尖子名师-牛吃草问题-高级教师专用
六年级奥数-牛吃草问题-教师讲义
第八讲【2 】牛吃草问题牛吃草问题概念及公式牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,牛吃草问题的汗青来源是17世纪英国巨大的科学家牛顿1642—1727)提出来的.典范牛吃草问题的前提是假设草的发展速度固定不变,不同头数的牛吃光统一片草地所需的天数各不雷同,求若干头牛吃这片草地可以吃若干天.因为吃的天数不同,草又是天天在发展的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化.解决牛吃草问题常用到四个根本公式,分离是︰五大根本公式:1) 设定一头牛一天吃草量为“1”2）草的发展速度＝草量差÷时光差;3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的发展速度×吃的天数;`4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的发展速度）;5)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的发展速度.这五个公式是解决牛吃草问题的基本.起首一般假设每头牛天天吃草量不变,设为"1",解题症结是弄清晰已知前提,进行比较剖析,从而求出每日新长草的数目,再求出草地里原有草的数目,进而解答题总所求的问题.牛吃草问题是经典的奥数题型之一,这里我先介绍一些比较浅易的牛吃草问题,后面给大家开辟一下思维,起首,先介绍一下这类问题的背景,大家看常识要点求天数例1.牧场上长满了牧草,牧草天天匀速发展,这片牧草可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天.问：这片牧草可供25头牛吃若干天？解：假设1头牛1天吃的草的数目是1份草天天的发展量：（200-150）÷（20-10）=5份10×20=200份=原草量+20天的发展量原草量：200-20×5=100份或15×10=150份=原草量+10天的发展量原草量：150-10×5=100份100÷（25-5）=5天答：这片牧草可供25头牛吃5天？演习1（求时光）1．1.一块牧场长满了草,天天平均发展.这块牧场的草可供10头牛吃40天,供15头牛吃20天.可供25头牛吃＿＿天. （）A. 10B. 5C. 20答案：A 假设1头牛1天吃草的量为1份.天天新生的草量为：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）.那么愿草量为：10×40-40×5=200（份）,安排5头牛专门吃天天新长出来的草,这块牧场可供25头牛吃：200÷（25-5）=10（天）.2．一个牧场长满青草,牛在吃草而草又在不断发展,已知牛27头,6天把草吃尽,同样一片牧场,23头牛9天把草吃尽.假如有牛21头,几天能把草吃尽？3．有一片草地,草天天发展的速度雷同.这片草地可供5头牛吃40天,或6供头牛吃30天.假如4头牛吃了30天后,又增长2头牛一路吃,这片草地还可以再吃几天？4．牧场上长满了青草,并且天天还在匀速发展,这片牧场上的草可供9头牛吃20天,可供15头牛吃10天,假如要供18头牛吃,可吃几天？5．因为气象逐渐严寒,牧场上的牧草天天以平均的速度削减,经测算,牧场上的草可供30头牛吃8天,可供25头牛吃9天,那么可供21头牛吃几天？6．因为气象逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长,反而以固定的速度在削减,假如某块草地上的草可供25头牛吃4天,或可供16头牛吃6天,那么可供10头牛吃若干天？7．一片草地,天天都匀速长出青草,假如可供24头牛吃6天,或20头牛吃10天,那么可供18头牛吃几天？8．有一块牧场,可供10头牛吃20天;15头牛吃10天;则它可供25头牛吃若干天？9．牧场上长满牧草,天天匀速发展,这片牧草可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天.可供25头牛吃几天？10.有一块牧场,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供25头牛吃若干天？ A.3 B.4 C.5 D.6【牛先生答案】C 【牛先生解析】设该牧场天天长草量恰可供X头牛吃一天,这片草场可供25头牛吃Y天依据焦点公式代入(200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5(天）【牛先生例5】 A.16 B.20 C.24 D.28 【牛先生答案】C 林子里有山公爱好吃的野果,23只山公可在9周内吃光,21只山公可在12周内吃光,问假如有33只山公一路吃,则须要几周吃光？（假定野果发展的速度不变）A.2周 B.3周 C.4周 D.5周【牛先生答案】C一片牧草,天天发展的速度雷同．如今这片牧草可供20头牛吃12天,或可供60只羊吃24天．假如1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,那么12头牛与88只羊一路吃可以吃若干天？8．有一片草地,天天都在匀速发展,这片草可供16头牛吃20天,可供80只羊吃12天.假如一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,那么10头牛与60只羊一路吃可以吃若干天？8天（1）按牛的吃草量来盘算,80只羊相当于80÷4=20（头）牛.（2）设1头牛1天的吃草量为1份.（3）先求出这片草地天天新发展的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120（份）（5）最后求出10头牛与60只羊一路吃的天数：120÷（10+60÷4-10）=8（天）1.牧场上有一片牧草,可供27头牛吃6周,或者供23头牛吃9周.假如牧草每周匀速发展,可供21头牛吃几周？求牛的数目例2.因为气象逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定速度在削减.已知某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天.照此盘算,可供若干头牛吃10天？解：假设1头牛1天吃的草的数目是1份草天天的削减量：（100-90）÷（6-5）=10份20×5=100份……原草量-5天的削减量原草量：100+5×10=150 或15×6=90 份……原草量-6天的削减量原草量：90+6×10=150份（150-10×10）÷10=5头答：可供5头牛吃10天？总结：想方法从变化中找到不变的量.牧场上原有的草是不变的,新长出的草固然在变化,但是因为是匀速发展,所以天天新长出的草量也是不变的.准确盘算草地上原有的草及天天新长出的草,问题就会水到渠成.演习2（求牛数）1)有一片草地,可供8只羊吃20天,或供14只羊吃10天．假设草的天天发展速度不变．现有羊若干只,吃了4天后又增长了6只,如许又吃了2天便将草吃完,问有羊若干只？2)有一牧场长满草,天天牧草匀速发展.12头牛4周吃完6公顷的牧草,20头牛6周吃完12公顷的牧草．假设每公顷原有草量相等,草的发展速度不变．问若干头牛8周吃完16公顷的牧草？3)有一牧场长满草,天天牧草匀速发展.这个牧场可供17头牛吃30天,可供19头牛吃24天.现有牛若干头在吃草,6天后,杀了4头牛,余下的牛吃了2天将草吃完.问本来有牛若干头？4)有3个牧场长满草,第一牧场33公亩,可供牛22头吃54天;第二牧场28公亩,可供17头牛吃84天,第三牧场40公亩,可供若干头牛吃24天？（每块地每公亩草量雷同且都是匀速发展）5)有一牧场长满牧草,牧草天天匀速发展,这个牧场可供17头牛吃30天,可供19头牛吃24天,如今有若干头牛在吃草,6天后,4头牛逝世亡,余下的牛吃了2天将草吃完,问本来有牛若干头？6)有一块匀速发展的草场,可供12头牛吃25天,或可供24头牛吃10天,那么它可供几头牛吃20天？7)一片匀速发展的草地,可以供18投牛吃40天,或者供12头牛与36只羊吃25天,假如1头牛天天的吃草两相当于3只羊天天的吃草量.请问：这片草地让17头牛与若干只羊一路吃,刚好16天吃完？8)有一口水井,假如水位降低,水就不断地匀速涌出,且到了必定的水位就不再上升.如今用水吊水,假如每分吊4桶,则15分钟能吊干,假如每分钟吊8桶,则7分吊干.如今须要5分钟吊干,每分钟应吊若干桶水？9)有一片牧草,天天以平均的速度发展,如今派17人去割草,30天才能把草割完,假如派19人去割草,则24天就能割完.假如须要6天割完,须要派若干人去割草？10)有一桶酒,天天都因桶有裂痕而要漏掉落等量的酒,如今这桶酒假如给6人喝,4天可喝完;假如由4人喝,5天可喝完.这桶酒天天漏掉落的酒可供几人喝一天？11)一水库存水量必定,河水平均入库.5台抽水机持续20天可抽干;6台同样的抽水机持续15天可抽干.若要6天抽干,须要若干台同样的抽水机？12)有一块牧场,可供10头牛吃20天;15头牛吃10天;则它可供若干头牛吃4天？22头牛吃33公亩牧场的草,54天可以吃尽; 17头牛吃28公亩牧场的草,84天可以吃尽; 若干头牛吃40公亩牧场的草,24天可以吃尽？有一块牧场,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供若干头牛吃4天？ A.20 B.25 C.30 D.35 【牛先生答案】C 【牛先生解析】设该牧场天天长草量恰可供X头牛吃一天, 依据焦点公式代入(20×10-15×10)=5 10×20-5×20=100 100÷4+5=30(头）假如22头牛吃33公亩牧场的草,54天后可以吃尽,17头牛吃28公亩牧场的草,84天可以吃尽,那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草,须要若干头牛？ A.50 B.46 C.38 D.35 【牛先生答案】D 【牛先生解析】设每公亩牧场天天新长出来的草可供X头牛吃1天,每公亩草场原有牧草量为Y , 24天内吃尽40公亩牧场的草,须要Z头牛依据焦点公式：,代入,是以 ,选择D 【牛先生注释】这里面牧场的面积产生变化,所以天天长出的草量不再是常量. 下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法,在真题中的运用. .