最新相似三角形分类整理(超全)
相似三角形 经典模型总结与例题分类
相似三角形经典模型总结与例题分类相似三角形经典模型总结在相似三角形中，有一些经典的模型，包括平移型、平行型、旋转180°型、翻折180°型、一般型、特殊型、斜交型、双垂直型等。
这些模型可以帮助我们更好地理解和解决相似三角形的问题。
其中，平移型、平行型、翻折180°型、斜交型和双垂直型都是比较常见的模型。
在解决相似三角形的问题时，可以根据具体情况选择相应的模型进行分析。
以下是一些例题，可以帮助我们更好地理解相似三角形的模型和应用。
例1：如图，EE1∥FF1∥MM1，若AE=EF=FM=MB，则S△.例2：如图，AD∥EF∥MN∥BC，若AD=9，BC=18，.例3：已知，P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线与AD，BC，CD的延长线，AB的延长线分别相交于点E，F，G，H。
则PEPH=PFPG。
例4：已知：在△ABC中，D为AB中点，E为AC上一点，且AE=2，BE、CD相交于点F。
则ABF=2EFD。
例5：已知：在△ABC中，AD=11AB，延长BC到F，使CF=BC，连接FD交AC于点E。
则①DE=EF②AE=2CE。
例6：已知：D，E为三角形ABC中AB、BC边上的点，连接DE并延长交AC的延长线于点F，例7：如图，已知XXX，若AB=a，CD=b，EF=c，则a/b=c/(a+c)。
例8：如图，S△.例9：如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，M是AC上一点，ME⊥AD于点E，MF⊥BC于点F。
则MF/ME+1=BD/AC。
例10：如图，在△ABC中，D是AC边的中点，过D作直线EF交AB于E，交BC的延长线于F。
则AE·BF=BE·CF。
BCF：在线段AB上取一点C，以AC、CB为底在AB同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC和CEB，AE交CD于点P，BD交CE于点Q，证明CP=CQ。
解法：首先，由等腰三角形的性质可知，∠XXX∠CEB，∠ACD=∠BCD，因此△ADC≌△CEB，从而AP=BP，AQ=CQ。
九下 相似三角形4种判定方法 知识点+模型+例题+练习 (非常好 分类全面)
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；知识点二、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．符号语言：拓展延伸： （1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。
例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗？请说明理由。
（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =例题精讲AEDBCABCD吗？说说你的理由.例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C（1） 求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。
2分之3倍根号3 随练： 一、选择题1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）CADCBEF G F E DCBA。
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相似三角形知识点与经典题型知识点 1 有关相似形的概念(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 .(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比( 相似系数 ) ．知识点 2 比例线段的相关概念（ 1）如果选用同一单位量得两条线段 a,b 的长度分别为 m, n ，那么就说这两条线段的比是amb n ，或写成 a : bm : n ．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（ 2）在四条线段 a, b, c, d 中，如果 a 和 b 的比等于 c 和d 的比，那么这四条线段a,b,c, d 叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的， 如果说 a 是 b, c, d 的第四比例项， 那么应得比例式为：bd ．② a ccac ： d)中，a 、d 叫比例外项， b 、c 叫比例内项 , a 、c 叫比例前项， b 、d 叫比例后在比例式(a ： bbdb=c ，即 a ：b b ：d 那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项， 此时有 b 2项， d 叫第四比例项，如果 ad 。
（ 3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段 AC , BC ( AC BC ) ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，即AC 2 AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中AC5 1AB ≈20.618 AB ．即ACBC 5 1 简记为： 长＝ 短＝5 1ABAC2全 长 2注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点 3 比例的性质（ 注意性质立的条件：分母不能为0）（ 1） 基本性质：① a : b c : d adbc ；② a : b b : c b 2a c ． ad bc ，除注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : c b : d ， c : d a : b ， b : d a : c ， b : ad : c ， c : a d : b ，d : c b : a ， d : b c : a ．a b，交换内项)c d (（ 2） 更比性质 ( 交换比例的内项或外项) ：ac d c ，交换外项( )b db ad b．