北师大数学八年级(上)《勾股定理》单元测试
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》单元测试卷(含答案)
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》单元测试卷时间：100分钟满分：100分班级：_______ 姓名：________得分:_______一．选择题（每题3分，共30分）1．以如下a、b、c为三边长的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝4，b＝6，c＝8C．a：b：c＝5：12：13D．a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1（n为大于1的正整数）2．下列三角形是直角三角形的是（）A．B．C．D．3．△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（）①∠A＝∠B﹣∠C②a2＝（b+c）（b﹣c）③∠A：∠B：∠C＝3：4：5④a：b：c＝5：12：13A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列各组三个数据不是勾股数的是（）A．5，13，12 B．4，7，5 C．7，24，25 D．30，40，50 5．如图，一架云梯AB长为25米，顶端A靠在墙AC上，此时云梯底端B与墙角C距离为7米，云梯滑动后停在DE的位置上，测得AE长为4米，则云梯底端B在水平方向滑动了（）米A．4 B．6 C．8 D．106．如图，圆柱的底面直径为，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S，则移动的最短距离为（）A．10 B．12 C．14 D．207．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（）A．36 B．9 C．6 D．188．如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（）A．8cm B．13cm C．12cm D．15cm9．如果三角形的三边长分别为a，b，c，且b2+c2＝a2，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形10．现在人们锻炼身体的意识日渐増强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄，如图是兴庆公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC’于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”，已知AB＝40米，BC＝30米，他们踩坏了___米的草坪，只为少走___米路（）A．20、50 B．50、20 C．20、30 D．30、20二．填空题（每题4分，共20分）11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，延长BC至点D，连接AD，若△ABD 是以AD为其中一腰的等腰三角形，则线段DC的长等于．12．如图，把图1中边长分别为3和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为．13．如图，两个正方形的面积分别是S1＝18，S2＝12，则第三个正方形的面积S3＝．14．如图所示，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC＝13，BC＝5，AD＝16，则BD的长为．15．如图，一架13m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC为12m．如果梯子的顶端A沿墙下滑7m，那么梯子底端B向外移m．三．解答题（每题10分，共50分）16．已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E，（1）求BC的长；（2）求AE的长；（3）求BD的长17．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米30元，试问铺满这块空地共需花费多少元？18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒．（1）AC＝cm；（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值：（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP为等腰三角形．19．为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC＝24m，（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？20．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，（1）A处是否会受到火车的影响，并写出理由（2）如果A处受噪音影响，求影响的时间．参考答案一．选择题1． B．2． D．3． C．4． B．5． C．6． A．7． A．8． B．9． B．10． B．二．填空11． 5或．12． 1．13． 6．14． 20．15． 7．三．解答题16．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6；（2）∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BE＝BC＝6，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4；（3）设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，所以，CD＝DE＝3，在Rt△BCD中，BD＝＝3．17．解：如图，连接AC，在Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2∴AC＝5m，在△ACD中，AC＝5m，CD＝12m，DA＝13m，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∵S△ABC ＝×3×4＝6，S△ACD＝×5×12＝30，∴S四边形ABCD＝6+30＝36，费用＝36×30＝1080（元）．答：铺满这块空地共需花费1080元．18．解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝＝6cm，故答案为：6；（2）如图，过P作PD⊥AB于D，∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，∴PD＝PC，BC＝BD＝8，∴AD＝10﹣8＝2，设PD＝PC＝y，则AP＝6﹣y，在Rt△ADP中，AD2+PD2＝AP2，∴22+y2＝（6﹣y）2，解得y＝，∴CP＝，∴t＝＝＝s；当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t＝＝5；综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为或5；（3）分四种情况：①如图，当P在AB上且AP＝CP时，∠A＝∠ACP，而∠A+∠B＝90°，∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠B＝∠BCP，∴CP＝BP，∴P是AB的中点，即AP＝AB＝5，∴t＝＝；②如图，当P在AB上且AP＝CA＝6时，t＝＝3；③如图，当P在AB上且AC＝PC时，过C作CD⊥AB于D，则CD＝＝，∴Rt△ACD中，AD＝，∴AP＝2AD＝，∴t＝＝；④如图，当P在BC上且AC＝PC＝6时，BP＝8﹣6＝2，∴t＝＝6．综上所述，当t＝或3或或6s时，△ACP为等腰三角形．19．解：（1）连接AC，在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102，在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，而102+242＝262，即AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，S四边形ABCD ＝S△ACB﹣S△ACD＝•AC•BC﹣AD•CD，＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．（2）需费用96×200＝19200（元）．20．解：（1）A处会受到火车的影响，理由：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米＜200米，∴A处会受到火车的影响；（2）当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，∵72千米/小时＝20米/秒，∴影响时间应是：320÷20＝16秒．答：A处受噪音影响的时间为16秒．。
北师大八年级数学上《第1章勾股定理》单元检测试题（含答案）
八年级数学上册第1章勾股定理单元检测试题班级：__________姓名：__________一、单选题（共10题；共30分）1.下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A. 4，5，6B. 6，8，11C. 1，1，D. 5，12，22.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A. 25B. 14,C. 7D. 7或253.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋＝0，则三角形的形状是( )A. 底与腰不相等的等腰三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形4.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5m，消防车的云梯最大升长为13m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（）A. 12mB. 13mC. 14mD. 15m5.一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为（）A. 60B. 30C. 24D. 126.如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.一个三角形的三边的长分别是3、4、5，则这个三角形最长边上的高是（）A. 4B.C.D.8.如图，在△ABD中，∠D=90°，CD=6，AD=8，∠ACD=2∠B，则BD的长是（）A. 12B. 14C. 16D. 189.图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（）A. 0B. 1C.D.10.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A. ∠A+∠B=∠CB. ∠A：∠B：∠C=1：2：3C. a2=c2﹣b2D. a：b：c=3：4：6二、填空题（共8题；共24分）11.如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长AB为13米，高BC为5米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要________米．12.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2=________．13.一直角三角形的一条斜边和一直角边的长度分别是4和3，则它的另一直角边长是________.14.已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为________．15.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是________ ．16.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=________17.要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为，高为，则放入木盒的细木条最大长度为________ ．18.如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有________米．三、解答题（共66分）19.已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 的中点，AB=10，A C=6．求AD 的长度．20.求如图的Rt△ABC的面积．21.如图，∠AOB=90°，OA=90cm，OB=30cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少?22.一个25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B也外移4米，对吗？为什么？23.铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D 两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.24.如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？25.已知在中，，，．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）试在下面的方格纸上补全△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上。
北师大版数学八年级上册《勾股定理》单元检测题(含答案)
《勾股定理》单元检测题一．选择题1．下列各组数据中，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，7，9 C．8，15，17 D．7，24，25 2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．，，2D．9，12，15 3．如图所示，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（）A．a＝32，b＝42，c＝52B．a＝9，b＝12，c＝15C．∠A：∠B：∠C＝5：2：3 D．∠C﹣∠B＝∠A5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则AB的长度为（）A．7 B．8 C．9 D．106．小明想知道学校旗杆（垂直地面）的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子拉直后，发现绳子下端拉开5m，且下端刚好接触地面，则旗杆的高是（）A．6m B．8m C．10m D．12m7．如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，∠ACB＝∠DAC＝∠ECB＝90°，∠D＝∠E＝45°，AB＝16，则SRt△ADC +SRt△BCE为（）A ．16B ．32C ．160D ．1288．如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若S 1，S 2，S 3，S 4和S 分别代表相应的正方形的面积，且S 1＝4，S 2＝9，S 3＝8，S 4＝10，则S 等于（ ）A ．25B ．31C ．32D ．409．如图，分别以Rt △ABC 的三边为边长向外作等边三角形，若AB ＝4，则三个等边三角形的面积之和是（ ）A ．B ．6C ．18D ．1210．如图所示，有一个高18cm ，底面周长为24cm 的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（ ）A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．24cm二．填空题11．在直角三角形中若勾为3，弦为5，则股为．12．如图，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，三个正方形的面积分别为S1，S2，S3，若S1＝9，S2＝16，则S3＝．13．如图是学校艺术馆中的柱子，高 4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要m．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE＝2，则BC＝．15．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为．16．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是．三．解答题17．求知中学有一块四边形的空地ABC D，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要250元，问学校需要投入多少资金买草皮？18．甲、乙两人同时从P地出发步行分别沿两个不同方向散步，甲以3km/h的速度沿正北方向前行；乙以4km/h的速度沿正东方向前行．（1）过t个小时后他俩的距离是多少？（2）经过多少时间，他俩的距离是15km？19．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，（1）求斜边AB 的长；（2）计算Rt △ABC 的面积．20．