自动控制原理讲义

第十七讲 例3：试求下列传递函数阵的最小实现。

解: (1) 将G(s)改写成标准格式
(2) 此地采用能观标准实现，有
首先构造Rc ，可得 而
故有
2222113131()123131s s s s s s s s s s s +⎡⎤⎢⎥
++++=⎢⎥
+⎢⎥
⎢⎥++++⎣⎦G 2
10110
112()31
s s s s ⎡⎤⎡⎤
+⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦=++G 01011110131201(2141)
a a n r m nm ⎡⎤⎡⎤
∴= = = = ⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
= ==2 →⨯=⨯b b x []010100100001103001031112001010000101m m o m
m o o m m a a -⎡⎤⎢⎥
--⎡⎤⎢⎥
∴== ⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥-⎣⎦
⎡⎤⎢⎥
⎡⎤⎡⎤⎢⎥ == ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
0I A I I b ΒC 0I b (3) 判断
能控性，有 0
(,,)o
o
∑=A B C 231110215312011
13221021531380
1
1
1
3
2
8
5c o o o o o
o o rank rank ρ⎡⎤=⎣⎦---⎡⎤
⎢⎥---⎢⎥=
=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦
Q B A B A B A B 故 不能
控，再按能控性进行分解： 0(,,)o o ∑=A B C 111100120010100101c ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥== ⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦ Α0
R ΙΙ11
111
2122c c -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
== ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ F 0Α0Ι0R R F F ΙΙ0Ι1
111
1
11
2
100110021101101c
----⎡⎤
⎢⎥-⎡⎤⎢⎥
==
⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎢⎥-⎣⎦
Α0R ΑΙ_
1
210
1110100110
012c o c --⎡⎤
⎢⎥--⎢
⎥∴== ⎢⎥
--⎢⎥
--⎣⎦
ΑR ΑR _
110010000c o -⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥== ⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ B R B _
10100101o c ⎡⎤
== ⎢⎥
⎣⎦
C C R
(4) G (s)的最小实现1111(,,)∑=A B C 即为：
第5章 控制系统的稳定性分析
5-1 Lyapunov 定义下的稳定性
一、外部稳定性与内部稳定性 1、外部稳定性
即经典控制理论按照系统输入-输出特性判定系统稳定性的方法(BIBO)。

最主要的方法是：Routh 、Hurwitz 、Nyquist Criterion 等。

这种方法主要解决了SISO 线性定常系统的稳定性问题。

2、内部稳定性
即按照系统内部状态的特性判定系统稳定性的方法。

最主要的方法就是：Lyapunov 第二方法。

这种方法不但对线性定常系统的稳定性分析十分有效，而且也能解决时变、非线性系统的稳定性问题。

二、Lyapunov 对稳定性的定义 1、平衡状态x e
平衡状态是指任何系统在零输入情况下，系统有一个固定不变的状态，即 按照此定义，对连续定常系统: 如果x e 是平衡状态，则有
若A 非奇异，则x e =0；若A 奇异，则x e 有无穷个。

仅讨论位于坐标原点的稳定性问题。

2、Lyapunov 对稳定性的定义 （1）稳定
任选一实数ε>0，对应一实数δ>0，使得当
1111211010110101-⎡⎤⎡⎤⎡⎤
∴= = =⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
A ΒC 00()(,,(),())
t t t t t =x Φx u 0(,,,)
e e t t =x Φx 0()()()t t ∙
= x Ax u =0e =Ax 0
时，恒有
则称系统的平衡状态x e 是稳定的。

其中：范数
=x
一般说来，δ与ε有关，也与t0 有关。

如果δ与t0 无关，则称x 是Lyaponov 意义下的一致稳定(uniformly stable)。

（2）渐近稳定( AS :asymptotically stable ) 若x e 是Lyapunov 意义下的稳定，且有
则称系统的平衡状态x e 是渐近稳定的。

