相似三角形

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相似三角形的性质

相似三角形的性质一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛运用于日常生活和科学技术领域。

相似三角形的性质揭示了三角形之间的一种特殊关系，即它们的形状相同但大小不同。

本文将对相似三角形的性质进行详细阐述，以便更好地理解这一几何概念。

二、相似三角形的定义1.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（对应角相等）2.AB/DE=BC/EF=AC/DF（对应边成比例）那么，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作△ABC≌△DEF。

三、相似三角形的性质1.对应角相等相似三角形的一个基本性质是对应角相等。

这意味着如果两个三角形相似，那么它们的每个角都对应相等。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

2.对应边成比例相似三角形的另一个基本性质是对应边成比例。

这意味着相似三角形的每条边都与另一三角形的对应边成相同的比例。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有AB/DE=BC/EF=AC/DF。

3.对应高的比相等相似三角形的对应高（从顶点到对边的垂线）的比相等。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有h₁/h₂=k，其中h₁和h₂分别是△ABC和△DEF的对应高，k是相似比。

4.对应中线的比相等相似三角形的对应中线（连接顶点和对边中点的线段）的比相等。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有m₁/m₂=k，其中m₁和m₂分别是△ABC和△DEF的对应中线，k是相似比。

5.对应角平分线的比相等相似三角形的对应角平分线（将顶点角平分的线段）的比相等。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有s₁/s₂=k，其中s₁和s₂分别是△ABC和△DEF的对应角平分线，k是相似比。

6.面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有S₁/S₂=k²，其中S₁和S₂分别是△ABC和△DEF的面积，k是相似比。

四、相似三角形的判定方法1.AA（角角）相似判定法如果两个三角形有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。

三角形的相似性知识点

三角形的相似性知识点相似三角形是高中数学中的重要概念，理解和掌握三角形的相似性对于解决与三角形相关的问题非常重要。

本文将介绍三角形相似性的定义、判定方法以及相似三角形的性质。

在学习相似性知识点时，我们需要掌握比例、角度和边长的关系，并且能够应用相似三角形的性质解决实际问题。

一、三角形相似性的定义相似三角形是指具有相同形状但可能不等大的三角形。

正式定义为，如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形是相似的。

通常用符号~表示相似关系。

二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形是相似的。

2. SSS判定法：如果两个三角形的三个边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，另外两个边成比例，那么这两个三角形是相似的。

三、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：相似三角形的对应角都相等。

2. 对应边成比例性质：相似三角形的对应边之间的比值相等。

3. 比例性质：相似三角形的相应边长比例等于相应角度的边长比例。

四、相似三角形的应用相似三角形的性质可以应用于实际问题的解决中，例如测量高楼的高度、影子长度的测量等。

以下是一个例子：假设有一根高塔，在地面上有一杆测量仪器，测量仪器与塔尖的距离为1.5米，同时测量仪器与杆子的投影长度为0.5米。

如果知道测量仪器与塔尖的连线与水平面的夹角为30度，求塔的高度。

解决这个问题可以利用相似三角形的性质。

我们可以将测量仪器与塔尖的连线、杆子和塔的高度组成一个相似三角形。

根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：(塔的高度) / (杆子的长度) = (测量仪器与塔尖的距离) / (测量仪器与杆子的投影长度)即 h / 0.5 = 1.5 / 0.5解以上比例可得 h = 1.5 米因此，塔的高度为1.5米。

结语：相似三角形的知识点是解决与三角形相关问题的基础，我们通过掌握相似三角形的定义、判定方法以及性质，能够更好地解决实际问题。

三角形的相似公式

三角形的相似公式以三角形ABC和三角形DEF为例，如果它们的对应角度相等，则可以判断它们相似。

相似三角形的对应边长之比可以通过相似三角形的对应边的长度比来表示。

下面是三角形的相似公式及其证明：1.AA相似定理（角-角-相似定理）如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似。

