【高考状元】数学错题本:第4章《导数及其应用》易错题(Word版,含解析)
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我的高考数学错题本
第4章 导数及其应用易错题
易错点1.误解导函数与单调区间的关系
【例1】()f x '是()f x 在区间[,]a b 的导函数,则“在区间(,)a b 内()0f x '>”是“()f x 在该区间内单调递增”的________条件. 【错解】充要
【错因】一般地,由()0f x '>能推出()f x 为增函数,反之,则不一定.如函数3()f x x =在区间(,)-∞+∞上单调递增,但是()0f x '≥,因此()0f x '>是函数()f x 为增函数的充分不必要条件. 【正解】充分不必要
【纠错训练】若函数3()f x ax x =-在R 上为减函数,求实数的取值范围. 【解析】由2()=310f x ax '-≤在R 上恒成立, ∴当0a =时,()10f x '=-<,满足题意;
当0a ≠,0
120a a <⎧
⎨
∆=<⎩ ,解得0a <.
综上所述,0a ≤.
易错点2 .误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系
【例2 】 函数3
2
2
()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10,求,a b 的值. 【错解】由(1)10,(1)0f f '==解得4,113,3a b a b ==-=-=或.
【错因】对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清,错把0()f x 为极值的必要条件当作充要条件.
【正解】2
()32f x x ax b '=++,依题意得(1)10(1)0
f f =⎧⎨
'=⎩,解得411a b =⎧⎨=-⎩或3
3a b =-⎧⎨=⎩,
当411
a b =⎧⎨=-⎩时,2
()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-,所以()f x 在1x =处取得极值;
当3
3
a b =-⎧⎨
=⎩时,22()3633(1)f x x x x '=-+=-,此时()f x 在1x =无极值.
所以3,3a b =-=.
易错点3.对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
【例3】 已知函数f (x )的导函数()x f '的图像如左图所示,那么函数()x f 的图像最有可能的是
【错解】选,C,B D
【剖析】概念不清,凭空乱猜
【正解】由导函数的图像,可得:当()()+∞-∞-∈,02, x 时,0)(' 0)('>x f ,且开口向下;则)(x f 在()2,-∞-上递减,在()0,2-上递增,在()+∞,0递减; 故选A . 【纠错训练】函数()y f x =的导函数()f x '的图象如右图所示,则函数()y f x =的图象可能是( ) 【解析】试题分析:由图像可知导数值先正后负,所以原函数先增后减,只有D 符合. 易错点4 .遗忘复合函数求导公式 【例4】函数1cos x y x e -=⋅ 的导数为 . 【错解】 1cos x y e -'= 【错因】遗忘复合函数求导公式,复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数, 乘以中间变量对自变量的导数,即x u x y y u '''=⋅. 【正解】( )()1cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos x x x x x y e x e e xe x e -----'''=+=+-=+ 1cos sin x xe x -()1cos 1sin x x x e -=+ 易错点5.切线问题中忽视切点的位置致错 【例5】已知曲线x x x f 32)(3-=,过点(0,32)M 作曲线()f x 的切线,求切线方程. 【错解】由导数的几何意义知(0)3k f '==-,所以曲线的切线方程为332y x =-+. 【错因】点(0,32)M 根本不在曲线上,忽视切点位置致错. 【正解】设切点坐标为3000(,23)N x x x -,则切线的斜率2 00()63k f x x '==-,故切线方程为20(63)32y x x =-+,又因为点N 在切线上, 所以30023x x -=200(63)32x x -+, 解得02x =-,所以切线方程为y=21x+32. 注意:导数的几何意义是过曲线上该点的切线的斜率,应注意此点是否在曲线上. 【纠错训练】 已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P (0,2),且在点M (-1,f (-1))处的切线方程为076=+-y x ,求函数)(x f y =的解析式; 解析:由)(x f 的图象经过P (0,2),知d=2,所以,2)(2 3 +++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ,知 . 6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是.233)(23+--=x x x x f 易错点6.忽视极值的存在条件致错 【例6】已知函数2 2 3 )(a bx ax x x f +++=在1x =处有极值10,求,a b . 分析:抓住条件“在1x =处有极值10”所包含的两个信息,列出两个方程,解得 ,a b . ,a b 有两组值,是否都合题意需检验. 【错解】2 ()32f x x ax b '=++, 根据题意可得(1)0 (1)10f f '=⎧⎨=⎩ ,即2230110a b a a b ++=⎧⎨+++=⎩,