高中数学必修四第一章复习资料讲义资料典型例题经典学生版
数学必修四第一章知识点总结
数学必修四第一章知识点总结第一章矩阵与行列式1.矩阵的定义：矩阵是由m∙n个数按照m行n列排列起来的一个数表。
2.矩阵的运算：(1)矩阵的加法：对应位置上的元素进行相加。
(2)矩阵的乘法：满足矩阵乘法规则的两个矩阵相乘，结果矩阵的元素等于第一个矩阵的相应行和第二个矩阵的相应列元素的乘积之和。
(3)数字与矩阵的乘法：数乘矩阵中的每一个元素。
3.矩阵的性质：(1)矩阵的加法满足交换律和结合律。
(2)矩阵的数乘满足结合律和分配律。
4.单位矩阵：n阶单位矩阵是一个n∙n的矩阵，主对角线上元素为1，其他元素为0。
5.方阵和对角阵：(1)方阵是行数和列数相等的矩阵。
(2)主对角线外的元素全为零的方阵是对角阵。
6.转置矩阵：矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
7.矩阵的乘积：(1)若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则可以计算矩阵A与矩阵B 的乘积，得到一个新的矩阵C，其中矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
(2)矩阵乘积的运算性质：结合律，分配律，但一般不满足交换律。
8.克拉默法则：若n元线性方程组的系数矩阵的行列式不等于0，则n元线性方程组有唯一解，且解可以用各个未知量的系数作为分子和系数矩阵的行列式作为通分式的分母来表示。
9.行列式的定义：(1)一阶行列式：行列式的元素就是该元素本身。
(2)二阶行列式：行列式元素按主对角线方向相乘，再减去次对角线方向的元素相乘。
(3)三阶行列式：每个元素与与其所在行行标和列标分别相同、不相同的元素构成的二阶行列式之差相乘，最后再按正负号相加。
(4)多阶行列式：利用拉普拉斯定理进行计算。
10.行列式的性质：(1)行列式的转置等于行列式本身。
(2)若行列式有两行或两列完全相同，则行列式的值等于零。
(3)互换行列式的两行（两列），行列式值不变。
(4)行列式的其中一行（列）的元素都乘以一个数k，等于用数k乘以此行列式的值。
(5)行列式中有两行（两列）元素对应成比例，则行列式的值等于零。
高一数苏教必修四讲义：第1章 1.1 1.1.1 任 意 角 Word含答案
任意角、弧度1．1.1任意角预习课本P5～7，思考并完成下列问题1．在初中，角是怎样定义的？2．如果角按旋转的方向来进行分类，可分为哪三类？3．如果把角放入平面直角坐标系中，象限角和轴线角的规定是怎样的？4．如何表示终边相同的角？[新知初探]1．任意角(1)角的概念一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．(2)角的分类正角：按逆时针方向旋转所形成的角；负角：按顺时针方向旋转所形成的角；零角：射线没有作任何旋转所形成的角．[点睛]对角的理解关键是抓住旋转二字(1)要明确旋转的方向；(2)要明确旋转量的大小；(3)要明确旋转的开始位置．2．象限角、轴线角以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．[点睛](1)角的顶点要与坐标原点重合；(2)角的始边要与x轴的正半轴重合.3．终边相同的角一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．[点睛]终边相同的角与相等的角是两个不同的概念，两角相等，终边一定相同，但是两角终边相同时，两角不一定相等，它们相差360°的整数倍．[小试身手]1．下列命题正确的是____________(填序号)．①－30°是第一象限角；②750°是第四象限角；③终边相同的角一定相等；④－950°12′是第二象限的角．★答案★：④2．－1 120°角所在象限是____________．★答案★：第四象限3．与405°角终边相同的角的集合是____________．★答案★：{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}4．在－180°到360°范围内，与2 000°角终边相同的角为____________．★答案★：－160°，200°角的概念辨析[典例]有下列说法：①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；②{α|α是锐角}{β|0°≤β<90°}；③第一象限角都是锐角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确说法的序号是________．[解析]①不正确．终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；②∵α是锐角，即0°<α<90°，故{α|0°<α<90°}{β|0°≤β<90°}，故②正确；③第一象限角不一定都是锐角，如380°是第一象限角，但它不是锐角，故③不正确；④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．[★答案★]②有关角的概念辨析的解题策略(1)正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)可通过举出反例来进行判断．