(新高一)数与式课件
高一数学课件.ppt
(1)
(2)
(3)
2. 说出下列图形绕虚线旋转一周,可 以形成怎样的几何体?
(1)
(2)
(3)
(4)
课堂小结:
这节课我们学习了圆台,棱 台,球等立体图形,这些图形在 日常生活中随处可见,希望同学 们平时留心观察事物,认识它们, 正确画出这些基本立体图形.
第一章: 空间几何体
1.1空间几何体的结构
棱台与圆台的结构特征
(1) 棱台的结构特征:如下图,用一个平行于 棱锥底 面的平面去截棱锥,底面与截面之 间的部分,这样的几何体叫做棱台
o
D/
C/
A/
B/
D
C
A
B
想一想:仿照棱锥中关于侧面,侧棱,底面,顶
点的定义,在下图中标出棱台的侧面,侧棱,底
面,顶点.
顶点 S
侧棱
侧面
底面 A
D
C
顶点
B
上底面
侧面
D/
C/
A/Leabharlann B/侧棱DC
A
B 下底面
由三棱锥,四棱锥,五棱锥…..截得的棱 台分别叫做三棱台,四棱台,五棱台….与棱 柱的表示一样,下图的棱台表示为棱台
ABC-A/B/C/……
C/
A/
B/
C
……
A
B
三棱台
四棱台
五棱台
(2) 圆台的结构特征:如下图,用一
个平行于圆锥底 面的平面去截圆锥, 底面与截面之间的部分,这样的几何体 叫做圆台
母线
O/
侧面
O
轴
底面
球的结构特征
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋 转一周形成的几何体叫做球体,简称球.
2024版完整版高中数学必修一全册课件
完整版高中数学必修一全册课件目录•高中数学必修一概述•集合与函数概念•基本初等函数（Ⅰ）•函数的应用•空间几何体•点、直线、平面之间的位置关系01高中数学必修一概述包括集合的基本概念、集合间的关系与运算、函数的概念与性质等。
集合与函数概念包括指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的图像与性质。
基本初等函数包括函数与方程、函数模型及其应用等，通过实例探究函数的性质与应用。
函数的应用教材内容与结构过程与方法通过观察、思考、探究、归纳等活动，培养学生的数学思维能力、创新能力和解决问题的能力。
知识与技能掌握集合与函数的基本概念，理解基本初等函数的图像与性质，能够运用函数知识解决一些实际问题。
情感态度与价值观激发学生学习数学的兴趣和热情，培养学生的数学素养和审美情趣。
教学目标与要求总结归纳定期对所学知识进行总结归纳，形成知识网络，便于记忆和提取。
通过大量的练习，熟练掌握解题方法和技巧，提高解题速度和准确性。
课后复习及时复习巩固所学知识，独立完成作业和练习题，加深对知识点的理解和记忆。
课前预习提前阅读教材，了解本节课的知识点和重点难点，为听课做好准备。
课中听讲认真听讲，积极思考，及时记录重要知识点和解题方法。
学习方法与建议02集合与函数概念03元素与集合的关系属于、不属于。
01集合的概念集合是由一个或多个确定的元素所构成的整体。
02集合的表示方法列举法、描述法、图像法。
集合及其表示方法集合之间的关系与运算集合之间的关系子集、真子集、相等。
集合的运算并集、交集、补集。
集合运算的性质交换律、结合律、分配律等。
函数是一种特殊的对应关系，它使得每个自变量对应唯一的因变量。
函数的概念函数的表示方法函数的三要素解析法、列表法、图像法。
定义域、值域、对应法则。
030201函数及其表示方法1 2 3单调性、奇偶性、周期性等。
函数的性质解决实际问题，如最优化问题、数学建模等。
函数的应用通过函数可以研究方程和不等式的解的性质和范围。
第一讲数与式课件-2024-2025学年高一上学期初高中数学衔接知识
一、乘法公式
【公式5】立方和公式 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 请同学们证明 【公式6】立方差公式 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3
【例2】计 算(：1) (4 m)(16 4m m2 )
解 : 原式 43 m3 64 m3 .
(2) ( 1 m 1 n)( 1 m2 1 mn 1 n2 )
a (2) ab＝_____b___(a≥0, b＞0)． (3)进行二次根式的加减运算时，先把各个二次根式化为 最简二次根式，再把____同__类__项__合__并_____，非同类二次根式不 能合并．
►知识点八 分式及其意义
• 形如___AB_____ (A、B都是整式，且B中含 有字母，B≠0)的式子叫做分式．
►知识点十 分式的运算
1．加减法：ac±bc＝_a_±c__b____，ab±dc＝__a_db_±d_b_c__. 2．乘除法：ab·dc＝___ba_dc____，ab÷dc＝ab·dc＝___ab_dc____. 3．乘方：(ab)n＝___ab_nn ____.(n为整数) 4．混合运算：先算乘方与开方，再算乘除，进行约分 化简后，最后进行加减运算，如有括号，先算括号里的，运 算的结果必须是__最__简____分式或整式．
(4) ( x2 2xy y2 )( x2 xy y2 )2
解 : 原式= ( x y)2( x2 xy y2 )2 [( x y)( x2 xy y2 )]2 ( x3 y3 )2 x6 2x3 y3 y6 .
