【状元之路】高考数学二轮复习钻石卷高频考点训练24

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状元之路届高考数学全国通用二轮复习钻石卷高频考点训练7 1【VIP专享】

高考专题训练
时间：45 分钟分值：75 分一、填空题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分． 1.
(2013·湖北武汉模拟)如图所示，平行四边形 ABCD 中，
AEBE＝12，若△AEF 的面积等于 1
________cm2. AE AE 1
解析 ∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，又CD＝AB＝3，且相似三角
形的面积之比等于对应边的比的平方．
∴△CDF 的面积等于 9 cm2.
答案 9 2.
(2013·广东佛山模拟)如图所示，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥CD，
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷高频考点训练21

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练21一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析双曲线焦点位于x 轴，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，而e ＝c a ＝52，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝54，得b a ＝12，故渐近线方程为y ＝±12x ，即选C.答案 C2．若不论k 取何值，直线y ＝k (x －2)＋m 与双曲线x 2－y 2＝1总有公共点，则实数m 的取值X 围是( )A ．[－3,3]B ．[－3，3]C ．[－2,2]D ．[－2，2]解析直线过点M (2，m )，不妨设直线x ＝2与双曲线相交于A ，B 两点，且A (2，－3)，B (2，3)．结合图象可知，当且仅当点M 在线段AB 上时，不论k 取何值，直线与双曲线总有公共点，所以－3≤m ≤ 3.故选B.答案 B3．(2013·全国大纲卷)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值X 围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 解析 A 1(－2,0)，A 2(2,0)，上顶点B 1(0，3)，若P 位于B 1处，kPA 2＝－32>－1，由图象分析P 位于第一象限，设P (x 0，y 0)，则y 0＝324－x 20，因此kPA 2＝－322＋x 02－x 0，由kPA 2∈[－2，－1]得2＋x 02－x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43，从而kPA 1＝322－x 02＋x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34，故选B. 答案 B4．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值正确的是( )A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是4解析设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0. 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线定义|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216.而y 1y 2＝－4，代入上式，得|AB |·|CD |＝1，故选A. 答案 A5．在周长为16的△PMN 中，|MN |＝6，则PM →·PN →的取值X 围是( )A ．[7，＋∞) B．(0,16) C ．(7,16] D ．[7,16) 解析以MN 所在直线为x 轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，由于|PN |＋|PM |＝10>|MN |＝6，故点P 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆(去左、右顶点)，其方程为x 225＋y 216＝1(y ≠0)，故PM →·PN →＝(3－x ，－y )·(－3－x ，－y )＝x 2＋y 2－9，将y 2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 225代入整理得：PM →·PN →＝9x 225＋7，而0≤x 225<1(由于是三角形，因此M ，N ，P 三点不共线)，故7≤PM →·PN →<16. 故选D. 答案 D6．(2013·全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值X 围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 解析特殊情况a ＝1时，直线为y ＝x ＋b 与x 轴交于(－b,0)，与直线BC ：x ＋y ＝1交于⎝⎛⎭⎪⎫1－b 2，1＋b 2，结合图形可知12×(1＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2＝12，解得b ＝2－1；13<2－1<12，排除C.考虑到极限位置，即a ＝0时，y ＝b 与y 轴交于(0，b )得(1－b )2＝12，即b ＝1－22，故选B.答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点的距离之比为2：3，则点M 的轨迹方程为________．解析由题意得a 2＝16，b 2＝9，c 2＝16＋9＝25. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．设M (x ，y )，有|MF 1||MF 2|＝23，即x ＋52＋y2x －52＋y 2＝23.整理即可得解．答案 x 2＋y 2＋26x ＋25＝08．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )，到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.解析根据抛物线的性质得1＋p2＝5，∴p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1.故a ＝14.答案 149．(2013·某某卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．解析设直线l 的方程为x ＝ty －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1y 2＝4x得y 2－4ty ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝4，所以y Q ＝2t ，将y Q 代入x ＝ty －1得x Q ＝2t 2－1，|FQ |2＝(x Q －1)2＋y 2Q ＝4，代入得t ＝0(舍)或t ＝±1，所以直线的斜率1t为±1.答案 ±1三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)(2013·某某卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．解 (1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1. 由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c.故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，cy 0c －x 0. 因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0. 由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．11．(本小题10分)(2013·某某卷)如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，① y 0＝－1－222p ＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④切线MA ，MB 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此线段AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .12．(本小题10分)(2013·某某某某质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1(a >10)的右焦点F在圆D ：(x －2)2＋y 2＝1上，直线l ：x ＝my ＋3(m ≠0)交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →⊥ON →(O 为坐标原点)，求m 的值；(3)设点N 关于x 轴的对称点为N 1(N 1与点M 不重合)，且直线N 1M 与x 轴交于点P ，试问△PMN 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设知，圆D ：(x －2)2＋y 2＝1的圆心坐标是(2,0)，半径是1，故圆D 与x 轴交于两点(3,0)，(1,0)．所以，在椭圆中c ＝3或c ＝1，又b 2＝3，所以，a 2＝12或a 2＝4(舍去，∵a >10)．于是，椭圆C 的方程为x 212＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)；直线l 与椭圆C 方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 212＋y23＝1，化简并整理得(m 2＋4)y 2＋6my －3＝0， ∴y 1＋y 2＝－6m m 2＋4，y 1·y 2＝－3m 2＋4. ∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋6＝24m 2＋4， x 1·x 2＝m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＝－3m 2m 2＋4＋－18m 2m 2＋4＋9＝36－12m2m 2＋4.∵OM →⊥ON →，∴OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，得36－12m 2－3m 2＋4＝0.∴m 2＝114，m ＝±112.(3)∵M (x 1，y 1)，N 1(x 2，－y 2)，∴直线N 1M 的方程为y －y 1－y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1.令y ＝0，则x ＝y 1x 2－x 1y 1＋y 2＋x 1＝y 1x 2＋y 2x 1y 1＋y 2＝2my 1y 2＋3y 1＋y 2y 1＋y 2＝－6m m 2＋4－18mm 2＋4－6m m 2＋4＝－24m －6m ＝4；∴P (4,0)．S △PMN ＝12|FP |·|y 1－y 2|＝12·1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝12·36m 2m 2＋42＋12m 2＋4＝23m 2＋1m 2＋42＝231m 2＋1＋9m 2＋1＋6≤23·112＝1. 当且仅当m 2＋1＝3，即m ＝±2时等号成立，故△PMN 的面积存在最大值1. (或S △PMN ＝23·m 2＋1m 2＋42＝23·－3m 2＋42＋1m 2＋4. 令t ＝1m 2＋4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，则S △PMN ＝23·－3t 2＋t ＝23·－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －162＋112≤1.当且仅当t ＝16∈⎝⎛⎦⎥⎤0，14时等号成立，此时m 2＝2，故△PMN的面积存在最大值1.)。

【状元之路】高考数学二轮复习钻石卷高频考点训练12

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练12一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·安徽卷)在下列命题中，不是．．公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析立体几何中的公理有四个，B，C，D都是，第四个为空间平行线的传递性，而A 是面面平行的性质定理，由公理推证出来的，故选A.答案 A2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面，所以选B.答案 B3．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，且a⊄α，a⊄β，则下列结论中不成立的是( )A．若b⊂β，a∥b，则a∥βB．若a⊥β，α⊥β，则a∥αC．若a⊥b，b⊥α，则a∥αD．若α⊥β，a⊥β，b∥a，则b∥α思路分析根据空间中的平行、垂直关系的判定和性质定理逐个进行判断．解析对于选项A，若有b⊂β，a∥b，且已知a⊄β，所以根据线面平行的判定定理，可得a∥β.故选项A正确．对于选项B，若a⊥β，α⊥β，则根据空间线、面的位置关系，可知a⊂α或a∥α，而由已知可知a⊄α，所以a∥α.故选项B正确．对于选项C，若a⊥b，b⊥α，所以a⊂α或a∥α.而由已知a⊄α，所以a∥α.故选项C正确．对于选项D，由a⊥β，b∥a，可得b⊥β.又α⊥β，所以b⊂α或b∥α.故不能得到b∥α.所以选项D错误．故选D.答案 D4．(2013·全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析m，n为异面直线，m⊥面α，n⊥面β，则α，β一定相交，不一定垂直，但交线一定垂直于直线m，n，又l⊥m，且l⊥n，则l平行于α和β的交线，故选D.答案 D5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.答案 D6．(2013·江西卷)如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m ＋n＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析取CD 中点G ，连接EG ，FG ，得CD ⊥EG ，CD ⊥FG ，所以CD ⊥面EFG ，又AB ∥CD ，所以AB ⊥面EFG ，所以AB ⊥EF ，则EF 与正方体的左右面平行，与上下前后四个面均相交，n ＝4，而CE 在底面内与上底面平行，与四个侧面都相交，所以m ＝4，m ＋n ＝8，故选A.答案 A二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·贵州贵阳一模)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．解析如图所示，取AB 的中点E ，连接B 1E ，则AM ∥B 1E ，取EB 的中点F ，连接FN ，则B 1E ∥FN ，因此AM ∥FN ，则直线FN 与CN 所夹的锐角或直角为异面直线AM 与CN 所成的角．设AB ＝1，连接CF ，在△CFN 中，CN ＝52，FN ＝54，CF ＝174. 由余弦定理得cos ∠CNF ＝CN 2＋FN 2－CF 22CN ·FN ＝25.答案 258.(2013·北京卷)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．解析点P 到直线CC 1的距离等于点P 在面ABCD 上的射影到点C 的距离，点P 在面ABCD 内的射影落在线段DE 上，设为P ′，问题等价求为P ′C 的最小值，当P ′C ⊥DE 时，P ′C 的长度最小，此时P ′C ＝2×122＋1＝255 答案 2559.如图所示，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ；②MO ∥平面PAC ；③OC ⊥平面PAC ；④平面PAC ⊥平面PBC . 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．解析 ①错误，PA ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面PAC .答案 ②④三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10.(本小题10分)(2013·西安五校联考)如图所示，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是正方形，AC ＝AB ＝1，A 1C ＝A 1B ，B 1C 1∥BC ， B 1C 1＝12BC .(1)求证：平面A 1AC ⊥平面ABC ； (2)求证：AB 1∥平面A 1C 1C .证明 (1)∵四边形ABB 1A 1为正方形，∴A 1A ＝AB ＝AC ＝1，A 1A ⊥AB .∴A 1B ＝ 2.∵A 1C ＝A 1B ，∴A 1C ＝ 2. ∴∠A 1AC ＝90°，∴A 1A ⊥AC . ∵AB ∩AC ＝A ，∴A 1A ⊥平面ABC .又∵A 1A ⊂平面A 1AC ，∴平面A 1AC ⊥平面ABC ， (2)取BC 的中点E ，连接AE ，C 1E ，B 1E . ∵B 1C 1∥BC .B 1C 1＝12BC ，∴B 1C 1∥EC ，B 1C 1＝EC .∴四边形CEB 1C 1为平行四边形．∴B 1E ∥C 1C . ∵C 1C ⊂平面A 1C 1C ，B 1E ⊄平面A 1C 1C ，∴B 1E ∥平面A 1C 1C . ∵B 1C 1∥BC ，B 1C 1＝12BC ，∴B 1C 1∥BE ，B 1C 1＝BE .∴四边形BB 1C 1E 为平行四边形． ∴B 1B ∥C 1E ，且B 1B ＝C 1E . 又∵四边形ABB 1A 1是正方形， ∴A 1A ∥C 1E ，且A 1A ＝C 1E .∴四边形AEC 1A 1为平行四边形，∴AE ∥A 1C 1. ∵A 1C 1⊂平面A 1C 1C ，AE ⊄平面A 1C 1C ， ∴AE ∥平面A 1C 1C .∵AE ∩B 1E ＝E ，∴平面B 1AE ∥平面A 1C 1C . ∵AB 1⊂平面B 1AE ，∴AB 1∥平面A 1C 1C . 11.(本小题10分)(2013·江苏卷)如图所示，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .解 (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.12．(本小题10分)(理)(2013·广东卷)如下图(左)所示，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE 沿DE折起，得到如下图(右)所示的四棱锥A′－BCDE，其中A′O＝ 3.(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′－CD－B的平面角的余弦值．解(1)由题意，得OC＝3，AC＝32，AD＝2 2.连接OD，OE.在△OCD中，由余弦定理可得OD＝OC2＋CD2－2OC·CD cos45°＝ 5.由翻折不变性可知A′D＝22，所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD.同理可证A′O⊥OE，又OD∩OE＝O，所以A′O⊥平面BCDE.图1(2)(传统法)过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连接A ′H ，如图1. 因为A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′H ⊥CD ，所以∠A ′HO 为二面角A ′－CD －B 的平面角．结合OC ＝3，∠BCD ＝45°，得OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋OA ′2＝302. 所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155，所以二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为155.图2(向量法)以O 点为原点，建立空间直角坐标系O －xyz 如图2所示，则A ′(0,0，3)，C (0，－3,0)，D (1，－2,0)，所以CA ′→＝(0,3，3)，DA ′→＝(－1,2，3)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′CD 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA ′→＝0，n ·DA ′→＝0，即⎩⎨⎧3y ＋3z ＝0，－x ＋2y ＋3z ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝－x ，z ＝3x ，令x ＝1，得n ＝(1，－1，3)，即n ＝(1，－1，3)为平面A ′CD 的一个法向量．由(1)知，OA ′→＝(0,0，3)为平面CDB 的一个法向量，所以cos 〈n ，OA ′→〉＝n ·OA ′→|n ||OA ′→|＝33×5＝155，即二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为155. 12．(本小题10分)(文)(2013·北京卷)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.。