下列命题是真命题的序号是________．①三角形的内角必是一、二象限内的角；②第二象限角是钝角； ③不相等的角终边一定不同；④{α|α＝k ·360°±90°，k ∈Z}＝{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z}． 解析：①90°不是象限角；②如－240°是第二象限角，但不是钝角； ③如0°和360°不相等，但终边相同；④k ·360°±90°＝2k ·180°±90°＝2k ·180°＋90°或(2k －1)·180°＋90°，k ∈Z. ★答案★：④象限角及终边相同的角[典例] 在0°到360°的范围内，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角． (1)－736°；(2)904°18′.[解] (1)－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角． ∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角． (2)904°18′＝2×360°＋184°18′，184°18′是第三象限角． ∴184°18′与904°18′是终边相同的角，且904°18′为第三象限角．(1)把任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z 且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k .可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．[活学活用]写出－720°到720°之间与－1 068°终边相同的角的集合为______________． 解析：与－1 068°终边相同的角为－1 068°＋k ·360°，要落在－720°到720°之间，则取k ＝1,2,3,4.★答案★：{－708°，－348°，12°，372°}已知角α所在象限，判断αn 或nα(n ∈Z)所在象限[解] ∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°，k ∈Z. ∴180°＋2k ·360°＜2α＜360°＋2k ·360°，k ∈Z.∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角． [一题多变]1．[变设问]若本例条件不变，求α2是第几象限角？解：45°＋k 2 ·360°＜α2＜90°＋k2·360°，k ∈Z.当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ， 则45°＋n ·360°＜α2＜90°＋n ·360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ， 则225°＋n ·360°＜α2＜270°＋n ·360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．2．[变设问]若本例条件不变，求α3是第几象限角？解：∵k ·120°＋30°<α3<k ·120°＋60°(k ∈Z)，当k ＝3n (n ∈Z)时， n ·360°＋30°＜α3＜n ·360°＋60°；当k ＝3n ＋1(n ∈Z)时， n ·360°＋150°＜α3＜n ·360°＋180°；当k ＝3n ＋2(n ∈Z)时， n ·360°＋270°＜α3＜n ·360°＋300°.∴α3是第一或第二或第四象限的角. 3．[变条件]已知α是第二象限角，且8α与2α的终边相同，判断2α是第几象限角． 解：8α＝2α＋k ·360°(k ∈Z)， 所以α＝k ·60°(k ∈Z)， 所以，2α＝k ·120°(k ∈Z)，当k 为偶数时， 2α的终边分别落在x 轴的正半轴和第二、第三象限． 当k 为奇数时，2α的终边分别落在x 轴的正半轴和第二、第三象限， 所以，2α为第二或第三象限角，或是终边落在x 轴正半轴上的角．已知角α终边所在象限，(1)确定nα终边所在的象限，直接转化为终边相同的角即可． (2)确定αn 终边所在象限常用的步骤如下：①求出αn 的范围；②对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1； ③下结论．层级一 学业水平达标1．在0°到360°范围内，与－950°角终边相同的角是________．解析：－950°＝130°－3×360°，所以在0°～360°的范围内，与－950°角终边相同的角是130°.★答案★：130°2．在－390°，－885°，1 351°，2 016°这四个角中，其中第四象限角的个数为________． 解析：－390°＝－360°－30°是第四象限角；－885°＝－2×360°－165°是第三角限角；1 351°＝3×360°＋271°是第四象限角；2 016°＝5×360°＋216°是第三象限角．故有2个．★答案★：23．钟表经过2小时，时针转过的度数为________．解析：时针均按顺时针方向旋转，2小时时针转过16周，所以时针转过了－60°.