二次函数在闭区间上的最值(1)
函数专题：二次函数在闭区间上的最值问题-【题型分类归纳】
函数专题：二次函数在闭区间上的最值问题一、二次函数的三种形式1、一般式：()()20=++≠f x ax bx c a2、顶点式：若二次函数的顶点为(),h k ，则其解析式为()()()20=-+≠f x a x h k a 3、两根式：若相应一元二次方程20++=ax bx c 的两个根为1x ，2x ，则其解析式为()()()()120=--≠f x a x x x x a二、二次函数在闭区间上的最值二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论， 一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况.设()()20=++≠f x ax bx c a ，求()f x 在[],∈x m n 上的最大值与最小值。
将()f x 配方，得顶点为24,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭b ac b a a ，对称轴为2=-b x a （1）当[],2-∈bm n a时， ()f x 的最小值为2424-⎛⎫-=⎪⎝⎭b ac bf a a ， ()f x 的最大值为()f m 与()f n 中的较大值； （2）[],2-∉bm n a时， 若2-<bm a，由()f x 在[],m n 上是增函数，则()f x 的最小值为()f m ，最大值为()f n ；若2->bn a，由()f x 在[],m n 上是减函数，则()f x 的最小值为()f n ，最大值为()f m ；三、二次函数在闭区间上的最值类型1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。
高一数学复习考点知识与题型讲解12---二次函数在闭区间上的最值问题
高一数学复习考点知识与题型讲解第12讲二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．设，求在上的最大值与最小值．分析：将配方，得顶点为、对称轴为；当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在上的最值：(1)当时，的最小值是的最大值是中的较大者．(2)当时，由在上是增函数，则的最小值是，最大值是．(3)当时，由在上是减函数，则的最大值是，最小值是．当时，可类比得结论．【题型一】定轴动区间已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．(1)求的解析式；(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．【解析】(1)是二次函数，且的解集是，可设－．(待定系数法，二次函数设为交点式)在区间－上的最大值是．由已知得，，－．(2)由(1)得，函数图象的开口向上，对称轴为(讨论对称轴与闭区间的相对位置)①当时，即时，在上单调递减，(对称轴在区间右侧)此时的最小值；②当时，在上单调递增，(对称轴在区间左侧)此时的最小值；③当时，函数在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)此时，－综上所述，得的表达式为：．【点拨】①利用待定系数法求函数解析式；②对于二次函数,对称轴是确定的，而函数的定义域不确定，则按照对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况进行讨论.【题型二】动轴定区间求在区间上的最大值和最小值．【解析】的对称轴为．①当时，如图①可知，在上递增，，．②当时，在上递减，在上递增，而，(此时最大值为和中较大者)当时，，如图，当时，，如图③，③当时，由图④可知，在上递减，，．综上所述，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，．【点拨】①题目中的函数的对称轴是不确定的，定义域是确定的，在求最小值时与“定轴动区间”的思考一样分对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况(即)进行讨论.②在求最大值时，当，还需要判断和时谁离对称轴更远些，才能确定、哪个是最大值，则还有分类;【题型三】逆向题型已知函数在区间上最大值为，求实数的值．【解析】若，(注意函数不一定是二次函数)则而在上的最大值,(2)若则的对称轴为，则的最大值必定是、、这三数之一，若，解得，此时而为最大值与为最大值矛盾，故此情况不成立．若，解得，此时而距右端点较远，最大值符合条件，.若，解得，当时，，则最大值不可能是；当时，此时最大值为，；综上所述或【点拨】本题没有按照分对称轴在定义域的“左、中、右”分离讨论，否则计算量会很大，还要考虑开口方向呢.思路是最大值必定是、、这三数之一，那逐一讨论求出值后再检验就行.巩固练习1 (★★) 已知函数．当时，求函数在区间上的值域；当时，求函数在区间上的最大值；求在上的最大值与最小值．【答案】(1) (2) ；(3)时, 最小值为，最大值为；时，最小值为，最大值为．时，最大值为，最小值为．【解析】(1)当时，，函数在－－上单调递减，在－上单调递增，－，，，，函数在区间上的值域是；(2)当时，，，函数在区间上的最大值；，函数在区间上的最大值；函数在区间上的最大值；(3)函数的对称轴为，①当，即时，函数在－上是增函数，当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为．②当，即时，当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．③当－，即－时，－a时，函数取得最小值为－；当－时，函数取得最大值为－．④当－，即－时，函数在－上是减函数，故当－时，函数取得最大值为－；当时，函数取得最小值为．2(★★) 已知函数．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)若在为单调函数，求的值；(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．【答案】(1)最大值是，最小值(2)或(3)或【解析】(1)时，；在－上的最大值是，最小值是－；(2)在为单调函数；区间－在f(x)对称轴－的一边，即－－，或－；或－；－(3)－，中必有一个最大值；若－－－；－－，符合－最大；若，；，符合最大；或．3(★★) 已知函数在上恒大于或等于，其中实数求实数的范围.【答案】【解析】若时，在上是减函数，即则条件成立，令(Ⅰ)当时，即则函数在上是增函数，=即，解得或,(Ⅱ)当即若解得与矛盾;(2)若时即解得与矛盾;综上述：．4(★★★)已知函数在区间上的最小值是,最大值是，求的值.【答案】【解析】解法1：讨论对称轴中与的位置关系。
二次函数在闭区间上的最值问题
第三讲 二次函数在闭区间上的最值问题 一．知识点介绍1.区间的概念设a 、b 是两个实数，且a<b ，规定：说明：① 对于[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]都称数a 和数b 为区间的端点，其中a 为左端点，b 为右端点，称b-a 为区间长度；②在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；③实数集R 也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x<b 的实数x 的全体分别表示为[a,+∞)、（a,+∞）、(-∞,b]、(-∞,b)。
我们把以上区间记为A ，若x 是A 中的一个数，就说x 属于A ，记作x ∈A 。
否则就说x 不属于A ，记作x ∉A 。
2. 二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在x ∈[α,β]上的最值： 当a>0时，有三种情况：从上述a>0的三种情况可得结论：（1）若[,]2baαβ-∈，则当2b x a =-时，2min4()24b ac b y f a a-=-=，它的最大值为()f α与()f β中较大的一个。