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下 如图（1）∠DAB ＝90°，求证：a 2+b 2＝c 2证明：连接DB ，过点D 作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，则DF ＝b ﹣aS 四边形ADCB ＝S △ADC +S △ABC ＝﹣b 2+abS 四边形ADCB ＝S △ADB +S △BCD ＝c 2+a （b ﹣a ）∴b 2+ab ＝c 2+a （b ﹣a ）化简得：a 2+b 2＝c 2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB ＝90°，求证：a 2+b 2＝c 221．如图，一架长5米的梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的距离AC＝3米．（1）求BC的长；（2）梯子滑动后停在DE的位置，当AE为多少时，AE与BD相等？22．如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝6千米，BC＝8千米，AB＝10千米，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建路的长．参考答案一．选择题1．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故选项错误；B、52+72≠92，不能构成直角三角形，故选项正确；C、82+152＝172，构成直角三角形，是正整数，故选项错误；D、72+242＝252，能构成直角三角形，是整数，故选项错误．故选：B．2．解：A、1.52+22≠32，故不能组成直角三角形，故选项正确；B、72+242＝252，故能组成直角三角形，故选项错误；C、（）2+（）2＝（2）2，故能组成直角三角形，故选项错误；D、92+122＝152，故能组成直角三角形，故选项错误．故选：A．3．解：∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB2＝100，BD2＝36，∴AD2＝100﹣36＝64，∴AD＝8，∴以AD为直径的半圆的面积是π（A D）2＝πAD2＝8π．故选：B．4．解：A、∵92+162≠252，∴不能构成直角三角形，故选项正确；B、∵92+122＝152，∴能构成直角三角形，故选项错误；C、∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠A＝90°，∴能构成直角三角形，故选项错误；D、∵∠C﹣∠B＝∠A，∴∠C＝∠B+∠A，∴最大角∠C＝90°，∴能构成直角三角形，故选项错误．故选：A．5．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝＝10，故选：D．6．解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m在Rt △ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2∴x 2+52＝（x +1）2解得x ＝12∴AB ＝12∴旗杆的高12m ．故选：D ．7．解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝16，∴AC 2+BC 2＝256，∵∠DAC ＝∠ECB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，∴AD ＝AC ，BC ＝CE ，∴S Rt △ADC +S Rt △BCE ＝256×＝128．故选：D ．8．解：如图，由题意得：AB 2＝S 1+S 2＝13，AC 2＝S 3+S 4＝18，∴BC 2＝AB 2+AC 2＝31，∴S ＝BC 2＝31．故选：B ．9．解：∵如图，分别以Rt △ABC 的三边为边向外作三个等边三角形，ACD 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，△ABF 的面积为S 3，∴S 3＝c 2，S 2＝a 2，S 1＝b 2，又∵△ABC 是直角三角形，∴a 2+b 2＝c 2，∴S1+S2＝S3．∴S1+S2+S3＝2S3＝2××42＝8．故选：A．10．解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，则SE＝BC＝×24＝12cm，EF＝18﹣1﹣1＝16cm，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF＝＝＝20（cm），答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm．故选：C．二．填空题11．解：由勾股定理得：＝4；故答案为：4．12．解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，∴S3＝S1+S2＝9+16＝25，故答案为：25．13．解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长∵圆柱高4.5米，底面周长2米x2＝（2×3）2+4.52＝56.25所以，x＝7.5花带长至少是7.5m．故答案为：7.5．14．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE＝2，在Rt△BDE中，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝4，∴BC＝CD+BD＝6，故答案为：6．15．解：如图所示：∵（a+b）2＝21，∴a2+2ab+b2＝21，∵大正方形的面积为13，2ab＝21﹣13＝8，∴小正方形的面积为13﹣8＝5，故答案为：516．解：如图所示，∵PB＝AB＝6，AQ＝2，∴BQ＝6+2＝8，∴PQ ＝＝10．答：蚂蚁爬行的最短路程是10．故答案为：10三．解答题17．解：连接BD ，在Rt △ABD 中，BD 2＝AB 2+AD 2＝32+42＝52，在△CBD 中，CD 2＝132，BC 2＝122，而122+52＝132，即BC 2+BD 2＝CD 2，∴∠DBC ＝90°，S 四边形ABCD ＝S △BAD +S △DBC ＝•AD •AB +DB •BC ，＝×4×3+×12×5＝36．所以需费用36×250＝9000（元），答：学校需要投入9000元资金买草皮．18．解：（1）∵甲以3km /h 的速度沿正北方向前行；乙以4km /h 的速度沿正东方向前行， ∴两人行驶的路线围成一个直角三角形，∴过t 个小时后他俩的距离是：＝5t （km ），答：过t 个小时后他俩的距离是5tkm ；（2）由题意可得：5t ＝15，解得：t ＝3，答：经过3小时，他俩的距离是15km ．19．解：（1）S △ABC ＝BC •AC ＝×5×12＝30；（2）AB ＝＝＝13．20．证明：连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF ＝b ﹣a ，∵S 五边形ACBED ＝S △ACB +S △ABE +S △ADE ＝ab +b 2+ab ，又∵S 五边形ACBED ＝S △ACB +S △ABD +S △BDE ＝ab +c 2+a （b ﹣a ），∴ab +b 2+ab ＝ab +c 2+a （b ﹣a ），∴a 2+b 2＝c 2．21．解：（1）∵一架长5米的梯子AB ，顶端B 靠在墙上，梯子底端A 到墙的距离AC ＝3米，∴BC ＝＝4（m ），答：BC 的长为4m ；（2）当BD ＝AE ，则设AE ＝x ，故（4﹣x ）2+（3+x ）2＝25解得：x 1＝1，x 2＝0（舍去），故AE ＝1m ．22．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则线段CD 为新建公路．∵AC＝6km，BC＝8km，AB＝10km∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．＝•AC•BC＝AB•CD，∵S△ABC∴×6×8＝×10×CD，∴CD＝4.8km ∴新建路的长为4.8km．。
新北师大版八年级上册数学《勾股定理》单元测试卷
新北师大版八年级上册数学《勾股定理》单元测试卷八年级上册第一章《勾股定理》单元检测题一、选择题1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是(。
)A。
1.5.2.3.B。
7.24.25.C。
6.8.10.D。
9.12.15.2、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（）A、6厘米B、8厘米C、10厘米D、13厘米3、若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16 cm,那么它的面积为（）A。
48 cm²B。
36 cm²C。
24 cm²D.12 cm²4、如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A．10米B．15米C．25米D．30米5、如图中字母A所代表的正方形的面积为（）A。
4B。
8C。
16D。
646、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（）A.18 cm。
B.20 cm。
C.24 cm。
D.25 cm7、一部电视机屏幕的长为58厘米,宽为46厘米,则这部电视机大小规格（实际测量误差忽略不计）（）A.34英寸（87厘米）B.29英寸（74厘米）C.25英寸（64厘米）D.21英寸（54厘米）8、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里二、填空题9、在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝13．10、在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a＝6，则∠C=60°．11、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为96cm².12、如图，带阴影的正方形面积是32cm².13、如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有4米。
八年级数学上册第一章《勾股定理》单元测试题-北师大版(含答案)
试卷第1页，共8页 八年级数学上册第一章《勾股定理》单元测试题-北师大版（含答案）一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ⊥于点D ，则BD 的长为（ ）A ．45B ．85C ．165D ．2452．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若()221a b +=，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．153．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中5AE =，13BE =，则2EF 的值是（ ）试卷第2页，共8页A ．128B ．64C ．32D ．1444．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）A ．4B ．8C ．12D ．165．往直径为26cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽24cm AB =，则水的最大深度为（ ）A ．8cmB ．10cmC ．16cmD ．20cm6．如图，圆柱的底面周长为12cm ，AB 是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC 上有一点D ，且10cm BC =，2cm DC =．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短路程是（ ）cm ．A ．14B ．12C ．10D ．87．观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a ，b ，a b >，根据图中图形面积之间试卷第3页，共8页 的关系及勾股定理，可直接得到等式（ ）A ．2()a a b a ab -=-B ．22()()a b a b a b +-=-C ．222( )2a b a ab b -=-+D ．222()2a b a ab b +=++8．我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数c 能表示为两个正整数a ，b 的平方和，即22c a b =+，那么称a ，b ，c 为一组广义勾股数，c 为广义斜边数，则下面的结论：①m 为正整数，则3m ，4m ，5m 为一组勾股数；①1，2，3是一组广义勾股数；①13是广义斜边数；①两个广义斜边数的和是广义斜边数；①若2222,12,221a k k b k c k k =+=+=++，其中k 为正整数，则a ，b ，c 为一组勾股数；①两个广义斜边数的积是广义斜边数．依次正确的是（ ）A ．①①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①9．如图， Rt AED △中，90,,3,11AED AB AC AD EC BE ∠=====，则ED 的值为（ ）A 33B 34C 35D 37110．如图，在①ABC 中，AB ＝2，①ABC ＝60°，①ACB ＝45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE ①l ，BF ①l ，垂足分别为E ，F ，则AE +BF 的最大值为（ ）试卷第4页，共8页AB ．C ．D ．11．在Rt①ABC 中，①C ＝90°，AC ＝10，BC ＝12，点D 为线段BC 上一动点．以CD 为①O 直径，作AD 交①O 于点E ，则BE 的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1212．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；①两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；①若c 2为“整弦数”，则c 不可能为正整数；①若m ＝a 12+b 12，n ＝a 22+b 22，11a b ≠22a b ，且m ，n ，a 1，a 2，b 1，b 2均为正整数，则m 与n 之积为“整弦数”；①若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．如图，OE ①AB 于E ，若①O 的半径为10，OE ＝6，则AB ＝_______．试卷第5页，共8页14．一根直立于水中的芦节（BD ）高出水面（AC ）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D 恰好到达水面的C 处，且C 到BD 的距离AC ＝6米，水的深度（AB ）为________米15．学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为1米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为______米．16．已知2(4)5y x x -+，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应y 值的总和是__________．17．一个数的平方根是4a 和25a +，则=a _________，这个正数是_________．18．已知a 、b 、c 是一个三角形的三边长，如果满足2(3)450a b c ---=，则这个三角形的形状是_______．试卷第6页，共8页19732x y --，则2x ﹣18y 2＝_____．20．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm 无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A 处，然后遥控甲虫从A 处出发沿外壁面正方形ABCD 爬行，爬到边CD 上后再在边CD 上爬行3cm ，最后在沿内壁面正方形ABCD 上爬行，最终到达内壁BC 的中点M ，甲虫所走的最短路程是 ______cm三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE ，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD 的长为15米；①根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米；①牵线放风筝的小明的身高为1.6米．(1)求风筝的垂直高度CE ；(2)如果小明想风筝沿CD 方向下降12米，则他应该往回收线多少米？试卷第7页，共8页22．在一条东西走向河的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB ＝AC ，由于种种原因，由C 到A 的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A ，H ，B 在一条直线上），并新修一条路CH ，测得CB ＝3千米，CH ＝2.4千米，HB ＝1.8千米．（1）问CH 是不是从村庄C 到河边的最近路，请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC 的长．23．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C 处吹折，竹子的顶端A 刚好触地，且与竹子底端的距离AB 是4米．求竹子折断处与根部的距离CB ．24．太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE ，他们进行了如下操作： ①测得BD 的长为15米（注：BD CE ）；①根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米；①牵线放风筝的小明身高1.7米．(1)求风筝的高度CE．(2)过点D作DH BC⊥，垂足为H，求BH的长度．25．（12，其中4x=．（2）已知x=y=，求22x xy y-+值．试卷第8页，共8页参考答案1．C2．B3．A4．B5．A6．C7．C8．D9．A10．A11．B12．C13．1614．815．7.5；16．203217．-3118．直角三角形19．2220．1621．(1)风筝的高度CE为21.6米；(2)他应该往回收线8米．22．（1）是；（2）2.5米．23．3米24．(1)风筝的高度CE为21.7米(2)BH的长度为9米25．（1）62,122x（2）11答案第1页，共1页。