【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷高频考点训练2

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练2一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·某某卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x ，则f(－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 f(x)为奇函数知f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A . 答案 A2．(2013·某某卷)已知x ，y 为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg (x ＋y)＝2lg x ·2lg yC ．2lg x·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg (xy)＝2lg x ·2lg y解析由指数与对数的运算性质得2lg (xy)＝2(lg x ＋lg y)＝2lg x ·2lg y.答案 D3．(2013·全国卷Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c>b>aB ．b>c>aC ．a>c>bD ．a>b>c解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72.由y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 在同一坐标系中的相对位置知log 32>log 52>log 72，进而得a>b>c ，选D .答案 D4．(2013·某某卷)设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( )A ．[－x]＝－[x]B ．[2x]＝2[x]C ．[x ＋y]≤[x]＋[y]D ．[x －y]≤[x]－[y]解析令x ＝1.5，而[－x]＝－2，－[x]＝－1，故A 错．[2x]＝3,2[x]＝2，则B 错，令x ＝1.8，y ＝1.9，则[x ＋y]＝[3.7]＝3，而[x]＝1，[y]＝1，[x ＋y]>[x]＋[y]，故C 错，从而选D .答案 D5．(2013·某某东营模拟)已知函数y ＝f(x)的大致图象如图所示，则函数y ＝f(x)的解析式应为( )A ．f(x)＝e x ln xB ．f(x)＝e －x ln (|x|)C ．f(x)＝e x ln (|x|)D ．f(x)＝e |x|ln (|x|)解析由定义域是{x|x ∈R ，且x ≠0}，排除A ；由函数图象知不是偶函数，排除D ；当x →＋∞时，f (x )＝ln|x |ex →0，排除B ，选C. 答案 C6．(2013·东城模拟)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12 ，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有三个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点(1,0)对称；④若函数f (x )＝3x－2x －3，则方程f (x )＝0有两个实数根，其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①在区间(0，＋∞)上，只有y ＝x 12 ，y ＝x 3是增函数，所以①错误；②由log m 3<log n 3<0，可得1log 3m <1log 3n <0，即log 3n <log 3m <0，所以0<n <m <1，所以②正确；③显然正确；④由f (x )＝3x－2x －3＝0得3x＝2x ＋3，令y 1＝3x，y 2＝2x ＋3，在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图．由图象可知，两个函数图象有两个交点，所以④正确．所以正确命题的个数为 3.故选C.答案 C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，f x －1，x >0，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56的值为________．解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝－12. 答案－128．(2013·某某卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．解析 x <0时，－x >0，f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，故f (x )＝－x 2－4x .x ＝0时，f (x )＝0，所以f (x )>x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0，解得－5<x <0或x >5.答案 (－5,0)∪(5，＋∞)9．(2013·石景山模拟)给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝x －{x }的四个命题：①y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12；②点(k,0)是y ＝f (x )的图象的对称中心，其中k ∈Z ；③函数y ＝f (x )的最小正周期为1；④函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，32上是增函数．则上述命题中真命题的序号是________．解析令x ＝m ＋a ，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，所以f (x )＝x －{x }＝a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，所以①正确；因为f (2k －x )＝2k －x －{2k －x }＝(－x )－{－x }＝f (－x )≠－f (－x )，所以点(k,0)不是函数f (x )的图象的对称中心，所以②错误；f (x ＋1)＝x ＋1－{x ＋1}＝x －{x }＝f (x )，所以最小正周期为1，所以③正确；显然④错误；所以正确的为①③.答案 ①③三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－2mx 在[2,4]上单调，求m 的取值X 围．解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f3＝5f 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝54a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.②当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f 3＝2f2＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝24a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2.若g (x )在[2,4]上单调，则2＋2m2≤2或2m＋22≥4，∴2m≤2或2m≥6，即m ≤1或m ≥log 26. 故m 的取值X 围是(－∞，1]∪[log 26，＋∞)．11．(本小题10分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．解函数的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x ＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，令f ′(x )>0，得2－x2x x －2<0，又0<x <2，则2－x 2>0，解得0<x < 2. 令f ′(x )<0，则2－x 2<0，解得2<x <2. ∴函数f (x )的单调增区间为(0，2)，单调减区间为(2，2)． (2)∵a >0，当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝1x －12－x ＋a ＝21－xx 2－x ＋a >0.则f (x )在x ∈(0,1]上是增函数，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.12．(本小题10分)(2013·某某某某一模)设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a 1；(3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.解 (1)由f (x )＝1，得lg x ＝±1，所以x ＝10或110.(2)证明：结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1. 又a ＋b 2＝1b ＋b2，令φ(b )＝1b＋b (b ∈(1，＋∞))，任取1φ(1)＝2. ∴a ＋b2>1.(3)证明：由已知可得b ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b2＋b 2＋2－4b ＝0，g (b )＝1b2＋b 2＋2－4b ，因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.。

新高考数学状元之路二轮复习专题知识突破训练(7)(含答案解析)

高考专题训练 (七 )三角恒等变换与解三角形A 级—— 基础稳固组一、选择题24π1．已知 sin2α＝－ 25， α∈ －4， 0，则 sin α＋ cos α＝ ()1 1 A ．－ 5 B.57 7C ．－ 5D.5π 分析∵ α∈ －， 0 ，∴ cos α>0>sin α 且 cos α>|sin α|，则sin α＋ cos α＝1＋ sin2α＝424 11－ 25＝ 5.答案 Bπ1π2．若 sin 4＋ α＝ 3，则 cos 2－ 2α等于( )A. 4 9 2B ．－ 49 277C.9D ．－ 9π分析据已知可得－ 2α＝sin2αcos 2＝－ cos2 π 2 π7＋ α＝－ 1－ 2sin ＋ α ＝－ .4 4 9 答案 D3． (2014 河·北衡水一模 )已知 sin α＋ π4 3，－ π cos α＋2π ＋ sin α＝－ 5 2 <α<0，则等于33()A ．－ 4B ．－ 3554 3C.5D.5分析∵ sin α＋ π 4 3 πα<0，3 ＋ sin α＝－，－ <5233∴ 2sin α＋ 2 cos α＝－ 5 ，43∴ 3 1 42 sin α＋2cos α＝－ 5.∴ cos α＋2π 2π2π1 cos α－ 3 4 .＝ cos αcos－ sin αsin ＝－ 22sin α＝333 5答案 C4． (2014 江·西卷 )在△ ABC 中，内角 A ，B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c.若 c 2＝ (a － b)2π)＋ 6， C ＝，则△ ABC 的面积是 (39 3 A ． 3B.23 3C. 2D ． 3 3分析∵ c 2＝ (a － b)2＋ 6，∴ c 2＝ a 2＋ b 2 － 2ab ＋ 6.①π222π2 2∵ C ＝ 3，∴ c ＝ a ＋ b － 2abcos 3＝ a ＋b － ab.②由①②得－ ab ＋6＝ 0，即 ab ＝ 6.11 3 3 3∴ S △ABC ＝2absinC ＝ 2×6×2 ＝ 2 .答案C5．(2014 ·西七校联考江 )在△ ABC 中，若 sin(A － B)＝ 1＋2cos(B ＋ C)sin(A ＋ C)，则△ ABC的形状必定是 ()A ．等边三角形B ．不含 60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形分析sin(A － B) ＝ 1＋ 2cos(B ＋ C)sin(A ＋ C)＝ 1－ 2cosAsinB ，∴ sinAcosB － cosAsinB ＝ 1－ 2cosA ·sinB ，∴ sinAcosB ＋ cosAsinB ＝1，即 sin(A ＋ B) ＝1，π则有 A ＋ B ＝ 2，故三角形为直角三角形．答案 Dc －b＝6．(2014 东·北三省二模 )已知△ ABC 的内角 A ，B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ，且 c －asinA，则 B ＝()sinC ＋ sinBππ A. 6B.4π 3πC.3D. 4分析由 sinA ＝ a， sinB ＝ b ， sinC ＝ c，代入整理得2R 2R 2Rc － b＝ a? c 2－ b 2＝ ac － a 2，c － a c ＋b2221 π所以 a ＋ c － b ＝ ac ，即 cosB ＝2，所以 B ＝ 3，故答案为 C.答案C 二、填空题7．设θ为第二象限角，若 tan θ＋π＝1，则 sinθ＋cosθ＝ ________.42分析tanθ＋π＝1＋ tanθ1，解得 tanθ＝－1，又θ为第二象限角，得 sinθ＝10，cosθ4＝1－ tanθ2310＝－3 10，所以 sinθ＋ cosθ＝－1010 5.答案－1051 8．(2014 天·津卷 ) 在△ ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 b－ c＝4a,2sinB＝3sinC，则 cosA 的值为 ________．分析由正弦定理获得边b， c 的关系，代入余弦定理的变式求解即可．由 2sinB＝ 3sinC 及正弦定理得2b＝ 3c，即 b＝3 c. 2111a，即 a＝ 2c.又 b－c＝a，∴ c＝4422229222324c ＋ c－4c－ c1由余弦定理得 cosA＝b ＋ c － a42bc＝32＝3c2＝－4.2× c21答案－49． (2014 四·川卷 )如图，从气球 A 上测得正前面的河流的两岸B，C 的俯角分别为 67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于 ________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参照数据：sin67 °≈ 0.，92cos67°≈ 0.39，sin37 °≈ 0.，60cos37°≈ 0.80， 3≈1.73)分析依据图中给出的数据结构适合的三角形求解．依据已知的图形可得AB＝46.在△ ABC 中，∠ BCA＝30°，∠ BAC＝ 37°，由正弦定理，sin67 °得AB＝BC46sin30，所以 BC≈2×＝60(m)．° sin37°0.92×0.60答案 60三、解答题π ， x ∈R ，且 f 5310． (2014 广·东卷 )已知函数 f(x)＝Asin x ＋ 4 12π＝2.(1)求 A 的值；3 π ，求 f 3(2)若 f(θ)＋f(－ θ)＝2， θ∈ 0， 2 4π－ θ .5π ＝ Asin 5π π 2π解 (1)f 12 ＋＝ Asin ＝3，12 4 3 2∴ A ＝ 3·2＝ 3. 2 3π(2)由 (1)得： f(x)＝ 3sin x ＋ 4 ，ππ∴ f(θ)＋ f(－θ)＝ 3sin θ＋ 4 ＋ 3sin － θ＋ 4π π＝ 3 sin θcos 4 ＋ cos θsin4 ＋3 － θ π － θ π＋ 44 ＝ 2 π 33cos θsin ＝ 6cos θ＝ 246π10∴ cos θ＝ 4 ，又∵ θ∈ 0， 2 ，∴ sin θ＝4.3π 3π π10 30∴ f 4 － θ＝ 3sin 4 － θ＋ 4 ＝ 3sin( π－ θ)＝ 3sin θ＝ 3× 4 ＝ 4.11．(2014 辽·宁卷 )在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为→ → a ，b ，c ，且 a>c.已知 BA ·BC＝ 2， cosB ＝13， b ＝ 3.求：(1)a 和 c 的值；(2)cos(B － C) 的值．→ →解(1)由 BA ·BC ＝ 2，得 c ·acosB ＝ 2，又 cosB ＝ 13，所以 ac ＝ 6.由余弦定理，得 a 2＋ c 2＝ b 2＋ 2accosB.又 b ＝3，所以 a 2＋ c 2＝9＋ 2×2＝ 13.解ac ＝ 6 ，得 a ＝ 2，c ＝ 3 或 a ＝3， c ＝ 2.a 2＋ c 2＝13因 a>c ，所以 a ＝ 3， c ＝ 2.2122 2(2)在△ ABC 中， sinB ＝1－ cos B ＝1－ 3 ＝ 3 ，c 222 42 由正弦定理，得 sinC ＝ b sinB ＝3· 3 ＝ 9 .因 a ＝b>c ，所以C 为锐角，所以 cosC ＝ 1－ sin 2C ＝1－4 2 2 7 ＝ .99于是 cos(B － C)＝ cosBcosC ＋sinBsinC 1 7 2 2 4 2 ＝23.＝ ·＋ 3 · 9 273 9B 级 —— 能力提升组1． (2014 ·庆卷重 )已知△ ABC 的内角 A ， B ， C 知足 sin2A ＋ sin(A － B ＋C)＝ sin(C － A －1B)＋ 2，面积S 知足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C所对的边，则以下不等式必定建立的是 ()A ． bc(b ＋ c)>8C ． 6≤abc ≤ 12B ．ab(a ＋ b)>16 2D ． 12≤abc ≤ 24分析由 sin2A ＋ sin(A －B ＋ C) ＝ sin(C － A － B) ＋1，2得 sin2A ＋ sin[ A － ( B － C)] ＋ sin[A ＋ (B －C)] ＝12，1所以 sin2A ＋ 2sinAcos(B －C)＝ 2.所以 2sinA[cosA ＋ cos(B －C)] ＝12，1所以 2sinA[cos( π－ (B ＋ C)＋ cos(B － C)] ＝，所以 2sinA[ －cos(B ＋ C)＋cos(B － C)] ＝12，1即得 sinAsinBsinC ＝ .依据三角形面积公式1S ＝ absinC ，①21S ＝2acsinB ，②1S ＝2bcsinA ，③因为 1≤S ≤2，所以1≤S 3≤8将.①②③式相乘得 1≤S 3＝ 1a 2b 2c 2sinAsinBsinC ≤8，即864≤a 2b 2c 2≤ 512，所以 8≤abc ≤ 16 2，故清除 C ，D 选项，而依据三角形两边之和大于第三边，故 b ＋ c>a ，得 bc(b ＋ c)>8 必定建立，而 a ＋b>c ， ab(a ＋ b)也大于8，而不必定大于 162，应选 A.答案A2． (2014 ·标全国卷Ⅰ课 )已知 a，b， c 分别为△ ABC 三个内角 A， B，C 的对边， a＝ 2，且 (2＋ b)(sinA－ sinB)＝ (c－b)sinC，则△ ABC 面积的最大值为 ________．分析由正弦定理，可得(2＋ b)( a－ b)＝ (c－ b) ·c.∵a＝2，∴ a2－ b2＝ c2－ bc，即 b2＋ c2－ a2＝ bc.222b ＋c － a1∴ sinA＝32222＝ 4＋ bc.2.由 b ＋ c－bc＝ 4，得 b ＋ c∵b2＋ c2≥2bc，即 4＋ bc≥2bc，∴ bc≤ 4.1∴ S△ABC＝2bc·sinA≤ 3，即 (S△ABC )max＝ 3.答案32B＋C 3．(2014 ·北唐山统考河 )在锐角△ ABC 中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，且 4sin－cos2A＝7 . 2(1)求角 A 的大小；(2)若 BC 边上高为1，求△ ABC 面积的最小值．解 (1)由于 A＋ B＋ C＝π，所以 sin B＋C＝ sinπ－A＝ cosA，222所以由已知得4cos 2A－ cos2A＝7，2227变形得 2(1＋ cosA)－ (2cos A－1)＝，21整理得 (2cosA－ 1) ＝ 0，解得 cosA＝ .由于 A 是三角形的内角，所以πA＝ .3(2)△ ABC 的面积 S＝1bcsinA＝1×1×1×3＝3.2 2 sinC sinB24sinBsinC设 y＝4sinBsinC，则 y＝4sinBsin 2π＝23sinBcosB＋ 2sin2π＋ 1.－ B B＝ 3sin2B＋ 1－cos2B＝ 2sin 2B－63π2ππ由于 0<B<2，0< 3－ B<2，ππππ 5π所以 <B< ，进而<2B－<，62666π π π 3 故当 2B － 6＝ 2，即 B ＝3时， S 的最小值为 3 .。

新高考数学状元之路二轮复习专题知识突破训练(9)(含答案解析)