★答案★：－60°4．已知角α，β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析：∵角α，β的终边相同， ∴α＝k ·360°＋β，k ∈Z.作差α－β＝k ·360°＋β－β＝k ·360°，k ∈Z. ∴α－β的终边在x 轴的正半轴上． ★答案★：x 轴的正半轴上5. 设集合A ＝{α|α＝90°·k ＋30°，k ∈Z}，B ＝{α|0°≤α<360°}，则A ∩B ＝________. 解析：由0°≤90°·k ＋30°<360°，k ∈Z ， 得－13≤k <113，k ∈Z ，所以k ＝0,1,2,3，所以A ∩B ＝{30°，120°，210°，300°}． ★答案★：{30°，120°，210°，300°}6．若α＝45°＋k·180° (k∈Z)，则α的终边在第________象限．解析：由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．★答案★：一或三7．已知α与β均为正角，且α＋β＝180°，若0°<α≤90°，则角β的终边位于_______________．解析：若0°<α<90°，则90°<β＝180°－α<180°，即角β的终边在第二象限；若α＝β＝90°，则角β的终边位于y轴正半轴上．★答案★：第二象限或y轴正半轴上8．若角α满足180°＜α＜360°，角5α与角α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝______________.解析：∵5α与α的始边和终边相同，∴这两角的差应是360°的整数倍．即5α－α＝4α＝k·360°，k∈Z.即α＝k·90°.又180°<α<360°，∴180°<k·90°<360°.∴2<k<4.∴k＝3，故α＝270°.★答案★：270°9．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．解：(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}．10．已知α＝－1 910°，(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解：(1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，则β＝－1 910°－k·360°(k∈Z)．令－1 910°－k·360°≥0，解得k≤－1 910 360.所以k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到符合－720°≤θ＜0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.层级二应试能力达标1．在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为___________．解析：与角－60°的终边在同一条直线上的角为－60°＋k·180°，k∈Z，取k＝1,2.★答案★：120°与300°2．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，再顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝________.解析：根据任意角的定义可得∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.★答案★：－150°3．若α是第三象限角，则180°－α是第________象限角．解析：因为α是第三象限角，所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z.所以k·360°－90°<180°－α<k·360°，k∈Z.所以180°－α为第四象限角．★答案★：四4．与1 991°终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．解析：与1 991°终边相同的角为1 991°＋k·360°，取k＝－5，－6.★答案★：191°，－169°5．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________________.★答案★：150°＋k·360°，k∈Z6．已知角2α的终边落在x 轴上方，那么α是第________象限角． 解析：由题知k ·360°＜2α＜180°＋k ·360°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α＜90°＋k ·180°，k ∈Z.当k 为偶数时，α是第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角，∴α为第一或第三象限角．★答案★：一或三7．若θ是第一象限角，判断θ2所在的象限．解：∵θ是第一象限角， ∴k ·360°<θ<k ·360°＋90°(k ∈Z)． k ·180°<θ2<k ·180°＋45°(k ∈Z)．