反函数3
反三角函数的概念和性质
反三角函数的概念和性质-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1反三角函数的概念和性质．一．基础知识自测题：1．函数y＝arcsin x的定义域是 [－1, 1]，值域是.2．函数y＝arccos x的定义域是 [－1, 1] ，值域是[0, π] .3．函数y＝arctg x的定义域是R，值域是.4．函数y＝arcctg x的定义域是R，值域是(0, π) .5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝. 6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝.7．若cos x＝－, x∈(, π)，则x＝.8．若sin x＝－, x∈(－, 0)，则x＝.9．若3ctg x＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝.二．基本要求：1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；5．注意恒等式sin(arcsin x)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈[－1, 1],arcsin(sin x)＝x, x∈[－，], arccos(cos x)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；7．注意恒等式arcsin x＋arccos x＝, arctg x＋arcctg x＝的应用。
2.5.3 函数的单调性与反函数(三)
2011-3-9
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13
§2.5.3 函数的单调性与反函数(三)
课堂练习 <<教材 教材>> 教材 P.28 书面作业 <<教材 教材>> 教材 P. 29 解答题13.14 解答题
2011-3-9 14
填空题
以及它们图象间的关系. 以及它们图象间的关系. 并作出反函数的图象
所求函数的反函数是
x +1 (−1 ≤ x ≤ 0) f ( x) = − x (0 < x ≤ 1)
−1
y
。
O x
2011-3-9
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§2.5.3 函数的单调性与反函数(三)
误解分析
在涉及到反函数问题时， 在涉及到反函数问题时，要特别注意原函数与反函数 的定义域与值域之间的关系，以及它们图象间的关系. 的定义域与值域之间的关系，以及它们图象间的关系.
f −1( x) =− −x, x ∈( −∞, −4] 3.函数 函数f(x)=-x2(x∈(-∞,-2]的反函数是 的反函数是______________ 函数 ∈ 的反函数是 x −5 4.已知函数 已知函数f(x) = 的图象关于直线y=x对称 则实数 对称,则实数 已知函数 的图象关于直线 对称 2x 2x + m m的值是 的值是________ 的值是 -1
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§2.5.3 函数的单调性与反函数(三)
2x −1 1 ( x ∈ R) ，求 f ( ) 的值 7.已知函数 f ( x) = 已知函数 x 3 1+ 2 −1 1 解题分析: 解题分析 要求 ( ), 可先求出 −1(x) f f 2 , 得(1− y) ⋅ 2x = y 解法1：由f ( x) = 1+ 2x
反函数与函数的图像变换
反函数与函数的图像变换一、反函数当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。
比如，指数函数2x y =与对数函数2log x 互为反函数。
函数()y f x =的反函数用1()y f x -=表示。
设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中,x y 的关系，我们可以用y 把x 表示出来，得到()x y ϕ=，若对于y 在C 中每一个值，都只有唯一的x A ∈与它对应，那么()x y ϕ=就表示以y 为自变量，x 为因变量的一个函数，这样的函数()x y ϕ=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=。
1f -是对应法则，1()y f x -=是表示反函数的符号，是一个整体。
1f -表示的对应是f 的逆对应，11()()f x f x -≠。
()y f x =也是1()y f x -=的反函数，()y f x =、1()y f x -=互为反函数。
只有当()y f x =是一一映射时，()f x 才有反函数。
特例：2x y =，2log x y →=，2log y x →=，一般：()y f x =，1()x f y -→=，1()y f x -→=。
例1 求下列函数的反函数：（1）21xy -=+()0x >；（2）211,()11,x x f x x x ≤-⎧+=⎨>--+⎩。
二、互为反函数的两个函数的性质：指数函数2x y =与对数函数2log x 的图像关于直线y x =对称。
根据反函数的定义，如果点(),a b 在函数()y f x =上，则点(),b a 在函数1()y f x -=上，从而可知函数()y f x =的图像与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。
反函数和反三角函数(最新)
2
2
正切函数 ytanx,x(,) 有反函数吗？ 有,因为它是一一对应函2数2，
同一个三角函数值只对应一个角。 --
3.反正切函数
（1）定义：正切函数
ytanx(x( , )的反函数 22
叫反正切函数，记作 xarctany (本义反函数)
习惯记作 yarctanx(矫正反函数)
xR, y(
反函数和反三角函数 一、反函数 二、反三角函数
--
一、反函数
--
--
--
二、反三角函数
1.反正弦函数 arcsixn 2.反余弦函数 arccxos 3.反正切函数 arctaxn 4.反余切函数 arccoxt
--
(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
②这个角的范围是
2
,
2
即arcsina2,2.