高考专题训练 (九)等差数列、等比数列A级——基础稳固组一、选择题1．(2014 ·东青岛二模山)数列 { a n} 为等差数列， a1， a2， a3成等比数列， a5＝ 1，则 a10＝()A． 5B．－ 1C． 0D． 1a1＋d2＝ a1a1＋ 2d，a1＝ 1，分析设公差为d，由已知得解得所以 a10＝a1＋ 4d＝ 1，d＝0，a1＋ 9d＝ 1，应选 D答案D2． (2014 ·北邯郸二模河)在等差数列 { a n} 中， 3(a3＋ a5)＋2(a7＋a10＋ a13)＝ 24，则该数列前 13 项的和是 ()A． 13 B ．26C． 52D． 156分析∵ a3＋ a5＝ 2a4， a7＋a10＋ a13＝ 3a10，∴6a4＋6a10＝ 24，即 a4＋ a10＝ 4，∴ S13＝a1＋ a13＝a4＋ a10＝26. 22答案B3． (2014 河·北唐山一模 )已知等比数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 a1＋ a3＝5， a2＋a4＝5，24则S n＝ ()a nA．4n－ 1 B ．4n－ 1 C． 2n－1D． 2n－ 15a1＋ a3＝，分析∵5a2＋ a4＝4，25a1＋ a1q ＝2，①∴35a1q＋ a1q ＝，②2由①除以②可得1＋ q3＝2，解得 q ＝1，q ＋ q2代入①得 a 1＝ 2，∴ a n ＝ 2× 1 n－1＝4n ，221 n2×1－ 21∴ S n ＝＝ 4 1－ n ，1－ 122411－ n∴ S n＝2 ＝ 2n－ 1，选 D.a n42n答案 D4． (2014 ·建福州一模福 )记等比数列 { a n } 的前 n 项积为Ⅱ n ，若 a 4·a 5＝2，则Ⅱ 8＝ () A ． 256B ．81C ． 16D ． 1分析由题意可知 a 4a 5＝ a 1a 8＝ a 2a 7＝ a 3a 6＝ 2，则Ⅱ 8＝a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8＝(a 4 a 5)4＝ 24＝ 16. 答案C5． (2014 ·宁卷辽 )设等差数列 { a n } 的公差为 d ，若数列 {2 a 1a n } 为递减数列，则()A ． d<0C ． a 1d<0分析依题意得B ．d>0D ． a 1d>02a 1a n >2 a 1a n ＋ 1，即 (2a 1 )a n ＋ 1－ a n <1，进而2a 1d<1，所以a 1d<0，应选 C.答案C6．(2014·川七中二模四 )正项等比数列{ a n } 知足： a 3＝ a 2＋ 2a 1，若存在a m ，a n ，使得 a m a n＝ 16a 21，则 1 ＋4的最小值为 m n()25 A. 613 B. 47 C.33 D.2分析由 a 3＝ a 2＋ 2a 1，得 q 2＝ q ＋ 2，∴ q ＝ 2(q ＝－ 1 舍去 )，2m －1 n －1由 a m a n ＝ 16a 1得 2 2 ＝ 16， ∵ m ＋ n －2＝ 4， m ＋ n ＝ 6，所以 1 ＋ 4＝ m ＋ n 1＋ 4m n 6 m n＝11＋ 4＋n＋4m 6m n15＋ 2n 4m3≥·＝ .6m n2答案D二、填空题7．(2014 ·徽卷安 )数列 { a n} 是等差数列，若 a1＋1，a3＋ 3，a5＋ 5 组成公比为q 的等比数列，则 q＝________.分析设等差数列的公差为d，则 a3＝ a1＋ 2d， a5＝a1＋ 4d，∴(a1＋ 2d＋3) 2＝ (a1＋ 1)(a1＋ 4d＋5)，解得 d＝－ 1.a3＋3 a1－2＋3∴q＝a1＋ 1＝a1＋ 1＝1.答案18． (2014 河·北衡水中学二模)在等比数列 { a n} 中，若 a7＋ a8＋ a9＋ a10＝15， a8·a9＝－9，88则1＋1＋1＋1＝________.a7 a8a9 a10分析∵1＋1＝a7＋ a101＋1＝a8＋ a9，，a8a9a7 a10a7a10a8 a9而 a8a9＝ a7a10，15∴1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＝ a7＋a8＋a9＋a10＝ 8 ＝－ 5.a7 a8 a9 a10a7a10－9 38答案－539．已知 { a n} 是等比数列， a2＝ 2，a5＝1，则 S n＝ a1＋ a2＋＋ a n的取值范围是 ________．4分析因为 { a n} 是等比数列，n－1所以可设 a n＝ a1q .因为所以所以因为a ＝ 2， a ＝1，254a1q＝ 2，a1＝4，a1q4＝1，解得q＝1.424 1－1 n2 1 nS n＝ a1＋ a2＋＋ a n＝1＝8－ 8×2 .1－20<1n1，所以 4≤S2≤n<8.2答案[4,8)三、解答题n，a ＝1，a＋＝ λS－ 1， 10．(2014 课·标全国卷Ⅰ n1≠0，)已知数列 { a } 的前 n 项和为 Sa此中 λ为常数．(1)证明： a n ＋ 2－ a n ＝ λ；(2)能否存在 λ，使得 { a n } 为等差数列？并说明原因．解 (1)由题设， a ＋＝λS－ 1， a＋＋＝ λS － 1.1n＋1n a n n 1a n 2n两式相减得 a n ＋1(a n ＋2－ a n )＝ λa n ＋ 1.因为 a n ＋ 1≠0，所以 a n ＋ 2－ a n ＝ λ.(2)由题设，a ＝ 1， a a ＝ λS－ 1，可得1121a ＝ λ－ 1.2由 (1)知， a 3＝ λ＋ 1.令 2a 2 ＝a 1 ＋a 3，解得 λ＝ 4. 故 a n ＋ 2－ a n ＝ 4，由此可得{ a 2n － 1} 是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a 2n － 1＝ 4n － 3；{ a 2n } 是首项为 3，公差为 4 的等差数列， a 2n ＝ 4n － 1.所以 a n ＝ 2n － 1，a n ＋ 1－ a n ＝ 2.所以存在 λ＝4，使得数列 { a n } 为等差数列．11． (2014 ·东菏泽一模山 )已知数列 { a n } ， a 1＝－ 5， a 2＝－ 2，记 A(n)＝ a 1＋ a 2 ＋＋ a n ，B(n)＝ a 2＋ a 3＋＋ a n ＋ 1， C(n)＝ a 3＋ a 4＋＋ a n ＋2(n ∈ N * )，若关于随意 n ∈ N * ， A( n)，B(n)，C(n)成等差数列．(1)求数列 { a n } 的通项公式；(2)求数列 {| a n |} 的前 n 项和．解 (1)依据题意 A(n)，B(n)， C(n)成等差数列，∴ A( n)＋C(n)＝ 2B(n)，整理得 a n ＋ 2－ a n ＋ 1＝ a 2－ a 1＝－ 2＋ 5＝ 3.∴数列 { a n } 是首项为－ 5，公差为 3 的等差数列，∴ a n ＝－ 5＋ 3(n － 1)＝ 3n － 8.－ 3n ＋8， n ≤2，(2)|a n |＝3n － 8， n ≥3，记数列 {| a n |}的前 n 项和为 S n .当 n ≤2时， S n ＝n＋ 8－3n＝－ 3n 2 ＋ 13 n ；2 2 2n －＋3n － 2当 n ≥3时， S n ＝7＋3n － 13 n ＋ 14；2 ＝2 23213－2n ＋2 n ， n ≤2，综上， S n ＝3213 2n －2 n ＋ 14， n ≥ 3.B 级 —— 能力提升组a 11 a 12a 131． (2014 九·江市七校联考 )已知数阵 a 21 a 22a 23 中，每行的 3 个数挨次成等差数列，a 31a32a33每列的 3 个数也挨次成等差数列，若a 22＝ 2，则这 9 个数的和为 ()A ． 16B ．18C ． 9D ． 8a 11 a 12 a13分析已知数阵 a 21 a 22 a 23 中，每行的 3 个数挨次成等差数列，每列的3 个数也依a 31 a 32a 33次成等差数列，若 a 22＝ 2，由等差数列的性质得： a 11＋a 12＋ a 13＋ a 21＋ a 22＋ a 23＋ a 31＋ a 32＋a 33＝ 9a 22＝ 18.答案 B2． (2014 江·苏南京一模 )已知等比数列 { a n } 的首项为 4，公比为－ 1，其前 n 项和为 S n ，3 3若 A ≤S n － 1≤B 对 n ∈ N *恒建立，则 B － A 的最小值为________． S n分析易得 S n ＝ 1－－ 1 n ∈ 8 ，1∪1，4 ，而 y ＝ S n－ 1 在 8 ， 4上单一递加，所以 y 3 9393S n 177717 59 ∈ － 72，12 ? [A ，B]，所以 B － A 的最小值为12－－72 ＝ 72.答案59723．(2014 ·东淄博一模山 )若数列 { A n } 知足 A n ＋1＝ A n 2，则称数列 { A n } 为 “平方递推数列 ”．已知数列 { a n } 中， a 1＝9，点 (a n ， a n ＋ 1 )在函数 f(x)＝ x 2＋2x 的图象上，此中n 为正整数．(1)证明数列 { a n ＋ 1} 是 “平方递推数列 ”，且数列 {lg( a n ＋ 1)} 为等比数列；(2)设 (1)中 “平方递推数列 ”的前 n 项积为 T n ，即 T n ＝ (a 1 ＋ 1)(a 2＋ 1) (a n ＋ 1)，求 lg T n ；(3)在 (2)的条件下，记 b n ＝lgT n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 S n ，并求使 S n >4 026 的a n ＋n 的最小值．解 (1)由题意得： a n ＋ 1＝ a 2n ＋ 2a n ，即 a n ＋ 1＋ 1＝ (a n ＋ 1)2，则 { a n ＋ 1} 是“平方递推数列 ”．对 a n ＋ 1＋ 1＝ (a n ＋ 1)2 两边取对数得lg( a n ＋ 1＋ 1)＝ 2lg( a n ＋ 1)，所以数列 {lg( a n＋ 1)} 是以 lg( a1＋ 1) 为首项， 2 为公比的等比数列．(2)由 (1)知 lg( a n＋ 1)＝lg( a1＋ 1) ·2n－1＝ 2n－1－ 2n lgT n＝ lg(a1＋ 1)(a2＋ 1) (a n＋ 1)＝ lg( a1＋ 1)＋ lg( a2＋ 1) ＋＋lg(a n＋1)＝＝1－ 22n－ 1lgT n2n－ 1 1－(3)b n＝＝n－ 1 ＝2－n 1a n＋2lg21S n＝ 2n－1－2n1＝ 2n－2＋n－1121－211又 S n>4 026，即 2n－ 2＋2n－1>4 026 ，n＋2n>2 0141又 0< 2n<1，所以 n min＝ 2 014.。

状元之路2015版高考数学二轮复习函数与导数解答题专题训练(含解析)

【状元之路】2015版高考数学二轮复习函数与导数解答题专题训练（含解析）1．(2014·皖南八校联考)已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)，其中a >0.(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线与直线x ＋e 2y －1＝0垂直，求实数a 的值； (2)讨论f (x )的单调性．解 f ′(x )＝e x[ax 2＋(2a －2)x ](a >0)． (1)由题意得f ′(2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2＝－1，解得a ＝58. (2)令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2－2aa.①当0<a <1时，f (x )的增区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2－2a a ；②当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；③当a >1时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a ，(0，＋∞)，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0.2．(2014·云南二模)已知f (x )＝e x (x 3＋mx 2－2x ＋2)． (1)假设m ＝－2，求f (x )的极大值与极小值；(2)是否存在实数m ，使f (x )在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求实数m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 (1)当m ＝－2时，f (x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)的定义域为(－∞，＋∞)． ∵f ′(x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)＋e x (3x 2－4x －2) ＝x e x(x 2＋x －6)＝(x ＋3)x (x －2)e x，∴当x ∈(－∞，－3)或x ∈(0,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(－3,0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0；f ′(－3)＝f ′(0)＝f ′(2)＝0，∴f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴当x ＝－3或x ＝2时，f (x )取得极小值；当x ＝0时，f (x )取得极大值，∴f (x )极小值＝f (－3)＝－37e －3，f (x )极小值＝f (2)＝－2e 2，f (x )极大值＝f (0)＝2. (2)f ′(x )＝e x(x 3＋mx 2－2x ＋2)＋e x (3x 2＋2mx －2)＝x e x [x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2]． ∵f (x )在[－2，－1]上单调递增， ∴当x ∈[－2，－1]时，f ′(x )≥0. 又当x ∈[－2，－1]时，x e x<0，∴当x ∈[－2，－1]时，x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2 2－2 m ＋3 ＋2m －2≤0，－1 2－ m ＋3 ＋2m －2≤0，解得m ≤4，∴当m ∈(－∞，4]时，f (x )在[－2，－1]上单调递增． 3．(文)(2014·山西四校联考)已知函数f (x )＝ax 2＋x －x ln x . (1)若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；(2)若f (1)＝2，且在定义域内f (x )≥bx 2＋2x 恒成立，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x －x ln x ，函数定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝－ln x ，由－ln x ＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上是增函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上是减函数． (2)由f (1)＝2，得a ＋1＝2， ∴a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x －x ln x ，由f (x )≥bx 2＋2x ，得(1－b )x －1≥ln x . ∵x >0，∴b ≤1－1x －ln xx恒成立．令g (x )＝1－1x －ln x x ，可得g ′(x )＝ln xx2，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝0，∴b 的取值范围是(－∞，0]． 3．(理)(文)4.(2014·广州调研)已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线6x ＋y ＋1＝0平行．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在t ∈N *，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(t ，t ＋1)内有两个不相等的实数根？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．解 (1)∵f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，∴可设f (x )＝ax (x －5)，a >0. ∴f ′(x )＝2ax －5a .∵函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线6x ＋y ＋1＝0平行， ∴f ′(1)＝－6.∴2a －5a ＝－6，解得a ＝2. ∴f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x .(2)由(1)知，方程f (x )＋37x＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0.设h (x )＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x )＝6x 2－20x ＝2x (3x －10)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103时，h ′(x )<0，函数h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫103，＋∞时，h ′(x )>0，函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增．∵h (3)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫103＝－127<0，h (4)＝5>0，∴方程h (x )＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，⎝ ⎛⎭⎪⎫103，4内各有一个实数根，在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根．∴存在唯一的正整数t ＝3，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(t ，t ＋1)内有且只有两个不相等的实数根．4．(理)(文)5.(2014·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：对任意的t >0，存在唯一的实数m 使t ＝f (m )；(3)设(2)中所确定的m 关于t 的函数为m ＝g (t )，证明：当t >e 时，有710<ln g tln t <1.解 (1)∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增． (2)当0<x ≤1时，f (x )≤0，又t >0，令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)，由(1)知h (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，h (1)＝－t <0，h (e t )＝t (e t －1)>0，∴存在唯一的实数m ，使t ＝f (m )成立． (3)∵m ＝g (t )且由(2)知t ＝f (m )，t >0，当t >e 时，若m ＝g (t )≤e，则由f (m )的单调性有t ＝f (m )≤f (e)＝e ，矛盾， ∴m >e.又ln g t ln t ＝ln m ln f m ＝ln m ln m ln m ＝ln m ln m ＋ln ln m ＝u u ＋ln u ，其中u ＝ln m ，u >1，要使710<ln g t ln t <1成立，只需0<ln u <37u .令F (u )＝ln u －37u ，u >1，F ′(u )＝1u －37，当10，F (u )单调递增；当u >73时，F ′(u )<0，F (u )单调递减．∴对u >1，F (u )≤F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73<0，即ln u <37u 成立．综上，当t >e 时，710<ln g tln t<1成立．5．(理)(2014·浙江考试院抽测)已知a 为给定的正实数，m 为实数，函数f (x )＝ax 3－3(m ＋a )x 2＋12mx ＋1.(1)若f (x )在(0,3)上无极值点，求m 的值；(2)若存在x 0∈(0,3)，使得f (x 0)是f (x )在[0,3]上的最值，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2－6(m ＋a )x ＋12m ＝3(x －2)(ax －2m )，由于f (x )在(0,3)上无极值点，故2ma＝2，所以m ＝a .(2)由于f ′(x )＝3(x －2)(ax －2m )，故 ①当2m a ≤0或2ma≥3，即m ≤0或m ≥32a 时，取x 0＝2即满足题意．此时m ≤0或m ≥32a .②当0<2ma<2，即0<m <a 时，列表如下：故f (2)≤f (0)或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≥f (3)，即－4a ＋12m ＋1≤1或－4m 3＋12m 2aa2＋1≥9m ＋1，即3m ≤a 或－m 2m －3a 2a2≥0，即m ≤a 3或m ≤0或m ＝3a 2.此时0＜m ≤a3.③当2<2m a <3，即a <m <3a2时，列表如下：故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a≤f (0)或f (2)≥f (3)，即－4m 3＋12m 2a a2＋1≤1或－4a ＋12m ＋1≥9m ＋1，即－4m 2m －3a a2≤0或3m ≥4a ，即m ＝0或m ≥3a 或m ≥4a 3.此时4a 3≤m ＜3a 2.综上所述，实数m 的取值范围是m ≤a 3或m ≥4a 3.。