同时交换内外项)ca (（ 3）反比性质 ( 把比的前项、后项交换) ：ac bd ．b da c（ 4）合、分比性质：a c abcd ．bdbd注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间b ad c发生同样和差变化比例仍成立．如：a cac 等等．b da b c da bc d（ 5）等比性质：如果 ac e m(b d fn 0) ，那么 acem a ．bd fnb d f nb注：①此性质的证明运用了“设 k 法”（即引入新的参数 k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：a c e a 2c 3e a 2c 3e a；其中 b 2d 3 f 0．b d f b 2d 3 f b 2d 3 fb知识点 4比例线段的有关定理1. 三角形中平行线分线段成比例定理: 平行于三角形一边的直线截其它两边( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .A由 DE ∥ BC 可得：注：AD AE 或 BD EC 或 AD AE DB EC AD EA AB ACD EB C①重要结论：平行于三角形的一边, 并且和其它两边相交的直线, 所截的三角形的三边 与原三角形三边 对应成比．．．．．． ．．．．．．例 .②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理： 如果一条直线截三角形的两边( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 . 那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法 , 即：利用比例式证平行线 .③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线, 但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比 .2. 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线 , 所截得的对应线段成比例 .A D 已知 AD ∥ BE ∥CF,BE可得ABDE 或 AB DE 或 BC EF 或 BC EF 或 AB BC 等. CFBCEF AC DF AB DE AC DF DE EF注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理： 两条直线被三条平行线所截， 如果在其中一条上截得的线段相等， 那么在另一条上截得的线段也相等。
(精心整理)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形知识点归纳(全)精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则∽＝＝＞AD 2=BD ·DC ，∽＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽＝＝＞AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质E BD DB C(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
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WORD 格式可编辑相似三角形经典模型总结经典模型平移旋转 180°∽平行型平行型翻折 180°翻折 180°一般特殊翻折 180°斜交型斜交型特殊一边平移一般平移特殊双垂直斜交型双垂直一般【精选例题】“平行型”【例 1】如图，EE1∥FF1∥MM1，若AE EF FM MB ，则S AEE : S四边形EE FF : S四边形FFM M : S四边形 MM C B _________1 1 1 1 1 1AE E1FF 1MM1B CWORD 格式可编辑【例 2】如图，AD∥EF∥MN∥BC，若AD 9，BC 18 ， AE:EM :MB 2:3:4,则EF _____ ， MN _____A DE FMNB C【例 3】已知，P为平行四边形ABCD 对角线， AC 上一点，过点P 的直线与 AD ， BC ， CD 的延长线， AB 的延长线分别相交于点 E ， F ， G ， H求证： PE PHPF PGG D CE PFA B H【例 4】已知：在ABC 中， D 为 AB 中点， E 为 AC 上一点，且AE2, BE、 CD相交于点 F ，求BF的值ECEF ADF EB C【例 5】已知：在ABC 中， AD 1AB，延长 BC到F ,使CF1BC,连接 FD交 AC于点 E 2 3求证：① DE EF ② AE 2CEADEB专业知识分享【例 6】已知：D，E为三角形ABC 中 AB 、BC 边上的点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F ，BD: DE AB: AC求证：CEF 为等腰三角形ACDEB F【例7】如图，已知 AB / / EF / /CD ，若 AB a ， CD b ， EF c ，求证：11 1 .c a bACEB F D【例 8】如图，找出S ABD、 S BED、 S BCD之间的关系，并证明你的结论.CAEB F D【例 9】如图，四边形ABCD中，B D90M是AC上一点，ME AD于点EMF BC，，于点 F 求证：MFME 1AB CDDEMA CFB【例 10】如图，在ABC 中， D 是 AC 边的中点，过 D 作直线 EF 交 AB 于 E ,交 BC 的延长线于 F 求证： AE BF BE CFAEDBC F 【例 11】如图，在线段AB 上，取一点 C ，以 AC ， CB 为底在 AB 同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC 和CEB， AE交 CD于点 P， BD交 CE于点Q,求证： CP CQDEP QA C B【例 12】阅读并解答问题 .