【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 统计案例双基限时练1(含解析)新人教A版选修1-2
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 统计单元同步测试(含解析)北师大版必修3
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 统计单元同步测试（含解析）北师大版必修3(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共有10个小题，每小题5分，共50分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)1．某学校有男、女学生各500名，为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法解析 由于男生和女生存在性别差异，所以宜采用的抽样方法是分层抽样法． 答案 D2．为了调查全国人口的寿命，抽查了11个省(市)的2500名城镇居民，这2500名城镇居民的寿命的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本D ．样本容量答案 C3．某校有初中学生900人，高中学生1200人，教师120人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本进行调查，如果从高中生中抽取了80人，那么n 的值是( )A ．120B ．148C ．140D ．136 解析 由n 900＋1200＋120＝801200，得n ＝148.答案 B4．为了了解1200名2010年上海世博会志愿者的工作准备情况，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( )A ．40B ．30C ．20D ．12解析120030＝40. 答案 A5．某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的方差是( )111213⎪⎪⎪46 82A ．125B ．5 5C ．45D ．3 5解析 4次成绩的平均值为125，方差为－2＋－2＋－2＋－24＝45.答案 C6．某样本数据的茎叶图如图所示，若该组数据的中位数为85，平均数为85.5，则x ＋y ＝( )789⎪⎪⎪3 94 4 4 x 7 83 yA ．12B ．13C ．14D ．15解析 由中位数为85知4＋x ＝2×5，得x ＝6，又平均数为85.5， ∴73＋79＋3×84＋86＋87＋88＋93＋90＋y ＝855，得y ＝7，∴x ＋y ＝13. 答案 B7．对于一组数据z i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为z i －c (i ＝1,2,3，…，n )(其中c ≠0)，下列结论正确的是( )A ．平均数与方差均不变B ．平均数变了，而方差保持不变C ．平均数不变，而方差变了D ．平均数与方差均发生了变化 解析 平均数为z 1＋z 2＋…＋z n －nc n＝z －－c ，方差s 2＝z 1－c －z －＋c2＋…＋z n －c －z －＋c2n＝z 1－z－2＋…＋z n －z－2n.答案 B8．在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[12.025,12.045]是其中一组，抽查出的个数在该组上的频率为m ，则该组上的直方图的高h 为( )A ．0.02mB ．mC ．50mD ．12.035m解析 m ＝(12.045－12.025)h ，得h ＝50m . 答案 C9．设有一个回归方程y ＝3－5x ，变量x 增加一个单位时( ) A ．y 大约增加3个单位 B ．y 大约减少5个单位 C ．y 大约增加5个单位 D ．y 大约减少3个单位解析 3－5(x ＋1)－3＋5x ＝－5. 答案 B10．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析 第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为m ，则15m＝0.3，m ＝50.答案 B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．解析 由2400160＝x 160－150，得x ＝150.12．为了了解商场某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客购鞋的尺寸，将所得的数据整理后，画出频率分布直方图(如图)．已知从左至右前3个小组的频率之比为，第4小组与第5小组的频率分别为0.175和0.075，第二小组的频数为10，则抽取的顾客人数是________．解析 前三组频率和为1－0.075－0.175＝0.75.又前三组频率之比为，所以第二组频率为26×0.75＝0.25.又知第二组频数为10，则100.25＝40(人)，即为所抽顾客人数．答案 4013．在某次考试中，要对甲、乙两同学的学习成绩进行抽样，甲同学的平均分x －甲＝76，s 2 甲＝4，乙同学的平均分x －乙＝77，s 2乙＝10，则________同学的平均成绩好，________同学各科发展均衡．解析 x －甲<x －乙，s 2甲<s 2乙. 答案 乙 甲14．某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.解析 由题意得2000＝0.19，得x ＝380，由表可知：一年级有学生750，二年级有学生750，故三年级有学生2000－750－750＝500，则642000＝m500，得m ＝16.15．从某项综合能力测试中，抽取100人的成绩统计如下表，则这100人成绩的标准差为________.解析 x －＝100＝3，s ＝ －2＋－2＋－2＋－2100＝2105. 答案2105三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前3组数据的频数之和为27.(1)求n 的值；(2)若从这n 个人中任取一个，落在第三组的频率为多少？解 (1)设第一组至第六组的样本数据的频数分别为2x,3x,4x,6x,4x ，x ，则2x ＋3x ＋4x ＝27，得x ＝3，故n ＝20x ＝60.(2)由(1)知第三组的人数为4x ＝12， 所以落在第三组的频率为1260＝15.17．(12分)奇瑞公司生产的“奇瑞”轿车是我国民族汽车品牌．该公司2010年生产的“旗云”、“风云”、“QQ ”三类经济型轿车中，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号．某月产量如下表：车20辆，“风云”轿车30辆，求x ，y 的值．解 由分层抽样的特点可知：100200＋600＋300＋y ＋x ＋1200＝20200＋600＝30300＋y 得⎩⎪⎨⎪⎧300＋y ＝1200，4000＝2300＋x ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝900，x ＝800，所以x 的值为800，y 的值为900.18．(12分)如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：(1)79.5～89.5这一组的频数、频率分别是多少？ (2)估计这次环保知识竞赛的及格率(60分及以上为及格)．解 (1)由频率分布直方图，可知79.5～89.5这一组的频率为0.025×(89.5－79.5)＝0.25.频数为n ＝60×0.25＝15.(2)由频率分布直方图，可知这次环保知识，竞赛中及格率为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75.19．(13分)对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m /s )的数据如下：解 他们的平均速度为x 甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33；x 乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33.s 2甲＝16[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝473；s 2乙＝16[(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝383.∵x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，∴应选乙参加比赛更合适．20．(13分)某车站在春运期间为了改进服务，随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称购票用时，单位为min )，下表和下图是这次调查统计分析所得到的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：(2)在表中填写出缺失的数据，并补全频率分布直方图； (3)旅客购票用的平均时间可能落在哪一组？ 解 (1)样本容量为100. (2)由100－10－10－30＝50， 1－0.10－0.50－0.30＝0.10，可知表中第三列缺失的数据为50，第四列缺失的数据为0.10， 频率分布直方图如图所示．(3)设旅客平均购票时间为t 分，则有 0×0＋5×10＋10×10＋15×50＋20×30100≤t<5×0＋10×10＋15×10＋20×50＋25×30100，得15≤t<20.故旅客购票用时的平均数可能落在第4小组． 21．(13分)现对x ，y 有如下观测数据：(1)(2)试求y 对x 的线性回归方程； (3)试估计当x ＝10时，y 的取值． 解 (1)图略．(2)可求得x －＝37，y －＝7，x 21＋x 22＋…＋x 28＝11920，x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x 8y 8＝2257. 设线性回归方程为y ＝a ＋bx ， 则b ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x 8y 8－8x －y －x 21＋x 22＋…＋x 28－8x －2＝2257－8×37×711920－8×372＝185968≈0.1911， a ＝y －－b x －＝7－0.1911×37≈－0.071. ∴线性回归方程为y ＝0.1911x －0.071.(3)当x＝10时，y＝0.1911×10－0.071＝1.84.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 解三角形双基限时练3(含解析)新人教A版必修5
双基限时练(三)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6，或5π6D.π3，或2π3解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6.答案 A2．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝( ) A ．3－ 3 B. 2 C ．2D ．3＋ 3解析 由正弦定理，知BC sin A ＝AB sin C ，∴BC ＝AB sin Asin C ＝3×226＋24＝3－ 3.答案 A3．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B 等于( ) A ．105° B ．60°C ．15°D ．105°，或15°解析 先用正弦定理求角C ，由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝10×1252＝22.又c >a ，∴C ＝45°，或135°，故B ＝105°，或15°. 答案 D4．已知三角形的三边之比为a ：b ：c ＝2：3：4，则此三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 设三边长为2a,3a,4a (a >0)，它们所对的三角形内角依次为A ，B ，C . 则cos C ＝ 2a 2＋ 3a 2－ 4a 22×2a ×3a ＝－14<0，∴C 为钝角．故该三角形为钝角三角形． 答案 B5．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( )A ．a >b sin AB ．a ＝b sin AC ．a <b sin AD ．a ≥b sin A解析 在△ABC 中，由正弦定理，知a ＝b sin A sin B，∵0<sin B ≤1，∴a ≥b sin A .答案 D6．△ABC 中，已知2A ＝B ＋C ，且a 2＝bc ，则△ABC 的形状是( ) A ．两直角边不等的直角三角形B ．顶角不等于90°，或60°的等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 解法1：由2A ＝B ＋C ，知A ＝60°.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴12＝b 2＋c 2－bc2bc∴b 2＋c 2－2bc ＝0.即(b －c )2＝0，∴b ＝c . 故△ABC 为等边三角形． 解法2：验证四个选项知C 成立． 答案 C7．