数字信号处理复习 (3)

式。
4、正弦型序列
x(n) sin(n )
要求：会判断正弦型序列的周期性
四、正弦序列的周期性
x(n) sin(n ) 的周期有三种情况：
2 1 、 N 是整数，则x(n)是周期序列，周期为N；
2 P 2、 是有理数，（其中P、Q为互质整数)， Q
则x(n)是周期序列，周期为P；
m
x ( m) h ( n m)

上式中，若序列x(n)和h(n)的长度分别是M和L,
则y(n)的长度为L+M-1。
三、几种常用序列 1、单位抽样序列δ(n) （1）定义式
1 (n 0) ( n) 0 (n 0)
1 (n m) ( n m) 0 (n m)
n
1.2 线性、移不变（LSI）系统 一、线性系统： 若y1(n)=T[x1(n)]、y2(n)=T[x2(n)]， 则a1 y1(n)+ a2y2(n)=T[a1x1(n)+ a2x2(n)]
例：判断下列系统是否线性系统。
y(n)=x(n)+1 y(n)=x(n+5) y(n)=x(3n)
二、移不变系统：
当n<0时，h(n)=0，则系统是因果系统。
例：下列单位抽样响应所表示的系统是否因果系统? A.h(n)=δ(n) C.h(n)= R10(n) B.h(n)=u(n) D.h(n)=e-20nu(n)
五、稳定系统 1、稳定系统的定义： 稳定（BIBO）系统是指当输入有界时，输出也有界的系统。 例：判断下列系统是否稳定系统。 y(n)=x(n-2)
二、掌握用留数法求Z反变换的方法
例：已知
X( z) 1 (1 2 z 1 )(1 1.2 z 1 )
求X(z) 的反变换x(n)。
2.4
Z变换的性质
一、z变换的时移特性：
若 x(n) X ( z) ，则 x(n m) z m X ( z )
二、z变换的卷积特性：
2.6 序列的傅里叶变换
y(n)=nx(n)
2、线性移不变系统稳定性的判断：
若
n
h(n) ，系统是稳定系统。
B.h(n)=u(n) D.h(n)=e-20nu(n)

例：下列单位抽样响应所表示的系统是否因果稳定系统?
A.h(n)=δ(n) C.h(n)= R10(n)
1.4 连续时间信号的抽样 1、对连续信号进行时域抽样会使信号的频谱产生周期延拓。
二、z变换的收敛域：使X(z)收敛的z的范围。 掌握X(z)收敛域与序列x(n)的关系
若X(z)收敛域为 z a ，则x(n)为右边序列（因果序列），反之亦然 若X(z)收敛域为
z a ，则x(n)为左边序列（逆因果序列），反之亦然；
若X(z)收敛域为 a z b ，则x(n)为双边序列，反之亦然； 若X(z)收敛域为 0 z ，则x(n)为有限长序列，反之亦然。
1 (n 0) u ( n) 0 (n 0)
1 (n m) u ( n m) 0 (n m)
3、矩形序列RN(n) （1）定义式
1 (0 n N 1) RN ( n ) (其它n) 0
（2）RN(n)用来截断序列 例：序列x(n)=δ(n)-3δ(n-1)+2δ(n-2),若 序列y(n)=x(n-1)R3(n),求y(n)的数学表达
y(n) x(( n m)) N RN (n)
表示y(n)是 x(n)的圆周移位，掌握圆周移位的过程。 例：序列x(n)=2δ(n)+3δ(n-1) -4δ(n-2),
若序列y(n)=x（(n-1)）3R3(n),试分别画图表示 x(n)和y(n)。
三、序列的圆周卷积与线性卷积的关系
3.8 利用DFT计算模拟信号的傅立叶变换对 一、利用 DFT计算连续时间信号的傅立叶变换可能出现 的三个主要问题：
二、序列x(n)的直流分量
X (e )
i0
n
x ( n)
。

