二次函数的区间最值问题知识讲解
求二次函数在某一区间上的最值
求二次函数在某一区间上的最值求二次函数在某一区间上的最值问题，是函数中的一个重要问题。
下面我就分别按以下的三种类型来详细讨论这类问题。
类型一：定轴定区间问题例1、已知函数()22[1,)x x a f x x x++=∈+∞，若对于任意的[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立， 求实数a 的取值范围。
略解：因为1x ≥时，()0f x >恒成立，所以220x x a ++>恒成立，即函数22y x x a =++ 在1x ≥时恒成立，又min 3y a =+，所以30a +>，即3a >-例2、若函数221(0,1)x x y a a a a =+->≠在区间[]1,1-的最大值为14，求a 的值 解一：设x t a =，即0t > ,那么()()222112f t t t t =+-=+- 当1a >时，1a t a -≤≤，此时，()2max 1214y a =+-= 3a ∴=当01a <<时，1a t a -≤≤，此时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 13a ∴= ∴3a =或13a = 解二：函数()212x y a =+- (0,1)a a >≠在区间[]1,1-上y 随x a 的增大而增大，当1a >时，()max xa a =，故()2max 1214y a =+-= 3a ∴= 当01a <<时，()max 1xa a = ，故 2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 13a ∴= 综上3a =或13a = 类型二：动轴定区间问题例3、若函数23y x ax =++在区间[]1,1-的最小值为－3，求a 的值略解：原函数即为：22324a a y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭ ① 若轴2a x =-在区间内，则11232a a f ⎧-≤-≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，即 222334a a -≤≤⎧⎪⎨-=-⎪⎩ ∴a ∈∅ ② 若轴2a x =-在区间右侧，则()1213a f ⎧->⎪⎨⎪=-⎩，即243a a <-⎧⎨+=-⎩ ∴7a =- ③ 若轴2a x =-在区间左侧，则()1213a f ⎧-<-⎪⎨⎪-=-⎩ ，即233a a >⎧⎨-=-⎩ ∴7a = 所以a 7=±类型三： 定轴动区间问题例4、若函数222y x x =-+在区间[],1m m +的最大值为5，求m 的值略解：原函数即为：()2()11f x x =-+① 若轴1x =在区间内左侧，即()112111112m m m m m ≤≤+⎧⎪+⎨⎛⎫-≤+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或，这时()15f m += 由上可解得：1122m m ⎧≤≤⎪⎨⎪=±⎩，∴m ∈∅② 若轴1x =在区间内右侧，即()112111112m m m m m ≤≤+⎧⎪+⎨⎛⎫-≥+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或，这时()5f m = 由上可解得：10213m m m ⎧≤≤⎪⎨⎪=-=⎩或，∴m ∈∅ ③ 若轴1x =在区间左侧，即1m >，这时()15f m +=，由上可解得2m = ④ 若轴1x =在区间右侧，即11m +<，这时()5f m =，由上可解得1m =- 综上可知：12m m =-=或练习：是否存在实数a ,使函数()22f x x ax a =-+的定义域为[]11,-，值域为[]22,-；若存在，求出实数a的值，若不存在，说明理由. 答案：1a。
二次函数在区间上的最值问题
值域为 , 4
如 : y x 2 2 x 3 ( x 1) 2 4
另外也可以从函数的图象上去理解。
2 1 0 -1
2 1 1 2 3
2
b 4ac b2 A( , ) 2a 4a
-1
b 4ac b A( , ) 2a 4a
-1
0 -1
1
2
3
二、定义域不为R的二次函数的值域
a0
时，
1
ymax f (1) a 4 ymin f (0) 3
图（2）
例3、求
x
f ( x) x2 ax 3 在
a 2
0 x 1
上的最值。
3、由图（3）得： 当 0
a 2 1 ，即1 a 0 时， 2
0
1 2
1
ymax f (1) a 4 ymin
2 x 2 x 3 的值域 例1、 当x∈(2,3] 时, 求函数 y
从图象上观察得到当x (2, 3] 时y [0, 3
4
y
(1,4)
3
练习
在下列条件下求函数 y x 2 x 3的值域
2
2
1
(1) x [ 1, 4)
x
-1
1
2
3
4
答(1) y [2,11)
(1)求g a 的函数表达式；（2）求g a 的最大值。
例2、①已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0≤x≤1 时有最大值2，求a的值。 ②已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函 数的最大值函数g（t）和最小值函数h（t） 并求h（t）的最小值。
二次函数在指定区间上的最值
2. 如果函数开口向下（a<0）， 且对称轴在区间的左侧，函数在 区间的最大值为顶点处取值，最 小值为右侧端点取值。
总结词：对于二次函数在半开半 闭区间上的最值求解，需要考虑 函数的开口方向、对称轴以及区 间端点位置。
次数
二次函数为二次函数，是 一元函数的重要代表
二次函数的图形表示
开口方向
根据a的正负性，开口向上或 向下
顶点
二次函数的极值点，也是函数图 像的对称轴
区间
根据a、b、c的数值确定函数的单 调性，从而确定在某个区间的最值
二次函数的对称轴和顶点
对称轴
$x = -\frac{b}{2a}$，这是二次函数图像的对称轴
1. 如果函数开口向上（a>0）， 且对称轴在区间的左侧，函数在 区间的最小值为顶点处取值，最 大值为右侧端点取值。
3. 对于对称轴不在区间内的函数 ，其最值情况与上述情况类似， 只需将对称轴与区间的关系代入 求解即可。
实例三：二次函数在多个区间上的最值求解
总结词：对于二次函 数在多个区间上的最 值求解，需要分别考 虑每个区间的开口方 向、对称轴以及区间 端点位置。
详细描述
1. 对于每个区间，需 要分别判断函数的开 口方向和对称轴位置 ，确定最值点。
2. 对于多个区间的情 况，需要分别求解每 个区间的最值，并考 虑区间的端点位置进 行取舍。
3. 在求解多个区间最 值时，需要注意每个 区间之间的端点取舍 情况，确保得到正确 的最值。
05
结论与展望
二次函数在指定区间上最值的求解方法总结
二次函数在闭区间上的最值问题
第三讲 二次函数在闭区间上的最值问题 一．知识点介绍1.区间的概念设a 、b 是两个实数，且a<b ，规定：说明：① 对于[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]都称数a 和数b 为区间的端点，其中a 为左端点，b 为右端点，称b-a 为区间长度；②在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；③实数集R 也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x<b 的实数x 的全体分别表示为[a,+∞)、（a,+∞）、(-∞,b]、(-∞,b)。
我们把以上区间记为A ，若x 是A 中的一个数，就说x 属于A ，记作x ∈A 。
否则就说x 不属于A ，记作x ∉A 。
2. 二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在x ∈[α,β]上的最值： 当a>0时，有三种情况：从上述a>0的三种情况可得结论：（1）若[,]2baαβ-∈，则当2b x a =-时，2min4()24b ac b y f a a-=-=，它的最大值为()f α与()f β中较大的一个。
(2) 若[,]2baαβ-∉，则最大值为()f α与()f β中较大的一个，另一个即为最小值。
当a<0可作同样处理。
二．例题讲解：类型一“轴定区间定”例1：已知f(x)=x 2-x+2，当x 在以下区间内取值时，求f(x)的最大值与最小值。
(1) x ∈[-1,0] (2) x ∈[0,1] (3) x ∈[1,2]变式1：求y =的最值。
变式2：已知0≤x≤1，求y =的最值。
变式3：求函数y x =+的最小值。
类型二“轴变区间定”例2：求函数f(x)=2x 2-2ax+3在区间[-1,1]上的最小值。
二次函数在闭区间上的最值(详解)
二次函数在闭区间上的最值(详解)二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况。
设函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，求f(x)在x∈[m,n]上的最大值与最小值。