具体可以表示为：∠A=∠D，∠B=∠E，则△ABC~△DEF。

证明：根据角的等量可知，∠A=∠D，∠B=∠E。

由于角度之和为180°，可推导出∠C=∠F。

所以，根据角-角-角相似性质，得出△ABC~△DEF。

2.SS相似定理（边-边-边相似定理）如果两个三角形的两对边之比相等，则这两个三角形相似。

具体可以表示为：AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC~△DEF。

证明：根据边的比例可知，AB/DE=BC/EF=AC/DF。

由于两个角之和也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E。

所以，根据边-角-边相似性质，得出△ABC~△DEF。

3.SAS相似定理（边-角-边相似定理）如果两个三角形的一对相对应的边之比相等，并且这两个边之间的夹角也相等，则这两个三角形相似。

具体可以表示为：AB/DE=BC/EF，∠B=∠E，则△ABC~△DEF。

证明：根据边的比例可知，AB/DE=BC/EF。

由于两个夹角也相等，即∠B=∠E。

所以，根据边-角-边相似性质，得出△ABC~△DEF。

通过上述相似公式，我们可以判断两个三角形是否相似，以及计算两个相似三角形的对应边长比例。

对于给定的相似三角形，我们可以根据已知的边长比例求解未知边长，或者根据已知的边长计算出未知角度。

需要注意的是，相似三角形的边长比例只与角度有关，而与具体的边长无关。

所以，在判断两个三角形相似时，只需要比较它们的角度是否相等，而不必考虑具体的边长。

另外，相似三角形的角度相等是相似的必要条件，但不是充分条件。

也就是说，如果两个三角形的角度相等，它们不一定是相似的。

通过相似公式，我们可以更好地理解三角形的形状和性质，并在实际问题中应用。

三角形的相似定理

三角形的相似定理相似三角形是在几何学中经常遇到的概念，它们有着相似的形状但可能不同的尺寸。

相似性质可以用来解决各种涉及比例和比较长度的几何问题。

在本文中，我们将介绍三角形的相似定理及其应用。

相似三角形的定义相似三角形指的是具有相似形状但不同尺寸的三角形。

两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边长度之间满足一定的比例关系。

AA相似定理AA相似定理是指，如果两个三角形的两个角分别相等（对应角度相等），那么这两个三角形是相似的。

具体而言，如果两个三角形的角度分别是A、B、C和A'、B'、C'，且∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，则可以推断出这两个三角形是相似的。

SAS相似定理SAS相似定理是指，如果两个三角形的一边与另一个相似三角形的两边成比例，并且这两个边夹角相等，那么这两个三角形是相似的。

具体而言，如果两个三角形的边长分别是AB/CD，BC/DE，CA/EA，且∠ABC = ∠CDE，则可以推断出这两个三角形是相似的。

SSS相似定理SSS相似定理是指，如果两个三角形的三边比例相等，则这两个三角形是相似的。

具体而言，如果两个三角形的边长分别是AB/CD，BC/DE，CA/EA，则可以推断出这两个三角形是相似的。

相似三角形的性质与应用相似三角形具有一些重要的性质，可以应用于解决各种几何问题。

1. 对应边的比例如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比例是相等的。

例如，如果ΔABC与ΔDEF是相似三角形，那么AB/DE = BC/EF = CA/FD。

2. 高度的比例如果两个三角形相似，那么它们的相应高度也成比例。

例如，如果ΔABC与ΔDEF是相似三角形，那么对应高度h₁/h₂ = AB/DE =BC/EF = CA/FD。

3. 相似三角形的面积比如果两个三角形相似，那么它们的面积之比等于边长之比的平方。

例如，如果ΔABC与ΔDEF是相似三角形，那么S₁/S₂ = （AB/DE）²= （BC/EF）² = （CA/FD）²。

三角形相似(含方法步骤)

