2011走向高考,贾凤山,高中总复习,阶段性测试题4

阶段性测试题四(导数及其应用)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是 ( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末 [答案] D[解析] s ′＝t 2－3t ＋2＝0， 令s ′＝0，得t ＝1或2，故选D.2．(文)已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )[答案] B[解析] 因为二次函数在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)递减，所以其导函数在(－∞，0)大于0，在(0，＋∞)小于0，故选B.(理)下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确．．．．．的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ [答案] B[解析] 因为三次函数的导函数为二次函数，其图象为抛物线，观察四图，由导函数与原函数的关系可知，当导函数大于0时，其函数为增函数，当导函数小于0时，其函数为减函数，由此规律可判定③④不正确．3．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为 ( )A.278B ．－2C ．2D ．－278[答案] A[分析] 由三次函数图象可知，切线的斜率一定存在，故只需处理好“导数值”与“斜率”间的关系即可．[解析] 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )． 切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )②将点(1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解之得：t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由它们互为相反数得，a ＝278.4．(文)若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是 ( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7] [答案] B[解析] 令f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－6x －9， 令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝3(舍去)． ∵f (－1)＝7，f (－2)＝0，f (2)＝－20. ∴f (x )的最小值为f (2)＝－20， 故m ≤－20，综上可知应选B.(理)已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于 ( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 [答案] A[解析] ∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3的极大值点， ∴c ＝3b －b 3，且0＝3－3b 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1c ＝－2，∴ad ＝2. 5．对于在R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有 ( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)>2f (1) [答案] C[解析] ∵(x －1)f ′(x )≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1f ′(x )≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1f ′(x )≤0， ①若函数y ＝f (x )在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，则f (0)>f (1)，f (2)>f (1)， ∴f (0)＋f (2)>2f (1)．②若函数y ＝f (x )为常数函数，则f (0)＋f (2)＝2f (1)．故选C.6．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12C ．－2D ．2 [答案] A[解析] ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos xsin 2x＝－1－cos x sin 2x∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1，由条件知1a ＝－1， ∴a ＝－1，故选A. 7．(文)(08·广东)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则 ( ) A ．a <－1 B ．a >－1C ．a ≥－1eD ．a <－1c[答案] A[解析] y ′＝e x ＋a ，由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ＝0x >0有解，∴a ＝－e x<－1.(理)由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 ( )A.14 B.13 C.12D.23[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝t2x >0得，x ＝t ，故S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝(t 2x －13x 3)|t 0＋(13x 3－t 2x )|1t ＝43t 3－t 2＋13， 令S ′＝4t 2－2t ＝0，∵0<t <1，∴t ＝12，易知当t ＝12时，S min ＝14.8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]；②f (x )的极值点有且仅有一个；③f (x )的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 [答案] C[解析] ∵f (0)＝0.∴c ＝0.∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝－1f ′(－1)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝－13－2a ＋b ＝－1， ∴a ＝0，b ＝－4，∴f (x )＝x 3－4x ，∴f ′(x )＝3x 2－4.令f ′(x )＝0得x ＝±233∈[－2,2]．∴极值点有两个．∵f (x )为奇函数，∴f (x )max ＋f (x )min ＝0.∴①③正确，故选C.9．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是 ( )A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2] [答案] A[解析] 由条件h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋kx2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．10．(08·辽宁)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为 ( )A ．[－1，－12] B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[12，1][答案] A[解析] y ′＝2x ＋2，∵切线倾斜角θ∈[0，π4]，∴切线的斜率k 满足0≤k ≤1，即0≤2x ＋2≤1，∴－1≤x ≤－12.11．