终结圆锥曲线大题 面积问题
圆锥曲线面积问题解题技巧
圆锥曲线面积问题解题技巧
哇塞，朋友们！今天咱们就来好好唠唠圆锥曲线面积问题解题技巧这些事儿。
咱就说，对于圆锥曲线，是不是有时候感觉就像一团乱麻，理都理不清呀！
比如说椭圆吧，已知一个椭圆的方程，然后让你求某个图形的面积，这时候该咋办呢？嘿！先别慌！咱得冷静分析。
你看啊，就像解开一团纠结的毛线，得找到那个关键的线头。
拿双曲线来说，假如给你一个双曲线，还有一些条件，让你算一个和它相关的三角形面积。
这就相当于在迷宫里找出口，得有方法呀！比如咱可以通过巧妙运用一些公式和定理，像发现宝藏一样找到解题的关键。
再说说抛物线，那可真是像个调皮的小精灵，稍不注意就给你来个难题。
可咱不能怕呀！咱得勇敢面对呀！就像打游戏冲关一样，一步步找到技巧。
同学小张就曾经在这上面栽过跟头，他老是抓不住重点，急得直跺脚。
我就跟他说：“嘿，别急呀，咱慢慢分析，肯定能找到突破口。
”后来呀，他静下心来，按照一些方法去做，果然就把难题给解决了。
其实呀，解决圆锥曲线面积问题就像攀岩，得一步一个脚印，找好着力点。
有时候看似困难无比，但是只要你掌握了技巧，就会发现其实也没那么难嘛！遇到问题咱就得迎上去，和它正面交锋！绝对不能退缩。
我的观点就是，只要我们认真去学，多练习，多总结，圆锥曲线面积问题的解题技巧一定能被我们牢牢掌握！大家一起加油吧！。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
圆锥曲线之面积问题
圆锥曲线之面积问题例题1、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c aa ⎧=⎪⎨⎪⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。
（1）当AB x ⊥轴时，AB =。
（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+223(1)4m k =+。
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。
22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。
当且仅当2219k k=，即k =时等号成立。
当0k =时，AB =，综上所述max 2AB =。
∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=。
2、已知椭圆C:2222b y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥轴时，AB =．（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+2=，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤．当且仅当2219k k=，即3k =±时等号成立．当0k =时，AB =max 2AB =．∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=． 3、已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 解：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+22212221(1)()4BD xx k x x x x⎡=-=++-=⎣； 因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2222111)12332k k AC k k⎫+⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S ．综上，四边形ABCD的面积的最小值为96 25．。
终结圆锥曲线大题 面积问题
代入椭圆方程
x2 3
y2 2
1，并化简得 (3k 2
2)x2
6k 2 x 3k 2
6
0
．设 B(x1，y1) ， D(x2，y2 ) ，则
x1
x2
6k 2 3k 2
2
，
x1x2
3k 2 3k 2
6 2
BD
1 k 2 x1 x2
(1 k 2 )(x2
x2 )2
4x1x2
4
3(k 2 3k 2
面积问题
x2 例题 1、已知椭圆 C： a2
y2 b2
1 （a＞b＞0）的离心率为
6 , 短轴一个端点到右焦点的距离为 3
3。
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
3
（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ，求△AOB 面积的最大值。
2
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为
c
2
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c
，依题意
c
a
6 3
， b
1， 所求椭圆方程为
x2
y2
1．
a 3，
3
（Ⅱ）设 A(x1，y1) ， B(x2，y2 ) ．（1）当 AB ⊥ x 轴时， AB 3 ．（2）当 AB 与 x 轴不垂直时，
设直线 AB 的方程为 y kx m ．由已知 m 3 ，得 m2 3 (k 2 1) ．
，依题意
c
a
a
6 3
， b
1，所求椭圆方程为
x2 3
y2
1。
3，
（Ⅱ）设 A(x1，y1) ， B(x2，y2 ) 。（1）当 AB ⊥ x 轴时， AB 3 。（2）当 AB 与 x 轴不垂直时，
高考数学一轮复习专题03 圆锥曲线面积问题(解析版)
F 2F 1OyxBA解析几何专题三：圆锥曲线面积问题一、知识储备 1、三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k-+==+00002211122'2'1ABP kx y m kx y mS AB d k A A k ∆-+∆-+∆=⋅=+⋅=+2、焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为 112121212'ABF c S F F y y c y y A ∆∆=⋅-=-= 2222222222222224()11||S =||d 22AOB a b a A b B C C AB A B a A b B A B∆+-=+++2222222222()C ab a A b B C a A b B+-=+注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数3、平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 1221m m d CH k-==+222222121212''11()41()41'''B C AB k x x k x x x x k k A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+1212221''1ABCDm m m m SAB d k A A k -∆-∆=⋅=+⋅=+注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数. 4、范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数CDHOyxBA均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论）（2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++ 当且仅当2219k k =时，等号成立 （3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+= 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立(5)2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立. 二、例题讲解1．（2022·广东高三月考）已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>，且过点()3,1．（1）求椭圆G 的方程；（2）斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求PAB ∆的面积．【答案】（1）221124x y +=；（2）92.【分析】（1）根据椭圆离心率、及所过的点，结合椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB ：y x b =+，其线段AB 中垂线为1y x =--，联立椭圆方程并应用韦达定理求12x x +、12x x ，进而可得12y y +，由AB 中点在中垂线上代入求参数b ，进而求||AB 、P 到AB 的距离，即可求△PAB 的面积． 【详解】（1）由题意，22222911a b a b c c e a ⎧==⎪⎪⎪+⎨==+⎪⎪⎪⎩，解得22124a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆G 的方程221124x y+=.（2）令AB 为y x b =+，则AB 中垂线方程为(3)21y x x =-++=--， 联立AB 与椭圆方程得：223()12x x b ++=，整理得22463120x bx b ++-=， 若1122(,),(,)A x y B x y ，则1232b x x +=-，2123124b x x -=， △121222by y x x b +=++=，又1212(,)22x x y y ++在AB 中垂线上，△3144b b-=，可得2b =，即123x x +=-，120x x =，△||AB == 又()3,2P -到AB的距离d △19||PABSAB d =⋅=. 2．（2022·全国高三模拟预测）已知双曲线C ：22221x ya b -=()0,0a b >>的左､右焦点分别为1F ，2F ，虚轴上､下两个端点分别为2B ，1B ，右顶点为A ，且双曲线过点，22213B F B A ac a ⋅=-.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设以点1F 为圆心，半径为2的圆为2C ，已知过2F 的两条相互垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与双曲线交于P ，Q 两点，直线2l 与圆2C 相交于M ，N 两点，记PMN ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S +的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）[)12,+∞.【分析】（1）由22213B F B A ac a ⋅=-得223a b =，由双曲线过点得22231a b -=，两个方程联立求出a 和b ，可得双曲线1C 的标准方程；（2）设直线1l ：2x my =+，根据垂直关系得直线2l ：()2y m x =--，求出弦长||MN 和||PQ ，求出121||||2S S MN PQ +=，再根据参数的范围可求出结果. 【详解】（1）由双曲线的方程可知(),0A a ，()10,B b -，()20,B b ，()2,0F c ， 则()22,B F c b =-，()1,B A a b =.因为22213B F B A ac a ⋅=-，所以223ac b ac a -=-，即223a b =.①又双曲线过点，所以22231a b -=.② 由①②解得1a =，b = 所以双曲线1C 的标准方程为2213y x -=. （2）设直线1l ：2x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则由21l l ⊥，得直线2l ：()2y m x =--，即20mx y m +-=. 因为圆心()12,0F -到直线MN的距离d ==所以MN =2d <，故2103m ≤<. 联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()22311290m y my -++=， ()222144363136(1)0m m m ∆=--=+>，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-，所以()22126113m PQ y m +=-=-，则1212S S PQ MN +=⋅=， 又2103m ≤<，所以[)1212,S S +∈+∞. 即12S S +的取值范围为[)12,+∞. 【点睛】关键点点睛：设直线1l ：2x my =+，用m 表示||MN 和||PQ 是本题的解题关键.3．（2022·浙江高三开学考试）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率； （2）求三角形AMN 面积的最小值. 【答案】（1（2）16.【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，设点()2,2A t t ，可知0t >，求出M 、N 的纵坐标，利用斜率公式结合已知条件得出1AM MN k k ⋅=-，可得出关于t 的方程，解出正数t 的值，进而可求得直线AF 的斜率；（2）求出点M 、N 的坐标，求得AM 以及点N 到直线AM 的距离d ，可求得AMN 的面积关于t 的表达式，利用基本不等式可求得AMN 面积的最小值. 【详解】（1）()1,0F ，则12p=，得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =， 设()2,2A t t ，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，故0t >，设点(),0D d ，由AF DF =得211t d +=-，则22d t =+，得()22,0D t +，所以，221AMt k t =-，直线AM 的方程为2112t x y t-=+， 联立224112y xt x y t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，得222240t y y t ---=，所以，42M A y y t -==-， 进一步得()2222AN AD tk k t t t ===--+，直线AN 的方程为212x y t t=-++， 联立22124x y t t y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()224420y y t t +-+=，4N A y y t ∴+=-，则42N y t t=--，又AM MN ⊥，22224414444A M M N A M M N AM MN A M M N A M M N A M M Ny y y y y y y y k k y y y y x x x x y y y y ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=---++--， 代入得44122422t tt t t⋅=-----，化简得：42230t t --=， 又0t >，t ∴=(3,A，AF k ∴==（2）由（1）知224,2N t t t t ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212,M t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()222221122A M t AM x x t tt+=++=++=，直线AM 的方程2112t x y t-=+即为()22120tx t y t ---= 所以点N 到直线AM 的距离为()()()222221211t t d tt t++==+，()332331122216AMN t S t t t +⎛⎛⎫==+≥= ⎪ ⎝⎭⎝△， 当且仅当1t =时，S 取到最小值16. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．1．（2022·江苏南京·高三月考）已知抛物线1G ：24y x =与椭圆2G ：22221x y a b+=（0a b >>）有公共的焦点，2G 的左、右焦点分别为1F ，2F ，该椭圆的离心率为12． （1）求椭圆2G 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴，椭圆2G 顺次交于P ，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧），且1PFQ ∠与1PF R ∠互补，求1F QR ∆面积S 的最大值．【答案】（1）22143x y +=．（2【分析】（1）由已知条件推导出1c =，结合12e =和隐含条件222a b c =+，即可求出椭圆标准方程； （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，可得110QF RF k k +=，根据已知条件，结合韦达定理、点到距离公式和均值不等式，即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，∴椭圆的半焦距1c =，又椭圆的离心率为12，∴12c e a ==，即2a =， 222a b c =+，222413b a c ∴=-=-=，即b =∴椭圆2C 的方程为22143x y +=． （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，∴110QF RF k k +=， ∴1212011y yx x +=++，化简整理，可得1222110x y y x y y +++=①， 设直线PQ 为(0)x my n m =+≠，联立直线与椭圆方程22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理，可得222(34)63120m y mny n +++-=，∆222224364(34)(312)0b ac m n m n =-=-+->，可得2234n m <+②，由韦达定理，可得21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-=++③， 将11x my n =+，22x my n =+代入①，可得12122(1)()0my y n y y +++=④， 再将③代入④，可得2226(4)6(1)3434m n mn n m m -+=++，解得4n =-，PQ ∴的方程为4x my =-，由点(1,0)F -到直线PQ的距离d =，11||2F QRSQR d =⋅= 由②可得，23416m +>，即24m >，设()f m =24m t -=，0t >，()f t ∴= 由均值不等式可知，25625692996t t t t+⋅=， 当且仅当2569t t =时，即163t =，等号成立，当2569t t+取最小值时，()f t 取最大值，即1FQR 面积S 最大，∴()18max f t =， ∴△1FQR 面积S2．（2022·重庆市第十一中学校高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为点与右焦点的连线构成正三角形． （△）求椭圆C 的标准方程；（△）设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，当OMN ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】（△）2214x y +=；（△）2y -或2y =-． 【分析】（△）由题意知，c =c a =222b a c =-，即可求得椭圆的方程； （△）设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=，利用韦达定理，弦长公式结合OMN的面积公式得到OMNS =，利用换元结合基本不等式求解. 【详解】（△）由题意知，c =cos 6c a π==， 2a ∴=，2221b a c =-=所以椭圆的方程为2214x y +=．（△）当l x ⊥轴时不合题意，由题意设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ． 联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=． 当()216430k ∆=->，即234k >，且1221614k x x k +=-+，1221214x x k =+．从而12||MN x-=．又点O 到直线MN的距离d =所以OMN 的面积1||2OMNSd MN =⋅=t ，则0t >，24444OMNt St t t==++．因为44t t +≥，当且仅当2t =，即2k =±时等号成立，且满足0∆>． 所以，当OMN 的面积最大时，直线l的方程为2y x =-或2y x =-． 