当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<θ2<n ·360°＋45°，∴θ2为第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时， n ·360°＋180°<θ2<n ·360°＋225°，∴θ2为第三象限角．综上，θ2为第一或第三象限角．8．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上． (1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素． 解：(1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°， 在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°， 终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为： S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z}， S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z}， 所以角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z} ＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z} ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z}．(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋k·180°<720°，k∈Z.解得－73<k<113，k∈Z，所以k＝－2，－1,0,1,2,3.所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.。
数学必修四第一章知识点总结
数学必修四第一章知识点总结第一章初等数论与数论方法一、整数研究了整数及其运算性质，引导学生辨识和解决在初中学习过程中遇到的有关整数的复杂问题。
1. 整数的概念整数是正整数、负整数和零的统称。
整数的绝对值是指它离原点的距离，是非负的整数。
2. 整数的四则运算（1）加法运算：正数相加、负数相加应用法则，可以化为正数相加或正负数相减的运算问题来解决。
（2）减法运算：整数减法法则就是整数加法法则的推广。
（3）乘法运算：两个数相乘的积的符号与它们的积的因数的符号有关。
（4）除法运算：零不能作为除数，有理数的除法也要遵循约分原则。
3. 整数的应用整数是在数轴上有序排列的，整数运算也是数轴上大小关系的推算。
在温度、债务、货币、海拔高度、海拔深度等相关实际生活中，需要使用整数。
二、整数的乘方及开方1. 乘方概念以数 a 为底 n 为指数的乘方运算通常记作aⁿ (a ≠ 0, n > 0), 它表示连续相同乘数 a 用 n-1个乘号与自己相乘的乘积。
2. 乘方的运算性质（1）乘方的运算性质: 同底数乘方相乘,指数相加；（2）乘方运算的简便法则：同一底数不同指数相乘可以利用指数运算法则；（3）指数运算法则：①乘方的运算法则：同底数的几个数的乘方, 底数相同, 指数相加；②除法可以转换为乘方；（4）零的乘方等于 1： 0 的任何正整数次幂都等于 1。
3. 开方的概念一个数的平方根就是对应的平方的运算过程，一个数的 n 次方根是对应的 n 次方的运算过程。
4. 定义（1）二次方程的解法：①因式分解法；②公式法；③配方法；（2）含一个未知数的方程；（3）一元二次方程：我国古代代数的发展，以求一元二次方程的解为目标；（4）一次方程：秦九韶二次方程的解法是把一次方程的求根问题化成二次方程的求根问题。
5. 一元二次方程（1）一元二次方程的定义：① 它是一元的；② 它的最高次项是二次项③ 它与一元二次函数有相联系的地方；一元二次方程及根的关系：一元二次方程的单解和两解，它对应的一元二次函数的图象几何方程的根与几何意义的关系；（2）整数系数的一元二次方程；（3）一元二次方程及根的关系；（4）一元二次方程数学题。
高中数学必修4第一章
3 1 ,2 2 3 1 , 2 2
=
3 . 2
专题一
专题二
专题三
专题四
变式训练 1 若点 P(3,y)是角 α 终边上的一点,且满足 y< 0,cos α= 5,
则 tan α=( A.3 4
3
)
B.
解析:由已知
3 4 3
C.
3 5
4 3
D.-
4 3
32 +������2
= ,∴y=±4. D.
考点一
考点二
考点三
考点四
解析:由 f(x)=(1-cos x)sin x 知其为奇函数 .可排除 B.当 x∈ 时,f(x)>0,排除 A. 当 答案:C
3π 3π x= 时,f 4 4
π 0, 2
=
3π 1-cos 4
3π sin 4
=
2+1 >1,排除 2
D.
考点一
考点二
考点三
考点四
考点二
π 2
π π π 2 6 2 π π kπ- ≤x≤kπ+ (k∈ Z), 6 3
(k∈ Z) .
所以当 x=0 时 ,f(x)取得最小值 . 即 2sin π 6
+a=-2,故 a=-1.
