相似三角形的判定-讲义

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相似三角形的判定及性质课件

相似三角形的判定及性质
1.相似三角形 (1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形，相似三角形对应边的比值叫作相似比(或相似系数). (2)记法：两个三角形相似，用符号“∽”表示，例如△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.
2.相似三角形的判定
定理
内容
规律方法直角三角形相似的判定方法很多，既可根据一般三角形相似的判定方法，又有其独特的判定方法，在求证、识别的过程中可由已知条件结合图形特征，确定合适的方法.
要点三相似三角形的性质例 3 如图所示，在△ABC 和△DBE 中，DABB＝BBCE
＝DACE＝53. (1)若△ABC 与△DBE 的周长之差为 10 cm，求 △ABC 的周长； (2)若△ABC 与△DBE 的面积之和为 170 cm2，求△DBE 的面积.
外接(内切)圆的面积相等的平方
要点一相似三角形的判定例 1 如图所示，∠ABC＝∠D＝90°，AC＝a，
BC＝b，当 BD 与 a，b 之间满足怎样的关系时，△ABC 与△CDB 相似？
解 (1)∵∠ABC＝∠CDB＝90°，∴当ABCC＝BBDC时， △ABC∽△CDB.即ab＝BbD，∴BD＝ba2时，△ABC∽△CDB. (2)∵∠ABC＝∠BDC＝90°，∴当ABCC＝BADB时， △ABC∽△BDC，即ab＝ aB2－D b2，∴BD＝b aa2－b2时， △ABC∽△BDC.综上，当 BD＝ba2或 BD＝b aa2－b2时， △ABC 与△CDB 相似.
4.相似三角形的性质定理 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (2)相似三角形周长的比等于相似比. (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.

相似三角形的性质与判定讲义)

相似三角形的性质与判定讲义)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等二、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆．三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

相似三角形的判定全课件

两个三角形如果一个对应角和一组对应边成比例，则这两个三角形相似。
两个三角形如果一组对应边和一个对应角成比例，则这两个三角形相似。
02
CATALOGUE
三角形相似的判定条件
角角角（AAA）判定条件
总结词
不满足相似三角形的判定条件
详细描述
AAA条件仅表明三个角度相等，但边长不一定成比例，因此不能判定三角形相似。
在解决实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计中，可以利用相似三角形来计算建筑物的尺寸和比例。
机械设计
在机械设计中，可以利用相似三角形来计算零件的尺寸和比例。
物理学
在物理学中，可以利用相似三角形来解释和计算物理现象，如光学、力学等。
04
CATALOGUE
三角形相似的证明方法
直接证明法
定义法
根据相似三角形的定义，证明两个三角形三边对应成比例，且三角对应相等，从而判定两个三角
题目2
两个等腰三角形，一个底角为30°，另一个底角为45°，如果一个三角形的顶角为120°，另一个三角形的顶角为 90°，则这两个三角形是否相似？
进阶练习题
总结词
考察三角形相似的复杂判定方法和综合应用
题目1
两个等腰三角形，一个底角为45°，另一个底角为60°，如果一个三角形的顶角为90°，另一个三角形的顶角为120°，则这两个三角形是否相似？
相似比
两个相似三角形的对应边之间的比例称为相似比。
相似三角形的性质
相似三角形对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方。
相似三角形的判定定理
角角判定定理
两个三角形如果两个对应角相等，则这两个三
角形相似。

相似三角形的性质与判定专题讲义

相似三角形的性质与判定专题讲义一、知识梳理（一）、相似三角形的性质：1、相似三角形的对应角，对应边。

2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于。

3、相似三角形对应周长的比等于。

4、相似三角形对应面积的比等于。

注意：在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若果不能确定，则应当进行分类讨论。

（二）、相似三角形的判定：1、判定两个三角形相似的条件：（1）平行截割： _____（2）两角对应相等：（3）两边夹：（4）三边比：_____________________________________2、判定两个三角形相似的一般步骤：（1）先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。

（3）若找不到相等的角，就分析三边是否3、等积式的证明思路遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替；平行线转比例，两端各自拉关系。

