第10章 方差分析与试验设计1
实验设计的方差分析与正交试验
实验设计的方差分析与正交试验一、实验设计中的方差分析方差分析（analysis of variance，ANOVA）是一种统计方法，用于比较不同组之间的均值差异是否具有统计学上的显著性。
在实验设计中，方差分析主要被用来分析因变量（dependent variable）在不同水平的自变量（independent variable）中的变化情况。
通过比较不同组之间的方差，判断是否存在显著差异，并进一步分析差异的原因。
1. 单因素方差分析单因素方差分析是最简单的方差分析方法，适用于只有一个自变量的实验设计。
该方法通过比较不同组之间的方差来判断各组均值是否有差异。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差和组间方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
2. 多因素方差分析多因素方差分析是在单因素方差分析的基础上，增加了一个或多个自变量的情况下进行的。
这种方法可以用来分析多个因素对因变量的影响，并判断各因素的主效应和交互效应。
步骤如下：（1）确定研究目的，选择合适的因变量和多个自变量。
（2）设计实验，确定各组的样本个数。
（3）进行实验，并收集数据。
（4）计算各组的平均值和总平均值。
（5）计算组内方差、组间方差和交互方差。
（6）计算F值，通过计算F值来判断各组均值是否有显著差异。
二、正交试验设计正交试验设计是一种设计高效实验的方法，可以同时考虑多个因素和各个因素之间的交互作用，并通过较少的试验次数得到较准确的结果。
1. 正交表的基本原理正交表的设计是基于正交原理，即每个因素和其他所有因素的交互效应都是独立的。
通过正交表设计实验，可以确保各因素和交互作用在样本中能够均匀地出现，从而减少误差来源，提高实验结果的可靠性。
2. 正交试验设计的步骤（1）确定要研究的因素和水平。
方差分析与试验设计
方差分析与试验设计方差分析是一种通过比较不同组之间的变差来判断均值差异是否显著的统计方法。
它通常用于试验设计中，用于分析不同处理组间的均值差异是否显著，从而评估不同处理的效果。
试验设计是科学研究中的一项重要工作，旨在通过科学的方法来验证研究假设。
试验设计涉及确定适当的样本大小、确定控制组和实验组、识别并控制潜在的影响因素等。
好的试验设计能够最大程度地减少偏差，提高实验的可靠性和准确性。
在方差分析中，我们通常将变量分为因素变量和响应变量。
因素变量是试验设置的处理组，例如不同的药物剂量或不同的施肥量。
响应变量是实验结果，可以是连续变量（如体重、收益等）或分类变量（如治疗成功与否）。
方差分析的基本原理是计算组内变差与组间变差之比，通过比较比值与理论的F分布来判断差异是否显著。
如果比值较大，则表明组间差异显著，即不同处理组的均值差异明显。
在进行方差分析时，我们需要满足一些前提条件，如独立性、正态性和方差齐性。
如果数据不符合这些条件，我们可以应用一些转换方法或进行非参数检验来处理。
完全随机设计是最简单的试验设计方法之一，它将实验对象随机分配到不同的处理组中。
这种设计方法适用于研究变量之间没有任何关系的情况，其优点是简单易行，但缺点是可能存在一些潜在的影响因素未被控制。
随机区组设计是一种常用的试验设计方法，它将实验对象分组后再随机分配到不同的处理组中。
这种设计方法能够控制部分潜在因素的影响，并提高实验的可靠性和准确性。
Latin square设计是一种更加复杂的试验设计方法，它在随机区组设计的基础上增加了均衡性。
Latin square设计通过交叉安排处理组和区块，使得每个处理出现在每个区块中，从而进一步控制潜在因素的影响。
除了上述常见的试验设计方法外，还有其他一些高级试验设计方法，如因子分析设计、回归分析设计等。
这些方法可以根据实验的具体要求来选择和应用。
综上所述，方差分析和试验设计是统计学中重要的概念和方法。
方差分析选择题及答案
第10章 方差分析与试验设计三、选择题1.方差分析的主要目的是判断 （ ）。
Ａ. 各总体是否存在方差Ｂ. 各样本数据之间是否有显著差异Ｃ. 分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 Ｄ. 分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 2.在方差分析中，检验统计量Ｆ是 （ ）。
Ａ. 组间平方和除以组内平方和 Ｂ. 组间均方除以组内均方 Ｃ. 组间平方除以总平方和 Ｄ. 组间均方除以总均方 3.在方差分析中，某一水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。