(2) 若[,]2baαβ-∉，则最大值为()f α与()f β中较大的一个，另一个即为最小值。
当a<0可作同样处理。
二．例题讲解：类型一“轴定区间定”例1：已知f(x)=x 2-x+2，当x 在以下区间内取值时，求f(x)的最大值与最小值。
(1) x ∈[-1,0] (2) x ∈[0,1] (3) x ∈[1,2]变式1：求y =的最值。
变式2：已知0≤x≤1，求y =的最值。
变式3：求函数y x =+的最小值。
类型二“轴变区间定”例2：求函数f(x)=2x 2-2ax+3在区间[-1,1]上的最小值。
培优补差资料四(二次函数的最值问题)(1)
培养补差资料四内容：闭区间上二次函数的最值问题（一） 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543m i n 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f当a <0时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910一、开口方向、对称轴、给定区间都确定例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数y x x x =-+-=--+224222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。
函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。
图1点评：先配方，结合函数图象和单调性，二次函数最值容易求出；由于二次函数最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，也可以将区间端点和顶点处的函数值计算出来，通过比较大小，计算出最值。
练习：已知函数2()2tan 1,[1,3],f x x x x θ=+-∈-，当6πθ=-时，求函数f(x)的最大值与最小值。
解析：6πθ=-时， 234()()33f x x =--，所以33x =时，min 4();13f x x =-=-时，max 23()3f x =二、对称轴位置、给定区间确定，开口方向不确定例2求2()21(0),[4,3]f x kx kx k x =++≠∈-的最值解析：,1)1(12)(22k x k kx kx x f -++=++=二次函数开口方向不确定，对称轴和给定的区间确定，对称轴方程为x=1-,当0>k 时, ,151)3()(,1)1()(max min k f x f k f x f +==-=-= 当0<k 时, ,151)3()(,1)1()(min max k f x f k f x f +==-=-=点评：当二次函数对称轴位置、给定区间固定，开口方向不确定时，只要讨论开口方向向上和向下两种情况。
二次函数在闭区间上的最值(详解)
二次函数在闭区间上的最值(详解)二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况。
设函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，求f(x)在x∈[m,n]上的最大值与最小值。
分析：将f(x)配方，得顶点为(-b/2a,f(-b/2a))，对称轴为x=-b/2a。
当a>0时，它的图像是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m,n]上f(x)的最值：1）当-b/2a∈[m,n]时，f(x)的最小值是f(-b/2a)，f(x)的最大值是max{f(m),f(n)}。
2）当-b/2a∉[m,n]时，若-b/2a<m，由f(x)在[m,n]上是增函数则f(x)的最小值是f(m)，最大值是max{f(-b/2a),f(n)}；若n<-b/2a，由f(x)在[m,n]上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是min{f(-b/2a),f(n)}。
当a<0时，可类比得结论。
二、例题分析归类：一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数y=-x^2+4x-2在区间[0,3]上的最大值是6，最小值是-2.练.已知函数f(x)=x^2+x+1(x≤3)，求函数f(x)的最值。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2.如果函数f(x)=-x^2+2x+t在区间[t+1,t+2]上，求f(x)的最值。
例3.已知f(x)=-x^2-4x+3，当x∈[t,t+1](t∈R)时，求f(x)的最值。
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题含参数的二次函数在闭区间上的最值问题导语：含参数的二次函数在闭区间上的最值问题是数学中常见的优化问题之一。
通过分析函数的性质和求导，我们可以找到函数在给定闭区间上的最大值或最小值。
本文将从简单到复杂的方式，深入探讨这个主题，并提供一些实际例子来帮助读者更好地理解。
引言: 含参数的二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。
在闭区间[a, b]上求函数的最值，可以通过以下步骤进行。
一、函数的性质分析1. 我们可以观察函数的开口方向。
如果a>0，函数开口向上，最值为最小值；如果a<0，函数开口向下，最值为最大值。
这个性质对于我们确定最值的区间非常重要。
2. 我们可以通过求导来确定函数的驻点。
驻点是指函数斜率为零的点，可能是最值点的候选。
对于f(x) = ax^2 + bx + c，求导得到f'(x) =2ax + b。
令f'(x) = 0，解得x = -b/2a。
这个x值就是函数的驻点，我们需要判断它是否在闭区间[a, b]上。
3. 我们可以通过比较函数在闭区间的端点值和驻点值来确定最值。
根据前述观察，如果a>0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较小的值作为最小值；如果a<0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较大的值作为最大值。
二、实际例子假设我们要找到函数f(x) = x^2 + bx + c在闭区间[1, 3]上的最小值。
1. 观察函数的开口方向。
由于a=1>0，说明函数开口向上，最值为最小值。
2. 求导。
对函数f(x)求导得f'(x) = 2x + b。
令f'(x) = 0，解得x = -b/2。
这个x值就是函数的驻点。
3. 比较端点值和驻点值。
在闭区间[1, 3]中，我们计算f(1)，f(3)和f(-b/2)的值。
二次函数最值知识点总结典型例题及习题
二次函数最值知识点总结典型例题及习题必修一二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，关键在于讨论函数的对称轴与区间的相对位置关系。
一般分为对称轴在区间左侧、中间和右侧三种情况。
例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，求其在闭区间[x1.x2]上的最大值和最小值。
分析：将函数f(x)配方，得到其顶点为(-b/2a。
c - b^2/4a)。
因此，对称轴为x = -b/2a。
当a。
0时，函数f(x)的图像为开口向上的抛物线。
结合数形结合可得在闭区间[x1.x2]上f(x)的最值：1）当对称轴在[x1.x2]之外时，f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者。
2）当对称轴在[x1.x2]之间时，若x1 ≤ -b/2a ≤ x2，则f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者；若x1.-b/2a或x2 < -b/2a，则f(x)在闭区间[x1.x2]上单调递增或单调递减，最小值为f(x1)，最大值为f(x2)。
当a < 0时，情况类似。
