第5章 MATLAB数据分析与多项式计算

的调用格式为： sum(X)：返回向量X各元素的和。 prod(X)：返回向量X各元素的乘积。 sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列 的元素和。
prod(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素
乘积。
sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；
当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A
ti=1,1.5,2,2.5,…,9.5,10各点的函数近似值。
t=1:10; y=[9.6,4.1,1.3,0.4,0.05,0.1,0.7,1.8,3.8,9.0]; [p,s]=polyfit(t,y,2)
ti=1:0.5:10;
yi=polyval(p,ti) plot(t,y,ti,yi) %polyval函数的功能是按多项式的系数 计算多项式的值
的第i行的各元素之和。 prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于prod(A)； 当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A 的第i行的各元素乘积。
例5-4 求矩阵A的每行元素的和以及全部元素的和。
A=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12];
5.1.3 平均值和中值
数据插值的任务就是根据上述的条件构造一个函数
y=g(x),使得在xi(i=1,2,...),有g(xi)=f(xi),且在两个相邻 的采样点 （xi,x (i+1))之间，g(x)光滑过渡。
5.2.1 一维数据插值
在MATLAB中，实现这些插值的函数是interp1，其调用格 式为：
Y1=interp1(X,Y,X1,'method') 函数根据X,Y的值，计算函数在X1处的值。X,Y是两个等 长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量
设时间变量h为一行向量，温度变量t为对应的函数。命令
如下：
h =6:2:18; t=[18,20,22,25,30,28,24]; XI =6.5:2:17.5; YI=interp1(h,t,XI,'spline')
%用3次样条插值计算
5.3 曲线拟合
曲线拟合的目的也是用一个比较简单的函数去逼近一个 复杂或未知的函数。数值插值要求逼近函数在采样点与被逼 近函数相等，但由于实验或测量中的误差，所获得的数据不 一定准确。为此，人们设想构造函数y=g(x)去逼近f(x), 但它 放弃在插值点两者完全相等的要求， 使其在某种程度下最 优。 MATLAB曲线拟合的最优标准是采用最小二乘原理，构 造m多项式p(x):
数据序列的平均值指的是算术平均值，求数据序列平均值的 函数是mean。
中值指的是数据序列中其值的大小恰好处于中间的元素，求 数据序列中值的函数是median。 两个函数的调用格式为： mean(X)：返回向量X的算术平均值。 median(X)：返回向量X的中值。 mean(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术
函数根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m次多项式P 及其在采样点的误差向量S。其中X,Y是两个等长的向量，P 是一个长度为m+1的向量，P的元素为多项式系数。 polyval函数的功能是按多项式的系数计算x点多项式的值， 将在5.5.3节中详细介绍。
例5-14 已知数据表[t,y]，试求2次拟合多项式p(t)，然后求
第5章 MATLAB数据分析与多项式计算

MATLAB数据统计处理 MATLAB数据插值与曲线拟合
5.1 数据统计处理
5.1.1 最大值和最小值
MATLAB提供的求数据序列的最大值和最 小值的函数分别为max和min，两个函数的 调用格式和操作过程类似。
1．求向量的最大值和最小值
求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式，分
平均值。
median(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的中 值。
mean(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于mean(A)；当dim为 2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的算术平 均值。
median(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于median(A)；当 dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的中 值。 例5-5 分别求向量x与y的平均值和中值。
(3) max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取1时，该函数
和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个
列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。
例5-2 分别求3×4矩阵x中各列和各行元素中的最 大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。 x=[1,8,4,2;9,6,2,5;3,6,7,1]
cumsum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumsum(A)；当dim为2时， 返回一个矩阵，其第i行是A的第i行的累加和向量。
cumprod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumprod(A)；当dim为2时， 返回一个向量，其第i行是A的第i行的累乘积向量。
5.1.6 排序
或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结 果。method是插值方法，允许的取值有线性插值‘linear’、 最近点插值‘nearest’、3次多项式插值‘cubic’、3次样 条插值‘spline’。
注意：X1的取值范围不能超出X的给定范围， 否则，会给出“NaN”错误。 例5-10 用不同的插值方法计算在π/2点的值。
min函数的用法和max完全相同。
例5-3 求两个2×3矩阵x, y所有同一位置上的较大元
素构成的新矩阵p。
x=[4,5,6;1,4,8];
y=[1,7,5;4,5,7];
max(x,y)
5.1.2 求和与求积
数据序列求和与求积的函数是sum和prod，其使用
方法类似。设X是一个向量，A是一个矩阵，函数
x=0:0.2:pi;y=sin(x);
interp1(x,y,pi/2,'linear')
interp1(x,y,pi/2,'nearest')
例5-11 某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时的
室内温度(℃)，用3次样条插值分别求得该日室内6:30至 17:30时之间每隔2小时各点的近似温度(℃)。
%求向量x中的最大值
%求向量x中的最大值及其该元素
的位置
2．求矩阵的最大值和最小值 求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式，分别是：
(1) max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是
矩阵A的第i列上的最大值。
(2) [Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A
的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。
p(x)=a1 *x^m+a2 *x^m-1+...+am *x+a(m+1) 使得上述的拟合多项式在各个节点处的偏差的平方和达到最小。
在MATLAB中，用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的 系数，再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的 函数近似值。 polyfit函数的调用格式为： [P,S]=polyfit(X,Y,m)
例5-9 对二维矩阵做各种排序。 A=[1,-8,5;4,12,6;13,7,-13]
sort(A)
sort(A,'descend') [Y,I]=sort(A)
5.2 数据插值
在工程测量中，所得到的数据都是离散的，如
果要得到这些离散点之外的其他点，就需要根据这 些已知点进行插值。 例如：测量得n个点的数据为（x1,y1） (x2,y2)...(xn,yn),这些数据点反映一个函数关系y=f(x),
MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X)，函数返
回一个对X中的元素按升序排列的新向量。 sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其 调用格式为： [Y,I]=sort(A,dim)
其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1，
则按列排；若dim=2，则按行排。Y是排序后的矩
阵，而I记录Y中的元素在A中位置。
max(max(X)),min(min(X))
3．两个向量或矩阵对应元素的比较 函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，
调用格式为：
(1) U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结果
U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于
A,B对应元素的较大者。 (2) U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的 向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的 较大者。
x=[9,-2,5,7,12]
mean(x)
median(x)
5.1.4 累加和与累乘积
在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元 素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：
cumsum(X)：返回向量X累加和向量。
cumprod(X)：返回向量X累乘积向量。
cumsum(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量。 cumprod(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积向量。
别是： (1) y=max(X)：返回向量X的最大值存入y. (2) [y,I]=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大 值的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按模
取最大值。
例5-1 求向量x的最大值。
命令如下：
x=[-43,72,9,16,23,47];
y=max(x)
[y,l]=max(x)