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7 7第一章《勾股定理》单元测试卷班别：姓名：一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）1.一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A．4 B．8 C．10 D．122.已知a=3，b=4，若a，b，c 能组成直角三角形，则c=（）A.5B.C.5 或D.5 或63.如图中字母A 所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．644.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形5．直角三角形的一直角边长是7cm，另一直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（）A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm6．适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为（）①a= ，b=，c= ②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个7．在△ABC 中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC 是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形3 8. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2 倍，这个三角形有一个锐角是 （ ） A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°9. 已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点 D 重合，折痕为 EF ，则△ABE 的面积为（ ） A ．3cm 2B ．4cm 2C ．6cm 2 D.12cm 210. 已知，如图，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的速度同时从港 口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距（ ） A ．25 海里B ．30 海里C ．35 海里D ． 40 海里二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）11. 一个三角形三边长度之比为 1∶2∶ ，则这个三角形的最大角为度．12. 如图，等腰△ABC 的底边 BC 为 16，底边上的高 AD 为 6，则腰长 AB 的长为． 13．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离欲到达点 B200m ，结果他在水中实际游了 520m ，求该河流的宽度为m ．14.小华和小红都从同一点O 出发，小华向北走了9 米到A 点，小红向东走到B 点时,当两人相距为15 米，则小红向东走了米．15.一个三角形三边满足(a +b)2 -c2 = 2ab ,则这个三角形是三角形．16.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面（填”合格”或”不合格”）．17.直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为cm2．18.如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是．三、解答题（共46 分）19.在RtΔABC 中，∠A CB=90°，AB=5，AC=3，CD⊥AB 于D，求CD 的长．CA BD21．（7 分）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC 的值．22．（8 分）如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河北牧童A东B 小屋23．如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域．（1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若 A 城受到这次台风影响，那么 A 城遭受这次台风影响有多长时间？《勾股定理》单元测试卷答案一、选择题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）1．C．2．C．3．D．4．C．5．D．6．A．7．D．8．C．9．C．10．D．二、填空题（共8 小题，每小题3 分，满分24 分）11．900 ．12．10 ．13．480 m．14．12 米．15．直角．16．合格．17．30 cm2．18．25 ．三、解答题（共46 分）19．略20．解：∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，∴BC2 = AB2 -AC2=42，∴BC=4，∵CD⊥AB，1 1 12∴AB·CD= AC·BC，∴5CD=12，∴CD=．2 2 5．21.解：∵AD⊥BC 于D，∴∠ADB=∠ADC=90°∵AB=3，BD=2∴AD2=AB2﹣BD2=5∵DC=1，∴AC2=AD2+DC2=5+1=6．∴AC=22.解：设矩形的长是a，宽是b，根据题意，得：，（2）+（1）×2，得（a+b）2=196，即a+b=14，所以矩形的周长是14×2=28m．23.如图，作出A 点关于MN 的对称点A′，则A′A=8 km,连接A′B 交MN 于点P，则A′B 就是最短路线.在Rt△A′DB 中，A′D=15 km,BD=8 km由勾股定理得A′B2= A′D 2+BD2=289∴A′D =17kmA′M P NAD B24.解：（1）由A 点向BF 作垂线，垂足为C，在Rt△ABC 中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A 城要受台风影响；（2）设BF 上点D，DA=200 千米，则还有一点G，“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
北师大版数学八年级上册第1章勾股定理 检测卷 (含答案)
第1章检测卷勾股定理(时间:100分钟满分:120分)题号一二三总分得分一、选择题(每小题3分，共30分)1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 ( )A.∠A+∠B=∠CB.∠A:∠B:∠C=1:2:3C.a²=c²−b²D. a:b:c=3:4:62.下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是 ( )A.3,4,5B.5,12,13C.7,24,25D.7,9,133.若直角三角形的三边长为6，8，m，则m²的值为 ( )A.10B.100C.25D.100 或284.如图,D为△ABC的边BC上一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,则BC的长为( )A.13B.14C.15D.165.将一根长为25 cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为h cm，则 h的取值范围是 ( )A.12≤h≤13B.11≤h≤12C.11≤h≤13D.10≤h≤126.如图,高速公路上有A,B两点相距10km,点 C,D 为两村庄,已知DA=4km,CB=6km. DA⊥AB于点A,CB ⊥AB于点B,现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是( )A. 4kmB. 5kmC.6kmD.7 km7.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草( )A.1B.2C.3D.48.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 ( )A.0.7 米B.1.5米C.2.2 米D.2.4米9.在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何?”意思是：如图，推开两扇门(AD 和BC)，门边缘 D，C 两点到门槛AB的距离是1 尺(1尺=10寸)，两扇门的间隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门的宽度和)AB为 ( )A.101 寸B.100寸C.52寸D.96寸10.如图，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B 处的最短距离为( )A.13cmB.12 cmC.16 cmD.20cm二、填空题(每小题3分，共15 分)11.三个正方形如图摆放，其中两个正方形的面积分别为S₁=25,S₂=144,则第三个正方形的面积为S₃=.12.如图,∠C=90°,AB=12,BC=3,CD=4,AD=13,则∠ABD=.13.一直角三角形的两边长分别为4和5，明明以第三边为正方形的一边，画了个正方形，则明明画的这个正方形的面积等于 .14.如图，每个小正方形的边长都为1，则△ABC的三边长a，b，c的大小关系是 .(用“>”连接)15.如图为一个三级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别是50cm，30cm，10cm，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到 B 点，最短路线的长是 cm.三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16.(8分)有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺?17.(8分)如图所示的一块草坪，已知AD=12m,CD=9m,∠ADC=90°,AB=39m,BC=36m,求这块草坪的面积.18.(8 分)如图,在长方形ABCD 中,AB=3cm,AD=9cm,，将此长方形折叠,使点 B 与点 D 重合,折痕为 EF,求△ABE的面积.19.(9 分)如图,在△ABC中,D 是BC 上一点,若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17.(1)求 DC 的长;(2)求△ABC的面积.20.(9分)如图,长方体中AB=BB′=2,AD=3,，一只蚂蚁从A点出发，在长方体表面爬到C′点，求蚂蚁怎样走最短，最短路径是多少.21.(10分)如图，牧童在A 处放羊，其家在B 处，A，B 到河岸的距离分别为AC=400m,BD=200m,C，D间的距离为800 m，牧童从A处把羊牵到河边饮水后再回家，试问：羊在何处饮水所走路程最短?在图中画出最短路径并求出最短路径的长度是多少.22.(11 分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm..若点 P 从点 A出发，以每秒2cm的速度沿A→C→B→A运动，设运动时间为ts(t⟩0).(1)当点P在AC上,且满足.PA=PB时，求t的值；(2)若点 P 恰好在∠BAC的平分线上，求t的值.23.(12分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪利用图1 证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图1所示的方式摆放，其中∠DAB=90°.试说明：a²+b²=c².解：连接DB，过点D作DF⊥BC,，交 BC的延长线点于点 F，则DF=EC=b−a.因为S四边形ADCB =SACD+SABC=12b2+12ab,S四边形ADCB =SABD+SDCB=12c2+12a(b−a).所以12b2+12ab=12c2+12a(b−a).所以a²+b²=c².请参照上述方法，回答下面的问题.将两个全等的直角三角形按图2所示的方式摆放，其中∠DAB=90°.试说明：a²+b²=c².第1章检测卷勾股定理1. D2. D3. D4. B5. A6. C7. D8. C9. A 10. D 11.16912.90° 13.41或9 14. c>a>b 1 5.13016.解：设水深x尺，那么荷花径的长为(x+1)尺.由勾股定理得x²+3²=(x+1)².解得x=4.答：水池的水深有4 尺.17.解:如图,连接AC,则在Rt△ADC中,AC²=AD²+CD²=12²+9²=225,所以AC=15.在△ABC中,.AB²=1521.因为AC²+BC²=15²+36²=1521,所以AB²=AC²+BC².所以△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.所以SABC −SAcD=12AC⋅BC−12AD⋅CD=12×15×36−12×12×9=270-54=216(m²).答：这块草坪的面积是216平方米.18.解:因为四边形ABCD 是长方形,所以∠A=90°.设BE=x cm.由折叠的性质可得DE=BE=x cm.所以AE=AD-DE=(9-x) cm.在Rt△ABE中,BE²=AE²+AB²,所以x²=(9−x)²+3².解得x=5.所以DE=BE=5cm,AE=4 cm.所以SABE =12AB⋅AE=12×3×4=6(cm2).19.解:(1)因为在△ABD中,.AB=10,BD=6,AD=8,所以AB²=100,BD²+AD²=36+64=100.所以AB²=BD²+AD².所以△ABD是直角三角形.所以AD⊥BC,即∠ADC=90°.在Rt△ADC中,AD=8,AC=17,由勾股定理得DC²=17²−8²=225,所以DC=15.(2)SABC =12AD⋅BC=12AD⋅(BD+DC)=84.20.解:①如图1,把长方体沿.A→A′→D′→C′→C→D→A剪开，则成长方形ACC'A',宽为AA′=BB′=2,长为AD+DC=AD+AB=5.连接AC'，则点A，C，C'构成直角三角形，由勾股定理得AC′²= (AD+DC)²+DD′²=5²+2²=29.②如图2，把长方体沿. A→A ′→B ′→C ′→D ′→D→A 剪开，则成长方形ADC'B',宽为AD=3,长为 DD ′+D ′C ′=BB ′+AB =4.连接AC',则点A,D,C'构成直角三角形,由勾股定理得 AC ′²=AD²+(DD ′+D ′C ′)=3²+4²=25.因为25<29，所以最短路径是5.21.解:作点 B 关于 CD 的对称点 B',连接AB'交 CD 于点 P,连接PB,此时PA+PB 的值最小，最小值为AB'的长.过点 A 作AE⊥B'B 交B'B 的延长线于点 E.在 Rt△AED'中,因为AE=CD=800 m,B'E=AC +B'D =AC +BD=400+200=600(m),所以 AB ′²=AE²+B ′E²=800²+600².所以 AB ′=1000m.即最短路程的长度是1 000 m.22.解:(1)因为AB=5cm,BC =3cm,∠C=90°,所以由勾股定理得 AC²=AB²−BC²=5²−3²=16,所以 A C=4 cm.当PA=PB =2t cm 时,PC=(4-2t) cm.在 Rt△PCB 中,由勾股定理得 PC²+BC²=PB².即 (4−2t )²+3²=(2t )².解得 t =2516.所以PA=PB 时,t 的值为 2516.(2)当点 P 在∠BAC 的平分线上时,如图,过点 P 作 PE⊥AB 于点 E.此时BP=(7-2t) cm,PE=PC=(2t-4) cm,BE=5-4=1(cm),其中0<t<3.5.在 Rt△BEP 中,由勾股定理得 PE²+BE²=BP².即 (2t−4)²+1²=(7−2t )²,解得 t =83.当t=6时，点P 与点A 重合，也符合条件.所以点 P 恰好在∠BAC 的平分线上时，t 的值为 83或6.23.解:连接BD,过点B 作BF⊥DE,交DE 的延长线于点 F,易知BF=b-a.因为S CBED =S ABC +S ABD +S BDE =12ab +12c 2+ 12a (b−a ),S ACBED =S ACBE +S ADE =12b (a +b )+12ab,所以12ab +12c 2+12a (b−a )=12b (a +b )+12ab.所以 a²+b²=c².。
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理测试卷(附答案)
13.在
中， ∠ , ∠ , ∠ 的对边分别是 、 、 ，若 2 + 2 = 25, 2 − 2 = 7 ，又 = 5 ，则
最大边上的高为________.
