2020高三第一次模拟数(文)答案

x

2e e 1
，
g(x)

0
，
g(x)
递增．
∴ g(x)≥ g(e) e 2 0 ，
∴
(1
1 )x

2
ln
x

1

0
，即
(1

1 )x

1

2
ln
x
………………………………………8
分
e
e
∵0a 2，x≥e，
∴ 2ln x a ln x ，………………………………………………………………………10 分
分
e
e
所以，当 0 a 2 时， a ln x

(1
1 )x
1
对一切
x
[e,
)
恒成立．
……………12
分
e
（方法二）设
g(x)

(1
1 )x

2
ln
x

1
，则
x

0
，
e
且
g(x)

e
1 e
(x

e2e1)
．………………………………………………………………6
分
x
当
x
≥
e
时，

y2

1 2
(x1

x2 )

2b

4b 3
，………………………………………………………8
分
∴
OD

OE

(x1

x2
,
y1

y2
)

(
4b 3
,
4b 3
)
．
…………………………………………9 分
∵直线 l2 的方向向量是 OD OE ， ∴直线 l2 的斜率是 1 ． 由于直线 l2 经过点 (1,0) ，所以，直线 l2 的方程是 y x 1．………………………10 分 ∴点 G 的坐标是 (1,0) ，是轨迹 C 的上顶点． ………………………………………11 分
数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再得分。
3．解答右端所注分数，表示该生正确做到这一步应该得的累加分数。 4．只给整数分数。选择题不给中间分。 一、选择题：
1. D 2. B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.B 8. A 9.D 10. B 11.C 12.A
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
x2 y2 2x 4y 4 ，
∴圆 C 的直角坐标方程为 (x 1)2 (y 2)2 1．……………………………………2 分
∴圆 C 的圆心坐标为 C(1, 2) ．
∵圆心 C 在直线 l : y mx 3上，
∴ 2 m 3，即 m 1， ……………………………………………………………3 分
P(A)

24 11

8 11
，
答：这位小组牵头人至少通晓三个国家语言的概率是 8 ．………………………12 分 11
19．(1)证明：∵ AB 2 3 ， BC 2 ， AC 4 ，
∴ AB2 BC2 AC2 ，
∴ BC BA ． ………………………………………………………………………1 分
即 l :3x 4y 7 3n 0． ……………………………………………………………7 分
由题意得，｜31 4 (2) 7 3n｜=2 ， ………………………………………………9 分 32 +42
解得， n 2 （负值已舍）． …………………………………………………………10 分 23.解：(1) ∵ f(x) | x a | | x 4 |， a 1，
其中男性 6 人，女性 5 人． …………………………………………………………8 分
设这 11 人中至少通晓三个国家语言的男性有 x 人，由题意可得， 6 x 2(5 x) ．
解得， x 4 ．…………………………………………………………………………10 分
设“这位小组牵头人至少通晓三个国家语言”为事件 A ，则
∴当 0 x 1时， f(x) 0 ， f(x) 递减；当 x 1时， f(x) 0 ， f(x) 递增．……4 分
所以， f(x) 增减区间是 (0,1]，递增区间是[1, ) ． ………………………………5 分
(2)证明：（方法一）由(1)知，当 x e 1时， f(x) f(1) 0 ，即 x ln x 1 0 ，
直线 l 的参数方程为
x y

34tt11．, (t
为为参数
)
．
消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 3x 4y 7 0 ． …………………………………5 分
(2) 将直线 l 向左平移 n(n 0) 个单位后，得到直线 l :3(x n) 4y 7 0 ，
∴
a
ln
x

(1
1 )x
1
．…………………………………………………………………11
分
e
所以，当
0

a

2
时，
a
ln
x

(1

1 )x

1 对一切
x
[e,
)
恒成立．
……………12
分
e
22.解：(1) 分别将 2 x2 y2 ， cos x ， sin y 代入 2 2 cos 4 sin 4 得，
分

2n

1 2
n2

1 2
n
1
．
所以，Sn
2n

1 2
n2

1 2
n
1
．
………………………………………………………12
分
18．解：(1)根据条件， 22 列联表如下，
男 女 合计
入围 24 20 44
未入围 76 80 156
合计 100 100 200
……………………………………………3 分
当 x 4 时，由 f(x) x 得，2x 5 x ，解得，4 x 5 ．…………………………4 分
所以，不等式 f(x) x 的解集为 (3,5) ． ……………………………………………5 分
∴ BC 平面 AA1B1B ． ………………………………………………………………4 分
∵ AD 平面 AA1B1B ，
∴ BC AD ． ………………………………………………………………………5 分
(2)解：根据条件，三棱柱侧面 AA1C1C 是边长为 4 的正方形，
△AA1D 的面积为 S△AA1D
∴ f(x) | x 1| | x 4 | ，即 f(x) 32,x21x≤5,x5x,≤x44．,1, …………………………………1 分
当
x

