第2章(10)工程数学
工程数学
__ 1 3i 例2 : 设z = − − 求Re ( z )、I m ( z )、z z i 1− i
1 3i (−i ) 3i (1 + i ) 解: z = − − =− − i 1− i i (−i ) (1 − i )(1 + i )
3i − 3 =i− 2 3 1 = − i 2 2
— 3 1 3 2 1 2 5 Re ( z ) = 、I m ( z ) = − 、z z = ( ) + (− ) = 2 2 2 2 2
z1 = z2 ⇔ Re( z1 ) = Re( z2 ) Im( z1 ) = Im( z2 )
z = 0 ⇔ Re( z ) = Im( z ) = 0
一般来说，任意两个复数不能比较大小。
2．复数的代数运算
设z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2为两个复数
定义： 加、减法：
_____
z1 z1 求z1 ± z2、z1 z2、 及 ） （ z2 z2
解 : z1 + z2 = (5 − 3) + (−5 + 4)i = 2 − i
z1 − z2 = [5 − (−3)] + (−5 − 4)i = 8 − 9
z1 z2 = (5 − 5i )(−3 + 4i ) = −15 + 20i + 15i − 20i 2 = 5 + 35i
π
π
4 4 π π 9π 9π 8 8 ω0 = 2 (cos + i sin ) ω1 = 2 (cos + i sin ) 16 16 16 16 17π 17π 25π 25π 8 8 ) ω3 = 2 (cos + i sin + i sin ) ω2 = 2 (cos 16 16 16 16
2020年秋季国家开放大学《工程数学本》形考任务(1-5)试题与答案解析
2020年秋季国家开放大学《工程数学本》形考任务（1-5）试题与答案解析（红色标注为正确答案）工程数学作业（第一次）（满分100分）第2章矩阵（一）单项选择题（每小题2分，共20分）⒈设，则（D）．A. 4B. －4C. 6D. －6⒉若，则（A）．A. B. －1 C. D. 1⒊乘积矩阵中元素（C）．A. 1B. 7C. 10D. 8⒋设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B）．A. B.C. D.⒌设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D）．A. B.C. D.⒍下列结论正确的是（A）．A. 若是正交矩阵，则也是正交矩阵B. 若均为阶对称矩阵，则也是对称矩阵C. 若均为阶非零矩阵，则也是非零矩阵D. 若均为阶非零矩阵，则⒎矩阵的伴随矩阵为（C）．A. B.C. D.⒏方阵可逆的充分必要条件是（B）．A. B. C. D.⒐设均为阶可逆矩阵，则（D）．A. B.C. D.⒑设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D）．A. B.C. D.（二）填空题（每小题2分，共20分）⒈7 ．⒉是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ．⒊若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为5×4 矩阵．⒋二阶矩阵．⒌设，则．⒍设均为3阶矩阵，且，则-72 ．⒎设均为3阶矩阵，且，则-3 ．⒏若为正交矩阵，则0 ．⒐矩阵的秩为 2 ．⒑设是两个可逆矩阵，则．（三）解答题（每小题8分，共48分）⒈设，求⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．⒉设，求．⒊已知，求满足方程中的．⒋写出4阶行列式中元素的代数余子式，并求其值．⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：⑴；⑵；⑶．⒍求矩阵的秩．（四）证明题（每小题4分，共12分）⒎对任意方阵，试证是对称矩阵．⒏若是阶方阵，且，试证或．⒐若是正交矩阵，试证也是正交矩阵．工程数学作业（第二次）(满分100分)第3章 线性方程组（一）单项选择题(每小题2分，共16分)⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C ）．A. [,,]102-'B. [,,]--'722C. [,,]--'1122D. [,,]---'1122 ⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（B ）．A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（A ）． A. 3 B. 2 C. 4 D. 5⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（B ）是极大无关组．A. αα12,B. ααα123,,C. ααα124,,D. α1⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）． A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出．A. 至少有一个向量B. 没有一个向量C. 至多有一个向量D. 任何一个向量（二）填空题(每小题2分，共16分) ⒈当λ= 1 时，齐次线性方程组x x x x 121200+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 ．⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 3 ．⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的． ⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是 ．⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s 的秩 相同 ．⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个．⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则AX b =的通解为 ．（三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．设有线性方程组λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x y z λ为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?2．判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出，若能，写出一种表出方式．其中βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥83710271335025631123,,,3．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关；（2）求出该向量组的一个极大无关组。
高等工程数学第二章习题及答案
第2章 线性代数方程组数值解法 研究n 阶线性方程组Ax b =的数值解法.()ij A a =是n n⨯矩阵且非奇异，12(,,,)Tn x x x x = ,12(,,,)Tn b b b b =两类数值方法：(1) 直接法：通过有限次的算术运算，若计算过程中没有舍入误差，可以求出精确解的方法.Ax b Gx d == 等价变换G 通常是对角矩阵、三角矩阵或者是一些结构简单的矩阵的乘积.(2) 迭代法：用某种极限过程去逐次逼近方程组的解的方法.(1)()i i Ax b x Bx k x Bx k +==+−−−−−→=+ 等价变换建立迭代格式，0,1,i =一、向量范数与矩阵范数 1. 向量范数【定义】 若对nK 上任一向量x ，对应一个非负实数x ，对任意,nx y R ∈及K α∈，满足如下条件(向量范数三公理) (1) 非负性：0x ≥，且0x =的充要条件是0x =；(2)齐次性：x xαα=；(3)三角不等式：x y x y+≤+.则称x为向量x的范数.常用的向量范数： (1) 1—范数11nii x x ==∑(2) 2—范数12221()ni i x x ==∑(3) ∞—范数1max ii nxx ∞≤≤=(4) 一般的p —范数11()pnpi pi xx ==∑2. 矩阵范数【定义】 若n nK ⨯上任一矩阵()ij n n A a ⨯=，对应一个非负实数A ，对任意的,n nA B K ⨯∈和K α∈，满足如下条件(矩阵范数公理)：(1) 非负性：0A ≥，且0A =的充要条件是0A =；(2)齐次性：A Aαα=；(3)三角不等式：A B A B +≤+；(4)乘法不等式：AB A B≤.则称A为矩阵A的范数.矩阵范数与向量范数是相容的：Ax A x≤向量范数产生的从属范数或算子范数：10max maxx x AxA Ax x=≠==常见从属范数：(1) 1—范数111max ||nij j ni A a ≤≤==∑(2) ∞—范数11max ||nij i nj A a ∞≤≤==∑(3) 2—范数2A =谱半径1()max ||H i i n A A ρλ≤≤=，iλ为H A A 的特征值.H A 为A 的共轭转置. 注：矩阵A 的谱半径不超过A 的任一范数，即()A A ρ≤范数等价性定理：,s t x x为n R 上向量的任意两种范数，则存在常数12,0c c >，使得12,ns t s c x x c x x R ≤≤ ∀∈.注：矩阵范数有同样的结论. 【定理2.1】是任一向量范数，向量序列()k x 收敛于向量*x 的充要条件是()*0,k x x k -→ →∞二、 Gauss 消去法 1．顺序Gauss 消去法 将方程Ax b =写成如下形式11112211,121122222,11122,1n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩其中记,1,1,2,,.i n i a b i n +==消元过程：第一次消元：设110a ≠，由第2,3,,n 个方程减去第一个方程乘以1111/(2,3,,)i i m a a i n == ，则将方程组中第一个未知数1x消去，得到同解方程11112211,1(1)(1)(1)22222,1(1)(1)(1)22,1n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a a x a x a ++++++=⎧⎪ ++=⎪⎨⎪⎪ ++=⎩其中， (1)11,2,3,,;2,3,,,1ijij i j a a m a i n j n n =-==+ . 1111/i i m a a =，2,3,,i n = .第二次消元：设(1)220a ≠，.