在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC 的长为____________． 解析 由A ＋B ＋C ＝180°，求得B ＝60°.∴BCsin A ＝AC sin B ⇒BC ＝AC sin A sin B＝3×2232＝ 2.答案 28．△ABC 中，已知a ＝2，c ＝3，B ＝45°，则b ＝________. 解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴b ＝ 5. 答案59．在△ABC 中，a ＝23，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ，∴43＝12×23×b ×223，∴b ＝3 2.答案 3 210．在△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值．解 解方程2x 2－3x －2＝0，得x 1＝－12，x 2＝2，而cos C 为方程2x 2－3x －2＝0的一个根，∴cos C ＝－12.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝a 2＋b 2＋ab .∴c 2＝(a ＋b )2－ab＝100－ab ＝100－a (10－a )＝a 2－10a ＋100＝(a －5)2＋75≥75，∴当a ＝b ＝5时，c min ＝5 3.从而三角形周长的最小值为10＋5 3.11．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解 ∵lgsin B ＝－lg 2，∴sin B ＝22.又∵B 为锐角，∴B ＝45°.∵lg a －lg c ＝－lg 2，∴a c ＝22. 由正弦定理，得sin A sin C ＝22.即2sin(135°－C )＝2sin C .∴2(sin135°cos C －cos135°sin C )＝2sin C . ∴cos C ＝0，∴C ＝90°，∴A ＝B ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．12．a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．解 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，由正弦定理，得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，整理，得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4，∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴a＝3.(3)∵a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练2(含解析)新人教A版必修4
双基限时练(二)1．终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( ) A ．{α|α＝k π，k ∈Z }B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π2，k ∈Z C ．{α|α＝2k π，k ∈Z }D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π2，k ∈Z 解析 A 选项表示的角的终边在x 轴上；B 选项表示的角的终边在y 轴上；C 选项表示的角的终边在x 轴非负半轴上；D 选项表示的角的终边在y 轴非负半轴上，故选D.答案 D2．在半径为5 cm 的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3cm B.20π3cm C.10π3cm D.50π3cm 解析 记r ＝5，圆心角α＝23×2π＝4π3，∴l ＝|α|r ＝203π.答案 B3．将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( ) A ．－π4－8πB.74π－8π C.π4－10π D.7π4－10π 解析 ∵－1485°＝－5×360°＋315°， 又2π＝360°，315°＝74π，∴－1485°＝－5×2π＋74π＝7π4－10π.答案 D4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ为( )A ．－34πB.π4C.34π D ．－π4解析 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴θ＝－34π.又－11π4＝－4π＋5π4，∴θ＝5π4.∴使|θ|最小的θ＝－3π4.答案 A5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )A.π3B.2π3C. 3 D ．2解析 设所在圆的半径为r ，圆内接正三角形的边长为2r sin60°＝3r ，所以弧长3r 的圆心角的弧度数为3rr＝ 3.答案 C6．用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π4≤α≤π3 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π4≤α≤5π3 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋π3，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z解析 由图可知在[0,2π)内角的终边落在阴影部分时π4≤α≤5π3， ∴满足条件的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z. 答案 D7．圆的半径变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的________倍．解析 由公式θ＝l r 知，半径r 变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的2倍．答案 28．将下列弧度转化为角度： (1)π12＝________； (2)－7π8＝________；(3)13π6＝________；(4)－512π＝________.答案 (1)15° (2)－157°30′ (3)390° (4)－75°9．将下列角度化为弧度： (1)36°＝________rad ； (2)－105°＝________rad ； (3)37°30′＝________rad ； (4)－75°＝________rad. 解析 利用1°＝π180rad 计算．答案 (1)π5(2)－7π12(3)5π24(4)－5π1210．在直径为20 cm 的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为________． 解析 150°＝150×π180＝5π6，∴l ＝5π6×10＝25π3(cm)．答案 25π3cm11．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合： (1)终边落在射线OM 上； (2)终边落在直线OM 上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2 012°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6.∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }．∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53π45＋10πrad ，又5π6＜53π45＜3π2. ∴2012°＝503π45∈S .12.如图所示，动点P 、Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P 、Q 第一次相遇所用的时间及P 、Q 各自走过的弧长． 解 设P 、Q 第一次相遇时所用的时间为t 秒，则：t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4，即第一次相遇时所用的时间为4秒．P 点走过的弧长为：43π×4＝163π， Q 点走过的弧长为：8π－16π3＝8π3. 13．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋R θ＝8，12θ·R 2＝3，解得θ＝23或6.即圆心角的大小为23弧度或6弧度．(2)设扇形所在圆的半径为 x cm ，则扇形的圆心角θ＝8－2xx，于是扇形的面积是S ＝12x 2·8－2x x＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4.故当x ＝2 cm 时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝8－42＝2弧度，弦长AB ＝2 ·2sin 1＝4sin1 (cm)．即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB 等于4sin1 cm.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 数列双基限时练10(含解析)北师大版必修5
双基限时练(十)一、选择题1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( )A.5－12 B.5＋12 C.1－52D.5±12解析 由题意得，a 3＝a 1＋a 2， ∴q 2＝1＋q ，得q ＝1±52，又a n >0，∴q >0，故q ＝1＋52.即a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52. 答案 B2．公差不为0的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析 2a 3－a 27＋2a 11＝0得4a 7－a 27＝0，∴a 7＝4，或a 7＝0(舍)．∵b 7＝a 7，∴b 6b 8＝b 27＝16.答案 D3．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90解析 设公差为d ，则a 4＝a 1＋3d ，a 3＝a 1＋2d ，a 7＝a 1＋6d ，由已知得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，得2a 1＝－3d ，又S 8＝ a 1＋a 8 ×82＝32，得d ＝2.∴S 10＝ a 1＋a 10 ×102＝5(2a 1＋9d )＝5×6d ＝60.答案 C4．数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }的相邻三项，若b 2＝5，则b n ＝( )A ．5·⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1B ．5·⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1C ．3·⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1D ．3·⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1解析 由题意得a 28＝a 5·a 13.即(a 1＋7d )2＝(a 1＋4d )(a 1＋12d )，得d ＝2a 1. ∴a 8＝15a 1，a 5＝a 1＋4d ＝9a 1，q ＝15a 19a 1＝53.∴b n ＝b 2·q n －2＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －2＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1.答案 D5．数列9,99,999,9999，…的前n 项和等于( ) A ．10n－1 B.109(10n－1)－n C.109(10n－1) D.109(10n－1)＋n 解析 a n ＝10n－1，∴S n ＝10 1－10n1－10－n ＝10 10n－1 9－n .答案 B6．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，易得a 1＝－8，a 10＝1，从而a 1＋a 10＝－7；当a 4＝－2，a 7＝4时，易得a 10＝－8，a 1＝1，从而a 1＋a 10＝－7.答案 D 二、填空题7．一个等比数列，它与一个首项为0，公差不为零的等差数列相应项相加后得到新的数列1,1,2，…，则相加以后新数列的前10项和为________．解析 设{a n }为等比数列，公比为q ，数列{b n }为等差数列，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋a 1＝1，q ＋d ＝1，q 2＋2d ＝2，a 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，a 1＝0，q ＝2，d ＝－1.∴新数列的前10项的和S 10＝1－2101－2＋10×92×(－1)＝978.