一、乘法公式
【例3】计算： 已知x 2
3x
1
0, 求x3
• 【注意】(1)分式化简的一般过程：①有括 号先计算括号里面的(加减法关键是通分)；② 除法变为乘法；③分子分母能因式分解的先 进行分解；④约分；⑤进行加减运算：a.通分： 关键是寻找公分母；b.分子合并同类项；⑥得 出代数式．
新高一数学暑期衔接讲义第一讲数与式的运算(选上)(学生版)
第一讲数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母能够表示数用代数式也能够表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们拥有实数的属性，能够进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完整平方公式），而且知道乘法公式能够使多项式的运算简易．因为在高中学习中还会碰到更复杂的多项式乘法运算，所以本节中将拓展乘法公式的内容，增补三个数和的完整平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，常常会接触到被开方数是字母的情况，但在初中却没有波及，所以本节中要增补．鉴于相同的原由，还要增补“繁分式”等相关内容．一、乘法公式【公式 1】( a b c) 2a2b2c22ab 2bc2ca证明： (a b c) 2[( a b)c] 2(a b) 22(a b)c c 2a 22ab b 22ac2bc c2 a 2 b 2c22ab2bc2ca等式建立【例 1】计算：( x22x 1 )23解：原式 = [ x2(2x) 1 ]23( x 2 ) 2(2x) 2( 1)22x2 (2) x2x 2121( 2x)333x4 2 2x38 x2 2 2 x1339说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂摆列．【公式 2】( a b)(a 2ab b 2 )a3 b 3(立方和公式)证明 : (a b)(a2ab b2 ) a 3 a 2b ab2 a 2b ab 2b3 a 3b3说明 :请同学用文字语言表述公式 2.【例 2】计算：(a b)(a2ab b2 )解：原式 = [a(b)][ a2a(b)(b) 2 ]a3( b) 3 a 3b3我们获得：【公式 3】( a b)(a 2ab b 2 )a3b3(立方差公式)请同学察看立方和、立方差公式的差别与联系，公式1、 2、3 均称为乘法公式．【例 3】计算：（ 1）（ 3）(4)(16 4m m 2 ) （2） ( 11 1 m 211 2)mmn)(25mn4n5210( a 2)( a 2)( a 4 4216) （4） ( x 2 2 xy y 2 )( x 22)2axy y解：（ 1）原式 =（ 2）原式 = （ 3）原式 =（ 4）原式 =明：（ 1）在 行代数式的乘法、除法运算 ，要 察代数式的 构能否 足乘法公式的 构．（ 2） 了更好地使用乘法公式， 住 1、2、3、4、⋯、20 的平方数和 1、2、3、4、⋯、 10 的立方数，是特别有好 的．【例 4】已知 x23x1 0 ，求 x31 的 ．x 31解： x 23x1 0 x 0x3x原式 = ( x1)( x211 ) (x1)[( x 1 ) 2 3] 3(323) 18xx2x x明：本 若先从方程 x 23 x 1 0 中解出 x 的 后，再代入代数式求 ， 算 ． 本是依据条件式与求 式的 系，用整体代 的方法 算， 化了 算． 注意整体代 法．本 的解法，体 了“正 反”的解 策略，依据 求利用 知，是理智之 ．【例 5】已知 a b c0 ，求1 1 1 1 1 1 a(c) b(a) c() 的 ．bcab解：原式 =①②把②代入①得原式 =明：注意字母的整体代 技巧的 用． 引申：同学能够探究并 明：a 3b 3c 3 3abc (a b c)(a 2 b 2 c 2 ab bc ca)二、根式式子a (a 0) 叫做二次根式，其性 以下：(1) ( a )2 a(a 0)(2) a 2 | a |(3)abab(a 0,b 0)(4)b b(a 0,b 0)aa【例 6】化简以下各式：(1) ( 3 2)2(3 1)2(2) (1 x)2(2 x) 2 ( x 1)解：(1) 原式 =(2)原式 =说明：请注意性质a2| a | 的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类议论．【例 7】计算(没有特别说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)33(2)11(3) 2xx38x2a b2解：(1)原式 =(2)原式 =(3)原式 =说明： (1) 二次根式的化简结果应知足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常有种类有以下两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，而后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式 ( 如3(如)或被开方数有分母23x)．这时可将其化为a形式 (如x可化为x) ，转变为“分母中有根式”的状况．化简时，2b22要把分母中的根式化为有理式，采纳分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如3化为32 3(23)，此中23 与 2 3 叫做互为有理化因式)．