由第2,3,,n 个方程减去方程组中的第2个方程乘以(1)(1)2222/(3,4,,)i i m a a i n == ，则将方程组第2个未知数2x 消去，得到同解方程11112213311,1(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)(2)33,1n n n n n n n n n nnn n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a a x a x a ++++++++=⎧⎪ +++=⎪⎪ ++=⎨⎪⎪⎪ ++=⎩其中(2)(1)(1)22, 3,4,,; 3,4,,,1ij ij i j a a m a i n j n n =-==+ . (1)(1)2222/i i m a a =，3,4,,i n = .经过1n -次消元后，原方程组变成等价方程组11112213311,1(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(1)(1),1n n n n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a a x a +++--+++++=⎧⎪ +++=⎪⎪ ++=⎨⎪⎪⎪ =⎩其中()(1)(1), 1,2,,k k k ij ij ik ij a a m a i k k n --=-=++ ， 1,2,,,1j k k n n =+++ .(1)(1)/k k ik ik kkm a a --=，1,2,,i k k n =++ ；1,2,,1k n =- .回代过程：(1)(1),1(1)(1)(1),1,,1/[]/,1,2,,2,1.n n n n n m n i i i ii n i j j i j j i x a a x a a x a i n n --+---+=+⎧=⎪⎨=-=--⎪⎩∑计算量：按常规把乘除法的计算次数合在一起作为Gauss 消去法总的计算量，而略去加减法的计算次数. 在消去过程中，对固定的消去次数(1,2,,1)k k n =- ，有：除法(1)(1),,/,1,1,,k k ik i k k k m a a i k k n --= =++ 共计n k -次；乘法(1),,1,2,,;1,2,,,1k ik k j m a i k k n j k k n n - =++ =+++ 共计()(1)n k n k --+次.因此，消去过程总的计算量为1311[()(1)]3n k M n k n k n k n-==--++-≈∑ 回代过程的乘除法计算次数为21()2n n +.与消去法计算量相比可以略去不计.所以， Gauss 消去法总的计算量大约为313n .2. Gauss-Jordan 消去法Gauss-Jordan 消去法是Gauss 消去法的一种变形.此方法的第一次消元过程同Gauss 消去法一样，得到(1)(1)(1)(1)11112213311,1(1)(1)(1)(1)22223322,1(1)(1)(1)(1)32233333,1(1)(1)(1)(1)2233,1,,,,n n n n n n n n n nn nn n n n a x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++⎧++++=⎪ +++=⎪ +++=⎨ +++= ⎪⎪⎪⎪⎩其中，(1)11,2,,,1jj a a j n n ==+ . 第二次消元：设(1)220a ≠，由第1,3,4,,n 个方程减去第2个方程乘以(1)(1)2222/(1,3,4,,)i i m a a i n == ,则得到同解方程组(2)(2)(2)11113311,1(1)(2)(2)(2)22223322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)33,1,,,n n n n n n n n n nnn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a a x a x a +++++ +++= +++= ++= ++= (2),⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩继续类似的过程，在第k 次消元时，设(1)k kk a -，将第i 个方程减去第k 个方程乘以(1)(1)/k k ik ik kk m a a --=，这里1,3,4,1,1,,i k k n =-+ .经过1n -次消元，得到(2)1111,1(1)(2)2222,1(2)(2)33,1,,,n n n n n a x a a x a a x a +++⎧ =⎪ =⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ =⎩其中()(1)(1),1,2,,1,1,,k k k ij ij ik kj a a m a i k k n --=-=-+ ；1,2,,,1; 1,2,,1j n n k n =+=- .此时，求解回代过程为(1)(1),1/,1,2,,n i i i n iix a a i n --+= = 经统计，总的计算量约为312M n ≈次乘除法. 从表面上看Gauss-Jordan 消去法似乎比Gauss 消去法好，但从计算量上看Gauss －Jordan 消去法明显比Gauss消去法的计算量要大，这说明用Gauss-Jordan 消去法解线性方程组并不可取.但用此方法求矩阵的逆却很方便. 3．列选主元Gauss 消去法在介绍Gauss 消去法时，始终假设(1)0k kk a -≠，称(1)k kka -为主元.若(1)0k kka -=，显然消去过程无法进行.实际上，既使(1)0k kka -≠，但(1)k kka -很小时，用它作除数对实际计算结果也是很不利的.称这样的(1)k kka -为小主元.【例2.2】设计算机可保证10位有效数字，用消元法解方程1112120.3100.7,0.9,x x x x -⎧⨯+=⎪⎨ +=⎪⎩【解】经过第一次消元：第2个方程减去第1个方程乘以212111/m a a =得1112(1)(1)222230.3100.7x x a x a -⎧⨯+=⎪⎨ =⎪⎩其中(1)1222222111/0.333333333310a a a a =-=-⨯，(1)123323211113(/)0.233333333310a a a a a =-⋅=-⨯于是解得(1)(1)223221/0.7000000000,0.0000000000,x a a x ⎧==⎪⎨=⎪⎩而真解为120.2,0.7x x = =注：造成结果失真的主要因素是主元素11a太小，而且在消元过程中作了分母，为避免这个情况发生，应在消元之前，作行交换.【定义】 若 (1)(1)||max ||k k k r k ik k i na a --≤≤=，则称(1)||k k r k a - 为列主元素. k r 行为主元素行，这时可将第 k r行与第k 行进行交换，使(1)||k k r k a - 位于交换后的等价方程组的 (1)k kk a - 位置，然后再施实消去法，这种方法称为列选主元Gauss 消去法或部分主元Gauss 消去法.【例2.3】 应用列选主元Gauss 消去法解上述方程. 【解】 因为2111a a >，所以先交换第1行与第2行，得1211120.9,0.3100.7,x x x x -⎧+=⎪⎨⨯+=⎪⎩ 然后再应用Gauss 消去法，得到消元后的方程组为1220.9,0.7.x x x ⎧+=⎨=⎩回代求解，可以得到正确的结果.即120.2,0.7x x = =.三、三角分解法 设方程组Ax b =的系数矩阵A 的顺序主子式不为零.即1112121222110,1,2,,.kk k k k kka a a a a a k n a a a ∆=≠=在Gauss 消去法中，第一次消元时，相当于用单位下三角阵211131111010010n m L m m -⎡⎤⎢⎥- ⎢⎥⎢⎥=- ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- ⎢⎥⎣⎦ ，左乘方程组Ax b =，得11A x b =，其中11121(1)(1)122211(1)200n n n nn a a a a a A L a a -(1)⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥==⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ ，1(1)(1)111,11,1,1(,,,)Tn n n n b L b a a a -+++== .第二次消元时，相当于用单位下三角阵1232210101001n L m m - ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= - ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ - ⎢⎥⎣⎦0 ，左乘方程组11A x b =，得22A x b =其中11121(1)(1)22211(2)(2)221333(2)(2)300000n n n n nn a a a a a A L L A a a a a --⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥== ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ，11(1)(2)(2)2211,12,13,1,1(,,,,).Tn n n n n b L L b a a a a --++++==经过1n -次消元，最后得到等价方程组11n n A x b --=其中11121(1)222111111221(1)n n n n n n nn a a a a a A L L L L A a (1)--------⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦1111(1)(1)112221,12,1,1(,,,)n Tn n n n n n n b L L L L b a a a --------+++==注意到1n A -是一个上三角阵，记111111221n n n U A L L L L A -------==则121()n A L L L U LU -==其中，121n L L L L -= . 不难验证21313212_1111n n nn m L m m m m m ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ 1 ⎢⎥⎣⎦是单位下三角阵.于是解线性方程组Ax b =，就转化为解方程 LUx b =，若令Ux y =就得到一个与 Ax b =等价的方程组Ly b Ux y =⎧⎨=⎩【定理2.2】 若 A 为 n 阶方阵，且 A 的所有顺序主子式0k ∆≠，1,2,,k n = .则存在唯一的一个单位下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U ，使A LU =.