二、例题分析归类：一）正向型此类问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数和定义域区间都是给定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例如，对于函数y = -x^2 + 4x - 2在区间[0.3]上的最大值为2，最小值为-2.2.轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例如，对于函数f(x) = (x-1)^2 + 1，在区间[t。
t+1]上的最值为f(t)和f(t+1)中的较大者。
考点08 二次函数在闭区间上的最值(值域)问题的解法(解析版)
专题二函数考点8 二次函数在闭区间上的最值（值域）问题的解法【方法点拨】一、知识梳理二、二次函数在闭区间上的最值（值域）问题的解法【高考模拟】1．已知函数()bf x ax x=+，若存在两相异实数,m n 使()()f m f n c ==，且40a b c ++=，则||m n -的最小值为（ ）A ．22B 3C 2D 3【答案】B 【分析】由题设可得20(0)ax cx b x -+=≠，又()()f m f n c ==即,m n 为方程两个不等的实根，即有,c bm n mn a a+==，结合2||()4m n m n mn -=+-40a b c ++=得2||16()41b bm n a a-=⋅+⋅+.【解析】由题意知：当()bf x ax c x=+=有20(0)ax cx b x -+=≠， ∵()()f m f n c ==知：,m n 是20(0,0,0)ax cx b x a b -+=≠≠≠两个不等的实根.∴,c b m n mn a a +==，而2224||()4c ab m n m n mn a--=+-= ∵40a b c ++=，即4c b a =--，∴||m n -=b t a =，则||m n -==∴当18t =-时，||m n -故选：B 【点睛】关键点点睛：由已知条件将函数转化为一元二次方程的两个不同实根为,m n ，结合韦达定理以及||m n -=.2．已知函数2()f x ax bx c =++，满足(3)(3)f x f x +=-，且(4)(5)f f <，则不等式(1)(1) f x f -<的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(2,)-+∞C ．(4,0)-D ．(2,4)【答案】C 【分析】由题设知()f x 关于3x =对称且开口向上，根据二次函数的对称性(1)(1)f x f -<有115x <-<，求解集. 【解析】依题意，有二次函数关于3x =对称且开口向上，∴根据二次函数的对称性：若(1)(1)f x f -<，即有115x <-<， ∴40x -<<. 故选：C 【点睛】关键点点睛：由题设可得()f x 关于3x =对称且开口向上，根据对称性求函数不等式的解集即可. 3．已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A 【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈ 使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥， 利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可. 【解析】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥， 所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-， 所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解， 令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥， 则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=， 当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， ()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-， 所以1m ≥-，整数m 的最小值为1-， 故选：A. 【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.4．已知函数2()26f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[2,]b 上恰有两个零点，则实数b的最小值为（ ）A ．B ．4C ．2+D ．2+【答案】C 【分析】由函数在[2，]b 上恰好有2个零点可得，可得零点必在区间的端点，讨论零点为2和b 时，解得a 的值，将a 的值代入使得函数值f （b ）0=求出b 的值即可． 【解析】因为函数2())|2|6f x x ax =+--在[2，]b 上恰有两个零点，所以在2x =与x b =时恰好取到零点的最小值和最大值时，实数b 取最小值， 若2x =，()f x 的零点满足f （2）2|222|60a =+--=，解得2a =，或4a =-，当2a =，2()|22|6f x x x =+--，满足()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点，则f （b ）2|22|60b b =+--=，且2b >，解得2b =（舍)或4b =-（舍)，当4a =-时，2()|42|6f x x x =---且2b >，满足()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点， 则f （b ）2|42|60b b =---=，2b >，所以2|42|6b b --=，即2426b b --=-整理2440b b -+=，解得2b =（舍)，或2480b b --=解得：2b =-（舍)或2b =+综上所述，当2b =+()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点．故答案为：2+ 【点睛】本题考查函数的零点和方程根的关系，考查了计算能力，同时考查了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得64m n a a =，则19m n+的最小值为（ ） A ．145B ．114C ．83D ．103【答案】B【分析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得2nn a =．求得6m n +=，()19119191066m m n m n n n m n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，运用基本不等式，检验等号成立的条件，根据单调性即可得出结果. 【解析】解：22n n S a =-，可得11122a S a ==-，即12a =，2n ≥时，1122n n S a --=-，又22n n S a =-，相减可得1122n n n n n a S S a a =-=-﹣﹣，即12n n a a -=，{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．所以2nn a =．64m n a a =，即2264m n ⋅=，得6m n +=，所以()191191911010666m m n m n m n m n n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 181663=⨯=， 当且仅当9n m m n=时取等号，即为32m =，92n =．因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 因为19196m n y m m +=+=-，在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3(,)2+∞上单调递增，所以当2m =，4n =时，19m n+取得最小值为114．