分析：将f(x)配方，得顶点为(-b/2a,f(-b/2a))，对称轴为x=-b/2a。
当a>0时，它的图像是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m,n]上f(x)的最值：1）当-b/2a∈[m,n]时，f(x)的最小值是f(-b/2a)，f(x)的最大值是max{f(m),f(n)}。
2）当-b/2a∉[m,n]时，若-b/2a<m，由f(x)在[m,n]上是增函数则f(x)的最小值是f(m)，最大值是max{f(-b/2a),f(n)}；若n<-b/2a，由f(x)在[m,n]上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是min{f(-b/2a),f(n)}。
当a<0时，可类比得结论。
二、例题分析归类：一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数y=-x^2+4x-2在区间[0,3]上的最大值是6，最小值是-2.练.已知函数f(x)=x^2+x+1(x≤3)，求函数f(x)的最值。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2.如果函数f(x)=-x^2+2x+t在区间[t+1,t+2]上，求f(x)的最值。
例3.已知f(x)=-x^2-4x+3，当x∈[t,t+1](t∈R)时，求f(x)的最值。
二次函数在闭区间上的最值问题
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0 ，200]上的最大值100；
当 200<t≤300时，配方整理得
1 t 3502 100 ht 200
所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5 综上，由100>87.5可知， h(t)在区间[0，300]上可以取最大值 100，此时，t=50 ，即从二月一日开始的第50天时，上市的西 红柿纯收益最大。
∴ 当1＜a时， f(x)min=f(a)=a2-2a+3 f(x)max=f(3)=6
∴ 当-1＜a≦1时， f(x)min=f(1)=2 f(x)max=f(3)=6 ∴ 当a≦-1时， f(x)min=f(1)=2 f(x)max=f(a)=a2-2a+3
3 2 1 -2
1 2 3
1 2 1 175 t t , 0 t 200 , 200 2 2 ht 1 t 2 7 t 1025 , 200 t 300 . 2 2 200
当0≤t≤200时，配方整理得
1 t 502 100 ht 200
（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
（ II ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西 红柿收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）
解：（I）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
b 2a
（2）二次函数y=ax² +bx+c (a<0)
b 4ac b 2 顶点坐标 , 2 a 4 a 在（-∞， 2ba )上，单调递增；在（ 2ba ，+ ∞）上，单调递减。
二次函数区间最值问题解析
二次函数区间及最值问题解析对于二次函数2(0)y ax bx c a =++>在m x n ≤≤上的最值问题（其中a 、b 、c 、m 和n 均为定值，max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值）：（1）若自变量x 为全体实数，如图①，函数在2b x a =-时，取到最小值，无最大值．（2）若2b n a<-，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =．（3）若2b m a>-，如图③，当，x m =min y y =；当x n =，max y y =．（4）若2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--，如图④，当2b x a =-，min y y =；当x n =，max y y =．【题型1二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】已知二次函数y ＝﹣x 2+2x +4，关于该函数在﹣2≤x ≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A ．有最大值4，有最小值0B ．有最大值0，有最小值﹣4C ．有最大值4，有最小值﹣4D ．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x ≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+2x +4＝﹣（x ﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x ＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x ≤2时，x ＝1时取得最大值5，当x ＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D ．【变式1-1】当﹣1≤x ≤3时，二次函数y ＝x 2﹣3x +m 最大值为5，则m ＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m 的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y ＝x 2﹣3x +m ＝（x −32）2+m −94，∴该函数开口向上，对称轴为x =32，∵当﹣1≤x ≤3时，二次函数y ＝x 2﹣3x +m 最大值为5，∴当x ＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m ，解得m ＝1，故答案为：1．【变式1-2】已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m和M的值，从而求出M﹣m的值．【解答过程】解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．3B．﹣3或38C．3或−38D．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x＝﹣1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．【解答过程】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，∴对称轴为直线x＝﹣1，①m＞0，抛物线开口向上，x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，解得：m＝3；②m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，解得：m=−38；故选：C．【变式2-1】已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（）A．1B．34C．−35D．−14【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的增大而增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a的值．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，∴该函数的对称轴是直线x＝2，又∵当x≤1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4，解得a=−14，故选：D．【变式2-2】已知二次函数y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y的最小值为15，则a的值为（）A．1或﹣2B．−2或2C．﹣2D．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a＜0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最小值为15，可得x＝1时，y＝15，即可求出a．【解答过程】解：∵二次函数y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x=−42×2=−1，∵当x≥2时，y随x的增大而减小，∵﹣2≤x≤1时，y的最小值为15，∴x＝1时，y＝2a+4a+6a2+3＝15，∴6a2+6a﹣12＝0，∴a2+a﹣2＝0，∴a＝1（不合题意舍去）或a＝﹣2．故选：C．