考点一
考点二
考点三
考点四
考点一 三角函数图象的判定 1.(2013· 课标全国Ⅰ高考)函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的图象大 致为( )
即 tan θ=1, 于是 sin2θ+3sin θcos θ+2cos2θ
sin2 ������+3sin������cos������+2cos2������ = sin2 ������+cos2 ������
必修四第一章三角函数知识点、例题、练习
在 2 k , 2 k k 上是增函数；在
在 k , k
2 2
调 k 上是增函 性 数；在
2 k , 2 k
k 上是减函数．
k 上是增函
数．
9
3 2 k , 2 k 2 2
10、三角函数线： sin ， cos ， tan A ． 11、同角三角函数的基本关系式：
1 sin 2 cos 2 1 sin 2 1 cos 2 , cos 2 1 sin 2 ； 2
sin sin tan cos , cos ． tan
180 o 6、弧度制与角度制的换算公式： 2 360 ， 1 ，1 5
o
． 7、若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 l r ， C 2r l ， S lr r 2 ． 例 2、 已知扇形的圆心角是 ，所在圆的半径是 R . （1）若 60 , R 10cm, 求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面 积。 （2）若扇形的周长是一定值 C (C 0), 当 为多少弧度时，该扇形 有最大面积？
ymax 1 ；当 x 2k
R
时， ymax 1 ；当
x 2 k
2
k 时， ymin 1 ．
既无最大值也无最 小值
k 时， ymin 1
．
周 期 奇 偶 单
2
2
奇函数
偶函数
奇函数
在 2 k , 2 k
数学必修4知识点归纳总结
数学必修4知识点归纳总结第一章 三角函数周期现象与周期函数周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T ；x 必须是定义域内的任意值； f(x ＋T)＝f(x)。
练习:（1）已知函数f(x)对定义域内的任意x 满足：存在非零常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立。
求：f(x ＋2T) ，f(x ＋3T)解：f(x ＋2T)＝f[(x ＋T)＋T]＝f(x ＋T)＝f(x)， f(x ＋3T)＝f[(x ＋2T)＋T]＝f(x ＋2T)＝f(x)(2)已知函数f(x)是R 上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11) 解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2005(3)已知函数f(x)是R 上的奇函数，且f(1)＝2，f(x ＋3)＝f(x)，求f(8) 解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2 角的概念的推广1、正角、负角、零角的概念一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向(或顺时针方向)旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角,如果α是零角，那么α＝0°；钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角。
过去我们研究了0°～360°（00360α≤<）范围的角。
如果我们将角α=030的终边OB 继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角分别得到390°，750°……的角。
角的概念经过这样的推广以后就成为任意角，任意角包括正角、负角和零角． 2．象限角、坐标轴上的角的概念．由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 300°、－60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角。
必修四数学第一章知识点
必修四数学第一章知识点上学期间，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点是指某个模块知识的重点、核心内容、关键部分。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢？以下是店铺精心整理的必修四数学第一章知识点，欢迎阅读与收藏。
正弦函数主词条：正弦函数。
格式：sin（θ）。
作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数。
函数图像：波形曲线。
值域：-1~1。
余弦函数主词条：余弦函数。
格式：cos（θ）。
作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数。
函数图像：波形曲线。
值域：-1~1。
正切函数主词条：正切函数。
格式：tan（θ）。
作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。
函数图像：右图平面直角坐标系反映。
值域：-∞~∞。
余切函数主词条：余切函数。
格式：cot（θ）。
作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数。
函数图像：右图平面直角坐标系反映。
值域：-∞~∞。
正割函数主词条：正割函数。
格式：sec（θ）。
作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的.倒数。
函数图像：右图平面直角坐标系反映。
值域：≥1或≤-1。
余割函数主词条：余割函数。
格式：csc（θ）。
作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数。
函数图像：右图平面直角坐标系反映。
值域：≥1或≤-1。
学数学的用处第一，实际生活中数学学得好可以帮助你在工作上解决工程类或财务类的技术问题。
就大多数情况来看，不能解决技术问题的人不仅收入较差而且还要到基层去从事低等体力劳动，能解决技术问题的人就可以拿高工资在办公室当工程师或者财务人员。
高中数学必修4第一章_三角函数知识复习
1第一章 三角函数知识点1、角的定义：⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角。