--
（2）反正弦函数 yarc x,x s i [ 1 n , 1 ]的图象
与性质： ①定义域:[-1，1]。
②值域: [ , ]
22
y
③单调性: 是增函数。
yarcsinx,x [ 1 ,1 ],y [, ]
2
22
1.5
④奇函数 ⑤有界函数
arccos
0
___2 ___(4)
arccos
1 2
__3____
2
(5) arccos( 1 ) __3 ____(6) arccos 2
2 2
__4 ______
(7) arccos(
2 2
)
3
__4 ______(8)
arccos
(2021年整理)反函数的存在性及求法
反函数的存在性及求法编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（反函数的存在性及求法）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为反函数的存在性及求法的全部内容。
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1反函数的定义及其性质 (1)1.1反函数的定义 (1)1.2反函数的性质 (2)1.2.1反函数的简单性质 (2)1.2。
2关于反函数图像的性质 (3)1.2。
3反函数的连续性与可微性 (5)2反函数存在性的判定 (6)2。
1反函数存在性判定（一） (6)2。
1反函数存在性判定(二) (6)3反函数的求法 (8)3.1反函数的一般求法 (8)3.2几类特殊函数的反函数的求解 (9)3.2.1周期函数的反函数 (9)3。
2.2分段函数的反函数 (11)3.2。
3复合函数的反函数 (11)参考文献 (13)致谢 (14)函数的反函数的存在性及其求法数学与应用数学专业 薛 云 指导老师 武秀美摘要 反函数是数学中的一个重要概念，文章分三部分阐述了反函数的概念、存在条件及其求法。
首先，文章从不同角度给出了反函数的定义;其次,文章详细阐述了反函数的存在条件，从图像、定义及单调性等多方面加以论述；最后,文章给出了反函数的求法一般的步骤，并在此基础上介绍了一些特殊函数的反函数的求法. 关键词 反函数 周期函数 反函数存在性定理The Existence and Solution of Inverse Function of FunctionsStudent majoring in Mathematics and applied mathematics Xue YunTutor Wu XiumeiAbstract The inverse function is an important concept in mathematics 。
【优质】反三角函数的定义有什么作用-实用word文档 (3页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==反三角函数的定义有什么作用反三角函数是一种基本初等函数，它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称。
下面是小编给大家整理的反三角函数的几何意义简介，希望能帮到大家!反三角函数的定义反三角函数是一种基本初等函数。
它是反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x，反正割arcsec x，反余割arccsc x这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切，反正割，反余割为x的角。
它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。
三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数 y=x 对称。
欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。
反三角函数的分类为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x;相应地，反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2;反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
反正弦函数正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。
反余弦函数余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
反三角函数及最简三角方程
反三角函数及最简三角方程一、知识回忆： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：〔1〕． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； 〔2〕． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； 〔3〕．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈〔－2π，2π〕的运用的条件； 〔4〕． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