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2022·全国高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别是()1F和)2F ，点Р在椭圆E 上，且12PF F △的周长是4+ （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知、、A B C 为椭圆E 上三点，若有0OA OB OC ++=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据题设条件和椭圆的定义得到12124PF PF F F ++=+124PF PF +=，得到2a =，进而求得21b =，即可求得椭圆的方程；()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，联立方程组求得1212,x x x x +，根据0OA OB OC ++=，求得2282(,)1414km m C k k -++，结合点到直线的距离公式和面积公式，求得3332ABCOABS S=⋅=；当直线AB 斜率不存在时，得到直线AB 方程为1x =±，求得332ABCABOS S==. 【详解】（1）由题意，双曲线2222:1xy E a b+=的焦点()1F 和)2F ，可得12F F =因为12PF F △的周长是4+12124PF PF F F ++=+所以124PF PF +=，即24a =，可得2a =，又由222431b a c =-=-=， 所以椭圆E 的方程是2214x y +=.()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2221484()40k x kmx m +++-=，则22212122284416(41)0,,1414km m k m x x x x k k -∆=-+>+=-=++ 由0OA OB OC ++=，可得12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，又由122814kmx x k +=-+，可得()12121222214m y y kx m kx m k x x m k +=+++=++=+ 所以332282,1414km m x y k k ==-++， 将()33,x y 代入椭圆方程可得222282441414km m k k ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得22414m k =+， 又O 到直线AB的距离为d =则()2112OABSk =⋅+= 又由0OA OB OC ++=，可得点O 为ABC 的重心，所以3332ABCOABS S=⋅=； 当直线AB 斜率不存在时，根据坐标关系可得，直线AB 方程为1x =±，可得AB112ABOS ==所以13312ABC ABOSS==⨯综上可得：ABC S △. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．4．（2022·榆林市第十中学高三月考（理））已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的左，右焦点，126F F =，当P 在E 上且1PF 垂直x 轴时，217PF PF =.（1）求E 的标准方程；（2）A 为E 的左顶点，B 为E 的上顶点，M 是E 上第四象限内一点，AM 与y 轴交于点C ，BM 与x 轴交于点D .（i ）证明：四边形ABDC 的面积是定值. （ii ）求CDM 的面积的最大值.【答案】（1）221123x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）())max 31CDM S =△.【分析】（1）由通径长公式得21b PF a=，结合椭圆定义可得,a b 关系，再由3c =求得,a b ，得椭圆方程；（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，由三点共线把,s t 用,m n 表示，然后计算四边形面积可得结论；（ii ）由（i ）只要ABM 面积最大即可，求出椭圆的与AB 平行的切线方程，切点即为M （注意有两个切点，需要确定其中一个），从而得面积最大值． 【详解】解：（1）由题意知21b PF a=，212PF PF a +=，217PF PF =，则182PF a =，得2a b =，又3c =，222a b c =+，解得2a b == 所以E 的标准方程是221123x y +=.（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，因为A ，C ，M 三点共线，则AC AM λ=，解得t =B ，D ，M 三点共线，则BD BM μ=，解得s =，AD s =+BC t =，221123m n +=，66AD BC st ⋅--+==6612m n +==. 162ABDC S AD BC =⋅=. （ii ）因为CDM ABM ABDC S S S =-四边形△△， 所以当ABM S △最大时，CDMS 最大.1:2AB l y x =AB 平行的直线()1:02l y x p p =+<， 与221123x y +=联立，消y 得222260x px p ++-=，()2244260pp ∆=--=，解得p =p =（舍去），两平行线AB l ，l间的距离25d =，())max1312ABM S AB d =⋅=△，则())max 31CDM S =△.5．（2022·山西祁县中学高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)F ，动点P 到直线6x =的距离等于2||2PF +.动点P 的轨迹记为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）已知(2,0)A ，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记AOB ∆和AOD ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S +的最大值．【答案】（1）221123x y +=；（2）3.【分析】（1）设点P (x ，y )，再根据动点P 到直线x ＝6的距离等于2|PF |＋2列出方程化简即可；（2）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立直线与（1）中所得的椭圆方程，得出韦达定理，再得出S 1＋S 2＝12|OA ||y 1－y 2|关于m 的表达式，换元求解最值即可 【详解】(1)设点P (x ，y )，当6x ≥时，P 到直线x ＝6的距离显然小于PF ，故不满足题意； 故()62,6x x -=<，即4x -=整理得3x 2＋4y 2＝12，即24x ＋23y ＝1.故曲线C 的方程为24x ＋23y ＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，Δ>0显然成立， 所以y 1＋y 2＝－2634m m +，y 1y 2＝－2934m +， 所以|y 1－y 2|故S 1＋S 2＝12|OA ||y 1|＋12|OA ||y 2|＝12|OA ||y 1－y2|.设t t ≥1，则m 2＝t 2－1，则S 1＋S 2＝21231tt +＝1213t t+. 因为t ≥1，所以3t ＋1t≥4(当且仅当t ＝1时，等号成立)．故S 1＋S 2＝1213t t+≤3， 即S 1＋S 2的最大值为3.6．（2022·西藏拉萨中学高三月考（理））（1）一动圆过定点(1,0)A ，且与定圆22:(1)16C x y ++=相切，求动圆圆心的轨迹E 的方程．（2）直线l 经过点A 且不与x 轴重合，l 与轨迹E 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【分析】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．由与定圆22:(1)16C x y ++=相切，且点A 的圆C 内，由||44||MC R MA =-=-，即||||4MC MA +=，利用椭圆的定义求解；（2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=，由121||2CPQSCA y y =⋅-，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．定圆C 的圆心(1,0)C -，半径为4. 点A 的圆C 内．||44||||||4MC R MA MC MA ∴=-=-∴+=，且4AC > ，∴轨迹E 是以C 、A 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以椭圆方程为：22143x y +=. （2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=， 得()2234690m y my ++-=，设()()1122,,P x y Q x y ⋅， 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，121||2CPQSCA y y =⋅-，=令21(1)t m t =+，则1212CPQS=1()9f t t t=+在[1,)+∞为增函数1t ∴=，即0m =时，CPQ S △取最大值3.7．（2022·山东高三模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30o ． （1）求双曲线C 的方程；（2）经过点F 的直线与双曲线的右支交与,A B 两点，与y 轴交与P 点，点P 关于原点的对称点为点Q ，求证：QABS>【答案】（1）2213x y -=；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+可求出22,a b ，从而可求出双曲线C 的方程； （2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，可得()02P k -，，()02Q k ，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，从而可表示出()()2222248131QABk k Sk +=-，再由直线与双曲线的右支交与,A B 两点，可得231k >，则2310t k =->，代入上式化简可求得结果 【详解】解：（1）由题意得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+ 解得2231a b ==，所以双曲线C 的方程为：2213x y -=（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，得()02P k -，，()02Q k ，， 设()11A x y ，，()22B x y ，，联立()22132x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得()222231121230k x k x k --++=21221231k x x k +=-，212212331k x x k +⋅=- 所以1212QABQPB QPASSSPQ x x =-=-122k x x =- 所以()()2222221212224123124443131QABk k Sk x x x x k k k ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎢⎥=+-=- ⎪⎣⎦--⎢⎥⎝⎭⎣⎦2()()222248131k k k+=-直线与双曲线右支有两个交点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++=>⋅=>-- 所以231k >，设2310t k =->，()2221111645334813QABt t St t t ++⎛⎫⋅+⎪⎛⎫⎝⎭==++ ⎪⎝⎭2641564251633383643t ⎛⎫=+->⨯-=⎪⎝⎭所以QAB S >【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出()()2222248131QABk k S k+=-，再结合231k >，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题 8．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F，点(P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若OAB ∆的面积为求直线l 的方程．【答案】（1）22122x y -=；（2）2y =+和2y =+． 【分析】（1）根据焦点坐标，可得2c =，所以224a b +=，代入双曲线方程，可得()222221044x y a a a-=<<-，将P 点坐标代入，即可求得a 值，即可得答案；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，与双曲线C 联立，可得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的表达式，代入弦长公式，即可求得AB ，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l 的距离d ，代入面积公式，结合题意，即可求得k 的值，即可得答案. 【详解】（1）依题意，2c =，所以224a b +=，则双曲线C 的方程为()222221044x y a a a-=<<-，将点P 代入上式，得22252314a a -=-， 解得250a =(舍去)或22a =， 故所求双曲线的方程为22122x y -=．（2）依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理，得()221460k x kx ---=．因为直线l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，所以()22210(4)2410k k k ⎧-≠⎪⎨-+->⎪⎩，解得1k k ≠±⎧⎪⎨<⎪⎩(*) 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122246,11k x x x x k k +==---，所以||AB =又原点O 到直线l 的距离d =所以11||22OABSd AB =⋅==．又OABS=1=，所以4220k k --=，解得k =(*)．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+． 【点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为：解得k 值，需检验是否满足判别式0∆>的条件，考查计算化简的能力，属中档题.9．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线22:1164x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ． （1）求与双曲线C 有共同渐近线且过点()2,3的双曲线标准方程； （2）若P 是双曲线C 上一点，且12150F PF ∠=︒，求12F PF △的面积．【答案】（1）221832y x -=；（2）8-【分析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，代入点()2,3，求得k 值，即可得答案； （2）不妨设P 在C 的右支上，根据双曲线定义，可得1228PF PF a -==，根据方程可得12F F 的值，在12F PF △中，利用余弦定理可得12PF PF 的值，代入面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）因为所求双曲线与22:1164x y C -=共渐近线，所以设该双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠， 又该双曲线过点()2,3， 所以49164k -=，解得k =-2， 所以所求双曲线方程为：221832y x -=（2）不妨设P 在C 的右支上，则1228PF PF a -==，122F F c == 在12F PF △中，2222121212121212()280cos15022PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF +--+-︒===解得1232PF PF =- 所以12F PF △的面积1212111sin (328222F P S F PF PF ∠==⨯-⨯=-【点睛】解题的关键是：掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与22221x y a b-=共渐近线的方程可设为：2222(0)x y k k a b -=≠；与22221x y a b -=共焦点的方程可设为：22221x y a b λλ-=+-，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题.10．（2022·浙江高三开学考试）已知抛物线T ：()22y px p N +=∈和椭圆C ：2215x y +=，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点．（1）若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；（2）若MN 恰好被AB 平分，求OAB 面积的最大值． 【答案】（1）4p =；（2【分析】（1）根据椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，再根据F 恰是椭圆C 的焦点，即可得出答案；（2）设直线l ：2p x my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，求得AB 的中点坐标，根据因为MN 恰好被AB 平分，则直线MN 的斜率等于m -，再根据点差法求得直线MN 的斜率，求得2m ，根据由AB 的中点在椭圆内，求得p 的最大值，从而可求得OAB 面积的最大值． 【详解】解：（1）在椭圆中，2224c a b =-=，所以2c =， 因为F 恰是椭圆C 的焦点， 所以22p=，所以4p =； （2）设直线l ：2px my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ， 联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y mpy p --=， 则212122,y y mp y y p +=⋅=-，则2122x x m p p +=+，故AB 的中点坐标为2,2p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又因为MN 恰好被AB 平分，则2342x x m p p +=+，342y y mp +=，直线MN 的斜率等于m -，将M 、N 的坐标代入椭圆方程得：223315x y +=，224415x y +=， 两式相减得：()()()()3434343405x x x x y y y y +-++-=， 故234342110y y m x x m-+=--， 即直线MN 的斜率等于22110m m+-， 所以22110m m m+-=-，解得218m =， 由AB 的中点在椭圆内，得2222()15p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<，解得26413p <， 因为p Z ∈，所以p 的最大值是2，12y y -== 则OAB面积212122p S y y p =⨯-==≤， 所以，当2p =时，OAB ． 11．（2022·普宁市第二中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．【答案】（1）准线方程：1y =-；（2）直线AB 恒过定点()0,2，证明见解析；（3）4．【分析】（1）由焦点在y 轴正半轴上，且2p =，即可得准线方程；（2）设直线AB 方程为y kx b =+，与抛物线方程联立由韦达定理和向量数量积的坐标运算，解方程可得b 的值，即可得所过的定点；（3）设1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，与抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式求M 、N 两点坐标，由两点间距离公式求FM 、FN 的长，再计算12FMN SFM FN ，由基本不等式求最值即可求解.【详解】 （1）由24x y =可得：2p =，焦点为()0,1F ，所以准线方程：1y =-，（2）设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=， 所以124x x k +=，124x x b =-，222121212124416x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=-， 即2440b b -+=，解得：2b =所以直线2y kx =+过定点()0,2（3）()0,1F ，由题意知直线1l 、2l 的斜率都存在且不为0，设直线1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线2l 的方程为11y x k=-+， 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=， 所以344x x k +=，344x x =-，所以()34122M x x x k =+=，2121M M y kx k =+=+，所以()22,21M k k + 用1k -替换k 可得2N x k =-，221N y k =+，所以222,1N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12FMN S FM FN ====224≥=⨯=，当且仅当221k k =即1k =±时，等号成立， 所以FMN 的面积取最小值4．【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。