【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷高频考点训练9

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练9一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·江西卷)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析由x,3x ＋3, 6x ＋6，…为等比数列，得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1，而x ＝－1时3x ＋3＝0不合题意，故舍去，知此数列为首项为－3，公比为2的等比数列，第四项为(－3)×23＝－24，选A.答案 A2．(2013·福建泉州质检)若数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 7＝4，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A.272B ．18C ．27D ．36解析 S 9＝9a 1＋a 92＝9a 3＋a 72＝9×42＝18.答案 B3．(2013·黑龙江哈尔滨六校联考)已知各项为正数的等差数列{a n }的前20项和为100，那么a 7a 14的最大值为( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在解析因为{a n }为各项为正数的等差数列，且前20项和为100，所以20a 1＋a 202＝100，即a 1＋a 20＝10，所以a 7＋a 14＝10.又因为a 7·a 11≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7＋a 1422＝25，当且仅当a 7＝a 14时“＝”成立．答案 A4．等比数列{a n }中，a 4a 5＝1，a 8a 9＝16，则a 6a 7等于( ) A ．16 B ．±4 C ．－4D ．4解析设等比数列{a n }的公比为q .则a 8a 9a 4a 5＝a 4q 4·a 5q 4a 4·a 5＝q 8＝16.∴a 6a 7a 4a 5＝a 4q 2·a 5q 2a 4·a 5＝q 4＝4，∴a 6a 7＝4. 答案 D5．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n－1)2B.12(9n－1) C ．9n －1D.14(3n－1) 解析由a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n－1① 得：a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)．②①－②得：a n ＝3n－3n －1＝2·3n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，a 1＝2也适合上式， ∴a n ＝2·3n －1，∴a 2n ＝4·9n －1.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(90＋91＋…＋9n －1)＝4·1－9n1－9＝12(9n－1)．答案 B6．(2013·福建卷)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( ) A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 解析 c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m ＝a 1q m (n －1)·a 1qm (n －1)＋1·…·a 1qm (n －1)＋m －1＝a m 1qm (n －1)＋m (n －1)＋1＋…＋m (n －1)＋m －1＝a m 1qm 2(n －1)＋m －11＋m －12＝a m 1qm 2(n －1)＋m m －12 所以c n ＋1＝a m1qm 2n ＋m m －12，所以c n ＋1c n＝qm 2，所以数列{c n }为等比数列，公比为qm 2. 答案 C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·北京卷)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解析由a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，得q ＝2，又a 2＋a 4＝a 1(q ＋q 3)＝20，∴a 1＝2，∴S n ＝a 11－q n 1－q＝2n ＋1－2.答案 2 2n ＋1－28．等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝12，a 3＋a 4＝1，则a 7＋a 8的值为______．解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 3＋a 4＝a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)q 2＝12q 2＝1.∴q 2＝2，∴a 7＋a 8＝a 3·q 4＋a 4q 4＝q 4(a 3＋a 4)＝4. 答案 49．(2013·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析 {a n }等差数列，由S 10＝0，得a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0；由S 15＝15a 8＝25，得a 8＝53，即a 1＋7d ＝53，解得a 1＝－3，d ＝23，此时nS n ＝n 33－10n 23，令f (x )＝x 33－10x 23，令f ′(x )＝x 2－203x ＝0，得x ＝203；f (x )在x ＝203处取极小值，故检验n ＝6时，6S 6＝－48；n ＝7时7S 7＝－49.答案－49三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)(2013·全国大纲卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.11．(本小题10分)(2013·陕西卷)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 11－q n 1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0. ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．12．(本小题10分)(2013·广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S nn＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.解 (1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2. (3)当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n ＝1n 2<1n －1n ＝1n －1－1n，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74. 综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.。

【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷专题综合测试6

专题六综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·湖北卷)在复平面内，复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 z ＝2i 1＋i ＝2i 1－i 1＋i 1－i ＝1＋i ，从而z －＝1－i 对应点为(1，－1)位于第四象限．答案 D2．(理)(2013·广东卷)已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望A.32 B ．2 C.52D ．3解析 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32，故选A.答案 A2．(文)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012解析由题意知抽样比为1296，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有1296＝101N，解得N ＝808.答案 B3．如图所示，给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 的值．若要使输入的x 的值与输出的y 的值相等，则这样的x 的值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x >5的函数值．①当x ≤2时，令x 2＝x ，解得x ＝0或1； ②当2<x ≤5时，令2x －3＝x ，解得x ＝3； ③当x >5时，令1x＝x ，解得x ＝±1(舍去)，故有三个值符合题意，故选C. 答案 C 4.(2013·重庆卷)右面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8D ．8,8解析由中位数的定义易知x ＝5，又由15[9＋15＋(10＋y )＋18＋24]＝16.8，得y ＝8.答案 C5．(2013·福建卷)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A ．588B ．480C ．450D ．120解析由图可知40～60所占频率为0.005×10＋0.015×10＝0.2.所以成绩不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480.答案 B6．(理)(2013·福建卷)满足a ，b ∈{－1,0,1,2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．10解析当a ＝0时，b 可能为－1或0或1或2；当a ≠0时二次方程满足Δ＝4－4ab ≥0，即ab ≤1.a ＝－1时，b 可能为－1或0或1或2，a ＝1时，b 可能－1或0或1；a ＝2时，b 可能为－1或0，所以有序数对(a ，b )的个数为4＋4＋3＋2＝13.答案 B6．(文)右图是2012年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有( )A ．a 1>a 2B ．a 2>a 1C ．a 1＝a 2D ．a 1，a 2大小与m 的值有关解析去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a 2>a 1.答案 B7．(理)(2013·陕西卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15解析 x >0时，f (x )＝－x <0，故f (f (x ))＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 6，其展开式的通项为T r ＋1＝C r6(－1)r xr －3，令r －3＝0得常数项为r ＝3时，T 4＝C 36(－1)3＝－20，故选A.答案 A7．(文)一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A.35B.310C.12D.625解析设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.答案 B8．(2013·浙江卷)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7解析第一次循环，S ＝1＋11×2＝32，k ＝2；第二次循环，S ＝32＋12×3＝53，k ＝3；第三次循环，S ＝53＋13×4＝74，k ＝4；第四次循环，S ＝74＋14×5＝95，k ＝5；终止循环，所以a ＝4.答案 A9．(2013·安徽卷)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数解析若分层抽样，则男生，女生分别抽6人，4人，故A 错误，由题目也看不出系统抽样的过程，故不选B ，抽取的5名男生平均成绩为90，方差为8，抽取的5名女生，平均成绩为91，方差为6，故C 正确．全班男生平均成绩与全班女生的平均成绩大小关系不确定，故D 错，所以选C.答案 C10．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )A ．30%B ．10%C ．3%D ．不能确定解析由图1得到小波一星期的总开支，由图2得到小波一星期的食品开支，从而再借助图2计算出鸡蛋开支占总开支的百分比．由图2知，小波一星期的食品开支为30＋40＋100＋80＋50＝300元，由图1知，小波一星期的总开支为30030%＝1 000元，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为301 000×100%＝3%. 答案 C11．(理)在全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x 轴正方向移动的概率是23，沿y 轴正方向移动的概率为13，则该智能汽车移动6次恰好移动到点(3,3)的概率为( )A.160729 B.161729 C.163729D.165729解析若该智能汽车移动6次恰好到点(3,3)，则机器人在移动过程中沿x 轴正方向移动3次、沿y 轴正方向移动3次，因此智能汽车移动6次后恰好位于点(3,3)的概率为P ＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝20×8729＝160729.答案 A11．(文)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解析根据众数、中位数、平均数、标准差的概念求解．对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．答案 D12．(理)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，(a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其它得分的情况)，则ab 的最大值为( )A.148 B.124C.112D.16解析由已知得3a ＋2b ＋0×c ＝1，即3a ＋2b ＝1，∴ab ＝16·3a ·2b ≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b 22＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝124，当且仅当3a ＝2b ＝12时取等号，即ab 的最大值为124.答案 B12．(文)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 解析根据线性回归方程中各系数的意义求解．由于线性回归方程中x 的系数为0.85，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确．又线性回归方程必过样本点中心(x －，y －)，因此B 正确．由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1 cm ，其体重约增加0.85 kg ，故C 正确．当某女生的身高为170 cm 时，其体重估计值是58.79 kg ，而不是具体值，因此D 不正确．答案 D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上． 13．(理)(2013·天津卷)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．解析 T r ＋1＝C r 6x 6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 6(－1)r x 6－32r ，当r ＝4时，6－32r ＝0，所以常数项是C 46(－1)4＝15.答案 1513．(文)一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．解析依题意，女运动员有98－56＝42(人)．设应抽取女运动员x 人，根据分层抽样特点，得x 42＝2898，解得x ＝12.答案 1214．(理)(2013·全国卷Ⅱ)从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________.解析 n 个整数中任取2个得基本事件总个数为C 2n ，而和为5的取法只有1,4和2,3两种，由古典概型得P ＝2C 2n ＝114，解得n ＝8.答案 814．(文)某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图)．为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500,3 000)(元)段应抽出________人．解析依频率分布直方图可知：月收入在[2 500，3 000)(元)段应抽出0.000 5×500×10 000100＝25(人)．答案 2515．(理)(2013·湖北黄石一模)将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设N i (i ＝1,2,3)表示第i 行中最大的数，则满足N 1<N 2<N 3的所有排列的种数是________．(用数字作答)解析由已知得数字6一定在第三行，第三行的排法种数为A 13A 25＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为A 12A 12＝4，由分步计数原理知满足条件的排列种数是240.答案 24015．(文)如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．(注：方差s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x －为x 1，x 2，…，x n 的平均数)解析从茎叶图中求出运动员在5次比赛中的分数．依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋10＋13＋155＝11.由方差公式得s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.答案 6.816．(理)(2013·福建卷)当x ∈R ，|x |<1时，有如下表达式： 1＋x ＋x 2＋…＋x n＋…＝11－x.从而得到如下等式：1×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋1n ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋…＝ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C 0n ×12＋12C 1n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋13C 2n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋1n ＋1C n n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝________. 解析设f(x)＝C 0n x ＋12C 1n x 2＋13C 2n x 3＋…＋1n ＋1C n n x n ＋1，所以f′(x)＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n＝(1＋x)n，答案1n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋1－1 16．(文)(2013·浙江十校联考)袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是910，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．解析因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为110，设白球个数为x ，则黑球个数为5－x ，那么可知白球有3个，黑球有2个，因此可知从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为310.答案310三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)(理)(2013·广东卷)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．解 (1)样本均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4(名)优秀工人．(3)设事件A ：从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则P(A)＝C 14C 18C 212＝1633.17．(本小题10分)(文)从装有编号分别为a ，b 的2个黄球和编号分别为c ，d 的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：(1)第1次摸到黄球的概率； (2)第2次摸到黄球的概率．解 (1)第1次摸球有4个可能的结果：a ，b ，c ，d ，其中第1次摸到黄球的结果包括：a ，b ，故第1次摸到黄球的概率是24＝0.5.(2)先后两次摸球有12种可能的结果是：(a ，b)、(a ，c)、(a ，d)、(b ，a)、(b ，c)、(b ，d)、(c ，a)、(c ，b)、(c ，d)、(d ，a)、(d ，b)、(d ，c)，其中第2次摸到黄球的结果包括：(a ，b)、(b ，a)、(c ，a)、(c ，b)、(d ，a)、(d ，b)，故第2次摸到黄球的概率为612＝0.5.18．(本小题12分)(理)某次有1 000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．(1)下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a ，b 的值；优秀的学生人数；(3)在(2)中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，求两名学生中至少有一名优秀的概率．解 (1)依题意，a ＝0.04×5×1 000＝200，b ＝0.02×5×1 000＝100.(2)设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则x 40＝350＋300＋1001 000，解得：x ＝30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名．(3)记“两名学生中至少有一名优秀的学生”为事件A.所以P(A)＝1－C 210C 240＝1－352＝4952.18.(本小题12分)(文)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率．解从图中可以看出，3个球队共有20名队员．(1)记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件A.所以P(A)＝3＋5＋420＝35.故随机抽取一名队员，只属于一支球队的概率为35.(2)记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件B. 则P(B)＝1－P(B －)＝1－220＝910.故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为910.19．(本小题12分)某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．(相关公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －·y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －) 解 (1)如图：(2) i ＝1nx i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x －＝6＋8＋10＋124＝9，y －＝2＋3＋5＋64＝4.b ^＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7， a ^＝y －－b ^x －＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y ^＝0.7x －2.3.(3)由线性回归方程预测，记忆力为9的同学的判断力约为4.20．(本小题12分)(理)(2013·江西卷)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图所示)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．解 (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：E(X)＝(－2)×14＋(－1)×14＋0×7＋1×7＝－14.20．(本小题12分)(文)(2013·安徽卷)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x －1、x －2，估计x －1－x －2的值．解 (1)设甲校高三年级学生总人数为n.由题意知，30n＝0.05，即n ＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1－530＝56.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x －1′、x －2′，根据样本茎叶图可知， 30(x －1′－x －2′)＝30x －1′－30x －2′＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92 ＝15.因此x －1′－x －2′＝0.5.故x －1－x －2的估计值为0.5分．21．(本小题12分)(理)(2013·北京卷)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 解设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(A i )＝113，且A i ∩A j ＝∅(i≠j)．(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A 5∪A 8. 所以P(B)＝P(A 5∪A 8)＝P(A 5)＋P(A 8)＝213.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0, 1,2，且P(X ＝1)＝P(A 3∪A 6∪A 7∪A 11)＝P(A 3)＋P(A 6)＋P(A 7)＋P(A 11)＝413，P(X ＝2)＝P(A 1∪A 2∪A 12∪A 13)＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 12)＋P(A 13)＝413，P(X ＝0)＝1－P(X ＝1)－P(X ＝2)＝513.所以X 的分布列为故X 的期望E(X)＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．21．(本小题12分)(文)(2013·北京卷)下图是某市3月1日到14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 解 (1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是613.(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．22．(本小题12分)(理)(2013·四川卷)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．解 (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i(i ＝1,2,3)的频率如下：(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P(ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P(ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29，P(ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127，故ξ的分布列为所以，E(ξ)＝0×27＋1×9＋2×9＋3×27＝1.即ξ的数学期望为1.22．(本小题12分)(文)(2013·福建卷)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：⎝ ⎛⎭⎪⎫注：此公式也可以写成K 2＝a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d . 解 (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以得K2＝a＋b c＋d a＋c b＋d＝100×15×25－15×45260×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．21。