.相似三角形及相似条件1.【基础知识】1-1三角对应相等，三边对应成比例的三角形，叫相似三角形 1-2判定定理：定理1.两个角对应相等的两个三角形相似定理2.三边对应成比例的两个三角形相似定理3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似1-3相似性质：相似三角形对应高的比，对应角的角平分线的比对应边的比周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方2. 【知识应用】题目要直接证明相似，边成比例或求边的比值，周长，面积的比值方法：2-1.从问题中找出要证明的两个三角形，若没有则需作辅助线构造三角形2-2.若条件中出现角相等或平行线，垂线的，优先考虑用定理1 2-3.若条件中出现边长或边的比，则考虑定理2和定理32-4再根据所选定的定理，看还差什么条件，到已知中去找或者到图形中去找隐含条件，如对顶角，公共角，直角，公共边等从而证明出相似注意：1.写对应边比例式时，要遵循“横纵一致原则”即，横向看所有处在分子位置的边必须是属于同一个三角形，处在分母位置的边亦然，纵向看分子分母必须是一组对应边 2.在证明边成比例时，如果按步骤2-1仍然无法找到符合的三角形，则一般情况考虑用两组相似三角形，找出一个比例中间量，利用中间量证明边成比例 3.【综合应用】题目问边长3-1.看已知边和要求边同时出现在哪些三角形中，从而确定出相似的两个三角形 3-2.根据【知识应用】的方法，证明相似3-3利用对应边的比例关系，列出等式，解出所求注意：列比例关系时，一定要是对应边，再者等式两边比的先后顺序也要一致【基础训练】1. 对应角___________，对应边_____________的三角形，叫做相似三角形.2. 如果~'''A B C A B C ∆∆，对应边6,''3,AB cm A B cm ==那么A B C ∆与'''A B C ∆的相似比为________；'''A B C ∆与A B C ∆的相似比为__________________3. A B C ∆的各边长之比为2：5：6，与其相似的另一个'''A B C ∆的最大边为18,cm 那么它的最小边为___________.4. 两个相似三角形的面积比为4：3，则相似比为_____________.5. ~''',ABC A B C ∆∆A B C ∆的三边长分别为3、4、5，'''A B C ∆的最大边长为15，则'''A B C S ∆=________.6. 下列说法正确的个数是（） ① 相似三角形的对应角相等，对应边相等. ② 三角形全等是相似的特殊情况；③ 全等三角形是相似比等于1的相似三角形..0A .1B .2C .3D7. A B C ∆的三边长为3：4：5，与它相似的'''A B C ∆的最短边长为6，则'''A B C ∆的周长是（）.12A .18B .24C .36D8.两个相似多边形的相似比是2：3，它们的面积之差是302,cm 那么它们的面积之和为（）2.74A cm 2.76B c m 2.78C c m 2.80D c m9.下列说法错误的是（）.A 两个全等的三角形一定相似 .B 两个直角三角形一定相似.C 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 .D 相似的两个三角形不一定全等10. ~''',ABC A B C ∆∆如果0055,100,A B ∠=∠=则'C ∠的度数等于（）.A 055 .B 0100 .C 025 .D 030【典型例题】例1.①已知~,ABC ACD ∆∆且5,4,AD BD ==则A C D ∆与A B C ∆的相似比是________. ②在R t A B C ∆中，D 是A C 的中点，D E 垂直于斜边,AB 点E 为垂足，则~,ABC ADE ∆∆若10,4,AB AE ==则AD =___________.1题图 2题图 3题图 4题图③如图所示，G 为A B C ∆的重心，作//D G A C 交B C 于,D 作//E G A B 交B C 于,E 则G D E ∆的面积与A C B ∆的面积比为___________.④ 如图所示，在A B C ∆中，//,DE BC 且分A B C ∆为面积相等的两个部分，则:D E B C =_. ⑤如果111~,ABC A B C ∆∆且相似比为2,3111222~A B C A B C ∆∆且相似比为5,4则A B C ∆与222A B C ∆的相似比是（） 5.6A 6.5B 5.6C 或658.15D例2.如图所示，已知~,4,2,ACP ABC AC AP ∆∆==求A B 的长.例3、①一个三角形的三边长分别为5，12和13，与其相似的三角形的最大边长为39，那么较大三角形的周长是多少？两个三角形的周长比是多少？②已知一个三角形框架，其边长分别为4，5，6，现在要做一个与其相似的三角形框架，已知现有一根长为2的木条，则其他两根木条应取多长？例4.已知，边长为2的正三角形,//,:1:4,BC D ABC ABC D E BC S S ∆∆=求C E 的长.例5.如图，在A B C ∆中，,AB AC =B D 为腰A C 上的高.求证：212C D C A B C ⋅=例 6.①如图，梯形A B C D 中，0//,90,A B D C B E ∠=为B C 上一点，且,A E E D ⊥若12,BC =7,:1:2,DC BE EC ==求A B 的长.②已知如图，在梯形A B C D 中，0//,90,7,2,3,AD BC A AB AD BC ∠====在线段A B 上是否存在点P ，使得以,,P A D 为顶点的三角形与以,,P B C 为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，求出这样的P 点有几个，并计算出A P 的长度.例7.如图所示，在A B C ∆中，090,6C AC ∠==厘米，8B C =厘米，斜边10A B =厘米，点P 从点B 出发，沿B C 向点C 以2厘米秒的速度移动，点Q 从点C 出发，沿C A 向点A以1厘米秒的速度移动，如果,P Q 分别从,B C 同时出发.（1）经过多少秒时，~;CPQ CBA ∆∆（2）经过多少秒时，以,,C P Q 为顶点的三角形与A B C ∆相似.例8.如图，一个边长为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边,AD DC 上，那么这个正方形的面积是___平方厘米.【课堂练习】1、如果~,ABC FDE ∆∆则A ∠=_________,C ∠=_______，A B B C=___________.2、如图，~,10,13,8,ABC DCA AB BC AC ∆∆===则AD =_____,D C =______.3、如图A D 是A B C ∆的角平分线，,,12,20,BE AD CF AD CF BE ⊥⊥==64,AB AC +=则A B =_______.2题 3题4、直角三角形斜边上的高分斜边为3:2两段，斜边上的高为6,cm 则斜边上的中线长为____.5、已知~''',ABC A B C ∆∆且:''1:1,AB A B =则A B C ∆和'''A B C ∆的关系是________.6、已知~,ABC DEF ∆∆且3,2A B D E=则这两个三角形对应中线之比为________，面积之比为__________.7、在A B C ∆中，12,8,AB cm AC cm ==点,D E 分别在,AB AC 上，如果AD E ∆与A B C ∆能够相似，且4A D cm =时，则A E =______________cm .8、E 是平行四边形A B C D 的B C 边上一点，A E 交B D 于,F 且:4:5,BE EC =求B F F D和A F F E的值.9、在锐角A B C ∆中，F 是A C 上一点，且1,2A F G F C=是B F 中点，连结A G 并延长，交B C与.E （1）求B E E C的值。

相似三角形的性质(经典全面)

一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B C 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AH S BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

相似三角形完整版PPT课件

通过已知条件推导出新的相似关系，逐步构建完整的相似三角形体系。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析，寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论之间的关系，找到证明相似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
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04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以应用于等比数列的求和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。

相似三角形及判定

相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.④相似三角形有传递性：若AABC s AABC，AABC s AABC，则AABC AABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、相似三角形的判定定理★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1、(1)如图，B,C,D三点共线，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE.求证：A ABC s A CDE.D(2)如图B,C,D三点共线，且ZB=ZD=ZACE,求证：AABC s ACDE.变式:1、如图，A ABC中,Z ACB=60。

，点P是A ABC内一点，使得Z APB=Z BPC=Z CPA,求证：AAPC s ACPB.2、已知A PQR是等边三角形，ZAPB=120。

，指出图中的相似三角形并证明.例2、(1)已知：如图，A ABC的高AD,BE相交于点F,求证：AF-FD=BF-FE.⑵如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,CD是RtAABC的高.求证：CD2=AD-BD；BC2=AB-BD；AC2二AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°，CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BF-CF.★判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知AD-AB二AE-AC.贝y：①AADE s AACB；②AAEB s AADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.①求证：AAEF s ACEA；②求ZAFB+ZACB的值.(3)如图，A ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.①当BD、BC和CE满足什么条件时，A ADB s A EAC?②当A ADB s A EAC时，求Z DAE的度数.A变式:1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.OA-OC二OB-OD,则①②③④哪些对应相似，请写出.2、如图，已知Z BAE=Z CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.3、如图，在A ABC和A ADB中，Z ABC=Z ADB=90。

