江苏2013届高三数学(文)试题分类汇编：统计

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【推荐】江苏13大市2013年高三历次测验数学试题分类汇编6：数列

【推荐】江苏13大市2013年高三历次测验数学试题分类汇编6：数列————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编6：数列一、填空题1 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）如图所示:矩形的一边在轴上,另两个顶点、在函数的图像上,若点的坐标为),矩形的周长记为,则____.【答案】2162 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+,数列{n b }的通项公式为2n b n =.若将数列{n a },{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c },则9c 的值为_____.【答案】9613 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知n S 是等差数列{}n a 的前n项和,若77S =,1575S =,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为____.【答案】55;4 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）在等比数列中,为其前项和,已知,,则此数列的公比为______.【答案】 3;5 ．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）各项均为正数的等比数列{}n a 中,若11a ≥,22a ≤,33a ≥,则4a 的取值范围是_________【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,296 ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）在1和9之间插入三个正数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的和为______.【答案】433+7 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）观察下列等式:31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-14×23,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N *,31×2×12+42×3×122++n ＋2n n ＋1×12n =______. 【答案】()nn 2111⋅+-8 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）过点(1 0)P -，作曲线C :e x y =的切线,切点为1T ,设1T 在x 轴上的投影是点1H ,过点1H 再作曲线C 的切线,切点为2T ,设2T 在x 轴上的投影是点2H ,,依次下去,得到第1n +()n ∈N 个切点1n T +.则点1n T +的坐标为______.【答案】()e n n ，9 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）已知实数a 1,a 2,a 3,a 4满足a 1+a 2+a 30=,a 1a 42+a 2a 4-a 20=,且a 1>a 2>a 3,则a 4的取值范围是______.【答案】()1515 22---+，10．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）设n S ,n T 分别是等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和,已知2142n n S n T n +=-,*n N ∈, 则1011318615a ab b b b +=++_______.【答案】417811．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）某厂去年的产值为1,若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%,则从今年起到第五年这五年内,这个厂的总产值约为_________.(保留一位小数,取)【答案】6.612．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 9=-36,S 13=-104,则a 5与a 7的等比中项为________.【答案】答案:42±.本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算.法一用性质.S 9=9a 5= -36,S 13= 13a 7= -104,于是a 5= -4,a 7= -8,等比中项为42±. 法二用基本量.S 9=9a 1+36d = -36,S 13=13a 1+78d = -104,解得a 1=4,d = -2.下同法一.13．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知数列{}n a 满足143a =,()*11226n n a n N a +-=∈+,则11ni ia =∑=______. 【答案】2324n n ⋅--14．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）等差数列{a n }的公差为-2,且a 1,a 3,a 4成等比数列,则a 20=_______________.【答案】30-15．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）已知数列{a n }的通项公式为a n =-n +p ,数列{b n }的通项公式为b n =2n -5.设c n =⎩⎨⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n ＞b n ，若在数列{c n }中,c 8>c n (n ∈N*,n ≠8),则实数p 的取值范围是________.【答案】(12,17)16．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）在等差数列{}n a 中, 若9753=++a a a , 则其前9项和的值为 .【答案】2717．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）正项等比数列{a n }中,311a a =16,则22212log log a a +=______.【答案】4;18．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,若62,256382-==S a a a a ,则1a 的值是_____.【答案】2-19．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）设数列{n a }是公差不为0的等差数列,S 为其前n 项和,若22221234a a a a +=+,55S =,则7a 的值为_____.【答案】920．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）各项均为正数的等比数列{}n a 中,211a a -=.当3a 取最小值时,数列{}n a 的通项公式a n =______.【答案】12n -21．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，,则a 1的值大于20的概率为____.【答案】1422．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-,则数据1a ,2a ,3a ,4a ,5a 的方差为_____.【答案】823．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）若等比数列{}n a 满足43=-m a 且244a a a m m =-(*N m ∈且4>m ),则51a a 的值为________.【答案】1624．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）数列满足,,且 =2,则的最小值为____.【答案】二、解答题25．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）设数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项的和为n S ,对于任意正整数m ,n ,222(1)1m n m n S a S +=+-恒成立.(1)若11a =,求2a ,3a ,4a 及数列{}n a 的通项公式; (2)若4212(1)a a a a =++,求证:数列{}n a 成等比数列.【答案】26．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）已知数列16n a n =-,(1)15n n b n =--,其中*n N ∈(1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合 (2)n ≠16,求数列nnb a 的最大值和最小值 (3)记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ,求所有满足22m n S S =(m<n)的有序整数对(m,n)【答案】(1)a n +1=|b n |,n -15=|n -15|,当n ≥15时,a n +1=|b n |恒成立,当n <15时,n -15=-(n -15) ,n =15 n 的集合{n |n ≥15,n ∈N *}(2)nn a b =1615)1(---n n n(i)当n>16时,n 取偶数n n a b =1615--n n =1+161-n 当n=18时(n n a b )max =23无最小值 n 取奇数时n n a b =-1-161-nn=17时(nna b )min =-2无最大值 (ii)当n<16时,n na b =16)15()1(---n n n当n 为偶数时n n a b =16)15(---n n =-1-161-n n=14时(n n a b )max =-21(n n a b )min =-1413 当n 奇数n n a b =1615--n n =1+161-n , n=1 , (n n a b )max =1-151=1514, n =15,(nna b )min =0 综上,n n a b 最大值为23(n =18)最小值-2(n =17) (3)n≤15时,b n =(-1)n-1(n-15),a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (16-2k )≥0,n >15时,b n =(-1)n(n -15),a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (2k -16) >0,其中a 15b 15+a 16b 16=0 ∴S 16=S 14 m =7, n =827．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知数列{}n a 是等差数列,12315a a a ++=,数列{}n b 是等比数列,12327b b b =.(1)若1243,a b a b ==.求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列,求3a 的最大值.【答案】解:(1)由题得225,3a b ==,所以123a b ==,从而等差数列{}n a 的公差2d =,所以21n a n =+,从而349b a ==,所以13n n b -=(2)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,则15a d =-,13b q=,35a d =+,33b q =. 因为112233,,a b a b a b +++成等比数列,所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=.设1133a b m a b n+=⎧⎨+=⎩,*,m n N ∈,64mn =, 则3553d m q d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩,整理得,2()5()800d m n d m n +-++-=.解得2(10)362n m m n d -++--=(舍去负根).35a d =+,∴要使得3a 最大,即需要d 最大,即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈,64mn =,∴当且仅当64n =且1m =时,n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的637612d +=, 所以,最大的3737612a +=28．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知数列{}n b 满足112b =,112(2,*)n nb n n N b -+=≥∈. (1)求2b ,3b ,猜想数列{}n b 的通项公式,并用数学归纳法证明;(2)设n n x b =,1n n y b +=,比较x x 与yy 的大小.【答案】[来源:学科网]29．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知数列{}n a 满足:12(0)a a a =+≥,12n n a aa +=+,*n ∈N . ⑴若0a =,求数列{}n a 的通项公式;⑵设1n n n b a a +=-,数列{}n b 的前n 项和为n S ,证明:1n S a <.【答案】⑴若0a =时,12a =,12n n a a +=,所以212n n a a +=,且0n a >. 两边取对数,得1lg 22lg lg n n a a +=+, 化为11lg lg2(lg lg2)2n n a a +=++, 因为1lg lg22lg2a =+,所以数列{lg lg2}n a +是以2lg2为首项,12为公比的等比数列所以11lg lg22()lg22n n a -=+,所以2212n n a --=⑵由12n n a a a +=+,得212n n a a a +=+,① 当2n ≥时,212n n a a a -=+,②①-②,得1112()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+, 由已知0n a >,所以1n n a a +-与1n n a a --同号因为21a a =+,且0a >,所以222212(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立, 所以210a a -<,所以10n n a a +-< 因为1n n n b a a +=-,所以1()n n n b a a +=--, 所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----+++11111()n n a a a a a ++=--=-<30．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为13，刚开始时，棋子在上底面点A 处，若移了n 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n ．（1）求p 1，p 2的值；（2）求证：i =1∑n14P i －1＞n 2n ＋1．【答案】解（1）p 1＝23，ABCDEF（第23题）p 2＝23×23＋13×(1－23)＝59． ……………………2分（2）因为移了n 次后棋子落在上底面顶点的概率为p n ，故落在下底面顶点的概率为1－p n ．于是移了n ＋1次后棋子落在上底面顶点的概率为p n +1＝23p n ＋13(1－p n )＝13p n ＋13．…………………… 4分从而p n +1－12＝13(p n －12)．所以数列{p n －12}是等比数列，其首项为16，公比为13．所以p n －12＝16×(13)n －1．即p n ＝12＋12×13n ． (6)分用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左式＝14×23－1＝35，右式＝12，因为35＞12，所以不等式成立．当n ＝2时，左式＝14×23－1＋14×59－1＝7855，右式＝43，因为7855＞43，所以不等式成立．②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即i =1∑k14P i －1＞k 2k ＋1．则n ＝k ＋1时，左式＝i =1∑k14P i －1＋14P k +1－1＞k 2k ＋1＋14(12＋12×13k +1)－1＝k 2k ＋1＋3k +13k +1＋2．要证k 2k ＋1＋3k +13k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2，只要证3k +1 3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2－k 2k ＋1．只要证3k +13k +1＋2≥k 2＋3k ＋1 k 2＋3k ＋2．只要证2 3k +1≤1k 2＋3k ＋1．只要证3k +1≥2k 2＋6k ＋2．因为k ≥2，所以3k +1＝3(1＋2)k ≥3(1＋2k ＋4C 2k )＝6k 2＋3＝2k 2＋6k ＋2＋2k (2k －3)＋1＞2k 2＋6k＋2，所以k 2k ＋1＋3k +1 3k +1＋2≥(k ＋1)2k ＋2．[来源:Z#xx#]即n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，不等式i =1∑n14P i －1＞n 2n ＋1对任意的n ∈N *都成立． (10)分31．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知数列{a n }中,a 2=1,前n 项和为S n ,且1()2n n n a a S -=. (1)求a 1;(2)证明数列{a n }为等差数列,并写出其通项公式; (3)设1lg 3n n na b +=,试问是否存在正整数p ,q (其中1<p <q ),使b 1,b p ,b q 成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p ,q );若不存在,说明理由.【答案】解:(1)令n =1,则a 1=S 1=111()2a a -=0 (2)由1()2n n n a a S -=,即2n n naS =, ① 得 11(1)2n n n a S +++=. ② ②-①,得 1(1)n n n a na +-=. ③ 于是,21(1)n n na n a ++=+. ④ ③+④,得212n n n na na na +++=,即212n n n a a a +++=又a 1=0,a 2=1,a 2-a 1=1,所以,数列{a n }是以0为首项,1为公差的等差数列. 所以,a n =n -1(3)假设存在正整数数组(p ,q ),使b 1,b p ,b q 成等比数列,则lg b 1,lg b p ,lg b q 成等差数列,于是,21333p qp q =+ 所以,213()33q p p q =-(☆). 易知(p ,q )=(2,3)为方程(☆)的一组解当p ≥3,且p ∈N*时,112(1)224333p p p p p p +++--=<0,故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列, 于是2133p p -≤323133⨯-<0,所以此时方程(☆)无正整数解.综上,存在唯一正整数数对(p ,q )=(2,3),使b 1,b p ,b q 成等比数列注在得到③式后,两边相除并利用累乘法,得通项公式并由此说明其为等差数列的,亦相应评分.但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的,扣1分.本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及基本运算,考查创新能力.两个基本数列属C 能要求,属高考必考之内容,属各级各类考试之重点.第(3)问中,若数列{a n }为等差数列,则数列{n a k }(k >0且k ≠1)为等比数列;反之若数列{a n }为等比数列,则数列{log a n a }(a >0且a ≠1)为等差数列.第(3)问中,如果将问题改为“是否存在正整数m ,p ,q (其中m <p <q ),使b m ,b p ,b q 成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(m ,p ,q );若不存在,说明理由.”那么,答案仍然只有唯一组解.此时,在解题时,只须添加当m ≥2时,说明方程组无解即可,其说明思路与原题的解题思路基本相同.对于第(2)问,在得到关系式:1(1)n n n a na +-=后,亦可将其变形为11n n an a n +=-,并进而使用累乘法(迭乘法),先行得到数列{a n }的通项公式,最后使用等差数列的定义证明其为等差数列亦可.但需要说明n ≥2.考虑到这是全市的第一次大考,又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的第一次大规模的检测,因而在评分标准的制定上,始终本着让学生多得分的原则,例如本题中的第(1)问4分,不设置任何的障碍,基本让学生能得分.32．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）已知数列}{n a 满足21=a ,)1(11+-=++n a a n n n .(1)证明:n a n >(3≥n );(2)证明:243234<++++n n .盐城市2013届高三年级第二次模拟考【答案】(1)因为122,2,a a ==所以33235 3.a a =-=>假设当1n k =+时,因为112922k k ka k k k k k ++>>⋅≥>+,所以,111 1.k k k a a k k ++=-->+由数学归纳法知,当3n ≥时n a n > (2)由(1)知,10,nn n a a n -=->得1n n a n ->,所以1.n n a n ->所以()121,n n n a n n ---->即()121,n nn a n n -->-+所以121n n n a n n -->-+,以此类推,得3412234n a n =>++++,问题得证33．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）设n S 是各项均为非零实数的数列{}n a 的前n 项和,给出如下两个命题上:命题p :{}n a 是等差数列;命题q :等式1113221111+++=+++n n n a a bkn a a a a a a 对任意n (*N n ∈)恒成立,其中b k ,是常数. ⑴若p 是q 的充分条件,求b k ,的值;⑵对于⑴中的k 与b ,问p 是否为q 的必要条件,请说明理由;⑶若p 为真命题,对于给定的正整数n (1>n )和正数M,数列{}n a 满足条件M a a n ≤++2121,试求n S 的最大值.【答案】解:(1)设}{na 的公差为d ,则原等式可化为12231111111111,n n n kn b d a a a a a a a a ++⎛⎫+-+-++-= ⎪⎝⎭所以11111n n nd kn b d a a a a +++⋅=, 即()10k n b -+=对于n N *∈恒成立,所以1,0.k b ==(2)当1,0k b ==时,假设p 是否为q 的必要条件,即“若1223111111n n n na a a a a a a a +++++=①对于任意的()n n N *∈恒成立,则}{n a 为等差数列”. 