2013年江西高考文科数学
2013年江西省高考数学试卷(文科)
2013年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或43．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣ B．﹣ C．D．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．016．（5分）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜118．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200+9πB．200+18π C．140+9πD．140+18π9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：310．（5分）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a=．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于．13．（5分）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．21．（14分）设函数常数且a∈（0，1）．（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．2013年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，由复数的几何意义可得答案．【解答】解：化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，故复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣2）在第四象限，故选：D．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．2．（5分）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或4【分析】当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可．【解答】解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件当a≠0时，△=a2﹣4a=0，解得a=4故选：A．【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题．3．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化简即可．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2=1﹣2×=1﹣=故选：C．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：=．故选：C．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．6．（5分）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）【分析】通过x=，，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D．即可得到正确选项．【解答】解：利用特殊值排除选项，不妨令x=时，代入x＜＜x2，得到＜，显然不成立，选项B不正确；当x=时，代入x＜＜x2，得到，显然不正确，排除C；当x=2时，代入x＜＜x2，得到，显然不正确，排除D．故选：A．【点评】本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧．当然可以直接解答，过程比较复杂．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选：B．【点评】本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200+9πB．200+18π C．140+9πD．140+18π【分析】根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成．根据所给出的数据可求出体积．【解答】解：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和长方体的三度为：10、4、5；圆柱的底面半径为3，高为2，所以几何体的体积=10×4×5+32π×2=200+9π．故选：A．【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽．9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：3【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解答】解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此，，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：故选：C．【点评】本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】通过t的增加，排除选项A、D，利用x的增加的变化率，说明余弦函数的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=1，所以选项A，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率由大变小，又y=cosx是减函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反．故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a= 2．【分析】求出函数的导函数，求出x=1时的导数值，写出曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值．【解答】解：由y=x a+1，得y′=ax a﹣1．所以y′|x=1=a，则曲线y=x a+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2=a（x﹣1），即y=ax﹣a+2．把（0，0）代入切线方程得，a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于6．【分析】由题意可得，第n天种树的棵数a n是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足s n≥100，解不等式可求【解答】解：由题意可得，第n天种树的棵数a n是以2为首项，以2为公比的等比数列s n==2n+1﹣2≥100∴2n+1≥102∵n∈N*∴n+1≥7∴n≥6，即n的最小值为6故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定13．（5分）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是a≥2．【分析】构造函数F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，利用正弦函数的特点求出F（x）max，从而可得答案．【解答】解：∵不等式|f（x）|≤a对任意实数x恒成立，令F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，则a≥F（x）max．∵f（x）=sin3x+cos3x=2sin（3x+）∴﹣2≤f（x）≤2∴0≤F（x）≤2F（x）max=2∴a≥2．即实数a的取值范围是a≥2故答案为：a≥2．【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程．【解答】解：设圆的圆心坐标（a，b），半径为r，因为圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，所以，解得，所求圆的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．【分析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）通过分解因式，利用正项数列{a n}，直接求数列{a n}的通项公式a n；（2）利用数列的通项公式化简b n=，利用裂项法直接求数列{b n}的前n 项和T n．【解答】解：（1）由正项数列{a n}满足：﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0，可得（a n﹣2n）（a n+1）=0所以a n=2n．（2）因为a n=2n，b n=，所以b n===，T n===．数列{b n}的前n项和T n为．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．【分析】（1）由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC，化简可得5ab=3b2，由此可得的值．【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B．再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，故a，b，c成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC=a2+b2+ab．化简可得5ab=3b2，∴=．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．【分析】（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）列举分别可得数量积为﹣2，﹣1，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）数量积为﹣2的有，共1种，数量积为﹣1的有，，，，，共6种，数量积为0的有，，，共4种，数量积为1的有，，，共4种，故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率P1=，去唱歌的概率P2=，故不去唱歌的概率为：P=1﹣P2=1﹣=【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．【分析】（1）过点B作BF⊥CD于F点，算出BF、EF、FC的长，从而在△BCE中算出BE、BC、CE的长，由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，结合BE⊥BB1利用线面垂直的判定定理，可证出BE⊥平面BB1C1C；（2）根据AA1⊥平面A1B1C1，算出三棱锥E﹣A1B1C1的体积V=．根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A1C1=EC1=3、A1E=2，从而得到等腰△A1EC1的面积=3，设B 1到平面EA1C1的距离为d，可得三棱锥B1﹣A1C1E的体积V=××d=d，从而得到=d，由此即可解出点B 1到平面EA1C1的距离．【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD于F点，则：BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=EC﹣EF=3﹣1=2在Rt△BEF中，BE==；在Rt△BCF中，BC==因此，△BCE中可得BE2+BC2=9=CE2∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC，∵BB1⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴BE⊥BB1，又∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线，∴BE⊥平面BB1C1C；（2）∵AA1⊥平面A1B1C1，得AA1是三棱锥E﹣A1B1C1的高线∴三棱锥E﹣A 1B1C1的体积V=×AA1×=在Rt△A1D1C1中，A1C1==3同理可得EC1==3，A1E==2∴等腰△A1EC1的底边A1C1上的中线等于=，可得=×2×=3设点B 1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1﹣A1C1E的体积为V=××d=d，可得=d，解之得d=即点B1到平面EA1C1的距离为．【点评】本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题．20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．【分析】（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a2=b2+c2列式求出a，b，则椭圆方程可求；（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M 点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣k化简整理即可得到2m﹣k为定值．【解答】（1）解：因为，所以，即a2=4b2，a=2b．又a+b=3，得a=2，b=1．所以椭圆C的方程为；（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为．联立，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．所以，．则．所以P（）．又直线AD的方程为．联立，解得M（）．由三点D（0，1），P（），N（x，0）共线，得，所以N（）．所以MN的斜率为=．则．所以2m﹣k为定值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题．21．（14分）设函数常数且a∈（0，1）．（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．【分析】（1）当a=时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；（2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求；（3）由题意，先表示出s（a）的表达式，再借助导数工具研究s（a）在区间[，]上的单调性，确定出最值，即可求解出最值．【解答】解：（1）当a=时，求f（）=，故f（f（））=f（）=2（1﹣）=（2）f （f （x ））=当0≤x ≤a 2时，由=x ，解得x=0，因为f （0）=0，故x=0不是函数的二阶周期点；当a 2＜x ≤a 时，由=x ，解得x= 因为f （）==≠， 故x=是函数的二阶周期点；当a ＜x ≤a 2﹣a +1时，由=x ，解得x=∈（a ，a 2﹣a +1），因为f （）=，故得x=不是函数的二阶周期点；当a 2﹣a +1＜x ≤1时，由，解得x=∈（a 2﹣a +1，1），因为f （）=≠，故x=是函数的二阶周期点； 因此函数有两个二阶周期点，x 1=，x 2=（3）由（2）得A （，），B （，） 则s （a ）=S △OCB ﹣S △OCA =×，所以s′（a ）=×，因为a ∈（），有a 2+a ＜1，所以s′（a ）=×=＞0（或令g （a ）=a 3﹣2a 2﹣2a +2利用导数证明其符号为正亦可）s （a ）在区间[，]上是增函数，故s（a）在区间[，]上的最小值为s（）=，最大值为s（）=【点评】本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，第二题解答的关键是理解定义，第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性，本题考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现．。
【推荐】2013年江西省高考数学试卷(文科)
2013年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若集合A={∈R|a2+a+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或43．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）6．（5分）下列选项中，使不等式＜＜2成立的的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A ．S ＜8B ．S ＜9C ．S ＜10D ．S ＜118．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．200+9πB ．200+18πC ．140+9πD ．140+18π9．（5分）已知点A （2，0），抛物线C ：2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|=（ ） A ．2：B ．1：2C ．1：D ．1：310．（5分）如图．已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为，令y=cos ，则y 与时间t （0≤t ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a= ．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于．13．（5分）设f（）=sin3+cos3，若对任意实数都有|f（）|≤a，则实数a的取值范围是．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{an }满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．（1）求数列{an }的通项公式an；（2）令bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1． （1）求证：a ，b ，c 成等差数列； （2）若C=，求的值．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为，若＞0就去打球，若=0就去唱歌，若＜0就去下棋（1）写出数量积的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB=2，AD=，AA1=3，E 为CD 上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； （2）求点B 1到平面EA 1C 1 的距离．20．（13分）椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交轴于点N 直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为，MN 的斜率为m ，证明2m ﹣为定值．21．（14分）设函数常数且a ∈（0，1）．（1）当a=时，求f （f （））；（2）若0满足f （f （0））=0，但f （0）≠0，则称0为f （）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点1，2；（3）对于（2）中1，2，设A （1，f （f （1））），B （2，f （f （2））），C （a 2，0），记△ABC 的面积为s （a ），求s （a ）在区间[，]上的最大值和最小值．2013年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简可得复数=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，由复数的几何意义可得答案．【解答】解：化简可得复数=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，故复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣2）在第四象限，故选：D．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．2．（5分）若集合A={∈R|a2+a+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或4【分析】当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可．【解答】解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件当a≠0时，△=a2﹣4a=0，解得a=4故选：A．【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题．3．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化简即可．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2=1﹣2×=1﹣=故选：C．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：=．故选：C．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．6．（5分）下列选项中，使不等式＜＜2成立的的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）【分析】通过=，，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D．即可得到正确选项．【解答】解：利用特殊值排除选项，不妨令=时，代入＜＜2，得到＜，显然不成立，选项B不正确；当=时，代入＜＜2，得到，显然不正确，排除C；当=2时，代入＜＜2，得到，显然不正确，排除D．故选：A．【点评】本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧．当然可以直接解答，过程比较复杂．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选：B．【点评】本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200+9πB．200+18π C．140+9πD．140+18π【分析】根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成．根据所给出的数据可求出体积．