NOD随机变量序列加权和的矩完全收敛性

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随机变量序列的两种收敛性

§4.2随机变量序列的两种收敛性在上一节中，我们从频率的稳定性出发，引入了n η=∑=n i i n 11ξ−→−p a （n ∞→）即随机变量序列{}n η依概率收敛于常数a 这么一个概念。

我们自然可以把所讨论的问题推广到a 不是一个常数，而是一个随机变量这样的情形，于是需要引入下面的定义。

定义4.2 设有一列随机变量1η，2η，3η，…，n η，如果对任意的ε>0,都有 lim ∞→n P ()εηη<-n （4.6）则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，并记作lim ∞→n r η−→−p η 或n η−→−p η （n ∞→）由此可知，前一节中讨论过的大数定律只是上述依概率收敛的一种特殊情况。

我们已经知道分布函数全面地描述了随机变量的统计规律，如果已知n η−→−p η（n ∞→），那么它们相应的分布函数n F （x ）与F （x ）之间的关系会有什么样的关系呢?一个猜测是,对所有的x ，都有n F （x ）→ F （x ）（n ∞→）成立，这个猜测对不对呢?让我们看一个很简单的例子。

例4.2 设η，n η都是服从退化分布的随机变量，且P （η=0）=1,P （n η=-n 1）=1，n=1,2,… 于是对任给的ε>0，当n>ε1时有 P （ηη-n ≥ε）=P （n η≥ε）=0所以n η−→−p η （n ∞→）成立。

又设η，n η的分布函数分别为F （x ），n F （x ），则F （x ）=⎩⎨⎧≤>0,20,1x xF （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧-≤->n x n x 1,21,1 显然,当x ≠0时，lim ∞→n n F （x ）= F （x ）成立，当x=0时，lim ∞→n n F （0）=lim ∞→n 1=1≠0= F （0）这个简单的例子表明，一个随机变量序列依概率收敛于某一个随机变量，相应的分布函数列不一定是在每一点上都收敛于这个随机变量的分布函数的。

_混合序列加权和的矩完全收敛性_章志华

= I1 + I2 . 对I1 , 由Markov不等式有 I1 ≤ C ≤ C ≤ C
∞ n=1 ∞ n=1 ∞
nt−2−q/r nt−2−q/r nt−1−q/r n
+∞ nq/r +∞ nq/r +∞
x−1/q
∞ n=1
|ani |E|Xi |I (|Xi | > x1/q )dx
x−1/q E|X |I (|X | > x1/q )dx P{|X | > x1/q }dx x−1/q
n
0 < r < 2, t > 1, rt ≥ 1, 则当E{|X |rt + |X | log(1 + |X |)} < ∞时, 对∀ ε > 0, 有
∞ n=1
i=1
Xi , 如果
nt−2−1/r E
1≤ k ≤ n
max |Sk − k EX | − εn1/r
+
< ∞,
(1.2)
其中如果x > 0, 则x+ = x; 如果x < 0, 则x+ = 0. 王定成和苏淳(2004)把Chow(1988)的结果推广到了p-型Banach空间情形, Chen(2006) 在没有附加几何假设条件下的Banach空间情形下得到了相应的结果. Li和Zhang (2004)在
第五期
章志华陈平炎: ϕ-混合序列加权和的矩完全收敛性 ∞ n=1
473
引理 1.1 [13]
设{Xn , n ≥ 1}是ϕ-混合随机变量序列, 其混合系数满足
ϕ1/2 (n) <
2 < ∞, 则 ∞. 若∀ n ≥ 1, EXn = 0, EXn

随机变量序列的收敛特性

概率空间•几乎必然收敛(almost sure convergence)–随机变量序列收敛到，同时}{n X X {li – a.s. 1}{lim ==∞→X X P n n X X =lim XX −→−.s .a 表示为或者n n ∞→n →)}()(lim :{ςςςX X n n =∞→•依概率收敛(convergence in probability)–随机变量序列以及满足对任意}{n X X li ε–p. 0}||{lim=>-∞→εX X P n n X X =lim XX −→−.p 表示为p 或者n n ∞→n →也有可能的数值极大|X X n -|•均方收敛(mean square convergence)–随机变量序列以及满足,同时}{n X X li ∞<}{2nX E –m.s. 0}){(lim2=-∞→X X E n n X X =lim XX −→−m.s.表示为或者n n ∞→n →•均方收敛(mean square convergence)–随机变量序列以及满足,同时}{n X X li ∞<}{2nX E –m.s. 0}){(lim2=-∞→X X E n n X X =lim XX −→−m.s.表示为或者则n n ∞→n →m s •若，则X X n −→−m.s.∞<}{2X E 几乎必然收敛或依概率收敛都不能确保均方收敛•以概率分布收敛(convergence in distribution)–随机变量序列以及满足在任意连续的x}{n X X li )()(limx F x F X X n n =∞→–表示为 d. 或者X X n n =∞→lim XX n −→−d.•依据特征函数判断收敛–XX n −→−d.––)}({)}({X f E X f E n →)t ()t (XX nΦ→Φ.s .a ⇒XX −→−.p(Cauthy criteria)在不知道极限的情况下，判定随机变量序列收敛随机变量序列的收敛特性。

行为NA的随机变量阵列加权和的收敛性

６
有
高师理科学刊
Ｃ
第Ｃ３Ｏ卷Ｃ
∑ ２主要结果及证明
∑ 口 ∑
Ｐ
∑ ∑ 口
ｎ
Ｐ
Ｐ
定理
的机量列Ｅ０ｆ ≤ 七１ｏ ≥）随变Ｅ，Ｘ＝，：ｆ、，１阵ｌｏ
，
是实数阵
Ｐ
一
＜一致可积，且存在正常数Ｍ使得对任意的１ｒＰ＜
因叫
∑
有
＋
０（ｏ），ｏ，从而ｌ
Ｐ
∑ 口
ｎ
口ｎ
ｙ
Ｐ
Ｐ
． Ⅲ
Ｅ
，．小
ＥＩ ∑以
得ｅ＂＝二，所以Ｅｘｆ一
Ｉｋ
、Ｉｌ，
ｐ
＝
可积条件下的收敛性和弱大数定律，以及在弱于Ｃｓｏ一致可积条件下行为ＮＡ的随机变量ｅ丘ｒ
阵列加权和的完全收敛性，推广和改进了目前该方面的主要结果．
关键词：行为ＮＡ的随机变量阵列；加权和；收敛性中图分类号：０１．２４１文献标识码：Ａｄｉ０３６／ｉｎ１０ — ８１０００．０ｏ：１．９ｊｓ．７９３．１．０２９．ｓ０２４
个不相交的非空子集和，都有Ｃｖｆ（ｆＡ）厂（，『）０，其中：和厂是任意２ｏ（￣， ∈ １２ｘ，－ｘ， ∈Ａ）≤ ２个使上述协方差存在且对每个变量均非降（或均非增）的函数；称随机变量列（ｎｌＮＸ；ｌ为Ａ序列，若对任何自然数ｎ，｛１２Ｘ；ｎ都是Ｎ的；称｛； ≤ ｋ，１）ＡＸ１ｉｎ｝是行为Ｎ的随机变量阵列，若对任Ａ

N 序列部分和的矩完全收敛性 A

Ｃｖｆ（；Ｅ）人（ｊ１２）０ｏ（，；Ｔ，Ｘ；Ｅ）簇，Ｘｉ，．Ｔ（．１１）其中ｆ和几是任何两个使上述协方差存在的且对每个变元均非降（ｌ或均非升）的函数；称无限随机变量族为ＮＡ的，如其任一有限子族为ＮＡ的．对同分布ＮＡ随机变量序列，已有许多文章（７１〕如［－０讨论了它们的强收敛性，其中王小明Ｅ讨论了同分布Ｎ９１Ａ随机变量序列
？艺
定理设｛；＞１为ＮＸ；）Ａ序列且存在随机变量Ｘ，ｉｏ使得对充分大的ｘ有
ｓｐ｝Ｉｘ簇Ｃ｝｝ｘ．ｕＰ｛Ｘ；｝＞Ｐ｛Ｘｏ＞｝
让有
（－）２１、１、，镇ｑ＜１进一步假设Ｅ；，．时，Ｘ＝Ｏｉ如对某慢变化函数１ｘ＞ｌ（）ａ下种ｐ户ｔ１＜ｐ且当ａ户，，ａ乙
ｎ一ｉ口
ｘａ＜ｓｐ｝ ‘ ｉ＋ｎ｛＂０ｉＥ［１〕ＣＩ｝｝＞ＸＩｅ｝Ｐｘ＞ｎ一ｕ１
Ａ（，）＋Ｂ）ｎｔ（．ｎ
既然ｐ且ｐ＞故可取Ｙ满足ｐ＞Ｙ＞由（－）＞１ａ１，＞ｌａａ１２２成立有．（－）２９ＥＸ｝＜Ｃ．｝ｏＹｏ
收稿日２０－７２期：０５０－２
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高校应用数学学报
第２卷第４１期
了许多学者的兴趣，已经有许多文章讨论了负相协随机变量序列的极限定理．称一有限随机变量族｛ｉＥＩ为负相协的（ｘ：）ｉ简称为Ｎ，Ａ）如果对于集合Ｉ中任何两个不相交的非空子集
Ｔ和Ｔ，，２都有
、

随机变量序列的几种收敛性注记

科教论坛科技风2020年10月DOC10.19392/ki.1671-7341.202028033随机变量序列的几种收敛性注记杨元启三峡大学理学院湖北宜昌443002摘要：随机变量序列的收敛性理论主要源自测度论中可测函数序列的收敛性理论，但由于概率测度的特殊性，使得随机变量序列的敛散性有自己的特点。

这些理论既是概率论的重点，也是难点。

本文准备详细介绍随机变量序列的各种收敛性概念,讨论他们之间的联系，并以适当的例题来说明收敛的性质。

关键词:几乎必然收敛;依概率收敛；完全收敛;一致可积性本科教材中关于随机变量序列的收敛概念一般只有两种:依概率收敛和依分布收敛,分别关联大数定律和中心极限定理。

但根据序列收敛的强弱,有多种强弱不同的收敛概念,它们的侧重点不一样，相互之间也有联系，讨论如下。

设79,9，”=1,2,3｝是概率空间(*,,p)上的随机变量序列，随机变量9的分布函数记作F(0=p(X<x+,x(R,X n 的分布函数记作F(0#以下是几种常用的收敛性：(1)若对F(0)的每个连续点0,有0)=F(0)，则称随机变量序列｛X”｝依分布收敛于X,记作X”厶X；(2)若对任意&>0,li rn P(X…-X|'&)=0,则称随机变P量序列｛X”｝依概率收敛于随机变量X,记作X”一X；(3)设r>0,=X”存在，且”X”-X|'=0,则称随机变量序列｛X”｝r阶收敛于随机变量X,记作X”二X,这时易知=X>也存在；(4)若P(”im X…=X)=1,则称随机变量序列｛X”｝几乎必然收敛于随机变量X,记作X”上$X；(5)若对任意的&>0,都有lim-P(|X»-X|'&)=0称随”$"7=”c机变量序列｛X”｝完全收敛于随机变量X,记作X”一X#下面几个概念与随机变量序列的收敛性关系密切：(1)对任给的&>0,存在(使得对任一"(F,当P(")d 时，便有spf j X”|$p<&,则称随机变量列｛X”｝是一致绝对连续的；(2)若epJj X”|$P<",则称随机变量列｛X”｝积分一致有界；(3)若sp|X”|$P=0,则称随机变量列｛X”｝是一致可积的；由测度论的理论,有下列结论:(1)｛X”｝是一致可积的充要条件是｛X”｝是一致绝对连续的且积分一致有界；(2)X”上$X当且仅当对于任意的&>0,^｛*”7X”-X丨'&｝｝=0以及X”上$x当且仅当对于任意的&>0,P(/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”P(3)X…-$X当且仅当对｛X”｝的任一子序列｛X”？，均存在子序列7X”》｝0｛X”？,使得X”7上$x；“、a・s.,、，P(4)X”一X时必有X”一X；r P(5)X”---------$X时必有X”----------$X；P<(6)X”---------$X时必有X”----------$X；C., a.s.(7)X”---------$X时必有X”----------$X；(8)”F"IX-XI=0的充要条件是｛X”｝是一致可积且PX”$X上述部分结论的证明可以从本文所列文献中找到，这里就不赘述了#我们只证(2)和(7)#先介绍一个引理#"8888弓【理如果-P("”)<8,则P(/U"”)=0,P(*/"”.)=1,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为0,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为1;如果P("”)=8,而｛"”｝是两两独立的事件序列，则P8888(/*"”)=1,P(*/"”.)=0,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为1,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为0#这是著名的波雷尔-康特立引理#(2)的证明:若X”上$X,即*中除了某个概率测度为零的集合8以外的所有点)对于任何&>0,当”>”0(&,)时就有t”_X I<&,也就是说，满足对任意的”,总存在>'”，使得X”-X的点)必属于零测度集8,亦即/*7X”-X'”一1>—”&｝08,因此P(/*7|X>-X|'&｝)=0；”=1>=”所以说X”上$X当且仅当对于任意的&>0,P (/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”66科技风2020年10月另外，根据概率的连续性，显然有P(/*i19-91>&!)=+=17=+0i U/P{U7丨9”-9|'&}=0,反之,若对于任意的&>0, >=+有U m：{U79”-9|'&}=0,则由于/U79”-9|'&8 +$">=++=1>=+"880U7X m-9|'&,有0!：(/U7X m-9|)!Um：>=++=1>=++$8 {U+7.|9>-9|}=0综上有：as889—」9%对于任意的&>0,P(/U7丨9”-9|)=0+=1>—+%对于任意的&>0,fm P{U7丨9”-9|}=0#+—8>—+C8(7)的证明：因为9―$9,即任意的&>0,Um-：+$87=+ (9,,-9'&)—0,因此Um：{U7丨9”-9|}<Um-：+$8>=++$8>=+ (9m-9|'&)=0,即|=9#以下通过几个例子进一步讨论随机变量序列的性质#例1设{9”}为相互独立的随机变量序列，若9…上$证明:设9…上$0,则对任意的&>0,有：(/U79-0)=0”=17=+即：(limyp7I9t1>&)=0,由｛9…｝相互独立及波雷尔-康特立引理，知-:(9>'&)<8,因此Um-：>=1”$8>=+ (9”|'&)=0,此即9 0注：(1)显然，此结论可改为：若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于9…亠0'或者，若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于2&>0,-：7(191>&)!<8#+=1(2)若｛9｝独立，｛,”｝为常数列，则9上$0等价于2&>0,-：7(19<8#”—1例2设｛9”｝为以概率1单调的随机变量序列，且9…: a.s.—9,则9”一9#:证明:不妨设2)(*,｛9”｝为单调递增，由于9…-$9,因此对｛9”｝的任一子序列｛9”？,均存在子序列｛9”？0 79…7!,使得9”7上$9,而｛9”｝为单调递增，故2)(*,9”$ 9,因此9”9#例3设随机变量序列｛9+｝依分布收敛于常数，，则9”:-----，#「1久',证明：常数，的分布函数；(0)=匸，｛9”｝依分布0x<<收敛于，,对任意的&>0,：(丨9”-|'&)=：(9”<,-&+：(9”'a+&)<;”(a-&)+—：(9”«+£&二；”(Q-&)+—;”(a+&:-0)=0+1-1二0,所以9”---a#例4设｛9”｝是独立同分布的随机变量序列，二阶矩有2”：界,则十*-@@―”(”+1)@12”证明:记=91=#,A91=*2,则*2<8,=(,2八-忑)—”(”1)@=1 )”乔17=( -9心A含9)=心-2”2”川-弘予，A(»-9)=4*2亍-==232”+11*2$0,(”$8)2=13”(”+1)2”由契贝雪夫不等式有2&>0,P(I十丁--=91I'&)”(”1)=12”<”(”&)@——$0,(+$»)，亦即尸石-9厶=91# &”(”+1)=1例5设｛9”｝为独立同分布的随机变量序列，密度函数「2-0a)兀'a</(0=L，记B”=m/791，…9”!，则B”—a# 050<af1-2"(0"a)兀'a 证明：容易算得公共分布函数;(0)-,0050<a'a时,：(B”>0)=：(m/791，…9”!>0)=：(/{9=>0)=1=(1-F(0))”=2一0-)2&>0,P(I”-a l'&)=：(B”'a+&)+P(B”<a-&)=2兀+：(*79=<a-&!)=1=2^+-：(9=<a-&)=1—e-&+0$0,”$8:<所以B”$a，因此,B”$a#例6设{9”}为独立同分布的随机变量序列,P(9”=1)1”9»=：(9”=0)=*,B”=-出”=1,2,3,则B”的分布收敛于27=12［0,1］上的均匀分布#证明：9»的特征函数为/()=*(1+e")—as寺2“,；的特征函数为+()-寺(1+e")=cos2)71“,7=1,2,3,由于97独立同分布,7=1,2,3,故B”的特征函数为,”(-=3(cos7=1tsin命抽')=丁-----------eM-,由于”/0”(-=〒Cn寺=Sm2”+丄(2“-1)，而［0,1］上的均匀分布的特征函数恰为丄*2“-1), It It由逆极限定理知B”的分布收敛于［0,1］上的均匀分布#参考文献：［1］王寿仁.概率论基础与随机过程［M&.北京：科学出版社，1997.［2］严家安.测度论讲义.北京:科学出版社,2000.［3］周民强.实变函数论.北京：北京大学出版社,2003.［4］严士健，王隽骧，刘秀芳.概率论基础.北京：科技出版社,$982.67。