一块草地上的草以平均的速度发展,假如20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全体吃光,而14只羊则要10天吃光.那么想用4天的时光,把这块草地的草吃光,须要＿＿只羊.（）A. 22B. 23C. 24假设1只羊1天吃草的量为1份.天天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：20×5-8×5＝60（份）安排8只羊专门吃天天新长出来的草,4天时光吃光这块草地共需羊：60÷4+8＝23（只）演习：因气象严寒,牧场上的草不仅不发展,反而天天以平均的速度在削减.已知牧场上的草可供33头牛吃5天,可供24头牛吃6天,照此盘算,这个牧场可供若干头牛吃10天?13.有一牧场,牧草天天匀速发展,可供9头牛吃12天,可供8头牛吃16天,如今开端只有4头牛吃,从第7天开端,又增长了若干头牛,再用6天吃光所有的草,问增长了几头牛？有一片匀速发展的牧草,可供17头牛吃30天,或可供19头牛吃24天.本来有若干头牛在草地上吃草,吃6天后卖了4头,余下的牛再吃2天便将草吃完,问本来有牛若干头？3.有一片牧草,天天以平均的速度发展,如今派17人去割草,30天才能把草割完,假如派19人去割草,则24天就能割完.假如须要6天割完,须要派若干人去割草？牛的数目变化例3：一个牧场上的青草天天都匀速发展.这片青草可供27头牛吃6天,或供23头牛吃9天,现有一群牛吃了4天后卖掉落2头,余下的牛又吃了4天将草吃完.这群牛本来有若干头？解：设每头牛天天的吃草量为1份.天天新生的草量为：（23×9-27×6）÷（20-10）=15份,原有的草量为（27-15）×6=72份.如两端牛不卖掉落,这群牛在4+4=8天内吃草量72+15×8+2×4=200份.所以这群牛本来有200÷8=25头草地大小变化例4：有三块草地,面积分离是5,15,24亩.草地上的草一样厚,并且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块地可供若干头牛吃80天？这是一道牛吃草问题,是比较庞杂的牛吃草问题. 把每头牛天天吃的草看作1份. 因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份所以45－30＝15天,每亩面积长84－60＝24份所以,每亩面积天天长24÷15＝1.6份所以,每亩原有草量60－30×1.6＝12份第三块地面积是24亩,所以天天要长1.6×24＝38.4份,原有草就有24×12＝288份新发展的天天就要用38.4头牛去吃,其余的牛天天去吃原有的草,那么原有的草就要够吃80天,是以288÷80＝3.6头牛所以,一共须要38.4＋3.6＝42头牛来吃.解法一：设每头牛天天的吃草量为1,则每亩30天的总草量为：10*30/5=60;每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩天天的新发展草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12,那么24亩原有草量为12*24=288,24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072,24亩80天共有草量3072+288=3360,所以3360/80=42(头) 解法二：依据10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩,依据28头牛45天吃15亩,可以推出15亩天天新长草量 (28×45-30×30)/(45-30)=24;15亩原有草量：28×45-24×45=180;15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42头演习：有三块草地,面积分离为5公顷,6公顷和8公顷.每块地每公顷的草量雷同并且长的一样快,第一块草地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天.第三块草地可供19头牛吃若干天？有三片草地,面积分离为4公顷,8公顷和10公顷．草地上的草一样厚,并且长得一样快．第一片草地上的草可供24头牛吃6周,第二片草地上的草可供36头牛吃12周．问：第三片草地上的草可供50头牛吃几天？求最大量例5：经测算,地球上的资本可供100亿人生涯100年,或可供80亿人生涯300年.假设地球新生成的资本增长速度是一样的.那么,为了知足人类不断成长的请求,地球最多只能赡养（）亿人. 70解：设1亿人1年所消费的资本为1份那么地球上每年新生成的资本量为：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）只有当地球每年新生资本不少于消费点的资本时,地球上的资本才不至于逐渐削减,才能知足人类不断成长的须要.所以地球最多只能赡养：70÷1=70（亿人）演习3（求最多）1)有一片牧场,操天天都在匀速发展（天天的增长量相等）,假如放牧24头牛,则6天吃完草,假如放牧21头牛,则8天吃完草,设每头牛天天的吃草量相等,问：要使草永久吃不完,最多只能放牧几头牛？假设地球上新增长资本的增长速度是必定的,照此推算,地球上的资本可供110亿人生涯90年,或可供90亿人生涯210年,为了人类不断繁衍,那么地球最多可以赡养若干亿人？有一片牧场,24头牛6天可以将草吃完,或21头牛8天可以吃完.要使牧草永久吃不完,至多可以放牧几头牛？新型牛吃草检票口吃人例1：搭客在车站候车室等车,并且列队的乘客按必定速度增长,检讨速度也必定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当凋谢2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了求增长人数的速度还有本来的人数解：设一个检票口一分钟一小我1个检票口30分钟30小我2个检票口10分钟20小我(30-20)÷(30-10)=0.5小我原有1×30-30×0.5=15人或2×10-10×0.5=15人演习：一游乐场在开门前有100人列队等候,开门后每分钟来的旅客是雷同的,一个进口处每分钟可以放入10名旅客,假如凋谢2个进口处20分钟就没人列队,现凋谢4个进口处,那么开门后若干分钟后没人列队？物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来列队付款,每一个收银台每小时能敷衍80名顾客付款.某天某时刻,超市假如只开设一个收银台,付款开端4小时就没有顾客列队了,问假如当时开设两个收银台,则付款开端几小时就没有顾客列队了？D A.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时D.0.8小时画展9时开门,但早有人来列队等候入场.从第一个不雅众来到时起,每分钟来的不雅世人数一样多.假如开3个入场口,9点9分就不再有人列队了,那么第一个不雅众到达的时光是8点＿＿分. （）A. 10B. 12C. 15C假设每小我口每分钟进入的不雅众量是1份.每分钟来的不雅世人数为（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5（份）到9时止,已来的不雅世人数为：3×9-0.5×9＝22.5（份）第一个不雅众来到时比9时提前了：22.5÷0.5＝45（分）所以第一个不雅众到达的时光是9时-45分=8时15分.禁毒图片展8点开门,但很早便有人列队等候入场.从第一个不雅众到达时起,每分钟来的不雅世人数一样多.假如开3个入场口,8点9分就不再有人列队;假如开5个入场口,8点5分就没有人列队.第一个不雅众到达时距离8点还有若干分钟？画展9点开门,但早就有人列队入场.以第一个不雅众来到时起,每分钟来的不雅世人数一样多.假如开3个入场口,则9分钟后就不再有人列队;假如开5个入场口,则5分钟后就不再有人列队.那么第一个不雅众到达的时光是几点几分？电梯吃人例1.主动扶梯以平均速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼.已知男孩每分钟走20级梯级,女孩每分钟走15级梯级,成果男孩用了5分钟到达楼上,女孩用了6分钟到达楼上.问：该扶梯共有若干级？解析：男孩：20×5 =100（级）主动扶梯的级数-5分钟削减的级数女孩;15×6=90（级）主动扶梯的级数-6分钟削减的级数每分钟削减的级数=(20×5-15×6) ÷(6-5)=10(级)主动扶梯的级数=20×5+5×10=150（级）例两个顽皮孩子逆着主动扶梯行驶的偏向行走,男孩每秒可走3级阶梯,女孩每秒可走2级阶梯,成果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒,女孩走了300秒.问该扶梯共有若干级？3×100=300主动扶梯级数+100秒新增的级数2×300=600主动扶梯级数+300秒新增的级数每秒新增的级数：（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（级）主动扶梯级数=3×100-100×1.5=150（级）主动扶梯以平均速度由下往上行驶,小明和小丽从扶梯上楼,已知小明每分钟走25级台阶,小丽每分钟走20级台阶,成果小明用了5分钟,小丽用了6分钟分离到达楼上.该扶梯共有若干级台阶？商场的主动滚梯以平均的速度由下往上行驶着,两个孩子嫌滚梯走的太慢,于是在行驶的滚梯上,男孩每秒钟向上走1 级台阶,女孩每3秒向上走2级台阶,成果男孩用50秒到达搂上,女孩用了60秒到达搂上.问商场的主动滚梯共有若干级？水管抽水例1.水库原有存水量必定,河水天天入库.5台抽水机持续20天抽干,6台同样的抽水机持续15天可抽干,若要6天抽干,要若干台同样的抽水机？剖析：5台 20天原有水+20天入库量6台 15天原有水+15天入库量？台 6天 -原有水+6天入库量解答：设1台1天抽水量为"1",第一次总量为5×20=100,第二次总量为6×15=90天天入库量(100-90)÷(20-15)=220天入库2×20=40,原有水100-40=606天的总水量60+2×6=7272÷6=12（台）演习：一个水池,池底有水流平均涌出．若将满池水抽干,用10台水泵需2小时,用5台同样的水泵需7小时,现要在半小时内把满池水抽干,至少要如许的水泵若干台？