答案 9788．1，12，2，14，4，18，…的前2n 项的和是________．解析 S 2n ＝(1＋2＋4＋…＋2n －1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (12)＝1－2n1－2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2n－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .答案 2n－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n9．首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和为S n ，则1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝________.解析 由已知可知S n ＝2n ＋n n －12×2＝n 2＋n∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 答案nn ＋1三、解答题10．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列． 求a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值．解 ∵{a n }为等差数列，且a 1，a 3，a 9成等比数列，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1d ＝d 2，又d ≠0，∴a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.11．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n .求数列{S n }的通项公式． 解 (1)∵{a n }为等比数列，a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25.又a n >0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4.而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1. ∴q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n.(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴{b n }的前n 项和S n ＝ 4＋5－n n 2＝n 9－n2.12．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，并且满足a 3·a 6＝55，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)如果数列{a n }和数列{b n }都满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋…＋b n2n (n 为正整数)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由{a n }为等差数列，知a 2＋a 7＝a 3＋a 6＝16，由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 6＝55，a 3＋a 6＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝11，a 6＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11.又公差d >0，∴a 3＝5，a 6＝11. 由a 6＝a 3＋3d ，得d ＝2. ∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1. (2)当n ＝1时，a 1＝b 12，得b 1＝2.当n ≥2时，由a n ＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1＋b n2n ，得a n －1＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1.∴a n －a n －1＝b n2n . ∴b n ＝2n ＋1.又n ＝1时，2n ＋1＝4≠2，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝1 ，2n ＋1n ≥2 .当n ＝1时，S 1＝b 1＝2，当n ≥2时，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2＋b 2 1－2n －11－2＝2n ＋2－6，又n ＝1时，上式也成立， ∴S n ＝2n ＋2－6.思 维 探 究13．已知数列{a n }为等差数列且公差d ≠0，{a n }的部分项组成下列数列：ak 1，ak 2，…，ak n 恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k n .解 由题设有a 2k 2＝ak 1ak 3，即a 25＝a 1a 17，∴(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，∴a 1＝2d 或d ＝0(舍去)，∴a 5＝a 1＋4d ＝6d ，∴等比数列的公比q ＝ak 2ak 1＝a 5a 1＝3. 由于ak n 是等差数列的第k n 项，又是等比数列的第n 项， 故ak n ＝a 1＋(k n －1)d ＝ak 1q n －1，∴k n ＝2·3n －1－1.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练1(含解析)北师大版必修4
双基限时练(一) 周期现象一、选择题1．下列变化中不是周期现象的是( )A．春去春又回B．太阳东升西落C．天干地支表示年、月、日的时间顺序D．某同学每天放学回到家的时间解析某同学每天放学回到家的时间受各种因素的影响，一般会有少许差别，故不是周期现象．答案 D2．观察“ABCDABCDAB…”，寻找规律，则第20个字母是( )A．A B．BC．C D．D解析周期是4,20＝5×4，所以第20个字母是D.答案 D3．如下图，一个质点在平衡位置O点附近摆动，如果不计阻力，可将此摆动看作周期运动，若质点从O点开始向左摆动时开始计时，且周期为1 s，则质点第5次经过O点所需要的时间为( )A．1.5 s B．2 sC．2.5 s D．3 s解析若质点从O点开始向左摆动，则在1个周期内2次经过O点，所以5次经过O 点需要2.5个周期，又因为周期为1 s，所以需要2.5 s.答案 C4．假定现在时间是12点整，再过t小时，分针与时针第一次重合，则t＝( )A.1211B.1312C.2524D.2724解析 时针1小时转过30°，t 小时转过30t °；分针每分钟转过6°，t 小时转过(60t ×6)°，所以30t ＝60t ×6－360，解得t ＝1211.答案 A5．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2014盆花的颜色是( )A ．红B ．黄C ．紫D ．白解析 因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，所以以4为一个周期，而2014÷4＝503……2，为503个周期余2盆，所以第2014盆花为黄花．答案 B6．下图是汽油机的汽缸结构示意图，活塞在燃料的推动下往复运动的过程中，通过连杆带动曲轴做圆周运动．如果活塞每分钟往复运动2400次，则曲轴的运动周期是( )A ．1分钟B ．40秒C ．0.05秒D ．0.025秒解析 活塞往复一次，曲轴转动一圈，则曲轴的运动周期为60秒/2 400＝0.025秒． 答案 D7．2011年是兔年，那么1949年是( ) A ．牛年B ．虎年C．兔年D．龙年解析∵1949＋60＋2＝2011，∴1949年为牛年．答案 A二、填空题8．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，24节气________周期现象(填“是”或“不是”)．答案是9．下列函数图像中具有周期性的序号是________．解析抓住周期现象的特点：重复性．对于(3)，图像不重复出现，故不合题意．答案(1)(2)(4)10．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水________升．解析水车盛水是一个周期现象，由题意知，周期为5分钟，每一周期最多盛水10升×16＝160升，1小时内有12个周期，因此在1小时内有12个周期，因此在1小时内最多盛水160升×12＝1920升．答案1920三、解答题11．自行车的前轮胎上有一个标记P，则在自行车前进过程中，P点着地是否具有周期性？解当自行车匀速行驶时，就有周期性；若不是匀速行驶，就没有周期性．12．我们的心跳都是有节奏、有规律的，心脏跳动时，血压在增加或减少．下表是某人在1分钟内血压P(mmHg)与时间t(s)的对应关系表，通过表中数据来研究血压变化的规律.点图；(2)血压的变化是周期性的吗？解(1)作出血压P(mmHg)与时间t(s)的散点图．如下图：(2)由散点图可以看出，每经过15 s，血压就重复出现相同的数值，因此血压是周期性变化的．13．古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯有一次处罚学生，要他来回数戴安娜神庙的七根柱子(这七根柱子分别标有A，B，C，…，G)，一直到指出第1999个数的柱子的标号是哪一个才能停止．你能否帮助他尽快结束这个处罚？A B C D E F G1 2 3 4 5 6 713 12 11 10 9 814 15 16 17 18 1925 24 23 22 21 20… … … … … …… … … … … …解“2,3,4…1997,1998,1999”按“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”12个数字循环出现，周期是12.解法一：先去掉第一行的7个数字，由(1999－7)÷12＝166知：刚好是166个周期，所以数到1999的那根柱子的标号是G.解法二：先把1去掉，(1999－1)÷12＝166……6，第1999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，是G.。
【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修1双基限时练20
双基限时练(二十)1．若函数f (x )＝x 3(x ∈R )，则函数y ＝f (－x )在其定义域上( ) A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数解析 ∵f (x )＝x 3为奇函数． ∴y ＝f (－x )＝－f (x )＝－x 3.∴y ＝f (－x )在其定义域上单调递减且为奇函数，故选B. 答案 B2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 仅有α＝－1时，f (x )＝x －1满足题意，因此选A. 答案 A3．已知幂函数y ＝x m 在第一象限内的图象，如图所示．已知m 取2，－2，12，－12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的m 依次是( )A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析 由图象知，相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的幂依次从大到小排列，∴选B.答案 B4．函数y ＝x 53的图象大致是( )解析 由于53>1，故可排除选项A ，D.根据幂函数的性质可知，当a >1时，幂函数的图象在第一象限内下凸，故排除选项C ，只有选项B 正确．答案 B5．函数y ＝log a (2x －3)＋22的图象恒过定点P ，P 在幂函数f (x )的图象上，则f (9)＝( )A.13B. 3 C ．3D ．9解析 由log a 1＝0，对任意a >0且a ≠1都成立知，函数y ＝log a (2x－3)＋22的图象恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，设f (x )＝x α，则22＝2α，故α＝－12，所以f (x )＝x －12，所以f (9)＝9－12＝3－1＝13.答案 A6．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1234，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1534，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析 构造幂函数y ＝x 34(x ∈R )，则该函数在定义域内单调递增，知a >b ；构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，由该函数在定义域内单调递减，所以a <c ，故c >a >b .答案 D7．函数y ＝(m －1)xm 2－m为幂函数，则该函数为________(填序号)．