Ａ. 随机误差 Ｂ. 非随机误差 Ｃ. 系统误差 Ｄ. 非系统误差 4.在方差分析中，衡量不同水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。
Ａ. 组内误差 Ｂ. 组间误差 Ｃ. 组内平方 Ｄ. 组间平方 5.组间误差是衡量不同水平下各样本数据之间的误差，它 （ ）。
Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差6.组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它 （ ）。
Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差7.在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定 （ ）。
Ａ. 每个总体都服从正态分布 Ｂ. 各总体的方差相等 Ｃ. 观测值是独立的 Ｄ. 各总体的方差等于08.在方差分析中，所提出的原假设是210:μμ=H = ···=k μ，备择假设是（ ） Ａ. ≠≠H 211:μμ···k μ≠ Ｂ. >>H 211:μμ···k μ> Ｃ. <<H 211:μμ···k μ< Ｄ. ,,:211μμH ···k μ,不全相等9.单因素方差分析是指只涉及 （ ）。
试验的方差分析
结果解释和结论
统计推断
根据方差分析的结果，对自变量对因变量的影响进行统计推断，如 比较不同组间的均值差异、判断组间差异是否显著等。
结果解释
结合实际情境对分析结果进行解释，阐明自变量对因变量的作用机 制。
结论总结
根据分析结果得出结论，提出相应的建议或展望，为实际应用提供 指导。
05 方差分析的局限性
背景
在科学实验、社会科学调查、工业生产等领域，经常需要对 多组数据进行比较，以了解不同条件或处理对结果的影响。 方差分析为此类问题提供了一种有效的解决方案。
方差分析的定义和重要性
定义
方差分析（ANOVA，Analysis of Variance）是一种统计技术，用于比较两个或更多独立样本的均值是否显著不 同。它通过分析数据的方差来检验各组数据的分散程度，判断数据是否受到单一或多个因素的影响。
适合社会科学研究
SPSS在社会科学领域应用广泛，提供了许多针对社会科学研究的统计 方法。
R语言
开放性
R语言是一个开源软件， 用户可以自由获取和使 用源代码，同时也可以 自己编写函数进行数据 分析。
灵活性高
R语言提供了丰富的数 据结构和函数库，可以 灵活地进行各种数据分 析操作。
社区支持强大
R语言拥有庞大的用户 社区，遇到问题可以快 速得到解答和帮助。
样本收集
按照实验设计方案采集样本，确保样本的代表性和随 机性。
数据预处理和模型拟合
数据整理
对收集到的数据进行整理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值 检测与处理等。
数据转换
根据分析需求对数据进行适当的转换，如标准化、对数转换等。
模型拟合
选择合适的方差分析模型，利用样本数据拟合模型，为后续分析提 供依据。
10方差分析与试验设计
10方差分析与试验设计方差分析是一种统计学方法，用于比较多个组之间的均值是否有显著差异。
在实验设计中，方差分析可以用来确定不同处理之间的差异是否由于实验因素的变化引起，同时还可以帮助研究人员确定实验因素对结果的影响程度。
方差分析的一个重要应用是试验设计。
试验设计是一种系统地操纵和控制实验因素的方法，旨在确定因素对结果的影响。
通过合理的试验设计和方差分析，研究人员可以确定实验因素对结果的作用，找出最佳的处理组合，并进一步进行优化和改进。
在试验设计中，常用的方差分析方法有单因素方差分析、多因素方差分析和混合设计方差分析。
单因素方差分析是用于比较一个处理因素对结果的影响是否显著。
在单因素方差分析中，研究人员将被试随机分配到不同的处理组中，并对各组进行实验。
通过方差分析，可以检验不同组之间均值是否存在差异，从而确定处理因素的显著性。
多因素方差分析是用于比较两个或更多处理因素对结果的影响是否显著，并确定各因素之间以及因素与交互作用之间的关系。
在多因素方差分析中，研究人员将被试随机分配到多个处理组中，并对各组进行实验。
通过方差分析，可以判断不同因素和因素交互作用对结果的影响是否显著，并进一步分析因素之间的关系。
混合设计方差分析是将固定效应和随机效应结合起来分析的一种方法，适用于同时考虑因子固定效应和随机效应的情况。
在混合设计方差分析中，研究人员将被试随机分配到不同的处理组中，并对各组进行实验。
通过方差分析，可以确定因子的固定效应和随机效应对结果的影响是否显著，并进一步分析这些效应的大小和方向。
方差分析和试验设计在很多领域中都有广泛的应用。
例如，在医学研究中，可以使用方差分析和试验设计方法来比较不同药物的疗效；在工程领域中，可以用于优化生产过程和改进产品质量；在社会科学研究中，可以用于分析不同因素对人们行为的影响。