18届高考数学二轮复习疯狂专练24模拟训练四理

模拟训练四1．[2017·庄河高级中学]设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，若112i z =-（i 是虚数单位），则2iz 为（） A ．2i -- B ．2i -+ C．12i-+D ．12i --【答案】B【解析】由题意可得：212i z =--，212i 2i i iz --∴==-+．本题选择B 选项． 2．[2017·庄河高级中学]已知集合{}lg 0A x x =≥，{}24xB x =≤，()(){}420C x x x =-+≤，则“x A B ∈”是“x C ∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意可得：{}1A x x =≥，{}2B x x =≤，{}24C x x =-≤≤，则{}12AB x x =≤≤，则“x AB ∈”是“xC ∈”充分不必要条件．本题选择A 选项．3．[2017·庄河高级中学]已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2223x y +-=相切，则双曲线的离心率为（）A B ．13CD 【答案】D【解析】由双曲线的方程可得其渐近线为0bx ay ±=，渐近线与圆相切，则圆心()0,2到直线0bxay +=的距离为=2a c ∴=c e a ==．本题选择D 选项．一、选择题（5分/题）4．[2017·庄河高级中学]已知某次数学考试的成绩服从正态分布()2102,4N ，则114分以上的成绩所占的百分比为（）（附：()0.6826P X μσμσ-<+=≤，(22)0.9544P X μσμσ-<+=≤，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤） A ．0.3% B ．0.23% C ．1.3%D ．0.13%【答案】D【解析】∵数学考试的成绩服从正态分布()2102,4N ，∴102μ=，4σ=，∴390μσ-=，3114μσ+=，∵变量在()3,3μσμσ-+内取值的概率约为09974．，∴成绩在()90,114内的考生所占百分比约为9974%．，∴成绩在114分以上的考生所占的百分比为()19974%2013%÷-=．．，本题选择D 选项． 5．[2017·庄河高级中学]已知平面向量a ，b 夹角为1a =，1b =，2a b -=（）A ．1BC ．2D 【答案】A 【解析】根据条件：111a b ⋅=⨯⨯，∴()222124414a ba ab b -=-⋅+=-⨯+∴21a b -=，故选A ．6．[2017·庄河高级中学]执行如图所示的程序框图，若输入3m =，4n =，则输出a =（）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】程序框图运行如下：首先初始化数值：3m =，4n =，0i =；执行第一次循环：11i i =+=，7a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环；执行第二次循环：12i i =+=，10a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环；执行第三次循环：13i i =+=，13a mi n =+=，此时不满足判断条件，继续循环；执行第四次循环：14i i =+=，16a mi n =+=，此时满足判断条件，跳出循环，输出16a =．本题选D ．7．[2017·庄河高级中学]已知α为第二象限角，sin 410απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则t a n 2α的值为（） A ．12-B ．13C ．2D ．3-【答案】C【解析】由题意可得：)sin sin cos cos sin sin cos 444210αααααπππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，则：1s i n c o s 5αα+=，据此有：22222sincoscos sin 122225sin cos 22αααααα+-=+，222tantan 11225tan 12ααα-+=+，解得：tan22α=或1tan23α=-，α为第二象限角，则tan 02α>，综上可得：tan 2α的值为2．本题选C ．8．[2017·庄河高级中学]已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且575S =，若()1mx -的展开式中2x 项的系数等于数列{}n a 的第三项，则m 的值为（） A ．4 B ．6 C ．5 D ．7【答案】B【解析】由等差数列的求和公式结合性质可得：53575S a ==，315a ∴=，由二项式展开式的通项公式：()()11rrr m r r r m m T C x C x -+=⨯⨯-=-，令2r =可得：215m C =，解得：6m =．本题选择B 选项．9．[2017·庄河高级中学]一个几何体的三视图如图所示，其中正侧视和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形：俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的表面积为（）A ．243π+B ．420π+C ．616π+D ．8 【答案】C【解析】由几何体的三视图得到几何体为组合体，下面是底面为2正方体，的半球，所以几何体的表面积为2212252246162⎡⎤⨯⨯+π⨯-⨯+⨯π⨯=π+⎢⎥⎣⎦．本题选择C 选项．10．[2017·庄河高级中学]已知函数()()sin (0,)2f x x ωϕωϕπ=+><的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()12f x f π⎛⎫⎪⎝⎭≤对x ∈R 恒成立，则ω的最小值为（） A ．2 B ．4C ．10D ．16【答案】B【解析】函数图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，则：1sin 2ϕ=，结合2ϕπ<可得：6ϕπ=，由：()12f x f π⎛⎫⎪⎝⎭≤对x ∈R 恒成立可得：()21262k k ωπππ⨯+=π+∈Z ，解得：()244k k ω=+∈Z ，令0k =可得：min 4ω=．本题选B ．11．[2017·庄河高级中学]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1bc =，2cos 0b c A +=，则当角B 取得最大值时，ABC △的周长为（）A ．3 B．2+ C．2D．3【答案】C【解析】由题意可得：sin 2sin cos 0B C A +=，()sin 2sin cos 0A C C A ++=，sin cos 3cos sin A C A C =-，tan 3tan A C =-，cos 02bA c-=<，tan 0C ∴>，据此可得：()2tan tan 2tan 2tan tan 11tan tan 13tan 3tan tan A C CB AC A C CC C+=-+=-==-++，由均值不等式的结论：213tan tan C C=+，当且仅当tan C =时等号成立，此时角B 取得最大值．据此可知：tan 3B =，tan A =tan 3C =，即ABC △是顶角为120︒的等腰三角形，结合余弦定理可得ABC △的周长为2本题选择C 选项． 12．[2017·庄河高级中学]若对x ∀，y ∈R ，有()()()2f x y f x f y +=+-，则函数()()221xg x f x x =++的最大值与最小值的和为（） A ．4B ．6C ．9D ．12【答案】A【解析】∵函数()y f x =，对任意x ，y ∈R ，都有()()()2f x y f x f y +=+-，∴令0x y ==时，()()()0002f f f =+-，∴()02f =，令y x =-时，()()()02f f x f x =+--，∴()()4f x f x +-=，令()()2h x f x =-，则()()0h x h x +-=，即()h x 为奇函数，奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数，考查函数()21xk x x =+，该函数为奇函数，它的最大值与最小值互为相反数，函数()()()22g x h x g x =++，据此可得：函数()()221xg x f x x =++的最大值与最小值的和为4．本题选A ．13．[2017·庄河高级中学]设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12x f x +=，则14log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭____．【答案】- 【解析】由题意：144log 3log 30=-<，则：()()4log 311444log 3log 3log 32f f f +⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭． 14．[2017·庄河高级中学]设变量,x y 满足约束条件2020(0)x y x y y m m +-⎪⎩-->⎧⎨⎪≥≤≤，则目标函数2z x y =-的最大值为____．【答案】2【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点()2,0处取得最大值：2202z =-⨯=．二、填空题（5分/题）15．[2017·庄河高级中学]设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，5MF =，若y 轴上存在点()0,2A ，使得AM AF ⊥，则p 的值为__________．【答案】2和8【解析】由题意可得：以MF 为直径的圆过点(0)2，，设()M x y ，，由抛物线性质52p MF x =+=，可得52px =-，因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为552222p p -+=，已知圆半径也为52，据此可知该圆与y 轴相切于点(0)2，，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4，即5,42p M ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线方程得210160p p -+=，所以2p =或8p =．16．[2017·庄河高级中学]已知()333e xx f x x x =-+-，()()21g x x a =-++，[]10,2x ∃∈，[]20,2x ∀∈，使得()()12f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】110,e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】原问题等价于()()min min f x g x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦≤，由函数的解析式可得：()()1133e xf x x x ⎛⎫'=-++ ⎪⎝⎭，[]0,2x ∈，1330e xx ∴++>，据此可得：()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,2上单调递增，函数()f x 的最小值为()111e f =-，由二次函数的性质可得函数()g x 的最小值为()29g a =-+，据此可得不等式：119ea --+≤，解得：110ea-≥，即实数a的取值范围是110,e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．。

【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷高频考点训练19

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练19一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1. 又直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0. 答案 A2．(2013²辽宁卷)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a －3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0 D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a＝0解析若A 是直角，则b ＝a 3，B 是直角，BA →²OB →＝0，即b －a 3－1a ＝0；由图知O 不可能是直角，故C 成立．答案 C3．(2013²山东省实验中学诊断性测试)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3C . 3D ．1解析圆心到直线的距离d ＝|－5|32＋42＝1，所以R 2－d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22，即AB 2＝4(R 2－d 2)＝4³(4－1)＝12，所以AB ＝12＝23，选B .答案 B4．(2013²福建龙岩质检)直线x ＋3y －23＝0与圆x 2＋y 2＝4交A ，B 两点，则OA →²OB →＝( )A ．4B ．3C ．2D ．－2解析由⎩⎨⎧x ＋3y －23＝0，x 2＋y 2＝4消去y 得：x 2－3x ＝0，解得x ＝0或x ＝ 3.设A(0,2)，B(3，1)，∴OA →²OB →＝2，选C . 答案 C5．(2013²安徽卷)函数y ＝f(x)的图象如图所示，在区间[a ，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f x 1x 1＝f x 2x 2＝…＝f x n x n，则n 的取值范围是( )A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}解析 f x x ＝f x －0x －0，即点(x ，f(x))与(0,0)连线的斜率，f x 1x 1＝f x 2x 2＝…＝f x n x n是指曲线上存在n 个点与原点连线斜率相等，则n 为过原点的直线与f(x)的图象交点的个数，结合图象可得n 为2,3,4，故选B .答案 B6．(2013²江西卷)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A .33 B ．－33C ．±33D ．－ 3解析 y ＝1－x 2化为x 2＋y 2＝1(y≥0)表示圆心在原点半径为1的圆的上半圆，直线l过(2，0)与曲线y ＝1－x 2交于A ，B 的点，设l 的方程为y ＝k(x －2)，即kx －y －2k ＝0，S △AOB ＝12|OA||OB|²sin ∠AOB＝12sin ∠AOB，即sin ∠AOB＝1时，∠AOB＝π2时，S △AOB有最大值，此时原点O 到直线l 的距离d ＝|OA|²sin 45°＝22，即|2k|1＋k2＝22，解得k ＝±33，由题可知l 的倾斜角为钝角，故k ＝－33，选B . 答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．已知圆C 经过直线2x －y ＋2＝0与坐标轴的两个交点，又经过抛物线y 2＝8x 的焦点，则圆C 的方程为________．解析直线与坐标轴的两交点分别为A(－1,0)，B(0,2)，抛物线的焦点坐标为F(2,0)．再运用待定系数法即可求出圆C 的方程．答案 x 2＋y 2－x －y －2＝08．(2013²江苏镇江5月模拟)已知曲线C ：x 2＋y 2＝9(x≥0，y≥0)与直线x ＋y ＝4相交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1y 2＋x 2y 1的值为________．解析将y ＝4－x 代入x 2＋y 2＝9并整理有2x 2－8x ＋7＝0，解得x 1＝2＋22，x 2＝2－22，从而得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，2－22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22. 故x 1y 2＋x 2y 1＝9. 答案 99．直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P(a ，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析易知△AOB 为等腰直角三角形，且点O 到直线距离为22，可得2a 2＋b 2＝2⇒－2≤b≤2，a 2＋b －12＝2－b22＋b －12≤2＋1.答案2＋1三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)已知两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0. (1)证明此两圆相切；(2)求过点P(2,3)，且与两圆相切于点T(1,0)的圆的方程．解 (1)两圆的方程可分别化为C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，C 1(－2,2)，r 1＝13；C 2：(x －4)2＋(y ＋2)2＝13，C 2(4，－2)，r 2＝13. ∴圆心距|C 1C 2|＝213＝r 1＋r 2，即两圆外切． (2)设所求圆的方程为C 3：(x －a)2＋(y －b)2＝r 23. ∵T(1,0)在C 1，C 2，C 3上，∴圆心(a ，b)在直线lC 1C 2：y ＝－23(x －1)上．∴b ＝－23(a －1)．①又由|C 3P|＝|C 3T|，得(a －2)2＋(b －3)2＝(a －1)2＋b 2.② 由方程①②，解得a ＝－4，b ＝103，∴r 23＝(a －1)2＋b 2＝3259，故所求圆的方程为(x ＋4)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －1032＝3259.11．(本小题10分)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P 满足|PA|＝2|PB|. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM|的最小值．解设P 坐标为(x ，y)，则x ＋32＋y 2＝2x －32＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．则直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，此时|QM|的最小值为32－16＝4.12．(本小题10分)(2013²江苏卷)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3,2)于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋y －32＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤a 2＋2a －32≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；当5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。

高考数学二轮复习钻石卷高频考点训练28

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练28一、填空题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．1．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析将直线l 1，l 2的参数方程分别化为直角坐标方程为：l 1：kx ＋2y －k －4＝0，l 2：2x ＋y －1＝0.若l 1∥l 2，则k ＝4；若l 1⊥l 2，则2k ＋2＝0，即k ＝－1. 答案 4 －12．(2013·江西卷)设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析曲线C 的普通方程为y ＝x 2，又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得ρ2cos 2θ－ρsin θ＝0，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案 ρcos 2θ－sin θ＝03．(2013·北京卷)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．解析极坐标系中点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6对应直角坐标系中坐标(3，1)，极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系直线方程为y ＝2，所以距离为1.答案 14．(2013·广东深圳一模)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ－ρcos θ＝3，则C 1与C 2交点在直角坐标系中的坐标为________．解析将曲线C 1的参数方程和曲线C 2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C 1：y ＝x 2＋1，C 2：y －x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y －x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，故交点坐标为(2,5)．答案 (2,5)5．(2013·广东卷)已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．解析曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，由圆的几何性质知，切线l 与圆心(0,0)与(1,1)的连线垂直，故l 的斜率为－1，从而l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y ＝2化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，化简得ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.答案 ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 26．(2013·天津卷)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.解析极坐标方程和极坐标在直角坐标中，方程为x 2－4x ＋y 2＝0，点P 为(2,23)，所以|CP |＝－2＋－232＝2 3.答案 2 37．(2013·重庆卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析 ρcos θ＝4化为普通方程x ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝t 3化为普通方程y 2＝x 3，联立解得A (4,8)，B (4，－8)，故|AB |＝16.答案 168．(2013·广东揭阳一模)已知曲线C 1：ρ＝22和曲线C 2：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，则C 1上到C 2的距离等于2的点的个数为________．解析将方程ρ＝22与ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2化为直角坐标方程得x 2＋y 2＝(22)2与x－y －2＝0，知C 1为圆心在坐标原点，半径为22的圆，C 2为直线，因圆心到直线x －y －2＝0的距离为2，故满足条件的点的个数为3.答案 39．(2013·湖北卷)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析椭圆的普通方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，l 的直角坐标系方程为x ＋y ＝m .圆的直角坐标系方程为x 2＋y 2＝b 2，椭圆焦点(c,0)在直线上，则c ＝|m |，直线与圆相切，则|m |2＝b ，即c ＝2b ，e ＝c a ＝c b 2＋c2＝63.答案63二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分) (2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程； (2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．11．(本小题10分)(2013·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab2＋1＝2.解得a ＝－1，b ＝2.12．(本小题10分)(2013·辽宁五校协作体联考)已知直线l 是过点P (－1,2)，方向向量为n ＝(－1，3)的直线，圆方程ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3.(1)求直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆相交于M ，N 两点，求|PM |·|PN |的值．解 (1)∵n ＝(－1，3)，∴直线的倾斜角α＝2π3.∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 2π3，y ＝2＋t sin 2π3(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．(2)∵ρ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝cos θ＋3sin θ，∴ρ2＝ρcos θ＋3ρsin θ.∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，将直线的参数方程代入得t 2＋(3＋23)t ＋6＋23＝0. ∴|t 1t 2|＝6＋23，即|PM |·|PN |＝6＋2 3.。