圆锥曲线面积最值秒杀解法_概述及解释说明
圆锥曲线面积最值秒杀解法概述及解释说明1. 引言1.1 概述在数学中，圆锥曲线是一类由一个平面和一个点来确定的曲线。
它包括了圆、椭圆、双曲线和抛物线等不同的类型。
这些曲线在科学、工程和经济等领域中广泛应用。
本文将重点讨论圆锥曲线面积最值问题的解法。
通过寻找圆锥曲线在特定条件下的最大或最小面积，我们可以得到很多有用的结论和应用。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分。
首先是引言部分，简要介绍了文章的背景和目标。
接下来，我们将概述并说明解决圆锥曲线面积最值问题的传统方法，包括定义和性质以及最值问题的背景和意义。
然后，我们将详细介绍一种名为“秒杀解法”的新方法，该方法可以快速有效地求解圆锥曲线面积最值问题。
我们将阐述其基本思路、原理，并提供完整演算步骤及示例证明。
在第四部分中，我们将通过实际应用案例研究来验证该秒杀解法的可行性和效果。
这些案例包括工程设计领域的成功实践、经济学模型中的应用和地理信息系统中的空间分析优化。
最后，在结论与展望部分，我们将对整篇文章进行总结，并提出未来研究的方向和展望。
1.3 目的本文的主要目的是介绍一种针对圆锥曲线面积最值问题的新方法——秒杀解法。
通过探讨传统方法和秒杀解法，我们可以深入了解圆锥曲线在不同领域中的应用和意义。
通过具体案例研究，我们将证明秒杀解法在实际问题中的可行性和有效性。
同时，本文也希望能够激发更多关于圆锥曲线面积最值问题求解方法的研究，为相关学科提供更多应用价值和理论支持。
2. 圆锥曲线面积最值秒杀解法概述和说明2.1 圆锥曲线的定义和性质圆锥曲线是指在三维空间中，由一个点（焦点）和一条直线（准线）决定的一类曲线。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
每种圆锥曲线有其独特的性质，如焦点与准线之间的距离关系、离心率等。
2.2 最值问题的背景和意义在数学中，最值问题是指求解函数在某个区间内取得最大或最小值的问题。
对于圆锥曲线而言，我们希望找到使其面积达到最大或最小值的条件和方法。
圆锥曲线.03圆锥曲线地弦长面积问题.知识讲解及练习(最新整理)
9 x02
25 y02
（4） S 1 12 3 m2 m 1 1 m2 (m2 8) 1 1 m2 m2 8 2
2
2
3 22
22
2
当且仅当 m2 m2 8 时，等号成立
（5） S 2 2 1 k 2
2k 2 m12 1 2m1 4 2
1 2k 2
1 k2
(2k 2 m12 1)m12 4
1 k2 A x a
或 AB
1
1 k2
A y1
y2
1
1A k2
y1
y2 4 y1 y2
1 1 A y k2 a
文档
y
P O
A
x H
B
实用标准文案
题型二：面积问题
1. 三角形面积问题
直线 AB 方程： y kx m
d PH kx0 y0 m 1 k2
SABP
1 2
AB
d
1 2
1 k2
1 k2
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 1 k 2
x a
SA ABCD AB d 1 k 2
x m1 m2 a 1 k2
x m1 m2 a
题型三：范围问题
首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想 均值不等式 a2 b2 2ab(a,b R) 变式： a b 2 ab(a,b R ); ab ( a b)2 (a,b R )
文档
实用标准文案
【例4】 已知椭圆 C : x2 y2 1，过点 M 0 ，3 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A 、 B ．
4 （Ⅰ）若 l 与 x 轴相交于点 N ，且 A 是 MN 的中点，求直线 l 的方程；
第22讲 圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型(解析版)-2024高考数学常考题型
第22讲圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型【考点分析】考点一：弦长公式设)(11y x M ，，)(22y x N ，根据两点距离公式221221)()(||y y x x MN -+-=．注意：①设直线为y kx m =+上，代入化简，得212||1MN k x x =+-;②设直线方程为m ty x +=，代入化简，得212||1MN t y y =+-③a k MN '∆+=21，其中∆为直线与圆锥曲线联立后得到的一元二次方程的判别式，a '为二次项系数考点二：三角形的面积处理方法①⨯=∆21S 底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）②⨯=∆21S 水平宽·铅锤高D E x x AB -⨯=21或E A y y CD S -⨯=∆21③在平面直角坐标系xOy 中，已知OMN △的顶点分别为(00)O ，，11()M x y ，，22()N x y ，，三角形的面积为122112S x y x y =-．考点三：四边形面积处理方法①若四边形对角线AC 与BD 相互垂直，则BD AC S ABCD ⋅=21四边形②将四边形面积转化为三角形面积进行解决【题型目录】题型一：求弦长及范围问题题型二：三角形面积及范围问题题型三：四边形面积及范围问题【典型例题】题型一：求弦长及范围问题【例1】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22且经过点(2，1)，直线l 经过()01P ，，且与椭圆C相交于AB 、两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当3AB =，求此时直线l 的方程；【例2】已知椭圆()2210x y a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右焦点2F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，求AB CD +的取值范围.【例3】已知椭圆2210a b a b+=>>（）的左焦点1(1,0)F -，长轴长与短轴长的比是2．(1)求椭圆的方程；(2)过1F 作两直线,m n 交椭圆于,,,A B C D 四点，若m n ⊥，求证：11AB CD+为定值．4+【题型专练】1．椭圆C：()222210x y a ba b+=>>左右焦点为1F，2F1,2M⎛⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过点()2,3A，倾斜角为π4直线l与椭圆交于B，C两点，求BC．2.已知椭圆1C：()222210x y a ba b+=>>过点M⎝且与抛物线2C：22y px=有一个公共的焦点()1,0F．(1)求椭圆1C与抛物线2C的方程；(2)过点F的直线l与椭圆1C交于A，B两点，与抛物线2C交于C，D两点．是否存在这样的直线l，使得=若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．2AB CD3.已知椭圆22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点(2,1)P -．(1)求C 的方程；(2)若,A B 是C 上两点，直线AB 与圆222x y +=相切，求AB 的取值范围．4.已知椭圆()2222:10x yE a ba b+=>>，1F，2F分别为左右焦点，点(1P，2P-⎛⎝⎭在椭圆E上.(1)求椭圆E的离心率；(2)过左焦点1F且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若AB的中点为M，O为原点，直线OM交直线3x=-于点N，求1ABNF取最大值时直线l的方程.题型二：三角形面积及范围问题【例1】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x ya b a b+=>>与椭圆22198x y +=有相同的焦点1F ，2F ，且右焦点2F ．(1)求椭圆E 的方程；(2)若过椭圆E 左焦点1F ，且斜率为1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求2F MN 的面积．【例2】已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，对称轴分别为x 轴、y 轴，且过(1,0)A -，(,1)2B -两点．(1)求E 的方程；(2)设F 为椭圆E 的一个焦点，M ，N 为椭圆E 上的两动点，且满足0MN AF ⋅=，当M ，O ，N 三点不共线时，求△MON 的面积的最大值．【例3】已知椭圆W ：()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，短轴长为2．(1)求椭圆W 的标准方程；(2)设A 为椭圆W 的右顶点，C ，D 是y 轴上关于x 轴对称的两点，直线AC 与椭圆W 的另一个交点为B ，点E 为AB 中点，点H 在直线AD 上且满足CH OE ⊥（O 为坐标原点），记AEH △，ACD 的面积分别为1S ，2S ，若1325S S =，求直线AB 的斜率．【例4】已知椭圆22:1(0)C a b a b +=>>，过右焦点的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且当l x ⊥轴时，MN =(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率存在且不为0，点,M N 在x 轴上的射影分别为,P Q ，且()04,,,R y N P 三点共线，求证：RMN 与RPQ 的面积相同.【点睛】关键点点睛：联立直线与曲线的方程得到韦达定理是常用和必备的步骤点到直线的距离即可求解面积以及长度以及最值，最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解借助于向量以及两点斜率公式.【例5】已知椭圆222:1(13)9x y C b b+=<<的上､下顶点分别为,A B ，点(),1(0)P t t >在椭圆内，且直线,PA PB分别与椭圆C 交于,E F 两点，直线EF 与y 轴交于点Q ．已知tan 3tan PAB PBA ∠∠=．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设AQE 的面积为1,S BQF 的面积为2S ，求12S S 的取值范围．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆方程联立的综合应用，本题的关键是计算繁琐，尤其求点坐标和直线EF的方程时，注意化简的准确性【题型专练】1.已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左，右焦点分别为1F，2F，焦距为12Q⎫-⎪⎭在C上.(1)P是C上一动点，求12PF PF⋅的范围；(2)过C的右焦点2F，且斜率不为零的直线l交C于M，N两点，求1F MN△的内切圆面积的最大值.π2．已知O 为坐标原点，点(M N 皆为曲线Γ上点，P 为曲线Γ上异于,M N 的任意一点，且满足直线PM 的斜率与直线PN 的斜率之积为12-.(1)求曲线Γ的方程：(2)设直线l 与曲线Γ相交于,A B 两点，直线,,OA l OB 的斜率分别为12,,k k k （其中0k >），OAB 的面积为(0)S S ≠，以,OA OB 为直径的圆的面积分别为1S 、2S ，若12,,k k k 范围.进而可得所以22212121211()()()m m m k k k k km x x x x x x =++=+++，所以2121211()0m km x x x x ++=，即22112120x x m km x x x x +⋅+=，即有22(21)0k m -=，又因为0k >，0S ≠，所以0m ≠，2210k -=，解得22k =，所以22||22S m m =⋅⋅-，所以22222222121212121223π(||2)3π6||26||22()2ππ222[(1)(1)]22424222m m S m m m m x x x x x x x x S S ⋅⋅-⋅-⋅-===++-+⋅++⋅+++22422||221(1)1m m m m m =⋅-=-=--≤，当1m =±时取等号.又因为2221k m +>，即202m <<，所以2201(1)1m <--≤，即123π(0,1]22SS S ∈+.【点睛】方法点睛：对于解答直线与圆锥曲线问题的题，常用的方程是设而不解，联立直线方程与圆锥曲线方程，再利用韦达定理、弦长公式进行解答即可.3.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的长轴为4，离心率为22(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，过点()4,0P 的直线l 与C 交于A ，B ，过A ，B 作直线1l ：x t =的垂线，垂足分别为M ，N ，记 AMP ，MNP △，BNP △的面积分别为1S ，2S ，3S ，问：是否存在实数t ，使得1322S S S 为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由24．已知椭圆22:1(0)C a b a b+=>>经过点且焦距为4，点,A B 分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值；(3),M N 是椭圆C 上的两点，且,M N 不在坐标轴上，满足OM ∥AP ，ON ∥BP ，问MON △的面积是否是定值？如果是，请求出MON △的面积；如果不是，请你说明理由.5．已知圆1F：(2216x y+=，点2F，P是圆1F上的一个动点，线段2F P的中垂线l交1F P于点Q.(1)求点Q的轨迹C的方程；(2)若点()2,0A-，过点A的直线l与C交于点M，与y轴交于点N，过原点且与l平行的直线与C交于P、G两点，求()2PAN PAMAOPS SS⋅△△△的值.6.若椭圆2212211:1x y C a b +=与椭圆2222222:1x y C a b +=满足1122(0)a b m m a b ==>，则称这两个椭圆为“相似”，相似比为m .如图，已知椭圆1C 的长轴长是4，椭圆2C的离心率为2，椭圆1C 与椭圆2C(1)求椭圆1C 与椭圆2C 的方程；(2)过椭圆2C 左焦点F 的直线l 与1C 、2C 依次交于A 、C 、D 、B 四点.①求证：无论直线l 的倾斜角如何变化，恒有||||AC DB =.②点M 是椭圆2C 上异于C 、D 的任意一点，记MBD 面积为1S ，△MAD 面积为2S ，当1215S S =时，求直线l 的方程.7.已知椭圆C 的焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 、2F ，离心率2e =，P 为椭圆上任意一点，12PF F △的周长为6.(1)求椭圆C 的标准方程：(2)过点()4,0S 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于Q ，R 两点，点Q 关于x 轴的对称点为1Q ，过点Q 1与R 的直线交x 轴于T 点，试问TRQ △的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由（5）代入韦达定理求解.题型三：四边形面积及范围问题【例1】已知椭圆C ：22x a ＋22y b＝1，过A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求四边形ABNM 的面积.【例2】设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为P ，离心率为2，O 是坐标原点，且OP FP ⋅=(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 作两条互相垂直的直线，分别与C 交于A ，B ，M ，N 四点，求四边形AMBN 面积的取值范围.【例3】椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>经过点()1,1E 且离心率为2；直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过原点.(1)求椭圆1C 的方程；(2)若过原点的直线m 与椭圆1C 交于,C D 两点，且()OC t OA OB =+，求四边形ACBD 面积的最大值.【例4】在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于,A M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B .（i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于,D G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值.数的知识进行求解.【题型专练】1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，离心率为12，其左右焦点分别为1 F ，2F ，点(1,1)A -在椭圆内，P 为椭圆上一个动点，且1||PF PA +的最大值为5．(1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 的上半部分取两点M ，N （不包含椭圆左右端点），且122F M F N =，求四边形12F F NM 的面积．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是把四边形这样便可以利用公式求三角形的面积了.2．已知()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点到右顶点的距离为2，右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A 、B 两点，直线:2l x =与x 轴相交于点H ，过点A 作AD l ⊥，垂足为D ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)①求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围；②证明直线BD过定点E，并求出点E的坐标．3．已知过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的椭圆C ：()2210x ya b a b+=>>上的点到焦点的最大距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 的切线方程为00221xx yy a b +=.已知点M 为直线4x =-上任意一点，过M 点作椭圆C 的两条切线MA ，,,MB A B 为切点，AB 与OM （O 为原点）交于点D ，当MDB∠最小时求四边形AOBM 的面积.则有MDB DEO DOE ∠=∠+∠,∴0000343tan 431414AB ODAB ODy k k y y MDB k k y +⎛⎫-∠===+≥ ⎪+⎝⎭-当且仅当023y =时取等号，此时MDB ∠为锐角，同理根据对称性可求得00y <时023y =-，4.设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，Q 为椭圆C 上任意两点，且()110PF QF λλ=<，若2PQF 的周长为8，12PF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 内切于矩形ABCD （椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD 面积的最大值．5．已知椭圆122:1(0)C a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为12，一动圆2C 过椭圆1C 右焦点F ，且与直线1x =-相切．(1)求椭圆1C 的方程及动圆圆心轨迹2C 的方程；(2)过F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆1C 于P ，Q 两点，交曲线2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值．x。
