NOD随机变量序列加权和的矩完全收敛性
随机变量序列的两种收敛性
§4.2随机变量序列的两种收敛性在上一节中，我们从频率的稳定性出发，引入了n η=∑=n i i n 11ξ−→−p a （n ∞→） 即随机变量序列{}n η依概率收敛于常数a 这么一个概念。
我们自然可以把所讨论的问题推广到a 不是一个常数，而是一个随机变量这样的情形，于是需要引入下面的定义。
定义4.2 设有一列随机变量1η，2η，3η，…，n η，如果对任意的ε>0,都有 lim ∞→n P ()εηη<-n （4.6）则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，并记作lim ∞→n r η−→−p η 或n η−→−p η （n ∞→） 由此可知，前一节中讨论过的大数定律只是上述依概率收敛的一种特殊情况。
我们已经知道分布函数全面地描述了随机变量的统计规律，如果已知n η−→−p η（n ∞→），那么它们相应的分布函数n F （x ）与F （x ）之间的关系会有什么样的关系呢?一个猜测是,对所有的x ，都有n F （x ）→ F （x ）（n ∞→）成立，这个猜测对不对呢?让我们看一个很简单的例子。
例4.2 设η，n η都是服从退化分布的随机变量，且P （η=0）=1,P （n η=-n 1）=1，n=1,2,… 于是对任给的ε>0，当n>ε1时有 P （ηη-n ≥ε）=P （n η≥ε）=0所以n η−→−p η （n ∞→） 成立。
又设η，n η的分布函数分别为F （x ），n F （x ），则F （x ）=⎩⎨⎧≤>0,20,1x xF （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧-≤->n x n x 1,21,1 显然,当x ≠0时，lim ∞→n n F （x ）= F （x ）成立，当x=0时，lim ∞→n n F （0）=lim ∞→n 1=1≠0= F （0） 这个简单的例子表明，一个随机变量序列依概率收敛于某一个随机变量，相应的分布函数列不一定是在每一点上都收敛于这个随机变量的分布函数的。
_混合序列加权和的矩完全收敛性_章志华
= I1 + I2 . 对I1 , 由Markov不等式有 I1 ≤ C ≤ C ≤ C
∞ n=1 ∞ n=1 ∞
nt−2−q/r nt−2−q/r nt−1−q/r n
+∞ nq/r +∞ nq/r +∞
x−1/q
∞ n=1
|ani |E|Xi |I (|Xi | > x1/q )dx
x−1/q E|X |I (|X | > x1/q )dx P{|X | > x1/q }dx x−1/q
n
0 < r < 2, t > 1, rt ≥ 1, 则当E{|X |rt + |X | log(1 + |X |)} < ∞时, 对∀ ε > 0, 有
∞ n=1
i=1
Xi , 如果
nt−2−1/r E
1≤ k ≤ n
max |Sk − k EX | − εn1/r
+
< ∞,
(1.2)
其中如果x > 0, 则x+ = x; 如果x < 0, 则x+ = 0. 王定成和苏淳(2004)把Chow(1988)的结果推广到了p-型Banach空间情形, Chen(2006) 在没有附加几何假设条件下的Banach空间情形下得到了相应的结果. Li和Zhang (2004)在
第五期
章志华 陈平炎: ϕ-混合序列加权和的矩完全收敛性 ∞ n=1
473
引理 1.1 [13]
设{Xn , n ≥ 1}是ϕ-混合随机变量序列, 其混合系数满足
ϕ1/2 (n) <
2 < ∞, 则 ∞. 若∀ n ≥ 1, EXn = 0, EXn
随机变量序列的收敛特性
概率空间•几乎必然收敛(almost sure convergence)–随机变量序列收敛到，同时}{n X X {li – a.s. 1}{lim ==∞→X X P n n X X =lim XX −→−.s .a 表示为或者n n ∞→n →)}()(lim :{ςςςX X n n =∞→•依概率收敛(convergence in probability)–随机变量序列以及满足对任意}{n X X li ε–p. 0}||{lim=>-∞→εX X P n n X X =lim XX −→−.p 表示为p 或者n n ∞→n →也有可能的数值极大|X X n -|•均方收敛(mean square convergence)–随机变量序列以及满足,同时}{n X X li ∞<}{2nX E –m.s. 0}){(lim2=-∞→X X E n n X X =lim XX −→−m.s.表示为或者n n ∞→n →•均方收敛(mean square convergence)–随机变量序列以及满足,同时}{n X X li ∞<}{2nX E –m.s. 0}){(lim2=-∞→X X E n n X X =lim XX −→−m.s.表示为或者则n n ∞→n →m s •若，则X X n −→−m.s.∞<}{2X E 几乎必然收敛或依概率收敛都不能确保均方收敛•以概率分布收敛(convergence in distribution)–随机变量序列以及满足在任意连续的x}{n X X li )()(limx F x F X X n n =∞→–表示为 d. 或者X X n n =∞→lim XX n −→−d.•依据特征函数判断收敛–XX n −→−d.––)}({)}({X f E X f E n →)t ()t (XX nΦ→Φ.s .a ⇒XX −→−.p(Cauthy criteria)在不知道极限的情况下，判定随机变量序列收敛随机变量序列的收敛特性。
行为NA的随机变量阵列加权和的收敛性
６
有
高 师 理 科 学 刊
Ｃ
第Ｃ ３ Ｏ卷 Ｃ
∑ ２ 主要结果及证 明
∑ 口 ∑
Ｐ
∑ ∑ 口
ｎ
Ｐ
Ｐ
定 理
的 机 量 列 Ｅ ０ ｆ ≤ 七１ｏ ≥） 随 变 Ｅ ， Ｘ ＝ ， ： ｆ 、， １ 阵 ｌ ｏ
，
是实数阵
Ｐ
一
＜一 致可积 ， 且存在正常数 Ｍ 使得对任意的１ ｒ Ｐ ＜
因 叫
∑
有
＋
０（ ｏ） ， ｏ ，从 而 ｌ
Ｐ
∑ 口
ｎ
口 ｎ
ｙ
Ｐ
Ｐ
． Ⅲ
Ｅ
， ． 小
Ｅ Ｉ ∑以
得 ｅ ＂＝ 二 ， 所 以 Ｅ ｘｆ 一
Ｉ ｋ
、 Ｉｌ ，
ｐ
＝
可积条件 下 的 收敛 性和 弱 大数 定律 ，以及 在 弱 于 Ｃ ｓ ｏ一致 可积 条件 下行为 ＮＡ 的 随机 变量 ｅ 丘ｒ