(23)(23)【例 8】计算：(1) (ab 1)(1a b )( a b )2(2)a aa ab aab解：(1)原式 =(2)原式 =说明：有理数的的运算法例都合用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例 9】设 x2 3 , y 2 3 ，求 x 3y 3 的值．2 3 23解：原式 =说明 ：相关代数式的求值问题： (1) 先化简后求值； (2) 当直接代入运算较复杂时，可依据结论的构造特色，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式 A 的分子、 分母中起码有一个是分式时，A就叫做繁分式， 繁分式的化简常用以下两BB种方法： (1) 利用除法法例； (2) 利用分式的基天性质． 【例 10】化简xx1 xx解法一 ：原式 =解法一 ：原式 =1x说明：解法一的运算方法是从最内部的分式下手，采纳通分的方式逐渐脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基天性质A Am进行化简．一般依据题目特色综合使用两种方法．BB m【例 11】化简x 23x 96x x 1 x 2279x x 26 2x解：原式 =说明 ：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简； (2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．练 习A 组1．二次根式a 2a 建立的条件是 ()A ． aB ． aC ． a 0D ． a 是随意实数2．若 x3 ，则 9 6xx 2 | x6 |的值是 ()A ．－３B ．３C ．－９D ．９3．计算：4z)21 b) 2(1) ( x 3 y(2)(2a (a b)( a 2b)(3)(a b)(a2ab b 2) (ab)2(4) (a4b)( 1a 24b 2 ab)4．化简 ( 以下 a 的取值范围均使根式存心义4)：(1)8a 3(2)a1a(3)4ab(4)1 12a b ba232315．化简：(1)m 9m 10m m 2m 21(2)2x 2 yx y ( x y 0)325mx 2x 2 yB 组1 1 3x xy 3 y 1．若y2 ，则xyyxx的值为 ()：A ．33C ．5 55B ．3D ．532．计算：(1) (abc )( abc )(2) 11 1()233．设 x1 , y 1 ，求代数式 x 2xy y 2 的值．3 23 2x y4．当 3a 2ab20(a0,b 0) ，求a ba 2b 22bba的值．ab5．设 x 、 y 为实数，且 xy3 ，求 x yyx的值．xy6．已知a1x20,b1x19, c1x21 ，求代数式 a2b2c2ab bc ac 的值．2020207．设x51，求 x4x22x1的值．28．睁开(x2)49．计算(x 1)(x2)( x3)( x4)10．计算( x y z)(x y z)( x y z)( x y z)11．化简或计算：(1)(184113)3223 (2)222(25) 212 35(3)x x x y x xy y xy y2x x y y(4)(a b ab(a b a b a)ab b ab a)b ab第一讲习题答案A 组1． C2． A3． (1)x29 y216z26xy8xz 24 yz(2)3a25ab 3b24a 2b 1(3)3a2b3ab2(4)1 a316b344．2a2a a2( a b )2a b 12 5．m m 2 xyB 组1． D 2．a c b 2 ac ,3 2 2 33．13 36 4．3,25． 2 36．37．35 8．x48x324x232 x 169．x410x335x250 x2410．x4y4z42x2 y22x2 z2 2 y2 z211．3,4 3x ya ,y, b3。
高一必修一数学课件PPT
03
角度与弧度的互化
掌握角度与弧度之间的转换方法，进行实例计算。
三角函数定义及性质
三角函数定义
学习正弦、余弦、正切等三角函数的 定义，掌握各象限内三角函数的取值 。
单位圆与三角函数线
三角函数的性质
探讨三角函数的奇偶性、周期性等基 本性质，进行应用分析。
利用单位圆理解三角函数的几何意义 ，绘制三角函数线。
高一必修一数学课件
目录
• 函数与导数 • 三角函数与解三角形 • 数列与数学归纳法 • 平面向量与空间向量初步认识 • 立体几何初步认识 • 不等式与线性规划问题求解策略
01 函数与导数
函数概念及性质
函数定义
明确函数的概念，理解函数的三 要素，掌握函数的表示方法。
函数的性质
理解函数的单调性、奇偶性、周 期性等基本性质，并能进行简单 应用。
展示线性规划问题的求解过程和应用价值。
1.谢谢聆 听
两角和与差公式
01
02
03
两角和公式
学习正弦、余弦、正切的 两角和公式，理解公式的 推导过程。
两角差公式
掌握正弦、余弦、正切的 两角差公式，进行实例计 算。
二倍角公式
推导正弦、余弦、正切的 二倍角公式，解决相关问 题。
解直角三角形和应用举例
解直角三角形
运用三角函数知识解决直角三角形中的边长和角度问题。
等差数列通项公式
an=a1+(n-1)d，其中d为公差。
等差数列前n项和公式
Sn=n/2(2a1+(n-1)d)。
等比数列及其前n项和公式推导
等比数列定义
01
从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的一种
数与式(共17张ppt-)
解法
配方法、公式法、因式分解法。
应用
解决生活中的实际问题，如面积、 体积等问题。
不等式与不等式组
定义
用不等号连接起来的式子叫做不等式。不等式中的未知数叫做不 等式的未知数。
解法
比较法、常数代换法、放缩法。