【解答】解：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和长方体的三度为：10、4、5；圆柱的底面半径为3，高为2，所以几何体的体积=10×4×5+32π×2=200+9π．故选：A．【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽．9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2： B．1：2 C．1：D．1：3【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解答】解：∵抛物线C：2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为==﹣，过M 作MP ⊥l 于P ，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt △MPN 中，tan ∠MNP=﹣=，∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此，，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：故选：C ．【点评】本题给出抛物线方程和射线FA ，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）如图．已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为，令y=cos ，则y 与时间t （0≤t ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D．【分析】通过t的增加，排除选项A、D，利用的增加的变化率，说明余弦函数的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，=0，对应y=1，所以选项A，D不合题意，当t由0增加时，的变化率由大变小，又y=cos是减函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反．故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a= 2 ．【分析】求出函数的导函数，求出=1时的导数值，写出曲线y=a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值．【解答】解：由y=a+1，得y′=a a﹣1．=a，则曲线y=a+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为：所以y′|=1y﹣2=a（﹣1），即y=a﹣a+2．把（0，0）代入切线方程得，a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于 6 ．是以2为首项，以2为公比的等【分析】由题意可得，第n天种树的棵数an比数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足s≥100，解不n等式可求是以2为首项，以2为公比【解答】解：由题意可得，第n天种树的棵数an的等比数列==2n+1﹣2≥100sn∴2n+1≥102∵n∈N*∴n+1≥7∴n≥6，即n的最小值为6故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定13．（5分）设f（）=sin3+cos3，若对任意实数都有|f（）|≤a，则实数a的取值范围是a≥2 ．【分析】构造函数F（）=|f（）|=|sin3+cos3|，利用正弦函数的特点求出，从而可得答案．F（）ma【解答】解：∵不等式|f（）|≤a对任意实数恒成立，令F（）=|f（）|=|sin3+cos3|，．则a≥F（）ma∵f（）=sin3+cos3=2sin（3+）∴﹣2≤f（）≤2∴0≤F（）≤2F（）=2ma∴a≥2．即实数a的取值范围是a≥2故答案为：a≥2．【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程．【解答】解：设圆的圆心坐标（a，b），半径为r，因为圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，所以，解得，所求圆的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 4 ．【分析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{an }满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．（1）求数列{an }的通项公式an；（2）令bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（1）通过分解因式，利用正项数列{an }，直接求数列{an}的通项公式an ；（2）利用数列的通项公式化简bn =，利用裂项法直接求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）由正项数列{an }满足：﹣（2n﹣1）an﹣2n=0，可得（an ﹣2n）（an+1）=0所以an=2n．（2）因为an =2n，bn=，所以bn===，Tn===．数列{bn }的前n项和Tn为．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．【分析】（1）由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC，化简可得5ab=3b2，由此可得的值．【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin 2B ．再由正弦定理可得 ab+bc=2b 2，即 a+c=2b ，故a ，b ，c 成等差数列． （2）若C=，由（1）可得c=2b ﹣a ，由余弦定理可得 （2b ﹣a ）2=a 2+b 2﹣2ab •cosC=a 2+b 2+ab ．化简可得 5ab=3b 2，∴=．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为，若＞0就去打球，若=0就去唱歌，若＜0就去下棋（1）写出数量积的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．【分析】（1）由题意可得：的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）列举分别可得数量积为﹣2，﹣1，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：（1）由题意可得：的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1， （2）数量积为﹣2的有，共1种，数量积为﹣1的有，，，，，共6种，数量积为0的有，，，共4种， 数量积为1的有，，，共4种，故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率P 1=，去唱歌的概率P 2=，故不去唱歌的概率为：P=1﹣P 2=1﹣=【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB=2，AD=，AA1=3，E 为CD 上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； （2）求点B 1到平面EA 1C 1 的距离．【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD 于F 点，算出BF 、EF 、FC 的长，从而在△BCE 中算出BE 、BC 、CE 的长，由勾股定理的逆定理得BE ⊥BC ，结合BE ⊥BB 1利用线面垂直的判定定理，可证出BE ⊥平面BB 1C 1C ； （2）根据AA 1⊥平面A 1B 1C 1，算出三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的体积V=．根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A 1C 1=EC 1=3、A 1E=2，从而得到等腰△A 1EC 1的面积=3，设B 1到平面EA 1C 1 的距离为d ，可得三棱锥B 1﹣A 1C 1E 的体积V=××d=d ，从而得到=d ，由此即可解出点B 1到平面EA 1C 1的距离．【解答】解：（1）过点B 作BF ⊥CD 于F 点，则：BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=EC ﹣EF=3﹣1=2在Rt △BEF 中，BE==；在Rt △BCF 中，BC==因此，△BCE 中可得BE 2+BC 2=9=CE 2 ∴∠CBE=90°，可得BE ⊥BC ， ∵BB 1⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ， ∴BE ⊥BB 1，又∵BC 、BB 1是平面BB 1C 1C 内的相交直线， ∴BE ⊥平面BB 1C 1C ；（2）∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，得AA 1是三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的高线 ∴三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的体积V=×AA 1×=在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1==3同理可得EC 1==3，A 1E==2∴等腰△A 1EC 1的底边A 1C 1上的中线等于=，可得=×2×=3设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d ，则三棱锥B 1﹣A 1C 1E 的体积为V=××d=d ，可得=d ，解之得d=即点B 1到平面EA 1C 1的距离为．【点评】本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题．20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为，MN的斜率为m，证明2m﹣为定值．【分析】（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a2=b2+c2列式求出a，b，则椭圆方程可求；（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣化简整理即可得到2m﹣为定值．【解答】（1）解：因为，所以，即a2=4b2，a=2b．又a+b=3，得a=2，b=1．所以椭圆C的方程为；（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为．联立，得（42+1）2﹣162+162﹣4=0．所以，． 则． 所以P （）．又直线AD 的方程为． 联立，解得M （）．由三点D （0，1），P （），N （，0）共线， 得，所以N （）．所以MN 的斜率为=． 则．所以2m ﹣为定值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题．21．（14分）设函数常数且a ∈（0，1）．（1）当a=时，求f （f （））；（2）若0满足f （f （0））=0，但f （0）≠0，则称0为f （）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点1，2；（3）对于（2）中1，2，设A （1，f （f （1））），B （2，f （f （2））），C （a 2，0），记△ABC 的面积为s （a ），求s （a ）在区间[，]上的最大值和最小值．【分析】（1）当a=时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；（2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求；（3）由题意，先表示出s （a ）的表达式，再借助导数工具研究s （a ）在区间[，]上的单调性，确定出最值，即可求解出最值．【解答】解：（1）当a=时，求f （）=，故f （f （））=f （）=2（1﹣）=（2）f （f （））=当0≤≤a 2时，由=，解得=0，因为f （0）=0，故=0不是函数的二阶周期点；当a 2＜≤a 时，由=，解得= 因为f （）==≠，故=是函数的二阶周期点；当a ＜≤a 2﹣a+1时，由=，解得=∈（a ，a 2﹣a+1），因为f （）=，故得=不是函数的二阶周期点；当a 2﹣a+1＜≤1时，由，解得=∈（a 2﹣a+1，1），因为f （）=≠，故=是函数的二阶周期点；因此函数有两个二阶周期点，1=，2= （3）由（2）得A （，），B （，） 则s （a ）=S △OCB ﹣S △OCA =×，所以s ′（a ）=×，因为a ∈（），有a 2+a ＜1，所以s ′（a ）=×=＞0（或令g （a ）=a 3﹣2a 2﹣2a+2利用导数证明其符号为正亦可）s （a ）在区间[，]上是增函数， 故s （a ）在区间[，]上的最小值为s （）=，最大值为s （）=【点评】本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，第二题解答的关键是理解定义，第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性，本题考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现．。
2013年高考文科数学江西卷
数学试卷 第1页（共9页） 数学试卷 第2页（共9页） 数学试卷 第3页（共9页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页,满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数i)i(z 2--=(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 2.若集合2{|}10A x ax ax R ++=∈=中只有一个元素,则a =( )A .4B .2C .0D .0或43.若sin2α=,则cos α= ( )A .23-B .13-C .13D .234.集合{2,3}A =,{1,2,3}B =,从A ,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A .23 B .12C .13D .165.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )A .08B .07C .02D .016.下列选项中,使不等式21x x x<<成立的x 的取值范围是 ( )A .(1),--∞B .()1,0-C .(0,1)D .(1,)+∞7.阅读如下程序框图,如果输出4i =,那么空白的判断框中应填入的条件是( )A .8S <B .9S <C .10S<D .11S <8.一几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )A .200+9πB .200+18πC .140+9πD .140+18π9.已知点()2,0A ,抛物线24C x y ：=的焦点为F .射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,则||:||=FM MN( )A.2B .1:2C .D .1:310.如图,已知12l l ⊥,圆心在1l 上、半径为1 m 的圆O 在=0t 时与2l 相切于点A ,圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线2l 所截上方圆弧长记为x ,令=cos y x ,则y 与时间t （0≤t ≤1,单位：s ）的函数()y f t ＝的图像大致为 ( )--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共9页）数学试卷 第5页（共9页） 数学试卷 第6页（共9页）A .B .C .D .第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.若曲线1()y x R αα=∈+在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= . 12.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数*()n n N ∈等于 . 13.设sin s33c (3o )f x x x =+,若对任意实数x 都有|()|f x a ≤,则实数a 的取值范围是 .14.若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线=1y 相切,则圆C 的方程是 . 15.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ∥,则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）正项数列{}n a 满足：2210(2)n nn a a n ---=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）令1(1)n nb n a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .17.（本小题满分12分）在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin sin sin sin A B B C ++cos21B =.（Ⅰ）求证：a ,b ,c 成等差数列；（Ⅱ）若2π3C =,求ab的值.18.（本小题满分12分）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以O 为起点,再从1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A （如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X ,若0X >就去打球,若=0X 就去唱歌,若0X <就去下棋. （Ⅰ）写出数量积X 的所有可能取值；（Ⅱ）分别求小波去下棋的概率和不．去唱歌的概率.19.（本小题满分12分）如图,直四棱柱1111ABCD A B C D —中,AB CD ∥,AD AB ⊥,=2AB ,=2AD ,1=3AA ,E 为CD 上一点,=1DE ,=3EC .（Ⅰ）证明：BE ⊥平面11BB C C ； （Ⅱ）求点1B 到平面11EA C 的距离.20.（本小题满分13分）椭圆C ：2222=1(0)a x y a bb +>>的离心率3e =,3a b +=.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图,A ,B ,D 是椭圆C 的顶点,P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点,直线DP 交x 轴于点N ,直线AD 交BP 于点M ,设BP 的斜率为k ,MN 的斜率为m . 证明：2m k -为定值.21.（本小题满分14分）设函数1, 0,11,.)11(=x x a ax a x a f x ≤≤＜≤⎧⎪⎪⎨⎪(-)⎪-⎩a 为常数且(0,1)a ∈.数学试卷 第7页（共9页） 数学试卷 第8页（共9页） 数学试卷 第9页（共9页）（Ⅰ）当12a =时,求1(())3f f ；（Ⅱ）若0x 满足00()=()f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为()f x 的二阶周期点.证明函数()f x 有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点1x ,2x ；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的1x ,2x ,设11()(())A x f f x ，,22()(())B x f f x ，,2(0),C a ,记ABC △的面积为()S a ,求()S a 在区间11[,]32上的最大值和最小值.。
2013年江西省高考数学试卷(文科)学生版