【状元之路】高考数学二轮复习钻石卷高频考点训练18

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练18一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．已知直线l的方向向量为l，直线m的方向向量为m，若l＝αb＋βc(α，β∈R)，m∥a，a⊥b，a⊥c且a≠0，则直线m与直线l( )A．共线B．相交C．垂直D．不共面解析由m∥a且a≠0，可得：m＝t a(t∈R)，所以m·l＝m·(αb＋βc)＝αm·b＋βm·c＝αt a·b＋βt a·c＝0，故m与l垂直，即直线m与直线l垂直．故选C.答案 C2．若不同直线l1， l2的方向向量分别为μ，v，则下列直线l1，l2中既不平行也不垂直的是( )A．μ＝(1,2，－1)，v＝(0,2,4)B．μ＝(3,0，－1)，v＝(0,0, 2)C．μ＝(0, 2，－3)，v＝(0，－2,3)D．μ＝(1,6,0)，v＝(0,0，－4)解析选项A中μ·v＝0＋4－4＝0，∴l1⊥l2；选项C中μ＝－v，∴μ，v共线，故l1∥l2；选项D中，μ·v＝0＋0＋0＝0，∴l1⊥l2，故选B.答案 B3．已知直二面角α－l－β，若A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD等于( )A．2 B. 3C. 2 D．1解析如图所示，∵BD ⊥l ，α⊥β，α∩β＝l ， ∴BD ⊥α，∴BD ⊥AD . ∵AB →＝AC →＋CD →＋DB →，且AC ⊥l ， ∴AB 2＝AC 2＋CD 2＋BD 2. ∴22＝12＋CD 2＋12.∴CD 2＝2，∴CD ＝ 2.故选C. 答案 C4．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析如图所示，取BC 中点E ，连接DE ，AE ，AD ，依题意知，三棱柱为正三棱柱，易得AE ⊥平面BB 1C 1C ，故∠ADE 为AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设各棱长为1，则AE ＝32，DE ＝12， tan ∠ADE ＝AE DE ＝3212＝3，由于∠ADE ∈[0°，90°]． ∴∠ADE ＝60°，故选C.答案 C5．(2013·全国大纲卷)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13解析建立如右图所示坐标系，设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)，D (0,0,0)．设面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0n ·DC 1→＝0代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0y ＋2z ＝0令z ＝1，得n ＝(2，－2,1)，设CD 与面BDC 1所成的角为θ，sin θ＝|n ·DC →||n ||DC →|＝23，选A.答案 A6．过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD .若PA ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析解法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB 与平面PCD 的法向量n 1＝(0,1,0)，n 2＝(0,1,1)，故平面ABP 与平面CDP 所成二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝22，故所求的二面角的大小是45°. 解法二：将其补成正方体．如图(2)，不难发现平面ABP 和平面CDP 所成的二面角就是平面ABQP 和平面CDPQ 所成的二面角，其大小为45°是明显的．答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CC 1中点为E ，则直线AE 与BC 1所成的角的大小为________．解析以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设棱长为2，∴D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (0,2,1)， ∴AE →＝(－2,2,1)，BC 1→＝(－2,0,2)，cos 〈AE →，BC 1→〉＝AE →·BC 1→|AE →||BC 1→|＝63×22＝22，所以直线AE 与BC 1所成角大小为π4.答案π48．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF与平面ABC 所成的二面角的正切值为________．解析如图，建立空间直角坐标系．设DA ＝1，由已知条件得A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，23， AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，13，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，23，设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，平面AEF 与平面ABC 所成的二面角为θ，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23z ＝0.令y ＝1，得z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－3)，平面ABC 的法向量为m ＝(0,0，－1)，cos θ＝cos 〈n ，m 〉＝311，tan θ＝23.答案239．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确命题的序号是________．解析设正方体的棱长为1，①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3(A 1B 1→)2＝3，故①正确；②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确．答案 ①②三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝AD ＝a ，点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE ； (2)若二面角C －AE －D 的大小为60°，求λ的值．解 (1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，D (0,0,0)，E (0,0，λa )，∴AC →＝(－a ，a,0)，BE →＝(－a ，－a ，λa )，∴AC →·BE →＝0对任意λ∈(0,1]都成立，即对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE .(2)显然n ＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量，设平面ACE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， ∵AC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(－a,0，λa )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋ay ＝0，－ax ＋λaz ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －λz ＝0.令z ＝1，则x ＝y ＝λ，∴m ＝(λ，λ，1)． ∵二面角C －AE －D 的大小为60°，∴cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝λ1＋2λ2＝12， ∵λ∈(0,1]，∴λ＝22. 11．(本小题10分)(2013·北京卷)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .并求BDBC 1的值．解 (1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC . (2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC.如图所示，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625.(3)设D (x ， y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→.所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)．解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD →·A 1B →＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时，BD BC 1＝λ＝925.12．(本小题10分)(2013·天津卷)如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM的长．解解法一：如图所示，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)易得B 1C 1→＝(1,0，－1)，CE →＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE . (2)B 1C →＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217.所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (2)AE →＝(0,1,0)，EC 1→＝(1,1,1)．设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝2λλ2＋λ＋2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1.于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13，所以AM ＝ 2.解法二：(1)因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E .CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E .又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)知，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ＝3，CC 1＝2，可得C 1G ＝263.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝423，所以sin ∠B 1GC 1＝217，即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝26x ，AH ＝346x .在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1＝2，得EH ＝2MH ＝13x .在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos135°，得1718x 2＝1＋19x 2＋23x ，整理得5x 2－22x －6＝0，解得x ＝ 2.所以线段AM 的长为 2.。

新高考数学状元之路二轮复习专题知识突破训练(10)(含答案解析)

高考专题训练 (十 )数列乞降及数列的综合应用A级——基础稳固组一、选择题1．(2014 ·东惠州一模广 )设 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和，a1＝ 2，a5＝ 3a3，则 S9＝ () A．－ 72B．－ 54C． 54D． 72分析a1＝ 2，a5＝ 3a3得 a1＋ 4d＝ 3(a1＋ 2d) ，即 d＝－ a1＝－ 2，所以 S9＝ 9a1＋9×82d＝ 9×2－9×8＝－ 54，选 B.答案 B2．(2014 ·国纲领卷全 )等比数列 { a n} 中，a4＝ 2，a5＝ 5，则数列 {lg a n} 的前 8 项和等于 () A． 6B．5C．4D．3分析S8＝ lga1＋ lga2＋＋ lga8＝ lg( a1·a2· ·a8)＝lg( a1·a8)4＝ lg(a4·a5)4＝ lg(2 ×5)4＝ 4.答案 C3． (2014 ·京卷北)设 { a n } 是公比为 q 的等比数列．则“q>1”是“{a n} 为递加数列”的 () A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件分析利用公比与等比数列的单一性的关系进行判断．{ a n} 为递加数列，则 a1>0时，q>1； a1<0 时， 0<q<1.q>1 时，若 a1<0，则 { a n} 为递减数列．故“q>1”是“{a n} 为递加数列”的既不充足也不用要条件，应选 D.答案D4．已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S n＝n2＋ n，数列 { b n} 知足 b n＝1(n∈N* )， T na n a n＋1是数列 { b n} 的前 n 项和，则 T9等于 ()918A. 19B.19209C.21D.40分析∵数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，且 S n＝n2＋ n，∴ n＝ 1 时， a1＝ 2； n≥2时， a n＝ S n－ S n－1＝ 2n ，∴ a n＝ 2n(n ∈N* ) ，∴ b n＝1＝1＝11－1，T9＝1a n a n＋12n n＋4n n＋ 1411－11－ 11191－2＋23＋＋9 10＝4× 1－10＝40.答案D5．已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n＝ n2－ 6n，则 {|a n|} 的前 n 项和 T n＝ ()2A． 6n－ nB． n2－ 6n＋ 186n－ n2nC.nn2－ 6n＋ 186n－n2nD. n2－ 6n n分析由 S n＝ n2－ 6n 得 { a n} 是等差数列，且首项为－5，公差为 2.∴ a n＝－ 5＋( n－ 1) ×2＝2n－ 7.∴n≤3时， a n<0； n>3 时， a n>0.6n－ n2n，∴ T n＝n2－ 6n＋ 18n答案 C6．已知曲线1C： y＝ ( x>0)及两点 A1 (x1,0)和 A2(x2,0)，此中 x2>x1>0.过 A1， A2分别作 x x轴的垂线，交曲线 C 于 B1，B2两点，直线 B1B2与 x 轴交于点 A3(x3,0)，那么 () x3A． x1，2， x2成等差数列x3B． x1，，x2成等比数列C． x1， x3， x2成等差数列D． x1， x3， x2成等比数列分析由题意， B1，B2两点的坐标分别为x1，1， x2，1，所以直线 B1B2的方程为 y x1x2＝－1( x－x1)＋1，令 y＝ 0，得 x＝x1＋ x2，∴ x3＝ x1＋ x2，所以， x1，x3， x2成等差数列．x1x2x12答案A二、填空题21a n＝ ________.7．若数列 { a n} 的前 n 项和 S n＝ a n＋，则 { a n} 的通项公式是33分析21212a1 n≥2时， a n＝ S n－ S n－1＝ a n＋－a n－1＋，化简得： a n＝－ 2a n－1，又 a1＝S1＝33333＋1，得 a1＝ 1，故 { a n} 以 1 为首项，以－ 2为公比的等比数列，所以a n＝ (－2)n－1. 3答案n－1(－ 2)8． (2013 ·宁卷辽 )已知等比数列 { a n } 是递加数列， S n是 { a n } 的前 n 项和．若 a 1， a 3 是方程 x 2－ 5x ＋ 4＝0 的两个根，则 S 6＝ ________.分析∵ a 1， a 3 是方程 x 2－ 5x ＋4＝ 0 的两根，且 q>1，∴ a 1＝ 1， a 3＝ 4，则公比 q ＝2，所以 S 6＝－ 26＝63.1－ 2答案 639． (2014 河·南一模 )已知关于随意的自然数 n ，抛物线 y ＝(n 2＋n)x 2－(2n ＋1)x ＋ 1 与 x轴订交于 A n ， B n 两点，则 |A 1 1 2 22 014 B2 014B |＋|A B |＋＋|A|＝ ________.分析令 (n 2＋ n) x 2－ (2n ＋ 1)x ＋ 1＝ 0，则 x 1＋ x 2＝ 2n 2＋ 1， x 1x 2＝ 2 1 ，由题意得 |A n B n |n ＋ n n ＋ n ＝ |x － x＋ x2＝2n ＋ 1 2 － 4· 1＝11 － 1，因－ 4x2＝21 |，所以 |A n B n |＝x 121x 2n ＋ n n 2＋ n n 2 ＋n n n ＋1此 |A 1B 1|＋ |A 2B 2|＋＋|A 2 014B 2 014|＝ 11－11 － 1 ＝ 1－ 12 0141－2 ＋ 2 3＋＋2 014 2 015 2 015 ＝ 2 015.答案 2 0142 015三、解答题n2＋ n *10． (2014 湖·南卷 )已知数列n ＝n， n ∈ N.{ a } 的前 n 项和 S2(1)求数列 { a n } 的通项公式；(2)设 b n ＝ 2a n ＋ (－ 1)n a n ，求数列 { b n } 的前 2n 项和．解 (1)当 n ＝ 1 时， a 1 ＝S 1＝ 1；当 n ≥2时， a ＝S － S －＝n 2 ＋ nn －2＋ n －－＝ n.nnn 122故数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ n.(2)由 (1)知 a n ＝ n ，故 b n ＝ 2n ＋ (－ 1)n n.记数列 { b n } 的前 2n 项和为 T 2n ，则 T 2n ＝ (21＋ 22＋＋ 22n )＋ (－ 1＋ 2－ 3＋ 4－＋2n) ．记 A ＝ 21＋ 22＋＋22n ，B ＝－ 1＋ 2－ 3＋ 4－＋ 2n ，2n 则 A ＝－2＝ 22n＋1－ 2，1－2B ＝( －1＋ 2)＋ (－ 3＋ 4)＋＋ [ － (2n － 1)＋ 2n] ＝n ，2n ＋ 1故数列 { b n } 的前 2n 项和 T 2n ＝ A ＋B ＝ 2＋n － 2.11．已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ a n ＋ n 2－1，数列 { b n } 知足 3n ·b n ＋1＝ (n ＋ 1)a n ＋1 －na n ，且 b 1＝ 3.(1)求 a n ， b n ；(2)设 T n 为数列 { b n } 的前 n 项和，求 T n ，并求知足 T n <7 时 n 的最大值．解 (1)n≥2时， S n＝ a n＋n2－ 1， S n－1＝ a n－1＋ (n－ 1)2－ 1，两式相减，得 a n＝ a n－ a n－1＋ 2n－ 1，∴ a n－1＝ 2n－ 1.∴a n＝ 2n＋ 1，∴3n·b n＋1＝ (n＋ 1)(2 n＋ 3)－ n(2n＋ 1)＝ 4n＋ 3，∴ b ＋＝4n＋ 3n 1n ，3∴当 n≥2时， b n ＝4n－ 1，n－13又 b1＝3合适上式，∴ b n＝4n－1. 3n－ 14n－1 (2)由 (1)知， b n＝3n－1，∴ T ＝3＋7＋1124n－ 5 4n－ 1，①－＋－n 1 3 3＋＋3n 23n 113＋7114n－ 5＋4n－ 1T n＝32＋33＋＋3n－ 1n ，②333①－②，得2＝3＋4444n－ 1 3T n＋2n－ 1－n3 3＋＋331131－3n－14n－ 14n＋ 5＝ 3＋4·－n＝5－3n.131－3154n＋ 5∴Tn ＝2－2·3n－ 1.n＋＋ 54n＋ 5－n＋<0.T n－ T n＋1＝n－n－ 1＝n2·32·33∴ T n<T n＋1，即 { T n} 为递加数列．又 T3＝59<7 ， T4＝64 99>7，∴当 T n<7 时， n 的最大值为 3.B级——能力提升组2nπ1．(2014 ·海虹口一模上)已知函数f(n) ＝n sin 2，且 a n＝ f(n)＋ f(n＋1) ，则 a1＋ a2＋ a3＋＋a2 014＝ ________.nπsin 21,01,0a1a2＋ a2 014时要分组乞降，又由a n的定义，知a1＋ a2＋ a3＋＋a2 014＝(a1＋a3＋＋a2 013)＋(a2＋a4＋＋ a2 014)＝ [f(1) ＋f(3) ＋＋f(2 013)] ＋ [f(2) ＋f(4)＋＋ f(2 014)] ＝ [(1－ 32)＋ (52－ 72)＋＋ (2 0092－ 2 0112)＋2 0132]＋[( － 32＋ 52)＋ (－ 72＋92)＋＋ (－ 2 0112＋2 0132)－ 2 0152]＝－2×(4＋ 12＋ 20＋＋4020) ＋ 20132＋ 2×(8 ＋ 16＋＋ 4 024)－ 2 0152＝－2×＋＋－ 2 0152＋2 0132＝ 503×8－ 2×4 028＝－ 4 032.＋ 2×22答案－4 0322．(2014 ·海长宁二模上)定义函数 f(x)＝ { x·{x}} ，此中 { x} 表示不小于x 的最小整数，如{1.4} ＝ 2， { － 2.3} ＝－ 2.当 x∈ (0， n](n∈N* )时，函数f(x)的值域为A n，记会合A n中元素的个数为 a n，则1 ＋ 1 ＋＋1＝________.a1a2a n分析由题意， a1＝ 1，当 x∈ (n，n＋ 1]时， { x} ＝ n＋ 1， x·{x} ∈ (n2＋ n， n2＋ 2n＋ 1]，{ x·{x}} 的取值挨次为n2＋ n＋ 1， n2＋n＋ 2，， n2＋ 2n＋ 1 共 n＋ 1 个，即 a n＋1＝ a n＋ n＋ 1，n n＋1＝n 21111由此可得a n＝ 1＋ 2＋ 3＋＋ n＝2，a n n＋＝2 n－n＋ 1，所以a1＋a2＋1 2＋a n＝ 2－n＋1.答案2－2n＋ 13． (2014湖·南卷 )已知数列 { a n} 知足 a1＝ 1，|a n＋1－ a n|＝ p n， n∈N* .(1)若 { a n} 是递加数列，且 a1,2a2,3a3成等差数列，求 p 的值；(2)若 p＝1，且 { a2n－1} 是递加数列， { a2n} 是递减数列，求数列{ a n} 的通项公式．2解 (1)因为 { a n} 是递加数列，所以a n＋1－ a n＝ |a n＋1－ a n|＝ p n.而 a1＝ 1，所以 a2＝ p＋ 1， a3＝ p2＋ p＋ 1.又 a1,2a2,3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，21因此 3p － p＝ 0，解得 p＝， p＝ 0.当 p＝0 时， a n＋1＝ a n，这与 { a n} 是递加数列矛盾．1故 p＝3.(2)因为 { a2 n－1} 是递加数列，因此a2n＋1－ a2 n－1>0，于是 (a2n＋1－a2 n)＋ (a2n－ a2n－1)>0. ①1 1但22n<22n－ 1，所以|a2n＋ 1－a2n|<|a2n－a2n－ 1|.②由①②知， a2n－ a2n－1>0，所以1 2 n－1－ 12na2n－ a2n－1＝＝.③222n－ 1因为 { a2n} 是递减数列，同理可得a2n＋1－ a2n<0，12n－ 12n＋ 1故 a2n＋1－a2n④＝－＝ 2 n22－1n ＋1由③④即知， a n ＋ 1－ a n ＝n.21 1于是 a n ＝ a 1＋ (a 2－ a 1)＋ (a 3－ a 2 )＋＋ (a n －a n － 1)＝ 1＋ 2 － 22＋＋1 n － 1 1 1－－2＝ 1＋2·11＋ 2n4 1 －＝＋ · n － 1.3 3 2－ 1 nn －1 2a n ＝ 4＋ 1－n故数列 { a n } 的通项公式为 · .n － 1 3 3 2。