2〔1〕．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； 〔2〕．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的根底，要在理解三角方程的根底上，熟练地写出最简单的三角方程的解； 〔3〕．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：假设sin sin αβ=，那么sin (1)k k απβ=+-；假设cos cos αβ=，那么2k απβ=±；假设tan tan αβ=，那么a k πβ=+；假设cot cot αβ=，那么a k πβ=+； 〔4〕．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
高中数学《反函数、幂函数》知识点
高中数学《反函数、幂函数》知识点
高中数学《反函数、幂函数》知识点
知识点是网络课程中信息传递的基本单元，研究知识点的表示与关联对提高网络课程的学习导航具有重要的作用。
以下是店铺收集整理的高中数学《反函数、幂函数》知识点，希望对大家有所帮助。
1 幂函数解析式的右端是个幂的形式。
幂的底数是自变量，指数是常数，可以为任何实数；与指数函数的形式正好相反。
2 幂函数的.图像和性质比较复杂，高考只要求掌握指数为1、2、
3、-1、时幂函数的图像和性质。
3 了解其它幂函数的图像和性质，主要有：
①当自变量为正数时，幂函数的图像都在第一象限。
指数为负数的幂函数都是过点(1，1)的减函数，以坐标轴为渐近线，指数越小越靠近x轴。
指数为正数的幂函数都是过原点和(1，1)的增函数；在 x=1的右侧指数越大越远离 x 轴。
②幂函数的定义域可以根据幂的意义去求出：要么是x≥0，要么是关于原点对称。
前者只在第一象限有图像；后者一定具有奇偶性，利用对称性可以画出二或三象限的图像。
注意第四象限绝对不会有图像。
③定义域关于原点对称的幂函数一定具有奇偶性。
当指数是偶数或分子是偶数的分数时是偶函数；否则是奇函数。
4 幂函数奇偶性的一般规律：
⑴指数是偶数的幂函数是偶函数。
⑵指数是奇数的幂函数是奇函数。
⑶指数是分母为偶数的分数时，定义域 x>0或x≥0，没有奇偶性。
⑷指数是分子为偶数的分数时，幂函数是偶函数。
⑸指数是分子分母为奇数的分数时，幂函数是奇数函数。
反函数和分段函数概念的解释和分析
反函数和分段函数概念的解释和分析一、反函数的概念1.反函数的定义：如果函数f(x)在某一区间上是一一对应的，那么它在这个区间上就有一个反函数，记作f^(-1)(x)。
2.反函数的性质：a)如果f(x)和f(-1)(x)的定义域和值域分别是D和R，那么D=R，且f(-1)(f(x))=x，f(f^(-1)(x))=x。
b)反函数的图象是原函数图象的镜像。
3.反函数的求法：a)如果f(x)是一次函数或二次函数，可以直接求出其反函数。
b)如果f(x)是复合函数，可以利用“反函数的复合函数”法则求出其反函数。
二、分段函数的概念1.分段函数的定义：分段函数是一种在定义域的不同部分上具有不同表达式的函数。
2.分段函数的表示方法：a)符号表示法：f(x) = { f1(x), x ∈ D1; f2(x), x ∈ D2; …; fn(x), x ∈Dn }b)图象表示法：在同一坐标系中画出各段函数的图象，并用不同颜色或标记区分。
3.分段函数的性质：a)分段函数在每段的定义域上连续。
b)分段函数在整个定义域上可能不连续。
c)分段函数在整个定义域上可能没有极限。
4.分段函数的求导：分段函数的导数在每个连续区间上可以分别求导，但在分段点处可能不存在。
三、反函数与分段函数的关系1.如果一个分段函数在每个连续区间上都是一一对应的，那么它可以有两个以上的反函数，分别对应于每个连续区间。
2.分段函数的反函数可能是分段函数，也可能是单个函数。
这取决于原函数在每个连续区间上是否是一一对应的。
3.在求分段函数的反函数时，需要分别求出每个连续区间上的反函数，并在分段点处进行衔接。
综上所述，反函数和分段函数是数学中的重要概念。
了解它们的定义、性质和求法，对于提高中学生的数学水平和解决实际问题具有重要意义。
习题及方法：1.习题：求函数f(x) = 2x + 3的反函数。
方法：将f(x) = y，解出x，得到y = 2x + 3。
然后交换x和y的位置，解出y，得到x = (y - 3) / 2。
人教版1、3 反函数-高中数学必修一教案
反函数教材分析：反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分本节是一节概念课，关键在于反函数概念的建立反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系化了对概念的理解和掌握教学目的：.掌握反函数的概念和表示法，达到会求一个函数的反函数.使学生直观上了解互为反函数的函数图象间的关系.培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
教学重点：.反函数的定义及理解.反函数的求法教学难点：.反函数的定义及理解.求解反函数注意原函数与反函数的关系。
（特别是反函数的定义域）授课类型：新授课课时安排：课时一、问题引入：.画出2(0)y x x =≥的图像。
.思考y x =的图像。