总之，方差分析和试验设计是统计学中重要的方法，可以帮助研究人员确定因素对结果的影响，找出最优解，并加以优化和改进。
医学统计学：第十章 常用实验设计方法
分组结果 甲组：4、6、8、11、15号
乙组：3、5、9、12、14号
和检验、Ridit 分析、有序变量的 logistic 回归 模型和有序变量的对数线型模型等。 (2)若比较各样本不同等级构成情况，用 2 检验。
14
4.双向有序且属性不同资料的比较 (1)若分析两变量是否存在线性相关关系时，用 等级相关分析或 Pearson 列联系数。 (2)若分析两变量是否存在直线变化趋势时，用 线性趋势检验。 5.双向有序且属性相同资料的一致性检验，用
丙组：1、2、7、10、13号
10
11
（二）统计分析
数值变量资料
1．两样本比较 (1)小样本时 ①两样本来自正态分布总体且总 体方差相等时，用成组设计的两样本均数比较的
t 检验；②两样本来自非正态总体或总体方差不
等时，通过变量变换使数据呈正态或方差齐后，
再用成组设计的两样本均数比较的 t 检验；若仍 达不到 t 检验的应用条件时，可选用 t' 检验或成
18 1 10 13 17 2 0 3 8 15 7 4 19 12 5 14 9 11 6 16
动物编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 随机数字 1 2 0 3 8 7 4 5 9 6 组 别甲乙乙甲乙甲乙甲甲乙
分组结果 甲组：1、4、6、8、9号小鼠 乙组：2、3、5、7、10号小鼠
17
随机分组
1.1 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 9.1 10.1 小鼠编号
正交试验设计中的方差分析
目的
通过方差分析，可以确定不同组之间 的平均值差异是否由随机误差引起， 还是由处理因素或自变量引起。
方差分析的数学模型
数学模型
方差分析使用数学模型来描述数据之间的关系，特别是不同组之间的平均值差异。模型通常包括组间差异和组内 差异两部分。
医学研究
通过正交试验设计中的方差分析，研究不同治疗方案、药物剂量等因素对疾病治疗效果的影响，为临床 治疗提供科学依据。
方差分析的局限性
04
方差分析对数据的要求
独立性
数据必须是相互独立的，不存 在相互关联或依赖关系。
正态性
数据应符合正态分布，才能保 证统计推断的准确性。
同方差性
各组数据的方差应相等，否则 可能导致误判。
制定试验方案
根据正交表设计试验方案，确定每个因素的每个 水平。
实施试验
按照试验方案进行试验，记录每个试验的结果。
方差分析
利用方差分析法对试验结果进行分析，确定各因 素对试验结果的影响程度和显著性。
优化方案
根据方差分析结果，优化试验方案，进行下一步试验。
方差分析的基本原理
02
方差分析的定义与目的
定义
拉丁方设计方差分
析
适用于需要控制试验条件的试验， 通过拉丁方设计平衡试验条件和 试验误差。
正交试验设计中的方差分析步骤
确定试验因素和水平
根据研究目的和实际情况确定试验因 素和水平。
制定正交表
根据试验因素和水平选择合适的正交 表。
安排试验
按照正交表进行试验，记录试验数据。
方差分析
对试验数据进行方差分析，包括自由 度、离均平方和、均方、F值等计算。
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10.1.3 方差分析中的基本假定 1.每个总体都应服从正态分布
• 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态 分布总体的简单随机样本。
• 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布 2.各个总体的方差必须相同
• 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽 取的
10.2 单因素方差分析
10.2.1 数据结构
观察值 ( j )
1 2 : : n
水平A1
x11 x21 : : xn1
因素(A) i
水平A2
…
x12
…
x22
…
:
:
:
:
xn2
…
水平Ak
x1k x2k : : xnk
10.2.2 分析步骤
1.提出假设
• 一般提法 H0: m1 = m2 =…= mk (因素有k个水平） H1: m1 ，m2 ，… ，mk不全相等
身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的， 称为系统误差
2.两类方差 （1）组内方差（误差平方和 、残差平方和、 SSE）