在上述过程中，若不假设A 的顺序主子式都不为零，只假设A 非奇异，那么Gauss 消去法将不可避免要应用两行对换的初等变换.第一次消元，将第1行与第1r 行交换，相当于将方程组Ax b =左乘矩阵11r P ：1111r r P Ax P b=经第一次消元得11111111r r L P Ax L P b--=即系数矩阵为11111r A L P A-=，其中110111r P ⎡⎢ ⎢ 1= 1 0 1 ⎣0 0 ⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦1 列 1r列 类似地，经1n -次消元，有121111111,22,11n n n n n r n n r r A L P L P L P A----------= .如果预先知道每一个(1,2,,1)iir P i n =- ，则在消元之前就全部作交换，得 1211,2,1,n n n r n r r A P P P A PA----== ，其中，1211,2,1,n n n r n r r P P P P ----= .即原方程变为PAx Pb =然后再消元，相当于对PA 做三角分解PA LU =由以上讨论，可得结论 【定理2.3】 若A 非奇异，则一定存在排列矩阵 P ，使得 PA 被分解为一个单位下三角阵和一个上三角1 行1行r阵的乘积，即PA LU =成立.这时，原方程组Ax b = 等价于 PAx Pb =，即等价于求解LUx Pb =令Ux y =则Ly Pb =实际求解时，先解方程组Ly Pb =,再根据 y 求解 Ux y =,即得原方程组Ax b =的解. 这种求解方法称为三角分解法.常用三角分解方法有以下几种. 1．Doolittle 分解方法 假设系数矩阵A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的. 记21121110n n l L l l ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ , 11121222n n nn u u u u u U u ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥ 0 ⎣⎦ 于是有1112111121222212222112111110n n n n n n n n nn a a a u u u u u a a a l l l a a a ⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ nn u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥0 ⎣⎦从前面讨论A 的LU 分解过程可看出,L 、U 的元素都是用有关的(1)k ij a -来表示的，而它们的计算较麻烦.现在给出直接从系数矩阵A ，通过比较等式的两边逐步把L 和U 构造出来的方法，而不必利用Gauss 消去法的中间结果(1)k ij a -.计算步骤： (1) 由L 阵的第1行分别乘U 阵的各列，先算出U 阵的第1行元素 11,1,2,,j j u a j n = = .然后，由L 阵的各行分别去乘U 阵的第1列，算出L 阵的第1列元素1111/,2,3,,i i l a a i n = = .(2)现假设已经算出U 阵的前1r -行元素，L 阵的前1r -列元素，下面来算U 阵的第r 行元素，L 阵的第r 列元素.由L 阵的第r 行分别乘U 阵的第j 列(,1,,)j r r n =+ ，得11r ij rk kj rjk a l u u -==+∑所以，得U 阵的第r 行元素11,,1,,r rj rj rk kj k u a l u j r r n-==- =+∑ .再由L 阵的第i 行(1,2,,)i r r n =++ 分别去乘U 阵的第r 列,得11r ir ik kr ir rrk a l u l u -==+∑,所以，得L 阵的第r 列元素11[]/,1,2,,.r ir ir ik kr rr k l a l u u i r r n -==- =++∑取1,2,,r n = 逐步计算，就可完成三角分解A LU =；(3)解与Ax b = 等价的方程组Ly b Ux y =⎧⎨=⎩逐次用向前代入过程先解Ly b = 得1111,2,3,,.i i i ij j j y b y b l y i n -==⎧⎪⎨=- =⎪⎩∑然后再用逐次向后回代过程解Ux y =得1/,()/,1,2,,2,1.n n nn n i i ij j ii j i x y u x y u x u i n n =+=⎧⎪⎨=- =--⎪⎩∑2．Crout 分解方法仍假设系数矩阵A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的.即ˆA L=ˆU .与Doolittle 分解方法的区别在111212122211n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ 1122ˆˆl l ⎡⎤ 0⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 122ˆ1ˆ10n u u ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ 1 ⎣⎦ 比较两边，则可推导出与Doolittle 分解方法类似的公式，不过Crout 分解方法是先算ˆL 的第r 列，然后再算ˆU的第r 行.3．Cholesky 分解方法若 A 为对称正定矩阵，则有 ˆT U L =，即11()()TT T A LDL LD LD LL ===其中L 为下三角阵. 进一步展开为1121111211112122221222221212n n n n n n nn n n nn a a a l l l l a a a l l l l l l l a a a ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ 0 ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0nn l ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ 比较两边对应元素，容易得到12121()r rr rr rk k l a l -==-∑ ，11()/r ir ir ik rk rrk l a l l l -==-∑ 1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++Cholesky 分解的优点：不用选主元. 由21rrr rk k a l ==∑ 可以看出||1,2,,.rk l k r ≤=这表明中间量rk l得以控制，因此不会产生由中间量放大使计算不稳定的现象. Cholesky 分解的缺点：需要作开方运算. 改进的Cholesky 分解： 改为使用分解T A LDL =即11121121121221222121111n n n n n n n n nn a a a d l l l d a a a l l d a a a ⎡⎤ 1 ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 1 1 ⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2n l ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ 1⎣⎦其中21ˆl 1ˆn l 2ˆn l ˆnn l 1ˆn u12111()/r r rr rk k k r ir ir ik k rk rk d a l d l a l d l d-=-=⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑，1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++Cholesky 分解方法或平方根法：应用Cholesky 分解可将Ax b =分解为两个三角形方程组T Ly b L x y ⎧= ⎪⎨= ⎪⎩分别可解得111111/,()/.i i i ik k ii k y b l y b l y l i n -=⎧=⎪⎨=-, =2,3,,⎪⎩∑和1/,()/1,.n n nn n i i ki k ii k i x y l x y l x l i n n =+⎧=⎪⎨=-, =--2,,2,1⎪⎩∑改进的Cholesky 分解方法或改进的平方根法：应用改进的Cholesky 分解，将方程组Ax b =分解为下面两个方程组1,,T Ly b L x D y -= ⎧⎨= ⎩同理可解得1111,,2,3,,.i i i ik k k y b y b l y i n ==⎧=⎪⎨=- =⎪⎩∑和1/,/,1,2,,2,1.n n n n i i i ki k k i x y d x y d l x i n n =+⎧=⎪⎨=- =--⎪⎩∑ 4．解三对角方程组的追赶法若()ij n n A a ⨯=满足1||||,1,2,,.nii ij j j ia a i n =≠> =∑则称A 为严格对角占优矩阵.若A 满足1||||,1,2,,.nii ij j j ia a i n =≠≥ =∑且其中至少有一个严格不等式成立，则称A 为弱对角占优矩阵.现在考虑Ax d = 的求解，即11112222211111n n n n n n n n n b c x d a b c x d a b c x d d a b x -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 系数矩阵A 满足条件11||||0,||||||,,0,2,3,, 1.||||0,i i i i i n n b c b a c a c i n b a ⎧>>⎪≥+ ≠=-⎨⎪>>⎩采用Crout 分解方法11112222221111n n n n n n n b c a b c a b c a b βαβγαγα---⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥ 1 ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦ 1n β-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥1 ⎢⎥⎢⎥ 1 ⎣⎦其中，,,i i i αβγ为待定系数.比较上式两边可得到111111,;,,2,3,,;,2,3,, 1.i i i i i i i i i b c a b i n c i n ααβγγβααβ-= == =+ == =-进而可导出1111111,2,3,,.,/,,2,3,,./(),2,3,, 1.i i i i i i ii i i i a i n b c b b i n c b i n γαβααββαβ--⎧= =⎪= =⎪⎨=- =⎪⎪=- =-⎩由此可看出，真正需要计算的是(1,2,,1)i n β=- ，而i α可由,i i b a 和1i β-产生.