应用
解决生活中的实际问题，如最大最小值问题。
05 应用题
代数式在生活中的应用
代数式在生活中的应用广泛，例如在计算购物时找零、计算时间、距离和速度的关 系等方面。
THANKS
整数与分数
总结词
整数和分数是数的两种重要分类，整数包括正整数、零和负整数，分数则表示整数除法 的结果。
详细描述
整数是数学中非常基础的概念，它包括正整数、零和负整数。整数在日常生活和数学计 算中应用广泛，如表示数量、年龄等。分数则表示整数除法的结果，通常用于表示部分
或比例，如1/2表示一半。
有理数与无理数
等方面。
03
方程还可以用于解决一 些复杂的数学问题，例 如在求解高次方程、求
解不等式等方面。
不等式在决策问题中的应用
01
不等式在决策问题中的应用广泛，例如在比较 商品价格、比较服务水平等方面。
02
不等式也可以用于解决一些实际问题，例如在 比较投资回报、比较生产成本等方面。
03
不等式还可以用于解决一些复杂的数学问题， 例如在求解高次方程、求解不等式等方面。
除法
总结词
除法是乘法的逆运算，表示将一个数分成若干相同的等份。
详细描述
除法是将一个数（或代数表达式）除以另一个数，得到一个新 的数。除法可以转换为乘法运算，即a÷b=a×(1/b)。
指数与根
总结词
指数表示一个数的倍数关系，根表示 一个数的因数关系。
2019年上海市新高一数学·衔接课程 第01讲 数与式
2018年新高一数学·暑期衔接课程（ 第01讲 数与式）[基础篇]一、绝对值1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3、两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．二、乘法公式：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b+-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b-++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b+=+++； （5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b-=-+-．三、二次根式：0)a≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32 a b212x++，22x y+1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，等等．一般地，b与b互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b=≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2的意义a==,0,,0.a aa a≥⎧⎨-<⎩三、分式：1．分式的意义：形如AB的式子，若B中含有字母，且0B≠，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：A A MB B M⨯=⨯；A A MB B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式：像abc d+，2m n pmn p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．四、因式分解：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．[技能篇]题型一：绝对值运算：例题1-1 解不等式：13x x -+-＞4．例题1-2 函数321+++++=x x x y ，当x = 时，y 有最小值。
高一数学必修ppt课件
详细描述：数列的通项公式是表示数列中每一项的数学表达式。通过通项公式，我们可以知道任意一项的值，以及数列的变 化规律。通项公式是数列研究中的重要工具。
数学归纳法原理与应用
总结词：证明方法
详细描述：数学归纳法是一种证明与自然数n有关的命题的方法。它基于两个基本步骤：基础步骤和 归纳步骤。通过这两个步骤，可以证明对于所有自然数n，命题都成立。数学归纳法在数学证明中应 用广泛，尤其在数列求和、不等式证明等领域。
01
不等式与不等式组
不等式的性质与解法
总结词
理解不等式的性质和基本解法是解决复杂不等式问题的关键。
详细描述
不等式的性质包括传递性、加法性质、乘法性质和除法性质等，这些性质在解 不等式时经常用到。解不等式的基本方法有移项、合并同类项、乘除法等。
不等式组的解法
总结词
掌握解不等式组的方法是解决实 际问题的必备技能。
总结词
掌握集合的基本运算方法
交集
两个集合A和B的交集是由所有 既属于A又属于B的元素所组成 的集合，记作A∩B。
全集
包含所有元素的集合称为全集 ，通常记作U。
命题与逻辑基础
01
02
03
总结词
理解命题的概念和逻辑关 系
命题
能够判断真假的陈述句叫 做命题。
逻辑关系
包括等价关系、蕴含关系 、相斥关系等。
三角函数的性质
三角函数的基本关系式
如商数关系、平方和关系等，这些关 系式是三角函数定义和性质的基础。
三角函数具有周期性、奇偶性、单调 性、有界性等基本性质。
三角函数的图像与变换
三角函数的图像
正弦、余弦、正切函数的图像分别呈现出不同的波动和变化规律 。
新高一数学开学第一课优秀课件
第一季度
第二季度
第三季度 第四季度
数学与未来科技
云计算、物联网与5G
80%
69%
35%
45%
第一季度
第二季度
第三季度 第四季度
未来世界？ “赛博朋克”