猜想分析二者关系： 在2(0)y x x =≥，反解该式得2,0x y x x y =≥∴=，该函数图像和2(0)y x x =≥一样，当我们将,x y 互换后得到y x =，即图像关于y x =对称，我们得到y x =的图像，那么在该过程中你能发现些什么呢？二、讲解新课： 反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是，根据这个函数中的关系，用把表示出，得到ϕ(). 若对于在中的任何一个值，通过ϕ()，在中都有唯一的值和它对应，那么，ϕ()就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数ϕ() (∈)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y fx -=,习惯上改写成)(1x f y -=书上的两个例子：记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为v tt f =-)(1，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32)(1-=-x x f .探讨：所有函数都有反函数吗？为什么？③)0(1≥+=x x y ； ④)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且. 解：①由13-=x y 解得31+=y x∴函数)(13R x x y ∈-=的反函数是)(31R x x y ∈+=，②由)(13R x x y ∈+=解得31-y ,∴函数)(13R x x y ∈+=的反函数是)(13R x x y ∈-=③由x 解得2)1(-y ,∵≥，∴≥. ∴函数)0(1≥+=x x y 的反函数是2)1(-y (≥);④由132-+=x x y 解得23-+=y y x ∵ {∈≠}，∴∈{∈≠}∴函数)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且的反函数是)2,(23≠∈-+=x R x x x y小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射例．求函数 211x y --=（-<<）的反函数先让学生出错再更正，加深学生印象注意：在求解反函数时原函数的定义域很重要，反函数的定义域只能通过原函数的值域来确定。
高考数学知识考点精析3 函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数
第三讲函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数一、函数的单调性：1、定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间上的增函数，当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间上的减函数。
如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 称为函数f(x)的单调区间。
()()()()121200f x f x x x -><→-增减 任意x 1,x 2∈D 2、函数单调性的证明方法：通常根据定义，其步骤是：1）任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2 2）作差f(x 1)－ f(x 2)或作商()()()()0112≠x f x f x f ，并变形，（4）判定f(x 1)－ f(x 2)的符号，或比较()()12x f x f 与1的大小， 4）根据定义作出结论。
有时也根据导数。
()()()()//,0D 0D x D f x f x f x f x ∈>⇒<⇒在上递增，在上递减。
（注：逆命题不成立）3、常见函数的单调性：（1） 一次函数y=kx+b （k ≠0） 1）当k>0时，f(x)在R 上是增函数。
2）当k<0时，f(x)在R 上是减函数。
（2） 二次函数y=ax 2+bx+c 1）当a>o 时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－a b 2）上是减函数，在[－ab 2，＋∞）上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在（－∞，－a b 2）上是增函数，在[－ab 2，＋∞）是减函数。
（3） 反比例函数y=()0≠k xk 1) 当k>0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函数，2) 当k<0时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。
反函数和反三角函数
y [ , ]
22
余弦函数 y cos x(x R) 有反函数吗？
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
许多角。
y
（1）定义：正弦函数
的反函数
正弦函数 习惯记作
有反函数吗？ (矫正反函数)
1
理解和掌握
符号
正切函数y=tanx在
上有反函数吗？
正弦函数
有反函数吗？
-2· -· o 正切函数
2
,
2
即arcsin
a
2
,
2
.
（2）反正弦函数 y arcsin x, x [1,1]的图象
与性质：
①定义域:[-1，1]。 只有余弦函数主值区间[0，π]上的角才能用反余弦表示
y=cosx,x∈[0，π]
叫反正切函数，记作
(本义反函数)
同一个三角函数值只对应一个角。
②值域: [ , ] ①
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
许多角。
y
1
· · · · · · 2
-2
-
o
2 3
x
4
2
-1
正弦函数y sin x(x [ , ]) 有反函数吗？
有,因为它是一一对应函2 数2，
同一个三角函数值只对应一个角。
1.反正弦函数
（1）定义：正弦函数 y sin x(x [ , ]) 的反函数
叫反余弦函数，记作 x arccos y (本义反函数)
习惯记作y arccos x (矫正反函数)
x [1,1], y [0, ]
若x a [1,1],有y arccos a,
这里的“ arccos a ”是一个角的符号.
