按频率抽取快速傅里叶变换DIF
FFT快速傅里叶变换(蝶形算法)详解概要
本章目录
直接计算DFT的问题及改进的途径 按时间抽取的基2-FFT算法 按频率抽取的基2-FFT算法 快速傅里叶逆变换(IFFT)算法 Matlab实现
2
5.1 引言
DFT在实际应用中很重要: 可以计算信号的频
谱、功率谱和线性卷积等。
直接按DFT变换进行计算，当序列长度N很
9
5.3.1 算法原理
设N＝2L，将x(n)按 n 的奇偶分为两组：
x(2r ) x1 (r )
x(2r 1) x2 (r )
r
N =0，1，…， 1 2
则
X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WNnk
n 0
N 1
n 0 n为偶数
x(n)W
N 1
x1 (r )W
r ( N 2 k ) N 2
rk x1 (r )WN 2 X 1 (k ) r 0
N 2 1
同理可得
N k ) X 2 (k ) 2
12
考虑到 及前半部分X(k)
( N 2 k ) N 2 k k WN WN WN WN
k X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k )
运算前
A(k ) X 1 (k ) X (k )
运算后
A(k )
A(k
N ) X 2 (k ) 2
k WN
N A(k N ) X (k ) 2 2
30
观察原位运算规律
31
蝶形运算两节点间的距离
蝶形运算两节点间的距离
以N=8为例： 第一级蝶形，距离为： 第二级蝶形，距离为： 第三级蝶形，距离为： 1 2 4
《快速傅里叶变换》课件
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
时间抽取的基2快速傅里叶变换FFT分析与算法实现
离散时间信号的基2快速傅里叶变换FFT （时间抽取）蝶形算法实现一、一维连续信号的傅里叶变换连续函数f(x)满足Dirichlet （狄利克雷）条件下，存在积分变换：正变换：2()()()()j ux F u f x e dx R u jI u π+∞--∞==+⎰ 反变换：2()()j ux f x F u e du π+∞-∞=⎰其中()()cos(2)R u f t ut dt π+∞-∞=⎰，()()sin(2)I u f t ut dt π+∞-∞=-⎰定义幅值、相位和能量如下：幅度：1222()()()F u R u I u ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦ 相位：()arctan(()/())u I u R u ϕ= 能量：22()()(E u R u I u =+）二、一维离散信号的傅里叶变换将连续信号对自变量进行抽样得到离散信号（理想冲击抽样脉冲），利用连续信号的傅里叶变换公式得到离散时间傅里叶变换DTFT ；再利用周期性进行频域抽样，得离散傅里叶变换DFT （详情参考任何一本《数字信号处理》教材）。
DFT 变换如下：正变换：12/0()(),0,1,2,1N j ux Nx F u f x eu N π--===-∑。
反变换：12/01()(),0,1,2,1N j ux Nu f x F u ex N Nπ-===-∑。
DFT 是信号分析与处理中的一种重要变换，因为计算机等数字设备只能存储和处理离散数据（时域、频域）。
因直接计算DFT 的计算量大（与变换区间长度N 的平方成正比，当N 较大时，计算量太大），所以在快速傅里叶变换(简称FFT)出现以前，直接用DFT 算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。
直到1965年发现了DFT 的一种快速算法（快速傅里叶变换，即FFT ）以后，情况才发生了根本的变化。
FFT 有时间抽取和频率抽取两种，下面介绍时间抽取FFT 。
三、时间抽取的基2快速傅里叶变换FFT令2j NN W eπ-=，则2jkm km NNWeπ-=称为旋转因子，把DFT 正变换改写为：1[][],0,1,1N km N k F m f k W m N -===-∑将函数记作x ，变换后为X ，则为：10[][],0,1,1N kmN k X m x k W m N -===-∑时间抽取的FFT 算法利用了旋转因子的三个性质：周期性、对称性和可约性。
快速傅里叶变换(含详细实验过程分析)
一、实验目的1、掌握FFT 算法和卷积运算的基本原理；2、掌握用C 语言编写DSP 程序的方法；3、了解利用FFT 算法在数字信号处理中的应用。
二、实验设备 1. 一台装有CCS 软件的计算机； 2. DSP 实验箱的TMS320C5410主控板； 3. DSP 硬件仿真器。
三、实验原理 （一）快速傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域变换到频域的变换形式，是信号处理的重要分析工具。
离散傅里叶变换（DFT ）是傅里叶变换在离散系统中的表示形式。
但是DFT 的计算量非常大， FFT 就是DFT 的一种快速算法, FFT 将DFT 的N 2步运算减少至 ( N/2 )log 2N 步。
