高三理科数学试题二

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四川省攀枝花市2023届高三第二次统一考试理科数学试题

四川省攀枝花市2023届高三第二次统一考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,3}M =，{3,4}N =，则()()U U M N ⋃=（） A ．{3} B ．{5,6} C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,4,5,6}2．已知复数z 满足i(1)12i z +=-+（其中i 为虚数单位），则z =（） A ．1i - B ．1i + C ．3i --D ．3i -+3．已知等比数列{an }满足a 1a 6＝a 3，且a 4+a 5＝32，则a 1＝（）A ．18B ．14C ．4D ．84．某国有企业响应国家关于进一步深化改革，加强内循环的号召，不断自主创新提升产业技术水平，同时积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果．据悉该企业2021年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如下图所示．则以下说法错误的是（）A ．2021年甲系列产品收入和2020年的一样多B ．2021年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多C ．2021年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的13D ．2021年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍还多5．将一直角三角形绕其一直角边旋转一周后所形成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是A ．2π3B ．2πCD ．3π6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（）A ．()2e1ln ||()2exxx f x -⋅=B ．()()2e1ln 2exxx f x +⋅=C ．()22e ()e 1ln ||xxf x x =-⋅D ．22e 1()ex x f x x -=7．已知四边形ABCD 中，2AB DC =，0AD AB ⋅=，|||2|2AB AD ==，E 为BC 的中点，则AC DE ⋅=（）A ．14B ．34C ．1D ．28．一排11个座位，现安排甲、乙2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不能相邻，则不同排法的种数是（） A ．28B ．32C ．38D ．449．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1A D 的中点，给出下列结论： ①1//PB D C ；①//PB 平面11B D C ①1PB B C ⊥；①PB ⊥平面11AC D 其中正确的结论个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n a S a =+，设12log n n nS b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足2n T ≥的n 的最小正整数解为（） A ．15B ．16C ．3D ．411．已知函数π()sin cos 22x f x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的图象关于直线πx =对称C ．()f x 在3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x 是最小正周期为2π的周期函数12．已知2a =，32e 2b =，88ln2c =-，则（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c<a<b二、填空题13．已知平面向量(2,1)a =，(,2)b x =-，若a b ⊥，则||b =_________．14．()241(1)ax x -+的展开式中3x 的系数为12，则=a _________．15．已知边长为3的正ABC 的三个顶点都在球O （O 为球心）的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为30，则球O 的体积为___________．16．已知函数()()()ln 1,111,1x x f x k x x ⎧->⎪=⎨-+<⎪⎩，若存在非零实数0x ，使得()()0011f x f x -=+成立，则实数k 的取值范围是_________．三、解答题17．攀枝花市地处川滇交界处，攀西大裂谷中段，这里气候条件独特，日照充足，盛产芒果、石榴、枇杷、甘蔗等热带亚热带水果．根据种植规模与以往的种植经验，产自某种植基地的单个“红玉软籽”石榴质量()g 在正常环境下服从正态分布()602,625N ． (1)10000个产自该基地的“红玉软籽”石榴，估计有多少个质量()g 在(]577,652内； (2)2023年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x （人）与年收益增量y （万元）的数据如下：该基地为了预测人工投入增量与年收益增量的关系，建立了y 与x 的回归模型，试根据表中统计数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+并预测人工投入增量为10人时的年收益增量．参考数据：若随机变量()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈，(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈，回归直线ˆˆˆybxa =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆn ni iii i nniiii i x y nx y x x y y bxnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 18．在①ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin b b A B -=． (1)求A ；(2)线段BC 上一点D 满足1AD BD ==，3CD =，求①ADC 的面积．19．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E 为AD 的中点，112D F FC =．(1)证明：B ，E ，F ，1C 四点共面； (2)求1D C 与平面1BEFC 所成角的正弦值． 20．已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为P ，且点P 的横坐标为3． (1)求抛物线E 的标准方程；(2)点A 、B 是第一象限内抛物线E 上的两个动点，点(,0)C t 为x 轴上的动点，若ABC 为等边三角形，求实数t 的取值范围． 21．已知函数2()ln ()f x x a x x a =-+∈R ． (1)当3a =时，求函数()f x 的极值；(2)设函数()()g x f x x =-，若()g x 有两个零点1x ，()212x x x <，且0x 为()g x 的唯一极值点，求证：1202x x x +>．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=-．(1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)设曲线1C 与曲线2C 交于P 、Q 两点，求||||OP OQ ⋅的值． 23．已知()|2||2|()f x x ax a =++-∈R ． (1)当2a =时，解不等式()12f x <；(2)若1x ∀≥，不等式2()3f x x x ≤++恒成立，求a 的取值范围．。