设每台水泵每小时抽水量为一份．（1）水流每小时的流入量：（5×7-10×2）÷（7-2）=3（份）（2）水池原有水量：5×7-3×7=14（份）或 10×2-3×2=14（份）（3）半小时内把水抽干,至少须要水泵：（14+3×0.5）÷0.5=31（台）演习：有一水井,持续不断涌出泉水,每分钟涌出的水量相等.假如运用3架抽水机来抽水,36分钟可以抽完,假如运用5架抽水机来抽水,20分钟可抽完.如今12分钟内要抽完井水,须要抽水机若干架？有一个浇灌用的中转水池,一向开着进水管往里灌水,一段时光后,用2台抽水机排水,则用40分钟能排完;假如用4台同样的抽水机排水,则用16分钟排完.问假如筹划用10分钟将水排完,须要若干台抽水机？【牛先生答案】B A.5台 B.6台 C.7台 D.8台一条船有一个破绽,水以平均的速度漏进船内,待发明时船舱内已进了一些水.假如用12人舀水,3小时舀完.假如只有5小我舀水,要10小时才能舀完.如今要想在2小时舀完,须要若干人？例：有一水池,池底有泉水不断涌出.要想把水池的水抽干,如用10台抽水机需抽8小时;如用8台抽水机需抽12小时.那么,假如用6台抽水机,需抽若干小时？解答：设一台抽水机一小时抽水一份.则每小时涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份,池内原有的水是：（10-5）×20=100份.所以,用25部抽水机须要:100÷(25-5)=5小时演习：一个水池,池底有泉水不断涌出,用10部抽水机20小时可以把水抽干,用15部雷同的抽水机10小时可把水抽干.那么用25部如许的抽水机若干小时可以把水抽干？有一水池,池底有泉水不断涌出,要想把水池的水抽干,10台抽水机需抽8小时,8台抽水机需抽12小时,假如用6台抽水机,那么需抽若干小时？蜗牛登山例：两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底.白天往下爬,两只蜗牛的爬行速度是不同的,一只天天爬行20分米,另一只天天爬行15分米.黑夜往下滑,两只蜗牛滑行的速度倒是雷同的,成果一只蜗牛正好用了5个日夜到达井底,另一只正好用了6个日夜到达井底.那么,井深若干米？蜗牛每夜降低：（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米所以井深：（20+10）×5=150分米=15米点评：此题按牛吃草问题来处理,考核了学生的思维和推理才能．5. 快.中.慢三车同时从A地动身,追赶一辆正在行驶的自行车.三车的速度分离是每小时24千米.20千米.19千米.快车追上自行车用了6小时,中车追上自行车用了10小时,慢车追上自行车用（）小时.自行车的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小时）三车动身时自行车距A地：（24-14）×6==60（千米）慢车追上自行车所用的时光为：60÷（19-14）=12（小时）甲.乙.丙三辆车同时从A地动身,动身后6分钟甲车超过了一名长跑运发动,过了2分钟后乙车也超曩昔了,又过了2分钟丙车也超了曩昔．已知甲车每分钟走1000米,乙车每分钟走800米,求丙车的速度.10. 现有速度不变的甲.乙两车,假如甲车以如今速度的2倍去追乙车,5小时后能追上,假如甲车以如今的速度去追乙车,3小时后能追上.那么甲车以如今的速度去追,几小时后能追上乙车？15小时设甲车如今的速度为每小时行单位“1”,那么乙车的速度为：（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5乙车本来与甲车的距离为：2×5-0.5×5＝7.5所以甲车以如今的速度去追,追及的时光为：7.5÷（1-0.5）=15（小时6. 一水池华夏有一些水,装有一根进水管,若干根抽水管.进水管不断进水,若用24根抽水管抽水,6小时可以把池中的水抽干,那么用16根抽水管,（）小时可将可将水池中的水抽干.设1根抽水管每小时抽水量为1份.（1）进水管每小时卸货量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）（2）水池华夏有的水量为：21×8-12×8＝72（份）（3）16根抽水管,要将水池中的水全体抽干需：72÷（16-12）=18（小时）7. 某船埠剖不断有货轮卸下货色,又不断用汽车把货色运走,如用9辆汽车,12小时可以把它们运完,假如用8辆汽车,16小时可以把它们运完.假如开端只用3辆汽车,10小时后增长若干辆,再过4小时也能运完,那么后来增长的汽车是（）辆.1设每两汽车每小时运的货色为1份.（1）进水管每小时的进水量为：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份）（2）船埠原有货色量是：9×12-12×5＝48（份）（3）3辆汽车运10小时后还有货色量是：48+（5-3）×10=68（份）（4）后来增长的汽车辆数是：（68+4×5）÷4-3=19（辆）9. 某水库建有10个泄洪闸,如今水库的水位已经超过安全警惕线,上游的河水还在按一不变的速度增长.为了防洪,需开闸泄洪.假设每个闸门泄洪的速度雷同,经测算,若打开一个泄洪闸,30小时水位降到安全线,若打开两个泄洪闸,10小时水位降到安全线.如今抗洪批示部请求在5.5小时内使水位降到安全线,问：至少要同时打开几个闸门？4个设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份.（1）水库中每小时增长的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）（2）水库华夏有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×30＝15（份）（3）在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份）（4）至少要开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值）其它情况漏水问题,列队等候问题...等均可看作这种问题. “牛吃草”问题剖析5．答案仅供参考：1．设1头牛吃一天的草量为一份． 60只羊相当于60÷4=15头牛（1）天天新长的草量：（15×24-20×12）÷（24-12）=10（份）（2）原有草量：20×12-10×12=120（份）或 15×24-10×24=120（份）（3）12头牛与88只羊吃的天数：120÷（12＋88÷4-10）=5（天）3．设一只羊吃一天的草量为一份．（1）天天新长的草量：（8×20-14×10）÷（20-10）=2（份）（2）原有的草量：8×20-2×20=120（份）（3）若不增长6只羊,这若干只羊吃6天的草量,等于原有草量加上4＋2=6天新长草量再减去6只羊2天吃的草量：120＋2×（4＋2）-1×2×6=120（份）（4）羊的只数：120÷6=20（只）4．设1头牛吃一周的草量为一份．（1）每公顷每周新长的草量：（20×6÷12-12×4÷6）÷（6-4）=1（份）（2）每公顷原有草量：12×4÷6-1×4=4（份）（3）16公顷原有草量：4×16=64（份）（4）16公顷8周新长的草量：1×16×8=128（份）（5）8周吃完16公顷的牧草须要牛数：（128+64）÷8=24（只）5．（1）长跑运发动的速度：[800×（6+2）-1000×6]÷2=200（米/分）（2）三车动身时,长跑运发动与A地的距离：1000×6-200×6=4800（米）（3）丙车行的旅程：4800+200×（6+2+2）=6800（米）（4）丙车的速度：2.有一口水井,假如水位降低,水就不断地匀速涌出,且到了必定的水位就不再上升.如今用水吊水,假如每分吊4桶,则15分钟能吊干,假如每分钟吊8桶,则7分吊干.如今须要5分钟吊干,每分钟应吊若干桶水？4.有一桶酒,天天都因桶有裂痕而要漏掉落等量的酒,如今这桶酒假如给6人喝,4天可喝完;假如由4人喝,5天可喝完.这桶酒天天漏掉落的酒可供几人喝一天？5.一水库存水量必定,河水平均入库.5台抽水机持续20天可抽干;6台同样的抽水机持续15天可抽干.若要6天抽干,须要若干台同样的抽水机？。
牛吃草问题的详细解法
牛吃草问题的详细解法一、牛吃草问题基础概念。
1. 问题描述。
- 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿问题。
典型的牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
2. 基本公式。
- 设每头牛每天的吃草量为1份。
- 草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数 - 对应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数 - 吃的较少天数)- 原有草量 = 牛头数×吃的天数 - 草的生长速度×吃的天数。
- 吃的天数 = 原有草量÷(牛头数 - 草的生长速度)- 牛头数 = 原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
二、牛吃草问题示例及解析。
1. 题目1。
- 有一片牧场，草每天都在匀速生长。
如果放养24头牛，6天可以把草吃完；如果放养21头牛，8天可以把草吃完。
问：- 要使草永远吃不完，最多放养多少头牛？- 如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？- 解析：- 设每头牛每天吃草量为1份。
- 首先求草的生长速度：(21×8 - 24×6)÷(8 - 6)=(168 - 144)÷2 = 12（份/天）。
要使草永远吃不完，那么牛每天的吃草量不能超过草的生长速度，所以最多放养12头牛。
- 由知草的生长速度为12份/天，先求原有草量：24×6 - 12×6 = 144 - 72 = 72（份）。
- 当放养36头牛时，设可以吃x天，根据原有草量 = 牛头数×吃的天数- 草的生长速度×吃的天数，可得72 = 36x-12x，24x = 72，解得x = 3天。
2. 题目2。
- 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。
那么这片草地可供21头牛吃几周？- 解析：- 设每头牛每周吃草量为1份。