当1n =时,121211a a a a =显然成立当2n ≥时,12231111111n nn n a a a a a a a a -+-+++=②,由①-②得, 111111n n n n n n a a a a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即()111n n na n a a +--=③. 当2n =时,1322a a a +=,即1a 、2a 、3a 成等差数列,当3n ≥时,()()1112n n n a n a a ----=④,即112n n n a a a -+=+.所以}{n a 为等差数列,即p 是否为q 的必要条件(3)由2211n a a M ++≤,可设11cos ,sin n a r a r θθ+==,所以r M ≤.设}{na 的公差为d,则11sin cos n a a nd r r θθ+-==-,所以sin cos r r d nθθ-=,所以sin cos sin n r r a r nθθθ-=-,()()()11cos 1sin 22n n a a n n n S r θθ+++-==()()()222112122n n M M n ++-≤⋅=+,所以n S 的最大值为()2212M n +34．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）一位幼儿园老师给班上(3)k k ≥个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为0a ,就先从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的12分给第一个小朋友;再从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的13分给第二个小朋友;,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中,然后把盒内糖果的11n +分给第(1,2,3,)n n k =个小朋友.如果设分给第n 个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为n a .(1) 当3k =,012a =时,分别求123,,a a a ;(2) 请用1n a -表示n a ;令(1)n n b n a =+,求数列{}n b 的通项公式;(3)是否存在正整数(3)k k ≥和非负整数0a ,使得数列{}n a ()n k ≤成等差数列,如果存在,请求出所有的k 和0a ,如果不存在,请说明理由.【答案】解:(1)当3k =,012a =时, ()()72212001=+-+=a a a , ()()62312112=+-+=a a a ,()()62412223=+-+=a a a (2)由题意知:()()()212112111++=++-+=---n n n n a n n a n a a ,即()()n na a n a n n n n 22111+=+=+--, (1)n n b n a =+,12,n n b b n -∴-=112102,22,2.n n n n b b n b b n b b ---∴-=-=--=累加得()()12220+=+=-n n n n b b n , 又00a b=,∴()01a n n b n ++=(3)由()01a n n b n ++=,得1++=n a n a n , 若存在正整数(3)k k ≥和非负整数0a ,使得数列{}n a ()n k ≤成等差数列, 则1322a a a +=, 即00001(1)3220243a a a a ⎛⎫+++=+⇒= ⎪⎝⎭, 当00=a 时, n a n =,对任意正整数(3)k k ≥,有{}n a ()n k ≤成等差数列 [注:如果验证012,,a a a 不能成等差数列,不扣分]【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法;考查反证法;考查递推思想;考查推理论证能力;考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力.本题还可以设计:如果班上有5名小朋友,每个小朋友都分到糖果,求0a 的最小值.35．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）记等差数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求证:数列{S nn}是等差数列;(2)若a 1=1,且对任意正整数n ,k (n >k ),都有S n ＋k +S n －k =2S n 成立,求数列{a n }的通项公式;(3)记b n =a a n (a >0),求证:b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n2.【答案】解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则S n =na 1+n (n －1)2d ,从而S n n =a 1+n －12d . 所以当n ≥2时,S n n -S n －1n －1=(a 1+n －12d )-(a 1+n －22d )=d2.即数列{S nn}是等差数列(2)因为对任意正整数n ,k (n >k ),都有S n ＋k +S n －k =2S n 成立, 所以S n ＋1+S n －1=2S n ,即数列{S n }是等差数列设数列{S n }的公差为d 1,则S n =S 1+(n -1)d 1=1+(n -1)d 1, 所以S n =[1+(n -1)d 1]2,所以当n ≥2时,a n =S n -S n -1=[1+(n -1)d 1]2-[1+(n -2)d 1]2=2d 21n -3d 21+2d 1, 因为{a n }是等差数列,所以a 2-a 1=a 3-a 2,即(4d 21-3d 21+2d 1)-1=(6d 21-3d 21+2d 1)-(4d 21-3d 21+2d 1),所以d 1=1,即a n =2n -1.又当a n =2n -1时,S n =n 2,S n ＋k +S n －k =2S n 对任意正整数n ,k (n >k )都成立, 因此a n =2n -1(3)设等差数列{a n }的公差为d ,则a n =a 1+(n -1)d ,b n =a a n ,所以b n b n －1=a a n -a n －1=a d, 即数列{b n }是公比大于0,首项大于0的等比数列记公比为q (q >0).以下证明:b 1+b n ≥b p +b k ,其中p ,k 为正整数,且p +k =1+n . 因为(b 1+b n )-(b p +b k )=b 1+b 1q n -1-b 1q p -1-b 1q k -1=b 1(q p -1-1)( q k -1-1). 当q >1时,因为y =q x为增函数,p -1≥0,k -1≥0, 所以q p -1-1≥0,q k -1-1≥0,所以b 1+b n ≥b p +b k . 当q =1时,b 1+b n =b p +b k .当0<q <1时,因为y =q x为减函数,p -1≥0,k -1≥0, 所以q p -1-1≤0,q k -1-1≤0,所以b 1+b n ≥b p +b k . 综上,b 1+b n ≥b p +b k ,其中p ,k 为正整数,且p +k =1+n 所以n (b 1+b n )=(b 1+b n )+(b 1+b n )++(b 1+b n ) ≥(b 1+b n )+(b 2+b n -1)+(b 3+b n -2)++(b n +b 1) =(b 1+b 2++b n )+(b n +b n -1++b 1), 即b 1＋b 2＋…＋b n n ≤b 1＋b n236．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知数列{a n }中,a 1=2,n∈N +,a n >0,数列{a n }的前n 项和S n ,且满足1122n n n a S S ++=-.(Ⅰ)求{S n }的通项公式;(Ⅱ)设{b k }是{S n )中的按从小到大顺序组成的整数数列. (1)求b 3;(2)存在N(N∈N +),当n≤N 时,使得在{S n }中,数列{b k }有且只有20项,求N 的范围.【答案】37．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）已知数列{}n a 是首项为1,公差为d 的等差数列,数列{}n b 是首项为1,公比为(1)q q >的等比数列.(1)若55a b =,3q =,求数列{}n n a b ⋅的前n 项和;(2)若存在正整数(2)k k ≥,使得k k a b =.试比较n a 与n b 的大小,并说明理由.【答案】解:(1)依题意,5145511381a b b q -===⨯=,故5181120514a a d --===-, 所以120(1)2019n a n n =+-=-,令2111213413(2019)3n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅, ① 则213 13213(2039)3(2019)3n n n S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅, ② ①-②得,()2121+20333(2019)3n n n S n --=⨯++⋅⋅⋅+--⋅, 13(13)1+20(2019)313n n n --=⨯--⋅-(2920)329n n =-⋅-, 所以(2029)3292n n n S -⋅+=(2)因为k k a b =,所以11(1)k k d q-+-=,即111k q d k --=-,故111(1)1k n q a n k --=+--,又1n n b q -=, 所以1111(1)1k n n n q b a qn k --⎡⎤--=-+-⎢⎥-⎣⎦()()111(1)1(1)11n k k q n q k --⎡⎤=-----⎣⎦- ()()23231(1)1(1)11n n k k q k q q q n q q q k -----⎡⎤=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅++⎣⎦- (ⅰ)当1n k <<时,由1q >知 ()()232311()1(1)1n n k k n n n q b a k n q q q n q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅+⎣⎦- 211()(1)(1)()1n n q k n n q n k n q k ---⎡⎤<-----⎣⎦- 22(1)()(1)1n q q k n n k ----=-- 0<,(ⅱ)当n k >时,由1q >知 ()()231231(1)()11n n k k k n n q b a k q q q n k q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅+--++⋅⋅⋅++⎣⎦- 121(1)()()(1)1k k q k n k q n k k q k ---⎡⎤>-----⎣⎦- 22(1)()k q q n k -=-- 0>,综上所述,当1n k <<时,n n a b >;当n k >时,n n a b <;当1 n k =，时,n n a b =. (注:仅给出“1n k <<时,n n a b >;n k >时,n n a b <”得2分.)[来源:学*科*网]38．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知数列{a n }满足:1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N . (1)若1a =-,求数列{a n }的通项公式;(2)若3a =,试证明:对*n ∀∈N ,a n 是4的倍数.【答案】解:(1)当1a =-时,1114,(1)1n a n a a -+=-=-+.令1n n b a =-,则115,(1)n b n b b +=-=-.因15b =-为奇数,n b 也是奇数且只能为1-, 所以,5,1,1,2,n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩(2)当3a =时,1114,31n a n a a -+==+ 下面利用数学归纳法来证明:a n 是4的倍数. 当1n =时,1441a ==⨯,命题成立;设当*()n k k =∈N 时,命题成立,则存在t ∈N*,使得4k a t =, [来源:学科网]1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+,其中,4(1)14544434(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t rt t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅,m ∴∈Z ,∴当1n k =+时,命题成立.∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立39．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）若数列是首项为,公差为6的等差数列;数列的前项和为.(1)求数列和的通项公式;(2)若数列是等比数列, 试证明: 对于任意的, 均存在正整数, 使得, 并求数列的前项和;(3)设数列满足, 且中不存在这样的项, 使得“与”同时成立(其中2≥k , *∈N k ), 试求实数的取值范围.南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)【答案】解: (1)因为是等差数列,所以而数列的前项和为,所以当时,,又,所以(2)证明:因为是等比数列,所以,即,所以对任意的,由于, 令,则,所以命题成立数列的前项和(3)易得,由于当时,,所以①若,即,则,所以当时,是递增数列,故由题意得,即,解得, ②若,即,则当时,是递增数列,,故由题意得,即,解得③若,即, 则当时,是递减数列, 当时,是递增数列,则由题意,得,即,解得综上所述,的取值范围是或40．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知函数()ln(2)f x x ax =-+在区间(0,1)上是增函数.(1)求实数a 的取值范围;(2)若数列{}n a 满足1(0,1)a ∈,1ln(2)n n n a a a +=-+,n ∈N* ,证明101n n a a +<<<.【答案】解:(1) 函数()ln(2)f x x ax =-+在区间(0,1)上是增函数.∴()021≥+--='a x x f 在区间(0,1)上恒成立, x a -≥∴21,又()xx g -=21在区间(0,1)上是增函数 ()11=≥∴g a 即实数a 的取值范围为1≥a(2)先用数学归纳法证明10<<n a . 当1=n 时,1(0,1)a ∈成立, 假设k n =时,10<<k a 成立,当1+=k n 时,由(1)知1=a 时,函数()()x x x f +-=2ln 在区间(0,1)上是增函数∴()()k k k k a a a f a +-==+2ln 1 ∴()()()1102ln 0=<<=<f a f f k ,即101<<+k a 成立, ∴当*∈N n 时,10<<n a 成立 [来源:学科网]下证1+<n n a a . ()101,ln 2ln10.n n n n a a a a +<<∴-=->=1+<∴n n a a . 综上101<<<+n n a a41．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知数列}{n a 满足),(12121*21N n na a a n n n ∈+-=+且.31=a (1) 计算432,,a a a 的值,由此猜想数列}{n a 的通项公式,并给出证明;(2) 求证:当2≥n 时,.4n nnn a ≥徐州市2012—2013学年度高三第一次质量检【答案】⑴24a =,35a =,46a =,猜想:*2()n a n n =∈+N①当1n =时,13a =,结论成立;②假设当*(1,)n k k k =∈N ≥时,结论成立,即2k a k =+, 则当1n k =+时,22111111=(2)(+2)+1=+3=(+1)+22222k k k a a ka k k k k k +=-+-+, 即当1n k =+时,结论也成立,由①②得,数列{}n a 的通项公式为*2()n a n n =∈+N ⑵原不等式等价于2(1)4n n+≥. 证明:显然,当2n =时,等号成立;当2n >时,01222222(1)C C C ()C ()n n n n nn n nn n n +=++++012233222C C C ()C ()n n n n n n n+++≥ 0122222>C C C ()54n n nn n n++=->, 综上所述,当2n ≥时,4nn na n ≥42．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知数列的前项和为.(Ⅰ)若数列是等比数列,满足,是,的等差中项,求数列的通项公式;(Ⅱ)是否存在等差数列,使对任意都有?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由. [来源:]【答案】解:(Ⅰ)设等比数列的首项为,公比为,依题意,有即由得,解得或.当时,不合题意舍;当时,代入(2)得,所以,(Ⅱ)假设存在满足条件的数列,设此数列的公差为,则方法1: ,得对恒成立,则解得或此时,或.故存在等差数列,使对任意都有.其中, 或方法2:令,,得,令,得,①当时,得或,若,则,,,对任意都有;若,则,,,不满足.②当时,得或, 若,则,,,对任意都有;若,则,,,不满足. 综上所述,存在等差数列,使对任意都有.其中,或43．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ,当≥+k k b a 时,;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当0<+k k b a 时,.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++ (1) 求数列}{n n b a +的通项公式;(2) 若对任意的正整数n ,0<+n n b a 恒成立,问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列?若存在,求出b a ,满足的条件;若不存在,说明理由; (3) 若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式.【答案】⑴当0n n a b +≥时,11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=, 所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+, [来源:学科网]又当0n n a b +<时,11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=,113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+,因此,数列{}n n b a +是以b a +为首项,12为公比的等比数列,所以,n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⑵因为0n n a b +<,所以n n a a 431=+,所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,假设存在a ,b ,使得{}n b 能构成等比数列,则1b b =,224b a b -=,34516b ab -=, 故2245()()416b a b ab --=,化简得0=+b a ,与题中0a b +≠矛盾, 故不存在a ,b 使得{}n b 为等比数列 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ,所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+-所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+,由⑴知,2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦, 22133()114434n n n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,所以,1224()11,943()1-1,434n n na b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时44．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设无穷数列{}n a 满足:n *∀∈Ν,1n n a a +<,n a *∈N .记*1()n n n a n a b a c a n +==∈N ，.(1)若*3()n b n n =∈N ,求证:1a =2,并求1c 的值;(2)若{}n c 是公差为1的等差数列,问{}n a 是否为等差数列,证明你的结论.数学II(附加题)【答案】【解】(1)因为n a *∈N ,所以若11a =,则113a a a ==矛盾,若113a a a =≥,可得113a ≥≥矛盾,所以12a = 于是123a a a ==,从而121136a a c a a a +==== (2){}n a 是公差为1的等差数列,证明如下:12n n a a n +>⇒≥时,1n n a a ->,所以11()n n n m a a a a n m -+⇒+-≥≥, ()m n <11111(1)n n a a n n a a a a ++++⇒++-+≥,即11n n n n c c a a ++--≥,由题设,11n n a a +-≥,又11n n a a +-≥, 所以11n n a a +-=,即{}n a 是等差数列45．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知数列{a n }中,a 2=a (a 为非零常数),其前n 项和S n 满足:S n =n (a n －a 1)2(n ∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a =2,且21114m n a S -=,求m 、n 的值;(3)是否存在实数a 、b ,使得对任意正整数p ,数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第3p-2项?若存在,分别求出a 与b 的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明:由已知,得a 1=S 1=1⋅(a 1－a 1)2=0,∴S n =na n2, 则有S n +1=(n +1)a n +12,∴2(S n +1-S n )=(n +1)a n +1-na n ,即(n -1)a n +1=na n n ∈N*, ∴na n +2=(n +1)a n +1,两式相减得,2a n +1=a n +2+a n n ∈N*, 即a n +1-a n +1=a n +1-a n n ∈N*, 故数列{a n }是等差数列.又a 1=0,a 2=a ,∴a n =(n -1)a(2)若a =2,则a n =2(n -1),∴S n =n (n -1). 由21114m n a S -=,得n 2-n +11=(m -1)2,即4(m -1)2-(2n -1)2=43, [来源:Z 。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编AqqPPH