四川省绵阳南山2024届高三下学期高考仿真考试(二)理科数学试题含答案

秘密★启用前【考试时间：2024年5月30日15：00-17：00】绵阳南山2024年高三仿真考试（二）理科数学（答案在最后）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}*2N |2nA n n =∈≥，则集合A 的元素个数为（）A.1B.2C.3D.无穷多个【答案】C 【解析】【分析】利用指数与幂的运算性质可求解.【详解】由2*2(N )n n n ≥∈，可得1,2,4n =，所以集合A 的元素个数为3个.故选：C2.虚数1i(R)z b b =+∈满足()i 1z z z z -=-⋅，则b =（）A.0B.1C.2D.0或2【答案】C 【解析】【分析】求出z ，代入()i 1z z z z -=-⋅计算即可.【详解】由已知1i(R)z b b =-∈，0b ≠，所以()i 2z z b -=-，()22111z z b b-⋅=-+=-，所以22b b -=-，解得2b =.故选：C.3.已知双曲线C 的顶点为1A ，2A ，虚轴的一个端点为B ，且12BA A △是一个直角三角形，则双曲线C 的渐近线为（）A.2y x =±B.y x=± C.22y x =±D.y =【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的对称性可得1212,BA BA BA BA ⊥=，求出ba即可得解.【详解】设双曲线的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，由双曲线的对称性可得12BA A △是一个等腰直角三角形，且1212,BA BA BA BA ⊥=，则12OA OA OB ==，即a b =，所以双曲线C 的渐近线为y x =±.故选：B.4.近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首位.某新能源汽车厂根据2021年新能源汽车销售额（单位：万元）和每月销售额占全年销售额的百分比绘制了如图所示双层饼图.根据双层饼图，下列说法错误的是（）A.2021年第四季度销售额最低B.2月销售额占全年销售额的8%.C.2021年全年销售总额约为1079万元D.7月的销售额约为46万元【答案】D 【解析】【分析】根据双层饼图，依次判断选项即可.【详解】解：由图知，第四季度销售额占全年销售额的百分比18%,第三季度为33%，第二季度为29%，第一季度为20%，故第四季度最低，A 正确；2月销售额占全年销售额的占比为20%5%7%8%--=，B 正确；全年销售总额为()31310%9%10%1079÷++≈（万元），C 正确；7月的销售额为107913%140⨯≈（万元），D 错误.故选：D.5.在平面直角坐标系xOy 中，角,αβ的始边均为Ox ，终边相互垂直，若35=cos α，则cos2β=（）A.925B.925-C.725D.725-【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式计算即得.【详解】依题意，π2π,Z 2k k βα=++∈，则3sin cos 5βα==，或π2π,Z 2k k βα=-+∈，则3sin cos 5βα=-=-，所以27cos212sin 25ββ=-=.故选：C6.已知点()00,P x y 为可行域*640,N x y x y x y +<⎧⎪->⎨⎪∈⎩内任意一点，则000x y ->的概率为（）A.25B.49C.13D.310【答案】B 【解析】【分析】作出可行域，求得可行域内的整点个数，进而求得满足000x y ->的点个数，由古典概型概率公式求解即可.【详解】可行域*640,N x y x y x y +<⎧⎪->⎨⎪∈⎩内的点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共9个，其中满足000x y ->的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共4个，所以所求的概率49P =.故选：B.7.已知Q 为直线:210l x y ++=上的动点，点P 满足()1,3QP =-，记P 的轨迹为E ，则（）A.EB.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到lD.E 是两条平行直线【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，由()1,3QP =-可得Q 点坐标，由Q 在直线上，故可将点代入坐标，即可得P 轨迹E ，结合选项即可得出正确答案.【详解】设(),P x y ，由()1,3QP =-，则()1,3Q x y -+，由Q 在直线:210l x y ++=上，故()12310x y -+++=，化简得260x y ++=，即P 的轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l的距离d ==A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .8.已知函数()()2sin 2f x x ϕ=+，2πϕ<，那么“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求得当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,进而判断6πϕ=时，函数的单调性，即可得出结果.【详解】当22222k x k πππϕπ-+≤+≤+，Z k ∈,()f x 单调递增.则当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,当6πϕ=时,()f x 在,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；当6πϕ=-时,()f x 在,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；反之，当()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数时，由,,6644ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可知，此时0,0k ϕ==，即6πϕ=不成立.所以“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的充分而不必要条件.故选：A.9.已知函数()f x 满足()()311f x f x +=--，且函数()1f x +为偶函数，若()11f =，则()()()()1232024f f f f +++⋯+=（）A.0B.1012C.2024D.3036【答案】B 【解析】【分析】由题意得()()11f x f x +=-+，()f x 的图象关于直线1x =对称，函数的周期为4，进一步()()()()12342f f f f +++=，由此即可得解.【详解】由题意函数()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+，()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()()()()()3111111331f x f x f x f x f x f x +=--=-+=---=-=-⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 的周期为4，在()()311f x f x +=--中，分别令0x =和1，得()()131f f +=，()()041f f +=，即()()241f f +=，所以()()()()12342f f f f +++=，所以()()()12202450621012f f f +++=⨯=L .故选：B.10.六氟化硫，化学式为6SF ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m ，则下列错误的是（）A.该正八面体结构的外接球表面积为22πm B.该正八面体结构的内切球表面积为22π3mC.该正八面体结构的表面积为2D.3【答案】D 【解析】【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.【详解】对A ：底面中心S 到各顶点的距离相等，故S 为外接球球心，外接球半径22R PS m ==，故该正八面体结构的外接球表面积22π)2πS m '=⨯=，故A 正确；对D ：连接AS ，PS ，则22AS PS m ==，PS ⊥底面ABCD ，故该正八面体结构的体积231222323V m m =⨯⨯⨯=，故D 错误；对C ：由题知，各侧面均为边长为m 的正三角形，故该正八面体结构的表面积2284S m =⨯⨯=，故C 正确；对B ：底面中心S 到各面顶点的距离相等，故S 为内切球球心，设该正八面体结构的内切球半径r，则13V Sr =，所以33VrS==故内切球的表面积222π4π3mS⎛⎫''=⨯=，故B正确.故选：D.11.若函数()21ln22f x a x x x=+-有两个不同的极值点12,x x，且()()1221t f x x f x x-+<-恒成立，则实数t的取值范围为（）A.(),5-∞- B.(],5-∞- C.(),22ln2-∞- D.(],22ln2-∞-【答案】B【解析】【分析】首先对()f x求导，得()()22x x af x xx'-+=>，根据题意得到方程220x x a-+=有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系求得a的取值范围，然后将不等式进行转化，结合根与系数的关系得到()()1212f x f x x x+--关于参数a的表达式，从而构造函数，利用导数知识进行求解．【详解】依题意得()()2220a x x af x x xx x-+=+-=>'，若函数()f x有两个不同的极值点12,x x，则方程220x x a-+=有两个不相等的正实数根12,x x，可得1212Δ44020ax xx x a=->⎧⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得01a<<，因为()()1221t f x x f x x-+<-，可得()()2212121112221211ln 2ln 222t f x f x x x a x x x a x x x x x <+--=+-++---()()()()()()2221212121212121211ln 3ln 322a x x x x x x a x x x x x x x x =++-+=++--+21ln 232ln 42a a a a a a =+⨯--⨯=--．设()()ln 401h a a a a a =--<<，则()ln 0h a a ='<，则()h a 单调递减，()()15h a h >=-，可知5t ≤-．所以实数t 的取值范围是(],5-∞-.故选：B ．【点睛】关键点睛：1.利用导数与极值点之间的关系及一元二次方程有两个不相等的正实数根，求得a 的取值范围是解决问题的前提；2.利用韦达定理二元换一元，通过构造函数解决问题.12.记椭圆1C ：22221(0)x ya b a b+=>>与圆2C ：222x y a +=的公共点为M ，N ，其中M 在N 的左侧，A 是圆2C 上异于M ，N 的点，连接AM 交1C 于B ，若2tan 5tan ANM BNM ∠=∠，则1C 的离心率为（）A.35B.45C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知(),0M a -，(),0N a ，结合图象和椭圆方程可知22tan tan b BMN BNM a ∠⋅∠=，由AMN 为直角三角形，可求得πtan tan 2tan tan BMN ANM BNM BNM⎛⎫-∠ ⎪∠⎝⎭=∠∠，可得2225b a =，即可求得离心率.【详解】由题意可知点M ，N 分别为椭圆的左右顶点，所以(),0M a -，(),0N a ，设点A 在第一象限，设点(),B x y ，所以22222222221tan tan x b a y y y b BMN BNM a x a x a x a x a⎛⎫- ⎪⎝⎭∠⋅∠=⋅===+---，πtan tan 152tan tan tan tan 2BMN ANM BNM BNM BNM BMN ⎛⎫-∠ ⎪∠⎝⎭===∠∠∠⋅∠，所以2225b a =，5c e a ===.故选：D .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.平面向量a 与b相互垂直，已知(6,8)a =- ，||5b = ，且b 与向量(1,0)的夹角是钝角，则b = ______.【答案】(4,3)--【解析】【分析】设(,)b x y = ，根据向量垂直和向量模的坐标表示得到方程组，再结合b与向量(1,0)的夹角为钝角得到0x <，最后解出方程组即可.【详解】设(,),b x y a b =⊥ ，0a b ∴⋅= ，680x y ∴-=，①，||5b == ，②，因为b与向量(1,0)夹角为钝角，∴0x <，③，由①②③解得43x y =-⎧⎨=-⎩，(4,3)b ∴=-- .故答案为：(4,3)--.14.已知函数()π2cos 3f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中ω为常数，且()0,6ω∈，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位所得的图象对应的函数()g x 在0x =取得极大值，则ω的值为_____________________.【答案】2【解析】【分析】先根据图象平移得到()g x 的解析式，然后根据()0g 为最大值得到关于ω的方程，结合ω的范围可知结果.【详解】由题意可知()ππππ2cos 2cos 6363g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()g x 在0x =取得极大值，所以()g x 在0x =取得最大值，所以ππ2π63k ω-=，Z k ∈，即212k ω=+，又因为()0,6ω∈，所以，当且仅当0k =时，2ω=满足条件，所以2ω=，故答案为：2.15.若随机变量X 服从二项分布115,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P X k =取得最大值时，k =______．【答案】3或4【解析】【分析】先求得()P X k =的表达式，利用列不等式组的方法来求得使()P X k =取得最大值时k 的值.【详解】依题意015,N k k ≤≤∈，依题意()1515151515151********C 1C C 344444kkk k k kk k k P X k ----⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()15150151141515151513130C 3,1C 354444P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()151154P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()()1501P X P X P X =<=<=，所以()0P X =、()15P X =不是()P X k =的最大项，当114k ≤≤时，由1511615151515151141515151511C 3C 34411C 3C 344k k k kk k k k ----+-⎧⋅⋅≥⋅⋅⎪⎪⎨⎪⋅⋅≥⋅⋅⎪⎩，整理得1151511515C 3C 3C C k k k k -+⎧≥⎨≥⎩，即()()()()()()15!15!3!15!1!16!15!15!3!15!1!14!k k k k k k k k ⎧≥⨯⎪⨯--⨯-⎪⎨⎪⨯≥⎪⨯-+⨯-⎩，整理得131631151k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，163343315k k k k k -≥⎧⇒≤≤⎨+≥-⎩，所以当k 为3或4时，()P X k =取得最大值.故答案为：3或416.在钝角ABC 中，a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是______.【答案】,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】延长CG 交AB 于D ，由G 为ABC 的重心，可得3322CD AB c ==，根据πBDC ADC ∠+∠=，利用余弦定理可得222222525233c a c b c c--=-，进而可得C 为锐角，设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，进而计算可得03b a <<，利用余弦定理可得cos C 的取值范围.【详解】延长CG 交AB 于D，如下图所示：G 为ABC 的重心，∴D 为AB 中点且3CD DG =，AG BG ⊥ ，12DG AB ∴=，3322CD AB c ∴==；在ADC △中，2222222225522cos 3232c bAD CD AC c b ADC AD CD c c -+--∠===⋅；在BDC 中，2222222225522cos 3232c a BD CD BC c a BDC BD CD c c -+--∠===⋅； πBDC ADC ∠+∠=，cos cos BDC ADC ∴∠=-∠，即222222525233c a c b c c--=-，整理可得：22225a b c c +=>，∴C 为锐角；设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，2222222255a b a b a b b a ⎧+>+⎪⎪∴⎨+⎪<+⎪⎩，22221115511155b b a a b b a a ⎧⎛⎫⎛⎫++<⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎛⎫⎪<++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：223b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，0a b >>，03b a ∴<<，22222222cos 255533a b c a b a b C ab ab b a ⎛⎫+-+⎛⎫==⋅=+>⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝，又C 为锐角，∴cos 13C <<，即cos C的取值范围为,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查余弦定理的综合应用，利用已知求得603b a <<是关键，考查运算求解能力，难度较大.三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 满足31720,56a a a =+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()41nn S b n =+，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.设[]x 表示不超过x 的最大正整数，求使[][][][]1232023n b b b b ++++< 的最大正整数n 的值.【答案】（1）84n a n =-（2）64【解析】【分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，进而可得结果；（2）由（1）可得,n n S b ，根据题意可得[]1n b n =-，根据等差数列的求和公式分析运算即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得311712202656a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得148a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式()48184n a n n =+-=-.【小问2详解】由（1）可得84n a n =-，则()248442n n n n S +-==，所以()()2114111n n S n b n n n n ===-++++，因为*n ∈N ，则()1110,1,n n -∈∈+N ，所以[]1n b n =-，则[][]()111n n b b n n +-=--=，即数列[]{}n b 是以首项为0，公差为1的等差数列，则[][][][]()()123011202322n n n n n b b b b +--++++==<L ，即24046n n -<，又因为()2f n n n =-在[)1,+∞上单调递增，且()()6440324046,6541604046f f =<=>，所以使[][][][]1232023n b b b b ++++< 的最大正整数n 的值为64.18.为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y （单位：万台）关于x （年份）的线性回归方程 4.79459.2y x =-，且销量y 的方差为22545y s =，年份x 的方差为22x s =.（1）求y 与x 的相关系数r ，并据此判断电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的强弱.（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：性别购买非电动汽车购买电动汽车总计男性39645女性301545总计692190依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？25=≈.②参考公式：线性回归方程为ˆˆy bx a =+，其中()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-；相关系数()()niix x y y r --=∑||0.9r >，则可判断y 与x 线性相关较强；22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.附表：()20P K k ≥0.100.050.0100.0010k 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）0.93，电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的较强（2）有关【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线性回归方程，结合相关系数公式计算作答；（2）根据22⨯列联表，计算2K 的值，并与对应的小概率值比较即得.【小问1详解】由22xs =，得()2212ni x i x x ns n =-==∑，由22545ys =，得()2212545ni y i n y y ns =-==∑，因为线性回归方程 4.79459.2y x =-，则()()()1214.7ˆniii ni i x x y y bx x ==--==-∑∑，即()()()2114.7 4.729.4n ni i i i i x x y y x x n r ==--=-=⨯=∑∑，因此相关系数()() 4.7 4.7250.930.9127127n iix x y y r --⨯===≈≈>∑，所以电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的较强.【小问2详解】零假设0H ：购买电动汽车与车主性别无关，由表中数据得：2290(3915306) 5.031 3.84145456921K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，依据小概率值0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA 与1BB ，12AB AC A B ===，1AC BC ==．（1）证明：平面11A ABB ⊥平面ABC ；（2）若点N 在棱11A C 上，求直线AN 与平面11A B C 所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，根据线面垂直的判定与性质证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可.【小问1详解】取棱1A A 中点D ，连接BD ，因为1AB A B =，所以1BD AA ⊥因为三棱柱111ABC A B C -，所以11//AA BB ，所以1BD BB ⊥，所以BD =因为2AB =，所以1AD =，12AA =；因为2AC =，1A C =，所以22211AC AA AC +=，所以1AC AA ⊥，同理AC AB ⊥，因为1AA AB A = ，且1AA ，AB ⊂平面11A ABB ，所以AC ⊥平面11A ABB ，因为AC ⊂平面ABC ，所以平面11A ABB ⊥平面ABC ；【小问2详解】取AB 中点O ，连接1AO ，取BC 中点P ，连接OP ，则//OP AC ，由（1）知AC ⊥平面11A ABB ，所以OP ⊥平面11A ABB 因为1AO 平面11A ABB ，AB ⊂平面11A ABB ，所以1OP A O ⊥，OP AB ⊥，因为11AB A A A B ==，则1A O AB⊥以O 为坐标原点，OP ，OB ，1OA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0)A -，1A，1(0,B ，(2,1,0)C -，可设点(N a =，()02a ≤≤，()110,2,0A B =，(12,1,A C =-，(AN a =，设面11A B C 的法向量为(,,)n x y z =，得1110202n A B yn A C x y ⎧⋅==⎪⎨⋅==--⎪⎩ ，取x =，则0y =，2z =，所以n =设直线AN 与平面11A B C 所成角为θ，则sin cos ,n AN n AN n AN θ⋅=<>==⋅=若0a =，则sin 7θ=，若0a ≠，则sin 7θ=≤，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立，所以直线AN 与平面11A B C所成角的正弦值的最大值7.20.已知抛物线E ：24y x =，过点(1,1)P 作斜率互为相反数的直线,m n ，分别交抛物线E 于,A B 及,C D 两点．（1）若3PA BP =，求直线AB 的方程；（2）求证：CAP BDP ∠=∠．【答案】（1）y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PA BP = ，得12124343x x y y =-⎧⎨=-⎩，又2114y x =，2224y x =，解得,A B两点的坐标，进而可得答案．（2）设直线AB ：(1)1y k x =-+，则直线CD ：(1)1y k x =--+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，联立直线AB 与抛物线的方程，结合韦达定理由弦长公式计算AP BP ⋅，同理可得CP DP ⋅，进而可得APC BPD ∽△△，即可得出答案．【小问1详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，∵(1,1)P ，∴22(1,1)BP x y =-- ，11(1,1)PA x y =--，∵3PA BP =，∴21213(1)13(1)1x x y y -=-⎧⎨-=-⎩，12124343x x y y =-⎧⎨=-⎩．又∵2114y x =，∴222(43)4(43)y x -=-，即2222384y y x -=-，又∵2224y x =，∴222480y y -=，20y =或22y =，当20y =时，20x =，∴14x =，14y =；当22y =时，21x =，∴11x =，12y =-，此时直线AB 的斜率不存在，舍去，∴(4,4)A ，(0,0)B ，∴直线AB 的方程为：y x =．【小问2详解】设直线AB ：(1)1y k x =-+，则直线CD ：(1)1y k x =--+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y，由2(1)14y k x y x =-+⎧⎨=⎩，即21(1)14x y ky x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，则24440y y k k -+-=，所以124y y k +=，1244y y k =-，又∵1||1|AP y =-，2||1|BP y =-，∴12121222211144||||1(1)(1)1()1141AP BP y y y y y y k k k kk ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+-++=+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2131k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，同理可证：2211||||3131()CP DP k k ⎡⎤⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦，∴||||||||AP BP CP DP ⋅=⋅，∴||||||||AP CP DP BP =，又∵CPA BPD ∠=∠，∴APC BPD ∽△△，∴CAP BDP ∠=∠．【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知0a >，函数()()1ln 1f x a x x x =+-+.（1）若()f x 是增函数，求a 的取值范围；（2）证明：当102a <<，且1e a ≠时，存在三条直线123,,l l l 是曲线ln y x =的切线，也是曲线1y a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的切线.【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用导数判断导函数的单调性，再结合函数的单调性，即可求解；（2）首先求曲线ln y x =的切线方程，再与曲线1y a x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的方程联立，再根据判别式构造函数，()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，利用导数判断函数的单调性，并结合零点存在性定理判断函数有3个零点.【小问1详解】()f x 的定义域为()()10,,ln 1,x f x a x x ∞+⎛⎫+=- ⎪⎝⎭'+令()()()221111ln 1,a x x F x a x F x a x x x x -+⎛⎫⎛⎫'=+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0F x '<，得01x <<；令()0F x '>，得1x >，故()f x '在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，从而()min 1()1210,2f x f a a ==-≥≥''，故a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问2详解】设曲线ln y x =的切点为()1,ln ,(ln )t t x x'=，则曲线ln y x =在点(),ln t t 处的切线方程为()1ln y t x t t-=-.联立()1ln 1y t x t t y a x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，得()21ln 10a x t x a t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，必有()2101Δln 140a t t a a t ⎧-≠⎪⎪⎨⎛⎫⎪=---= ⎪⎪⎝⎭⎩，记函数()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，由题2111,ln 10e a g a a ⎛⎫⎛⎫≠∴=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当()0g t =时，11,0t a a t≠-≠.()()()222ln 12ln 144t t t a a g t tt t --+=+='记()()()()2ln 14,2ln 122ln h t t t a h t t t '=-+=-+=，令()0h t '<，得01t <<；令()0h t '>，得1t >，故()h t 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.当102a <<，且1ea ≠时，(1)420,(e)40h a h a =-<=>，当0t →时，()4h t a →，故存在1201e t t <<<<，使得()()120h t h t ==，当10t t <<，或2t t >时，()()0,0h t g t >>'；当12t t t <<时，()()0,0h t g t <<'，故()g t 在()()120,,,t t +∞上单调递增，在()12,t t 上单调递减.由()10h t =，得()111ln 2t t a -=，代入()()21111ln 14g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭并整理得：()()()222111111ln 11ln 12g t t t t t ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦同理()()()222222221ln 11ln 12g t t t t t ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦，记()()11ln 12x x x x ϕ=+-+，由（1）知()x ϕ为增函数，1201e t t <<<< ，()()2212(1)0,(1)0,t t ϕϕϕϕ∴<=>=，()()()()()()22111222ln 10,ln 10g t t t g t t t ϕϕ∴=->=-<又()2222142e 14110e e e a g a a ⎛⎫=-->->-> ⎪⎝⎭ ，当0t →时，()g t →-∞，()g t ∴有三个零点，∴存在三条直线123,,l l l 是曲线ln y x =的切线，也是曲线1y a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的切线.【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的导数判断函数的单调性，以及切线，零点，函数性质的综合应用问题，推理难度较大，第二问的关键是根据判别式来设函数()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，转化为函数有3个零点问题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4]坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为44x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）,以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=，A 为曲线C 上一点.（1）求A 到直线l 距离的最大值；（2）若B 为直线l 与曲线C 第一象限的交点，且7π12AOB ∠=，求AOB 的面积.【答案】（1）4+（2）4+【解析】【分析】（1）由条件得出直线的普通方程和圆的参数方程，设(4cos ,44sin )A θθ+，利用点到直线的距离公式得到π)14d θ=+-，从而求出结果；（2）由条件求出点B 的坐标，设出,A B 的极坐标方程，再利用面积公式即可求出结果.【小问1详解】由44x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消t 得到80x y +-=，所以直线l 的普通方程为80x y +-=，因为曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=，所以28sin ρρθ=，又cos ,sin x y ρθθ==，所以曲线C 的普通方程为228x y y +=，即()22416x y +-=，所以曲线C 的参数方程为4cos 44sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），因为A 在圆C 上，设(4cos ,44sin )A θθ+，则A 到l 距离为πsin 1)14d θθ==+-=+-，所以当πsin(14θ+=-时，A 到l 距离最大，为4+.【小问2详解】由22808x y x y y+-=⎧⎨+=⎩，消y 得到240x x -=，解得0x =或4x =，又因为B 在第一象限，所以()4,4B ，点A ，B 在曲线C 上，由题可设17,412A ππρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2,4B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入曲线C 的极坐标方程得17π5π8sin 8sin 44126OA πρ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，2π8sin 4OB ρ===，又因为7πππππππsin sin sin sin cos cos sin 124343434AOB ⎛⎫∠==+=+= ⎪⎝⎭，故AOB 的面积为14424S =⨯⨯=+.[选修4-5]不等式选讲23.已知a ，b 均不为零，且满足221a b +=．证明：（1）a b +≤（2）331a b b a+≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据完全平方式有222||||(||||)2||||1a b a b a b +=+-⋅=，再利用基本不等式即可证明；（2）根据条件将原式化简为332||a b a b ab b a b a+=+-，再利用基本不等式即可证明.【小问1详解】221a b +=，22||||1a b ∴+=，222||||(||||)2||||1a b a b a b ∴+=+-⋅=.根据基本不等式得22(||||)(||||)12||||2a b a b a b ++-=⋅≤,当且仅当||||2a b ==时,等号成立.整理得2(||||)2a b +≤,a b ∴+≤【小问2详解】()()33222211a b a b a b a b b a b a b a b a +=⋅+⋅=⋅-+⋅-||||2||a b a b ab ab ab b a b a=-+-=+-，由基本不等式和不等式的性质,得2a b b a +≥=，222||1ab a b ≤+=，故2||211a b ab b a+-≥-=，当且仅当||||2a b ==时,等号成立,331.a b b a∴+≥。