- 草的生长速度(23×9 - 27×6)÷(9 - 6)=(207 - 162)÷3 = 15（份/周）。
牛吃草问题例题及练习.doc
牛吃草问题牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随吃的天数不断地变化。
基本思路：假设每头牛一定时间内吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；（2）原有草量＝（牛头数×吃的天数）－（草的生长速度×同一个吃的天数）；（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
例1 牧场上有一片匀速生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，那么这片牧草可供多少头牛吃12天？解：27头牛6周的吃草量27×6＝162 23头牛9周的吃草量23×9＝207★每天新生的草量(207－162)÷(9－6)＝15★原有的草量207－15×9＝72 ★吃12天牛的头数：72÷12+15=21(头)例2 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。
如果派10人淘水，6小时淘完；如果派6人淘水，18小时淘完。
如果派22人淘水，多少小时可以淘完？解：10人6小时淘水量10×6＝60 6人18小时淘水量6×18＝108★漏进的新水(108－60)÷(18－6)＝4★原有漏进的水60－4×6＝36 ★22人需要时间：36÷(22-4)=2时例3 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟．如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。
小学奥数经典讲义五年级秋季 第十三讲 牛吃草问题 提高班 教师版 (2)
第六讲列方程解应用题方程作为一种工具对于解题有相当大的帮助，教师在讲本讲前一定要强调方程作为一种数学工具对于解题的重要作用，并引申到代数学在整个数学中的重要意义，教师在讲授本章时除了要介绍解方程的方法时，还应该注重以下几点上对学生能力的培养.1、设未知数的主要技巧和手段：找出与其他量的数量关系紧密的关键量.2、用代数法来表示各个量：利用“x”表示出所有未知量或变量.3、找准等量关系，构建方程：明显的等量关系与隐含的等量关系的寻找.对于每一道题教师应该在讲题过程中突出列方程解应用题的步骤，详细讲授用代数式来表示题目中各种未知量的方法步骤，和寻找等量关系的方法等. 讲授应用题前可以用几条方程让学生练习.分析：设x年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.16+12-2x=2×(11+9-2x),解得x=6.Ⅰ、一元一次方程方程是代数学最基本的模型，而一元一次方程是方程中最简单的种类.用方程解应用题的主要步骤：1、仔细审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系. 2、设这个量为x，用含x的代数式来表示题目中的其他量. 3、找到题目中的等量关系，建立方程. 4、运用加减法、乘除法的互逆关系解方程. 5、通过求到的关键量求得题目答案.加减法、乘除法的互逆关系有:加数=和-另一个加数；被减数=差+减数；减数=被减数-差；乘数=积÷另一个乘数；被除数=商×除数；除数=被除数÷商；专题精讲教学目标想挑战吗？甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。
问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？【例1】（★★）三个连续自然数，其中最小的那个数的5倍等于其他两个数和的2倍，那么，这三个数分别是多少？分析：设最小的那个数是x，那么另外两个数分别是x+1，x+2，则有：5x=2（x+1）+2（x+2）x=6，所以这三个数是6、7、8.[拓展]已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元.篮球比排球每个贵10元，足球比排球每个贵8元.问：每个篮球多少元？分析：设每个排球x元，则每个篮球为x+10元，每个足球x+8元，由已知列方程：x+x+8+x+10=35×3，3x+18=105，3x=105-18，3x=87，x=29.所以x+10=29+10=39.【例2】（★★★）甲乙丙三位同学每人得到相同数目的果汁糖.甲花了若干天将糖吃完，乙每天吃3块，比甲晚1天吃完；丙每天吃4块，比甲早2天吃完，问：他们每人得到多少果汁糖？分析：由于题目中乙、丙吃完糖所用的时间均与甲所用的时间有关，故不妨设甲用x天吃完糖.又根据三位同学有“相同”数目的糖建立方程.得：3（x+1）=4（x-2），3x+3=4x-8，4x-3x=3+8，x=11，由：3（11+1）=36或4（11-2）=36得到他们每人得到36个果汁糖.【例3】（★★★）张老师购买了一套教师住宅，原计划采取分期付款方式．一种付款方式是开始第一年先付7万元，以后每年付款1万元；另一种付款方式是前一半时间每年付款2万元，后一半时间，每年付款1万5千元．两种付款方式的付款钱数和付款时间都相同．假如一次性付款，可以少付房款1万6千元．现在张老师决定采用一次性付款方式．问：张老师要付房款多少万元?分析：设分期付款方式的付款时间为2x，则：7+(2x-1)×1=2x+1.5x，7+2x-1=2x+1.5x，6=1.5x．x=6÷1.5，x=4．将x的值代人方程的右式(也可代入左式)，得：分期付款的付款钱数为2×4+1.5×4=14(万元)．所以，一次性付款的钱数为：14—1.6=12.4(万元)．所以张老师要付房款12.4万元．【例4】（★★★）在一条长12米的电线上，黄甲虫在8:20从右端以每分钟15厘米的速度向左端爬去，8:30红甲虫和蓝甲虫从左端分别以每分钟13厘米和11厘米的速度向右端爬去，红甲虫在什么时刻恰好在蓝甲虫和黄甲虫的中间?分析：8：30时黄甲虫距左端1200—15×10=1050(cm)．设再经过t 分钟，红甲虫位于蓝甲虫和黄甲虫的中间(如下图所示)．此时，红甲虫距蓝甲虫(13-11)t 厘米，距黄甲虫[1050-(15+13)t]厘米，可得方程：(13-11)t=1050-(15+13)t ，化简可得t=35．所以从8:30再过35分钟，即9:05时红甲虫恰在蓝甲虫与黄甲虫的中间．[拓展]（★★★）甲、乙两个班的同学去运河公园春游，但只有一辆车接送．甲班的学生坐车从学校出发的同时，乙班学生开始步行．车到途中某处，让甲班学生下车步行，车立即返回接乙班学生上车并直接开往运河公园．两个班的学生步行速度均为每小时5千米，汽车载学生行驶的速度是每小时50千米．空车行驶时每小时行60千米．问：要使两班学生同时到达运河公园，甲班学生步行了全程的几分之几?分析：甲、乙两班学生要同时到达运河公园，则这两班学生步行的路程必须相等．如果两班学生各走了x 千米，而全程共有s 千米时，则行程可用图表示．可以利用甲班学生步行所用的时间5x 与乙班学生坐车的时间50s x -及空车返回的时间260s x -之和相等的关系来列方程．250605s x s x x --+= 6()5(2)60s x s x x -+-= 1176x s = 所以甲班学生步行了全程的1176.【例5】（★★★）某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？分析：设八个家庭中有x个是三口之家.(8-x)个两口之家.则如果各买各的要花30x+2×8×40=32×（2×8+x）+120.30x+640=512+32x+1202x=8x=4所以旅游团一共有2×8+4=20人.【例6】（★★★奥数网原创题）甲、乙两人在10年前的年龄比为2：3，现在他俩的年龄比为3：4，那么10年后他俩的年龄比为多少？分析：设10年前甲的年龄为2x，则乙的年龄为3x，那现在根据俩人的年龄比可得到方程：（2x+10）：（3x+10）=3：4，等式两边前后项交叉相乘可得8x+40=9x+30，则x=10，所以10年前甲的年龄为20岁，乙的年龄为30岁，10年后两人分别是40岁，50岁.俩人的年龄比为4：5.Ⅱ、二元一次方程（多元一次方程）[前铺]在开始本类题目时，最好拿几道二元一次方程给学生练练.(1) 2x=5y (2) 2x+3y=12 (3) 1.5x+0.6y=7.8x+y=7 3x+2y=13 2.2x+1.4y=13答案： x=5 x=3 x=4y=2 y=2 y=3【例7】（★★）买来8角邮票与5角邮票共100张，总值68元．8角邮票和5角邮票各买了多少张?分析：方法一：设8角的邮票共x 张，则5角的邮票有100-x 张，由邮票总值可列方程：0.8x+0.5（100-x ）=68，解得x=60，所以8角的邮票买了60张，5角的邮票买了40张.方法二：题中要求8角和5角的邮票各买了多少张，可分别设为未知数x ，y ，再根据两种邮票的总张数与总价值分别列出两个方程．设8角邮票买了x 张，5角邮票买了y 张．则可列出方程组：x ＋y=100, ① 8x ＋5y=680, ②由①×5，得5z+5y=500． ③由②-③，得8x+5y 一(5x+5y)=680—500，故x=60．把x=60代入①，得60+y=100，y=40．所以8角邮票买了60张，5角邮票买了40张．【例8】（★★）儿子与父亲下围棋，双方约定父亲胜一局就得2分，儿子胜一局得8分，负的一方不管是谁都要扣1分，比赛24局以后，父子得分相同，问他们各胜几局．分析：方法一：设儿子胜了x 局，输了（24-x ）局，父亲胜了（24-x ）局，输了x 局，则由得分关系有：8x-（24-x ）=2（24-x ）-x ，解得x=6，所以儿子赢了6局，父亲赢了18局.方法二：这一题中要求儿子和父亲各胜多少局，可分别设两个未知数为x 和Y ，要解答两个未知数的值，一般要根据不同的等量关系列出两个方程．题中儿子、父亲比赛的总局数是24局，可列出一个方程：x+y=24．另外，两人的得分相同，儿子胜的局数正好是父亲负的局数，由此列出另一条方程8x-y=2y-x ．所以可列出方程组：x+y=24 ①8x-y=2y-x ②将②变形为y ＝ 3x ． ③把③代入①，得x ＋3x=24，x=6．把x ＝6代人③，得 y ＝18．所以儿子胜了6局，父亲胜了18局．