阵列加权 和的 完全 收敛性 ，推 广和 改进 了 目前 该方 面 的主要 结果 ．
关键 词 ：行 为 Ｎ Ａ的 随机 变量 阵列 ；加 权和 ；收 敛性 中图分类 号 ：０ １． ２ ４ １ 文献 标识 码 ：Ａ ｄ ｉ ０３ ６／ｉ ｎ１０ — ８ １ ０００．０ ｏ：１． ９ｊｓ ． ７ ９３ ． １． ０２ ９ ．ｓ ０ ２ ４
个不相交的非空子集 和 ， 都有 Ｃ ｖｆ（ ｆ Ａ ） 厂 （ ，『 ） ０，其中： 和 厂是任意 ２ ｏ （￣ ， ∈ １ ２ｘ， － ｘ ， ∈Ａ ）≤ ２ 个使 上述协方差存在且对每个变量均非降 （ 或均非增 ） 的函数 ；称随机变量列 （ ｎ ｌ Ｎ Ｘ ； ｌ为 Ａ序列 ，若对任 何 自然数 ｎ ，｛ １ ２ Ｘ ； ｎ 都是 Ｎ 的；称 ｛ ； ≤ ｋ ， １ ） Ａ Ｘ １ｉ ｎ ｝ 是行为 Ｎ 的随机变量阵列 ，若对任 Ａ
N 序列部分和的矩完全收敛性 A
Ｃ ｖｆ（ ； Ｅ ）人（ ｊ１ ２） ０ ｏ（， ； Ｔ ， Ｘ ； Ｅ ） 簇 ， Ｘ ｉ ， ． Ｔ （． １１ ） 其中ｆ 和 几 是任何两个使上述协方差存在的且对每个变元均非降（ ｌ 或均非升） 的函数； 称 无限随机变量族为 Ｎ Ａ的， 如其任一有限子族为 Ｎ Ａ的． 对同分布 Ｎ Ａ随机变量序列， 已有 许多文章（ ７１〕 如［－０讨论了它们的强收敛性， 其中王小明Ｅ讨论了同分布Ｎ ９ １ Ａ随机变量序列
？艺
定理 设｛ ； ＞１为 Ｎ Ｘ ； ） Ａ序列且存在随机变量 Ｘ ， ｉ ｏ 使得对充分大的ｘ有
ｓｐ ｝ Ｉ ｘ 簇 Ｃ ｝ ｝ ｘ ． ｕ Ｐ｛Ｘ； ｝ ＞ Ｐ｛Ｘｏ ＞ ｝
让 有
（－ ） ２１ 、 １ 、， 镇ｑ ＜１ 进一步假设 Ｅ ； ， ． 时， Ｘ ＝Ｏｉ 如对某慢变化函数 １ｘ ＞ｌ （） ａ 下种 ｐ 户 ｔ １ ＜ｐ且当ａ 户 ， ，ａ 乙
ｎ一 ｉ口
ｘａ ＜ ｓｐ｝ ‘ ｉ ＋ ｎ｛ ＂ ０ ｉ Ｅ ［１ 〕 Ｃ Ｉ ｝ ｝ ＞ Ｘ Ｉ ｅ ｝ Ｐ ｘ ＞ｎ 一 ｕ １
Ａ（ ，）＋ Ｂ ） ｎｔ （ ． ｎ
既然 ｐ 且 ｐ＞ 故可取 Ｙ 满足 ｐ ＞Ｙ＞ 由（－） ＞１ ａ １ ， ＞ｌ ａ ａ １ ２２成立有 ． （－ ） ２９ Ｅ Ｘ ｝＜ Ｃ． ｝ｏ Ｙ ｏ
收稿 日 ２０－７２ 期：０５０－２
４ ６ ４
高校 应 用数 学 学报
第 ２ 卷第 ４ １ 期
了许多学者的兴趣， 已经有许多文章讨论了负相协随机变量序列的极限定理． 称一有限随机 变量族｛ ｉ ＥＩ为负相协的（ ｘ： ） ｉ 简称为 Ｎ ， Ａ）如果对于集合 Ｉ 中任何两个不相交的非空子集
Ｔ 和Ｔ， ， ２都有
、
随机变量序列的几种收敛性注记
科教论坛科技风2020年10月DOC10.19392/ki.1671-7341.202028033随机变量序列的几种收敛性注记杨元启三峡大学理学院湖北宜昌443002摘要：随机变量序列的收敛性理论主要源自测度论中可测函数序列的收敛性理论，但由于概率测度的特殊性，使得随机变量序列的敛散性有自己的特点。
这些理论既是概率论的重点，也是难点。
本文准备详细介绍随机变量序列的各种收敛性概念,讨论他们之间的联系，并以适当的例题来说明收敛的性质。
关键词:几乎必然收敛;依概率收敛；完全收敛;一致可积性本科教材中关于随机变量序列的收敛概念一般只有两种:依概率收敛和依分布收敛,分别关联大数定律和中心极限定理。
但根据序列收敛的强弱,有多种强弱不同的收敛概念,它们的侧重点不一样，相互之间也有联系，讨论如下。
设79,9，”=1,2,3｝是概率空间(*,,p)上的随机变量序列，随机变量9的分布函数记作F(0=p(X<x+,x(R,X n 的分布函数记作F(0#以下是几种常用的收敛性：(1)若对F(0)的每个连续点0,有0)=F(0)，则称随机变量序列｛X”｝依分布收敛于X,记作X”厶X；(2)若对任意&>0,li rn P(X…-X|'&)=0,则称随机变P量序列｛X”｝依概率收敛于随机变量X,记作X”一X；(3)设r>0,=X”存在，且”X”-X|'=0,则称随机变量序列｛X”｝r阶收敛于随机变量X,记作X”二X,这时易知=X>也存在；(4)若P(”im X…=X)=1,则称随机变量序列｛X”｝几乎必然收敛于随机变量X,记作X”上$X；(5)若对任意的&>0,都有lim-P(|X»-X|'&)=0称随”$"7=”c机变量序列｛X”｝完全收敛于随机变量X,记作X”一X#下面几个概念与随机变量序列的收敛性关系密切：(1)对任给的&>0,存在(使得对任一"(F,当P(")d 时，便有spf j X”|$p<&,则称随机变量列｛X”｝是一致绝对连续的；(2)若epJj X”|$P<",则称随机变量列｛X”｝积分一致 有界；(3)若sp|X”|$P=0,则称随机变量列｛X”｝是一致可积的；由测度论的理论,有下列结论:(1)｛X”｝是一致可积的充要条件是｛X”｝是一致绝对连续的且积分一致有界；(2)X”上$X当且仅当对于任意的&>0,^｛*”7X”-X丨'&｝｝=0以及X”上$x当且仅当对于任意的&>0,P(/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”P(3)X…-$X当且仅当对｛X”｝的任一子序列｛X”？，均存在子序列7X”》｝0｛X”？,使得X”7上$x；“、a・s.,、，P(4)X”一X时必有X”一X；r P(5)X”---------$X时必有X”----------$X；P<(6)X”---------$X时必有X”----------$X；C., a.s.(7)X”---------$X时必有X”----------$X；(8)”F"IX-XI=0的充要条件是｛X”｝是一致可积且PX”$X上述部分结论的证明可以从本文所列文献中找到，这里就不赘述了#我们只证(2)和(7)#先介绍一个引理#"8888弓【理如果-P("”)<8,则P(/U"”)=0,P(*/"”.)=1,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为0,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为1;如果P("”)=8,而｛"”｝是两两独立的事件序列，则P8888(/*"”)=1,P(*/"”.)