NOD

２０１５年９月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版S e p．２０１５第３２卷第３期㊀㊀㊀㊀㊀J o u r n a l o fG u a n g x i T e a c h e r sE d u c a t i o nU n i v e r s i t y:N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n V o l．３２N o．３D O I:１０．１６６０１/j．c n k i．i s s n１００１Ｇ８７４３．２０１５．０３．００５文章编号:１００１Ｇ８７４３(２０１５)０３Ｇ００１８Ｇ０５N O D下V a R样本分位数估计的强相合性及其B a h a d u r表示∗姚㊀竟１,李永明２(１．广西师范学院数学与统计科学学院,广西南宁５３００２３;２．上饶师范学院数学系,江西上饶３３４００１)摘㊀要:利用N O D样本的性质及其相关不等式,研究了在N O D序列情况下,风险度量V a R非参数估计量的性质．证明了V a R样本分位数估计的强相合性,同时也给出了V a R样本分位数估计的B a h a d u r表示．关键词:N O D序列;V a R估计;B a h a d u r表示;强相合性中图分类号:O２１２．７㊀㊀文献标识码:A１㊀引言及预备知识自２０世纪中以来,金融市场的不稳定性日趋显著,促使人们开始研究度量金融风险方法,学者们通过不断对比分析,发现在险价值V a R度量模型是较为理想的方法．设{Y t}n t＝１表一资产在某整段时间内的n个时间段市场价格序列,定义X t＝l o g(Y t/Y t－１)为第t个时间段对数回报率．假设{X t}n t＝１是一个严平稳相依时间序列,其边际分布函数为F(x),给定pɪ(０,１),则在１－p置信水平下的V a R的值为γp＝－i n f{u:F(u)ȡp}．定义V a R样本分位数估计为θn,p＝－X[n p]＋１．又用q p＝－γp,z n,p＝θn,p分别表示F(x)的总体分位数和样本分位数．样本分位数的经验分布函数为F n(x)＝n－１ðn i＝１I(X iɤx),I( )为示性函数,{X n}是随机变量．下面先给出J o a gＧD e v和P r o s h c h a n[１]关于N O D序列的定义．定义１．１㊀如果对所有的实数x１,x２, ,x n,既有P(X i＞x i,i＝１,２, ,n)ɤᵑn i＝１P(X i＞x i),也有P(X iɤx i,i＝１,２, ,n)ɤᵑn i＝１P(X iɤx i),则称随机变量X１,X２, ,X n是N O D序列(n e g a t i v e l y u p p e r o r t h a n t d e p e n d e n t)．在１９８３年J o a gＧD e v和P r o s c h a n给出了N A和N O D的概念,同时他们指出N A随机变量是N O D 随机变量序列,并且举例说明了N O D严格弱于N A．N A序列在可靠性分析和多元统计分析中应用广泛,以致有大量关于N A序列的文章,而有关N O D的文章却很少．关于N O D随机变量序列国外学者近年来取得些许成果,２００６年N．A s s d i a n,V．F a k o o r和A．B o z o r g n i a[２]研究了N O D随机变量的R o s e n t h a l型的不等式．国内学者也相继取得不少成绩,甘师信和陈平炎[３]研究了N O D序列加权和的强收敛速度,W a n g X u e j u n,H uS h u h e,Y a n g W e n z h i,L i n g N e n g x i a n g[４](２０１０年)等人研究了N O D的指收稿日期:２０１５Ｇ０５Ｇ０５∗基金项目:国家自然科学基金资助项目(１１４６１０５７);江西省自然科学基金项目(２０１２２B A B２０１００７)作者简介:姚竟(１９９０－㊀),女,江西上饶市人,硕士生,研究方向:概率与数理统计．通讯作者简介:李永明(１９７０－㊀),男,江西上饶人,教授,博士,硕士生导师,研究方向:概率与数理统计．第３期㊀㊀㊀㊀㊀姚竟,等:N O D 下V a R 样本分位数估计的强相合性及其B a h a d u r 表示１９㊀数不等式和逆矩阵估计．尽管目前有关N O D 的文章不多,但是可以肯定研究N O D 序列一系列的性质具有一定理论以及实际意义．在１９９０年国外学者就开始着手对V a R 的研究．C ．S m i t h s h o n 和L ．M i n t o n [５](１９９６)对V a R 进行了详细的介绍,并给出了预测风险值方法和相关说明．在国内,直到１９９７年才开始进行关于V a R 的研究,郑文通[６](１９９７)的金融风险管理的V a R 方法及其应用开启了国内V a R 的研究．生活中遇到的金融,经济时间序列并不是独立的,而是相依的序列．相依序列一般有α－混合,N A 混合等多种混合,多数学者对其中部分相依混合序列的V a R 非参数估计做了研究．本文意在N O D 序列下探讨V a R 样本分位数估计的有关性质．记总体分布函数F (x )的V a R 分位数为:γp ＝－i n f {u ＝ʒF (u )ȡp },基于样本X １,X ２, ,X n 的样本V a R 分位数为:θn ,p ＝－X [n p ]＋１．我们给出如下假设:(A １)过程{X i }是严平稳相依的N O D 序列．(A ２){X i :i ȡ１}的边缘分布函数为F (x ),F (x )在q p 邻域内连续可导．(A ３)满足F ᶄ(q p )＝f (q p )＞０,若f ᶄ(q p )在q p 邻域内有界且取得正值．２㊀引理下面我们给出所需要的引理．引理２．１[７]㊀设随机变量X １, ,X n 是N O D 序列,f １, ,f n 均为非降函数(或均为非增函数),则有随机变量f １(X １), ,f n (X n )仍是N O D 序列．引理２．２[４]㊀设{X i ,i ȡ１}是一N O D 随机变量系列,E X i ＝０,X i ɤb ,a ．s ．,记Δn ＝ðni ＝１E X ２i ,则对任意的ε＞０,有P (ðni ＝１E X i ȡε)ɤ２e x p －ε２２(２Δn ＋b ε){}．(２．１)㊀㊀引理２．３㊀设{X i ʒi ȡ１}同时满足A １,A ２,A ３,则当n ңɕ时,有s u p x ɪC n{F n (x )－F (x )}－{F n (q p －p )}＝o (n －３/４h n ),a ．s ．,(２．２)其中C n ＝{x :q n －n －１２h n ɤx ɤqn ＋n －１２h n }．证明㊀记λr ,n ＝q p ＋r (n －３/４h n ),θr ,n ＝F n (λr ,n )－F (λr ,n )－F n (q p )＋p ,不妨假设F n (x )是非降函数,利用微分中值定理可得F n (x )－F (x )－F n (q p )＋p ɤF n (λr ＋１,n )－F (λr ,n )－F n (q p )＋p ＝F n (λr ＋１,n )－F (λr ＋１,n )＋F (λr ＋１,n )－F (λr ,n )－F n (q p )＋p ＝θr ＋１,n ＋F (λr ＋１,n )－F (λr ,n )ɤθr ＋１,n ＋q (n －３/４h n ),且F n (x )－F (x )－F n (q p )＋p ȡF n (λr ,n )－F (λr ＋１,n )－F n (q p )＋p ＝F n (λr ,n )－F (λr ,n )＋F (λr ,n )－F (λr ＋１,n )－F n (q p )＋p ＝θr ,n －(F (λr ＋１,n )－F (λr ,n ))ȡθr ,n －q (n －３/４h n ),由此可得s u p F n (x )－F (x )－F n (q p )＋p ɤm a x０ɤr ＜m nθr ,n ＋q (n －３/４h n )．(２．３)对任意的ε＞０,有P (m a x ０ɤr＜m nθr ,n ȡεn －３/４(h n ))＝P (m a x ０ɤr＜m nF n (λr ,n )－F (λr ,n )－F n (q p )＋p ȡε(n －３/４h n ))ɤP (m a x０ɤr＜m nF n (λr ,n )－F (λr ,n )ȡ１/２ε(n －３/４h n ))＋P (m a x０ɤr＜m nF n (q p )－p ȡ１/２ε(n －３/４h n ))．(２．４)㊀㊀令ξi ＝I (X i ɤλr ,n )－E I (X i ɤλr ,n ),i ＝１, ,n ,由引理２．１知,ξ１, ,ξn ,是N O D 序列,且E ξi ＝２０㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３２卷０,ξi ɤ２,ðni ＝１E ξ２i ɤ４n ．由引理２．２和类似文献[９]中引理３和定理１的证明得P (m a x０ɤr＜m nF n (λr ,n )－F n (λr ,n )ȡ１/２ε(n －３/４h n ))＝ðɕn ＝１P (F n (λr ,n )－F n (λr ,n )ȡ１/２ε(n －３/４h n ))＜ɕ．(２．５)同理可得P (m a x０ɤr＜m nF n (q p )－p ȡ１/２ε(n －３/４h n ))＜ɕ．(２．６)因此,由(２．４)~(２．６)和B o r e l ＧC a n t e l l i 引理可得m a x ０ɤr＜m nF n (λr ,n )－F (λr ,n )－F n (q p )＋p ＝o (n －３/４h n ),a ．s ．．(２．７)根据式(２．３)和(２．７)即可得到引理的结论．引理２．４[８]㊀设{X n ,n ȡ１}为N O D 的随机变量序列,满足E X n ＝０,E X ２n ＜ɕ,则有E (m a x１ɤk ɤnðki ＝１Xi２)ɤ(l o g ３n ＋２)２ðni ＝１E X ２i ．３㊀主要结果及证明定理３．１㊀设{X i ʒi ȡ１}严平稳相依的N O D 序列,同时满足假设A ２,A ３,则有z n ,p －q p ＝o (n －３/４h n ),a ．s ．．㊀㊀证明㊀设W n ＝ʒ{ωʒz n ,p －q p ȡn －３４h n }＝㊀㊀{ωʒz n ,p －q p ȡn －３４h n }＋{ωʒz n ,p －q p ɤ－n －３４h n }＝ʒW １＋W ２,假设经验分布函数F n (X )是非降函数．ɣ２k ɤn ＜２k ＋１W １＝ɣ２k ɤn ＜２k ＋１ðni ＝１I (X i ȡq p ＋n －３４h n )ȡ[n p ]＋１{}⊆ɣ２k ɤn ＜２k ＋１ðni ＝１I (X i ȡq p ＋C １２－３４(k ＋１)h k )ȡ[n p ]＋１{}⊆ɣ２k ɤn ＜２k ＋１ðni ＝１(ξk ,i＋F (q p ＋C １２－３(k ＋１)４h k ))ȡ[n p ]＋１{}⊆ɣ２k ɤn ＜２k ＋１ðni ＝１ξk ,iȡ[n p ]＋１－n F (q p ＋C １２－３(k ＋１)４h k ){},其中ξk ,i ＝I (X i ȡq p ＋C １２－３４(k ＋１)h k )－F (q p ＋C １２－３(k ＋１)４h k )．对F (q p ＋C １２－３(k ＋１)４h k )在q p 处进行Ta y l o r 展开,可得F (q p ＋C １２－３(k ＋１)４h k )＝p ＋C １f (q p )２－３４(k ＋１)h k ＋o (２－３(k ＋１)４h ２k )．当２k ɤn ＜２k ＋１时,有[n p ]＋１－n F (q p ＋C １２－３(k ＋１)４h k )＝[n p ]＋１－n [p ＋C １f (q p )２－３４(k ＋１)h k ＋o (２－３(k ＋１)４)h ２k )]＝㊀㊀－n (C １２－３(k ＋１)４h k ＋o (２－３４(k ＋１)h ２k ))＝C ２f (q p )２k４h k ＋o (２－３(k ＋１)４h ２k )＞C ３２k４h k ．由此可得ɣ２k ɤn ＜２k ＋１W １⊆ɣ２k ɤn ＜２k ＋１{ðni ＝１ξk ,i ȡC ３２k４h k }⊆{m a x １ɤn ＜２k ＋１ðni ＝１ξk ,iȡC ３２k４h k }．根据M a r k o v 不等式和引理２．４得P (ɣ２kɤn ＜２k ＋１W １)ɤC ２－r k４h －r kE (m a x １ɤn ＜２k ＋１ðni ＝１ξk ,irɤC ２－k２h －２k(l o g ３n ＋２)２ðni ＝１E ξ２k ,i ɤC ４h －２k ,同理可得P (ɣ２kɤn ＜２k ＋１W ２)ɤC ４h －２k ．第３期㊀㊀㊀㊀㊀姚竟,等:N O D下V a R样本分位数估计的强相合性及其B a h a d u r表示２１㊀所以有ðɕk＝１P(ɣ２kɤn＜２k＋１W n)＜ɕ．由B o r e lＧC a n t e l l i引理得P(ɣ２kɤn＜２k＋１W n,i．o．)＝０．定理得证．定理３．２㊀设定理３．１的条件成立,则γp－θn,p＝p－F n (q p)f(q p)＋o(n－３/４h n)．㊀㊀证明㊀由定理３．１可知z n,p－q p＝o(n－３/４h n),a．s．,(３．１)由θn,p的定义可得F n(z n,p)－p＝F n(θn,p)－p＝n－１([n p]＋１)－p＝o(n－１)．(３．２)作F(z n,p)在分位数q p的T a y l o r展开式F n(z n,p)＝p＋f(q p)(z n,p－q p)＋１/２fᶄ(θn)(z n,p－q p)２．(３．３)由引理３可知F n(q p)－F(q p)＝F n(z n,p)－F(z n,p)＋o(n－３/４h n)．(３．４)根据(３．１)~(３．４)得F n(q p)－F(q p)＝F n(z n,p)－F(z n,p)＋F(q p)－F(q p)＋o(n－３/４h n)＝F(q p)－F(z n,p)＋F n(z n,p)－F(q p)＋o(n－３/４h n)＝F(q p)－F(z n,p)＋o(n－１)＋o(n－３/４h n)＝F(q p)－[p＋f(q p)(z n,p－q p)＋１/２fᶄ(θn)(z n,p－q p)２]＋o(n－１)＋o(n－３/４h n)＝－f(q p)(z n,p－q p)－１/２fᶄ(θn)(z n,p－q p)２＋o(n－１)＋o(n－３/４h n)＝－f(q p)(z n,p－q p)＋o(n１/２h２n)＋o(n－１)＋o(n－３/４h n)＝－f(q p)(z n,p－q p)＋o(n－３/４h n)．从而有z n,p－q p＝－F n(q p)－pf(q p)＝－θn,p－(－γp)＝γp－θn,p．定理得证．参考文献:[１]㊀J O A GＧD E V K,P R O C HA NF．N e g a t i v e a s s o c i a t i o no f r a n d o mv a r i a b l e sw i t h a p p l i c a t i o n[J]．A n nS t a t i s t,１９８３(１１):２８６Ｇ２９５．[２]㊀A S S D I A N N,F A K O O R V,B O Z O R G N I A A．R o s e n t h a l sT y p e I n e q u a l i t i e s f o rN e g a t i v e l y O r t h a n tD e p e n d e n tR a nＧd o m V a r i a b le s[J]．J I R S S,２００６,５(１－２):６９Ｇ７５．[３]㊀甘师信,陈平炎．N O D序列加权和的强收敛速度[J]．数学物理学报:A,２００８,２８(２):２８３Ｇ２９０．[４]㊀WA N G XJ,HUSH．E x p o n e n t i a l i n e q u a l i t i e s a n d i n v e r s em o m e n t f o rN O Ds e q u e n c e[J]．S t a t i s t i c s a n dP r o b a b i l i t y L e t t e r s,２０１０,８０(６):４５２Ｇ４６１．[５]㊀WH I T E H u l l．V a l u e a tR i s k W h e nD a i l y C h a n g e s i nM a r k e tV a r i a b l e sA r e n o tN o r m a l l y D i s t r i b u t e d[J]．J o u r n a l o fD e r v a t i v e s,１９９８(５):９Ｇ１９．[６]㊀郑文通．金融风险管理的V a R方法及其应用[J]．国际金融研究,１９９７,９:５８Ｇ６２．[７]㊀B O Z O R G N I A A,P A T T E R S O N RF,T A Y L O R R L．L i m i t t h e o r e m s f o rd e p e n d e n t r a n d o m v a r i a b l e s[C]//P r oＧc e ed i n g s o f t h eF i r s tW o r l dC o n g re s s o fN o n l i n e a rA n a l y s t s９２(I I)．B e r l i n:W a l t e r d eG r u t y e r,１９９６:１６３Ｇ１６５０．[８]㊀K I M H C．T h eH j e kＧRén y i i n e q u a l i t yf o rw e igh t e d s u m s o f n e n a ti v e l y o r t h a n t d e p e n d e n t r a n d o mv a r i a b l e[J]．I n t e rＧn a t i o n a l J o u r n a l o fC o n t e m p o r a r y M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,２００６(６):２７９Ｇ３０３．[９]㊀梁丹,杨善朝,蒙玉波,等．N O D序列样本分位数的B a h a d u r表示[J]．工程物理学报,２０１３,３０(１):７７Ｇ８５．[１０]W E IXL,Y A N GSS．B a h a d u r r e p r e s e n t a t i o n o f l i n e a r k e r n e l q u a n t i l e e s t i m a t o r o fV a Ru n d e rαＧm i x i n g a s s u m p t i o n s [J]．J o u r n a l o f S t a t i s t i c a l P l a n n i n g a n d I n f e r e n c e,２０１０,１４０(７):１６２０Ｇ１６３４．２２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３２卷[１１]B A HA D U RRR．An o t e o n q u a n t i l e s i n l a r g e s a m p l e s[J]．A n n a l s o fM a t h e m a t i c a l S t a t i s t i c s,１９６７,３７(３):５７７Ｇ５８０．[１２]周慧,曾箫箫．ρＧ混合样本下V a R样本分位数估计的B a h a d u r表示[J]．柳州师专学报,２００９,２４(３):１１８Ｇ１２２．[１３]张文婷,李永明．ψＧ混合序列下分位数估计的强相合及其B a h a d u r表示[J]．广西科学,２０１４,２１(２):１９２Ｇ１９５．[１４]李树生,刘锐．N O D样本下线性模型回归系数估计的强相合性[J]．重庆工商大学学报:自然科学版,２０１２,２９(２):３９Ｇ４２．T h eB a h a d u rR e p r e s e n t a t i o na n dS t r o n gC o n s i s t e n c y o fV a RS a m p l e Q u a n t i l eE s t i m a t e s u n d e rN O DY A OJ i n g１,L IY o n gＧm i n g２(１．S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l a n dS t a t i s t i c a l S c i e n c e s,G u a n g x iT e a c h e r sE d u c a t i o nU n i v e r s i t y,N a n n i n g５３００２３,C h i n a;２．D e p a r t m e n t o fM a t h e m a t i c s,S h a n g r a oN o r m a lU n i v e r s i t y,S h a n g r a o３３４００１,C h i n a)A b s t r a c t:T h em a i n p u r p o s e o f t h i sw o r k i s t o r e s e a r c h t h en a t u r e o f t h e r i s k m e a s u r eV a Rn o nＧp a r a m e t r i c e s t i m a t o r t o t h e c a n e o fN O Ds e q u e n c eb y u s i n g t h e p r o p e r t i e s o fN O Ds a m p l e a n d i t s r eＧl a t e d i n e q u a l i t i e s;T h e r e s e a r c h p r o v e d t h e s t r o n g c o n s i s t e n c y o f t h eV a Rs a m p l e q u a n t i l e e s t i m a t e s;I n a d d i t i o n,w e a l s o l i s t t h eB a h a d u r s r e p r e s e n t a t i o no fV a Rs a m p l e q u a n t i l e e s t i m a t e s．K e y W o r d s:N O Ds e q u e n c e;V a Re s t i m a t e;B a h a d u r r e p r e s e n t a t i o n;s t r o n g c o n s i s t e n c y[责任编辑:班秀和]㊀㊀[上接第９页]I n t e g r a l i t y a n dE n e r g y o fU n i tG r a p ho f nWU Y a nＧs h e n g,S U H u aＧd o n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l a n dS t a t i s t i c sS c i e n c e s,G u a n g x iT e a c h e r sE d u c a t i o nU n i v e r s i t y,N a n n i n g５３００２３,C h i n a)A b s t r a c t:L e t R b e a r i n g．T h eu n i t g r a p ho f R,d e n o t e db y G(R),i s a g r a p hd e f i n e do n t h e e l eＧm e n t s o f R,t w ov e r t i c e s x a n d y a r e a d j a c e n t i f a n do n l y i f x＋y i s au n i t o f R．A g r a p h G i s i n t e g r a l i f a l l e i g e n v a l u e s o f a d j a c e n c y m a t r i x o f t h e g r a p h a r e i n t e g e r s．I n t h i s p a p e r,w e p r o v e t h a t G(n)i s a n i n t e g r a l g r a p h f o r a l l n．A g r a p h G w i t h n v e r t i c e s i s c a l l e d ah y p e r e n e r g yg r a p h i f i t s e n e r g y E(G)＞２n－２．F i n a l l y,t h r o u g hc o m p u t i n g t h ee n e r g y o f G(n),w ec o m p l e t e l y d e t e r m i n ew h e n G(n)i sa h y p e r e n e r g yg r a p h．K e y W o r d s:n;u n i t g r a p h;i n t e g r a l g r a p h;e n e r g y o f g r a p h;h y p e r e n e r g yg r a p h[责任编辑:班秀和]。

