第2章质点动力学c功和能(完全版1)

R d N m dt
fr
N m

2
由于支持力N不作功， 由动能定 理得摩擦力m m o 2 2 1 2 m o ( e 2 1 ) 2
图3-3
10
求滑块滑过屏障的过程中，运动时间为
dt d 2 R t 1 1 R 0
b
摩擦力是非保守力。
19
3.势能的定义
Aab mgha mghb 1 1 2 2 弹性力的功 Aab kxa kxb 2 2 1 1 Aab GMm( ) 引力的功 ra rb 可见，保守力的功可写为 b A保 F保 dr E pa E pb ( E pb E pa )
dr ds
b
从a到b，力f 的总功:
A
b fds cos a
b a
f dr
dr
L a

f
1
dA 功率 P dA=f.dr f fcos dt 2.力的空间累积效应:质点动能定理
A

b
a
1 1 2 2 f dr m m o 2 2
M
ra
a
15
2.保守力和非保守力 如果一个力的功只与质点的始末位置有关,而与 路径形状无关，这种力称为保守力。相应的力场称 为保守力场。否则叫做非保守力。 显然重力、弹性力、万有引力都是保守力。 因为保守力作的功只与质点的始末位置有关， 而与路径无关,故保守力F保沿任意闭合路径L所作的 功总为零,亦即 F保 dr 0
o
L
mg
C
图3-4
hb
b
x
13
弹性力的功 小球由a到b的过程中，弹性力所作的功为
Aab Fx dx
a

b

xb
xa
1 1 2 2 kxdx kxa kxb 2 2
由此可见，弹性力的功和重力的功一样，只与运 动质点的始末位置有关，而与其经过的实际路径形状 无关。 xa a b
A
因: x=acos t, y=bsin t 当t=0时，x=a, y=0; 当t= /(2)时，x=0, y=b。 合外力的功为 0 b 1 A Fx dx Fy dy m 2 ( a 2 b 2 ) a 0 2
f dx f dy
b b a x a y


6
17
i
j
k
对保守力而言，
L
F保 dr 0
（ F保） dS 0
S
F保 0
这是力为保守力的判据。
如果给出了力的表达式，
F
F 0?
x y z Fx F y F z
18
i
j
k
滑动摩擦力的功 设一质点在粗糙的台面上 运动，其滑动摩擦力与质点 的运动方向相反,可表示为： a
1 1 2 A f x dx m m o 2 a 2 2

b

10
0
1 1 2 2 ( 2 x 5 )dx m m o 2 2
完成积分得： = 10(m/s) 。
5
例题 一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置 矢量为 r a cos ti b sin tj(SI),式中a、b、是 正值常数，且a>b。求：t=0到t=/(2)时间内合外力 的功及分力Fx、Fy的功。 解 合外力: F ma m 2 r =-m2(xi+yj ) 分力：Fx=-m2x, Fy=-m 2y
外力: F=kx ，这是一个变力。 物体m脱离地面的条件是什么？ kxomg 所以外力作的功为
x
x
(原长) o
m
4
A

b
a
f x dx

x0
0
( mg )2 kx dx 2k
例题2 质量m=4kg的物体在力F=(2x+5)i (SI)的作 用下, 沿x轴作直线运动, 初速 o =5i (m/s); 求物体从 x=0到x=10(m)时的速度。 解 因力是坐标的函数，应用动能定理
o (原长)
xb
x
14
万有引力的功 质点m在M的引力场中,由a点到b点,万有引力对 质点m所作的功为
Aab
fdscos
b a


rb
ra
Mm G 2 dr r
b rb
ds
1 1 GMm( ) ra rb

dr
m
r f
注意：dscos(-)=dr。
由上式可见,万有引力的功也只 与质点始末位置有关,而与质点所经 过的实际路径形状无关。

o
图3-3
12
二.保守力场中的势能
1.保守力作功的特点 重力的功 质点m沿曲线L从a到b(高度分别为ha和hb)，重力 对质点m作的功为
Aab F y dy
a