=0,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为1,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为0#这是著名的波雷尔-康特立引理#(2)的证明:若X”上$X,即*中除了某个概率测度为零的集合8以外的所有点)对于任何&>0,当”>”0(&,)时就有t”_X I<&,也就是说，满足对任意的”,总存在>'”，使得X”-X的点)必属于零测度集8,亦即/*7X”-X'”一1>—”&｝08,因此P(/*7|X>-X|'&｝)=0；”=1>=”所以说X”上$X当且仅当对于任意的&>0,P (/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”66科技风2020年10月另外，根据概率的连续性，显然有P(/*i19-91>&!)=+=17=+0i U/P{U7丨9”-9|'&}=0,反之,若对于任意的&>0, >=+有U m：{U79”-9|'&}=0,则由于/U79”-9|'&8 +$">=++=1>=+"880U7X m-9|'&,有0!：(/U7X m-9|)!Um：>=++=1>=++$8 {U+7.|9>-9|}=0综上有：as889—」9%对于任意的&>0,P(/U7丨9”-9|)=0+=1>—+%对于任意的&>0,fm P{U7丨9”-9|}=0#+—8>—+C8(7)的证明：因为9―$9,即任意的&>0,Um-：+$87=+ (9,,-9'&)—0,因此Um：{U7丨9”-9|}<Um-：+$8>=++$8>=+ (9m-9|'&)=0,即|=9#以下通过几个例子进一步讨论随机变量序列的性质#例1设{9”}为相互独立的随机变量序列，若9…上$证明:设9…上$0,则对任意的&>0,有：(/U79-0)=0”=17=+即：(limyp7I9t1>&)=0,由｛9…｝相互独立及波雷尔-康特立引理，知-:(9>'&)<8,因此Um-：>=1”$8>=+ (9”|'&)=0,此即9 0注：(1)显然，此结论可改为：若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于9…亠0'或者，若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于2&>0,-：7(191>&)!<8#+=1(2)若｛9｝独立，｛,”｝为常数列，则9上$0等价于2&>0,-：7(19<8#”—1例2设｛9”｝为以概率1单调的随机变量序列，且9…: a.s.—9,则9”一9#:证明:不妨设2)(*,｛9”｝为单调递增，由于9…-$9,因此对｛9”｝的任一子序列｛9”？,均存在子序列｛9”？0 79…7!,使得9”7上$9,而｛9”｝为单调递增，故2)(*,9”$ 9,因此9”9#例3设随机变量序列｛9+｝依分布收敛于常数，，则9”:-----，#「1久',证明：常数，的分布函数；(0)=匸，｛9”｝依分布0x<<收敛于，,对任意的&>0,：(丨9”-|'&)=：(9”<,-&+：(9”'a+&)<;”(a-&)+—：(9”«+£&二；”(Q-&)+—;”(a+&:-0)=0+1-1二0,所以9”---a#例4设｛9”｝是独立同分布的随机变量序列，二阶矩有2”：界,则十*-@@―”(”+1)@12”证明:记=91=#,A91=*2,则*2<8,=(,2八-忑)—”(”1)@=1 )”乔17=( -9心A含9)=心-2”2”川-弘予，A(»-9)=4*2亍-==232”+11*2$0,(”$8)2=13”(”+1)2”由契贝雪夫不等式有2&>0,P(I十丁--=91I'&)”(”1)=12”<”(”&)@——$0,(+$»)，亦即尸石-9厶=91# &”(”+1)=1例5设｛9”｝为独立同分布的随机变量序列，密度函数「2-0a)兀'a</(0=L，记B”=m/791，…9”!，则B”—a# 050<af1-2"(0"a)兀'a 证明：容易算得公共分布函数;(0)-,0050<a'a时,：(B”>0)=：(m/791，…9”!>0)=：(/{9=>0)=1=(1-F(0))”=2一0-)2&>0,P(I”-a l'&)=：(B”'a+&)+P(B”<a-&)=2兀+：(*79=<a-&!)=1=2^+-：(9=<a-&)=1—e-&+0$0,”$8:<所以B”$a，因此,B”$a#例6设{9”}为独立同分布的随机变量序列,P(9”=1)1”9»=：(9”=0)=*,B”=-出”=1,2,3,则B”的分布收敛于27=12［0,1］上的均匀分布#证明：9»的特征函数为/()=*(1+e")—as寺2“,；的特征函数为+()-寺(1+e")=cos2)71“,7=1,2,3,由于97独立同分布,7=1,2,3,故B”的特征函数为,”(-=3(cos7=1tsin命抽')=丁-----------eM-,由于”/0”(-=〒Cn寺=Sm2”+丄(2“-1)，而［0,1］上的均匀分布的特征函数恰为丄*2“-1), It It由逆极限定理知B”的分布收敛于［0,1］上的均匀分布#参考文献：［1］王寿仁.概率论基础与随机过程［M&.北京：科学出版社，1997.［2］严家安.测度论讲义.北京:科学出版社,2000.［3］周民强.实变函数论.北京：北京大学出版社,2003.［4］严士健，王隽骧，刘秀芳.概率论基础.北京：科技出版社,$982.67。
NOD
２０１５年９月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版S e p．２０１５第３２卷第３期㊀㊀㊀㊀㊀J o u r n a l o fG u a n g x i T e a c h e r sE d u c a t i o nU n i v e r s i t y:N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n V o l．３２N o．３D O I:１０．１６６０１/j．c n k i．i s s n１００１Ｇ８７４３．２０１５．０３．００５文章编号:１００１Ｇ８７４３(２０１５)０３Ｇ００１８Ｇ０５N O D下V a R样本分位数估计的强相合性及其B a h a d u r表示∗姚㊀竟１,李永明２(１．广西师范学院数学与统计科学学院,广西南宁５３００２３;２．上饶师范学院数学系,江西上饶３３４００１)摘㊀要:利用N O D样本的性质及其相关不等式,研究了在N O D序列情况下,风险度量V a R非参数估计量的性质．证明了V a R样本分位数估计的强相合性,同时也给出了V a R样本分位数估计的B a h a d u r表示．关键词:N O D序列;V a R估计;B a h a d u r表示;强相合性中图分类号:O２１２．