陕西省宝鸡市2024届高三下学期高考模拟检测(二)数学(理科)试题

陕西省宝鸡市2024届高三下学期高考模拟检测（二）数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、解答题17．目前，随着人们的生活节奏的加快，人们出行时乘坐的交通工具也逐渐多样化．某公司为了了解员工上个月上、下班时,A B 两种交通工具乘坐情况，从全公司所有的员工中随机抽取了100人，发现样本中,A B 两种交通工具都不乘坐的有5人，样本中仅乘坐A 和仅乘坐B 的员工月交通费用分布情况如下：【分析】（1）如图，连接BD，设AC BD OI，连接PO，可证AC^平面PDC，从而=可得AC PO^，故可证明PA PC=.（2）利用等积法可求PA与平面PBC所成角的正弦值，根据基本不等式可求何时正弦值最大，故可求此时四棱锥P ABCD-的体积.【详解】（1）如图，连接BD，设AC BD OI，连接PO.=因为，PD^平面ABCD，ACÌ平面ABCD，故PD AC^，而PB AC^，PB PD PPB PDÌ平面PDB，Ç=，,故AC^平面PDB，而POÌ平面PDB，故AC PO^，由四边形ABCD为平行四边形可得AO OC△为等腰三角形，=，故PAC故AP PC=.（2）设AD xx>.=，0所以2121ba b£-ìí£+-î，故3a b+³且3b³.当1x>时，有()2221x a x b-£-+-在()1,+¥上恒成立，所以()410a x b-++³在()1,+¥上恒成立，故41040a ba-++³ìí-³î，所以3a b+³且4a³，所以7a b+³，故a b+的最小值为7.。

高三数学试卷理科及答案

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是（）。

A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 02. 下列函数中，是奇函数的是（）。

A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^2 + 13. 在等差数列{an}中，若a1 = 2，d = 3，则第10项an的值为（）。

A. 27B. 28C. 29D. 304. 若等比数列{bn}中，b1 = 2，b3 = 8，则公比q的值为（）。

A. 2B. 4C. 8D. 165. 下列命题中，正确的是（）。

A. 函数y = log2(x + 1)的图像在y轴上无定义B. 函数y = e^x的图像在第一象限内单调递减C. 函数y = sin(x)的周期为πD. 函数y = tan(x)的图像在y轴上无定义6. 已知直线l的方程为2x - y + 3 = 0，点P(1, 2)到直线l的距离为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 47. 在直角坐标系中，点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)构成三角形ABC，则三角形ABC的面积S为（）。

A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(2) = 4，则f(3)的值为（）。

A. 6B. 8C. 10D. 129. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，则前n项和Sn的表达式为（）。

A. Sn = n^2 + 2nB. Sn = n^2 + 3nC. Sn = n^2 + 4nD. Sn = n^2 + 5n10. 已知等比数列{bn}中，b1 = 3，b3 = 27，则前n项和Tn的表达式为（）。

A. Tn = 3^nB. Tn = 3^(n+1)C. Tn = 3^(n-1)D. Tn = 3^(n-2)二、填空题（每小题5分，共25分）11. 若函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，则a的取值范围是__________。

高三理科数学试卷(含答案)

理科数学试卷参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2xy = B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1y x =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．226. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．109. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥αC ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥cD ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥10.已知数列{}n x 满足3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为A ．669B ．670C ．1338D ．134011. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是俯视图正视图侧视图（第7题图）A ．B ．C ．D ．12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ． ()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=，204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是相交．三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =+)12sin cos cos 212x x x =⋅++（第13题图）1sin 2cos 2222x x =++ ……………3分sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分（Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤++≤= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ．（Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值．解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分（Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．PCADBR(第18题图)∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF= ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ，在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分（Ⅱ）法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -．则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）， =（1，0，1）, ……8分设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.FR ADBCP （第18题图）R（第18题图）显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n*∈≥ …………………………………… 4分又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321nn a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？（II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵AMDC ANDN =，∴()32x AM x+=， ……………………2分∴ ()232AMPN x S AN AM x+=⋅=由32>AMPN S 得()23232x x+> ，(第20题图)又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x xx x+++===++1224≥= ……………………10分当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24．故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去．当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=．当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分由已知，AM AN ⊥ ，且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240kx x km x x m++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。

精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)

所以目标函数的最大值为 .
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数，点和是函数图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位，，则（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，点，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出与坐标，表示出，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性排除选项；利用排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数的定义域为，其定义域关于原点对称，
因为
又因为，
所以，即函数为偶函数，故排除；
又因为，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.

东城区普通高中示范校高三数学练习理科(二)及答案

东城区普通高中示范校高三数学综合练习理科（二）2012.3命题学校：北京市第十一中学学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设全集2,{|30},{|1}U A x x x B x x ==-->=<-R ，则图中阴影部分表示的集合为 ( )A.}0|{>x xB.}13|{-<<-x xC.}03|{<<-x xD.}1|{-<x x2．已知直线l 过定点（-1，1），则“直线l 的斜率为0”是“直线l 与圆122=+y x 相切”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知直线m ，n 与平面α，β，下列命题正确的是（） A ．βα//,//n m 且βα//，则n m // B ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥ C ．,βm n m =⊥ α且βα⊥，则α⊥n D ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥4．甲从正四面体的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正四面体四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（） A.61 B. 92 C. 185 D. 315. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m 的取值范围是（） A.（30，42］B.（42，56］C.（56，72］D.（30，72）6.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（） A ．112 B.80 C.72 D.64mOPQM N（第5题图）（第6题图）7. 已知约束条件340,210,380,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩若目标函数)0(>+=a ay x z 恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为 ( ) A. 310<<aB.31≥a C . 31>a D . 210<<a 8.如图，半径为2的⊙O 与直线MN 相切于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，PK 交⊙O 于点Q ，设POQ ∠为x ，弓形PmQ 的面积为()S f x =，那么()f x 的图象大致是（）A B C D第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2023届高三2月大联考(全国乙卷)理科数学试卷(2)

一、单选题二、多选题1. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（）A．B．C．D．2. 若所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．B．C．D．3. 已知，，则（）A ．或B．C．D．4. 设全集，集合，,则=A．B．C．D．5. 已知，则（）A．B．C．D．6. 某城市有连接个小区、、、、、、、和市中心的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区前往小区，则他经过市中心的概率是（）A．B．C．D．7. 若，复数与在复平面内对应的点分别为，则（）A ．2B．C ．3D ．48. 【2018届新疆乌鲁木齐地区高三第一次诊断】已知抛物线与圆，过点作直线，自上而下顺次与上述两曲线交于点，则下列关于的值的说法中，正确的是A ．等于1B ．等于16C ．最小值为4D ．最大值为49. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件､存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（）A ．第二天去甲餐厅的概率为0.54B ．第二天去乙餐厅的概率为0.44C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为10. 为了得到函数的图象，可将函数的图象（）A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍B．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的2023届高三2月大联考（全国乙卷）理科数学试卷(2)2023届高三2月大联考（全国乙卷）理科数学试卷(2)三、填空题四、解答题C ．向上平移一个单位长度D ．向下平移一个单位长度11. 若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线：为曲线：和：的公切线，则下列结论正确的是（）A ．曲线的图象在轴的上方B ．当时，C ．若，则D ．当时，和必存在斜率为的公切线12. 德国数学家狄里克雷（Dirichlet ）是解析数论的创始人之一，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，我们称函数，为狄里克雷函数．记，则下列的叙述中正确的是（）A．的值域为B．是周期函数C ．是奇函数D．是单调函数13. 定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则___________．14. 已知双曲线的左右焦点分别为过的直线与双曲线右支交于A ，B两点，且则的面积为_____.15.设是由一平面内的个向量组成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．则称是的极大向量.有下列命题：①若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；③若中的每个元素都是极大向量，且中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是_______________．16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD ，，过CD 的平面分别与PA ，PB 交于点E ，F．(1)求证：平面PAC ；(2)求证：．17. 设的内角所对的边长分别为，且．（1）求的值；（2）求的最大值．18. 已知函数.（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：.19. 已知有穷等差数列的公差d 大于零．(1)证明：不是等比数列；(2)是否存在满足：在处的切线的交轴于，在处的切线的交轴于，…，在处的切线的交轴于？若存在，请写出函数的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由；(3)若数列中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列，求出所有可能的m 的取值．指数函数20. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且．(1)求角A 的大小；(2)设函数，当取最大值时，判断△ABC 的形状．21.已知圆，点，P 是圆M 上的动点，线段PN 的中垂线与直线PM 交于点Q ，点Q 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)，点E 、F （不在曲线C 上）是直线上关于x轴对称的两点，直线、与曲线C 分别交于点A 、B（不与、重合），证明：直线AB 过定点．。

河南省安阳市2023届高三第二次模拟考试理科数学试题

一、单选题二、多选题1. 正确表示图中阴影部分的是（）A．M ∪N B ．M ∩N C．（M ∪N ）D．（M ∩N ）2.若曲线在点处的切线与直线平行，且对任意的，不等式恒成立，则实数m 的最大值为（）A．B．C．D．3. 定义域为R的奇函数满足，则（）A ．0B．C ．1D ．不确定4. 设集合M ={0,3}，N ={1,2,3}，则M ∪N =A ．{3}B ．{0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}5. 在信息论中，设某随机事件发生的概率为p ，称为该随机事件的自信息．若随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”这一事件的自信息为（）A ．0B．C ．1D ．26.如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（）A．B．C．D．7. 某同学解关于的不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，则不等式的解集为（）A．B．C．D．8. 已知点A （2，4），B （3，6），则直线AB 的斜率为（）A．B．C ．2D ．-29. 下列说法正确的是（）A．若，则随机变量的方差B．若，，则C ．若随机事件满足，，，则河南省安阳市2023届高三第二次模拟考试理科数学试题三、填空题四、解答题D ．数据5，7，8，11，13，15，17的第80百分位数为1510. 已知函数的定义域为为奇函数，则（）A．函数的图象关于对称B．函数是周期函数C．D．11. 定义在实数集的函数的图象的一个最高点为，与之相邻的一个对称中心为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A ．的振幅为B．的频率为C ．的单调递增区间为D ．在上只有一个零点12. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（）A ．的倾斜角等于B ．在轴上的截距等于C ．与直线垂直D ．上的点与原点的距离最小值为13.函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，且与的图象关于点对称，那么的最小值等于_______________.14.设函数图象上任意一点处的切线为，总存在函数图象上一点处的切线，使得，则实数的最小值为_________.15.已知和的图像的对称轴完全相同，则时，的取值范围是________.16. 已知椭圆：的一个焦点与的焦点重合，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)设直线：（）与椭圆交于两点，且以为对角线的菱形的一顶点为，求面积的最大值（为坐标原点）.17. 已知正项数列，其前项和满足.(1)求的通项公式；(2)证明：.18. 用、、、个数字组成一个六位数，要求每个数字都至少用到一次.(1)求所有满足条件的六位数的个数；(2)记数字用到的次数为，求的分布列和数学期望.19. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为．分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值．20. 已知,(1)求函数的单调区间；(2)若不等式恒成立，求的取值范围.21. 已知函数．（Ⅰ）当时，求的单调区间．（Ⅱ）当时，的最大值为，求的对称中心．。

陕西省渭南市2022年高三第二次教学质量检测理科数学试题

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6.下列说法中，正确的个数为（）
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个线性同归方程，变量x增加1个单位时，平均增加5个单位；
【9题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图还原为几何体的直观图，利用割补法和锥体的体积公式计算即可求出几何体的体积.
【详解】根据三视图可知，该多面体为正方体中的四棱锥，如图，
正方体棱长为2，所以该多面体的体积为 .
故选：C
10.若圆O：上存在点P，直线上存在点Q，使得，则实数k的取值范围为（）
∴ 为等边三角形，
设△APD外接圆半径为r，则根据正弦定理得，，
如图所示，将四棱锥补为直三棱柱，则该直三棱柱的外接球即为四棱锥的外接球.
设直三棱柱ADP－BCE上下底面外接圆圆心为、，
则＝AB＝3为直三棱柱的高，
则中点O即为外接球球心，设外接球半径为R，
则如图在Rt△ 中，，
∴四棱锥P—ABCD外接球的表面积为 .
显然夏至到大雪的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首项为1.5尺，末项为12.5尺，共12项，
所以一年中夏至到大雪的日晷长的和为 (尺).
故答案为：84
15.写出一个同时满足以下三个条件的函数 ___________.
① 是偶函数；② 的值域为；③ 在上递增
【15题答案】
【答案】（答案不唯一）
【详解】设椭圆方程为（）

高三数学专项训练：函数与导数,解析几何解答题(二)(理科)