【例9】有两辆卡车要将几十筐水果运到另一个城市，由于可能超载，所以要将两辆卡车中的一部分转移到另外一辆车上去，如果第一辆卡车转移出20筐，第二辆卡车转移出30筐，那么第一辆卡车剩下的水果筐数是第二辆的1.2倍，如果第一辆卡车转移出21框，第二辆卡车转移出25框，那么第三辆车上的水果筐数是前面两辆车水果筐数和的一半，求原来两辆车上装有多少框水果？分析：设第一辆卡车上的水果有x 筐，第二辆卡车上的水果有y 筐，则有： x-20=1.2（y-30）x-21+y-25=2（21+25）解得：x=68，y=70⎧⎨⎩⎧⎨⎩[拓展]（★★★★）某校四年级原有两个班，现在要重新编为三个班，将原来一班的三分之一与原来二班的四分之一组成新一班，将原来一班的四分之一与原来二班的三分之一组成新二班，余下的30人组成新三班，如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？分析：设原来两个班分别有x ，y 人，那么 1111(1)(1)303434x y --+--= 11111.1()3434x y y x +=+ 解得x=48，y=24.原来1班有48人.【例10】（★★★）平行四边形ABCD 的周长是80厘米，以AD 为底时，高为12厘米．以AB 边为底，高为20厘米，求平行四边形ABCD 的面积．1220D C BA分析：平行四边形的周长是两条邻边之和的2倍，即(AB+AD)×2，又因为同一平行四边形中，底与对应的高相乘的积都相等，根据这两个等量关系，可列出方程组．设AB 的长为x 厘米，AD 的长为y 厘米，则：2(x+y)=80, ① 20x=12y. ②将②变形为：x=1220y ③ 把③代入①，得122(y y)8020+=，于是y 25=. 把y 25=代入③，得15x =.所以平行四边形的面积是20×15=300平方厘米.⎧⎨⎩【例11】（★★）甲、乙两人今年的年龄之和是41岁，乙、丙两人今年的年龄之和是36岁，甲、丙两人今年的年龄之和是39岁，问甲、乙、丙三人今年的年龄各是多少岁?分析：设甲乙丙三人的年龄分别是x ，y ，z ，则可列出方程：x+y=41 ①y+z=36 ②x+z=39 ③化简这个方程组有两种方法：方法一：加减消元法，①+③-②，得到2x=44，x=22.然后再将x=22代入①、③即可得到y 、z 的年龄.方法二：由①可得到y=41-x ，由③可得到z=39-x ，将得到的两条式子代入到③中即可得到（41-x ）+（39-x ）=36，同样可得出x=22.方法三：将三条等式相加，化简可得：x+y+z=58. ④将④分别减去②、③、①即可得到x 、y 、z 分别等于22、19、17，所以甲乙丙三个人年龄分别为22岁、19岁、17岁.【例12】（★★★）五年级三个班共有82人参加国际象棋比赛，其中一班人数的14比二班人数的15多1人，一班人数的14与二班人数的15的和等于三班人数的13，一、二、三班各参加多少人? 分析：要求的一、二、三班各参加的人数可分别用x ，y ，z 表示，根据三个班的总人数以及各班人数之间的关系直接列出方程组来解答：82x y z ++= ①11145x y -= ② 111453x y z += ③ 由②+③，得11123x z =+ ④ 由②×⑤+①，得12874x z += ⑤ 由④×2，代入⑤，得122(2)8743z z ++=，于是z=33，把33z =代入④，得1133123x =⨯+，于是x=24， 把24x =，33z =代入①，得24+y+33=82，于是y=25,所以三个班级分别参加24、25、33人.方程的运用的意义不仅仅在于能更方便地解题了，更在于在解题过程运用了代数学方法，以后我们还要接触到不定方程等竞赛内容，在解决数阵、幻方等问题中我们也会经常用到方程和代数的一些方法1、（★★）八年前，甲的年龄是乙的年龄的2.5倍；而现在甲的年龄是乙的年龄的1.5倍，那么甲今年多少岁？分析：设甲的今年1.5x 岁，则乙的年龄为x ，由两年前的年龄关系可得到关系式：1.5x-8=2.5（x-8），方程解得x=12，所以甲今年18岁.2、（★★★）小龙、小虎、小方和小圆四个孩子共有45个球，但不知道每个人各有几个球，如果变动一下，小龙的球减少2个，小虎的球增加2个，小方的球增加一倍，小圆的球减少一半，那么四个人球的个数就一样多了。
最新小学奥数 工程问题之牛吃草问题教师版
最新小学奥数 工程问题之牛吃草问题知识点拨：英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：① 草的每天生长量不变；② 每头牛每天的食草量不变；③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④ 新生的草量=每天生长量⨯天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)； ⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．例题精讲：板块一、一块地的“牛吃草问题”【例 1】 青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。
改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮？（注：“廿”的读音与“念”相同。
“廿”即二十之意。
）【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。
若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了276162⨯=份；23头牛吃9周共吃了239207⨯=份．第二种吃法比第一种吃法多吃了20716245-=份草，这45份草是牧场的草963-=周生长出来的，所以每周生长的草量为45315÷=，那么原有草量为：16261572-⨯=．供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要72612÷=(周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周． 3个星期21头牛？个星期23头牛9个星期27头牛6个星期【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200⨯=份；15头牛吃10天共吃了1510150⨯=份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050-=份草，这50份草是牧场的草201010-=天生长出来的，所以每天生长的草量为50105÷=，那么原有草量为：200520100-⨯=．供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205÷=(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．【例 2】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15⨯-⨯÷-=，原有草量为(2715)672-⨯=，可供72181519÷+=（头）牛吃18周【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015-=天生长的草量为1225241060⨯-⨯=，所以每天生长的草量为60154÷=；原有草量为：()24410200-⨯=．20天里，草场共提供草200420280+⨯=，可以让2802014÷=头牛吃20天．【巩固】 (2007年湖北省“创新杯”)牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则 头牛96天可以把草吃完．【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为()()103060702460243⨯-⨯÷-=，牧场原有草量为10306016003⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，要吃96天，需要10160096203÷+=(头)牛．【巩固】 一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?【解析】 设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为：(509587)(97)22⨯-⨯÷-=，原有草量为：509229252⨯-⨯=，(252226)664+⨯÷=(头)【巩固】 林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）【解析】 设一只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速度是(2112239)(129)15⨯-⨯÷-=，原有的野果为(2315)972-⨯=，如果要4周吃光野果，则需有7241533÷+=只猴子一起吃【例 3】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：()()2051566510⨯-⨯÷-=，原有草量为：()20105150+⨯=；10天吃完需要牛的头数是：15010105÷-=(头)．【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。
五年级奥数-第十二讲.工程问题之牛吃草.教师版
第十二讲工程问题之牛吃草问题教学目标：1.理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.2.初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系知识点拨：英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②每头牛每天的食草量不变；③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④新生的草量=每天生长量⨯天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．例题精讲：板块一、一块地的“牛吃草问题”【例 1】青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。