二、基础练习1．（2013•重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：162．两相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为32cm2，那么小三角形的面积为（）A．10cm2B．14cm2C．16cm2D．18cm23．如图，已知△ABC，AB=6，AC=4，D为AB边上一点，且AD=2，E为AC边上一点（不与A、C重合），若△ADE与△ABC相似，则AE=（）A．2 B．34C．3或43D．3或344．（2008•毕节地区）已知△ABC的三条长分别为2cm，5cm，6cm，现将要利用长度为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（）A．10cm，25cm，30cmB ．10cm ，30cm ，36cm 或10cm ，12cm ，30cmC ．10cm ，30cm ，36cmD ．10cm ，25cm ，30cm 或12cm ，30cm ，36cm 5．（2010•淄博）在一块长为8、宽为32的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是．6．如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB＝5，求：（1）AGAF；（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；三、重难点高效突破专题一：计算线段的长度或线段之间的比在几何中线段长度计算常用的方法是：1、运用勾股定理计算；2、运用相似三角形对应边成比例计算；3、综合运用进行计算。

相似三角形的判定-完整版PPT课件

课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
A′ A
B
C
B′
C′
AB A'B'
=
BC B'C'
= CA C'A'
△ABC∽△A'B'C'
课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
问题2：运用所学知识，证明你的结论.
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，AB = BC = CA A'B' B'C' C'A'
BD BC DC 3 A
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
14 B
D
31.5 21
42
C
课堂小结
判定定理1
三边成比例的两个三角形相似．
相似三角形的判定
判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
练一练：如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，
要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ C ）
A. AC AB
AD AE
B. AC BC
AD DE
C. AC AB
AD DE
D. AC BC
AD AE
随堂练习
1.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形
=
AB AD
=
BC DE
，
∴△ABC∽△ADE.
随堂练习
5.如图，已知AD·AC=AB·AE. （1）求证：△ADE∽△ABC;
证明：∵AD·AC=AB·AE，

《相似三角形》最全讲义(完整版)

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。

a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d cb a =4、比例外项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。

5、比例内项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：c da b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a ．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

相似三角形的判定讲义

相似三角形的判定一、知识点讲解判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

判定定理2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。

判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。

理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应例1 （11A 、1对2A C 例2 1A 、∠2∽△MCP 例3 如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）变式练习：1、在△ABC和△A＇B＇C＇中，AB=3cm，BC=6cm，CA=5cm，A＇B＇=3cm，B＇C＇=2.5cm，A＇C＇=1.5cm，则下列说法中，错误的是（）A、△ABC与△A＇B＇C＇相似B、AB与A＇B＇是对应边C、相似比为2：1D、AB与A＇C＇是对应边2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A、B、C、D、E、F都是格点，试证明：△ABC∽△DEF。

（二）判定定理的运用例4 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接EC，过点E作直线EF交AB于点F。

当EF 与CE满足什么条件时，△AEF与△DCE相似？并说明理由。

变式练习：1、如图，在△ABC中，∠ADE=∠C，则下列等式成立的是（）ADAB23。

求证：FD2=FG1是（A、1个2点E，则3BCD；②AB：）A、1个4A、∠5A、△6A、∠B、∠C、∠C=∠E=30°，AB=8cm，BC=4cm；DF=6cm，FE=3cmD、∠A=∠A＇，且AB·A＇C＇=AC·A＇B＇7、如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1,BD=4，那么AB= 。

8、如图，在□ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形。

第7题第8题第9题第10题第11题9、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为。

相似三角形的性质与判定讲义)讲解学习

相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等二、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆． (2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆．三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． EDCBA(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

《相似三角形》最全讲义(完整版)

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。

a叫做比的前项，b叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。

ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。

ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。

ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。

8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （把比的前项、后项交换）3.更比性质（交换比例的内项或外项）：a b，（交换内项） cdcd c，（交换外项） db a d b．（同时交换内外项） ca4.合比性质：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1）此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．（2）应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质：如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0），那么知识点三：黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。