圆锥曲线中面积型问题
圆锥曲线中面积型问题
圆锥曲线中的面积型问题通常涉及到计算某个特定区域的面积，这些区域可能是由圆锥曲线（如椭圆、双曲线或抛物线）和直线或其他曲线围成的。
解决这类问题的一般步骤包括：
1.确定相关方程：需要明确给定的圆锥曲线和其他相关曲线的方程。
这些方程是解决问题的基础。
2.找出交点：接下来，找出这些曲线之间的交点。
这些交点通常是计算面积的关键点。
3.确定积分区间：根据交点，确定需要积分的区间。
对于二维问题，这通常是一个或多个区间；对于三维问题，则可能是一个区域。
4.进行积分计算：使用适当的积分公式或技巧，计算相关区域的面积。
这可能涉及到定积分、二重积分或三重积分，具体取决于问题的维度。
5.简化结果：最后，对计算出的结果进行简化，得出最终答案。
例如，在椭圆中，可能需要计算椭圆与某条直线围成的区域的面积。
需要找出椭圆和直线的交点，然后确定需要积分的区间，接着使用定积分或二重积分进行计算，最后简化结果。
需要注意的是，圆锥曲线中的面积型问题可能比较复杂，需要综合运用数学知识进行分析和计算。
在实际解题过程中，还需要注
意选择合适的计算方法和技巧，以提高解题效率和准确性。
高考数学压轴题——圆锥曲线大题十个大招含答案全解析
终结圆锥曲线大题十个大招招式一：弦的垂直平分线问题 (25)招式二：动弦过定点的问题 (26)招式四：共线向量问题 (28)招式五：面积问题 (35)招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (38)招式七：直线问题 (43)招式八：轨迹问题 (47)招式九：对称问题 (54)招式十、存在性问题 (57)招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
例题分析1：已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出221114(2)32AB =+-⨯-=．招式二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
02圆锥曲线中的面积问题
02圆锥曲线中的面积问题一、基础知识：1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）．（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形 2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算．这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）（1）椭圆：设P 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，且12F PF θ∠=，则122tan 2PF F S b θ=（2）双曲线：设P 为椭圆()22221,0x ya b a b -=>上一点，且12F PF θ∠=，则1221cot 2PF F S b θ=⋅二、典型例题：例1：设12,F F 为椭圆2214x y +=的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PFQF 的面积最大时，12PF PF ⋅的值等于___________． 思路：由椭圆中心对称的特性可知,P Q 关于原点中心对称，所以12PF F 与12QF F 关于原点对称，面积相等．且四边形12PFQF 可拆成12PF F 与12QF F 的和，所以四边形12PFQF 的面积最大即12PF F 面积最大，因为121212PF F p p S F F y c y =⋅=⋅，所以当p y 最大时，12PF F 面积最大．即P 位于短轴顶点时，12PF F 面积最大．由2214x y +=可知2,1,a b c ===，所以()())120,1,,P F F ，进而计算出12PF PF ⋅的值为2-例2：已知点P 是椭圆2216251600x y +=上的一点，且在x 轴上方，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，直线2PF的斜率为-12PF F 的面积是___________．思路：将椭圆化为标准方程为22110064x y +=，进而可得6c =，所以()()126,0,6,0F F -，计算12PF F 的面积可以以12F F 为底，y P 为高，所以考虑利用条件计算出P 的纵坐标，设(),P x y ，则有26PF y k x ==--所以221625160060x y yx y ⎧+=⎪⎪=-⎨-⎪⎪>⎩可解得y =y =去），所以1212111222PF F S F F y =⋅=⋅⋅=例3：已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是___________．思路：由2OA OB ⋅=入手可考虑将向量坐标化，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122x x y y +=，进而想到可用韦达定理．所以设AB 与x 轴交于(),0M m 直线:AB x ty m =+．联立方程220y x y ty m x ty m⎧=⇒--=⎨=+⎩，所以2221212120,y y m x x y y m =-<==，所以由12122x x y y +=可得：222m m m -=⇒=，所以122y y =-，不妨设A 在x 轴上方，如图可得：()12112119228ABO AFO S S OM y y OF y y y +=⋅-+⋅=-，由122y y =-可知212y y =-，消元后可得：111192922388ABOAFOSSy y y y +=+≥⋅=，等号成立当且仅当143y =，所以ABOAFOS S+的最小值为3例4：抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AFK 的面积是___________．思路：斜率为3可知直线的倾斜角为3π，从而可得3KAF π∠=，所以在计算面积时可利用两边与夹角，所以可得1sin 23AKF S AK AF π=⋅，由抛物线性质可得AK AF =，所以只需求得焦半径AF ，即只需解出A 点横坐标．利用几何关系可得12A x OF FM OF AF =+=+，另一方面，由焦半径公式可得：1A AF x =+，所以可得方程：()1132A A A x OF x x =++⇒=，从而14A AF x =+=，所以21sin 4323AKF S AF π== 小炼有话说：（1）本题的解法是利用题目中的几何关系求解，绕过代数运算，而突破点即为直线的倾斜角3π，所以当题目中出现特殊角时，可以考虑蕴含其中的几何特点，从而使得运算更为简单．（2）本题的A x 也可通过联立方程，使用代数方法解决，方法步骤如下： 由抛物线方程可得：()1,0F ，设():31l y x =-，联立方程：()()22431431y xx x y x ⎧=⎪⇒-=⎨=-⎪⎩，整理可得：231030x x -+= 3x ∴=或13x = 323x y =⎧⎪∴⎨=⎪⎩或13233x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍） 3A x ∴=例5：以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别为12,F F ，已知点M 的坐标为()2,1，双曲线C 上点()()0000,0,0P x y x y >>满足11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF SS-等于___________．思路：可先利用椭圆确定双曲线方程及其焦点坐标，22195x y +=的顶点为()()3,0,3,0-，即为12,F F 的坐标，椭圆的焦点为()()2,0,2,0-，所以双曲线中2,3a c ==，进而5b = 观察11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=可联想到投影，即1MF 在1PF 的投影与1MF 在21F F 的投影相等，由几何关系可得1F M 为12PF F ∠的角平分线．由()()22,1,3,0M F 可得21MF k =-，即2F M 平分21PF F ∠，从而M 为12PF F 的内心，且内切圆半径1M r y ==．从而()1212121112222PMF PMF SSPF r PF r r PF PF -=⋅-⋅=-= 例6：已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左右焦点，且212bF F a=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+成立，则λ的值为___________．思路：由三角形内心的性质可得I 到三边的距离相等，所以1212,,IPF IPF IF F 的高均为r ，从而12121212IPF IPF IF F SSSPF PF F F λλ=+⇒=+，即1212F F cPF PF aλ==-，所以只需利用212b F F a=确定,a c 的关系即可．解：I 为三角形12PF F 的内心12211221111,,222IPF IPF IF F S PF r S PF r S F F r ∴=⋅=⋅=⋅12121212IPF IPF IF F S S S PF PF F F λλ=+⇒=+1212F F PF PF λ∴=-P 在双曲线上，且12,F F 是焦点12122,2PF PF a F F c ∴-== caλ∴=即λ为离心率由212b F F a =可得：22222b c ac c a a=⇒=-，两边同时除以2a 得：2210e e --=， 21e ∴=+即21λ=+例7：已知点()0,2A -，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为3，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为23，O 为坐标原点（1）求E 的方程（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ 面积最大时，求l 的方程解：（1）设(),0F c 223AF k c ∴==3c ∴= 3c e a ==23a ∴== 2221b a c ∴=-= 22:14x E y ∴+= 思路：首先设:2PQ y kx =-，()()1122,,,P x y Q x y ，由图像可得12OPQO PQ Sd PQ -=⋅，考虑联立直线与椭圆方程并利用点到直线距离公式和弦长公式用k 表示出,O PQ d PQ -，从而OPQS也可用k 进行表示：222443444343OPQk Sk k -==-+-，再利用均值不等式即可得到最大值．等号成立的条件224343k k -=-即为k 的值．（注意直线与椭圆相交，所以消元后的方程0∆>）（2）设直线:2PQ y kx =-，()()1122,,,P x y Q x y∴联立方程可得：()2222242444y kx x kx x y =-⎧⇒+-=⎨+=⎩，整理后可得： ()224116120kx kx +-+= ，因为方程有两个不等实根()()221648410k k ∴∆=-+>解得：k或k < 12OPQO PQ Sd PQ -=⋅O PQ d -12PQ x =-= 由方程()224116120k x kx +-+=可得：1212221612,4141k x x x x k k +=⋅=++代入PQ 可得：PQ ==2142OPQ S ∴===44=4≥2434k k =⇒-=⇒= 1OPQS∴≤此时k =，l∴的方程为2y x -或2y =- 例8：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，过右焦点F 的直线l 与C 相交于,A B两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l（1）求椭圆C 的方程 （2）若,,,P Q M N 是椭圆C 上的四点，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=，求四边形PMQN 面积的最小值解：（1）1c e ==，设(),0F c ，则:l y x c =-1O l d c -∴=⇒=，2222,3a b a c ∴==-=，22143x y ∴+=（2）由（1）可得：()1,0F ，因为0PF MF PF MF ⋅=⇒⊥，12PMQN S MN PQ ∴=⋅设()()1122,,,P x y Q x y ，():1PQ y k x =-，联立方程可得：()2234121x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去x 可得： ()22234112x k x+-=整理后可得：()22224384120k x k x k +-+-=()212212143k PQ x k +∴=-==+ ① 设()1:1MN y x k =--，以1k -替换①中的k 可得： 2222112112124343k k MN k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++()2222121111212224334PMQN k k S MN PQ k k ++∴=⋅=⋅⋅++242242221221727211225121225k k k k k k k k ++++=⋅=⋅++⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 设221u k k =+，可得[)2,u ∈+∞，21726112251225PMQN u S u u +⎛⎫∴=⋅=- ⎪++⎝⎭，2u ∴=时，min 28849S = 例9：在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1A -，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k += （1）求点P 的轨迹方程（2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ=，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得PQA 和PAM 的面积满足2PQMPAMSS=？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（1）思路：本题设点(),P x y ，且,O A 已知，直接利用条件列出等式化简即可 解：设(),P x y ，由()()1,1,0,0A O -可得：1,1,1OP OA PA y y k k k x x -==-=+，依题意OP OA PA k k k +=可得： ()()()111111y y y x x x x y x x --=⇒+-+=-+整理后可得： 2y x =，其中0,1x x ≠≠-所以P 的轨迹方程为()20,1y x x x =≠≠-‘（2）思路：从图可得PQA 和PAM 的高相同，从而面积的比值转化为对应底边的比，即22PQMPAMSSQA AM =⇒=，再由PQ OA λ=可得PQ OA ∥，进而22QA AM OP OM =⇒=，由,,O P M 共线再转成向量关系则只需求出M 的坐标即可解出P 的坐标解：设()()221122,,,P x x Q x x PQ OA λ= PQ OA ∴∥1PQ OAk k ==-，即2221212111x x x x x x -=-⇒=---222121121QAx k x x x -∴==-=--+，()()1:121QA y x x ∴+=--- 因为1:OP y x x = ()()11121:y x x M y x x+=---⎧⎪∴⎨=⎪⎩ 可解得12M x =-11,22PQM P QM PAM P QM S QA d S AM d --=⋅=⋅且2PQMPAMSS=2QA AM ∴= PQ OA ∥22QA AM OP OM ∴=⇒=，即2OP OM =- 21P M x x ∴=-= ()1,1P ∴ ，所以存在符合条件的()1,1P例10：设抛物线22y x =的焦点为F ，过点()3,0M的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于,2C BF =，则BCF 与ACF 的面积之比BCF ACFS S=___________．思路：由2BF =联想到焦半径公式，从而可解得332B x =<，从而可判断出B 在M 的左侧，作出图像可发现两个三角形具备同“高”的特点（即F 到BC的距离），所以BCF ACF BC SS AC =，若直接从,BC AC 长度出发，则运算量较大，所以考虑将比值视为整体，并进行线段的转移，可过,A B 分别引准线的垂线，从而将B lA lBC d ACd --=，只需联立直线抛物线方程求出A 点横坐标即可．解：由22y x =可得1p =，设()()1122,,,A x y B x y22322222p p BF x x ∴=+=⇒=-=，设F 到直线AB 的距离为d 则1212BCF ACFd BC BC S SAC d AC ⋅==⋅ 过,A B 分别引准线的垂线,AP BQ AP BQ ∴∥，2211122=122p x x BC BQ p AC AP x x ++∴==++ 设(:AB y k x =，联立方程：(22y xy kx ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消元可得：(222k x x =整理后可得：()2222230k x x k -++=，12132x x x ∴=⇒= 21142152BCF ACFx S S x +∴-==+小炼有话说：本题设计的精妙之处在于允许有多种解题方向（比如计算坐标，计算底边长）等，但方法层次不同，所耗费的时间也不一样．通过本题要体会以下几点：（1）在抛物线中焦半径与点横坐标的联系，已知焦半径可迅速求出该点的横坐标 （2）处理面积的比值问题时，可考虑两个图形共同的部分（底，高），从而将比值转化为线段的比值（3）在抛物线中常用的辅助线是过抛物线上的点引准线的垂线．本题恰好利用这一点转移了比例，简化了运算。
招式五：面积问题-终结圆锥曲线大题十个大招
招式五：面积问题例题1、已知椭圆C ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c aa ⎧⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。
（1）当AB x ⊥轴时，AB =。
（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+=223(1)4m k =+。
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。
22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。
当且仅当2219k k =，即k =时等号成立。
当0k =时，AB =， 综上所述max 2AB =。
∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=。