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足f (x )>0，xf ′(x )＋f (x )<0，则对任意正数a ，b ，若a >b ，则必有 ( )A ．af (b )<bf (a )B ．bf (a )<af (b )C ．af (a )<f (b )D ．bf (b )<f (a ) [答案] B[解析] 构造函数y ＝f (x )x (x >0)，求导得y ′＝xf ′(x )－f (x )x 2，由条件知f ′(x )<0，∴y ′<0，∴函数y ＝f (x )x在(0，＋∞)上单调递减，又a >b >0，∴f (a )a <f (b )b，即bf (a )<af (b )．12．设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是 ( )A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2) [答案] C[解析] 由图象知f ′(2)＝f ′(－2)＝0. ∵x >2时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )>0，∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上单调递增；同理f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减， ∴y ＝f (x )的极大值为f (－2)，极小值为f (2)，故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(文)已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．[答案] 4[解析] ∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝03×12＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0， ∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.(理)定积分⎠⎛3－216＋6x －x 2d x ＝________. [答案]25π4[解析] 设y ＝16＋6x －x 2，即(x －3)2＋y 2＝25(y ≥0)．∵⎠⎛3－216＋6x －x 2d x 表示以(3,0)为圆心，5为半径的圆的面积的四分之一．∴⎠⎛3－216＋6x －x 2d x ＝25π4.14．(文)函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．[答案] a >2或a <－1[解析] f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0.因为函数f (x )有极大值和极小值，所以方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1.(理)函数y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t 的最大值是______．[答案] 2[解析] y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t＝⎠⎛0x (sin t ＋12sin2t )d t＝(－cos t －14cos2t )|x 0 ＝－cos x －14cos2x ＋54＝－cos x －14(2cos 2x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12(cos x ＋1)2＋2≤2.当cos x ＝－1时取等号．15．已知函数y ＝－13x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋2－b 在R 上不是单调减函数，则b 的取值范围是________．[答案] b <－1或b >3[解析] y ′＝－x 2＋2bx －(2b ＋3)，要使原函数在R 上单调递减，应有y ′≤0恒成立，∴Δ＝4b 2－4(2b ＋3)＝4(b 2－2b －3)≤0，∴－1≤b ≤3，故使该函数在R 上不是单调减函数的b 的取值范围是b <－1或b >3.16．(文)对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和是________．[答案] 2n ＋1－2[解析] ∵y ＝x n (1－x )，∴y ′＝(x n )′(1－x )＋(1－x )′·x n ＝n ·x n －1(1－x )－x n .f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1. 在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n .∴切线方程为y ＋2n ＝(－n －2)·2n －1(x －2)． 令x ＝0得，y ＝(n ＋1)·2n ， ∴a n ＝(n ＋1)·2n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为2(2n －1)2－1＝2n ＋1－2.(理)设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)．若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.[答案] π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ＋5π6. 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )． 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(文)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直，(1)求实数a 、b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4.①f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b ，由条件f ′(1)·(－19)＝－1，即3a ＋2b ＝9，②由①②式解得a ＝1，b ＝3.(2)f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0得x ≥0或x ≤－2，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，＋∞)由条件知m ≥0或m ＋1≤－2， ∴m ≥0或m ≤－3.(理)已知函数f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝2x 2＋b ，它们的图象在x ＝1处有相同的切线． (1)求函数f (x )和g (x )的解析式；(2)如果F (x )＝f (x )－mg (x )在区间[12，3]上是单调增函数，求实数m 的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝4x ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝g (1)f ′(1)＝g ′(1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝2＋b 3＋a ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝2x 2.(2)F (x )＝f (x )－mg (x )＝x 3＋x －2mx 2， ∴F ′(x )＝3x 2－4mx ＋1，若F (x )在区间[12，3]上为增函数，则需F ′(x )≥0，即3x 2－4mx ＋1≥0，∴m ≤3x 2＋14x.