故选：B. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．6．已知函数()11,021,232x x x f x x -⎧-≤≤⎪=⎨⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，若存在实数123,,x x x ，当12303x x x ≤<<≤时，()()()123f x f x f x ==，则()2312x f x x x +的最小值是（ ）.A ．58B ．516C ．532D ．564【答案】C 【分析】作出分段函数的图像，结合图像确定123,,x x x 的范围及等量关系，再将所求式子转化为关于3x 的函数，利用函数的单调性求解最小值. 【解析】 如图：122x x += ，312112x x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭即312112x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()33112312111222x x x f x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+ 令311,2x t t -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭1142⎡⎫⎪⎢⎣⎭，,则()()2321212x f x t t x x =++ 当14t =时取得最小值532. 故选C【点睛】本题主要考查分段函数图像、函数零点、函数最小值的应用，解题中主要应用了数形结合的思想、换元思想、函数思想，属于中档题；解题的关键有两个：一是准确作出分段函数图像，利用已知条件确定出123,,x x x 范围以及122x x +=；二是将所求式子转化为关于3x 的函数，利用函数的性质求最小值.7．已知实数x 、y 满足{24 2y xx y y ≤+≤≥-,若存在x 、y 满足()()22211(0)x y r r ++-=>，则r 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．423D ．523【答案】B【解析】试题分析：可行域为直线,24,2y x x y y =+==-围成的三角形区域， (),x y 到点()1,1-的距离最小值为2，所以r 的最小值为2考点：线性规划问题8．若实数a 、b 、c +∈R ，且2256ab ac bc a +++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．51- B ．51+C ．252+D ．252-【答案】D 【解析】因为2256ab ac bc a +++=-，所以2ab a ac bc +++()()a a b c a b =+++()()a c a b =++()262551=-=- ，所以()()()()22a b c a c a b a c a b ++=+++≥++=252-，当且仅当()()a c a b +=+时，等号成立. 故选D.点睛：本题主要考查均值不等式的灵活应用，关键是对已知等式分解为()()()2=51a c a b ++-.9．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：由题意以为直径的圆与圆有公共点，则，解得．所以的最小值为1，故选D ．考点：两圆的位置关系．【名师点睛】1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 10．已知函数()1ln ax f x xe x ax -=--，21,a e ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，函数()f x 的最小值M ，则实数M 的最小值是（） A ．1- B ．1e-C ．0D ．31e-【答案】C 【分析】求得()()11'1ax f x ax e x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，先证明110ax e x --≤，可得当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，(),f x 单调递增，则()2min 1111ln f x f e a a a -⎛⎫⎛⎫=-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(2210,,1ln t e M t e t a -⎤-=∈=-+⎦，()()22ln 10,t h t t t e e=-+<≤可证明()h t 在(20,e ⎤⎦上单调递减，()()20h t h e ≥=，从而可得结果.【解析】 求得()()()1111111'11ax ax ax ax ax f x eaxe a e ax ax e x x x ----+⎛⎫=+--=+-=+- ⎪⎝⎭ 考察11ax y ex -=-是否有零点，令0y =， 可得1ln x a x -=，记()1ln xx xϕ-=，()2ln 2'x x xϕ-=,()x ϕ在()20,e 上递减，在()2,e +∞上递增， 所以()min x ϕ= ()2e ϕ 21e =-，即21ln 1x x e-≥-， 因为21a e ≤-,所以11ln 10ax x a e x x--≤⇔-≤， 故可知，当10,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()10,'0,ax f x f x +>≤单调递减， 当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()()10,'0,ax f x f x +<≥单调递增，从而由上知()2min 1111ln f x f e a a a -⎛⎫⎛⎫=-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设(()222210,,1ln 10t t e M t e t lnt t e a e -⎤-=∈=-+=-+<≤⎦， 记()()()22211ln 10,'0,t h t t t e h t e e t=-+<≤=-≤()h t 在(20,e ⎤⎦上单调递减，()()20h t h e ∴≥=，M ∴的最小值为0.故选C.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值，属于难题.求函数()f x 最值步骤：(1) 求导数()f x '；(2)判断函数的单调性；(3)若函数单调递增函数或单调递减，利用单调性求最值；(4) 如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（5）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 11．已知函数()1f x x a =+，若存在,42ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()()sin cos 0f f ϕϕ+=，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎝⎭B ．122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B【解析】 由题意，110sin cos aaφφ+=++ 有解∴sinφ＋a+cosφ＋a=0∴－（φ+4π） ∵φ∈（4π，2π）， ∴φ+4π∈（2π，34π），∴sin （φ+4π）∈（2，1）（φ+4π）∈（1∴-2a ∈（1∴a ∈12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭。
