全国各地中考数学试卷解析版分类汇编二次函数专题

点（﹣ 1， 0），对称轴为直线 x=2，下列结论：
①４a+b=0；②９a+c＞ 3b；③８a+7b+2c＞ 0；④当 x＞﹣ 1 时， y 的值随 x 值的增大而增大．
其中正确的结论有（
）
A． 1 个
B． 2 个
考点： 二次函数的图象与性质．
解答： 根据抛物线的对称轴为直线
C． 3 个
D． 4 个
抛物线与 x 轴没有交点． 6. （ 2014 山东济南，第 15 题， 3 分）二次函数的图象如图，对称轴为
x 1 ．若关于 x的一
元二次方程 x2 bx t 0 （为实数）在 1 x 4 的范围内有解，则的取值范围是
y
Ｂ
1
Ｏ
4
x
A． t 1 B ． 1 t 3 C ． 1 t 8 D ． 3 t 8 【解析】由对称轴为 x 1 ，得 b 2 ，
故选 B．
点评： 此 题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图
象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程
ax2+bx+c=0
的解的方法．同时注意特殊点的运用．
8．(2014 年贵州黔东南 9．（ 3 分） ) 已知抛物线 y=x2﹣ x﹣1 与 x 轴的一个交点为（ m，0），则
数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a＞ 0 时，抛物线向上开口；当 a＜ 0 时，抛物线向下
开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置，当 a 与 b 同号时（即 ab＞ 0），
对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab＜ 0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点． 抛物线与 y 轴交于（ 0， c）；抛物线与 x 轴交点个数由△决定，△＝ b2﹣ 4ac＞ 0 时， 抛物线与 x 轴有 2 个交点；△＝ b2﹣ 4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△＝ b2﹣ 4ac＜ 0 时，
∴ a﹣ b+c=a﹣ 2a﹣8a=﹣ 9a，∴③正确；
∵抛物线和 x 轴的交点坐标是（ 2， 0）和（﹣ 4， 0），抛物线的对称轴是直线 x=﹣ 1，
∴点（﹣ 3， y 1）关于对称轴的对称点的坐标是（ （ 1， y1），
∵（， y 2）， 1＜，
∴ y 1＞ y 2，∴④正确；
即正确的有①③④，
B．根据图知对称轴为直线 x=2，即
=2，得 b=﹣4a，再根据图象知当 x=1 时， y＜ 0，
即可判断； C．由抛物线与 x 轴有两个交点，可得 b2﹣ 4ac＞ 0； D．把二次函数 y=ax2+bx+c 化为顶点式，再求出平移后的解析式即可判断． 解答： A．由开口向下，可得 a＜ 0；又由抛物线与 y 轴交于负半轴，可得 c＜ 0，然后由 对称轴在 y 轴右侧，得到 b 与 a 异号，则可得 b＞ 0，故得 abc＞0，故本选项错误；
a 不变，所
以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移
后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解
析式．
2. （2014?四川巴中，第 10 题 3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，则下列叙述正
确的是（
）
A． abc＜ 0
正，即 a+b+c＞ 0，则 b＜ a+c，故②选项正确； 把 x=2 代入 y=ax2+bx+c 得： y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当 x=2 时，二次函数的值为负，
即 4a+2b+c＜ 0，故③选项错误； 由抛物线与 x 轴有两个交点可以看出方程
ax2+bx+c=0 的根的判别式 b2﹣ 4ac＞ 0，故④Ｄ 选项
x=﹣ =2，则有 4a+b=0；观察函数图象得到当 x=﹣3
时，函数值小于 0，则 9a﹣3b+c＜ 0，即 9a+c＜ 3b；由于 x=﹣ 1 时， y=0，则 a﹣ b+c=0， 易得 c=﹣ 5a，所以 8a+7b+2c=8a﹣ 28a﹣ 10a=﹣ 30a，再根据抛物线开口向下得 a＜ 0，于 是有 8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线 x=2，根据二次函数的性质得到当 x＞ 2 时， y 随 x 的增大而减小．
B．根据图知对称轴为直线 x=2，即
=2，得 b=﹣ 4a，再根据图象知当 x=1 时，y=a+b+c=a
﹣ 4a+c=﹣ 3a+c＜0，故本选项正确； C．由抛物线与 x 轴有两个交点，可得 b2﹣ 4ac＞ 0，故本选项错误；
