH＋∠FAC＝90°，∠C＋∠FAC＝ 90°，∴∠DAH＝∠C，∴△DAH∽△ACF，∴AFHC＝ AADC，∴A4H0 ＝ 13200， ∴AH＝10 cm，∴HF＝(10＋80 2)cm.故点 D 到地面的高度为(10＋80 2)cm.
第24章解直角三角形
24.1 测量
综合提升
基础过关能力提升思维训练 Nhomakorabea基础过关
• 1．池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺

华师大版九年级数学上册第24章第一节测量同步练习

华师大版九年级数学上册第24章第一节测量同步练习同步习题一、选择题1. 如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m．若小明的眼睛与地面距离为1.5m，则旗杆的高度为（单位：m）【理解】A. B. C. D.【答案】C【解析】解：∵根据入射角与反射角相等可知，∠CED=∠AEB，故Rt△CDE∽Rt△AEB，∴=，即=，解得AB=12m．故选C．根据题意容易得到△CDE∽△AEB，再根据相似三角形的性质解答即可．本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．2. 如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB=1.4米，BP=2.1米，PD=12米．那么该古城墙CD的高度是【运用】A.6米B.8米C.10米D.12米【答案】B【解析】解：∵∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，∴△ABP∽△CDP∴=即=解得：CD=8米．故选B．由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到=代入数值求的CD=8．本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，注意到相似三角形，解决本题关键．3. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是【运用】A. 24mB. 25mC. 28mD. 30m【答案】D【解析】解：由题意得出：EP∥BD，∴△AEP∽△ADB，∴=，∵EP=1.5，BD=9，∴=解得：AP=5（m）∵AP =BQ ，PQ =20m ．∴AB =AP +BQ +PQ =5+5+20=30（m ）．故选D ．由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可．本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用．应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．4. 如图，小明为了测量一凉亭的高度AB （顶端A 到水平地面BD 的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE （DE =BC =0.5米，A 、B 、C 三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得CG =15米，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得EG =3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB 约为【理解】A. 8.5米B. 9米C. 9.5米D. 10米【答案】A 【解析】解：由题意∠AGC =∠FGE ，∵∠ACG =∠FEG =90°， ∴△ACG ∽△FEG ， ∴=，∴=， ∴AC =8，∴AB =AC +BC =8+0.5=8.5米．故选A ．只要证明△ACG ∽△FEG ，可得=，代入已知条件即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解光的反射定理，属于基础题，中考常考题型．5. 如图，一路灯B 距地面高BA =7m ，身高1.4m 的小红从路灯下的点D 出发，沿A →H 的方向行走至点G ，若AD =6m ，DG =4m ，则小红在点G 处的影长相对于点D 处的影长变化是【掌握】A. 变长1mB. 变长1.2mC. 变长1.5mD. 变长1.8m【答案】A【解析】解：由CD ∥AB ∥FG 可得△CDE ∽△ABE 、△HFG ∽△HAB ， ∴=、=，即=、=，解得：DE =1.5、HG =2.5， ∵HG -DE =2.5-1.5=1， ∴影长边长1m ．故选：A ．根据由CD ∥AB ∥FG 可得△CDE ∽△ABE 、△HFG ∽△HAB ，即=、=，据此求得DE 、HG 的值，从而得出答案．本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．二、填空题6. 如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E 、F ，不断调整站立的位置，使在点D 处恰好能看到铁塔的顶部B 和底部A ，设小明的手臂长l =45cm ，小尺长a =15cm ，点D 到铁塔底部的距离AD =42m ，则铁塔的高度是______m ．【运用】【解析】解：作CH ⊥AB 于H ，交EF 于P ，如图，则CH =DA =42m ，CP =45cm =0.45m ，EF =15cm =0.15m ， ∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CBA ，∴=，即=，∴AB =14（m ），即铁塔的高度为14m ．故答案为14．作CH ⊥AB 于H ，交EF 于P ，如图，则CH =DA =42m ，CP =45cm =0.45m ，EF =15cm =0.15m ，证明△CEF ∽△CBA ，然后利用相似比计算出AB 即可．本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．7. 墙壁D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长与身长相等都为1.6m，小明向墙壁走1m到B处发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD= ______ m．（保留三位有效数字）【掌握】【解析】解：如图：根据题意得：BG=AF=AE=1.6m，AB=1m∵BG∥AF∥CD∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD∴AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.6）m，AC=（x+1）m∴，解得：x=，y=∴CD=≈4.27灯泡与地面的距离约为4.27米．利用相似三角形的相似比，列出方程组，通过解方程组求出灯泡与地面的距离即可．本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程组，通过解方程组求出灯泡与地面的距离．8. 如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，则电视塔的高ED= ______ ．【掌握】【解析】解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H．由题意可得：△AFG∽△AEH，∴=即=，解得：EH=9.6．∴ED=9.6+1.6=11.2（米）．故答案为：11.2．本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通过解方程求解即可．此题考查了相似三角形的应用，通过构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例解答即可． 9. 小芳的房间有一面积为3m 2的玻璃窗，她站在室内离窗子4m 的地方向外看，她能看到窗前面一幢楼房的面积有______ m 2（楼之间的距离为20m ）．【运用】【解析】解：根据题意：她能看到窗前面一幢楼房的图形与玻璃窗的外形应该相似，且相似比为=6，故面积的比为36；故她能看到窗前面一幢楼房的面积有36×3=108（m 2）．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．本题考查了平行投影、视点、视线、位似变换、相似三角形对应高的比等于相似比等知识点．注意平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．三、解答题10. 如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB =h ，灯柱的高OP =O ′P ′=l ，两灯柱之间的距离OO ′=m ．（1）若李华距灯柱OP 的水平距离OA =a ，求他影子AC 的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA +AC ）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A 朝着影子（如图箭头）的方向以v 1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v 2．【运用】【解析】利用相似三角形对应边成比例解题．此题是把实际问题转化成相似三角形的问题，然后利用相似三角形对应边成比例解题． 11. 有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC 、BD 的长度分别为200厘米、300厘米，CD =300厘米．现有一人站在斜杆AB 下方的点E 处，直立、单手上举时中指指尖（点F ）到地面的高度为EF ，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB 上的点G 处，此时，就将EG 与EF 的差值y （厘米）作为此人此次的弹跳成绩．设CE =x （厘米），EF =a （厘米）．（1）问点G 比点A 高出多少厘米？（用含y ，a 的式子表示）（2）求出由x 和a 算出y 的计算公式；（3）现有甲、乙两组同学，每组三人，每人各选择一个适当的位置尽力跳了一次，且均刚好触到斜杆，由所得公式算得两组同学弹跳成绩如下右表所示，由于某种原因，甲组C 同学的弹跳成绩辨认不清，但知他弹跳时的位置为x =150厘米，且a =205厘米，请你计算C 同学此次的弹跳成绩，并从两组同学弹跳成绩的整齐程度比较甲、乙两组同学的弹跳成绩．（方差计算公式：S 2=[（x 1-）2+（x 2-）2+…+（x n -）2]，其中表示x 1、x 2、…、x n 的平均数）【拓展】．【解析】（1）根据题意，构造直角△ABM 与△AGN ，解可得GN 的长，即G 比点A 高出的距离；（2）结合图形，得出△ANG ∽△AMB ，根据相似三角形的性质，可得到y 的计算公式；（3）分别计算甲乙两人的方差，并比较其大小；根据方差的意义，可得出结论．本题考查方差的计算方法及意义．一般地设n 个数据，x 1，x 2，…xn 的平均数为，则差S 2=[（x 1-）2+（x 2-）2+…+（x n -）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 12. 如图，甲，乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A 与甲，乙楼顶B 、C 刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是多少米？【运用】【解析】利用相似三角形对应边成比例解题．此题是把实际问题转化成相似三角形的问题，然后利用相似三角形对应边成比例解题．。