例题2、已知椭圆C:2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥轴时，AB =．（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+=，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤．当且仅当2219k k =，即k =时等号成立．当0k =时，AB =，综上所述max 2AB =． ∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=． 例题3、已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．解：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+22212221(1)()4BDx x k x x x x⎡=-=++-=⎣；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k -，所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． 练习1.己知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C于点G .①求证：PQG 是直角三角形； ②求PQG 面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=（2）①证明见解析；②169【解析】 【分析】（1）解方程组2222221312c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩即可； （2）①设直线PQ 的斜率为k .则其方程为()0y kx k =>，联立直线与椭圆方程得到,,P Q E 坐标，再由QG 与椭圆方程联立得到G 点坐标，证明斜率乘积等于1-即可；②利用两点间的距离公式算得,PQ PG 的长度，将三角形的面积用k 表示，再结合双勾函数的单调性即可得到答案.【详解】（1）由题意，2c a =，221123a b +=，222a b c =+，解得2,a b ==所以椭圆的方程为：22142x y +=.（2）①：设直线PQ 的斜率为k .则其方程为()0y kx k =>.由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得x =记u =，则(),P u uk ，(),Q u uk --，(),0E u .于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-. 由22()2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=.① 设(),G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k=+. 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+. 所以PQ PG ⊥，即PQG 是直角三角形.②：由①得||2PQ =22||2PG k==+， 所以PQG 的面积12S PQ PG ==122⨯222k⨯=+2222(1)2u k k k ++，又u =，所以22222418(1)8(1)2(12)(2)252k k k k S PQ PG k k k k ++===++++218()112()k k k k+=++. 设1t k k=+，则由0k >得2t ≥，当且仅当1k =时取等号. 因为2881122t S t t t==++，而11222()y t t t t=+=+在[2,)+∞单调递增，所以当2t =，即1k =时，S 取得最大值，最大值为169. 因此，PQG 面积的最大值为169.练习2.点(),M x y 与定点()1,0F 的距离和它到直线4x =的距离的比是常数12． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过坐标原点O 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 上异于A ，B 的点P 满足直线AP 的斜率为32-． （ⅰ）证明：直线AP 与BP 的斜率之积为定值； （ⅱ）求ABP △面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据已知条件列方程，化简后求得轨迹C 的方程. （Ⅱ）（ⅰ）利用点差法，求得34AP BP k k ⋅=-，由此证得结论成立. （ⅱ）利用弦长公式求得AP ，利用点到直线的距离公式求得B 到直线AP 的距离，由此求得三角形ABP面积的表达式，利用二次函数的性质求得三角形ABP 面积的最大值.【详解】12=，两边平方并化简得223412x y +=，即点M 的轨迹C 的方程为：22143x y +=．（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,A x y ，则点()11,B x y --，满足2211143x y +=， ①设点()22,P x y ，满足2222143x y +=， ②由①－②得：()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=，∵121232AP y y k x x -=-=--，1212BP y y k x x +=+，∴()()()()1212121234AP BP y y y y k k x x x x -+⋅==--+． （ⅱ）∵A ，B 关于原点对称，∴2ABP OAP S S =△△，设直线3:2AP y x m =-+，代入曲线22:143x y C +=化简得：223330x mx m -+-=，设()11,A x y ，()22,P x y ，由>0∆得：212m <，12x x m +=，21233m x x -=，12AP x =-==，点O 到直线AP的距离d =，∴1222ABP OAPS S AP d ==⨯⨯⋅==△△，∴ABPS ==△，当26m =时，∴ABP S△取到最大值练习3.已知椭圆的焦点坐标为()11,0F -，21,0F ，过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q 两点，且3PQ =.（1）求椭圆的方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；内切圆面积的最大值为916π，直线的方程为1x = 【解析】 【分析】（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得1c =，由||3PQ =，可得223b a=，又221a b -=，由此可求椭圆方程；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，不妨10y >，20y <，设△1F MN 的内切圆的径R ，则△1F MN 的周长48a ==，1111(||||||)42F MNSMN F M F N R R =++=，因此1MNF S 最大，R 就最大．设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，从而可表示△1F MN 的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．【详解】解：（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，由焦点坐标可得1c =.由3PQ =，可得223b a =.又221a b -=，得2a =，b =故椭圆方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨令10y >，20y <， 设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =，()111142F MN S MN F M F N R R =++=△， 因此要使1F MN △内切圆的面积最大，则R 最大，此时1MNF S也最大.112121212F MNSF F y y y y =-=-， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2234690m y my ++-=，得1y =，2y =，则112F MNS y y =-=△，令t =，则1t ≥，则1212121313F MNt S t t t===++△令()13f t t t=+，则()213f t t '=-， 当1t ≥时，()0f t '>，所以()f t 在[)1,+∞上单调递增， 有()()14f t f ≥=，11234F MN S ≤=△， 当1t =，0m =时，13F MN S =△，又14F MN S R =△，∴max 34R =这时所求内切圆面积的最大值为916π，此时直线的方程为1x = 练习4：抛物线()2:20C x py p =>，Q 为直线2py =-上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为M ，N .（1）证明：直线MN 过定点；（2）若以50,2p G ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线MN 相切，且切点为线段MN 的中点，求该圆的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）24p π或22p π 【解析】 【分析】（1）设点,2P Q t ⎛⎫-⎪⎝⎭，()11,M x y ，()22,N x y ，利用导数求出切线MQ 的斜率，再利用斜率公式求出切线MQ 的斜率，进而求出直线MN 的方程，从而可证明直线MN 过定点；（2）将直线MN 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理，求出H 点坐标，借助向量垂直的坐标运算，求得0t =或t p =±，进而求得圆的面积.【详解】（1）设,2P Q t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,M x y ，则2112x py =， 由2222x x py y p =⇒=， 所以x y p '=，所以切线MQ 的斜率为1MQ xk p =， 故1112py x x t p+=-，整理得211220tx py p -+=，设()22,N x y ，同理可得222220tx py p -+=，所以直线MN 的方程为2220tx py p -+=，所以直线MN 恒过定点0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由（1）得直线MN 的方程为2txpy p =+， 由222tx py p xy p⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得2220x tx p --=，122x x t +=，()212122t t y y x x p p p p +=++=+，设H 为线段MN 的中点，则2,2t p H t p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于GH MN ⊥，而2,2t GH t p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， MN 与向量1,t n p ⎛⎫= ⎪⎝⎭平行，所以220t t t p p p ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 解得0t =或t p =±，当0t =时，圆G 半径2R GH p ==，所以圆G 的面积为24p π， 当t p =±时，圆G 半径2R GH p ==，所以圆G 的面积为22p π. 所以，该圆的面积为24p π或22p π.。
圆锥曲线解答题专题三：面积问题(解析版)
圆锥曲线解答题中的面积问题的解题策略圆锥曲线解答题中的面积问题主要可分为四类方法： 1、常规面积公式例1.（2021·山西运城市高三期末（理））已知A ，B 是椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，C 为E 的上顶点，3AC BC ⋅=-． （1）求椭圆的方程；（2）若M ，N ，P 是椭圆E 上不同的三点，且坐标原点O 为MNP △的重心，试探究MNP △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）MNP △．【详解】（1）(,0),(,0),(0,1)A a B a C -，则(,1),(,1)AC a BC a ==-， 因为3AC BC ⋅=-，所以213a -+=-，得24a =．所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x x =，设()11,M x y ，则()11,N x y -，因为O 为MNP △的重心，所以()12,0P x -．由M ，N ，P 在椭圆上，所以221114x y +=且21414x =，解得221131,4x y ==．易知1232MNPS=⨯=， 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+， 设()11,M x y ，()22,N x y ，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x kmx m +++-=， 则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+， ()121222241my y k x x m k +=++=+． 因为O 为MNP △的重心，所心2282,4141kmm P k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为P 在椭圆上，故2222182144141km m k k -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22441m k =+．||MN =点P 到直线MN 的距离d 等于O 到直线MN距离的3倍，所以d =，所以11||22MNPSMN d =⋅=26|42m m ==， 综上，MNP△ 解题思路：（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率不存在时计算MNP △的面积，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，与2214xy +=联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理可得12x x +，12x x ，计算弦长||MN ，点P 到直线MN 的距离d ，计算1||2MNPSMN d =⋅即可求解. 例2.（2020·河北邯郸市高三期末）已知椭圆22:12+=x E y 长轴的左､右端点分别为12,A A ，点P 是椭圆E 上不同于12,A A 的任意一点，点Q 满足110QA PA ⋅=，220QA PA ⋅=,O 为坐标原点.（1）证明：1PA 与2PA 的斜率之积为常数，并求出点Q 的轨迹C 的方程； （2）设直线:l y x m =+与曲线C 交于()()1122,,,M x y N x y ，且12120x x y y λ+=，当λ为何值时OMN ∆的面积最大?【答案】（1）证明见解析，221(0)42y x y +=≠；（2）12λ=. 【详解】（1）设(,)(0)P x y y ≠，由已知12(A A ，2222122x x y -=-=- ，22122y x ∴=--12=-， 1211221,0,02PA PA k k QA PA QA PA ∴⋅=-⋅=⋅=，121122,,2QA QA QA PA QA PA k k ∴⊥⊥∴⋅=-，设(,)Q a b ，2=-， 即221(0)42b a b +=≠，∴轨迹C 的方程为221(0)42y x y +=≠. （2）将直线l 代入曲线C 中整理得()222223240,41240,6x mx m m m m ++-=∆=--><，()()22121212122424,,333m m m x x x x y y x m x m --∴+=-==++=，||MN O ∴==到l 的距离d =，MONS∴22126||232m m MN d -+==⨯=， 此时23m =，满足12121210,,,332x x y y λ∆>=-=∴=.解题思路：（1）设(,)(0)P x y y ≠，代入椭圆方程可得1212PA PA k k ⋅=-，再由题意可得122QA QA k k ⋅=-，设(,)Q a b ，直接列方程即可求解.（2）将直线与椭圆联立，利用韦达定理以及弦长公式求出MN ，再利用点到直线的距离公式可得O 到l 的距离d =，利用基本不等式即可求解. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直接法动点的轨迹方程，解题的关键是求出122QA QA k k ⋅=-，考查了弦长公式以及计算能力.2、正弦面积公式例3.（2021·东北三省（哈尔滨师大附中、东北师范大学、辽宁省实验中学）高三联考）过点()0,2P 作直线l 交抛物线2:4G x y =于,A B 两点，O 为坐标原点，分别过,A B 点作抛物线G 的切线，设两切线交于Q 点. （1）求证：点Q 在一定直线m 上；（2）设直线,AO BO 分别交直线m 于点,C D . （i ）求证：AOB COD S S =△△；（ii ）设AOD △的面积为1S ，BOC ∆的面积为2S ，记12P S S =+，求P 的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）证明见解析；（ii）【详解】（1）由题意，设:2l y kx =+，代入2:4G x y =得：2480x kx --=，216(2)0k ∆=+> 令1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,8x x k x x +==-.抛物线G 在点A 处的切线方程为：2111()42x x y x x -=-，即211()24x x y x =-，抛物线G 在点B 处的切线方程为：2222()42x x y x x -=-，即222()24x x y x =-，联立得：点Q 的坐标为1212(,)24x x x x +，即(2,2)Q k -. ∴点Q 在定直线:2m y =-上.（2）（i ）联立1:()4x AO y x =与:2m y =-得：18(,2)C x --，联立2:()4x BO y x =与:2m y =-得：28(,2)D x --， 由（1）知：218C x x x =-=， //BC y ∴轴，同理//AD y 轴，//BC AD ∴，即AOD BOC ，OA ODOC OB∴=，即OA OB OC OD ⋅=⋅且AOB DOC ∠=∠， ∴AOB COD S S =△△得证.（ii ）由（1）得：2121212()444x x y y k x x k -=+=++=+2ABCD OCDP S S=-11(||||)||22||22AD BC CD CD =+⋅-⋅⋅⋅()()12122||2||2y y CD CD =+++⋅-⎡⎤⎣⎦()221||k CD =+⋅()281k =+令t =，则t ≥2()8(1),(f t t t t =-≥2()8(31)0f t t '=->，即()f t在)+∞上递增，min P f ∴==0k =时，min P =解题思路：（2）（i ）由（1）可求得18(,2)C x --、28(,2)D x --，即可知,BC AD 都平行于y 轴即//BC AD ，进而有AODBOC ，即OA OB OC OD ⋅=⋅且AOB DOC ∠=∠，结论即得证. （ii ）由（i ）知2ABCD OCDP S S=-，结合（1）得()281P k =+，利用换元、函数与方程的思想，应用导数求其最小值即可. 【点睛】 关键点点睛：（1）由直线与抛物线的位置关系，应用韦达定理，联立切点处的切线方程求证其交点在定直线上；（2）（i ）求交点坐标并确定平行关系，根据三角形相似得OA OB OC OD ⋅=⋅，即可证结论；（ii ）应用换元法，结合函数与方程的思想，并利用导数研究函数单调性求最值.3、铅锤水平面积表达公式 ⑴过x 轴上的定点 2121y y a S -=（a 为x 轴上定长） ⑵过y 轴上的定点 2121x x a S -=（a 为y 轴上定长）例4.（2021·江西宜春市高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为M12MF F △.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F ，的直线l 交椭圆于A 、B 两点，当1ABF 面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）2213x y +=；（2）0x y -=或0x y +=.【详解】（1）∴3c e a ==，12MF F S bc ==△222a b c =+，解得a =1b =，c =C 的方程为：2213x y +=.（2）()1F，)2F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，已知直线l 的斜率不为0，设直线l：x ty =+2213x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22310t y ++-=，故12y y +=，12213y y t =-+，1212121212F F A F F BSSF F y y+=-=因为2312t =≤+=，即1t =±时等号成立，所以直线l 的方程为0x y --=或0x y +=. 解题思路:（2）设()11,A x y ，()22,B x y，:l x ty =+示出11212AF BF F AF F BSSS=+，结合基本不等式，可得答案.例5.（2021·山东潍坊市·高三一模）在平面直角坐标系中，12,A A 两点的坐标分别为()()2,0,2,0-，直线12,A M A M 相交于点M 且它们的斜率之积是34-，记动点M的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点()1,0F 作直线l 交曲线E 于,P Q 两点，且点P 位于x 轴上方，记直线12,AQ A P 的斜率分别为12,k k ． ①证明：12k k 为定值；②设点Q 关于x 轴的对称点为1Q ，求1PFQ △面积的最大值．【答案】（1）221(2)43x y x +=≠±；（2）①证明见解析；． 