例：若x(n)= δ(n)-3δ(n-1)+9δ(n-2), 则x(n)的直流分量X(ej0)=
2.9 傅里叶变换的一些对称性质 1、实序列的傅里叶变换的幅度是偶函数， 相位是奇函数。
2、实序列的傅里叶变换的实部是偶函数， 虚部是奇函数。 3、实偶序列的傅里叶变换是实偶函数。 4、实奇序列的傅里叶变换是虚奇函数。
第二章 Z变换与离散时间傅里叶变换
2.2
z变换定义与收敛域
n
一、z变换公式 X ( z )
x ( n) z

n
例：序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)-5δ(n-2). 求x(n)的z变换X(z)
n
解：
X ( z)
n

[ (n) 2 (n 1) 5 (n 2)] z n 1 2 z 1 5 z 2
2 3、

是无理数，则x(n)不是周期序列。
例1：序列
4 x(n) sin( n ) 9 4
2 t ) 7
是否周期序列？若是，周期是多少？ 例2：信号
x(t ) cos(
以抽样间隔T=0.5对x (t) 进行抽样得到离散信号x (n), （1）请问x(n)是否为周期序列？如果是，写出x(n)的周期；
一、序列的傅里叶变公式：
X (e )
i
n
x(n)e jn X ( z )

z e j
例：序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)-5δ(n-2). 求x(n)的频谱X(ejω) 解： X (e )
i n
n
[ (n) 2 (n 1) 5 (n 2)]e jn 1 2e j 5e 2 j
（2）δ(n)的性质
x(n) * (n) x(n)
x(n) * (n m) x(n m)
x(n) (n) x(0) (n)
x(n) (n m) x(m) (n m)
例：求（1） e 5n * (n 2)
e 2n (n 2) （2）
2、单位阶跃序列u(n) （1）定义式
若y(n)=T[x(n)]，则y(n-m)=T[x(n-m)]。
例：判断下列系统是否线性移不变系统。
y(n)=x(n)+1 y(n)=x(n+5) y(n)=x(3n)
三、LSI系统的单位抽样响应h(n) （1）定义：当输入信号为δ(n)，系统的零状态响应 称为单位抽样响应，用h(n)表示。 （2）h(n)只能用来描述线性移不变系统。
2.3
Z反变换
一、掌握收敛域在Z反变换中的作用。 1、极点： 使 X (z) 的z的值称为X(z)的极点。收敛域内不可能有 极点。极点决定收敛域的边界。
2 X ( z) 例：求 的极点。X（z）有几种可能的收敛域？ （ 2 z 1 )(1 0.8z 1 ) 1
2、X(z)有几种收敛域，就对应几种x(n)。
2.10 应
离散系统的系统函数，系统的频率响
一、系统函数的定义及其与抽样响应h(n)的关系 二、因果稳定系统的H(z)的收敛域特征： 因果系统H(z)的收敛域包含∞，即
z a
稳定系统H(z)的收敛域包含单位圆 z 1
因果稳定系统的H(z)的收敛域同时包含∞和单位圆，即
z a
(a 1)
因果稳定系统的H(z)的全部极点都在单位圆内。
z 2 0.81 z 2 0.64
2.粗略画出系统的幅频响应曲线。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.2 傅里叶变换的几种可能形式 信号时域与频域特性的对应关系 时域：离散 连续 周期
连续
1、x(n)是一个离散周期信号，则它的频谱一定一个离 散周期函数。 2、序列的频谱一定是周期函数。
2、奈奎斯特抽样定理：
若信号频率上限为fc，要想对其抽样后由抽样信号恢复 出原信号，则抽样率fs应满足 f s 2 f c
f s 2 f c 称为奈奎斯特抽样频率，
1 T 2 fc
称为乃奎斯特抽样间隔。
3、抽样信号的恢复：
若连续信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯
特条件，则只要将抽样信号通过理想低通滤波器 即可完全不失真恢复原信号。
n 0 n2 j 2 kn 3
1 2e
j
2 k 3
5e
j
4 k 3
(0 k 2)
二、DFT的物理含义
X ( k ) X ( e i )
2 k N
(0 k N 1)
3.6 DFT的性质 一、序列的补零以及补零序列的DFT
二、序列的圆周移位
A、 . a 1 2
H ( z)
）
1 (1 2az 1)
1 2
1 B、 a 2
1 C、 a 2
D、 a
三、系统函数与差分方程的关系
1、差分方程的形式：例： y (n)+2y (n-1)+5y (n-2)=2x (n) 2、由差分方程求系统函数H(z) 例：一个线性移不变系统由方程y (n)-3.2y (n-1)+2.4y (n-2)= x (n) 描述， (1) 求系统函数H(z)； （2）该方程可以描述几种不同的系统？ (3) 若系统是因果系统，求其单位抽样响应。
四、系统频率响应的几何确定法
1、系统频率响应的定义
H (e )
j n
h ( n )e