７㊀㊀文献标识码:A１㊀引言及预备知识自２０世纪中以来,金融市场的不稳定性日趋显著,促使人们开始研究度量金融风险方法,学者们通过不断对比分析,发现在险价值V a R度量模型是较为理想的方法．设{Y t}n t＝１表一资产在某整段时间内的n个时间段市场价格序列,定义X t＝l o g(Y t/Y t－１)为第t个时间段对数回报率．假设{X t}n t＝１是一个严平稳相依时间序列,其边际分布函数为F(x),给定pɪ(０,１),则在１－p置信水平下的V a R的值为γp＝－i n f{u:F(u)ȡp}．定义V a R样本分位数估计为θn,p＝－X[n p]＋１．又用q p＝－γp,z n,p＝θn,p分别表示F(x)的总体分位数和样本分位数．样本分位数的经验分布函数为F n(x)＝n－１ðn i＝１I(X iɤx),I( )为示性函数,{X n}是随机变量．下面先给出J o a gＧD e v和P r o s h c h a n[１]关于N O D序列的定义．定义１．１㊀如果对所有的实数x１,x２, ,x n,既有P(X i＞x i,i＝１,２, ,n)ɤᵑn i＝１P(X i＞x i),也有P(X iɤx i,i＝１,２, ,n)ɤᵑn i＝１P(X iɤx i),则称随机变量X１,X２, ,X n是N O D序列(n e g a t i v e l y u p p e r o r t h a n t d e p e n d e n t)．在１９８３年J o a gＧD e v和P r o s c h a n给出了N A和N O D的概念,同时他们指出N A随机变量是N O D 随机变量序列,并且举例说明了N O D严格弱于N A．N A序列在可靠性分析和多元统计分析中应用广泛,以致有大量关于N A序列的文章,而有关N O D的文章却很少．关于N O D随机变量序列国外学者近年来取得些许成果,２００６年N．A s s d i a n,V．F a k o o r和A．B o z o r g n i a[２]研究了N O D随机变量的R o s e n t h a l型的不等式．国内学者也相继取得不少成绩,甘师信和陈平炎[３]研究了N O D序列加权和的强收敛速度,W a n g X u e j u n,H uS h u h e,Y a n g W e n z h i,L i n g N e n g x i a n g[４](２０１０年)等人研究了N O D的指收稿日期:２０１５Ｇ０５Ｇ０５∗基金项目:国家自然科学基金资助项目(１１４６１０５７);江西省自然科学基金项目(２０１２２B A B２０１００７)作者简介:姚竟(１９９０－㊀),女,江西上饶市人,硕士生,研究方向:概率与数理统计．通讯作者简介:李永明(１９７０－㊀),男,江西上饶人,教授,博士,硕士生导师,研究方向:概率与数理统计．第３期㊀㊀㊀㊀㊀姚竟,等:N O D 下V a R 样本分位数估计的强相合性及其B a h a d u r 表示１９㊀数不等式和逆矩阵估计．尽管目前有关N O D 的文章不多,但是可以肯定研究N O D 序列一系列的性质具有一定理论以及实际意义．在１９９０年国外学者就开始着手对V a R 的研究．C ．S m i t h s h o n 和L ．M i n t o n [５](１９９６)对V a R 进行了详细的介绍,并给出了预测风险值方法和相关说明．在国内,直到１９９７年才开始进行关于V a R 的研究,郑文通[６](１９９７)的金融风险管理的V a R 方法及其应用开启了国内V a R 的研究．生活中遇到的金融,经济时间序列并不是独立的,而是相依的序列．相依序列一般有α－混合,N A 混合等多种混合,多数学者对其中部分相依混合序列的V a R 非参数估计做了研究．本文意在N O D 序列下探讨V a R 样本分位数估计的有关性质．记总体分布函数F (x )的V a R 分位数为:γp ＝－i n f {u ＝ʒF (u )ȡp },基于样本X １,X ２, ,X n 的样本V a R 分位数为:θn ,p ＝－X [n p ]＋１．我们给出如下假设:(A １)过程{X i }是严平稳相依的N O D 序列．(A ２){X i :i ȡ１}的边缘分布函数为F (x ),F (x )在q p 邻域内连续可导．(A ３)满足F ᶄ(q p )＝f (q p )＞０,若f ᶄ(q p )在q p 邻域内有界且取得正值．２㊀引理下面我们给出所需要的引理．引理２．１[７]㊀设随机变量X １, ,X n 是N O D 序列,f １, ,f n 均为非降函数(或均为非增函数),则有随机变量f １(X １), ,f n (X n )仍是N O D 序列．引理２．２[４]㊀设{X i ,i ȡ１}是一N O D 随机变量系列,E X i ＝０,X i ɤb ,a ．s ．,记Δn ＝ðni ＝１E X ２i ,则对任意的ε＞０,有P (ðni ＝１E X i ȡε)ɤ２e x p －ε２２(２Δn ＋b ε){}．(２．１)㊀㊀引理２．３㊀设{X i ʒi ȡ１}同时满足A １,A ２,A ３,则当n ңɕ时,有s u p x ɪC n{F n (x )－F (x )}－{F n (q p －p )}＝o (n －３/４h n ),a ．s ．,(２．２)其中C n ＝{x :q n －n －１２h n ɤx ɤqn ＋n －１２h n }．证明㊀记λr ,n ＝q p ＋r (n －３/４h n ),θr ,n ＝F n (λr ,n )－F (λr ,n )－F n (q p )＋p ,不妨假设F n (x )是非降函数,利用微分中值定理可得F n (x )－F (x )－F n (q p )＋p ɤF n (λr ＋１,n )－F (λr ,n )－F n (q p )＋p ＝F n (λr ＋１,n )－F (λr ＋１,n )＋F (λr ＋１,n )－F (λr ,n )－F n (q p )＋p ＝θr ＋１,n ＋F (λr ＋１,n )－F (λr ,n )ɤθr ＋１,n ＋q (n －３/４h n ),且F n (x )－F (x )－F n (q p )＋p ȡF n (λr ,n )－F (λr ＋１,n )－F n (q p )＋p ＝F n (λr ,n )－F (λr ,n )＋F (λr ,n )－F (λr ＋１,n )－F n (q p )＋p ＝θr ,n －(F (λr ＋１,n )－F (λr ,n ))ȡθr ,n －q (n －３/４h n ),由此可得s u p F n (x )－F (x )－F n (q p )＋p ɤm a x０ɤr ＜m nθr ,n ＋q (n －３/４h n )．