（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点、，则内切圆的圆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
35．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．
（3）求证： .
4．已知函数 .
（Ⅰ）若函数的值域为，若关于的不等式的解集为，求的值；
（Ⅱ）当时，为常数，且，，求的取值范围.
5．已知函数，函数．
(I)试求f(x)的单调区间。
(II)若f(x)在区间上是单调递增函数，试求实数a的取值范围：
(III)设数列是公差为1．首项为l的等差数列，数列的前n项和为，求证：当时， .
41．（13分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线的焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是椭圆上的两点，A,B是椭圆上位于直线ＰＱ两侧的动点，
①若直线ＡＢ的斜率为，求四边形ＡＰＢＱ面积的最大值；
②当Ａ、B运动时，满足＝，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。
(2)点Q(x0，y0)(－2<x0<2)是曲线C上的动点，曲线C在点Q处的切线为，点P的坐标是(0，－1)，与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．
27．已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，
．求四边形面积的最大值．

四川省德阳市2024届高三下学期质量监测考试(二)数学(理科)试卷含答案解析

德阳市高中2021级质量监测考试（二）数学试卷（理工农医类）说明：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回，2.本试卷满分150分，120分钟完卷.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若1=+z ，则2zz =-（）A.12B.1C.D.22.已知集合{}260A x x x =--≤，10ln B xx ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.{}12x x <≤B.{}12x x ≤≤C.{}13x x <≤ D.{}13x x ≤≤3.若x ，y 满足约束条件2202201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则43z x y =+的最大值为（）A.19B.13C.9D.54.已知()9,A m 为抛物线C ：22y px =（0p >）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，则p =（）A.2B.3C.6D.95.质数（prime number ）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A ，这两个数都是素数；事件B ：这两个数不是孪生素数，则()P B A =（）A.1115B.3745C.1315D.41456.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为（）A.32π12a B.32π24a C.33π12a D.3π24a 7.已知各项不相等的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若534S S -=，5678a a a =，则1a =（）A.116-B.116C.64- D.648.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()cos 222xxf x x ϕ-=++-，则“sin 1ϕ=”是“()f x 是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知平面向量a ，b ，c 满足1a b == ，2c = ，若b ，c共线，且a b c ++= ，则a b c +-=（）A.B.C.D.10.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >），O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，以F为圆心，OF 为半径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为A ，若OAF △的面积为22a ，则双曲线的离心率为（）A.B.C.72D.211.若函数()13f x x m x x=++-在[)2,+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A.3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.8,9∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C.38,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.83,94⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12.已知三棱锥-P ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，O 是ABC 的垂心.若1OBC S =△，4ABC S = ，则PBC S =△（）A.85B.2C.52D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13.在()()6311x x -+的展开式中，3x 的系数为______.14.已知数列{}n a 满足11a =，且对任意*n ∈N ，有()11nn n a a n +=+-⋅，则22a =______.15.已知函数()ln ln f x a x bx =⋅-在1x =处取得极大值，则ba的取值范围是______.16.已知正实数x ，y ，z 满足26x xy yz xz x z +++++=，则32x y z ++的最小值是______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin cos 32c BC =，3b =.（1）求B ；（2）若ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积范围.18.轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表.使用频数[)12,25[)25,38[)38,51[]51,64偶尔1次3015510每周1～3次40403050每周4～6次25404530每天1次及以上552010（1）若把年龄在[)12,38的消费者称为青少年，年龄在[]38,64的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成22⨯列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；（2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[)25,38与[]51,64的人数分别为X ，Y ，X Y ξ=-.求ξ的分布列与期望；（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为15，25，23，求小李晚餐选择低卡甜品的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附：()2P K k ≥0.100.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82819.如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，14A A =，且1A A ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD 、BC 上.（1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为49，求四面体ADPQ 的体积.20.已知圆C：22130x y ++-=，点P 是圆C上的动点，点)F是圆C 内一点，线段PF 的垂直平分线交CP 于点M ，当点P 在圆C 上运动时点M 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）T 为直线l ：4x =上的动点，A 、B 为曲线E 与x 轴的左右交点，TA 、TB 分别与曲线E 交于G 、D 两点.证明：GA DT GT DB⋅⋅为定值.21.()2cos 1f x x mx =+-（x ∈R ）.（1）当12m ≥时，证明：()0f x ≥；（2）证明：11112111tan1212tan 3tan tan23n n n n n+++⋅⋅⋅+>-+.请考生在22，23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⋅⎧⎨=+⋅⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为()21cos 0ρθθ⋅--=.（1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点())0,1,P Q，直线l 过点Q 且与曲线C 相交于A 、B 两点，设线段AB的中点为M ，求PM 的值.[选修4-5：不等式选讲]23.已知关于x 的不等式2261x x m m +----≥有解.（1）求实数m 的取值范围.（2）若a 、b 、c 均为正数，n 为m 的最大值，且34a b c n ++=.求证：2221252a ab bc +++≥.德阳市高中2021级质量监测考试（二）数学试卷（理工农医类）说明：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回，2.本试卷满分150分，120分钟完卷.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若1=+z ，则2zz =-（）A.12B.1C.D.2【答案】B 【解析】【分析】运用复数的运算求出2zz -，再利用复数模的公式即可求解.【详解】由题，1113i 222z z +--==--，13=i 1222z z ∴-=-.故选：B.2.已知集合{}260A x x x =--≤，10ln B xx ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.{}12x x <≤B.{}12x x ≤≤C.{}13x x <≤ D.{}13x x ≤≤【答案】C 【解析】【分析】解不等式求得集合,A B ，进而求得A B ⋂.【详解】()()26230x x x x --=+-≤，解得23x -≤≤，所以{}|23A x x =-≤≤.由10ln x≥得ln 0x >，解得1x >，所以{}|1B x x =>.所以{}|13A B x x ⋂=<≤.故选：C3.若x ，y 满足约束条件2202201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则43z x y =+的最大值为（）A.19B.13C.9D.5【答案】A 【解析】【分析】画出可行域，结合图形计算可得.【详解】根据线性约束条件，画出可行域如下所示：目标函数43z x y =+可转化为433zy x =-+，因此，当直线433zy x =-+在y 上的截距最大时，目标函数43z x y =+取得最大值，由图象可得当直线433zy x =-+过点()4,1A 时，在y 上的截距最大，所以43z x y =+得最大值为max 443119z =⨯+⨯=.故选：A.4.已知()9,A m 为抛物线C ：22y px =（0p >）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，则p =（）A.2B.3C.6D.9【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的定义列方程来求得p 的值.【详解】根据抛物线的定义可知，912,62pp +==.故选：C5.质数（prime number ）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A ，这两个数都是素数；事件B ：这两个数不是孪生素数，则()P B A =（）A.1115B.3745C.1315D.4145【答案】D 【解析】【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案.【详解】不超过30的自然数有30个，其中素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个，孪生素数有3和5，5和7，11和13，17和29，共4组.所以()210230C 9C 87P A ==，()210230C 441C 435P AB -==，所以()()()41418741435943594587P AB P B A P A ===⨯=.故选：D6.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为（）A.32π12a B.32π24a C.33π12a D.33π24a 【答案】B 【解析】【分析】将正四面体放置在正方体中，由正方体的内切球的体积来确定正确答案.【详解】如图所示，正四面体11A B CD -在正方体1111ABCD A B C D -中，一个球与正四面体11A B CD -的六条棱都相切，则该球与正方体1111ABCD A B C D -内切，正四面体的棱长为a，也即是球的直径222R a =，半径24R a =，所以体积为334π22ππ3224a a ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B7.已知各项不相等的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若534S S -=，5678a a a =，则1a =（）A.116-B.116C.64-D.64【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，以及等比数列的基本量运算求得1a .【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，依题意，345345451135567661444,,822S S a a a a a q a q a a a a a a q -=+=+=⎧+=⎧⎧⎨⎨⎨====⎩⎩⎩，两式相除得()()3425212,212110q q q q q q q q q++==--=+-=，解得12q =-或1q =（舍去），所以15264a q ==-.故选：C8.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()cos 222xxf x x ϕ-=++-，则“sin 1ϕ=”是“()f x 是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、诱导公式、充分和必要条件等知识确定正确答案.【详解】依题意，()()cos 222xxf x x ϕ-=++-，①若sin 1ϕ=，则π2π,Z 2k k ϕ=+∈，所以()πcos 22π22222sin 2x x x x f x x k x --⎛⎫=+++-+- ⎪-⎭=⎝，此时()()sin 222xx f x x f x --=+-=-，()f x 是奇函数.②若()f x 是奇函数，则由于()f x 的定义域是R ，所以()π0cos 0,π2f k ϕϕ===+，此时()()sin 2πcos 2π22π222x x x xf x x x k k --⎛⎫=+++-+- =-⎝+⎪⎭为奇函数，符合题意，所以πsin sin πcos π12k k ϕ⎛⎫=+==± ⎪⎝⎭.所以“sin 1ϕ=”是“()f x 是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知平面向量a ，b ，c 满足1a b == ，2c = ，若b ，c共线，且a b c ++= ，则a b c +-=（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】由b 与c共线，分共线同向和共线反向讨论，并结合向量模和数量积运算求解.【详解】因为b 与c共线，1a b == ，2c = ，当b 与c共线同向时，则2c b =r r，所以3a b c a b ++=+r r r r u u r，332a b c a b a b ∴++=+≥-=r r r r u u r r u u r，这与a b c ++=矛盾，所以b 与c 共线反向时，则2c b =- ，a b c a b ∴++=-=r r r r r，23a b ∴-=r r ，即2223a b a b +-⋅=r r r r ，解得12a b ⋅=- ，3a b c a b ∴+-=+=r r r r r故选：B.10.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >），O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，以F为圆心，OF 为半径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为A ，若OAF △的面积为22a ，则双曲线的离心率为（）A.2B.C.72D.2【答案】A 【解析】【分析】根据三角形OAF 的面积列方程，求得,a b 的关系式，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线的渐近线OA 的方程为by x a =，设其倾斜角为θ，θ为锐角，且tan b aθ=，由于FO FA c ==，所以()22211sin π2sin 2222OAFa S c θθ=-==，2222222222sin cos 2tan 2sin cos tan 11bab a a b c c a θθθθθθ====+++，所以12b a =，所以52ce a=====.故选：A11.若函数()13f x x m x x=++-在[)2,+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A.3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.8,9∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C.38,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.83,94⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】化简函数()()()113,3113,23m x m x xf x m x m x x ⎧++-≥⎪⎪=⎨⎪-++≤<⎪⎩，分类讨论，结合()0f x '≥恒成立，即可求解.【详解】由函数()()()113,313113,23m x m x xf x x m x x m x m x x ⎧++-≥⎪⎪=++-=⎨⎪-++≤<⎪⎩，当3x ≥时，()()113f x m x m x =++-，可得()211f x m x'=+-，要使得()f x 在[3,)+∞为单调递增函数，则()0f x '≥恒成立，即2110m x +-≥在[3,)+∞恒成立，即211m x ≥-在[3,)+∞恒成立，可得89m ≥-；当23x ≤<时，()()113f x m x m x =-++，可得()211f x m x'=--，要使得()f x 在[2,3)为单调递增函数，则()0f x '≥恒成立，即2110m x --≥在[2,3)恒成立，即211m x ≤+在[2,3)恒成立，可得34m ≤，综上可得，实数m 的取值范围83,94⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D.12.已知三棱锥-P ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，O 是ABC 的垂心.若1OBC S =△，4ABC S = ，则PBC S =△（）A.85B.2C.52D.【答案】B【解析】【分析】先证明两个线面垂直“BC ⊥平面APE ”和“PO ⊥平面ABC ”，进而得到90APE POE ∠=∠=︒，得到等式2PE OE AE =⋅，并将其转化为关系式2()PBC S =△OBC ABC S S ⨯ △，求解即可.【详解】连接AO ，并延长AO 交BC 于点E ，连接PE ，连接,,OB OC OP ，由于三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，易得AP ⊥平面PBC ，又因为PE ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AP PE ⊥，⊥AP BC ，因为O 是ABC 的垂心，所以AE BC ⊥，因为AE BC ⊥，⊥AP BC ，且AE ⊂平面APE ，AP ⊂平面APE ，AE AP A =I ，所以BC ⊥平面APE ，且PO ⊂平面APE ，所以BC PO ⊥，同理可得AC PO ⊥，因为BC PO ⊥，AC PO ⊥，且BC ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC AC C ⋂=，所以PO ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，所以PO AE ⊥，因为90,APE POE PEO AEP ∠=∠=︒∠=∠，所以APE POE ，PE OEAE PE=，即2PE OE AE =⋅，所以2111()()()222PE BC OE BC AE BC ⨯=⨯⋅⨯，由BC ⊥平面APE ，易得,BC PE BC AE ⊥⊥，所以2()PBC S =△144OBC ABC S S ⨯=⨯= △，所以2PBC S = .故选：B.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13.在()()6311x x -+的展开式中，3x 的系数为______.【答案】25【解析】【分析】分别求解展开式()61x +中含2x ，3x 的项，再求出展开式()()6311x x -+中含3x 的项的系数即可.【详解】()61x +的展开式中2x 项为426C x ，3x 的项为363C x ，所以()()6311x x -+中含3x 的项的系数为43663C C 25-=.故答案为：25.14.