D．y=ax2+bx+c=
，∵
=2，∴原式 =
，
向左平移 2 个单位后所得到抛物线的解析式为
，故本选项错误； 故选：
B．
点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数
y=ax2+bx+c（ a≠0）系数符号
由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定． 3. （2014?山东威海，第 11 题 3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列
B． ﹣ 3a+c＜ 0 C． b2﹣ 4ac≥０
D． 将该函数图象向左平移 2 个单位后所得到抛物线的解析式为
考点： 二次函数的图象和符号特征．
y=ax2+c
分析： A．由开口向下，可得 a＜ 0；又由抛物线与 y 轴交于负半轴，可得 c＜ 0，然后由 对称轴在 y 轴右侧，得到 b 与 a 异号，则可得 b＞ 0，故得 abc＞0．
（ a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与
y 轴的
交点抛物线与 x 轴交点的个数确定． 4. （2014?山东枣庄， 第 11 题 3 分）已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的 x 、y 的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
2
3
y
5
1
﹣1
﹣1
1
则该二次函数图象的对称轴为（
）
A． y 轴
B． 直 线 x=
x=﹣ 1 对应的函数值为 y=a﹣ b+c，又 x=﹣1 时函数取得最小值， ∴ a﹣b+c＜ am2+bm+c，即 a﹣ b＜ am2 +bm，
∵ b=2a， ∴ am2+bm+a＞ 0（m≠﹣ 1）．故④正确．
点评：
故选： C． 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数
y=ax2+bx+c
根据抛物线与 x 轴交点的个数及 x=﹣ 1 时， x=2 时二次函数的值的情况进行推理，进而对所
得结论进行判断．
解答： 解：由二次函数的图象开口向上可得 a＞ 0，根据二次函数的图象与 y 轴交于正半轴
知： c＞0，由对称轴直线 x=2，可得出 b 与 a 异号，即 b＜ 0，则 abc ＜ 0，故①正确； 把 x=﹣1 代入 y=ax2+bx+c 得： y=a﹣ b+c，由函数图象可以看出当 x=﹣ 1 时，二次函数的值为
说法： ① c=0；②该抛物线的对称轴是直线
x=﹣ 1；③当 x=1 时， y=2a；④ am2+bm+a＞ 0（ m≠﹣ 1）．
其中正确的个数是（ ）
A． 1 考点 ： 分析：
解答：
B． 2
C． 3
D． 4
二次函数图象与系数的关系．
由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系， 然后根据对称轴及抛
C． 直 线 x=2
D． 直 线 x=
考点 ：
二次函数的性质
分析：
由于 x=1、 2 时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式
计算即可得解．
解答：
解：∵ x=1 和 2 时的函数值都是﹣ 1，
∴对称轴为直线 x= =．
故选 D．
点评：
本题考查了二次函数的性质， 主要利用了二次函数的对称性，比
较简单． 5. （ 2014?山东烟台，第 11 题 3 分）二次函数 y=ax2+bx+c（ a≠0）的部分图象如图，图象过
2
∴ m﹣ m﹣1=0， 解得 m2 ﹣m=1． ∴ m2﹣ m+2014=1+2014=2015．
m， 0），
故选： D．
点评： 本题考查了抛物线与 x 轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减
少了计算量． 9. (2014 年贵州黔东南 9．（ 4 分） ) 如图，已知二次函数 y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所
∵抛物线开口向下，∴ a＜0，∴８a+7b+2c＞ 0，所以③正确；
∵对称轴为直线 x=2，
∴当﹣ 1＜ x＜ 2 时，y 的值随 x 值的增大而增大，当 x＞ 2 时， y 随 x 的增大而减小，所以
④错误．故选 B．
点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数
y=ax2+bx+c（ a≠0），二次项系
∵抛物线的对称轴是直线 x=﹣ 1，和 x 轴的一个交点是（ 2， 0），
∴抛物线和 x 轴的另一个交点是（﹣ 4， 0），
∴把 x=﹣2 代入得： y=4a ﹣2b+c＞ 0，∴②错误；
∵图象过点（ 2， 0），代入抛物线的解析式得： 4a+2b+c=0 ，
又∵ b=2a，
∴ c=﹣ 4a﹣ 2b=﹣ 8a，