(２．３)对任意的ε＞０,有P (m a x ０ɤr＜m nθr ,n ȡεn －３/４(h n ))＝P (m a x ０ɤr＜m nF n (λr ,n )－F (λr ,n )－F n (q p )＋p ȡε(n －３/４h n ))ɤP (m a x０ɤr＜m nF n (λr ,n )－F (λr ,n )ȡ１/２ε(n －３/４h n ))＋P (m a x０ɤr＜m nF n (q p )－p ȡ１/２ε(n －３/４h n ))．(２．４)㊀㊀令ξi ＝I (X i ɤλr ,n )－E I (X i ɤλr ,n ),i ＝１, ,n ,由引理２．１知,ξ１, ,ξn ,是N O D 序列,且E ξi ＝２０㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３２卷０,ξi ɤ２,ðni ＝１E ξ２i ɤ４n ．由引理２．２和类似文献[９]中引理３和定理１的证明得P (m a x０ɤr＜m nF n (λr ,n )－F n (λr ,n )ȡ１/２ε(n －３/４h n ))＝ðɕn ＝１P (F n (λr ,n )－F n (λr ,n )ȡ１/２ε(n －３/４h n ))＜ɕ．(２．５)同理可得P (m a x０ɤr＜m nF n (q p )－p ȡ１/２ε(n －３/４h n ))＜ɕ．(２．６)因此,由(２．４)~(２．６)和B o r e l ＧC a n t e l l i 引理可得m a x ０ɤr＜m nF n (λr ,n )－F (λr ,n )－F n (q p )＋p ＝o (n －３/４h n ),a ．s ．．(２．７)根据式(２．３)和(２．７)即可得到引理的结论．引理２．４[８]㊀设{X n ,n ȡ１}为N O D 的随机变量序列,满足E X n ＝０,E X ２n ＜ɕ,则有E (m a x１ɤk ɤnðki ＝１Xi２)ɤ(l o g ３n ＋２)２ðni ＝１E X ２i ．３㊀主要结果及证明定理３．１㊀设{X i ʒi ȡ１}严平稳相依的N O D 序列,同时满足假设A ２,A ３,则有z n ,p －q p ＝o (n －３/４h n ),a ．s ．．㊀㊀证明㊀设W n ＝ʒ{ωʒz n ,p －q p ȡn －３４h n }＝㊀㊀{ωʒz n ,p －q p ȡn －３４h n }＋{ωʒz n ,p －q p ɤ－n －３４h n }＝ʒW １＋W ２,假设经验分布函数F n (X )是非降函数．ɣ２k ɤn ＜２k ＋１W １＝ɣ２k ɤn ＜２k ＋１ðni ＝１I (X i ȡq p ＋n －３４h n )ȡ[n p ]＋１{}⊆ɣ２k ɤn ＜２k ＋１ðni ＝１I (X i ȡq p ＋C １２－３４(k ＋１)h k )ȡ[n p ]＋１{}⊆ɣ２k ɤn ＜２k ＋１ðni ＝１(ξk ,i＋F (q p ＋C １２－３(k ＋１)４h k ))ȡ[n p ]＋１{}⊆ɣ２k ɤn ＜２k ＋１ðni ＝１ξk ,iȡ[n p ]＋１－n F (q p ＋C １２－３(k ＋１)４h k ){},其中ξk ,i ＝I (X i ȡq p ＋C １２－３４(k ＋１)h k )－F (q p ＋C １２－３(k ＋１)４h k )．对F (q p ＋C １２－３(k ＋１)４h k )在q p 处进行Ta y l o r 展开,可得F (q p ＋C １２－３(k ＋１)４h k )＝p ＋C １f (q p )２－３４(k ＋１)h k ＋o (２－３(k ＋１)４h ２k )．当２k ɤn ＜２k ＋１时,有[n p ]＋１－n F (q p ＋C １２－３(k ＋１)４h k )＝[n p ]＋１－n [p ＋C １f (q p )２－３４(k ＋１)h k ＋o (２－３(k ＋１)４)h ２k )]＝㊀㊀－n (C １２－３(k ＋１)４h k ＋o (２－３４(k ＋１)h ２k ))＝C ２f (q p )２k４h k ＋o (２－３(k ＋１)４h ２k )＞C ３２k４h k ．由此可得ɣ２k ɤn ＜２k ＋１W １⊆ɣ２k ɤn ＜２k ＋１{ðni ＝１ξk ,i ȡC ３２k４h k }⊆{m a x １ɤn ＜２k ＋１ðni ＝１ξk ,iȡC ３２k４h k }．根据M a r k o v 不等式和引理２．４得P (ɣ２kɤn ＜２k ＋１W １)ɤC ２－r k４h －r kE (m a x １ɤn ＜２k ＋１ðni ＝１ξk ,irɤC ２－k２h －２k(l o g ３n ＋２)２ðni ＝１E ξ２k ,i ɤC ４h －２k ,同理可得P (ɣ２kɤn ＜２k ＋１W ２)ɤC ４h －２k ．第３期㊀㊀㊀㊀㊀姚竟,等:N O D下V a R样本分位数估计的强相合性及其B a h a d u r表示 ２１㊀ 所以有ðɕk＝１P(ɣ２kɤn＜２k＋１W n)＜ɕ．由B o r e lＧC a n t e l l i引理得P(ɣ２kɤn＜２k＋１W n,i．o．)＝０．定理得证．定理３．２㊀设定理３．１的条件成立,则γp－θn,p＝p－F n (q p)f(q p)＋o(n－３/４h n)．㊀㊀证明㊀由定理３．１可知z n,p－q p＝o(n－３/４h n),a．s．,(３．１)由θn,p的定义可得F n(z n,p)－p＝F n(θn,p)－p＝n－１([n p]＋１)－p＝o(n－１)．(３．２)作F(z n,p)在分位数q p的T a y l o r展开式F n(z n,p)＝p＋f(q p)(z n,p－q p)＋１/２fᶄ(θn)(z n,p－q p)２．(３．３)由引理３可知F n(q p)－F(q p)＝F n(z n,p)－F(z n,p)＋o(n－３/４h n)．(３．４)根据(３．１)~(３．４)得F n(q p)－F(q p)＝F n(z n,p)－F(z n,p)＋F(q p)－F(q p)＋o(n－３/４h n)＝F(q p)－F(z n,p)＋F n(z n,p)－F(q p)＋o(n－３/４h n)＝F(q p)－F(z n,p)＋o(n－１)＋o(n－３/４h n)＝F(q p)－[p＋f(q p)(z n,p－q p)＋１/２fᶄ(θn)(z n,p－q p)２]＋o(n－１)＋o(n－３/４h n)＝－f(q p)(z n,p－q p)－１/２fᶄ(θn)(z n,p－q p)２＋o(n－１)＋o(n－３/４h n)＝－f(q p)(z n,p－q p)＋o(n１/２h２n)＋o(n－１)＋o(n－３/４h n)＝－f(q p)(z n,p－q p)＋o(n－３/４h n)．