已知数列{}n a 满足11a =，且对任意*n ∈N ，有()11nn n a a n +=+-⋅，则22a =______.【答案】10-【解析】【分析】利用累加法求得22a .【详解】依题意，211a a =-，322a a =+，433=-a a ，544a a =+，……212020a a =+，222121a a =-，上述21个式子相加得2211012111110a a =+⨯-=-=-.故答案为：10-15.已知函数()ln ln f x a x bx =⋅-在1x =处取得极大值，则ba的取值范围是______.【答案】10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由()10f '=以及导数、极大值等知识对问题进行分析，利用构造函数法，结合导数来求得ba的取值范围.【详解】()f x 的定义域是()0,∞+，()ln ln a bx af x b x x-+'=-=，由于函数()ln ln f x a x bx =⋅-在1x =处取得极大值，所以()1ln 0,ln ,e bf b a a b a '=-+===，且()f x 在()0,1上()()0,f x f x '>单调递增，在()1,+∞上()()0,f x f x '<单调递减，所以ln y bx a =-+单调递减，所以0,0b b -<>，所以()0e b b bb a =>，构造函数()()0e x x g x x =>，显然()0g x >，()1ex xg x ='-，所以()g x 在区间()0,1上()()0,g x g x '>单调递增，在区间()1,+∞上()()0,g x g x '<单调递减，所以()11e g =是()g x 的极大值也即是最大值，所以()10,e g x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，也即ba 的取值范围是10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦16.已知正实数x ，y ，z 满足26x xy yz xz x z +++++=，则32x y z ++的最小值是______.【答案】2-【解析】【分析】因式分解得到61x z x y +=++，变形后得到()13622x z y x y x y +=+++++，利用基本不等式求出最小值.【详解】因为,,x y z 为正实数，故()()()2266xxy yz xz x z x xzxyyz x z +⇒，即()()()()()66161x x z y x z x z x y x z x z x y ++++=⇒+++=⇒+=+++，()()()132622x y z x y x x y y z x ++=+++++++=()6222121x y x y =-≥-=+++++，当且仅当()1261y y x x ++++=，即1x y +=-，此时61x z x y +==++，所以32x y z ++的最小值为2-.故答案为：2-三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin cos 32c BC =，3b =.（1）求B ；（2）若ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积范围.【答案】（1）π3（2）3393(,]24【解析】【分析】（1）根据sin cos 32c BC =，3b =，利用正弦定理得到sin sin sin cos 2B BC C =，再利用三角恒等变换求解；（2）设ABC 的外接圆半径为R ，得到2sin bR B==1sin 2ABC S ac B =△33π33sin 2264A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭求解.【小问1详解】因为sin cos 32c BC =，3b =，所以sin sin sin cos 2BB C C =，因为sin 0C ≠，所以sin cos 2B B =，则2sin cos cos 222B B B =，因为cos02B≠，所以1sin 22B =，又π0,22B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π26B =，所以π3B =.【小问2详解】设ABC 的外接圆半径为R ，则2sin bR B==所以112πsin 2sin 2sin sin sin 223ABC S ac B R A R C B A A ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，1cos sin22A A A⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，2991cos2sin cos sin sin222422AA A A A-=+=+⋅，93333sin2cos2444A A=-+，πsin2264A⎛⎫=-+⎪⎝⎭，因为ABC为锐角三角形，所以π22ππ32AA⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A<<，则ππ5π2666A<-<，则1πsin2126A⎛⎫<-≤⎪⎝⎭，所以339324ABCS<≤，所以ABC的面积范围(24.18.轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表.使用频数[)12,25[)25,38[)38,51[]51,64偶尔1次3015510每周1～3次40403050每周4～6次25404530每天1次及以上552010（1）若把年龄在[)12,38的消费者称为青少年，年龄在[]38,64的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成22⨯列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；（2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[)25,38与[]51,64的人数分别为X ，Y ，X Y ξ=-.求ξ的分布列与期望；（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为15，25，23，求小李晚餐选择低卡甜品的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附：()2P K k ≥0.100.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关，理由见解析（2）分布列见解析，数学期望为4156（3）1945【解析】【分析】（1）数据分析，得到列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论；（2）先利用分层抽样得到[)12,25，[)25,38，[)38,51和[]51,64的抽取人数，得到X Y ξ=-的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望；（3）设出事件，结合全概率公式得到答案.【小问1详解】列联表如下：青少年中老年合计食用轻食频率低12595220食用轻食频率高75105180合计200200400故()()()()()()22240012510595759.091 6.635220180200200n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，故有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；【小问2详解】每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，[)12,25的抽取人数为581552010⨯=+++，[)25,38的抽取人数为581552010⨯=+++，[)38,51的抽取人数为2084552010⨯=+++，[]51,64的抽取人数为1082552010⨯=+++，X 的可能取值为0，1，此时Y 的取值为0，1，2，故X Y ξ=-的可能取值为0，1，2，其中0ξ=包含两种情况，即0X Y ==和1X Y ==，故()311151253388C C C C 50C C 14P ξ==+=，1ξ=包含三种情况，0,1X Y ==，1,0X Y ==和1,2X Y ==，故()012102120125125125333888C C C C C C C C C 311C C C 56P ξ==++=，2ξ=包含1种情况，即0,2X Y ==，故()02112538C C C 52C 56P ξ===，故ξ的分布列如下：ξ012P5143156556则数学期望为()53154101214565656E ξ=⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】记小李早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件,,A B C ，则()13P A =，()13P B =，()13P C =，小李晚餐选择低卡甜品为事件D ，则()15P D A =，()25P D B =，()23P D C =，故()()()()()()()1112121935353345P D P A P D A P B P D B P C P D C =++=⨯+⨯+⨯=，故小李晚餐选择低卡甜品的概率为1945.19.如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，14A A =，且1A A ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD 、BC 上.（1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为49，求四面体ADPQ 的体积.【答案】（1）证明见解析（2）83【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明异面直线的垂直；（2）求平面法向量，由二面角P QD A --的余弦值为49和//PQ 平面11ABB A ，解得P 点坐标，可求四面体ADPQ 的体积.【小问1详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x ，y ，x轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()12,0,4B ，()0,4,0D ，()10,2,4D ，设()4,,0Q m ，其中m BQ =，04m ≤≤，若P 是1DD 的中点，则()0,3,2P ，()12,0,4AB = ，()4,3,2PQ m =--，于是1880AB PQ ⋅=-= ，∴1AB PQ ⊥，即1AB PQ ⊥.【小问2详解】由题设知，()4,4,0DQ m =- ，()10,2,4DD =-是平面PDQ 内的两个不共线向量.设()1,,n x y z =是平面PDQ 的一个法向量，则()111440,240,n DQ x m y n DD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取4y =，得()14,4,2n m =- .又平面AQD 的一个法向量是()20,0,1n =，∴121212cos ,n nn n n n ⋅==⋅，而二面角P QD A --的余弦值为4949=，解得72m =或92m =（舍去），此时74,,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭.设1DP DD λ=（01λ<≤），而()10,2,4DD =- ，由此得点()0,42,4P λλ-，14,2,42PQ λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∵//PQ 平面11ABB A ，且平面11ABB A 的一个法向量是()30,1,0n =，∴30PQ n ⋅= ，即1202λ-=，解得14λ=，从而70,,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将四面体ADPQ 视为以ADQ △为底面的三棱锥P ADQ -，则其高1h =，故四面体ADPQ 的体积11184413323ADQ V S h =⋅=⨯⨯⨯⨯= .20.已知圆C：22130x y ++-=，点P 是圆C上的动点，点)F是圆C 内一点，线段PF 的垂直平分线交CP 于点M ，当点P 在圆C 上运动时点M 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）T 为直线l ：4x =上的动点，A 、B 为曲线E 与x 轴的左右交点，TA 、TB 分别与曲线E 交于G 、D 两点.证明：GA DT GT DB⋅⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，结合椭圆的定义进行求解即可；（2）设出相应直线方程与椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合两点间距离公式进行求解即可.【小问1详解】如图所示：连接MF ，由(222213016x y x y++-=⇒++=，所以该圆的圆心坐标为()C ，半径为4，因为线段PF 的垂直平分线交CP 于点M ，所以有MP MF =，由44MC MP PC MC MF CF +==⇒+=>，所以点M 的轨迹是以,C F 为焦点的椭圆，即24,22,1a c a c b =====，所以E 的方程为2214x y +=；【小问2详解】设()4,T m ，()()2,0,2,0A B -，因为直线TA 的斜率为6m ，所以直线TA 的方程为()26my x =+，代入椭圆方程中，得()2222944360m xm x m +++-=，显然有2222436182299G G m m x x m m ---=⇒=++，22218262699G m m m y m m ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭，即2221826,99m m G m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为直线TB 的斜率为2m ，所以直线TB 的方程为()22my x =-，代入椭圆方程中，得()222214440m xm x m +-+-=，显然有22224422211D D m m x x m m --=⇒=++，2222222211D m m m y m m ⎛⎫--=-= ⎪++⎝⎭，即222222,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，于是有29GA m ==+，(2239m GT m +==+，(2231m DT m +==+，2241DB m ==+，因此(2222236369132491m GA DT m m GT DB m m +⨯⋅==⋅++为常数.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系求出相关点的坐标.21.()2cos 1f x x mx =+-（x ∈R ）.（1）当12m ≥时，证明：()0f x ≥；（2）证明：11112111tan1212tan 3tan tan23n n n n n+++⋅⋅⋅+>-+.【答案】（1）证明过程见解析（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）放缩得到()221cos 1cos 12f x x mx x x =+≥+--，构造()21cos 12g x x x =+-，得到函数的奇偶性，二次求导，得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，证明出结论；（2）由（1）知21cos 12x x ≥-，令1x n =，1n ≥且n N *∈放缩得到21211cos 11412121n n n n ⎛⎫>-=-- ⎪--+⎝⎭，再由sin x x ≥得到11cos 1tan n n n >，从而得到111112121tan n n n n⎛⎫>-- ⎪-+⎝⎭，相加后得到结论.【小问1详解】当12m ≥时，()221cos 1cos 12f x x mx x x =+≥+--，令()21cos 12g x x x =+-，()()()()2211cos 1cos 122g x x x g x x x -=-++--==-，故()21cos 12g x x x =+-为偶函数，()sin g x x x '=-+，令()()sin h x g x x x '==-+，()()()()sin sin h x x x x x h x +-=---=-=-，故()()sin h x g x x x '==-+为奇函数，其中()1cos 0h x x '=-≥恒成立，故()()sin h x g x x x '==-+在[)0,∞+上单调递增，其中()00h =，故()0h x ≥在[)0,∞+恒成立，故()21cos 12g x x x =+-在[)0,∞+上单调递增，其中()cos00100g +=-=，故()0g x ≥在[)0,∞+上恒成立，结合()21cos 12g x x x =+-为偶函数，故()0g x ≥在R 上恒成立，故()2cos 10f x x mx =+-≥在R 上恒成立；【小问2详解】由（1）知，21cos 102x x +-≥，即21cos 12x x ≥-，当且仅当0x =时，等号成立，令1x n =，1n ≥且n N *∈，所以101n <≤，故211cos 12n n>-，即222112211cos111124412121n n n n n n ⎛⎫>-=->-=-- ⎪--+⎝⎭，由（1）可知，当0x ≥时，sin x x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，当1n ≥且n N *∈时，101n<≤，故1111sin cos tan n n n n >=，故11cos 1tan n n n>，即11cos 1tan n n n >，所以1111cos112121tann n n n n⎛⎫>>-- ⎪-+⎝⎭，故11111111111111tan133521212tan tan2n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111121335212121n n n n n n ⎛⎫=--+-++-=- ⎪-++⎝⎭.【点睛】方法点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.请考生在22，23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⋅⎧⎨=+⋅⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为()21cos 0ρθθ⋅--=.（1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点())0,1,P Q，直线l 过点Q 且与曲线C 相交于A 、B 两点，设线段AB的中点为M ，求PM 的值.【答案】（1）sin cos cos 0x y ααα-+=；2y =.（2）8【解析】【分析】（1）根据已知方程即可求出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）求出直线l 的倾斜角，将l 的参数方程代入曲线C 的极坐标方程并化简，结合韦达定理即可求出PM 的值.【小问1详解】由题意，在cos :1sin x t l y t αα=⋅⎧⎨=+⋅⎩（t 为参数）中，cos 1sin x y αα=-，即：sin cos cos 0x y ααα-+=，在()21cos0ρθθ⋅--=中，()221cos cos 0ρθθ⋅--=，∵22sin cos 1,cos ,sin x y θθρθρθ+===∴()222221coscos sin cos 0y ρθθρθθ⋅--=⋅--==，∴曲线C的直角坐标方程为：2y =【小问2详解】由题意，())0,1,P Q，在:sin cos cos 0l x y ααα-+=中，直线l 过点Q ，cos 0αα+=，解得：3tan 3α=-，∴1sin ,cos 22αα==-，32:112x t l y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，将l 的参数方程代入曲线C 的极坐标方程，并化简得21640t t ++=，∴1216t t +=-设点,,A B M 对应的参数为120,,t t t ，∴12016822t t P t M +-====.[选修4-5：不等式选讲]23.已知关于x 的不等式2261x x m m +----≥有解.（1）求实数m 的取值范围.（2）若a 、b 、c 均为正数，n 为m 的最大值，且34a b c n ++=.求证：2221252a ab bc +++≥.【答案】（1）(,3]-∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，由绝对值不等式可得()max2265x x +--=，再将不等式有解转化为51m m ≥+-，即可得到结果；（2）根据题意，由（1）可知3n =，再由柯西不等式代入计算，即可证明.【小问1详解】由题意可得，2261x x m m +----≥，即2261x x m m+--≥+-令8,2()22634,238,3x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+≥⎩，当(],2x ∞∈--时，()(],10f x ∞∈--，当()2,3x ∈-时，()()10,5f x ∈-，当[)3,x ∞∈+，()(],5f x ∞∈-所以()f x 的最大值为5，关于x 的不等式2261x x m m +--≥+-有解等价于()max 51f x m m =≥+-，当m 1≥时，不等式转化为51m m ≥+-，即521m ≥-，解得3m ≤，所以13m ≤≤，当1m <时，不等式转化为51m m ≥+-，即51≥，解集R ，所以1m <，综上所述，实数m 的取值范围为(,3]-∞.【小问2详解】由（1）可知，m 的取值范围为(3],-∞，且n 为m 的最大值，所以3n =，则343a b c ++=，即243a b b c +++=，由柯西不等式可得()()()()22222222114249a b b c a b b c ⎡⎤+++++≥+++=⎣⎦，当且仅当2114a b b c +==时，即12123,a b c ===时，等号成立，又()222222254a ab b c a b b c +++=+++，所以()22218259a ab b c +++≥，即2221252a ab bc +++≥.【点睛】方法点睛：绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

陕西省西安交通大学附属中学雁塔校区2023届高三高考前最后一卷理科数学试题 (2)