【详解】（1）设点M 坐标为(),x y ， 则直线12,A M A M 的斜率分别为,,222y yx x x ≠±+-， 依题意知3224y y x x ⋅=-+-， 化简得221(2)43x y x +=≠±；（2）①设直线l 的方程为()()()1122121,,,,0,0x my P x y Q x y y y =+><，则()()()()()212121212111222122121121121121223332y x y my y my y y y y k my y y x y k x y my y my y y my y y x ---++-+=====++++-， 又221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 得()2234690m y my ++-=，得122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，， 因此112221211229631343434993333434m m my y k m m m m m k y y m m -++-++++===-+-+++， 故12k k 为定值13； ②1Q 坐标为()22,x y -，则直线1PQ 方程为()121112y y y y x x x x +-=--， 令0y =解得()()()21121122112121121212121121x x y my y my y x y x y my y x xy y y y y y y y -++++=+===+++++22923414634m m m m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+=-+， 即直线1PQ 恒过()4,0D 点，故11PFQ PFD Q FD S S S =-△△△12113322y y =⨯-⨯123||||||2y y =-1232y y =+236||234m m =⨯+943||||m m =+4331229==， 当243m =，即m =时，等号成立， 此时1PFQ △解题思路：（2）设直线l 的方程为()()()1122121,,,,0,0x my P x y Q x y y y =+><，直接表示出斜率12,k k ，消元为关于12,y y 的式子，再根据直线与椭圆联立可得12,y y 的和、积，代入化简即可求证12k k 为定值；由题意1Q 坐标为()22,x y -，可得直线1PQ 恒过点D (4,0),11PFQ PFD Q FD S S S =-△△△，化简后利用均值不等式求最值.4、四边形面积求解例6.（2021·陕西西安市西安中学高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2，其长轴长为（1）求椭圆E 的方程；（2）直线11:l y k x =交E 于A 、C 两点，直线22:l y k x =交E 于B 、D 两点，若1212k k ⋅=-.求四边形ABCD 的面积.【答案】（1）2212x y +=；（2）【详解】（1）由已知得2c a a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 因此，椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,C x y --、()22,D x y --，联立12221222222y k x x k x x y =⎧⇒+=⎨+=⎩，则2121212x k =+， ()111AC x x ∴=--==，同理可得2222212x k =+， 且B 到直线1l的距离d ===，所以2ABC ABCD S S AC d ==⋅==△四边形又12211122k k k k =-⇒=-所以ABCD S =====四边形. 解题思路：（2）求出AC 以及点B 到直线AC 的距离d ，可得出四边形ABCD 的面积关于1k 、2k 的表达式，将2112k k =-代入四边形ABCD 的面积的表达式，化简即可得解.例7.（2021·安徽高三期末（理））已知D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 延长至点P ，使得||2PA =，点P 的轨迹记为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）作圆O 的切线交曲线C 于,M N 两点，Q 为曲线C 上一动点(点,O Q 分别位于直线MN 两侧)，求四边形OMQN 的面积的最大值.【答案】（1）22194x y +=；（2）最大值为. 【详解】（1）设()00(,),,P x y D x y ，则()()00,0,0,A x B y ，由题意知||1AB =，所以2PA AB =，得()()000,2,x x y x y --=-，所以0032x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，， 因为22001x y +=，得22194x y +=；（2）（i ）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，设O 到直线y kx m =+的距离记为d，则d =，联立22194y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得()()2229418940k x knx n +++-=，设()()112212218,,,,94kn M x y N x y x x k +=-+，()21229494n x x k -=+，所以12||MN x =-=， 因为y kx n =+与圆O1=，因为y kx m =+与椭圆相切，22()194x kx m ++=，222(49)189360k x kmx m +++-=，由0∆=得2294k m +=，211||2294OMNQMNOMQN SSSMN d k =+=⨯=⨯+四边形===，可得 OMQN S 四边形随k 的增大而增大，即OMQN S <四边形（ii ）当MN斜率不存在时，不妨取,1,M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，此时(3,0)Q ， OMQN S =四边形综上所得四边形 OMQN 的面积的最大值为解题思路：（2）当直线MN 斜率存在时，设方程为y kx n =+，过Q 点与MN 平行的直线方程为y kx m =+，使得面积最大时，此直线与椭圆相切，由圆的切线，椭圆的切线可得,m k 的关系和,n k 的关系．求出原点O 到直线y kx m =+的距离d ，设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式求得MN ，然后表示出四边形OMQN 的面积为k 的函数，由函数性质求得其取值范围，再考虑直线MN 斜率不存在时，四边形的面积，两者结合可得最大值．例8.（2021·湖南长沙市长沙一中高三月考）在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，32DM DP =.当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹为曲线E.（1）求曲线E 的方程；（2）过点()1,0Q -的两条相互垂直的直线分别交曲线E 于A ，B 和C ､D ，求四边形ABCD 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）288649S ≤≤. 【详解】（1）设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，∴3DM DP =，∴0x x =，0y y =，∴00,x x y y ==， ∴点P 在224x y +=上，∴22004x y +=，∴224x y ⎫+=⎪⎭，∴曲线C 的方程为22143x y +=.（2）①当直线AB 的倾斜角为0°，||4AB =，||3CD =，1||||62ABCD S AB CD ==四边形. 同理直线AB 的倾斜角为90︒， 1||||62ABCD S AB CD ==四边形. ②当直线AB 的倾斜角不为0°和90°， 设直线AB 的方程：1x my =-， 则直线CD 的方程为：11(0)x y m m=--≠， 联立1x my =-和22143x y +=，得()2234690m y my +--=，122634m y y m +=+，122934y y m -=+，12||AB y y =-==22216123434m m m +=⨯=⨯++，用1m -换m 得221||1243m CD m +=⨯+，∴四边形ABCD 面积22221111||||1212223443m m S AB CD m m ++==⨯⨯⨯⨯++， 令21t m =+，0m ≠，∴1t >，∴101t<<，2111727272111131413412t t S t t t t t t=⨯⨯=⨯⨯=⨯+-+-+- 21721111224t =⨯⎛⎫--++ ⎪⎝⎭， ∴288649S ≤<. ∴综上所述，288649S ≤≤. 解题思路：（1）首先设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，根据32DM DP =，得到00,x x y y ==，利用点P 在224x y +=上，求得224x y ⎫+=⎪⎭，化简出结果；（2）根据题意，分直线与坐标轴平行与否来求解，当直线与坐标轴平行时，设直线AB 的方程：1x my =-，直线CD 的方程为：11(0)x y m m=--≠，分别与曲线方程联立，求得弦长，利用对角线互相垂直时四边形的面积等于两条对角线乘积的一半，之后换元，利用基本不等式求解，结合两种情况即可得结果.【巩固训练】1.（2021·广东揭阳市高三一模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且经过点A ⎭.设椭圆C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆C 上的一个动点（异于椭圆C 的左、右端点）. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作椭圆C 的切线l ，过点1F 作l 的垂线，垂足为Q ，求21F QF ∆ 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）2. 【分析】（1）根据已知条件可得出224a c =，223b c =，再将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，求出c 的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+，联立直线l 与椭圆C 的方程，由0∆=可得出2243m k =+，求出点Q 的坐标，可计算得出点Q 的轨迹方程，进而可求得21F QF ∆面积的最大值. 【详解】（1）由椭圆C 的离心率12c a =，可得：2214c a =，即有224a c =.再结合a 、b 、c 三者的关系可得223b c =.椭圆C的方程可化为22221 43x yc c+=，将点2A⎫⎪⎪⎭代入上述椭圆方程可得2211122c c+=.求解得21c=，所以1c=，2a=，b=椭圆C的方程为22143x y+=；（2）设直线:l y kx m=+，联立直线l与椭圆C的方程可得()2224384120k x kmx m+++-=.若直线l与椭圆C相切，可得上述方程只有一个解，即有()()()22284434120km k m∆=-+-=，化简可得2243m k=+，（*）.设点Q的坐标为(),x y，过点1F作l的垂线为()11:1l y xk=-+，联立1l与l求得211kmxk--=+，21k myk-+=+.由上式可得()()()()2222222222221111km m k k k mymxk k++-++++==++，将（*）代入上式可得224x y+=，故可知点Q的轨迹为以原点为圆心，以2为半径的圆.P是椭圆C上的异于端点的动点，故该轨迹应去掉点()2,0±.21F QF ∆的面积为1212122QF F Q Q S F F y y =⋅⋅=≤△，即21F QF ∆面积的最大值为2.2.（2020·全国高三专题练习）已知抛物线22x py =(0p >)上点P 处的切线方程为10x y --=.（1）求抛物线的方程；（2）设11()A x y ，和22()B x y ，为抛物线上的两个动点，其中12y y ≠，且124y y +=，线段AB 的垂直平分线l 与y 轴交于点C ，求ABC 面积的最大值. 【答案】（1）24x y =；（2）8. 【分析】（1）先根据导数几何意义得1x p=,再根据切点在切线上,解方程组得2p =； （2）设线段AB 中点()00,M x y ，根据斜率公式得()012142AB x k x x =+=，根据点斜式得线段AB 的垂直平分线l 方程,解得C 坐标,利用点到直线距离公式得高,联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理以及弦长公式得底AB 长,根据三角形面积公式得面积函数关系,最后根据均值不等式求最值 【详解】（1）设点200()2x P x p ，，由22x py =得22x y p=，求导得x y p '=， ∴抛物线22x py =上点P 处的切线斜率为1，切线方程为10x y --=，∴01x p =，且20102x x p--=，解得2p =， ∴抛物线的方程为24x y =；（2）设线段AB 中点00()M x y ，，则1202x x x +=，12022y y y +==， 2221021122121144()42ABx x x y y k x x x x x x --===+=--，∴直线l 的方程为0022()y x x x -=--，即02(4)0x x y +-+=，∴l 过定点(0)4，，即点C 的坐标为(0)4，， 联立0022()24x y x x x y⎧-=-⎪⎨⎪=⎩⇒22002280x xx x -+-=， 得220044(28)0x x ∆=-->⇒0x -<<12|||AB x x =-==，设4(0)C ，到AB的距离||d CM ==，∴1||2ABCSAB d =⋅=8=≤=， 当且仅当22004162x x +=-，即02x =±时取等号，∴ABCS的最大值为8.【点睛】关键点睛：∴由抛物线方程的特征设点，减少参数； ∴求面积最值使用均值不等式.3.（2021·湖南常德市一中高三月考）如图，已知抛物线22y px =(0p >)的焦点为()1,0F ，过点F 的直线交抛物线于A ､B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记AFG ，CQG 的面积为1S ，2S .（1）若直线AB的斜率为3，求以线段AB 为直径的圆的面积； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.【答案】（1）面积为64π；（2）最小值12+，此时()2,0G . 【分析】（1）先根据焦点坐标求抛物线方程，利用焦点弦长公式求直径AB ，再求面积；（2）设()2,2A t t ，设直线AB 方程2112t x y t-=+，与抛物线方程联立，求得点B的坐标，以及点,,G C Q 的坐标，12S S 表示为关于t 的函数，换元后利用基本不等式求最值. 【详解】 解：（1）由题意得12p=，即2p =，所以，抛物线的方程为24y x =. 由已知，设直线AB的方程为)13y x =-，与抛物线方程24y x =联立方程，得 21410x x -+=，1214x x +=，所以线段12216AB x x =++=以线段AB 为直径为圆的半径为8，故面积为64π.（2）设(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，重心(),G G G x y ，令2A y t =，0t ≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()13G A B C x x x x =++，()13G A B C y y y y =++， 重心G 在x 轴上，故220C t y t-+=，得211,2C t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 422222,03t t G t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而422422144422222221123222211122221223AC t t t FG y t S t t t S t t t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====----+⋅--⋅-. 令22m t =-，则0m >，122122213434S m S m m m m =-=-≥=++++.当m =时，12S S取得最小值1+()2,0G .【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键就是将面积比值表示为某一个变量的函数，本题选择的是从点()2,2A t t 入手，依次得到所要表示的量，第二个关键就是计算能力，需有比较好的化简，变形能力.4.（2021·江西新余市高三期末（理））椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、2F ，过1F 向圆2F ：22(2)1x y -+=引切线F 1T （T 为切点），切线F 1T23， （1）求椭圆C 的方程；（2）设(,)M x y 为圆2F 上的动点，O 为坐标原点，过F 2作OM 的平行线，交椭圆C 于G ，H 两点，求MGH ∆的面积的最大值.【答案】（1）22195x y +=；（2）52. 【分析】（1）利用勾股定理求出12||4F F =，得2c =，根据离心率求出a ，根据,,a b c 的关系式求出b 可得椭圆C 的方程；（2）设1122(,),,()G x y H x y ，直线GH 的方程为x ＝my ＋2，联立直线与椭圆方程，由弦长公式求出||GH ，根据点M 到直线GH 的距离等于原点O 到直线GH 的距离求出三角形的高，再求出MGH ∆的面积关于m 的函数关系式，然后换元，利用对勾函数的单调性可求得最大值. 【详解】（1）连接2F T ，则F 1T ∴2F T，由题意得12||4F F ==，∴c ＝2. ∴23c e a ==，则a ＝3，b == 故椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）设1122(,),,()G x y H x y ，直线GH 的方程为x ＝my ＋2，由222,1,95x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(902)5250m y my ++-=，222(20)4(59)(25)900(1)0m m m ∆=-+-=+>则1222059m y y m +=-+，1222559y y m =-+.∴12||y y -===∴12||GH y y ===-2223030(1)5959m m m +==++. 因为//GH OM ，所以点M 到直线GH 的距离等于原点O 到直线GH 的距离，距故∴MGH的面积为222130(1)25959m S m m +==++. 因为//GH OM ，所以直线OM ：x my =，即0x my -=，∴点(,)M x y 为圆2F 上的动点，所以点2F 到直线OM的距离1d =≤，解得23m ≥，t =，则221(2)m t t =-≥，所以2230303045(1)9545t t S t t t t===-+++，∴4()5f t t t=+在[2,)+∞上单调递增， ∴当t ＝2时，()f t 取得最小值，其值为12， ∴∴MGH 的面积的最大值为52.【点睛】关键点点睛：利用弦长公式和点到直线的距离公式求出MGH 的面积关于m 的函数关系式是解题关键.5.（2020·天津河北区）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的两个顶点分别为点()2,0A -，()2,0B （1）求椭圆C 的方程；（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .证明：BDE ∆与BDN ∆的面积之比为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）设椭圆方程，由2a =根据椭圆的离心率公式可求得c ，从而求出b ，即可写出椭圆方程；（2）根据直线的位置关系分别求出直线DE 与直线BN 的斜率及方程，联立可求得点E 的坐标，根据三角形的面积公式即可求得两三角形面积之比. 【详解】（1）焦点在x 轴上，两个顶点分别为点()2,0A -，()2,0B ，2a ∴=，c e c a ==⇒=∴2221b a c =-=， ∴ 椭圆C 的方程为2214x y +=； （2）设()()000,0,,D x M x y ，()000,,0N x y y ->，可得22014x y =-，直线AM 的方程为：00(2)2y y x x =++，DE AM ⊥，002DE x k y +∴=-，直线DE 的方程：()0002x y x x y +=--， 直线BN 的方程：00(2)2y y x x -=--， 直线DE 与直线BN 的方程联立可得()000002(2)2x y x x y y y x x +⎧=--⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩， 整理为：()000002(2)2x y x x x y x +-=--，即()()220004(2)x x x y x --=-， ()()22044(2)4x x x x x ---=-，计算可得0425E x x +=， 代入直线DE 的方程可得20000002244555E x x x y y y y +--=-⋅=-=-，则54N Ey y =， 又1||||4215||||2E BDEE BDNN N BD y S y S y BD y ∆∆⋅===⋅，所以BDE ∆与BDN ∆的面积之比为定值45.37． 