赛博朋克（cyberpunk，是cyber与punk的结合词），是科幻小说的一个分支，背景设在不远的将来的一个反乌 托邦地球，以计算机或信息技术为主题，围绕黑客、人工智能及大型企业之间的矛盾而展开。往往把重点放 在社会誉为“高科技下但非高文明社会的生活8”0%超现实的先进技术和科学成果，如信息技术和控制论，具有
乌鸦悖论 上帝悖论……
乌鸦悖轮
假设“所有乌鸦都是黑色的”。可 以观察成千上万只乌鸦，然后69发%现 乌鸦都是黑的。每次观察后，对 “所有乌35鸦%都是黑4的5”% 的信任度会 逐渐提高。归纳法原理由此看起来 是合理的。 问题在于，“所有乌鸦都是黑的” 的论断，在逻辑上和“所有不是黑 色的东西不是乌鸦”等价。
第三季度
80%
第四季度
上帝悖论
几个世纪前，罗马教廷出 了一本书，书中用当时最流行的数学推论， 导出“上帝是万能的”。一位智者针锋相对 地问：“上帝能创造出一块他搬不动的石头 吗？”如果教廷回答说能的，那上帝不能搬 动他创造的那块石头，所以上帝在力量方面 不是万能的。如果教廷回答说不能，那么上 帝不能创造出一块他搬不动的石头，所以上 帝在创造力方面不是万能的。。
35%
45%
69%
80%
第一季度
第二季度
第三季度 第四季度
黄油猫悖论
黄油猫悖论，内容为：(1) 猫在半 空中跳下，永远用脚着陆。(2) 依 据墨菲定律（事情如有变坏的可能， 不管可能性多小，总会发生），如 果将一片涂有黄油的面包片抛到半 空，永远将是涂上黄油的一面落地。 这个悖论在于，把黄油吐司没有涂 上黄油的一面黏着猫的背部，让猫 从半空中跳下。
2024年高中数学必修一全册全套课件
并集、交集、补集等。
函数及其表示
01 函数的概念
函数是一种特殊的对应关 系，它描述了自变量和因 变量之间的关系。
03 函数的表示方法
解析式法、图象法、表格
法等。
02 函数的定义域和值域
定义域是自变量的取值范 围，值域是因变量的取值 范围。
04 函数的性质
单调性、奇偶性、周期性
等。
函数的基本性质
高中数学必修一全册 全套课件
目录
• 集合与函数概念 • 基本初等函数（Ⅰ） • 函数的应用 • 空间几何体 • 点、直线、平面之间的位置关系
01
集合与函数概念
集合
集合的概念
集合是具有某种特定属性的事物的总体， 是数学中的基本概念之一。
集合间的关系
包含关系、相等关系、互异关系等。
集合的表示方法
列举法、描述法、图示法等。
02 对数函数的图象与性质
通过图象研究对数函数的单调性、特殊点等。
03 对数函数的应用
解决与对数有关的问题，如计算复利、解决音响 工程中的分贝数等。
幂函数
幂函数的概念
一般地，形如$y=x^a(a为 实数)$的函数，称为幂函 数。
幂函数的应用
解决与幂函数有关的问题 ，如计算面积、体积等。
幂函数的图象与性质
直观图
斜二测画法得到的图形，用于直观地表示空间几何体的 形状。
空间几何体的表面积与体积
多面体的表面积与体积
通过计算各面面积之和以及体积公式 来求解。
旋转体的表面积与体积
组合体的表面积与体积
通过分解组合体为简单几何体，再分 别计算各部分的表面积和体积来求解 。
通过计算侧面积、底面积以及体积公 式来求解。
数与式的知识点总结PPT
乘法运算
两数相乘，同号得正，异号得 负，并把绝对值相乘。
除法运算
除以一个数等于乘以这个数的 倒数。
有理数性质及应用
稠密性
有理数在实数范围内是稠密的， 即任意两个不相等的实数之间都
存在有理数。
可数性
有理数集是可数的，即可以与自然 数集建立一一对应关系。
应用领域
有理数在数学、物理、化学、工程 等领域都有广泛应用，如分数运算 、百分比计算、速度、加速度等。
分式化简与求值技巧
分式的化简
通过约分、通分等技巧将复杂的分式 化简为简单的形式。
分式的求值
给定具体的数值或条件，通过代入计 算求出分式的值。
07
二次根式知识点
二次根式定义及性质
01
定义：形如$\sqrt{a}$（ $a\geq0$）的代数式称为二
次根式。
02
性质
03
04
非负性：$\sqrt{a}\geq0$（ $a\geq0$）。
合并同类项
将多项式中相同字母且相同指数的项合并在 一起。
应用公式化简
如平方差公式、完全平方公式等。
提取公因式
将多项式中各项都含有的公共因子提取出来 。
整体代入法
将某个复杂的代数式看作一个整体进行代入 化简。
06
分式知识点
分式定义及基本性质
分式定义
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式 ，其中A叫做分子，B叫做分母。
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
分式运算规则
分式的加减运算
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的 分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
第1讲 数与式的运算
新高一第1讲 数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．1.1.1. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．例1计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．例2已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．例3计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++- （3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++例4已知23+10x x -=，求331xx +的值．