第八章 方差分析与正交试验设计
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2 j 1 i 1 s nj s nj
S A ( X j X ) 2 n j ( X j X ) 2
j 1 i 1 j 1
s
n j X j nX 2 —效应平方和
2 j 1
s
SE
2
~ 2 (n s)
定理二 在单因素方差分析模型中，有 s 2 2 （1） E ( S A ) ( s 1) j 1n j j , SE 2 （2） 2 ~ ( n s ) ,此时 E ( S E ) (n . s) 2
检验假设
H 0 : 1 2 s , H 1 : 1 , 2 ,, s 不全相等.
等价于
检验假设
H 0 Байду номын сангаас 1 2 s 0, H 1 : 1 , 2 ,, s 不全为零.
H 0 : 1 2 s 0
水平A j的效 应, 表示水平 A j 下的总体 平均值与总 平均的差异.
s
总平均
j j , j 1,2,, s.
n1 1 n2 2 ns s 0.
原数学模型 X ij j ij , ij～N (0, 2 ), 各 ij 独立,
注: 定理二(2)没有用到假设 H 0 ，因此不论H 0 成立与否，定理二(2)都成立.
证明:
(1) S A
j 1
nj X j
s
s
2
nX 2
E ( S A ) E[ n j X 2j nX 2 ] n j E ( X 2j ) nE ( X 2 )
nj[
因为X ij ～N ( j , 2 ), 所以X ij j～N (0, 2 ).
记X ij j ij , 表示随机误差, 那么X ij 可写成
ij～N (0, 2 ) , 各 ij 独立 , i 1, 2,, n j , j 1, 2,, s , j 与 2 均未知 . 单因素试验方差分析的数学模型
需要解决的问题 H 0 : 1 2 s , 1.检验假设 H 1 : 1 , 2 ,, s 不全相等.
X ij j ij ,
2.估计未知参数1 , 2 ,, s , 2 .
数学模型的等价形式
1 s 记n n j , n j j . n j 1 j 1
2 X ~ N ( , ) ，各 ij j 其二，当假设 H 0 不成时, 个 X ij 的数学期望不同，当然取值也不会一致.
因此，我们想用一个量来刻划各个 X ij之间 的波动程度，并且把引起波动的两个原因区分 开来，这就是方差分析的总偏差平方和分解方 法，并由此构造检验用的统计量.
平方和的分解
s
nj
2 ( X ij X j )( X j X )
j 1 i 1
s
nj
0
ST ( X ij X j ) ( X j X )
2 j 1 i 1 j 1 i 1
s
nj
s
nj
2
SE SA
S E ( X ij X j ) —误差平方和
二 统计分析
►1
假设检验
下面我们来构造检验假设
H 0 : 1 2 s 0
用的统计量. 首先分析一下各个X ij为什么不相等？即引起 X ij 波动（差异）的原因是什么？这里有两个原因：
2 X ~ N ( , )， 其一，当假设 H成立时，有 ij j 0 各个 X ij 的波动完全由重复试验中的随机误差引 起.
平——因素所处的状态.
单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变. 多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
例1 问题分析 倘若使用寿命无显著差异，我们就可以从中 选一种既经济又方便的配料方案；如果有显著差 异，则希望选一种较优的配料方案，以便提高灯 泡的使用寿命. 在每一个水平下进行独立试验,结果是一个随 机变量,将数据看成是来自四个总体的样本值. 设总体均值分别为1, 2 , 3 , 4 .
nj
又由于各 X ij 独立 , 所以由 2 分布的可加性知
S E ～ ( ( n j 1)),
2 2 j 1
s
即 S E 2 ～ 2 ( n s ), 其中n n j .
j 1
s
根据 分布的性质可以得到
2
S E 的自由度为n s ;
E ( S E ) (n s ) 2 .