因此，实现了A 的Crout 分解后，求解Ax d =就等价于解方程组Ly dUx y =⎧⎨=⎩从而得到解三对角方程组的追赶法公式： (1) 计算i β的递推公式：1111/,/(),2,3,, 1.i i i i i c b c b i n ββαβ-⎧=⎪⎨=- =-⎪⎩(2) 解方程组Ly d =：11111/()/(),2,3,,.i i i i i i i y d b y d a y b a i n β--⎧=⎪⎨=-- =⎪⎩(3) 解方程组Ux y =：1,1,2,,2,1.n n i i i i x y x y x i n n β+⎧=⎪⎨=- =--⎪⎩追赶法的乘除法次数是66n -次.将计算121n βββ-→→→ 及12n y y y →→→ 的过程称之为“追”的过程，将计算方程组Ax d =的解121n n x x x x -→→→→ 的过程称之为“赶”的过程.四、迭代法 将Ax b =改写为一个等价的方程组 x Bx k =+建立迭代公式 (1)(),0,1,2,.i i x Bx k i +=+ =称矩阵B 为迭代矩阵.【定义】 如果对固定的矩阵B及向量k，对任意初始猜值向量(0)x ，迭代公式(1)()i i +()i()*lim i i x x →+∞=成立，其中*x 是一确定的向量，它不依赖于(0)x 的选取.则称此迭代公式是收敛的，否则称为发散的.如果迭代收敛，则应有**,x Bx k =+1. 收敛性()()*,0,1,2,i i x x i ε=- =为第i步迭代的误差向量.则有(1)(1)*()*()(),0,1,2,.x x B x x B i εε++=-=-==所以，容易推出()(0),0,1,2,,i i B i εε= =其中，(0)(0)*xxε=-为初始猜值的误差向量.设n nB K ⨯∈，lim 0i i B →+∞=⇔ ()1B ρ<.迭代法收敛基本定理： 下面三个命题是等价的 (1) 迭代法(1)()i i x Bx k +=+收敛；(2)()1B ρ<；(3) 至少存在一种矩阵的从属范数⋅，使1B <注：当条件()1B ρ<难以检验时，用1B 或B ∞等容易求出的范数，检验11B <或1B∞<来作为收敛的充分条件较为方便.常用迭代法如下. 2．Jacob 迭代 考察线性方程组Ax b =，设A 为非奇异的n 阶方阵，且对角线元素0ii a ≠(1,2,,)i n = .此时，可将矩阵A 写成如下形式A D L U =++,1122(,,,)nn D diag a a a = ，21313212000n n a L a a a a ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ 0 ⎢⎥⎣⎦ ,12131232000n n a a a a a U ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= 0 ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ,建立Jacobi 迭代公式(1)1()1(),i i x D L U x D b +--=-++迭代矩阵11()J B D L U I D A --=-+=-J B 的具体元素为112111122122221200n n J n n nn nn a a a a a a B a a a a a a ⎡⎤ - -⎢⎥⎢⎥⎢⎥- - ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- - 0 ⎢⎥⎣⎦ Jacobi 迭代法的分量形式如下1(1)()()111(),j n i i i jj jm m jm m m m j jj xb a x a x a -+==+=--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =3．Gauss-Seidel 迭代容易看出，在Jacobi 迭代法中，每次迭代用的是前一次迭代的全部分量()(1,2,,)i jx j n = .实际上，在计算(1)i j x +时，最新的分量(1)(1)(1)121,,,i i i j x x x +++- 已经算出，但没有被利用.事实上，如果Jacobi 迭代收敛，最新算出的分量一般都比前一次旧的分量更加逼近精确解，因此，若在求(1)i j x+时，利用刚刚计算出的新分量(1)(1)(1)121,,,i i i j x x x+++- ，对Jacobi 迭代加以修改，可得迭代公式1(1)(1)()111(),j ni i i jj jm m jm m m m j jj xb a x a x a -++==+=--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =矩阵形式(1)1()1()(),0,1,2,.i i x D L Ux D L b i +--=-++-+=1()G B D L U -=--+注：（1）两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更快一些.（2）但也有这样的方程组，对Jacobi 迭代法收敛，而对Gauss-Seidel 迭代法却是发散的. 【例2.4】 分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下面的方程组121232342,46,4 2.x x x x x x x ⎧- =⎪-+-=⎨⎪-+=⎩初始猜值取0(0,0,0)x =. 【解】 Jacobi 迭代公式为(1)()12(1)()()213(1)()321(2),41(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩迭代计算4次的结果如下 (1)(2)(3)(4)(0.5,1.5,0.5),(0.875,1.75,0.875),(0.938,1.938,0.938),(0.984,1.969,0.984).T T T T x x x x ====Gauss-Seidel 迭代公式为(1)()12(1)(1)()213(1)(1)321(2),41(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++++⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩迭代计算4次的结果如下(1)(2)(3)(4)(0.5,1.625,0.9063),(0.9063,1.9532,0.9883),(0.9883,2.0,0.9985),(0.9985,1.999,0.9998).T T T T x x x x ====从这个例子可以看到，两种迭代法作出的向量序列(){}i x 逐步逼近方程组的精确解*(1,2,1)T x =,而且Gauss-Seidel 迭代法收敛速度较快.一般情况下，当这两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更3．超松弛迭代法为了加快迭代的收敛速度，可将Gauss-Seidel 迭代公式改写成1(1)()(1)()11(),j ni i i i jjj jm m jm m m m jjj xx b a x a x a -++===+--∑∑ 1,2,,;0,1,2,.j n i = =并记1(1)(1)()11(),j ni i i jj jm m jm m m m jjj rb a x a x a -++===--∑∑称 (1)i j r + 为 1i + 步迭代的第 j 个分量的误差向量.当迭代收敛时，显然有所有的误差向量(1)0(),1,2,,.i j r i j n +→→∞=为了获得更快的迭代公式，引入因子R ω∈，对误差向量 (1)i j r + 加以修正，得超松弛迭代法（简称SOR 方法）(1)()(1),0,1,2,.i i i j j j x x r i ω++=+ =即1(1)()(1)()1(),j ni i i i jjj jm mjm m m m jjjxx b a xa x a ω-++===+--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =适当选取因子ω，可望比Gauss-Seidel 迭代法收敛得更快.称ω为松弛因子.特别当1ω=时，SOR 方法就是Gauss-Seidel 迭代法.写成矩阵向量形式(1)1()1()[(1)](),j i x D L D U x D L b ωωωωω+--=+--++0,1,2,.i =迭代矩阵为1()[(1)].B D L D U ωωωω-=+--实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.所谓试算法就是从同一初始向量出发，取不同的松驰因子ω迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比较其相应的误差向量()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松弛因子opt ω的近似值.实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的. 4．迭代收敛其它判别方法：用迭代法收敛基本定理来判断收敛性时，当n 较大时，迭代矩阵的谱半径计算比较困难，因此，人们试图建立直接利用矩阵元素的条件来判别迭代法的收敛定理. （1） 若方程组Ax b =中的系数矩阵A 是对称正定阵，则 Gauss-Seidel 迭代法收敛. 对于SOR 方法，当02ω<< 时迭代收敛（2）若A 为严格对角占优阵，则解方程组 Ax b = 的Jacobi 迭代法，Gauss －Seidel 迭代法均收敛. 对于SOR 方法，当01ω<< 时迭代收敛.【例2.5】 设线性方程组为121221,32,x x x x ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩建立收敛的Jacobi 迭代公式和Gauss －Seidel 迭代公式. 【解】 对方程组直接建立迭代公式，其Jacobi 迭代矩阵为0230J B -⎡⎤=⎢⎥- ⎣⎦，显见谱半径()1J B ρ=>，故Jacobi 迭代公式发散.同理Gauss －Seidel 迭代矩阵为0206G B -⎡⎤=⎢⎥ ⎣⎦，谱半径()61G B ρ=>，故Gauss －Seidel 选代公式也发散. 若交换原方程组两个方程的次序，得一等价方程组121232,21,x x x x ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩其系数矩阵显然对角占优，故对这一等价方程组建立的Jacobi 迭代公式，Gauss －Seidel 迭代公式皆收敛. （3）SOR 方法收敛的必要条件是 02ω<<【定理2.5】 如果A 是对称正定阵，且02ω<<，则解Ax b =的SOR 方法收敛.