在给定的锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG，使 D， E落在 BC边上， F ， G分别落在AC , AB 边上，作法如下：ABC 两边上的正方形D'E'F 'G'如图，第一步：画一个有三个顶点落在第二步：连接 BF ' 并延长交 AC 于点 F第三步：过 F 点作 FE BC ,垂足为点 E第四步：过 F 点作 FG∥BC 交 AB 于点 G第五步：过 G 点作 GD BC ，垂足为点 D四边形 DEFG 即为所求作的正方形问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG 为正方形⑵在 ABC 中，如果BC 6 3，ABC 45 , BAC 75 ,求上述正方形DEFG 的边长AG FG'F'E CWORD 格式可编辑“平行旋转型”图形梳理：E'F'AAAF'E'AEF'EFFFEE'FEF'BCBCBBCAEF 旋转到 AE ‘ F ’CAEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到AE ‘F ’特殊情况： B 、 E'、 F '共线AAEF' EF'E'FE'FBC B CAEF 旋转到 AE ‘ F ’ AEF 旋转到 AE ‘ F ’C ， E'， F '共线E'AE'AEFEF'FF'BCBCAEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到 AE ‘ F ’【例 13】已知梯形 ABCD ， AD ∥BC ，对角线AC 、 BD 互相垂直，则①证明： AD 2 BC 2AB 2 CD 2ADOB CWORD 格式可编辑【例 14】当AOD ，以点 O 为旋转中心，逆时针旋转度（090 ），问上面的结论是否成立，请说明理由DAOB C【例 15】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形ABCD 和 BEFG 均为正方形，求AG : DF : CE_________.A DGFB CE“斜交型”【例 16】如图，ABC 中， D 在 AB 上，且 DE∥BC 交 AC 于 E ， F 在 AD 上，且 AD2AF AB ，求证：AEF :ACDAFD EB C【例 17】如图，等边三角形ABC中，D，E分别在BC，AB上，且CE BE ，AD ，CE 相交于 M ，求证 : EAM : ECAAEMB DC AGF BE【例 18】如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，BAC CDB ,求证：DAC CBDADOB C【例 19】如图，设ABBCCA，则 1 2 吗？AD DE EAA1 DE2B C【例 20】在锐角三角形ABC 中， AD ， CE 分别为 BC ， AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别等于 18和 2 ， DE 2，求 AC 边上的高AEB D C【例 21】如图，在等边ABC 的边 BC 上取点 D ，使BD 1，作CH AD，H为垂足，连结BH。
相似三角形知识点整理精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点整理重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
☆内容提要☆ 一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三反比性质：cda b = 更比性质：dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 相似基本定理 推论(骨干定理)平行线分线段成比例定理(基本定理)应用于△中 相似三角形定理1定理2 定理3 Rt △ 推论推论的逆定理推论角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形的基本模型归纳总结
相似三角形的基本模型归纳总结
相似三角形是指拥有相似的形状但大小不同的三角形。
在相似三角形中，对应角度相等，而对应边长之间存在比例关系。
以下是一些基本的相似三角形模型：
1. 比例模型：在两个相似三角形中，对应边长之比相等。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 三角形高度模型：在两个相似三角形中，对应高度之比等于对应边长之比。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有h_1/h_2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF，其中h_1和h_2分别为∆ABC和
∆DEF的高度。
3. 角平分线模型：在两个相似三角形中，对应角的平分线所延伸的比例相等。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，角A和角D相等，则有BD/CE = AB/DE = AC/DF。
4. 底角模型：在两个相似三角形中，底角对应相等。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，并且∠A = ∠D，则有∠B = ∠E和∠C
= ∠F。
5. 周长模型：在两个相似三角形中，对应边长之比等于相似三角形的周长比。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有
(A+B+C)/(D+E+F) = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
这些是常见的相似三角形模型，可以根据具体问题选择适合的模型进行求解。
但需要注意的是，在相似三角形中，只有形状
相似，而边长比例相等，因此，对于三角形中角度的求解通常更加重要。
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形证明技巧(整理)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（相似三角形证明技巧(整理)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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12相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析 一、相似三角形 （1)三角形相似的条件:① ;② ；③ 。