变式：若23-10x x -=呢？例5已知0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．练习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（）；（2）(4m +22)164(m m =++)； （3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++)．（4）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（） （5）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）（填正数、负数等）.1.1.2．二次根式数的开方1、平方根的运算性质：2=a ；()(){0-<0==a a a a a ≥2、立方根的运算性质：3=a a3、次方根的运算性质：正数有一个正的奇次方根；负数有一个负的奇次方根；零的奇次方根为零。
第一章数与式第5课二次根式及其运算课件
(3)计算：－
4 1 × 15 45 5 2
解：原式＝－
4 1 × × 45×15 5 2 ＝－ 4 × 1×15× 3 ＝－6 3 . 5 2
探究提高
1.二次根式化简，依据 ab ＝ a b(a≥0，b≥0)， ·
a ＝ a (a≥0，b＞0)，前者将被开方数变形为有m2 b b (m为正整数)因式，后者分子、分母同时乘一个适当的
基础自测
1．(2011· 泉州)(－2)2的算术平方根是( A )
A. 2
B．±2 －22 ＝ －2＝2.
2．(2011· 广安)下列运算正确的是( C ) A．－(－x＋1)＝x＋1 B. 9 － 5 ＝ 4 C. 3－2＝2－ 3 D．(a－b)2＝a2－b2 解析：因为 3 <2， 3 －2<0，所以＝ 3－2－( 3 －2) ＝－ 3 ＋2＝2－ 3 .
(2)已知a、b、c是△ABC的三边长，试化简：
a＋b＋c2＋
a－b－c2＋ b－c－a2 ＋ c－a－b2 .
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b| ＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)
＝2a＋2b＋2c.
探究提高
1.对于二次根式，它有意义的条件是被开方数非负.
题型三
二次根式混合运算
【例3】 计算： (1)(3 2 －1)(1＋3 2 )－(2 2 －1)2； (2)( 10 －3)2010·( 10 ＋3)2010. 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)原式＝(3 2 )2－1－[(2 2 )2－4 2 ＋1] ＝18－1－8＋4 2 －1 [2分] ＝8＋4 2 (2)原式＝[( 10 －3)( [4分]
专题一：数与式课件
总复习1—数与式（一）知识点1．数的分类0⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩正整数整数负整数有理数实数正分数分数负分数无理数——无线不循环小数0⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正数有理数正数分数无理数实数整数有理数负数分数无理数 2．有关概念：实数、有理数、无理数、数轴、相反数、绝对值、倒数、自然数、平方根、算术平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、同类二次根式、分母有理化（1）实数：有理数和无理数统称为实数 （2）有理数：整数和分数统称为有理数（3）无理数：无限不循环的小数叫无理数。
如：1.413……，，带且开方开不尽的数。
（4）数轴：规定原点、正方向、单位长度的直线。
（5）相反数：只有符号不同的两个数（6）绝对值：在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。
绝对值意义：一个正数的绝对值等于它本身； 一个负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值等于零。
即=（7）倒数：如果两个数的积等于1，那么这两个数互为倒数（0没有倒数） （8）自然数：非负整数，如：0、1、2、3、4、…… （9）平方根、算术平方根：如果，那么x 叫做a 的平方根。
其中叫非负数a 的算术平方根平方根意义：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；零的平方根是零。
（10）非负数a 的正的平方根叫做a 的是算术平方根（11）立方根：如果= a，那么x叫做a的立方根x =（12）二次根式：式子(a0)叫做二次根式（13）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开放数中不能含有开得尽方的因数或因式②被开方数中不含有分母（14）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式（15）分母有理化：利用= a（a）和平方差公式将分母中的化去的过程叫分母有理化。
3．有理数加减乘除运算（1）有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
高一数学必修1课件ppt
数列的通项公式是表示数列中每一项的数学表达式。如果 一个数列的第$n$项为$a_n$，则该数列的通项公式可以 表示为$a_n = f(n)$。
等差数列的定义及通项公式
总结词
等差数列的概念
总结词
等差数列的通项公式
详细描述