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编导数及其应用1、（南通市2013届高三期末）曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ．答案：1e 2y x =-． 2、（苏州市2013届高三期末）过坐标原点作函数ln y x =图像的切线，则切线斜率为．答案：1e3、（泰州市2013届高三期末）曲线y=2lnx 在点（e,2）处的切线与y 轴交点的坐标为 (0,0)4、（扬州市2013届高三期末）已知函数xmx x f -=ln )(（R m ∈）在区间],1[e 上取得最小值4，则=m ▲ ． e 3-5、（常州市2013届高三期末）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，BC a =，CD b =．a ，b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区（点E ，F 分别在线段AB ，AD 上），且该直角三角形AEF 的周长为（2l b >），如图．设AE x =，△AEF 的面积为S ．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）试确定点E 的位置，使得直角三角形地块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值．解：（1）设AF y =，则22x y x y l +++=，整理，得222()l lxy l x -=-．………3分 2(2)4(12)l l x S lx x xy --==，](0,x b ∈． …………………………………4分（2）()()]22'222422222,(0,4224l x lx l l S x l x l x b x l x l ⎛⎫⎛⎫-+-+=⋅=-⋅-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴当222b l -≤时，'0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()max 24bl b l S b l -=-；当222b l ->时，在220,2x l ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S >，S 递增，在22,2x l b ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S <，S 递减，故当222x l -=时，2max 3224S l -=.6、（连云港市2013届高三期末）（连云港市2013届高三期末）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2+4x +8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y ＝x -2ln x +a (a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)【解】(1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ……………2分当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分但当x =3时,y =2920<32,即y ≥x2不恒成立,不满足条件②,故该函数模型不符合该单位报销方案. ………………………6分(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ，设f (x )= x -2ln x +a ，则f ´(x )=1-2x =x －2x≥0.所以f (x )在[2，10]上是增函数，满足条件①，由条件②，得x -2ln x +a ≥x 2，即a ≥2ln x -x2在x ∈[2，10]上恒成立，令g (x )=2ln x -x 2，则g ´(x )=2x －12=4－x2x，由g ´(x )>0得x <4，∴g (x )在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2. ………………10分由条件③，得f (10)=10-2ln10+a ≤8，解得a ≤2ln10-2. ……………………12分另一方面，由x -2ln x +a ≤x ，得a ≤2ln x 在x ∈[2，10]上恒成立, ∴a ≤2ln2,综上所述，a 的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，所以满足条件的整数a 的值为1. ……………14分7、（南京市、盐城市2013届高三期末）对于定义在区间D 上的函数()f x , 若任给0x D ∈, 均有0()f x D ∈, 则称函数()f x 在区间D 上封闭.试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭, 并说明理由；若函数3()1x ag x x +=+在区间[3,10]上封闭, 求实数a 的取值范围；若函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭, 求,a b 的值.解: (1)()1f x x =-在区间[2,1]-上单调递增,所以()f x 的值域为[-3,0]………2分而[-1,0][2,1]⊄-,所以()f x 在区间[2,1]-上不是封闭的……………… 4分 (2)因为33()311x a a g x x x +-==+++, ①当3a =时,函数()g x 的值域为{}3[3,10]⊆,适合题意……………5分 ②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[,]114a a++,由309[,]114a a ++[3,10]⊆,得303119104aa +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩,解得331a ≤≤,故331a <≤……………………7分 ③当3a <时,在区间[3,10]上有33()3311x a a g x x x +-==+<++,显然不合题意 …………………8分综上所述, 实数a 的取值范围是331a ≤≤……………………………9分(3)因为3()3h x x x =-,所以2()333(1)(1)h x x x x '=-=+-, 所以()h x 在(,1)-∞-上单调递减,在(1,1)-上递增,在(1,)+∞上递增.①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b ≥⎧⎨≤⎩,此时无解………10分②当111a b ≤--<≤且时,因max ()(1)2h x h b =-=>,矛盾,不合题意…………11分 ③当11a b ≤->且时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内,故22a b ≤-⎧⎨≥⎩,又33()3()3a h a a a b h b b b ⎧≤=-⎨≥=-⎩,解得202202a a b b -≤≤≥⎧⎨≤≤≤⎩或或,从而22a b =-⎧⎨=⎩ ………12分 ④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减,()()h b ah a b≥⎧⎨≤⎩ (*),而,a b Z ∈,经检验,均不合(*)式……………………………13分⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意…………14分 ⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b≥⎧⎨≤⎩,此时无解 ……………15分综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=…………………16分8、（南通市2013届高三期末）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好．（1）设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ABCD（第17题）B 'P解：（1）由题意，AB x =，2BC x =-．因2x x >-，故12x <<． …………2分设DP y =，则PC x y =-．因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-．由 222PA AD DP =+，得 2221()(2)2(1)x y x y y x -=-+⇒=-，12x <<．……5分（2）记△ADP 的面积为1S ，则11(1)(2)S x x=-- ………………………………………………………………6分23()222x x=-+≤-，当且仅当2x =∈(1，2)时，S 1取得最大值．……………………………………8分故当薄板长为2米，宽为22-米时，节能效果最好． ……………………9分（3）记△ADP 的面积为2S ，则221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x=-+--=-+，12x <<．…………………………10分于是，33222142(2)022x S x x x x-+'=--==⇒=．……………………………11分关于x 的函数2S 在3(1,2)上递增，在3(2,2)上递减．所以当32x =时，2S 取得最大值． …………………………13分故当薄板长为32米，宽为322-米时，制冷效果最好． ………………………14分9、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；（2）求函数)(x f 单调区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围. ⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立，而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,0)-∞0 (0,)∞+ ()f x '-+()f x减函数极小值增函数所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++，令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a +-≥，函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤．综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+U ．………………………………16分10、（泰州市2013届高三期末）已知函数f(x)=(x-a)2()x b -,a,b 为常数，（1）若a b ≠,求证：函数f(x)存在极大值和极小值（2）设（1）中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,x x ，令点A 11(,()x f x )，B 22(,()x f x ),如果直线AB 的斜率为12-，求函数f(x)和/()f x 的公共递减区间的长度（3）若/()()f x mf x ≥对于一切x R ∈ 恒成立，求实数m,a,b 满足的条件解：（1）[])2(3)()(/b a x b x x f +--= …………………………………………………1分b a ≠Θ32b a b +≠∴0)(,=∴x f 有两不等 b 和32ba + ∴f （x ）存在极大值和极小值 ……………………………….……………………………4分（2）①若a =b ，f （x ）不存在减区间②若a >b 时由（1）知x 1=b ，x 2=32ba + ∴A （b ,0）B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+9)(2,322b a b a 21329)(22-=-+-∴b b a b a ∴)(3)(22b a b a -=- 23=-∴b a○3当a <b 时 x 1=32ba +,x 2=b 。