【变式2-3】已知二次函数y=12（m﹣1）x2+（n﹣6）x+1（m≥0，n≥0），当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则mn的最大值为（）A．4B．6C．8D．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m，n的取值范围，将mn转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y=12（m﹣1）x2+（n﹣6）x+1的对称轴为直线x=6−K1，①当m＞1时，抛物线开口向上，∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴6−K1≥2，即2m+n≤8．解得n≤8﹣2m，∴mn≤m（8﹣2m），m（8﹣2m）＝﹣2（m﹣2）2+8，∴mn≤8．②当0≤m＜1时，抛物线开口向下，∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴6−K1≤1，即m+n≤7，解得m≤7﹣n，∴mn≤n（7﹣n），n（7﹣n）＝﹣（n−72）2+494,∴mn≤494，∵0≤m＜1，∴此情况不存在．综上所述，mn最大值为8．【题型3二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−14，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，【变式3-3】已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．23B．−72C．3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得=−3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=3，∴+=3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴=−32（舍），故选：C．【题型四解答题中区间求最值】1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（–3，5），B（0，5）．抛物线y=-x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（-3，0）两点，交y轴于点E．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)当-4≤x ≤0时，求y 的最大值与最小值的积；(3)连接AB ，若二次函数y =-x 2+bx +c 的图象向上平移m (m >0)个单位时，与线段AB 有一个公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．【答案】(1)223y x x =--+，(1,4)-(2)20-(3)1m =，或25m < 【分析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解．（2）根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合x 的取值范围求解．（3）结合图象，分别求出抛物线顶点在AB 上，经过点A ，B 时m 的值，进而求解．（1）解：将(1,0)C ，(3,0)D -代入2y x bx c=-++得01093b c b c=-++⎧⎨=--+⎩，解得23=-⎧⎨=⎩b c ，2223(1)4y x x x ∴=--+=-++，∴抛物线顶点坐标为(1,4)-．（2）解： 抛物线开口向下，顶点坐标为(1,4)-，∴函数最大值为4y =，对称轴为直线=1x -，1(4)0(1)--->-- ，4x ∴=-时，16835y =-++=-为函数最小值，∴y 的最大值与最小值的积为4(5)20⨯-=-．（3）解：二次函数2y x bx c =-++的图象向上平移m 个单位后解析式为223y x x m =--++，抛物线顶点坐标为(1,4)m -+，当顶点落在线段AB 上时，45m +=，解得1m =，当抛物线向上移动，经过点(0,5)B 时，53m =+，解得2m =，当抛物线经过点(3,5)A -时，5963m =-+++，解得5m =，∴当1m =，或25m < 时，函数图象与线段AB 有一个公共点．【我思故我在】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律．2．已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线1x =，图象与x 轴交于点()1,0-．（1）求抛物线的函数表达式．（2）若把抛物线的图象沿x 轴平移m 个单位，在自变量x 的值满足23x ≤≤的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为-2，求m 的值．【我思故我在】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论．3．如图，抛物线22y x x c =-++与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点,A B ，且,OA OB =点G 为抛物线的顶点．()1求抛物线的解析式及点G 的坐标；()2点,M N 为抛物线上两点(点M 在点N 的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q 为抛物线上点,M N 之间(含点,M N )的一个动点，求点Q 的纵坐标Q y 的取值范围．【答案】（1）223y x x =-++，G （1,4）；（2）﹣21≤Q y ≤4.【分析】（1）根据,OA OB =用c 表示出点A 的坐标，把A 的坐标代入函数解析式，得到一个关于c 的一元二次方程，解出c 的值，从而求出函数解析式，求出顶点G 的坐标．（2）根据函数解析式求出函数图像对称轴，根据点M,N 到对称轴的距离，判断出M,N 的横坐标，进一步得出M,N 的纵坐标，求出M,N 点的坐标后可确定Q y 的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线22y x x c =-++与y 轴正半轴分别交于点B ，∴B 点坐标为（c ，0），∵抛物线22y x x c =-++经过点A ，∴﹣c 2+2c+c=0，解得c 1=0（舍去），c 2=3，∴抛物线的解析式为223y x x =-++∵223y x x =-++=﹣（x －1）2+4，∴抛物线顶点G 坐标为（1,4）．（2）抛物线223y x x =-++的对称轴为直线x=1，∵点M,N 到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M 的横坐标为﹣2或4，点N 的横坐标为﹣4或6，点M 的纵坐标为﹣5，点N 的纵坐标为﹣21，又∵点M在点N的左侧，∴当M坐标为（﹣2，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），则﹣21≤Q y≤4当当M坐标为（4，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），则﹣21≤Q y≤﹣5，∴Q y的取值范围为﹣21≤Q y≤4．【我思故我在】本题考查的是二次函数的基本的图像与性质，涉及到的知识点有二次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求函数解析式，对称轴性质等，解题关键在于利用数形结合思想正确分析题意，进行计算．4．如图，已知二次函数y＝ax2＋3x＋1的图像经过点A（－1，－3）．2(1)求a的值和图像的顶点坐标．(2)若横坐标为m的点B在该二次函数的图像上．①当点B向右平移4个单位长度后所得点B′也落在该二次函数图像上时，求m的值；②若点B到x轴的距离不大于3，请根据图像直接写出m的取值范围．5．如图，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()1,0A -，点()3,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点Q ，使ACQ 的周长最小，求点Q 的坐标；(3)P 是第四象限内抛物线上的动点，求BPC △面积S 的最大值及此时P 点的坐标．⊥轴于点（3）解：过点P作PD x【我思故我在】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键．6．如图，抛物线2y x mx =+与直线y x b =-+交于点A (2，0)和点B ．（1）求m 和b 的值；（2）求点B 的坐标，并结合图象写出不等式2x mx x b +>-+的解集；（3）点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3个单位长度得到点N ，若线段MN 与抛物线只有一个公共点，直接写出点M 的横坐标M x 的取值范围．