例4 一火箭用四种燃料,三种推进器作射程试验. 每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得 射程如下（以海里计）. 表 火箭的射程 B1 B2 推进器(B) B3 A1 燃料(A)
58.2 52.6 49.1 42.8 60.1 58.3 75.8 71.5 56.2 41.2 54.1 50.5 70.9 73.2 58.2 51.0 65.3 60.8 51.6 48.4 39.2 40.7 48.7 41.4
假定除机器这一因素外, 其他条件相同, 属于 单因素试验. 试验目的: 考察各台机器所生产的薄板的厚度 有无显著的差异. 即考察机器这一因素对厚度有无 显著的影响.
例3 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）. 表 电路的响应时间 类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ 19 15 20 40 16 17 18 22 21 15 22 20 33 18 19 18 27 26 试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型 水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验 试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无 显著的影响.
(2)
S E ( X ij X j ) 2
j 1 i 1
s
nj
( X i 1 X 1 )2 ( X is X s )2 ,
i 1 i 1
n1
ns
2 2 ( X X ) 是 N ( , )的样本方差的n j 1倍, ij j j i 1 2 2 2 ( X X ) ～ ( n j 1). ij j i 1 nj
1
引
言
在科学试验和生产实际中，影响一事物的因素 往往很多. 例如，在药品生产中，有原料成分、原料比 例、温度、时间、机器设备、操作人员水平等许多 因素，每一个因素的改变都可能影响产品的质量和 数量 . 在众多影响因素中，有的影响较大，有的影 响较小. 因此，常常需要分析哪几种因素对产品质 量和产量有显著影响. 为了解决这类问题，一般需 要做两步工作.
j 1
s
j 1
0
j 1 s
2
nj
( j ) 2 ] n[
s j 1
2
n
2]
s
( s 1) 2 2 n j j n 2 n j j2 n 2
( s 1) 2 n j j2
j 1
s
j 1
S A与S E 独立, H 0为真时, S A / 2～ 2 ( s 1).
1 X X ij n j 1 i 1
s nj
s
nj
—数据的总平均
ST ( X ij X ) 2 —总偏差平方和（总变差）
j 1 i 1
Xj
1 X ij n j i 1
nj
— 水平A j 下的样本平均值
定理一(平方和分解定理）在单因素方差分 析模型中，平方和有如下的恒等式, ST S E S A 注: 定理一的意义是将试验中的总偏差平方和 分解为试验随机误差的平方和与因素A的偏 差平方和.
改写为 i 1, 2,, n j , j 1, 2,, s , j 与 2 均未知 .
X ij j ij , ij～N (0, 2 ), 各 ij 独立 , i 1, 2,, n j , j 1, 2,, s , s n j j 0. j 1
检验假设
H 0 : 1 2 3 4 , H1 : 1 , 2 , 3 , 4不全相等.
进一步假设各总体均为正态变量,且各总体的 方差相等,但参数均未知. 问 题——检验同方差的多个正态总体均 值是否相等.
解决方法——方差分析法,一种统计方法.
例2 设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄 板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结 果如下表所示. 铝合金板的厚度 机器Ⅰ 机器Ⅱ 机器Ⅲ 0.236 0.257 0.258 0.238 0.253 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243 0.261 0.262 试验指标: 薄板的厚度 因素: 机器 水平: 不同的三台机器是因素的三个不同的水平
§1 单因素方差分析
机器设备
原料成分 原料剂量
反应时间
溶液浓度
化工产品的 数量和质量
操作水平
反应温度
压力
4
方差分析按影响试验指标的因素个数进行 分类，可分为: 单因素方差分析 双因素方差分析 多因素方差分析
一
数学模型
1 实例 例1 灯丝的配料方案选优 某灯泡厂用四种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡 ，在每批灯泡中随机地抽取若干个测得其使用寿命（单 位：小时），所得数据如表8—1. 试问：这四批灯丝生产的灯泡，其使用寿命有无显著差异 ？.