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是直线与椭圆方程联立，求得交点坐标，再用直线的斜率公式，本题考查学生的计算能力，考查推理论证能力，属于难题.6.（2021·广西梧州市高三其他模拟（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()2,0A -，点B 为其上顶点，且直线AB （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为第四象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积是定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先求点B 的坐标，根据,a b 求椭圆方程；（2）首先设点()()0000,0,0P x y x y ><，利用点P 的坐标表示点,M N 的坐标，并利用四边形ABNM 的对角线表示四边形的面积，化简为定值. 【详解】（1）由题意，设直线AB ：()022y x -=+，令0x =，则y =(B .所以2a =，b =故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()()0000,0,0P x y x y ><，且22003412x y +=，又()2,0A -，(B ，所以直线AP ：000202y x y x -+=-+， 令0x =，0022M y y x =+，则000002222M y y BM y x x +===++. 直线BP00x x -=-，令0y =，N x =，则22N AN x =+=+=所以四边形ABNM 的面积为12S BM AN =⋅012=22=00002x y y +-==所以四边形ABNM 的面积为定值 【点睛】方法点睛：解决定值、定点的方法（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.7.（2021·湖南永州市高三二模）某城市决定在夹角为30的两条道路EB ､EF 之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，2AB =千米，O 为AB 的中点，OD 为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN ，其中M ，N 在椭圆上，且MN 的倾斜角为45︒，交OD 于G .（1）若3OE =千米，为了不破坏道路EF ，求椭圆长半轴长的最大值；（2）当线段OG 长为何值时，游乐区域OMN ∆的面积最大？【答案】（1；（2）当线段OG MNP △的面积最大.【分析】（1）由题可设椭圆方程为2221x y a+=，可得出直线EF 的方程为3y =+，根据题意可得直线EF 与椭圆至多只有一个交点，联立方程利用0∆≤可求出a 的（2）由题可得椭圆方程为221(0)4x y x +=≥，设(),0G m ，将直线MN 的方程()02x y m m =+<<代入椭圆，利用韦达定理表示出三角形面积可求出最值.【详解】（1）以点O 为坐标原点，OD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，因为3OE =，则()0,3E ， 又EB ､EF 夹角为30，所以直线EF的方程为3y =+.又因为2AB =，则1b =， 则椭圆方程为2221x y a+=， 为了不破坏道路EF ，则直线EF 与椭圆至多只有一个交点，联立方程组22213x y a y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22221380a x x a +-+=，由于直线EF 与半椭圆至多只有一个交点，则()422271380a a a -+⋅≤，又0a >，得03a <≤当3a =时半椭圆形主题公园与道路直线EF相切，所以max 3a =. （2）设椭圆焦距为2c ，由椭圆的离心率c a =1b =，222a b c =+，解得24a =， 所以，椭圆的方程为221(0)4x y x +=≥. 设(),0G m ，又MN 倾斜角为45︒，且交OD 于G ， 所以直线MN 的方程为()02x y m m =+<<， 由2214x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得225240y my m ++-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1225y y m +=-，21245m y y -=，12y y -===，则1211122OMN S OG y y m =⨯⨯-==△，当且仅当m =OMN ∆的面积最大. 所以当线段OGMNP △的面积最大.。
高考圆锥曲线面积专题经典题型分类建议收藏
圆锥曲线面积专题求解多边形面积时，先把面积用相关参数表达，最常见的就是设直线的解析式1、已知直线l ：y x －C ：2221x a b2y ＋＝（a ＞b ＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为3（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点D （0，1）的直线与椭圆C 交于点A ，B ，求△AOB 的面积的最大值．2、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。
3、已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．4.已知动点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，且满足|AB|=2，点P 在线段AB 上，且 ).(是不为零的常数t PB t AP =设点P 的轨迹方程为c 。
（1）求点P 的轨迹方程C ；（2）若t=2，点M 、N 是C 上关于原点对称的两个动点（M 、N 不在坐标轴上），点Q坐标为),3,23(求△QMN 的面积S 的最大值。
5.设)0(1),(),,(22222211>>=+b a bx a y y x B y x A 是椭圆上的两点，已知),(11a y b x m =，),(22ay b x n = ，若0=•n m且椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，O为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（Ⅲ）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由6、若点O 和F 分别为椭圆C : 12222=+b y ax （a ＞b ＞0）的中心和左焦点,过O 做直线交椭圆于P 、Q 两点，若|PQ |的最大值是4，△PFQ 周长L 的最小值为6. (1)求椭圆C 的方程;(2)直线l 经过定点(0，2)，且与椭圆C 交于A ，B 两点,求△OAB 面积的最大值.7、已知椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为，过椭圆右焦点且斜率为1的直线与圆221(2)(2)2x y -+-=相切． （1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆右焦点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，且AB 中点与FC 的中点重合，求△AOB （O 为坐标原点）的面积．8.已知椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为，过椭圆右焦点且斜率为1的直线与圆221(2)(2)2x y -+-=相切． （1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆右焦点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，且AB 中点与FC 的中点重合，求△AOB （O 为坐标原点）的面积．9.已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234。
2020高中数学---圆锥曲线中的面积问题
第72炼圆锥曲线中的面积问题一、基础知识：1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。
这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）x 2y 2（1）椭圆：设P 为椭圆2+2=1(a >b >0)上一点，且∠F 1PF 2=θ，则a b SPF 1F2=b 2tanθ2x 2y 2（2）双曲线：设P 为椭圆2-2=1(a ,b >0)上一点，且∠F 1PF 2=θ，则a b SPF 1F 2=b 2⋅1cotθ2二、典型例题：例1：设F 1,F 2为椭圆x 2过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ,Q 两点，+y 2=1的左右焦点，4当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1⋅PF 2的值等于___________思路：由椭圆中心对称的特性可知P ,Q 关于原点中心对称，所以PF 1F 2与QF 1F 2关于原点对称，面积相等。
且四边形PF 1QF 2可拆成PF 1F 2与QF 1F 2的和，所以四边形PF 1QF2的面积最大即PF 1F 2面积最大，因为SPF 1F 2=1F 1F 2⋅y p=c ⋅y p ，所以当y p 最大时，22x PF 1F 2面积最大。
即P 位于短轴顶点时，PF 1F 2面积最大。
圆锥曲线中的面积问题(原卷版)-学霸养成2022高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线
专题3 圆锥曲线中的面积问题一、考情分析圆锥曲线中的面积问题常见的是三角形的面积问题,有时也会考查平行四边形的面积或对角线互相垂直的四边形面积问题,求解此类问题通常是借助弦长公式或点到直线距离公式用某些量,如动直线的斜率或截距表示面积,再利用函数或不等式知识求解. 二、解题秘籍(一) 利用弦长与点到直线距离计算三角形面积若动直线与圆锥曲线交于点A ,B ,点P 为定点或满足一定条件的动点,要表示△P AB 的面积,一般是先利用弦长公式求出AB ,再利用点到直线距离公式求出点P 到直线AB 的距离,则12ABC S AB d ∆=. 【例1】（2022届河南省县级示范性高中高三上学期尖子生对抗赛）顺次连接椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点,得到的四边形的面积为连接椭圆C 的某两个顶点,的直线. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点(4,0)A -的直线l 与椭圆C 交于E ,F 两点,点B 在线段EF 上,若||||||||AE BE AF BF =,求OAB （O 为坐标原点）面积的取值范围.【分析】（1）根据题设构造关于a ,b 的方程组,利用待定系数法求解椭圆的方程； （2）设出直线方程,联立直线l 与椭圆C 的方程,利用韦达定理得到||EF 的表达式,设||||||||AE BE AF BF λ==,找出||AB 与||EF 的关系；再算出点O 到直线l 的距离,得到OAB 面积的表达式,利用根与系数的关系进行求解.【解析】（1）依题意得2b a ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得2,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的标准方程是22184x y +=.（2）设直线l 的方程为4(0)x ty t =-≠,代入椭圆C 的方程得()222880t y ty +-+=,由0∆>得22,||t t >>设()()1122,,,E x y F x y ,所以1221228,28,2t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,12||EF y -, 设||||||||AE BE AF BF λ==,则,AE AF EB BF λλ==22111AB AE EB EF EF EF λλλλλλ=+=+=-+-. 原点O 到直线l的距离d =故OAB的面积121221421S y y y y λλ=-=⋅--. 因为1122y y y y λλ=⇒=,故112212212122444||1y y y y S y y y y t y y =⋅-==∈+-, 故OAB面积的取值范围为(0,.(二) 三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值,可把三角形分为两个小三角形分别计算面积 若过定点Q 的直线圆锥曲线交于点A ,B ,点P 为定点或满足一定条件的动点,要表示△P AB 的面积,可先求出点A ,B 到直线PQ 的距离之和d ,则12PAB S PQ d ∆=,特别的,若PQ 与y 轴垂足,12PAB A B S PQ y y ∆=-,利用这种方法求面积,可以避免使用弦长公式,减少运算量.【例2】（2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到左、右焦点1F 、2F 的距离之和为4,且右顶点A 到右焦点2F 的距离为1. （1）求椭圆C 的方程;（2）直线y kx =与椭圆C 交于不同的两点M ,N ,记MNA △的面积为S ,当3S =时求k 的值. 【分析】（1）根据题意得到24a =,1a c -=,再根据222a b c =+求解即可. （2）首先设()11,M x y ,()22,N x y ,再根据122121111222AMNS OA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-求解即可. 【解析】（1）由题意24a =,2a =,因为右顶点A 到右焦点2F 的距离为1,即1a c -=,所以1c =,则b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）设()11,M x y ,()22,N x y ,且2OA = 根据椭圆的对称性得122121111222AMNSOA y OA y OA y y y y =⋅+⋅=⋅-=-, 联立方程组22143y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得223(4)12y k +=,解得y =因为AMN 的面积为3,可得12||3y y -==,解得32k =±. (三)对角线互相垂直的四边形面积的计算对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的12.【例3】（2022届河南省高三上学期联考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12,且椭圆E 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭,过右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 和CD ． （1）求椭圆E 的方程；（2）当四边形ACBD 的面积取得最小值时,求弦AB 所在直线的方程．【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组,求出这三个量的值,即可得出椭圆E 的标准方程；（2）分两种情况讨论：①当AB 或CD 中有一条直线垂直于x 轴时,求出四边形ACBD 的面积；②当AB 的斜率存在且不为0时,设直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠,将该直线方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,求出AB 、CD ,利用四边形的面积12S AB CD =⨯结合基本不等式可求得四边形ACBD 面积的最小值,综合即可得解.【解析】（1）已知可得22222121914c a a b c ab ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩,解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆E 的方程为22143x y +=．（2）当AB 或CD 中有一条直线垂直于x 轴时,不妨设AB x ⊥轴, 因为焦点F 的坐标为()1,0,所以直线AB 的方程为1x =, 将1x =代入椭圆方程可得32y =±,则3AB =,4CD =,四边形ACBD 的面积14362S =⨯⨯=；当AB 的斜率存在且不为0时,设其斜率为()0k k ≠, 由（1）知()1,0F ,所以直线AB 的方程为()1y k x =-,与椭圆E 的方程22143x y +=联立并消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=．设()11,A x y 、()22,B x y ,()()()42226443441214410k k k k ∆=-+-=+>,则2122834k x x k +=+,212241234k x x k -=+,12AB x=-=()2212134kk++．同理可得可得()222211211214343kkCDkk⎛⎫+⎪+⎝⎭==++,所以四边形ACBD面积()()()()()()222222222121721112243344334k kS AB CDk k k k++=⨯=⨯=++++()22222272122887274943342kk k+⎛⎫≥=⨯=⎪⎝⎭⎛⎫+++⎪⎝⎭,当且仅当224334k k+=+时,即当1k=±时,等号成立,因为288649>,故当四边形ACBD的面积取得最小值时,直线AB的方程为1y x=-或1y x=-+．(四)利用函数性质求面积最值或范围如果能把三角形或四边形的面积用某一个变量来表示,此时可把面积看作关于该变量的函数,若函数的单调性容易确定,可利用函数单调性求面积最值或范围.【例4】7．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右顶点为A,上､下顶点分别为B,D,直线AB的斜率为12-,坐标原点O到直线AB.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l//AB,且交椭圆C于M,N两点,当△DMN的面积最大时,求直线l的方程.【分析】（1）由题设可得2a b=且直线AB为1x ya b+=,再应用点线距离公式求参数,即可写出椭圆方程.（2）设直线l为1(1)2y x t t=-+≠±、()11,M x y、()22,N x y,并联立椭圆方程整理成含参数t的一元二次方程,由0∆>求t的范围,由韦达定理可得122x x t+=、21222x x t=-,结合点线距离公式、弦长公式及三角形面积公式可得DMNS=再利用导数求()22()2(1)h t t t=-+的最大值并确定对应t值,即可得直线l的方程.【解析】（1）由题意得：(,0)A a,(0,)B b,故直线AB为1x ya b+=,即0bx ay ab+-=,由12AB b k a =-=-,得2a b =, ∴直线AB 为220x y b +-=,则O 到直线AB的距离1d ,得1b =, ∴2a =,故椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）设直线l 为1(1)2y x t t =-+≠±,则(0,1)D -到直线l的距离d == 将直线l 的方程与椭圆方程联立,整理得222220x tx t -+-=,∴()()2224422420t t t ∆=--=->,得t <1t ≠±,设()11,M x y ,()22,N x y ,则122x x t +=,21222x x t =-,∴12||MN x x =-=综上,11||22DMN S MN d =⨯⨯==△ 令()22()2(1)h t t t =-+,则()22()2(1)22(1)h t t t t t '=-++-⨯+24(1)14(1)2t t t t t t ⎛⎛⎫=-++-=-++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭,易知：在,⎛-∞ ⎝⎭上()0h t '>,()h t 单调递增；在1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上()0h t '<,()h t 单调递减；在⎛- ⎝⎭上,()'0h t >,()h t 单调递增；在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上,()'0h t <,()h t 单调递减. ∴()ht 在t =或t =,又h ⎛= ⎝⎭h =⎝⎭∴当t =时,()h t 取得最大值,(,∴当t =时DMNS 取得最大值,此时直线l 的方程为12y x =- (五)利用均值不等式求面积最值或范围如果能把三角形或四边形的面积转化为某些变量的代数式,若对代数式进行恒等变形后能出现和为定值或乘积为定值的式子,可考虑利用均值不等式求最值或范围.