第一象限角的集合为22,2k k k παπαπ⎧⎫<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭第二象限角的集合为22,2k k k παπαππ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭第三象限角的集合为322,2k k k παππαπ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭第四象限角的集合为3222,2k k k παπαππ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭终边在x 轴上的角的集合为{},k k ααπ=∈Z 终边在y 轴上的角的集合为,2k k πααπ⎧⎫=+∈Z ⎨⎬⎩⎭终边在坐标轴上的角的集合为,2k k παα⎧⎫=∈Z ⎨⎬⎩⎭3、与角α终边相同的角的集合为{}2,k k ββπα=+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域。
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度。
6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=。
7、弧度制与角度制的换算公式：180********.3180πππ⎛⎫===≈ ⎪⎝⎭，，8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==。
9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin yrα=，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠。
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正。
(经典讲义)高一数学下必修四第一章三角函数
高一数学下必修四第一章三角函数第一讲：三角函数（1）⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k kαα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z终边在x轴上的角的集合为{}180,k kαα=⋅∈Z终边在y轴上的角的集合为{}18090,k kαα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k kαα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k kββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*nnα∈N所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭．8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x rα=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭问题1各是第几象限角问题：已知α角是第三象限角，则2α，2问题21．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
高中学习数学必修4第一章节总结复习及典型例题
必修四第一章复习第一：任意角的三角函数一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类〔正角、负角、零角和象限角〕，正确理解角，与角终边相同的角的集合|2k,kz，弧度制，弧度与角度的换算，弧长lr、扇形面积s1lr1r2，22二：任意角的三角函数定义：任意角的终边上任意取一点p的坐标是〔x，y〕，它与原点的距离是r x2y2(r>0)，那么角的正弦sina y、余弦cosa x、正切y，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数r rtana。
x三：同角三角函数的关系式与诱导公式：1.平方关系：sin2cos21sintan2.商数关系：cos3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。
正弦余弦正切第二、三角函数图象和性质根底知识:1、三角函数图像和性质y=sinxy-5-212-4-7-3-2-3-o 22-1 y=cosx y-5-3--212-7-2-3o -422-1y=tanx 37222534223372225422yxx3---22o322x解析式y=sinx y=cosx ytanx 定义域y y当x，当x y取最小值－1y值域和最值，y取最小值－1当x当x，y取最大值1无最值，y取最大值1周期性T2奇偶性奇函数在在2k2，2k2单调性kZ上是增函数在在T 2T偶函数奇函数2k，2k k Z上是在增函数k,k kZ 2k，2k k Z上是22减函数上为增函数2k2，2k32k Z上是减函数对称中心对称中心(k2,0)对称中心(k,0)kZ(k,0)k Z k Z或者对称性对称轴方程x k，对称轴方程k Z对称中心x k2，(k2,0)k Z k Z2、熟练求函数y Asin( x)的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等，会用五点法作yAsin(x)简图：五点分别为：、、、、。
3、图象的根本变换：相位变换：ysinx ysin(x)周期变换：y sin(x)y sin(x)振幅变换：y sin(x)y Asin(x)4、求函数y Asin(x)的解析式：即求A由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。
数学必修四第一章复习
( ,1)
2
2
3
2
3
(,0)与x轴的交点(：2,0)
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11
2
6
x
-1 -
作图时
最低点：( 3 ,1)
2
的五个 (0,0)
(
,1)
(,0)(3 ,1)
(2,0)
关键点
2
2
想一想 yA s： i x n ( 如 )的何 图画
y c o sx ,x [0 ,2]
-
解题分析
1.在利用诱导公式求三角函数的值时，一定要注意符号
2.三角变换一般技巧有 ①切化弦， ③变角， ⑤妙用1，
②降次， ④化单一函数， ⑥分子分母同乘除，
方法不当就会很繁，只能通过总结积累解题经验， 选择出最佳方法.
y s in x ,x [0 ,2 ]
最高点：y
1-
(0,0)
-1
o 6
-
∴cos α<sin α，即 cos α－sin α<0，
∴cos
α－sin
α＝－
3 2.
(3)∵α＝－447π＝－6×2π＋π4， ∴f－447π＝cos－447π·sin－447π ＝cos－6×2π＋4π·sin－6×2π＋4π ＝cosπ4·sinπ4＝ 22× 22＝21.