江苏2013届高三数学(文)试题分类汇编：数列

广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编数列一、选择、填空题1、（潮州市2013届高三上学期期末）等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯ （即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4B 答案：等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数．∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>．2、（东莞市2013届高三上学期期末）已知数列{}n a 满足：点(,)()n n a n N *∈都在曲线2log y x =的图象上，则24816a a a a +++=A ．9 B10 C20 D30 答案：B3、（广州市2013届高三上学期期末）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为A ．56B ．42C ．28D ．14 答案：C4、（惠州市2013届高三上学期期末）设{n a } 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，且12380a a a =，则111213a a a ++等于（）A ．120B ． 105C ． 90D ．75 【解析】1232155a a a a ++=⇒=，()()21231380552516a a a a a d d d =⇒=-+⇒-=，132d a ⇒=⇒=，1112131333699105a a a a d ++=+=+=．故选B ．5、（湛江市2013届高三上学期期末）在等比数列{n a }中，已知1j a a ⋅＝25，则j a ＝ A 、5 B 、5或－5 C 、－5 D 、25 答案：B6、（肇庆市2013届高三上学期期末）已知等差数列{}n a 中，357332,8a a a a +=-=,则此数列的前10项之和10________S =解析：190357332,8a a a a +=-=即11263210482a d a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ 所以101101010921902S =⨯+⨯⨯⨯=7、（中山市2013届高三上学期期末）等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若301272=++a a a ，则13S 的值是( ) A ．130 B ．65C ．70D ．75答案：A8、（珠海市2013届高三上学期期末）在递增等比数列{a n }中，4,2342=-=a a a ，则公比q ＝A ．-1B ．1C ．2D ．21答案：C二、解答题1、（潮州市2013届高三上学期期末）数列{}n a 的前n 项和2n n S an b =+，若112a =，256a =．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设21n n ab n n =+-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）由1112S a ==，得112a b =+；由21243S a a =+=，得4423a b =+．∴223a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，故21n n S n =+； ………… 4分（2）当2n ≥时，2232212(1)(1)(1)11(1)n n n n n n n n n n a S S n n n n n n----++-=-=-==+++．…… 7分由于112a =也适合221n n n a n n +-=+． ……… 8分 ∴221n n n a n n +-=+； ……… 9分（3）21111(1)1n n a b n n n n n n ===-+-++． ……… 10分 ∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+ 1111nn n =-=++． ……… 14分2、（东莞市2013届高三上学期期末）已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，11a =，n S 与13n S +-的等差中项是2()3n N *-∈． (1)证明数列23n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式；(3)若对任意正整数n ，不等式n kS ≤恒成立，求实数k 的最大值．解:（1）因为n S 和13+-n S 的等差中项是23-，所以331-=-+n n S S （*N n ∈），即1311+=+n n S S ， …………2分由此得)23(31213123)131(231-=-=-+=-+n n n n S S S S （*N n ∈），………3分即3123231=--+n n S S （*N n ∈）， ……………4分又21232311-=-=-a S ，所以数列}23{-nS 是以21-为首项，31为公比的等比数列. ……………5分（2）由（1）得1)31(2123-⨯-=-n n S ，即1)31(2123--=n n S （*N n ∈），………6分所以，当2≥n 时，121131])31(2123[])31(2123[----=---=-=n n n n n n S S a ，…8分又1=n 时，11=a 也适合上式，所以)(31*1N n a n n∈=-. ……………9分（3）要使不等式n k S ≤对任意正整数n 恒成立，即k 小于或等于n S 的所有值.又因为1)31(2123--=n nS 是单调递增数列, ……………10分且当1=n 时，n S 取得最小值1)31(2123111=-=-S , ……………11分要使k 小于或等于n S 的所有值，即1≤k, ……………13分所以实数k 的最大值为. ……………14分 3、（佛山市2013届高三上学期期末）数列{}n a 的前n 项和为22n n S a =-，数列{}n b 是首项为1a ，公差不为零的等差数列,且1311,,b b b 成等比数列．（1）求123,,a a a 的值；（2）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（3）求证：3121235n nb b b b a a a a ++++< ．解析：（1）∵22n n S a =-，∴当1n =时，1122a a =-，解得12a =；当2n =时，212222S a a a =+=-，解得24a =；当3n =时，3123322S a a a a =++=-，解得38a =． -----------------3分（2）当2n ≥时，111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，-----------------5分得12n n a a -=又11122a S a ==-，12a =，∴数列{n a }是以2为首项，公比为2的等比数列，所以数列{n a }的通项公式为2n na =． -----------------7分112b a ==，设公差为d ，则由1311,,b b b 成等比数列，得2(22)2(210)d d +=⨯+， -----------------8分解得0d =（舍去）或3d=， ----------------9分所以数列}{n b 的通项公式为31n b n =-．-----------------10分（3）令312123n nn b b b b T a a a a =++++ 123258312222n n -=++++ ，121583122222n n n T --=++++ ，-----------------11分两式式相减得1213333122222n n n n T --=++++- ， ∴131(1)3135222512212n n n n n n T ---+=+-=--，-----------------13分又3502nn +>，故5n T <．-----------------14分4、（广州市2013届高三上学期期末）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列{}nna 的前n 项和nT .（1）解：∵}1{+nS 是公比为2的等比数列，∴11112)1(2)1(1--⋅+=⋅+=+n n n a S S . …………… 1分 ∴12)1(11-⋅+=-n na S .从而11122+=-=a S S a ，221233+=-=a S S a . …………… 3分∵2a 是1a 和3a 的等比中项 ∴)22()1(1121+⋅=+a a a ，解得=1a 1或11-=a . …………… 4分当11-=a 时，11+S 0=，}1{+n S 不是等比数列， …………… 5分 ∴=1a 1.∴12-=n n S . …………… 6分当2n ≥时，112--=-=n n n n S S a . …………… 7分 ∵11=a 符合12-=n n a ，∴12-=n na . …………… 8分（2）解：∵12n n na n -= ，∴1211122322n n T n -=⨯+⨯+⨯++ . ① …………… 9分21231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++.② …………… 10分 ①-②得2112222n n nT n --=++++- …………… 11分12212nn n -=-- …………… 12分=()121nn -- . …………… 13分∴()121n n T n =-+ . …………… 14分5、（惠州市2013届高三上学期期末）已知向量1*1(,2),(2,),,n n n n p a q a n N ++==-∈ 向量p 与q垂直，且1 1.a =（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log 1n n b a =+ ，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .解（1）向量p 与q垂直11220,n n n n a a ++∴-= 即1122n n n n a a ++∴=…………2分12n na a +∴= {}n a ∴是以1为首项，2为公比的等比数列…………4分 12n n a -∴= 。

2013年江苏省高考数学试卷及答案

2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）数学试卷及参考答案2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

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1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为． 4．集合}1,0,1{-共有个子集．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是． 6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为．8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)。

若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是．yx Oy ＝2x —1y ＝—12 xABC1ADE F1B1C2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）数学试卷及参考答案y x lB FOcb a 10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为．11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为．12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为．13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为． 14．在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0．（1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；xyy ＝xy ＝x 2—4 xP (5,5)Q (﹣5, ﹣5)2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）数学试卷及参考答案（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点．求证：（1）平面//EFG 平面ABC ；（2）SA BC ⊥．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．A B CSG F E xy A lO2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）数学试卷及参考答案18．（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。

2013江苏省高考数学真题含答案清晰版

2013高考数学试卷参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑。

棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为高。

棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。

DE AB AC λλ=+(λ、11、已知()f x 是定义在R12n n a a a a ++>的最大正整数内作答，解答时应写出文字说明、证明或演.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),0a b ααββ==（1）若||2a b -=，求证：a b ⊥；（2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值。

16、（本小题满分14分）如图，在三棱锥S-ABC 中，平面⊥SAB 平面SBC,BC AB ⊥，AS=AB 。

过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点E 、G 分别为线段SA 、SC 的中点。

求证：（1）平面EFG//平面ABC ；（2）BC SA ⊥。

如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A(0,3)，直线42:-=x y l ，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上。

（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MA=2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围。

18、（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。

一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C 。

现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟。

在甲出发2分钟后，乙从A 乘坐缆车到B ，在B 处停留1分钟后，再从B 匀速步行到C 。

假设缆车速度为130米/分钟，山路AC 的长为1260米，经测量，123cos ,cos 135A C ==。

2013年高考真题—数学(江苏卷(文理共用))精校精析

2013年高考真题精校精析2013·江苏卷(数学)1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 1．π [解析] 周期为T ＝2π2＝π.2．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．2．5 [解析] 因为z ＝(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，所以复数z 的模为5. 3．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．3．y ＝±34x [解析] 令x 216－y 29＝0，得渐近线方程为y ＝±34x .4．集合{－1，0，1}共有________个子集．4．8 [解析] 集合{－1，0，1}共有3个元素，故子集的个数为8. 5．如图1－1是一个算法的流程图，则输出的n 的值是________．图1－15．3 [解析] 逐一代入可得当a ＝26>20时，n ＝36．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．6．2 [解析] 由题知x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90，s 2甲＝15(9＋1＋0＋1＋9)＝4；x 乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，s 2乙＝15(1＋0＋1＋4＋4)＝2，所以s 2甲>s 2乙，故答案为2. 7．现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．7.2063[解析] 基本事件共有7×9＝63种，m 可以取1，3，5，7，n 可以取1，3，5，7，9.所以m ，n 都取到奇数共有20种，故所求概率为2063.8．如图1－1，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________．图1－18．1∶24 [解析] 设三棱柱的底面积为S ，高为h ，则V 2＝Sh ，又D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，所以S △AED ＝14S ，且三棱锥F －ADE 的高为12h ，故V 1＝13S △AED ·12h ＝13·14S ·12h ＝124Sh ，所以V 1∶V 2＝1∶24.9．抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．9.⎣⎡⎦⎤－2，12 [解析] 由y ＝x 2得y ′＝2x ，则在点x ＝1处的切线斜率k ＝2×1＝2，切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫12，0.作直线l 0：x ＋2y ＝0.当平移直线l 0至点A 时，z min ＝0＋2(－1)＝－2；当平移直线l 0至点B 时，z max ＝12＋2×0＝12.故x ＋2y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，12. 10．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．10.12 [解析] 如图所示，DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12－23AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →不共线，所以λ1＝12－23，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.11．已知f (x )是定义在上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．11．(－5，0)∪(5，＋∞) [解析] 设x <0，则－x >0.因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋4x )．又f (0)＝0，于是不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－（x 2＋4x ）>x . 解得x >5或－5<x <0，故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．12.33 [解析] 由题意知F (c ，0)，l ：x ＝a 2c ，不妨设B (0，b )，则直线BF ：x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy－bc ＝0.于是d 1＝|－bc |b 2＋c 2＝bca， d 2＝a 2c －c ＝a 2－c 2c ＝b 2c .由d 2＝6d 1，得⎝⎛⎫b 2c 2＝6⎝⎛⎫bc a 2，化简得6c 4＋a 2c 2－a 4＝0，即6e 4＋e 2－1＝0，解得e 2＝13或e 2＝－12(舍去)，故e ＝33，故椭圆C 的离心率为33. 13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图像上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为2 2，则满足条件的实数a 的所有值为________．13．－1，10 [解析] 由题意知，若a <0，则a ＝－1满足题意；若a >0，则圆(x －a )2＋(y －a )2＝8与y ＝1x(x >0)相切．联立方程，消去y 得x 2－2ax ＋a 2＋1x 2－2ax ＋a 2＝8，即⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2a 2－10＝0. 令Δ＝0得(2a )2－4(2a 2－10)＝0.(*) 解得a ＝10. 此时方程(*)的解为x ＝10±62，满足题意．综上，实数a 的所有值为－1，10.14．在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3. 则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．14．12 [解析] 设{a n }的公比为q .由a 5＝12及a 5(q ＋q 2)＝3得q ＝2，所以a 1＝132，所以a 6＝1，a 1a 2…a 11＝a 116＝1，此时a 1＋a 2＋…＋a 11>1.又a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132，a 1a 2…a 12＝26<27－132，所以a 1a 2…a 12>a 1a 2…a 12，但a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132，a 1a 2…a 13＝26·27＝25·28>28－132，所以a 1＋a 2＋…＋a 13<a 1a 2…a 13，故最大正整数n 的值为12.15．已知＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|－|＝2，求证：；(2)设＝(0，1)，若＋＝，求α，β的值．15．解：(1)由题意得|－＝，即(－)＝－＋2＝2. 又因为＝＝＝＝，所以－＝，即＝，故(2)因为＋＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.16．，如图1－2，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .图1－216．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.17．如图1－3，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．图1－317．解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.由题意，|3k＋1|k2＋1＝1，解得k＝0或－34，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以x 2＋（y －3）2＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125. 18．如图1－4，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？图1－418．解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45，从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．因为0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．19．设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c ，n ∈*，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈*)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.19．解：由题设，S n ＝na ＋n （n －1）2d . (1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝⎛⎭⎫a ＋d 22＝a ⎝⎛⎭⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS nn 2＋c ＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈，有⎝⎛⎭⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D (*)．在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0，①19A ＋5B ＋cd 1＝0，②21A ＋5B ＋cd 1＝0，③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0. 即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c ＝0.20．设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为实数．(1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； (2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．20．解：(1)令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x<0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a >0，进而解得x >a－1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1) 上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1.令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ．当x <ln a 时，g ′(x )<0；当x >ln a 时，g ′(x )>0.又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a >1，即a >e.综上，有a ∈(e ，＋∞)．(2)当a ≤0时，g (x )必为单调增函数；当a >0时，令g ′(x )＝e x －a >0，解得a <e x ，即x >ln a ，因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a ≤－1，即0<a ≤e －1.结合上述两种情况，有a ≤e －1.(i)当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1x>0，得f (x )存在唯一的零点；(ii)当a <0时，由于f (e a )＝a －a e a ＝a (1－e a )<0，f (1)＝－a >0，且函数f (x )在[e a ，1]上的图像不间断，所以f (x )在(e a ，1)上存在零点．另外，当x >0时，f ′(x )＝1x －a >0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )只有一个零点．(iii)当0<a ≤e－1时，令f ′(x )＝1x－a ＝0，解得x ＝a －1.当0<x <a －1时，f ′(x )>0，当x >a －1时，f ′(x )<0，所以，x ＝a －1是f (x )的最大值点，且最大值为f (a －1)＝－ln a －1.①当－ln a －1＝0，即a ＝e －1时，f (x )有一个零点x ＝e.②当－ln a －1>0，即0<a <e －1时，f (x )有两个零点．实际上，对于0<a <e －1，由于f (e －1)＝－1－a e －1<0，f (a －1)>0，且函数f (x )在[e －1，a －1]上的图像不间断，所以f (x )在(e －1，a －1)上存在零点．另外，当x ∈(0，a －1)时，f ′(x )＝1x －a >0，故f (x )在(0，a －1)上是单调增函数，所以f (x )在(0，a －1)上只有一个零点．下面考虑f (x )在(a －1，＋∞)上的情况，先证f (e a －1)＝a (a －2－e a －1)<0，为此，我们要证明：当x >e 时，e x >x 2，设h (x )＝e x －x 2，则h ′(x )＝e x －2x ，再设l (x )＝h ′(x )＝e x －2x ，则l ′(x )＝e x －2.当x >1时，l ′(x )＝e x －2>e －2>0，所以l (x )＝h ′(x )在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x >2时，h ′(x )＝e x －2x >h ′(2)＝e 2－4>0，从而h (x )在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x >e 时，h (x )＝e x －x 2>h (e)＝e e －e 2>0，即当x >e 时，e x >x 2.当0<a <e －1，即a －1>e 时，f (e a －1)＝a －1－a e a －1＝a (a －2－e a －1)<0，又f (a －1)>0，且函数f (x )在[a －1，e a －1]上的图像不间断，所以f (x )在(a －1，e a －1)上存在零点．又当x >a－1时，f ′(x )＝1x－a <0，故f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数，所以f (x )在(a －1，＋∞)上只有一个零点．综合(i)(ii)(iii)，当a ≤0或a ＝e －1时，f (x )的零点个数为1，当0<a <e －1时，f (x )的零点个数为2. 21． A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图1－1所示，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC . 求证：AC ＝2AD .图1－1证明：联结OD ，因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB ，所以BC OD ＝AC AD.又BC ＝2OC ＝2OD . 故AC ＝2AD .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵＝，＝1,0) 2,6)，求矩阵－1解：设矩阵的逆矩阵为a,c ) b,d )，则－1,0) 0,2)a,c ) b,d )＝1,0) 0,1)．即－a,2c ) －b,2d )＝1,0) 0,1)，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而的逆矩阵为－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0,12)))．所以－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0,12)))1,0) 2,6)＝－1,0) －2,3)．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2，2)，12，－1.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0，2a ＋b >0. 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .22．如图1－2所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．图1－222．解：(1)以A A －xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010. (2)设平面ADC 1的法向量为1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(0，2，4)，所以·AD →＝0，·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 23．设数列{a n }：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k －1k ，…，(－1)k －1k ，k个…，即当（k －1）k 2<n ≤ (k ∈*)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈*)．对于l ∈*，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈*，且1≤n ≤l }．(1)求集合P 11中元素的个数；(2)求集合P 2 000中元素的个数．23．解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈*)．事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立；②假设i ＝m 时成立，即S m (2m ＋1)＝－m (2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m (2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2＝－m (2m ＋1)－4m －3＝－(2m 2＋5m ＋3)＝－(m ＋1)(2m ＋3)．综合①②可得S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)．于是S (i ＋1)(2i ＋1)＝S i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝－i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝(2i ＋1)(i ＋1)．由上可知S i (2i ＋1)是2i ＋1的倍数，而a i (2i ＋1)＋j ＝2i ＋1(j ＝1，2，…，2i ＋1)，所以S i (2i ＋1)＋j ＝S i (2i ＋1)＋j (2i ＋1)是a i (2i ＋1)＋j (j ＝1，2，…，2i ＋1)的倍数，又S (i ＋1)(2i ＋1)＝(i ＋1)(2i ＋1)不是2i ＋2的倍数．而a (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝－(2i ＋2)(j ＝1，2，…，2i ＋2)，所以S (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝S (i ＋1)(2i ＋1)－j (2i ＋2)＝(2i ＋1)(i ＋1)－j (2i ＋2)不是a (i ＋1)(2i ＋1)＋j (j ＝1，2，…，2i ＋2)的倍数，故当l ＝i (2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为1＋3＋…＋(2i －1)＝i 2，于是，当l ＝i (2i ＋1)＋j (1≤j ≤2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为i 2＋j .又2 000＝31×(2×31＋1)＋47.故集合P 2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编-统计