一、单选题1.若函数为奇函数，且在单调递减，则下列函数在一定单调递增的是（）A．B．C．D．2. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）．A ．5B．C ．45D．3. 已知一个机械工件的正(主)视图与侧(左)视图如图所示，俯视图与正(主)视图完全一样，若图中小网格都是边长为1的正方形，则该工件的表面积为A ．24B ．26C ．28D ．304. 魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube ），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（）A．B．C．D．5. 设函数则满足的实数的取值范围是（）A．B．C．D．6. 下图是某地区2001年至2021年环境保护建设投资额（单位：万元）的折线图．根据该折线图判断，下列结论正确的是（）A ．为预测该地2022年的环境保护建设投资额，应用2001年至2021年的数据建立回归模型更可靠B ．为预测该地2022年的环境保护建设投资额，应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠C ．投资额与年份负相关D．投资额与年份的相关系数陕西省西安交通大学附属中学雁塔校区2023届高三高考前最后一卷理科数学试题 (2)陕西省西安交通大学附属中学雁塔校区2023届高三高考前最后一卷理科数学试题 (2)二、多选题7. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（）A ．180B ．192C ．300D ．4208. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（）A．B．C．D．9. 悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名．适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为（，其中a 为非零常数，e 为自然对数的底数）．当a ＝1时，记，则下列说法正确的是（）A．B．是周期函数C ．的导函数是奇函数D ．在上单调递减10. 已知定义域为R的函数满足，且函数是奇函数，，则下列说法正确的是（）A ．函数的一个周期是8B．C ．函数是偶函数D ．若，则11.如图，已知二面角的棱上有两点，，且，则（）A ．当时，直线与平面所成角的正弦值为B ．当二面角的大小为时，直线与所成角为C．若，则三棱锥的外接球的体积为D．若，则二面角的余弦值为12.如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆的另一个交点为，且点满足.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，则下列说法不一定正确的是（）三、填空题四、解答题A．B．C．D．13.已知函数，（，，）的大致图象如图所示，将函数的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为_______.14.若函数的值域是，则此函数的定义域为___________．15. 有一个几何体的三视图及其尺寸（单位cm ），则该几何体的表面积为：_____.16. 已知函数．（1）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）若，且曲线与抛物线有两条公切线，求正数的取值范围．17. 在平面直角坐标系中，已知点，直线与的斜率之积为．(1)求点的轨迹的方程；(2)过的直线交曲线于两点，直线与直线交于点，求证：为定值．18. 已知函数和函数有相同的最大值.(1)求的值；(2)设集合，(b 为常数).①证明：存在实数b ，使得集合中有且仅有3个元素；②设，，求证：.19. 如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，．(1)证明：平面；(2)若平面，求二面角的正弦值．20. 如图在多面体中，，平面，为等边三角形，，，，点M是AC的中点.(1)若点G是的重心，证明：点G在平面内；(2)求点G到的距离.21. 如图所示的斜三棱柱中，点在底面的投影为边的中点，，，，.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.。

2013届高三理科数学综合训练题二

2013届高三理科数学综合训练题（二）（本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟）参考公式：如果在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率记为(|)P B A ,那么()()(|)P AB P A P B A =.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知集合，集合，则A B = （） A. B. C. D. 2．若p 是真命题，q 是假命题，则（）A ．p q ∧是真命题B ．p q ∨是假命题C ．p ⌝是真命题D ．q ⌝是真命题 3．4)2(x x +的展开式中3x 的系数是（）A ．6B ．12C ．24D ．484．在A B C ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形5．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221xy m+=的离心率为（）630.A 7.B 7630.或C 765.或D6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）．A ．3B ．11C ．38D ．123 7．已知x 、y 的取值如下表所示：若y 与x 线性相关，且ˆ0.95y x a =+，则a =（） x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7开始 1a =10?a <输出结束22a a =+ 是否A 、2.2B 、2.9C 、2.8D 、2.68．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,,1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩．设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(]()1,12,-+∞B ．(](]2,11,2--C ．()(],21,2-∞-D ．[]2,1-- 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9.复数Ｚ＝2(1)1i i+-（i 是虚数单位）则复数Ｚ的虚部等于．10.若向量()1,1a =，()1,2b =- ，则a 与b 夹角余弦值等于_____________．11.已知函数,0,()ln ,0,x e x f x x x ⎧<=⎨>⎩则1[()]f f e = ．12.计算：1211xd x --=⎰．13．18世纪的时候，欧拉通过研究，发现凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E 满足一个等式关系. 请你研究你熟悉的一些几何体（如三棱锥、三棱柱、正方体……），归纳出F 、V 、E 之间的关系等式：．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

高三数学试题(理科)

高三数学试题（理科）本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3到6页,共150分,考试时间120分注意事项：１．考生必须将自己的姓名、学号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上，并在答卷前将班别、姓名、学号、等填写在试卷上.２．第一大题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑. ３．请用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔答卷.考试结束后，试卷必须全部上交.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中的发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为：P n （k ）=C n k P k （1-p ）n-k球的表面积公式为：S=4πR 2，其中R 表示球的半径. 球的体积公式为：V=34πR 3，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U 为全集，若集合A 、B 、C 满足A ∩B=A ∩C ，则可以推出( ) A ． B=C B ．A ∪B=A ∪C C ．A ∪(U C B)=A ∪(U C C) D ．(U C A)∪B=(U C A)∪C 2．函数g (x )满足g (x )g (－x )＝1，且g (x )≠1，g (x )不恒为常数，则函数f (x)=g(x)+1g(x)-1( )A .是奇函数不是偶函数B .是偶函数不是奇函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数也不是偶函数3．已知函数f (x)=223(1)131(1)x x x x x x ⎧+->⎪-⎨⎪+≤⎩，则f –1(3)=( ) A ．10 B ．12 C ． 23 D ．－124．设f (x)=1()0x x ⎧⎨⎩为有理数(为无理数)，使所有x 均满足x ·f (x)≤g (x)的函数g(x)是（）A ．g (x)=sinxB ．g (x)=xC ．g (x)=x 2D ．g (x)=|x| 5．二项式(1x－)n 展开式中含有x 4项，则n 的可能取值是（）A ．5B ．6C ．3D ．76．设OA u u u v =a v ，OB uuu v =b v ，OC u u u v =c v ，当c v =λa v +μb v (λ,μ∈R)，且λ+μ=1时，点C 在（）A ．线段AB 上 B ．直线AB 上C ．直线AB 上，但除去点AD ．直线AB 上，但除去点B7．从17个相异的元素中选出2a －1个不同元素的选法记为P ，从17个相异的元素中选出2a 个不同元素的选法记为Q ，从18个相异的元素中选出12个不同元素的选法记为S ，若P+Q=S ，则a 的值为（）A ． 6B ． 6或8C ．3D ．3或68．若一个平面与正方体的12条棱所成的角均为θ，那么cos θ等于（） A．3 B ．3 C ．2 D．69．设OM u u u u v =（1，12），ON u u u v =（0，1），则满足条件0≤OP uuu v ·OM u u u u v ≤1，0≤OP uuu v ·ON u u u v ≤1的10．已知函数f k图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2+y 2=k 2上，则f (x)的最小正周期为（）A ．1B ．2C ．3D ．411．2003年12月，全世界爆发“禽流感”，科学家经过深入的研究终于发现了一种细菌Ｍ在杀死“禽流感”病毒N 的同时能够自我复制，已知1个细菌M 可以杀死1个病毒N ，并生成2个细菌M ，那么1个细菌M 和2047个“禽流感”病毒N 最多可生成细菌M 的数值是（）A ． 1024B ．2047C ．2048D ．204912．已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足OR uuu v =12（OP uuu v +OQ uuu v），R 在抛物线准线上的射影为S ，设α，β是ΔPQS 中的两个锐角，则下面4个式子中不一定正确的是（）A ．tan α·tan β=1B ．sin α+sinC ．cos α+cos β>1D ．|tan(α－β)|>tan2αβ+高三(1－12班)数学试题（理科）班别____________ 学号______________ 姓名___________ 得分___________第II 卷 (非选择题共90分)二、填空题13．把函数sin y x x =-的图象，按向量(),m n =-va （m >0）平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为__________________14．若关于x 的不等式2－2x >|x －a | 至少有一个负数解，则a 的取值范围为__________________. 15．利用函数f (t)=12+3sin[2365π(t －81)]可用来估计某一天的白昼时间的长短，其中f (t)表示白昼的小时数，t 是某天的序号，t=0表示1月1日，依此类推0≤t ≤365，若二月份28天，则这一地区一年中白昼最长的大约是月日.16．在平面几何里，有勾股定理“设ΔABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥O －ABC 的三个侧面OAB 、OAC 、OBC 两两相互垂直，则______________________________________________.” 三、解答题：本大题6个小题，共74分17．（本小题满12分）已知A 、B 是ΔABC 的两个内角，a v sin 22A B A B i j +-+v v ，其中i j v v 、为互相垂直的单位向量，若||a =v.(Ⅰ) 试问tanA ·tanB 是否为定值? 若为定值，请求出；否则请说明理由． (Ⅱ) 求tanC 的最大值，并判断此时三角形的形状．18. (本小题12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n =na n ﹣2n(n ﹣1)，(n ∈N*)(Ⅰ) 求证数列{a n }为等差数列，并写出通项公式； (Ⅱ) 是否存在自然数n ，使得40032321=++++nS S S S n Λ?若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由；19.（本小题满分12分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，在每一局比赛中，甲获胜的概率为P ．（Ⅰ）如果甲、乙两人共比赛4局，甲恰好负2局的概率不大于其恰好胜3局的概率，试求P的取值范围；（Ⅱ）如果P=13，当采用3局2胜制的比赛规则时，求甲获胜的概率.20. （本小题满分12分）在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧棱是底面边长的2倍，P 是侧棱CC 1上的一点. （Ⅰ）求证：不论P 在侧棱CC 1上任何位置，总有BD ⊥AP ；（Ⅱ）若CC 1=3C 1P ，求平面AB 1P 与平面ABCD 所成二面的余弦值. （Ⅲ）当P 点在侧棱CC 1上何处时，AP 在平面B 1AC 上的射影是∠B 1AC 的平分线.21. （本小题满分1４分）已知点Q 位于直线3x =-右侧，且到点()1,0F -与到直线3x =-的距离之和等于4. (Ⅰ) 求动点Q 的轨迹C ；(Ⅱ) 直线l 过点()1,0M 交曲线C 于A 、B 两点，点P 满足1()2FP FA FB =+u u u r u u u r u u u u r ，0EP AB =u u ur u u u r g ，又OE uuu r=(0x ,0)，其中O 为坐标原点，求0x 的取值范围；(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，PEF ∆能否成为以EF 为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l 的方程；若不能，请说明理由.ABCDA 1 D 1C 1 B 1P22．（本小题满分12分）已知函数f(x)满足f(x+y)= f(x)·f(y)且f(1)=1 2 .(Ⅰ)当n∈N+时，求f(n)的表达式.(Ⅱ)设a n=n·f(n),n∈N+，求证a1+a2+…+a n<2.答案：1．D 由A ∩B=A ∩C 知B ，C 在A 内部的元素相同，由韦恩图可得. 2．A3．Ｃ 2231x x x +--=(1)(3)1x x x -+-=x+3 依题意当x>1时 f(x)>4当x ≤1时 f(x)=3x+1≤4 令t= f －1(3) ∴f(t)=3<4 即3t+1=3 ∴t=234．D 将f(x)拆成：当x 是有理数时，f(x)=1;当x 是无理数时，f(x)=0,然后一一验证即可5．C 展开式的通项为r nC (1x)n-r ·(－)r =(－1)r ·r n C 4()3r n r x --（r=0,1,2,…n ）即存在自然数r ，使43r －(n －1) =4即7r=3n+12且n ≥r,故选C. 6．B ∵n+μ=1 ∴λ=1－μ，∵c v =λa v +μb v =a v +μ(b v －a v )=a v +μAB u u u v∴AC u u u v =c v －a v =μAB u u u v ，即AC u u u v 与AB u u u v共线.7．D 法一：反代法.分别取a=6,8代入验证。

四川省大数据精准教学联盟2022届高三第一次统一检测理科数学试题(2)

一、单选题二、多选题1. 已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的体积为（）A．B．C．D．2. “函数在区间上单调递增”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若复数z 满足，则（）A．B．C．D．4.已知函数，集合，，则（）A．B．C．D．5. 已知双曲线的离心率为，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则（）A．B．C．D．6. 已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（）A ．函数为偶函数B．函数在上单调递增C ．若，则的最小值为D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象7. 下列各式中的是（）A．B．C．D．错误8. 已知函数，则“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. 已知函数，则（）A．有两个极值点B ．的图象关于点对称C．有三个零点D ．直线与曲线相切10. 棱长为2的正方体中，E ，F ，G 分别为棱AD ，，的中点，过点E ，F ，G 的平面记为平面，则下列说法正确的是（）A ．平面B．平面C ．平面截正方体外接球所得圆的面积为D ．正方体的表面上与点E 的距离为的点形成的曲线的长度为四川省大数据精准教学联盟2022届高三第一次统一检测理科数学试题(2)四川省大数据精准教学联盟2022届高三第一次统一检测理科数学试题(2)三、填空题四、解答题11. 已知是半径为2的球面上的三个定点，且，若是该球面上的动点，且，则下列结论正确的为（）A ．有且仅有两个点使得B ．有且仅有两个点使得与所成的角为C．的最大值为D ．的最大值为12. 、是两个平面，、是两条直线，则下列命题中正确的是（）.A ．若，，，则B ．若，//，则//C ．若，//，//，则//D ．若，，//，则13.若过点作圆的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长_________.14.在的展开式中，含的项的系数是______．15.已知向量满足，则在方向上的投影向量为______（用表示）．16.已知数列中，，(n ).（1）分别比较下列每组中两数的大小：①和；②和；（2）当n ≥3时，证明：.17. 已知多面体ABCDEF 如图所示，其中四边形ABCD 为菱形，AF 平面CDE ，且A ，D ，E ，F 四点共面.（1）求证∶平面ABF 平面CDE ；（2）若∠ABC =90°，且AD =5，DE =6，AF =2，，求证∶AD ⊥CE .18. 已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且，记.(1)求的最小值；(2)解关于的不等式；(3)设，若的图象与的图象有2个交点，求的取值范围.19. 如图，在中，，，是边上一点.(1)若是以为斜边的等腰直角三角形，求的长；(2)若是边的中点，的面积为，求的长.20. 已函数，其图象的对称中心为.(1)求的值；(2)判断函数的零点个数.21. 已知函数.（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图；（2）求不等式的解集.。