【新华东师大版】九年级数学上册：24.1《测量》学案(含答案)

24.1测量课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）1、利用影长测量物体的高度：在同一时刻物体的高度与影长成正比例，此时测出同一时刻某已知物体的高度和它的影长，估算出测量物体的高度.如图所示，由标杆高1a ，标杆的影长2a ，物体影长3a ，可得231a a a h =，则213a a a h ⋅=.2、测得观察物体的顶部高度的视线与水平方向的夹角为观测点距物体的距离，按某一比例尺画出直角三角形，测得纸上物体的高度h ′，再利用比例尺算得实际高度h .如图所示，测得所画图形中h ′后，用比例尺算出h 的值.3、利用光线反射原理：用一面小镜子反射光线，使观察者的视线通过镜子看到物体的顶点处，测得观察者的目高、观察者与镜子的距离及物体与镜子的距离，计算出物体的高度.如图所示，由观察者的目高1a ，观察者与镜子的距离2a ，物体与镜子的距离3a ，可得231a a a h =，从而有213a a a h ⋅=.名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）典例精析类型一：利用影长测量物体高度例1、如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是__________米．【解题思路】设槟榔树的高为x 米，根据同一时刻物体的高度与影长成正比例可知 1.5,51x =解得7.5x =米.【解】7.5【方法归纳】由于太阳光可以看作是一束平行线，人和旗杆都是垂直于地面的，所以太阳光线、实物及实物的影子构成的三角形是相似的（在同一时刻）.类型二：测量不可到达的两点间的距离例2、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米．【解题思路】如图所示，作P E⊥AB，交CD 于点F ，由题意知：CD=20，AB=50，PF=15，因为两岸是平行的，所以△PCD∽△PAB，根据相似三角形的对应高的比等于相似比得：CD ︰AB=PF ︰PE ，所以20︰50=15︰（15+EF ），解得EF=22.5.【解】22.5．【方法归纳】对于一些实际问题，要构建数学模型来解决，本例是把实际问题转化为数学中的三角形的相似，利用相似三角形的性质解决的.类型三：利用镜子反射测量例3、雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2米远一块小积水处，他看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40米，该生眼睛高度为1.5米，那么旗杆的高度是米.【解题思路】如图所示，设人在A 处，积水为B 处，旗杆为CD ，人的眼部为E ，则由光线反射原理，知∠EBA=∠DBC ，从而△AEB ～△CBD ，故AE CD BA BC =，所以3025.140=⨯=⋅=BA AE BC CD（米）.【解】30.类型四：利用标杆测量物体高度例4、如图所示，学校的围墙外有一旗杆AB ，甲在操场上C 处，直立3m 高的竹竿CD ，乙从C处退到E 处恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得CE=3m ，乙的眼睛到地面的距离EF=1.5m ，丙在1C 处也直立3m 高的竹竿11C D ，乙从E 处退后6m 到1E 处，恰好看到两根竹竿与旗杆重合，且竹竿顶端1D 与旗杆顶点B 也重合，量得114C E m =，求旗杆AB 的高.【解题思路】本题考查的是相似三角形中比例线段的应用，解题时运用比例式求解.【解】∵设直线1F F 与AB 、CD 、11C D 分别交于点G 、M 、N ，BG=x ，GM=y . ∵MD//BG，∴△FDM∽△FBG.∴1.53.3x y=+①；又∵1D N //GB ，∴△11F D N ∽△1F BG ，∴1.5463x y =++.② 由①、②联立方程组，求得9,15.x y =⎧⎨=⎩故旗杆AB 的高为9+1.5=10.5（m ）. 【方法归纳】在本题的计算中要注意不要忽视加上EF 的高度。