14.如图，H 是△ABC 内一点，BH⊥CH，AH＝6，CH＝3，BH=4，D、E、F、G 分别是 AB、AC、CH、BH 的 中点，则四边形 DEFG 的周长是________.
理由如下：连接 OD． ∵OA=OD ∴∠ODA=∠A 又∵∠BDE=∠A ∴∠ODA=∠BDE ∵AB 是⊙O 直径 ∴∠ADB=90° 即∠ODA+∠ODB=90° ∴∠BDE+∠ODB=90° ∴∠ODE=90° ∴OD⊥DE ∴DE 与⊙O 相切； （2）∵R=5， ∴AB=10， 在 Rt△ABC 中
BC 中，∠ABC=90°，以 AB 为直径的⊙O 与 AC 边交于点 D，过点 D 的直线交 BC 边于点 E， ∠BDE=∠A． （1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由． （2）若⊙O 的半径 R=5，tanA=34 ， 求线段 CD 的长．
15.已知 △
，
延长线于 G，连接
= ， ⊥ ，点 F 在 上，作 ⊥ ， ∠ = 2∠ ， = = 2 ，则
，直线 交 于 E，交 的长为________．
三、解答题（共 7 题；共 55 分）
16.如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tanC=
1 2
，AC=3
5 ，AB=4，求△ABC 的周长．
19.如图，一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯子滑动 后停在 DE 的位置上，测得 BD 长为 0.2 米，求梯子顶端 A 下落了多少米？
北师大版八年级数学上册(单元测试)第一章勾股定理【含答案】
北师大版八年级数学上册（单元测试）第一章勾股定理一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（ ）A ．①行，②不行B ．①不行，②行C ．①，②都行D ．①，②都不行2．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，则的值为（ ）222AB BC AC ++A ．24B ．18C ．12D ．93．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a ，b ，斜边为c ）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则的值为（ ）44a b +A ．68B ．89C ．119D ．1304．如图，三角形纸片ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3．沿过点A 的直线将纸片折叠，使点B 落在边BC 上的点D 处；再折叠纸片，使点C 与点D 重合，若折痕与AC 的交点为E ，则AE 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．1365676655．如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边AB AB 点C 处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A 拉向岸边点C 处，竿顶和岸0.8CD =AD 边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（ ）BDA ．1.5米B ．1.7米C ．1.8米D ．0.6米6．△ABC 的三边长a ，b ，c （b ﹣12）2+|c ﹣13|＝0，则△ABC 的面积是（ ）A ．65B ．60C ．30D ．267．实数a 的化简结果是（ ）1|1|a ++-A ．1B ．2C ．2aD ．1﹣2a8．如图，圆柱的底面周长为12cm ，AB 是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC 上有一点D ，且，10cm BC =．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短路程是（ ）cm ．2cm DC =A．14B．12C．10D．89．如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（）A B．C．D．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O 于点E，则BE的最小值为（ ）A．6B．8C．10D．1211．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（）222①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE+AD＝2ACA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．实数a ，b 的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．02b -2a -22b a -二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．如图，OE ⊥AB 于E ，若⊙O 的半径为10，OE ＝6，则AB ＝_______．14．我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA 的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离就和身10P C '=P B '高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为________尺．15．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是____________米．16．观察下列各式：11111122=+-=；11111236=+-=；11111.3412=+-=______．17．已知a 、b 、c 是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的形状是_______．2(3)50a --=18．如图，圆内42a ，若点A ，B ，C ，D ，E 在同一条直线上，点E ，F ，G 在同一个圆上，则此圆的半径为______．19．如图，AB ⊥BC 于点B ，AB ⊥AD 于点A ，点E 是CD 中点，若BC ＝5，AD ＝10，BE ＝，则AB 的长是 132_____．20．一个数的平方根是和，则_________，这个正数是_________．4a +25a +=a 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．某海上有一小岛，为了测量小岛两端A ，B 的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B 是CD 的中点，E 是BA 延长线上的一点，且∠CED ＝90°，测得AE ＝16.6海里，DE ＝60海里，CE ＝80海里．(1)求小岛两端A ，B 的距离．(2)过点C 作CF ⊥AB 交AB 的延长线于点F ，求值．BFBC 22．伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个景点 、其中，由于某种原因，由C A B ．AB AC =到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H （、、三点在同一直线上），并新修一条C A A H B 路，测得千米，千米，千米．CH 5BC =4CH =3BH =(1)判断的形状，并说明理由；BCH ∆(2)求原路线的长．AC 23．如图，在中，过点C 作，在上截取，上截取，连接ABC ()AB BC <CD AB ∥CD CD CB =CB CE AB =．DE DB 、(1)求证：；ABC ECD ≌△△(2)若的面积．90,3,A AB BD ∠=︒==BCD △24．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a ，较短的直角边为b ，斜边长为c ，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该飞3OC =镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为，若，求．123,,S S S 12340S S S ++=2S 25．聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB ＝9m ，BC ＝12m ，CD ＝17m ，AD ＝8m ，∠ABC ＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？参考答案：1．A2．B3．B4．A5．A6．C7．B8．C9．D10．B11．C12．A13．1614．14.515．816．115617．直角三角形1819．1220． -3 121．(1)33.4海里(2)72522．(1)是直角三角形，BCH (2)原来的路线的长为千米AC 25623．(1)1(2)10ACD S 24．(1)1(2)24(3)40325．绿化这片空地共需花费17100元答案第3页，共1页。
初中数学北师大版八年级上册 第一章 勾股定理单元测试(含答案)
第一章勾股定理一、选择题1. 若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是( )A．a=1.5，b=2，c=2.5B．a:b:c=3:4:5C．∠A+∠B=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:52. 在Rt△ABC中，若∠C=90∘，AC=3，BC=4，则点C到直线AB的距离为( )A．3B．4C．5D．2.43. 如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，且AB=BC=2，CD=3，DA=1，则∠DAB的度数为( )A．90∘B．120∘C．135∘D．150∘4. 如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要( )A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )A．47B．13C．11D．86. 如图，将一根长度为8 cm，自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把皮筋中点C竖直向上拉升3 cm到点D，则此时该弹性皮筋被拉长了( )A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．2 cm7. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90∘，并测得BC长为16 m，若已知AC比AB长8 m，则A点和B点之间的距离为( )A．25 m B．12 m C．13 m D．43 m8. 如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．207二、填空题9. 在△ABC中，∠C=90∘．（1）已知a=10，b=24，那么c=．（2）已知b:c=4:5，a=9，那么b=，c=．10. 如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH=6，EF=2，那么AB等于．11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为．12. 如图，一个长方体长4 cm，宽3 cm，高12 cm，则它上下两底面的对角线MN的长为cm．13. 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则可以判断△ABC的形状为．14. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=∘（点A，B，P是网格线的交点）．15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2=．三、解答题16. 在Rt△ABC中，∠C=90∘．(1) 已知a=8，c=17，求b．(2) 已知b=40，c=41，求a．17. 如图，在四边形ABCD中，∠DBC=90∘，AB=9，AD=12，BC=8，DC=17，求四边形ABCD的面积．18. 如图，滑竿在机械槽内运动，∠C=90∘，AB=2.5 m，BC=1.5 m，当底端B向右移动0.5 m时，顶端A下滑了多少米？19. 假期中，王强和同学到某海岛上去旅游．他们按照如图所示路线．在点A登陆后租借了自行车，骑车往东走8千米，又往北走2千米；遇到障碍后往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，走了1千米到达景点B．登陆点A到景点B的直线距离是多少千米？20. 若正整数a，b，c（a<b<c）满足a2+b2=c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯⋯第二类（a是偶数）：(6,8,10)，(8,15,17)，(10,24,26)，⋯⋯(1) 请再写出两组勾股数，每类各写一组；(2) 分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”．答案一、选择题1. D2. D3. C4. A5. B6. D7. B8. D二、填空题9. 26；12；1510. 1011. x2+62=(10−x)212. 1313. 直角三角形14. 4515. 20三、解答题16.(1) 15．(2) 9．17. ∵∠DBC=90∘，DC=17，BC=8，∴BD2=CD2−BC2=172−82=225=152，∴BD=15．∵AD2+AB2=122+92=144+81=225，BD 2=225， ∴AD 2+AB 2=BD 2，∴△ABD 是直角三角形，且 ∠A =90∘，∴ 四边形 ABCD 的面积 =△ABD 的面积 +∠CBD 的面积 =12×9×12+12×15×8=54+60=114．18. 依题意得 AB =DE =2.5 m ，BC =1.5 m ，∠C =90∘，∴AC 2+BC 2=AB 2，即 AC 2+1.52=2.52，解得 AC =2 m ． ∵BD =0.5 m ， ∴CD =2 m ．在 Rt △ECD 中，CE 2+CD 2=DE 2， ∴CE =1.5 m ， ∴AE =0.5 m ．答：顶端 A 下滑了 0.5 m ．19. 10 千米．20.(1) 第一组（a 是奇数）：9,40,41（答案不唯一）；第二组（a 是偶数）：12,35,37（答案不唯一）．(2) 当 a 为奇数时，b =a 2−12，c =a 2+12；当 a 为偶数时，b =a 24−1，c =a 24+1．证明：当 a 为奇数时，a 2+b 2=a 2+(a 2−12)2=(a 2+12)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．当 a 为偶数时，a 2+b 2=a 2+(a 24−1)2=(a 24+1)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．。
北师大版八年级上册《第一章勾股定理》单元测试（含答案）