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
统计
1、（连云港市2013届高三期末）某单位有职工52人，现将所有职工按l 、
2、
3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 ▲ .
答案：19
2、（南京市、盐城市2013届高三期末）已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8, 9, 10, 10, 8, 则该组数据的方差为▲ .
答案：4
5
3、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了
10000人，并根据所得数据画出了
如图所示的频率分布直方图，现要
从这10000人中再用分层抽样的方
法抽出100人作进一步调查，则月
收入在)3000,2500[（元）内应抽出
▲ 人.
答案：25
4、（泰州市2013届高三期末）若数据12345,,,,x x x x x ，3的平均数是3，则数据12345,,,,x x x x x 的平均数是
答案：3
5、（无锡市2013届高三期末）某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为。

答案：64。

2013年全国高考数学文科试卷江苏卷(解析版)

n＝12 时， T12 12 ，当 n＝13 时， T13 13 ，故 nmax＝12． 15．（本小题满分 14 分）二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知 a＝ (cos , sin )，b (cos , sin ) ， 0 ．（1）若 | a b |
7．现在某类病毒记作 X mYn ，其中正整数 m ， n （ m 7 ， n 9 ）可以任意选取，则 m，n 都取到奇数的概率为．【答案】
20 63
【考点】本题主要考查古典概型的相关知识，意在考查考生用枚举法求解概率。【解析】m 取到奇数的有 1，3，5，7 共 4 种情况；n 取到奇数的有 1，3，5，7，9 共 5 种情况，则 m，n 都取到奇数的概率为
序框图及符号等基础知识，同时考查识图能力，逻辑思维能力，和分析解决问题的能力。【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4． 6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员甲乙第一次 87 89 第二次 91 90 第三次 90 91 第四次 89 88 第五次 93 92
cos cos 0 sin sin 1
① 1 ，①2＋②2 得：cos(α－β)＝－2． ②
所以，α－β＝
2 2 ，α＝＋β， 3 3
1 2 3 ＋β)＋sinβ＝ cosβ＋2sinβ＝sin( ＋β)＝1， 3 3 2
带入②得：sin( 所以，
4 5 20 ． 7 9 63
8 ．如图，在三棱柱 A1 B1C1 ABC 中， D，E，F 分别是