二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上的最值问题湖北省荆州中学 鄢先进二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题，频繁出现在函数试题中，很受命题者亲睐。
影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。
本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考。
类型一 定轴定区间例1．已知函数2()2f x x x =-，求()f x 的最小值. 解：22()2(1)1f x x x x =-=-- 由图像可知，当1x =时，min ()1f x =-变式1．已知函数2()2f x x x =-，[2,4]x ∈，求()f x 的最小值。
分析：由图像可知，函数)(x f 在[2,4]为增函数，min ()(2)0f x f ∴==变式2．已知函数2()2f x x x =-，[0,3]x ∈，求()f x 的最大值.分析：由图像可知函数()f x 在[0,1]上递减，在[1,3]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。
max ()(3)3f x f ∴==例2．已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[]-41，上的最大值为5，求实数a 的值。
解：将二次函数配方得f x a x a a ()()=++--24122，函数图像对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()---2412，a a ，图像开口方向由a 决定。
很明显，其顶点横坐标在区间[]-41，内。
x①若a <0，函数图像开口向下，如下图1所示。
当x =-2时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()-=--=24152，解得a =±210 故a a =-=+210210()舍去图1 图2②若a >0，函数图像开口向上，如上图2所示，当x =1时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()15152=+-=，解得a a ==-16或，故a a ==-16()舍去综上可知：函数f x ()在区间[]-41，上取得最大值5时，a a =-=2101或 点拨：求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图像，然后结合其图像研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。
高中数学二次函数在闭区间上的最值优秀课件
物联网工程 光电信息科学与工程
通信工程 医学信息工程 电气工程及其自动化
科类 理工类
理工类 理工类
理工类 理工类 理工类 理工类 理工类
学制 四年
四年 四年
四年 四年 四年 四年 四年
国家“985工程〞 、“211工程〞重 点建设高之一
20xx年9月，入选国家“双 一流〞〔世界一流大学和 一流学科〕A类建设高。
在数据分析、软件开发、保险金融、通讯工程、航空航 天、建筑设计、公司企划等都离不开函数的相关知识。
练习题
1.已 知 f(x)x22x2的 定 义 域 和 值 域 都 为 [1,b],则 b的 值 为 _____.
2.关于已知x的方程 sin2x-2sinx-a=0有实数解，
则a的取值范围是
3.若不等式 2xx2 a 对于任意的x∈[-2,3]恒
清水河、沙河、九里堤三个区， 占地4100余亩，20xx年10月截 止，设23个学院部、66个本科专 业；13个博士后流动站，16个一 级学科博士学位授权点、1个博 士专业学位授授权点，27个一级 学科硕士学位授权点、8个专硕 士业学位授权点；教职工3800余 人；全日制在生33000余人，其 中博士、硕士研究生12000余人
专题复习：二次函数在闭区间上的最值问题
xx三十 范绍超 20xx年11月
复习旧知，进入新课：二次函数的相关知识
典型例题：函数f(x)= x2–2x –3.假设x∈[ –2，0 ] 求函数f(x)的最值。
f(x)ma xf(2)5 f(x)mi nf(0)-3
y
y
O
–2
3
x
O2
–2
3
x
X=1
复合函数定义域、二次函数在闭区间上的最值
（对称轴固定，定义域
解析: 因为函数 f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称 轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值,
即要看区间[t,t+2]与对称轴 x=1的位
置,则从以下几个方面解决如图:
t
t+2
X=1
则由上图知解为: 当t+2≤1(t≤-1)时 f(x)max=f(t)=t2-2t-3 f(x)min=f(t+2)=t2+2t+3 当 t＜1 ＜ t+2 时 f(x)max=max｛f(t),f(t+2)｝ (-1 ＜t＜1) f(x)min=f(1)=-4 当t ≥1 时 f(x) max=f(t+2)=t2+2t+3 f(x) min=f(t)=t2-2t-3
复合函数定义域
例1. 设函数 f ( x )的定义域为 [ 0 ,1 ] ，则 （1）函数 f ( x 2 ) 的定义域为________ （2）函数 f ( x 2 ) 的定义域为__________
归纳:已知 f ( x ) 的定义域，求 f [ g ( x )] 的定义域
f [ g ( x )] 中 其解法是：若 f ( x )的定义域为 a x b ，则
（5）若x∈[t，t+2]时， 求函数f(x)的最值.
t
–1 0 1
t +2 2 3 4
x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值； 1 5 （3）若x∈[ , ]，求函数f(x)的最值； 2 2 y 1 3 （4）若x∈[ , ]，求 2 2 函数f(x)的最值；
二次函数在指定区间上的最值
值2023-11-04CATALOGUE 目录•二次函数的基本概念•二次函数的最值•二次函数在指定区间上的最值•实例分析•结论与展望01二次函数的基本概念一般形式系数次数a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项二次函数为二次函数，是一元函数的重要代表03二次函数的定义02 01$y = ax^{2} + bx + c$根据a的正负性，开口向上或向下二次函数的图形表示开口方向二次函数的极值点，也是函数图像的对称轴顶点根据a、b、c的数值确定函数的单调性，从而确定在某个区间的最值区间对称轴$x = -\frac{b}{2a}$，这是二次函数图像的对称轴顶点$(\frac{-b}{2a}, f(\frac{-b}{2a}))$，这是二次函数图像的极值点，也是最大值或最小值的点二次函数的对称轴和顶点02二次函数的最值对于函数f(x)，在定义域内，存在一个x值，使得f(x)大于f(x')，对于所有x'在定义域内，那么f(x)就被称为在定义域内的最大值。
最大值同样，在定义域内，存在一个x值，使得f(x)小于f(x')，对于所有x'在定义域内，那么f(x)就被称为在定义域内的最小值。
最小值最大值和最小值的概念对于二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），当a>0时，开口向上，有最小值，当a<0时，开口向下，有最大值。
对于求二次函数在指定区间上的最值，我们需要考虑函数的单调性以及区间的端点值和顶点值。
对于开口向上的二次函数（a>0），最小值出现在顶点处，计算公式为：x=-b/2a，带入原函数可得y的最小值。
对于开口向下的二次函数（a<0），最大值出现在顶点处，计算公式为：x=-b/2a，带入原函数可得y的最大值。
03二次函数在指定区间上的最值区间上的单调性找出极值点如果二次函数在某个区间内单调，那么在该区间内函数一定存在极值点。
比较极值和端点函数值极值点和端点处函数值的比较，可以找出函数在区间上的最值。
二次函数在闭区间上的最值问题例析