随机变量序列的几种收敛性和关系毕业论文

然而不趋于0.
由上面四种收敛性间的关系可得：
几乎处处收敛依概率收敛依分布收敛.
阶收敛依概率收敛依分布收敛.
3.
因为随机变量取值的统计规律可由它的分布函数完全确定，所以自然会考虑利用分布函数的收敛性来定义随机变量的收敛性，又分布函数和特征函数一一对应，而判断一个分布函数的序列的收敛是否弱收敛有时是很麻烦的，但判断相应的特征函数序列的收敛性却往往比较容易，下面给出弱收敛的充要条件，首先做一些准备：
后来我们引入了伯努利概型来刻画独立重复试验.将一成功（即A发生）概率为p的试验独立重复n次，其中成功次，则是二项分布随机变量.
因此成功的频率也是随机变量.其期望为p与n无关，且方差当时趋于0.熟知，方差为0的随机变量恒等于它的期望，所以当时频率应以概率p为极限.另一方面，可以写，其中相互独立，具有一样的伯努利分布，至此，问题转化为研究时的平均值序列的极限行为.鉴于已在上面讨论过随机变量列的各种收敛性，因此我们可以给出大数定律的严格定义.
注：由于连续，如广义均匀收敛到，则必定是连续函数.
系1设分布函数列对应的特征函数列为，则下列四条件等价：
（1）弱收敛于某分布函数，
（2）收敛到某函数，在点0连续，
（3）收敛到某连续函数，
（4）广义均匀收敛到某函数 .
当任一条件满足时，是的特征函数.
下面说明系1中等价条件（2）中“ 在的连续性”是不可缺少的条件.
则对任意的，有成立.
证明：因为有一样分布，所以也有一样的特征函数，记这个特征函数为，又因为存在，从而特征函数有展开式：
=
再由独立性知的特征函数为
对任意取定的t,有
而是退化分布的特征函数，相应的分布函数为

m-NA随机变量序列的完全收敛性

变量序列的完全收敛性。引理１３设｛ ≤ｉｔ是 Ⅳ 随机变量列，ｌＸ，１ ≤ｒ｝Ａ对任意的实数｛ｌｏ，０｝｛，，，｝ Ⅱ ， …，，ｂｂ … ｂ使得：
ｎ＜ｂ， ≤ ｉｉ１ ≤ｎ｛，，１≤ｉ｝ ≤ 也是ＮＡ的。
变量序列｛，＝１，完全到ｃ若有∑ Ｐ１一＞）＜∞，＞，全收ｎ， …｝收敛，２（以ｃＥｌＶ０完敛性是Ｅ较
口收敛更强的一种收敛性，因此在极限理论中占有相当重要的地位。定义１称随机变量。，Ｘ（， …，ｎ≥２是Ｎ）Ａ的，如果对于集合｛，，ｎ的任何两个不相交１２ …，｝的非空子集Ａ与，都有Ｃｖ（）（ｏＸ，ＥＡ墨√∈Ｂ）≤０其中与是任何两个使得协方差存在ｉ），的对每个变量均非降（或同为对每个变元均非升）的函数。称随机变量｛置Ｊ∈Ｎ｝＾是序列，如果对任何ｎ≥ ２Ｘ，，，都是Ｎ，ｌ … Ａ的。这个定义是由ＫＡａｌ首先引入的，．ｌ２ｍ而后ＫＪａＤｖ３Ｎ．ｏｇ— ｅ等ｌ对Ａ序列的性质和应用作了深入一的研究，．ｕｚａｅｓａＴＣＨＪＩＢｅ￣ＡＫｅｍｓｗｋ￣．．ｕｚ引，Ｅ．ａｋ，．等研究了行ＮＡ和ｒ — Ａ随机变量序列的完全收ｒＮｔ敛性，刘立新等得出了ＮＡ序列的一些矩不等式。由于ＮＡ序列在多元统计分析和可靠性领域有广泛的应用，因此近年来得到许多学者的关注。Ｎ对Ａ序列的概念作自然延伸的是１一Ｎ７Ａ序列的概念。１，定义２固定ｍ ≥ １称随机变量序列｛ｉ ≥ １是ｍ —Ｎ，Ｘ，ｉ｝Ａ的，如果对任意自然数ｒ≥２序列ｔ，ｉ，，ｉ满足Ｊ ≥ ｍ，中１≤ ｋ≠ ｌｉ …，２ — ｉ其 ≤ ｎ｛，一置｝，置．置，是的。

《概率论与数理统计课件》随机变量序列的收敛性

t 2n1
sin
t 2n
2
sin
t 2n

cos
t 2
cos
t 22
c
os
t 2n
2
22
sin
t 2n
t sin 2n2

cos t sin t 22
2n1
sin
t 2n

sin t
2n
sin
t 2n
36
t
2n sin t sin t t，
sin
t 2n
t
t
n ．
是一个随机变量序列x是一个随机变量如果对于任意的431则称随机变量序列依概率收敛于随机变量x记作是一个随机变量序列x是一个随机变量如果对于任意的我们知道任何一个随机变量都有分布函数而且分布函数全面地描述了随机变量的统计规律
第二节随机变量序列的收敛性
1
定义 4.3.1 设X n是一个随机变量序列，X 是一个随机
（因为 x x 0）．所以有
再令 x x ，得
Fx lim Fn x． n
Fx 0 lim Fn x n
15
同理可证，当 x x 时，有
lnimFn x Fx．再令 x x ，得 lnimFn x Fx 0 ．
写出随机变量 Yn

n k 1
Xk 2k
的特征函数n t ；⑶
证
明：当 n 时，随机变量序列Yn依分布收敛于随机变量Y ．
33
解：
⑴ 由于随机变量Y 服从区间 1, 1 上的均匀分布，因
此 Y 的特征函数为
t eit eit cost i sin t cost i sin t sin t ．