改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮（注：“廿”的读音与“念”相同。
“廿”即二十之意。
）【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。
若是21头牛，要几个星期才可以吃完（注：牧场的草每天都在生长）【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了276162⨯=份；23头牛吃9周共吃了239207-=份草，这45份草是牧场的草⨯=份．第二种吃法比第一种吃法多吃了20716245-⨯=．÷=，那么原有草量为：16261572 -=周生长出来的，所以每周生长的草量为45315963供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要72612÷=(周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周．【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200⨯=份；15头牛吃10天共吃了1510150⨯=份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050-=份草，这50份草是牧场的草201010-=天生长出来的，所以每天生长的草量为50105÷=，那么原有草量为：200520100-⨯=．供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205÷=(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．【例 2】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15⨯-⨯÷-=，原有草量为(2715)672-⨯=，可供72181519÷+=（头）牛吃18周【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015-=天生长的草量为1225241060⨯-⨯=，所以每天生长的草量为60154÷=；原有草量为：()24410200-⨯=．20天里，草场共提供草200420280+⨯=，可以让2802014÷=头牛吃20天．【巩固】 (2007年湖北省“创新杯”)牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则 头牛96天可以把草吃完．【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为()()103060702460243⨯-⨯÷-=，牧场原有草量为10306016003⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，要吃96天，需要10160096203÷+=(头)牛．【巩固】 一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完【解析】 设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为：(509587)(97)22⨯-⨯÷-=，原有草量为：509229252⨯-⨯=，(252226)664+⨯÷=(头)【巩固】 林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃（假定野果生长的速度不变）【解析】 设一只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速度是(2112239)(129)15⨯-⨯÷-=，原有的野果为(2315)972-⨯=，如果要4周吃光野果，则需有7241533÷+=只猴子一起吃【例 3】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：()()2051566510⨯-⨯÷-=，原有草量为：()20105150+⨯=；10天吃完需要牛的头数是：15010105÷-=(头)．【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。
数学教案范例牛吃草问题
数学教案范例-牛吃草问题教学目标：1. 理解牛吃草问题的基本概念和模型。
2. 学会运用牛吃草问题的模型解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学重点：1. 牛吃草问题的模型及其应用。
2. 解决实际问题的方法和策略。
教学难点：1. 理解牛吃草问题的本质和模型。
2. 将实际问题转化为牛吃草问题模型。
教学准备：1. PPT课件。
2. 教学案例和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入话题：介绍牛吃草问题的背景和实际意义。
2. 提问：什么是牛吃草问题？为什么会产生这个问题？二、基本概念和模型（10分钟）1. 讲解牛吃草问题的基本概念。
2. 引入牛吃草问题的模型：y= (n-x)t。
3. 解释模型中的各个参数含义。
三、案例分析（10分钟）1. 提供一组牛吃草问题的案例。
2. 引导学生运用牛吃草模型解决问题。
3. 讨论和分析解题过程和结果。
四、解决实际问题（10分钟）1. 提供实际问题案例，让学生转化为牛吃草问题。
2. 指导学生运用牛吃草模型解决实际问题。
3. 讨论和分析解题过程和结果。
五、练习和总结（5分钟）1. 提供一些练习题，让学生独立解决。
2. 总结牛吃草问题的解题方法和技巧。
3. 强调牛吃草问题在实际中的应用价值。
教学反思：本节课通过讲解牛吃草问题的基本概念和模型，让学生理解并学会运用牛吃草模型解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生分析和转化实际问题为牛吃草问题，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
通过练习和讨论，巩固所学知识，提高学生对牛吃草问题的应用能力。
六、实例解析与模型建立（10分钟）1. 通过一个具体的牛吃草问题实例，让学生观察和分析问题。
2. 引导学生根据实例建立牛吃草问题的模型。
3. 讨论模型的建立过程和依据。
七、模型的应用与拓展（10分钟）1. 提供一些不同类型的牛吃草问题实例，让学生应用已建立的模型进行解决。
2. 引导学生思考如何将牛吃草问题的模型应用到其他类似问题上。
牛吃草问题(含例题、答案、讲解)
小学数学牛吃草问题知识点总结牛吃草问题：牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
小升初冲刺第2讲牛吃草问题基本公式：1）设定一头牛一天吃草量为“ 1”2）草的生长速度=（对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数X吃的较少天数）十（吃的较多天数一吃的较少天数）；3）原有草量=牛头数X吃的天数一草的生长速度X吃的天数；'4）吃的天数=原有草量十（牛头数—草的生长速度）；5）牛头数=原有草量十吃的天数+草的生长速度。
例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。
问：这片牧草可供25头牛吃多少天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：（200-150）-（20-10）=5 份10X 20=200份……原草量+20天的生长量原草量：200-20 X 5=100 或150-10 X 5=100份15X 10=150份……原草量+10天的生长量100 -（25-5 ）=5天［自主训练］牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：（180-150）-（20-10）=3 份9X 20=180份……原草量+20天的生长量原草量：180-20 X 3=120份或150-10 X 3=120 份15X 10=150份……原草量+10天的生长量120 -（18-3）=8天例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。
牛吃草问题精讲细练
牛吃草问题精讲细练牛吃草问题也叫牛顿问题或是消长问题，因由牛顿提出而得名，也有人称这一类问题叫做牛吃草问题。
英国著名的物理学家学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。
这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？解题关键牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。
解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)；4、最后求出可吃天数想：这片草地天天以匀速生长是分析问题的难点。
把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。
求出了这个条件，把所有头牛分成两部分来研究，用其中头吃掉新长出的草，用其余头数吃掉原有的草，即可求出全部头牛吃的天数。
设一头牛1天吃的草为一份。
那么10头牛22天吃草为1×10×22=220份，16头牛10天吃草为1×16×10=160份（220-160）÷（22-10）=5份，说明牧场上一天长出新草5份。
220-5×22=110份，说明原有老草110份。
综合式：110÷（25-5）=5.5天，算出一共多少天。
牛顿曾提出的问题牛顿在其著作《普遍的算术》(1707年出版)中提出如下问题："12条公牛在四个星期内吃掉了三又三分之一由格尔的牧草；21条公牛在9星期吃掉10由格尔的牧草，问多少条公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草？"（由格尔是古罗马的面积单位，1由格尔约等于2,500平方米）。