表8－1 灯泡使用寿命数据表
在这个例子里，灯泡使用寿命称为试验结果或试验指 标，试验中，除灯丝外其它条件相同，灯丝的配料方案本 身称为因素，四种配料方案称为四个水平，因此本例称为 一个因素四个水平的试验. 2 基本概念
方差分析——根据试验的结果进行分析,鉴别 各个有关因素对试验结果的影响程度.
试验指标——试验中要考察的指标. 因 素——影响试验指标的条件. 因 素 水 可控因素 不可控因素
A2 A3 A4
试验指标: 射程
双因素试验
因素: 推进器和燃料
水平: 推进器有3个,燃料有4个 试验目的: 考察推进器和燃料两因素对射程有 无显著的影响.
数学模型 设因素A有s个水平A1 , A2 ,, As , 在水平A j ( j 1,2,, s )下, 进行n j ( n j 2)次独立试验 , 得到如下表 的结果. 表 9.4 水平 A1 A2 As 观察结果 X 1s X 11 X 12 X 2s X 21 X 22 Xn 1 Xn 2 X ns s 1 2 样本总和 T1 T2 T s 样本均值 X s X 1 X 2 s 1 2 总体均值
2
第一步是设计一个试验，使得这个试验一方面能
很好地反映我们所感兴趣的因素的作用，另一方面 试验的次数要尽可能地少，尽可能地节约人力、物 力和时间.
其次是如何充分地利用试验结果的信息，对我们
所关心的事物（因素的影响）作出合理地推断. ；
前者通常称为试验设计，后者最常用的统计方法
就是方差分析..
假设
1.各个水平A j ( j 1,2,, s )下的样本X 1 j , X 2 j , , X n j j 来自具有相同方差 , 均值分别为 j ( j 1,
2
2,, s )的正态总体N ( j , 2 ), j 与 2均未知;
2.不同水平A j 下的样本之间相互独立 .
证明:
ST ( X ij X ) 2 [( X ij X j ) ( X j X )]2 ( X ij X j ) ( X j X )
2 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 s nj s nj 2 j 1 i 1 s nj
S A ( X j X ) 2 n j ( X j X ) 2
j 1 i 1 j 1
s
n j X j nX 2 —效应平方和
2 j 1
s
SE
2
~ 2 (n s)
定理二 在单因素方差分析模型中，有 s 2 2 （1） E ( S A ) ( s 1) j 1n j j , SE 2 （2） 2 ~ ( n s ) ,此时 E ( S E ) (n . s) 2
检验假设
H 0 : 1 2 s , H 1 : 1 , 2 ,, s 不全相等.
等价于
检验假设
H 0 Байду номын сангаас 1 2 s 0, H 1 : 1 , 2 ,, s 不全为零.
H 0 : 1 2 s 0
水平A j的效 应, 表示水平 A j 下的总体 平均值与总 平均的差异.
s
总平均
j j , j 1,2,, s.
n1 1 n2 2 ns s 0.
原数学模型 X ij j ij , ij～N (0, 2 ), 各 ij 独立,
注: 定理二(2)没有用到假设 H 0 ，因此不论H 0 成立与否，定理二(2)都成立.
证明:
(1) S A
j 1
nj X j
s
s
2
nX 2
E ( S A ) E[ n j X 2j nX 2 ] n j E ( X 2j ) nE ( X 2 )
nj[
因为X ij ～N ( j , 2 ), 所以X ij j～N (0, 2 ).
记X ij j ij , 表示随机误差, 那么X ij 可写成
ij～N (0, 2 ) , 各 ij 独立 , i 1, 2,, n j , j 1, 2,, s , j 与 2 均未知 . 单因素试验方差分析的数学模型
需要解决的问题 H 0 : 1 2 s , 1.检验假设 H 1 : 1 , 2 ,, s 不全相等.
X ij j ij ,
2.估计未知参数1 , 2 ,, s , 2 .