变式 ( 1 ) 已 知 ta n 3 求 2 ss in in 4 3 c c o o ss
y=sinx
所有的点向左( >0) 或向右( <0)平行移动
| | 个单位长度
y=sin(x+)
y=sinx
横坐标缩短(>1)或 伸长(0< <1) 1/倍
(完整word)高中数学必修四第一章知识点梳理-1,推荐文档
高中数学必修四第一章知识点梳理一、角的概念的推广•任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。
•正角、负角、零角按逆时针方向旋转成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。
可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。
•象限角、轴线角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限（终边的端点除外），就说这个角是第几象限角。
当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。
•终边相同角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成集合S={ 3 | 3 =a +k?360° ,k € Z},即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和。
二、弧度制•角度定义制1规定周角的—为一度的角，记做1 °,360这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。
•弧度制定义1 、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。
用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
1弧度记做1rad。
2、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角a,它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关，而是一个仅与角a有关的常数，故可以取为度量标准。
•弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角a所对的弧的长为I，那么，角a的弧度数的绝对值是|a | -。
ra的正负由角a的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。
三、任意角的三角函数•任意角的三角函数的定义设a是一个任意大小的角，a的终边上任意点P的坐标是（x,y），它与原点的距离r（r J X2~y20），那么1、比值-叫做a的正弦，记做sin ，即sin 上。
r r2、比值-叫做a 的余弦，记做COS ，即COS r3、比值—叫做a 的正切，记做tan ，即tanxx另外，我们把比值 一叫做a 的余切，记做COt ，即COtyrrr；把比值一叫做a 的余割，记做 CSC ，即CSC x yy对于一个确定的角 a ,上述的比值是唯一确定的， 它们都可以看成从一个角的集合到一个 比值的集合的映射，是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们把它们统称为三角函数。
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课时一：任意角的三角函数1. 弧度制：1rad 的定义： 。
特殊角的弧度数及三角函数值：2角度与弧度的换算：360︒= rad ，180︒= rad ， 1︒= rad ，1rad ≈ ︒。
3.弧长，扇形面积公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α（弧度），半径为r ， 则弧长l = ，S 扇形= = 。
考点：1．同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .对点练习：【2018届贵州省贵阳市8月摸底】已知，则__________．考点1 同角三角函数的基本关系式【1-1】若α为第三象限，则αααα22cos 1sin 2sin 1cos -+-的值为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．1-【1-2】【浙江省嘉兴市质检】若sin cos 5θθ+=，[0,π]θ∈，则tan θ=（ ） A ．12- B ．12C ．2-D ．2【1-3】【2017安徽马鞍山二模】已知2cos sin αα=，则41+cos sin αα=（ ） A.12D. 2【变式一】已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________.sin cos 2sin cos αααα-=+tan α=2．利用诱导公式化简求值（一）诱导公式诱导公式一: =+)2sin(παk _______________ =+)2cos(παk ______________=+)2tan(παk _____________（其中Z ∈k ）诱导公式二： =-）αsin(________________ =-）αcos(_______________ =-）αtan(_______________（其中Z ∈k ）诱导公式三: =-）απsin(____________ =-）απcos(___________ =-）απtan(___________（其中Z ∈k ）诱导公式四：=+）απsin(_____________ =+）απcos(___________ =+）απtan(____________（其中Z ∈k ）作用：实现正弦（切）函数和余弦（切）函数的互化。
口决：奇变偶不变，符号看象限．)(2由象限决定数的符号符号指的是前面三角函的奇偶性；中奇偶指的是k kπ类型一：利用诱导公式求值例1 (直接应用) 求下列各三角函数值 （1）16sin()3π-； （2）o cos(945)-.练习：求oooosin10sin(260)cos100cos(170)---的值.例 2 (变式应用) 求ooooosin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)tan 945-+--+的值练习：求35463755tan()sin()cos tan 6366ππππ---.例3 (综合应用) 已知o1cos(75)3α-=-，且α为第四象限角，求osin(105)α+的值.练习：若o1cos(75)3α+=，且α为第三象限角，求o ocos(15)sin(15)αα-+-的值.类型二：利用诱导公式化简三角函数式例3(直接应用) 化简cos()2sin()cos(2)5sin()2παπαπαπα-⋅-⋅-+.练习：化简：sin(6)cos(10)tan()cos()sin(8)tan(5)παπααπαππαπα-+---+-；例4 (变式应用) 求值24sin(2)cos()(Z)33n n n ππππ+⋅+∈.基础巩固一、选择题1．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)sin600°＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．322．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－353．