离散信号x(n)的傅里叶变换可以表示为∑=-=10][)(N N nk N W n x k X ， Nj N e W /2π-=式中的W N 称为蝶形因子，利用它的对称性和周期性可以减少运算量。
一般而言，FFT 算法分为时间抽取（DIT ）和频率抽取（DIF ）两大类。
两者的区别是蝶形因子出现的位置不同，前者中蝶形因子出现在输入端，后者中出现在输出端。
本实验以时间抽取方法为例。
时间抽取FFT 是将N 点输入序列x(n) 按照偶数项和奇数项分解为偶序列和奇序列。
偶序列为：x(0), x(2), x(4),…, x(N-2)；奇序列为：x(1), x(3), x(5),…, x(N-1)。
这样x(n) 的N 点DFT 可写成：()()∑++∑=-=+-=12/0)12(12/02122)(N n kn NN n nkNW n x Wn x k X考虑到W N 的性质，即2/)2//(22/)2(2][N N j N j N W e e W ===--ππ因此有：()()∑++∑=-=-=12/02/12/02/122)(N n nkN k NN n nkN W n x WWn x k X或者写成：()()12()kN X k X k W X k =+由于X 1(k) 与X 2(k) 的周期为N/2，并且利用W N 的对称性和周期性，即：k N N k N W W -=+2/可得：()()12(/2)kN X k N X k W X k +=-对X 1(k) 与X 2(k)继续以同样的方式分解下去，就可以使一个N 点的DFT 最终用一组2点的DFT 来计算。
数字信号处理
画出蝶形流程图
x[0]
x[1]
x[2] -1
x[3]
-1
x1[0] x1[1] W40 x2[0] W41 x2[1]
X[0]
-1
W40 X[2]
X[1]
-1
W40 X[3]
二、算法特点
1. 原位计算
L级蝶形运算，每级N/2个蝶形。
2.蝶形运算距离
对N=2L点FFT，输入自然序，输出 倒位序，两节点距离：2L-n=N/2n
则
W[m] DFT w[k] DFT x1[k] jx2[k] DFT x1[k] jDFT x2[k]
X1[m] jX 2[m]
25
由x1[k] Rew[k]得
X1[m] DFT x1[k] DFT{Rew[k]} Wep[m]
1 W[m] W *[N k] 2
由x2[k] Imw[k]得
X [m] X1[m] W8m X 2 [m] m 0,1,2,3 X [m 4] X1[m] W8m X 2 [m]
其中x1[k]={1, 1, 2, 1}，x2[k]={-1, -1, 1, 2}，X1[m]和 X2[m]可通过4点的FFT来计算。
x4 [k
]
Байду номын сангаас
x1[k
]
x1[k
N
/
4]]WNk
/
2
k
0,1,...,
N 4
1
X
X 3[m] 4[m]
X
X1[2m] DFT x3[k] 1[2m 1] DFT x4[k]]
m 0,1,..., N 1 4
7
x1[0] x1[1] x1[2] x1[3]
基2FFT算法分析的介绍
快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换(FFT). 1965年，Cooley 和Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法，将DFT 的运算量减少了几个数量级。
从此，对快速傅里叶变换（FFT ）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT 的出现和发展而迅速发展。
根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT 的多种算法，基本算法是基２DIT 和基２DIF 。
FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。
快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。
DFT 的定义式为)(k X =)()(10k R W n x N N n knN∑-= 在所有复指数值knN W 的值全部已算好的情况下，要计算一个)(k X 需要N 次复数乘法和N －1次复数加法。
算出全部N 点)(k X 共需2N 次复数乘法和)1(-N N 次复数加法。
即计算量是与2N 成正比的。
FFT 的基本思想：将大点数的DFT 分解为若干个小点数DFT 的组合，从而减少运算量。
N W 因子具有以下两个特性，可使DFT 运算量尽量分解为小点数的DFT运算：（1） 周期性：k N n N kn N nN k N W W W )()(++== （2） 对称性：k N N k NW W -=+)2/(利用这两个性质，可以使DFT 运算中有些项合并，以减少乘法次数。
例子：求当N ＝4时，X(2)的值)()]3()1([)]2()0([)()]3()1([)]2()0([)3()2()1()0()()2(04240464442404324对称性－＝周期性W x x x x W x x W x x W x W x W x W x W n x X n n +++++=+++==∑=通过合并，使乘法次数由4次减少到1次，运算量减少。