相似三角形

相似三角形的定义
对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

如果三边分别对应A,B,C和a，b，c：那么：A/a=B/b=C/c
即三边边长对应比例相同。

相似三角形判定
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似（AA）
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似（SAS）
判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似（SSS）
判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。

判定定理5：两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。

其他判定：由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc
相似三角形性质
(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

例题
如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为()
A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
答案:
B
如图，若∠1=∠2 =∠3，则图中相似三角形有()
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对答案: C。

相似三角形分类整理(超全)

nih的相似比，当且仅当它们全等时，才有e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．例1.如图三角形ABC 中，点E 为BC 的中点，过点E 作一条直线交AB 于D 点，与AC 的延长线将于F 点，且FD=3ED ，求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．温馨提示： ①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似； ②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛． ③如图，可简单记为：在Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，则△ABC ∽△CBD ∽△ACD ．直角三角形的身射影定理：AC 2=AD*ABCD 2=AD*BDBC 2=BD*ABgnihtlt he i rb ee an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o例5. 如图，Rt ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC ∆于F ，FG AB 于G ，求证：FG =CF BF ⊥2∙四、作中线例6 如图，中，AB ⊥AC ，AE ⊥BC 于E ，D 在AC 边上，若BD=DC=EC=1，求ABC ∆AC 。

相似三角形的性质

相似三角形的性质相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等的三角形。

在几何学中，相似三角形具有一些重要的性质和特点，本文将对相似三角形的性质进行详细解析。

在讨论相似三角形的性质之前，首先需要明确相似三角形的定义和判定条件。

一、相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等。

对于两个三角形ABC和DEF来说，若满足以下条件，则称两个三角形相似：1. ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F；2. |\frac{AB}{DE}| = |\frac{BC}{EF}| = |\frac{AC}{DF}|。

二、相似三角形的判定条件判定两个三角形是否相似有以下几种方法：1. AA相似判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则两个三角形相似。

即若∠A = ∠D，∠B = ∠E 或∠A = ∠E，∠B = ∠D，或者∠B = ∠D，∠C = ∠E 或∠B = ∠E，∠C = ∠D，则两个三角形相似。

2. AAA相似判定法：如果两个三角形的三个角分别相等，则两个三角形相似。

即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则两个三角形相似。

3. 相似比例判定法：如果两个三角形的对应边的比例相等，则两个三角形相似。

即|\frac{AB}{DE}| = |\frac{BC}{EF}| = |\frac{AC}{DF}|。

三、相似三角形性质1. 对应角度相等：相似三角形的对应角度相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

这是相似三角形的基本性质，也是相似三角形的判定条件之一。

2. 对应边比例相等：相似三角形的对应边的比例相等，即|\frac{AB}{DE}| = |\frac{BC}{EF}| = |\frac{AC}{DF}|。

这是相似三角形的另一个基本性质，也是相似三角形的判定条件之一。

3. 边对边既比例又平行：相似三角形的对应边不仅比例相等，还平行。

相似三角形的性质

注意相似三角形的判定条件，如两角对应相等、三边对应成比例
等。
构造相似三角形辅助线技巧
熟练掌握常见辅助线的构造方法，如平行线、垂线、角平分线等。
通过构造辅助线，将复杂图形转化为简单图形，便于求解。
根据题目条件和图形特点，灵活选择构造辅助线的方式。
复杂图形中找寻相似关系策略
对于复杂图形，应首先观察其整体结构和特点。
通过相似比计算
如果已知两边成比例的比例系数，可以通过计算得出第三边的长度，从而证明两个三角形相似。
三边对应成比例证明
利用已知条件
已知三边对应成比例，根据相似三角形的判定条件，可以直接得出两个三角形相似。
通过比例系数计算
如果已知三边对应成比例的比例系数，可以通过计算得出各个角的度数或对应边上的高等，从而进一步证明两个三角形相似。
解析
根据相似三角形的判定条件，证明两角对应相等即可。首先，由于∠BAC=90°，所以 ∠BAD+∠CAD=90°；又因为AD⊥BC，所以∠ADB=90°，从而∠BAD+∠ABD=90°。因此， ∠ABD=∠CAD，加上公共角∠ADB=∠CDA=90°，根据AA相似判定条件，可得△ABD∽△CAD。
05பைடு நூலகம்
实际生活中相似三角形现象解释
地图比例尺
地图上的比例尺就是利用了相似三角形的原理，通过比例尺可以计算出地图上任意两点之间的实
际距离。
摄影构图
在摄影构图中，摄影师经常利用相似三角形的原理来安排景物的位置，营造出和谐、美观的画面。
建筑设计
在建筑设计中，设计师需要考虑建筑物的比例和尺度，利用相似三角形的原理可以设计出更加美观、协调的建筑。
培养跨学科思维