2013 年江西省高考数学试卷（文科）一、：本大共10 小，每小 5 分，共 50 分.在每小出的四个中，只有一是切合目要求的.1．（5 分）（2013?江西）复数 z=i（ 2 i）（i 虚数位）在复平面内所的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5 分）（2013?江西）若会合 A={ x∈ R| ax2+ax+1=0} 此中只有一个元素，a=（）A．4B．2C．0D．0或43．（5分）（2013?江西）若sin =， cosα=（）A．B．C．D．4．（5 分）（2013?江西）会合 A={ 2， 3} ，B={ 1，2，3} ，从 A， B 中各取随意一个数，两数之和等于 4 的概率是（）A．B．C．D．5．（5 分）（2013?江西）体由01，02，⋯，19，20 的 20 个个体成．利用下边的随机数表取 5 个个体，取方法从随机数表第1行的第 5列和第 6列数字开始由左到右挨次取两个数字，出来的第 5 个个体的（）78166572080263140702436997280198 32049234493582003623486969387481 A．08B．07C．02D．016．（5分）（江西）以下中，使不等式x＜＜x2建立的 x 的取范是2013?（）A．（∞， 1） B．（ 1，0）C．（0，1）D．（1，+∞）7．（5 分）（2013?江西）如所示的程序框，假如出i=4，那么空白的判断框中填入的条件是（）A．S＜8B．S＜9C．S＜10D．S＜118．（5 分）（2013?江西）一几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（）A．200+9πB．200+18πC．140+9πD．140+18π9．（5 分）（2013?江西）已知点A（2，0），抛物线 C：x2=4y 的焦点为 F，射线FA与抛物线 C 订交于点 M ，与其准线订交于点N，则 | FM| ：| MN| =（）A．2：B．1：2C．1：D．1：3．（分）（江西）如图．已知l 1 ⊥l2，圆心在l1 上、半径为1m的圆O在10 52013?t=0 时与 l2相切于点 A，圆 O 沿 l1以 1m/s 的速度匀速向上挪动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为 x，令 y=cosx，则 y 与时间 t（ 0≤ t ≤1，单位： s）的函数 y=f（ t）的图象大概为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分．11．（ 5 分）（2013?江西）若曲线y=x a+1（ a∈ R）在点（ 1， 2）处的切线经过坐标原点，则 a=．12．（ 5 分）（2013?江西）某班植树小组今年春季计划植树许多于100 棵，若第一天植树 2 棵，此后每日植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于．13．（ 5 分）（2013?江西）设f（ x）=sin3x+cos3x，若对随意实数x 都有 | f（x）|≤a，则实数 a 的取值范围是．14．（5 分）（2013?江西）若圆 C 经过坐标原点和点（4，0），且与直线 y=1 相切，则圆 C 的方程是．15．（ 5 分）（2013?江西）如图，正方体的底面与正四周体的底面在同一平面α上，且AB∥ CD，则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面订交的平面个数为．三．解答题：本大题共6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（ 12 分）（ 2013?江西）正项数列 { a n} 知足： a n2﹣（ 2n﹣1）a n﹣ 2n=0．（ 2）令b n=，求数列{ b n} 的前n 项和T n．17．（ 12 分）（ 2013?江西）在△ ABC中，角 A，B，C 的对边分别为a， b，c，已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证： a，b，c 成等差数列；（2）若 C= ，求的值．18．（ 12 分）（2013?江西）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌仍是去下棋．游戏规则为以 O 为起点，再从A1，A2， A3，A4， A5，A6（如图）这 6 个点中任取两点分别为终点获得两个向量，记着这两个向量的数目积为X，若X＞0 就去打球，若X=0 就去唱歌，若X＜0 就去下棋（ 1）写出数目积X 的全部可能取值（ 2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．19．（ 12 分）（ 2013?江西）如图，直四棱柱ABCD﹣ A1B1C1D1中， AB∥CD，AD⊥AB， AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明： BE⊥平面 BB1C1C；（2）求点 B1到平面 EA1C1的距离．．（13分）（江西）椭圆C：（＞＞）的离心率，a+b=3．202013?=1 a b0（1）求椭圆 C 的方程；（2）如图， A， B， D 是椭圆 C 的极点， P 是椭圆 C 上除极点外的随意点，直线DP 交 x 轴于点 N 直线 AD 交 BP 于点 M ，设 BP的斜率为 k，MN 的斜率为 m，证明 2m﹣k 为定值．21．（ 14分）（，常数且 a江西）设函数2013?，＜∈（ 0， 1）．（1）当 a= 时，求 f （f（））；（2）若 x0知足 f（f（ x0））=x0，但 f（ x0）≠x0，则称 x0为 f（ x）的二阶周期点，试确立函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）关于（ 2）中 x1， x2，设 A（x1，f（f（ x1））），B（x2，f （f（ x2））），C（a2，0），记△ ABC的面积为 s（a），求 s（a）在区间 [ ， ] 上的最大值和最小值．。
2013年江西省高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.23．（5分）（2013•江西）若sin=，则cosα=（）﹣2，代入已知化简即可．2×﹣=看做4．（5分）（2013•江西）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这B故所求的概率为：=5．（5分）（2013•江西）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一6．（5分）（2013•江西）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）x=，时，代入＜，得到，显时，代入＜，显然不正确，排除＜7．（5分）（2013•江西）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）8．（5分）（2013•江西）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）5+9．（5分）（2013•江西）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物：：．过MNP=|MN|=|PM|﹣，=|MN|==：10．（5分）（2013•江西）如图．已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 与时间t （0≤t ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图象大致为（ ）．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2013•江西）若曲线y=x α+1（α∈R ）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= 2 ．12．（5分）（2013•江西）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于6．=13．（5分）（2013•江西）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是a≥2．|=||=|sin3x+cos3x|sin3x+cos3x=2sin3x+14．（5分）（2013•江西）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．所求圆的方程为：故答案为：15．（5分）（2013•江西）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2013•江西）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．=满足：==．．17．（12分）（2013•江西）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．，，由（，∴=18．（12分）（2013•江西）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．，共的有，，，，，，，，，，，去唱歌的概率，﹣=19．（12分）（2013•江西）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．V=、E=2=3××d=从而得到=AB=DE=1BE===V=×，=2上的中线等于，=××=3××d==d=的距离为．20．（13分）（2013•江西）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．，所以的方程为；，得（，．（的方程为，解得（（的斜率为=．21．（14分）（2013•江西）设函数常数且a∈（0，1）．（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC 的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；[，]时，求（=（）﹣时，由=x≠时，由∈），故得x=时，由x=（=x=，（×=×（×[，[，]（=（。
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2013年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若集合A={∈R|a2+a+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或43．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）6．（5分）下列选项中，使不等式＜＜2成立的的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A ．S ＜8B ．S ＜9C ．S ＜10D ．S ＜118．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．200+9πB ．200+18πC ．140+9πD ．140+18π9．（5分）已知点A （2，0），抛物线C ：2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|=（ ） A ．2：B ．1：2C ．1：D ．1：310．（5分）如图．已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为，令y=cos ，则y 与时间t （0≤t ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a= ．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于．13．（5分）设f（）=sin3+cos3，若对任意实数都有|f（）|≤a，则实数a 的取值范围是．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{an }满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．（1）求数列{an }的通项公式an；（2）令bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1． （1）求证：a ，b ，c 成等差数列； （2）若C=，求的值．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为，若＞0就去打球，若=0就去唱歌，若＜0就去下棋（1）写出数量积的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB=2，AD=，AA 1=3，E 为CD 上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； （2）求点B 1到平面EA 1C 1 的距离．20．（13分）椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交轴于点N 直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为，MN 的斜率为m ，证明2m ﹣为定值．21．（14分）设函数常数且a ∈（0，1）．（1）当a=时，求f （f （））；（2）若0满足f （f （0））=0，但f （0）≠0，则称0为f （）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点1，2；（3）对于（2）中1，2，设A （1，f （f （1））），B （2，f （f （2））），C （a 2，0），记△ABC 的面积为s （a ），求s （a ）在区间[，]上的最大值和最小值．2013年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简可得复数=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，由复数的几何意义可得答案．【解答】解：化简可得复数=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，故复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣2）在第四象限，故选：D．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．2．（5分）若集合A={∈R|a2+a+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或4【分析】当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可．【解答】解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件当a≠0时，△=a2﹣4a=0，解得a=4故选：A．【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题．3．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化简即可．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2=1﹣2×=1﹣=故选：C．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：=．故选：C．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．6．（5分）下列选项中，使不等式＜＜2成立的的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）【分析】通过=，，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D．即可得到正确选项．【解答】解：利用特殊值排除选项，不妨令=时，代入＜＜2，得到＜，显然不成立，选项B不正确；当=时，代入＜＜2，得到，显然不正确，排除C；当=2时，代入＜＜2，得到，显然不正确，排除D．故选：A．【点评】本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧．当然可以直接解答，过程比较复杂．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选：B．【点评】本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200+9π B．200+18π C．140+9πD．140+18π【分析】根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成．根据所给出的数据可求出体积．【解答】解：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和长方体的三度为：10、4、5；圆柱的底面半径为3，高为2，所以几何体的体积=10×4×5+32π×2=200+9π．故选：A．【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽．9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：3【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解答】解：∵抛物线C：2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为==﹣，过M 作MP ⊥l 于P ，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt △MPN 中，tan ∠MNP=﹣=， ∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此，，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：故选：C ．【点评】本题给出抛物线方程和射线FA ，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）如图．已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为，令y=cos ，则y 与时间t （0≤t ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D．【分析】通过t的增加，排除选项A、D，利用的增加的变化率，说明余弦函数的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，=0，对应y=1，所以选项A，D不合题意，当t由0增加时，的变化率由大变小，又y=cos是减函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反．故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a= 2 ．【分析】求出函数的导函数，求出=1时的导数值，写出曲线y=a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值．【解答】解：由y=a+1，得y′=a a﹣1．=a，则曲线y=a+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为：所以y′|=1y﹣2=a（﹣1），即y=a﹣a+2．把（0，0）代入切线方程得，a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于 6 ．是以2为首项，以2为公比的等比【分析】由题意可得，第n天种树的棵数an数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足s≥100，解不等n式可求是以2为首项，以2为公比的【解答】解：由题意可得，第n天种树的棵数an等比数列==2n+1﹣2≥100sn∴2n+1≥102∵n∈N*∴n+1≥7∴n≥6，即n的最小值为6故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定13．（5分）设f（）=sin3+cos3，若对任意实数都有|f（）|≤a，则实数a 的取值范围是a≥2 ．【分析】构造函数F（）=|f（）|=|sin3+cos3|，利用正弦函数的特点求出，从而可得答案．F（）ma【解答】解：∵不等式|f（）|≤a对任意实数恒成立，令F（）=|f（）|=|sin3+cos3|，．则a≥F（）ma∵f（）=sin3+cos3=2sin（3+）∴﹣2≤f（）≤2∴0≤F（）≤2F（）=2ma∴a≥2．即实数a的取值范围是a≥2故答案为：a≥2．【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程．【解答】解：设圆的圆心坐标（a，b），半径为r，因为圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，所以，解得，所求圆的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 4 ．【分析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{an }满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．（1）求数列{an }的通项公式an；（2）令bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（1）通过分解因式，利用正项数列{an }，直接求数列{an}的通项公式an ；（2）利用数列的通项公式化简bn =，利用裂项法直接求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）由正项数列{an }满足：﹣（2n﹣1）an﹣2n=0，可得（an ﹣2n）（an+1）=0所以an=2n．（2）因为an =2n，bn=，所以bn===，Tn===．数列{bn }的前n项和Tn为．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．【分析】（1）由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC，化简可得5ab=3b2，由此可得的值．【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1， ∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin 2B ．再由正弦定理可得 ab+bc=2b 2，即 a+c=2b ，故a ，b ，c 成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b ﹣a ，由余弦定理可得 （2b ﹣a ）2=a 2+b 2﹣2ab •cosC=a 2+b 2+ab ．化简可得 5ab=3b 2，∴=．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为，若＞0就去打球，若=0就去唱歌，若＜0就去下棋（1）写出数量积的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．【分析】（1）由题意可得：的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）列举分别可得数量积为﹣2，﹣1，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：（1）由题意可得：的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1， （2）数量积为﹣2的有，共1种，数量积为﹣1的有，，，，，共6种，数量积为0的有，，，共4种， 数量积为1的有，，，共4种，故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率P 1=，去唱歌的概率P 2=，故不去唱歌的概率为：P=1﹣P 2=1﹣=【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB=2，AD=，AA 1=3，E 为CD 上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； （2）求点B 1到平面EA 1C 1 的距离．【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD 于F 点，算出BF 、EF 、FC 的长，从而在△BCE 中算出BE 、BC 、CE 的长，由勾股定理的逆定理得BE ⊥BC ，结合BE ⊥BB 1利用线面垂直的判定定理，可证出BE ⊥平面BB 1C 1C ； （2）根据AA 1⊥平面A 1B 1C 1，算出三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的体积V=．