– 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 – 比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差 – 组内方差只包含随机误差
（2）组间方差（因素平方和、SSA）
– 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 – 比如，四种颜色饮料销售量之间的方差 – 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
水平A ( i ) 粉色(A2) 橘黄色(A3)
绿色(A4)
1
26.5
31.2
27.9
30.8
方差分析与实验设计
方差分析与实验设计方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异是否显著。
它是实验设计中常用的一种方法，可以帮助研究者确定实验结果是否受到不同因素的影响，并进一步分析这些因素对实验结果的贡献程度。
实验设计是科学研究中的重要环节，它涉及到如何选择实验对象、确定实验因素、设计实验方案等问题。
合理的实验设计可以提高实验的可靠性和有效性，减少误差的影响，从而得到更准确的结论。
一、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组间变异与组内变异的大小来判断不同因素对实验结果的影响是否显著。
组间变异是指不同组之间的差异，组内变异是指同一组内部的差异。
如果组间变异显著大于组内变异，说明不同组之间的差异是由于实验因素的影响，而不是由于随机误差的影响。
二、方差分析的步骤方差分析的步骤主要包括：确定实验因素、选择实验对象、设计实验方案、收集数据、计算方差、进行假设检验和结果解释等。
1. 确定实验因素：首先需要明确研究的目的和问题，确定需要研究的实验因素。
实验因素是指可能对实验结果产生影响的变量，比如不同处理、不同时间、不同地点等。
2. 选择实验对象：根据实验因素的不同水平，选择适当的实验对象。
实验对象应该具有代表性，能够反映出实验因素对实验结果的影响。
3. 设计实验方案：根据实验因素的不同水平，设计实验方案。
常用的实验设计方法有完全随机设计、随机区组设计、因子设计等。
4. 收集数据：按照实验方案进行实验，收集实验数据。
数据的收集应该准确、全面、可靠。
5. 计算方差：根据收集到的数据，计算组间变异和组内变异的大小。
常用的方差计算方法有单因素方差分析、双因素方差分析等。
6. 进行假设检验：根据计算得到的方差值，进行假设检验。
常用的假设检验方法有F检验、t检验等。
7. 结果解释：根据假设检验的结果，解释实验结果。
如果差异显著，则说明实验因素对实验结果有显著影响；如果差异不显著，则说明实验因素对实验结果没有显著影响。
第10章 一般线性模型
B 55 65 75 65 62 56 61 59 60
C 90 95 100 71 75 85 67 78 89
分析：组间效应检验表，a催化剂，F=177.818，
P=0.000<0.01，按照α=0.05的水准，认为不同 的催化剂对该化合物的转化率不同。B（温 度），F=12.152，P=0.001<0.01，按照 α=0.05的水准，认为对于同一催化剂，不同温 度该化合物的转化率不同。
10.5 重复测量设计资料的方差分 析
重复测量设计资料的方差分析是对同一因变量
进行重复测量，可以是同一条件下进行的重复 测量，目的在于分析各处理组间是否存在统计 学意义的同时，分析受试者之间的差异、受试 者几次测量之间的差异及受试者与各处理组间 的交互效应。
例10-14
（书253）已知三组贫血患者，其血红 蛋白浓度及红细胞计数如表所示，试进行单因 素多元方差分析。
例10-8 （书229）研究镉作业工人暴露于烟尘的年数与肺 活量的关系，按暴露年数将工人分为两组：甲组暴露>=10 年，乙组暴露<10年，两组工人的年龄未经控制，其中x代 表年龄（岁），Y代表肺活量（升）。试进行方差分析， 问两组暴露于镉作用工人的平均肺活量是否相同？
分析：组件效应检验表，校正模型的F检验，
既可以分析各因素的主效应，又可以分析交互
作用
例10-2 （书215）治疗缺铁性贫血患者12例，分为4组给予不 同的治疗，一个月后观察红细胞增加数，假设甲药为因素A， 用甲药和不用甲药为因素的两个水平；又假设乙药为因素B， 用乙药和不用乙药也为因素的两个水平，次级组各有3各病例。 试问甲药、乙药单独使用的治疗效果如何?甲药、乙药同时使 用的治疗效果又如何？
方差分析
研究总体是什么分布？
这个总体分布的均值、 方差 2/标准差 是多少？
从总体中抽出的部分个体组成的集合称为 样本，样本中的个体数称为样本量，常用 n表示。 在实际中，总体是得不到的/研究费时，往往 是从总体中抽取样本，研究样本，用样本推 断总体。 容量为n的样本可以记为X1 , X2 , …, Xn ， 为相互独立、同分布的随机变量。