【状元之路】高考数学二轮复习钻石卷专题综合测试3

专题三综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为正奇数时，a n ＋1＝a n ＋2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝2a n ，则a 6＝( )A ．11B ．17C ．22D ．23解析逐项计算得该数列的前6项依次为：2,4,8,10,20,22. 答案 C2．各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝( )A.5＋11 B.5－12 C.1－52D.5＋12解析依题意，有a 3＝a 1＋a 2，设公比为q ，则有q 2－q －1＝0，所以q ＝1＋52(舍去负值)． a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝a 2a 4q ＋q 2a 2a 4q 2＋q 3＝1q ＝21＋5＝5－12. 答案 B3．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝18，S 20＝24，则S 40等于( ) A.803 B.763 C.793D.823解析根据分析易知：∵S 10＝18，S 20－S 10＝6，∴S 30－S 20＝2，S 40－S 30＝23，∴S 40＝803，故选A.答案 A4．等差数列{a n }中，已知a 1＝－6，a n ＝0，公差d ∈N *，则n (n ≥3)的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5D ．8解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝0，∴d ＝6n －1.又d ∈N *，∴n (n ≥3)的最大值为7. 答案 A5．设f (x )是定义在R 上恒不为0的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )，若a n ＝f (n )(n ∈N *)，且a 1＝12，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 解析由题意知a 1＝f (1)＝12，a n ＋1＝f (n ＋1)＝f (1)f (n )＝12a n .∴数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，∴S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴S n 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.答案 D6．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n 为( )A ．25B ．576C ．624D ．625解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝－(n －n ＋1)，∴{a n }的前n 项和S n ＝－[(1－2)＋(2－3)＋…＋(n －n ＋1)]＝n ＋1－1＝24，∴n ＝624.答案 C7.1212＋102＋2222＋92＋3232＋82＋…＋102102＋12＝( ) A ．8 B ．7 C ．6D ．5解析设S ＝1212＋102＋2222＋92＋3232＋82＋…＋102102＋12，则S ＝102102＋12＋9222＋92＋8232＋82＋…＋1212＋102，两式相加得2S ＝1＋1＋…＋1＝10，∴S ＝5. 答案 D8．公差不为0的等差数列{a n }中，3a 2 010－a 22 012＋3a 2 014＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2 012＝a 2 012，则b 2 011b 2 013＝( )A ．4B ．8C ．16D ．36解析 ∵3a 2 010－a 22 012＋3a 2 014＝0， ∴6a 2 012－a 22 012＝0，即a 2 012(a 2 012－6)＝0. ∵数列{b n }是等比数列， ∴a 2 012＝b 2 012≠0. ∴b 2 012＝a 2 012＝6.∴b 2 011b 2 013＝b 22 012＝62＝36. 答案 D9．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a n 等于( ) A ．3n＋2 B ．2n－1 C ．2n ＋1D ．3n－1解析设a n ＋m ＝2(a n －1＋m )，∴a n ＝2a n －1＋m ，∴m ＝1，∴当n ≥2时，a n ＋1a n －1＋1＝2，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1；又当n ＝1时，a 1＝21－1，∴n ∈N *时，a n ＝2n－1. 答案 B10．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析由{a n }为等比数列，则a 5·a 2n －5＝a 1·a 2n －1＝22n，则(a 1·a 3·a 5·…·a 2n －1)2＝(22n )n⇒a 1·a 3·…·a 2n －1＝2n 2，故log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1·a 3·…·a 2n －1)＝n 2. 答案 C11．在公差为d ，各项均为正整数的等差数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＝51，则n ＋d 的最小值为( )A ．14B ．16C ．18D ．10解析由题意得a n ＝1＋(n －1)d ＝51，即(n －1)d ＝50，且d >0.由(n －1)＋d ≥2n －d ＝250(当且仅当n －1＝d 时等号成立)，得n ＋d ≥102＋1，因为n ，d均为正整数，所以n ＋d 的最小值为16.答案 B12．(2012·上海)设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析由数列通项可知，当1≤n ≤25，n ∈N *时，a n ≥0，当26≤n ≤50，n ∈N *时，a n ≤0，因为a 1＋a 26>0，a 2＋a 27>0，…，所以S 1，S 2，…，S 50都是正数；当51≤n ≤100，n ∈N *时，同理S 51，S 52，…，S 100也都是正数，所以正数的个数是100.答案 D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上． 13．(2013·辽宁卷)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析由已知得a 1＝1，a 3＝4，所以q ＝2，则S 6＝1－261－2＝63.答案 6314．(2013·河南商丘二模)在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝________.解析设公差为d ，由题设知3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，所以d ＝－433a 1<0.解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－433a 1>0.所以n <374，则n ≤9.当n ≤9时，a n >0，同理可得当n ≥10时，a n <0. 故当n ＝9时，S n 取得最大值．答案 915．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＝4n －1a n －1(n >1，n ∈N *)，则通项公式a n ＝________.解析 ∵a n ＝4n －1a n －1，∴a 2a 1＝4，a 3a 2＝42，…a n a n －1＝4n －1以上式子相乘得： a n a 1＝41＋2＋…＋(n －1)＝2(n －1)n ， ∴a n ＝2n 2－n ＋2. 答案 2n 2－n ＋216．(2013·江苏卷)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．解析 a 6＋a 7＝a 5q ＋a 5q 2＝3，把a 5＝12代入得q 2＋q －6＝0，即q ＝2，所以a 1＝132，所以a n ＝2n －6，S n ＝2n －5－2－5，a 1a 2…a n ＝(a 1a n ) n2＝2n n －2，由题意2n －5－2－5>2n n －2，当2n －5>2n n －2时可求得n 的最大值为12，当n ＝13时，28－2－5<213，所以n 的最大值为12.答案 12三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题10分)(2013·四川卷)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．解设该数列公差为d ，前n 项和为S n .由已知，可得 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋8d )(a 1＋d )．所以，a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.18．(本小题12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝35，a 5和a 7的等差中项为13.(1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝4a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 5＝5a 3＝35，a 5＋a 7＝26，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1；S n ＝3n ＋n n －2×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝4a 2n －1＝1n n ＋＝1n －1n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.19．(本小题12分)已知等差数列{a n }(n ∈N *)中，a n ＋1>a n ，a 2a 9＝232，a 4＋a 7＝37. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若将数列{a n }的项重新组合，得到新数列{b n }，具体方法如下：b 1＝a 1，b 2＝a 2＋a 3，b 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7，b 4＝a 8＋a 9＋a 10＋…＋a 15，…，依此类推，第n 项b n 由相应的{a n }中2n －1项的和组成，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n －14·2n 的前n 项和T n .解 (1)由a 2a 9＝232与a 4＋a 7＝a 2＋a 9＝37，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，a 9＝29，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝29，a 9＝8(由于a n ＋1>a n ，舍去)．设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝8，a 9＝a 1＋8d ＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，d ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋2(n ∈N *)． (2)由题意得：b n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＋2＋…＋a 2n －1＋2n －1－1＝(3·2n －1＋2)＋(3·2n －1＋5)＋(3·2n －1＋8)＋…＋[3·2n －1＋(3·2n －1＋1)]＝2n －1×3·2n －1＋[2＋5＋8＋…＋(3·2n －1－4)＋(3·2n －1－1)]．而2＋5＋8＋…＋(3·2n －1－4)＋(3·2n －1－1)是首项为2，公差为3的等差数列的前2n －1项的和，所以2＋5＋8＋…＋(3·2n －1－4)＋(3·2n －1－1)＝2n －1×2＋2n －1n －1－2×3＝3·22n －3＋14·2n . 所以b n ＝3·22n －2＋3·22n －3＋14·2n ＝98·22n ＋14·2n . 所以b n －14·2n ＝98·22n .所以T n ＝98(4＋16＋64＋ (22))＝98×－4n1－4＝32(4n－1)． 20．(本小题12分)设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .解 (1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，所以cos x ＝－12，解得x ＝2k π±23π(k ∈Z )．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知，x n ＝2n π－23π(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤nn ＋π－2n π3.因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n ＝－sin 2n π3.当n ＝3m －2(m ∈N *)时，sin S n ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π－43π＝－32；当n ＝3m －1(m ∈N *)时， sin S n ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π－23π＝32；当n ＝3m (m ∈N *)时， sin S n ＝－sin2m π＝0.综上所述，sin S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n ＝3m －2m ∈N *，32，n ＝3m －1m ∈N *，0，n ＝3m m ∈N *.21．(本小题12分)(2013·湖北卷)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1.故a n ＝53·3n －1，或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列，从而∑n ＝1m1a n ＝35·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m 1－13＝910·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m <910<1.若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －k ∈N ＋，0，m ＝2k k ∈N ＋故∑n ＝1m1a n<1.综上，对任意正整数m ，总有∑n ＝1m1a n<1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．22．(本小题12分)(2013·江苏卷)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n是其前n 项的和．记b n ＝nS n n 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 解由题设，S n ＝na ＋n n －2d .(1)由c ＝0，得b n ＝S n n＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k . (2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS n n 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎪⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0， ①19A ＋5B ＋cd 1＝0， ②21A ＋5B ＋cd 1＝0， ③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0. 即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又cd 1＝0，所以c ＝0.。

【状元之路钻石卷】(人教)2016届高考数学(理)二轮复习小题综合限时练(4)