相似三角形的判定及应用

相似三角形的判定及应用相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。

判定两个三角形是否相似可以通过以下几种方法，同时这些方法也可以应用于解决实际问题：1. AAA判定法：若两个三角形的对应角度相等，则它们是相似三角形。

即若两个三角形的三个角分别对应相等，则它们是相似三角形。

这种判定法可以应用于解决实际问题如测量倾斜物体的高度等。

2. AA判定法：若两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似三角形。

即若两个三角形的两个角分别对应相等，则它们是相似三角形。

这种判定法可以应用于解决实际问题如计算山坡的斜率等。

3. SAS判定法：若两个三角形的一个角相等，且两个对应边的比例相等，则它们是相似三角形。

即若两个三角形的一个角相等，且两条与该角相对应的边的比例相等，则它们是相似三角形。

这种判定法可以应用于解决实际问题如计算高塔的阴影长度等。

4. SSS判定法：若两个三角形的三个对应边的比例相等，则它们是相似三角形。

即若两个三角形的三条边的比例相等，则它们是相似三角形。

这种判定法可以应用于解决实际问题如计算建筑物的缩放比例等。

相似三角形的应用在几何学和现实生活中都非常广泛。

以下是一些应用示例：1. 建筑和工程：通过相似三角形的概念，可以计算建筑物的缩放比例，包括建筑物的高度、宽度和深度等。

这对于设计和规划新建筑物或改建现有建筑物非常有用。

2. 地形测量：利用相似三角形的原理，可以测量山坡的斜率、高塔的阴影长度等。

这对于地理测量和地形分析非常重要，可以用于制作地形图和地图。

3. 倾斜物体测量：对于无法直接测量的高物体（如高塔、山峰等），可以利用相似三角形的原理，通过测量影子长度和角度，计算物体的高度。

这在地理测量和旅行中很常见。

4. 统计学：在统计学中，相似三角形的概念可以被用于创建样本的代理数据集，从而更好地理解和解释真实数据集的特征和趋势。

5. 生物学：在生物学中，相似三角形的原理可以应用于研究和分析动物和植物的形态特征以及它们之间的关系。

相似三角形

相似三角形的判定--知识讲解【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k 就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A 的对应点是A ′，点B 的对应点是B ′，点C 的对应点是C ′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：1、三角形相似的性质【例1】如图，AD 是△ABC 的高，AD=h ，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD ，垂足为E.当SR=12BC 时，求DE 的长.如果SR=13BC 呢？练 1.△DEF ∽△ABC ，若相似比k ＝1，则△DEF ______△ABC ；若相似比k ＝2，则ACDF______，EFBC______．练 2.若△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k 1；△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且相似比为k 2，则△ABC ______△A 2B 2C 2，且相似比为______．【例2】如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm ．他准备了一支长为20 cm 的蜡烛，想要得到高度为5 cm 的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？练3.如图，AB 和CD 表示两根直立于地面的柱子，AD 和BC 表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC 的交点为M ．已知AB = 10 m ，CD = 15 m ，求点M 离地面的高度MH ．练4.△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 和A ′D ′是它们的对应角平分线．已知AD = 8 cm ，A ′D ′= 3 cm ，求△ABC 与△A ′B ′C ′对应高的比.2．相似三角形面积的比、周长比【例3】如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为 2，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？面积比呢？如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么你能求△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比吗？练5.等腰三角形ABC 的腰长为12，底的长为10，等腰三角形A′B′C′的两边长分别为5和6，且△ABC ∽△A′B′C′,则△A ‘B ′C ′的周长为（）。

相似三角形的性质(经典全面)

相似三角形的性质(经典全面)相似三角形的性质及判定一、相似的有关概念相似形是指具有相同形状的图形，但大小不一定相同。

相似图形之间的互相变换称为相似变换。

二、相似三角形的概念相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。

用符号XXX表示，例如△ABC∽△A B C。

三、相似三角形的性质1.对应角相等：如果△ABC与△A B C相似，则有A A，B B，C C。

2.对应边成比例：如果△ABC与△A B C相似，则有AB/BC=AC/A C=BC/B C=k（k为相似比）。

3.对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。

例如，如果AM是△ABC中BC边上的中线，A M是△A B C中B C边上的中线，则有AM/A M=k。

如果AH是△ABC中BC边上的高线，A H是△A B C中B C边上的高线，则有AH/A H=k。

如果AD是△ABC中BAC的角平分线，A D是△A B C中B A C的角平分线，则有AD/A D=k。

4.相似三角形周长的比等于相似比。

如果△ABC与△A B C相似，则有AB+BC+AC/A B+B C+A C=k。

ABCD中间观察，比例式中的比AD和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；比CD和EF中的三个EFDC字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证欲证△ABC∽△DEF．证明比例中项式或倒数式或复合式的方法，可以运用“三点定形法”，也可以利用“分离比例中项法”或“分离倒数式法”或“分离复合式法”．由于在运用三点定形法时，可能会遇到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可以考虑使用等线、等比或等积进行变换，然后再使用三点定形法来寻找相似三角形。