①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数． 解析 由y ＝(m －1)xm 2－m为幂函数，得m －1＝1，即m ＝2，则该函数为y ＝x 2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．答案 ②8．给出以下列结论：①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y ＝a α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故①不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．答案 ④9．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n，则n ＝________.解析 ∵－12<－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1，或n ＝2. 答案 －1或2已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x ) (1)是幂函数； (2)是正比例函数； (3)是反比例函数； (4)是二次函数． 解 (1)∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)若f (x )是正比例函数， 则－5m －3＝1，解得m ＝－45. 此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(3)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25. (4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2， 即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.11．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β. ∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； 当x ＝1时，f (x )＝g (x )； 当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．12．已知幂函数y ＝x 3－p (p ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上为增函数，求满足条件(a ＋1) p 2 <(3－2a ) p 2的实数a 的取值范围．解 ∵幂函数y ＝x 3－p (p ∈N *)的图象关于y 轴对称，∴函数y ＝x 3－p是偶函数．又y ＝x 3－p 在(0，＋∞)上为增函数， ∴3－p 是偶数且3－p >0， ∵p ∈N *，∴p ＝1，∴不等式(a ＋1) p 2 <(3－2a ) p2化为：(a ＋1) 12<(3－2a ) 12.∵函数y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<3－2a ，a ＋1≥0，3－2a ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <23，a ≥－1，a ≤32⇒－1≤a <23，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 数列双基限时练2(含解析)北师大版必修5
双基限时练(二)一、选择题1．若数列{a n }的通项公式a n ＝3n ＋2，则数列{a n }的图像是( ) A ．一条直线 B ．一条抛物线 C ．一群孤立的点D ．一个圆解析 ∵n ∈N ＋，∴数列{a n }的图像是一群孤立的点，且这些点都在直线y ＝3x ＋2上． 答案 C2．在数列{a n }中，a n ＝3－2n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列解析 ∵a n ＋1－a n ＝3－2(n ＋1)－3＋2n ＝－2<0，∴数列{a n }为递减数列． 答案 B3．已知数列{a n }为递减数列，且a n ＝(3－2a )n ＋1，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <32B ．a >32C ．a ≤32D ．a ≥32解析 由{a n }为递减数列，知3－2a <0，即a >32.答案 B4．数列{3n 2－28n }中，各项中最小的项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项解析 对称轴n ＝286＝143＝423，∴当n ＝5时，a n 取得最小值．答案 B5．数列{a n }的通项公式是a n ＝anbn ＋1，其中a 、b 都为正实数，则a n 与a n ＋1的大小关系是( )A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 有关解析 a n ＋1－a n ＝a n ＋1b n ＋1 ＋1－anbn ＋1＝abn 2＋abn ＋an ＋a －abn 2－abn －an bn ＋1 [b n ＋1 ＋1]＝abn ＋1 [b n ＋1 ＋1].∵a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，∴a n ＋1－a n >0. 答案 B6．已知数列{－2n 2＋4an ＋3}中的数值最大的项为第6项，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫112，6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫6，132C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤112，132D ．{6}解析 由题意得，对称轴a ∈[5.5,6.5]． 答案 C 二、填空题7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n，则a 5＝________. 解析 由a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n，得a 2＝12，a 3＝121＋12＝13，a 4＝1343＝14，a 5＝1454＝15.答案 158．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，则a n ＝_______________. 解析 由a n ＋1＝a n ＋2，a 1＝1，知a 2＝3，a 3＝5，a 4＝7，…，a n ＝2n －1. 答案 2n －1 9．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )＝________. 解析 由f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，得f (n ＋1)＝1n ＋1＋1＋1n ＋1＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12 n ＋1， ∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 答案12n ＋1－12n ＋2三、解答题10．已知a n ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(a ≠0且为常数)，试判断{a n }的单调性．解 ∵a n －a n －1＝－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(n ≥2，且n ∈N ＋)，∴当a >0时，a n －a n －1<0.即a n <a n －1，数列{a n }为递减数列． 当a <0时，a n －a n －1>0，即a n >a n －1，数列{a n }是递增数列． 11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？求出最小值． 解 (1)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94当n ＝2时，a n ＝－2， 当n ＝3时，a 3＝－2， 当n ＝1时，a 1＝0， 同理，当n ＝4时，a 4＝0， 由函数的单调性可知， 当n ≥5时，a n >0，∴数列中只有a 2，a 3这两项为负数． (2)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94，知对称轴为n ＝52＝2.5，又n ∈N ＋，∴当n ＝2，或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.12．已知数列{a n }满足a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N ＋，求实数λ的取值范围． 解 ∵a n ≤a n ＋1，∴n 2＋λn －(n ＋1)2－λ(n ＋1)≤0，即λ≥－(2n ＋1)，n ∈N ＋.∴λ≥－3.∴实数λ的取值范围是[－3，＋∞)．思 维 探 究13．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n 2＋5n ＋4.(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？ (2)该数列中有负数项吗？ 解 (1)对任意n ∈N ＋， ∵a n＋1－a n ＝1n ＋1 2＋5 n ＋1 ＋4－1n 2＋5n ＋4＝－2 n ＋3[ n ＋1 2＋5 n ＋1 ＋4] n 2＋5n ＋4<0，∴数列{a n}是递减数列．(2)令a n<0，即1n＋5n＋4<0，∴n2＋5n＋4<0得(n＋4)(n＋1)<0，∴－4<n<－1. 而n∈N＋，故数列{a n}没有负数项．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 统计双基限时练8(含解析)北师大版必修3
"【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章统计双基限时练8（含解析）北师大版必修3 "一、选择题1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是( )A．正方体的棱长与表面积B．单位面积产量为常数时，土地面积与产量C．日照时间与水稻的亩产量D．电压一定时，电流与电阻解析A、B、D项均为函数关系．答案C2．下列各图形中，其中两个变量不是相关关系的是( )解析由相关关系的概念可知答案为A.答案A3．下列关系中是函数关系的是( )A．将门出虎子B．产品成本与生产数量C．球的体积与表面积D．家庭的收入与支出解析A、B、D项为相关关系，C项为函数关系．答案C4．下列两个变量具有相关关系的是( )A．凸多边形的内角和与边数B．学生的学习态度与学习成绩C．球的半径与表面积D．圆的半径与周长解析A、C、D项为函数关系．答案B5．收看电视中新闻节目与观众年龄是( )A．函数关系B．相关关系C．无任何关系D．以上答案均不对答案B6．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( )A．都可以分析出两个变量的关系B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C．都可以做出散点图D．都可以用确定的表达式表示两者的关系解析给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，但不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关或有函数关系．答案C二、填空题7．下列命题中的两个变量具有相关关系的是________．(填序号)①学生的身高与学生的数学成绩；②学生的数学成绩与外语成绩；③人的身高与体重；④正方形的面积及其边长；⑤人体内脂肪含量与人的年龄．解析①②没有必然联系，④是函数关系，只有③⑤是相关关系．答案③⑤8．2010年世博会期间，上海市某旅行社在5.1长假高峰期间接待游客人数如下表：人数与日期不具有相关关系；③根据数据作出散点图，可知日期与人数具有线性相关关系．其中正确的是________．解析画出散点图可知，只有①③正确．答案①③9．根据两个变量x，y之间的观测数据画出散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系(答是与否)________．解析因为此散点图没在一条直线附近分布，故不是相关关系．答案否三、解答题10．关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的研究中，得到如下一组数据：解以年龄作为x轴，脂肪含量(百分比)作为y轴，可得相应散点图．11．某种树木的树龄与木材体积之间有如下的对应关系：(1)(2)你能从散点图中发现树木的树龄与木材体积近似呈现什么关系吗？(3)若近似呈线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系．解(1)作出数据的散点图如下．(2)从散点图中发现树木树龄与木材体积近似呈线性关系．(3)用一条直线l来近似地表示这种线性关系．(如图所示)12．某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据：(1)(2)观察散点图，判断y与x是否具有线性相关关系．解(1)散点图如下：(2)由图知，所有数据点接近直线排列．因此认为y与x有线性相关关系．思维探究13．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：解画出散点图如图所示．由图可知y与x具有线性相关关系．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 导数及其应用双基限时练3(含解析)新人教A版选修2-2