这个著名的公牛问题叫做“牛顿问题”。
牛顿曾说过：“如果我看得比别人更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上”。
小学“牛吃草”应用题详解-word文档资料
小学“牛吃草”应用题详解“牛吃草”问题【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。
这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。
例1 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。
问多少头牛5天可以把草吃完？解草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。
求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以1×10×20＝原有草量＋20天内生长量同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量由此可知（20－10）天内草的生长量为1×10×20－1×15×10＝50因此，草每天的生长量为50÷（20－10）＝5（2）求原有草量原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100（3）求5 天内草总量5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125 （4）求多少头牛5 天吃完草因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数125÷5＝25（头）答：需要5头牛5天可以把草吃完。
例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。
如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。
求17人几小时可以淘完？解这是一道变相的“牛吃草”问题。
经典牛吃草问题基本知识-5星题(含解析)全国通用版
应用题-经典应用题-牛吃草问题基本知识-5星题课程目标知识提要牛吃草问题基本知识•概述牛吃草问题：又称为消长问题，是英国伟大的科学家牛顿在他的<普遍算术>一书中提出的一个数学问题，所以也称为“牛顿问题”，俗称“牛吃草问题”．解决该问题要抓住两个关键量：草的生长速度和草原的原草量•公式：设定1头牛1天吃草量为“1”；（1）草的生长速度=（对应牛的头数×吃的较多的天数-对应牛的头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）（2）原有草量=牛的头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数（3）吃的天数=原有草量÷（牛的头数-草的生长速度）（4）牛的头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
•牛吃草的变型“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．精选例题牛吃草问题基本知识1. 一个大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不断流入，若安排4台污水处理设备，36天可将池中的污水处理完；若安排5台污水处理设备，27天可将池中的污水处理完；若安排7台污水处理设备，天可将池中的污水处理完．【答案】18【分析】牛吃草问题变形．不妨设一台污水处理设备一天处理一份污水，每天新流入的污水：(4×36−5×27)÷(36−27)=1(份).原有的污水量：4×36−1×36=108(份).分牛法：1台污水处理设备处理每天新流入的污水，剩下6台设备处理原有污水108÷(7−1)=18(天).2. 解放军战士在洪水不断冲毁大坝的过程中要修好大坝．若10人需45分钟，20人需20分钟，则14人修好大坝需分钟．【答案】30【分析】设每个人1分钟修好1份．10×45=450(份),20×20=400(份),每分钟新冲毁：(450−400)÷(45−20)=2(份),原先冲毁：450−2×45=360(份),360÷(14−2)=30(分钟).3. 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水．第一个桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶装满．第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它装满？（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）【答案】6【分析】小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了2×4−1×3＝5(米)路，所以从杯中流出的速度是1×5＝0.2(杯/米)，于是1桶水原有水量等于3−3×0.2＝2.4(杯)水，所以小方要2.4÷(1−3×0.2)＝6(次)才能把第三个桶装满．4. 如下图所示，一块正方形草地被分为完全相同的四块以及中间的阴影部分．已知草一开始是均匀分布，且以恒定的速度均匀生长．但如果某块地上的草被吃光，就不再生长（因为草根也被吃掉了）．老农先带着一群牛在1号草地上吃草，两天后把1号草地上的草全部吃完（这期间其他草地的草正常生长）．之后他让一半牛在2号草地上吃草，另一半在3号草地上吃草，结果又过了6天，这两个草地上的草也全部吃完．最后，老农把3的牛放在阴影草地上吃草，5而剩下的牛放在4号草地上，最后发现两块草地上的草同时吃完．如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要多少天？【答案】110【分析】设牛的头数为[2,5]=10头，设一头牛一天吃一份草，所以1，2，3，4号草地的生长速度为(5×6−10×2)÷6=5 3 ,原有草量为2×10−53×2=503,阴影分配牛的头数是4的1.5倍，所以阴影草地的成长速度和原有草量都是4号的1.5倍，所以整块草地的生长速度为5 3×4+53×1.5=556,原有草量为50 3×4+503×1.5=2753,一开始就让这群牛在整块草地上吃草，那么吃完这些草需要275 3÷(10−556)=110(天).方法二：假设1至4号草地每块面积为a，生长速度为v，1号草地2天吃完，草总量为a+ 2v；2号和3号草地，接着6天吃完，草总量为2a+16v；6天吃完的草总量应为2天吃完草总量的3倍，即：3(a+2v)＝2a+16v,可得a＝10v，牛群每天吃草6v；又35的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外25的牛放在4号草地吃草，它们同时把草场上的草吃完，说明阴影部分为4号草地的1.5倍；相当于整个草地面积为5.5a，即55v，每天长草5.5v，于是，草可吃55v6v−5.5v=110(天).5. 有一牧场，草均匀生长，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草？【答案】40头【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为：(17×30−19×24)÷(30−24)=9,原有草量为：(17−9)×30=240.现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这4头牛，那么原有草量需增加4×2=8才能恰好供这些牛吃8天，所以这些牛的头数为：(240+8)÷8+9=40(头).6. 一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量，现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？【答案】12天【分析】根据题意可得：15天马和牛吃草量=原有草量+15天新生长草量⋯⋯①20天马和羊吃草量=原有草量+20天新长的草量⋯⋯②30天牛和羊(等于马)吃草量=原有草量+30天新生长草量⋯⋯③由①×2−③可得：30天牛吃草量=原有草量,所以：牛每天吃草量=原有草量÷30;由③可知，30天羊吃草量=30天新生长草量,所以：羊每天吃草量=每天新生长草量;设马每天吃的草为3份，将上述结果带入②得：原有草量=20×3=60(份),所以：牛每天吃草量=60÷30=2(份).这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃：60÷(2+3)=12(天).7. 早晨6点，某火车进口处已有一些名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站．这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客．现要求5分钟放完，需设立几个检票口？【答案】11【分析】设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客．（1）1分钟新来多少个单位的旅客：(4×15−8×7)÷(15−7)=12(个)；（2）检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候：4×15−12×15=5212(个)；（3）5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客：5212+(12×5=55(个)；（4）设立几个检票口：55÷5＝11(个)．8. 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水．如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空．现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？【答案】54分钟．【分析】先计算1个水龙头每分钟放出水量．2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4×60=240(立方米)．时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240÷(5×150−8×90)=8(立方米)，8个水龙头1个半小时放出的水量是8×8×90，其中90分钟内流入水量是4×90，因此原来水池中存有水8×8×90−4×90=5400(立方米)．打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400÷(8×13−4)=54(分钟)．所以打开13个龙头，放空水池要54分钟．本题实际上是牛吃草问题的变形，水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水．这在题目中却是隐含着的．9. 小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，多少分钟能追上．【答案】45【分析】本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合．小明在3−1＝2(小时)内走了15×3−35×1＝10(千米)，那么小明的速度为10÷2＝5(千米/时)，追及距离为(15−5)×3＝30(千米)．汽车去追的话需要：30÷(45−5)＝34(小时)＝45(分钟)．10. 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有几级台阶．【答案】60。