两者的比记为： F VA / Ve 当 F F1 ( f A , f e ) 时认为在显著性水平 上因子 A是显著的。
设在一个试验中只考察一个因子A，它 有r个水平，在每一水平下进行m次重复 试验，其结果用 yi1 , yi 2 ,, yim 表示， i=1,2, …, r。 常常把数据列成如下表格 形式： 表 单因子试验数据表 水平 试验数据 和 均值 y1 y11, y12 ,, y1m A1 T1 y , y , , y y2 A2 T2 … … … … y , y , , y yr Ar Tr y T
当 H 不真时，表示不同水平下的指标的均值 有显著差异，此时称因子A是显著的，否则 称因子A不显著。检验这一假设的统计方法 便是方差分析。
0
设在一个试验中只考察一个因子A，它 有r个水平，在每一水平下进行m次重复 试验，其结果用 yi1 , yi 2 ,, yim 表示， i=1,2, …, r。 常常把数据列成如下表格 形式： 表 单因子试验数据表 水平 试验数据 和 均值 y1 y11, y12 ,, y1m A1 T1 y , y , , y y2 A2 T2 … … … … y , y , , y yr Ar Tr y T
张勤主编的(畜牧兽医)生物统计学方面的习题作业及答案
第一章绪论一、名词解释总体个体样本样本含量随机样本参数统计量准确性精确性二、简答题1、什么是生物统计？它在畜牧、水产科学研究中有何作用？2、统计分析的两个特点是什么？3、如何提高试验的准确性与精确性？4、如何控制、降低随机误差，避免系统误差？第二章资料的整理一、名词解释数量性状资料质量性状资料半定量（等级）资料计数资料计量资料二、简答题1、资料可以分为哪几类？它们有何区别与联系？2、为什么要对资料进行整理？对于计量资料，整理的基本步骤怎样？3、在对计量资料进行整理时，为什么第一组的组中值以接近或等于资料中的最小值为好？4、统计表与统计图有何用途？常用统计图、统计表有哪些？第三章平均数、标准差与变异系数一、名词解释算术平均数几何平均数中位数众数调和平均数标准差方差离均差的平方和（平方和）变异系数二、简答题1、生物统计中常用的平均数有几种？各在什么情况下应用？2、算术平均数有哪些基本性质？3、标准差有哪些特性？4、为什么变异系数要与平均数、标准差配合使用？三、计算题1、10头母猪第一胎的产仔数分别为：9、8、7、10、12、10、11、14、8、9头。
试计算这10头母猪第一胎产仔数的平均数、标准差和变异系数。
2、随机测量了某品种120头6月龄母猪的体长，经整理得到如下次数分布表。
试利用加权法计算其平均数、标准差与变异系数。
组别组中值（x）次数（f）80— 84 288— 92 1096— 100 29104— 108 28112— 116 20120— 124 15128— 132 13136— 140 33、某年某猪场发生猪瘟病，测得10头猪的潜伏期分别为2、2、3、3、4、4、4、5、9、12(天)。
试求潜伏期的中位数。
4、某良种羊群1995—2000年六个年度分别为240、320、360、400、420、450只，试求该良种羊群的年平均增长率。
5、某保种牛场，由于各方面原因使得保种牛群世代规模发生波动，连续5个世代的规模分别为：120、130、140、120、110头。
第10章单因素方差分析
第10章单因素方差分析单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options)10.1 单因素方差分析的计量资料[例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT异常人和正常人进行载脂蛋白(mg／dL)测定，结果示于表10—1。
试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50)本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。
已建立SAS数据集文件并保存Sasuser.onewav4。
(1)进入SAS／Win(v8)系统，单击Solutions－Analysis－Analyst，得到分析家窗口。
(2)单击File-open By SAS Name—Sasuser-0neway4—0K，调入数据文件。
(3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A，得到图10—1所示对话框。
本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A—Dependent。
自变量(1ndependent)：B(3种人的组别)，单击B—Independent 。