江苏2013届高三数学(文)试题分类汇编：圆锥曲线

广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编圆锥曲线一、填空、选择题1、（潮州市2013届高三上学期期末）若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为A ．2-B ．2C ．4-D ．4答案：D2、（东莞市2013届高三上学期期末）若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则常数p 的值等于．答案：43、（佛山市2013届高三上学期期末）已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的22221y x a b+=（0a b >>）焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为 A ．13 B ．12 C ．33 D ．22答案：D4、（广州市2013届高三上学期期末）在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数，记为a b ,，则方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 答案：B5、（惠州市2013届高三上学期期末）已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线2410y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于103，则该双曲线的方程为（） A ．2219y x -= B ．221x y -= 5 C ．2219x y -= D ．22199x y -= 答案：C6、（江门市2013届高三上学期期末）已知双曲线12222=-by a x 的两个焦点分别为1F 、2F ，双曲线与坐标轴的两个交点分别为A 、B ，若||35||21AB F F =，则双曲线的离心率=eA ．35B ．45C ．34D ．38答案：A7、（茂名市2013届高三上学期期末）已知双曲线221(0)5x y m m -=>的右焦点F (3，o )，则此双曲线的离心率为( )A ．6B ．322C ．32D ．34答案：C8、（湛江市2013届高三上学期期末）椭圆2243x y +＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上任一点则的取值范围是A 、（0，4］B 、（0，3］C 、［3，4）D 、［3，4］答案：D9、（肇庆市2013届高三上学期期末）经过圆2220x y y ++=的圆心C ，且与直线2340x y +-=平行的直线方程为（）A .2330x y ++= B . 2330x y +-= C . 2320x y ++= D . 3220x y --=答案：A10、（中山市2013届高三上学期期末）直线2(1)10x ay +++=的倾斜角的取值范围是（） A ．[0,]4π B ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[0,](,)42πππD ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭答案：B 12、（珠海市2013届高三上学期期末）如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : |BF 2 | : | AF 2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 .xy OA BF 1F 2(第13题图)答案：13二、解答题1、（东莞市2013届高三上学期期末）在平面直角坐标系xoy 中，已知三点(0,0)O ，(1,1)A -，(1,1)B ，曲线C 上任意—点(,)M x y 满足：14()2MA MB OM OA OB +=-⋅+．(l )求曲线C 的方程；(2)设点P 是曲线C 上的任意一点，过原点的直线L 与曲线相交于M ，N 两点，若直线 PM ，PN 的斜率都存在，并记为PM k ，PN k ．试探究PMPN k k ⋅的值是否与点P 及直线L 有关，并证明你的结论；(3)设曲线C 与y 轴交于D 、E 两点，点M (0，m )在线段DE 上，点P 在曲线C 上运动．若当点P 的坐标为(0，2)时，MP取得最小值，求实数m 的取值范围．解：（1）由题意可得， )22,2()1,1()1,1(y x y x y x MBMA --=--+---=+，…………1分所以4844)22()2(||2222+-+=-+-=+y y x y x MB MA ，…………2分又y y x OB OA OM -=⋅-=+⋅-4)2,0(),(214)(214， …………3分所以y y y x -=+-+4484422，即14322=+y x . …………4分（2）因为过原点的直线L 与椭圆相交的两点N M ,关于坐标原点对称，所以可设),(),,(),,(0000y x N y x M y x P --. …………5分因为N M P ,,在椭圆上，所以有14322=+y x ， ………①1432200=+y x ， ………② …6分①-②得 3422202-=--x x y y . 又00x x y y k PM--=，0x x y y k PN ++=， …………7分所以342022020000-=--=++⋅--=⋅x x y y x x y y x x y y k k PNPM ， …………8分故PN PMk k ⋅的值与点P 的位置无关，与直线L 也无关. …………9分（3）由于),(y x P 在椭圆C 上运动，椭圆方程为14322=+y x ，故22≤≤-y ，且22433y x -=. …………10分因为),(m y x MP -=，所以 3241)(||2222++-=-+=m my y m y x MP 33)4(4122+--=m m y ． …………12分由题意，点P 的坐标为)2,0(时，||MP 取得最小值，即当2=y 时，||MP 取得最小值，而22≤≤-y ，故有24≥m ，解得21≥m ． …………13分又椭圆C 与y 轴交于E D 、两点的坐标为)2,0(、)2,0(-，而点M 在线段DE 上，即22≤≤-m ，亦即221≤≤m ，所以实数m 的取值范围是]2,21[．…………14分 2、（佛山市2013届高三上学期期末）已知(2,0)A -，(2,0)B ，(,)C m n ．（1）若1m =，3n =，求ABC ∆的外接圆的方程；（2）若以线段AB 为直径的圆O 过点C （异于点,A B ），直线2x =交直线AC 于点R ，线段BR 的中点为D ，试判断直线CD 与圆O 的位置关系，并证明你的结论．解析：（1）法1：设所求圆的方程为220xy Dx Ey F ++++=，由题意可得4204201330D F D F DEF ⎧-+=⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得0,4D E F ===-，∴ABC ∆的外接圆方程为2240x y +-=，即224x y +=．-----------------6分法2：线段AC 的中点为13(,)22-，直线AC 的斜率为133k =，∴线段AC 的中垂线的方程为313()22y x -=-+，线段AB 的中垂线方程为0x =，∴ABC ∆的外接圆圆心为(0,0)，半径为2r =， ∴ABC ∆的外接圆方程为224x y +=．-----------------6分法3：22||(10)(30)2OC =-+-= ，而||||2OA OB ==，∴ABC ∆的外接圆是以O 为圆心，2为半径的圆， ∴ABC ∆的外接圆方程为224x y +=．-----------------6分法4：直线AC 的斜率为133k =，直线BC 的斜率为23k =-， ∴121k k ⋅=-，即AC BC ⊥，∴ABC ∆的外接圆是以线段AB 为直径的圆， ∴ABC ∆的外接圆方程为224x y +=．-----------------6分（2）由题意可知以线段AB 为直径的圆的方程为224x y +=，设点R 的坐标为(2,)t ，∵,,A C R 三点共线，∴//AC AR，----------------8分而(2,)AC m n =+ ，(4,)AR t =，则4(2)n t m =+，∴42nt m =+， ∴点R 的坐标为4(2,)2n m +，点D 的坐标为2(2,)2nm +，-----------------10分 ∴直线CD 的斜率为222(2)22244nn m n n mn m k m m m -+-+===---，而224mn +=，∴224m n -=-，∴2mn mk n n==--，-----------------12分 ∴直线CD 的方程为()my n x m n-=--，化简得40mx ny +-=， ∴圆心O 到直线CD 的距离224424dr m n====+，所以直线CD 与圆O 相切．3、（广州市2013届高三上学期期末）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线22:4C yx =的焦点F 重合，椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ，53PF =.(1)求椭圆1C 的方程；(2) 若过点()1,0A -的直线与椭圆1C 相交于M 、N 两点，求使FM FN FR +=成立的动点R 的轨迹方程；(3) 若点R 满足条件（2），点T 是圆()2211x y -+=上的动点，求RT 的最大值.(1)解法1：抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线为1x =-，设点P 的坐标为()00,x y ，依据抛物线的定义，由53PF=，得01x +53=，解得023x =. …………… 1分∵ 点P 在抛物线2C 上，且在第一象限，∴ 202443y x ==⨯，解得0263y =.∴点P 的坐标为226,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. …………… 2分 ∵点P 在椭圆22122:1x y C a b+=上， ∴2248193a b +=. …………… 3分又1c =，且22221a b c b =+=+， …………… 4分解得224,3a b ==.∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. …………… 5分解法2: 抛物线22:4C yx =的焦点F 的坐标为()1,0，设点P 的坐标为()0x y ,，0000xy ,>>.∵53PF =，∴()2202519xy -+=. ① …………… 1分 ∵点P 在抛物线22:4C yx =上，∴204y x =. ②解①②得023x =，0263y =. ∴点P 的坐标为226,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. …………… 2分∵点P 在椭圆22122:1x y C a b+=上， ∴2248193a b +=. …………… 3分又1c =，且22221a b c b =+=+， …………… 4分解得224,3a b ==.∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. …………… 5分 (2)解法1：设点M()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-. ∴()12122,FM FN x x y y +=+-+.∵ FM FN FR += ，∴121221,x x x y y y +-=-+=. ① …………… 6分∵M 、N 在椭圆1C 上， ∴222211221, 1.4343x y x y +=+= 上面两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=.②把①式代入②式得()()()12121043x x x y y y +--+=.当12x x ≠时，得()1212314x y y x x y+-=--. ③ …………… 7分设FR 的中点为Q ，则Q 的坐标为1,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵M 、N 、Q 、A 四点共线，∴MNAQ k k =，即121221312yy y yx x x x -==+-++. ④ …………… 8分把④式代入③式，得()3134x yx y+=-+，化简得()2243430yx x +++=. …………… 9分当12x x =时，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R-在曲线()2243430y x x +++=上.∴动点R 的轨迹方程为()2243430yx x +++=. …………… 10分解法2：当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1yk x =+，由()221143y k x x y,,⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +++-=. 设点M()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则2122834k x x k+=-+， ()()()1212122611234ky y k x k x k x x k +=+++=++=+.…6分∵()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-. ∴()12122,FM FN x x y y +=+-+.∵ FM FN FR += ，∴121221,x x x y y y +-=-+=.∴21228134k x x x k+=+=-+， ① 2634kyk=+. ② …………… 7分 ①÷②得()314x k y+=-， ③ …………… 8分把③代入②化简得()2243430yx x +++=. (*) …………… 9分当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x =-，依题意，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R-在曲线()2243430y x x +++=上.∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=. …………… 10分(3)解: 由(2)知点R()x y ,的坐标满足()2243430yx x +++=，即()224343y x x =-++，由20y ≥，得()23430x x -++≥，解得31x -≤≤-. (11)分 ∵圆()2211x y -+=的圆心为()10F ,，半径1r =，∴()221RF x y =-+()()2231434x x x =--++ ()21101052x =--. …………… 12分∴当3x =-时，4RF max =， (13)分此时，415RT max =+=. (14)分4、（惠州市2013届高三上学期期末）如图，椭圆y2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为32，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.（1）求椭圆M 的标准方程；（2）设直线:()R l y x m m =+∈与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T ，求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值． 1)2223324c a b e a a -==⇒=……①…………1分矩形ABCD 面积为8，即228a b ⋅=……②…………2分由①②解得：2,1a b ==， …………3分∴椭圆M 的标准方程是2214x y +=. ………………………4分(2)222244,58440,x y x mx m y x m ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844,55m x x m x x -+=-=， …………………7分由226420(44)0m m ∆=-->得55m -<<. ……………………8分22284442||245555m PQ m m -⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭. ………………10分当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =-.……………11分①当51m -<<-时，有(1,1),(2,2),||2(3)S m T m ST m ---+=+，222||454461||5(3)5PQ m ST m t t-==-+-+，其中3t m =+，由此知当134t =，即45,(5,1)33t m ==-∈--时，||||PQ ST 取得最大值255.②由对称性，可知若15m <<，则当53m =时，||||PQ ST 取得最大值255.③当11m -≤≤时，||22ST =，2||25||5PQ m ST =-，由此知，当0m =时，||||PQ ST 取得最大值255. ………………13分综上可知，当53m =±和0时，||||PQ ST 取得最大值255.………………14分5、（江门市2013届高三上学期期末）已知椭圆C 的焦点为)0 , 1(1-F 、)0 , 1(2F ，点)22, 1(-P 在椭圆上． ⑴求椭圆C 的方程；⑵若抛物线px y 22=（0>p ）与椭圆C 相交于点M 、N ，当OMN ∆（O 是坐标原点）的面积取得最大值时，求p 的值．解：⑴依题意，设椭圆C 的方程为12222=+by a x ……1分，||||221PF PF a +=……2分，22=，所以2=a ……3分，1=c ，所以122=-=c a b ……4分，椭圆C 的方程为1222=+y x ……5分⑵根据椭圆和抛物线的对称性，设) , (00y x M 、) , (00y x N -（0 , 00>y x ） (6)分，OMN ∆的面积0000)2(21y x y x S =⨯=……7分，) , (00y x M 在椭圆上，122020=+y x ，所以002020202022221y x y x y x =⋅≥+=，等号当且仅当002y x=时成立……9分，解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+002020212yx y x （0 , 00>y x ）得⎪⎩⎪⎨⎧==22100y x ……10分，) , (00y x M 即)22 , 1(M 在抛物线px y 22=上，所以12)22(2⨯=p ……11分，解得41=p ……12分．6、（茂名市2013届高三上学期期末）已知椭圆1C ：22221x y a b+= （0a b >>）过点(0,2)A 且它的离心率为33。

江苏2013届高三数学(文)试题分类汇编：算法初步

广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编算法初步1、（潮州市2013届高三上学期期末）右图给出计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件A ．10i >B ．10?i >C ． 9?i ≤D ．9i ≤ 答案：B 2、（东莞市2013届高三上学期期末）若—个算法的程序框图如右图，则输出的结果S 为A ．12 B ．23C ．34D ．45答案：C 3、（佛山市2013届高三上学期期末）设某程序框图如图所示，该程序运行后，输出s 的值是 A ．10B ．15C ．20D ．30答案：D开始0,2,1S n i ===1S S n=+2n n =+ 1i i =+否输出S结束是题8图开始s=0 i=1 i<5？i=i+1 输出s结束Y N s=s+2i开始k=k＝k＋131n n=+150?n>输出k ,n结束是否输入n图34、（广州市2013届高三上学期期末）如图1，程序结束输出s的值是A．30B．55C．91D．140答案：C5、（惠州2013届高三上学期期末）阅读右图程序框图．若输入5n=，则输出k的值为_____答案：36、（江门2013届高三上学期期末）据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，图3是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，从左到右各直方块表示的人数依次记为1A、2A、……、8A（例如2A表示血液酒精浓度在30～40 mg/100 ml的人数），图4是对图3中血液酒精浓度在某一范围内的人数进行统计的程序框图。

这个程序框图输出的=s________．答案：244807、（茂名市2013届高三上学期期末）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D 8、（汕头市2013届高三上学期期末）按如图所示的程序框图运行程序后，输出的结果是15，则判断框中的整数H=( )．A.3B.4C.5D.6答案：A 9、（增城市2013届高三上学期期末）有一问题的算法程序是 1=i 0=SWHILE 100<=i i S S += 1+=i i WEND PRINT SEND 则输出的结果是．答案：5050 10、（湛江市2013届高三上学期期末）已知函数2()lg()n n f x x a x b =-+，其中,n n a b 的值由如图的程序框图产生，运行该程序所得的函数中，定义域为R 的有 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个答案：C11、（肇庆市2013届高三上学期期末）阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输出S 的值为0，则判断框内为（）A.3i > B. 4i > C. 5i > D. 6i >B 解析:本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。

江苏2013届高三数学(文)试题分类汇编：概率

广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编概率一、选择、填空题 1、（潮州市2013届高三上学期期末）某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，则高二的学生人数为______．高一高二高三女生 600 y 650男生 x z 750答案：1200解析：依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =，故高二的学生人数为1200y z +=．2、（东莞市2013届高三上学期期末）若对任意x A ∈，都有1A x∈，则称集合A 为“完美集合”．在集合{}1,1,2,3A =-的所有非空子集中任取—个集合，这个集合是“完美集合”的概率为 A ．115- B ．215 C ．15 D ．415答案：C3、（广州市2013届高三上学期期末）在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 答案：B4、（江门市2013届高三上学期期末）从等腰直角ABC ∆的斜边AB 上任取一点P ，则A P C ∆为锐角三角形的概率是 A ．1 B ．21 C ．31 D ．61答案：B5、（茂名市2013届高三上学期期末）在区间[]1,2-上任意取一个数x ，则[]0,1x ∈的概率为。

答案：136、（湛江市2013届高三上学期期末）在线段AB 上任取一点P ，以P 为顶点，B 为焦点作抛物线，则该抛物线的准线与线段AB 有交点的概率是 A 、13 B 、12 C 、23 D 、34答案：B 7、（肇庆市2013届高三上学期期末）从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是答案：138、（中山市2013届高三上学期期末）有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（） A ．521B ．27C ．13D ．821答案：D二、解答题1、（潮州市2013届高三上学期期末）设事件A 表示“关于x 的方程2220x ax b ++=有实数根”．（1）若a 、{1,2,3}b ∈，求事件A 发生的概率()P A ；（2）若a 、[1,3]b ∈，求事件A 发生的概率()P A ．解：（1）由关于x 的方程2220x ax b ++=有实数根，得0∆≥．∴22440a b -≥，故22a b ≥，当0a >，0b >时，得a b ≥．…… 2分若a 、{1,2,3}b ∈，则总的基本事件数（即有序实数对(,)a b 的个数）为339⨯=．事件A 包含的基本事件为：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共有6个．∴事件A 发生的概率62()93P A ==； ………… 7分（2）若a 、[1,3]b ∈，则总的基本事件所构成的区域{(,)|13,13}a b a b Ω=≤≤≤≤，是平面直角坐标系aOb 中的一个正方形（如右图的四边形BCDE ），其面积2(31)4S Ω=-=． ………… 9分abBO1C1E33D事件A 构成的区域是{(,)|13,13,}A a b a b a b =≤≤≤≤≥，是平面直角坐标系aOb 中的一个等腰直角三角形（如右图的阴影部分），其面积21(31)22A S =⨯-=．故事件A 发生的概率21()42A S P A S Ω===． …… 12分 2、（佛山市2013届高三上学期期末）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min ）：组别候车时间人数一 [0,5) 2 二 [5,10) 6 三 [10,15) 4 四 [15,20)2 五[20,25]1（1）求这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．解析：（1）1(2.527.5612.5417.5222.51)15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1157.5=10.515=⨯min ．--------3分（2）候车时间少于10分钟的概率为3681515+=， ----4分所以候车时间少于10分钟的人数为8603215⨯=人． ---------6分（3）将第三组乘客编号为1234,,,a a a a ，第四组乘客编号为12,b b ．从6人中任选两人有包含以下基本事件：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)a a a a a a a b a b ，23242122(,),(,),(,),(,)a a a a a b a b ， 343132(,),(,),(,)a a a b a b ， 4142(,),(,)a b a b ，abBO1C1E33D图3625x 0611y 11988967乙甲12(,)b b ， ----10分其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为815． -------12分 3、（广州市2013届高三上学期期末）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.（1）求x 和y 的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差2s ；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.参考公式：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12nx x x x n+++=.（1）解：∵甲班学生的平均分是85，∴92968080857978857x +++++++=. …………… 1分∴5x =. …………… 2分∵乙班学生成绩的中位数是83，∴3y =. …………… 3分（2）解：甲班7位学生成绩的方差为2s ()()()22222221675007117⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣⎦40=. …… 5分（3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ， …………… 6分乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E . …………… 7分从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D ()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E . …………… 9分其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()(),,,,,,,A E B C B D B E . ……………11分记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M ，则()710P M =.答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710. ……………12分4、（惠州市2013届高三上学期期末）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。