【答案】（1）2m =-，2b =；（2）不等式2x mx +>x b -+的解集为1x <-或2x >；（3）点M 的横坐标M x 的取值范围是：12M x -≤<或3M x =．【分析】（1）把A (2，0)分别代入两个解析式，即可求得m 和b 的值；（2）解方程222x x x -=-+求得点B 的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．【详解】解：（1）∵点A (2，0)同时在2y x mx =+与y x b =-+上，∴2022m =+，02b =-+，解得：2m =-，2b =；（2）由（1）得抛物线的解析式为22y x x =-，直线的解析式为2y x =-+，解方程222x x x -=-+，得：1221x x ==-，．∴点B 的横坐标为1-，纵坐标为23y x =-+=，∴点B 的坐标为(-1，3)，观察图形知，当1x <-或2x >时，抛物线在直线的上方，∴不等式2x mx +>x b -+的解集为1x <-或2x >；（3）如图，设A 、B 向左移3个单位得到A 1、B 1，∵点A (2，0)，点B (-1，3)，∴点A 1(-1，0)，点B 1(-4，3)，∴A A 1=BB 1=3，且A A 1∥BB 1，即MN 为A A 1、BB 1相互平行的线段，对于抛物线()22211y x x x =-=--，∴顶点为(1，-1)，如图，当点M 在线段AB 上时，线段MN 与抛物线22y x x =-只有一个公共点，此时12M x -≤<，当线段MN 经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN 与抛物线22y x x =-也只有一个公共点，此时点M 1的纵坐标为-1，则12M x -=-+，解得3M x =，综上，点M 的横坐标M x 的取值范围是：12M x -≤<或3M x =．．【我思故我在】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．7．如图，直线y =x −5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y =ax 2−4x +c 经过A ，B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)以AB 为边作矩形ABCD ，设点C 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示C ，D 两点的坐标；②当CD 边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m 的取值范围．【答案】(1)抛物线的解析式为y =x 2-4x -5；(2)①点C 的坐标为(m ，-m -5)；点D 的坐标为(m +5，-m )；②-7≤m ≤3且m ≠0．【分析】（1）先求得点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）①利用等腰直角三角形的性质以及坐标与图形的性质可求得点C 的坐标；再利用平移的性质求得点D 的坐标即可；②根据点C 恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，据此求解即可．（1）解：∵直线y =x −5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴点A 的坐标为(5，0)，点B 的坐标为(0，-5)，∵抛物线y =ax 2−4x +c 经过A ，B 两点，∴252005a c c -+=⎧⎨=-⎩，解得：15a c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y =x 2-4x -5；（2）解：①∵点A 的坐标为(5，0)，点B 的坐标为(0，-5)，∴OA =OB =5，∴△OAB 是等腰直角三角形，则∠OAB =∠OBA =45°，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，∵四边形ABCD 是矩形，点C 的横坐标为m ．∴CB ⊥AB ，则∠CBE =∠OBA =45°，∴CE =BE =-m ，∴点C 的坐标为(m ，-m -5)；∵四边形ABCD 是矩形，∴CD =AB ，CD ∥AB ，∵点A 是点B 向右平移5个单位，向上平移5个单位得到的，∴点D 的坐标为(m +5，-m )；②设BC 的解析式为y =kx -5，把(m ，-m -5)代入y =kx -5，得-m -5=mk -5，解得：k =-1，∴BC 的解析式为y =-x -5，设AD 的解析式为y =-x +n ,把点D 的坐标（m +5,m ）代入y =-x +n ,得-m =-m -5+n ,解得：n =5,∴AD 的解析式为y =-x +5,当点C 恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，联立2545y x y x x =-+⎧⎨=--⎩,解得：x 1=5，x 2=-2，当x =5时，点A 和点D 重合，不符合要求，x <-2即m +5<-2，得m <-7时，线段CD 与抛物线无交点，当点C 恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，联立2545y x y x x =--⎧⎨=--⎩，解得：x 1=0，x 2=3，当x =0时，点C 与点B 重合，不符合要求，当x >3即m>3时，线段CD 与抛物线无交点，故-7≤m ≤3且m ≠0．【我思故我在】本题考查二次函数的图象及性质，直线和抛物线的交点以及解方程组和不等式组等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题关键．8．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,P m y 在二次函数2y x bx c =++的图象上，点()2,Q m y 在一次函数1y x =-+的图象上．(1)若二次函数图象经过点()0,1，()2,1．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②当1m >时，请直接写出1y 与2y 的大小关系；(2)若只有当0m ≥时，满足120y y ⋅≤，请求出此时二次函数的解析式．【答案】(1)①221y x x =-+，顶点坐标为(1,0)②12y y ＞(2)2y x x=-【分析】（1）利用待定系数法即可求解出二次函数的解析式，配成顶点式即可求出二次函数的顶点坐标；求出y 1和y 2，再根据m 的取值范围即可比较；（2）先根据点P (m ,y 1)在2y x bx c =++图象上，点Q (m ,y 2)在一次函数y =−x +1的图象上，得到21y m bm c =++和21y m =-+，即有212()(1)y y m bm c m ⋅=++-+，再根据m 的取值范围可得：当01m ≤≤时，函数20y m bm c =++≤；当1m＞时，函数20y m bm c =++＞，可以判断出可知2y m bm c =++经过点(0,0)，(1,0)，则可求出b 、c ，则问题得解．（1）①∵2y x bx c =++经过点(0,1)、(2,1)，∴有1421c b c =⎧⎨++=⎩，解得12c b =⎧⎨=-⎩，∴二次函数解析式为：221y x x =-+，∵2221(1)y x x x =-+=-，∴顶点坐标为(1,0)，②∵点P (m ,y 1)在221y x x =-+图象上，点Q (m ,y 2)在一次函数y =−x +1的图象上，∴21(1)y m =-，21y m =-+，∴2212(1)(1)(1)(1)(1)y y m m m m m m -=---+=-+-=-，∵m ＞1，∴m -1＞0，∴12(1)0y y m m -=-＞，∴12y y ＞；（2）∵点P (m ,y 1)在2y x bx c =++图象上，点Q (m ,y 2)在一次函数y =−x +1的图象上，∴21y m bm c =++，21y m =-+，∴212()(1)y y m bm c m ⋅=++-+，∵只有当0m ≥时，120y y ⋅≤，当01m ≤≤时，1-m ≥0，∵120y y ⋅≤，∴20m bm c ++ ，即当01m ≤≤时，函数20y m bm c =++ ，当1m＞时，1-m <0，∵120y y ⋅≤，∴20m bm c ++＞，即当1m＞时，函数20y m bm c =++＞，∴2y m bm c =++经过点(0,0)，(1,0)，∴010c b c =⎧⎨++=⎩，解得01c b =⎧⎨=-⎩，∴二次函数的解析式为：2y x x =-．【我思故我在】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求解二次函数解析式、求解顶点坐标等知识，判断出可知2y m bm c =++经过点(0,0)，(1,0)是解答本题的关键．