第四章频率抽选DIF-FFT
WN
WN
2
0
X(6) X(1)
WN
WN
1
0
WN WN
WN
2
0
X(5) X(3)
WN WN
3
2
0
WN
0
X(7)
时间抽取算法与频率抽取算法的比较
频率抽选法和时间抽选法总的计算量是相同的 1) 频率抽选法和时间抽选法总的计算量是相同的
复乘：N log 2 N 复乘：
2
复加：N log 2 N 复加：
n = 0,1,..., N 2 − 1
x(n)
x ( n + N / 2)
n WN
x1 ( n) = x( n) + x( n + N / 2)
n x 2 ( n ) = [ x ( n ) − x ( n + N / 2 )] W N
N /2 −1 nr X (2r ) = ∑ x1 (n)WN /2 = DFT [ x1 (n)]N /2 n =0 ⇒ N /2 −1 X (2r + 1) = x2 (n)WNnr = DFT [ x2 (n)]N /2 ∑ /2 n =0
k
kn N
, k = 0,1,.....N − 1
∴ X (k ) =
N / 2−1 n= 0
∑ [x(n) + (− 1) x(n + N / 2)]W
k
kn N
, k = 0,1,..... N − 1
: ∴按k的奇偶可把X(k)分为两部分 , r = 0,1,2....N / 2 −1 令k = 2r, 及k = 2r + 1
x1 (n) = x(n) + x(n + N / 2) ⇒ n x2 (n) = [ x(n) − x(n + N / 2)] WN
快速傅立叶变换(FFT)算法_DSP实验
快速傅立叶变换(FFT)算法实验摘要：FFT（Fast Fourier Transformation），即为快速傅里叶变换，是离散傅里叶变换的快速算法，它是根据离散傅里叶变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
这种算法大大减少了变换中的运算量，使得其在数字信号处理中有了广泛的运用。
本实验主要要求掌握在CCS环境下用窗函数法设计FFT快速傅里叶的原理和方法；并且熟悉FFT快速傅里叶特性；以及通过本次试验了解各种窗函数对快速傅里叶特性的影响等。
引言：快速傅里叶变换FFT是离散傅里叶变换DFT的一种快速算法。
起初DFT的计算在数字信号处理中就非常有用，但由于计算量太大，即使采用计算机也很难对问题进行实时处理，所以并没有得到真正的运用。
1965年J.W.库利和T.W.图基提出快速傅里叶变换，采用这种算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少,特别是被变换的抽样点数N越多,FFT算法计算量的节省就越显著。
从此，对快速傅里叶变换（FFT）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT的出现和发展而迅速发展。
根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT的多种算法，基本算法是基2DIT和基2DIF。
FFT 的出现，使信号分析从时域分析向频域分析成为可能，极大地推动了信号分析在各领域的实际应用。
FFT在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。
一、 实验原理：FFT 并不是一种新的变换，它是离散傅立叶变换（DFT ）的一种快速算法。
由于我们在计算DFT 时一次复数乘法需用四次实数乘法和二次实数加法；一次复数加法则需二次实数加法。
每运算一个X （k ）需要4N 次复数乘法及2N+2（N-1）=2（2N-1）次实数加法。
所以整个DFT 运算总共需要4N^2次实数乘法和N*2(2N-1)=2N(2N-1)次实数加法。
如此一来，计算时乘法次数和加法次数都是和N^2成正比的，当N 很大时，运算量是可观的，因而需要改进对DFT 的算法减少运算速度。
快速傅里叶变换发展史（可编辑）
快速傅里叶变换发展史快速傅立叶变换(FFT)个人日记2010-04-16 12:24:48 阅读163 评论0 字号：大中小订阅近十多年来数字信号处理技术同数字计算机、大规模集成电路等先进技术一样，有了突飞猛进的发展，日新月异，已经形成了一门具有强大生命力的技术科学。
由于它本身具有一系列的优点，所以能有效地促进各工程技术领域的技术改造和学科发展，应用领域也更加广泛、深入，越来越受到人们的重视。
在数字信号处理中，离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)是常用的变换方法，它在各种数字信号处理系统中扮演着重要的角色。
傅里叶变换已有一百多年的历史了，我们知道频域分析常常比时域分析更优越，不仅简单，且易于分析复杂信号。
但用较精确的数字方法，即DFT进行谱分析，在FFT出现以前是不切实际的。
这是因为DFT计算量太大。
直到1965年出现了DFT]运算的一种快速方法以后，情况才发生了根本的变化。
快速傅里叶变换〔Fast Fourier Transfonn,FFT〕并不是与离散傅里叶变换不同的另一种变换，而是为了减少DFT计算次数的一种快速有效的算法。