牛吃草问题的经典解析
第7讲三年级春季年龄问题四年级秋季平均数进阶五年级暑假牛吃草五年级秋季分数应用题五年级秋季工程问题经典的牛吃草问题；牛吃草问题的变形漫画释义知识站牌牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
1.熟练掌握经典牛吃草问题的处理方式；2.掌握牛吃草问题的本质，会处理变形的牛吃草问题．牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。
这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？这就是经典的“牛吃草问题”，这道题的关键在于，草的总量是变化的（草要不停地长哦）。
同学们，今天我们就来学习这个非常有趣的数学题目。
“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。
解题环节主要有三步：1、求出草的生长速度2、求出牧场原有草量3、最后求出可吃天数或牛的头数相关公式⑴草的生长速度=（对应的牛头数⨯吃的较多天数-相应的牛头数⨯吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）；⑵原有草量=牛头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑶吃的天数=原有草量÷（牛头数-草的生长速度）；⑷牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
课堂引入经典精讲教学目标第7讲模块1：1-3,经典牛吃草问题模块2：4-5,变形的牛吃草.有一块匀速生长的草场，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。
若是21头牛，要几个星期才可以吃完？(学案对应：学案1)【分析】设1头牛1周的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了276162⨯=份；23头牛吃9周共吃了239207⨯=份．第二种吃法比第一种吃法多吃了20716245-=份草，这45份草是牧场的草963-=周生长出来的，所以每周生长的草量为45315÷=，那么原有草量为：16261572-⨯=．供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要72612÷=(周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周．【巩固】有一块匀速生长的草场，30头牛5天可以吃完，或者35头牛4天可以吃完。
(尖子生培优)牛吃草问题-四年级数学思维拓展含参考答案
牛吃草问题1、英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长。
后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”。
2、“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。
“牛吃草”问题是小学应用题中的难点。
3、解“牛吃草”问题的主要依据：草的每天生长量不变每头牛每天的食草量不变草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值新生的草量=每天生长量×天数4、同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”⑵草的生长速度=(对应牛的头数×较多天数−对应牛的头数×较少天数)÷(较多天数−较少天数) ⑶原来的草量=对应牛的头数×吃的天数−草的生长速度×吃的天数⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数−草的生长速度)⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度5、“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。
1．某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加．为了防洪，需开闸泄洪．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线．现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？2．一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。
开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。
池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。
如果能力巩固提升把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知道不知道？ 我们生活的环境越来越恶劣，同学们知道为了爱护环境而确立的世界地球日是 哪一天吗？
【超常大挑战】(★★★★) ( (“创新杯”数学邀请赛) 创新杯 数学邀请赛) 某游乐场开门前有400人在排队，开门后每分钟来的人数是固定的, 一个入口 每分钟进入10个人 如果开放了4个入口，20分钟后就没有人排队了，现在开 每分钟进入10个人, 放6个入口，那么开门____分钟后没有人排队了.
2
牛吃草问题
本讲主线
1. 典型牛吃草问题.
2. 牛吃草问题的变形.
1. “牛吃草”涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间． 2. 难点：随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总 量一直在变． 3. “牛吃草”解答的依据： ①草的每天生长量不变； ②每头牛每天的食草量不变； ③草的总量 草场原有的草量＋新生的草量 ③草的总量＝草场原有的草量＋新生的草量. 4. “牛吃草”问题有很多的变例，本质和解题思路 只有理解了 牛吃草 问题的本质和解题思路，才能以不变应万变， 才能以不变应万变 轻松解决此类问题
1
【例4】(★★★★)
天气逐渐冷起来, 牧场上的草不仅不生长, 反而以固定的速度在减 少 已知某块草地上的草可供20头牛吃5天, 少. 知某块草地上的草 供 头牛吃 或 供 头牛吃 或可供15头牛吃6天. 照 此计算, 可以供多少头牛吃10天？
【例5】(★★★)
一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内. 如果10 人淘水，3小时淘完. 如果5人淘水，8小时淘完. 如果要求2小时淘 完，要安排多少人淘水？
板块 牛吃草 板块二:牛吃草问题的演绎 的演 板块 典型牛吃草问题 板块一:典型牛吃草问题
【例1】(★★★) 有 块匀速生长的草场 有一块匀速生长的草场，可供24头牛吃10天或可供12头牛吃 供 头牛吃 或 供 头牛吃 25天. 可供 供 29头牛吃几天？ 【例3】(★★★★) 有 片草 有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70 草每 的生长速度相 若 牛 将草吃完 只羊16天也可将草吃完(4只羊1天的吃草量相当于1头牛1天的吃草量)。 那么 17头牛和20只羊多少天可将草吃完？ 那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完？
【课前小练习】(★) 1. 假如一头牛每天吃1份草，那么：10头牛12天吃____份草； 2. 如果一头牛每天吃1份草，那么：150份草可以供___头牛吃5天. 牛每 吃 草 草 牛吃
【例2】(★★★) 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长. 这片牧场可供10头牛吃20天， 可供15头牛吃10天 那么这片牧场可供几头牛吃25天？ 可供15头牛吃10天.
知识大总结
1. 牛 牛吃草—四步法： 草 步 (1) 设1牛1天吃1份； (2) 求草长速； (3) 求原有草； (4) 分牛. 2. 牛吃草的演绎：两种动物，天气变冷，排队问题. 3. 关键点：对比两个条件，找到草长速度. 【今日讲题】 例 ，例 ，例 例2，例3，例5 【讲题心得】 _____________________________________________________________。 【家长评价】 _____________________________________________________________。