相似三角形汇总5-相似中的动点问题

相似三角形提高

一、相似三角形动点问题

∥AC．动点D从点A出1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB

1

发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；

（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

2.如图，在△ABC中， ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC 向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．

（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；

②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；

（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．

3.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB 交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．

（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；

（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？

4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm 的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．

（1）当x为何值时，PQ∥BC？

（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．

5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

6.在直角坐标系中，点A 的坐标是（0，2），点B 是x 轴上的一个动点，始终保持△ABC 是等边三角形（点A 、B 、C 按逆时针排列），当点B 运动到原点O 处时，则点C 的坐标是__________.随着点B 在x 轴上移动，点C 也随之移动，则点C 移动所得图象的解析式是__________.

7.如图，抛物线1)2(212--=x y 的对称轴与x 轴点C ，直线y=-x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．点D 是射线BA 上一动点，连结CD ，以CD 为直角边作等腰直角三角形CDE.当点D 从B 点出发开始运动到点E 刚好落在抛物线上，则点E 经过的路径长为 .

8.如图，已知点A 是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y=﹣x 于点N ．若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB=30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是

二、构造相似辅助线——双垂直模型

6.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx 的图象与线段OA 的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．

7.在△ABC 中，AB=52，AC=4，BC=2，以AB 为边在C 点的异侧作△ABD ，使△ABD 为等腰直角三角形，求线段CD 的长．

8.在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点M 是AC 上的一点，点N 是BC 上的一点，沿着直线MN 折叠，使得点C 恰好落在边AB 上的P 点．求证：MC ：NC=AP ：PB ．

9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（1，

3），将矩形沿对角线AC 翻折B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么D 点的坐标为（ ）

A.（54-，512）

B.（52-，513）

C.（21-，513）

D.（53-，5

12）

10.已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。求C、D两点的坐标。

三、构造相似辅助线——A、X字型

11.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证：AB:AC=CF:DF

12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。求证：BE:DE=BC2:CD2

13.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝b ，CD ＝a ，E 为AD 边上的任意一点，EF ∥AB ，且EF 交BC 于点F ，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：

(1)当1=AE DE 时，EF=2b a +；(2)当2=AE DE 时，EF=3

3b a +； (3)当3=AE DE 时，EF=43b a +．当k AE

DE =时，参照上述研究结论，请你猜想用a 、b 和k 表示EF 的一般结论，并给出证明．

14.已知：如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，E 、F 是BC 上的两点，且BE ＝EF ＝FC 。 求BN ：NQ ：QM ．

15.证明：重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的

32．（注：重心是三角形三条中线的交点）

四、相似类定值问题

16.如图，在等边△ABC 中，M 、N 分别是边AB ，AC 的中点，D 为MN 上任意一点，BD 、CD 的延长线分别交AC 、AB 于点E 、F ． 求证：．

17.已知：如图，梯形ABCD 中，AB//DC ，对角线AC 、BD 交于O ，过O 作EF//AB 分别交AD 、BC 于E 、F 。 求证：EO CD AB 111=+．

18.如图，在△ABC 中，已知CD 为边AB 上的高，正方形EFGH 的四个顶点分别在△ABC 上。

求证：EF

CD AB 111=+．