当时Garwin在自己的研究中极需要一个计算傅立叶变换的快速方法，而正在写有关傅里叶变换的文章，Tukey概括地对Garwin介绍了一种方法，它实质上就是后来著名的Cooley-Tukey算法。
在Garwin的迫切要求下，1963年，IBM公司的Cooley根据Tukey的想法编写了第一个FFT算法程序。
在FFT算法中，Tukey主要利用了旋转因子的周期性和对称性。
这两个性质使DFT运算中的某些项可以合并，使DFT运算尽量分解为更少点数的DFT运算。
因为DFT的运算量与Pow(N,2)成比例，所以如果将一个大点数的DFT分解为若干个小点数的DFT 的组合，将有效地减少运算量。
Cooley在计算机上实现该算法时，为节省存储空间和减少寻址时间，采用了3维标号映射方法和在算法内部的循环结构，这些结构和技巧对后来的FFT算法研究及实现同样产生了很大影响。
程佩青_数字信号处理_经典版(第四版)_第4章_4.3按频率抽选(DIF)的基-2算法
x(7) -1
WN3
X(7)
x(0)
2点
X(0)
x(1)
DFT
X(4)
x(2)
WN0
-1
2点
X(2)
x(3)
WN2 DFT
-1
X(6)
x(4) -1
WN0
x(5) -1
WN1
2点
X(1)
DFT
X(5)
x(6) -1 x(7) -1
WN2 WN3
WN0
-1
2点
X(3)
WN2 DFT
-1
X(7)
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) -1 x(5) -1 x(6) -1 x(7) -1
例：已知x(n)={1,2,3,4}利用频域抽样流图，计算
X (k) DFT{x(k)}; DFT{X (k)}
1 x[0] 2 x[1] 3 x[2] 4 x[3]
4
6
1 W40 1
1
2
W41 j
1
2j 1
X[0] 10 X[2] 2 X[1] 2+2j X[3] 22j
DFT{x[k]}= {10, 2+2j, 2, 22j}
x(n)
x(n
N
/
2)
WNn
W nr N /2
注意括号
(4.3.3)
n0
k = 2r+1
频率抽取FFT
W n(2r1) N
WNnWN2nr
WNnWNnr2
存储单元
输入序列x(n) : N个存储单元
系数WNr：N / 2个存储单元
频率抽取FFT
N / 21
X (2r) [x(k) x(n N / 2)]WNnr/2 n0
FFT
问题的提出
解决问题的思路与方法（减少运算量的途径） 基2按时间抽取FFT算法 基2按频率抽取FFT算法 FFT算法的实际应用
1
数字信号处理中DFT运算的用处
有限长序列在数字技术中占有很重要的地位，它的一个重 要特点是其频域也可以离散化，即离散傅里叶变换(DFT) ① 在FIR滤波器设计中，经常要由h(n)求H(k)，或从H(k)求h(n)； ② 因为信号序列的DFT本身就是信号频谱的采样集，所以DFT 可以直接用于分析信号的频谱。
8
则 x(n) 的DFT为
kn X (k ) x(n) WN n 0 N 1
N / 2 1
r 0
2k r x(2r ) WN
N / 2 1
r 0
k (2 r 1) x(2r 1) WN
由于
N / 2 1
r 0
x1 (r ) W
2k r N
W
k N
N / 2 1
X 3 (k ) X 4 (k )
N / 4 1
s 0 s 0
ks x3 ( s) WN / 4 DFT x3 ( s ) , 0 k N / 4 1 ks x4 ( s) WN / 4 DFT x4 ( s ) , 0 k N / 4 1
X(0) X(1) X(2) X(3)
x1 (r )
x(4) x(6) x(1)
x2 (r )
x(3) x(5) x(7)
W
1 N
-1
X(4) X(5) X(6) X(7)
2 WN
-1
-1 -1
W
3 N
FFT算法分析
FFT算法分析FFT 算法分析FFT 算法的基本原理是把长序列的DFT 逐次分解为较短序列的DFT 。
按照抽取方式的不同可分为DIT-FFT （按时间抽取）和DIF-FFT （按频率抽取）算法。
按照蝶形运算的构成不同可分为基2、基4、基8以及任意因子（2n,n 为大于1的整数），基2、基4算法较为常用。
基2、DIT-FFT （按时间抽取）：-10/21/212(21)/21/21/2/2()() ()()(2)(21)(2)(21)N knNn knknN Nn n N N k r k r NNr n N N kr k kr N NN r n X k x n W x n W x n W x r Wx r Wx r WWx r W ===--+==--====+=++=++∑∑∑∑∑∑∑偶数奇数000令/211/2(2)()N kr N r x r WX k -==∑0，/212/2(21)()N kr N r x r WX k -=+=∑0，则有：1212()()()(/2)()()kN kNX k X k W X k X k N X k W X k =++=-蝶形运算单元如下所示：基2、DIF-FFT （按频率抽取）：-10/211/2/21/21(/2)/21/2/21/2()() ()()()(/2)[()(/2)](2)[()(/2)](21)[()(N