二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路:判定两个三角形相似思路：1)先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等,且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例,两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2b ）己知两边对应c)己知一个a)已知一对3找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e ）相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”;若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
平面几何中的相似三角形知识点总结
平面几何中的相似三角形知识点总结
相似三角形是平面几何中重要的概念，它在解决实际问题和证明几何定理中起到重要的作用。
以下是相似三角形的知识点总结：
1. 相似三角形定义：相似三角形定义：
相似三角形是指具有对应角度相等且对应边长成比例的两个三角形。
2. 相似三角形定理：相似三角形定理：
- AAA相似定理：如果两个三角形的三个对应角度分别相等，那么这两个三角形是相似的。
- AA相似定理：如果两个三角形的一个角度相等，且它们的对边成比例，那么这两个三角形是相似的。
- SSS相似定理：如果两个三角形的三条对边成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. 相似三角形特性：相似三角形特性：
- 对应角相等：相似三角形的对应角度是相等的。
- 对边成比例：相似三角形的对应边长成比例，即各对应边的比值相等。
- 外接圆相似：相似三角形的外接圆是相似的。
4. 相似三角形的性质：相似三角形的性质：
- 相似三角形的周长比等于对应边长比。
- 相似三角形的面积比等于对应边长比的平方。
- 两个相似三角形的高度和底边成比例。
5. 相似三角形的应用：相似三角形的应用：
- 测量不可直接测量的长度：利用相似三角形的边长比例，可以测量无法直接测量的长度，如建筑物的高度、山的高度等。
- 解决实际问题：相似三角形的概念经常用于解决实际问题，如计算建筑物的阴影长度、确定图像的放大缩小比例等。
以上是平面几何中相似三角形的重要知识点总结。
掌握这些知识，能帮助我们更好地理解和解决与相似三角形相关的问题。
最新相似三角形-经典模型总结与例题分类
相似三角形经典模型总结经典模型【精选例题】 “平行型”【例1】 如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则111111:::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ∆=四边形四边形四边形M 1F 1E 1M E F A BC【例2】 如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =，18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则_____EF =，_____MN =M N A BCD E F【例3】 已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H求证：PE PHPF PG=PHGFEDCBA【例4】 已知：在ABC ∆中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且2AEEC=,BE 、CD 相交于点F ，求BFEF的值【例5】 已知：在ABC ∆中，12AD AB =，延长BC 到F ,使13CF BC =,连接FD 交AC 于点E 求证：①DE EF = ②2AE CE =ABCDFEFE DCBA【例6】 已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，::BD DE AB AC =求证：CEF ∆为等腰三角形FEDCBA【例7】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【例8】 如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例9】 如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，MF BC⊥于点F求证：1MF MEAB CD+= ABCDEF M【例10】 如图，在ABC ∆中，D 是AC 边的中点，过D 作直线EF 交AB 于E ,交BC 的延长线于F求证：AE BF BE CF ⋅=⋅FEDC BA【例11】 如图，在线段AB 上，取一点C ，以AC ，CB 为底在AB 同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC ∆和CEB ∆，AE 交CD 于点P ，BD 交CE 于点Q ,求证：CP CQ =QPEDC BA【例12】 阅读并解答问题.在给定的锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG ，使D ，E 落在BC 边上，F ，G 分别落在AC ,AB 边上，作法如下：第一步：画一个有三个顶点落在ABC ∆两边上的正方形''''D E F G 如图， 第二步：连接'BF 并延长交AC 于点F 第三步：过F 点作FE BC ⊥,垂足为点E 第四步：过F 点作FG BC ∥交AB 于点G 第五步：过G 点作GD BC ⊥，垂足为点D 四边形DEFG 即为所求作的正方形问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG 为正方形⑵在ABC ∆中，如果6BC =+45ABC ∠=︒,75BAC ∠=︒,求上述正方形DEFG 的边长G'F'E'D'ABCDEFG“平行旋转型”图形梳理：AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’CBBCAEF 旋转到AE‘F’ABCAEF 旋转到AE‘F’特殊情况：B 、'E 、'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAB CEF E'F'AEF 