华东师大版数学九年级上册第24章解直角三角形24.1测量同步练习题

华东师大版数学九年级上册第24章解直角三角形24.1测量同步练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．为了测量学校操场上旗杆的高度，小明请同学帮忙，测量了同一时刻自己的影长和旗杆的影长分别为0.5米和3米，如果小明身高为1.5米，那么旗杆的高度为________米．2．如图，一根长20 m的笔直竹竿AB顶端刚好搭在墙头AC上，墙根C到竹竿末端B 的距离为16 m，则墙头的高度为___m.3．如图，小明从路灯下向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度AB是_______米．4．如图，一棵大树被风吹断，已知折断处距地面5米，树的折断部分与地面成45°的角，这棵大树有___米．5．为了测量一条河的宽度，测量人员在对岸岸边P处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点A和B使得B、A、P在一条直线上，且与河岸垂直，然后确定点C、D，使BC⊥BP，AD⊥BP，由观测可以确定CP与AD交于点D，如图所示，他们测得AB＝45米，BC＝90米，AD＝60米，请你帮他们来计算河的宽度P A是___米．二、单选题6．如图所示，在湖边取一个可以直接到达A、B两点的点O，连结OA、OB，分别在OA、OB上取中点C、D，连结CD，并测得CD＝a，由此就知道了AB间的距离是( )A．a B．2a C．a D．3a7．教学楼在地面上的影子长为24米，此时测得2米高的标杆在地面上的影子长为3米，则教学楼的高度是( )A．16米B．27米C．36米D．72米8．小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子从顶端垂到地面还多2米，当他把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，那么学校旗杆的高度为( )A．8米B．10米C．15米D．17米9．为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是( )A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m10．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行A．8米B．10米C．12米D．14米三、解答题11．如图，为了测量河的宽度，可以先在河对岸找到一个具有明显标志的点A，再在所在的岸边找到两点B、C，使△ABC构成直角三角形．如果测得BC＝35.7m，∠ABC＝70°，求河的宽度AC.12．如图，在距树AB 18米的地面上平放着一面镜子E，人退后到距镜子2.1米的D处，在镜子里恰好看见树顶A，若人眼距地面1.4米，求树AB的高．13．如图，站在离铁塔BE底部20 m处的D点，目测铁塔的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC＝40°，并已知目高AD为1 m，现在请你按1∶1000的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出铁塔的实际高度，请计算出铁塔的实际高度．14．如图，一人拿着一支刻有厘米分划的小尺，他站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分划恰好遮住电线杆，已知臂长约60厘米．求电线杆的高．参考答案1．9【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【详解】∵人的身高旗杆的高＝人的影长旗杆的影长，∴旗杆的高度=⨯人的身高旗杆的影长人的影长＝1.530.5⨯＝9m.故答案是：9.【点睛】考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．2．12【解析】【分析】直接利用勾股定理求得AC的长即可．【详解】解：在Rt△ABC中，12AC m===故答案为12【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是能从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．3．5.6【分析】根据CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，进而得出比例式求出即可．【详解】解：由图知，DE=2米，CD=1.6米，AD=5米，∴AE=AD+DE=5+2=7米∵CD ∥AB ，∴△ECD ∽△EBA ，CD DE AB AE ∴=，即1.6252AB =+ 解得AB=5.6（米）．故答案为5.6【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ECD ∽△EBA 是解决问题的关键．4．(5＋)【解析】【分析】把题中图形抽象成Rt △ABC ，由∠BAC=45°得到AC=BC=5，再用勾股定理求出AB 的长，最后可得大树在折断前的高度.【详解】解：如图，把题中图形抽象成如下图：∵∠BAC=45°，∠BCA=90°，∴AC=BC=5，∴∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=(5＋)米．故答案为(5＋)【点睛】此题主要利用了勾股定理解决问题，解题时要正确理解题意，把握题目的数量关系． 5．90【分析】证出△PAD和△PBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】解：如图∵BC⊥BP，AD⊥BP，∴AD∥BC，∴△PAD∽△PBC，AD PABC PB∴=∴609045PAPA=+解得：PA=90．故答案为90．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．6．B【解析】【分析】由D，C分别是边OB，OA的中点，首先判定DC是三角形AOB的中位线，然后根据三角形的中位线定理，由CD的长，进一步求出AB．【详解】解：∵C、D分别是OA、OB的中点，∴CD是△AOB的中位线，∴AB=2CD=2a．故选：B．此题是中位线定理在实际中的运用，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 7．A【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【详解】解：∵=标杆的高楼高标杆的影长楼的影长∴2324=楼高 ∴楼高=16米．故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.8．C【解析】【分析】利用勾股定理列出关于旗杆高的方程，解方程即可．【详解】解：设旗杆高为xm ，由勾股定理得：x 2+82=（x+2）2解得x=15．故旗杆的高为15m ．故选：C【点睛】考查了勾股定理在生活中的应用，是基础知识比较简单．9．C【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB即可得出答案．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，∴AB2=AC2-BC2，=1602-1282=9216，∴AB=96（m），故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．10．B【详解】试题分析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．如图，设大树高为AB=10米，小树高为CD=4米，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4米，EC=8米，AE=AB﹣EB=10﹣4=6米，在Rt△AEC中，（米）．故选B．11．河宽AC为98m.【解析】【分析】把△ABC按1∶1000在纸上画出，得到Rt△A′B′C′，利用比例尺求出河宽AC.解：把△ABC按1∶1000在纸上画出，∠C′＝90°，∠B′＝70°，B′C′∶BC＝1∶1000，B′C′=3.57cm，得到Rt△A′B′C′则△ABC∽A′B′C′.用刻度尺量得A′C′＝9.8cm.则11000A CAC''=，∴AC＝98m.即河宽AC为98m.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，通过比例尺作图的方式构建相似三角形，然后列出比例式是解题的关键．12．树高12米．【解析】【分析】根据光学原理可得∠CED=∠AEB，然后求出△ABE和△CDE相似，再利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】\解：如图，由光学原理得∠CED=∠AEB，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，∴△ABE∽△CDE，AB BECD DE∴=.∴18 1.4 2.1 AB=解得AB=12．答：树高12米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．13．铁塔高BE=18m.【解析】【分析】把△ABC按1∶1000在纸上画出，使∠C′＝90°，∠A′＝40°，A′C′=2cm，得到△A′B′C′,则△ABC∽A′B′C′.用刻度尺量得B′C′＝1.7cm.，然后通过计算可得BC=17m，从而得到铁塔高为18m.【详解】解：根据题意△A′B′C′和△ABC相似，∴11000 A C B CAC BC''''==,∴BC＝1000B′C′，∴BE＝BC＋CE＝BC＋AD＝1000B′C′＋AD.若量得B′C′＝1.7 cm，则BC＝1000×1.7＝1700(cm)＝17(m)，则铁塔高BE＝BC+CE=BC＋AD＝17＋1＝18(m)【点睛】本题考查了相似三角形的应用，通过比例尺作图的方式构建相似三角形，然后列出比例式是解题的关键．14．电线杆的高为6米．【解析】【分析】由题意可作出示意图，由题意可知△ADE∽△AFG，DE=12厘米=0.12米，AB=60厘米=0.6米，AC=30米，AB DEAC FG=，可得出FG的长度，即电线杆的高度．【详解】由题意可作出下图：由题意得：DE=12厘米=0.12米，AB=60厘米=0.6米，AC=30米．∵DE∥FG，∴△ADE∽△AFG，∴AB DEAC FG=，∴FG=ACDEAB⨯=6米，∴电线杆的高为6米，答：电线杆的高为6米．【点睛】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用．。