knN n N N kn knNN n n N N N knk n N NNn n N kN kn NNn N rn N n X k x n W x n W x n W x n W x n N W x n Wx n N WX r x n x n N WX r x n x n N =--==--+==-=-===+=++=++=+++=-+∑∑∑∑∑∑∑000/21/2/2)]N n rn NN n W W-=∑0则有：12()()(/2)()[()(/2)]n Nx n x n x n N x n x n x n N W=++=-+蝶形运算单元如下所示：由前面的分析可知，DIT （按时间抽取）算法与DIF （按频率抽取）算法没有本质上的区别，只是复数加减法与旋转因子乘法的次序有区别，两种方法的运算量是一样的。
基--2按频率抽取的FFT算法Decimation-in-Frequency(DIF)
4.结论1
• 一个N点的DFT被分解为两个N/2点DFT。 X1(k),X2(k)这两个N/2点的DFT按照：
X (k ) X (2k ' ) X (2k '1) N点DFT N / 2点 N / 2点 即先求出X 1 (k ' )，X 2 (k ' ) k ' 0,1 N / 2 1 再用k 2k ' , k 2k '1分别代入 X (k ) X 1 (2k ' ) X 2 (2k '1) , k 0,1, N 1 又合成N点DFT
一利用fft计算ifft的思路1?将下列两式进行比较idftfftnwwdftwnxnxdftkxwkxnkxidftnxnknnknnknknnk?nkn算法都可以拿来运算或频率抽取抽取那么以上讨论的时间3将运算结果都除以改成运算中的每个系数只要把2111010??????????二利用fft计算ifft的思路2?利用fft计算ifft时在命名上应注意
N n nk ' X (2k '1) x(n) x(n )WN WN / 2 2 n 0 x(n)前一半序列 x(n)后一半序列
N / 2 1
N k ' 0,1, 1 2
N N n 设一个新序列：x2 (n) [ x(n) x(n )]WN , n 0,1,2 1 2 2 N / 2 1 N nk ' 则X (2k '1) x2 (n)WN / 2 X（k ' ) k ' 0,1, 1 2 2 n 0 可见：x(n)的频域X (k )的奇数部分 可以通过x2 (n)序列的DFTX（k )求得。 2 N 由于x2 (n)序列只有 点，所以其运算量降低一半。 2
快速付里叶变换FFTFastFourietTransformer
其中：
N / 21
N / 21
X1(k)
x1(r)WNrk/ 2
x(2r)WNrk/ 2
r 0
r 0
N / 21
N / 21
X
2
(k
)
r 0
x2 (r)WNrk/ 2
x(2r 1)WNrk/ 2
r 0
k 0,, N / 2 1
4.结论1
• 一种N点旳DFT被分解为两个N/2点DFT。 X1(k),X2(k)这两个N/2点旳DFT按照：
二、FFT产生故事
当初加文(Garwin)在自已旳研究中极需要一种计算 付里叶变换旳迅速措施。他注意到图基(J.W.Turkey)正 在写有关付里叶变换旳文章，所以详细问询了图基有 关计算付里叶变换旳技术知识。图基概括地对加文简 介了一种措施，它实质上就是后来旳著名旳库利 (Cooley J.W)图基算法。在加文旳迫切要求下，库利不 久设计出一种计算机程序。1965年库利--图基在<计算 数学>、Mathematic of Computation 杂志上刊登了著名 旳“机器计算付里级数旳一种算法”文章，提出一种 迅速计算DFT旳措施和计算机程序--揭开了FFT发展史 上旳第一页，促使FFT算法产生原因还有1967年至1968 年间FFT旳数字硬件制成，电子数字计算机旳条件， 使DFT旳运算大简化了。
x(n)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n
二、算法环节
1.分组，变量置换 N 1
DFT变换： X (k) x(n)WNkn k 0,, N 1 n0
先将x(n)按n旳奇偶分为两 组，作变量置换:
当n=偶数时，令n=2r;
快速傅里叶变换2
WNk H
(k)
后N/2点
12
3、计算量分析： 按奇、偶分组后的计算量
▪ 一个N/2点的DFT运算量G(k) 或 H:(k)
复乘次数: ( N )2 复N加2 次数:
2
4
▪ 两个N/2点的DFT运算量:
N ( N 1) 22
复乘次数: N 2 复加次数: ▪ 一个蝶形运算 2
N ( N 1) 2
DIT FFT属于原位运算
流图中输入‘乱序’ ，输出‘顺序’。
21
‘乱序’原因
n =0 1
n0=0（偶） n1=1
x(n2, n1, n00)
n1=0 n0=1 （奇）
n1=1
(n2)
0 x(000) 0 1 x (100) 4 0 x (010) 2 1 x (110) 6 0 x (001) 1 1 x (101) 5
0 x (011) 3 1 x (111) 7
22
‘整序’规 律 将输入序号按自然顺序排序后，用相应位数的 二进制码表示，在进行反序，即可实现输入端的乱序。