相似三角形的判定全ppt课件

2024/1/27
5
相似三角形性质总结
对应边成比例
相似三角形的对应边之比等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例
相似三角形的对应高、中线、角平分线之比也等于相似比。
周长比等于相似比
相似三角形的周长之比等于相似比。
2024/1/27
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
6
02
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
1
目录
2024/1/27
• 相似三角形基本概念及性质 • 判定方法一：两边成比例且夹角相等 • 判定方法二：三边成比例 • 判定方法三：直角三角形中斜边和一直角边成
比例 • 综合运用及拓展延伸 • 课堂小结与作业布置
2
01
相似三角形基本概念及性质
2024/1/27
判定方法一：两边成比例且夹角相等
2024/1/27
7
定理内容阐述
01
02
03
定理描述
如果两个三角形有两边成比例，并且夹角相等，则这两个三角形相似。
2024/1/27
定理条件
两个三角形中，任意两边长度之比等于另两边长度之比，且这两边所夹的角相等。
定理
8
18
05
综合运用及拓展延伸
2024/1/27
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不同判定方法之间的联系与区别
角角角（AAA）相似
三个内角分别相等，则两个三角形相似。此方法简单易行，但需注意AAA 相似不能推出边长成比例。
边角边（BAB）相似
两边成比例且夹角相等，则两个三角形相似。此方法结合了边的长度和角的大小，较为常用。

相似三角形的判定课件优秀课件

性质
相似三角形的对应边成比例，对应角相等，面积比等于相似比的平方。
判定条件
02
01
03
两角分别相等的两个三角形相似。两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。三边成比例的两个三角形相似。
相似比与相似度
相似比
相似三角形的对应边之间的比值称为相似比。
相似度
用来衡量两个三角形相似的程度，通常用相似比来表示。相似度越高，两个三角形越相似。
THANK YOU
感谢聆听
构建相似三角形，利用比例关系求解线段长度。
应用勾股定理和相似三角形的性质，求解直角三角形中的线段长度。
求解角度问题
利用相似三角形的对应角相等，通过已知角度求解未知角度。
通过构建相似三角形，利用角度之间的和、差、倍、半关系求解角度问题。
结合三角形的内角和性质，利用相似三角形求解复杂的角度问题。
直角三角形相似判定
对于两个直角三角形，如果它们的一个锐角相等，则这两个三角形相似。这是因为直角三角形的锐角决定了其余两个角的大小，因此一个锐角相等就意味着三个角都相等。
等腰三角形相似判定
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三角形相似。这是因为等腰三角形的顶角决定了其余两个底角的大小，因此顶角相等就意味着三个角都相等。
求解面积问题
利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，通过已知面积求解未知面积。
通过构建相似三角形，利用面积之间的比例关系求解面积问题。
结合其他几何知识，如平行四边形的面积公式等，利用相似三角形求解复杂的面积问题。
04
相似三角形在代数问题中应用
利用相似三角形性质解方程
通过相似三角形的对应边成比例，将几何问题转化为代数方程。

相似三角形的判定定理完整版课件-2024鲜版

与向量结合应用
向量是数学中的重要工具之一，而相似三角形与向量也有着紧密的联系。在解决一些与向量相关的问题时，可以利用相似三角形的性质来简化计算或证明过程。
2024/3/28
与不等式结合应用
在一些复杂的数学问题中，可能需要将相似三角形的性质与不等式知识结合起来应用。例如，在证明一些与线段长度或面积相关的不等式时，可以利用相似三角形的性质来构造不等式并进行证明。
14
练习题与答案
答案
1. 是。因为$frac{DE}{D'E'} = frac{4}{2} = 2$，$frac{EF}{E'F'} = frac{5}{3}$且 $frac{DF}{D'F'} = frac{6}{4} = frac{3}{2}$，三边对应比例相等。
2. 是。因为$frac{GH}{G'H'} = frac{7.5}{6} = frac{5}{4}$，$frac{HI}{H'I'} = frac{10}{8} = frac{5}{4}$且$frac{GI}{G'I'} = frac{12.5}{10} = frac{5}{4}$，三边对应比例相等。
相似三角形定义及性质
2024/3/28
定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，且对应高、对应中线、对应角平分线等也成比例。
4
对应角与对应边关系
对应角
两个相似三角形中，相等的角是对应角。
对应边
两个相似三角形中，成比例的边是对应边。在写对应边成比例时，要注意写清对应边的顺序。
2024/3/28