令h (x )＝3x 2＋14x ，x ∈[12，3]，则h (x )在区间[12，3]上的最小值是h (33)＝32，因此，实数m 的取值范围是m ≤32.18．(本小题满分12分)(文)已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋3在x ＝－1和x ＝2处取得极值．(1)求f (x )的表达式和极值．(2)若f (x )在区间[m ，m ＋4]上是单调函数，试求m 的取值范围． [解析] (1)依题意知：f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b ＝0的两根为－1和2，∴⎩⎨⎧－a3＝－1＋2a 6＝－1×2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.∴f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋3.∴f ′(x )＝6x 2－6x －12＝6(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )>0得，x <－1或x >2；令f ′(x )<0得，－1<x <2. ∴f (x )极大＝f (－1)＝10.f (x )极小＝f (2)＝－17.(2)由(1)知，f (x )在(－∞，－1]和[2，＋∞)上单调递增，在[－1,2]上单调递减．∴m ＋4≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＋4≤2，或m ≥2.∴m ≤－5或m ≥2，即m 的取值范围是(－∞，－5]∪[2，＋∞)．(理)(2010·广东中山)已知函数f (x )＝ax 3＋12(sin θ)x 2－2x ＋c 的图象过点⎝⎛⎭⎫1，376，且在(－2,1)内单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．(1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意x 1，x 2∈[m ，m ＋3](m ≥0)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|≤452恒成立，试问这样的m 是否存在？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．[解析] (1)∵f ′(x )＝3ax 2＋x sin θ－2，由条件可知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0f ′(－2)≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋sin θ－2＝012a －2sin θ－2≤0， ∴sin θ≥1，∴sin θ＝1，∴a ＝13，∴f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋c ，又由f (1)＝376得c ＝223，∴f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋223.(2)f ′(x )＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，易知f (x )在(－∞，－2)及(1，＋∞)上均为增函数，在(－2,1)上为减函数，①当m >1时，f (x )在[m ，m ＋3]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (m ＋3)，f (x )min ＝f (m )．由f (m ＋3)－f (m )＝13(m ＋3)3＋12(m ＋3)2－2(m ＋3)－13m 3－12m 2＋2m ＝3m 2＋12m ＋152≤452得，－5≤m ≤1，这与条件矛盾．②当0≤m ≤1时，f (x )在[m,1]上递减，在[1，m ＋3]上递增，∴f (x )min ＝f (1)，f (x )max 为f (m )与f (m ＋3)中较大者，∵f (m ＋3)－f (m )＝3m 2＋12m ＋152＝3(m ＋2)2－92>0，(0≤m ≤1)，∴f (x )max ＝f (m ＋3)，∴|f (x 2)－f (x 1)|≤f (m ＋3)－f (1)≤f (4)－f (1)＝452恒成立，故当0≤m ≤1时，原不等式恒成立， 综上，存在m ∈[0,1]符合题意．19．(本小题满分12分)(文)设函数f (x )＝x 2－2tx ＋4t 3＋t 2－3t ＋3，其中x ∈R ，t ∈R ，将f (x )的最小值记为g (t )．(1)求g (t )的表达式；(2)讨论g (t )在区间[－1,1]内的单调性；(3)若当t ∈[－1,1]时，|g (t )|≤k 恒成立，其中k 为正数，求k 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝(x －t )2＋4t 3－3t ＋3，当x ＝t 时，f (x )取到其最小值g (t )，即g (t )＝4t 3－3t ＋3.(2)∵g ′(t )＝12t 2－3＝3(2t ＋1)(2t －1)， 由此可见，g (t )在区间⎝⎭⎫－1，－12和⎝⎭12，1上单调递增，在区间⎝⎭⎫－12，12上单调递减． (3)∵g (1)＝g ⎝⎛⎭⎫－12＝4，g (－1)＝g ⎝⎛⎭⎫12＝2 ∴g (t )max ＝4，g (t )min ＝2，又∵|g (t )|≤k 恒成立，∴－k ≤g (t )≤k 恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≥4－k ≤2，∴k ≥4. (理)将一张2×6米的矩形钢板按图示划线，要求①至⑦全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱．设水箱的高为x 米，容积为y 立方米．(1)写出y 关于x 的函数关系式； (2)x 取何值时，水箱容积最大？[解析] (1)依题意，水箱底的宽为(2－2x )米，长为6－2x2＝(3－x )米，则水箱的容积y ＝(2－2x )(3－x )·x (0<x <1)， (2)y ＝(2－2x )(3－x )·x ＝2x 3－8x 2＋6x (0<x <1)， ∴y ′＝6x 2－16x ＋6.令y ′＝6x 2－16x ＋6＝0得x ＝4－73，当0<x <4－73时y ′>0，函数单调递增；当4－73<x <1时y ′<0，函数单调递减；∴当x ＝4－73时，函数y ＝(2－2x )(3－x )·x (0<x <1)取最大值．∴当x ＝4－73时，水箱的容积最大．20．(本小题满分12分)(文)(09·湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ [解析] (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0得，x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数， 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数．所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9，故需新建9个桥墩才能使y 最小．(理)已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176.求⎠⎛12f (x )x d x 的值．[解析] ∵f (x )是一次函数，∴可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)． ∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫12ax 2＋bx 10＝12a ＋b . ∴12a ＋b ＝5① 又∵⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 210 ＝13a ＋12b . ∴13a ＋12b ＝176② 解①②得a ＝4，b ＝3， ∴f (x )＝4x ＋3.