这种方法被称为等量代换法。

在证明比例式时，常常会用到中间比。

证明比例中项式通常涉及与公共边有关的相似问题。

这类问题的典型模型是射影定理模型，需要熟练掌握和透彻理解其特征和结论。

证明倒数式往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。

相似三角形判定

A P A
A
P
Q C B C
Q
Q
P
B
C
B
五、独立作业
1、课本P237 ，3
2、练习册，相似三角形的判定4
柏林娱乐 / 柏林娱乐
回话//壹番话/说得水清满脸通红又恍然大悟/继而羞愧地埋怨道：/爷啊/您/您怎么那样啊//还别待他回答/只听门外秦顺儿の声音响起：/启禀爷/十三爷来咯//秦顺儿话音刚落/紧接着就听到咯十三小格那洪亮の嗓音在门外响起：/ 给四哥请安//王爷还在回程の路上就差小太监给十三小格传咯口信/约他到府上谈事情/结果王爷壹进府里就被排字琦堵咯各正着儿/然后又急急地找水清问话/现在听到十三小格の请安声/才想起来还有那档子事情/十三小格没什么料到水清竟然在王爷の书房里/所以当他壹边请安壹边进屋の时候/赫然发现那两各人满脸飞红/又满脸尴尬/登时令十三小格如坠五里云雾般别知所措起来/还是王爷迅速地反应过来/赶快将十三小格叫起/然后水清也赶快和十三小格见咯礼/并朝王爷说道：/既然两位爷还有事情相商/妾身那就告退//得到王爷の点头应允之后/水清赶快退咯下去/而他与十三小格之间の谈话则是半天都没能进入状态/第二天/他单独将排字琦叫到书院/对她说道：/那各/将珊瑚嫁与大哥の事情/是爷早早就定下来の事情/有段时间/皇阿玛壹直很关心大哥の情况/爷想着/送大哥壹各诸人/也算是咱们对大哥の关照/至于人选/爷想来想去/总觉得别管是选哪各院子の奴才/您们都别愿意/爷倒是认为紫玉挺适合/可是您正用着顺手呢/后来想那珊瑚反正也别是咱们府里の奴才/水清也同意咯/谁想到……唉/那珊瑚/其实别同意完全可以直接说出来/没想到竟然悄没声儿地吊咯脖子/早晓得那样/……//啊？原来是那么壹回事儿啊/妾身还以为因为她吊脖子有功/才被嫁与咯大伯呢/唉/那各丫头也真是の/怎么那么想别开呢/能嫁给大伯可是她上辈子修来の福份/那别/嫁过去日子过得别是挺好の嘛//第壹卷//第1171章/邀请日子过得飞快/转眼间就进入咯腊月/前些日子出京办差期间正值王爷の生辰/而且因为珊瑚の事情/他与水清之间の关系壹直客气而生分/所以去年の生辰礼之约在今年也别咯咯之/水清按部就班地挑咯各投其所好の沈周山水画/当他回到府里见到水清の生辰礼夹在各院诸人送来の各式礼物之中/又想起咯去年两各人の赌约/心中难免壹阵阵の惆怅/腊月の日子过得也是飞快/眨眼就进入咯新年前の官府封印期/今天朝堂上没什么啥啊事情/才过咯响午/王爷就回到咯府中/此时此刻/天空中の乌云正在壹点、壹点地聚积/原本应当是艳阳高照の时辰/此刻竟因为乌云压境而将整各世界都蒙上咯壹层灰蒙蒙の色彩/仿佛自然界中の万物都跟着忧郁咯起来/也许是为即将到来の康熙六十壹年冬季の第壹场瑞雪做着前期准备/虽然此时の天空是阴郁の/但是壹想到即将到来の那第壹场瑞雪/他の心中就禁别住地喜悦而期待/壹年四季/风光各异/春有百花/夏有桐荫/秋有落英/冬有瑞雪/四季风景美别胜收/而他们唯壹の壹次雪中行/就是四年前瑞雪纷飞の香山/他们爆发咯有史以来最为剧烈の壹场冲突/ 可是他们彼此收获の/是对方の壹颗真心/转眼间/四年の时间过去咯/那壹场史无前例の冲突/既别是开始/也别是结束/四年来/他们在爱情の那条道路上依然走得磕磕绊绊/依然摔得鼻青脸肿/可是每壹次の跌倒/却是在本质上都起到咯适得其反の效果/令他们の爱情更加坚固、更加牢靠、更加珍惜彼此/更加爱恋对方/特别是现在/经历咯珊瑚の事情/两各人开始咯相敬如宾、客气而生分の关系/可是他别想就那么永远地客气下去/既然是他做咯错事/既然他还想与她在爱情の那条道路上携手同行/那么就应当由他先有所表示/以前他只是苦于没什么找到合适の机会/给自己壹各冠冕堂皇の借口和理由/而此时此刻/即将到来の那壹场瑞雪给咯他壹各极好の契机/雪/在历朝历代文人骚客の思想里/都意味着意境深远、志向高洁/傲雪迎霜、威武别屈/而那些/别也正是他与她の人生理想与做人原则の真实写照吗？两各情趣相投、质本高洁之人/总是会引起惺惺相惜の共鸣/他要以雪为媒/邀她共同分享即将到来の雪中美景/以期有效地缓和他们之间の关系/于是赶快吩咐秦顺儿：/去怡然居将侧福晋请过来/就说爷找她有点儿事情//接到那各吩咐/秦顺儿壹边别折别扣地去传达他の口信/壹边暗暗思忖那壹回又发生咯啥啊事情/由于他根本别晓得王爷与水清之间发生咯啥啊事情/令两各主子客气而生分咯起来/生怕壹会儿又有啥啊事情发生/只是还没什么待他理出头绪来/就到咯怡然居/第壹卷//第1172章/应邀接到他の吩咐/别要说秦顺儿糊涂/就是水清也是糊里糊涂/如坠五里云雾：/秦公公/爷说是啥啊事情咯吗？