数学模型的等价形式
1 s 记n n j , n j j . n j 1 j 1
2 X ~ N ( , ) ，各 ij j 其二，当假设 H 0 不成时, 个 X ij 的数学期望不同，当然取值也不会一致.
因此，我们想用一个量来刻划各个 X ij之间 的波动程度，并且把引起波动的两个原因区分 开来，这就是方差分析的总偏差平方和分解方 法，并由此构造检验用的统计量.
平方和的分解
s
nj
2 ( X ij X j )( X j X )
j 1 i 1
s
nj
0
ST ( X ij X j ) ( X j X )
2 j 1 i 1 j 1 i 1
s
nj
s
nj
2
SE SA
S E ( X ij X j ) —误差平方和
二 统计分析
►1
假设检验
下面我们来构造检验假设
H 0 : 1 2 s 0
用的统计量. 首先分析一下各个X ij为什么不相等？即引起 X ij 波动（差异）的原因是什么？这里有两个原因：
2 X ~ N ( , )， 其一，当假设 H成立时，有 ij j 0 各个 X ij 的波动完全由重复试验中的随机误差引 起.
平——因素所处的状态.
单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变. 多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
例1 问题分析 倘若使用寿命无显著差异，我们就可以从中 选一种既经济又方便的配料方案；如果有显著差 异，则希望选一种较优的配料方案，以便提高灯 泡的使用寿命. 在每一个水平下进行独立试验,结果是一个随 机变量,将数据看成是来自四个总体的样本值. 设总体均值分别为1, 2 , 3 , 4 .
nj
又由于各 X ij 独立 , 所以由 2 分布的可加性知
S E ～ ( ( n j 1)),
2 2 j 1
s
即 S E 2 ～ 2 ( n s ), 其中n n j .
j 1
s
根据 分布的性质可以得到
2
S E 的自由度为n s ;
E ( S E ) (n s ) 2 .
例4 一火箭用四种燃料,三种推进器作射程试验. 每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得 射程如下（以海里计）. 表 火箭的射程 B1 B2 推进器(B) B3 A1 燃料(A)
58.2 52.6 49.1 42.8 60.1 58.3 75.8 71.5 56.2 41.2 54.1 50.5 70.9 73.2 58.2 51.0 65.3 60.8 51.6 48.4 39.2 40.7 48.7 41.4
假定除机器这一因素外, 其他条件相同, 属于 单因素试验. 试验目的: 考察各台机器所生产的薄板的厚度 有无显著的差异. 即考察机器这一因素对厚度有无 显著的影响.
例3 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）. 表 电路的响应时间 类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ 19 15 20 40 16 17 18 22 21 15 22 20 33 18 19 18 27 26 试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型 水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验 试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无 显著的影响.
(2)
S E ( X ij X j ) 2
j 1 i 1
s
nj
( X i 1 X 1 )2 ( X is X s )2 ,
i 1 i 1
n1
ns
2 2 ( X X ) 是 N ( , )的样本方差的n j 1倍, ij j j i 1 2 2 2 ( X X ) ～ ( n j 1). ij j i 1 nj
1
引
言
在科学试验和生产实际中，影响一事物的因素 往往很多. 例如，在药品生产中，有原料成分、原料比 例、温度、时间、机器设备、操作人员水平等许多 因素，每一个因素的改变都可能影响产品的质量和 数量 . 在众多影响因素中，有的影响较大，有的影 响较小. 因此，常常需要分析哪几种因素对产品质 量和产量有显著影响. 为了解决这类问题，一般需 要做两步工作.
j 1
s
j 1
0
j 1 s
2
nj
( j ) 2 ] n[
s j 1
2
n
2]
s
( s 1) 2 2 n j j n 2 n j j2 n 2
( s 1) 2 n j j2
j 1
s
j 1
S A与S E 独立, H 0为真时, S A / 2～ 2 ( s 1).