自然顺序n 二进制n2n1n0 反序二进制n0n1n2 倒位顺序n
0
000
000
0
1
001
100
4
2
010
010
2
3
011
110
6
4
100
001
x2(2l) x5(l) x2(2l 1) x6(l)
l
0,1,L
,
N 4
1
l
0,1,L
,
N 4
1
16
x1 (r ) 的DFT：
x1(r) 分解为
x1(2l) x3(l),
FFT原理
2
X 1 (k )
同理：X 2 ( k
N 2
) X 2 (k )
再利用W系数的对称性：
WN
(k
N ) 2
k WN
X (k
N
2 2 可见，一个N点的DFT被分解为前后两个N/2点的DFT，
) X 1 k WN X 2 k
k
k 0,1,
N
1
这两个N/2点的DFT再合成为一个N点DFT。
0 wN
0 wN 2 wN1
w11 N
2 w1( N 1) wN (N 1) N
x (0) (N 1) 1 x (1) wN (N 1)(N 1) wN x ( N 1)
（2）原位运算结构（同址运算）
FFT运算结构很有规律，它具有强烈的对称性， 它的所有运算都可以由左下图所示的基本运算构成。 由于运算结构规律，所以硬件实现起来简单，软件 编程方便。 FFT的蝶形运算结构很经济，它可以采用原位运 算。原位运算—— 指当数据输入到存储器中以后， 每一级运算的结果仍然储存在同 一组存储器中，直到最后输出， 中间无需其它任何存储器，称为 原位运算。
2
rk wN
2
N / 21
r 0
x (2r ) WNrk
2
N / 2 1
r 0
k x(2r 1) wN WNrk
2
故 ： k X
N / 2 1
r 0 2
x1 (r ) W rk WNk
N
N / 2 1
r 0 2
N 1
}
快速傅里叶变换FFT算法-精简版.
1 一维DFT 的快速算法—FFT当序列[]f n 的点数不超过N 时，它的N 点DFT 定义为 210[][]01N i k n Nn F k f n k N π--==≤≤-∑ （1）反变换IDFT 定义为211[][]01N i k n N k f n F k en N N π-==≤≤-∑ （2）二者形式相似，快速算法的原理一样，这里先就其正变换进行讨论。
令2/i N N W e π-=，当k 依次取为0,1,2,,1N -时，可表示为如下的方程组：0001020(11011121(1)2021222(1)(1)0(1)1(1)(1)[0][0][1][2][1][1][0][1][2][1][2][0][1][2][1][1][0][1][1]N N N N N N N N N NN N NN NN N N N N N NF f W f W f W f N W F f W f W f W f N W F f W f W f W f N W F N f W f W f N W -------⎧=++++-=++++-=++++-⎨-=+++-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩（3）由上式可见，直接按照定义计算N 点序列的N 点DFT 时，每行含N 个复乘和N 个加，从而直接按定义计算点的总计算量为2N 个复乘和2N 个加。
当N 较大时，2N 很大，计算量过大不仅耗时长，还会因字长有限而产生较大的误差，甚至造成计算结果不收敛。
所谓快速傅里叶变换就是能大大减少计算量而完成全部点计算的算法。
下面介绍两种经典的DFT 的快速算法：频域抽取的FFT 算法和时域抽取的FFT 算法。
1.1 频域抽取的基2算法1.1.1 正变换的计算这里仅介绍基2算法，即是2的整次幂的情况。
由定义10[][]01N knNn F k f n W k N -==≤≤-∑ （4）把[]f n 分成两半，即[]f n 和[/2]f n N +(0/21)n N ≤≤-，代入（4）式得/21/21(/2)[][][/2]01N Nknk n N NNn n F k f n W f n N W k N --+===++≤≤-∑∑（5）快速傅里叶变换FFT 算法及其应用由于(/2)/2(1)k n N kn kN k knN N N NW W W W +==- （5）式两项又可合并为/21[]{[](1)[/2]}01N k k nN n F k f n f n N W k N -==+-+≤≤-∑（6） 当2k r =为偶数时，注意到(1)1k -=，222/kn rn i rn N N N W W e π-==/2rnN W =，（6）式变为/21/2/21/2[2]([][/2])()()0/21N rnN n N rnN n F r f n f n N Wg n W G r r N -=-==++==≤≤-∑∑（7）当21k r =+为奇数时， (21)2(21)//2kn r n i r n N n rnN N N N W W e W W π+-+===，（6）式变为/21/2/21/20[21]{([][/2])}()()0/21N nrn N N n N rnN n F r f n f n N WW p n W P r r N -=-=+=-+==≤≤-∑∑（8）这样就把一个N 点序列（[]f n ）的N 点DFT （[]F k ）计算化成了两个/2N 点序列（[]g n 和[]p n ）的/2N 点DFT （[]G r 和[]P r ）计算。