次线性期望下m-END序列加权和的几乎处处收敛性

第61卷第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022450次线性期望下m -E N D 序列加权和的几乎处处收敛性谭希丽1,董贺1,孙佩宇2,张勇2(1.北华大学数学与统计学院,吉林吉林132013;2.吉林大学数学研究所,长春130012)摘要:利用R o s e n t h a l 不等式,讨论条件为C (Xp)<ɕ,(X p )ɤC (X p ),0<p ɤ2的次线性期望下m -E N D (m -e x t e n d e dn e g a t i v e l y d e p e n d e n t )随机变量序列加权和的几乎处处收敛性.将经典概率空间中E N D 序列加权和的几乎处处收敛性推广到次线性期望下m -E N D 随机变量序列加权和的几乎处处收敛性.关键词:次线性期望;m -E N D 随机变量序列;加权和;几乎处处收敛中图分类号:O 211.4 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-1073-10A l m o s t S u r eC o n v e r g e n c e o fW e i gh t e dS u m s f o r m -E N DS e q u e n c e s u n d e r S u b -l i n e a rE x pe c t a t i o n s T A N X i l i 1,D O N G H e 1,S U NP e i y u 2,Z H A N G Y o n g2(1.C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,B e i h u aU n i v e r s i t y ,J i l i n 132013,J i l i nP r o v i n c e ,C h i n a ;2.I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c s ,J i l i nU n i v e r s i t y ,C h a n gc h u n 130012,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g R o s e n t h a l s i n e q u a l i t y ,w ed i s c u s se da l m o s t s u r ec o n v e r g e n c eo fw e i gh t e ds u m s f o r m -E N D (m -e x t e n d e d n e g a t i v e l y d e p e n d e n t )r a n d o m v a r i a b l es e q u e n c e w i t ht h ec o n d i t i o n o f C (X p )<ɕ,(X p )ɤC (X p ),0<p ɤ2u n d e rs u b -l i n e a re x p e c t a t i o n s .A l m o s ts u r e c o n v e r g e n c eo fw e i g h t e d s u m s f o rE N Ds e q u e n c e i n t h e c l a s s i c a l p r o b a b i l i t y s p a c ew a s e x t e n d e d t o t h e a l m o s t s u r e c o n v e r g e n c e o fw e i g h t e d s u m s f o r m -E N Dr a n d o mv a r i a b l e s e q u e n c eu n d e r t h e s u b -l i n e a r e x pe c t a t i o n s .K e y w o r d s :s u b -l i n e a r e x p e c t a t i o n ;m -e x t e n d e d n e g a t i v e l y d e p e n d e n t r a n d o m v a r i a b l e s e q u e n c e ;w e i g h t e d s u m ;a l m o s t s u r e c o n v e r ge n c e 收稿日期:2022-11-18.第一作者简介:谭希丽(1974 ),女,汉族,博士,教授,从事概率极限理论的研究,E -m a i l :t x l @b e i h u a .e d u .c n .通信作者简介:董贺(1996 ),女,汉族,硕士研究生,从事概率极限理论的研究,E -m a i l :125014070@q q .c o m.基金项目:吉林省自然科学基金(联合基金项目)(批准号:Y D Z J 202101Z Y T S 156)和北华大学研究生创新计划项目(批准号:2021003).1 引言与预备知识随着信息技术的飞速发展,需要处理的高维随机数据也逐渐增多,因此在统计㊁金融和风险度量等领域出现了不确定性的实际问题,而经典概率理论在处理这类非线性问题时有很大的局限性.为此,P e n g [1-3]提出了次线性期望完整的理论体系,该体系可以很好地解决实际问题中的非线性问题.目前,次线性期望空间下的理论已得到广泛关注,例如:Z h a n g [4-6]得到了次线性期望下广义独立和Copyright ©博看网. All Rights Reserved.4701吉林大学学报(理学版)第61卷E N D(e x t e n d e dn e g a t i v e l y d e p e n d e n t)随机变量序列的强极限定理㊁矩不等式和R o s e n t h a l不等式;G u o等[7-8]得到了次线性期望下m相依随机变量序列的中偏差和生成线性过程的中心极限定理;D o n g 等[9]研究了次线性期望下m-E N D随机变量阵列加权和的完全收敛性.强大数定律是衡量数据序列稳定性的重要指标.在P e n g[1-3]的理论基础上,研究者们已把概率空间下的强大数定律推广到了次线性期望空间下,例如:Z h a n g等[10]得到了次线性期望下的M a r c i n k i e w i c z强大数定律;H u[11]证明了次线性期望下一般矩条件的强大数定律;C h e n等[12]得到了次线性期望下N D(n e g a t i v e l y d e p e n d e n t)随机变量序列的强大数定律;W a n g等[13]得到了次线性期望下E N D序列的几乎处处收敛性;谭希丽等[14]研究了次线性期望下WO D(w i d e l y o r t h a n t d e p e n d e n t)随机变量序列加权和的几乎处处收敛性;Z h a n等[15]得到了次线性期望下E N D随机变量序列加权和的几乎处处收敛性;文献[16-17]分别证明了次线性期望空间下E N D列加权和与E N D列J a m i s o n型加权和的几乎处处收敛性.本文讨论次线性期望下m-E N D随机变量序列的强大数定律,并将经典概率空间中E N D序列的几乎处处收敛性推广到次线性期望下的m-E N D序列中.本文沿用P e n g[1-3]提出的次线性期望空间的框架和概念.设(Ω,F)是一个可测空间,H是定义在(Ω,F)上的由实函数构成的线性空间,使得对任意的X1,X2, ,X nɪH,φɪC l,L i p(ℝn),均有φ(X1, ,X n)ɪH,其中C l,L i p(ℝn)表示由局部L i p s c h i t z函数φ构成的线性空间,φ满足φ(x)-φ(y)ɤc(1+x m+y m)x-y, ∀x,yɪℝn,这里常数c>0,mɪℕ依赖于φ.H称为随机变量空间,记为XɪH.定义1[1]如果对任意的X,YɪH,均有下列性质:1)(单调性)若XȡY,则[X]ȡ[Y];2)(常数保持不变性)[c]=[c];3)(次可加性)[X+Y]ɤ[X]+[Y];4)(正齐次性)[λX]=λ[X],λȡ0.则:Hңℝ-称为次线性期望,其中ℝ-=[-ɕ,+ɕ].三元组(Ω,H,)称为次线性期望空间.的共轭期望^ε定义为^ε[X]=-[-X], ∀XɪH.由定义1易得对任意的X,YɪH,有^ε[X]ɤ[X],[X+c]=[X]+c,^[X-Y]ɤ[X-Y],[X-Y]ȡ[X]-[Y].定义2[5]设G⊂F,如果下列条件成立,则V:Gң[0,1]称为容度:1)V(Φ)=0,V(Ω)=1;2)V(A)ɤV(B),∀A⊂B,A,BɪG.如果对任意的A,BɪG,AɣBɪG,有V(AɣB)ɤV(A)+V(B),则称V具有次可加性.如果对任意的A nɪF,有V(ɣɕn=1A n)ɤðɕn=1V(A n),则称V具有可数次可加性.在次线性期望空间(Ω,H,)中,定义一对容度(,V),即对任意的AɪF,有(A)=i n f{[ξ];I(A)ɤξ,ξɪH},V(A)=1-(A c),其中A c为A的补集.由和V的定义可知,显然具有次可加性,并有V(A)ɤ(A), ∀AɪF.当I(A)ɪH时,有V(A)=[I(A)],V(A)=^ε[I(A)].当fɤI(A)ɤg,f,gɪH时,有[f]ɤ(A)ɤ[g],^ε[f]ɤV(A)ɤ^ε[g].定义3[5] C h o q u e t积分为Copyright©博看网. All Rights Reserved.C V [X ]=ʏɕ0V (X ȡt )d t +ʏ0-ɕ[V (X ȡt )-1]d t ,其中V 可以分别由和V 替换.定义4[1] 设X 1和X 2是定义在次线性期望空间(Ω1,H 1,1)和(Ω2,H 2,2)上的随机变量,∀φɪC l ,L i p (ℝ),如果1[φ(X 1)]=2[φ(X 2)],则称X 1和X 2是同分布的,记为X 1 dX 2.如果∀i ȡ1,X i dX 1,则称随机变量序列{X n ,n ȡ1}是同分布的.定义5[5] 在次线性期望空间(Ω,H ,)下,如果存在常数K ȡ1,使得下列不等式成立:^ᵑni =1φi (X i ())ɤK ᵑni =1(φi (X i )), n ȡ1,则随机变量序列{X n ,n ȡ1}称为上(下)E N D 序列,其中非负函数φi ɪC l ,L i p (ℝ)是非降(非增)的.如果该序列既是上E N D 序列又是下E N D 序列,则称该序列是E N D 序列.受E N D 定义的启发,D o n g 等[9]给出了次线性期望空间下m-E N D 序列的定义.定义6[9] 在次线性期望空间(Ω,H ,)下,设m ȡ1是一个固定的正整数,对于随机变量序列{X n ,n ȡ1},若对任意的n ȡ2和i 1,i 2, ,i n ,X i 1,X i 2, ,X i n是上(下)E N D 的,其中i k -i j ȡm ,1ɤk ʂj ɤn ,则称随机变量序列{X n ,n ȡ1}是上(下)m -E N D 的,即^ᵑn k =1φk (X i k ())ɤK ᵑnk =1(φk (X i k)), n ȡ1,i k -i j ȡm ,1ɤk ʂj ɤn ,这里非负函数φi ɪC l ,L i p (ℝ)是非降(非增)的.如果该序列既是上m -E N D 序列又是下m -E N D 序列,则称该序列是m -E N D 序列.显然,如果{X n ,n ȡ1}是m -E N D 随机变量序列,f 1(x ),f 2(x ), ɪC l ,L i p (ℝ)都是非降(或非增)函数,则{fn (X n ),n ȡ1}也是m -E N D 随机变量序列.本文约定:{X n ,n ȡ1}是次线性期望空间(Ω,H ,)上的随机变量序列;符号C 表示一个正数,在不同之处可取不同值;I (㊃)表示示性函数;l o g x 表示ln (m a x {x ,e }).引理1[9] 设{X n ,n ȡ1}是次线性期望空间(Ω,H ,)下的上(下)m -E N D 随机变量序列,且X k ɤ0.令S n =ðn k =1X k ,B n =ðn k =1X 2k,M n ,p =ðnk =1Xk p,且对任意的p ȡ2和∀x >0,n ȡm ,有V (S n ȡx )ɤm 2(1+K e )B n x 2,(1)则存在一个正常数C p ȡ1,使得对∀x >0,0<δɤ1,n ȡm ,有(S n ȡx )ɤC pθ-2pm pK M n ,pxp +m K e x p -x 22m 2B n (1+δ{}),(2)其中K 是m -E N D 随机变量序列定义的控制常数.引理2[5] 设{A n ,n ȡ1}是F 中的事件列,V 是具有可数次可加的容度,如果ðɕn =1V (A n)<ɕ,则V (A n ,i .o .)=0,其中{A n ,i .o .}=ɘɕn =1ɣɕi =nA i .2 主要结果定理1 设{X n ,n ȡ1}是次线性期望下的上m -E N D 随机变量序列,容度具有可数次可加性.存在一个随机变量X ,使得对0<p ɤ2和常数c (c >0),满足[h (X n )]ɤc [h (X )], n ȡ1, 0ɤh ɪC l ,L i p (ℝ),(3)C (X p )<ɕ.(4)当p ȡ1时,假设^[Xp]ɤC (Xp)<ɕ.(5)5701 第5期谭希丽,等:次线性期望下m -E N D 序列加权和的几乎处处收敛性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.令{a n k ,n ȡ1,1ɤk ɤn }是正实数列,使得m a x 1ɤk ɤna n k =O ((n 1/p l o g n )-1), n ңɕ.(6)则l i ms u p n ңɕðnk =1a n k (X k - c k )ɤ0 a .s .,(7)其中:当0<p <1时, c k =0;当p ȡ1时, c k =[X k ].此外,如果{X n ,n ȡ1}是下m -E N D 随机变量序列,则l i mi n f n ңɕðnk =1a n k (X k -c k )ȡ0 a .s .,(8)其中:当0<p <1时,c k =0;当p ȡ1时,c k =[X k ].特别地,如果{X n ,n ȡ1}是m -E N D 随机变量序列,且^[X k ]=^ε[X k ],(9)则对于1ɤp ɤ2,有l i m n ңɕðnk =1a n k (X k - c k )=0 a .s ..(10) 证明:不失一般性,对于p ȡ1,假设[X k ]=0.显然,对∀c >0,C (Xp)<ɕ等价于C (X p /c p )<ɕ,从而有C (X p/c p)=ʏɕ0V (X p/c p>x )d x =ʏɕ0V (Xp>c p x )d x =ʏɕ0V (X >c x 1/p )d x .注意到C (X p/c p)=ʏɕ0V (X >c x1/p)d x <ɕ⇔ðɕn =1(X >c n 1/p )<ɕ,因此对∀c >0,有ðɕn =1(X>cn 1/p )<ɕ.(11)再注意到ðɕn =1(X>cn 1/p)=ðɕk =1ð2k -1ɤn <2k V (X >c n 1/p )ȡðɕk =1ð2k -1ɤn <2k V (X >c 2k /p)=2-1ðɕk =12k(X>c2k /p),因此由式(11)可得ðɕk =12k (X >c ㊃2k /p)<ɕ,∀c >0.(12) 对于上m -E N D 随机变量序列{X n ,n ȡ1},为确保截断后的随机变量也是上m -E N D 随机变量序列,需要截断函数属于C l ,L i p 且是非降的,对任意的1ɤk ɤn ,n ȡ1,有f c (x )=-c I (x <-c )+x I (x ɤc )+c I (x >c),记Y k =f (ε/32)n 1/p (X k )=-ε32n 1/p I X k <-ε32n 1/æèçöø÷p +X k I X k ɤε32n 1/æèçöø÷p +ε32n 1/p I X k >ε32n 1/æèçöø÷p ,Z k =X k -Y k =X k +ε32n 1/æèçöø÷p I X k <-ε32n 1/æèçöø÷p +X k -ε32n 1/æèçöø÷p I X k >ε32n 1/æèçöø÷p ,Y =f (ε/32)n 1/p (X ), Z =X -Y . 由于f c (x )ɪC l ,L i p 且是非降的,因此{Y k ,1ɤk ɤn ,n ȡ1}也是上m -E N D 随机变量序列.注意到ðn k =1a n k X k =ðn k =1a n k Z k +ðn k =1a n k (Y k -^Y k )+ðnk =1a n k Y k ≐I 1+I 2+I 3,因此要证明式(7),只需证6701 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.l i ms u p n ңɕI i ɤ0a .s ., i =1,2;l i m n ңɕI 3=0. 对于0<μ<1,假设函数g (x )ɪC l ,L i p (ℝ),且g (x )在x ȡ0上单调下降,使得∀x ɪℝ,有0ɤg (x )ɤ1;当x ɤμ时,g (x )=1;当x >1时,g (x )=0.则有I (x ɤμ)ɤg (x )ɤI (x ɤ1), I (x >1)ɤ1-g (x )ɤI (x >μ).(13) 首先,证明l i ms u p n ңɕI 1ɤ0a .s ..由式(11)和式(13)可得ðɕk =1(Z k ʂ0)ɤðɕk =1X k >ε32k 1/æèçöø÷p ɤðɕk =11-g X k ε32k 1/æèççöø÷÷æèççöø÷÷p ɤðɕk =1^1-g X ε32k 1/æèççöø÷÷æèççöø÷÷p ɤðɕk =1X >μ㊃ε32k 1/æèçöø÷p <ɕ,因此(Z k ʂ0,i .o .)=0.由引理2㊁具有可数次可加性和式(6)可得I 1=ðn k =1a n k Z k ɤm a x 1ɤk ɤn a n k ðn k =1Z k ɤc 1n 1/p l o g n ðnk =1Z k ң0 a .s ..(14) 其次,证明I 3ң0,a .s .n ңɕ.对任意的r >0,结合C r 不等式和式(13),可得Y krɤc X krI X k ɤε32n 1/æèçöø÷p +εr32rn r /p I X k >ε32n 1/æèçöø÷p ɤc X krg μX k ε32n 1/æèççöø÷÷p +εr32r n r /p 1-g X k ε32n 1/æèççöø÷÷æèççöø÷÷p ,因此^Y krɤc ^X k r g μX k ε32n 1/æèççöø÷÷p +εr32r n r /p 1-g X k ε32n 1/æèççöø÷÷æèççöø÷÷p ɤc ^X r g μX ε32n 1/æèççöø÷÷p +εr32r n r /p 1-g X ε32n 1/æèççöø÷÷æèççöø÷÷p ɤc ^X r g μX ε32n 1/æèççöø÷÷p +εr32rn r /p X >με32n 1/æèçöø÷p .(15) (i )0<p <1.结合式(6)和式(15)可得I 3ɤðn k =1m a x 1ɤk ɤn a n k Y k ɤn n 1/p l n n X g μX ε32n 1/æèççöø÷÷p +ε32n 1/p X >με32n 1/æèçöø÷éëêêêùûúúúp ɤ1n 1/p-1l n n X g μX n 1/æèçöø÷p +n l n n X >c n 1/()p ≐I ᶄ+I ᵡ.由式(11)和(X >μn 1/p )(n ȡ1)是递减的,可得nl n n(X >μn 1/p )ң0, a .s .n ңɕ.因此I ᵡң0, n ңɕ.(16) 对于0<μ<1,令gj (x )ɪC l ,L i p (ℝ)(j ȡ1),使得∀x ɪℝ,有0ɤg j (x )ɤ1;当2(j -1)/p <X ɤ2j /p 时,g j x 2j /æèçöø÷p =1;当x ɤμ2(j -1)/p 或x >(1+μ)2j /p 时,g j x 2j /æèçöø÷p =0.则有g j X 2j /æèçöø÷p ɤI (μ2(j -1)/p <X ɤ(1+μ)2j /p ),X r g X 2k /æèçöø÷p ɤ1+ðkj=1X r g j X 2j /æèçöø÷p, ∀r >0.(17)7701 第5期谭希丽,等:次线性期望下m -E N D 序列加权和的几乎处处收敛性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.对每个n ,均存在一个常数k ,使得2k -1ɤn <2k,结合式(17)及g (x )在x ȡ0上单调下降,可得I ᶄɤc 12k (1/p -1)l n 2k X g μX 2k /æèçöø÷p ɤc 12k (1/p-1)l n 2k ðkj =1X g j μX 2j /æèçöø÷p ɤc 12k (1/p-1)l n 2k ðkj =12j /p(X >2(j -1)/p )ɤc 1l n 2k ðkj =12j /p2j (1/p-1)(X >2-1/p 2j /p )ɤc 1l n 2k ðɕj =12j (X >c 2j /p ).由式(12)可得I ᶄң0, n ңɕ.(18)再结合式(16)和式(18)可得I 3ң0, n ңɕ.(19) (i i )p ȡ1.由于[X k ]=0,因此结合式(3)和式(13)可得Y k =X k -Y k ɤX k -Y k =^X k +ε32n 1/æèçöø÷p I X k <-ε32n 1/æèçöø÷p +X k -ε32n 1/æèçöø÷p I X k >ε32n 1/æèçöø÷p ɤc X k 1-g X k ε32n 1/æèççöø÷÷æèççöø÷÷p ɤc X 1-g X ε32n 1/æèççöø÷÷æèççöø÷÷p ɤc n -(p -1)/p X p<ɕ.再结合式(5)和式(6),可得I 3ɤðnk =1an k^Y k ɤm a x 1ɤk ɤn a n k ðnk =1Y k ɤc 1l o g n X pɤc 1l o gn C (X p )ң0, n ңɕ.(20) 综合(i )和(i i ),并结合式(19)和式(20),可得I 3ң0, n ңɕ.(21) 最后证明I 2.根据定义6可知,{a n i (Y i -Y i ),1ɤi ɤn ,n ȡ1}仍是上m -E N D 随机变量序列,且^(a n i (Y i -Y i ))=0.因此{a n i (Y i -Y i ),1ɤi ɤn ,n ȡ1}仍满足引理1的条件.