华东师大版初三数学上册同步练习：24.1测量

华东师大版初三数学上册同步练习：24．1 测量知识点 1 利用勾股定理测量1．如图24－1－1所示，在竖立的电线杆上的某一点C 处安装拉线A C ，AB 所在的直线在水平地面上，经测量AC ＝8米，AB ＝5米，依照题意，可知△ABC 是________三角形，依照__________，得BC ＝ 2－ 2＝ 2－ 2＝－＝________(米)．图24－1－12．如图24－1－2，隔湖有两点A ，B ，要测量A ，B 两点间的距离，从与BA 成直角的BC 方向上的点C 处测得CA ＝28 m ，CB ＝11 m ，则A ，B 两点间的距离为________．(精确到0.1 m)图24－1－23．如图24－1－3是一种盛饮料的圆柱形玻璃杯，测得玻璃杯内部底面半径为2.5 cm ，高为12 cm ，吸管按如图所示的方式放进杯里，露在杯口别处的吸管长4.6 cm ，则吸管有多长？图24－1－3知识点 2 利用同一时刻物高与影长成比例测量4．在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1 m 和6 m ，小华的身高为1.6 m ，若求旗杆的高度，则需要依照相同时刻的________与________成比例求解，即小华的身高小华的影长＝() () .若设旗杆的高度为x m ，则可列比例式为________，解得x ＝________．5．小刚身高1.7 m ，小华测得他站立在阳光下的影长为0.85 m ．紧接着他把手臂竖直举起，小华又测得他的影长为1.1 m ，则小刚举起的手臂超出头顶( )A ．0.5 mB ．0.55 mC ．0.6 mD ．2.2 m6．［2021·天水］如图24－1－4，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离路灯的底部(点O)20米的点A 处，则小明的影子AM 的长为________米．知识点 3 利用相似三角形的性质测量7．小明在一次军事夏令营活动中进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O 、准星A 、目标点B 在同一条直线上．如图24－1－5所示(示意图)，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′.已知O A ＝0.2米，OB ＝40米，AA ′＝0.0015米，求小明射击到的点B ′偏离目标点B 的长度BB ′.由题意可知，AA ′∥________，因此△________∽△________，依照相似三角形的对应边________，可得() () ＝() () ，即________，解得BB ′＝________(米)．图24－1－58．［教材习题24.1第2题变式］如图24－1－6，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD ＝3 m ，标杆与旗杆的水平距离BD ＝12 m ，人的眼睛离地面的高度EF ＝1.6 m ，人与标杆CD 的水平距离DF ＝2 m ，求旗杆的高AB.图24－1－69．如图24－1－7①，某温室屋顶结构外框为△ABC ，立柱AD 垂直平分横梁BC ，AD ＝2 m ，斜梁AC ＝4 m ．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC(点E 在BA 的延长线上)，立柱EF ⊥BC ，如图②所示．若EF ＝3 m ，则斜梁增加部分AE 的长为( )A ．0.5 mB ．1 mC ．1.5 mD ．2 m图24－1－710．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的差不多框架．其中，第九章“勾股”要紧讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西方向城墙长7里，南北方向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有一棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”(注：1里＝300步)你的运算结果是：出南门________步而见木．11．如图24－1－9(示意图)，水平地面上某建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，同时建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G 处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF 后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是__________米．图24－1－912．如图24－1－10所示，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量某条河的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你依照这些数据算出河宽．(提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．结果精确到0.01米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图24－1－1013．如图24－1－11，为了测量一棵大树AB的高度，预备了如下测量工具：①镜子；②皮尺；③长为2米的标杆．请依照你所设计的测量方案，回答下列问题：(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是________(用工具序号填写)；(2)画出你的测量示意图；(3)你需要测量示意图中哪些数据？并用a，b，c，d等字母表示测得的数据；(4)写出求树高的算式：AB＝________米．图24－1－111．直角勾股定理AC AB856425392．25.7 m3．解：设吸管在杯内部分的长为x cm.由勾股定理，得x＝122＋52＝13.13＋4.6＝17.6(cm)．答：吸管长17.6 cm.4．物高影长旗杆的高度旗杆的影长1.61＝x 6 9.65．A6．5 7．BB ′ OAA ′ OBB ′ 成比例 OA OB AA ′ BB ′ 0.240＝0.0015BB ′0.3 8．解：过点E 作EH ⊥AB 于点H ，CD 与EH 交于点G ，则四边形EF DG ，EFBH 均为矩形，∴EF ＝GD ，EF ＝BH ，EH ＝FB.∵CD ⊥FB ，AB ⊥FB ，∴CD ∥AB ，∴△CGE ∽△AHE ，∴CG AH ＝EG EH ，从而CD －EF AH ＝FDFD ＋BD ，即3－1.6AH ＝22＋12，解得AH ＝9.8(m)，∴AB ＝9.8＋1.6＝11.4(m)．答：旗杆的高AB 为11.4 m.9． D10．31511．5412．解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E.设CE ＝x 米．在Rt △AEC 中，∵∠CAE ＝45°，∴AE ＝CE ＝x 米．在Rt △EBC 中，∵∠CBE ＝30°，CE ＝x 米，∴BC ＝2x 米，∴BE ＝BC2－CE2＝3x 米， ∴3x ＝x ＋50，解得x ＝25 3＋25≈68.30.答：河宽约为68.30米．13．解：(答案不唯独)(1)①②(2)测量示意图如图所示．(3)EA(镜子离树的距离)＝a ，EC(人离镜子的距离)＝b ，DC(目高)＝c. (4)ac b。