双基限时练(三)1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴垂直 C ．与x 轴平行 D ．与x 轴平行或重合答案 D2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A. 2 B. 1 C.12D.14解析 s ′＝lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →018t ＋Δt2－18t 2Δt＝lim Δt →014t Δt ＋18Δt 2Δt＝lim Δt →0(14t ＋18Δt )＝14t .∴当t ＝2时，s ′＝12.答案 C3．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．h ′(a )<0 B ．h ′(a )>0 C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定解析 由2x ＋y ＋1＝0，得h ′(a )＝－2<0. ∴h ′(a )<0. 答案 A4．曲线y ＝9x在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°解析 k ＝y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →09x ＋Δx －9x Δx＝lim Δx →0－9x x ＋Δx ＝－9x2.∴当x ＝3时，tan α＝－1.∴α＝135°. 答案 C5．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)解析 y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx＝lim Δx →02x Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .令2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，y ＝14.故所求的点是(12，14)．答案 D6．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则过点A 的切线的斜率为________． 解析 k ＝f ′(2)＝lim Δx →0＋Δx 2－2×22Δx＝lim Δx →08Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0(8＋2Δx )＝8.答案 87．若函数f (x )在x 0处的切线的斜率为k ，则极限lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝________.解析 lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－k .答案 －k8．已知函数f (x )在区间[0,3]上图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f ′(3)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)解析 由f (x )的图象及导数的几何意义知，k 1>k 2>k 3. 答案 k 1>k 2>k 39．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程． 解 ∵f ′(1)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－1，k ＝－14.∴所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0. 10．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12.求： (1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程． 解 将P (2，－1)代入y ＝1t －x 得t ＝1，∴y ＝11－x. ∴y ′＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →011－x ＋Δx －11－xΔx＝lim Δx →01[1－x ＋Δx－x＝1－x2.(1)曲线在点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝1－2＝1； 曲线在点Q 处的切线的斜率为y ′|x ＝－1＝1[1－－2＝14. (2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14(x ＋1)，即x －4y ＋3＝0.11．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程． 解 (1)∵f ′(2)＝lim Δx →013＋Δx3－＋Δx ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－4×2＋4Δx＝0，∴直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.(2)∵抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，∴设抛物线的方程为x 2＝2py ，则－p2＝－1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .12．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 存在． 理由如下： ∵y ＝x 2＋1，∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0x ＋Δx2＋1－x 2＋Δx＝lim Δx →02x Δx ＋Δx 2Δx＝2x .设切点坐标为(t ，t 2＋1)，∵y ′＝2x ，∴切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t . 于是可得切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )． 将(1，a )代入，得a －(t 2＋1)＝2t (1－t )， 即t 2－2t ＋a －1＝0.∵切线有两条，∴方程有两个不同的解．故Δ＝4－4(a －1)>0.∴a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。
【高中数学】【名师一号】高中数学 113 导数的几何意义双基限时训练 新人教版
【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-1-3 导数的几何意义双基限时训练 新人教版选修2-21．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴垂直 C ．与x 轴平行 D ．与x 轴平行或重合答案 D2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A. 2 B. 1 C.12D.14解析 s ′＝lim Δt →0 ΔsΔt＝lim Δt →018t ＋Δt2－18t 2Δt＝lim Δt →014tΔt ＋18Δt 2Δt＝lim Δt →0(14t ＋18Δt )＝14t .∴当t ＝2时，s ′＝12.答案 C3．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．h ′(a )<0 B ．h ′(a )>0C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定解析 由2x ＋y ＋1＝0，得h ′(a )＝－2<0. ∴h ′(a )<0. 答案 A4．曲线y ＝9x在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°解析 k ＝y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →09x ＋Δx －9x Δx＝lim Δx →0－9xx ＋Δx ＝－9x2.∴当x ＝3时，tan α＝－1.∴α＝135°. 答案 C5．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)解析 y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx＝lim Δx →02xΔx ＋Δx2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .令2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，y ＝14.故所求的点是(12，14)．答案 D6．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则过点A 的切线的斜率为________． 解析 k ＝f ′(2)＝lim Δx →022＋Δx2－2×22Δx＝lim Δx →08Δx ＋2Δx 2Δx＝lim Δx →0(8＋2Δx )＝8.答案 87．若函数f (x )在x 0处的切线的斜率为k ，则极限lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝________.解析 lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－k .答案 －k8．已知函数f (x )在区间[0,3]上图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f ′(3)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)解析 由f (x )的图象及导数的几何意义知，k 1>k 2>k 3. 答案 k 1>k 2>k 39．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程． 解 ∵f ′(1)＝lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－1，k ＝－14.∴所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0. 10．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12.求： (1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程． 解 将P (2，－1)代入y ＝1t －x 得t ＝1，∴y ＝11－x. ∴y ′＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →011－x ＋Δx －11－xΔx＝lim Δx →01[1－x ＋Δx ]1－x＝11－x2.(1)曲线在点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝11－22＝1；曲线在点Q 处的切线的斜率为y ′|x ＝－1＝1[1－－1]2＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14(x ＋1)，即x －4y ＋3＝0.11．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程． 解 (1)∵f ′(2)＝lim Δx →0132＋Δx 3－42＋Δx ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－4×2＋4Δx＝0，∴直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.(2)∵抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，∴设抛物线的方程为x 2＝2py ，则－p2＝－1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .12．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 存在． 理由如下： ∵y ＝x 2＋1，∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0x ＋Δx2＋1－x 2＋1Δx＝lim Δx →02xΔx ＋Δx2Δx＝2x .设切点坐标为(t ，t 2＋1)，∵y ′＝2x ，∴切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t . 于是可得切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )． 将(1，a )代入，得a －(t 2＋1)＝2t (1－t )， 即t 2－2t ＋a －1＝0.∵切线有两条，∴方程有两个不同的解．故Δ＝4－4(a －1)>0.∴a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