由式(6)知a n k ң0,不失一般性,假设a n k ɤ1,令x =εn 2,同时取q ȡ2,由引理1,令δ=1,对∀ε>0,可得ðɕn =1V ðnk =1a n k (Y k -Y k )>εn æèçöø÷2ɤðɕn =1C p θ-2q m q K ðnk =1a n k(Y k -Y k )q(εn /2)q +ðɕn =1m K ex p -(εn /2)22m 2ðnk =1(a n kY k -Y k )2(1+δ{})ɤc ðɕn =1ðnk =1a n k(Y k -Y k )q(εn )q +c ðɕn =1e x p-ε216ðnk =1(a n k Y k -Y k){}2≐I 21+I 22.(22)下面证明I 21<ɕ和I 22<ɕ.先证I 21<ɕ,由式(6)和式(15),可得I 21ɤc ðɕn =1n -qðnk =1^a n k (Y k -Y k )q ɤc ðɕn =1n -qðnk =11n q /p l n q n Y k qɤ8701 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.c ðɕn =1n1-q1n q /p l n q n X q g μX ε32n 1/æèççöø÷÷p +εq32qn q /p X >με32n 1/æèçöø÷æèççöø÷÷p ɤc ðɕn =1n1-q1n q /p l n q n X q g μX n 1/æèçöø÷p +c ðɕn =11n q -1l n q n X >c n 1/()p ≐I 211+I 212,由式(12)得I 211ɤðɕi =1ð2i -1ɤn <2i n1-q1n q /p l n q n X q g μX n 1/æèçöø÷p ɤc ðɕi =12i2i (q +q /p-1)l n q 2i X q g μX 2i /æèçöø÷p ɤc ðɕi =112i (q +q /p-2)l n q 2i ðij =1^X qg j μX 2j /æèçöø÷p ɤc ðɕj =1X q g j μX 2j /æèçöø÷p ðɕi =j12i (q +q /p-2)l n q 2iɤc ðɕj =12j q /pV (X >2(j -1)/p)1l n q 2j ðɕi =j 12i (q +q /p -2)ɤc ðɕj =12j q /p(X >2(j -1)/p )1l n 22j 2j (2-q /p -q )ɤc ðɕj =12j (2-q)V (X >c 2j /p)ɤc ðɕj =12j (X >c 2j /p )<ɕ.只需证I 212<ɕ.由式(12)和q ȡ2,可得I 212ɤc ðɕi =1ð2i -1ɤn <2i 1n q -1l n q n (X >c n 1/p )ɤc ðɕi =12i 12i (q-1)l n q 2i (X >c 2i /p )ɤc ðɕi =12i12i (q-1)l n 22i (X >c 2i /p )ɤc ðɕi =12i (2-q )(X >c 2i /p )ɤc ðɕi =12i (X >c 2i /p )<ɕ,即I 21<ɕ.下面证明I 22<ɕ.因为^(Y k -Y k )2ɤY 2k ɤY k p ε32n 1/æèçöø÷p 2-p, 1l n 2n ~o (1)1l n n ,所以I 22ɤðɕn =1ex p -ε216n n 2/p l n 2n X p ε32n 1/æèçöø÷p 2-æèçöø÷{}pɤðɕn =1e x p -2ε2ε2/(l n n {})ɤðɕn =1e x p {-2l n n }ɤðɕn =1cn2<ɕ.对∀ε>0,根据引理2和式(22),可得l i ms u p n ңɕI 2ɤ0a .s ..(23)再结合式(14)㊁式(19)和式(23),可得式(7)成立.如果{X n ,n ȡ1}是下m -E N D 随机变量序列,则{-X n ,n ȡ1}是上m -E N D 随机变量序列,且{-X n ,n ȡ1}也满足定理的条件,所以可用{-X n ,n ȡ1}代替{X n ,n ȡ1},并代入式(7)得l i ms u p n ңɕðn k =1a n k [-X k -(-X k )]=-l i mi n f n ңɕðnk =1a n k [X k -^ε(-X k )]ɤ0,从而有l i mi n f n ңɕðnk =1a n k [X k -^ε(-X k )]ȡ0 a .s .,即式(8)成立.证毕.推论1 设{X n ,n ȡ1}是次线性期望下的上m -E N D 随机变量序列,容度和具有可数次可加9701 第5期谭希丽,等:次线性期望下m -E N D 序列加权和的几乎处处收敛性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.性.存在一个随机变量X ,使得对0<p ɤ2,C (X p )<ɕ和常数c (c >0),满足式(3).令{a n k ,n ȡ1,1ɤk ɤn }是正实数列,满足式(6).则式(7)成立.此外,如果{X n ,n ȡ1}是下m -E N D 随机变量序列,则式(8)成立.特别地,如果{X n ,n ȡ1}是m -E N D 随机变量序列,且满足式(9),则对于1ɤp ɤ2,式(10)成立.证明:由具有可数次可加性可得(Xp)ɤC (X p )<ɕ,即推论1的条件满足定理1的条件,因此直接可得结论.定理2 设{X ,X n ,n ȡ1}是次线性期望下同分布的上m -E N D 随机变量序列,容度具有可数次可加性,满足^(X )ɤC (X )<ɕ.(24)令{a n k ,n ȡ1,1ɤk ɤn }是正实数列,使得m a x 1ɤk ɤn a n k =O1æèçöø÷n , n ңɕ.(25)则l i ms u p n ңɕðnk =1a n k X k ɤ0 a .s ..(26) 此外,如果{X n ,n ȡ1}是同分布的下m -E N D 随机变量序列,则l i mi n f n ңɕðnk =1a n k X k ȡ0 a .s ..(27)特别地,如果{X n ,n ȡ1}是同分布的m -E N D 随机变量序列,则l i m n ңɕðnk =1a n kX k =0 a .s ..(28) 证明:由(X )ɤC (X )<ɕ,可得ðɕi =1(X>ci )<ɕ.(29) 对于上m -E N D 随机变量序列{X n ,n ȡ1},为确保截断后的随机变量也是上m -E N D 随机变量序列,需要截断函数属于C l ,L i p 且是非降的,对任意的1ɤk ɤn ,n ȡ1,设f c (x )=-c I (x <-c )+x I (x ɤc )+c I (x >c ),记Y k =-n I (X k <-n )+X k I (X k ɤn )+nI (X k >n ),Z k =X k -Y k =(X k +n )I (X k <-n )+(X k -n )I (X k >n ),由定义6可知,{Y k ,1ɤk ɤn ,n ȡ1}和{Z k ,1ɤk ɤn ,n ȡ1}也是上m -E N D 随机变量序列.注意到ðnk =1a n kXk=ðn k =1a n k Z k +ðnk =1a n kY k ≐H 1+H 2,因此为证式(26),只需证l i ms u p n ңɕH i ɤ0 a.s ., i =1,2.(30) 先证明l i ms u p n ңɕH 1ɤ0a.s ..由式(11)㊁式(13)和式(29),可得ðɕk =1(Z kʂ0)ɤðɕk =1(X k >k )ɤðɕk =11-g X k æèçöø÷æèçöø÷k ɤðɕk =11-g X æèçöø÷æèçöø÷k ɤðɕk =1(X>μk )<ɕ,因此(Z k ʂ0,i .o .)=0,由引理2和具有可数次可加性,并结合式(25)可得H 1=ðnk =1a n kZkɤm a x 1ɤk ɤna n k ðn k =1Z k ɤ801 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.c 1n ðnk =1Z k ң0a .s ..(31) 下面证明l i ms u p n ңɕH 2ɤ0a .s ..根据定义6可知,{a n i Y i -a n iY i ,1ɤi ɤn ,n ȡ1}仍是上m -E N D 随机变量序列.因此{a n i Y i -a n iY i ,1ɤi ɤn ,n ȡ1}仍满足引理1的条件.令x =εn ,且Y 2k ɤn (Y k )ɤn (X ),由式(1)和C r 不等式可得ðn k =1(a n k Y k -a n kY k )>ε()n ɤc m 2(1+k e )ðnk =1(a n kY k)2εn 2ɤc ðnk =11n 2(a n k Y k )2ɤc 1n 3Y 2k ɤc 1n 2(X )<ɕ,因此ðɕn =1ðnk =1a n k Y k >ε()n ɤðɕn =11n2(X )ɤðɕn =1cn2<ɕ.对∀ε>0,根据引理2可得l i ms u p n ңɕH 2ɤ0 a.s ..(32)再结合式(31)和式(32),可得式(26)成立.如果{X n ,n ȡ1}是下m -E N D 随机变量序列,则{-X n ,n ȡ1}是上m -E N D 随机变量序列,且{-X n ,n ȡ1}也满足定理的条件.因为(-X k )=-^ε(X k ),所以可用{-X n ,n ȡ1}代替{X n ,n ȡ1},将其代入式(26)得l i ms u p n ңɕðnk =1a n k [-X k ]=-l i mi n f n ңɕðnk =1a n k [X k ]ɤ0,从而有l i mi n f n ңɕðnk =1a n k [X k ]ȡ0 a .s .,即式(27)成立.特别地,如果{X n ,n ȡ1}是m -E N D 随机变量序列,则式(28)可直接由式(26)和式(27)得到.证毕.注1 在经典概率空间下,定理1将文献[16]中的定理1推广到了次线性期望空间,得到了更一般的结果.在次线性期望空间下,定理1和推论1分别将文献[13]中的定理1和文献[15]中的推论3.1从E N D 随机变量序列推广到了m -E N D 随机变量序列.注2 定理2将文献[18]中的定理2从经典概率空间推广到了次线性期望空间.在次线性期望空间下,定理2将文献[15]中的E N D 随机变量序列的相关结果推广到了m -E N D 随机变量序列,得到了更具一般性的结果.且当0ɤp ɤ1时,定理1的条件强于定理2.注3 当m =1时,m -E N D 随机变量序列即为E N D 随机变量序列.由于E N D 随机变量序列包括N D 等随机变量序列,因此定理1㊁推论1和定理2对E N D 和N D 等一类随机变量序列仍有效.本文结果可应用于股票期权定价等金融㊁保险的不确定性问题中.参考文献[1] P E N GSG.G -E x p e c t a t i o n ,G -B r o w n i a n M o t i o na n d R e l a t e dS t o c h a s t i cC a l c u l u so fI t ôT y p e [M ]//S t o c h a s t i c A n a l y s i s a n dA p p l i c a t i o n s .A b e l S y m p o s i a ,V o l 2.B e r l i n :S p r i n ge r ,2007:541-567.[2] P E N GS G.M u l t i -d i m e n s i o n a l G -B r o w n a i n M o t i o na n d R e l a t e dS t o c h a s t i cC a l c u l u su n d e r G -E x p e c t a t i o n [J ].S t o c h a s t i cP r o c e s s e s a n dT h e i rA p pl i c a t i o n s ,2008,118(12):2223-2253.[3] P E N G S G.A N e w C e n t r a l L i m i t T h e o r e m u n d e r S u b l i n e a r E x p e c t a t i o n s [J ].M a t h e m a t i c s ,2008,53(18):1989-1994.[4] Z HA N GL X.S t r o n g L i m i tT h e o r e m sf o rE x t e n d e dI n d e p e n d e n tR a n d o m V a r i a b l e sa n d E x t e n d e d N e g a t i v e l y1801 第5期谭希丽,等:次线性期望下m -E N D 序列加权和的几乎处处收敛性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.2801吉林大学学报(理学版)第61卷D e p e n d e n t R a n d o m V a r i a b l e s u n d e r S u b-l i n e a rE x p e c t a t i o n s[J].A c t a M a t h e m a t i c a S c i e n t i a,2022,42(2):467-490.[5] Z HA N G LX.E x p o n e n t i a l I n e q u a l i t i e s u n d e r t h e S u b-l i n e a r E x p e c t a t i o n sw i t hA p p l i c a t i o n s t oL a w s o f t h e I t e r a t e dL o g a r i t h m[J].S c i e n c eC h i n aM a t h e m a t i c s,2016,59(12):2503-2526.[6] Z HA N GL X.R o s e n t h a l sI n e q u a l i t i e sf o rI n d e p e n d e n ta n d N e g a t i v e l y D e p e n d e n t R a n d o m V a r i a b l e su n d e rS u b-l i n e a rE x p e c t a t i o n sw i t hA p p l i c a t i o n s[J].S c i e n c eC h i n aM a t h e m a t i c s,2016,59(4):751-768.[7] G U O S,Z HA N G Y.M o d e r a t e D e v i a t i o n P r i n c i p l ef o r m-D e p e n d e n t R a n d o m V a r i a b l e su n d e rt h eS u b-l i n e a rE x p e c t a t i o n[J].A I M S M a t h e m a t i c s,2022,7(4):5943-5956.[8] G U OS,Z HA N G Y.C e n t r a l L i m i tT h e o r e mf o rL i n e a rP r o c e s s e sG e n e r a t e db y m-D e p e n d e n tR a n d o m V a r i a b l e su n d e r t h e S u b-l i n e a r E x p e c t a t i o n[J].C o mm u n i c a t i o n s i n S t a t i s t i c s:T h e o r y a n d M e t h o d s,2023, 52(18):6407-6419.[9] D O N G H,T A N X L,Z HA N G Y.C o m p l e t eC o n v e r g e n c ea n dC o m p l e t e I n t e g r a t i o nC o n v e r g e n c e f o r W e i g h t e dS u m s o fA r r a y s o fR o w w i s e m-E N Du n d e r S u b-l i n e a rE x p e c t a t i o n sS p a c e[J].A I M S M a t h e m a t i c s,2023,8(3): 6705-6724.[10] Z HA N GL X,L I N J H.M a r c i n k i e w i c z sS t r o n g L a w o fL a r g e N u m b e r sf o r N o n l i n e a r E x p e c t a t i o n s[J].S t a t i s t i c s a n dP r o b a b i l i t y L e t t e r s,2018,137:269-276.[11] HU C.A S t r o n g L a w o fL a r g e N u m b e r sf o rS u b-l i n e a rE x p e c t a t i o nu n d e ra G e n e r a l M o m e n tC o n d i t i o n[J].S t a t i s t i c s a n dP r o b a b i l i t y L e t t e r s,2016,119:248-258.[12] C H E N X Y,L I UF.S t r o n g L a w s o f L a r g eN u m b e r s f o rN e g a t i v e l y D e p e n d e n tR a n d o m V a r i a b l e s u n d e r S u b l i n e a rE x p e c t a t i o n s[J].C o mm u n i c a t i o n s i nS t a t i s t i c s:T h e o r y a n d M e t h o d s,2017,46(24):12387-12400.[13] WA N G WJ,WU Q Y.A l m o s t S u r eC o n v e r g e n c e o fW e i g h t e dS u m s f o rE x t e n d e dN e g a t i v e l y D e p e n d e n tR a n d o mV a r i a b l e su n d e r S u b-l i n e a rE x p e c t a t i o n s[J].M a t h e m a t i c aA p p l i c a t a,2019,32(2):382-391.[14]谭希丽,张凯丽,张勇,等.次线性期望下WO D随机变量序列加权和的几乎处处收敛性[J].吉林大学学报(理学版),2022,60(2):295-302.(T A N X L,Z HA N G K L,Z HA N G Y,e t a l.A l m o s tS u r eC o n v e r g e n c eo f W e i g h t e dS u m sf o rS e q u e n c eo f WO D R a n d o m V a r i a b l e su n d e rS u b l i n e a r E x p e c t a t i o n s[J].J o u r n a lo fJ i l i n U n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n),2022,60(2):295-302.)[15] Z HA NZT,WU Q Y.S t r o n g L a w so fL a r g eN u m b e r s f o r W e i g h t e dS u m so fE x t e n d e d N e g a t i v e l y D e p e n d e n tR a n d o m V a r i a b l e su n d e r S u b-l i n e a rE x p e c t a t i o n s[J].C o mm u n i c a t i o n s i nS t a t i s t i c s:T h e o r y a n d M e t h o d s,2022, 51(5):1197-1216.[16]胡蓉,吴群英.次线性期望空间下E N D列加权和的几乎处处收敛性[J].吉林大学学报(理学版),2021,59(3):531-536.(HU R,WU Q Y.A l m o s tS u r eC o n v e r g e n c eo f W e i g h t e dS u m sf o rE N D S e q u e n c e si nS u b-l i n e a rE x p e c t a t i o nS p a c e s[J].J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n),2021,59(3):531-536.)[17]刘伦义,吴群英.次线性期望空间下E N D列J a m i s o n型加权和的几乎处处收敛性[J].吉林大学学报(理学版),2023,61(4):808-814.(L I ULY,WU Q Y.A l m o s t S u r eC o n v e r g e n c e o f J a m i s o nT y p eW e i g h t e dS u m s o f E N D S e q u e n c e i n S u b-l i n e a r E x p e c t a t i o n S p a c e[J].J o u r n a lo fJ i l i n U n i v e r s i t y(S c i e n c e E d i t i o n),2023,61(4): 808-814.)[18] D A S I L V A J L.A l m o s tS u r e C o n v e r g e n c ef o r W e i g h t e d S u m so f E x t e n d e d N e g a t i v e l y D e p e n d e n t R a n d o mV a r i a b l e s[J].A c t aM a t h e m a t i c aH u n g a r i c a,2015,146(1):56-70.(责任编辑:李琦)Copyright©博看网. 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次线性期望空间下END列Jamison型加权和的几乎处处收敛性