9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2450)(y ax ax a =-+<与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB OC =．(1)求这条抛物线的解析式；(2)求抛物线顶点坐标和对称轴方程；(3)若点1,()P x b 与2,()Q x b 在（1）中的抛物线上，且12x x <，将抛物线在PQ 上方的部分沿PQ 翻折180°，抛物线的其他部分保持不变，得到一个新图象，当这个新图象与过（0，-3）且平行于x 轴的直线恰好只有两个公共点时，请直接写出b 的取值范围．【答案】(1)245y x x =-++；(2)顶点坐标为（2，9），对称轴方程为2x =；(3)39b <<或3b =-．【分析】（1）由245y ax ax =-+得出OC ，再由OB OC =得出OB 的值，代入点B 可求出抛物线的解析式；（2）将抛物线化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴方程；（3）讨论PQ 在直线=3y -上方和在直线=3y -上两种情况即可得出b 的取值范围．(1)（1）∵245y ax ax =-+，令0x =，5y =，∴5OC =∴5OB OC ==，即B （5，0），将B （5，0）代入245x y a ax =-+得252050a a -+=，解得1a =-，即二次函数的解析式为245y x x =-++．(2)（2）由2245(2)9y x x x =-++=--+得，顶点坐标为（2，9），对称轴方程为2x =．(3)（3）如图，过（0，-3）且平行于x 轴的直线=3y -，当顶点M （2，9）的对称点在直线=3y -上，此时3b =，∴39b <<，当3b =-时，此时与=3y -的交点为2个，∴39b <<或3b =-．【我思故我在】此题考查了用代入法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴及顶点坐标及二次函数的翻折与交点问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解决本题的关键．10．已知一次函数12y x b =+的图象与二次函数()221y a x bx =++（0a ≠，a 、b 为常数）的图象交于A 、B 两点，且A 的坐标为(0,1)．（1）求出a 、b 的值，并写出1y ，2y 的表达式；（2）验证点B 的坐标为(1,3)，并写出当12y y 时，x 的取值范围；（3）设12u y y =+，12v y y =-，若m x n 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，求m 的最小值和n 的最大值．【答案】（1）1a =，1b =，121y x =+，221y x x =++；（2）见解析；01x ；（3）m 的最小值为 1.5-，n 的最大值为0.5【分析】（1）把A 点的坐标分别代入两个函数的解析式，便可求得a 与b 的值；（2）画出函数图象，根据函数图象作答；（3）求出出个函数的对称轴，根据函数的性质得出“u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大”时x 的取值范围，进而得m 的最小值和n 的最大值．【详解】（1）解：（1）把(0,1)A 代入12y x b =+得1b =，把(0,1)A 代入()221y a x bx =++得，1a =，∴121y x =+，221y x x =++；（2）解方程组2211y x y x x =+⎧⎨=++⎩得01x y =⎧⎨=⎩或13x y =⎧⎨=⎩，∴()1,3B ，作121y x =+，221y x x =++的图象：由函数图象可知，121y x =+不在221y x x =++下方时，01x ，∴当12y y 时，x 的取值范围为01x ；（3）∵2221221132( 1.5)0.25u y y x x x x x x =+=++++=++=+-，∴当 1.5x - 时，u 随x 的增大而增大；()22212(21)1(0.5)0.25v y y x x x x x x =-=+-++=-+=--+，∴当0.5x 时，v 随x 的增大而增大，∴当 1.50.5x - 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，∵若m x n 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，∴m 的最小值为 1.5-，n 的最大值为0.5.【我思故我在】本题是二次函数的综合题，主要考查了函数的图象与性质，利用函数图象求不等式的解集，待定系数法，关键是熟练掌握二次函数的性质，灵活运用性质解题．11．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且关于直线1x =对称，点A 的坐标为()1,0-．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，若点P 在y 轴上时，BP 和BC 的夹角为15︒，求线段CP 的长度；（3）当1a x a ≤≤+时，二次函数2y x bx c =++的最小值为2a ，求a 的值．。
二次函数最值知识点总结典型例题及习题
二次函数最值知识点总结典型例题及习题必修一二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，关键在于讨论函数的对称轴与区间的相对位置关系。
一般分为对称轴在区间左侧、中间和右侧三种情况。
例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，求其在闭区间[x1.x2]上的最大值和最小值。
分析：将函数f(x)配方，得到其顶点为(-b/2a。
c - b^2/4a)。
因此，对称轴为x = -b/2a。
当a。
0时，函数f(x)的图像为开口向上的抛物线。
结合数形结合可得在闭区间[x1.x2]上f(x)的最值：1）当对称轴在[x1.x2]之外时，f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者。
2）当对称轴在[x1.x2]之间时，若x1 ≤ -b/2a ≤ x2，则f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者；若x1.-b/2a或x2 < -b/2a，则f(x)在闭区间[x1.x2]上单调递增或单调递减，最小值为f(x1)，最大值为f(x2)。
当a < 0时，情况类似。
二、例题分析归类：一）正向型此类问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数和定义域区间都是给定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例如，对于函数y = -x^2 + 4x - 2在区间[0.3]上的最大值为2，最小值为-2.2.轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例如，对于函数f(x) = (x-1)^2 + 1，在区间[t。
t+1]上的最值为f(t)和f(t+1)中的较大者。
二次函数动轴定区间最值问题
二次函数动轴定区间最值问题对于二次函数动轴定区间最值问题，我们可以通过以下步骤解决：
1. 首先，要确定二次函数的开口方向。
如果二次函数的二次项系数大于零，则抛物线向上开口，最值为最小值；如果二次函数的二次项系数小于零，则抛物线向下开口，最值为最大值。
2. 接下来，找到二次函数的顶点坐标。
二次函数的顶点坐标可以通过使用公式 h = -b / (2a) 来计算，其中 a 是二次项系数，b 是一次项系数。
3. 根据找到的顶点坐标，可以确定二次函数的动轴位置。
动轴是与抛物线对称的直线，通过顶点的中垂线。
4. 根据确定的动轴位置，可以划定出二次函数的区间。
5. 最后，根据开口方向和区间的限制条件，确定二次函数在该区间内的最值。
需要注意的是，如果给定的区间超出了二次函数的定义域，则该区间内没有最值。
通过以上步骤，可以解决二次函数动轴定区间最值问题，并找到相应的最值点。
二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上的最值问题湖北省荆州中学 鄢先进二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题，频繁出现在函数试题中，很受命题者亲睐。
影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。
本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考。
类型一 定轴定区间例1．已知函数2()2f x x x =-，求()f x 的最小值. 解：22()2(1)1f x x x x =-=-- 由图像可知，当1x =时，min ()1f x =-变式1．已知函数2()2f x x x =-，[2,4]x ∈，求()f x 的最小值。