1 X X ij n j 1 i 1
s nj
s
nj
—数据的总平均
ST ( X ij X ) 2 —总偏差平方和（总变差）
j 1 i 1
Xj
1 X ij n j i 1
nj
— 水平A j 下的样本平均值
定理一(平方和分解定理）在单因素方差分 析模型中，平方和有如下的恒等式, ST S E S A 注: 定理一的意义是将试验中的总偏差平方和 分解为试验随机误差的平方和与因素A的偏 差平方和.
改写为 i 1, 2,, n j , j 1, 2,, s , j 与 2 均未知 .
X ij j ij , ij～N (0, 2 ), 各 ij 独立 , i 1, 2,, n j , j 1, 2,, s , s n j j 0. j 1
检验假设
H 0 : 1 2 3 4 , H1 : 1 , 2 , 3 , 4不全相等.
进一步假设各总体均为正态变量,且各总体的 方差相等,但参数均未知. 问 题——检验同方差的多个正态总体均 值是否相等.
解决方法——方差分析法,一种统计方法.
例2 设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄 板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结 果如下表所示. 铝合金板的厚度 机器Ⅰ 机器Ⅱ 机器Ⅲ 0.236 0.257 0.258 0.238 0.253 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243 0.261 0.262 试验指标: 薄板的厚度 因素: 机器 水平: 不同的三台机器是因素的三个不同的水平
§1 单因素方差分析
机器设备
原料成分 原料剂量
反应时间
溶液浓度
化工产品的 数量和质量
操作水平
反应温度
压力
4
方差分析按影响试验指标的因素个数进行 分类，可分为: 单因素方差分析 双因素方差分析 多因素方差分析
一
数学模型
1 实例 例1 灯丝的配料方案选优 某灯泡厂用四种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡 ，在每批灯泡中随机地抽取若干个测得其使用寿命（单 位：小时），所得数据如表8—1. 试问：这四批灯丝生产的灯泡，其使用寿命有无显著差异 ？.
表8－1 灯泡使用寿命数据表
在这个例子里，灯泡使用寿命称为试验结果或试验指 标，试验中，除灯丝外其它条件相同，灯丝的配料方案本 身称为因素，四种配料方案称为四个水平，因此本例称为 一个因素四个水平的试验. 2 基本概念
方差分析——根据试验的结果进行分析,鉴别 各个有关因素对试验结果的影响程度.
试验指标——试验中要考察的指标. 因 素——影响试验指标的条件. 因 素 水 可控因素 不可控因素
A2 A3 A4
试验指标: 射程
双因素试验
因素: 推进器和燃料
水平: 推进器有3个,燃料有4个 试验目的: 考察推进器和燃料两因素对射程有 无显著的影响.
数学模型 设因素A有s个水平A1 , A2 ,, As , 在水平A j ( j 1,2,, s )下, 进行n j ( n j 2)次独立试验 , 得到如下表 的结果. 表 9.4 水平 A1 A2 As 观察结果 X 1s X 11 X 12 X 2s X 21 X 22 Xn 1 Xn 2 X ns s 1 2 样本总和 T1 T2 T s 样本均值 X s X 1 X 2 s 1 2 总体均值
2
第一步是设计一个试验，使得这个试验一方面能
很好地反映我们所感兴趣的因素的作用，另一方面 试验的次数要尽可能地少，尽可能地节约人力、物 力和时间.
其次是如何充分地利用试验结果的信息，对我们
所关心的事物（因素的影响）作出合理地推断. ；
前者通常称为试验设计，后者最常用的统计方法
就是方差分析..
假设
1.各个水平A j ( j 1,2,, s )下的样本X 1 j , X 2 j , , X n j j 来自具有相同方差 , 均值分别为 j ( j 1,
2
2,, s )的正态总体N ( j , 2 ), j 与 2均未知;
2.不同水平A j 下的样本之间相互独立 .
证明:
ST ( X ij X ) 2 [( X ij X j ) ( X j X )]2 ( X ij X j ) ( X j X )
2 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 s nj s nj 2 j 1 i 1 s nj