专题分层训练 (二十七 )小题综合限时练(4)(时间： 45 分钟 )一、选择题 (每题 5 分，共 60 分)1．设会合 M＝{ x|x2－3x－4<0} ，N＝{ x|0≤x≤5} ，则 M∩N 等于()A．(0,4]B．[0,4)C．[－1,0)D．(－1,0]分析∵会合M＝{ x|x2－－＝－．＝≤ ≤5}，3x 4<0}{ x|1<x<4} N{ x|0 x∴M∩N＝{ x|0≤x<4} ．答案B2．已知 l ，m 是两条不一样的直线，α是一个平面，且 l ∥α，则以下命题正确的选项是 ()A．若 l∥m，则 m∥αB．若 m∥α，则 l ∥mC．若 l ⊥m，则 m⊥αD．若 m⊥α，则 l ⊥m分析由 l ∥α，l∥m，可得 m? α或 m∥α，A 不正确；由 l∥α，m∥α，可得 l ∥m 或 l，m 订交或 l，m 互为异面直线， B 不正确；由 l∥α，l⊥m，可得 m∥α或 m，α订交， C 不正确；由 l∥α，m⊥α，可得 l⊥m，D 正确．答案D|sinx|，x∈ [－π，π]，3．已知函数 f(x)＝x1，x2，x3，x4，x5是方lgx，x>π，程 f(x)＝m 的五个不等的实数根，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5的取值范围是()A．(0，π)B．(－π，π)C．(lg π，1)D．( π，10)分析函数 f(x)的图象以下图，联合图象可得 x1＋x2＝－π，x3＋x4＝π，若 f(x)＝m 有 5 个不等的实数根，需 lg π<lgx <1，得π<x<10，55又由函数 f(x)在[ －π，π]上对称，所以 x1＋ x2＋x3＋x4＝0，故 x1＋x2＋x3＋x4＋x5的取值范围为 ( π，10)．答案 Da n＋a n＋14．原命题为“若<a n，n∈N＋，则{ a n}为递减数列”，对于其抗命题，否命题，逆否命题真假性的判断挨次以下，正确的选项是() A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假分析a n＋a n＋1n? a n＋ 1n? { a n 为递减数列．原命题与其抗命<a2<a}题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题，应选 A.答案A6 5．在区间 [0，π]上随机取一个数x，则事件“ sinx＋cosx≥2”发生的概率为 ()11A.4B.312C.2D.36分析sinx＋cosx≥2，因为0≤x≤π，sin x＋π≥3，π5π42所以即12≤x≤12.依据几何概型的计算方法，0≤x≤π，5ππ－12 12 1答案B6．以下不等式中，必定成立的是 ()21A．lg x ＋4 >lgx(x>0)1B．sinx＋sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)1D.x2＋1>1(x∈R)分析1π，取＝否认，应选取 x＝否认A，取＝－否认B x0D2x4C.答案C7．已知 x、y 取值以下表：x014568y 1.3 1.8 5.6 6.17.49.3从所得的散点图剖析可知：^y 与 x 线性有关，且 y＝0.95x＋a，则 a等于 ()A．1.30B．1.45C．1.65D．1.80－－，可知＝分析代入样本点中心 ( x ，y ) a 1.45.答案B8．定义在R上的函数y＝f(x)在(－∞， a)上是增函数，且函数y ＝f(x＋a)是偶函数，当 x1<a，x2>a，且 |x1－a|<|x2－a|时，有 () A．f(x1)>f(x2)B．f(x1)≥f(x2)C．f(x1)<f(x2)D．f(x1)≤f(x2)分析因为函数 y＝f(x＋a)是偶函数，其图象对于 y 轴对称，把这个函数图象平移 |a|个单位 (a<0 左移，a>0 右移 )可得函数 y＝ f(x)的图象，所以函数 y＝f(x)的图象对于直线 x＝a 对称，此时函数 y＝f(x)在(a，＋∞)上是减函数．因为 x1<a，x2>a 且|x1－a|<|x2－a|，说明 x1与对称轴的距离比 x2与对称轴的距离小，故 f(x1)>f(x2)．答案Ax2y29．已知双曲线的极点与焦点分别是椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的焦点和极点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的焦点组成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为 ()11A.3B.232C.3D. 2分析设椭圆的焦点 F1(－c,0)，F2(c,0)，由题意可知双曲线方程为x2y2＝1，其渐近线方程为b－2y＝± x，又双曲线的两条渐近线与椭圆的2b cc焦点组成的四边形恰为正方形，所以由椭圆的对称性知双曲线的渐近线方程为y＝±x，即 b＝c，所以 a＝b2＋c2＝2c，所以椭圆的离心2率为2.答案D→→ → → → → → →．在平面上， AB 1 ⊥AB ，|OB ＝＝，＝AB ＋AB 若 102 1 | |OB 2| 1 AP 1 2 . |OP→1，则 |OA 的取值范围是|<2|()A. 0， 5B. 5 722 ， 25D. 7C. 2 ， 2 2 ， 2分析依据条件知 A ，B 1，P ， B 2 组成一个矩形 AB 1PB 2，以 AB 1，AB 2 为坐标轴成立直角坐标系，设|AB 1|＝a ，|AB 2|＝b ，点 O 的坐标为 (x ，y)，→→x －a 2＋y 2＝1，则点 P 的坐标为 (a ，b)，由 |OB 1|＝|OB 2|＝1 得则x 2＋ y －b 2＝1，x －a 2＝1－y 2，→ 12212y －b 2＝1－x 2，又由 |OP|<2，得(x －a) ＋(y －b) <4，则 1－x ＋1－212 27y <4，即 x ＋y >4①又(x －a)2＋y 2＝1，得 x 2＋y 2＋a 2＝1＋ 2ax ≤1＋a 2＋x 2，则 y 2≤1；同理，由 x 2＋(y －b)2＝1，得 x 2≤1，即有 x 2＋y 2≤2②72272 2由①②知 4<x ＋y ≤2，所以 2 <x ＋y ≤ 2.→x2＋y2，所以7→而|OA|＝2 <|OA|≤ 2.答案 D．函数＝xπ∪，π，x∈ －，00的图象可能是以下图象中11y sin2x22的()xππ分析由函数 y＝sin2x，x∈－2，0 ∪0，2是偶函数，清除 A；又ππ由函数 y＝sin2x，y＝2x，x∈0，2的图象可知恒有2x>sin2x，x∈0，2，x 1π所以 y＝sin2x>2，x∈0，2，清除 B 和 D，应选 C.答案C．函数f(x)在，上有定义，若对随意x1，x ∈[a，b] ，有 fx1＋x212[a b]22 1≤2[f(x1)＋f(x2)]，则称 f(x)在[a，b]上拥有性质 P.设 f(x)在[1,3] 上拥有性质 P，现给出以下命题：①f(x)在[1,3] 上的图象是连续不停的；②f(x2)在[1，3]上拥有性质P；③若 f(x)在 x＝2 处获得最大值1，则 f(x)＝1，x∈[1,3] ；④对随意x1，x2，x3，x4∈[1,3] ，有 f x1＋x2＋x3＋x4≤1[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)] ．44此中真命题的序号是 ()A．①②B．①③C．②④D．③④分析①中，反例：x－1 2，x∈[1，2 ∪2，3]，取函数 f(x)＝2，x＝2，则函数 f(x)知足题设条件拥有性质P，但函数 f(x)的图象不是连续的．②中，反例： f(x)＝－ x 在[1,3] 上拥有性质 P，f(x2)＝－ x2在[1 ， 3] 上不拥有性质 P.③中，在 [1,3] 上，x＋ 4－x≤1[f(x) ＋ f(4 － x)] ?f(2) ＝ f22f x ＋f 4－x ≥2，f x ≤f x max＝f 2 ＝1，? f(x)＝1，f 4－x ≤f x max＝f 2 ＝1所以，对于随意x1，x2∈[1,3] ，f(x)＝1.④中，f x1＋x2＋x3＋x4＝f x1＋x2＋ x3＋x444 1x1＋x2x3＋x4≤2f2＋f2111?2 2f x1＋f x2＋2 f x3＋f x41≤4[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋f(x4)] ．由以上推测可知①②错误，③④正确．答案D二、填空题 (每题 5 分，共 20 分)13．履行下边的程序框图，则输出的S 的值是 ________．分析由程序框图知，当n＝1 时，S＝1＋21＝3；当n＝2 时，S ＝3＋22＝7；当 n＝3 时， S＝7＋23＝15；当 n＝4 时， S＝15＋24＝31；当 n ＝5 时， S＝31＋25＝63>33，循环结束，故输出 S的值是 63.答案6314．以下图， ABCD－A1B1C1D1是棱长为 a 的正方体， M、N 分别是下底面的棱 A1B1、B1C1的中点， P 是上底面的棱 AD 上的点， APa＝3，过 P、M、N 的平面交上底面于PQ，Q 在 CD 上，则 PQ＝________.分析以下图，连结AC，易知 MN ∥平面ABCD，∴MN∥PQ.又∵MN ∥AC，∴PQ∥AC.a又∵AP＝3，PD DQ PQ 2∴＝＝＝，AD CD AC 32 2 2∴PQ＝3AC＝3 a.2 2答案3 ax2y215．设 A，B 为双曲线a2－b2＝λ(a>0，b>0，λ≠0)同一条渐近线上→→AB·m的两个不一样的点，已知向量m＝(1,0)，|AB|＝6，|m|＝3，则双曲线的离心率为 ________．→→AB·m1分析设AB与m的夹角为θ，则|m|＝6cosθ＝3，所以 cosθ＝2.所以双曲线的渐近线与x 轴成 60°角，b可得a＝ 3.c b2＝2；当λ>0 时，此时 e＝a＝1＋ac a23当λ<0 时， e＝b＝1＋b2＝3.答案 2或23316．定义域为R的函数 f(x)知足 f(x＋2)＝2f(x)，当 x∈ [0,2]时，，若 x∈[ －4，－2)时，f(x)≥t －412t恒成立，则实数 t 的取值范围是 ________．分析当－ 4≤x<－3 时，0≤x＋4<1，f(x)＝1＋＝1＋4)＝1 2f(x 2) 4f(x4[(x＋4)2－(x＋4)] ，1即 f(x)＝4(x＋4)(x＋3)．1此时，－16≤f(x)≤0.当－ 3≤x<－2 时， 1≤x＋4<2，11f(x)＝2f(x＋2)＝4f(x＋4)【状元之路钻石卷】(人教)2016届高考数学(理)二轮复习小题综合限时练(4)1 2此时，－ 4≤f(x)≤－ 8. 1 所以 f(x)在[－4，－ 2)上的最小值为－ 4.t 1f(x)≥4－2t 恒成立， t 1 1 则4－2t ≤－4，t 2＋t －2 t ＋2 t －1 ≤0，即 t ≤0， t即 t ≤－2 或 0<t ≤ 1.答案(－∞，－ 2]∪(0,1]-11-。

【状元之路】版高考数学二轮复习不等式专题训练(含解析)

【状元之路】2015版高考数学二轮复习不等式专题训练（含解析）一、选择题1．(2014·四川卷)已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝( ) A ．{－1,0,1,2} B ．{－2，－1,0,1} C ．{0,1}D ．{－1,0}解析 A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{－1,0,1,2}，选A. 答案 A2．已知a 1bB ．a 2>b 2C ．2－a >2－bD ．2a>2b解析 ∵a －b ，∴2－a >2－b . 答案 C3．(2014·皖南八校联考)若“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)解析依题意0<x <1⇒a ≤x ≤a ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋2≥1.∴－1≤a ≤0. 答案 A4．(2014·山东卷)已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析由a x<a y(0<a <1)，知x >y ，所以x 3>y 3，选D. 答案 D5．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP→的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2.故选D.答案 D6．(2014·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5D ．2解析约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0满足的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知，目标函数z＝ax ＋by (a >0，b >0)取最小值时，最优解为(2,1)．所以2a ＋b ＝25，则b ＝25－2a ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85a ＋20＝5⎝⎛⎭⎪⎫a －4552＋4，即当a ＝455，b ＝255时，a 2＋b 2有最小值4.答案 B 二、填空题7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x，－x 2＋xx ，则不等式f (x 2－x ＋1)<12的解集是________．解析作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x－x 2＋xx的图象，可知该函数是奇函数，且在R 上单调递增，所以由f (x 2－x ＋1) <12＝f (3)可得x 2－x ＋1<3，解得－1<x <2，故不等式f (x 2－x ＋1)<12的解集是(－1,2)．答案 (－1,2)8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋4≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为8，则ab 的最大值为________．解析画出可行域，如图所示，目标函数变形为y ＝－ab x ＋z b ，由已知得－a b<0，且纵截距最大时，z 取到最大值，故当直线l 过点B (2, 4)时，目标函数取到最大值，即2a ＋4b ＝8，因a >0，b >0，由基本不等式，得2a ＋4b ＝8≥42ab ，即ab ≤2(当且仅当2a ＝4b ＝4，即a ＝2，b ＝1时取“＝”)，故ab 的最大值为2.答案 29．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．解析因为x ＋2y ＋2xy ＝8，所以y ＝8－x2x ＋2>0，所以－1<x <8，所以x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2x ＋9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＝2时取等号．答案 4 三、解答题10．设集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4x ＋3>1. (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ，求a ，b 的值．解 A ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4x ＋3>1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋3<0＝{x |－3<x <1}， (1)A ∩B ＝{x |－2<x <1}．(2)因为2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ＝{x |－3<x <1}，所以－3和1为2x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝－3＋1，b2＝－3×1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－6.11．(2014·课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解 (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立，故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.B 级——能力提高组1．(2014·课标全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1，其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4D ．p 1，p 3解析画出可行域如图阴影部分所示．作直线l 0：y ＝－12x ，平移l 0，当直线经过A (2，－1)时，x ＋2y 取最小值，此时(x ＋2y )min ＝0.故p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2为真．p 2：∃(x ，y )∈D ，x＋2y ≥2为真．故选B.答案 B2．(2014·辽宁卷)对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．解析要求|2a ＋b |最大值，只需求(2a ＋b )2的最大值．∵4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0，∴4a 2＋b 2＝c ＋2ab －3b 2.∴(2a ＋b )2＝4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋2ab －3b 2＋4ab ＝c ＋6ab －3b 2＝c ＋3b (2a －b )＝c ＋32·2b (2a －b )≤c ＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋a －b 22＝c ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22，即(2a ＋b )2≤85c ，当且仅当2b ＝2a －b ，即3b ＝2a 时取到等号，即(2a ＋b )2取到最大值．故3b ＝2a 时，|2a ＋b |取到最大值．把3b ＝2a ，即b ＝2a 3代入4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0，可得c ＝409a 2. ∴3a －4b ＋5c ＝3a －423a ＋5409a 2＝3a －6a ＋98a 2＝98⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－83a ＝98⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －432－2.∴当1a ＝43时，3a －4b ＋5c取到最小值－2.答案－23．已知函数f (x )＝13x 3＋a －22x 2－2ax －3，g (a )＝16a 3＋5a －7.(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在区间[－2,0]上不单调，且x ∈[－2，0]时，不等式f (x )<g (a )恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝13x 3－12x 2－2x －3，定义域为R ，f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)．令f ′(x )>0，得x <－1或x >2.∴函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)． (2)f ′(x )＝x 2＋(a －2)x －2a ＝(x ＋a )(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－a . ∵函数f (x )在区间[－2,0]上不单调， ∴－a ∈(－2,0)，即0<a <2.又∵函数在(－2，－a )上，f ′(x )>0，在(－a,0)上，f ′(x )<0，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f ∴f (x )在[－2,0]上的最大值为f (－a )．∵当x ∈[－2,0]时，不等式f (x )<g (a )恒成立，等价于f (－a )<g (a )， ∴－13a 3＋a －22·a 2＋2a 2－3<16a 3＋5a －7.∴16a 3＋a 2－3<16a 3＋5a －7. ∴a 2－5a ＋4<0，解得1<a <4. 综上所述，a 的取值范围是(1,2)．。

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2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练24一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是( )A.12B.16C.23D.13解析记3只白球为A 、B 、C,1只黑球为D ，则随机摸出两只球的基本事件空间为Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )}，共6个．其中，颜色不同的有3种，故所求概率为P ＝36＝12.答案 A2．同时掷3枚均匀硬币，恰好有2枚正面向上的概率为( ) A ．0.5 B ．0.25 C ．0.125D ．0.375解析掷3枚均匀硬币，设正面向上的个数为X ，则X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，∴P (X ＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·12＝38＝0.375.答案 D3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34解析事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 1－P (A －·B －)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16＝712.答案 C4．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再嬴一局就获冠军，乙队需要再嬴两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.34解析由甲、乙两队每局获胜的概率相同，知甲每局获胜的概率为12，甲要获得冠军有两种情况：第一种情况是再打一局甲赢，甲获胜概率为12；第二种情况是再打两局，第一局甲输，第二局甲赢．则其概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝14.故甲获得冠军的概率为12＋14＝34.答案 D5．(2013·四川卷)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14 B.12 C.34D.78解析由题意得此概率为一几何概型，设第一串彩灯亮的时刻为x ，第二串彩灯亮的时刻为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤40≤y ≤4要使它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y |≤2.如图所示，正方形面积为16，阴影部分面积为16－2×2＝12，故P ＝1216＝34.答案 C6．(2013·湖北卷)如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A.126125B.65C.168125D.75解析 P (X ＝0)＝33125＝27125，P (X ＝1)＝9×6125＝54125，P (X ＝2)＝3×12125＝36125，P (X ＝3)＝8125，E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65，故选B. 答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝3，则D (ξ)的值为________．解析由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧c －a ＝13，2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12＝59. 答案 598．(2013·福建卷)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．解析此概率为一几何概型，概率为区间长度的比，3a －1>0即a >13，所以P ＝23.答案 239．(2013·江苏卷)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．解析正奇数m 有4个，正奇数n 有5个，故P ＝4×57×9＝2063.答案2063三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)(2013·天津卷)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．解 (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67. 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝1×35＋2×35＋3×7＋4×7＝5.11．(本小题10分)(2013·陕西卷)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．解 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B －)＝P (A )·P (B －)＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415.(或P (A B －)＝C 12·C 34C 23·C 35＝415.)(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝C 24C 35＝35.∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝P (A －B －C －)＝13×25×25＝475，P (X ＝1)＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075， P (X ＝2)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，∴X 的分布列为∴X 的数学期望E (X )＝0×75＋1×75＋2×75＋3×75＝75＝15.12．(本小题10分)(2013·浙江卷)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E η＝53，D η＝59，求ab c .解 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19， P (ξ＝6)＝1×16×6＝136. 所以ξ的分布列为(2)所以E (η)＝a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＝3，D (η)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a :b :c ＝3:2:1.。

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