图10.1 0ne—way ANOV A：0neway4(单因素方差分析)对话框(4)单击Tests按钮，得到图10—2所示对话框。
在此对话框的ANOV A(F—检验)选项中可进行如下设置。
Analysis of variance，方差分析。
Welch’s variance-weighted ANOV A，威尔奇方差—权重方差分析。
Tests for equal variance，相等方差检验，即方差齐性检验。
Barlett’s test，巴特尼特检验。
方差分析
（1.2）
27 May 2020
方差分析
一、单因素方差分析的统计模型：
yij
诸 ij
i ij , j 1, 2,..., mi , i
相互独立，且都服从N
1,（21,..3.）., r,
(0, 2 )
总均值与效应的概念:
1）称诸 i 的平均
为总均值(或一般平均).
2）称第 ia水i=平i -下的为均A值i 的效i 与应总。均1n值ir1m的i 差i :
27 May 2020
方差分析
第26页
➢ 由于组间差异除了随机误差外，还反映了效应间 的差异，故由效应不同引起的数据差异可用组间
偏差平方和 SA r mi ( yi• y )2 表示，也称为 i 1
因子A的偏差平方和(或称为因子A的效应平方 和) ，其自由度为 fA=r1；
27 May 2020
27 May 2020
方差分析
第11页
本例中，我们要比较的是三种饲料对鸡的增肥作用是否相同。为 此，我们把饲料称为因素，记为A，而三种不同的配方称为因素A的三 个水平，记为A1, A2, A3，使用配方Ai下第 j 只鸡60天后的重量用yij表 示，i=1, 2, 3, j=1, 2,, 10。
我们的目的是比较三种饲料配方下鸡的平均重量是否相等，为此， 需要做一些基本假定，把所研究的问题归结为一个统计问题，然后用 方差分析的方法进行解决。
27 May 2020
方差分析
第15页
为对假设（1.1）进行检验，需要从每一水平下的
r
总体抽取样本，设n从 i第1 mi i个水平下的总体获得mi个试验结
果，记 yij 表示第i个总体的第j次重复试验结果。共得如
方差分析
方差分析一、单因素试验的方差分析：在科学试验、生产实践和社会生活中，影响一个事件的因素往往很多。
例如，在工业生产中，产品的质量往往受到原材料、设备、技术及员工素质等因素的影响；又如，在工作中，影响个人收入的因素也是多方面的，除了学历、专业、工作时间、性别等方面外，还受到个人能力、经历及机遇等偶然因素的影响. 虽然在这众多因素中，每一个因素的改变都可能影响最终的结果，但有些因素影响较大，有些因素影响较小. 故在实际问题中，就有必要找出对事件最终结果有显著影响的那些因素. 方差分析就是根据试验的结果进行分析，通过建立数学模型，鉴别各个因素影响效应的一种有效方法.在上一章，我们讨论了具有相同方差的两个正态总体的均值是否有显著差异的检验问题。
在这一章里，将讨论具有相同方差的k (k >2)个正态总体的均值是否有显著性差异的检验问题。
初看起来，这个问题似乎不难解决。
只要运用上一章介绍的T－检验法，将每一对正态总体都检验一次就可以了，然而这样做是不能达到预期目的的。
因为这样做不但非常繁琐，而且往往会导致错误的结论。
例如有5个方差相同的正态C=10对正态总体逐对进总体，要检验它们的均值是否有显著差异，就必须对25行检验，若要求的显著性水平为0.05，那么，每对“μi =μj成立（i≠j）”这个结论是正确的概率为0.95，但是“五个正态总体的均值都相等”这个结论正确的概率却是( 0.95 )10 = 0.5987因此，得到错误结论的概率是1－0.5987=0.4013，这就是说，犯第一类错误的概率将达到40.13.%，这是无法接受的。
如果总体的个数更多，那么犯第一类错误的概率也将更大。
即使只有3个总体，得到错误结论的概率也将达到14.3% 。
从以上的分析，迫使我们寻求另外的方法，将所有的总体一起加以考虑。
而方差分析正是检验同方差的若干正态总体均值是否相等的一种统计方法。
方差分析的方法广泛地运用在工农业生产、科学研究和经营管理中。
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1. 一般提法
• 自变量对因变量有显著影响 2. 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总 体的均值不相等，并不意味着所有的均值 都不相等
•
H1: 1 ，2 ，… ，k不全相等
统计学
(第二版)
构造检验的统计量
构造统计量需要计算 水平的均值 全部观察值的总均值 误差平方和 均方(MS)
统计学
(第二版)
§10.1 方差分析引论
方差分析及其有关术语 方差分析的基本思想和原理 方差分析的基本假定 问题的一般提法
一. 二. 三. 四.