旋转到AE‘F’C ，'E ，'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’CBA【例13】 已知梯形ABCD ，AD BC ∥，对角线AC 、BD 互相垂直，则①证明：2222AD BC AB CD +=+OAB CD【例14】 当AOD ∆，以点O 为旋转中心，逆时针旋转θ度（090θ<<），问上面的结论是否成立，请说明理由DCB AO【例15】 （全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形ABCD 和BEFG 均为正方形，求::AG DF CE =_________.ABEF GGFEDCBA“斜交型”【例16】 如图，ABC ∆中，D 在AB 上，且DE BC ∥交AC 于E ，F 在AD 上，且2AD AF AB =⋅，求证：AEF ACD ∆∆:F ED CBA【例17】 如图，等边三角形ABC 中，D ，E 分别在BC ，AB 上，且CE BE =，AD ，CE 相交于M ，求证:EAM ECA ∆∆:M E D C B A【例18】 如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，BAC CDB ∠=∠,求证：DAC CBD ∠=∠ODCBA【例19】 如图，设AB BC CAAD DE EA==，则12∠=∠吗？ 21ABCDE【例20】 在锐角三角形ABC 中，AD ，CE 分别为BC ，AB 边上的高，ABC ∆和BDE ∆的面积分别等于18和2，2DE =，求AC 边上的高ABCDE【例21】 如图，在等边ABC ∆的边BC 上取点D ，使21=CD BD ，作CH AD ⊥，H 为垂足，连结BH 。
(word完整版)相似三角形证明技巧(整理)
1相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1）三角形相似的条件：① ；② ；③ 。
二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形,从而使问题得以解决。
三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例; 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2a ）已知一对b)己知两边对应成c)己知一个2找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e ）相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”;若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时,往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞,乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知：如图，ΔABC 中，CE ⊥AB ，BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）例2、如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？ 说明理由。
(完整版)相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
相似三角形知识点梳理
相似三角形知识点梳理
相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的三角形。
以下是相似三角形的相关
知识点梳理：
1. 相似三角形的定义：两个三角形中对应角度相等且对应边的比值相等的三角形是相
似三角形。
2. 相似三角形的性质：
- 对应角度相等：相似三角形的对应角度是相等的。
- 对应边长比值相等：相似三角形的对应边长比值是相等的。
- 对应边长比值等于相似比例：相似三角形的对应边长比值等于它们的相似比例。
3. 相似三角形的判定条件：
- AA判定法（角-角）：如果两个三角形中有两个角相等，则这两个三角形是相似的。
- SSS判定法（边-边-边）：如果两个三角形中所有对应边的比值相等，则这两个三
角形是相似的。
- SAS判定法（边-角-边）：如果两个三角形中有一个对应角相等，并且对应边的比
值相等，则这两个三角形是相似的。
4. 相似三角形的比例关系：
- 边长比例关系：如果两个三角形是相似的,则对应边的比值等于它们的相似比例。
- 高线比例关系：两个相似三角形的高线与其对应边的比值等于它们的相似比例。
- 面积比例关系：两个相似三角形的面积比等于它们的相似比例的平方。
5. 相似三角形的尺影定理：在两个相似三角形中，对应边的长度比等于对应角的正弦值比。
6. 相似三角形的应用：
- 测量不可测量的对象的长度、高度或距离；
- 解决三角形内的几何问题，如角度、边长和面积；
- 应用于比例问题和实际生活中的几何模型。
(完整版)相似三角形-基本知识点+经典例题(完美打印版)
相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d cb =．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ΛΛ，那么b an f d b m e c a =++++++++ΛΛ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
相似三角形模型(全)
面积比等于相似比的平方
如果两个三角形相似，则它们的对应 角相等。
如果两个三角形相似，则它们的面积 比等于它们的相似比的平方。
对应边成比例
如果两个三角形相似，则它们的对应 边成比例。
相似三角形的判定条件
两个三角形对应角相等，则这两个三角形相似。
两个三角形对应边成比例，则这两个三角形相似。
两个三角形有一个对应的角相等，且这个角所对的两边成比例，则这两个三角形相 似。
射影定理还涉及到角度的关系，即 $angle A_1 = angle A_2, angle B_1 = angle B_2, angle C_1 = angle C_2$ 。
在两个相似三角形中，对应边的比例 相等，即$frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} = frac{c_1}{c_2}$。