设A 、B 、C 是一个三角形的三个内角，则在①sin(A ＋B )－sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③tan(A ＋B )＋tan C ；④cot(A ＋B )－cot C (C ≠π2)，这四个式子中值为常数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列各三角函数值： ①sin1 125°； ②tan 37π12·sin 37π12；③sin3tan3； ④sin1－cos1.其中为负值的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个5．化简1＋2sin (π－3)cos (π＋3)的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3)D ．以上都不对6．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A ．1－k 2kB ．－1－k 2kC ．k1－k 2D ．－k1－k 2二、填空题7．已知cos(π＋α)＝－12，则tan(α－9π)＝________.8．已知角α的终边上一点P (3a,4a )，a <0，则cos(540°－α)＝________. 三、解答题9．求下列三角函数式的值：(1)sin(－840°)cos1 470°－cos(－420°)sin(－930°)； (2)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.课时二，正弦函数、余弦函数的图象和性质一、三角函数的图像：1． 正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MPry==αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线， 2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象（几何法）：把y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 叫做正弦曲线3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：4、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）： 为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．-11y x-6π-5π6π5π-4π-3π-2π-π4π3π2ππf x () = sin x ()2、余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是 (0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 现在把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=cosx ，x ∈R 的图象，3、正切函数x y tan =的图象： 我们可选择⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)二、三角函数的性质: sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域值域最值周期性奇偶性单调性对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴类型一、三角函数的图像：例1. 作出函数x y 2cos 1-=的图象函数 性质练习：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+=611,6)6cos(πππx x y ，类型二、三角函数的性质：例2. 求下列函数的周期 （1）x y 21sin = （2）)63sin(2π-=x y练习：求下列三角函数的周期： 1︒ y=sin(x+3π) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(2x +5π) 4︒ y=tan3x例:4. 比较下列各组数的大小。
（1）sin194°和cos160°；（2）47sin 和35cos ； （3）)83sin(sin π和)83sin(cos π练习：比较下列各组数的大小(1)sin(－18π)、sin(－10π)； (2)cos(－523π)、cos(－417π)．例5. 求下列函数的最大值和最小值（1）（2）（3）练习：1.求下列函数的定义域和值域： （1）2sin y x =- （2）y =（3）lgcos y x =2.求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性例6．求下列函数的单调区间： （1）y =21sin （4π－32x ）；（2）y =－｜sin （x +4π）｜。
y x=-112sin y x =++3223sin()πy x x =+-≤≤22366sin()()πππ家庭作业一、选择题1．函数y ＝sin ax (a ≠0)的最小正周期为π，则a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．122．(2014·江西九江外国语高一月考)函数y ＝sin(x －π4)的一条对称轴可以是直线( )A ．x ＝π2B ．x ＝7π4C ．x ＝－3π4D ．x ＝π43．函数y ＝sin2x 的单调减区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，32π＋2k π(k ∈Z ) B ．⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋34π(k ∈Z ) C ．[π＋2k π，3π＋2k π](k ∈Z )D ．⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 4．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1D ．－25．(2014·浙江象山中学高一月考)y ＝sin x －|sin x |的值域是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[－1,1]D ．[－2,0]6．已知函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]，则该函数图象与直线y ＝32交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题7．f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－sin x ，则当x <0时，f (x )＝________. 8．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ·cos(π2＋x )是________函数．(奇、偶性) 三、解答题9．求函数y ＝7－6sin x －2cos 2x 的最值．课时三：三角函数图像变换1、函数图象的左右平移变换如在同一坐标系下，作出函数)3sin(π+=x y 和)4sin(π-=x y 的简图，并指出它们与图象之间的关系。