河南省许昌市建安区第三高级中学2022-2023学年高三上学期诊断性测试(二)理科数学试题含答案

建安区三高2022-2023学年上期诊断性测试（二）高三理科数学考试时间：120分钟试卷满分：150分：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}3{24},log 1xM x N x x =>=≤，则M N ⋃=（）A ．{23}x x <≤B ．{0}x x >C ．{02x x <<或2}x >D ．R2．已知复数z 满足2i i 4z z -=+，则下列说法中正确的是（）A ．复数z 的模为10B ．复数z 在复平面内所对应的点在第四象限C ．复数z 的共轭复数为13i-+D ．20231i3z -⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．已知非零向量,a b的夹角正切值为()()32a b a b +⊥- ，则a b= （）A ．2B ．23C ．32D ．14．已知cos 21sin cos 3ααα=+，则3sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A．6B ．13C．6D ．13-5．在如图所示的程序框图中，输入4N =，则输出的数等（）A ．34B ．45C ．1315D ．566．若x ，y 满足不等式组，⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+0330101y x y x y x ，则下列目标函数中在点(3,2)处取得最小值为（）A ．4z x y=-B ．4z x y=-C ．4z x y=+D ．4z x y=+7．中国空间站(China Space Station )的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T ”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设中国空间站要安排甲、乙等5名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排2人，“问天实验舱”安排2人，“梦天实验舱”安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A ．9种B ．24种C ．26种D ．30种8．已知双曲线C 1：2221(0)4x y t t -=>与双曲线C 2：2221y x t-=的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的最小值为（）A ．154B ．94C ．52D ．329．近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派甲、乙、丙、丁4名医务工作者参加登记、接种、留观3项工作，每项工作至少1人参加，若A 表示事件：“甲参加登记这项工作”；B 事件表示“乙参加登记这项工作”；C 事件表示“乙参加接种这项工作”，则下列结论正确的是（）A ．事件A 与B 相互独立B ．事件A 与C 相互独立C ．()16P B A =∣D ．()712P C A =∣10．已知ABC 中，π26B AC ∠==，，则π6A ∠=的充要条件是（）A．ABC 是等腰三角形B ．AB =C ．4BC =D ．ABC S BC BA=< 11．若函数()2ln 2f x x ax x =+-在()0,1上存在极大值点，则a 的取值范围为（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12．已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点，1F ､2F 为其左､右焦点，O 为坐标原点.过点P 向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M ､N ，则下列所述错误的是（）A ．||||PM PN ⋅为定值B ．O ､P ､M ､N 四点一定共圆C ．1PF ·2PF的最小值为2b -D ．存在点P 满足P ､M ､1F 三点共线时，P ､N ､2F 三点也共线二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．()61x⎛+ ⎝的展开式中的常数项是________．14．把函数()22cos cos 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位长度，得到的图像所对应的函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小正值为__________．15．设数列{}n a 首项132a =，前n 项和为n S ，且满足*123(N )n n a S n ++=∈，则满足234163315n nS S <<的所有n 的和为__________.16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，124AA AB ==，E 是1BB 的中点，F 是11A C 的中点，若过A ，E ，F 三点的平面与11B C 交于点G ，则1AG =________．三、解答题：（共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知36a b +=，π3C =.(1)若3=a ，求tan B 的值；(2)求AB AC BA BC +⋅⋅的最小值.18．2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”亮相上海展览中心．为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动．为了提高活动的参与度，计划有13的人只能赢取冰墩墩挂件，另外23的人计划既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率．(1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)从顾客中随机抽取n 人（*N n ∈），记这n 人的合计得分恰为1n +分的概率为n P ，求12n P P P +++ ；19．已知三棱柱111ABC A B C -，侧面11AAC C 是边长为2的菱形，13CAA π∠=，侧面四边形11ABB A 是矩形，且平面11AA C C ⊥平面11ABB A 点D 是棱11A B 的中点．(1)在棱AC 上是否存在一点E ，使得AD ∥平面11B C E ，并说明理由；(2)当三棱锥11B A DC -11AC D 与平面1CC D夹角的余弦值．20．已知双曲线Γ：2222=1(0,0)a x y a b b ->>的焦距为4，且过点P ⎛ ⎝⎭(1)求双曲线Γ的方程；(2)过双曲线Γ的左焦点F 分别作斜率为12,k k 的两直线1l 与2l ，直线1l 交双曲线Γ于,A B 两点，直线2l 交双曲线Γ于,C D 两点，设,M N 分别为AB 与CD 的中点，若121k k -⋅=，试求OMN 与FMN △的面积之比.21．已知函数()e (1)x f x a a x =--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当a ＝1时，若函数()e (ln )t y f x x t =-+有两个零点，求实数t 的取值范围．选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答。

甘肃省兰州市第五十八中学教育集团2022-2023学年高三下学期2月建标考试数学(理科)试题(2)

一、单选题二、多选题1. 已知，，，则（）A．B．C．D．2.中，，，是的中点，若，则（）A ．0B ．2C ．4D ．83. 已知，下列说法正确的是（）A．B．C．D．4. 如图，是棱长为的正方体，是棱长为的正四面体，底面,在同一个平面内，，则正方体中过且与平面平行的截面面积是A．B．C．D．5. 已知角的终边经过点，则（）A．B．C．D．6.已知，则的解析式可取为（）A．B．C．D．7. 已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个绿球（球的大小质地相同）．若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为（）A．B．C．D．8.已知数列满足，，且，若表示不超过x的最大整数（例如，）.则（）A ．2018B ．2019C ．2020D ．20219. 某网店最近推出了一款新型儿童玩具——电动遥控变形金刚，可以全面提高宝宝的语言能力、情绪释放能力、动手能力，同时以其优良的做工逐渐在市场中脱颖而出．如表是该网店2021年年初开始销售此玩具6周以来所获得的利润数据统计情况．（周）123456甘肃省兰州市第五十八中学教育集团2022-2023学年高三下学期2月建标考试数学（理科）试题(2)甘肃省兰州市第五十八中学教育集团2022-2023学年高三下学期2月建标考试数学（理科）试题(2)三、填空题四、解答题（元）5506507508109551055根据表中的数据可知y 与x 线性相关，且线性回归方程为，则下列说法正确的是（）A．B ．销售该玩具所获得的利润逐周增加，平均每周增加约445元C ．相应于点（5，955）的残差为10D ．预测第7周销售该玩具所获得的利润约为1145元10. 《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第天所织布的尺数为，，则（）A．B ．数列是等比数列C．D．11. 将一组数据从小到大排列为：，中位数和平均数均为a ，方差为，从中去掉第6项，从小到大排列为：，方差为，则下列说法中一定正确的是（）A．B ．的中位数为aC．的平均数为aD．12. 已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，若过且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（）A．的离心率为B．C ．点到直线的距离为D ．的周长为813. 某中学有高中生2500人，初中生3750人．用分层抽样的方法从该校学生中抽取5人，组成校篮球运动小组，则从高中生中抽取______人，若从这5人中任意选取2人为组长，则初中生和高中生各有1人为组长的概率为______．14. 已知i为虚数单位，复数的共轭复数______________．15. 我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？”按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为______立方尺（注：1丈尺）16. 新高考改革后广西省采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理､历史里选一门；“2”指考生要在生物学､化学､思想政治､地理4门中选择2门.(1)若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000名参加语数外的网络测试､满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布.①估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有多少人；②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度.附：，，.17. 已知数列为等比数列，是与的等差中项，为的前项和．(1)求的通项公式及；(2)集合A 为正整数集的某一子集，对于正整数，若存在正整数，使得，则，否则．记数列满足，求的前20项和．18. 已知数列的前项和满足，且.(1)求数列的通项公式；(2)求证：.19.已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条渐近线的夹角为．(1)求双曲线的方程；(2)过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．20. 已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围.21. 对于数列，若存在常数对任意恒有，则称是“数列”.（1）首项为，公差为d的等差数列是否是“数列”？并说明理由；（2）首项为，公比为q的等比数列是否是“数列”？并说明理由；（3）若数列是数列，证明：也是“数列”，设，判断数列是否是“数列”？并说明理由.。

2024届新高三理科数学2开学摸底考试卷及答案解析(全国卷)