分析：由图像可知，函数)(x f 在[2,4]为增函数，min ()(2)0f x f ∴==变式2．已知函数2()2f x x x =-，[0,3]x ∈，求()f x 的最大值.分析：由图像可知函数()f x 在[0,1]上递减，在[1,3]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。
max ()(3)3f x f ∴==例2．已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[]-41，上的最大值为5，求实数a 的值。
解：将二次函数配方得f x a x a a ()()=++--24122，函数图像对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()---2412，a a ，图像开口方向由a 决定。
很明显，其顶点横坐标在区间[]-41，内。
x①若a <0，函数图像开口向下，如下图1所示。
当x =-2时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()-=--=24152，解得a =±210 故a a =-=+210210()舍去图1 图2②若a >0，函数图像开口向上，如上图2所示，当x =1时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()15152=+-=，解得a a ==-16或，故a a ==-16()舍去综上可知：函数f x ()在区间[]-41，上取得最大值5时，a a =-=2101或 点拨：求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图像，然后结合其图像研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。
二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)
4
4
4
2 x=1
x=1
2
x=1
2
k+2
k k+2
k k+2
k 15
5
10
5
15
5 10
5
15
10
10
5
5
2
2
2
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
6
评注6：例1属于6“轴定区间动”的问题，看6 作动区
间沿8x轴移动的过8 程中，函数8 最值的变化，8 即动区
间在定轴的左、右两侧及包10含定轴的变化，要注
y 解： ⑴当
即a≥ 2时
y的最小值为f(-1)
O -1 1 x
=4-a
例3：若x∈
，求函数
•
y =x2+ax+3的最小值：
(2)当 1 < a 1
2
y
即-2≤ a<2时
y的最小值为
O
f( )=
-1 1 x
例2：若x∈
•
，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1
(3)当
即a<-2时
解：画出函数在定义域内的图像如图 8
对称轴为直线x=1
6
由图知，y=f(x)在[ 2，4 ]上为增函数
4
故x=4时有最大值f(4)=5
x=2时有最小值f(2)=-3
10
5
2 x=1 2
45
2
4
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
二次函数在给定区间上的最值问题
二次函数在给定区间上的最值问题【学前思考】二次函数在闭区间上取得最值时的x ，只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点. 因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置. 在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向（与二次项系数的正负有关），而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键. 本节，我们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法.【知识要点＆例题精讲】二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： Case Ⅰ、给定区间确定，对称轴位置也确定说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然.解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间. （i ）当其对称轴的横坐标在给定区间时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；（ii ）当其对称轴的横坐标不在给定区间时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值.例1、二次函数223y x x =-+在闭区间[]1,2-上的最大值是_______.例2、函数2()42f x x x =-+-在区间[]0,3上的最大值是_______，最小值是_______.例3、已知223x x ≤，则函数2()1f x x x =++的最大值是_______，最小值是______.Case Ⅱ、给定区间确定，对称轴位置变化说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）在给定区间[],p q 上的最值，需对其对称轴与给定区间的位置关系进行分类讨论. 这里我们以0a >的情形进行分析： （ⅰ）若2b p a-<，即对称轴在给定区间[],p q 的左侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递增，此时max [()]()f x f q =，min [()]()f x f p =； （ⅱ）若2b p q a ≤-≤，即对称轴在给定区间[],p q 的部，则函数()f x 在[,]2b p a-上单调递减，在[,]2b q a -上单调递增，此时min [()]()2b f x f a =-，max [()]()f x f p =或()f q ，至于最大值究竟是()f p 还是()f q ，还需通过考察对称轴与给定区间的中点的位置关系作进一步讨论：若22b p q p a +≤-<，则max [()]()f x f q =；若22p q b q a +≤-≤，则max [()]()f x f p =； （ⅲ）若2b q a->，即对称轴在给定区间[],p q 的右侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递减，此时max [()]()f x f p =，min [()]()f x f q =. 综上可知，当0a >时，max (),22[()](),22b p q f q a f x b p q f p a +⎧-<⎪⎪=⎨+⎪-≥⎪⎩若若； min (),2[()](),22(),2b f p p a b b f x f p q a a b f q q a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤-≤⎨⎪⎪->⎪⎩若若若.通过同样的分析可得到：当0a <时，max(),2[()](),22(),2b f p p a b b f x f p q a a b f q q a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤-≤⎨⎪⎪->⎪⎩若若若； min (),22[()](),22b p q f q a f x b p q f p a +⎧-<⎪⎪=⎨+⎪-≥⎪⎩若若.例4、已知21x ≤且2a ≥，求函数2()3f x x ax =++的最值.例5、求函数()()f x x x a =--在区间[]1,1-上的最大值.例6、求函数2()21f x x ax =--在区间[]0,2上的最大值和最小值.例7、设函数2()f x x ax b =++（,a b R ∈），当214a b =+时，求函数()f x 在区间[]1,1-上的最小值()g a 的解析式.22222222()1()1422122()[1,1]()(1)11244122()[1,1]()(1)11244a a a f x x axb x ax x x a a f x a a g a f a a a a f x a a g a f a a =++=+++=++=--<->-=-=-++=-+-><--==+++=++函数的图像是开口向上，对称轴为直线的抛物线（i ）若,即此时函数在上单调递增于是（ii ）若,即此时函数在上单调递减于是（iii ）[解析] 2211222()[1,][,1]22()()12224()1,22224a a a a f x a g a f a a a g a a a a a -≤-≤-≤≤---=-=⎧-+>⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪++<-⎪⎩若,即此时函数在上单调递减,在上单调递增于是，综上可知，，例8、已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值围是_______.Case Ⅲ、给定区间变化，对称轴位置确定说明：此种类型，考试中出现的较少，一般是给定区间里含有参数. 