解 ： 区间［ ，。 上 ，（ ＝￡± 在 １ 。） 厂 ）
＞０恒
成立等价于 ＋ ＋ｎ＞ ２ ０恒成立 。设 Ｙ： ＋２ ＋ｏ ∈［ ， ）其 图象的对称轴 ＝一１ １ ） ， １ ， ∈［ ， 。 又 函数 ＇＝ ＋２ ， ＋口在 ∈［ ， ） １ 上单调递增 ，
下 面 就 所 给 区 间 和对 称 轴 的相 互 关 系进 行 讨 论 。 １所给区间确定 ， ． 对称轴位置也确定 若所给 区间是确定的 ， 其对称轴位 置也确定 ， 则 只要先考虑其对称轴 横坐标是否 在给定 区间 内， 当
英
…
㈩
对称轴横坐标在给定 区间 内时 ， 其一个 最值在 顶点 取得 ， 另一个最值 在与顶点横 坐标距离 较远 的端 点 取得 ； 当对称轴横 坐标不在给定区问时 ， 可利用函数 单 调性确定其最值 。 例 Ｉ 已知 Ｙ＝ —２ ｘ＋３ 当 ∈［ ，］ ， ， 一３ ２ 时 求函数 的最大值和最小值。 解： 由题 意知 ， 函数 的图象开 口向上 ， 函数 图 且 象的对称轴为 ：１ 一３２ ， ∈［ ，］ 当 ＝一３ ， （ 取得 最 大值 ， 大值 为 时 ｆ ） 最 厂 一３ ：１ ， ＝１ ｆ ） （ ） ８ 当 时，（ 取得最小值 ， 小值为 最 ， １ ＝２ （） 。
・
．
．
ｒ ： （） ３ ａ ｒ ，１＝ ＋ ， Ｉ ｉ Ｉ ｌ
当且仅 当 ） ：３ ， ＋ｎ＞ ０时 ， ） 恒成立 。 ＞０ 解之 ， 。的取值范 围是 （ ， 。 得 一３ ＊） ２ 所给区间变化 ， ． 对称轴位置确定 若所给 区间是变化的 ， 而对称 轴位置是确定 的， 则 对于区间变化时是否包含对称轴 的横坐标必须进 行分类讨论 ， 其分类标准为 ： 变化 区间中包含对称轴 的横坐标 ； 变化区间 中不包含对称轴 的横坐标 。 例 ３ 求 函数 厂 ： ＋２ （ ） ＋１ 区间 ［， ＋ ， 在 ｔｔ
二次函数在闭区间上最值
二次函数在闭区间上的最值一．知识点精讲1 二次函数的三种形式（1）一般式 c bx ax x f ++=2)(； （2）交点式))(()(21x x x x a x f --=； （3）顶点式k h x a x f +-=2)()( 2．二次函数的基本性质（1）开口方向 0>a 时，开口向上， 0<a 时，开口向上，（2）对称轴方程ab x 2-= （3）02=++c bx ax 根的判别式 ac b 42-=∆（4）02=++c bx ax 的求根公式 aac b b x 2422,1-±-=（5）02=++c bx ax 两根和，两根积 a b x x -=+21 ac x x =21 3 解决二次函数问题的常用方法——数形结合法二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。
结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。
因为二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 在区间]2,(a b --∞和区间),2[+∞-ab上分别单调，所以函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(x f 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。
4 二次函数c bx ax x f ++=2)(在区间［p ，q ］上的值域求法方法：讨论或分析对称轴和区间的位置关系。
由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。
二 典型例题1 求函数22)(2+-=x x x f 在]1,[+m m 上的最小值 解析：二次函数的对称轴为1=x ，（1）当11<+m 时，即0<m ，12m in +=m y（2）当1>m 时，1)1(2m in +-=m y （3）当10≤≤m 时，1m in =y变式1：求函数22)(2+-=x x x f 在]1,[+m m 上的最大值 解析：（1）当21≤m 时，1)1(2m ax +-=m y （2）当21>m 时，12max +=m y变式2 求函数22)(2+-=ax x x f 在]1,1[-上的最小值 解析：二次函数的对称轴为a x =， （1）当1-<a 时， 12m in +=a y （2）当1>a 时，1)1(2m in +-=a y （3）当10≤≤a 时，1m in =y变式3：求函数22)(2+-=ax x x f 在]1,1[-上的最大值 解析：（1）当0≤a 时， a y 24m ax -=（2）当0>a 时，a y 24m ax +=二次函数是个筐，什么东西都能往里装变式4求124)(1+-=+x xx f ，]2,1[-∈x 的值域解析：xt 2=]4,21[∈t ，22)1(12)(-=+-=t t t t g ，当1=t 时，即0=x ，0)(m in =t g 当4=t 时，即2=x ，9)(m ax =t g ，∴]9,0[)(∈t g 即]9,0[∈y变式5 求1log log )(222++=x x x f ]2,81(∈x 的值域 注意：22)(log log x x a a =解析：x t 2log =，]1,3(-∈t ，43)21(1)(22++=++=t t t t g ，当21-=t 时，即22=x 时，43)(min =t g 当3-=t 时，即81=x ，7)(m ax =t g ，∴]7,43()(∈t g 即]9,0[∈y 当4=t 时，即2=x ，9)(m ax =t g ，∴]9,0[)(∈t g 即]7,43[∈y变式6 （2009福建理）函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。
二次函数在闭区间上的最值学生版
一、 题型：求最值，含参求最值，已知最值求参数
（一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；
1. 轴定区间定
例1. 函数y x x =-+-2
42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习1. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
练习2. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x ax ()=++23的最值。
2、轴动区间定
例2. 求2
f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。
练. 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。
3、轴定区间动
例3. 如果函数f x x ()()=-+112
定义在区间[]R t t t x ∈+∈,1，上，求f x ()的最小值。
、
练. 已知()322
+-=x x x f ，当[]R t t t x ∈+∈,1，时，求f x ()的最大值．
（二）、逆向型：是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
例4. 已知函数2
()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。
例5.已知函数2
()2
x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。
二次函数在闭区间上的最值78652
例1、已知函数f(x)= x2–2x –3. （1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值；
y
–2 0 1
3
x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. （1）若x∈[ –2，0 ]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
22
y
（4）若x∈[
1
,
3
]，求
22
函数f(x)的最值；
（5）若 x∈[t，t+2]时， 求函数f(x)的最值.