∴⎠⎛12f (x )x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫4＋3x d x ＝(4x ＋3ln x )|21＝4＋3ln2.21．(本小题满分12分)(文)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极大值5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)．如右图所示．(1)求x 0的值；(2)求a ，b ，c 的值．[处取得极大值，所以0(2)解法1：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5得，⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝012a ＋4b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝5，解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12.解法2：设f ′(x )＝m (x －1)(x －2)＝mx 2－3mx ＋2m ， 又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，所以a ＝m 3，b ＝－32m ，c ＝2m ，f (x )＝m 3x 3－32mx 2＋2mx .∵f (1)＝5，∴m 3－32m ＋2m ＝5，∴m ＝6，∴a ＝2，b ＝－9，c ＝12.[点评] 本题要求学生善于随机应变，根据实际情况，读图象，列表格，翻译不等式，定极大值，很好的考查了学生思维的灵活性，将传统二次函数问题结合导数方式出现，很好的兼顾了基础与能力的要求、新旧内容的衔接，源于教材又不拘泥于教材，是一道训练读图识图能力，运用“数形结合”思想解决问题的好题．(理)“我们称使f (x )＝0的x 为函数y ＝f (x )的零点．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是连续的、单调的函数，且满足f (a )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上有唯一的零点”．对于函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x ＋m .(1)当m ＝0时，讨论函数f (x )在定义域内的单调性并求出极值； (2)若函数f (x )有三个零点，求实数m 的取值范围． [解析] (1)当m ＝0时，f (x )＝－x 3＋x 2＋x .∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋1＝－3(x ＋13)(x －1)．由表可知：函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x 在区间[－13，1]上单调递增，在⎝⎭⎫－∞，－13和(1，＋∞)上单调递减．f (x )的极小值为f (－13)＝－527，极大值为f (1)＝1.(2)f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋1，由(1)知f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－13和(1，＋∞)上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－13，1上单调递增．故欲使f (x )有三个零点，须⎩⎪⎨⎪⎧ f (－13)＝m －527<0f (1)＝m ＋1>0，∴－1<m <527. 此时，f (－1)＝(m ＋1)>0，f (2)＝m －2<0.在(－∞，－1)上，f (x )≥f (－1)>0在(2，＋∞)上，f (x )≤f (2)<0.又f (－1)·f (－13)<0，f (－13)·f (1)<0， f (1)f (2)<0，由题设知f (x )在⎣⎡⎦⎤－1，－13，⎣⎡⎦⎤－13，1，[1,2]上各有惟一零点． 综上可知－1<m <527. 22．(本小题满分14分)(文)设函数f (x )＝－x 3＋3x ＋2分别在x 1、x 2处取得极小值、极大值，xOy 平面上点A 、B 的坐标分别为(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))．该平面上动点P 满足P A →·PB →＝4，点Q 是点P 关于直线y ＝2(x －4)的对称点．求：(1)A 、B 的坐标；(2)动点Q 的轨迹方程．[分析] 首先求f ′(x )，令f ′(x )＝0，求出x 1、x 2的值，得到A 、B 两点的坐标．利用向量的数量积可求得动点P 的轨迹方程．根据P 、Q 对称性求出P 、Q 两点坐标的关系，利用“坐标代入法”求得动点Q 的轨迹方程．[解析] (1)令f ′(x )＝－3x 2＋3＝0，解得x ＝1或x ＝－1.当x <－1时，f ′(x )<0；当－1<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0.∴函数在x ＝－1处取得极小值，在x ＝1取得极大值，故x 1＝－1，x 2＝1，f (－1)＝0，f (1)＝4，所以，点A 、B 的坐标为A (－1,0)，B (1,4)．(2)设P (m ，n )，Q (x ，y )．P A →·PB →＝(－1－m ，－n )·(1－m,4－n )＝m 2－1＋n 2－4n ＝4，k PQ ＝－12，所以y －n x －m＝－12， 又PQ 的中点在直线y ＝2(x －4)上，所以y ＋n 2＝2⎝⎛⎭⎫x ＋m 2－4，消去m ，n 得(x －8)2＋(y ＋2)2＝9.(理)已知函数f (x )在R 上有定义，对任意实数a >0和任意实数x ，都有f (ax )＝af (x )．(1)证明f (0)＝0；(2)证明f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx x ≥0hx x <0，其中k 和h 均为常数； (3)当(2)中的k >0时，设g (x )＝1f (x )＋f (x ) (x >0)，讨论g (x )在(0，＋∞)内的单调性并求极值．[分析] 通过适当赋值或变形，求函数值及函数解析式，再利用导数求单调区间或极值．[解析] (1)对于任意a >0，x ∈R 均有f (ax )＝af (x )①在①中取a ＝2，x ＝0，即得f (0)＝2f (0)∴f (0)＝0②(2)当x >0时，由①得f (x )＝f (x ·1)＝xf (1)取k ＝f (1)，则有f (x )＝kx ③当x <0时，由①得：f (x )＝f ((－x )(－1))＝(－x )f (－1) 取h ＝－f (－1)，则有：f (x )＝hx ④综合②③④得：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ kx x ≥0hx x <0. (3)解法1：由(2)中③知，当x >0时，g (x )＝1kx＋kx 从而g ′(x )＝－1kx 2＋k ＝k 2x 2－1kx 2，(x >0) 又因为k∴g (x )在区间⎝⎫0，1k 内单调递减，在区间⎝⎛⎭1k ，＋∞内单调递增，在x ＝1k 处取得极小值2.解法2：由(2)中的③知，当x >0时，g (x )＝1kx＋kx 设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则g (x 2)－g (x 1)＝⎝⎛⎭⎫1kx 2＋kx 2－⎝⎛⎭⎫1kx 1＋kx 1 ＝(x 2－x 1)kx 1x 2(k 2x 1x 2－1)， ∵k >0，∴当0<x 1<x 2<1k时，g (x 2)<g (x 1)， 当0<1k<x 1<x 2时，g (x 2)>g (x 1)， ∴g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，1k 内单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫1k ，＋∞内单调递增，在x ＝1k处取得极小值2.。