等差数列是一种常见的数列，它的特点是任意两 个相邻的项之间的差是一个常数。如果一个数列 从第二项起，后一项与前一项的差都等于同一个 常数，则称该数列为等差数列。
表示一个数重复相乘的次数的数学表 达方式。例如，2的3次方表示2乘以 自身两次，结果为8。
对数
表示一个数在以10为底或以e为底的情 况下，需要被除多少次才能得到另一 个数的数学表达方式。例如，以10为 底，32的对数是5，因为10的5次方等 于320。
指数函数
定义
y=a^x (a>0且a≠1)
性质
诱导公式的应用
在求解三角函数的值、化简三角函数 式等方面具有广泛应用。
04
CATALOGUE
不等式
不等式的性质
01
02
03
04
传递性
如果a>b且b>c，那么a>c。
加法性质
如果a>b，那么a+c>b+c。
乘法性质
如果a>b且c>0，那么ac>bc ；如果a>b且c<0，那么 ac<bc。
除法性质
03 总结词
等比数列的通项公式
04 详细描述
等比数列的通项公式是$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其中 $a_1$是首项，$r$是公比，$n$ 是项数。
数列的求和
总结词
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三、多项式的基本理论
关于x的一元n次多项式:
f : an x an1 x
n
n1
a2 x a1 x a0
2
( an 0 ,n为正整数)
多项式恒等 次数相同,同次幂系数相等. an xn an1xn1 a2 x2 a1x a0
(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如 果是负数，则应提出负号，利用恒等变形 把它转化为正数).
㈣求根公式法 要把二次三项式ax2+bx+c在实数范围内 分解因式，可先用求根公式求出相应的一元 二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1和x2，然后分 解成ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),这种因式分解 的方法叫做求根公式法. 注意：系数a不能丢掉.
同学们,当老师 提问或请同学们练习 时，你可以按播放器 上的暂停键思考或练 习，然后再点击播放 键.
讲 座 内 容
一、乘法公式 二、因式分解 三、多项式的基本理论
一、乘法公式
(a+b) (a-b)=a2-b2 1.平方差公式： 2.完全平方公式： (a±b)2=a2±2ab+b2
3.立方和公式： a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 4.立方差公式： a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
mx4 n 2mx 3 2n px 2 q 2 px 2q
我们还可采用 二、解答题 多项式除法做 4 2 此题 例1.将多项式 x 2 x 8 表示成 x a的
m 1, n 2m 0,2n p 2, q 2 p 0,2q 8 所以 m 1, n 2, p 2, q 4
★一个二次三项式ax2+bx+c能不能分解成两 个一次因式的乘积，取决于方程ax2+bx+c=0 是否存在实数根. 于是： ①△>0时，ax2+bx+c 可分解成两个不同的一 次因式的乘积； ②△=0时，ax2+bx+c 是关于x的完全平方式， 即分解为两个相同的一次因式乘积; ③△<0时，ax2+bx+c 不能分解为两个一次因 式的乘积.
( x 2 x 1) 3( x 2 x) 7
2
后可以利用十字相乘法进行分解，而分解以后，是 2 2 2 2 x 2x 2 x 2x 1 3 x 2x 两个二次三项式积的形式，并且可以继续分解. 7
x 2x x 2 2x 6
2
5.三数和平方公式：
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
乘法公式应用举例
一、填空题训练 二、解答题剖析
乘法公式应用举例
一、填空题
2 2
逆用完全平方公式
1.若 x y 2x 2 y 2 0,则代数式 x 2010 y 2011的值为 0 . 216-1 2.计算: 2 12 12 12 1
an bn a b n 1 n 1 a b 1 1 a0 b0 特别地: n n1 2 an x an1x a2 x a1x a0 0 an an1 a1 a0 0
bn x bn1x
在寻求真理的长征中，
唯有学习，不断地学习， 勤奋地学习，有创造地学
习,才能越重山，跨峻岭。
——华罗庚
祝同学们成功！
2
.
提取公因式2（x-y）2，注意符号
一、填空题
展开后分组分解
3.分解因式x 2 yx 3 y 2xy 3 x y x y
3
.
二、解答题
例1.分解因式
( x 2 x 1) 3( x 2 x) 7
2 2 2 2 2 2+2x)看成一个整体，展开 【思路】我们可以把(x 【解析】
因式分解是代数式的一种重要恒等变形，它与 整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程 及各种恒等变形中起着重要的作用,是一项基本技 能． 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的 提公因式法和公式法外，还有十字相乘法、分组分 解法、求根公式法等等．
㈠提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式， 可以把这个公因式提到括号外面，将多项 式写成因式乘积的形式，这种因式分解的 方法叫做提公因式法.