根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A 1C 1=EC 1=3、A 1E=2，从而得到等腰△A 1EC 1的面积=3，设B1到平面EA 1C 1 的距离为d ，可得三棱锥B 1﹣A 1C 1E 的体积V=××d=d ，从而得到=d ，由此即可解出点B 1到平面EA 1C 1的距离．【解答】解：（1）过点B 作BF ⊥CD 于F 点，则：BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=EC ﹣EF=3﹣1=2在Rt △BEF 中，BE==；在Rt △BCF 中，BC==因此，△BCE 中可得BE 2+BC 2=9=CE 2 ∴∠CBE=90°，可得BE ⊥BC ， ∵BB 1⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ， ∴BE ⊥BB 1，又∵BC 、BB 1是平面BB 1C 1C 内的相交直线， ∴BE ⊥平面BB 1C 1C ；（2）∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，得AA 1是三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的高线 ∴三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的体积V=×AA 1×=在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1==3同理可得EC 1==3，A 1E==2∴等腰△A 1EC 1的底边A 1C 1上的中线等于=，可得=×2×=3设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d ，则三棱锥B 1﹣A 1C 1E 的体积为V=××d=d ，可得=d ，解之得d=即点B 1到平面EA 1C 1的距离为．【点评】本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题．20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为，MN的斜率为m，证明2m﹣为定值．【分析】（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a2=b2+c2列式求出a，b，则椭圆方程可求；（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣化简整理即可得到2m﹣为定值．【解答】（1）解：因为，所以，即a2=4b2，a=2b．又a+b=3，得a=2，b=1．所以椭圆C的方程为；（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为．联立，得（42+1）2﹣162+162﹣4=0．所以，．则．所以P（）．又直线AD的方程为．联立，解得M（）．由三点D（0，1），P（），N（，0）共线，得，所以N（）．所以MN的斜率为=．则．所以2m﹣为定值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题．21．（14分）设函数常数且a ∈（0，1）．（1）当a=时，求f （f （））；（2）若0满足f （f （0））=0，但f （0）≠0，则称0为f （）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点1，2；（3）对于（2）中1，2，设A （1，f （f （1））），B （2，f （f （2））），C （a 2，0），记△ABC 的面积为s （a ），求s （a ）在区间[，]上的最大值和最小值．【分析】（1）当a=时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；（2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求；（3）由题意，先表示出s （a ）的表达式，再借助导数工具研究s （a ）在区间[，]上的单调性，确定出最值，即可求解出最值．【解答】解：（1）当a=时，求f （）=，故f （f （））=f （）=2（1﹣）=（2）f （f （））=当0≤≤a 2时，由=，解得=0，因为f （0）=0，故=0不是函数的二阶周期点；当a 2＜≤a 时，由=，解得=因为f （）==≠，故=是函数的二阶周期点；当a ＜≤a 2﹣a+1时，由=，解得=∈（a ，a 2﹣a+1），因为f （）=，故得=不是函数的二阶周期点；当a 2﹣a+1＜≤1时，由，解得=∈（a 2﹣a+1，1），因为f （）=≠，故=是函数的二阶周期点；因此函数有两个二阶周期点，1=，2=（3）由（2）得A （，），B （，） 则s （a ）=S △OCB ﹣S △OCA =×，所以s ′（a ）=×，因为a ∈（），有a 2+a ＜1，所以s ′（a ）=×=＞0（或令g （a ）=a 3﹣2a 2﹣2a+2利用导数证明其符号为正亦可）s （a ）在区间[，]上是增函数， 故s （a ）在区间[，]上的最小值为s （）=，最大值为s （）=【点评】本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，第二题解答的关键是理解定义，第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性，本题考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学试题 (文科) word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上答题，答案无效。
4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z=i （-2-i ）（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 [答案]：D[解析]：Z ＝-2i-i 2 =1-2i 对应点这（1，-2）在第四象限2. 若集合A=｛x ∈R|ax 2+ax+1＝0｝其中只有一个元素，则a= A.4 B.2 C.0 D.0或4[答案]：A[解析]： 010a =≠∆当时，＝不合，当a 0时，＝0，则a=43. 3sincos 2αα==若，则 （ ）A. 23-B. 13-C. 13D.23[答案]：C[解析]：211cos 12sin12233αα=-=-⨯=4.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是 A B.C. D.[答案]：C[解析]：所有情形有六种，满足要求的只有（2，2）和（3，1）故只能选C5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A.08B.07C.02D.01 [答案]：D[解析]：从第5列和第6列选出的两位数依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，但编号必须不大于20的且不和前面重复的只能是08，02，14，07，01，选D6. 下列选项中，使不等式x ＜1x＜2x 成立的x 的取值范围是（ ） A.（，-1） B. （-1，0） C.0，1） D.（1，+） [答案]：A[解析]：令x=-2,不等式成立，只能选A 。
2013年江西省高考数学试卷(文科)及解析
2013年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2、（5分）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A、4B、2C、0D、0或43、（5分）若sin=，则cosα=（）A、﹣B、﹣C、D、4、（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A、B、C、D、5、（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成、利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）78166572080263140702436997280198 32049234493582003623486969387481A、08B、07C、02D、016、（5分）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）A、（﹣∞，﹣1）B、（﹣1，0）C、（0，1）D、（1，+∞）7、（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A、S＜8B、S＜9C、S＜10D、S＜118、（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A、200+9πB、200+18πC、140+9πD、140+18π9、（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A、2：B、1：2C、1：D、1：310、（5分）如图、已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A、B、C、D、二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分、11、（5分）若曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a=、12、（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于、13、（5分）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是、14、（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是、15、（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为、三、解答题：本大题共6小题，共75分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、16、（12分）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0、（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n、17、（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1、（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值、18、（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋、游戏规则为以O 为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率、19、（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离、20、（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3、（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值、21、（14分）设函数常数且a∈（0，1）、（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值、2013年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限分析：化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，由复数的几何意义可得答案、解答：解：化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，故复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣2）在第四象限，故选：D、点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题、2、（5分）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A、4B、2C、0D、0或4分析：当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可、解答：解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件当a≠0时，△=a2﹣4a=0，解得a=4故选：A、点评：本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题、3、（5分）若sin=，则cosα=（）A、﹣B、﹣C、D、分析：由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化简即可、解答：解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2=1﹣2×=1﹣=故选：C、点评：本题考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题、4、（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A、B、C、D、分析：由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案、解答：解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：=、故选：C、点评：本题考查古典概型及其概率公式，属基础题、5、（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成、利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）78166572080263140702436997280198 32049234493582003623486969387481 A、08 B、07 C、02 D、01分析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论、解答：解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01、故选：D、点评：本题主要考查简单随机抽样、在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的、6、（5分）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）A、（﹣∞，﹣1）B、（﹣1，0）C、（0，1）D、（1，+∞）分析：通过x=，，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D、即可得到正确选项、解答：解：利用特殊值排除选项，不妨令x=时，代入x＜＜x2，得到＜，显然不成立，选项B不正确；当x=时，代入x＜＜x2，得到，显然不正确，排除C；当x=2时，代入x＜＜x2，得到，显然不正确，排除D、故选：A、点评：本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧、当然可以直接解答，过程比较复杂、7、（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A、S＜8B、S＜9C、S＜10D、S＜11分析：由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值、解答：解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4、而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9、若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符、故选：B、点评：本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题、8、（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A、200+9πB、200+18πC、140+9πD、140+18π分析：根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成、根据所给出的数据可求出体积、解答：解：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和长方体的三度为：10、4、5；圆柱的底面半径为3，高为2，所以几何体的体积=10×4×5+32π×2=200+9π、故选：A、点评：本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽、9、（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A、2：B、1：2C、1：D、1：3分析：求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣、过M作MP ⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|、Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值、解答：解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此，，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：故选：C、点评：本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值、着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题、10、（5分）如图、已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A、B、C、D、分析：通过t的增加，排除选项A、D，利用x的增加的变化率，说明余弦函数的变化率，得到选项即可、解答：解：因为当t=0时，x=0，对应y=1，所以选项A，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率由大变小，又y=cosx是减函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反、故选：B、点评：本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力、二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分、11、（5分）若曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a=2、分析：求出函数的导函数，求出x=1时的导数值，写出曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值、解答：解：由y=x a+1，得y′=ax a﹣1、所以y′|x=1=a，则曲线y=x a+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2=a（x﹣1），即y=ax﹣a+2、把（0，0）代入切线方程得，a=2、故答案为：2、点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题、12、（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于6、分析：由题意可得，第n天种树的棵数a n是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足s n≥100，解不等式可求解答：解：由题意可得，第n天种树的棵数a n是以2为首项，以2为公比的等比数列s n==2n+1﹣2≥100∴2n+1≥102∵n∈N*∴n+1≥7∴n≥6，即n的最小值为6故答案为：6点评：本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定13、（5分）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是a≥2、分析：构造函数F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，利用正弦函数的特点求出F （x）max，从而可得答案、解答：解：∵不等式|f（x）|≤a对任意实数x恒成立，令F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，则a≥F（x）max、∵f（x）=sin3x+cos3x=2sin（3x+）∴﹣2≤f（x）≤2∴0≤F（x）≤2F（x）max=2∴a≥2、即实数a的取值范围是a≥2故答案为：a≥2、点评：本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题、14、（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是、分析：设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程、解答：解：设圆的圆心坐标（a，b），半径为r，因为圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，所以，解得，所求圆的方程为：、故答案为：、点评：本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力、15、（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4、分析：判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可、解答：解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4、故答案为：4、点评：本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力、三、解答题：本大题共6小题，共75分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、16、（12分）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0、（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n、分析：（1）通过分解因式，利用正项数列{a n}，直接求数列{a