统计学
(第二版)
方差分析及其有关术 语
统计学 什么是方差分析(ANOVA)?
(第二版)
(analysis of variance)
1. 检验多个总体均值是否相等 通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等 2. 研究品质型自变量对数值型因变量的影响
统计学
(第二版)
什么是方差分析?
（一个例子）
某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种，分别为橘 黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、 包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模 相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况。试分析饮料 的颜色是否对销售量产生影响。
1. 检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就 是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同 2. 设1为无色饮料的平均销售量，2粉色饮料的 平均销售量，3为橘黄色饮料的平均销售量， 4为绿色饮料的平均销售量，也就是检验下面 的假设 H0: 1 2 3 4 H1: 1 , 2 , 3 , 4 不全相等 3. 检验上述假设所采用的方法就是方差分析
投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果 这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数 有显著影响
统计学
(第二版)
方差分析的基本假定
统计学
(第二版)
方差分析的基本假定
1. 每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分
2. 各个总体的方差必须相同(方差齐性） 各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的 比如，四个行业被投诉次数的方差都相等 3. 观察值是独立的 比如，每个企业被投诉的次数与其他企业被投诉的次
•
比如，4个行业被投诉次数之间的误差平方和
既包括随机误差，也包括系统误差
统计学 方差分析的基本思想和原理
(第二版)
(均方—MS)
1. 平方和除以相应的自由度 2. 若原假设成立，组间均方与组内均方的数值就应 该很接近，它们的比值就会接近1 3. 若原假设不成立，组间均方会大于组内均方，它 们之间的比值就会大于1 4. 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平 之间存在着显著差异，即自变量对因变量有影响 判断行业对投诉次数是否有显著影响，也就是检验被
统计学
(第二版)
第 10 章 方差分析与 试验设计
统计学
(第二版)
第 10 章 方差分析与 试验设计
§10.1 方差分析的引论
§10.2 单因素方差分析 §10.3 双因素方差分析 §10.4 试验设计初步
统计学
(第二版)
学习目标
1. 2. 3. 4. 5. 6.
解释方差分析的概念 解释方差分析的基本思想和原理 掌握单因素方差分析的方法及应用 理解多重比较的意义 掌握双因素方差分析的方法及应用 掌握试验设计的基本原理和方法
消费者对四个行业的投诉次数
行业 观测值 1 2 3 4 5 6 7 零售业 57 66 49 40 34 53 44 旅游业 68 39 29 45 56 51 航空公司 31 49 21 34 40 家电制造业 44 51 65 77 58
统计学
(第二版)
什么是方差分析?
(例题分析)
1. 分析四个行业之间的服务质量是否有显著差 异，也就是要判断“行业”对“投诉次数” 是否有显著影响 2. 作出这种判断最终被归结为检验这四个行业 被投诉次数的均值是否相等 3. 如果它们的均值相等，就意味着“行业”对 投诉次数是没有影响的，即它们之间的服务 质量没有显著差异；如果均值不全相等，则 意味着“行业”对投诉次数是有影响的，它 们之间的服务质量有显著差异
该饮料在五家超市的销售情况 超市
1 2 3 4 5
无色
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
粉色
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
橘黄色
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
绿色
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
统计学
(第二版)
什么是方差分析?