所以另一个因式为 x 2 x 2 x 4 所以 x4 2x 2 8 x 2x3 2x2 2x 4
3 2
二、解答题 2x 35 例2.已知 5 4 3 2 a5 x 2 a4 x 2 a3 x 2 a2 x 2 a1 x 2 a0 求(1) a0; (2) a5 a4 a3 a2 a1 a0 ; (3) a5 a4 a3 a2 a1 a0 . 【解析】 【思路】对于求多项式的系数问题常采用赋值法. (1)令x 2,则 a0 1 (2)令x 3 ,则 5 (3)令 x 1,则
一、填空题训练 二、解答题剖析
因式分解应用举例
一、填空题
-8y2看成常数项，6y看成一
次项系数Βιβλιοθήκη 1.分解因式 5x 2 6xy 8 y 2 5x 4 y x 2 y . 2.分解因式 4x y 2 y x
2 3
2x y x y 2
二、解答题
2 2 2
还有其他方法分组 分解吗?
例2.已知a k 3, b 2k 2, c 3k 1 ,
求 a b c 2ab 2bc 2ac 的值.
a 【解析】 b c 2ab 2bc 2ac 【思路】如果把a,b,c直接代进去,计算量很大,所 以先对所求的式子进行因式分解,再代进去. 2 2 2
㈢十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把某些二 次三项式ax2+bx+c分解因式的方法叫做十字 相乘法. ★正确的十字相乘必须满足以下条件： a1 c1
(1)在式子 a2 c2 中，竖向的两个数必须满 足关系a1a2=a，c1c2=c, 斜向的两个数必须满 足关系a1c2+a2c1=b.
（2）由十字相乘图中的四个数写出分解后 的两个一次因式时，图的上一行两个数中， a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数 项;在下一行的两个数中，a2是第二个因式 中的一次项的系数，c2是常数项. 即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)
2 2 2
a b 2ab 2bc 2ac c
a b 2ca b c 2
2
k 3 2k 2 3k 1 36
a b c
2
2
【点评】 分解因式有时并不是单一方法的应用， 而是多种方法的综合应用，一般来讲，我们 可以用下面的口诀来记忆： 首先提取公因式，然后考虑用公式; 十字相乘试一试，分组分得要合适; 四种方法反复试，结果必是连乘式. （简称“提公十分”）
2
x 2 2x 3 x 2 2x 2
2
x 3x 1x
2x 2
【点评】 用十字相乘法分解因式也要注意分解 彻底，有时可能会多次使用十字相乘法， 并且对于项数较多的多项式，应合理使用 分组分解法，找公因式，如五项可以三、 二组合.
n
n1
b2 x b1x b0
2
多项式的赋值
在展开式 n kx b an x n an1 x n1 a2 x 2 a1 x a0 令x=0,则 令x=-1,则
b a0
n
n
令x=1,则 k b an an1 a2 a1 a0
2
2
1 x 2 7, 再两边同时平方得: x
1 1 1 4 x 2 x 2 4 49, 所以 x 4 47 x x x
4 2
【点评】对于乘法公式 ①各乘法公式的使用条件,不可混淆; ②公式中的a,b可以是数，也可以是数学式子; ③注意公式的正用、逆用、灵活运用.
二、因式分解
a3 x 3 a2 x 2 a1 x a0 2 2 1 则 a4 a2 a0 a3 a1 .
2x 3 a4 x
4
4
先用平方差公式哟!
多项式,其中 a 2 . 4 2 【思路】由题目可知,多项式有一个因式为x+2,只要求 【解析】 因为 x 2 x 8 有一个因式为 x 2 , 出另一个因式即可,所以我们可采用待定系数法. mx3 nx2 px q 则设另一个因式为 x 4 2 x 2 8 x 2 mx3 nx2 px q 所以 所以
2 4 8
.
式子前添一项（2-1），然后 依次用平方差公式运算.
二、解答题
1 例1.已知 x x 3,
1 求 x 4 的值. x
4
【思路】观察已知式与所求式的次数关系,很容易 想到把已知式子两边同时平方.
1 【解析】 x 3, 两边同时平方得: x
1 1 x 2 x 2 9, 所以 x x
a5 a4 a3 a2 a1 a0 3
a5 a4 a3 a2 a1 a0 1 a5 a4 a3 a2 a1 a0 1
【点评】
多项式有关内容的处理上常用待定系数 法, 而且这种方法在以后的高中学习中也常 会遇到,同学们应牢固掌握. 另外对于赋值法,也应有所了解.