新华东师大版九年级数学上册：24.1《测量》学案含答案

24.1 丈量课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）1、利用影长丈量物体的高度：在同一时辰物体的高度与影长成正比率，此时测出同一时辰某已知物体的高度和它的影长，估量出丈量物体的高度. 以以下图，由标杆高a1，标杆的影长a2，物体影长 a3，可得ha3，则 h a3 a1. a1a2a22、测得观察物体的顶部高度的视野与水平方向的夹角为观察点距物体的距离，按某一比率尺画出直角三角形，测得纸上物体的高度h ′，再利用比率尺算得实质高度h .以以下图，测得所画图形中 h ′后，用比率尺算出h 的值.3、利用光辉反射原理：用一面小镜子反射光辉，使观察者的视野经过镜子看到物体的极点处，测得观察者的目高、观察者与镜子的距离及物体与镜子的距离，计算出物体的高度. 如图所示，由观察者的目高a1，观察者与镜子的距离a2，物体与镜子的距离a3，可得ha3，从而a1a2有 h a3a1 .a2名师导学互动（商议思索，方法是取胜的法宝）典例精析种类一：利用影长丈量物体高度例 1、如图，在同一时辰，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为 5 米，已知小明的身高为 1.5米，则这棵槟榔树的高是__________ 米．【解题思路】设槟榔树的高为x 米，依据同一时辰物体的高度与影长成正比率可知x 1.5 ,51解得 x7.5 米.【解】 7.5【方法归纳】因为太阳光可以看作是一束平行线，人和旗杆都是垂直于地面的，所以太阳光线、实物及实物的影子构成的三角形是相似的（在同一时辰）.种类二：丈量不行到达的两点间的距离例 2、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔 5 米有一棵树，在北岸边每隔 50 米有一根电线杆．小丽站在离南岸边 15 米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，而且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米．【解题思路】以以下图，作PE⊥AB，交 CD于点 F，由题意知： CD=20，AB=50， PF=15，因为两岸是平行的，所以△PCD∽△PAB，依据相似三角形的对应高的比等于相似比得：CD︰AB=PF︰PE，所以 20︰50=15︰（ 15+EF），解得 EF=22.5.【解】 22.5 ．【方法归纳】对于一些实质问题，要成立数学模型来解决，本例是把实质问题转变成数学中的三角形的相似，利用相似三角形的性质解决的.种类三：利用镜子反射丈量例 3、雨后初晴，一学生在体育场上嬉戏，从他前方 2 米远一块小积水处，他看到了旗杆顶端的倒影，假如旗杆底端到积水处的距离为40 米，该生眼睛高度为 1.5 米，那么旗杆的高度是米 .【解题思路】以以下图，设人在 A 处，积水为 B 处，旗杆为CD，人的眼部为E，则由光辉反射原理，知∠ EBA=∠DBC，从而△ AEB～△ CBD，故BC CD，所以 CD BC AE40 1.530 BA AE BA2（米） .【解】 30.种类四：利用标杆丈量物体高度例 4、以以下图，学校的围墙外有一旗杆处退到 E 处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端丙在 C1处也直立3m高的竹竿 C1D1，乙从AB，甲在操场上C处，直立 3m高的竹竿CD，乙从 C B 重合，量得 CE=3m，乙的眼睛到地面的距离EF=1.5m，E 处退后 6m到E1处，恰好看到两根竹竿与旗杆重合，且竹竿顶端D1与旗杆极点 B 也重合，量得C1 E14m ，求旗杆AB的高 .【解题思路】本题观察的是相似三角形中比率线段的应用，解题时运用比率式求解.【解】∵设直线F1F 与AB、CD、 C1 D1分别交于点G、 M、 N，BG=x， GM=y .∵MD//BG，∴△ FDM∽△ FBG.∴1.53.①；又∵ D1N //GB，∴△ F1 D1 N ∽△ F1 BG ，x3y∴ 1.54. ②x y 63x 9,由①、②联立方程组，求得故旗杆AB的高为9+1.5=10.5（ m） .y15.【方法归纳】在本题的计算中要注意不要忽视加上EF 的高度。

(新)华师版九年级上数学24.1测量

B
O D形对应边成比例的性质计算出所
求线段的长。
第三种：利用比例尺和相似三角形的知识．
如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以利算用出比旗例杆尺的在实纸上际画高一度个．与实物三角形相似的小三
当你走进学校，仰头望着学校旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，学校旗杆有多高？
你可能会想到哪些知识来解决这个问题．
第一种：利用影长和相似三角形的知识．
如图所示，太阳光照射旗杆和小王,留在地面上的影长分别为BE、DF，请问用这种方法能否算出旗杆的实际高度．
A
？
√
C
√
√
B
E DF
如果只有你一个人，又遇上阴天，怎么办呢？
∴ △ABC ∽△A′B′C′
∴
AA′CC′=
AB
A′B′，
AA′CC′=
BC B′C′
即：600 = AB ， 600 = BC
3 2.5
3 3.9
解得：AB=5m，BC=7.8m
∴树高为7.8+5=12.8m
40° A 6m C
B′
2.5cm 3.9cm 40°
A′3cm C′
例3、如图，在距离树 18米的地面上平放着一面镜子
2、利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度
注意：
在具体的测量中，要注意选择测量方法，测量结果要准确，尽量减小误差；