按频率抽取的FFT算法课件
FFT算法广泛应用于信号处理、图像处理、通信、雷达、声呐等领域。
FFT算法的优缺点
• 灵活性：FFT算法可以很容易地扩展到多维和多通道数据 ，以及处理非均匀采样的信号。
FFT算法的优缺点
01
浮点运算开销
虽然FFT算法在处理大规模数据时非常高效，但在处理小规模数据时，
其浮点运算开销可能比直接计算DFT更大。
数字滤波器设计
利用FFT算法实现数字滤波器的设计和 优化，提高信号处理的性能和精度。
案例二：频谱分析
频谱测量
通过FFT算法测量信号的频谱，可 以分析信号的调制方式和参数， 以及进行频率合成和调频通信等 任务。
频谱泄露抑制
利用FFT算法实现频谱泄露抑制， 提高频谱测量的精度和分辨率。
案例三：图像处理
图像压缩
通过FFT算法对图像进行频域变换， 可以实现图像的压缩和编码，减小图 像数据的存储和传输开销。
图像滤波与去噪
利用FFT算法实现图像的滤波和去噪 ，提高图像质量和视觉效果。
05
结论与展望
FFT算法的优缺点
高效性
FFT算法在计算离散傅里叶变换（DFT）时表现出极高的效率，比直接计算DFT要快很多倍。
性能优化
优化数据结构和算法
通过改进数据结构和算法，减少不必要的计算和存储，提高算法的效率。例如，采用位运算和低级语言优化等技术可 以显著提高算法的执行速度。
并行计算
通过并行计算技术将FFT算法的计算任务分解为多个子任务，并利用多核处理器或分布式计算资源进行并行处理，从 而提高算法的执行效率。
缓存优化
实现细节
01
快速傅里叶变换（FFT）算法的基本思想是将一个长度为N的离散 傅里叶变换（DFT）问题分解为多个较小的子问题，通过递归和分
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l 0
lk lk x4 (l )WN x ( l ) W 4 N /4 /4 l 0
1
k 0,1
X (2) X 4 (0) x4 (0)W20 W20 x4 (1) x4 (0) x4 (1) 0 1 0 (6) (1) (0) (1) [ (0) (1)] X X x W W x x x W 4 4 2 2 4 4 4 N
n 0
N nk k x ( n ) ( 1) x n 2 WN
k 0,1,..., N 1
按k的奇偶将X(k)分成两部分：
k 2r k 2r 1
X (2 r )
r 0,1,..., N / 2 1
（b)2个2点的DIF蝶形流图
x3(0) x1(0) x3(1) x1(1) x1(2) x1(3) 2点DFT
X(0) X(4)
W80
W82
x4(0) x4(1) 2点DFT
X(2) X(6)
其中 x3 (0) x1 (0) x1 (2) , x3 (1) x1 (1) x1 (3)
n 0 N 1 2 nr N /2
N , r 0,1,..., 1 2
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7)
0 WN
x1(0) x1(1) x1(2) x1(3) x2(0) x2(1) x2(2) x2(3) N/2点 DFT N/2点 DFT
X1(0)=X(0) X1(1)=X(2) X1(2)=X(4) X1(3)=X(6) X2(0)=X(1) X2(1)=X(3) X2(2)=X(5) X2(3)=X(7)
-1
1 WN
-1 -1 -1
W
2 N
3 WN
N /2仍为偶数，进一步分解：N /2 N /4
N x3 ( n ) x1 ( n ) x1 ( n N / 4) n 0,1,..., 1 n 4 x ( n ) [ x ( n ) x ( n N / 4)] W 4 1 1 N /2 X 3 (k ) X 1 (2k ) DFT [ x3 ( n)] X 4 (k ) X 1 (2k 1) DFT [ x4 ( n)] N k 0,1,..., 1 4
4.3 基-2按频率抽取的FFT算法 Decimation-in-Frequency(DIF) (Sander-Tukey)
一、算法原理
• 设输入序列长度为N=2M(M为正整数，将该序 列的频域的输出序列X(k)(也是N点序列，按其 频域顺序的奇偶分解为越来越短的子序列，称 为基-2按频率抽取的FFT算法。也称为SanderTukey算法。
x5 ( n ) x2 ( n ) x2 ( n N / 4) n x ( n ) [ x ( n ) x ( n N / 4)] W 6 2 2 N /2 X 5 (k ) X 2 (2k ) DFT [ x5 ( n)] X 6 (k ) X 2 (2k 1) DFT [ x6 (n)] N n 0,1,..., 1 4
(c)另外2个2点的DIF蝶形流图
x5(0) x2(0) x5(1) x2(1) x2(2) x2(3) 2点DFT
X(1) X(5)
W80
W82
x6(0) x6(1) 2点DFT
X(3) X(7)
(3)将N/4（2点）DFT再分解成2个1点的DFT
X ( k ) x ( n )W2nk