第61卷第4期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .4 2023年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )J u l y2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022360次线性期望空间下E N D 列J a m i s o n 型加权和的几乎处处收敛性刘伦义,吴群英(桂林理工大学理学院,广西桂林541004)摘要:利用截尾的方法,考虑次线性期望空间下广义负相依(E N D )随机变量序列J a m i s o n 型加权和的几乎处处收敛问题,得到了次线性期望空间下E N D 随机变量序列J a m i s o n 型加权和的几乎处处收敛性.将概率空间下E N D 随机变量序列J a m i s o n 型加权和的几乎处处收敛拓展到了次线性期望空间下,推广了J a m i s o n 定理.关键词:次线性期望;几乎处处收敛;J a m i s o n 型加权和;E N D 随机变量序列;截尾中图分类号:O 211.4 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)04-0808-07A l m o s t S u r eC o n v e r g e n c e o f J a m i s o nT y p eW e i gh t e dS u m s o f E N DS e q u e n c e i nS u b -l i n e a rE x p e c t a t i o nS pa c e L I U L u n y i ,WU Q u n y i n g(C o l l e g e o f S c i e n c e ,G u i l i nU n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ,G u i l i n 541004,G u a n g x i Z h u a n g A u t o n o m o u sR e gi o n ,C h i n a )A b s t r a c t :W ec o n s i d e r e dt h ec o n v e r g e n c e p r o b l e m o f t h eJ a m i s o nt y p e w e i gh t e ds u m so fe x t e n d e d n e g a t i v e l y d e p e n d e n t (E N D )r a n d o mv a r i a b l e s e q u e n c e s i n a s u b -l i n e a r e x p e c t a t i o n s p a c e b y u s i n g t h e t r u n c a t i o nm e t h o d ,a n do b t a i n e d t h e c o n v e r g e n c e o f t h e J a m i s o n t y p ew e i gh t e d s u m s o f E N Dr a n d o m v a r i a b l e s e q u e n c e s i n a s u b -l i n e a r e x p e c t a t i o n s p a c e .W e e x t e n d e d a l m o s t s u r e c o n v e r g e n c e o f J a m i s o n t y p ew e i g h t e d s u m s o fE N Dr a n d o mv a r i a b l e s e q u e n c e s i n p r o b a b i l i t y s p a c e s t o s u b -l i n e a r e x p e c t a t i o n s pa c e s ,a n d t h e J a m i s o n t h e o r e m w a s g e n e r a l i z e d .K e y w o r d s :s ub -l i n e a r e x p ec t a t i o n ;a l m o s t s u r e c o n v e r g e n c e ;J a m i s o n t y p ew e i g h t e ds u m ;E N Dr a nd o m v a r i a b le s e qu e n c e ;t r u n c a t i o n 收稿日期:2022-09-01.第一作者简介:刘伦义(1998 ),男,汉族,硕士研究生,从事概率极限理论的研究,E -m a i l :2602965031@q q.c o m.通信作者简介:吴群英(1961 ),女,汉族,博士,教授,从事概率极限理论的研究,E -m a i l :w q y666@g l u t .e d u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:12061028).1 引言与预备知识概率极限理论在数学㊁统计和金融等领域应用广泛,适用于模型确定的情形.随着极限理论在金融㊁风险度量等领域的不断发展,经典极限理论局限性逐渐突显,而非线性可在数学模型不确定条件下进行分析和计算.因此,P e n g [1]提出了次线性期望空间的概念,有效解决了传统概率空间理论在统计㊁经济等领域的受限情况.目前,关于次线性期望空间的研究已取得了许多结果,例如:P e n g [2]将概率空间的中心极限理论引入到了次线性期望空间中;Z h a n g [3-5]给出了次线性期望的K o l m o g o r o v 强大数定律(S L L N )和矩不等式;W u 等[6]给出了次线性期望空间下的强大数律和C h o v e r s 型重对数律;Copyright ©博看网. All Rights Reserved.M a 等[7]给出了次线性期望空间下广义负相依(E N D )序列加权和的强大数律的一些条件.另一方面,关于J a m i s o n 型加权和的几乎处处收敛性研究在概率空间下也取得了许多成果.如文献[8-10]分别在两两N Q D (n e g a t i v e l yq u a d r a n t d e p e n d e n t )㊁E N D 和N A (n e g a t i v e l y a s s c o c i a t e d )随机变量序列的条件下讨论了J a m i s o n 型加权和的几乎处处收敛性,得到了概率空间下不同序列的J a m i s o n 型加权和的几乎处处收敛性,推广了J a m i s o n 型定理.但在次线性期望空间中,关于几乎处处收敛的推广成果目前报道较少,因为容度和次线性期望之间不再有线性性,因此一些原来可应用于概率空间下的方法并不能应用于次线性期望空间.本文在已有理论的基础上,考虑次线性期望空间下E N D 随机变量序列的J a m i s o n 型加权和的几乎处处收敛性,拓展了J a m i s o n 定理.定理1(J a m i s o n 定理)[11] 设{X i :i ȡ1}是独立同分布的随机变量,记{w i }是正数列,W n =ðni =1w i,N (n )=#{i :w -1iW i ɤn }(#表示集合的个数),满足条件W n ʏɕ,n ңɕ,E X 1<ɕ,E X 1=0,N (n )ɤc n ,则有T n =ðni =1w iXiW nң0,n ңɕ,a .s .本文使用P e n g [1-2]构建的次线性期望基本概念和框架,假设(Ω,F )是给定的可测空间,H 是定义在(Ω,F )上由实函数构成的线性空间,如果X 1,X 2, ,X n ɪH ,则对任意的φɪC l ,L i p (ℝn ),有φ(X 1,X 2, ,X n )ɪH ,其中C l ,L i p (ℝn )表示在线性空间的局部L i p s c h i t z 函数,即对任意的φɪCl ,L i p (ℝn ),存在常数c >0,m ɪℕ取决于φ,使得对任意的x ,y ɪℝn 均有φ(x )-φ(y )ɤc (1+x m +y m )x -y .H 称为由随机变量构成的空间,记X ɪH .定义1[4] 如果:H ң[-ɕ,+ɕ]满足下列条件,则称为次线性期望:1)(单调性)如果X ȡY ,则(X )ȡ(Y );2)(保持常数不变性)(c )=c ;3)(次可加性)(X +Y )ɤ(X )+(Y );4)(正齐次性)对任意的λȡ0,均有(λX )=λ(X ).其中三元组(Ω,H ,)称为次线性期望空间,定义的共轭期望^ε为^ε(X )ʒ=-(-X ),∀X ɪH .根据定义1可知,对任意的X ,Y ɪH ,均有^ε(X )ɤ(X ), (X +c )=(X )+c , (X -Y )ɤX -Y , (X -Y )ȡ(X )-(Y ). 定义2[4]令G ⊂F ,若一个函数V :G ң[0,1]满足下列条件:1)V (Ø)=0,V (Ω)=1;2)对任意的A ⊂B ,A ,B ɪG ,均有V (A )ɤV (B ).则称V 为容度.若对所有的A ,B ɪG ,均有V (A ɣB )ɤV (A )+V (B ),则称V 具有次可加性;若对任意的A n ɪF ,均有V ɣɕn =1A ()n ɤðɕn =1V (A n),则称V 具有可数次可加性.在次线性期望空间(Ω,H ,)下,对任意的A ɪF ,定义上容度和下容度V 分别为(A )ʒ=i n f {[ξ]:I A ɤξ,ξɪH }, V (A )ʒ=1-(A c ),其中I A 为示性函数,A c是A 的补集.显然,上容度具有次可加性,根据其定义,对任意的f ɤI (A )ɤg ,f ,g ɪH ,均有f ɤ(A )ɤg , ^εf ɤV (A )ɤ^εg .(1) 定义3[4]定义C h o qu e t 积分为C (X )=ʏɕ0(X ȡt )d t +ʏ0-ɕ[(X ȡt )-1]d t .根据定义3,可知其对下容度V 也成立.定义4(同分布)[4] 设X 1,X 2是定义在次线性期望空间(Ω1,H 1,1)和(Ω2,H 2,2)上的随机向量,若∀φɪC l ,L i p (ℝn ),1(φ(X 1))=2(φ(X 2)),则称其为同分布的关系,记为X 1 dX 2.如果∀i ȡ1,908 第4期刘伦义,等:次线性期望空间下E N D 列J a m i s o n 型加权和的几乎处处收敛性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.有X idX 1,则随机变量序列{X n ;n ȡ1}是同分布的.定义5(E N D )[3] 在次线性期望空间(Ω,H ,)下,对于随机变量序列{X n ;n ȡ1},如果存在常数K ȡ1,使得下式成立:^ᵑni =1φi (X i ())ɤK ᵑni =1(φi (X i )), ∀n ȡ1,则{X n ;n ȡ1}称为E N D 序列,其中非负函数φi ɪC l ,L i p (ℝ)是非减(或非增)的.假设{X n ;n ȡ1}是E N D 随机变量序列,且f 1(x ),f 2(x ), ɪC l ,L i p (ℝ)是单调的,则由E N D 随机变量序列的定义可知,{f n (X n );n ȡ1}也是E N D 序列.引理1(B o r e l -C a n t e l l i s 引理)[4]假设{A n ;n ȡ1}是在F 中的一个事件序列,是可数次可加的,如果ðɕn =1V (A n )<ɕ,则(A n ;i .o .)=0,其中{A n ;i .o .}=ɘɕn =1ɣɕm =nA m .引理2[3]设在次线性期望空间下,{X k ;k ȡ1}是E N D 随机变量序列,且(X k )ɤ0,S n =ðnk =1X k ,B n =ðnk =1X 2k ,则对∀x >0,均有V (S n ȡx )ɤ(1+K e )B nx2,(2)且对任意的p ȡ2,存在常数C p ȡ1,使得∀x >0,0<δɤ1,均有V (S n ȡx )ɤC pδ-2pK ðnk =1X kpx p+K e x p -x 22B n (1+δ{}),其中常数K ȡ1.2 主要结果定理2 设{X i ;i ȡ1}是次线性期望空间(Ω,H ,)下的同分布E N D 随机变量序列,和是可数次可加的,记{w i }是正数列,W n =ðn i =1w i ,N (n )=#{i :w -1i W i ɤn },假设W n ʏɕ, n ңɕ,(3)N (n )ɤc n ,(4)ð2nȡiW -22n ɤcW -2i ,(5)C V (X 1)<ɕ,(6)则有l i ms u pn ңɕðni =1w i(X i-X i )W nɤ0 a.s .,(7)l i mi n fn ңɕðni =1w i(X i-^εX i )W nȡ0,a .s ..(8)特别地,如果(X i )=^ε(X i ),则有l i mn ңɕðni =1w i(X i-X i )W n=0 a.s ..(9) 证明:先证明式(7).不失一般性,假设(X i )=0.由于C (X 1)<ɕ,{X i ;i ȡ1}是在(Ω,H ,)下的同分布E N D 随机变量序列,因此由文献[12]中引理1.3可得ðɕk =12k(X>c 2k)<ɕ, ∀c >0.(10)018吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.由于{X i ;i ȡ1}是在(Ω,H ,)下的同分布E N D 随机变量序列,因此对其进行截尾,记a i =w -1i W i ,Y i ʒ=f a i(X i )=-a i I (X i <-a i )+X i I (X i ɤa i )+a i I (X i >a i ),Z i ʒ=X i -Y i =(X i +a i )I (X i <-a i )+(X i -a i )I (X i >a i ),Y ʒ=f a i(X ), Z ʒ=X -Y .因为f c (x )ɪC l ,L i p 和fc (x )是不减的,则由定义可知{Y i ;i ȡ1}也是E N D 随机变量序列.注意到ðni =1w iXiW n=ðni =1w i ZiW n+ðni =1w i(Y i-Y i )W n +ðni =1w i Y i W nʒ=I 1+I 2+I 3,因此为证明式(7)只需证明I 1ң0 a .s .,(11)l i ms u p n ңɕI 2ɤ0a .s .,(12)l i m n ңɕI 3=0.(13) 注意在概率空间中的等式:I (X ɤa )=P (X ɤa ),其在次线性期望空间中,是经过C l ,L i p中的连续函数定义的,而示性函数I (X ɤa )未必连续.因此,表达式I (X ɤa )未必成立.所以对C l ,L i p 中的函数需对示性函数进行修正.于是,对函数g (x )ɪC l ,L i p 进行如下定义:对于0<μ<1,设g (x )ɪC l ,L i p (ℝ),使得∀x ɪℝ,0ɤg (x )ɤ1,且当x ɤμ时,g (x )=1;当x >1时,g (x )=0,则I (x ɤμ)ɤg (x )ɤI (x ɤ1), I (x >1)ɤ1-g (x )ɤI (x >μ).(14) 令g j (x )ɪC l ,L i p (ℝ),j ȡ1,使得对于∀x ɪℝ,0ɤg j (x )ɤ1,且当2j -1<x ɤ2j 时,g j (x )=1;当x ɤμ2j -1或者x >(1+μ)2j时,g j (x )=0,则g j (X )ɤI (μ2j -1<X <(1+μ)2j ),(15)X αg X 2æèçöø÷k ɤ1+ðkj =1X αg j (X ),(16)X α1-g X 2æèçöø÷æèçöø÷k ɤðɕj =kX αg j (X ).(17)下面证明式(11),根据式(1),(4),(10),(14),(15),(17)和具有可数次可加性,可得ðɕi =1(Z iʂ0)ɤðɕi =1(X i >ai )ɤðɕi =11-g X i aæèçöø÷æèçöø÷i =ðɕi =11-g X a æèçöø÷æèçöø÷i ɤðɕk =1ð2k -1<a iɤ2k ^1-g X 2k -æèçöø÷æèçöø÷1=ðɕk =1(N (2k )-N (2k -1))1-g X 2k -æèçöø÷æèçöø÷1ɤðɕk =1(N (2k)-N (2k -1))ðɕj=k -1^g j (X )ɤðɕk =1(N (2k)-N (2k -1))ðɕj=k -1(X>μ2j -1)=ðɕj =1(X>μ2j-1)ðj+1k =1(N (2k )-N (2k -1))ɤðɕj =1N (2j+1)(X >μ2j-1)ɤc ðɕj =12j (X >μ2-12j )<ɕ.(18)因此,由B o r e l -C a n t e l l i s 引理和具有可数次可加性,有(X i ʂY i ,i .o .)=0,式(11)证毕.在式(18)证明过程中,因为{X i ;i ȡ1}是在(Ω,H ,)下的同分布E N D 随机变量序列,因此对于∀c >0,可得ðɕi =1(X>c a i )<ɕ.(19)下面证明式(12),对于∀r >0,由C r 不等式,并联系式(14),有118 第4期刘伦义,等:次线性期望空间下E N D 列J a m i s o n 型加权和的几乎处处收敛性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.Y ir≪X i r I (X i ɤa i )+a r i I (X i >a i )ɤX i r g μX i a æèçöø÷i +a r i 1-gX i a æèçöø÷æèçöø÷i ,因此^(Y i r )ɤX i r g μX i a æèçöø÷æèçöø÷i +a r i 1-g X i a æèçöø÷æèçöø÷i ɤX r g μX a æèçöø÷æèçöø÷i +ar i 1-g X a æèçöø÷æèçöø÷i ɤ^X r g μX a æèçöø÷æèçöø÷i +ar i (X >μa i ).(20) 因为f c (x )ɪC l ,L i p (ℝ),{w i (Y i -Y i );i ȡ1}是E N D 随机变量序列,w i (Y i -Y i )=0,对于∀ε>0,由式(2)可得,ðɕn =1ð2ni =1w i (Y i -Y i )W 2n >{}εɤðɕn =1W -22nð2ni =1{w i (Y i-Y i )}2ɤ4ðɕn =1W-22nð2ni =1w 2iY 2i.(21)将式(20)代入式(21),有ðɕn =1W-22n ð2ni =1w 2i^Y 2i ɤðɕi =1w 2i X 2g μX a æèçöø÷i +a 2i (X >μa i æèçöø÷)ðn :2n ȡiW -22n ɤðɕi =1w 2i^X 2g μX a æèçöø÷æèçöø÷i ðn :2n ȡi W -22n +ðɕi =1W 2i (X >μa i )ðn :2n ȡiW -22n ʒ=I 4+I 5.下面分别求I 4和I 5.由式(5)和式(19),有I 5=ðɕi =1W 2iV (X >μa i )ðn :2n ȡiW -22nɤðɕi =1W2iV (X >μa i )W -2i=ðɕi =1(X >μa i )<ɕ;由式(4),(5),(10),(15)~(17)和具有可数次可加性,有I 4=ðɕi =1w 2iX 2g μX a æèçöø÷æèçöø÷i ðn :2n ȡiW -22n ɤðɕi =1w 2iX 2g μX a æèçöø÷æèçöø÷i W -2i =ðɕk =1a -2i X 2g μX a æèçöø÷æèçöø÷i ɤðɕk =1ð2k -1<a iɤ2k (2k -1)-2X 2g μX 2æèçöø÷æèçöø÷k =ðɕk =1(N (2k )-N (2k -1))(2k -1)-2X 2g μX 2æèçöø÷æèçöø÷k ɤðɕk =1(N (2k)-N (2k -1))(2k -1)-2ðkj =1X 2g j (μX )ɤðɕk =1(N (2k)-N (2k -1))(2k -1)-2ðkj =1(1+μ)222jV (X >2j -1)ɤðɕj =122j(X>2j-1)ðɕk =j (N (2k )-N (2k -1))(2k -1)-2ɤðɕj =122j(X>2j-1)ðɕk =j N (2k )((2k -1)-2-(2k )-2)ɤðɕj =122j(X>2j-1)ðɕk =j2-k ɤðɕj =12j(X>2-12j )<ɕ.从而根据B o r e l -C a n t e l l i s 引理和具有可数次可加性,可得ð2ni =1w i (Y i -Y i )W 2n >ε;i .o æèççöø÷÷.=0,l i ms u p n ңɕI 2ɤεa .s ..由ε的任意性,令εң0,则式(12)证毕.下面证明式(13),由X i =0,并且具有可数次可加性,即(X 1)ɤC (X 1),再联系式(3),(6),(14),有(Y i )ɤX i -Y i ɤX i -Y i =(X i +a i )I (X i <-a i )+(X i -a i )I (X i >a i )ɤ218 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.^X i1-g X i a æèçöø÷æèçöø÷æèçöø÷i =X 1-g X a æèçöø÷æèçöø÷æèçöø÷i ɤC X 1-g X a æèçöø÷æèçöø÷æèçöø÷i ɤC (X I (X >μa i ))=ʏɕ0(X I (X >μa i )>x )d x =ʏμa i 0(X I (X>μa i )>x )d x +ʏɕμa i(X I (X>μa i )>x )d x ɤμa i (X >μa i )+ʏɕμa i(X>x )d x ʒ=I 6+I 7.(22)因此为证明(Y i )ң0,只需证明I 6ң0,I 7ң0.令i ңɕ,则a i ңɕ,由C (X 1)<ɕ,有I 7ң0.下面证明I 6ң0,注意到C (X 1)=ʏɕ0(X>x )d x <ɕ, (X >x )ˌ,则有l i m x ңɕx (X >x )=0.因为i ңɕ,故可得l i m i ңɕμa i (X >μa i )=0,即I 6ң0.由式(3)和(Y i )ң0,通过T o e p l i t z 引理,有I 3=ðni =1w iY iW nң0,式(13)证毕.联合式(11)~(13)可得式(7).如果{X i ;i ȡ1}是E N D 随机变量系列,则{-X i ;i ȡ1}是E N D 的并且满足定理2的条件,令{-X i ;i ȡ1}代替{X i ;i ȡ1},并代入式(7),可得0ȡl i ms u pn ңɕðni =1w i(-X i-(-X i ))W n =-l i mi n f n ңɕðni =1w i (X i -^ε(X i ))W n,即l i mi n fn ңɕðni =1w i(X i-^ε(X i ))W nȡ0a.s .,式(8)成立.特别地,如果(X i )=^ε(X i ),则联合式(7)和式(8)有l i mn ңɕðni =1w i(X i-(X i ))W n=0a.s .,即式(9)成立.证毕.注1 定理2将J a m i s o n 定理[11]的结果从概率空间拓展到了次线性期望空间,并且由独立同分布情形拓展为同分布的E N D 序列情形.因为在次线性期望中和不具有可数次可加性,所以需增加可数次可加条件,并且在次线性期望中同分布是根据上期望定义的,而不是上容度.从而需对其进行转化,这样与概率空间证明不太相似,因此本文增加了条件(5).又因为在次线性期望中期望不唯一,所以有式(7)和式(8).只有在(X i )=^ε(X i )条件下才能得到极限存在的情形,才能得到与定理1类似的结果.推论1 设{X i ;i ȡ1}是次线性期望空间(Ω,H ,)下的同分布E N D 随机变量序列,和具有可数次可加性.假设权重w i =i γl (i )(其中i ȡ1,γ>-1,l (x )(x ɪℝ+)是慢变化函数)和式(6)成立,则式(7)~(9)成立.证明:由定理2可知,只需对权重w i =i γl (i )(其中i ȡ1,γ>-1,l (x )(x ɪℝ+)是慢变化函数)验证定理2的条件式(3)~(5)成立即可.因为l (x )是慢变化函数,所以由文献[13]知,对α<1,有ðnk =1l (k )k α~l (n )n1-α1-αʏɕ, n ңɕ, α<1,(23)从而318 第4期刘伦义,等:次线性期望空间下E N D 列J a m i s o n 型加权和的几乎处处收敛性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.418吉林大学学报(理学版)第61卷W n=ðn i=1iγl(i)~c n1+γl(n)ʏɕ,nңɕ,γ>-1,(24)式(3)证毕.由式(24),可得W i w i~c i,从而有N(n)ɤc n,式(4)证毕.由式(23),有ð2nȡi W-22n=ðnȡl o g2i2-2(1+γ)n l-2(2n)ɤc2-2(1+γ)l o g2i l-2(2l o g2i)=c i-2(1+γ)l-2(i)=c W-2i,γ>-1,式(5)证毕.注2推论1将文献[9]中定理2.1结论γ>-1的情形从概率空间拓展到次线性期望空间下,得到了类似的结果.参考文献[1] P E N GS G.M u l t i-d i m e n s i o n a l G-B r o w n i a n M o t i o na n d R e l a t e dS t o c h a s t i cC a l c u l u su n d e r G-E x p e c t a t i o n[J].S t o c h a s t i cP r o c e s sA p p l,2008,118(12):2223-2253.[2] P E N G S G.A N e w C e n t r a l L i m i t T h e o r e m u n d e r S u b l i n e a r E x p e c t a t i o n s[J/O L].M a t h e m a t i c s P R,(2008-03-18)[2022-01-17].h t t p s:ʊa r x i v.o r g/p d f/0803.2656.p d f.[3] Z HA N GL X.S t r o n g L i m i tT h e o r e m sf o rE x t e n d e dI n d e p e n d e n tR a n d o m V a r i a b l e sa n d E x t e n d e d N e g a t i v e l yD e p e n d e n tR a n d o m V a r i a b l e su n d e r S u b-l i n e a rE x p c t a t i o n s[J].A c t a M a t hS c i S e rB(E n g lE d),2022,42(2):467-490.[4] Z HA N GL X.E x p o n e n t i a l I n e q u a l i t i e su n d e rS u b-l i n e a rE x p e c t a t i o n sw i t h A p p l i c a t i o n st oL a w o f t h eI t e r a t e dL o g a r i t h m[J].S c i C h i n aM a t h,2016,59(12):2503-2526.[5] Z HA N GL X.R o s e n t h a l sI n e q u a l i t i e sf o rI n d e p e n d e n ta n d N e g a t i v e l y D e p e n d e n t R a n d o m V a r i a b l e su n d e rS u b-l i n e a rE x p e c t a t i o n sw i t hA p p l i c a t i o n s[J].S c i C h i n aM a t h,2016,59(4):751-768.[6] WU Q Y,J I A N G Y Y.S t r o n g L a w o fL a r g e N u m b e r sa n d C h o v e r sL a w o ft h eI t e r a t e d L o g a r i t h m u n d e rS u b-l i n e a rE x p e c t a t i o n s[J].JM a t hA n a lA p p l,2018,460(1):252-270.[7] MA XC,WU Q Y.O nS o m eC o n d i t i o n s f o r S t r o n g L a wo f L a r g eN u m b e r s f o rW e i g h t e dS u m s o fE N DR a n d o mV a r i a b l e su n d e r S u b l i n e a rE x p e c t a t i o n s[J/O L].D i s c r e t eD y nN a t S o c,(2019-04-11)[2022-08-16].h t t p s://d o i.o r g/10.1155/2019/7945431.[8]吴群英.两两N Q D列的广义J a m i s o n型加权和的强收敛性[J].数学研究,2001,34(4):386-393.(WU Q Y.S t r o n g C o n v e r g e n c eP r o p e r t i e s o f J a m i s o n W e i g h t e dS u m s f o rP a i r w i s eN Q D R a n d o m S e q u e n c e s[J].J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l S t u d y,2001,34(4):386-393.)[9] Y A N GJG.S t r o n g S t a b i l i t y o f aT y p e o f J a m i s o nW e i g h t e dS u m s f o r E N DR a n d o m V a r i a b l e s[J].JK o r e a nM a t hS o c,2017,54(3):897-907.[10]王定成,苏淳,冷劲松.N A序列广义J a m i s o n型加权和的几乎处处收敛性[J].应用数学学报,2002,25(1):77-87.(WA N GDC,S U C,L E N GJS.A l m o s t S u r eC o n v e r g e n c e o fG e n e r a l i z e d J a m i s o n s W e i g h t e dS u m s f o r N AS e q u e n c e[J].A c t aM a t h e m a t i c a eA p p l i c a t a eS i n i c a,2002,25(1):77-87.)[11]J AM I S O NB,O R E YS,P R U I T T W.C o n v e r g e n c e o fW e i g h t e dA v e r a g e s o f I n d e p e n d e d tR a n d o m V a r i a b l e s[J].P r o b a bT h e o r y R e l a t e dF i e l d s,1965(4):40-44.[12]陈晓聪,吴群英.次线性期望空间下E N D阵列加权和的完全收敛性[J].应用数学,2022,35(3):586-592.(C H E N XC,WU Q Y.C o m p l e t eC o n v e r g e n c eo fW e i g h t e dS u m s f o rA r r a y so fE N D R a n d o m V a r i a b l e su n d e rS u b-l i n e a rE x p e c t a t i o n[J].M a t h e m a t i c aA p p l i c a t a,2022,35(3):586-592.)[13] E U G E N ES.R e g u l a r l y V a r y i n g F u n c t i o n s[M].L e c t u r e N o t e si n M a t h m a t i c s,V o l.508.B e r l i n:S p r i n g e r-V e r l a g,1976:1-52.(责任编辑:赵立芹)Copyright©博看网. 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NOD随机变量阵列加权和的q阶矩完全收敛性的充要条件