从而有z n,p－q p＝－F n(q p)－pf(q p)＝－θn,p－(－γp)＝γp－θn,p．定理得证．参考文献:[１]㊀J O A GＧD E V K,P R O C HA NF．N e g a t i v e a s s o c i a t i o no f r a n d o mv a r i a b l e sw i t h a p p l i c a t i o n[J]．A n nS t a t i s t,１９８３(１１):２８６Ｇ２９５．[２]㊀A S S D I A N N,F A K O O R V,B O Z O R G N I A A．R o s e n t h a l sT y p e I n e q u a l i t i e s f o rN e g a t i v e l y O r t h a n tD e p e n d e n tR a nＧd o m V a r i a b le s[J]．J I R S S,２００６,５(１－２):６９Ｇ７５．[３]㊀甘师信,陈平炎．N O D序列加权和的强收敛速度[J]．数学物理学报:A,２００８,２８(２):２８３Ｇ２９０．[４]㊀WA N G XJ,HUSH．E x p o n e n t i a l i n e q u a l i t i e s a n d i n v e r s em o m e n t f o rN O Ds e q u e n c e[J]．S t a t i s t i c s a n dP r o b a b i l i t y L e t t e r s,２０１０,８０(６):４５２Ｇ４６１．[５]㊀WH I T E H u l l．V a l u e a tR i s k W h e nD a i l y C h a n g e s i nM a r k e tV a r i a b l e sA r e n o tN o r m a l l y D i s t r i b u t e d[J]．J o u r n a l o fD e r v a t i v e s,１９９８(５):９Ｇ１９．[６]㊀郑文通．金融风险管理的V a R方法及其应用[J]．国际金融研究,１９９７,９:５８Ｇ６２．[７]㊀B O Z O R G N I A A,P A T T E R S O N RF,T A Y L O R R L．L i m i t t h e o r e m s f o rd e p e n d e n t r a n d o m v a r i a b l e s[C]//P r oＧc e ed i n g s o f t h eF i r s tW o r l dC o n g re s s o fN o n l i n e a rA n a l y s t s９２(I I)．B e r l i n:W a l t e r d eG r u t y e r,１９９６:１６３Ｇ１６５０．[８]㊀K I M H C．T h eH j e kＧRén y i i n e q u a l i t yf o rw e igh t e d s u m s o f n e n a ti v e l y o r t h a n t d e p e n d e n t r a n d o mv a r i a b l e[J]．I n t e rＧn a t i o n a l J o u r n a l o fC o n t e m p o r a r y M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,２００６(６):２７９Ｇ３０３．[９]㊀梁丹,杨善朝,蒙玉波,等．N O D序列样本分位数的B a h a d u r表示[J]．工程物理学报,２０１３,３０(１):７７Ｇ８５．[１０]W E IXL,Y A N GSS．B a h a d u r r e p r e s e n t a t i o n o f l i n e a r k e r n e l q u a n t i l e e s t i m a t o r o fV a Ru n d e rαＧm i x i n g a s s u m p t i o n s [J]．J o u r n a l o f S t a t i s t i c a l P l a n n i n g a n d I n f e r e n c e,２０１０,１４０(７):１６２０Ｇ１６３４．２２㊀ ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报:自然科学版㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３２卷[１１]B A HA D U RRR．An o t e o n q u a n t i l e s i n l a r g e s a m p l e s[J]．A n n a l s o fM a t h e m a t i c a l S t a t i s t i c s,１９６７,３７(３):５７７Ｇ５８０．[１２]周慧,曾箫箫．ρＧ混合样本下V a R样本分位数估计的B a h a d u r表示[J]．柳州师专学报,２００９,２４(３):１１８Ｇ１２２．[１３]张文婷,李永明．ψＧ混合序列下分位数估计的强相合及其B a h a d u r表示[J]．广西科学,２０１４,２１(２):１９２Ｇ１９５．[１４]李树生,刘锐．N O D样本下线性模型回归系数估计的强相合性[J]．重庆工商大学学报:自然科学版,２０１２,２９(２):３９Ｇ４２．T h eB a h a d u rR e p r e s e n t a t i o na n dS t r o n gC o n s i s t e n c y o fV a RS a m p l e Q u a n t i l eE s t i m a t e s u n d e rN O DY A OJ i n g１,L IY o n gＧm i n g２(１．S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l a n dS t a t i s t i c a l S c i e n c e s,G u a n g x iT e a c h e r sE d u c a t i o nU n i v e r s i t y,N a n n i n g５３００２３,C h i n a;２．