N x n x n ( ) ( ) x5 ( L ) 2 2 N 2 同理： （ 1） ， 在 此 L 0， L 0... 1 4 [ x ( n ) x ( n N )]W n x （ ） L 2 2 6 N 2
(a)先将4点分解成2点的DIF： • 因为4点DIF还是比较麻烦，所以再继续分解。
n 0
(a)求2个一点的DFT 最后剩下两点DFT,它可分解成两个一点DFT，但一点 DFT就等于输入信号本身，所以两点DFT可用一个蝶形结 表示。取x3(0)、x3(1)为例。
1
代入上面流图可知：
X 3 (0) x (0)W20 x ( 4)W20 x (0)W20 x ( 4)W20 这里用到对称性 W
x3(0) 1点DFT X(0) X(4)
W20
x3(1) 进一步简化为蝶形流图： x3(0) X(0) 1点DFT
W20
x3(1)
X(4)
(4)一个完整N=8的按频率抽取FFT的运算流图
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) m=0 m=1 m=2 X(0) X(4) X(2) X(6) X(1)
N k 0,1,..., 1 4
逐级分解，直到2点DFT 当N=8时，即分解到x3(n)，x4(n)，x5(n)， x6(n)，n=0,1
X 3 (k )
N / 41
l 0
lk lk x3 (l )WN x ( l ) W 3 N /4 /4 l 0
1
k 0,1
X (0) X 3 (0) x3 (0)W20 W20 x3 (1) x3 (0) x3 (1) 0 1 0 (4) (1) (0) (1) [ (0) (1)] X X x W W x x x W 3 3 2 2 3 3 3 N X 4 (k )
nk N
N / 2 1
n 0
N x n W 2
N n k 2 N
N / 2 1
n 0
N Nk / 2 nk x ( n ) x n 2 WN WN
WNN / 2 1
N / 2 1
W W82 W80 W81 W82 W83 其 中 旋 转 因 子 ， 共 有 W ...W
0 N
0 8
W
0 8
W80
W80
W80
N / 2 1 N
X(5) X(3)
W82
W80
X(7)
(5)DIF的特点
(a)输入自然顺序，输出乱序且满足码位 倒置规则。 (b)根据时域、频域互换，可知： 输入乱序，输出自然顺序。
W 80 x2(n)
W82
W 83
如： x （ x (0) x ( 4), x （ ） x (1) x (5), x （ x( 2) x (6), x （ ） x (3) x (7) 1 0） 1 1 1 2） 1 3
n n x （ 0 ） [ x ( 0 ) x ( 4 )] W , x （ 1 ） [ x ( 1 ) x ( 5 )] W 2 2 N N, n n x （ 2 ） [ x ( 2 ) x ( 6 )] W , x （ 3 ） [ x ( 3 ) x ( 7 )] W 2 2 N N
二、蝶形流图表示
蝶形单元：时域中，前后半部表示式用蝶形结 表示。
x(n)
x(n) x(n N / 2) x1(n)
W
x(n+N/2)
n N
n [x(n) x(n N / 2)] WN x2 (n)
与时间抽取法的推演过程一样，由于N=2L,N/2仍为偶数，所以 可以将N/2点DFT的输出X(k)再分为偶数组和奇数组，这样就将 一个N/2点的DFT分成两个N/4点DFT的输入，也是将N/2点的 DFT的输入上、下对半分后通过蝶形运算而形成，直至最后为2 点DFT。
nk N 2 N
X 3 (1) x (0)W20 x ( 4)W21 x (0)W20 x ( 4)W20 这是一蝶形结 W ，则 W
nk N nk 1 2
W ，其中 n 0,1; k 0,1
nk 2
W20 1 W20
(b)2个1点的DFT蝶形流图
例子：求 N=23=8点DIF
（1）先按N=8-->N/2=4，做4点的DIF： N x1 (n) x(n) x(n ) 2 N n x2 (n) [ x(n) x(n )]WN 2
先将N=8, DFT分解成2个4点DFT： 可知：时域上：x(0),x(1),x(2),x(3)为前半部分 x(4),x(5),x(6),x(7)为后半部分 频域上：X(0),X(2),X(4),X(6)由x1(n)给出 X(1),X(3),X(5),X(7),由x2(n)给出
N 2 nr x ( n ) x n 2 WN
N / 2 1
n 0
N / 2 1
n 0
N nr x ( n ) x n 2 WN / 2 N n (2 r 1) x ( n ) x n 2 WN
x1(0)
x3(0) N/4点 DFT
X3(0)=X1(0)=X(0)
x1(1)
x3(1)
X3(1)=X1(2)=X(4)
x1(2)
-1
0 WN / 2 x4(0)
X4(0)=X1(1)=X(2) N/4点 DFT X4(1)=X1(3)=X(6)
x1(3)
1 WN / 2 x4(1)
-1
同理：
X (2 r 1)
N / 2 1
n 0
N / 2 1
n 0
N n nr x ( n ) x n WN WN / 2 2
令
N x1 ( n ) x ( n ) x n 2 x (n) x(n) x n N W n 2 N 2