注：当(0,2)ω∈ 时，并不是对任意类型的矩阵A ，解线性方程组Ax b =的SOR 方法都是收敛的.当SOR 方法收敛时，通常希望选择一个最佳的值opt ω使SOR 方法的收敛速度最快.然而遗憾的是，目前尚无确定最佳超松弛因子opt ω的一般理论结果.实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.所谓试算法就是从同一初始向量出发，取不同的松驰因子ω迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比较其相应的误差向量()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松弛因子opt ω的近似值.实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的.【例2.6】 求解线性方程组Ax b =，其中10.3000900.308980.30009100.4669110.274710.30898A - -- -0.46691 0= - -- 00.274711(5.32088,6.07624,8.80455,2.67600).T b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ - ⎣⎦ =-分别利用Jacobi 迭代法，Gauss －Seidel 迭代法，SOR 迭代法求解. 【解】其结果列入下表中，方程组精确解(五位有效数字)为*(8.4877,6.4275, 4.7028,4.0066).T x =-Jacobi 迭代法计算结果i()1i x()2i x ()3i x ()4i x ()2||||i r0 012.3095 1 5.3209 6.0762 －8.8046 2.6760 5.3609 27.97113.5621 －5.2324 1.90143.631820 8.4872 6.4263 －4.7035 4.0041 0.0041 218.48606.4271 －4.7050 4.0063 0.0028Gauss-Seidel 迭代法计算结果i()1i x()2i x()3i x()4i x()2||||i r0 012.3095 1 5.3209 7.6730 －5.2220 2.8855 3.6202 28.51506.1933 －5.1201 3.90040.49098 8.4832 6.4228 －4.7064 4.0043 0.0078 98.48556.4252－4.70554.00550.0038SOR 迭代法计算结果（1.16ω=）i()1i x()2i x()3i x()4i x()2||||i r0 012.3095 1 6.1722 9.1970 －5.2320 3.6492 3.6659 29.69416.1177 －4.8999 4.43351.33136 8.4842 6.4253 －4.7005 4.4047 0.0051 78.48686.4288－4.70314.00650.0016计算结果表明，若求出精确到小数点后两位的近似解，Jacobi 迭代法需要21次，Gauss －Seidel 迭代法需要9次，而SOR 迭代法(选松弛因子 1.16ω=)仅需要7次，起到加速作用.5．误差分析 【定理2.6】设 *x 是方程 Ax b = 的惟一解，v ⋅ 是某一种向量范数，若对应的迭代矩阵其范数1v B <，则迭代法(1)(),0,1,2,.i i xBx k i +=+ = 收敛，且产生向量序列(){}i x 满足()*()(1)||||||||||||1||||i i i vv vvB x x x x B --≤--()*(1)(0)||||||||||||1||||i i vv vvB x x x x B -≤--【证明】 由迭代收敛基本定理的(3)知，迭代法(1)(),0,1,2,.i i x Bx k i +=+ =收敛到方程的解*x .于是，由迭代公式立即得到(1)*()*(1)()()(1)(),().i i i i i i x x B x x x x B x x ++--=--=-为书写方便把v 范数中v 略去，有估计式(1)*()*||||||||||||,i i x x B x x +-≤⋅-(1)()()(1)||||||||||||.i i i i x x B x x +--≤⋅-再利用向量范数不等式||||||||||||x y x y -≥-于是得第一个不等式()(1)(1)()()*(1)*()*||||||||||||||||||||(1||||)||||,i i i i i i i B x x x x x x x x B x x -++ -≥-≥--- ≥--再反复递推即第二个不等式.注：（1）若事先给出误差精度ε，利用第二个不等式可得到迭代次数的估计(1)(0)(1||||)ln ln ||||||||v v v B i B x x ε⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦ （2）在||||v B 不太接近1的情况下，由第一个不等式，可用()(1)||||i i v x x ε--<作为控制迭代终止的条件，并取 ()i x 作为方程组 Ax b = 的近似解.但是在||||v B 很接近1时，此方法并不可靠.一般可取1,2,v =∞或F .【例2.7】 用Jacobi 迭代法解方程组123123123202324,812,231530.x x x x x x x x x ⎧++=⎪++=⎨⎪-+=⎩问Jacobi 迭代是否收敛?若收敛，取(0)(0,0,0)T x =，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于610-?【解】 Jacobi 迭代的分量公式为(1)()()123(1)()()213(1)()()3121(2423)201(12),0,1,2,81(3022),15i i i i i i i i i x x x x x x i x x x +++⎧=--⎪⎪⎪=-- =⎨⎪⎪=-+⎪⎩Jacobi 迭代矩阵J B 为130102011088210155J B ⎡⎤ - -⎢⎥⎢⎥⎢⎥=- -⎢⎥⎢⎥⎢⎥- ⎢⎥⎣⎦，由5251||||max ,,1208153J B ∞⎧⎫==<⎨⎬⎩⎭知，Jacobi 迭代收敛. 因设(0)(0,0,0)Tx =，用迭代公式计算一次得(1)(1)(1)12363,, 2.52x x x = = =而(1)(0)|||| 2.x x ∞-=于是有6110(1)13ln ln 13.23i -⎡⎤⋅-⎢⎥>=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以，要保证各分量误差绝对值小于610-，需要迭代14次.【例2.8】 用Gauss －Seidel 迭代法解例2.11中的方程组，问迭代是否收敛?若收敛，取(0)(0,0,0)Tx =，需要迭代多少次，才能保证各分量误差的绝对值小于610-?【解】 Gauss －Seidel 迭代矩阵G B 为102403601()03025524000G B D L U - - ⎡⎤⎢⎥=-+= -⎢⎥⎢⎥ 38 -3⎣⎦显然1||||14G B =<，所以迭代收敛. Gauss －Seidel 迭代分量公式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121(2423),201(12),0,1,2,81(3022),15i i i i i i i i i x x x x x x i x x x ++++++⎧=--⎪⎪⎪=-- =⎨⎪⎪=-+⎪⎩因取(0)(0,0,0)T x =，故迭代一次得(1)(1)(1)1231.2, 1.35, 2.11x x x = = =于是有(1)(0)|||| 2.11x x ∞-=，计算得6110(1)14ln ln 10.2.114i -⎡⎤⋅-⎢⎥>=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所在，要保证各分量误差绝对值小于610-，需要迭代11次.。
工程数学线性代数目录
记作 A*
定理2 n 阶矩阵可逆的充分必要条件是 A 0，
且：
A 1 1 A*
A
方阵的逆阵性质
方阵的逆阵有以下性质：
定理3 设 A, B都是n 阶方阵，则
（1） （2）
若 若
A A
可逆，则 A1也可逆，且(A 1 )
可逆，k 0，则 kA可逆，且
1 A；
(kA)1
1 k
A
1；
（3） 若A, B 都是 n 阶可逆矩阵，则 AB也是可逆
AB的乘法运算，这就是两个矩阵可进行乘法运算的条
件．其结果 AB的行数等于A的行数，列数等于B的列
数．
矩阵的转置
A
把 m n 矩阵 A 的行列依次互换得到的一个 n m
矩阵，称为 A 的转置矩阵，记作 AT或 ，即
a11
A
a21
am1
a12 a22 am2
a1n
a2n
amn
1 1 1
1
3 1 3 0
1 5
5 4
0
1
1 2 -1
4.
求矩阵
3
4
- 2 的逆阵
5 - 4 1
解： 1
3
5
2 4 4
11 4 2
2
1
1 2
13 32
6 14
0 1 2
2
13
2
16
1 3 7
0
1
2
1
５. 讨论对角矩阵 Λ a1 a2 L an 的可逆性．
工程数学
线性代数目录
• 第一章：行列式 • 第二章：矩阵及其运算 • 第三章：矩阵的初等变换与线性方程组 • 第四章：向量组的线性相关性 • 第五章：相似矩阵及二次型 • 第六章：线性空间与线性变换
工程数学第二章矩阵课件
68 34
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例 6 若 A 为 n 阶方阵， k 为实数，则 kA kn A .
证 由于 A 为 n 阶方阵， k 为实数，根据数与矩阵乘法的定义知， kA 是将 A 的 每个元素都乘以 k ，在求 kA 时，根据行列式性质的单行可提性，每一行提出一个 k ， 所以 kA kn A .
例1
已知
a
3
b
a
3
b
c
7
d
2c d 3
，求
a,b,c, d
．
解 根据题意，得
a b 7,
2c d 3,
cd
3,
a b 3
故 a 5,b 2,c 2, d 1 .
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例2 设
A
1 3
2 4
，
B
0 1
2 1
，
试求：（1） A 与 B 是否相等？（2） A , B .
；
0
0
A
0
0 0
0 0
0 2 1 0 4 2
0
3
2
5
1
3
10 2 5
4
1
.
0 A 称为 A 的负矩阵，记为 A，其中 A与 A 的每个对应元素都互为相反数．
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矩阵加法具有如下性质：
假设 A, B,C, 0 均为 m n 矩阵，则 （1） A B B A（交换律）； （2） (A B) C A (B C) （结合律）； （3） A 0 0 A A； （4） A (A) 0 .