解决此类问题，亦可根据对称轴与给定区间的位置关系，分对称轴在给定区间的左侧、部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.解法：若二次函数的给定区间是变化的，而其对称轴的位置是确定的，则要求二次函数在给定区间上的最值，需对变化区间是否包含其对称轴的横坐标进行分类讨论，分类标准为：变化区间包含其对称轴的横坐标，变化区间不包含其对称轴的横坐标. 解决方法与知识点2类似，这里不再赘述.例9、已知函数2()(1)1f x x =-+定义在区间[],1t t +（t R ∈）上，求()f x 的最小值.例10、已知函数2()23f x x x =-+，当[],1x t t ∈+（t R ∈）时，求()f x 的最大值.CaseIV 、与二次函数最值问题有关的综合题型利用二次函数在给定区间上取得最值，可以求解、证明或探究以下综合问题：（1）求函数的最值或最值的取值围；（2）求函数的解析式；（3）证明不等式；（4）求参数的取值围；（5）探究参数是否存在；……例11、设函数()221f x x ax a =+--，[]0,2x ∈，a 为常数.（I ）求()f x 的最小值()g a 的解析式；（II ）在（I ）中，是否存在最小的整数m ，使得()0g a m -≤对于任意a R ∈均成立. 若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（I ）函数()22221()1f x x ax a x a a a =+--=+---的图像是开口向上，对称轴为直线x a =-的抛物线（i ）若0a -<，即0a >此时函数()f x 的对称轴x a =-不在区间[]0,2上，()f x 在区间[]0,2上单调递增 于是min ()[()](0)1g a f x f a ===--（ii ）若2a ->，即2a <-此时函数()f x 的对称轴x a =-不在区间[]0,2上，()f x 在区间[]0,2上单调递减 于是min ()[()](2)44133g a f x f a a a ===+--=+（iii ）若02a ≤-≤，即20a -≤≤此时函数()f x 的对称轴x a =-在区间[]0,2上，()f x 在区间[]0,a -上单调递减，在区间[],2a -上单调递增于是2min ()[()]()1g a f x f a a a ==-=---综上可知，21,0()1,2033,2a a g a a a a a a -->⎧⎪=----≤≤⎨⎪+<-⎩（II ）要使()0g a m -≤对于任意的a R ∈均成立，只需max [()]m g a ≥，a R ∀∈ 下求max [()]g a由函数()g a 的图像可见，()g a 在1(,]2-∞-上单调递增，在1[,)2-+∞上单调递减 2max 1113[()]()()()12224g a g ∴=-=-----=- 于是34m ≥- 又m Z ∈故m 的最小值为0例12、已知函数2()2f x x ax b =-+（,a b R ∈），记M 是|()|f x 在区间[0,1]上的最大值.（Ⅰ）当0b =且2M =时，求a 的值； （Ⅱ）若12M ≤，证明01a ≤≤. 【解析】（I ）函数222()2()f x x ax b x a a b =-+=--+的图像是开口向上，对称轴为直线x a =的抛物线 而函数()f x 的图像是将函数()f x 在x 轴上方的图像保持不变、把它在x 轴下方的图像翻折上去得到的（I ）当0b =时，函数222()2()f x x ax x a a =-=--（i ）若0a <此时函数()f x 的对称轴x a =不在区间[0,1]上，()f x 在区间[0,1]上单调递增于是{}{}max [()]max (0),(1)max 0,12122M f x f f a a ===-=-=122122a a ⇒-=-=-或，即12a =-（舍去32a =） （ii ）若1a >此时函数()f x 的对称轴x a =不在区间[0,1]上，()f x 在区间[0,1]上单调递减 于是{}{}max [()]max (0),(1)max 0,12122M f x f f a a ===-=-=122122a a ⇒-=-=-或，即32a =（舍去12a =-） （iii ）若01a ≤≤ 此时函数()f x 的对称轴x a =在区间[0,1]上，()f x 在区间[]0,a 上单调递减，在区间[],1a 上单调递增 于是{}{}2max [()]max (),(1)max ,122M f x f a f a a ===-=当22a =时，[0,1]a =，舍去 当122a -=时，122122a a -=-=-或⇒12a =-或32a =，均舍去 综上可知，12a =-或32a = （II ）(0)(1)12fb f a b =⎧⎨=-+⎩ 1(11(0)(11(0)(12222b f f f f f a +-+--∴===+））） 又12M ≤ 1(0)2f ∴≤，1(1)2f ≤ 11(0)22f ⇒-≤≤，11(1)22f -≤≤ 于是有1(0)(1)1f f -≤-≤ 故111(0)(11101222222f f a -=-≤=+≤+=），即[0,1]a ∈例13、（2015高考）已知函数2()f x x ax b =++（a ，b R ∈），记(,)M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值.（1）证明：当2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤时，求a b +的最大值.【分析】本题考查的知识点是二次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的最值问题. 解决此类问题的关键是正确理解“(,)M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值”这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等知识。
二次函数在某区间上的最值问题分类解析
二次函数在某区间上的最值问题分类解析
x
一、二次函数在某区间上的最值
1、由于某一区间上的最值是函数的上下界，有以下两种方式可
以求得该区间上的最值：
（1）求该函数在该区间上的最值的方法主要是利用求得函数在
该区间上的最大值和最小值，即求区间上的极值点，从而确定该区间上的最值。
（2）求该区间上的最值的方法还可以利用对比法，也就是找出
函数在该区间上的最大的函数值（或最小的函数值），从而确定该区
间上的最值。
2、在求解当中，针对二次函数的极值问题，可以将其分为以下
几个类型：
（1）当二次函数形如：f(x)=ax2+bx+c（a≠0）时，由二次函数的极值解析法可以求得其极值的解。
（2）当二次函数形如：f(x)=ax2+bx+c（a=0）时，不是二次函数，但可以由一次函数的极值性质求得这个函数在某一区间上的最值。
（3）当二次函数形如：f(x)=ax2+bx+c（b2-4ac<0）时，由于抛物线上无极值，因此只能用对比法求得抛物线在某一区间上的最值。
（4）当二次函数形如：f(x)=ax2+bx+c（b2-4ac=0）时，由于抛物线上有且只有一个极值，因此可以用二次函数的极值解析法求得抛物线在某一区间上的最值。
（5）当二次函数形如：f(x)=ax2+bx+c（b2-4ac>0）时，由于抛物线上有两个极值，因此可以用二次函数的极值解析法求得抛物线在某一区间上的最值。
综上所述，二次函数在某一区间上的最值问题可以分为五类解析，即通过极值解析法、对比法求解。
二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)
8
6
4
2 x=1 k
2
k+2 5
当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
10
15
f(x) min=f(k)=k2-2k-3
4
6
8
10
8
例: 6求函数y=x2-62x-3在x∈[k,k6+2]时的最值
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值； 10
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值； 8
2
（4）若x∈[
12, 2
3
6
2 ]，求函数f(x)的最值；
4
解：画出函数在定义域内的图像如图
对称轴为直线x=1,由图知，
15
10
5
x= 1 时有最大值 f (1) 13
2
24
x=1时有最小值f(1)=-4
当0≤ k<1时 f(x)max=f(k+2)=k2+21k0 -3
10
10
当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