D e p a r t m e n t o fM a t h e m a t i c s,S h a n g r a oN o r m a lU n i v e r s i t y,S h a n g r a o３３４００１,C h i n a)A b s t r a c t:T h em a i n p u r p o s e o f t h i sw o r k i s t o r e s e a r c h t h en a t u r e o f t h e r i s k m e a s u r eV a Rn o nＧp a r a m e t r i c e s t i m a t o r t o t h e c a n e o fN O Ds e q u e n c eb y u s i n g t h e p r o p e r t i e s o fN O Ds a m p l e a n d i t s r eＧl a t e d i n e q u a l i t i e s;T h e r e s e a r c h p r o v e d t h e s t r o n g c o n s i s t e n c y o f t h eV a Rs a m p l e q u a n t i l e e s t i m a t e s;I n a d d i t i o n,w e a l s o l i s t t h eB a h a d u r s r e p r e s e n t a t i o no fV a Rs a m p l e q u a n t i l e e s t i m a t e s．K e y W o r d s:N O Ds e q u e n c e;V a Re s t i m a t e;B a h a d u r r e p r e s e n t a t i o n;s t r o n g c o n s i s t e n c y[责任编辑:班秀和]㊀㊀[上接第９页]I n t e g r a l i t y a n dE n e r g y o fU n i tG r a p ho f nWU Y a nＧs h e n g,S U H u aＧd o n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l a n dS t a t i s t i c sS c i e n c e s,G u a n g x iT e a c h e r sE d u c a t i o nU n i v e r s i t y,N a n n i n g５３００２３,C h i n a)A b s t r a c t:L e t R b e a r i n g．T h eu n i t g r a p ho f R,d e n o t e db y G(R),i s a g r a p hd e f i n e do n t h e e l eＧm e n t s o f R,t w ov e r t i c e s x a n d y a r e a d j a c e n t i f a n do n l y i f x＋y i s au n i t o f R．A g r a p h G i s i n t e g r a l i f a l l e i g e n v a l u e s o f a d j a c e n c y m a t r i x o f t h e g r a p h a r e i n t e g e r s．I n t h i s p a p e r,w e p r o v e t h a t G(n)i s a n i n t e g r a l g r a p h f o r a l l n．A g r a p h G w i t h n v e r t i c e s i s c a l l e d ah y p e r e n e r g yg r a p h i f i t s e n e r g y E(G)＞２n－２．F i n a l l y,t h r o u g hc o m p u t i n g t h ee n e r g y o f G(n),w ec o m p l e t e l y d e t e r m i n ew h e n G(n)i sa h y p e r e n e r g yg r a p h．K e y W o r d s:n;u n i t g r a p h;i n t e g r a l g r a p h;e n e r g y o f g r a p h;h y p e r e n e r g yg r a p h[责任编辑:班秀和]。
随机变量序列的几种收敛性和关系毕业论文
由上面四种收敛性间的关系可得：
几乎处处收敛 依概率收敛 依分布收敛.
阶收敛 依概率收敛 依分布收敛.
3.
因为随机变量取值的统计规律可由它的分布函数完全确定，所以自然会考虑利用分布函数的收敛性来定义随机变量的收敛性，又分布函数和特征函数一一对应，而判断一个分布函数的序列的收敛是否弱收敛有时是很麻烦的，但判断相应的特征函数序列的收敛性却往往比较容易，下面给出弱收敛的充要条件，首先做一些准备：
后来我们引入了伯努利概型来刻画独立重复试验.将一成功（即A发生）概率为p的试验独立重复n次，其中成功 次，则 是二项分布随机变量.
因此成功的频率 也是随机变量.其期望为p与n无关，且方差 当 时趋于0.熟知，方差为0的随机变量恒等于它的期望，所以当 时频率 应以概率p为极限.另一方面，可以写 ，其中 相互独立，具有一样的伯努利分布，至此，问题转化为研究 时 的平均值序列 的极限行为.鉴于已在上面讨论过随机变量列的各种收敛性，因此我们可以给出大数定律的严格定义.
注：由于 连续，如 广义均匀收敛到 ，则 必定是连续函数.
系1设分布函数列 对应的特征函数列为 ，则下列四条件等价：
（1） 弱收敛于某分布函数 ，
（2） 收敛到某函数 ， 在点0连续，
（3） 收敛到某连续函数 ，
（4） 广义均匀收敛到某函数 .
当任一条件满足时， 是 的特征函数.
下面说明系1中等价条件（2）中“ 在 的连续性”是不可缺少的条件.
则对任意的 ，有 成立.