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
者是最大值，较小者是最小值.
练习1已知x2+2x+a≥4在x∈ [0，2]上
恒成立，求a的值。
y
解:令f(x)=x2+2x+a
它的对称轴为x=－1， ∴f(x)在[0，2]上单 调递增，
∴f(x)的最小值为 f(0)=a，即a≥ 4
-1 O 2 x
练习2已知函数f(x)ax22ax1在区间[ 3, 2 ]
求函数f(x)的最值.
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
22
（4）若x∈[
定轴动区间
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感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
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2
k k+2
15
10
5
5
即-1k0时 , 2
4
f(x)m inf(1)4
6
8
f(x )m a xf(k 2 ) k 2 2 k 10 3
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10 10
8函数y=x102-2x-3在x∈[k,k+28 ]时的最值8
8
6
6
6
4
2 x=1
k+2
k 10
5
2
6
4
2 x=1
15 5
k 10
10
情感目标
激发学生学习函数的兴趣
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3
教学重点
二次函数的最值求法
教学难点
二次函数在闭区间上的最值求法
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4
例：已知函数f(x)= x2 –2x – 3 求函数在下列区间上的最值。
（1） [–2，0]
（3）
[
1 2
,
5 2
]
（5） [0，2]
（2） [ 2，4 ]
(4)
[
1 2
,
x=0时函数有最小值f(0)=-3
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例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. （2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
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二次函数的最值的教学设计一、教学内容分析二次函数在高考中占有重要的地位，而二次函数在闭区间上的最值在各个方面都有重要的应用，主要考察我们分类讨论和数形结合思想。
这节课我们主要学会应用二次函数的图像和性质求二次函数在闭区间上的最值。
影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
二、教学目标设计知识与技能1、掌握运用分类讨论和数形结合思想求二次函数的最值2、会利用转化化规思想求解含参数不等式中参数的范围。
过程与方法1、经历从轴定区间动到轴动区间定的类比推理，培养学生类比推理能力。
2、结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解一元二次函数的最值问题，提高学生的综合能力情态与价值1、有机地渗透数形结合、化归等数学思想方法，培养了学生良好的思维习惯。
2、了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。
三、教学重点与难点重点：运用分类讨论和数形结合思想求二次函数的最值难点：求解含参数的一元二次函数不等式中参数的范围四、教学方法：类比推理法，讲授发现法五、教学过程（典型例题分析）（1）轴定，区间定方法：可以对其二次函数配方处理或者是结合二次函数图形求解，例1若实数y x ,满足06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是 .解：由2262y x x =-得22222262026228x x x y x x x x x x x ⎧-≥⎪⎨++=+-+=-⎪⎩ 问题转化为求2()8f x x x =-，当[0,3]x ∈中的最大值，易的max ()(3)15f x f ==.设计意图：利用消元思想将问题简化，但是其中必须注意的是消元之后的自变量的取值范围，进而转化为二次函数在闭区间上的最值。
例2 设21,x x 是方程0)1295(4222=--+-m m mx x 的两实根，求2221x x +的最值. 分析：二次方程有实根，则必须△0≥,由此先解出m 的范围. 222121212()2x x x x x x +=+-，利用韦达定理将2212x x +表示成关于m 的二次函数. 解：由韦达定理知222221245912()2912()22m m m x x m m f m --+=-⋅=-++ 由0)1295(4222=--+-m m mx x 有两实根可得它的0∆≥即222(4)42(5912)2472960m m m m m ∆=--⨯⨯--=-++≥，解得14m -≤≤问题转化为求2()912f m m m =-++，当[1,]m m∈-时的最值，易的max ()(4)32f m f ==，min ()(1)2f m f =-=.设计意图:结合韦达定理转化成为有关m 的二次函数，但是其中的隐含条件：二次方程有实根，从而确定m 的取值范围。