【例5】（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知抛物线()2:20T y px p =>,点F 为其焦点,点M 、N 在抛物线上,且直线MN 过点,02p G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,26FM FN ==.（1）求抛物线T 的方程；（2）过焦点F 作互相垂直的两条直线,与抛物线T 分别相交于点A 、B 和C 、D ,点P 、Q 分别为AB 、CD 的中点,求FPQ △面积的最小值.【分析】（1）过点M 、N 分别作抛物线T 的准线l 的垂线,垂足分别为1M 、1N ,分析出N 为MG 的中点,连接ON ,分析出N 在线段OF 的垂直平分线上,可求得点N 的横坐标,利用抛物线的定义可求得p 的值,即可得出抛物线的标准方程；（2）分析可知直线AB 、CD 的斜率均存在且不为0,设直线AB 的斜率为()0k k ≠,联立直线AB 的方程与抛物线的方程,求出点P 的坐标,同理可求得点Q 的坐标,求出PF 、QF ,利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得结果.【解析】（1）过点M 、N 分别作抛物线T 的准线l 的垂线,垂足分别为1M 、1N , 易知1MM MF =,1NN NF =,因为2FM FN =,则112MM NN =,则点N 为MG 的中点,连接ON ,则ON 为FGM △的中位线,所以,22FM ON NF ==,则ON NF =, 所以,点N 在线段OF 的垂直平分线上,则点N 的横坐标为4p,324p pFN ∴=+=,解得4p =,所以,抛物线T 的标准方程为28y x =. （2）因为()2,0F ,若直线AB 、CD 分别与两坐标轴垂直,则直线AB 、CD 中有一条与抛物线只有一个交点,不合乎题意.所以,直线AB 、CD 的斜率均存在且不为0,设直线AB 的斜率为()0k k ≠,则直线AB 的方程为()2y k x =-,联立()282y xy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,得28160ky y k --=,则264640k ∆=+>, 设()11,A x y 、()22,B x y ,则128y y k+=, 设(),P P P x y ,则1242P y y y k +==,则2422P P y x k k =+=+,所以2442,P kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,同理可得()242,4Q k k +-,故QF ==PF =因为PF QF ⊥,所以()281111822FPQk SPF QF k k k +⎛⎫=⋅=⨯==⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭816≥⨯=, 当且仅当1k k=,即1k =±时等号成立,故FPQ △面积的最小值为16. 三、跟踪检测1．（2022届广西“智桂杯”高三上学期联考）如图,已知抛物线：2:C x y =,()0,1M ,()0,1N -,过点M 垂直于y轴的垂线与抛物线C 交于B ,C ,点D ,E 满足CE CN λ=,()01ND NB λλ=<<.（1）求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）设直线DE 与此抛物线的公共点为Q ,记BCQ △与DEN 的面积分别为1S ,2S ,求12S S 的值. 2．（2022届河南省名校联盟高三上学期12月考）已知椭圆()222:11x C y a a +=>1F ,2F是C 的左、右焦点,P 是C 上在第一象限内的一点,1F 关于直线2PF 对称的点为M ,2F 关于直线1PF 对称的点为N ． （1）证明：4MN ≤；（2）设A ,B 分别为C 的右顶点和上顶点,直线()0y kx k =>与椭圆C 相交于E ,F 两点,求四边形AEBF 面积的取值范围．3．（2022届宁夏石嘴山市高三上学期月考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ,离心率为12,过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于,A B 两点,3AB = （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过点()4,0M -且与椭圆相交于A ,B 两点,求ABF 面积最大值及此时直线l 的斜率.4．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,当l x ⊥轴时,2AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点D ,过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ,直线PF 交抛物线C 于另一点Q .∴是否存在定点M ,使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在,求出定点M 的坐标；若不存在,请说明理由. ∴求证：QAF QBF S S ⋅△△为定值.5．（2022届四川省成都市高三上学期期中）己知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ,P 为C 上的动点,Q为P 在动直线()0y t t =<上的投影．当PQF △为等边三角形时,其面积为 （1）求C 的方程；（2）设O 为原点,过点P 的直线l 与C 相切,且与椭圆22142x y +=交于A ,B 两点,直线OQ 与线段AB 交于点M ．试问：是否存在t ,使得QMA △和∴QMB 的面积相等恒成立？若存在,求t 的值；若不存在,请说明理由．6．（2022届福建省厦门高三12月月考）椭圆2222:1(0)>>x y E a b a b +=的左右焦点分别为1F ,2F ,焦距为O为原点.椭圆E 上任意一点到1F ,2F距离之和为 （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点(02)P ，的斜率为2的直线l 交椭圆E 于A ､B 两点,求OAB 的面积. 7．（2022届重庆市三峡名校联盟高三上学期联考）如图,椭圆1C ：222<<1(02)4x y b b+=的焦距为抛物线2C ：2y x b =-与y 轴的交于点M ,过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A ,B ,直线MA ,MB 分别与1C 相交于点D ,E .（1）证明：MD ､ME 的斜率之积为定值. （2）记MAB △､MDE 的面积分别为MAB S､MDE S △,求MAB MDESS的最小值,并求取最小值时直线MA 的方程.8．（2022届北京市第十三中学高三12月月考）已知椭圆2222:1x y C a b +=其长轴的两个端点分别为()30A -,,()3,0B ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆上除A ,B 外的任意一点,直线AP 交直线4x =于点E ,点O 为坐标原点,过点O 且与直线BE垂直的直线记为l ,直线BP 交y 轴于点M ,交直线l 于点N ,求BMO 与NMO △的面积之比．9．（2022届浙江省杭州市高三上学期12月月考）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点到准线的距离为2,点P 在抛物线C 上,过点(),0R t 的直线交抛物线C 于,A B 两点,线段AB 的中点为M ,且满足2.PM MF =（1）若直线AB 的斜率为1,求点P 的坐标； （2）若65t ≤,求四边形FBPA 面积的最大值.。
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面积问题例题1、已知椭圆C ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c aa ⎧⎪⎨⎪⎩1b∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。
（1）当AB x ⊥轴时，AB =。
（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+=223(1)4m k =+。
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。
22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。
当且仅当2219k k =，即k =时等号成立。
当0k =时，AB =， 综上所述max 2AB =。
∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=。
例题2、已知椭圆C:2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥轴时，AB =．（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+=，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤．当且仅当2219k k =，即k =时等号成立．当0k =时，AB =，综上所述max 2AB =． ∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=． 例题3、已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．解：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+22212221(1)()4BDx x k x x x x⎡=-=++-=⎣；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k -，所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． 练习1.己知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C于点G .①求证：PQG 是直角三角形； ②求PQG 面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=（2）①证明见解析；②169【解析】 【分析】（1）解方程组2222221312c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩即可； （2）①设直线PQ 的斜率为k .则其方程为()0y kx k =>，联立直线与椭圆方程得到,,P Q E 坐标，再由QG 与椭圆方程联立得到G 点坐标，证明斜率乘积等于1-即可；②利用两点间的距离公式算得,PQ PG 的长度，将三角形的面积用k 表示，再结合双勾函数的单调性即可得到答案.【详解】（1）由题意，2c a =，221123a b +=，222a b c =+，解得2,a b ==所以椭圆的方程为：22142x y +=.（2）①：设直线PQ 的斜率为k .则其方程为()0y kx k =>.由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得x =记u =，则(),P u uk ，(),Q u uk --，(),0E u .于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-. 由22()2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=.① 设(),G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k=+. 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+. 所以PQ PG ⊥，即PQG 是直角三角形.②：由①得||2PQ =22||2PG k==+， 所以PQG 的面积12S PQ PG ==122⨯=2222(1)2u k k k ++，又u =，所以22222418(1)8(1)2(12)(2)252k k k k S PQ PG k k k k ++===++++218()112()k k k k+=++. 设1t k k=+，则由0k >得2t ≥，当且仅当1k =时取等号. 因为2881122t S t t t==++，而11222()y t t t t=+=+在[2,)+∞单调递增，所以当2t =，即1k =时，S 取得最大值，最大值为169. 因此，PQG 面积的最大值为169.练习2.点(),M x y 与定点()1,0F 的距离和它到直线4x =的距离的比是常数12． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过坐标原点O 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 上异于A ，B 的点P 满足直线AP 的斜率为32-． （ⅰ）证明：直线AP 与BP 的斜率之积为定值； （ⅱ）求ABP △面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据已知条件列方程，化简后求得轨迹C 的方程. （Ⅱ）（ⅰ）利用点差法，求得34AP BP k k ⋅=-，由此证得结论成立. （ⅱ）利用弦长公式求得AP ，利用点到直线的距离公式求得B 到直线AP 的距离，由此求得三角形ABP面积的表达式，利用二次函数的性质求得三角形ABP 面积的最大值.【详解】12=，两边平方并化简得223412x y +=，即点M 的轨迹C 的方程为：22143x y +=．（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,A x y ，则点()11,B x y --，满足2211143x y +=， ①设点()22,P x y ，满足2222143x y +=， ②由①－②得：()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=，∵121232AP y y k x x -=-=--，1212BP y y k x x +=+，∴()()()()1212121234AP BP y y y y k k x x x x -+⋅==--+． （ⅱ）∵A ，B 关于原点对称，∴2ABP OAP S S =△△，设直线3:2AP y x m =-+，代入曲线22:143x y C +=化简得：223330x mx m -+-=，设()11,A x y ，()22,P x y ，由>0∆得：212m <，12x x m +=，21233m x x -=，12AP x =-==，点O 到直线AP的距离d =，∴1222ABP OAPS S AP d ==⨯⨯⋅==△△，∴ABPS ==△，当26m =时，∴ABPS △取到最大值练习3.已知椭圆的焦点坐标为()11,0F -，21,0F ，过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q 两点，且3PQ =.（1）求椭圆的方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；内切圆面积的最大值为916π，直线的方程为1x = 【解析】 【分析】（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得1c =，由||3PQ =，可得223b a=，又221a b -=，由此可求椭圆方程；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，不妨10y >，20y <，设△1F MN 的内切圆的径R ，则△1F MN 的周长48a ==，1111(||||||)42F MNSMN F M F N R R =++=，因此1MNF S 最大，R 就最大．设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，从而可表示△1F MN 的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．【详解】解：（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，由焦点坐标可得1c =.由3PQ =，可得223b a =.又221a b -=，得2a =，b =故椭圆方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨令10y >，20y <， 设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =，()111142F MN S MN F M F N R R =++=△， 因此要使1F MN △内切圆的面积最大，则R 最大，此时1MNF S也最大.112121212F MNSF F y y y y =-=-， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2234690m y my ++-=，得1y =，2y =，则112F MNS y y =-=△，令t 1t ≥，则1212121313F MNt S t t t===++△令()13f t t t=+，则()213f t t '=-， 当1t ≥时，()0f t '>，所以()f t 在[)1,+∞上单调递增， 有()()14f t f ≥=，11234F MN S ≤=△， 当1t =，0m =时，13F MN S =△，又14F MN S R =△，∴max 34R =这时所求内切圆面积的最大值为916π，此时直线的方程为1x = 练习4：抛物线()2:20C x py p =>，Q 为直线2py =-上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为M ，N .（1）证明：直线MN 过定点；（2）若以50,2p G ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线MN 相切，且切点为线段MN 的中点，求该圆的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）24p π或22p π 【解析】 【分析】（1）设点,2P Q t ⎛⎫-⎪⎝⎭，()11,M x y ，()22,N x y ，利用导数求出切线MQ 的斜率，再利用斜率公式求出切线MQ 的斜率，进而求出直线MN 的方程，从而可证明直线MN 过定点；（2）将直线MN 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理，求出H 点坐标，借助向量垂直的坐标运算，求得0t =或t p =±，进而求得圆的面积.【详解】（1）设,2P Q t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,M x y ，则2112x py =， 由2222x x py y p =⇒=， 所以x y p '=，所以切线MQ 的斜率为1MQ x k p=， 故1112py x x t p +=-，整理得211220tx py p -+=，设()22,N x y ，同理可得222220tx py p -+=，所以直线MN 的方程为2220tx py p -+=， 所以直线MN 恒过定点0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）由（1）得直线MN 的方程为2tx p y p =+， 由222tx p y p xy p ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得2220x tx p --=， 122x x t +=，()212122t t y y x x p p p p+=++=+， 设H 为线段MN 的中点，则2,2t p H t p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于GH MN ⊥，而2,2t GH t p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， MN 与向量1,t n p ⎛⎫= ⎪⎝⎭平行，所以220t t t p p p ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 解得0t =或t p =±，当0t =时，圆G 半径2R GH p ==，所以圆G 的面积为24p π，当t p =±时，圆G 半径2R GH p ==，所以圆G 的面积为22p π.所以，该圆的面积为24p π或22p π.。