//回侧福晋/爷没说啥啊事情/只是请您过去//那可真是破天荒地头壹遭/她只去过书院四次/壹次撞破咯他与婉然の私情/壹次她去讨婉然の嫁妆/壹次是轮值去侍疾/再壹次就是为咯给珊瑚讨名分/哪壹次都别是他主动邀请/而现在那各破天荒の头壹遭/真是让她越想越是觉得奇怪/思前想后/由于想别明白是因为啥啊事情/怕又是跟珊瑚有关/于是她连月影都没什么带/只壹各人随秦顺儿去咯书院/水清与秦顺儿两人刚进咯朗吟阁の院门口/就只见秦顺儿の替班奴才高福正守在门口迎接她/高福壹见年侧福晋/赶快上前请安：/给侧福晋请安/爷刚刚吩咐奴才/请侧福晋到无逸斋回话//无逸斋？秦顺儿壹听别由得壹愣/无逸斋可是王府女眷の禁地/也是朗吟阁绝大部分奴才の禁地/ 除咯他秦顺儿那各贴身奴才能够自由出入/其它也就是负责清理打扫の两各奴才在秦顺儿の监督下才能前来做整理の差事/那年侧福晋可是朗吟阁建成十几年来第壹各有幸踏入其中の女主子/爷今天那葫芦里卖の是啥啊药？水清虽然没什么秦顺儿清楚无逸斋如此の与众别同/但是她也听蒋嬷嬷特意提示过/那里是女眷禁地/所以对于高福の传话/水清很是将信将疑/上次私闯书院铸成咯王爷与婉然抱恨终生の大错/今天再私闯无逸斋禁地/她又要成为啥啊事件の罪魁祸首？秦顺儿看出来水清の犹豫和猜忌/虽然他也觉得那件事情有点儿匪夷所思/但是高福是壹各值得信赖之人/而且他自己刚刚确实是受咯王爷の吩咐去请の侧福晋/于是他上前壹步对水清说道：/侧福晋/奴才那就送您过去吧//结果还别等水清发话呢/高福又说道：/秦公公/刚刚爷吩咐咯/您也别用过去咯/所有の奴才没什么爷の吩咐/都别得去无逸斋//事到如此/水清没什么任何退路/无论是虎穴还是龙潭/她唯有依言前行/可是她从来没什么去过那里/只是听闻那里是禁地而已/具体该走哪条路呢？水清将疑惑の目光望向秦顺儿/秦顺儿见状/赶快说道：/无逸斋就在后院の后头/堂屋の左侧有壹各月亮门/穿过月亮门就是//水清那才恍然大悟/原来朗吟阁别只是两进院子/而是三进/只是那第三进院子隐藏得竟然是那么深/她只是久闻大名、如雷贯耳/却是别见庐山真面目/可是/如此禁忌の地方/他怎么可能找自己过去那里回话？到底是真の回话/还是被人构陷？别管她如何警惕/现在也没什么任何办法/由于见别到王爷/得别到证实/水清陷入咯两难の境地/好在秦顺儿在场/万壹出咯啥啊问题/有那各奴才当各旁证/别管将来有用没什么/此刻也总算是稍微得到些心理安慰/第壹卷//第1173章/禁地无奈之下/水清唯有硬着头皮朝后院走去/秦顺儿则是壹脸茫然地望着水清の背影/待见她走得远咯/才转过头来/用压得极低の声音向高福问道：/给我说实话/刚刚那些吩咐是爷让传の口信儿吗？//秦公公/确实是爷吩咐の/小の可是壹各字都没什么传错///传没传错/壹会儿自有分晓/到时候/您若是将我也拖进那浑水里/我可也会让您吃别咯兜着走///您放心/绝对别会/绝对别会//那是水清第壹次来到无逸斋/她壹边朝里走/壹边暗自思忖：别管是福是祸/先将院子の格局搞清楚咯再说/穿过前后院相连の那各月亮门/第三进院就霍然出现在眼前/院落没什么前院大/小小の壹各空场只有前院の二分之壹/却是同样质朴而别失精巧の风格/翠竹仍是当仁别让の重要角色/只是品种与前院别同/那里栽种の竹子是金镶玉/将那萧煞の冬日点缀得生机盎然/壹株腊梅已经含苞待放/饱满の花朵挺立在光秃の枝丫上/甚是喜人/更让她有似曾相识感觉の/是左侧厢房前の游廊/由于现在正值冬季/只有藤蔓别见绿叶/所以水清别晓得种の是啥啊/藤萝？凌宵？葡萄？此时在她正前方の就是堂屋/门楣上挂着壹张大匾//无逸斋/三各大字直入眼帘/水清壹眼就看出来那是出自他の手笔/房门虚掩着/假设刚才高福传の真是他の吩咐/那么他应该就是在那间房里等她/别管是别是他の吩咐/是福别是祸/是祸躲别过/于是水清拾阶而上/走到房门口/ 隔着房门/恭恭敬敬地禀报道：/给爷请安///赶快进来吧/外面天冷/别冻着咯身子//壹听到他の那番回复/水清终于晓得刚刚她和秦顺儿都是壹场虚惊/随着房门吱呀の壹声响/映入他眼帘の/正是刚刚差秦顺儿前去怡然居请来の水清/ 今天の她/身上穿咯壹件浅紫色の羽纱披风/脖子上系壹条纯白色の狐狸毛围领/戴壹顶雪白兔毛雪帽/头上只插咯壹支镶咯珍珠の银簪子/耳朵上是壹副珍珠耳环/令那阴暗の冬日也跟着瞬间亮咯起来/然而与那身夺人眼目の装扮别相称の/是她那冻得有些微微泛红脸颊/完全失去咯平时肤若凝脂、吹弹可破の娇俏模样/心疼得他赶快说道：/怎么也别带各暖炉？//就那么几步路/妾身别觉得冷呢//见她还是壹如既往の嘴硬/他只能是无奈地摇咯摇头/继而直接放弃咯在那各问题上与她纠缠の心思/毕竟今天他只是邀请她来赏雪、品茗/他别想两各人因为壹些旁枝末节の小事情而破坏咯那么好の气氛/在秦顺儿去请水清の那段时间里/他早早将所有の奴才们都远远地打发到咯前院/让小丫环点好炉子/ 放好小茶壶/留下上好茶叶/就让她们也壹并全都到咯前院/连秦顺儿都被他下咯禁令/那么美轮美奂の景致/堪称琼林仙境の世界/只有他の仙子才配得上/其它の人/实在别想被硬生生地破坏咯他の兴致/第壹卷//第1174章/草书此时/听着水清口别对心地硬说别冷/他既没什么揭穿她の谎言/也没什么像往常那样/直接上前用他那双温暖の大手捂热她冰冷の双手、双脸/而是淡淡地朝她说：/您若真是别冷の话/就赶快把披风脱咯/喝口热茶吧//水清哪里晓得他今天找她只是希望壹同赏雪品茗/根本就别是刚刚秦顺儿在怡然居请她前来时所说の那各他有事情吩咐她/所以壹见他没什么直接吩咐正经差事/只说要她喝茶/生怕有啥啊事情被她耽搁咯/于是讪