NOD随机变量阵列加权和的q阶矩完全收敛性的充要条件王韦霞;刘苏兵
【期刊名称】《井冈山大学学报》
【年(卷),期】2017(038)006
【摘要】利用矩不等式及截尾法,建立了权系数如ani≈（i/n）^β（1/n~p）的同分布NOD阵列加权和的q阶矩完全收敛性的充要条件,所得的结果推广了已有的结论。

【总页数】5页(P19-23)
【作者】王韦霞;刘苏兵
【作者单位】安徽机电职业技术学院,安徽芜湖241003;安徽机电职业技术学院,安徽芜湖241003
【正文语种】中文
【中图分类】O211.4
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5.行为NSD随机变量阵列加权和的q阶矩完全收敛性 [J], 郭明乐; 朱付秀
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行为NSD随机变量阵列加权和的q阶矩完全收敛性

行为NSD随机变量阵列加权和的q阶矩完全收敛性郭明乐; 朱付秀【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2017(032)001【总页数】11页(P55-65)【关键词】NSD随机变量序列; 完全收敛性; 矩完全收敛性; 加权和【作者】郭明乐; 朱付秀【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院安徽芜湖241003【正文语种】中文【中图分类】O211.4Alam和Saxena[1]首次引入了负相协(Negatively Associated,NA)随机变量序列的概念, Joag-Dev和Proschan[2]深入研究了NA随机变量序列的性质,建立了一些重要的概率不等式.定义1.1[1]称随机变量X1,X2,···,Xn(n≥2)是NA的,如果对于集合{1,2··,n}的任何两个不相交的非空子集A与B,都有其中f1与f2是任何两个使得协方差存在的且对每个变元均非降(或同为对每个变元均非升)的函数.称随机变量序列{Xn,n≥1}是NA的,如果对任何n≥2,X1,···,Xn都是NA的.胡太忠[3]引进了负超可加相依(Negatively Superadditive Dependent,NSD)随机变量序列的概念,定义如下:定义1.2[3]函数φ:Rn→R称为超可加的,如果∀x=(x1,···,xn),y=(y1,···,yn)∈Rn,有这里x∨y=(max(x1,y1),···,max(xn,yn)),x∧y=(min(x1,y1),···,min(xn,yn)).定义1.3[3]称随机变量X1,X2,···,Xn(n≥2)是NSD的,如果这里是独立的,且对任意的i,Xi和有相同的分布,φ是某个超可加函数,使得(1)中的期望存在.称随机变量序列{Xn,n≥1}是NSD的,如果对任何n≥2,X1,···,Xn都是NSD 的.胡太忠[3]构造了一个随机变量序列是NSD,但不是NA,并提出了一个公开问题:NA 是否蕴含NSD?Christo fi des和Vaggelatou[4]解决了这个公开问题,指出NA随机变量序列一定是NSD.因此,对NSD随机变量序列的研究受到了越来越多学者的重视.Eghbal等[5]给出了NSD随机变量序列的部分和的极大值概率不等式,并研究了强大数定律.王学军等[6]建立了NSD随机变量序列的Ho ff mann–Jφrgensen 型概率不等式及矩不等式,得到了行为NSD随机变量阵列完全收敛性的充分条件,并给出了在非参数回归模型中的应用.Amini等[7]获得了基于NSD随机变量序列的平滑移动过程的完全收敛性.完全收敛性概念最先由Hsu和Robbins[8]引入的,称随机变量序列{Xn,n≥1}完全收敛于常数θ,如果对任意的∈＞0,有由Borel-Cantelli引理可知完全收敛蕴含几乎处处收敛,因此完全收敛性在极限理论的课题研究中担任十分重要的角色.Chow[9]给出了如下的矩完全收敛性的概念:设{Xn,n≥1}是随机变量序列,an＞0,bn＞0,q＞0.若对任意的∈＞0,有其中,上述结果称之为矩完全收敛.近年来,q阶矩完全收敛性的研究已取得了一定的成果,但相对于成果十分完善的完全收敛的理论而言,仍处起步阶段.Sung[10]给出了满足Rosenthal型矩不等式的随机变量阵列的q阶矩完全收敛性的充分条件.陈平炎和王定成[11]考察了同分布ϕ−混合随机变量序列的q阶矩完全收敛性,建立了q阶矩完全收敛性的充要条件.梁汉营等[12]研究了同分布的NA随机变量序列的q阶矩完全收敛性,获得了如下的结论.定理1.1[12]设{X,Xn,n≥1}是同分布的NA随机变量列,设0＜p＜2,r＞1,q＞0.则下面两个陈述等价:郭明乐等[13]建立了行为NA随机变量阵列的q阶矩完全收敛性的充分条件,结论如下:定理1.2[13]设{Xni,1≤i≤n,n≥1}是行为NA随机变量阵列,{bn,n≥1}是非负数列, q ＞0,如果存在s＞max(2,2q/r),0＜r≤2,本文利用NSD随机变量序列的Ho ff mann–Jφrgensen型概率不等式,给出了行为NSD随机变量阵列的q阶矩完全收敛性的一些充分条件.这些充分条件是严格弱于Sung[10]建立的充分条件,同时建立的充分条件具有易于验证的特点.值得一提的是,本文的证明方法与以往证明矩完全收敛的方法有所不同,以前一般先证明完全收敛,再利用完全收敛的结论证明矩完全收敛.而本文利用引理1.6,直接得到矩完全收敛.此方法具有一定的创新性而且十分简洁.利用这些充分条件,不仅能推广和深化梁汉营等[12]和郭明乐等[13]的结论,而且简化了他们的证明过程.为了叙述本文的主要结果,先来叙述一些记号和引理.本文中的常数一律以C(＞0)表示,在不同的地方C可以表示不同值;I(A)表示集合A的示性函数;an≪bn表示存在正常数C,使得对任意n≥1有an≤Cbn.引理1.1[3]设随机变量X1,X2,···,Xn是NSD,f1,f2,···,fn全部是单调不减函数,则随机变量f1(X1),f2(X2),···,fn(Xn)仍是NSD.下面的结果是NSD随机变量序列的Ho ff mann–Jφrgensen型概率不等式,在本文的主要结论的证明中起着十分关键的作用.引理1.2[6]设随机变量X1,X2,···,Xn是NSD,且EXi=0,E＜∞,1≤i≤n,令Bn=.则对任意的y＞0,t＞0,有引理1.3[6]设随机变量X1,X2,···,Xn是NSD,且EXi=0,E|Xi|t＜∞,1≤i≤n,1＜t≤2,则定义1.4 设l(x)＞ 0是(0,∞)上的可测函数,如果对任意,则称l(x)为慢变化函数.引理1.4[14]设X是随机变量,l(x)＞0是慢变化函数.下面三个结论成立:定义1.5 称随机变量序列{Xn,n≥1}尾概率有界于随机变量X(记为{Xn≺X}),如果对任意的x≥0,n≥1,有P(|Xn|≥x)≤CP(|X|≥x).引理1.5[15]设随机变量序列{Xn,n≥1}尾概率有界于随机变量X,则对任意x＞0,p＞0,n≥1,有引理1.6[16]设q＞0,{bn,n≥1}是正数列,{Xni,i≥1,n≥1}是随机变量阵列.则本节中,设{Xni,1≤i≤kn,n≥1}是行为NSD随机变量阵列,{kn,n≥1}是正整数列, {bn,n≥1}是正实数列.对任意的x≥1,q＞0,令定理2.1 设q＞0,且证利用概率的次可加性,对任意的∈＞0,有由引理1.6可知,欲证(5),仅需证I1＜∞和I2＜∞.由Fubini定理,对任一随机变量X,有从而由(6)及条件(i)可得下证I1＜∞.由条件(iii)可知,对充分大的n,因此,为完成定理的证明,仅需证I4＜∞.由(x)的定义,注意到0＜r≤2,从而由Markov 不等式有注2.1 定理2.1的证明方法有别于以往证明矩完全收敛性的方法,具有一定的新颖性,同时证明过程十分简洁.既然NA是NSD特殊情形,因此从定理2.1中可以看出,郭明乐等[13]的定理1.2中条件(ii)是多余的,这一简化,相信定理2.1的应用会十分广泛.而在Sung[10]中的定理2.2的条件中也是要求郭明乐等[13]的定理1.2中条件(ii)成立,因此本文建立的充分条件是严格弱于Sung[10]中的充分条件.定理2.2 设0＜q≤2,且则对任意的∈＞0,(5)成立.证运用定理2.1中的记号和方法,仅给出证明不同的部分.由(8),Markov不等式,Cr 不等由条件(i’)知I5＜∞.注意到s＞q,由条件(ii’)有因此为完成定理2.2的证明,仅需证明I6＜∞.对任意的随机变量X,利用Fubini定理可得这里F|X|是|X|的分布函数.故由(11)及条件(i’)有注2.2 当kn=∞时,若进一步假定几乎处处收敛,则由单调收敛定理,引理1.2及引理1.3可知,定理2.1及定理2.2对kn=∞仍成立.本节给出§2中建立的q阶矩完全收敛性的充分条件的一些应用,从中可以看到这些充分条件具有十分重要的应用价值.推论3.1 设{Xni,1≤i≤n,n≥1}是行为NSD随机变量阵列,且{Xni}≺X.设0＜p＜2,r＞1,q＞0.当1≤p＜2时,进一步假定EXni=0,1≤i≤n,n≥1.若证在定理2.1中,取bn=nr−2,以n−1/pXni替代Xni.由引理1.1知n−1/pXni,1≤ i≤n,n≥1仍是行为NSD随机变量阵列.由(12),引理1.4和引理1.5可得即定理2.1中条件(i)成立.注意到(12)蕴含E|X|rp＜∞.当rp≥2时,此时EX2＜∞,由引理1.5可知≪EX2.注意到0＜p＜2,选取充分大的s,使得r−2−2s/p+s＜−1,继而有当rp＜2时,由引理1.5可知E|Xni|rp≪E|X|rp.由r＞1知,可选取充分大的s,使得r−2−rs+s＜−1,有由(15),(16)知定理2.1中条件(ii)成立.当0＜p＜1时,由Markov不等式可得及对任意0＜t≤1,当1≤p＜2时,由EXni=0,引理1.5及积分的绝对连续性可得由(18),(19)知定理2.1中条件(iii)成立.因此由定理2.1可知(13)成立.注3.1 在没有添加任何额外的条件下,推论3.1不仅将梁汉营等[12]的充分性方面结论推广到了非同分布的行为NSD随机变量阵列情形,而且证明过程大大简化.推论3.1中条件r＞1在(16)式的证明中起到关键作用.因此,当r=1时,推论3.1的证明失效.下面的推论说明当r=1时,如果限制q的范围,推论3.1仍然成立,从而扩充了梁汉营等[12]的成果.当然所采用的证明方法有别于推论3.1的证明方法.推论3.2 设{Xni,1≤i≤n,n≥1}是行为NSD随机变量阵列,且{Xni}≺X.设0＜p＜2,0＜q＜2.当1≤p＜2时,进一步假定EXni=0,1≤i≤n,n≥1.若证在定理2.2中,取bn=n−1,以n−1/pXni替代Xni.从推论3.1的证明过程可知定理2.2中的条件(i’),(iii’)成立,因此为完成推论3.2的证明,仅需证明定理2.2中的条件(ii’)成立.取定理2.2中的条件(ii’)中取s=2.显然0＜q＜2=s.注意到(20)蕴含E|X|p＜∞.由引理1.4,引理1.5可得因此定理2.2中的条件(ii’)成立.【相关文献】[1]Alam K,Saxena K M L.Positive dependence in multivariate distributions[J].Comm Stat, 1981,10:1183-1196.[2]Joag-Dev K,Proschan F.Negative association of random variables withapplications[J].Ann Statist,1983,11:286-295.[3]Hu Taizhong.Negatively superadditive dependence of random variables with applications[J]. Chin J Appl Probab Stat,2000,16:133-144.[4]Christo fi des T C,Vaggelatou E.A connection between supermodular ordering and positive/negative association[J].J Multivariate Anal,2004,88:138-151.[5]Eghbal N,Amini M,Bozorgnia A.Some maximal inequalities for quadratic forms of negative superadditive dependence random variables[J].Stat Probab Lett,2010,80:587-591.[6]Wang Xuejun,Deng Xin,Zheng Lulu,et plete convergence for arrays of rowwise superadditive dependent random variables and its applications[J].Statistics,2014,48:834-850.[7]Amini M,Bozorgnia1 A,Naderi1 H.Volodin A.On Complete Convergence of Moving Average Processes for NSD Sequences[J].Siberian Adv Math,2015,25:11-20.[8]Hsu P L,Robbins plete convergence and the law of large numbers[J].Proc NatAcad Sci USA,1947,33:25-31.[9]Chow Y S.On the rate of moment convergence of sample sums and extremes[J].Bull Inst Math Acad Sinica,1988,16:177-201.[10]Sung S plete qth moment convergence for arrays of random variables[J].J Inequal Appl,2013,2013:24.[11]Chen Pingyan,Wang plete moment convergence for sequence of identically distributed ϕ-mixing random variables[J].Acta Math Sinica(EnglSer),2010,26:679-690.[12]Liang Hanying,Li Deli,Rosalsky plete moment convergence for sums of negatively associated random variables[J].Acta Math Sinica(Engl Ser),2010,26:419-432. [13]郭明乐,祝东进,吴永锋.行为负相依随机变量阵列加权和的q阶矩完全收敛性[J].系统科学与数学,2014,34:969-984.[14]Bai Zhidong,Su Chun.The complete convergence for partial sums of iid random variables[J]. Sci Sinica Ser A,1985,28:1261-1277.[15]吴群英.混合序列的概率极限理论[M].北京:科学出版社,2006.[16]Chen Pingyan,Wang Dingcheng.Convergence rates for probabilities of moderate deviations for moving average processes[J].Acta Math Sinica(Engl Ser),2008,24:611-622.。

行为NA随机变量阵列加权和的矩完全收敛性

行为NA随机变量阵列加权和的矩完全收敛性王晓月;郭明乐【摘要】研究了行为NA随机变量阵列加权和的矩完全收敛性,得到了行为NA随机变量阵列加权和的矩完全收敛性的充分条件,推广了梁汉营[9]和Chow[13]的部分结果.【期刊名称】《铜陵学院学报》【年(卷),期】2017(016)003【总页数】5页(P106-109,122)【关键词】行为NA随机变量阵列;矩完全收敛性;完全收敛性;加权和【作者】王晓月;郭明乐【作者单位】安徽师范大学,安徽芜湖 241003;安徽师范大学,安徽芜湖 241003【正文语种】中文【中图分类】O211.4统计学家Alam和Saxena于1981年引入了NA (Negatively Associated)随机变量序列的概念，Joag-Dev和Proschan于1983年对NA随机变量序列进行了深入的研究。

定义1.1 称随机变量序列X1,X2,…Xn（n≥2）是NA的，如果对集合{1，2，…，n}的任何两个不相交的非空子集A与B，都有Cov(f1(X1,i∈A),f2(Xj,j∈B))≤0，其中f1与f2是任何两个使得协方差存在的对每个变元均非降（或同为对每个变元均非升）的函数。

若对任何n≥2,X1,X2,…Xn都是 NA的，则称随机变量序列{Xj,j∈N}是NA的。

NA随机序列不仅在可靠性理论，渗透性理论及多元统计分析中起着广泛的作用，而且在许多学科领域，金融风险和时间序列分析中都有着重要的作用。

许多学者研究NA随机序列的极限理论、应用及统计等各个方面问题，得到了一些重要结论。

苏淳、赵林城、王岳宝[3]得到了矩不等式及弱收敛性，林正炎[4]得到了NA随机序列的弱不变原理，邵启满和苏淳[5]得到了平稳NA随机序列的重对数律，等等。

文章约定，C表示正常数，它在不同的地方表示不同的值；I(A)表示A的示性函数；(x)q+=(max(x,0))q,x+=max (x,0),x-=max(-x,0),logx=lnmax(e,x):an<<bn表示存在常数C>0使得an≤Cbn；an≈bn表示an≤bn且an>>bn。

END 随机变量序列加权和的几乎处处收敛性

END 随机变量序列加权和的几乎处处收敛性邓新;夏凤熙;王学军【摘要】文章主要讨论了同分布条件下END随机变量序列加权和在相关的矩条件和权系数条件下的几乎处处收敛性，并得到了在随机控制条件下的相应结果，该结果推广了独立随机变量序列和负相依随机变量序列几乎处处收敛性质的相应结果。

%This paper deals with the almost sure convergence of weighted sums of identically distributed extended negatively dependent (END) random variables under the conditions of moments and weight coefficients .The corresponding result under the condition of stochastic domination is also obtained . The result obtained in the paper extends the corresponding one of independent random variable se-quence and negatively dependent random variable sequence .【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)006【总页数】3页(P761-763)【关键词】END随机变量;加权和;几乎处处收敛性;随机控制【作者】邓新;夏凤熙;王学军【作者单位】安徽大学数学科学学院，安徽合肥 230601;安徽大学数学科学学院，安徽合肥 230601;安徽大学数学科学学院，安徽合肥 230601【正文语种】中文【中图分类】O211.4许多统计问题的研究中，一般假设随机变量是独立的，但在实际问题中，这样的假设是不合理的，所以把独立的概念进行推广是许多统计学家的研究方向，其中END（extended negatively dependence）随机变量就是一类非常普遍且非独立的随机变量。