北师大版八年级上册《第一章勾股定理》单元测试（含答案）八年级数学勾股定理单元测试（时间：100分钟总分：120分）班级学号姓名得分一、相信你一定能选对！（每小题4分，共32分）1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A . 6B . 4.5C . 2.4D . 82. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m 2 + n 2, m 2–n 2, 2mn （m ，n 均为正整数,m >n ）；④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( ) A . ①② B . ②③ C .①③ D . ③④3. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A ．a :b :c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ．a :b :c =13∶5∶12 4. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A . 等边三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 锐角三角形. 5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（） A ．5 B ．25 C ．7 D ．5或76．已知Rt △ABC 中，∠C =90°，若a +b =14cm ，c =10cm ，则Rt △ABC 的面积是（）A. 24cm 2B. 36cm 2C. 48cm 2D. 60cm27．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A ．600米B . 800米C . 1000米D. 不能确定二、你能填得又快又对吗？（每小题4分，共32分）9. 在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______．10. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于．11．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．12．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．13．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______第10题图第13题图第14题图第15题图米.14．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为．15．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B’，那么BB’的值：①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是．16.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为 .三、认真解答，一定要细心哟！（共72分）17．（5分）右图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段．18．（6分）已知a、b、c是三角形的三边长，a＝2n2＋2n，b ＝2n＋1，c＝2n2＋2n＋1（n为大于1的自然数）,试说明△ABC为直角三角形.19．（6分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？20.（6分）如图所示,某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km ，再折回向北走到4.5km 处往东一拐，仅走0.5km 就找到宝藏。
北师大版八年级数学上册《勾股定理》单元测试卷及答案解析
北师大版八年级数学上册《勾股定理》单元测试卷一、选择题1、下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，52、给出下列几组数：①6，7，8；②8，15，6；③﹣1，2n，+1；④+1，﹣1，．其中能组成直角三角形的三条边长是（）A．①③B．②④C．①②D．③④3、如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）.A．1个B．2个C．3个D．4个4、已知直角三角形的两直角边长为6和8，那么斜边上的高为（）A．6 B．8C．4.8 D．2.45、如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）A．14 B．16C．20 D．286、如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.则△BDG的面积的值是（）A．18.75cm2B． 19.15 cm2C． 20 cm2D． 21.35 cm27、已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm,则△ABC的面积是（）A．24B．30C．40D．488、已知：如图，△ACB的面积为30，∠C=90°，BC=a，AC=b，正方形ADEB的面积为169，则（a﹣b）2的值为（）A．25 B．49C．81 D．100二、填空题9、有两棵树，如图，一棵高13米，另一棵高8米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了_______米.10、如图，已知△ABC中，∠C=90°，BA=15，AC=12，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是_______。
(第9题图) (第10题图) (第11题图)11、如图，一架梯子斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面8米，底端距墙面6米，当梯子滑动到与地面成角时，梯子的顶端向下水平滑动了__________米．12、如图，已知CD="6m，AD=8m，" ∠ADC=900，BC=24m，AB=26m，则图中阴影部分的面积是_____m2(第12题图) (第15题图) (第16题图) (第18题图) 13、在一次玩耍中，小丽问小颖：“如果我现在从你所站的位置向东走3米，再向南走12米，再向东走2米，那么我与你相距__________米．”14、已知直角三角形的两条直角边长分别是3和4，则斜边上的高长为_______.15、如图，已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8．则△ABC的周长为____．16、如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在距离根部处，这棵大树在折断前的高度为__________．17、若直角三角形两直角边的比为5：12，斜边长为39，则此直角三角形的周长为________．18、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是________．三、解答题19、如图，一个直径为 10cm 的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时 (筷子底端不动)，筷子顶端刚好触到杯口，求筷子长度.20、在如图所示的四边形ABCD中，AB =12，BC＝13，CD=4，AD＝3，AD⊥CD，求这个四边形ABCD的面积．21、如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了500米到达B点，然后再沿北偏西30•°方向走了500米到达目的地C点，求A、C两点间的距离．22、如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC=15cm，AB=9cm．求（1）FC的长；（2）EF的长．参考答案1、D2、D3、C.4、C5、D6、A7、A8、B9、1310、10.125π．11、312、9613、1314、2.415、4816、817、9018、1019、筷子长 13cm．20、24 21、1000m．22、（1）4cm．（2）5cm．【解析】1、试题分析：如果三角形的三边当中，较短两边的平方和等于较长边的平方，则这个三角形就是直角三角形.考点：勾股定理.2、试题分析：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．①≠，故不是直角三角形，故错误；②≠，故不是直角三角形，故错误；③，故是直角三角形，故正确；④，故是直角三角形，故正确．正确的是③④．考点：勾股定理的逆定理3、试题分析：根据全等三角形的判定得出点P的位置,要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，且满足三边对应相等，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选C.考点：全等三角形的判定.4、试题分析：此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积公式，解决问题的关键是掌握直角三角形的面积公式的两种计算方法．∵直角三角形的两直角边长为6和8，斜边长为10，三角形的面积=×6×8=24，设斜边上的高为x，则x•10=24，解得：x=4.8，考点：勾股定理5、试题分析：根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案：∵AC=10，BC=8，∴AB===6，图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28．故选D．考点：平移的性质；勾股定理．6、试题分析：设DG=x，则AG=8－x，根据折叠图形可得∠CBD=∠GBD，根据AD∥BC可得∠GDB=∠CBD，则△BGD为等腰三角形，根据Rt△ABG的勾股定理可得：，解得：x=，则S=×6÷2=18.75考点：（1）、折叠图形的性质；（2）、勾股定理.7、试题分析：∵62+82=102，∴此三角形是直角三角形，∴此直角三角形的面积为：×6×8=24（cm2）.考点：（1）、勾股定理的逆定理；（2）、三角形的面积8、试题分析：首先利用勾股定理和正方形面积公式计算出a2+b2，然后再利用三角形的面积公式可得ab，再根据完全平方公式将（a﹣b）2变形即可得到答案．解：∵△ACB的面积为30，∴ab=30，∵∠C=90°，BC=a，AC=b，正方形ADEB的面积为169，∴a2+b2=169，∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=169﹣120=49．故选：B．点评：考查了勾股定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．同时考查了三角形面积计算．9、分析：构造直角三角形，用勾股定理求解.详解：如图，连接AB，过点B作BC⊥AD垂足为点C，则AC＝13－8＝5，BC＝12，在Rt△ABC中，AB＝＝13.故答案为13.点睛：本题考查了勾股定理的实际应用，用勾股定理解决实际问题时，要根据题意画出图形，并且构造直角三角形，再用勾股定理直接求解或列方程求解.10、试题解析：在Rt△ABC中，BC==9，所以半圆的半径为4.5，则这个半圆的面积是：S=π•（BC）2=10.125π．11、梯子顶端离地面8米，底端距墙面6米,所以梯子长=，当梯子滑动到与地面成角时，所以顶端距离地面是5米，梯子向下滑动了8-5=3米. 12、分析：利用勾股定理求出AC值，结合三角形面积公式求得S△ADC；接下来计算AC2+BC2、AB2，可得△ABC为直角三角形，结合三角形面积公式求得S△ABC，然后根据阴影部分的面积=S△ABC-S△ADC计算即可.详解：∵CD=6m，AD=8m，∠ACD=90°，∴AC=10m，S△ADC=×6×8=24（m2）.∵AC=10m，CB=24m，AB=26m，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形.∵△ABC是直角三角形，AC=10m，CB=24m，∴S△ABC=×10×24=120（m2），∴S△ABC-S△ADC=120-24=96（m2）.即图中阴影部分的面积为96m2.故答案为：96.点睛：本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键.13、根据题意，得如下示意图：在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD==13.故本题应填13.14、试题分析：根据勾股定理先求出斜边，再根据面积相等，即可求出斜边上的高．解：根据勾股定理，斜边长为，设斜边上的高为x，根据面积相等，列方程得：×3×4=×5x，解得x=2.4.故答案为：2.4.点睛：本题主要考查勾股定理及三角形的面积. 解题的关键在于要利用直角三角形面积的两种求法建立方程来求解.15、在Rt△ADB中,AB=17,AD=8,由勾股定理得:BD= Rt △ADC中,AC=10,AD=8,由勾股定理得:CD==6,所以BC=15+6=21,则△ABC的周长=17+10+21=48,故答案为48.16、由勾股定理知，折断部分为5m,3+5=8m,所以大树高为8m.17、试题解析：∵直角三角形两直角边的比为5：12，斜边长为39，∴设直角三角形的两直角边分别为5x，12x，∵（5x）2+（12x）2=392，解得x=3，∴5x=15，12x=36，∴此直角三角形的周长=15+36+39=90．18、试题解析：如图（1）所示：AB=；如图（2）所示：AB=．由于＞10，所以最短路径为10．19、分析：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，因为直径为10cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解．详解：设杯子的高度是 xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，∵杯子的直径为 10cm，∴杯子半径为 5cm，∴x2+52=（x+1）2， x2+25=x2+2x+1， x=12，12+1="13cm．"答：筷子长 13cm．点睛：本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形，以及各边的长．20、试题分析：首先连接AC，根据直角三角形的性质求出AC的长度，然后根据勾股定理得出△ABC为直角三角形，然后利用△ABC的面积减去△ADC的面积得出答案.试题解析：连接AC ∵AD⊥CD ∴△ADC为直角三角形∵AD=3，CD=4 ∴AC=5 又∵AB=12，BC=13 ∴△ABC为直角三角形∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积－△ADC的面积=5×12÷2－3×4÷2=30－6=24.考点：勾股定理21、试题分析：根据BE∥AD，得出∠DAB=∠ABE=60°，再根据平角的定义得出30°+∠CBA+∠ABE=180°，求出∠CBA的度数，判断出△ABC是直角三角形，最后根据勾股定理求出AC的值即可．试题解析：∵BE∥AD，∴∠DAB=∠ABE=60°，∵30°+∠CBA+∠ABE=180°，∴∠CBA=90°，∴△ABC为直角三角形，∵BC=500，AB=500，∴AC2=BC2+AB2，∴AC==1000（m）．答：A、C两点间的距离是1000m．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．22、解：（1）∵矩形对边相等，∴AD=BC=15cm，∵折叠长方形的一边AD，点D落在BC边上的点F处，∴AF=AD=15cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF===12cm，∴FC=BC﹣BF=15﹣12=3cm；（2）∵折叠长方形的一边AD，点D落在BC边上的点F处，∴EF=DE，设DE=x，则EC=（9﹣x）cm，在Rt△EFC中，由勾股定理得，EC2+FC2=EF2，即（9﹣x）2+32=x2，解得x=5，即EF的长为5cm．。