5
3
7 5
4 2
工程数学第二章 矩阵
（2）矩阵的行数与列数可以不相等；行列式的行数与列数必定相等．
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a1
只有一行的矩阵 (a1, a2 ,L
, an ) 称为行矩阵；只有一列的矩阵
a2
称为列矩阵．
M
an
若矩阵 A 与 B 的行数相等，列数也相同，则称 A 与 B 为同型矩阵．
化为对此数表的研究．
一般地，对于不同的实际问题有不同的矩形数表，数学上把这种具有一定排列规则
的矩形数表称为矩阵.
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一、矩阵的概念
定义 1 一般地，由 m n 个元素 aij (i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n) 有序地排成 m 行 n
列的数表
a11 a12 L a1n
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2.矩阵的加减运算
定义 4 两个 m n 矩阵 A (aij )mn , B (bij )mn ，对应元素相加（或相减）所得到的
m n 矩阵 C ,称为矩阵 A 与矩阵 B 的和（或差），记作 A B ,即
a11 b11 a12 b12 L
C
A
B
a21
b21 M
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例2 设
A
1 3
2 4
，
B
0 1
2 1
，
试求：（1） A 与 B 是否相等？（2） A , B .
解（1）显然 A B .
（2） A 1
2 2 ，| B | 0
2 2 .
山东大学数学系教科书目录
山东大学数学系教科书目录一、初等数学1、初等数学（一）2、初等数学（二）3、高等数学（一）4、高等数学（二）5、数学分析（一）6、数学分析（二）7、数学分析（三）8、概率论与数理统计9、线性代数（一）10、线性代数（二）11、微积分12、微分方程13、椭圆型微分方程14、复变函数15、定积分与欧拉积分16、无穷积17、常微分方程与泛函微分方程18、常微分方程上的特殊解19、插值与拟合、数值分析20、向量论21、实变函数论22、函数论二、高等数学1、常微分方程2、泛函微分方程3、实变函数4、积分变换与积分系统5、泛函分析6、重积分与调和级数7、几何与向量论8、定性理论9、线性系统10、傅里叶级数11、矩阵分析12、动力系统13、幾何学三、理论数学1、组合论2、抽象代数3、群论4、余环论5、环论6、整数论7、拓扑学8、复变函数论9、函数空间论10、数理逻辑11、数论12、模论四、工程数学1、统计学2、微分方程与数值分析3、概率论及其应用4、随机数学5、矩阵加速法6、特征值问题及其应用7、Lyapunov不稳定性定理及其应用8、大数定律及其应用9、最优控制10、故障诊断理论及其应用11、算法分析及其应用12、统计识别13、多模式计算14、特殊函数干扰理论五、信息论1、数字信号处理2、数字通信3、信息论4、数据通讯5、隐私保护与数据科学6、机器学习7、安全技术8、数据挖掘六、数值分析1、数值算法2、无穷矩阵分析3、多元数值积分4、随机数值分析5、标量、矢量与矩阵数值算法6、并行计算、移动计算和存储7、最优化算法8、实际运算技术参考文献1、微积分手册2、数学分析手册3、数理统计与编程语言手册4、线性代数手册5、概率论与统计机器学习6、数值分析基础7、数值计算技术。
大一工程数学知识点
大一工程数学知识点工程数学是应用数学的一个分支，它主要研究数学在工程领域中的应用。
作为工程学专业的大一学生，了解和掌握一些基本的工程数学知识点对日后的学习和工作都是非常重要的。
本文将介绍一些大一工程数学的基础知识点。
1.微积分微积分是工程数学的基础，它主要包括导数和积分两个部分。
导数用来研究函数的变化率和切线问题，而积分则用来求曲线下面的面积和曲线长度等问题。
在大一的工程数学中，主要学习一元函数的极限、连续性、导数和不定积分等内容。
2.线性代数线性代数是一门研究向量空间和线性映射的学科。
在工程数学中，线性代数主要用于解决多元线性方程组和矩阵运算等问题。
大一学生需要学习向量的基本运算、矩阵的代数性质、线性方程组的求解方法以及行列式的计算等内容。
3.概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机事件和随机现象的理论和方法。
在工程学中，概率论与数理统计被广泛地应用于可靠性分析、风险评估和数据处理等领域。
大一学生需要学习一些基本的概率分布（如二项分布、正态分布）、统计参数的估计和假设检验等内容。
4.复变函数复变函数是研究复数域上的函数的学科。
在工程数学中，复变函数被广泛地应用于电路分析、信号处理和振动理论等领域。
大一学生需要学习复数的基本运算、复变函数的导数和积分、留数定理以及柯西积分公式等内容。
5.离散数学离散数学是数学中的一个分支，它研究离散对象及其相互关系的学科。
在工程数学中，离散数学主要应用于信息科学和计算机科学中的算法和数据结构等问题。
大一学生需要学习集合论的基本概念、图论的基本概念和算法的基本原理等内容。
总结起来，大一工程数学的知识点主要包括微积分、线性代数、概率论与数理统计、复变函数和离散数学等。
这些知识点是工程学专业的基础，对于学好后续的专业课程和日后的工程实践都具有重要意义。
希望同学们在大一期间能够扎实掌握这些基础知识，为未来的学习和发展打下坚实的基础。
工程数学知识点以及教学大纲
工程数学知识点以及教学大纲第一篇线性代数第１章行列式1．二阶、三阶行列式的计算Ｐ22．行列式的性质（转置，换行，数乘，求和，数乘求和）Ｐ3，Ｐ4，P52——3（2）3．行列式展开（代数余子式）Ｐ74．利用性质及行列式展开法则计算行列式（造零降阶法）5．字母型行列式计算（爪型）Ｐ53——5（2）6．矩阵的定义、矩阵的行列式的定义及矩阵与行列式的区别7．矩阵的运算（加减Ｐ20、数乘Ｐ21、乘法Ｐ22、转置Ｐ26、方阵的幂、乘法不满足交换律和消去律）（）8．特殊的矩阵（对角、数量、单位矩阵（E）、三角形矩阵）9．矩阵的初等变换（三种）、行阶梯形、行最简形10．逆矩阵的定义、运算性质11．伴随矩阵Ｐ3812．利用初等变换求逆矩阵——P44例31（两阶更简单）13．矩阵的秩的概念及利用初等变换求矩阵的秩第２章线性方程组1．线性方程组的求解（分非齐次的和齐次的）P65例3、例4第３章特征值的求解（特征向量不作要求）Ｐ89例1第二篇概率论第4章概率的基本概念及计算1、基本概念：必然现象、随机现象、随机试验、样本空间、样本点、随机事件（事件）、基本事件（样本点）、不可能事件、必然事件、事件的包含与相等、和（并）事件、积（交）事件、互不相容（互斥）的事件、逆事件、频率、概率、概率的可加性（互不相容）、概率的加法公式（相容）、古典（等可能）概型P130、放回抽样方式、不放回抽样方式P132——例13、事件相互独立、条件概率Ｐ135引例2、基本公式：概率的可加性（互不相容）概率的加法公式（相容）击落飞机问题概率的乘法公式逆事件的概率事件A和B独立，则有3、基本结论：当事件A和B相互独立时，我们可以证明，事件亦相互独立。