n}的通项公式a n；（2）利用数列的通项公式化简b n=，利用裂项法直接求数列{b n}的前n 项和T n、解答：解：（1）由正项数列{a n}满足：﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0，可得（a n﹣2n）（a n+1）=0所以a n=2n、（2）因为a n=2n，b n=，所以b n===，T n===、数列{b n}的前n项和T n为、点评：本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力、17、（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1、（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值、分析：（1）由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列、（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC，化简可得5ab=3b2，由此可得的值、解答：解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B、再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，故a，b，c成等差数列、（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cos C=a2+b2+ab、化简可得5ab=3b2，∴=、点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题、18、（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋、游戏规则为以O 为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率、分析：（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）列举分别可得数量积为﹣2，﹣1，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案、解答：解：（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）数量积为﹣2的有，共1种，数量积为﹣1的有，，，，，共6种，数量积为0的有，，，共4种，数量积为1的有，，，共4种，故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率P1=，去唱歌的概率P2=，故不去唱歌的概率为：P=1﹣P2=1﹣=点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题、19、（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离、分析：（1）过点B作BF⊥CD于F点，算出BF、EF、FC的长，从而在△BCE中算出BE、BC、CE的长，由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，结合BE⊥BB1利用线面垂直的判定定理，可证出BE⊥平面BB1C1C；（2）根据AA1⊥平面A1B1C1，算出三棱锥E﹣A1B1C1的体积V=、根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A1C1=EC1=3、A1E=2，从而得到等腰△A1EC1的面积=3，设B 1到平面EA1C1的距离为d，可得三棱锥B1﹣A1C1E的体积V=××d=d，从而得到=d，由此即可解出点B 1到平面EA1C1的距离、解答：解：（1）过点B作BF⊥CD于F点，则：BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=EC﹣EF=3﹣1=2在Rt△BEF中，BE==；在Rt△BCF中，BC==因此，△BCE中可得BE2+BC2=9=CE2∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC，∵BB1⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴BE⊥BB1，又∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线，∴BE⊥平面BB1C1C；（2）∵AA1⊥平面A1B1C1，得AA1是三棱锥E﹣A1B1C1的高线∴三棱锥E﹣A 1B1C1的体积V=×AA1×=在Rt△A1D1C1中，A1C1==3同理可得EC1==3，A1E==2∴等腰△A1EC1的底边A1C1上的中线等于=，可得=×2×=3设点B 1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1﹣A1C1E的体积为V=××d=d，可得=d，解之得d=即点B1到平面EA1C1的距离为、点评：本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离、着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题、20、（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3、（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值、分析：（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a2=b2+c2列式求出a，b，则椭圆方程可求；（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M 点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣k化简整理即可得到2m﹣k为定值、解答：（1）解：因为，所以，即a2=4b2，a=2b、又a+b=3，得a=2，b=1、所以椭圆C的方程为；（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为、联立，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0、所以，、则、所以P（）、又直线AD的方程为、联立，解得M（）、由三点D（0，1），P（），N（x，0）共线，得，所以N（）、所以MN的斜率为=、则、所以2m﹣k为定值、点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题、21、（14分）设函数常数且a∈（0，1）、（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值、分析：（1）当a=时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；（2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求；（3）由题意，先表示出s（a）的表达式，再借助导数工具研究s（a）在区间[，]上的单调性，确定出最值，即可求解出最值、解答：解：（1）当a=时，求f （）=，故f （f （））=f （）=2（1﹣）=（2）f （f （x ））=当0≤x ≤a 2时，由=x ，解得x=0，因为f （0）=0，故x=0不是函数的二阶周期点；当a 2＜x ≤a 时，由=x ，解得x=因为f （）==≠，故x=是函数的二阶周期点；当a ＜x ≤a 2﹣a +1时，由=x ，解得x=∈（a ，a 2﹣a +1），因为f（）=，故得x=不是函数的二阶周期点；当a 2﹣a +1＜x ≤1时，由，解得x=∈（a 2﹣a +1，1），因为f （）=≠，故x=是函数的二阶周期点；因此函数有两个二阶周期点，x 1=，x 2=（3）由（2）得A （，），B （，）则s （a ）=S △OCB ﹣S △OCA =×，所以s′（a ）=×， 因为a ∈（），有a 2+a ＜1，所以s′（a ）=×=＞0（或令g （a ）=a 3﹣2a 2﹣2a +2利用导数证明其符号为正亦可） s （a ）在区间[，]上是增函数，故s（a）在区间[，]上的最小值为s （）=，最大值为s （）=点评：本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，第二题解答的关键是理解定义，第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性，本题考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现、21/ 21。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(江西卷)讲解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页。
满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效。
3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式：锥体体积公式V=13Sh ，其中S 为底面积，h 为高。
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若数(2)z i i =-- (i 为虚数单位) 在复平面内所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若集合{}21A x R ax ax =∈++中只有一个元素，则a =A ．4B ． 2C ．0D ．0或43.若sin 23a =，则cos a = A ．23-B ．13-C ．13D ．234.若集合{}2,3A =，{}1,2,3B =，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是 A ．23 B ．12 C ．13 D ． 165.总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．01 6．下列选项中，使21x x x<<成立的x 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(1,0)- C ． (0,1) D ．(1,)+∞7．阅读如下程序框图，如果输出4i =，那么空白的判断框中应填入的条件是A ．8S <B ．9S <C ． 10S <D ．11S <8． 一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2009π+B ．20018π+C ． 1409π+D ．14018π+9．已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F 。
2013年江西省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
2013年江西省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数z＝i(﹣2﹣i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(5分)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}其中只有一个元素,则a＝( )A.4B.2C.0D.0或43.(5分)若sin＝,则cosα＝( )A.﹣B.﹣C.D.4.(5分)集合A＝{2,3},B＝{1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A. B. C. D.5.(5分)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来6.(5分)下列选项中,使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是( )A.(﹣∞,﹣1)B.(﹣1,0)C.(0,1)D.(1,＋∞)7.(5分)阅读如图所示的程序框图,如果输出i＝4,那么空白的判断框中应填入的条件是( )A.S＜8B.S＜9C.S＜10D.S＜118.(5分)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.200＋9πB.200＋18πC.140＋9πD.140＋18π9.(5分)已知点A(2,0),抛物线C：x2＝4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|：|MN|＝( ) A.2： B.1：2 C.1： D.1：310.(5分)如图.已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1m的圆O在t＝0时与l2相切于点A,圆O沿l 1以1m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y＝cosx,则y与时间t(0≤t≤1,单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( )A. B. C. D.二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)若曲线y＝x a＋1(a∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则a＝.12.(5分)某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于.13.(5分)设f(x)＝sin3x＋cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是.14.(5分)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y＝1相切,则圆C的方程是.15.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为.三.解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(12分)正项数列{an }满足：an2﹣(2n﹣1)an﹣2n＝0.(1)求数列{an }的通项公式an；(2)令bn ＝,求数列{bn}的前n项和Tn.17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a,b,c成等差数列；(2)若C＝,求的值.18.(12分)小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A 1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X＞0就去打球,若X＝0就去唱歌,若X＜0就去下棋(1)写出数量积X的所有可能取值(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.19.(12分)如图,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB＝2,AD＝,AA1＝3,E为CD上一点,DE＝1,EC＝3(1)证明：BE⊥平面BB1C1 C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离.20.(13分)椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率,a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m﹣k为定值.21.(14分)设函数常数且a∈(0,1).(1)当a＝时,求f(f())；(2)若x0满足f(f(x))＝x,但f(x)≠x,则称x为f(x)的二阶周期点,试确定函数有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2；(3)对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为s(a),求s(a)在区间[,]上的最大值和最小值.2013年江西省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数z＝i(﹣2﹣i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】化简可得复数z＝i(﹣2﹣i)＝﹣2i﹣i2＝1﹣2i,由复数的几何意义可得答案.【解答】解：化简可得复数z＝i(﹣2﹣i)＝﹣2i﹣i2＝1﹣2i,故复数在复平面内所对应的点的坐标为(1,﹣2)在第四象限,故选：D.【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,属基础题.2.(5分)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}其中只有一个元素,则a＝( )A.4B.2C.0D.0或4【分析】当a为零时,方程不成立,不符合题意,当a不等于零时,方程是一元二次方程只需判别式为零即可.【解答】解：当a＝0时,方程为1＝0不成立,不满足条件当a≠0时,△＝a2﹣4a＝0,解得a＝4故选：A.【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判定,以及根的个数与判别式的关系,属于基础题.3.(5分)若sin＝,则cosα＝( )A.﹣B.﹣C.D.【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα＝1﹣2sin2,代入已知化简即可.【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa＝1﹣2sin2＝1﹣2×＝1﹣＝故选：C.【点评】本题考查二倍角的余弦公式,把α看做的二倍角是解决问题的关键,属基础题.4.(5分)集合A＝{2,3},B＝{1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A. B. C. D.【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3＝6,由列举法可得符合条件的有2种,由古典概型的概率公式可得答案.【解答】解：从A,B中各取任意一个数共有2×3＝6种分法,而两数之和为4的有：(2,2),(3,1)两种方法,故所求的概率为：＝.故选：C.【点评】本题考查古典概型及其概率公式,属基础题.5.(5分)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读,依次为65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98,…,其中08,02,14,07,01符合条件,故可得结论.【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读,第一个数为65,不符合条件,第二个数为72,不符合条件,第三个数为08,符合条件,以下符合条件依次为：08,02,14,07,01,故第5个数为01.故选：D.【点评】本题主要考查简单随机抽样.在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的,所以每个数被抽到的概率是一样的.6.(5分)下列选项中,使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是( )A.(﹣∞,﹣1)B.(﹣1,0)C.(0,1)D.(1,＋∞)【分析】通过x＝,,2验证不等式是否成立,排除选项B、C、D.即可得到正确选项.【解答】解：利用特殊值排除选项,不妨令x＝时,代入x＜＜x2,得到＜,显然不成立,选项B不正确；当x＝时,代入x＜＜x2,得到,显然不正确,排除C；当x＝2时,代入x＜＜x2,得到,显然不正确,排除D.故选：A.【点评】本题考查分式不等式的解法,由于本题是选择题,利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧.当然可以直接解答,过程比较复杂.7.(5分)阅读如图所示的程序框图,如果输出i＝4,那么空白的判断框中应填入的条件是( )A.S＜8B.S＜9C.S＜10D.S＜11【分析】由框图给出的赋值,先执行一次运算i＝i＋1,然后判断得到的i的奇偶性,是奇数执行S＝2*i＋2,是偶数执行S＝2*i＋1,然后判断S的值是否满足判断框中的条件,满足继续从i＝i＋1执行,不满足跳出循环,输出i的值.【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S＝0,i＝1,执行i＝1＋1＝2,判断2是奇数不成立,执行S＝2×2＋1＝5；判断框内条件成立,执行i＝2＋1＝3,判断3是奇数成立,执行S＝2×3＋2＝8；判断框内条件成立,执行i＝3＋1＝4,判断4是奇数不成立,执行S＝2×4＋1＝9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立,输出i＝4.而此时的S的值是9,故判断框中的条件应S＜9.若是S＜8,输出的i值等于3,与题意不符.故选：B.【点评】本题考查了程序框图,考查了循环结构,内含条件结构,整体属于当型循环,解答此题的关键是思路清晰,分清路径,属基础题.8.(5分)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.200＋9πB.200＋18πC.140＋9πD.140＋18π【分析】根据题意,该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成.根据所给出的数据可求出体积.【解答】解：根据图中三视图可得出其体积＝长方体的体积与半圆柱体积的和长方体的三度为：10、4、5；圆柱的底面半径为3,高为2,所以几何体的体积＝10×4×5＋32π×2＝200＋9π.故选：A.【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高,左视图确定物体的宽和高,俯视图确定物体的长和宽.9.(5分)已知点A(2,0),抛物线C：x2＝4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|：|MN|＝( )A.2：B.1：2C.1：D.1：3【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标,从而得到AF的斜率k＝﹣.过M作MP⊥l于P,根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|.Rt△MPN中,根据tan∠MNP＝,从而得到|PN|＝2|PM|,进而算出|MN|＝|PM|,由此即可得到|FM|：|MN|的值.