相似三角形的判定和性质联合讲义

学科教师辅导讲义1.如图Rt△ABC 中,∠ACB=，点E 是BC 的延长线的一点,EF⊥AB 于F,∠CGB=∠A.求证：CG•BE=EG•BG.2.如图,111CC BB AA 、、相交于O, AB∥11B A ,BC∥11C B ，求证：（1）AC∥A 1C 1 ；（2）△ABC∽△A 1B 1C 1 .3.如图，在△ABC 中,AB=AC,D 、E 分别是AC 及AC 延长线上的点,连接BD 、BE,已知AC 2=AD•AE，求证:BC 平分∠DBE .4.如图，正方形ABCD 中，P 是BC 上一点,且BP=3PC ，Q 是CD 的中点.求证: △ADQ∽△QCP.5.已知△ABC 中,AB=5,AC=4,BC=3,点D 是AB 上的一点,∠B=∠EDC,BCDCAB DE,DE 交AC 于点F.设CD=x , △EDC 的周长为y.求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.6.如图，AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=16,BD=20,一动点P 从B 向D 运动,问当P 离B 多远时,△PAB 与△PCD 是相似三角形?试求出所有符合条件的P 点的位置.经典例题：【例1】如图，点O 是△ABC 的两条角平分线的交点，过O 作AO 的垂线交AB 于D 。

求证：△OBD ∽△CBO 。

例1图54321OD CB A变式1：已知如图，在△ABC 中，AD ＝AE ，AO ⊥DE 于O ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，BO 平分∠ABC 。

求证：BC BD BO⋅=2。

变式1图OE DCBA变式2：已知如图（同变式1图），在△ABC 中，O 为两内角平分线的交点，过点O 作直线交AB 于D ，交AC 于E ，且AD ＝AE 。

求证：（1）△BDO ∽△OEC ；（2）CE BD DO ⋅=2。

【例2】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝900，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 中点，DE 交BA 的延长线于F 。

