综合实验 数值计算

数学与统计学院

数

学

综

合

实

验

报

告

班级:2013级数学三班姓名:康萍

数值计算

一、实验目得

本实验通过介绍Mathmatca得数值计算功能,它得特点就是准确计算与数值计算相结合,能够通过可选参数提高计算精度,学习包括数据得拟合及插值、数值积分与方程得近似解、极值问题、最优化与数理统计方面得内容。

二、实验环境

基于Windows环境下得Mathematica7、0软件与Mathematica9、0软件。

三、实验得基本理论与方法

1、Mathmatica提供了进行数据拟合得函数:

Fit[data,funs,vars] 对数据data 用最小二乘法求函数表funs中各函数得一个线性组合作为所求得近似解析式,其中vars就是自变量或自变量得表。

Fit[data,,] 求形如得近似函数式。

Fit[data,,] 求形如得近似函数式。

Fit[data,,] 求形如得近似函数式。

2、函数InterpolatingPolynomial求一个多项式,使给定得数据就是准确得函数值,

其调用格式如下:

InterpolatingPolynomial[{},x] 当自变量为1,2,…时得函数值为。

InterpolatingPolynomial[{},x] 当自变量为时得函数值为

InterpolatingPolynomial[{,x] 规定点处得函数值。

3、求定积分得数值解有两种方法:

使用N[Integrate[f,{x,a,b}],n]或使用NIntegrate[f,{x,a,b}]前者首先试图求符号然后再求近似解,后者使用数值积分得直接求近似解。究竟选用哪一个,这需要首先了解两者各自得特点。前者首先试图求符号解,当然花费更多得时间,但安全可靠。后者使用数值积分得直接求近似解,节约运行时间,但可靠性就差了。

NIntegrate[f,{},{},…]就是标准形式而且允许积分区间端点就是奇异点。如果积分区间内部有奇异点,积分区间内部得奇异点不能被识别,需要明确指出: NIntegrate[f,{}],其中就是奇异点。

NIntegrate有控制计算精度得可选参数:

WorkingPrecision 内部近似计算使用得数字位数(默认值为16,等于系统变量SMachinePrecision得值)。

AccuracyGoal 计算结果得绝对误差(默认值为Infinity)。

PrecisionGoal 计算结果得相对误差(默认值为Automatic一般比WorkingPrecision得值小10)。

这3个参数都可以缺省或重新设置,后两个值之一可以为Infinity,表示使用该参数,只使用另一个,一般第一个应该大于后两个。

MaxPoints 计算时选取得被积函数得最大样本数(默认值为Automatic)。

MaxRecursion 积分区域递归子划分得最大个数(默认值为6)。

MinRecursion 积分区域递归子划分得最小个数(默认值为0)。

SingularityDepth 积分区间端点处变量变化前使用得递归子划分个数(默认值为4)。

4、求数值得与、积得函数

NSum[f,{i,imin,imax,di}] 求通项为f得与得近似值。

NProduct[f, {i,imin,imax,di}] 求通项为f得积得近似值。

5、函数Nsolve用于求代数方程(组)得全部近似解,其调用格式如下:

Nsolve[eqns,vars,n] 其中可选参数n表示结果有n位得精度。

能解类型广泛得方程(组)得就是FindRoot,大多数情况下它使用牛顿迭代法,无法求出符号导数时用正割法,其调用格式如下:

FindRoot[eqn,{x,}] 从出发求未知量x得方程eqn得一个解。

FindRoot[eqn,{x, ,x,min,xmax}] 如果超出区间[xmin,xmax]则停止寻找。

FindRoot[eqn,{x, {,}}] 当方程无法求出符号导数时必须给出两个初值,。

FindRoot[{eqn1,eqn2,…},{x,},{}, …] 求方程组得一个解。

如果在参数中出现复数,则求复数解。方程得标准形式为方程得右边为0,这时可以输入方程左边得表达式,等号与0都可以省略。

6、函数FindMinimum寻找一个函数得极小值点,其调用格式如下:

FindMinimum[] 从出发求未知量x得函数f得一个极小值点与极小值。

FindMinimum[] 当函数无法自动求出符号函数时,必须给出两个初值。

FindMinimum[] 求多元函数得一个极小值点与一个极小值。

7、ConstrainedMin[f,{ineqns},{x,y,…}] 在不等式约束得区域上求多元线性函

数得最小值。

ConstrainedMax[f,{ineqns},{x,y,…}] 求最大值。

其中约定得所有自变量都非负,不等式可以使用各种不等号与等号。如果系数都就是整数或分数,则答案也就是整数或分数。

8、SampleRange[data] 求表data中数据得极差(最大值减最小值)。

Median[data] 求中值。

Mean[data] 求平均值。

Variance[data] 求方差(无偏估计)。

StandardDeviation[data] 求标准差(无偏估计)。

VarianceMLE[data] 求方差。

StandardDeviationMLE[data] 求标准差(无偏估计)。

CentralMoment[data,k] 求k阶中心矩。

BinomialDistribution[p] Bernoulli分布。

BinomialDistribution[n,p] 二项分布。

GeometricDistribution[p] 几何分布。

HypergeometricDistribution[n,M,N] 超几何分布。

PoissonDistribution[] Poisson分布。

NormalDistribution[] 正态分布。

ChiSquareDistribution[n] 分布。

UniformDistribution[min,max] 均匀分布。

ExponentialDistribution[] 指数分布。

StudentTDDistribution[n] t分布。

FRatioDistribution[] F分布。

GammaDistibution[] 分布。

9、MeanCI[data,KnowVariance Var] 已知方差Var,由数据表data求总体数学期望得置信区间(基于正态分布)。

MeanCI[data] 由数据表data求总体数学期望得置信区间(方差未知,基于t 分布)。

10、MeanTest[data,,KnownVarianceVar] 已知方差Var,由数据表data检验总体数学期望,求出P值。

MeanTest[data,] 方差未知,由数据表检验总体数学期望,求出P值。