第5章随机变量1、基本概念：随机变量、离散型和连续型随机变量、离散型随机变量的概率分布律、概率分布函数（）、连续型随机变量的概率密度函数（密度函数或密度）、分布函数（，）Ｐ158、Ｐ161——例20、随机变量的独立、随机变量的函数及其分布（P192定理）2、基本公式：六种分布的分布律或概率密度函数服从正态分布的随机变量的概率计算Ｐ165——例23、例253、基本结论：连续型随机变量在某一点的概率为0，即第6章随机变量的数字特征、几个极限定理1、基本概念：离散型和连续型随机变量的数学期望Ｐ190、方差Ｐ198及其性质、随机变量函数的数学期望Ｐ195——例12、k阶（原点）矩、k阶中心矩2、基本公式：（1）数学期望（平均值、期望值、均值）：１），２）（2）方差：１）２）（3）标准差（均方差）：（与随机变量有相同的量纲）3、基本结论：（1）0－1（p）分布：（Ｐ151表格形式），（2）n重贝努里试验、二项分布（b(n,p)）：Ｐ153——例10，（3）泊松公布（Poisson）：，***在实际计算中，当时，我们有如下的泊松近似公式（4）指数分布（）：，，（5）均匀分布（）：，，（6）正态分布（）：，（7）标准正态分布（）：，（8）n个相互独立的正态随机变量的线性函数还是服从正态分布（Ｐ202）第三篇数理统计第7章数理统计的基本概念1、基本概念：总体（母体）、个体、样本（子样）、样本观测值（实现）、简单随机样本（随机性、独立同分布性）、统计量的判断Ｐ218、统计量的观测值、抽样分布2、基本公式：（1）样本平均值：（2）样本方差：（3）样本标准差：（4）样本k阶原点矩：（5）样本k阶中心矩：3、基本结论：（1）定理2：（2）Ｐ221例1（3）（4）（5）定理3：（6）定理4：（7）定理5：（8）定理6：（9）定理7：（10）定理8：（11）定理9：（12）分布：的上侧分位点：的下侧分位点：的双侧分位点，：（13）分布：的上侧分位点：的下侧分位点：的双侧分位点，：当n充分大（>45）时，有（费歇）（14）分布：的上侧分位点：的下侧分位点：的双侧分位点，：当n>30时，分布和标准正态分布就很接近了，由此当n较大时，就可以用标准正态分布的分位点取代分布的分位点。
工程数学
工程数学拉普拉斯变换在过程控制系统分析中的应用摘 要:以拉普拉斯变换为工具,对过程和负反馈等效系统的特性进行了分析,讨论了不同调节规律的过程控制系统的性能区别。
用这种定量法研究问题,可以提高人们对不同形式过程控制系统性能的认识。
关键词:拉普拉斯变换；过程控制系统；余差；干扰1 前 言拉普拉斯变换的实质是将实变量t 的函数f(t)变换成复变量s(s=α+j β)的函数F(s),若函数f(t)在s 复平面收敛,则定义)]([)()(0t f L dt e t f s F st ==⎰∞- f(t)为原函数，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换式。
这种变换,为研究过程控制系统的特性提供了有效途径。
过程控制系统由对象、调节器、执行器和测量变送器等4个环节组成,如果每个初始值和稳态值为：0]11[)]([)0(lim lim =+⨯⨯==-∞→∞→s s s e Ts K s s s sY y τ K e Ts K s s s sY y s s s =+⨯⨯==∞-→→]11[)]([)(lim lim 00τ 可见,应用拉普拉斯变换的方法也比较容易得到正确的结果。
3 负反馈系统特性分析上述分析过程特性的方法可以延伸到对负反馈等效系统的分析。
图1是一个典型的过程控制系统原理方框图。
其中,)(0s G 是过程的传递函数,)(s G v 是执行器的传递函数,)(s G c是调节器的传递函数,)(s G m 是测量变送器的传递函数,则该负反馈系统的等效传递函数为)(s G c )(s G v )(s Go+)(s X)(s Gm)(s Gf )(s Z)(s Y F(＋ ＋图1 过程控制系统原理方框图)()()()(1)()()()()()(s G s G s G s G s G s G s G s X s Y s W m o v c o v c +== 若向给定值X(s)输入一个单位阶跃信号,X(s) = 1/s,则等效系统的输出为：s s G s G s G s G s G s G s G s X s W s Y m o v c o v c 1)()()()(1)()()()()()(⨯+==负反馈系统的阶跃响应函数：)]()([)(1s X s W L t y -=]1)()()()(1)()()([1s s G s G s G s G s G s G s G L m o v c o v c ⨯+=-同样,利用拉普拉斯变换的极限性质,也可以分别求出负反馈等效系统的初始值和稳态值为：]1)()()()(1)()()([)]([)0(lim lim s s G s G s G s G s G s G s G s s sY y m o v c o v c s s ⨯+⨯==∞→∞→ ]1)()()()(1)()()([)]([)(lim lim 00s s G s G s G s G s G s G s G s sY y m o v c o v c s s ⨯+==∞→→ 求出反馈系统的阶跃响应后的稳态值,在过程控制系统中具有重要的实际意义,它可以求出给定值一定变化量所引起系统稳态值的变化量。
工程数学课件第二章复变函数
反正切函数是多值解析函数
21
幂函数的定义:
利用对数函数，可以定义幂函数：设 是任 利用对数函数，可以定义幂函数：设α是任 何复数，则定义 的 何复数，则定义z的α次幂函数为
w= z =e
由于
α
α Lnz
( z ≠ 0)
当α为正实数，且 为正实数，且z=0时，还规定 时，还规定
z = 0.
α
w= z =e
z = kπ (k ∈ Z )
8、同理可以定义其他三角函数：
sin z cos z tan z = , cot z = , cos z sin z 1 1 sec z = , csc z = , cos z sin z
19
9、反正切函数：由函数 z = tan w 数 w称为z的反正切函数，记作
所定义的函
2
去原点上的多值函数; 2、对数函数的代数性质（运算性质）： Ln( z1 z 2 ) = Lnz1 + Lnz 2 Ln( z1 / z 2 ) = Lnz1 − Lnz 2
Ln n z = 1 ln | z | +i 1 argz + 2kπi n n
9
3、对数函数的解析性质： 对数函数的主值分支 ln z在除去原点和负 实轴的复平面上解析， 并且有 d ln z = 1 dz z
iz1 iz2
1 2 1 2
−iz1
−iz2
5、 z + cos z = 1; sin
2 2
iz 2 2
e +e 2 e −e 2 cos z + sin z = ( ) +( ) 2 2i i2z −i 2 z i2z −i 2 z e +e +2 e +e −2 = − =1 4 2 由此不能得到 | cos z |≤ 1, | sin z |≤ 1
研究生《工程数学》第二章教案
//最大迭代次数 //迭代精度
void main() { int i; double x_k=x0, x_k1=x1,x_k2=x1; for (i=0; i<MAXREPT;i++) { printf(“obtain x%d =%f\n",i+1,x_k2); x_k2=x_k1-(f(x_k1)*(x_k1-x_k))/(f(x_k1)-f(x_k)); //弦截求新x_n if (fabs(x_k2-x_k1)<epsilon||fabs(f(x_k2))<epsilon) { printf("The root of f(x) is: x=%f\n",x_k2); return; } x_k=x_k1;x_k1=x_k2; //反复 } printf("After %d repeate,no solved.\n",MAXREPT); }
注1：使用牛顿迭代法存在从一个根跳到另一个根的情况。 注2：如果f(x)=0没有实根，则牛顿迭代序列不收敛。
Newton迭代法收敛性
定理2.3.1 设函数 f ( x) C 2 [a, b] ，且满足
若初值 x0 [a, b] 满足 f ( x0 ) f ( x0 ) 0时，由Newton
4.6 程序示例
★ 牛顿迭代法
#include <stdio.h> #include <math.h> #define f(x) ((x*x-3)*x-1) #define iterate(x) (x-((x*x-3)*x-1)/(3*x*x-3)) #define x0 1.5 #define MAXREPT 1000 //最大迭代次数 #define epsilon 0.000000001 //迭代精度
《工程数学》课程十二-复变函数
解：由于函数 在 内只有一个奇点 在 内解析，由柯西公式可 得
6 解析函数的高阶导数
定理：设区域D的边界为围线 c ， 在 上解析，则函数 的 n 阶导数存在，且
讨论：1)该定理说明，解析函数的任意阶导数都存在，换句话说，在某个区域上，复变函数只要处处都有一阶导数，也就有任意阶的导数.
讨论：
柯西公式表明，对于某有界闭区域上解析的函数，它在区域内任一点的值用它在边界上的值表示出来. 或者说解析函数在边界上的值完全决定了它在区域内部各点的值.