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》测试卷(含答案)
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》测试卷（含答案）一、选择题（共8 小题，4*8=32）1. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )A ．5B ．6C ．7D ．82. 在ΔABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是a，b，c，若∠A+∠C ＝90°,则下列等式中成立的是( )A ．a2＋b2 ＝2c2B ．b2＋c2 ＝a2C ．a2＋c2 ＝b2D ．c2－a2 ＝b23. 若ΔABC 的三边a ，b，c 满足(a－b)2＋|a2＋b2－c2 | ＝0，则ΔABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形4. 如图，在某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O 同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12 海里/小时的速度航行，二号舰以16 海里/小时的速度航行，离开港口 1.5 小时后它们分别到达相距30 海里的A ，B 两点，则二号舰航行的方向是( )A ．南偏东30°B ．北偏东30°C ．南偏东60°D ．南偏西60°5. 一架250cm 的梯子斜靠在墙上，这时梯足与墙的终端距离为70cm，如果梯子顶端沿墙下滑40cm，那么梯足将向外滑动( )A. 150cmB. 90cmC. 80cmD. 40cm6. 如图，长为12 cm 的橡皮筋放置在直线l 上，固定两端A 和B ，把中点C 竖直向上拉升4.5 cm 至点D 处，则拉长后橡皮筋的长为( )A ．20 cmB ．18 cmC ．16 cmD ．15 cm67. 如图所示，圆柱高8 cm，底面圆的半径为π cm，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃蜂蜜，则要爬行的最短路程是( )A ．20 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．无法确定8. 有下面的判断：①△ABC 中，a2＋b2≠c2 ，则ΔABC 不是直角三角形。
北师大版八年级数学上册 第1章 勾股定理 章节测试卷 (含解析)
第1章《勾股定理》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦（结果用含m的式子表示）是（ ）A．4m2−1B．4m2+1C．m2−1D．m2+12．如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D 的面积之和为（）A．11B．14C．17D．203．观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每个方格的边长为1），如果将它们沿方格边线或对角线剪开后无缝拼接，不能拼成正方形的是（）A．B．C．D．4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A．2.2米B．2.3米C．2.4米D．2.5米5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）A．2B．52C．5D．2546．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为92，则BD2的值为（）A．13B．12C．11D．107．图中不能证明勾股定理的是（）A． B．C．D．8．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，AC=BC=BD=1，若以点A为圆心，AD的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（）A．3B．−2+3C．−1+3D．−39．如图，一个底面周长为24cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为（）A．12cm B．13cm C．25cm D．26cm10．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI 的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2；④S1S4＝S3S2，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法建立等式证明勾股定理．小明在证题中用两种方法表示五边形的面积，分别是S1= ，S2= ．12．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离 km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使CD=13，则AD 的长为 km．13．如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME−7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1=A1A2=A2A3=⋅⋅⋅=A7A8=1，若S1代表△A1OA2的面积，S2代表△A2OA3的面积，以此类推，则S10的值为．14．把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，以下剪法中能够将剪成的若干块拼成一个大正方形的有（填写序号）．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点E是BC的中点，动点P从A 点出发以每秒1cm的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当t=，△APE的面积等于12．16．已知△ABC中，AC=8，AB=41，BC边上的高AG=5，D为线段AC上的动点，在BC上截取CE=AD，连接AE，BD，则AE+BD的最小值为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=3，AC=5，AD=2，求证：AD⊥AB．18．（6分）如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？19．（8分）以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（5，12，13），（7，24，25）等．(1)根据上述三组勾股数的规律，写出第四组勾股数组；(2)用含n（n为正整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．20．（8分）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．(1) 求线段BG的长；(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．(1)如图（1），把△ABC沿直线DE折叠，使点A与点B重合，求BE的长；(2)如图（2），把△ABC沿直线AF折叠，使点C落在AB边上G点处，请直接写出BF的长．22．（8分）如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形如图2．（1）你能在3×3方格图（图3）中，连接四个格点（网格线的交点）组成面积为5的正方形吗？若能，请用虚线画出．（2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形．（3）如图，是由两个边长不等的正方形纸片组成的一个图形，要将其剪拼成一个既不重叠也无空隙的大正方形，则剪出的块数最少为________块．请你在图中画出裁剪线，并说明拼接方法．23．（8分）公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”．1876年美国总统Garfeild用图1（点C、点B、点C′三点共线）进行了勾股定理的证明．△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，两直角边长为a，b，斜边是c．请用此图1证明勾股定理．拓展应用l：如图2，以△ABC的边AB和边AC为边长分别向外作正方形ABFH和正方形ACED，过点F、E分别作BC的垂线段FM、EN，则FM、EN、BC的数量关系是怎样？直接写出结论 ．拓展应用2：如图3，在两平行线m、n之间有一正方形ABCD，已知点A和点C分别在直线m、n 上，过点D作直线l∥n∥m，已知l、n之间距离为1，l、m之间距离为2．则正方形的面积是 ．答案解析一．选择题1．D【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，(2m)2+a2=(a+2)2，解得a=m2−1，∴弦是a+2=m2−1+2=m2+1，故选：D．2．C【分析】如图：由题意可得∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,S=AB2=3,S C=DE2=5,S B=AC2,AAC=CE，再根据全等三角形和勾股定理可得S B=S C+S A=5+3=8，同理可得S D=S C+ S E=5+4=9，最后求正方形B、D的面积之和即可．【详解】解：如图：由题意可得：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°,S=AB2=3,S C=DE2=5,S B=AC2,AC=CEA∴∠BAC+∠ACB=90°,∠DCE+∠ACB=90°,∴∠BAC=∠DCE，∴△ABC≅△CDE,∴DE=BC,∵∠ABC=90°，∴AC2=BC2+AB2，∴AC2=DE2+AB2,即S B=S C+S A=5+3=8,同理：S=S C+S E=5+4=9;D∴S+S B=8+9=17．D故选C．3．C【分析】根据网格的特点分别计算阴影部分的面积即可求得拼接后的正方形的边长，根据网格的特点能否找到构成边长的格点即可求解．【详解】解：A. 阴影部分面积为4，则正方形的边长为2，故能拼成正方形，不符合题意；B.阴影部分面积为10，则正方形的边长为10，∵12+32=10，故能拼成正方形，不符合题意；C.阴影部分面积为11，则正方形的边长为11，根据网格的特点不能构造出11的边，故不能拼成正方形，符合题意D. 阴影部分面积为13，则正方形的边长为13，∵22+32=13，故能拼成正方形，不符合题意；故选C．4．A【分析】将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案.【详解】如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，AB2=AC2+BC2∴AB2=0.72+ 2.42= 6.25在Rt△A‘BD中，∵∠A’BD=90°，A’D=2米，BD2+A'D2=A'B2∴BD2+22= 6.25∴BD2= 2.25∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米即小巷的宽度为2.2米，故答案选A5．B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=AC2−A B2=52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．6．A【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．【详解】解：由折叠得，AB=AE，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，{AB=AE∠BAF=∠EAFAF=AF，∴△BAF≌△EAF(SAS)，∴BF=EF，∴AF⊥BE，又∵AF＝4，AB＝5，∴BF=AB2−A F2=3，在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，∴S△ADE =12AD⋅EF=12DG⋅h+12EG⋅h，即S△ADG +S△AEG=12AD⋅EF，∵S△AEG =12⋅GE⋅h=92，S△ADG=S△AEG，∴S△ADG +S△AEG=92+92=9，∴9=12AD⋅3，∴AD=6，∴FD=AD−AF=6−4=2，在Rt△BDF中，BF=3，FD=2，∴BD2=BF2+FD2=32+22=13，故选：A．7．A【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论a2+b2=c2，找出不能证明的那个选项．【详解】解：A选项不能证明勾股定理；B选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式(a+b)2=4×12ab+c2，可得a2+b2 =c2；C选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式(a+b)22=2×12ab+12c2，可得a2+b2=c2；D选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式c2+2×12ab=a2+b2+2×12ab，可得a2+b2=c2．故选：A．8．B【详解】根据勾股定理得：AB=2，AD=3，∴AE=3，∴OE=2−3，∴点E表示的数为−2+3．故答案为：B．9．B【分析】先将圆柱圆的侧面沿着点A所在的棱线剪开，得到长方形，得到AC=5cm,BC=242=12 cm，由此即可以利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路线AB的长.【详解】如图，沿着点A所在的棱线剪开，此时AC=5cm,BC=242=12cm，∴蚂蚁爬行的最短路线AB=AC2+BC2=52+122=13cm，故选：B.10．D【分析】利用正方形的性质证明△ABI≌△ADC，得出∠AIB=∠ACD，即可得出∠CNI=∠NAI，即可判断①，利用△ABI≌△ADC，即可求出△ABI的面积，即可判断②，由勾股定理和S3+S4=S▱ABED，即可判断③，由③S1-S4=S3-S2，两边平方，根据勾股定理可得AC2−B C2=AK2−B K2，然后计算S12+S42−(S22+S32)=0，即可判断④．【详解】解：∵四边形ACHI和四边形ABED为正方形，∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，∴∠BAI=∠DAC，∴△ABI≌△ADC（SAS），∴∠AIB=∠ACD，∵∠CNI=∠CAI=90°，∴BI⊥CD，故①正确；∵S△ACD=S△AIB=12×AI×AC，S正方形ACHI=S1=AI×AC，∴S1：S△ACD=2：1，故②正确；∵S1=AC2，S2=BC2，S3+S4=S正方形ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3+S4，∴S1-S4=S3-S2，故③正确；∵ S1-S4=S3-S2，∴S12+S42−2S1S4=S22+S32−2S2S3，∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AK•KJ= AK•AB，S4=BK•KJ=BK•AB，∴S12+S42=AC4+AB2BK2，S22+S32=BC4+AK2AB2，∵AB2=AC2+ BC2，AC2=AK2+CK2,BC2=BK2+CK2，∴AC2−A K2=BC2−B K2，即AC2−B C2=AK2−B K2，∴S12+S42−(S22+S32)=AC4+AB2BK2−(BC4+AK2AB2)=AC4−B C4+AB2(BK2−A K2)=(AC2+BC2)(AC2−B C2)−A B2(AC2−B C2) =AB2(AC2−B C2)−AB2(AC2−B C2)=0，∴S1•S4=S2•S3，故④正确，二．