1
时，由
f(x)

x
得，
2x

5

x
，解得，
x

5 3
，舍．
……………………2 分
当1≤ x ≤4 时，由 f(x) x 得， x 3，解得， 3 x ≤4 ． ………………………3 分
20．解：(1)设点 M 的坐标为 (x, y) ，因为点 A 是 ( 2,0) ，所以，直线 AM 的斜率 kAM y (x 2) ；………………………………………………………………………2 分
x 2
同理， BM 的斜率 kBM

y x
(x 2
2) ． …………………………………………3 分
四川省达州市普通高中 2020 届第一次模拟考试
文科数学参考答案及评分参考
评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试
题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分
e
e x ex
∴当 x ≥ e 时， g(x)≥0 ， g(x) 在区间[e, ) 递增，所以， g(x)≥ g(e) 0 ．
∴1≤ ln x ≤ x ，即 a ln x ≤ 2x ．
e
e
文科数学第 3 页,共 5 页
∴
2a
ln
x
≤
2x

2x

2
即
a
ln
x

(1
1 )x
1
．………………………………………10
文科数学第 1 页,共 5 页
∴ K2
的观测值 k

200(24 80 2076)2 44 156 100 100

200 429
2.706 ，
…………………………5 分
所以，没有 90% 的把握认为脑力考试后是否入围与性别有关． …………………6 分
(2) 由(1)可知，用分层抽样的方法，以性别为分层依据在入围人员中随机抽取 11 人，
所以，△FGH的周长为 4 2 ． ………………………………………………………12 分 21．(1) 解：函数 f(x) x ln x 1 的定义域是 (0, ) ， ……………………………1 分
且 f(x) 1 1 x 1 ， ………………………………………………………………2 分 xx
1 3
S△AA1D

BC

1 3
S△ADC1

h
，
C
C1
即
1 3

31h

1 3
2
32．
B
解得，
h

4
93 31
．
A
∵ A1D DB1 ，
B1 D …………………11 分 A1
文科数学第 2 页,共 5 页
∴求点
B1
到平面
AC1D
的距离为
4
93 31
．
…………………………………………12 分
∴ x 1 ln x 0 ．………………………………………………………………………6 分
∵0 a 2，
∴ a ln x 2x 2 ． ………………………………………………………………………8 分
设 g(x) x ln x ，则 g(x) 1 1 x e ，
分
∵ a1 1 ，
∴数列{an
}
是以1
为首项，以
1 2
为公比的等比数列，………………………………3
分
所以， an

1
(
1 2
)n
1
，…………………………………………………………………5
分
即数列{an} 的通项公式为 an

1 2n1
．…………………………………………………6
分
(2)∵ an

11 2 38
，.即 sin C1AD
2
31 38
．
∴ △ADC1 的n C1AD

1 2
19 4 2
31
2 38
31 ．
……………………………………………………………………………………………8 分
设点 A1 到平面 AC1D 的距离为 h ，由 VC1AA1D V 得， A1ADC1

1 2
AA1
A1D

1 2

4
3 2
3 ．…………………………6 分
又 AD 42 ( 3)2 19 ， AC1 4 2 ， DC1 22 ( 3)2 7 ，
∴ cos C1AD
AC12 AD2 DC12 2AC1 AD

32 19 7 2 4 2 19

1 2n1
， bn

1 an
n，
∴ bn 2n1 n ，…………………………………………………………………………7 分
∴ Sn b1 b2 bn
(20 21 2n1) (1 2 n)

1 (1 2n 12
)

(1 n)n 2
……………………………………………………………10
13．1
14． 3
15． 3x y 2 0或3x 4y 1 0
16．

4 3
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：(1)∵ an 2an1 (n N*) ，
∴
an1

1 2
an
(n
N*)
，………………………………………………………………2
设 D ， E 两点的坐标分别为 (x1, y1) ， (x2, y2 ) ，
x2
由方程组

2
y2 1
1, 得， 3x2
4bx 4b2
4

0
.……………………………………7
分
y

2
x

b.
∴ (4b)2
43(4b2
4)

0 ，且
x1

x2


4b 3
，
∴
y1
∵ AA1 平面 A1B1C1 ，平面 ABC∥平面 A1B1C1 ，
∴ AA1 平面 ABC ． …………………………………………………………………2 分
∵ BC 平面 ABC ，
∴ AA1 BC ． …………………………………………………………………………3 分
∵ AB ， AA1 是平面 AA1B1B 内两相交直线，
由已知有 y x
y 2 x
1 2 2 (x
2) ，……………………………………………4 分
化简，得 M 的轨迹 C
的方程为
x2 2

y2
1(x


2) ．………………………………5 分
(2)由(1)知，轨迹 C 是以 F(1,0) 与 (1,0) 为左，右焦点，除去长轴端点的椭圆． …6 分