华师大数学九年级上《24.1测量》同步练习含答案解析

九年级上册第24章解直角三角形24.1 测量同步练习一、选择题1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=6，AB=9，则AD=（）A、2B、3C、4D、52、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D ，若AD=1，BD=4，则CD=（）A、2B、4C、2D、33、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB ，AC=8，AB=10，则AD等于（）A、4.4B、5.5C、6.4D、7.44、如图，△ABC中，点D在线段AB上，且∠BAD=∠C ，则下列结论一定正确的是（）A、AB2=AC•BDB、AB•AD=BD•BCC、AB2=BC•BDD、AB•AD=BD•CD5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D ，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A、B、C、D、6、如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB ，若AC=3，AB=4，则AD=（）A、1B、C、D、57、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D ，DC=4，BC=9，则AC为（）A、5B、6C、7D、88、如图，已知∠ABC=90°，BD⊥AC于D ，AB=4，AC=10，则AD=（）A、B、2C、D、19、如图，在Rt△ABC ，∠BAC=90°，AD⊥BC ，AB=10，BD=6，则BC的值为（）A、B、2C、D、10、在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高线，若BD=2，BC=6，则AB=（）A、B、C、2D、211、用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（）A、0.90B、0.72C、0.69D、0.6612、Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，运用计算器计算，∠A的度数（精确到1°）（）A、30°B、37°C、38°D、39°13、如果tanα=0.213，那么锐角α的度数大约为（）A、8°B、10°C、12°D、6°14、用计算器求sin20°+tan54°33′的结果等于（结果精确到0.01）（）A、2.25B、1.55C、1.73D、1.7515、按科学记算器MODE MODE 1，使显示器显示D后，求sin90°的值，以下按键顺序正确的是（）A、sin ，9=B、9，sin=C、sin ，9，0=D、9，0=二、填空题16、用计算器求tan35°的值，按键顺序是________.17、利用计算器求值（精确到0.0001）：tan27°15′+cos63°42′=________18、小虎同学在计算a+2cos60°时，因为粗心把“+”看成“-”，结果得2019，那么计算a+2cos60°的正确结果应为________.19、已知tanβ=sin39°19′+cos80°10′，则锐角β≈________（结果精确到1′）.20、已知sinβ=0.8290，则β的度数约为________.三、综合题21、已知∠A为锐角，求满足下列条件的∠A度数.(1)sinA=0.9816；(2)tanA=0.1890.22、用计算器求下列各式的值：(1)sin59°；(2)cos68°42′.23、用计算器求下式的值：(1)tan75°；(2)tan54°45′.24、利用计算器计算下列各值：（精确到0.001）(1)sin20°；(2)cos63°35′；(3)sin87°17′.答案解析部分一、选择题1、【答案】C【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∴AC2=AD•AB ，∵AC=6，AB=9，∴36=9AD ，则AD=4.故选：C.【分析】利用射影定理得到：AC2=AD•AB ，把相关线段的长度代入进行解答即可.2、【答案】A【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D ，∴CD2=AD•BD=1×4=4，∴CD=2.故选A.【分析】根据射影定理得到CD2=AD•BD=4，然后利用算术平方根的定义求解.3、【答案】C【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵∠ACB=90°，CD⊥AB ，∴AC2=AD•AB ，∴AD= =6.4.故选C.【分析】根据射影定理得到AC2=AD•AB ，然后把AC=8，AB=10代入计算即可.4、【答案】C【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵∠BAD=∠C ，而∠ABD=∠CBA ，∴△BAD∽△BCA ，∴AB：BC=BD：AB ，∴AB2=BC•BD.故选C.【分析】先证明△BAD∽△BCA ，则利用相似的性质得AB：BC=BD：AB ，然后根据比例性质得到AB2=BC•BD.5、【答案】A【考点】解直角三角形【解析】解答：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB ，∴AC2=AD•AB ，又∵AC=3，AB=6，∴32=6AD ，则AD=故选：A分析：先证明△BAD∽△BCA ，则利用相似的性质得AB：BC=BD：AB ，然后根据比例性质得到AB2=BC•BD.6、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】解答：如图，∵CD⊥AB ，∴∠ADC=90°，又∵∠C=90°，∴∠ACD=∠B（同角的余角相等）.又∵∠A=∠A ，∴△ACB∽△ADC ，∴，即，∴AD= .故选：B.分析：利用两角法证得△ACB∽△ADC ，然后由该相似三角形的对应边成比例来求AD的长度.7、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】由射影定理得，AC2=CD•CB=4×9=36，∴AC=6.故选：B.【分析】根据射影定理：直角三角形中，一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项计算即可.8、【答案】A【考点】解直角三角形【解析】解答：根据射影定理得：AB2=AD•AC ，∴AD= .故选A.分析：根据射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项即可得出BC的长. 9、【答案】D【考点】解直角三角形【解析】解答：根据射影定理得：AB2=BD×BC ，∴BC= .故选D.分析：根据射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项即可得出BC的长. 10、【答案】C【考点】解直角三角形【解析】解答：根据射影定理，AB2=BC•BD ，∵BD=2，BC=6，∴AB=2 .故选C.分析：利用：直角三角形斜边上的高把三角形分成的两个三角形与原三角形相似，或射影定理的应用来解答.11、【答案】B【考点】计算器—三角函数【解析】【解答】用计算器解cos44°=0.72.故选B.【分析】本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数.12、【答案】B【考点】计算器—三角函数【解析】【解答】∵a：b=3：4，∴设a=3x ，b=4x ，由勾股定理知，c=5x.∴sinA=a：c=3：5=0.6，运用计算器得，∠A=37°.故选B【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后求出∠A.13、【答案】C【考点】计算器—三角函数【解析】【解答】∵tanα=0.213，∴∠α≈12°.故选C【分析】正确使用计算器计算即可.使用2nd键，然后按tan-10.213即可求出∠α的度数；14、【答案】D【考点】计算器—三角函数【解析】【解答】sin20°+tan54°33′=sin20°+tan54.55°=0.3420+1.4045=1.7465≈1.75.故选D.【分析】先把54°33′化为54.55°，然后利用计算器分别算出sin20°和tan54.55°的值，相加后四舍五入即可.15、【答案】C【考点】计算器—三角函数【解析】【解答】显示器显示D后，即弧度制；求sin90°的值，需按顺序按下：sin ，9，0=.故选C.【分析】要求熟练应用计算器.二、填空题16、【答案】先按tan ，再按35，最后按=【考点】计算器—三角函数【解析】【解答】用计算器求tan35°的值，按键顺序是先按tan ，再按35，最后=，故答案为：先按tan ，再按35，最后按=.【分析】先按锐角三角函数的名称，再按角的度数，最后按等号.17、【答案】0.9581【考点】计算器—三角函数【解析】【解答】tan27°15′+cos63°42′=tan27.25°+cos63.7°≈0.5150+0.4431≈0.9581.【分析】直接利用计算器计算即可.注意把度分秒化为度.18、【答案】2019【考点】计算器—三角函数【解析】【解答】∵a-2cos60°=2019，∴a=2019.∴a+2cos60°=2019+1=2019.故答案为：2019.【分析】根据错误的运算先确定a的值，然后求出正确的结果.19、【答案】38°49′【考点】计算器—三角函数【解析】【解答】∵tanβ=sin39°19′+cos80°10′，∴tanβ≈0.6336+0.1708=0.8044，∠β≈38°49′.故答案为：38°49′.【分析】首先利用计算器求出sin39°19′+cos80°10′的值，进而求出β的度数.20、【答案】56°【考点】计算器—三角函数【解析】【解答】sinβ=0.8290，则β的度数约为56°.故答案为：56°.【分析】一般先按键“SHIFT”，再按键“sin”，输入“0.8290”，再按键“=”即可得到结果.三、综合题21、【答案】（1）解答：∵sinA=0.9816，∴∠A≈79°；（2）解答：∵tanA=0.1890，∴∠A≈11°.【考点】计算器—三角函数【解析】正确使用计算器计算即可.使用2nd键，然后按sin-10.9816即可求出∠A的度数23、【答案】（1）解答：sin59°≈0.857，（2）解答：cos68°42′=cos68.7°≈0.363.【考点】计算器—三角函数【解析】直接利用计算器计算即可.24、【答案】（1）解答：tan75°≈3.732，（2）解答：tan54°45′=tan54.75°≈1.415.故答案是3.732；1.415.【考点】计算器—三角函数【解析】直接利用计算器计算即可.25、【答案】（1）解答：sin20°≈0.342；（2）解答：cos63°35′≈0.445；（3）解答：sin87°17′≈0.999.【考点】计算器—三角函数【解析】直接利用计算器计算即可，注意把度分秒化为度.第11 页/ 共11 页。