填空题11．c2+ab a2+b2+ab【详解】解：如图所示：S1=c2+12ab×2=c2+ab，S2=a2+b2+12ab×2=a2+b2+ab．故答案为c2+ab，a2+b2+ab．12． 20 13【分析】（1）根据两点的纵坐标相同即可得出AB的长度；（2）过C作AB的垂线交AB于点E，连接AD，构造方程解出即可．【详解】（1）根据A、B两点的纵坐标相同，得AB=12−（−8）=20故答案为：20（2）如图：设AD=a，根据点A、B的纵坐标相同，则AE=12，CE=1−（−17）=18由ΔADE是直角三角形，得：（CE−CD）2+AE2=a2∴52+122=a2故答案为：13 13．102【分析】利用勾股定理依次计算出OA2=2，OA3=3，OA4=4=2，.. OA n=n，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得S10即可．【详解】由题意得：OA2=OA12+A1A22=12+12=2，OA3=OA22+A2A32=12+(2)2=3，OA4=OA32+A3A42=12+(3)2=4=2,∴OAn=n，∴OA10=10，∴S10=12OA10⋅A10A11=12×10×1=102，故答案为：102．14．①③【分析】设小正方形的边长为1，则5个小正方形的面积为5，进而可知拼成的大正方形的边长为5，再根据所画虚线逐项进行拼接，看哪种剪法能拼成边长为5的正方形即可．【详解】解：按照①中剪法，在外围四个小正方形上分别剪一刀然后放到相邻的空处，可拼接成边长为5的正方形，符合题意；如下图所示，按照③中剪法，通过拼接也可以得到边长为5的正方形，符合题意；按照②中剪法，无法拼接成边长为5的正方形，不符合题意；故选①③．故答案为：①③．15．3或18或22【分析】分当点P在线段AB上运动时，当点P在线段BC上运动且在点E的右边时和当点P在线段BC上运动且在点E的左边时三种情况讨论，即可求出t的值．【详解】解：∵∠C=90°，BC＝16cm，AC＝12cm，∴AB=AC2+BC2=162+122=20，∵点E是BC的中点，∴CE＝BE=12BC＝8cm，S△ACE=S△ABE=12S△ABC=12×12×12×16=48cm2．当点P在线段AC上运动时，∵△APE的面积等于12，即S△APE =14S△ACE，∴AP=14AC=3，∴t=3÷1=3秒；当点P在线段BC运动时上且在点E的右边时，，如图2所示，同理可知BP=14BE=2cm，∴t=(12+8+2)÷1=22秒；当点P在线段BC上运动且在点E的左边时，如图3所示，同理可知CP=12CE=2cm，∴t=(12+8−2)÷1=18秒；故答案为∶3或18或22．16．13【分析】通过过点A 作GC 的平行线AN ，并在AN 上截取AH =AC ，构造全等三角形，得到当B ，D ，H 三点共线时，可求得AE +BD 的最小值；再作垂线构造矩形，利用勾股定理求解即可．【详解】如图，过点A 作GC 的平行线AF ，并在AF 上截取AH =AC ，连接DH ，BH ．则∠HAD =∠C ．在△ADH 和△CEA 中，{AD =CE ，∠HAD =∠C ，AH =CA ，∴△ADH≌△CEA(SAS)，∴DH =AE ，∴AE +BD =DH +BD ，∴当B ，D ，H 三点共线时，DH +BD 的值最小，即AE +BD 的值最小，为BH 的长．∵AG ⊥BG ，AB =41，AG =5，∴在Rt △ABG 中，由勾股定理，得BG =AB 2−A G 2=(41)2−52=4．如图，过点H 作HM ⊥GC ，交GC 的延长线于点M ，则四边形AGMH 为长方形，∴HM =AG =5，GM =AH =AC =8，∴在Rt △BMH 中，由勾股定理，得BH =BM 2+HM 2=(4+8)2+52=13．∴AE+BD的最小值为13．故答案为：13．三．解答题17．证明：如图，延长AD至点E，使得AD=DE，连接CE，∵AD为BC边上的中线，∴BD=DC，又∵AD=DE,∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD，∴AB=EC=3，∠BAD=∠E，又∵AE=2AD=4,AC=5，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90°∴∠BAD=∠E=90°∴AD⊥AB．18．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，∴BC=AC，设BC=AC=x m，则OC=（8-x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2=BC2，．∴32+（8-x）2=x2，解得x=7316∴机器人行走的路程BC为73m．1619．（1）解：第一组勾股数的第一个数为3=2×1+1，第二个数为4=2×1×(1+1)，第三个数为4=2×(1+1)+1，第二组勾股数的第一个数为5=2×2+1，第二个数为12=2×2×(2+1)，第三个数为12=2×2×(2+1)+1，第三组勾股数的第一个数为7=2×3+1，第二个数为24=2×3×(3+1)，第三个数为25=2×3×(3+1)+1，所以第四组勾股数组的第一个数为2×4+1=9，第二个数为2×4×(4+1)=40，第三个数为2×4×(4+1)+1=41，∴第四组勾股数组为(9,40,41)；（2）解：由（1）可知：第n组勾股数为(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1)，证明：∵(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+4n+1，(2n2+2n+1)2=(2n2+2n+1)(2n2+2n+1)=4n4+4n3+2n2+4n3+4n2+2n+2n2+2n+1=4n4+8n3+8n2+4n+1∴(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)220．解：（1）如图，连接BG．在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝BC2+GC2＝42+32＝5（dm），即线段BG的长度为5dm；（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为(3+3+5)2+42＝137②把ABEF展开，如图此时的总路程为(3+3+4)2+52＝125＝55③如图所示，把BCFGF展开，此时的总路程为(3+3)2+(5+4)2＝117由于117＜125<137，所以第三种方案路程更短，最短路程为117．21．（1）解：∵直线DE是对称轴，∴AE=BE，∵AC=6,BC=8，设AE=BE=x，则CE=8−x在Rt△ACE中，∠C=90°，∴AC2+CE2=AE2，∴62+(8−x)2=x2，，解得x=254∴BE=254（2）解：∵直线AF是对称轴，∴AC=AG，CF=CG，∵AC=6,BC=8，设CF=CG=x，则BF=8−x，∴在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=AC2+BC2=62+82=10，∴BG=AB−AG=4，在Rt△BGF中，∠BGF=90°，∴GF2+BG2=BF2，∴x2+42=(8−x)2，解得x=3，∴BF=8−3=5．22．解：（1）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；（2）能，如图所示，正方形ABCD即为所求；（3）如图所示，在AB上截取AM＝BE，连接DM、MF，DM、FM即为裁剪线，将△DAM拼接△DCH处，使DA与DC重合，将△MEF拼接至△HGF处，使ME和HG重合，EF与FG 重合，得到正方形DMFH，∴剪出的块数最少为5块，故答案为：5．23．如图：∵点C、点B、点B′三点共线，∠C＝∠C′＝90°，∴四边形ACC′B′是直角梯形，∵△ACB与△BC′B′是一样的直角三角板，∴Rt△ACB≌Rt△BC′B′，∴∠CAB＝∠C′BB′，AB＝BB′，∴∠CBA+∠C′BB’＝90°∴△ABB′是等腰直角三角形，，所以S梯形ACC′B′＝（AC+B′C′）•CC′÷2＝(a+b)22S △ACB ＝12AC ⋅BC =12ab ，S △BC ′B ′＝12ab ，S △ABB ′＝12c 2，所以(a +b)22=12ab +12ab +12c 2，a 2+2ab+b 2＝ab+ab+c 2，∴a 2+b 2＝c 2；拓展1．过A 作AP ⊥BC 于点P ，如图2，则∠BMF ＝∠APB ＝90°，∵∠ABF ＝90°，∴∠BFM+∠MBF ＝∠MBF+∠ABP ，∴∠BFM ＝∠ABP ，在△BMF 和△ABP 中，{∠BFM =∠ABP ∠BMF =∠APB =900BF =AB，∴△BMF ≌△ABP （AAS ），∴FM ＝BP ，同理，EN ＝CP ，∴FM+EN ＝BP+CP ，即FM+EN ＝BC ，故答案为FM+EN ＝BC ；拓展2．过点D 作PQ ⊥m ，分别交m 于点P ，交n 于点Q ，如图3，则∠APD ＝∠ADC ＝∠CQD ＝90°，∴∠ADP+∠DAP ＝∠ADP+∠CDQ ＝90°，∴∠DAP ＝∠CDQ ，在△APD 和△DQC 中，{∠DAP =∠CDQ ∠APD =∠DQC AD =DC，∴△APD ≌△DQC （AAS ），∴AP ＝DQ ＝2，∵PD ＝1，∴AD 2＝22+12＝5，∴正方形的面积为 5，故答案为5．。
2023-2024学年八年级数学上册《第一章 勾股定理》单元测试卷有答案-北师大版
2023-2024学年八年级数学上册《第一章勾股定理》单元测试卷有答案-北师大版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的3倍，那么斜边长扩大到原来的（）A．3倍B．4倍C．6倍D．9倍2．在△ABC中，a，b，c分别是，和的对边，下列不能确定为直角三角形的是（）A．B．C．D．3．如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高4m，两树相距15m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（）A．8m B．10m C．13m D．17m4．如图，等边三角形ABC的周长为18，则BC边上的高AD的长为（）A．3 B．3 C．6 D．65．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD=5，则AE 的长为（）A．B．2 C．D．46．如图，在△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，点N在AC上，MN⊥AB，若AC＝8，BC＝4，则NC的长为（）A．5 B．4 C．3 D．27．如图，的两边和的垂直平分线分别交于D，E两点，垂足分别为M，N，若，则的周长为（）A．B．C．D．8．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一条直线上，若AB= ，则CD的长为（）A．B．C．D．二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．一棵垂直于地面的大树在离地面6m处折断，树的顶部落在离大树底部8m处，大树折断之前的高度是.10．如图，点A在直线上，点B、C在直线上，如果和那么平行线、之间的距离为．11．如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，则线段AE的长为．12．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．13．如图，台阶阶梯每一层高，宽，长 .一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是.三、解答题：（本题共5题，共45分）14．在中，D是BC上一点，AC=10，CD=6，AD=8，AB=17，求BC的长．15．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连结AE，求BE的长.16．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？17．已知：四边形ABCD中，AC⊥BC，AB=17，BC=8，CD=12，DA=9；（1）求AC的长；（2）求四边形ABCD的面积．18．如图，已知：AD是∠BAC的平分线，AB＝BD，过点B作BE⊥AC，与AD交于点F．（1）求证：AC∥BD；（2）若AE＝2，AB＝3，BF＝，求△ABF中AB边上的高．1．A 2．B 3．D 4．B 5．A 6．C 7．B 8．C9．16m10．311．212．15013．130cm14．解：∵∴∵∴∴∴∴∴．15．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝15∵DE垂直平分线AB∴AE＝BE设BE＝AE＝x，则CE＝12﹣x在Rt△ACE中，由勾股定理得AE2＝AC2+CE2即x2＝92+（12﹣x）2解得x＝即BE的长为.16．（1）解：根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO 米；（2）解：梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2.5﹣0.5）＝2米根据勾股定理：OB′＝2米所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．17．（1）解：∵AC⊥BC，AB=17，BC=8∴AC= = =15（2）解：∵122+92=152∴CD2+AD2=AC2∴四边形ABCD的面积为：×8×15+ 12×9=60+54=11418．（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线∴∠CAD＝∠BAD∵AB＝BD∴∠BDA＝∠BAD∴∠CAD＝∠BDA∴AC∥BD；（2）解：作FG⊥AB于G在Rt△ABE中，AE＝2，AB＝3∴BE∴FE＝BE﹣BF∵AD是∠BAC的平分线，BE⊥AC，FG⊥AB，∴FG＝FE，即△ABF中AB边上的高为。
北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》测试卷(含答案)