2)对于复连通区域内的解析函数 ，只要将积分路径c 理解为该区域的全部边界(都取正方向)，则柯西积分公式仍然成立，例如：由 组成的复连通区域D ，( 的正方向如图3.9所示)， 则： 有 3)利用柯西积分公式可以计算某些复 变函数沿闭曲线的积分. 例7：设c 为圆周 ，求
工程数学 复变函数
辅导课程十二
主讲教师:冉扬强
汇报人姓名
第二篇 复变函数
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第三章 复变函数的积分 §5 柯西积分公式
5 柯西积分公式
定理(柯西积分公式)：设 c 为区域D 的边界，
在 上解析，则对于区域D内任一点 ，有
第四章 级 数
01.
主要内容
02.
复数项级数的基本概念和性质
03.
幂级数的收敛性，幂级数在收敛圆内的性质
04.
解析函数的泰勒展式
05.
双边幂级数，解析函数的罗朗展式
重点：幂级数的收敛性，收敛半径；解析函数的泰勒展式和罗朗展式
难点：解析函数的泰勒展开和罗朗展开
重点和难点
第四章 级数
幂级数的收敛性
2 幂 级 数
各项均为幂函数的复变项级数 其中 ，都是复常数，这样的级数叫做以 z0 为中心的幂级数。
02《工程数学(本)》第二讲
例如
5 3
6 7
与
8 3
4 9
为同型矩阵.
2. 两个矩阵 A (aij ) 与 B (bij )为同型矩阵，并且对应元 素相等，即 aij bij (i 1, 2,, m; j 1, 2,, n)
则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .
0 0 0 0
例如
0
0
0 0
0 0
0
s
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aik bkj k 1 (i 1, 2, m; j 1, 2,, n)
并把此乘积记作 C = AB．
1
例：设
A
1 0
0 1 5
1 3 1
2
0 4
,
B
0
1
3
1
3 2 1 2
4
1
1
1
5 6 7
则
AB
10 2
2 17
矩阵的定义
由 m×n 个数 aij (i 1, 2,, m; j 1, 2,, n) 排成的 m 行 n 列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵． 记作
A
a11
a21
a12 a22
a1 n a2 n
纯量阵不同 于对角阵
推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 E 与任何
同阶方阵都是可交换的.
(5) 矩阵的幂 若 A 是 n 阶方阵，定义
Ak AAA k
显然 Ak Al Akl , (Ak )l Akl
思考：下列等式在什么时候成立？
( AB)k Ak Bk ( A B)2 A2 2AB B2 ( A B)( A B) A2 B2
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Dk (λ ) = 1
时, D1 (λ ) = " = Dk (λ ) = 1; (2) A(λ ) 的Smith标准形之主对角元 d1(λ), d2 (λ),",
dr (λ) 是由 A(λ )惟一确定的,不因初等变换而改变。
二. 多项式矩阵的不变因子 1. 定义 2.9 A(λ ) 的 Smith 标准形的非零主对 角元 d1 (λ ), d 2 (λ ),", d r (λ ) 称为 A(λ ) 的不变因子。 2. 不变因子的性质 (1)若 rankA(λ ) = r,则 A(λ ) 有 r 个不变因子 d1 (λ ), d 2 (λ )," , d r (λ )； (2) d1 (λ ), d 2 (λ )," , d r (λ ) 均为首1多项式； (3) di (λ ) di +1 (λ ) ( i = 1, 2," , r − 1 )；
0 1 A = # 0 0 0 " 0 −an 0 " 0 −an −1 # % # # ， 0 % 0 −a2 0 " 1 −a1
求 λ E − A 的不变因子。
解 先求 λ E − A 的行列式因子（显然应从Dn (λ ) 求起）.
λ −1 λE − A = # 0 0 0 "
λ "
# % 0 % 0 "
an 0 an −1 # # ， λ a2 −1 λ + a1 0
0 " −1 λ "
λ
0 0 #
an an −1 #
Dn (λ ) = det(λ E − A) = #
0 0
# %
0 % λ a2 0 " −1 λ + a1
0 −1 [1 + i (λ i −1 )], i = 2,3," , n # 0 0
= (λ + a1λ
n
n −1
+ " + an −1λ + an )(−1)
1+ n
(−1)
n −1
= λ n + a1λ n −1 + " + an −1λ + an；
因为有一个 n − 1 阶子式
−1
λ
−1 λ % % −1 = (−1) n −1 ≠ 0
λ
−1
为常数,故 Dn −1 (λ ) = 1 ,从而 D1 (λ ) = " = Dn − 2 (λ ) = 1. 再由不变因子与行列式因子的关系 (2.4.3), 得
由定义立即可知A(λ )的不变因子具有如下性质：
为 A 的）不变因子有 n 个: d1 (λ ), d 2 (λ )," , d n (λ ).
n× n ∀ A ∈ C (4) 的特征矩阵
λ E − A 的（或简称
不变因子在后面的讨论中起着关键作用 , 因此 必须会求多项式矩阵的不变因子，特别是要能熟 练地求出 A ∈ Cn×n 的特征矩阵 λE − A 的不变因子。 3．不变因子的求法 (1)依定义(求出Smith标准形即可得不变因子
根据定理2.9,为求 A(λ )的行列式因子,可对 A(λ )
d1 (λ ) d ( λ ) 2 % d ( λ ) r 0 % 0
容易求得
D1 (λ ) = d1 (λ ),
D2 (λ ) = d1 (λ )d 2 (λ ), ……………………
0 " 0 λ n + a1λ n −1 + " + an −1λ + an λ " 0 an −1 # % # # 0 % λ a2 0 " −1 λ + a1
−1 = (λ n + a1λ n −1 + " + an −1λ + an )(−1)1+ n
λ
−1 λ % % −1
λ
−1 ( n −1)
Dr (λ ) = d1 (λ )d 2 (λ )" d r (λ ).
由此得
d1 (λ ) = D1 (λ ), D2 (λ ) d 2 (λ ) = , D1 (λ )
.
Dr (λ ) d r (λ ) = . Dr −1 (λ )
……………
(2.4.3)
以上表明： (1)Dk (λ ) Dk +1 (λ ) (
1− λ 例如:由例2.5知 A(λ ) = λ 1 + λ 2
λ λ λ −λ 的 λ 2 −λ 2
2
不变因子为 d1 (λ ) = 1, d 2 (λ ) = λ , d3 (λ ) = λ (λ + 1) . (2)依公式（2.4.3）(通过行列式因子求不变 因子) 例2.6 设
2
显然, ∀A ∈ Cn×n的特征矩阵λ E − A的 n 阶行列式 因子 Dn (λ ) = det(λ E − A) , 即为特征多项式。 λ E − A 的 行列式因子也简称为A的行列式因子。 2．定理2.9 初等变换不改变多项式矩阵的 行列式因子，即等价的多项式矩阵有相同的各阶 行列式因子。 （由初等变换定义及行列式的性质可以证明此 定理，此处从略。） 作适当的初等变换变成 B(λ ) ,使 B(λ )的(即A(λ )的)行 列式因子容易求出。特别地,由 A(λ ) 的Smith标准形
d1 (λ ) = d 2 (λ ) = " = d n −1 (λ ) = 1，
d n (λ ) = λ + a1λ
n
n −1
+ " + an −1λ + an .
其首1最高公因式为1，即 D1 (λ ) = 1 ； 非零的2阶子式有
(λ − 2)(λ − 1) , (λ + 1)(λ − 2)， (λ − 2)(λ − 1) , −1，
2 2
其首1最高公因式为1，即 D2 (λ ) = 1； 其 3 阶子式只有一个 (λ − 2)(λ − 1) ，且是首 1 多项式，故 D3 (λ ) = (λ − 2)(λ − 1) 2 .
0 1 0 2 λ λ − − A(λ ) = 0 0 ( 2)( 1) 0 −1 (λ + 1)(λ − 2)
的秩为3，故存在 D1 (λ ), D2 (λ ), D3 (λ ) . 非零的1阶子式有
1, −1, (λ − 2)(λ − 1) 2 , (λ + 1)(λ − 2) ，
第10讲
多项式矩阵的
行列式因子和不变因子
一．多项式矩阵的行列式因子
m× n rankA(λ ) = r . K [ λ ] A ( λ ) ∈ 1. 定义2.8 设 ， 对于 k = 1, 2," , r ， A(λ )的所有非零的 k 阶子式的首 1的最高公因式 Dk (λ ) 称为A(λ ) 的 k 阶行列式因子。 例如