jn
称为系统的频率响应。
2、频率响应曲线与H（z）零、极点的关系 靠近单位圆的零点位置对应幅频响曲线的谷值位置， 靠近单位圆的极点位置对应幅频响曲线的峰值位置。 例：某系统的系统函数为： ( z) H 1.画出H(z)的零、极点分布图；
（2）若欲对x(t)进行信号分析，则时域应至少取多少个抽样点？ 为什么？
五、用δ(n)表示任意序列 例1：已知序列x(n)=δ(n)- 4δ(n-1) +3δ(n-2), y(n)=x(n-1),求y(n)的数学表达式。 画图表示 x(n)和y(n). 例2：已知f(n)如图，写出f(n)表达式
f(n) 3 2 1 -1 -2 1 2
数
字
信
号
处
理
第一章 离散时间信号与系统
1.1 离散时间信号——序列 一、离散信号（序列）的表示
x(n) x(t ) t nT x(nT ) （T表示抽样间隔）
表示方法：（1）数学表达式 （2）图形表示
二、信号的运算
1、信号的移位： x(n)→x(n-m) 2、线性卷积：
y ( n) x ( n ) * h( n)
例 ：因果系统
H ( z)
2 (1 2 z 1 )(1 0.9 z 1 )
的收敛域是
例：若某系统为稳定系统，则其系统函数的收敛域为可能是（ ） A.｜z｜>7 C. 0.1<｜z｜<7 B. ｜z｜<0.3 D. 1<｜z｜<7
例：已知线性时不变系统的系统函数 若该系统因果稳定，则（
（3）若线性移不变系统的单位抽样响应为h(n)，当
输入信号为x(n)时，系统的输出为： y(n)=x(n)*h(n)
四、因果系统
1、因果系统的定义：
因果系统是指某时刻的输出只取决于此时或此 时之前时刻的输入的系统。 例：判断下列系统是否因果系统。
y(n)=x(n-2) ，
y(n)=x(n+5)
2、线性移不变系统因果性的判断：
3.5 离散傅里叶变换 一、掌握DFT公式
X ( k ) x ( n )e
n 0 N 1 j 2 kn N
(0 k N 1)
例：序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)-5δ(n-2). 求x(n)的DFT 解：X (k ) [ (n) 2 (n 1) 5 (n 2)]e
1、频谱混叠：是指信号频谱周期延拓时发生混叠的现象。 产生原因：时域抽样不满足抽样定理。 改善方法：减小抽样间隔。
2、频谱泄露：是指信号频谱分布加宽，高频含量增加的现象。 产生原因：时域信号截断。 改善方法：增加时域信号长度或采用更平滑的截断方式。 3、栅栏效应：是指对连续时间信号的连续频谱进行频谱分析时， 其中部分频谱未被抽样、未能观察到的现象。 产生原因：是由于采用DFT对连续信号进行离散傅里叶变换， 对频谱进行了抽样。 改善方法：通过时域补零，可以增加频域抽样点，改善 “栅栏效应”。