2013江苏省高考数学真题(含答案)

2013 年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计70 分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1．函数y3sin( 2x) 的最小正周期为．4开始2．设z( 2i )2（i为虚数单位），则复数 z 的模为．n 1， a23．双曲线x2y21 的两条渐近线的方程为．n n 1 169Ya 204．集合{1,0,1} 共有个子集．a 3a 2 N5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是．输出 n结束（第 5题）6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．方差为： S2(8990) 2(90 90) 2(91 90)2(8890) 2(92 90) 2 2 ．57．现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m ， n （m7 ， n9 ）可以任意选取，则m，n 都取到奇数的概率为．8．如图，在三棱柱A1B1C1ABC 中， D，E，F分别是C1B1AB， AC，AA1的中点，设三棱锥F ADE 的体积为 V1，三棱柱A1A1B1C1 ABC 的体积为 V2，则 V1 :V2．F CE BA D9．抛物线y x2在x1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部和边界) ．若点 P( x, y) 是区域D内的任意一点，则x 2y 的取值范围是．10．设D，E分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD 1AB，BE2BC，23若 DE1 AB2 AC （1，2为实数），则1 2 的值为．11．已知f (x)是定义在R上的奇函数。

当x 0时，f (x) x24x ，则不等式 f ( x) x 的解集用区间表示为．12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的标准方程为x2y 21( a0, b 0)，右焦点为a2b2F ，右准线为 l ，短轴的一个端点为 B ，设原点到直线BF 的距离为 d1， F 到 l 的距离为 d2，若 d26d1，则椭圆C的离心率为．13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点 A(a, a) ， P 是函数 y 1（ x0 ）图象上一动点，x若点 P，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的实数a的所有值为．14．在正项等比数列{ a n} 中， a51a2a n a1a2 a n的， a6 a7 3 ，则满足 a12最大正整数n 的值为．二、解答题：本大题共 6 小题，共计90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14 分）已知 a＝(cos, sin )，b(cos ,sin ) ， 0．（ 1）若|a b | 2 ，求证：a b ；（ 2）设c(0,1) ，若a b c ，求,的值．16．（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SAB平面 SBC ， AB BC，AS AB，过 A作AF SB，垂足为 F ，点 E， G 分别是棱SA， SC的中点．求证：（1）平面EFG //平面ABC；S（2）．BC SA E GFCAB17．（本小题满分 14 分）y如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A(0,3) ，直线 l : y 2x4 ．l设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上．A（ 1）若圆心 C 也在直线 y x1上，过点 A 作圆 C 的切线，Ox求切线的方程；（ 2）若圆 C 上存在点 M ，使 MA 2MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围．18．（本小题满分 16 分）如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编11：概率与统计

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编11：概率与统计一、选择题 1 ．（2013年高考安徽（文））若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为（）A ．23B ．25C ．35D ．910【答案】D 2 ．（2013年高考重庆卷（文））下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间[20,30)内的概率为（）A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.6 【答案】B 3 ．（2013年高考湖南（文））已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P,使△APB 的最大边是AB”发生的概率为.21,则ADAB=____ （）A ．12 B ．14CD【答案】D 4 ．（2013年高考江西卷（文））集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是（）A ．23B ．13C ．12D ．16【答案】C 5 ．（2013年高考湖南（文））某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___ （） A ．9 B ．10 C ．12 D ．13 【答案】D 6 ．（2013年高考山东卷（文））将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以x 表示:则7个剩余分数的方差为（） A ．1169B ．367C ．36 D【答案】B 7 ．（2013年高考四川卷（文））某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是8 7 79 4 0 1 0 9 1x(B)(A)(C)(D)【答案】A8 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A ．12B ．13C ．14 D ．16【答案】B9 ．（2013年高考陕西卷（文））对一批产品的长度(单位: mm )进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为（） A ．0.09 B ．0.20 C ．0.25 D ．0.45 【答案】D 10．（2013年高考江西卷（文））总体编号为01,02,19,20的20个个体组成. 利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为（）A ．08B ．07C ．02D ．01【答案】D11．（2013年高考辽宁卷（文））某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[)[)20,40,40,60,[)[)60,80,820,100,若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（）A ．45B ．50C ．55D ．60【答案】B12．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论: ① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-; ② y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+; ③ y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+; ④ y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--. 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A.①② B.②③ C.③④ D. ①④【答案】D13．已知x 与y 之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=.若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=,则以下结论正确的是( )A.a a b b'>'>ˆ,ˆ B.a a b b '<'>ˆ,ˆ C.a a b b '>'<ˆ,ˆ D.a a b b '<'<ˆ,ˆ 【答案】C二、填空题 14．（2013年高考浙江卷（文））从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于_________.【答案】1515．（2013年高考湖北卷（文））在区间[2,4]-上随机地取一个数x ,若x 满足||x m ≤的概率为56,则m =__________. 【答案】3 16．（2013年高考福建卷（文））利用计算机产生1~0之间的均匀随机数a ,则事件“013<-a ”发生的概率为_______【答案】3117．（2013年高考重庆卷（文））若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为____________.【答案】2318．（2013年高考辽宁卷（文））为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为____________. 【答案】10 19．（2013年上海高考数学试题（文科））某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为________. 【答案】78 20．（2013年高考湖北卷（文））某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则(Ⅰ)平均命中环数为__________; (Ⅱ)命中环数的标准差为__________.【答案】(Ⅰ)7 (Ⅱ)2 21．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是________.【答案】1522．（2013年上海高考数学试题（文科））盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是_______(结果用最简分数表示).【答案】57三、解答题 23．（2013年高考江西卷（文））小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.(1) 写出数量积X 的所有可能取值；(2) 分别求小波去下棋的概率和不．去唱歌的概率【答案】解:(1) x 的所有可能取值为-2 ,-1 ,0, 1． (2)数量积为-2的只有25OA OA ∙一种数量积为-1的有15OA OA ∙,1624263435,,,,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙∙六种数量积为0的有13143646,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种数量积为1的有12234556,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种故所有可能的情况共有15种. 所以小波去下棋的概率为1715p = 因为去唱歌的概率为2415p =,所以小波不去唱歌的概率2411111515p p =-=-= 24．（2013年高考陕西卷（文））有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组,(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B 组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.【答案】解: (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数.从B 组100人中抽取6人,即从50人中抽取3人,从100人中抽取6人,从100人中抽取9人. (Ⅱ) A 组抽取的3人中有2人支持1号歌手,则从3人中任选1人,支持支持1号歌手的概率为32· B 组抽取的6人中有2人支持1号歌手,则从6人中任选1人,支持支持1号歌手的概率为62· 现从抽样评委A 组3人,B 组6人中各自任选一人,则这2人都支持 1号歌手的概率926232=⋅=P . 所以,从A,B 两组抽样评委中,各自任选一人,则这2人都支持1号歌手的概率为92. 25．（2013年高考四川卷（文））某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在24,,3,2,1 这24 个整数中等可能随机产生.(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =; (Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.【答案】解:(Ⅰ)变量x 是在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生的一个数,共有24种可能. 当x 从23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1这12个数中产生时,输出y 的值为1,故P 1=1/2；当x 从22,20,16,14,10,8,4,2这8个数中产生时,输出y 的值为2,故P 2=1/3；当x 从24,18,12,6这4个数中产生时,输出y 的值为3,故P 3=1/6.所以输出y 的值为1的概率为1/2,输出y 的值为2的概率为1/3,输出y 的值为3的概率为1/6. (Ⅱ)当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i=1,2,3)的频率如下,比较频率趋势与概率,可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大.26．（2013年高考辽宁卷（文））现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取3道题解答.试求:(I)所取的2道题都是甲类题的概率; (II)所取的2道题不是同一类题的概率.【答案】27．（2013年高考天津卷（文））某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;(⒉) 设事件B为“在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率.【答案】28．（2013年高考湖南（文））某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收货量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(Ⅰ)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.【答案】解: (Ⅰ) 由图知,三角形中共有15个格点,与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4). 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1). 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0,1,) ,(0,2),(0,3,).与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1).如下表所示:平均年收获量4615==u .(Ⅱ)在15株中,年收获量至少为48kg 的作物共有2+4=6个. 所以,15株中任选一个,它的年收获量至少为48k 的概率P=4.0156=. 29．（2013年高考安徽（文））为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：甲乙 7 4 55 3 3 2 5 3 3 85 5 4 3 3 3 1 0 06 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 1 0 07 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9 7 5 4 4 28 1 1 5 5 8 2 09 0（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,x x ，估计12x x -的值.【答案】解:(1)30300.056000.05n n =⇒== ，255306p == (2)174013504246092670922805290230x +++⨯++⨯++⨯++⨯++⨯==208430254014503176010337010208059030x +++⨯++⨯++⨯++⨯+==2069302120842069150.5303030x x ===--30．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直图,如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X(单位:t≤100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率.【答案】31．（2013年高考广东卷（文））从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个? (3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.【答案】(1)重量在[)90,95的频率200.450==; (2)若采用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个,则重量在[)80,85的个数541515=⨯=+; (3)设在[)80,85中抽取的一个苹果为x ,在[)95,100中抽取的三个苹果分别为,,a b c ,从抽出的4个苹果中,任取2个共有(,),(,),(,),(,),(,),(,)x a x b x c a b a c b c 6种情况,其中符合“重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)x a x b x c 种;设“抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”为事件A ,则事件A 的概率31()62P A ==; 32．（2013年高考山东卷（文））某小组共有A B C D E 、、、、五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(2(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率(Ⅱ)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率【答案】33．（2013年高考北京卷（文））下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率;(Ⅱ)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率;(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)【答案】解:(I)在3月1日至3月13日这13天中,1日.2日.3日.7日.12日.13日共6天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是613.(II)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”.所以此人在该市停留期间只有1天空气质量重度污染的概率为413.(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.34．（2013年高考福建卷（文））某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率.(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成22的列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?附表:【答案】解:(Ⅰ)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有600.053⨯=(人), 记为1A ,2A ,3A ;25周岁以下组工人有400.052⨯=(人),记为1B ,2B 从中随机抽取2名工人,所有可能的结果共有10种,他们是:12(,)A A ,13(,)A A ,23(,)A A ,11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,12(,)B B其中,至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是:11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,12(,)B B .故所求的概率:710P =(Ⅱ)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手:所以得:222()100(15251545)251.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯因为1.79 2.706<,所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”35．（2013年高考大纲卷（文））甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(I)求第4局甲当裁判的概率;(II)求前4局中乙恰好当1次裁判概率.【答案】(Ⅰ)记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”, 2A 表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”, A 表示事件“第4局甲当裁判”. 则12=A A A ∙. 12121()=P()()()4P A AA P A P A ∙==. (Ⅱ)记1B 表示事件“第1局结果为乙胜”, 2B 表示事件“第2局乙参加比赛时,结果为乙胜”,3B 表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙胜”, B 表示事件“前4局中恰好当1次裁判”.则1312312B B B B B B B B =∙+∙∙+∙.1312312()()P B P B B B B B B B =∙+∙∙+∙1312312()()()P B B P B B B P B B =∙+∙∙+∙1312312()()()()()()()P B P B P B P B P B P B P B =∙+∙∙+∙111484=++58=. 36．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））(本小题满分共12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h ),试验的观测结果如下:服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间:3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?(3)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?【答案】(本小题满分共12分)(1) 设A 药观测数据的平均数为 ,B 药观测数据的平均数为 ,又观测结果可得120x =(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3, 1(0.50.50.60.80.9 1.1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.1202.4 2.5 2.6 2.73.2 1.6y =+++++++++++++++++++= 由以上计算结果可得x >y ,因此可看出A 药的疗效更好(2)由观测结果可绘制如下茎叶图: 9 8 7 7 6 5 4 3从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎2.3上,而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上,由此可看出A 药的疗效更好.37．(本小题满分13分,(Ⅰ)小问9分,(Ⅱ)、(Ⅲ)小问各2分) 从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入i x (单位:千元)与月储蓄i y (单位:千元)的数据资料,算得10180i i x==∑,10120i i y ==∑,101184i i i x y ==∑,1021720i i x ==∑. (Ⅰ)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+;(Ⅱ)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程y bx a =+中,1221n i ii n i i x y nx y b xnx ==-=-∑∑,a y bx =-, 其中x ,y 为样本平均值,线性回归方程也可写为 y bxa =+.。