2014-2015学年高中数学 第一章 统计双基限时练1(含解析)北师大版必修3
"【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章统计双基限时练1（含解析）北师大版必修3 "一、选择题1．下列调查中适宜于普查的是( )A．考察我国在2011年日本大地震中捐助的总款数B．考察国民对房价问题的看法C．考察中学生的环保意识D．考察某食品厂生产的食品质量答案A2．某校有40个班，每班50人，每班派3人参加“学代会”，这个问题中的样本容量是( )A．40 B．50C．120 D．150解析样本容量为3×40＝120.答案C3．从某班50名学生中抽取6名学生进行视力状况的统计分析，下列说法正确的是( ) A．50名学生是总体B．每个被调查的学生是个体C．抽取的6名学生的视力是一个样本D．抽取的6名学生的视力是样本容量解析由统计的知识，可知答案为C项．答案C4．为了了解某校高二学生高中学业水平考试情况，从该校1150人中选300人进行考查分析，这个问题中，300人的学业水平考试成绩是( )A．个体B．总体C．从总体中抽取的一个样本D．样本容量解析由统计的知识，可知答案为C项．答案C5．某校有12000名学生，为考查全校学生的身体状况，从中抽取600名同学进行全面体检，结果有100名同学不达标．其中样本容量是( )A．12000 B．100C．600 D．不确定解析由统计的知识，可知答案为C项．答案C6．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是( ) A．每个被抽查的学生是样本B．500名学生是总体C．抽取的60名学生的体重是一个样本D．抽取的60名学生的体重是样本总量解析由统计知识，可知答案为C项．答案C二、填空题7．某校有学生5000名，从中抽取200名进行调查，其中总体容量为________，样本容量为________．答案5000 2008．下列关于抽样调查的说法中，正确的是________(写出所有正确的编号)．①样本容量越大，估计越准确；②样本容量越小，估计越准确；③采样必须客观、公正、等可能入样；④抽样调查出来的结果与实际没有误差．解析在抽样调查中，抽样出来的结果与实际情况之间是有误差的，故④不对；为了减少误差，采样时，必须客观、公正、等可能入样，故③正确；同时为了准确地反映总体，样本容量越大，估计当然也越准确，故①正确，②不正确．答案①③9．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，学校举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩进行统计分析，结果发现有5名同学成绩突出，在此项调查中，总体为________，样本为________，总体容量为________，样本容量为________．解析该项调查中900名学生的成绩为总体，样本为抽取的50名学生的成绩，总体容量为900，样本容量为50.答案900名学生的成绩抽取的50名学生的成绩900 50三、解答题10．为了了解某市高三年级学生的体重，作如下调查：调查一：对该市高三年级全体学生的体重进行调查；调查二：对部分学生(例如1000名)的体重进行调查．(1)调查一中的调查属于哪种调查方式？(2)调查二中的调查方式属于哪种？(3)在调查二的调查中总体是什么？(4)在调查二的调查中个体是什么？(5)在调查二的调查中样本是什么？(6)在调查二的调查中样本的容量是多少？答案(1)普查．(2)抽样调查．(3)该市高三年级所有学生的体重．(4)该市高三年级每个学生的体重．(5)被调查的1000名学生的体重．(6)1000.11．假设一个总体共有4个个体，分别记为a，b，c，d，现采用不重复抽样的方法从中抽出容量为2的样本，写出全部的可能的样本．答案可能的样本有：ab，ac，ad，bc，bd，cd12．某轴承厂检验员要检验一批(10万件)轴承的质量，应如何检验？并说明其合理性．解采用抽样调查．由于要检验的轴承数量比较多，不可能每件都检验，因此在检验这批轴承时，可以抽取少量进行检验，由此来推断轴承的质量．思维探究13．判断下列调查是用普查方式，还是用抽样调查方式来收集数据的？(1)为了了解班级中每个学生穿鞋的号码，向全班同学作调查；(2)为了了解某学校高一年级学生穿鞋的号码，向所在班的全体同学作调查；(3)为了了解我们班的同学每天的睡眠时间，在每个小组中各选取2名学生作调查；(4)为了了解我们班的同学每天的睡眠时间，选取班级中学号为双数的所有学生作调查．解(1)因为调查的是班级的每个学生，所以用的是普查．(2)通过某班的全体同学穿鞋的号码来了解学校高一年级学生穿鞋的号码，这是抽样调查，样本是某班的全体同学穿鞋的号码，总体是学校高一年级学生穿鞋的号码．(3)(4)都是抽样调查，样本分别是：每小组中选取的2名学生的睡眠时间；学号为双数的所有学生的睡眠时间；总体都是我们班的同学每天的睡眠时间．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 数列双基限时练1(含解析)北师大版必修5
双基限时练(一)一、选择题1．数列3,7,13,21,31，…的通项公式是( ) A ．a n ＝4n －1 B ．a n ＝n 2＋n －2 C ．a n ＝n 2＋n ＋1 D ．不存在解析 逐个检验． 答案 C2．数列12，13，14，15，…，中的第9项为( )A.19B.110C.18D.111答案 B3．已知数列3，9，15，21，…，那么9是这个数列的第( ) A ．12项 B ．13项 C ．14项D ．15项 解析 a n 中根号内的每个数比它相邻的前一个数多6，故a n ＝3＋ n －1 6＝6n －3，令6n －3＝81，得n ＝14.答案 C4．已知数列12，23，34，45，…，n n ＋1，…，那么0.98,0.96,0.94中属于该数列中某一项值的应当有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 令0.98＝n n ＋1，得n ＝49，∴0.98是这个数列的第49项．令nn ＋1＝0.96，得n＝24，∴0.96是这个数列的第24项．令nn ＋1＝0.94，解得n ＝473∉N ＋， ∴0.94不是这个数列中的项． 答案 C5．数列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的一个通项公式a n 等于( ) A.19(10n－1) B.13(10n－1) C.13⎝⎛⎭⎪⎫1－110nD.310(10－n－1)解析 ∵0.3＝310＝13×10－110＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，0．33＝33100＝13×100－1100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102，0．333＝3331000＝13×9991000＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103，0．3333＝333310000＝13×999910000＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1104，…∴a n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .答案 C6．已知数列1,2,4,7,11,16，x,29,37，…，则x 等于( ) A ．20 B ．21 C ．22D ．23解析 ∵该数列有如下特点：2－1＝1,4－2＝2,7－4＝3,11－7＝4,16－11＝5，x －16＝6，∴x ＝22.答案 C 二、填空题7．数列1，22，34，48，…的通项公式为________；数列2，32，1，12，0，…的通项公式为________．解析 对于数列2，32，1，12，0，…可写成42，32，22，12，02，…答案 a n ＝n2n －1a n ＝5－n 28．已知数列{a n }对于任意p 、q ∈N ＋，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.解析 由a 1＝19，得a 2＝a 1＋a 1＝29，a 4＝a 2＋a 2＝49，a 8＝a 4＋a 4＝89， a 16＝2a 8＝169，a 32＝2a 16＝329， a 36＝a 32＋a 4＝329＋49＝369＝4.答案 49．数列－1，12，－13，14，…的通项公式为________；数列32，83，154，245，…的通项公式为________；数列7,77,777，…的通项公式为________．答案 a n ＝ －1 nn a n ＝ n ＋1 2－1n ＋1 a n ＝79×(10n－1)三、解答题10．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)12，16，112，120，130，…； (4)3,5,9,17,33，….解 (1)a 1＝2×1－1，a 2＝－(2×2－1)，a 3＝2×3－1，a 4＝－(2×4－1)，a 5＝2×5－1，…，∴a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)∵a 1＝12，a 2＝2＝42＝222，a 3＝92＝322，a 4＝8＝162＝422，a 5＝252＝522，…，∴a n ＝n22.(3)∵a 1＝12＝11×2，a 2＝16＝12×3，a 3＝112＝13×4，a 4＝120＝14×5，a 5＝130＝15×6，…，∴a n ＝1n n ＋1.(4)∵3＝21＋1,5＝4＋1＝22＋1,9＝8＋1＝23＋1,17＝16＋1＝24＋1,33＝32＋1＝25＋1，…，∴a n ＝2n＋1.11．已知数列{n (n ＋2)}．(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解 (1)a 8＝8×(8＋2)＝80，a 20＝20×(20＋2)＝440. (2)由n (n ＋2)＝323，得(n －17)(n ＋19)＝0， 得n ＝17，或n ＝－19(舍)．∴323是这个数列中的项，是第17项．12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n (项数)的一次函数． (1)求这个数列{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项？ 解 (1)设a n ＝an ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，17a ＋b ＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2.(2)设88为{a n }的第n 项， 则88＝4n －2，n ＝904＝452，而n ＝452∉N ＋，故88不是数列{a n }中的项．思 维 探 究13．已知数列{a n }中，a 1＝67，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n≤1，(1)求a 2，a 3，a 4； (2)求a 2015的值．解 (1)∵a 1＝67，∴a 2＝2a 1－1＝2×67－1＝57，又12<57<1，∴a 3＝2a 2－1＝107－1＝37，又0≤37<12，∴a 4＝2a 3＝67. (2)由(1)知{a n }为周期数列，且周期为3，又2015＝671×3＋2，∴a 2015＝a 2＝57.。
【高中数学】【名师一号】高中数学 131 函数的单调性与导数双基限时训练 新人