反函数图像之间的关系
y
y=x
y = x3
y
y=x
y =3 x
y = x -1( x ≥1)
o
x
o
x
结
论
函数 y = f ( x) 的图象和它的 -1 反函数 y = f ( x) 的图象关于 直线y=x对称。
1、在直角坐标系内，画出直线y=x,然 后找出下面这些点关于直线y=x的对称点， 并写出它们的坐标。
A（2，3），B（1，0），C（-2，-1），D（0，-1）
课后作业 Ｐ６４－习题２.４－４、５
o
x
f-1(x)
由几何性质可直接做一个函数的反 函数图象，而不必先求出其反函数。
的图象过点 （1，2），它的反函数的图象也过此点， 求函数f(x)的解析式。
3、
b 函数 f ( x) = ax + b ( x ≥ - a )
解：
点（1，2）关于直线y=x的对称 点为（2，1），可得函数f(x)的图象还 过（2，1）。
y
y=3x-2
y
y=x²(x≥0)
x+2 y= 3
y = x ( x ≥ 0)
o
x
-1
o
1
x
y
y=3x-2
y=x
x+2 y= 3
y
y=x²(x≥0) y=x
y = x ( x 1
x
y=x²+1(x≥0)
y = x3
y y
y =3 x
y = x -1( x ≥1)
o
x
o
x
y=x²+1(x≥0)
得到
7 因此，函数的解析为 f ( x) = - 3x + 7 ( x ≥ )。 3
反三角函数之间的关系
反三角函数之间的关系介绍反三角函数是数学中的重要概念，它们与三角函数之间有着密切的关系。
本文将详细介绍反三角函数的定义、性质以及它们之间的关系。
反三角函数的定义反三角函数是指在给定三角函数值的情况下，求解三角函数的自变量的函数。
常见的反三角函数包括正弦函数的反函数arcsin(x)，余弦函数的反函数arccos(x)，以及正切函数的反函数arctan(x)。
反三角函数的性质1.反函数关系：反三角函数与对应的三角函数之间有着反函数的关系，即arcsin(sin(x)) = x，arccos(cos(x)) = x，arctan(tan(x)) = x。
反三角函数的定义域和值域与对应的三角函数的定义域和值域相互对应，但存在一些限制。
2.定义域和值域：反三角函数的定义域和值域有一定的限制。
arcsin(x)的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]；arccos(x)的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]；arctan(x)的定义域为实数集，值域为(-π/2, π/2)。
3.对称性：反三角函数具有一定的对称性。
例如，arcsin(x) = arccos(√(1-x^2))，arccos(x) = arcsin(√(1-x^2))。
4.奇偶性：反三角函数具有一定的奇偶性。
arcsin(-x) = -arcsin(x)，arccos(-x) = π - arccos(x)，arctan(-x) = -arctan(x)。
反三角函数之间的关系反三角函数之间存在一些重要的关系，用于计算复杂三角函数表达式的简化。
1. 和差关系反三角函数和三角函数之间存在和差关系，即arcsin(x) + arccos(x) = π/2，arcsin(x) - arccos(x) = 0，arctan(x) + arccot(x) = π/2，arctan(x) - arccot(x) = 0。
这些关系可以帮助我们简化一些复杂的三角函数表达式。
sin3x反函数
sin3x反函数
sin3x反函数指的是求解sin3x等于某个值的x值，即sin3x = y 的反函数。
其中，反函数定义为输入y，输出x，使得y等于原函数的输出值。
具体地说，sin3x反函数可以用以下公式表示：
x = arcsin(y)/3 + 2kπ/3 或 x = π - arcsin(y)/3 + 2kπ/3
其中，arcsin表示反正弦函数，k为任意整数。
这个公式的意思是，先求出y的反正弦值，然后除以3，再加上一个常数项2kπ/3（k为整数），就是sin3x反函数的解。
需要注意的是，由于反正弦函数的定义域为[-1,1]，所以sin3x 反函数的定义域也只能是[-1,1]。
此外，由于sin3x是一个周期函数，其反函数也是周期函数，周期为2π/3。
总之，sin3x反函数是一个基本的三角反函数，它在数学、物理等领域中都有广泛的应用。
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得反函数y=
m
由已知f(x)的反函数是自身
5 ∴( , 0)在f(x)的图象上 m 5 ∴m=-1 -5=0 m
小 结
1、不是所有的函数都有反函数，只有一一映射构成的函数 才有反函数. 2、求反函数的步骤： ①把函数y=f(x)看作方程，从中解出x=f-1(y) ②把解析式x=f-1(y)中的x,y对调位置，得到反函数y=f-1(x) ③注明反函数的定义域 3、原函数和反函数的关系 ①y=f(x)与x=f-1(y)是同一个函数. ②y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数. ③原函数y=f(x)中的x即为反函数y=f-1(x)中的y 原函数y=f(x)中的y即为反函数y=f-1(x)中的x 从而反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域. ④原函数和其反函数的图象关于直线y=x对称， 若两个函数的图象关于直线y=x对称，则它们互为反函数.