江苏2013届高三数学(文)试题分类汇编：三角函数

广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编三角函数一、选择、填空题 1、（潮州市2013届高三上学期期末）在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若2cos cos cos b A c A a C =＋，则cos A =________．答案：１２解析：由2cos cos cos b A c A a C =+．得2sin cos sin cos cos sin B A C A C A =+，故2sin cos sin()B A A C =+．又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =． 2、（东莞市2013届高三上学期期末）已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的图象的两相邻对称轴之间的距离为2π，要得到()y f x =的图象，只须把sin y x ω=的图象A ．向右平移3π个单位B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位答案：D3、（佛山市2013届高三上学期期末）函数sin sin 3y x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为，最大值是．答案：2π（2分），3 （3分）4、（广州市2013届高三上学期期末）已知函数()()212f x x x cos cos =-⋅，x ∈R ，则()f x 是A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数答案：C5、（惠州市2013届高三上学期期末）2sin(),44πα+=则sin2α= ．【解析】2221sin()sin cos ,sin cos 42242πααααα+=+=∴+=， 2221(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin24ααααααα+=++=+=，故3sin24α=-6、（茂名市2013届高三上学期期末）已知函数tan ,2010()32010,2010x x f x x x π⎧<⎪=⎨⎪->⎩，则[](2010)f f = 。

2013年高考文科数学江苏卷及答案

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据1x ,2x ,⋅⋅⋅,n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11ni i x x n ==∑ 棱锥的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 为高棱柱的体积公式V Sh =,其中S 是棱柱的底面积,h 为高一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卡相应．．．．．位置上．．．. 1.函数π3sin(2)4y x =+的最小正周期为 .2.设2(2i)z =-（i 为虚数单位）,则复数z 的模为 .3.双曲线221169x y-=的两条渐近线的方程为 .4.集合{1,0,1}-共有个子集.5.如图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 .6.则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 .7.现有某类病毒记作m n X Y ,其中正整数m ,n (m 7,n 9)≤≤可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为 .8.如图,在三棱柱111A B C ABC -中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,1AA 的中点.设三棱锥F ADE -的体积为1V ,三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ,则12:V V = .9.抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）.若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点,则2x y +的取值范围是 .10.设D ,E 分别是ABC △的边AB ,BC 上的点,12AD AB =,23BE BC =,若DE =12AB AC λλ+（1λ,2λ为实数）,则12λλ+的值为 .11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时,2()4f x x x =-,则不等式()f x x >的解集用区间表示为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d .若21d =,则椭圆C 的离心率为 .13.在平面直角坐标系xOy 中,设定点(,)A a a ,P 是函数1(0)y x x=>图象上一动点.若点P ,A 之间的最短距离为则满足条件的实数a 的所有值为 .14.在正项等比数列{}n a 中,512a =,673a a +=,则满足1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅的最大正整数n 的值为 .二、解答题：本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知向量a (cos ,sin )αα=,b (cos ,sin )ββ=,0πβα<<<.（Ⅰ）若|a -b |=,求证：a ⊥b ；（Ⅱ）设c (0,1)=,若a +b =c ,求α,β的值.16.（本小题满分14分）如图,在三棱锥S ABC -中,平面SAB ⊥平面SBC ,AB BC ⊥,AS AB =.过A 作AF SB ⊥,垂足为F ,点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点.求证：姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------（Ⅰ）平面EFG 平面ABC ；（Ⅱ）BC SA ⊥.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,点(0,3)A ,直线l ：24y x =-.设圆C 的半径为1,圆心在l 上.（Ⅰ）若圆心C 也在直线1y x =-上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程；（Ⅱ）若圆C 上存在点M ,使2MA MO =,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.18.（本小题满分16分）如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50 m/min .在甲出发2 min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1 min 后,再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ,山路AC 长为1 260 m ,经测量,12cos 13A =,3cos 5C =.（Ⅰ）求索道AB 的长；（Ⅱ）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短？（Ⅲ）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内？19.（本小题满分16分）设{}n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列(0)d ≠,n S 是其前n 项的和.记2nn nS b n c=+,*n ∈N ,其中c 为实数.（Ⅰ）若0c =,且1b ,2b ,4b 成等比数列,证明：2*(,)nk k S n S k n =∈N ；（Ⅱ）若{}n b 是等差数列,证明：0c =. 20.（本小题满分16分）设函数()ln f x x ax =-,()e xg x ax =-,其中a 为实数.（Ⅰ）若()f x 在(1,)+∞上是单调减函数,且()g x 在(1,)+∞上有最小值,求a 的取值范围；（Ⅱ）若()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数,试求()f x 的零点个数,并证明你的结论.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A .（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,AC 经过圆心O ,且2BC OC =.求证：2AC AD =.B .（本小题满分10分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A 1002-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,B 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求矩阵A -1B .C .（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1,2,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）,曲线C 的参数方程为22tan ,2tan ,x y θθ⎧=⎨=⎩（θ为参数）.试求直线l 和曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.D .（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知0a b ≥＞,求证：332222a b ab a b --≥.【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）如图,在直三棱柱111A B C ABC -中,AB AC ⊥,2AB AC ==,14A A =,点D 是BC 的中点.（Ⅰ）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（Ⅱ）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.23.（本小题满分10分）设数列{}n a ：1,2-,2-,3,3,3,4-,4-,4-,4-,⋅⋅⋅,11(1),,(1)k k k k k ---⋅⋅⋅-个,⋅⋅⋅,即当*(1)(1)()22k k k k n k -+∈N ＜≤时,1(1)k n a k -=-.记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+*()n ∈N .对于*l ∈N ,定义集合{|l n P n S =是n a 的整数倍,*n ∈N ,且1}n l ≤≤. （Ⅰ）求集合11P 中元素的个数；（Ⅱ）求集合2000P 中元素的个数.2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）数学Ⅰ答案解析221解析】121212()DE DB BE AB BC AB BA AC AB AC AB AC λλ=+=+=++=-+=+,16λ=-，23λ=，12+=2λλ.)+(5)∞，，2)4x x =-数，利用奇函数图像关于原点对称做出()y f x =的图像在y x ＝的上方，观察图像易得：解集为(-5)0+(5)∞，，.a a ⎝⎭⎝⎭3a 3a ⎝⎭)2cos sin sin αβαβ+＝，0cos sin sin αβαβ＋＝，b .cos 0αβ+=①，2+①②ABAC A ＝，所以，EFG 平面）因为SAB 平面SABSBC 平面AFAB A ＝，SAB .AM ANcosA ＝(min)时，MN 500m ，甲到21．C ．【答案】，【解析】解：∵直线的参数方程为 ∴消去参数后得直线的普通方程为①同理得曲线C 的普通方程为 ②① ②联立方程组解得它们公共点的坐标为，21．D ．【答案】证明：∵又∵＞0，∴＞0，, ∴ ∴ ∴22．【答案】（1）（2）【解析】（1）以为单位正交基底建立空间直角坐标系，则，,,, ∴, ∴ ∴异面直线与所成角的余弦值为（2）是平面的的一个法向量设平面的法向量为，∵, 由 ∴ 取，得，∴平面的法向量为设平面与所成二面角为 ∴，得∴平面与所成二面角的正弦值为23．【答案】（1）5 （2）1008【解析】（1）解：由数列的定义得：，，，，，，，，，，∴，，，，，，，，，)2,2()1,21(-l ⎩⎨⎧=+=ty t x 21t 022=--y x x y 22=)2,2()1,21(-=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a())(22222b a b b a a ---())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=b a ≥b a +0≥-b a 02≥-b a 0)2)()((≥--+b a b a b a 0222233≥---b a ab b a b a ab b a 223322-≥-1010335{}1,,xyz A -)0,0,0(A )0,0,2(B )0,2,0(C )4,0,0(1A )0,1,1(D )4,2,0(1C )4,0,2(1-=A )4,1,1(1--=A 10103182018,cos 11==>=<D C B A B A 1D C 110103)0,2,0(=AC 1ABA 1ADC ),,(z y x m =)0,1,1(=AD )4,2,0(1=AC 1,AC m AD m ⊥⊥⎩⎨⎧=+=+0420z y y x 1=z 2,2=-=x y 1ADC )1,2,2(-=m 1ADC 1ABA θ32324,cos cos =⨯-==><=m AC θ35sin =θ1ADC 1ABA 35{}n a 11=a 22-=a 23-=a 34=a 35=a 36=a 47-=a 48-=a 49-=a 410-=a 511=a 11=S 12-=S 33-=S 04=S 35=S 66=S 27=S 28-=S 69-=S，∴，，，， ∴集合中元素的个数为5（2）证明：用数学归纳法证① 当时，故原式成立② 假设当时，等式成立，即故原式成立则：，时，综合①②得：于是由上可知：是的倍数而，所以是的倍数又不是的倍数，而所以不是的倍数.故当时，集合中元素的个数为于是当时，集合中元素的个数为又故集合中元素的个数为1010-=S 511-=S 111a S ∙=440a S ∙=551a S ∙=662a S ∙=11111a S ∙-=11P )12()12(+-=+i i S i i 1=i 3)12(13)12(-=+∙-==+S S i i m i =)12()12(+∙-=+m m S m m 1+=m i 222)12(}32)(1(}1)1(2)[1()22()12()12()22()12(+-+++-=+-++==++++++m m m m m m S S S m m m m m m )32)(1()352(2++-=++-=m m m m )12()12(+-=+i i S i i )1)(12()12()12()12(22}12(}12)[1(++=+++-=++=+++i i i i i i S S i i i i }12(+i i S )12(+i )12,,2,1(12}12)(1(+=+=+++i j i a j i i )12()12()12(++=+++i j S S i i j i i )12,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i )12)(1(}12)[1(++=++i i S i i 22+i )22,,2,1)(22(}12)(1(+=+-=+++i j i a j i i )22()1)(12()22()12)(1()12)(1(+-++=+-=+++++i j i i i j S S i i j i i )22,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i )12(+=i i l l P 2i 1-i 231=+++）（）（1i 2j 1j )12(+≤≤++=i i l l P j i 2+471312312000++⨯⨯=）（2000P 100847312=+。

2013江苏省高考数学真题(含答案)

.2013 年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1．函数 y3sin(2x)的最小正周期为．4开始2．设 z( 2 i )2 （ i 为虚数单位），则复数 z 的模为．n 1， a23．双曲线x 2y 2 1 的两条渐近线的方程为．n n 1169Ya 204．集合 { 1,0,1} 共有个子集．a 3a 2N5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是．输出 n结束（第 5题）6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5 此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲 87 91 90 89 93乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．方差为： S 2(8990) 2 (90 90) 2 (91 90)2(88 90) 2(92 90) 2 2 ．57．现在某类病毒记作X m Y n ，其中正整数 m ， n （ m 7 ， n 9 ）可以任意选取，则 m ， n都取到奇数的概率为．8．如图，在三棱柱 A 1B 1C 1ABC 中， D ，E ，F 分别是C 1B 1AB ， AC ，AA 1 的中点，设三棱锥 F ADE 的体积为 V 1 ，三棱柱A 1A 1B 1C 1 ABC 的体积为 V 2 ，则 V 1 :V 2．FCEBAD9．抛物线 yx 2 在 x 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D ( 包含三角形内部和边界 )．若点 P( x, y) 是区域 D 内的任意一点，则x 2y 的取值范围是．.10．设D，E分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD 1AB，BE2BC，23若 DE1 AB2AC（，2为实数），则12的值为．111．已知f (x)是定义在R上的奇函数。

当x 0时，f (x) x24x ，则不等式 f ( x) x 的解集用区间表示为．12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的标准方程为x2y21(a0, b 0) ，右焦点为a2b2F ，右准线为 l ，短轴的一个端点为 B ，设原点到直线BF 的距离为 d1， F 到 l 的距离为 d2，若 d26d1，则椭圆C的离心率为．13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点 A(a, a) ， P 是函数 y 1（ x0 ）图象上一动点，x若点 P，A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的实数a的所有值为．14．在正项等比数列{ a n} 中， a51a2a n a1a2 a n的， a6 a7 3 ，则满足 a12最大正整数n 的值为．二、解答题：本大题共 6 小题，共计90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14 分）已知 a＝(cos , sin )， b (cos ,sin ) ， 0．（ 1）若| a b | 2 ，求证：a b ；（ 2）设c(0,1) ，若a b c ，求,的值．16．（本小题满分14 分）如图，在三棱锥S ABC 中，平面 SAB平面 SBC ， AB BC，AS AB，过A作AF SB，垂足为F，点 E， G 分别是棱SA， SC的中点．求证：（1）平面EFG //平面ABC；S（2）．BC SA E GFCAB17．（本小题满分 14 分）y如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A(0,3) ，直线 l : y 2x4 ．l设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上．A （ 1）若圆心 C 也在直线 yx 1上，过点 A 作圆 C 的切线，Ox求切线的方程；（ 2）若圆 C 上存在点 M ，使 MA 2MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围．18．（本小题满分 16 分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至 C 处有两种路径。

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