华师大版初中数学九年级上册《24.1 测量》同步练习卷

华师大新版九年级上学期《24.1 测量》2019年同步练习卷一．选择题（共9小题）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，AB＝3，则CD为（）A．B．C．2D．32．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，若AB＝2，BC＝4．则DC的长度为（）A．1B．C．3D．23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝3，BD＝1，则BC的值是（）A．2B．C．2D．44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC＝4，AD＝6，则AB 的值为（）A．10B．10C．8D．85．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，则CD的长是（）A．B．6C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD 的值为（）A．B．C．D．37．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（）A．B．C．D．8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（）A．AC2＝AD•AB B．CD2＝CA•CB C．CD2＝AD•DB D．BC2＝BD•BA 9．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且∠BAD＝∠C，则下列结论一定正确的是（）A．AB2＝AC•BD B．AB•AD＝BD•BCC．AB2＝BC•BD D．AB•AD＝BD•CD二．填空题（共11小题）10．已知△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的高，BD＝2，AD＝3，则CD＝．11．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，BC＝，BD＝2，则AD＝．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝3，BD＝6，CD的长为．13．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AD＝，BD＝4，则CD的长为．14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝2，BD＝8，那么CD＝．15．如图在Rt△ABC中，∠A＝90°，斜边上的高AD交BC于D，若BD＝9，CD＝4，则AD的长度等于．16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，若BD＝1，AD＝3，则CD＝．17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝1，则CD的长为．18．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，已知AB＝6，BC＝9，则图中线段的长BD＝，AD ＝，AC＝．19．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝5，AD⊥BC，垂足为D，则BD的长为．20．如图，CD是Rt△ABC中斜边上的高，已知AD＝6，BD＝3，则CD＝．三．解答题（共2小题）21．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠ACB＝90°，若BC＝6cm，AC＝8cm，求BD的长．22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，求证：AD2＝CD•BD．华师大新版九年级上学期《24.1 测量》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，AB＝3，则CD为（）A．B．C．2D．3【分析】根据勾股定理就可求得AB的长，再根据△ABC的面积＝•AC•BC＝•AB•CD，即可求得．【解答】解：根据题意得：BC＝＝＝．∵△ABC的面积＝•AC•BC＝•AB•CD∴CD＝＝＝2．故选：C．【点评】本题主要考查了勾股定理，根据三角形的面积是解决本题的关键．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，若AB＝2，BC＝4．则DC的长度为（）A．1B．C．3D．2【分析】由已知先证△ABC∽△DAC，可证＝，即可求DC的长．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC＝∠BAC＝90°，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，∴＝，∵AB＝2，BC＝4，∴AC＝2，∴＝，∴DC＝3．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，有两角对应相等则此两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝3，BD＝1，则BC的值是（）A．2B．C．2D．4【分析】利用射影定理得到BC2＝BD•BA，然后把AD＝3，BD＝1代入计算即可．【解答】解：根据射影定理得BC2＝BD•BA，即BC2＝1×（1+3），所以BC＝2．故选：C．【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC＝4，AD＝6，则AB 的值为（）A．10B．10C．8D．8【分析】据射影定理得到：AC2＝AD•AB，把相关线段的长度代入，即可求得线段AB的长度．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，又∵AC＝4，AD＝6，∴（4）2＝6×AB，∴AB＝8．故选：C．【点评】本题考查了射影定理．解题时注意：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，则CD的长是（）A．B．6C．D．【分析】根据射影定理得到：CD2＝BD•AD，代入求值即可．【解答】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，∴由射影定理得：CD2＝BD•AD＝9×4＝36，∴CD＝6（舍去负值）．故选：B．【点评】本题考查了射影定理．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（）A．B．C．D．3【分析】根据射影定理得到：AC2＝AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，又∵AC＝3，AB＝6，∴32＝6AD，则AD＝．故选：A．【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．7．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（）A．B．C．D．【分析】根据射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项即可得出BC的长．【解答】解：根据射影定理得：AB2＝BD×BC，∴BC＝＝．故选：D．【点评】本题考查射影定理的知识，属于基础题，注意掌握每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（）A．AC2＝AD•AB B．CD2＝CA•CB C．CD2＝AD•DB D．BC2＝BD•BA【分析】直接根据射影定理对各选项进行判断．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∴AC2＝AD•AB，CD2＝DA•DB，BC2＝BD•BA．故选：B．【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．9．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且∠BAD＝∠C，则下列结论一定正确的是（）A．AB2＝AC•BD B．AB•AD＝BD•BCC．