【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-3-1 函数的单调性与导数双基限时训练 新人教版选修2-21．若f (x )＝ln xx(0<a <b <e)，则有( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )·f (b )>1解析 ∵f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx2， 当x ∈(0，e)时，ln x ∈(0,1)，∴1－ln x >0，即f ′(x )>0. ∴f (x )在(0，e)上为增函数，又0<a <b <e ， ∴f (a )<f (b )． 答案 C2．若在区间(a ，b )内有f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0D ．f (x )≥0解析 由题意知f (x )在(a ，b )上为增函数，又f (a )≥0，∴在(a ，b )内恒有f (x )>0. 答案 A3．设f (x )在(a ，b )内可导，则f ′(x )<0是f (x ) 在(a ，b )内单调递减的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 f (x )在(a ，b )内有f ′(x )<0，则f (x )在(a ，b )内单调递减；反过来，f (x )在(a ，b )内单调递减，则f ′(x )≤0.∴f′(x)<0是f(x)在(a，b)内单调递减的充分不必要条件．答案 A4．设f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图象如右图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )解析分析导函数y＝f′(x)的图象可知，x<－1时，f′(x)<0.∴y＝f(x)在(－∞，－1)上为减函数；当－1<x<1时，f′(x)>0，∴y＝f(x)在(－1,1)内为增函数；当x>1时，f′(x)<0，∴y＝f(x)在(1，＋∞)上为减函数，只有B符合条件．答案 B5．设函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a)C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0解析∵f′(x)＝e x＋1>0，∴f(x)＝e x＋x－2在其定义域内是增函数．又f(a)＝0，f(1)＝e－1>0，f(0)＝－1<0，∴0<a<1.∵x>0，∴g′(x)＝1x＋2x>0，∴g(x)＝ln x＋x2－3在(0，＋∞)上为增函数，而g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，∴g(b)＝0⇒1<b<2.∴g(a)<0，f(b)>0.故g(a)<0<f(b)．答案 A6．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于________．解析∵f(x)＝x2＋2xf′(1)，∴f′(x)＝2x＋2f′(1)．∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.答案 －47．已知导函数y ＝f ′(x )的图象如下图所示，请根据图象写出原函数y ＝f (x )的递增区间是________．解析 由图象可知，当－1<x <2，或x >5时，f ′(x )>0， ∴f (x )的递增区间为(－1,2)和(5，＋∞)． 答案 (－1,2)，(5，＋∞)8．下列命题中，正确的是________．①若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对于任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )>0；②若在(a ，b )内f ′(x )存在，则f (x )必为单调函数；③若在(a ，b )内的任意x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )内是增函数；④若x ∈(a ，b )，总有f ′(x )<0，则在(a ，b )内f (x )<0.答案 ③9．已知R 上的可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )<0的解集为________．解析 由f (x )的图象可知，f ′(x )<0⇒－1<x <1；f ′(x )>0⇒x <－1或x >1. 因此(x 2－2x －3)f ′(x )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3>0，f ′x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3<0，f ′x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >3，－1<x <1，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，x <－1或x >1，即1<x <3.答案 {x |1<x <3}10．已知f (x )＝e x－ax ，求f (x )的单调区间． 解 ∵f (x )＝e x－ax .∴f ′(x )＝e x－a . 令f ′(x )≥0，得e x≥a .当a ≤0时，有f ′(x )>0在R 上恒成立； 当a >0时，有x ≥ln a . 令f ′(x )≤0，得e x≤a ， 当a >0时，x ≤ln a .综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f (x )的增区间为[ln a ，＋∞)，减区间为(－∞，ln a ]．11．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．解 函数f (x )的导数f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1，或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)上为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数．依题意应有当x ∈(1,4)时，f ′(x )<0， 当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以4≤a －1≤6，解得5≤a ≤7. 所以a 的取值范围是[5,7]． 12．设函数f (x )＝x e kx(k ≠0)．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)若函数f (x )在区间(－1,1)内单调递增，求k 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx，f ′(0)＝1，f (0)＝0， 曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x . (2)由f ′(x )＝(1＋kx )e kx＝0，得x ＝－1k(k ≠0)．若k >0，则当x ∈(－∞，－1k)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(－1k，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．若k <0，则当x ∈(－∞，－1k)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(－1k，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．(3)由(2)知，若k >0，则当且仅当－1k≤－1，即k ≤1时，函数f (x )在(－1,1)内单调递增； 若k <0，则当且仅当－1k≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1,1)内单调递增．综上可知，函数f (x )在区间(－1,1)内单调递增时，k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
【名师一号】高中数学 第一章 统计案例单元同步测试(含解析)新人教A版选修1-2
【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章统计案例单元同步测试（含解析）新人教A版选修1-2(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．两个变量x与y的回归模型中分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A．模型1的相关指数R2为0.98B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.25答案 A2．下列结论正确的是( )①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④答案 C3．下列有关线性回归的说法不正确的是( )A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C．线性回归直线得到具有代表意义的回归直线方程D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程答案 D4．预报变量的值与下列哪些因素有关( )A．受解释变量的影响与随机误差无关B．受随机误差的影响与解释变量无关C．与总偏差平方和有关与残差无关D．与解释变量和随机误差的总效应有关答案 D5．“回归”一词是研究子女身高与父母身高之间的遗传关系时由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子的身高y 与父亲的身高x的回归方程y ^＝a ＋bx 中，b ( )A ．在(－1,0)内B ．等于0C ．在(0,1)内D ．在(1,10)内解析 由题设知，b >0，且b <1. 答案 C6．为研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线l 1和l 2，两人计算知x 相同，y 也相同，下列说法正确的是( )A ．l 1与l 2重合B ．l 1与l 2平行C ．l 1与l 2交于点(x ，y )D ．无法判定l 1与l 2是否相交解析 由线性回归方程必过样本中心(x －，y －)知，应选C.答案 C7．在回归分析中，残差图中的纵坐标为( ) A ．残差 B ．样本编号 C.x D.e ^n答案 A8．身高与体重的关系可以用( )来分析( ) A ．残差分析 B ．回归分析 C ．二维条形图 D ．独立检验答案 B9．对于P (K 2>k )，当k >2.706时，就约有________的把握认为“x 与y 有关系”( ) A ．99% B ．95% C ．90% D ．以上都不对答案 C10．在2×2列联表中，两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，那么这两个比值为( )A.a a ＋b 与c c ＋d B.a c ＋d 与c a ＋b C.aa ＋d 与cb ＋cD.a b ＋d 与ca ＋c解析 由2×2列联表，二维条形图知，aa ＋b 与cc ＋d相差越大，两个分类变量有相关关系的可能性越大．答案 A11．变量x 、y 具有线性相关关系，当x 的取值为8,12,14,16时，通过观测知y 的值分别为5,8,9,11，若在实际问题中，y 的预报值最大是10，则x 的最大取值不能超过( )A ．16B ．15C ．17D ．12解析 因为x ＝16时，y ＝11；当x ＝14时，y ＝9，所以当y 的最大值为10时，x 的最大值应介于区间(14,16)内，所以选B.答案 B12．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生，得到下面列联表：A ．0.5%B ．1%C ．2%D ．5%解析 由表中数据代入公式得K 2＝－2122×178×72×228≈4.514>3.84，∴有95%的把握认为数学成绩与物理成绩有关，因此判断出错率为5%. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)13．已知一个回归方程为y ^＝1.5x ＋4.5，x ∈{1,5,7,13,19}，则y －＝________.解析 x －＝9，∴y －＝1.5×9＋4.5＝18.答案 1814．如果由一个2×2列联表中的数据计算得k ＝4.073，那么有__________的把握认为两变量有关系，已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025.解析 ∵K 2＝k ＝4.073>3.841，又P (K 2≥3.841)≈0.05， ∴有95%的把握认为两变量有关系． 答案 95%15．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查对临界值表知P (K 2≥3.918)≈0.05，对此，四名同学作出了以下的判断：p ：有95%的把握认为“能起到预防感冒的作用”；q ：如果某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； r ：这种血清预防感冒的有效率为95%； s ：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，正确结论的序号是__________．(把你认为正确的都填上) (1)p ∧綈q ；(2)綈p ∧q ；(3)(綈p ∧綈q )∧(r ∨s )；(4)(p ∨綈r )∧(綈q ∨s )．解析 由题意，K 2≈3.918，P (K 2≥3.918)≈0.05，所以只有第一位同学判断正确．即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”由真值表知(1)，(4)为真命题．答案 (1)(4)16．已知某化妆品的广告费用x (万元)与销售额y (百万元)的统计数据如下表所示：从散点图分析，y 与x 有较强的线性相关性，且y ＝0.95x ＋a ^，若投入广告费用为5万元，预计销售额为________百万元．解析 由表中数据求得x －＝2，y －＝4.5.所以a ^＝4.5－0.95×2＝2.6.所以回归方程为y ^＝0.95x ＋2.6.当x ＝5时，y ^＝0.95×5＋2.6＝7.35. 答案 7.35三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某高校调查询问了56名男女大学生在课余时间是否参加运动，得到下表所示的数据．