【解答】解：∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0,1),点A坐标为(2,0)∴抛物线的准线方程为l：y＝﹣1,直线AF的斜率为k＝＝﹣,过M作MP⊥l于P,根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|∵Rt△MPN中,tan∠MNP＝﹣k＝,∴＝,可得|PN|＝2|PM|,得|MN|＝＝|PM|因此,,可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|＝1：故选：C.【点评】本题给出抛物线方程和射线FA,求线段的比值.着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.10.(5分)如图.已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1m的圆O在t＝0时与l2相切于点A,圆O沿l 1以1m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y＝cosx,则y与时间t(0≤t≤1,单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( )A. B. C. D.【分析】通过t的增加,排除选项A、D,利用x的增加的变化率,说明余弦函数的变化率,得到选项即可.【解答】解：因为当t＝0时,x＝0,对应y＝1,所以选项A,D不合题意,当t由0增加时,x的变化率由大变小,又y＝cosx是减函数,所以函数y＝f(t)的图象变化先快后慢,所以选项B满足题意,C正好相反.故选：B.【点评】本题考查函数图象的变换快慢,考查学生理解题意以及视图能力.二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)若曲线y＝x a＋1(a∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则a＝ 2 .【分析】求出函数的导函数,求出x＝1时的导数值,写出曲线y＝x a＋1(a∈R)在点(1,2)处的切线方程,把原点坐标代入即可解得α的值.【解答】解：由y＝x a＋1,得y′＝ax a﹣1.＝a,则曲线y＝x a＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线方程为：所以y′|x＝1y﹣2＝a(x﹣1),即y＝ax﹣a＋2.把(0,0)代入切线方程得,a＝2.故答案为：2.【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数,考查了直线方程点斜式,是基础题.12.(5分)某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于 6 .是以2为首项,以2为公比的等比数列,根据等比数【分析】由题意可得,第n天种树的棵数an≥100,解不等式可求列的求和公式求出n天中种树的棵数满足sn【解答】解：由题意可得,第n天种树的棵数a是以2为首项,以2为公比的等比数列n＝＝2n＋1﹣2≥100sn∴2n＋1≥102∵n∈N*∴n＋1≥7∴n≥6,即n的最小值为6故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用,解题的关键是等比数列模型的确定13.(5分)设f(x)＝sin3x＋cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是a≥2 .【分析】构造函数F(x)＝|f(x)|＝|sin3x＋cos3x|,利用正弦函数的特点求出F(x),从而max可得答案.【解答】解：∵不等式|f(x)|≤a对任意实数x恒成立,令F(x)＝|f(x)|＝|sin3x＋cos3x|,.则a≥F(x)max∵f(x)＝sin3x＋cos3x＝2sin(3x＋)∴﹣2≤f(x)≤2∴0≤F(x)≤2＝2F(x)max∴a≥2.即实数a的取值范围是a≥2故答案为：a≥2.【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想,考查恒成立问题,属于中档题.14.(5分)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y＝1相切,则圆C的方程是.【分析】设出圆的圆心坐标与半径,利用已知条件列出方程组,求出圆的圆心坐标与半径,即可得到圆的方程.【解答】解：设圆的圆心坐标(a,b),半径为r,因为圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y＝1相切,所以,解得,所求圆的方程为：.故答案为：.【点评】本题考查圆的标准方程的求法,列出方程组是解题的关键,考查计算能力.15.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 4 .【分析】判断EF与正方体表面的关系,即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可.【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行,与正方体的上下底面相交,前后侧面相交,所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.故答案为：4.【点评】本题考查直线与平面的位置关系,基本知识的应用,考查空间想象能力. 三.解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(12分)正项数列{an }满足：an2﹣(2n﹣1)an﹣2n＝0.(1)求数列{an }的通项公式an；(2)令bn ＝,求数列{bn}的前n项和Tn.【分析】(1)通过分解因式,利用正项数列{an },直接求数列{an}的通项公式an；(2)利用数列的通项公式化简bn ＝,利用裂项法直接求数列{bn}的前n项和Tn.【解答】解：(1)由正项数列{an }满足：﹣(2n﹣1)an﹣2n＝0,可得(an ﹣2n)(an＋1)＝0所以an＝2n.(2)因为an ＝2n,bn＝,所以bn＝＝＝,Tn＝＝＝.数列{bn }的前n项和Tn为.【点评】本题考查数列的通项公式的求法,裂项法求解数列的和的基本方法,考查计算能力.17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a,b,c成等差数列；(2)若C＝,求的值.【分析】(1)由条件利用二倍角公式可得sinAsinB＋sinBsinC＝2 sin2B,再由正弦定理可得 ab＋bc＝2b2,即 a＋c＝2b,由此可得a,b,c成等差数列.(2)若C＝,由(1)可得c＝2b﹣a,由余弦定理可得 (2b﹣a)2＝a2＋b2﹣2ab•cosC,化简可得5ab＝3b2,由此可得的值.【解答】解：(1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,∵已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1,∴sinAsinB＋sinBsinC＝2 sin2B.再由正弦定理可得 ab＋bc＝2b2,即 a＋c＝2b,故a,b,c成等差数列.(2)若C＝,由(1)可得c＝2b﹣a,由余弦定理可得 (2b﹣a)2＝a2＋b2﹣2ab•cosC＝a2＋b2＋ab.化简可得 5ab＝3b2,∴＝.【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,二倍角公式、余弦定理的应用,属于中档题.18.(12分)小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A 1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X＞0就去打球,若X＝0就去唱歌,若X＜0就去下棋(1)写出数量积X的所有可能取值(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.【分析】(1)由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2,﹣1,0,1,(2)列举分别可得数量积为﹣2,﹣1,0,1时的情形种数,由古典概型的概率公式可得答案. 【解答】解：(1)由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2,﹣1,0,1,(2)数量积为﹣2的有,共1种,数量积为﹣1的有,,,,,共6种,数量积为0的有,,,共4种,数量积为1的有,,,共4种,故所有的可能共15种,所以小波去下棋的概率P1＝,去唱歌的概率P2＝,故不去唱歌的概率为：P ＝1﹣P 2＝1﹣＝【点评】本题考查古典概型及其概率公式,涉及平面向量的数量积的运算,属中档题.19.(12分)如图,直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AB ∥CD,AD ⊥AB,AB ＝2,AD ＝,AA 1＝3,E 为CD 上一点,DE ＝1,EC ＝3(1)证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； (2)求点B 1到平面EA 1C 1 的距离.【分析】(1)过点B 作BF ⊥CD 于F 点,算出BF 、EF 、FC 的长,从而在△BCE 中算出BE 、BC 、CE 的长,由勾股定理的逆定理得BE ⊥BC,结合BE ⊥BB 1利用线面垂直的判定定理,可证出BE ⊥平面BB 1C 1C ；(2)根据AA 1⊥平面A 1B 1C 1,算出三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的体积V ＝.根据线面垂直的性质和勾股定理,算出A 1C 1＝EC 1＝3、A 1E ＝2,从而得到等腰△A 1EC 1的面积＝3,设B 1到平面EA 1C 1的距离为d,可得三棱锥B 1﹣A 1C 1E 的体积V ＝××d ＝d,从而得到＝d,由此即可解出点B 1到平面EA 1C 1的距离.【解答】解：(1)过点B 作BF ⊥CD 于F 点,则： BF ＝AD ＝,EF ＝AB ＝DE ＝1,FC ＝EC ﹣EF ＝3﹣1＝2在Rt △BEF 中,BE ＝＝； 在Rt △BCF 中,BC ＝＝因此,△BCE 中可得BE 2＋BC 2＝9＝CE 2 ∴∠CBE ＝90°,可得BE ⊥BC, ∵BB 1⊥平面ABCD,BE ⊂平面ABCD, ∴BE ⊥BB 1,又∵BC 、BB 1是平面BB 1C 1C 内的相交直线, ∴BE ⊥平面BB 1C 1C ；(2)∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1,得AA 1是三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的高线 ∴三棱锥E ﹣A 1B 1C 1的体积V ＝×AA 1×＝在Rt △A 1D 1C 1中,A 1C 1＝＝3同理可得EC1＝＝3,A1E＝＝2∴等腰△A1EC1的底边A1C1上的中线等于＝,可得＝×2×＝3设点B1到平面EA1C1的距离为d,则三棱锥B1﹣A1C1E的体积为V＝××d＝d,可得＝d,解之得d＝即点B1到平面EA1C1的距离为.【点评】本题在直四棱柱中求证线面垂直,并求点到平面的距离.着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识,属于中档题.20.(13分)椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率,a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m﹣k为定值.【分析】(1)由题目给出的离心率及a＋b＝3,结合条件a2＝b2＋c2列式求出a,b,则椭圆方程可求；(2)设出直线方程,和椭圆方程联立后解出P点坐标,两直线方程联立解出M点坐标,由D,P,N 三点共线解出N点坐标,由两点求斜率得到MN的斜率m,代入2m﹣k化简整理即可得到2m﹣k为定值.【解答】(1)解：因为,所以,即a2＝4b2,a＝2b.又a＋b＝3,得a＝2,b＝1.所以椭圆C的方程为；(2)证明：因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为.联立,得(4k2＋1)x2﹣16k2x＋16k2﹣4＝0.所以,.则.所以P().又直线AD的方程为.联立,解得M().由三点D(0,1),P(),N(x,0)共线,得,所以N().所以MN的斜率为＝.则.所以2m﹣k为定值.【点评】本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,训练了二次方程中根与系数关系,考查了由两点求斜率的公式,是中高档题.21.(14分)设函数常数且a∈(0,1).(1)当a＝时,求f(f())；(2)若x0满足f(f(x))＝x,但f(x)≠x,则称x为f(x)的二阶周期点,试确定函数有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2；(3)对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为s(a),求s(a)在区间[,]上的最大值和最小值.【分析】(1)当a＝时,根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；(2)根据二阶周期点的定义,分段进行求解,找出符号定义的根即为所求；(3)由题意,先表示出s(a)的表达式,再借助导数工具研究s(a)在区间[,]上的单调性,确定出最值,即可求解出最值.【解答】解：(1)当a＝时,求f()＝,故f(f())＝f()＝2(1﹣)＝(2)f(f(x))＝当0≤x≤a2时,由＝x,解得x＝0,因为f(0)＝0,故x＝0不是函数的二阶周期点；当a2＜x≤a时,由＝x,解得x＝因为f()＝＝≠,故x＝是函数的二阶周期点；当a＜x≤a2﹣a＋1时,由＝x,解得x＝∈(a,a2﹣a＋1),因为f()＝,故得x＝不是函数的二阶周期点；当a2﹣a＋1＜x≤1时,由,解得x＝∈(a2﹣a＋1,1),因为f()＝≠,故x＝是函数的二阶周期点；因此函数有两个二阶周期点,x1＝,x2＝(3)由(2)得A(,),B(,)则s(a)＝S△OCB ﹣S△OCA＝×,所以s′(a)＝×,因为a∈(),有a2＋a＜1,所以s′(a)＝×＝＞0(或令g(a)＝a3﹣2a2﹣2a＋2利用导数证明其符号为正亦可)s(a)在区间[,]上是增函数,故s(a)在区间[,]上的最小值为s()＝,最大值为s()＝【点评】本题考查求函数的值,新定义的理解,利用导数求函数在闭区间上的最值,第二题解答的关键是理解定义,第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性,本题考查了方程的思想,转化化归的思想及符号运算的能力,难度较大,综合性强,解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科数学(缺填空题)
400-688-1789 传播先进教育理念 提供最佳教学方法2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页。
满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效。
3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式：锥体体积公式V=13Sh ，其中S 为底面积，h 为高。
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若数(2)z i i =-- (i 为虚数单位) 在复平面内所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若集合{}21A x R ax ax =∈++中只有一个元素，则a =A ．4B ． 2C ．0D ．0或43.若sin 2a =，则cos a = A ．23-B ．13-C ．13D ．234.若集合{}2,3A =，{}1,2,3B =，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是 A ．23 B ．12 C ．13 D ． 165.总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，400-688-1789 传播先进教育理念 提供最佳教学方法选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．01 6．下列选项中，使21x x x<<成立的x 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(1,0)- C ． (0,1) D ．(1,)+∞7．阅读如下程序框图，如果输出4i =，那么空白的判断框中应填入的条件是A ．8S <B ．9S <C ． 10S <D ．11S < 8． 一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2009π+B ．20018π+C ． 1409π+D ．14018π+9．已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F 。
【高考试题】2013年江西省高考数学试卷(文科)
【高考试题】2013年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或43．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣ B．﹣ C．D．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．016．（5分）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜118．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200+9πB．200+18π C．140+9πD．140+18π9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：310．（5分）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a=．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于．13．（5分）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．21．（14分）设函数常数且a∈（0，1）．（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．。
2013年江西省高考数学试卷(文科)最新修正版
2013年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或43．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣ B．﹣ C．D．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．016．（5分）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜118．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200+9πB．200+18π C．140+9πD．140+18π9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：310．（5分）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a=．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于．13．（5分）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．21．（14分）设函数常数且a∈（0，1）．（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．2013年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，由复数的几何意义可得答案．【解答】解：化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，故复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣2）在第四象限，故选：D．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．2．（5分）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（）A．4 B．2 C．0 D．0或4【分析】当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可．【解答】解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件当a≠0时，△=a2﹣4a=0，解得a=4故选：A．【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题．3．（5分）若sin=，则cosα=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2，代入已知化简即可．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2=1﹣2×=1﹣=故选：C．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，把α看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：=．故选：C．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．5．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．6．（5分）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，+∞）【分析】通过x=，，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D．即可得到正确选项．【解答】解：利用特殊值排除选项，不妨令x=时，代入x＜＜x2，得到＜，显然不成立，选项B不正确；当x=时，代入x＜＜x2，得到，显然不正确，排除C；当x=2时，代入x＜＜x2，得到，显然不正确，排除D．故选：A．【点评】本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧．当然可以直接解答，过程比较复杂．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选：B．【点评】本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．200+9πB．200+18π C．140+9πD．140+18π【分析】根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成．根据所给出的数据可求出体积．【解答】解：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和长方体的三度为：10、4、5；圆柱的底面半径为3，高为2，所以几何体的体积=10×4×5+32π×2=200+9π．故选：A．【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽．9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A．2：B．1：2 C．1：D．1：3【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解答】解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此，，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：故选：C．【点评】本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】通过t的增加，排除选项A、D，利用x的增加的变化率，说明余弦函数的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=1，所以选项A，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率由大变小，又y=cosx是减函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反．故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）若曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a= 2．【分析】求出函数的导函数，求出x=1时的导数值，写出曲线y=x a+1（a∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值．【解答】解：由y=x a+1，得y′=ax a﹣1．所以y′|x=1=a，则曲线y=x a+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2=a（x﹣1），即y=ax﹣a+2．把（0，0）代入切线方程得，a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题．12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于6．【分析】由题意可得，第n天种树的棵数a n是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足s n≥100，解不等式可求【解答】解：由题意可得，第n天种树的棵数a n是以2为首项，以2为公比的等比数列s n==2n+1﹣2≥100∴2n+1≥102∵n∈N*∴n+1≥7∴n≥6，即n的最小值为6故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定13．（5分）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是a≥2．【分析】构造函数F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，利用正弦函数的特点求出F（x）max，从而可得答案．【解答】解：∵不等式|f（x）|≤a对任意实数x恒成立，令F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，则a≥F（x）max．∵f（x）=sin3x+cos3x=2sin（3x+）∴﹣2≤f（x）≤2∴0≤F（x）≤2F（x）max=2∴a≥2．即实数a的取值范围是a≥2故答案为：a≥2．【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题．14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程．【解答】解：设圆的圆心坐标（a，b），半径为r，因为圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，所以，解得，所求圆的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．【分析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）正项数列{a n}满足：a n2﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）通过分解因式，利用正项数列{a n}，直接求数列{a n}的通项公式a n；（2）利用数列的通项公式化简b n=，利用裂项法直接求数列{b n}的前n 项和T n．【解答】解：（1）由正项数列{a n}满足：﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0，可得（a n﹣2n）（a n+1）=0所以a n=2n．（2）因为a n=2n，b n=，所以b n===，T n===．数列{b n}的前n项和T n为．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．【分析】（1）由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC，化简可得5ab=3b2，由此可得的值．【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B．再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，故a，b，c成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC=a2+b2+ab．化简可得5ab=3b2，∴=．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O 为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．【分析】（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）列举分别可得数量积为﹣2，﹣1，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1，（2）数量积为﹣2的有，共1种，数量积为﹣1的有，，，，，共6种，数量积为0的有，，，共4种，数量积为1的有，，，共4种，故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率P1=，去唱歌的概率P2=，故不去唱歌的概率为：P=1﹣P2=1﹣=【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1的距离．【分析】（1）过点B作BF⊥CD于F点，算出BF、EF、FC的长，从而在△BCE中算出BE、BC、CE的长，由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，结合BE⊥BB1利用线面垂直的判定定理，可证出BE⊥平面BB1C1C；（2）根据AA1⊥平面A1B1C1，算出三棱锥E﹣A1B1C1的体积V=．根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A1C1=EC1=3、A1E=2，从而得到等腰△A1EC1的面积=3，设B 1到平面EA1C1的距离为d，可得三棱锥B1﹣A1C1E的体积V=××d=d，从而得到=d，由此即可解出点B 1到平面EA1C1的距离．【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD于F点，则：BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=EC﹣EF=3﹣1=2在Rt△BEF中，BE==；在Rt△BCF中，BC==因此，△BCE中可得BE2+BC2=9=CE2∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC，∵BB1⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴BE⊥BB1，又∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线，∴BE⊥平面BB1C1C；（2）∵AA1⊥平面A1B1C1，得AA1是三棱锥E﹣A1B1C1的高线∴三棱锥E﹣A 1B1C1的体积V=×AA1×=在Rt△A1D1C1中，A1C1==3同理可得EC1==3，A1E==2∴等腰△A1EC1的底边A1C1上的中线等于=，可得=×2×=3设点B 1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1﹣A1C1E的体积为V=××d=d，可得=d，解之得d=即点B1到平面EA1C1的距离为．【点评】本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题．20．（13分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．【分析】（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a2=b2+c2列式求出a，b，则椭圆方程可求；（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M 点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣k化简整理即可得到2m﹣k为定值．【解答】（1）解：因为，所以，即a2=4b2，a=2b．又a+b=3，得a=2，b=1．所以椭圆C的方程为；（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为．联立，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．所以，．则．所以P（）．又直线AD的方程为．联立，解得M（）．由三点D（0，1），P（），N（x，0）共线，得，所以N（）．所以MN的斜率为=．则．所以2m﹣k为定值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题．21．（14分）设函数常数且a∈（0，1）．（1）当a=时，求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．【分析】（1）当a=时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；（2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求；（3）由题意，先表示出s（a）的表达式，再借助导数工具研究s（a）在区间[，]上的单调性，确定出最值，即可求解出最值．【解答】解：（1）当a=时，求f（）=，故f（f（））=f（）=2（1﹣）=（2）f （f （x ））=当0≤x ≤a 2时，由=x ，解得x=0，因为f （0）=0，故x=0不是函数的二阶周期点；当a 2＜x ≤a 时，由=x ，解得x=因为f （）==≠，故x=是函数的二阶周期点；当a ＜x ≤a 2﹣a +1时，由=x ，解得x=∈（a ，a 2﹣a +1），因为f（）=，故得x=不是函数的二阶周期点；当a 2﹣a +1＜x ≤1时，由，解得x=∈（a 2﹣a +1，1），因为f （）=≠，故x=是函数的二阶周期点；因此函数有两个二阶周期点，x 1=，x 2=（3）由（2）得A （，），B （，）则s （a ）=S △OCB ﹣S △OCA =×，所以s′（a ）=×，因为a ∈（），有a 2+a ＜1，所以s′（a ）=×=＞0（或令g （a ）=a 3﹣2a 2﹣2a +2利用导数证明其符号为正亦可） s （a ）在区间[，]上是增函数，故s （a ）在区间[，]上的最小值为s （）=，最大值为s （）=【点评】本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，第二题解答的关键是理解定义，第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性，本题考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现．。
2013年高考江西卷(文)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学 第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z=i （-2-i ）（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合A=｛x ∈R|ax 2+ax+1＝0｝其中只有一个元素，则a=A.4B.2C.0D.0或43. sincos 23αα==若 （ ）A. 23-B. 13-C. 13D.234.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是A ．23 B.13 C.12 D.165.总体编为01，02，…19，20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编为A.08B.07C.02D.01 6. 下列选项中，使不等式x ＜1x＜2x 成立的x 的取值范围是（ ） A.（，-1） B. （-1，0） C.0，1） D.（1，+）7.阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是A.S ＜8B. S ＜9C. S ＜10D. S ＜11 8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为A.200+9πB. 200+18πC. 140+9πD. 140+18π 9. 已知点A （2，0），抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|=A.2:B.1:2C. 1:D. 1:310.如图。
已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 与时间t （0≤x ≤1，单位：s）的函数y=f （t ）的图像大致为二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
高考文科数学江西卷word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013江西，文1)复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D 解析：z ＝i(－2－i)＝1－2i ，在复平面上的对应点为(1，－2)，在第四象限，故选D. 2．(2013江西，文2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )．A ．4B ．2C ．0D ．0或4 答案：A解析：当a ＝0时，显然不成立；当a ≠0时．由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4.故选A.3．(2013江西，文3)若sin2α=，则cos α＝( )．A ．23-B ．13-C ．13D ．23答案：C解析：cos α＝212sin2α-211233⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选C. 4．(2013江西，文4)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )．A ．23 B ．12 C ．13 D ．16答案：C解析：从A ，B 中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2,2)，(3,1)，故所求概率为2163=.故选C. 5．(2013江西，文5)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5A ．08 答案：D解析：所取的5个个体依次为08,02,14,07,01.故选D. 6．(2013江西，文6)下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( )． A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1，＋∞) 答案：A解析：原不等式等价于230,1,x x x >⎧⎨<<⎩①或230,1,x x x <⎧⎨>>⎩② ①无解，解②得x ＜－1.故选A.7．(2013江西，文7)阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )．A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11答案：B解析：i＝2，S＝5；i＝3，S＝8；i＝4，S＝9，结束．所以填入的条件是“S＜9”．故选B. 8．(2013江西，文8)一几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为()．A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π答案：A解析：由三视图可知，该几何体是由一个长方体及长方体上方的一个半圆柱组成．所以体积V＝4×10×5＋12×π·32·2＝200＋9π.故选A.9．(2013江西，文9)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线F A与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝()．A．2B．1∶2 C．1D．1∶3答案：C解析：射线F A的方程为x＋2y－2＝0(x≥0)．如图所示，知tan α＝12，∴sin α由抛物线的定义知|MF |＝|MG |，∴||||sin||||FM MG MN MN α====故选C. 10．(2013江西，文10)如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图像大致为( )．答案：B解析：假设经过t秒后，圆心移到O1，则有∠EO1F＝2∠AO1F，且cos∠AO1F＝1－t.而x＝1·∠EO1F，∴y＝cos x＝cos ∠EO1F＝cos 2∠AO1F＝2cos2∠AO1F－1＝2(1－t)2－1＝2t2－4t＋1＝2(t －1)2－1，t∈[0,1]．故选B.第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013江西，文11)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.答案：2解析：切线斜率k＝2010--＝2，又y′＝αxα－1在点(1,2)处，y′|x＝1＝α，故α＝2.12．(2013江西，文12)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．答案：6解析：由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以S n＝21212n (-)-＝2(－1＋2n)≥100，∴2n≥51，∴n≥6.13．(2013江西，文13)设f (x )3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．答案：[2，＋∞)解析：∵f (x )x ＋cos 3x ＝2sin π36x ⎛⎫+⎪⎝⎭∈[－2,2]，又∵|f (x )|≤a 恒成立，∴a ≥2. 14．(2013江西，文14)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．答案：22325(2)24x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭解析：圆心在直线x ＝2上，所以切点坐标为(2,1)． 设圆心坐标为(2，t )，由题意，可得4＋t 2＝(1－t )2，∴32t =-，半径2254r =. 所以圆C 的方程为22325(2)24x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭.15．(2013江西，文15)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案：4解析：作FO ⊥平面CED ，则EO ⊥CD ，FO 与正方体的侧棱平行，所以平面EOF 一定与正方体的左、右侧面平行，而与其他四个面相交．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(2013江西，文16)(本小题满分12分)正项数列{a n }满足：2n a －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令1(1)n nb n a =+，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由2n a －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n . (2)由a n ＝2n ，1(1)n nb n a =+，则11112121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪(+)+⎝⎭，111111*********n T n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭L 111212(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．(2013江西，文17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sinB ＋sin B sinC ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若2π3C =，求ab的值． 