f(x)min=f(1)=8- 4 f(x)min=f(1)=10- 4 f(x) min=f(k)=k2-2k-3
例: 6求函数y=x2-62x-3在x∈[k,k6+2]时的最值
k
2
2
2
2
1105
k+2
4
4
4
4
6
6
6
6
8
二次函数在闭区间上的最值问题
解和重视，更是对体育事业的关怀。因此。在设计和建造上要
力求与校园环境及学校的办学特色和谐。 （３）发展好校园媒体，引导学生现场观赏。高校应该加强高 校体育竞赛的宣传力度，拓展宣传方式，扩大社会和校园影响
２００９．Ｎ０２２＠
万方数据
二次函数在闭区间上的最值问题
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 杨家丽 重庆市第十一中学 科学咨询 SCIENTIFIC CONSULT 2009(22)
轴ｘ＝３－２ａ 讨论：（１）当３－２ａ＜ａ，即ａ＞ｌ时，ｆ（ｘ）…＝ｆ（ａ）＝（ａ一３）２ （２）当３＿２ａ＞ａ，即Ｏ＜ａ＜１时，ｆ（ｘ）。；。＝ｆ（３－２ａ）＝１２ａ－８ａ２ 所以
ｒ１
２
关系讨论，由数形结合可知函数在区间上的最大值与最小值。
例２：不等式９ｘ２－６ａｘ＋ａ２－２ａ＿６＞０在－１／３＜ｘ＜１／Ｓ内恒成 立，求实数ａ的取值范围。
二次函数在某闭区间上的最值问题是高考考查的重点内容 之一，备受命题者的青睐。但学生在初学时，往往会感到错综复
杂，难以把握。其实，这类问题的关键在于函数对称轴与给定区 间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边、中
间、右边三种情况。本文将从下面四种类型加以归纳：轴定区间 定；轴动区间定；轴定区间动；轴动区间动。 一、轴定区间定
（２）当一１／３＜ａ／３＜１／３，即一１＜ａ＜１时，ｆ（ｘ）。＝ｆ（ａ／３）一
２ａ＿６，由－２ａ＿６＞０得ａ＜－３，与ａ∈［＿１，１】矛盾，合去。
的情操、价值观等。这些物质会折射人人们的心灵，对人起到 一种潜移默化的陶冶作用。 （２）注重体育场馆的设计理念。体育场馆不仅是学校开展 体育教学和进行体育比赛的重要场所，也是一所高校的标志 性建筑，是校园功能结构和基础设施的重要组成部分，是学校 建筑环境的亮点，体育馆的修建给学校的环境增加不少光环。 体育馆建设体现出来的是一所学校对学校体育教学设施的理
中考热点,二次函数区间范围的最值问题
中考热点，二次函数区间范围的最值问题二次函数最值问题的重要性毋庸置疑，其贯穿了整个中学数学，是中学数学的重要内容之一，也是学好中学数学必须攻克的极为重要的问题之一。
二次函数在闭区间上的最值问题是二次函数最值问题的典型代表，其问题类型通常包括不含参数和含参数二次函数在闭区间上的最值问题、二次函数在闭区间上的最值逆向性问题以及可转化为二次函数在闭区间上最值的问题，在此类问题的解决过程中，涉及数形结合、分类讨论等重要数学思想与方法。
中考中多涉及到含参数二次函数在闭区间上的最值问题，很多学生不习惯数形结合及分类讨论思想的运用，导致解题失误或错误。
类型1 求解自变量在不同区间里二次函数最值1．（2019•大兴区一模）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当自变量x满足﹣1≤x≤2时，函数y的最大值是．【解析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再根据变量x在﹣2≤x≤1的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值．∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝1＞0，∴当x＝1时，函数有最小值2，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为：（﹣1﹣1）2+2＝6，故答案为6．2．（2019•新华区校级自主招生）已知函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2【解析】：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，2），与y轴的交点为（0，3）.其大致图象如图所示：由对称性可知，当y＝3时，x＝0或x＝2，∵二次函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，∴1≤m≤2．故选：C．3．（2019•郑州模拟）二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝．【解析】：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，当x＝2时，函数有最小值a﹣4，∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，﹣2≤x≤3，y随x的增大而增大，∴a﹣4＝﹣3，∴a＝1，故答案为1．4．（2019•邯郸模拟）对于题目“二次函数y＝3/4（x﹣m）2+m，当2m﹣3≤x≤2m时，y的最小值是1，求m的值．”甲的结果是m＝1，乙的结果是m ＝﹣2，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【解析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可求得答案，然后判断即可．二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜2m﹣3时，即m＞3，y的最小值是当x＝2m﹣3时的函数值，此时3/4（2m﹣3﹣m）2+m＝1，因为方程无解，故m值不存在；②当2m﹣3≤m≤2m时，即0≤m≤3时，二次函数有最小值1，此时，m＝1，③当m＞2m时，即m＜0，y的最小值是当x＝2m时的函数值，此时，3/4（2m﹣m）2+m＝1，解得m＝﹣2或m＝2/3，∵m＜0，∴m＝﹣2,所以甲、乙的结果合在一起正确，故选：C．类型2 二次函数区间最值解决实际问题利用二次函数解决实际问题，最常见的为利润问题和费用最低等问题，首先根据题中常见的等量关系建立二次函数模型，然后利用二次函数确定最值，注意要考虑自变量在实际问题中的取值范围。
热点突破-二次函数不含参数区间最值问题
（2）当－5≤x≤4时，二次函数最大值为
值为 －24
，最小
；
【延伸设问】当x≤k时，二次函数最大值为0，则k的值
为 －4
.此时区间
发生了变化.
（填“对称轴”或“区间”）
【解析】令y＝0，得－x2－3x＋4＝0，解得x＝－4或x
＝1.∵当x≤k时，二次函数最大值为0，∴由二次函数y
－2＜0，∴对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，－
1）.当x≤3时，y随x的增大而增大；当x＞3时，y随x
的增大而减小.（1）当－3≤x≤1时，当x＝－3时，
y min ＝－2×（－3－3） 2 －1＝－73；当x＝1时，y max
＝－2×（1－3） 2 －1＝－9；（2）当1≤x≤5时，
当x＝1时，y min ＝－2×（1－3） 2 －1＝－9；当x＝3
= .
（2）当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，求
m的值.
（2）由（1）得y＝x2－6x＋3＝（x－3）2－6.
∴当x≤3时，y随x的增大而减小；当x＞3时，ຫໍສະໝຸດ 随x的增大而增大.
①当0≤m＜3时，当x＝0时，y取最大值，最大值是3，
当x＝m时，y取最小值，最小值是（m－3）2－6，
解：（1）最大值为5，最小值为－3.
（2）最大值为0，最小值为－4.
（3）最大值为5，最小值为－4.
思维点睛
熟练掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质（开口方
向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值）是解决后续区
间最值问题、实际应用问题的前提.
怎么求二次函数在区间（定轴定区间）上的最值？
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二次函数最值问题
二次函数2
(0)y ax bx c
a =++≠ 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2
b x a =-处取得最小值244a
c b a -，无最大值；当时0a <，函数在2b x a
=-处取得最大值2
44ac b a
-，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的x 的取值范围区间的两个端点，二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴，注意结合图像学会用数形结合解题。
高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面：1.定轴定区间。
2.动轴定区间。
3.定轴动区间。
下面我们来看例题。