从表中数据分析，有多大把握认为大学生的性别与参加运动之间有关系.24，c ＋d ＝28，n ＝a ＋b ＋c ＋d ＝56.则K 2＝－232×24×28×28≈4.667.因为4.667>3.841，所以有95%的把握认为大学生的性别与参加运动之间有关系．18．(12分)我校数学老师这学期分别用A 、B 两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班(人数均为60人，入学时数学平均分数和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样)．现随机抽取甲、乙两班各20名学生的数学期末考试成绩，得到茎叶图：(1)依茎叶图判断哪个班的平均分高？(2)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率；(3)学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”(参考公式：K2＝a ＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d) 解(1)甲班数学成绩集中于60～90分之间，而乙班数学成绩集中于80～100分之间，所以乙班的平均分高．(2)记成绩为86分的同学为A，B，其他不低于80分的同学为C，D，E，F，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15个．“抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)共9个．故P＝915＝35.(3)由茎叶图可得2×2列联表如下：所以K2＝13×27×20×20≈5.584>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．19．(12分)有人发现了一个有趣的现象，中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少．为了研究国籍和邮箱名称里是否含有数字的关系，他收集了124个邮箱名称，其中中国人的有70个，外国人的有54个，中国人的邮箱中有43个含数字，外国人的邮箱中有21个含数字．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)他发现在这组数据中，外国人邮箱名称里含数字的也不少，他不能断定国籍和邮箱名称里是否含有数字有无关系，你能帮他判断一下吗？解 (1)2×2列联表如下：K 2＝－270×54×64×60≈6.201.因为K 2>5.024，所以有理由认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”．20．(12分)某班5名学生的数学和物理成绩如表：(1)(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的线性回归方程； (3)一名学生的数学成绩是96分，试预测他的物理成绩． 解 (1)散点图如下图所示：(2)x －＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2.y －＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑i ＝15x i y i ＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.∑i ＝15x 2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27174. 则b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －·y－∑i ＝15x 2i －5x －2≈0.625.a ^＝y －－b ^x －＝67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y 对x 的线性回归方程是 y ^＝0.625x ＋22.05.(3)当x ＝96， 则y ^＝0.625×96＋22.05≈82. 所以预测他的物理成绩是82分．21．(12分)某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：(1)少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由？解 (1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人．概率为2450＝1225；不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率为1950.(2)由表中数据可得K 2＝－225×25×24×26＝15013≈11.5>10.828故有99.9%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系．22．(12分)研究“刹车距离”对于安全行车及分析交通事故责任都有一定的作用，所谓“刹车距离”就是指行驶中的汽车，从刹车开始到停止，由于惯性的作用而又继续向前滑行的一段距离．为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得的数据如下表：(2)观察散点图，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式； (3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m ，请推测刹车时的速度为多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？解 (1)散点图如图表示：(2)由图象，设函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将(0,0)，(10,0.3)(20,1.0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，100a ＋10b ＋c ＝0.3，400a ＋20b ＋c ＝1.0，解得a ＝0.002，b ＝0.01，c ＝0. 所以，函数的表达式为y ＝0.002x 2＋0.01x (0≤x ≤140)．经检验，表中其他各值也符合此表达式． (3)当y ＝46.5时，即0.002x 2＋0.01x ＝46.5， 所以x 2＋5x －23250＝0.解得x 1＝150，x 2＝－155(舍去)．故可推测刹车时的速度为150 km/h ，而150>140， 因此发生事故时，汽车属于超速行驶．。
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"【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 统计案例双基
限时练1（含解析）新人教A 版选修1-2 "
1．一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量，这里的解释变量是( )
A ．作物的产量
B ．施肥量
C ．试验者
D ．降雨量或其他解释产量的变量
解析 作物的产量为预报变量，故施肥量为解释变量． 答案 B
2．下列说法正确的有( ) ①回归方程适用于一切样本和总体； ②回归方程一般都有时间性；
③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围； ④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
解析 ①回归方程只适用于我们研究的样本和总体．②我们所建立的回归方程一般都有时间性．③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围．④回归方程得到的预报值是预报变量的可能取值的平均值，并非准确值，故②③正确．
答案 C
3．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y ^
＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )
A ．身高一定是145.83 cm
B ．身高在145.83 cm 以上
C ．身高在145.83 cm 以下
D ．身高在145.83 cm 左右
答案 D
4．对两个变量y 与x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不正确的是( )
A ．由样本数据得到的回归方程y ^
＝bx ＋a 必过样本中心(x ，y ) B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好
D ．若变量y 与x 之间的相关系数为r ＝－0.9362，则变量y 和x 之间具有线性相关关
系
答案 C
5．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心(4,5)，则回归直线方程为( )
A .y ^
＝1.23x ＋0.08
B .y ^
＝0.08x ＋1.23
C .y ^
＝1.23x ＋4
D .y ^
＝1.23x ＋5
解析 回归直线方程过样本点的中心，把点(4,5)代入A 项成立． 答案 A
6．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千
元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^
＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )
A ．83%
B ．72%
C ．67%
D ．66%
解析 将y ＝7.675代入回归方程，可计算得x≈9.26，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.26≈0.83，即约为83%.
答案 A
7．若施化肥量x 与水稻产量y 的回归直线方程为y ^
＝5x ＋250，当施化肥量为80kg 时，预报水稻产量为_____________________．
解析 当x ＝80 kg 时，y ^
＝5×80＋250＝650 kg . 答案 650 kg
8．在两个变量的回归分析中，作散点图的目的是①__________，②__________. 答案 判断两个变量是否线性相关 判断两个变量更近似于什么函数关系
9．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程为y ^
＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增
加________万元．
答案 0.254
10．已知方程y ^
＝0.85x －82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中
x 的单位是cm ，y ^
的单位是kg ，那么针对某个体(160,53)的残差是________．
解析 将x ＝160代入y ^
＝0.85x －82.71，得y ^
＝0.85×160－82.71＝53.29，所以残差e ^
＝
y －y ^
＝53－53.29＝－0.29.
答案 －0.29
11．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
(1)
(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^
x ＋a ^
，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？
(注：b ^＝
∑i ＝1n
x i y i －n x － y
－
∑i ＝1
n
x 2i －n x 2
，a ^
＝y －b ^
x )
解 (1)散点图如图所示．
(2)由表中数据得∑i ＝1
4
x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，
∑i ＝1
4
x 2i ＝54， ∴b ^＝0.7. ∴a ^＝1.05. ∴y ^
＝0.7x ＋1.05. 回归直线如图中所示．
(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)， ∴预测加工10个零件需要8.05小时．
12．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解 (1)由于x －
＝1
6(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
y －
＝1
6
(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，
所以a ^＝y －－b ^x －
＝80＋20×8.5＝250. 从而回归直线方程为y ^
＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x(－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2
＋330x －1000
＝－20⎝
⎛⎭⎪⎫x －3342
＋361.25，
当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．。