北师大版八年级上册数学第一章《勾股定理》测试卷（含答案）一．选择题1．下列线段不能构成直角三角形的是（）A．5，12，13B．2，3，C．4，7，5D．1，，2．下列各组数中，能构成直角三角形的三边的长度是（）A．3，5，7B．，，C．0.3，0.5，0.4D．5，22，233．如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角∠AOB走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”AB．他们踩伤草坪，仅仅少走了（）A．4m B．6m C．8m D．10m4．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．不能确定5．传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为（）A．B．C．D．6．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（）A．7B．8C．7D．77．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（）cm．A．14B．15C．16D．178．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2022B．2021C．2020D．19．下列各组数中，不是勾股数的是（）A．6，8，10B．9，41，40C．8，12，15D．5k，12k，13k（k为正整数）10．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2二．填空题11．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为．12．如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有m．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是边AC上的高，CD＝2，则BD＝．14．将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果AB＝10cm，那么AF＝cm．15．若△ABC的三边a、b、c，其中b＝1，且（a﹣1）2+|c﹣|＝0，则△ABC的形状为．16．如图，已知在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝．17．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为．18．请写出两组勾股数：、．19．如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入元．20．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．三．解答题21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2﹣BN2＝AC2．22．如图，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，点E是AD的中点，求CE的长．23．如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC 相交于点F，则有∠BFE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形．（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；（3）求证：a2+b2＝c2．24．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．25．如图，在数轴上作出表示的点（不写作法，要求保留作图痕迹）．26．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．27．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c 根据你发现的规律，请写出（1）当a＝19时，求b、c的值；（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、52+122＝169＝132，故是直角三角形，不符合题意；B、22+（）2＝9＝32，故是直角三角形，不符合题意；C、42+52＝41≠72，故不是直角三角形，符合题意；C、12+（）2＝（）2，故是直角三角形，不符合题意．故选：C．2．解：A、∵32+52＝34≠72，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误；B、∵（）2+（）2＝7≠（）2 ，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误；C、∵（0.3）2+（0.4）2＝0.25＝（0.5）2，∴以这三个数为长度的线段，能构成直角三角形，故选项正确；D、∵52+222＝509≠232，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项错误．故选：C．3．解：在Rt△AOB中，AB＝＝10m，∴AO+BO﹣AB＝6+8﹣10＝4m．即少走了4m．故选：A．4．解：根据题意得：如图：OA＝40×20＝800m．OB＝40×15＝600m．在直角△OAB中，AB＝＝1000米．故选：C．5．解：设这个直角三角形的两直角边分别为a，b，由题意可得，，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝（m﹣n）2﹣n2＝m2﹣2mn，∴这个直角三角形的面积＝ab＝．故选：A．6．解：∵AE＝5，BE＝12，即12和5为两条直角边长时，小正方形的边长＝12﹣5＝7，∴EF＝；故选：C．7．解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C，∵CQ＝×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝＝15cm，故选：B．8．解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2022．故选：A．9．解：A、62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；B、92+402＝412，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；C、82+122≠152，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D、（5k）2+（12k）2＝（13k）2，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；故选：C．10．解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．二．填空题11．解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，所以，KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，因此，矩形KLMJ的面积为10×11＝110．故答案是：110．12．解：由图形及题意可知，AB2+BC2＝AC2设旗杆顶部距离底部有x米，有32+x2＝52，得x＝4，故答案为4．13．解：由已知得：AD＝AC﹣CD＝8，AB＝10，∵BD是高，∴△ADB是直角三角形，∴BD2+AD2＝AB2，∴BD＝＝6．14．解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB＝5，∵FC∥DE，∴∠AFC＝∠D＝45°，由勾股定理得，AF＝＝5（cm），故答案为：5．15．解：∵（a﹣1）2+|c﹣|＝0，∴a﹣1＝0，c﹣＝0，解得a＝1，c＝，∵12+12＝（）2，∴△ABC的形状为等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．16．解：S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝2π．故答案为：2π．17．解：在Rt△ADC中，∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10m，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．∴S＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．阴影故答案是：96m218．解：两组勾股数是：3、4、5；6、8、10；故答案为：3、4、5；6、8、10．19．解：连接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，S 四边形ABCD ＝S △BAD +S △DBC ＝，＝＝36． 所以需费用36×200＝7200（元）．故答案为：720020．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm ，宽为（2+3）×3dm ， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理得：x 2＝82+[（2+3）×3]2＝172，解得x ＝17．故答案为：17．三．解答题21．证明：∵MN ⊥AB 于N ，∴BN 2＝BM 2﹣MN 2，AN 2＝AM 2﹣MN 2∴BN 2﹣AN 2＝BM 2﹣AM 2，又∵∠C ＝90°，∴AM 2＝AC 2+CM 2∴BN 2﹣AN 2＝BM 2﹣AC 2﹣CM 2，又∵BM ＝CM ，∴BN 2﹣AN 2＝﹣AC 2，即AN 2﹣BN 2＝AC 2．22．解：在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∴，∵CD ＝12，AD ＝13，∵AC 2+CD 2＝52+122＝169，AD 2＝169，∴AC 2+CD 2＝AD 2，∴∠C ＝90°，∴△ACD 是直角三角形，∵点E 是AD 的中点，∴CE ＝．23．（1）△ABE 是等腰直角三角形，证明：∵Rt △ABC 绕其锐角顶点A 旋转90°得到在Rt △ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠BAC +∠CAE ＝∠CAE +∠DAE ＝90°，又∵AB ＝AE ，∴△ABE 是等腰直角三角形；（2）∵四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积，∴四边形ABFE 的面积等于：b 2．（3）∵S 正方形ACFD ＝S △BAE +S △BFE即：b 2＝c 2+（b +a ）（b ﹣a ），整理：2b 2＝c 2+（b +a ）（b ﹣a ）∴a 2+b 2＝c 2．24．解：（1）△ABC 为直角三角形，理由：由图可知，，BC ＝，AB ＝＝5，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC是直角三角形；（2）设AB边上的高为h，由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，∴＝，即＝h，解得，h＝2，即AB边上的高为2．25．解：所画图形如下所示，其中点A即为所求；．26．解：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则有CD＝14﹣x，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解之得：x＝9，∴AD＝12，∴S＝BC•AD＝×14×12＝84．△ABC27．解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1∵a＝19，a2+b2＝c2，∴192+b2＝（b+1）2，∴b＝180，∴c＝181；（2）通过观察知c﹣b＝1，∵（2n+1）2+b2＝c2，∴c2﹣b2＝（2n+1）2，（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，又c＝b+1，∴2b+1＝（2n+1）2，∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1；（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，当n＝7时，2n+1＝15，112﹣111＝1，但2n2+2n＝112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．。
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北师大数学八年级（上）《勾股定理》单元测试
班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿ 得分＿＿＿＿＿＿
（时间：约45分钟）
一、 填空题（每空3分，计30分）
1、在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=＿＿＿＿； （2）b=8，c=17，则S △ABC =＿＿＿＿。
2、如果梯子底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可达到建筑物的高度是＿＿。
3、若一个三角形的三边之比为45∶28∶53，则这个三角形是＿＿＿＿（按角分类）。
4、在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是＿＿＿＿。
5、△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，AD ⊥BC 于D ，则AD=＿＿＿＿。
6、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为＿＿＿＿。
7、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。
(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)
答：A=＿＿＿＿，y=＿＿＿＿，B=＿＿＿＿。
二、 选择题（每题4分，计20分）
1、在Rt △ABC 中，∠C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ） A 、5、4、3、； B 、13、1
2、5； C 、10、8、6； D 、26、24、10
2、下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a 、
4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2
（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（ ）
A 、5组；
B 、4组；
C 、3组；
D 、2组
3、在同一平面上把三边BC=3，AC=
4、AB=5的三角形沿最长边AB 翻折后得到
△ABC ′，则CC ′的长等于（ ） A 、
125 ； B 、135 ； C 、56 ； D 、245
4、下列结论错误的是（ ）
A 、三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形；
B 、三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形；
C 、三条边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形；
D 、三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形。
5、直角三角形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，那么此三角形的周长是（ ）
A 、120；
B 、121；
C 、132；
D 、123
三、 做一做（每题10分，计40分）
1、如图，每个小方格都是边长为1的正方形，求图中格点四边形ABCD 的面积。
2、如图、为修通铁路需凿通隧道AC ，测得∠A=50°，∠B=40°，AB=5km ，BC=4km ，若每天开凿隧道0.3km ，试计算需要几天才能把隧道AC 凿通？
3、在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高3米的小树，两树之间相距12米。
今一只小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？（画出草图然后解答）
4、如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。
四、创新题（本题10分）
五、附加题试一试（本题20分）
如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗？。