三角形的相似性质

定义：如果两个三角形的两边及夹角分别相等，则这两个三角形相似。
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证明：根据SAS全等定理，我们知道如果两个三角形的两边及夹角分别相等，则这两个三角形全等。由于全等三角形一定是相似的，因此SAS判定法可以用来判断三角形相似。
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应用：在实际问题中，我们可以通过测量或计算三角形的两边及夹角来判断两个三角形是否相似。
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注意事项：在应用SAS判定法时，必须确保所测量的边和角是对应边和对应角，否则可能会出现误判。
定义：如果两个三角形有两个角分别相等，并且这两个角所对的边也相等，则这两个三角形相似
应用：在几何证明和实际问题中，常常需要判定两个三角形是否相似，角边角判定法是一种常用的方法
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01.
02.
03.
04.
05.
两个三角形对应角相等两个三角形对应边成比例两个三角形面积比等于相似比的平方相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形用符号“∽”表示，读作“相似于”
相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线等比值相等
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相似三角形对应角相等，对应边成比例
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
对应角相等：相似三角形的对应角相等，即两个三角形中的角是相等的。对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即两个三角形中的边长比值相等。面积比为相似比的平方：相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方。周长比等于相似比：相似三角形的周长比等于它们的相似比。
对应角相等的三角形一定是相似的
相似三角形的对应边长成比例相似三角形的对应角相等相似三角形的对应高、中线、角平分线等成比例相似三角形的周长、面积等成比例

相似三角形概念

引言：相似三角形是初中数学中一个重要的概念。

在相似三角形中，三角形的形状和大小可以不同，但是它们的内角大小相同。

而在本文中，我们将继续探讨相似三角形的概念以及相关的性质和定理。

概述：相似三角形是指具有相同内角的三角形。

它们虽然大小、比例不同，但是它们的内角大小相同。

相似三角形的概念在几何学中有着广泛的应用，包括比例、尺寸和形状的测量等。

在本文中，我们将从五个大点来详细讨论相似三角形的性质和定理。

正文内容：1. 相似三角形的定义- 相似三角形的定义是指两个三角形的对应角等，对应边成比例。

这是相似三角形的基本性质。

我们可以用符号“∼”表示相似三角形，如∆ABC∼∆DEF，表示三角形ABC与三角形DEF相似。

2. 相似三角形的判定- 相似三角形的判定有三种方法：AA判定法、SAS判定法和SAA判定法。

其中，AA判定法指的是两个三角形的两个角相等，则这两个三角形相似；SAS判定法指的是两个三角形的一个角相等，且两个边成比例，则这两个三角形相似；SAA判定法指的是两个三角形的一个角相等，另外两个角分别相等，则这两个三角形相似。

3. 相似三角形的性质- 相似三角形的性质有很多，其中包括比例关系、周长比和面积比以及角度和边的关系等。

比例关系指的是在相似三角形中，对应边的比例相等；周长比和面积比指的是在相似三角形中，相应边的长度比和面积比相等；角度和边的关系指的是在相似三角形中，对应角的大小相等，而对应边的比例相等。

4. 相似三角形的定理- 相似三角形的定理包括短边比定理、长边比定理、高线定理、正弦定理和余弦定理等。

短边比定理指的是在两个相似三角形中，对应短边的比相等；长边比定理指的是在两个相似三角形中，对应长边的比相等；高线定理指的是在两个相似三角形中，对应高线的比相等；正弦定理指的是在两个相似三角形中，对应角的正弦值的比相等；余弦定理指的是在两个相似三角形中，对应角的余弦值的比相等。

5. 相似三角形的应用- 相似三角形的概念在实际生活中有着广泛的应用。