解1 函数y=2x2-3(x∈R)没有反函数； 因为它不是一一映射构成的函数； 当把定义域改写为[0,+∞)或(-∞,0]时它才 有反函数.
2、若f(x-1)= x2-2x+3 (x≤1)，则f -1 (4)的值是 . ∵f(x-1)=x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2 +2 (x≤1) 解法一： ∴f(x)=x2+2 (x≤0) ∴x2=y-2 ∴ x= y 2 ∵x≤0 ∴x= y 2 （x≥2） ∴y=x2+2 (x≤0)的反函数为 y= x 2 ∴f-1(4)= 2 解法二：∵f(x-1)=x2-2x+3 (x≤1) 令 x-1=t(t≤0) 则x=t+1 ∴f(t)=(t+1)2-2(t+1)+3=t2+2(t≤0) ∴f(x)=x2+2 (x≤0) 令 x2+2=4 解得 x= 2 ∵x≤0 ∴ x= 2 即 f-1(4)= 2
yx
yx
y
y3 x
x
思考
函数y=f(x)的图象和它的反函数 y=f-1(x)的图象之间有什么关系呢？
函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)
的图象关于直线y=x对称
演 稿
示 1
文
2 3 后 等
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6、应用思路： 利用对称性画出已知图象的函数的反函数的图象 7、练习： ①画出函数y=x2(x∈[0,+∞))的图象，再利用对称性画 出它的反函数的图象.
x 1 1 (x ) 即：函数y= 2x 1 的反函数是该函数自身 2 ∴函数y= x 1 (x 1 )的图象关于直线y=x对称 2x 1 2
x5 已知函数y 的图象关于直线 y x对称，求 2x m 实数m的值. x 5 mx 5
解法一：由y=
2x 1 2x m 5 x5 mx 5 由 令 x=0得 5 2x m 2x 1 m ∴m=-1 5 解法二：令x=0 则(0, )在f(x)的图象上
x 1 1 (x ) ②求证：函数y= 2Байду номын сангаас 1 2
的图象关于直线y=x对称.
x 5 ③已知函数f(x)= 2x m
的图象关于直线y=x对称，求m的值.
练习： ①画出函数y=x2(x∈[0,+∞))的图象，再 利用对称性画出它的反函数的图象. yx
y
yx
2
x y
0 0
1 1
2 4
互为反函数的函数图象间的关系
设计：张宏汉
互为反函数的函数图象间的关系
• 一、复习情况检查 • 二、新课
例1 求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并 且画出原来的函数和它的反函数的图象。 例2 求函数y=x3(x∈R)的反函数，并画出 原来的函数和它的反函数的图象. 结论：函数y=f(x)的图象和它的反函数 y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称
• 三、练习 • 四、小结
复习情况检查: 1、函数y=2x2-3(x∈R)有没有反函数？ 为什么？如何改写定义域才能使其有反 函数？ 2、若f(x-1)=x2-2x+3 (x≤1)，则f -1 (4)的值是 . 3、点P(x,y)关于直线y=x对称的对称点 p′的坐标为 （y, x） .
1、函数y=2x2-3(x∈R)有没有反函数？为什么？如 何改写定义域才能使其有反函数？
3 … 9 …
y2 x
x
x y
0 0
1 1
4 2
9 … 3 …
②求证：函数y= 对称. x 1 证明:∵y= 2x 1 ∴2yx-y=x-1 (2y-1)x=y-1
y 1 x= 2y 1
x 1 1 的图象关于直线 y=x (x ) 2x 1 2
∴函数y=
x 1 1 x 1 1 (x ) (x ) 的反函数为 y= 2x 1 2 2x 1 2
例1 求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并且画出原来的函数和它 的反函数的图象。 解 ∵y=3x-2
∴x=
y 2 3
函数y=3x-2(x∈R)的反函数为y=
x2 y 3
y=3x-2
yx
x y x y
0 -2 -2 0
2 3
0
1
y
x2 3
0
2 3
-2
-1
-1 -2
1
x
例2 求函数y=x3(x∈R)的反函数，并画出原来的函数和 它的反函数的图象. 3