AB2＝BC•BD D．AB•AD＝BD•CD【分析】先证明△BAD∽△BCA，则利用相似的性质得AB：BC＝BD：AB，然后根据比例性质得到AB2＝BC•BD．【解答】解：∵∠BAD＝∠C，而∠ABD＝∠CBA，∴△BAD∽△BCA，∴AB：BC＝BD：AB，∴AB2＝BC•BD．故选：C．【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．二．填空题（共11小题）10．已知△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的高，BD＝2，AD＝3，则CD＝．【分析】在直角△ABC中，利用射影定理求得CD的长度．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴CD2＝AD•BD，即CD2＝6，∴CD＝．故答案为：【点评】此题主要考查了射影定理，关键是熟练掌握射影定理．11．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，BC＝，BD＝2，则AD＝5．【分析】根据射影定理列出等积式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：由射影定理得，BC2＝BD•BA，则BA＝7，∴AD＝BA﹣BD＝5，故答案为：5【点评】本题考查的是射影定理的应用，掌握直角三角形每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项是解题的关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝3，BD＝6，CD的长为3．【分析】根据射影定理列式计算．【解答】解：由射影定理得，CD2＝AD•BD＝18，解得，CD＝3，故答案为：3．【点评】本题考查的是射影定理，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．13．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AD＝，BD＝4，则CD的长为．【分析】运用射影定理公式进得计算即可．【解答】解：∵Rt△ABC中∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD•BD，即CD2＝×4，解得CD＝或﹣（负值舍去），故答案为：【点评】本题主要考查了射影定理，解题的关键是熟记射影定理公式．14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝2，BD＝8，那么CD＝4．【分析】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．根据射影定理列出等积式，代入已知数据计算即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴CD2＝AD•BD＝16，则CD＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是射影定理的应用，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．15．如图在Rt△ABC中，∠A＝90°，斜边上的高AD交BC于D，若BD＝9，CD＝4，则AD的长度等于6．【分析】根据直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项计算．【解答】解：由射影定理得，AD2＝BD•CD，则AD2＝9×4＝36，∴AD＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是射影定理，掌握直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项是解题的关键．16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，若BD＝1，AD＝3，则CD＝9．【分析】先根据题意得出△ABD∽△CAD，然后根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°．∵AD⊥BC于点D，∴∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，∠B＝∠CAD，∴△ABD∽△CAD，∴AD2＝BD•CD，∵BD＝1，AD＝3，∴CD＝9，故答案为：9【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应变成比例求边长．17．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝1，则CD的长为2．【分析】根据射影定理得到：CD2＝BD•AD，代入求值即可．【解答】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝1，∴由射影定理得：CD2＝BD•AD＝1×4＝4，∴CD＝2（舍去负值）．故答案是：2．【点评】本题考查了射影定理．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．18．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，已知AB＝6，BC＝9，则图中线段的长BD＝4，AD＝2，AC＝3．【分析】根据射影定理得AB2＝BD•BC，则可计算出BD＝4，再计算出CD＝BC﹣BD＝5，然后根据AD2＝BD•CD计算出AD，利用AC2＝CD•BC计算出AC．【解答】解：∵AB⊥AC，AD⊥BC，∴AB2＝BD•BC，即62＝BD•9，解得BD＝4，∴CD＝BC﹣BD＝5，∵AD2＝BD•CD，∴AD＝＝2，∵AC2＝CD•BC，∴AC＝＝3．故答案为4，2，3．【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．19．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝5，AD⊥BC，垂足为D，则BD的长为．【分析】根据射影定理列式计算．【解答】解：由射影定理得，AB2＝BD•BC，∴BD＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是射影定理，直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．20．如图，CD是Rt△ABC中斜边上的高，已知AD＝6，BD＝3，则CD＝3．【分析】根据同角的余角相等证明∠DCB＝∠CAD，利用两角对应相等证明△ADC∽△CDB，列比例式可得结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵CD是高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠DCB＝∠CAD，∴△ADC∽△CDB，∴，∴CD2＝AD•BD，∵AD＝6，BD＝3，∴CD＝故答案为：3【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．三．解答题（共2小题）21．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠ACB＝90°，若BC＝6cm，AC＝8cm，求BD的长．【分析】根据勾股定理求出AB，根据射影定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝10，由射影定理得，BC2＝BD•AB，∴BD＝＝3.6（cm）．【点评】本题考查的是勾股定理，射影定理，直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，求证：AD2＝CD•BD．【分析】利用等角的余角相等得到∠B＝∠DAC，则可判断Rt△ADB∽Rt△CDA，所以AD：CD＝BD：AD，然后根据比例的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠B+∠BAD＝90°，而∠BAD＝∠DAC＝90°，∴∠B＝∠DAC，∴Rt△ADB∽Rt△CDA，∴AD：CD＝BD：AD，∴AD2＝CD•BD．【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．。