（2）轴定，区间变方法：结合二次函数的图象，讨论对称轴与区间的相对位置关系： ① 轴在区间右边 ②轴在区间左边 ③轴在区间内例3 已知2()22f x x x =-+在[,1]x t t ∈+上的最大、最小值分别为()()M t m t 、，求()()M t m t 、的解析式.活动：师生一起合作求解函数的最小值()m t 的表达式，并作小结，再让学生板书求解函数的最大值()M t 的表达式，和下面例题4的最小值)(t g 的表达式 设计意图:（1）通过讲解让学生体会解题过程中注意分哪几类讨论，做到不遗漏不重复，同时怎样结合图像求解函数的最值，并且引导学生注意解题的规范性（2）学生求解例3函数中最大值的表达式中讨论轴在区间内的可能遇到阻碍，讲解过程中启发学生结合函数的图像和性质：如果我们俩个自变量的值到对称轴的距离相等，则我们的函数值也相等，离对称轴的距离越远，我们的函数值越大的性质来求解函数的最大值的表达式（3）根据物理中动、静（定）的相对原理，那么例题4的轴变区间定的题型可以类比成轴定区间动的这种题型求解，培养学生的发散思维和类比能力 解：对称轴为1x =，分4种情况讨论（另解：最大值可以分2种情况，最小值可以分3种情况）：（1）11t +≤，即0t ≤时，22()()-22()(1)1M t f t t t m t f t t ==+=+=+、（2）1t ≥时，22()(1)1()()-22M t f t t m t f t t t =+=+==+、（3）011-1-1t t t <<<+，且，即112t <<时， 2()(1)1()(1)1M t f t t m t f =+=+==、（4）011-1-1t t t <<≥+，且，即112t <≤时， 2()()22()(1)1M t f t t t m t f ==-+==、 综上，22122()2()11()2t t t M t t t ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，221(0)()1(01)22(1)t t m t t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩（3）轴变，区间定方法: 与情形2一样.例4已知22)(2+-=tx x x f 在]1,0[∈x 上的最小值为)(t g ，求)(t g 的解析式. 解：对称轴x t =，分三种情况讨论（1）0t ≤时，()(0)0g t f ==（2）01t <≤时，2()()2g t f t t ==-（3）1t <时，()(1)32g t f t ==-综上，22(0)()2(01)32(1)t g t t t t t ≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩例5 设3)(2++=ax x x f ，当]2,2[-∈x 时恒有a x f ≥)(，求a 的范围.变式一：若将a x f ≥)(改为a x f ≤)(时，其它条件不变，求a 的范围变式二：若将a x f ≥)(改为a x f >)(时，其它条件不变，求a 的范围变式三：若将]2,2[-∈x 改为)2,2(-∈x 时，其它条件不变，求a 的范围设计意图：通过讲解例题5和变式一，让学生体会解不等式中的一种转化思想并一起总结归纳：若a x f a x f a x f a x f ≤⇔≤≥⇔≥max min )()(;)()(，通过变式二、三和原题的思考对比让学生体会相似题型的解法的相同点和不同点分析：a x f ≥)(恒成立a x f ≥⇔min )(解：对称轴为2a x =-，分三种情况讨论 （1）max 4227(2)273a a a f f a a >⎧⎧-<-⎪⎪⇒⇒∅⎨⎨≤⎪⎪=-=-+≥⎩⎩ 222min 2244442(2)42624120()3242a a a a a a a a a a f f a ⎧-≤-≤⎪-≤≤-≤≤⎧⎧⎪⇒⇒⇒-≤≤⎨⎨⎨-≤≤+-≤⎩⎩⎪=-=-+≥⎪⎩ （3）min 427427(2)27a a a a f f a a⎧<-->⎧⎪⇒⇒-≤<-⎨⎨≥-⎩⎪==+≥⎩ 综上，72a -≤≤，即a 的值域为[7,2]a ∈-（4）轴变，区间变例6已知)0)((42>-=a a x a y ，求22)3(y x u +-=的最小值。
分析：将)(42a x a y -=代入u 中，得)[812)]23([)(4)3(222∞+∈-+--=-+-=，，a x a a a x a x a x u分①a a ≥-23、②a a <-23讨论解：将)(42a x a y -=代入u 中，得222(3)4()[(32)]128u x a x a x a a a =-+-=--+-由24()0y a x a =-≥得x a ≥22[(32)]128u x a a a =--+-的对称轴为32x a =-，分两种情况①320a a -≥>时，即01a <≤时，2min (32)812f f a a a =-=-+②a a <-23时，即1a >时，2min ()69f f a a a ==-+综上，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=)1()3()10(812)(22min a a a a a x f （5）二次函数的逆向最值问题例7已知二次函数1)12()(2+-+=x a ax x f 在区间]223[，-上的最大值为3，求实数a 的值。
分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分0>a 与0<a 两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。
若注意到)(x f 的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。
解：（1）令3)212(=--aa f ，得21-=a 此时抛物线开口向下，对称轴为2-=x ，且]223[2，-∉- 故21-=a 不合题意； （2）令3)2(=f ，得21=a ，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故21=a 符合题意； （3）若3)23(=-f ，得32-=a ，经检验，符合题意。
综上，21=a 或32-=a 评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。
六、课后小结：本教学设计几乎涵盖了二次函数在闭区间上的最值中出现的所有可能性，不论是正向型还是逆向型，设计中主要体现在它们总体解题思路是根据对称轴和区间的三种位置关系：（1）轴在区间右边；（2）轴在区间左边；（3）轴在区间内，根据这三种位置关系一一分类讨论并且结合二次函数图像及性质求解。
本教学设计最主要还是向同学灌输了分类讨论、数形结合、转化化规三种重要的数学思想方法，让学生的数学思维得到不断延伸，提升他们的综合能力。
我感觉课堂给他们的时间可能比较少，课堂内容比较大，需要课后不断巩固。