如果δ的大小与t 0 无关，则称x 是Lyaponov 意义下的一致渐近稳定。

对时变系统，一
致渐近稳定比AS 更有实际意义。

对时不变系统两者是等价的。

（3）大范围渐近稳定
若x e 是渐近稳定的，且其渐近稳定的范围是整个状态空间，那么平衡状态x e 是大范围内的渐近稳定。

必要条件：只有一个平衡状态；
线性定常系统：若x e 是AS ，那么它一定是大范围AS 的。

（4）不稳定
00(,)
e t δε-≤x
x 0
e t t ε-≤ ≥x
x lim ()e t t →∞
-=0
x
x
如果对某一实数ε>0，无论δ取得多么小，由s (δ)内出发的轨迹，只要其中有一条轨迹越出s (ε)，则称x e 为不稳定。

5-2 Lyapunov 第一方法
一、线性定常系统的稳定性 定理：
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件是A 阵的所有特征值都具有负实部。

（内部稳定或状态稳定.）
例：试分析下列系统的稳定性
解: (1) 求A 阵的特征值为 故系统不是渐近稳定的； （2）判定系统的外部稳定性(BIBO)，有
系统的极点位于根平面的左半平面，因而系统是外部稳定的。

系统内部不是AS ，而外部是BIBO 稳定的，从而说明了采用零极点对消的方法来校正系统的局限性。

小结：
（1）AS 是指系统的零输入响应，属内部稳定性，也即状态稳定性； （2）BIBO 稳定性是指系统的零状态响应，即外部稳定性； （3）系统内部稳定必然外部稳定，但外部稳定并非内部稳定；
（4）若系统是BIBO 稳定的，且又能控能观，则系统一定是渐近稳定的。

5-3 Lyapunov 第二方法
一、标量函数的正定性、负定性和不定性 1、正定性
如果对所有在域s 中的非零向量x ，均有V(x )>0，仅在x =0处有V(x )=0，则称标量函数V(x )在域s 内是正定的；
[]06211101u y ∙
-⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ⎣=
⎦ x x x 1
2det()(2)(3)23
λλλλλ-=-+→= =-I A []1
162()()01111213(3)(2)3
s
G s s s s s s s s ----⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥
-+⎣⎦⎣⎦
-== → =-+-+C I A B
122
122.V())x ex x x x ⎡⎤ =+ (=→
⎢⎥⎣⎦x x 是正定的。

2、负定性
如果对所有在域s 中的非零向量x ，总有V(x )<0，仅在x =0处有V(x )=0，则称标量函数V(x )在域s 内是负定的；
2112.V()ex x x x 2 =--(4 + ) → x 是负定的
3、半正定性和半负定性
如果在域s 中，对x =0及某些状态x ，有V(x )=0；对s 中所有其它状态，均有
V(x )>0，则称标量函数V(x )在域s 内是半正定的；
如果V(x )是半正定，则-V(x )是半负定的；
12.()ex V x x 2 =(3 +5 ) → x 是半正定的，
12()V x x 2 =-(3 +5 ) → x 是半负定的。

4、不定性
无论域s 多么小，在域s 内，V(x )能正能负，则称标量函数V(x )是不定的；
2
122.()ex V x x x =+ → x 是不定的，
二、二次型函数的正定性
设V (x)是一个二次型标量函数，即，
并设P 是实对称矩阵，当x ≠0时，有V (x )>0，则称V (x )是正定的。

Sylvester 准则：
1、二次型函数V(x )为正定的充要条件是P 的各阶主子式为正，即
2、二次型函数V(x )为负定的充要条件是P 的各阶主子式满足下列条件： []11111
1....
()..........
..........n T n n nn n p p x V x x p p x ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥== ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
x x Px 1111112112122
1....00 0
....n n nn
p p p p p p p p p >
> ...... >
0i i i >⎧∆
⎨<0⎩
为偶数
为奇数
应用Sylvester 准则，有 故v (x )是正定的。

222
123122313.()4224T ex V x x x x x x x x x ==10+++--x x Px []11
2
3231012()141211T x V x x x x x -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==- ⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
x x Px 123000∆> ∆ > ∆>。