（例子的进一步分析）
统计学
构造检验的统计量
统计学 不同运动队的平均成绩之间是否有显著差
(第二版)
奥运会女子团体射箭 比赛，每个队有3名 运动员。进入最后决 赛的运动队需要进行 4组射击，每个队员 进行两次射击。这样， 每个组共射出6箭， 4组共射出24箭 在2008年8月10日进 行 的 第 29 届 北 京 奥 运会女子团体射箭比 赛中，获得前3名的 运动队最后决赛的成 绩如下表所示
统计学
(第二版)
§10.2
单因素方差分析
一. 二. 三. 四. 五.
数据结构 分析步骤 关系强度的测量 方差分析中的多重比较 用Excel进行方差分析
统计学
(第二版)
单因素方差分析的数据结构
(one-way analysis of variance)
因素(A) i 水平A1 水平A2 … 水平Ak
X
统计学
(第二版)
方差分析中基本假定
若备择假设成立，即H1: i (i=1，2，3，4)不全相等
– – 至少有一个总体的均值是不同的 四个样本不是来自同一个正态总体
f(X)
3 1 2 4
X
统计学
(第二版)
问题的一般提法
统计学
(第二版)
问题的一般提法
1. 设因素有k个水平，每个水平的均值分别用 1、 2 、 、k 表示 2. 要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如 下假设： H0: 1 2 … k H1: 1 , 2 , ，k 不全相等 3. 设1为零售业被投诉次数的均值，2为旅游业被投诉 次数的均值，3为航空公司被投诉次数的均值，4为 家电制造业被投诉次数的均值，提出的假设为 H0: 1 2 3 4 H1: 1 , 2 , 3 , 4 不全相等
数独立
布总体的简单随机样本 比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布
方差分析中的基本假定 (第二版)
1. 在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否 有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的 4个正态总体的均值是否相等 2. 如果4个总体的均值相等，可以期望4个样本的 均值也会很接近 4个样本的均值越接近，推断4个总体均值相等的
统计学 方差分析的基本思想和原理
(第二版)
(误差平方和—SS)
1. 数据的误差用平方和(sum of squares)表示 2. 组内平方和(within groups) 因素的同一水平下数据误差的平方和
•
比如，零售业被投诉次数的误差平方和
只包含随机误差 3. 组间平方和(between groups) 因素的不同水平之间数据误差的平方和
统计学 方差分析的基本思想和原理
(第二版)
(图形分析)
1. 从散点图上可以看出
– 不同行业被投诉的次数有明显差异 – 同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同
• 家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较 低
2. 行业与被投诉次数之间有一定的关系
– 如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被 投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的 模式也就应该很接近
因子
水平或处理
样本数据
统计学
(第二版)
方差分析的基本思想 和原理
统计学 方差分析的基本思想和原理
(第二版)
80 60
(图形分析)
» ¶ ß Î ý ±Í Ë ´ Ê
40 20 0 0
零售业 1
旅游业 2
航空公司 3
家电制造 5 4
Ð Ò µ
» ¬ ² Í Ð Ò ±Í Ë ´ Ê µ É µ Í µ » ¶ ß Î ý Ä ¢ ã ¼
方差分析中的有关概念 (第二版)
1. 因变量
投诉次数 销售量
统计学
2. 因素或因子(factor) 所要检验的对象 行业是要检验的因素或因子 自变量
方差分析中的有关概念 (第二版)
3. 水平或处理(treatment) 因子的不同表现 零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因
–
•
一个或多个分类尺度的自变量
2个或多个 (k 个) 处理水平或分类
–
– –
一个数值型因变量
单因素方差分析：涉及一个分类的自变量 双因素方差分析：涉及两个分类的自变量
3. 有单因素方差分析和双因素方差分析
统计学
(第二版)
什么是方差分析?
(例题分析)
【例】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在 四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费 者对总共23家企业投诉的次数如下表.四个行业的服务质量 是否有显著的差异
观察值 ( j )
1 2 : : n
x11 x12 : : x1n
x21 x22 : : x2n
… … : : …
xk1 xk2 : : xkn
统计学
(第二版)
单因素方差分析的步骤 • 提出假设 • 构造检验统计量 • 统计决策