证明：因为 有一样分布，所以也有一样的特征函数，记这个特征函数为 ，又因为 存在，从而特征函数 有展开式：
=
再由独立性知 的特征函数为
对任意取定的t,有
而 是退化分布的特征函数，相应的分布函数为
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显然 ， 独立 的随机变量序列是ＮＯ Ｄ的． Ｊ ｏ ａ ｇ ． Ｄｅ ｖ ￣ Ｄ Ｐ ｒ ｏ ｓ ｃ ｈ ａ ｎ 在文献 …中指 出任何ＮＡ随机变
量序列都是Ｎ ＯＤ的， 但Ｎ ＵＯ Ｄ或ＮＬ ＯＤ不能推出Ｎ Ａ， 他们给 出了一个 是ＮＯＤ 但 不是ＮＡ的例子，
的， 如果对任意实数Ｘ １ ， Ｘ ２ ， … ， 有
／竹 、 ｎ
Ｐ （ ＼ ｎ （ ＞ ｘ ｉ ） ） Ｉ Ｉ Ｐ （ Ｘ 。 ＞ Ｘ ｉ ） ； ＝１ ／ ４ ＝１
实数Ｘ ｌ ， Ｘ ２ ， … ， ｎ有
／ｎ
＝１
（ １ ）
称 随机 变量序 列 １ ， ２ ， … ， 是Ｎ Ｌ Ｏ Ｄ（ ｎ ｅ ｇ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｌ ｙ ｌ ｏ ｗ ｅ ｒ ｏ ｒ ｔ ｈ ａ ｎ ｔ ｄ ｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｔ ） 的， 如 果对 任意
列加 权和 的 矩 完 全 收 敛 性 的 充要 条 件 ． 这 些 结 论 显 示 了矩 完 全 收 敛 性 和 矩 条件 之 间 的
等价 关 系， 同时推 广 了ｗｕ Ｑｕ ｎ ｙ ｉ ｎ ｇ （ ２ ０ １ １ １ 的结果．
关键词： ＮＯＤ随机 变量序列； 矩 完全收敛性； 完全收敛性： 加权和 中图分类号 ： Ｏ２ １ １ ． ４
高校应用 数学学报
２ ０ １ ３ ， ２ ８ （ １ ） ： ３ ４ — ４ ２
Ｎ Ｏ Ｄ随机 变 量序 列 加权 和 的矩 完全 收敛 性
郭明乐 ， 张杨杨， 祝 东进
（ 安徽师范大学 数 学计算机 科学学院，安徽 芜湖 ２ ４ １ ０ ０ ３ ）
摘
要： 讨论 了Ｎ ０Ｄ随机 变量序列 加权和 的矩 完全收敛性， 获得 了ＮＯ Ｄ随机 变量 序
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ０ ０ ０ — ４ ４ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ３ ４ — ０ ０ ９
§ １ 引 言
［ １ ］ 引入了下面Ｎ Ｏ Ｄ （ ｎ ｅ ｇ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｌ ｙ ｏ ｒ ｔ ｈ ａ ｎ ｔ ｄ ｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｔ ） 概念． 定义１ ． １ 称 随机 变量序 ＮＸ１ ， ， … ， 是ＮＵＯ Ｄ（ ｎ ｅ ｇ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｌ ｙ ｕ ｐ ｐ ｅ ｒ ｏ ｒ ｔ ｈ ａ ｎ ｔ ｄ ｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｔ ）
（ ｉ ｉ ） 当ｑ （ ｒ一１ ） １ ｍ ｒ ， Ｅ Ｘ ＝０ ；
（ ｉ ｉ ｉ ） 当 ｑ （ ｒ 一 １ ） ２ 时 ， 存 在 ０ ＜ ＜ ， 有∑ ｌ ｎ ｌ 。 《礼 ．
则
（ １ ） 当ｒ ２ ｍ ｒ ，
Ｅ ｌ Ｘｌ 【 一 ’ ＜。 。
郭 明乐等： Ｎ ＯＤ随机 变量序列加权和 的矩 完全收敛性
Hale Waihona Puke ３ ５ 完全收敛性概念最先由许宝禄￣ Ｉ ］ Ｒ ｏ ｂ ｂ ｉ ｎ ｓ 在［ ７ 】 中提出的， 他们证明了当方差有限时， 独立同
分布 随机变量序列 的样本均值完全 收敛到 总体均值 ． 至今 ， 已有许多学者从不同方面推广 并完 善 了完全 收敛性的结果， 获得 了一系列 引人瞩 目的成 果． 这些结果都是 以充要条件的形式 出现， 显
、
／ ｛ ＝１
Ｐ （ ＼ ｎ （ Ｘ ｉ ） ） Ｉ Ｉ Ｐ （ Ｘ ｉ ｔ ） ．
是 ＮＯ Ｄ的．
（ ２ ）
称 随机变量序列 １ ， ２ ， … ， 是ＮＯＤ（ ｎ ｅ ｇ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｌ ｙ ｏ ｒ ｔ ｈ ａ ｎ ｔ ｄ ｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｔ ） 的， 如果它既是Ｎ ＵＯ Ｄ的
这说 明Ｎ ＯＤ是严格弱于Ｎ Ａ的．由于ＮＡ随机变量序 列在 可靠性分析和多元统计 分析 中有广泛 的 应用， 因此研 究ＮＯＤ随机变量序 列受 到 了越来越 多 的重视． 文献ｆ ２ — ６ １ 获得 了ＮＯＤ随机变量序 列 的一系列有用的理论成果．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — ０ ５ — ０ ３ 修 回 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ １ — ３ ０
基金项 目：国家 自然科＠ － ￣： ＠（ １ １ ２ ７ １ ０ ２ ０ ； １ １ ２ ０ １ ０ ０ ４ ） ； 安徽省 自然科 学基金（ １ ０ Ｏ ４ Ｏ ６ ０ ６ Ｑ ３ ０ ； １ ２ ０ ８ ０ ８ ５ ＭＡｌ １ ） ； 安徽 省高校 自然科学研究重大项 目（ ＫＪ ２ ０ １ ２ Ｚ Ｄ ０ １ ）
得丰 富而完美 ． ［ ８ ］ 讨论 ＴＮ ＯＤ随机变量序列 的完全收敛性， 获得如下 的结果：
定理Ａ 设｛ ， Ｘ ｎ ， ｎ １ ） 是同分布的Ｎ ０ Ｄ 随机变量序列， ｒ ＞１ ， Ｐ＞２ ． 又设｛ ｎ １ ｉ ｎ ， ｎ １ ） 是实数阵列， 且存在２ ｑ＜Ｐ ， 满 足 （ ｉ ） Ｎ（ ｎ ， ｍ ＋１ ） Ｈ ｛ 尼 ， Ｉ ａ ｎ Ｉ （ ｍ＋１ ） 一 ／ ｐ ） ≈ｍｑ （ ｒ － １ ） ／ ｐ ， ｎ ， ｍ １ ；
时， （ ４ ） 蕴含（ ３ ） ．
同时， 对ｐ＝２ ， ｑ＝２ ， 类似地也得 出了完全收敛性 的充要条件 ， 结果如 下：
定理Ｂ 设｛ ， Ｘ ， 佗 １ ） 是同分布的Ｎ Ｏ Ｄ 随机变量序列， ｒ＞１ ． 又设 ａ １ ｉ ｎ ， ｎ
的充 要 条 件 是
ｏ ｏ
（ ３ ）
Ｐ
（ ｍ ａ ｘ ￣ ｉ ＝ ｌ Ｉ ＞ ） ＜ 。 。 ， Ｖ … ．
㈥
（ ２ ） Ｎ １ ＜ｒ ＜２ 时， （ ３ ） 蕴含（ ４ ） ； 反之， 当｛ 几 ｒ － ２ Ｐ（ ｍ ＆ Ｘ ｌ ＜ 一 ｋ ＜ 一 ｌ ａ ｎ ｋ Ｘ ｋ Ｉ ＞ｎ － １ ／ ｐ ） ， ｎ １ ） 单调递减