高数公式(精简版)

高数公式集萃一、极限重要公式（1）0sin lim 1x xx→= （2）()10lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >=（4）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞=（6）lim tan 2x arc x π→−∞=−（7） （8）lim arc cot 0x x →∞=lim arc cot x x π→−∞= （9）lim 0xx e →−∞=（10） （11）lim x x e →+∞=∞0lim 1xx x +→= 二、常用等价无穷小关系（0x →）（1）sin x x （2）tan x x （3）arcsin x x （4）arctan x x （5）211cos 2x x − （6）()ln 1x x + （7） （8） （9）1x e − x a 1ln x a x − ()11x x ∂+−∂三、导数的四则运算法则（1） （2）()u v u v ′′±=±′()uv u v uv ′′′=+ （3）2u u v u v v ′′′−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠v 四、基本导数公式⑴() ⑵0c ′=1x xμμμ−= ⑶()sin cos x x ′=⑷()cos sin x x ′=− ⑸()2tan sec x x ′= ⑹()2cot csc x x ′=− x ⑼()xxe ′⑺()sec sec tan x x ′=⋅x ⑻()csc csc cot x x ′=−⋅e=⑽() ⑾()ln xxaa′=a 1ln x x ′= ⑿()1log ln x a x a′=⒀()arcsin x ′=⒁()arccos x ′= ⒂()21arctan 1x x ′=+ ⒃()21arc cot 1x x′=−+（17）′=五、微分运算法则⑴ ⑵ ⑶()d u v du dv ±=±()d cu cdu =()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠六、微分公式与微分运算法则⑴ ⑵ ⑶()0d c =()1d xxdx μμμ−=()sin cos d x xd =x x x⑷ ⑸ ⑹()cos sin d x xd =−()2tan sec d x xd =()2cot csc d x xd =−x x x ⑺ ⑻ ⑼()sec sec tan d x x xd =⋅()csc csc cot d x x xd =−⋅()xxd e e dx =⑽ ⑾()ln x x d a a adx =()1ln d x dx x =⑿()1log ln x a d dx x a=⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =−+ 七、下列常用凑微分公式八、中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =′′=−−−′=−)(F )()()()()()())(()()(ξξξ九、曲率：.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s ==′+′′==ΔΔ=′Δ′ΔΔΔ==′′+=→Δ的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。

：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：ααααα十、基本积分公式⑴ ⑵kdx kx c =+∫11x x dx c μμμ+=++∫ ⑶ln dxx c x=+∫ ⑷ln xxa a dx c a=+∫ ⑸x x e dx e c =+∫ ⑹cos sin xdx x c =+∫⑺sin cos xdx x c =−+∫⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+∫∫ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==−∫∫+⑽21arctan 1dx x c x =++∫⑾arcsin x c =+ （12）tan ln cos xdx x c =−+∫（13）cot ln sin xdx x c =∫+（14）sec ln sec tan xdx x x c =++∫ （15）csc ln csc cot xdx x x c =−∫+（16）2211arctan xdx c a x a a =+∫+ （17） 2211ln 2x adx c x a a x a−=+−+∫ （18）c （19）c =+ 十一、分部积分法公式⑴形如n axx e dx ∫，令n u x =， ax dv e dx =形如sin nx xdx ∫令n u x =，sin dv xdx =形如cos nx xdx ∫令，n u x =cos dv xdx =⑵形如arctan nx xdx ∫，令， arctan u x =n dv x dx =形如ln n x xdx ∫，令，ln u x =n dv x dx =⑶形如，sin axe xdx ∫cos ax e xdx ∫令u e 均可。

,sin ,cos axx x =十二、第二换元积分法中的三角换元公式sin x a =ttan x a t =sec x a t = 十三、定积分应用相关公式：∫∫−−==⋅=⋅=bab a dt t f a b dx x f a b y k rm m kF Ap F s F W )(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功： 十四、几种常见的微分方程*微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。

，代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x y y x y x f dxdyC x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y −=∴=++====+====+=′∫∫)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(ϕϕϕ1.可分离变量的微分方程：()()dyf xg y dx= ， ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程：dy y f dx x ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠3.一阶线性非齐次微分方程：()()dy p x y Q x dx += 解为：()()()p x dx p x dx y e Q x e dx c −⎡⎤∫∫=+⎢⎥⎣⎦∫ （1）一阶线性微分方程：)1,0()()(2))((0)(,0)()()(1)()()(≠=+∫+∫=≠∫===+∫−−n y x Q y x P dxdye C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dxdyn dxx P dx x P dxx P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：（2）全微分方程：通解。

应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y uy x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=∂∂=∂∂=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),(（3）二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dyx P dx y d（4）二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中Δ′′′=++Δ=+′+′′式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r 的形式，21r r(*)式的通解两个不相等实根)04(2>−q p x r x r e c e c y 2121+=（5）二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数；型，为常数，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+′+′′十五、空间解析几何和向量代数：。

代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u vv v vv v v v v v v v v v v v vv vv v v v v v v ⋅×==⋅×=×=⋅==×=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=−+−+−==（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+−=−+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===−=−=−+++++==++=+++==−+−+−cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y mtx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A v v十七、多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y vdx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dzz udy yu dx x u du dy y z dx x z dz −=∂∂−=∂∂=⋅−∂∂−∂∂=−==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==Δ+Δ=≈Δ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：十八、微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y −=−=−=−+−+−==⎪⎩⎪⎨⎧====−′+−′+−′′−=′−=′−⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线vv ωψϕωψϕωψϕ十九、方向导数与梯度：上的投影。