2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版讲义：第九章 平面解析几何9.7 含解析

§9.7 抛物线

最新考纲

考情考向分析

1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点.题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.

1.抛物线的概念

平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y 2＝2px

(p >0)

y 2＝－2px (p >0)

x 2＝2py (p >0)

x 2＝－2py (p >0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

图形

顶点坐标 O (0,0)

对称轴 x 轴

y 轴

焦点坐标 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0

F ⎝⎛⎭

⎫－p

2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p

2 离心率 e ＝1

准线方程 x ＝－p

2

x ＝p 2 y ＝－p

2

y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R

x ≤0，y ∈R

y ≥0，x ∈R

y ≤0，x ∈R

开口方向

向右

向左

向上

向下

概念方法微思考

1.若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F 且与l 垂直的直线.

2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？

提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × )

(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫

a 4，0，准线方程是x ＝－a

4

.( × )

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × )

(4)AB 为抛物线y 2

＝2px (p >0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p

2

4

，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )

(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编

2.过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )

A.9

B.8

C.7

D.6 答案 B

解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.

3.若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2 B.135 C.14

5 D.3

答案 A

解析 由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距

离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|

32＋42

＝2.故选A.

4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________.

答案y2＝－8x或x2＝－y

解析设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0).

将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.

题组三 易错自纠

5.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12

答案 B

解析 如图所示，

抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作P A ⊥y 轴，垂足是A ，延长P A 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B.

6.已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A.y 2＝±22x B.y 2＝±2x C.y 2＝±4x D.y 2＝±42x

答案 D

解析 由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0). 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p 2＝2，

所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .故选D.

7.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________. 答案 [－1,1]

解析 Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， 由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.

题型一 抛物线的定义和标准方程

命题点1 定义及应用