解：(1)由已知得sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B ， 因为sin B ≠0，所以sin A ＋sin C ＝2sin B .由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列．(2)由2π3C =，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a )2＝a 2＋b 2＋ab ， 即有5ab －3b 2＝0，所以35a b =.18．(2013江西，文18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X ＞0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X ＜0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 解：(1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有2OA u u u u r ·5OA u u u u r，共1种；数量积为－1的有1OA u u u r ·5OA u u u u r ，1OA u u u r ·6OA u u u u r ，2OA u u u u r ·4OA u u u u r ，2OA u u u u r ·6OA u u u u r ，3OA u u u u r ·4OA u u u u r ，3OA u u u u r ·5OA u u u u r，共6种；数量积为0的有1OA u u u r ·3OA u u u u r ，1OA u u u r ·4OA u u u u r ，3OA u u u u r ·6OA u u u u r ，4OA u u u u r ·6OA u u u u r ，共4种；数量积为1的有1OA u u u r ·2OA u u u u r ，2OA u u u u r ·3OA u u u u r ，4OA u u u u r ·5OA u u u u r ，5OA u u u u r ·6OA u u u u r，共4种．故所有可能的情况共有15种． 所以小波去下棋的概率为1715p =； 因为去唱歌的概率为2415p =，所以小波不去唱歌的概率p ＝1－p 2＝41111515-=. 19．(2013江西，文19)(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.(1)证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ；(2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离．(1)证明：过B 作CD 的垂线交CD 于F ，则BF ＝AD ，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2.在Rt △BFE 中，BE在Rt △CFB 中，BC .在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2， 故BE ⊥BC .由BB 1⊥平面ABCD 得BE ⊥BB 1， 所以BE ⊥平面BB 1C 1C .(2)解：三棱锥EA 1B 1C 1的体积V ＝13AA 1·111A B C S ∆.在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1.同理，EC 1A 1E故11A C E S ∆＝设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d ，则三棱锥B 1A 1C 1E 的体积V ＝13·d ·11A C E S ∆，=d =.20．(2013江西，文20)(本小题满分13分)椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的离心率e =，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．解：(1)因为2c e a ==， 所以a =，b =.代入a ＋b ＝3，得c =a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为2214x y +=. (2)方法一：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)10,2k k ⎛⎫≠≠±⎪⎝⎭，① ①代入2214x y +=，解得P 222824,4141k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 直线AD 的方程为：112y x =+.② ①与②联立解得M 424,2121k k k k +⎛⎫⎪--⎝⎭.由D (0,1)，P 222824,4141k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，N (x,0)三点共线知222410141820041kk k x k ---+=---+，解得N 42,021k k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 所以MN 的斜率为m ＝22404212121424222122142121kk k k k k k k k k k -(+)+-==+-(+)-(-)--+， 则2m －k ＝21122k k +-=(定值)．方法二：设P (x 0，y 0)(x 0≠0，±2)，则002y k x =-，直线AD 的方程为：1(2)2y x =+，直线BP 的方程为：00(2)2y y x x =--， 直线DP 的方程为：0011y y x x --=，令y ＝0，由于y 0≠1可得N 00,01x y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 联立0012,22,2y x y y x x ⎧=(+)⎪⎪⎨⎪=(-)-⎪⎩解得M 00000004244,2222y x y y x y x ⎛⎫+- ⎪-+-+⎝⎭，因此MN 的斜率为m ＝000000000422424221y y x y x x y x y -++-+-+-＝002200000414844y y y y x y x (-)-+-+ ＝00220000041484444y y y y x y y (-)-+-(-)+ ＝000122y y x -+-， 所以2m －k ＝0000021222y yy x x (-)-+-- ＝0000000021222222y x y y x y x x (-)(-)-(+-)(+-)(-)＝20000000021222222y x y y x y x x (-)(-)--(-)(+-)(-)＝2000000001212(4)22222y x x y x y x x (-)(-)---(-)(+-)(-)＝12(定值)． 21．(2013江西，文21)(本小题满分14分)设函数f (x )＝1,0,11, 1.1x x a a x a x a⎧≤≤⎪⎪⎨⎪(-)<≤⎪-⎩a 为常数且a ∈(0,1)． (1)当12a =时，求13f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为f (x )的二阶周期点．证明函数f (x )有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x 1，x 2；(3)对于(2)中的x 1，x 2，设A (x 1，f (f (x 1)))，B (x 2，f (f (x 2)))，C (a 2,0)，记△ABC 的面积为S (a )，求S (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：(1)当12a =时，1233f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1222213333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)f (f (x ))＝22222210,1(),(1)1()1(1)1(1)1 1.(1)x x a a a x a x a a a x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪-⎪⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤⎪-⎩，，，，， 当0≤x ≤a 2时，由21x x a=解得x ＝0， 因为f (0)＝0，故x ＝0不是f (x )的二阶周期点；当a 2＜x ≤a 时，由1()(1)a x x a a -=-解得21a x a a =-++∈(a 2，a )， 因2222111111a a a f a a a a a a a a a ⎛⎫=⋅=≠ ⎪-++-++-++-++⎝⎭， 故21a x a a =-++为f (x )的二阶周期点： 当a ＜x ＜a 2－a ＋1时，由211a (-)(x －a )＝x 解得12x a=-∈(a ，a 2－a ＋1)， 因111112122f a a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 故12x a =-不是f (x )的二阶周期点； 当a 2－a ＋1≤x ≤1时， 由1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++∈(a 2－a ＋1,1)，因211f a a ⎛⎫ ⎪-++⎝⎭＝2221111(1)111a a a a a a a a ⎛⎫⋅-=≠ ⎪--++-++-++⎝⎭， 故211x a a =-++为f (x )的二阶周期点． 因此，函数f (x )有且仅有两个二阶周期点，121a x a a =-++，2211x a a =-++. (3)由(2)得A 22,11a a a a a a ⎛⎫ ⎪-++-++⎝⎭， B 2211,11a a a a ⎛⎫ ⎪-++-++⎝⎭， 则221(1)()21a a S a a a -=⋅-++，32221(222)'()2(1)a a a a S a a a --+=⋅-++， 因为a ∈11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有a 2＋a ＜1， 所以32221(222)'()2(1)a a a a S a a a --+=⋅-++ ＝22221[111]>021a a a a a a a (+)(-)+(--)⋅(-++). (或令g (a )＝a 3－2a 2－2a ＋2，g ′(a )＝3a 2－4a －2＝3a a ⎛- ⎝⎭⎝⎭， 因a ∈(0,1)，g ′(a )＜0，则g (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为15028g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 故对于任意a ∈11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，g (a )＝a 3－2a 2－2a ＋2＞0， 32221(222)'()02(1)a a a a S a a a --+=⋅>-++)， 则S (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故S (a )在区间11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为11333S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最大值为11220S ⎛⎫= ⎪⎝⎭.。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科数学注意事项：1. 本考试卷分为两部分，第一卷为选择题，第二卷为非选择题。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名，准考证号，并在答题卡上填涂上对应的试卷类型信息3. 所有解答必须填写在答题卡上的指定区域内。
考试结束后将本卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 复数)2(i i z --=（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2. 若集合}01{2=++∈=ax ax R x A 中只有一个元素，则=a.A 4 .B 3 .C 0 .D 0或4 3. 若332sin =α，则=αcos .A 32-.B 31- .C 31 .D 324. 集合}3,2{=A ，}3,2,1{=B ，从B A ,中各任取一个数，在这两个数之和等于4的概率是 .A 32 .B 21 .C 31 .D 615. 总体由编号为20,19,,02,01的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 .A 08 .B 07 .C 02 .D 01 6. 下列选项中，不等式21x xx <<成立的x 的取值范围 .A )1,(--∞ .B )0,1(- .C )1,0( .D ),1(+∞ 7. 阅读如下程序框图，如果输入4=i ，那么在空白矩形框中应填入的语句为 .A 8<S .B 9<S.C 10<S .D 11<S8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.A π9200+ .B π18200+ .C π9140+ .D π18140+9.已知点)0,2(A ，抛物线:C y x 42=的焦点为,F 射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则MN FM :.A 5:2 .B 2:1 .C 5:1 .D 3:110.如图，已知21l l ⊥，圆心在1l 上，半径为m 1的圆在0=t 时与2l 相切于点A ,圆O 沿1l 以s m /1的速度匀速向上移动，圆被直线2l 所截上方圆弧长记为x ，令x y cos =，则y 与时间t （10≤≤t ，单位：s ）的函数)(t f y =的图像大致为第Ⅱ卷二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数1+=αx y （R ∈α）在点)2,1(处的切线经过坐标原点，在=α 12.某住宅小区计划植树不小于100棵，如第一天植树2棵，以后每一天植树的棵数是前1天的两倍，则需要的最少天数n ，（*∈N n ）等于13.设x x x f 3cos 3sin 3)(+=，若对任意实数x 都有a x f ≤)(，则实数a 的取值范围 14. 若圆C 经过坐标原点和点)0,4(，且与直线1=y 相切，则圆C 的方程 15．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数是 。
三．解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.正项数列}{n a 满足：02)12(2=---n a n a n n（1）求数列}{n a 的通项公式n a ； （2）令nn a n b )1(1+=，求数列}{n b 的前n 项和n T17. 在ABC ∆中，交C B A ,,所对的边分别为c b a ,,， 已知12cos sin sin sin sin =++B C B B A （1）求证：c b a ,,成等差数列； （2）若π32=C ，求b a的值。
18.小波以游戏方式决定是取打球，唱歌还是去下棋，游戏规则为：以O 为起点，再从654321,,,,,A A A A A A （如图），这6个点中任取两个点为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若0>X 就去打球，若0=X 就去唱歌，若0<X ，就去下棋。
（1）写出数量X 的所有可能值；（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率xyOA 11A 2-1-11A 4A 5A 619.如图，直四棱锥1111D C B A ABCD -中，AB ∥CD ,AB AD ⊥,2=AB ，2=AD ，31=AA ,E 为CD 上一点，3,1==EC DE（1）证明：⊥BE 平面C C BB 11 （2）求点1B 到平面11C EA 的距离20.椭圆:C 12222=+by a x （0,0>>b a ）的离心率23=e ，3=+b a 。
（1）求椭圆C 的方程。
（2）如图，D B A ,,是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m 。
证明：k m -2为定值。
21.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<--≤≤=1),1(110,1)(x a x aa x x ax fa 为常数且)1,0(∈a（1）当21=a ，求))31((f f 的值； （2）若0x 满足00))((x x f f =，但00)(x x f ≠，则称0x 为)(x f 的二阶周期点，证明函数)(x f 有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点。
（3）对于（2）中的21,x x ，设)))((,(11x f f x A ，)))((,(22x f f x B ，)0,(2a C ，记ABC ∆的面积为为)(a S ，求)(a S 在区间]21,31[上的最大值和最小值。
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学参考答案一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】：D 【解析】：Z ＝-2i-i 2 =1-2i 对应点这（1，-2）在第四象限2.【答案】：A3. 【答案】：C 【解析】：211cos 12sin 12233αα=-=-⨯= 4. 【答案】：C【解析】：所有情形有六种，满足要求的只有（2，2）和（3，1）故只能选C 5.【答案】：D【解析】：从第5列和第6列选出的两位数依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，但编号必须不大于20的且不和前面重复的只能是08，02，14，07，01，选D 6. 【答案】：A 【解析】：令x=-2,不等式成立，只能选A 。
7.【答案】：B 【解析】：依次运行i=1,2,3,4,时s=0，5，8，9若输出i=4,则表示s=8时运行是，s=9运行否，故选B 8.【答案】：A 【解析】：还原后的直观图是一个长宽高依次为10，6 ，5的长方体上面是半径为3高为2的半个圆柱。
9. 【答案】：C【解析】：依题意可得AF 所在直线方程为12x y +=代入x 2=4y 得352y -=，又|FM|：|MN|=（1-y ）：（1+y ）＝1:错误！未找到引用源。
10.【答案】：B【解析】：法1：取特值x=0时t=0,则y=1排除A ，D ，取2x π=时210.30.52t =-≈<,选B法2：依题意可知cos12x t =-，则22cos 2cos 12(1)1(01)2xy x t t ==-=--≤≤选B二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.【答案】：2【解析】：1y x αα-'=，则k α=，故切线方程y x α=过点（1，2）解得2α= 12.【答案】：6【解析】：直接计算2+4+8+16+32+64＝128得n=6, 或解231222 (222100)n n +++++=-≥得n 为6. 13.【答案】：2a ≥【解析】：()3sin3cos32sin(3)f x x x x φ=+=+得|()|2f x ≤故2a ≥ 14.【答案】：22325(2)()24x y -++=【解析】：设圆心坐标为（x ，y ）,半径为r ，则x=2,又2222(1)r r =+-故r=52，则32y =-。
15.【答案】：4【解析】：设CD 的中点为M ，连结EM ，FM 易证平面EFM ⊥平面α，则EF 与平面α平行，不会相交，故EF 只与其余四个面相交。
三．解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.【解析】：(21)20n n ---=2n n n n 解：（1）由a a 得（a -2n)(a +1）=0 由于｛a n ｝是正项数列，则2n =n a 。
（2）由（1）知2n =n a ，故11111()(1)(1)(2)2(1)n n b n a n n n n ===-+++11111111(1...)(1)222312122n T n n n n ∴=-+-++-=-=+++n17.【解析】：（1）由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin 2B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B因为sinB 不为0，所以sinA+sinC=2sinB 再由正弦定理得a+c=2b,所以a ，b ，c 成等差数列（2）由余弦定理知2222cos c a b ac C =+-得2222(2)2cos3b a a b ac π-=+-化简得35a b =18．解：（1） x 的所有可能取值为-2 ，-1 ，0， 1。
（2）数量积为-2的只有25OA OA ⋅一种 数量积为-1的有15OA OA ⋅，1624263435,,,,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA ⋅⋅⋅⋅⋅六种数量积为0的有13143646,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ⋅⋅⋅⋅四种数量积为1的有12234556,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ⋅⋅⋅⋅四种 故所有可能的情况共有15种。
所以小波去下棋的概率为1715p = 因为去唱歌的概率为2415p =，所以小波不去唱歌的概率2411111515p p =-=-=19．解.（1）证明：过B 作CD 的垂线交CD 于F ，则2,1,2B F A D E F A B D E FC ===-==在36Rt BFE BE Rt BFC BC ∆∆中，＝ ，中，＝ .在2229BCE BE BC EC ∆+中，因为＝＝，故BE BC ⊥由1111BB ABCD BE BB BE BB C C ⊥⊥⊥平面，得，所以平面 （2）1111111123A B C E A B C V AA S ∆-⋅三棱锥的体积＝＝221111111112Rt A D C AC A D D C ∆+在中，＝=3 ， 同理，22112EC EC CC +＝=3 ，222113EA AD ED AA ++＝=2 因此115A C E S ∆=3。