b

hb
ha
mgdy mgha mghb
y
a
ha
重力作功只与质点的始末 位置有关,而与质点所经过的实 际路径形状无关。
由动能定理得合外力的功为
1 1 1 2 2 A m m 0 m 2 ( a 2 b 2 ) 2 2 2
8
例题 在光滑的水平桌面上，平放着如图所示的固 定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度0沿切线 方向进入屏障内，滑块和屏障间的摩擦系数为µ 。求 滑块滑过屏障的过程中，摩擦力的功。 解 滑块在水平面内受两个力的作用：摩擦力fr、 屏障给它的支持力N, 如图所示。 fr 在自然坐标系中，
§2.3 力的空间累积功 一. 功 质点动能定理 1.功 —力与力作用点位移的空间累积
若质点在恒力F作用下沿直线运动， 位移为S, 则 力F作的功为
A F S FS cos
若质点受变力f 作用, 沿一曲线L从a到b, 位移元dr 上的元功为
dA f dr f dr cos fds cos
R d 切向： N m dt
将式(1)代入式(2), 有
法向： N m

2
0
(1) (2)

N

o
9
2 d d d d R dt d dt R d 化简后得：d = -µ d


d
0

d
o


, o e
dr a sinti b cos tj dt
r a cos ti b sintj
7
dr a sinti b cos tj dt 当t=0时，o=b j , 大小: o=b;
当t=/(2)时, =-a i , 大小 =a 。
(3)在直角坐标系中

a

a

b
a
f y dy
f dz
b a z
功是沿质点运动轨道进行积分计算的。一般地说, 功的值既与质点运动的始末位置有关,也与运动路径 的形状有关。 (4)应当明白,动能定理只在惯性系中成立,相应的功 也只能在同一惯性系中计算。
学习要点：变力的功。
3
例题 今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置， 下端连接一质量为m的物体，开始时使弹簧为原长 而物体m恰好与地面接触。今将弹簧上端缓慢地提 起，直到物体m刚能脱离地面时止，求此过程中外 力作的功。 解 将弹簧上端缓慢地提起的过程中， F 需要用多大的外力？
零势点
a
F保 dr
含义：系统在位置a的势能等于系统从该位置移到势 能零点时保守力所作的功。这就是计算势能的方法。 原则上讲，势能的零点是可以任意选择的，因此 势能仅具有相对的意义。
21
4.势能零点的选择 重力势能 (1)零势面可任意选择,由问题的方便而定。 (2)重力势能为 Ep=±mgh (3)物体在零势面以上,重力势能为正,否则为负。 弹性势能 (1)通常规定弹簧无形变(即未伸长也未压缩)时的势 能为零。 (2)弹簧伸长或压缩x时的弹性势能,按定义应为 a 0 1 2 k E p kxdx kx x 2
质点动能定理说明:合外力对质点所作的功等于质 点动能的增量。 (1)功是标量,且有正负。 (2)功是相对量,其大小随所选参考系的 不同而不同。 m
例： 重力对m的功: 地面参考系： A=mgh 物体m参考系： A=0
h
2
f f xi f y j fzk , dr dxi dyj dzk b b A f dr f x dx
2.内力的功 这一对内力所作的元功之和为
外力—系统以外的物体对系统内质点的作用力。
dA f ij dri f ji dr j
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元位移。可见，一对内力的元功之 o 质点j 和转化为其中一个力的功。 r'j o’ (1)通常 dri dr j ,故一对内力所作 图3-9 的功之和一般也不为零。 (2)因相对位移和相对元位移与参考系无关，故 一对内力所作的功之和也与参考系无关。 人在船上行，船在静水中退。
重力的功

a
定义：Epa是系统在位置a的势能; Epb是系统在位置b的势能。
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A保 F保 dr E pa E pb ( E pb E pa )

b
a
式的意义是: 保守力的功等于势能增量的负值。 若取b点为零势点，则由上式我们得到系统在位置a 的势能为
E pa

L
上式表明：保守力的环流(沿任意闭合路径L的线积分) 为零。这也是保守力的一种定义和数学判据。