03
相似三角形的应用
在几何作图中的应用
利用相似三角形确定未知长度
01
通过已知的边长比例关系，利用相似三角形来求解未知的边长
或角度。
确定未知角度
02
通过相似三角形的性质，可以确定未知的角度。
证明定理和性质
03
相似三角形在几何作图中常被用来证明定理和性质，如角平分
线定理、中线定理等。
在解决实际问题中的应用
泰勒斯定理还可以表述为：在任何三 角形中，半周长与内切圆半径之和等 于从三角形一边上的一点到另两边的 垂直距离之和。
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测量问题
在测量中，可以利用相似三角形 的性质来计算难以直接测量的距
离和高度。
建筑设计
在建筑设计中，可以利用相似三角 形来计算建筑物的尺寸和比例。
物理学应用
在物理学中，可以利用相似三角形 来解释和计算光学、力学等问题。
相似三角形知识点总结
相似三角形知识点总结相似三角形是初中数学中的重要内容之一，学好相似三角形的知识对于解决各种几何问题非常有帮助。
相似三角形包含了多个知识点，接下来将对这些知识点进行总结。
1. 相似三角形的定义和判定相似三角形的定义是：如果两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
用符号表示为∆ABC∼∆DEF。
判定两个三角形相似的方法有几种：（1）AAA相似判定法：如果两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形相似。
（2）SAS相似判定法：如果两个三角形的一个角相等，而这个角的两边分别与另一个角的两边成比例，则这两个三角形相似。
（3）SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边分别成比例，则这两个三角形相似。
2. 相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等。
相似三角形的对应角相等是相似的基本性质，也是判定相似三角形的一个重要标志。
如果两个三角形的对应角分别相等，那么这两个三角形就是相似的。
（2）相似三角形的对应边成比例。
相似三角形的对应边成比例是相似三角形的另一个重要性质。
即使两个三角形的对应边依次成比例，那么这两个三角形就是相似的。
（3）相似三角形的边比例与面积比例的关系。
如果两个三角形相似，那么它们的边比例的平方等于它们的面积比例。
即若∆ABC∼∆DEF，则AB/DE = BC/EF = AC/DF，并且[(AB/DE)^2] = [(BC/EF)^2] = [(AC/DF)^2] = ∆ABC的面积/∆DEF的面积。
3. 相似三角形中的一些重要定理（1）相似三角形的高定理如果两个三角形相似，那么它们的高也成比例。
具体地说，若∆ABC∼∆DEF，则(AD/DF) = (BE/EF) = (CF/DF)，其中AD、BE和CF分别是∆ABC和∆DEF的高。
（2）相似三角形的角平分线定理如果两个三角形相似，那么它们的内角的角平分线也成比例。
具体地说，若∆ABC∼∆DEF，则∠BAC的平分线与∠EDF的平分线相交于点K，而∠ABC的平分线与∠DEF的平分线相交于点L，则AK/KE = BL/LF。
相似三角形分类整理(超全)(最新整理)
第二节：相似三角形的判定(一)相似三角形：定义1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比。
④两个钝角三角形是否相似，首先要满足两个钝角相等的条件。
2、相似三角形对应边的比叫做相似比．温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．温馨提示： ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．例1.如图三角形ABC中，点E为BC的中点，过点E作一条直线交AB于D点，与AC 的延长线将于F点，且FD=3ED，求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定： 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．温馨提示： ①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似； ②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛． ③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．直角三角形的身射影定理：AC2=AD*AB CD2=AD*BD BC2=BD*AB总结：寻找相似三角形对应元素的方法与技巧 正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法： (1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边； (2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．2、常见的相似三角形的基本图形： 学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：，B Q图A DP1P22.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
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第一节 第二节第十一节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c,A D aB E bC F c可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝dc，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果dcb a =，那么ad=bc 。
如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），C那么dc b a =。
②合比性质：如果d c b a =，那么ddc b b a ±=±。