2024届新高三理科数学2开学摸底考试卷及答案解析（全国卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}N12A x x =∈-≤∣，{}2,3,4B =，则A B ⋃=（）A ．{}1,0,1,2,3,4-B ．{}0,1,2,3,4C ．{}2,3D ．{}1,2,3,4【答案】B【详解】由12x -≤，可得212x -≤-≤，所以13x -≤≤，所以{}{}{}N12N 130,1,2,3A x x x x =∈-≤=∈-≤≤=∣∣，又{}2,3,4B =，所以{}0,1,2,3,4A B = .故选：B.2．若11i z =+，21(2i)z z =+，则2z =（）A BC ．2D ．10【答案】A【详解】21(2i)(1i)(2i)3i z z =+=-+=-，所以2z =故选：A ．3．已知函数()()222log 2,23,2x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，则()()30log 36f f +=（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可.【详解】由题意可得()()3log 362320log 362log 23f f -+=++336log 922log 23=++362179=++=，故选：D.4．足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行.假设每个球都能被接住，若第4次传球后，球又恰好回到甲脚下，则不同的传球方法为（）A ．18种B ．21种C ．27种D ．45种【答案】B【分析】根据题意分为两种情况讨论：①第一次甲将球传给其余三人，第二次将球传给甲，第三次甲再传给其余三人，第四次再将球传给甲；②第一次甲将球传给其余三人，第二次将球传给甲之外的2人，第三次依然将球传给除甲之外的2人，第四次再将球传给甲，结合分类计数原理，即可求解.【详解】根据题意，分为两种情况讨论：①第一次甲将球传给其余三人，有13C 3=种情况，第二次将球传给甲，第三次甲再传给其余三人，有13C 3=种情况，第四次再将球传给甲，此时共有339⨯=种情况；②第一次甲将球传给其余三人，有13C 3=种情况，第二次将球传给甲之外的2人，有12C 2=种情况，第三次依然将球传给除甲之外的2人，有12C 2=种情况，第四次再将球传给甲，有1中情况，此时共有32212⨯⨯=种情况，由分类计算原理可得，第四次传球后，求又回到甲的脚下的传球方式，共有91221+=种.故选：B.5．“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（）A ．130B ．132C ．134D ．141【答案】B【分析】利用等差数列求和公式及素数的定义即可求解.【详解】由题可知，2到20的全部整数和为()1192202092S ⨯+==，2到20的全部素数和为223571113171977S =+++++++=，所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为20977132-=.故选：B.6．已知函数()()2π12cos 06f x x ωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，且π2π43T <<，若()f x 的图象关于直线π6x =对称，则π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2B ．12C ．D ．12-【答案】A【分析】运用二倍角公式化简()f x ，结合π2π43T <<与()f x 的对称性求得ω的值，进而求得结果.【详解】因为()2ππ12cos cos 263f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2ππ2T ωω==．又因为π2π43T <<，所以ππ2π43ω<<，即342ω<<，①又因为()f x 的图象关于直线π6x =对称，所以ππ2π63k ω⨯+=，Z k ∈．所以31k ω=-，Z k ∈，②所以由①②得2ω=，所以()πcos 43f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故πππcos 8232f ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A.7．在三角形ABC 中，7,8,9,AB BC AC AM ===和AN 分别是BC 边上的高和中线，则MN BC ⋅=（）A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】C【分析】将,AB AC作为基底，用基底表示MN 和BC，根据数量积的规则计算即可.【详解】设,,AB a AC b BM BC λ===，则有()()()11AM AB BC AB AC AB AB BC a bλλλλλλ=+=+-=-+=-+ ，由余弦定理得22222279811cos 227921AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===⨯⨯ ，()()()()22,0,10,1210AM BC AM BC a b b a a b a b λλλλλ⎡⎤⊥∴=-+-=---+=⎣⎦，其中11cos 633321a b a b BAC =∠=⨯= ，2249,81a b == ，解得14λ=，2111,,16244BN BC MN BN BM BC MN BC BC =∴=-=== ；故选：C.8．平行四边形ABCD 中，点M 在边AB 上，3AM MB =，记,CA a CM b == ，则AD =（）A ．4733a b-B ．2433b a-C ．7433b a- D ．1433a b- 【答案】D【分析】根据给定的几何图形，结合向量的线性运算求解作答.【详解】在ABCD Y 中，3AM MB = ，,CA a CM b ==，所以1114()3333AD BC BM MC MA CM CA CM CM a b ==+=-=--=- .故选：D9．贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为3:3:5，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为（）A ．3:6:10B ．3:9:25C ．3:21:35D ．9:21:35【答案】D【分析】设上面的六棱柱的底面面积为S ，高为3m ，根据棱柱和棱台的体积公式直接计算，然后求比可得.【详解】设上面的六棱柱的底面面积为S ，高为3m ，由上到下的三个几何体体积分别记为123,,V V V ，则13V mS =，(214373V S S m mS =+⨯=，(31354533V S S m mS =++⨯=，所以12335::3:7:9:21:353V V V mS mS mS ==故选：D10．已知过双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点(),0F c 作x 轴的垂线与两条渐近线交于A ，B ，OAB ，则该双曲线的离心率为（）A ．3B ．32C ．2D ．43【答案】A【分析】先结合双曲线的渐近线方程求出2bcAB a=，再根据三角形面积公式得到b a =.【详解】由题知，双曲线的渐近线为b y x a=±，得,bc A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2bc AB a∴=，2112223AOBbc S OF AB c a ∴=⋅=⨯=，3b a ∴=c e a ∴==故选：A.11．已知直线:30l x y +-=上的两点,A B ，且1AB =，点P 为圆22:230D x y x ++-=上任一点，则PAB 的面积的最大值为（）A 1B ．2C 1D ．2【答案】A【分析】找到圆上的点到直线距离的最大值作为PAB 的高，再由面积公式求解即可.【详解】把圆22:230D x y x ++-=变形为22(1)4x y ++=，则圆心()1,0D -，半径2r =，圆心D 到直线:30l x y +-=的距离d =，则圆D 上的点到直线AB 的距离的最大值为2d r +=+，又1AB =，∴PAB 的面积的最大值为()12112⨯⨯=．故选：A ．12．已知()f x '是函数()()y f x x =∈R 的导函数，对于任意的x ∈R 都有()()1f x f x '+>，且()02023f =，则不等式()e e 2022x x f x >+的解集是（）A ．()2022,+∞B ．()(),02023,∞∞-⋃+C ．()(),00,∞-+∞UD ．()0,∞+【答案】D【分析】法一、构造常函数()2023f x =计算即可；法二、构造()()e e x xg x f x =-，利用条件判断其单调性解不等式即可.【详解】法一：构造特殊函数.令()2023f x =，则()()20231f x f x +=>'满足题目条件，把()2023f x =代入()e e 2022x xf x >+得2023e e 2022x x >+解得0x >，故选：D .法二：构造辅助函数.令()()e e x x g x f x =-，则()()()()e 10xg x f x f x =+-'>'，所以()g x 在R 上单调递增，又因为()()0012022g f =-=，所以()()()e e 20220x xf xg x g >+⇔>，所以0x >，故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某机器生产的产品质量误差()1,4,X N t ~是1,2,4,5,7,8,12,15,18,23的第60个百分位数，则()35P X t -≤≤-=__________.附：若()2,X N μσ ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+=，()()220.9545,330.9973.P X P X μσμσμσμσ-≤≤+=-≤≤+=【答案】0.9545【分析】先根据百分位数的求法得t ，然后根据正态分布概率公式可得.【详解】因为1060%6⨯=，所以812102t +==，由()1,4X N ~可知1,2μσ==所以()()()3535220.9545P X t P X P X μσμσ-≤≤-=-≤≤=-≤≤+=.故答案为：0.954514．设0a >，1b >，若2a b +=，则911ab +-取最小值时a 的值为______．【答案】34/0.75【分析】根据题意可得10b ->、()11a b +-=，结合基本不等式中“1”的用法计算即可求解.【详解】由0a >，1b >，得10b ->，由2a b +=，得()11a b +-=，∴()()91919111010216111b a a b ab a b a b -⎛⎫+=++-=++≥+⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭，当且仅当()911b aa b -=-即34a =，54b =时等号成立.故当34a =，54b =时911ab +-取得最小值16.故答案为：34.15．设抛物线C ：22y px =（0p >）焦点为F ，准线为l ，过第一象限内的抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设(20)C p ，，AF 与BC 相交于D ．若||||CF AF =，且ACD 的面积为2，则抛物线的方程为________________.【答案】2y =【分析】由抛物线定义可得四边形ABFC 为平行四边形，故3||2pAB =可得点()A p 即得抛物线方程.【详解】如图所示，(,0)2pF ，()2,0C p ．所以3||2p CF =．//AB x 轴，||||CF AF =，||||AB AF =，CF AB∴=所以四边形ABFC 为平行四边形，3||||2pCF AB ∴==，||||CD BD =．322A p p x ∴+=，解得A x p =，代入22y px =可取2A y =，11139222222ACD ABC p S S p ∴==⨯⨯⨯=解得3p =23y x ∴=.故答案为：243y x =.16．如图，在三棱锥-P ABC 中，π,1,2,43APB BPC PC PB PA ∠∠=====，若该三棱锥的外接球表面积为24π，则锐二面角A PB C --的平面角的正切值为__________.【分析】三棱锥的外接球球心位于过三角形PAB ，PBC 的外接圆圆心且与此平面垂直的直线上，找到球心再结合锐二面角A PB C --的平面角的定义进行求解.【详解】如图，因为224π4πS r ==，所以该三棱锥的外接球半径r =已知π,2,43APB PB PA ∠===，由余弦定理可得BA =BA BP ⊥，同理可证CB CP ⊥.所以,ABP BCP 的外接圆圆心12,O O 分别位于斜边,PA PB 的中点，设球心为O ，则1OO ⊥平面PAB ，2OO ⊥平面PBC ，PA ⊂平面PAB ，所以1OO PA ⊥，因为122PAOP r PO ====，所以1OO ，同理可证211OO O O ⊥，因为122AB O O ==12tan 2O OO ∠==，设锐二面角A PB C --的平面角为θ，因为2OO ⊥平面PBC ，所以θ与21OO O ∠互余，即12O OO θ∠=，tan2θ==，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．已知数列{}n a 和{}n b 满足11113,2,2,2n n n n n n a b a a b b a b ++===+=+．(1)证明：{}n n a b +和{}n n a b -都是等比数列；(2)求{}n n a b 的前n 项和n S ．【答案】(1)证明见解析(2)()2591832n n nS ⨯--=【分析】（1）由12n n n a a b +=+，12n n n b a b +=+两式相加、相减，结合等比数列的定义即可证明；（2）由（1）可得153n n n a b -+=⨯，1(1)n n n a b --=-，即可求出{}n a 和{}n b 的通项公式，从而得到2225314n n n a b -⨯-=，再利用分组求和法及等边数列求和公式计算可得.【详解】（1）因为12n n n a a b +=+，12n n n b a b +=+，所以()113n n n n a b a b +++=+，()11n n n n a b a b ++-=--，又由13a =，12b =得111a b -=，115a b +=，所以数列{}n n a b +是首项为5，公比为3的等比数列，数列{}n n a b -是首项为1，公比为1-的等比数列．（2）由（1）得153n n n a b -+=⨯，1(1)n n n a b --=-，所以1153(1)2n n n a --⨯+-=，1153(1)2n n n b --⨯--=，所以11112253(1)53(1)2531224n n n n n n n a b -----⨯+-⨯--⨯-=⨯=，所以()259182519419432nn n nn S ⨯---=⨯-=-．18．如图，四边形ABCD 为菱形，ED ⊥平面ABCD ，FB ED，BD ==.(1)证明：平面EAC ⊥平面FAC ；(2)若60BAD ∠=︒，求二面角F AE C --的大小.【答案】(1)证明见解析(2)π4【分析】（1）根据线面垂直得线线垂直，进而由线段的长度得勾股定理，证明线线垂直，即可得线面垂直证明面面垂直.（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解二面角大小.【详解】（1）设BD 交AC 于点O ，连接EO ，FO ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥.因为ED ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ，所以AC ED ⊥.又ED BD D = ，,ED BD ⊂平面BDEF ，所以AC ⊥平面BDEF ；又EO ⊂平面BDEF ，所以AC EO ⊥.设FB =1，由题意得ED =2，BD DO BO ==.因为FB //ED ，且ED ⊥面ABCD ，则FB ⊥平面ABCD ，而,OB OD ⊂平面ABCD ，故OB FB ⊥，OD ED ⊥，所以OF ==EO =3EF ==.因为222EF OE OF =+，所以EO FO ⊥.因为OF AC O ⋂=，,OF AC ⊂平面ACF ，所以EO ⊥平面ACF .又EO ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面F AC .（2）取EF 中点G ，连接OG ，所以OG //ED ，OG ⊥底面ABCD .以O 为原点，以,,OA OB OG分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，因为60BAD ∠=︒，由（1）中所设知，AB AD ==所以，OA OC ==所以(0,(A F E C.所以1)FA =-，2)EA =-，(2)EC =-，设平面FAE 的一个法向量为(,,)m x y z =，则000202m FA z x m EA z z ⎧⎧⋅=--==⎪⎪⇒⇒⎨⎨⋅=-==⎪⎪⎩⎩，所以m =；平面AEC 的一个法向量为(,,)n a b c =，则0020020a n EC c b n EA c ⎧⎧=⎧⋅=-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪⋅=-=⎪⎩⎩，所以n =；所以cos ,2m n =，由图形可知二面角F AE C--的平面角为锐角，所以二面角F AE C--的大小为π4 .19．某购物中心准备进行扩大规模，在制定末来发展策略时，对中心的现有顾客满意度进行了一个初步的现场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购物环境、广告宣传的满意程度．调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽取两个问题来提问，统计顾客的满意情况．假设，有三名顾客被抽到，且这三名顾客对这四个问题的满意情况如下表：商品质量服务质量购物环境广告宣传顾客甲满意不满意满意不满意顾客乙不满意满意满意满意顾客丙满意满意满意不满意每得到一个满意加10分，最终以总得分作为制定发展策略的参考依据．(1)求购物中心得分为50分的概率；(2)若已知购物中心得分为50分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？(3)列出该购物中心得到满意的个数X的分布列，并求得分ξ的数学期望．【答案】(1)1 4(2)16(3)分布列见解析，40【分析】（1）得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，然后按照古典概型的概率进行计算；（2）由条件概率的公式进行计算即可；（3）按求分布列的步骤进行计算，进而可得数学期望.【详解】（1）将得分为50分记为事件A ；得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，可能的结果共有：11222122212233233233C C C C C C C C C C 54++=（种）三名顾客产生的反馈结果总共有：()324216C =（种）则()5412164P A ==，∴购物中心得分为50分的概率为14（2）将顾客丙投出一个不满意记为事件B ，则()()221233324C C C 124C P AB ==，()()()1124164P AB P B A P A ===，（3）X 可能的取值为2、3、4、5、6()()211233324C C C 1224C P X ===，()()11112122212233233233324C C C C C C C C C C 134C P X ++===()()2221112112121123322332233233324C C C C C C C C C C C C C C 5412C P X +++===，()154P X ==()()222233324C C C 1624C P X ===X23456P1241451214124()1151123456424412424E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∵10X ξ=，∴()()1040E E X ξ=⨯=．20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为()A -，()B ，右焦点为2F ，O 为坐标原点，OB 的中点为D （D 在2F 的左方），22DF =-(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点D 且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，设直线AM ，AN 的斜率分别是1k ，2k ，试问12k k ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)22184x y +=(2)12k k ⋅是定值，定值为16-.【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出,a b ，可得椭圆的标准方程；（2）设过点D 且斜率不为0的直线方程为x ty =+代入22184x y +=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，根据韦达定理得12y y +和12y y ，再利用斜率公式得12k k ，代入12y y +和12y y ，化简可得1216k k =-.【详解】（1）依题意，a =D ，2c =2c =，所以222844b ac =-=-=，所以椭圆C 的标准方程为：22184x y +=.（2）设过点D 且斜率不为0的直线方程为x ty =联立22184x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x并整理得22(2)60t y ++-=，222824(2)32480t t t ∆=++=+>，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1222y y t +=-+，12262y y t =-+，所以12k k ⋅==262t -=22266121836t t t -=--++16=-.所以12k k ⋅为定值16-.21．已知函数23()ln 2a f x x xx =+-.(1)若0a =，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若()1212,x x x x <是()f x 的两个极值点，证明：()()121232f x f x x x a-<-.【答案】(1)250x y +-=；(2)证明见解析【分析】（1）求导，计算切点处的函数值与导数值，根据点斜式即可求解切线方程；（2）根据极值点的定义，可得12,x x 是方程230x x a -+=的两个不等的正实根，根据韦达定理代入化简，将问题转化成112221lnx x x x x x >-，令12(01)xt t x =<<，构造函数()1ln (01)h t t t t t=-+<<，结合导数证明即可.【详解】（1）当0a =时，3()ln f x x x =+，则22133()x f x x x x'-=-=，所以3(1)ln131f =+=，213(1)21f -'==-，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为()321y x -=--，即250x y +-=（2）证明：由23()ln 2a f x x x x =+-，可知()2233133a x x af x x x x x -+'=-+=，因为12,x x （12x x <）是()f x 的极值点，所以12,x x 方程230x x a -+=的两个不等的正实数根，所以123x x +=，120x x a =>，则()()()1222121211221222121212121233ln ln 22ln ln 32a a x x f x f x a x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-+-⎝⎭==-+---1212ln ln 332x x x x a a-=-+-．要证()()121232f x f x x x a -<-成立，只需证1212ln ln 3x x x x a-<-，即证12121212ln ln x x x x x x x x -+<-，即证()22121212ln ln x x x x x x -->，即证112221ln x x x x x x >-，设12x t x =，则01t <<，即证1ln t t t >-，令()1ln (01)h t t t t t=-+<<，则()22211110t t h t t t t -+-=--=<'，所以()h t 在()0,1上单调递减，则()()10h t h >=，所以1ln t t t>-，故()()121232f x f x x x a -<-．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为π1sin 032ρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，曲线2C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.(1)写出1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；(2)已知点()0,1P ，1C 与2C 相交于A ，B 两点，求11PA PB-的值.【答案】(1)曲线1C10y -+=，曲线2C 的普通方程为224x y +=；(2)3±.【分析】（1）把曲线1C化为sin cos 10ρθθ-=，即得曲线1C 的直角坐标方程，把参数方程平方相加得曲线2C 的普通方程；（2）求出曲线1C 的参数方程，联立曲线1C 的参数方程与曲线2C的普通方程得230t -=，再利用直线参数方程t 的几何意义求解.【详解】（1）曲线1C 的极坐标方程为1sin 032πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即sin cos 10ρθθ-=，则曲线1C10y -+=，把参数方程平方相加得曲线2C 的普通方程为224x y +=.（2）易知点P10y -+=π3，则曲线1C的参数方程为1212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），联立曲线1C 的参数方程与曲线2C的普通方程得230t -=，设点A ，B10y -+=上对应的参数分别为1t ，2t ，由韦达定理可得12t t +=123t t =-，211212*********t t t t PA PB t t t t t t -+-=-=±=±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()322f x x x x =+---.(1)求()f x 的最小值m ；(2)若,a b 为正实数，且20a b m ++=，证明不等式22111a b b a +≥++.【答案】(1)1-(2)证明见解析【分析】（1）将函数写成分段函数，结合函数图象求解即可；（2）解法一：根据基本不等式“1”的用法分析证明；解法二：利用柯西不等式直接证明即可.【详解】（1）由题知()1,021,0125,131,3x x x f x x x x <⎧⎪+≤<⎪=⎨-+≤<⎪⎪-≥⎩，其函数图象如图所示，所以，()min 1f x =-.（2）由（1）可知2a b +=，则()()114a b +++=，解法一：利用基本不等式：()()222211111411a b a b a b b a b a ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()()2222221111214114a a b b a b ab a b b a ⎡⎤++=++≥++=⎢⎥++⎣⎦，当且仅当1a b ==时取等号.所以，22111a b b a +≥++.解法二：利用柯西不等式：()()222211111411a b a b a b b a b a ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭114≥=，当且仅当1a b ==时取等号.所以，22111a b b a +≥++.。