相似三角形判定讲课逐字稿

相似三角形判定讲课逐字稿同学们，今天我们要一起探讨一个非常有趣的几何学话题——相似三角形的判定。

相似三角形是几何学中一个重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在日常生活中也随处可见。

那么，我们如何判断两个三角形是否相似呢？这就是我们今天要学习的重点内容。

首先，让我们来看第一个判定相似三角形的方法——角角相似（AA）。

如果两个三角形有两个角相等，那么这两个三角形就是相似的。

这个判定方法的依据是三角形内角和定理，即任何一个三角形的内角和都是180度。

如果两个三角形有两个角相等，那么第三个角也必然相等，因为它们必须加起来等于180度。

这样，两个三角形的所有对应角都相等，所以它们是相似的。

接下来，我们来看第二个判定方法——边边边相似（SSS）。

如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形就是相似的。

这个方法的依据是相似三角形的性质，即相似三角形的对应边是成比例的。

通过测量两个三角形的边长，我们可以判断它们是否相似。

第三个判定方法是边角边相似（SAS）。

如果两个三角形有两边对应成比例，并且这两边夹角相等，那么这两个三角形就是相似的。

这个方法结合了边的比例关系和角的相等关系，是一种非常实用的判定方法。

现在，让我们通过几个例子来加深对这些判定方法的理解。

我会在黑板上画出几个三角形，然后我们一起来分析它们是否相似。

（此处可以展示几个三角形的例子，让学生参与讨论和判断）通过这些例子，我们可以看到，相似三角形的判定并不是那么困难。

只要我们掌握了角角相似、边边边相似和边角边相似这三个方法，就能够轻松地判断两个三角形是否相似。

最后，我想强调的是，相似三角形的判定不仅仅是一个理论问题，它在实际生活中也有很多应用。

比如在建筑设计、地图制作、甚至在艺术创作中，都需要用到相似三角形的知识。

所以，希望大家能够认真学习这部分内容，将来在实际应用中能够得心应手。

好了，今天的课就到这里，希望大家能够有所收获。

下课。

相似三角形的性质与判定讲义

ABC D E相似三角形的性质和判定（讲义）一、知识点睛1. 相似三角形的性质：______________、_______________．2. 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于______；对应面积的比等于_____________． 3. 相似三角形的判定：① __________________________________________； ② __________________________________________； ③ __________________________________________．二、精讲精练1. 两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别是40°,60°，那么另一个三角形的最大内角是，最小内角是．2. 若△ABC ∽△DEF ，AB =6cm ，BC =4cm ，AC =9cm ，且△DEF 的最短边为8cm ，则最长边为（） A ．16cm B ．18cm C ．4.5cmD ．13cm3. 如图，△ADE ∽△ABC ，AD =3BD ,S △ABC =48，则S △ADE = ．第3题图第4题图4. 将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ,AB =AC =3，BC =4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 BF = ． 5. 如图，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC ABCD BC=； ④AC 2=AD ·AB ．其中能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4B′FB EA第5题图BCDA6. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A ．B ．C ．D ．7. 某种三角形架子由钢条焊接而成.在这种三角形架子的设计图上，其三边长分别为4cm ，3cm ，5cm .现有两根钢条，一根长60cm ，另一根长180cm ，若用其中一根作为三角形架子的一边，在另一根上截取两段，作为三角形架子的另外两边，使做成的三角形架子与图纸上的形状相同（即相似），则共有_____种不同的做法.（焊接用料忽略不计）8. 如图，AB ∥DE ，若AB :DE =1:2，AC =2，BC =3，则CE = ，CD = ．第8题第9题9. 如图，若AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED =1，BD =4，则AB = ．10. 如图，D ,E 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的点，∠1=∠B ，若AE =EC =4，BC =10，AB =12，则△ADE 和△ACB 的周长之比为．CBAE DCBAEBCD A1ED CBA11. 如图，△PMN 是等边三角形，∠APB =120°．求证：AM ·PB =PN ·AP ．21BNMAP12. 如图，M 为线段AB 上一点，AE 与BD 交于点C ， ∠DME =∠A =∠B =α，且DM 交AC 于点F ，ME 交BD 于点G ．求证：△AMF ∽△BGM ．GFMEDC BA13. 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ，AD ，A′D′分别是边BC ，B′C′上的中线，求证：ADk A'D'=.D'DC'B'A'C BA14.如图，在△ABC中，AB=6，BC=8．点D以每秒1个单位的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位的速度由C向B运动，当点E停止运动时，点D也随之停止运动,设运动时间为t秒．当以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值．【参考答案】一、知识点睛1.相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例．2.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比；对应面积的比等于相似比的平方．3.相似三角形的判定：④两组角对应相等的两个三角形相似；⑤两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；⑥三边对应成比例的两个三角形相似．二、精讲精练1.80°；40°2. B3.274.127或25. C6. A7. 38.4；69. 410.1:311.证明略（提示：通过∠A=∠2，∠AMP=∠PNB=120°，证明△AMP∽△PNB）12.证明略（提示：通过∠A=∠B，∠AFM=∠BMG，证明△AMF∽△BGM）13.证明略（提示：证明△ABD∽△A′B′D′）14.当△DBE∽△ABC时，t=125；当△DBE∽△CBA时，t=32 11．相似三角形的性质和判定（随堂测试）1. 将两个等腰直角三角形摆成如图所示的样子，所有的点都在同一平面内．（1）求证：△ABE ∽△DAE ；（2）求证：△DCA ∽△DAE ；（3）求证：△ABE ∽△DCA .2. 如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ．求证：E 是AC 的中点．【参考答案】1. 证明略【提示：（1）（2）利用两组角对应相等来判定相似；由（1）（2）的结论推出对应角相等来证明（3）】2. 证明略（提示:证明△ADE ∽△ABC ）EDBAABDCEF G相似三角形的性质和判定（作业）1. 在下面的两组图形中，各有一对相似三角形，则x =______，y =______，m =______，n =______．（2）（1）m°50°60°y 3a n °1070°50°4a 4830332022x2. 将三角形纸片△ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF ，AB =AC =4，BC =5，若以点B′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则CF =______．第2题图第3题图 3. 如图，在△ABC 中，点P 为边AB 上一点，则下列四个条件：①∠ACP =∠B ；②∠APC =∠ACB ；③2AC AP AB =⋅；④AB CP AP CB ⋅=⋅．其中能判定△APC 和△ACB 相似的是________． 4. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A ．B ．C ．D ．B PCAB′CF EA5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 交于点O ，13AD BC =，若OA =1，OD =32，则OB =______，OC =______．6. 如图，在△ABC 中，CD =CE ，∠A =∠ECB ．求证：CD 2=AD ·BE ．ED CBA7. 如图，在Rt △ABC 中，AB =3cm ，AC =6cm ．动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动；同时动点N 从点C 出发沿CA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动，当一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．MCBA O D AB C【参考答案】1.32；152；70；602.259或523.①②③4. B5.92；36.证明略（提示：证明△ADC∽△CEB）7.当△MAN∽△BAC时，t=32；当△MAN∽△CAB时，t=12 5。

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