③等比性质：如果d c b a ==•••=n m (b+d+•••+n ≠0)，那么ban d b m c a =+•••+++•••++④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad.典例剖析例1：① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km.② 若b a =32 则b b a +=__________. ③ 若 b a b a -+22=59则a ：b=__________.3．相似三角形的判定（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
（3）三边对应成比例的两个三角形相似。
补充：相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
注意：适用此方法的基本图形，(简记为A 型，X 型) (3)三边对应成比例的两个三角形相似。
(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
(5)两角对应相等的两个三角形相似。
(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。
(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。
【基础练习】（1）如图1，当 时，△ABC ∽ △ADE（2）如图2，当 时， △ABC ∽ △AED 。
（3）如图3，当 时， △ABC ∽ △ACD 。
A BCDEABCDECC小结：以上三类归为基本图形：母子型或A 型（3）如图4，如图1，当AB ∥ED 时，则△ ∽△ 。
（4）如图5，当 时，则△ ∽△ 。
小结：此类图开为基本图开：兄弟型或X 型典例剖析例1：判断①所有的等腰三角形都相似． （ ） ②所有的直角三角形都相似． （ ） ③所有的等边三角形都相似． （ ） ④所有的等腰直角三角形都相似． （ ） 例2：如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E,交BC 的延长线于F求证： △ABF ∽ △CAF.DC BD E'例3：如图：在Rt △ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，若AB=6 ；AD=2；则AC= ；BD= ；BC= ；例3：如图：在Rt △ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D ，若E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，求证：AB : AC=DF : BF第二节：相似三角形的判定(一)相似三角形：定义1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．温馨提示：①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比。
④两个钝角三角形是否相似，首先要满足两个钝角相等的条件。
2、相似三角形对应边的比叫做相似比．温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．温馨提示：①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；DCBAFDE C A②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．温馨提示：①有平行线时，用上节学习的预备定理；②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．例1.如图三角形ABC中，点E为BC的中点，过点E作一条直线交AB于D 点，与AC的延长线将于F点，且FD=3ED，求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．温馨提示：①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛．③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．直角三角形的身射影定理：AC2=AD*AB CD2=AD*BD BC2=BD*AB总结：寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；(2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3)“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE∽△ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的．．第三节相似三角形中的辅助线一、作平行线例1. 如图，∆A B C的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：BFCFBDCE=BDA CF E例2. 如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB ·DF=AC ·EF 。
二、作垂线例3.如图从 ABCD 顶点C 向AB 和AD 的延长线引垂线CE 和CF ，垂足分别为E 、F ，求证：2AC AF AD AE AB =⋅+⋅ 三、作延长线例4. 如图，在梯形ABCD 中，AD 且四边形AHCD 的面积为21，求△例5. 如图，Rt∆ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC 于F，FG⊥AB于G，求证：FG2=CF•BF四、作中线∆中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。
例6 如图，ABC五、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．1、等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。
然后再应用三点定形法确定相似三角形。
只要代换得当，问题往往可以得到解决。
当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。
例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。