次线性期望空间下END 列加权和的完全收敛性分析

㊀㊀㊀㊀㊀１５８㊀次线性期望空间下ＥＮＤ列加权和的完全收敛性分析次线性期望空间下ＥＮＤ列加权和的完全收敛性分析Һ刘晓春㊀（南昌理工学院，江西㊀南昌㊀３３００４４）㊀㊀ʌ摘要ɔ次线性期望空间理论的提出是为了解决金融领域风险度量计算涉及的非线性问题，概率极限理论研究也由此获得新的研究方向．基于此，本文将简单介绍次线性期望空间，并围绕Ｓｔｏｕｔ型分布ＥＮＤ序列完全收敛性开展研究，次线性期望空间的完全收敛性内容由此得以丰富．ʌ关键词ɔ次线性期望空间；完全收敛性；ＥＮＤ随机变量一㊁前㊀言受到次线性期望和容度不可加性的影响，次线性期望空间与原概率空间存在很多差别较大的结论，许多不等式㊁证明方法不再适用．为解决相关问题，近年来很多新的研究工具和研究方法不断涌现．更好地解决各类收敛问题是本文围绕次线性期望空间下ＥＮＤ列加权和的完全收敛性开展具体研究的原因所在．二㊁次线性期望空间概述相较于传统的概率空间，次线性期望空间中存在很多不同的性质，如一个常数在次线性期望空间中无法实现随机变量方差或均值的描述，大数定律极限并非一个常数，以及Ｙ独立于Ｘ在次线性期望下并不意味着Ｘ独立于Ｙ，存在不对称的独立性．结合次线性期望空间框架，我们给定可测空间假设为（Ω，Ｆ），以及定义在（Ω，Ｆ）上的线性空间Ｈ，Ｈ对任意Ｘ１，Ｘ２，，ＸｎɪＨ，φɪＣｌ，Ｌｉｐ（Ｒｎ），均有φ（Ｘ１，Ｘ２，，Ｘｎ）ɪＨ，线性空间的局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数表示为Ｃｌ，Ｌｉｐ（Ｒｎ），对任意φɪＣｌ，Ｌｉｐ（Ｒｎ），存在常数ｃ＞０，ｍɪＮ取决于φ，均有：φ（ｘ）－φ（ｙ）ɤｃ（１＋ｘｍ＋ｙｍ）ｘ－ｙ，∀ｘ，ｙɪＲｎ（１）Ｈ也可以视作随机变量构成的空间，可记为ＸɪＨ．定义（１）：称Ｅ＾：ＨңＲ－为次线性期望，如果对任意Ｘ，ＹɪＨ均存在单调性㊁次可加性㊁保常数性㊁正齐次性，可基于Ｒ－＝［－ɕ，＋ɕ］，定义次线性期望空间为三元组（Ω，Ｈ，Ｅ＾），定义Ｅ＾的共轭期望ε＾为：ε＾Ｘ＝－Ｅ＾（－Ｘ），∀ＸɪＨ．（２）基于式（２）可确定，对于任何的Ｘ，ＹɪＨ，均存在ε＾ＸɤＥ＾Ｘ，Ｅ＾（Ｘ＋ｃ）＝Ｅ＾Ｘ＋ｃ，Ｅ＾（Ｘ－Ｙ）ɤＥ＾Ｘ－Ｙ，Ｅ＾（Ｘ－Ｙ）ȡＥ＾Ｘ－Ｅ＾Ｙ．（３）基于Ｅ＾的保持常数不变性及可加性可以确定，存在Ｅ＾Ｘ－ε＾（－Ｘ）＝Ｅ＾Ｘ＋Ｅ＾（－Ｘ）ȡＥ＾（Ｘ－Ｘ）＝０．（４）概率空间中容度属于度量单位概率，作为典型的非可加概率测度概念，容度可实现不确定性问题的准确刻画，在金融㊁经济㊁工程学等领域，可基于定义（２）理解容度的概念．定义（２）：令Ｇ⊂Ｆ，一个函数Ｖ：Ｇң［０，１］称为容度，如Ｖ（∅）＝０，Ｖ（Ω）＝１，对任意Ａ⊆Ｂ，Ａ，ＢɪＧ，则存在Ｖ（Ａ）ɤＶ（Ｂ），如果对所有的Ａ，ＢɪＧ，且ＡɣＢɪＧ，则存在Ｖ（ＡɣＢ）ɤＶ（Ａ）＋Ｖ（Ｂ），此时存在次可加性的Ｖ．在概率统计中，对于存在不确定性的研究对象，最优解将无法求得，最多仅能够获得优的区间概率，基于经典概率集函数即可获得该区间概率，成为上或下概率的对应集函数也可获得，不确定性建模可基于上下区间的限制开展，非理想状态随机情形可由此描绘，因此，在不确定性描绘中，区间概率属于较为恰当的方式．对基于（Ω，Ｈ，Ｅ＾）的次线性期望空间进行分析可以发现，类似于一个区间概率的容度可细分为下容度和上容度，同时存在不可加性，因此可针对性定义为：Ｖ（Ａ）：＝ｉｎｆ｛Ｅ＾ξ；Ｉ（Ａ）ɤξ，ξɪＨ｝，ν（Ａ）：＝１－Ｖ（ＡＣ），∀ＡɪＦ．（５）式（５）中的ＡＣ为Ａ的补集，针对性开展分析可以确定，存在：ν（Ａ）ɤＶ（Ａ），∀ＡɪＦ．（６）如存在Ｉ（Ａ）ɪＨ，则存在：Ｖ（Ａ）＝Ｅ＾（Ｉ（Ａ）），ν（Ａ）＝ε＾（Ｉ（Ａ））．（７）如ｆɤＩ（Ａ）ɤｇ，ｆ，ｇɪＨ，则存在：Ｅ＾ｆɤＶ（Ａ）ɤＥ＾ｇ，ε＾ｆɤν（Ａ）ɤε＾ｇ．（８）随机变量Ｘ在可测空间（Ω，Ｈ）的Ｃｈｏｑｕｅｔ期望ＣＶ（Ｘ）为定义（３），即：ＣＶ（Ｘ）＝ʏ＋ɕ０Ｖ（Ｘȡｔ）ｄｔ＋ʏ＋ɕ０（Ｖ（Ｘȡｔ）－１）ｄｔ．（９）定义（４）：次线性期望Ｅ＾：ＨңＲ－，如果对∀Ｘ，Ｘｎ，ＸｎɪＨ，Ｘȡ０，ｎ＝１，２，，满足：Ｅ＾（Ｘ）ɤð＋ɕｎ＝１Ｅ＾（Ｘｎ），Ｘɤð＋ɕｎ＝１Ｘｎ，（１０）则认为Ｅ＾是可数次可加的．如一个集函数Ｖ：ＦңＲ－对任意∀ＡｎɪＦ，满足：Ｖɣ＋ɕｎ＝１Ａｎ()ɤð＋ɕｎ＝１Ｖ（Ａｎ），（１１）㊀㊀㊀１５９㊀㊀则认为Ｖ是可数次可加的．一般情况下，不存在可数次可加性的Ｖ，因此，进行外容度Ｖ∗定义，即定义（５），如对ＡɪＦ，都有：Ｖ∗（Ａ）＝ｉｎｆð＋ɕｎ＝１Ｖ（Ａｎ）：Ａ⊂ɣ＋ɕｎ＝１Ａｎ{}，ν∗（Ａ）＝１－Ｖ∗（ＡＣ），（１２）则认为Ｖ∗属于可数次可加的，且Ｖ∗＝Ｖ．如Ｉ（Ａ）ɤｇ（ｇɪＨ），则可以确定Ｖ∗（Ａ）ɤＥ＾（ｇ）．开展进一步分析，如存在可数次可加的Ｅ＾，则存在：Ｅ＾（ｆ）ɤＶ∗（Ａ）ɤＶ（Ａ）ɤＥ＾（ｇ），∀ｆɤＩ（Ａ）ɤｇ，ｆ，ｇɪＨ．（１３）在Ｉ（Ａ）ɤｇɪＨ，Ｖ∗（Ａ）ɤＥ＾（ｇ）时，可数次可加容度最大为Ｖ∗．在这种情况下，当Ｉ（Ａ）ɤｇɪＨ，Ｖ∗（Ａ）ɤＥ＾（ｇ）时，存在同时属于可数次可加容度的Ｖ，则Ｖ（Ａ）ɤＶ∗（Ａ）．定义（６）：在同分布前提下，如次线性期望空间中Ｘ１和Ｘ２分别为（Ω１，Ｈ１，Ｅ＾１），（Ω２，Ｈ２，Ｅ＾２）上的ｎ维随机向量，如存在：Ｅ＾（φ（Ｘ１））＝Ｅ＾２（φ（Ｘ２）），∀φɪＣｌ，Ｌｉｐ（Ｒｎ），（１４）则可将其称为同分布，具体可记作Ｘ１＝ｄＸ２，如∀ｉȡ１，Ｘｉ＝ｄＸ１，则认为｛Ｘｎ；ｎȡ１｝属于同分布的．ＥＮＤ序列概念在经典概率空间的研究较早，此时的ＥＮＤ序列属于较弱的相依序列，而围绕ＥＮＤ序列在次线性期望空间中的相关研究进行分析可以发现，我们需要重新定义次线性期望空间中的ＥＮＤ序列．定义（７）：次线性期望空间（Ω，Ｈ，Ｅ＾）下，ＥＮＤ序列可表示为｛Ｘ；ｎȡ１｝，如常数Ｋȡ１，则存在成立的下式：Ｅ＾ᵑｎｉ＝１ｇｉ（ｘｉ）()ɤｋᵑｎｉ＝１Ｅ＾（ｇｉ（ｘｉ）），∀ｎȡ１．（１５）其中，存在ｇｉɪＣｌ，Ｌｉｐ（Ｒｎ），ｉ＝１，２，的非增或非降的非负函数．深入分析可以发现，结合上述定义的ＥＮＤ随机变量序列，如存在属于ＥＮＤ随机变量序列的｛Ｘ；ｎȡ１｝，以及ｇｉɪＣｌ，Ｌｉｐ（Ｒｎ），ｉ＝１，２，这一属于非增或非降的非负函数，则存在同样属于ＥＮＤ随机变量序列的｛ｆ（Ｘｎ）；ｎȡ１｝．三、次线性期望空间下ＥＮＤ列加权和的完全收敛性（一）完全收敛的定义在围绕完全收敛性的最初研究中，完全收敛性的概念被提出，同时研究发现，如存在有限的随机变量方差，则存在完全收敛于一个期望值的算术平均序列，该序列源于独立同分布随机变量，假设｛Ｘｎ；ｎȡ１｝随机变量序列满足：ð＋ɕｎ＝１ｐ（Ｘｎ－Ｘε）＜＋ɕ，∀ε＞０，（１６）则该随机变量序列在随机变量Ｘ中完全收敛，可记作ＸｎｃңＸ．围绕加权和的完全收敛性开展针对性研究可以发现，不同形式的收敛性会因不同权重出现不同，因此结果会受到加权和形式带来的直接影响，因此本文研究需设法明确加权和的定义．基于属于随机变量序列的｛Ｘｎ；ｎȡ１｝，常数的集合为｛ａｎｉ；１ɤｉɤｎ，ｎȡ１｝，因此加权和可表示为ðｎｉ＝１ａｎｉＸｉ．基于经典概率空间完全收敛定义方法开展针对性对比，完全收敛性在次线性期望中的定义可表示为：在次线性期望空间（Ω，Ｈ，Ｅ＾）下，如对所有ε＞０存在ð＋ɕｎ＝１Ｖ（Ｘｎ－Ｘ＞ε）＜＋ɕ，（１７）即可认为存在完全收敛于随机变量Ｘ的随机变量序列｛Ｘｎ；ｎȡ１｝，可记作ＸｎｃңＸ．近年来，概率空间下完全收敛性的研究大量涌现，如围绕ＮＤ阵列合和ＮＤ序列随机变量完全收敛性的研究，以及围绕ＮＯＤ序列加权和开展的研究等，很多新的完全收敛性结果由此获得，这类研究逐步将ＮＯＤ序列这一随机变量研究范围扩大至广义ＮＤ序列，广义ＮＤ序列加权和在权重为ａｎｋ且在Ｅ＾（Ｘｐ）ɤＣＶ（Ｘｐ）＜＋ɕ情形下的完全收敛性也通过研究得以证明，这使得概率空间中的结论通过研究真正推广到次线性期望空间．进一步分析相关研究可以发现，次线性期望空间和经典概率空间下存在不同的研究结果，同时存在不同的证明思路，对于存在不可加性的次线性期望和容度，其相较于经典概率空间存在不同的证明手法，需利用容度不等式等次线性期望空间理论框架下的内容和性质进行证明．（二）Ｓｔｏｕｔ型ＥＮＤ列加权和的完全收敛性基于随机变量加权和Ｓｔｏｕｔ型ＮＯＤ序列的完全收敛性开展研究可以发现，作为新的完全收敛定理，其与权重存在显著区别．对属于同分布ＮＯＤ随机变量序列的ｒ＞０，α＞０，｛Ｘ，Ｘｎ；ｎȡ１｝进行研究，结合属于正常数阵列的｛ａｎｋ；ｋȡ１，ｎȡ１｝，且其对任意Ｋ＞０，满足：ｌｉｍｎң＋ɕｌｏｇｎð＋ɕｋ＝１ａ２ｎｋ＝０．（１８）令Ｔｎ＝ð＋ɕｋ＝１ａｎｋＸｋ，ｎȡ１，假设ＥＸ＝０，且ＥＸ２＋ｒ／α／ｌｏｇ（１＋Ｘ）＜＋ɕ，则对任意ε＞０，存在：ð＋ɕｎ＝１ｎｒ－１Ｐ｛Ｔｎ＞ε｝＜＋ɕ．（１９）结合上述定理，即可对Ｓｔｏｕｔ型ＮＯＤ序列在次线性期望空间下的加权和完全收敛性开展研究，通过将相关定理从经典概率空间向次线性空间推广，即可完成研究．基于ＥＮＤ序列的概念㊁随机变量同分布概念及Ｍａｒｋｏｖ不等式，即可围绕次线性期望空间下ＥＮＤ列加权和的完全收敛性开展针对性研究．在具体研究开始前，需引出两个重要的引理．㊀㊀㊀㊀㊀１６０㊀引理（１）：设次线性期望空间（Ω，Ｈ，Ｅ＾）的随机变量为Ｘ，且满足Ｘɤ１，则存在：Ｅ＾ｅｘｐ（ｘ）ɤｅｘｐ（Ｅ＾Ｘ＋Ｅ＾Ｘ２）．（２０）引理（２）：假设ＸɪＨ，ｒ＞０，α＞０，则对于任意ｃ＞０，则存在：ＣＶ（Ｘ２＋ｒ／α／ｌｏｇ（１＋Ｘ））＜＋ɕ⇔ð＋ɕｎ＝１２（２α＋ｒ）ｎｌｏｇ２ｎＶ（Ｘ＞ｃ２αｎ）＜＋ɕ．（２１）基于上述引理，即可开展后续研究，假设次线性期望空间（Ω，Ｈ，Ｅ＾）中的｛Ｘ，Ｘｎ；ｎȡ１｝为同分布ＥＮＤ随机变量序列，存在可数次可加性的Ｅ＾，以及属于正常数阵列的｛ａｎｋ；ｋȡ１，ｎȡ１｝，满足ｓｕｐｋȡ１ａｎｋɤｃｎ－α，如ｒ＞０，α＞０，且ＣＶ（Ｘ２＋ｒ／α／ｌｏｇ（１＋Ｘ））＜＋ɕ，（２２）ｌｉｍｎң＋ɕｌｏｇｎð＋ɕｋ＝１ａ２ｎｋ＝０，（２３）则：ð＋ɕｎ＝１ｎｒ－１Ｖð＋ɕｋ＝１ａｎｋ（Ｘｋ－Ｅ＾Ｘｋ）＞ε{}＜＋ɕ，∀ｎ＞０，（２４）ð＋ɕｎ＝１ｎｒ－１Ｖð＋ɕｋ＝１ａｎｋ（Ｘｋ－ε＾Ｘｋ）＜－ε{}＜＋ɕ，∀ｎ＞０，（２５）在Ｅ＾ｋ＝ε＾Ｘｋ时，则存在：ð＋ɕｎ＝１ｎｒ－１Ｖð＋ɕｋ＝１ａｎｋ（Ｘｋ－Ｅ＾Ｘｋ）＞ε{}＜＋ɕ，∀ｎ＞０．（２６）基于上文提及的定理可以发现，其属于经典概率空间下到次线性期望空间的推广，同分布ＮＯＤ序列通过该定理推广至同分布ＥＮＤ序列，一般矩条件的原概率空间得以推广至上积分条件，由此开展等价性证明，在次线性期望空间下由于存在不再唯一的随机变量Ｘ期望，相较于原概率空间得出的结论，由于存在下期望ε＾和上期望Ｅ＾，得出的结论存在不同，最终的完全收敛定理的得出需保证下期望ε＾和上期望Ｅ＾相等．假设Ｅ＾Ｘｎ＝０，基于式（２２）以及存在可数次可加性的上期望Ｅ＾，存在：Ｅ＾（Ｘ２）ɤＣＶ（Ｘ２）ɤＣＶ（Ｘ２＋ｒ／α／ｌｏｇ（１＋Ｘ））＜＋ɕ．（２７）假设Ｅ＾Ｘ２ｎ＝１，ａｎｋ＜ｎ－α对于任何ｋ＞１，ｎȡ１均成立，令Ｔｎ＝ð＋ɕｋ＝１ａｎｋＸｋ．（２８）对属于ＥＮＤ序列的｛Ｘ，Ｘｎ；ｎȡ１｝来说，为保证其存在同样属于ＥＮＤ序列的截尾随机变量，需保证截尾后的序列为非减（非增）的，且属于Ｃｌ，Ｌｉｐ，给定任意ε＞０，取ρ＞０，正整数Ｎ，由于ｎ－ρң０，ｎң＋ɕ，因此对于给定的任意Ｎ，ε，正整数Ｎ０存在，且使得当Ｎȡｎ０时，存在ｎ－ρ＜ε／Ｎ．结合同类研究进行分析可以发现，为证明ð＋ɕｎ＝１ｎｒ－１Ｖ（Ｔｎ＞３ε）＜＋ɕ成立，需要证明：ð＋ɕｎ＝１ｎｒ－１Ｖ（Ｔᶄｎ＞ε）＜＋ɕ，ð＋ɕｎ＝１ｎｒ－１Ｖ（Ｔᵡｎ＞ε）＜＋ɕ，ð＋ɕｎ＝１ｎｒ－１Ｖ（Ｔ‴ｎ＞ε）＜＋ɕ．（２９）对属于ＥＮＤ序列的｛ａｎｋＸᶄｎｋ，ｋȡ１｝来说，可确定存在同为ＥＮＤ序列的｛ｅｘｐ（ｕｎａｎｋＸᶄｎｋ），ｋȡ１｝，结合Ｍａｒｋｏｖ不等式，最终可得到：ð＋ɕｎ＝１ｎｒ－１Ｖ（Ｔᶄｎ＞ε）ɤð＋ɕｎ＝１ｎｒ－１ｅｘｐ（－εｎρ／２）＋ð＋ɕｎ＝１ｎｒ－１ｅｘｐ（－ε２／４ｃｎ）＜＋ɕ．结合传统的线性期望空间不难发现，其中存在等价的式子ＥＩ（Ｘɤａ）＝Ｐ（Ｘɤａ）．但对于本文研究的次线性期望空间来说，由满足Ｃｌ，Ｌｉｐ连续函数定义的Ｅ＾存在不满足连续性的原示性函数Ｉ（Ｘɤａ），因此，Ｅ＾Ｉ（Ｘɤａ）这种表达并不有效，研究需要创建属于Ｃｌ，Ｌｉｐ的新的连续函数于次线性期望空间中，以此实现对原概率空间示性函数的取代．结合次线性期望的定义，存在ε＾Ｘ[]：＝－Ｅ＾－Ｘ[]，∀ＸɪＨ，可得到：㊀ð＋ɕｎ＝１ｎｒ－１Ｖð＋ɕｋ＝１ａｎｋ（Ｘｋ－ε＾Ｘｋ）＜－ε{}＝ð＋ɕｎ＝１ｎｒ－１Ｖð＋ɕｋ＝１ａｎｋ（Ｘｋ＋Ｅ＾（－Ｘｋ））＜－ε{}＝ð＋ɕｎ＝１ｎｒ－１Ｖð＋ɕｋ＝１ａｎｋ（（－Ｘｋ）－Ｅ＾（－Ｘｋ））＞ε{}＜＋ɕ．（３０）围绕式（３０）进行分析可以发现，式（２５）由此成立，而在Ｅ＾Ｘｋ＝ε＾Ｘｋ时，则存在：㊀ð＋ɕｎ＝１ｎｒ－１Ｖð＋ɕｋ＝１ａｎｋ（Ｘｋ－Ｅ＾Ｘｋ）＞ε{}ɤð＋ɕｎ＝１ｎｒ－１Ｖð＋ɕｋ＝１ａｎｋ（Ｘｋ－Ｅ＾Ｘｋ）＞ε{}＋㊀ð＋ɕｎ＝１ｎｒ－１Ｖ{ð＋ɕｋ＝１ａｎｋ（Ｘｋ－Ｅ＾Ｘｋ）＜－ε}＜＋ɕ．（３１）式（２６）由此获得．四㊁结㊀论本文研究的完全收敛内容仅属于极限理论的一小部分，次线性期望空间中还可以推广很多概率空间相关的经典理论，如完全矩收敛，笔者计划未来开展完全积分收敛及混合序列的相关研究．ʌ参考文献ɔ［１］周慧，马慧，张继红．ＥＮＤ相依序列加权和的强收敛性［Ｊ］．甘肃高师学报，２０１９（２）：１－３．［２］邱德华，肖娟．ＥＮＤ随机变量序列Ｓｕｎｇ型加权和的矩完全收敛性［Ｊ］．数学物理学报：Ａ辑，２０１８（６）：１１０３－１１１１．［３］邱德华，陈平炎．ＥＮＤ随机变量序列产生的移动平均过程的收敛性［Ｊ］．数学物理学报：Ａ辑，２０１５（４）：７５６－７６８．。

NOD随机变量阵列的q阶矩完全收敛性的充分条件

NOD随机变量阵列的q阶矩完全收敛性的充分条件王韦霞【摘要】利用Rosenthal不等式及截尾法，给出了1≤q≤2和q ＞2两种情形下NOD（ negatively orthant dependent）随机变量阵列q阶矩完全收敛性的充分条件，推广了已有的结论。

%By using Rosenthal inequality and truncated method, we establish the sufficient conditions of complete qth moment convergence of negatively orthant random variables by two kinds of cases:1≤q≤2 and q >2 .The conclusions enrich the known results.【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(022)003【总页数】3页(P25-27)【关键词】NOD随机变量;q阶矩;完全收敛;截尾法【作者】王韦霞【作者单位】安徽机电职业技术学院基础教学部，安徽芜湖 241003【正文语种】中文【中图分类】O211.4Joag-Dev等[1- 2]引入了NOD(negatively orthant dependent)序列概念，并指出NOD是严格弱于NA(negatively association dependent)的，而NA在许多领域都有广泛的应用。

由于完全收敛蕴含几乎处处收敛，矩完全收敛又蕴含完全收敛，因而研究NOD矩完全收敛受到统计研究者的重视。

目前，关于完全收敛已有不少成果， Wu[3]讨论NOD阵列加权和完全收敛性的充要条件，Guo等[4]给出了NA阵列矩完全收敛性的充分条件，Liang等[5]建立了独立同分布NA阵列的q阶矩完全收敛性的充要条件。

本文将文献[4-5]的结论推广到NOD阵列，建立了1≤q≤2和q>2两种情形下NOD阵列q阶矩完全收敛性的充分条件。