初三数学方程专题复习题
九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】
解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解下列方程：（1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x（3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x2、用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－（3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝3、用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x（3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x4、运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x（3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x5、用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－（3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x6、用适当方法解下列方程：（1） 22(3)5x x -+= （2） 230x ++=（3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x7、 解下列关于x 的方程:(1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7=(3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =08、解下列方程（12分）（1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0（3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：3(x -5)2=2(5-x )9、用适当方法解下列方程：（1）0)14(＝－x x （2）027122＝＋＋x x（3）562＋＝x x （4）45)45(＋＝＋x x x（5）x x 314542＝－ （6）0242232＝－＋－x x（7）12)1)(8(＝－＋＋x x （8）14)3)(23(＋＝＋＋x x x解一元二次方程专项练习题 答案1、【答案】（1）116±－； （2） 142±－； （3） 523±； （4） 51± 2、【答案】（1）11＝x ，612＝x （2）31＝x ，562＝－x（3）41＝x ，4132＝－x （4）5211±－＝x3、【答案】 （1） 4179±＝x （2） 3121＝－＝x x （3） 411＝x ，432＝－x （4）262±＝x4、【答案】 (1) x 1=561,5612--=+-x (2). x 1=－3+7,x 2=－3－7（3）21＝x ，312＝－x （4）61311±＝x 5、【答案】（1）3121＝－＝x x （2）11＝x ，322＝－x（3）231＝－x ，212＝x （4）31＝x ，92＝x6、【答案】（1）11＝x ，22＝x （2）321＝－＝x x （3）4,3521==x x ； （4）3,221-==x x7、【答案】(1)x =－1±3; (2)x 1=1，x 2=－37(3)x 1=2，x 2=－4; (4)25.x 1=x 2=－2 8、【答案】解：（1） 1,321-==x x （2）32,3221-=+=x x（3）3105,310521--=+-=x x （4）313,521==x x 。
【专题复习】九年级数学上册 一元二次方程解法练习100题(含答案)
【专题复习】九年级数学上册一元二次方程解法练习100题1.解方程：2x2﹣8x+3=0(用公式法)． 2.解方程：(2x-1)(x＋3)=43.解方程：4y2＋4y-1=-10-8y.4.解方程：x(x-3)=105.解方程：(x-1)(x-3)=86.解方程：x2-2=-2 x7.解方程：4x(3x-2)=6x-4. 8.解方程：3x(7-x)=18-x(3x-15)；9.解方程：5x2-8x+2=0. 10.解方程：x2+12x+27=0．11.解方程：2x2-4x+1=0(用配方法) 12.解方程：4(x-1)2=9(x-5)2 13.解方程：x2﹣6=﹣2(x+1) 14.解方程：x2+4x﹣5=0．15.解方程：2x2+5x﹣1=0．16.解方程：3(x-2)2=x(x-2)：17.解方程：2x2-3x-2=0 18.解方程：2x2-7x+1=019.解方程：x2﹣6x﹣4=0(用配方法) 20.解方程：x2-4x-3=021.解方程：x²-5x+2=0 22.解方程：x2﹣4x+8=0；23.解方程：3x2-6x+4=0 24.解方程：(x-2)(x-3)=1225.解方程：(x﹣3)(x+7)=﹣9 26.解方程：3x2+5(2x+1)=0(公式法) 27.解方程：x2﹣12x﹣4=0；28.解方程：(x﹣5)(x﹣6)=x﹣5．29.解方程：x2﹣8x﹣10=0；30.解方程：x(x﹣3)=15﹣5x；31.解方程：5x(x﹣3)=(x+1)(x﹣3) 32.解方程：x2+8x+15=033.解方程：25x2+10x+1=0 34.解方程：x2﹣7=﹣6x．(配方法)35.解方程：x2+4x﹣5=0(配方法) 36.解方程：4(x+3)2﹣(x﹣2)2=0(因式分解法)37.解方程：2x2+8x﹣1=0(公式法) 38.解方程：2x2-4x-1=0.39.解方程：(2x﹣5)2﹣(x+4)2=0．40.解方程:(x+1)(x﹣2)=2x(x﹣2) 41.解方程:4x2﹣6x﹣3=0(运用公式法) 42.解方程:2x2﹣x﹣3=0．43.解方程:(x+3)(x-1)=12 44.解方程:x2+3=3(x+1)45.解方程:x2-2x-24=0. 46.解方程:4x2-7x＋2=0.47.解方程:x2-2x=2x＋1；48.解方程:2(t-1)2＋t=1；49.解方程:(3x-1)2-4(2x＋3)2=0. 50.解方程:x2-6x-4=0；51.解方程:x(x﹣3)=4x+6．52.解方程:y2＋3y＋1=0；53.解方程:3y2＋4y-4=0 54.解方程:(x-3)2-2x(x-3)=055.解方程:x2﹣2x=4 56.解方程:3(x﹣1)2=x(x﹣1) 57.解方程:3x2﹣6x+1=0(用配方法) 58.解方程:3(x-5)2=2(5-x) 59.解方程:3x2+5(2x+1)=0 60.解方程:x2+6x=9．61.解方程：x2﹣2x=x﹣2．62.解方程：(2x﹣1)2=(3﹣x)2 63.解方程:2x2-10x=3. 64.解方程:(x﹣1)(x﹣3)=8．65.解方程:3x2＋2x-5=0；66.解方程:(1-2x)2=x2-6x＋9.67.解方程:5(3x-2)2=4x(2-3x)．68.解方程:(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋3=0.69.解方程:2x2＋3=7x; 70.解方程:(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋3=0.71.解方程:x2﹣2x﹣3=0．72.解方程:x﹣3=4(x﹣3)273.解方程:(x＋1)(x-1)=2x；74.解方程:3x2-7x＋4=0.75.解方程：(x+2)2﹣10(x+2)=0．76.解方程:x2＋3x＋2=0；77.解方程:(x-1)2-2(x2-1)=0 78.解方程:x2-4x＋2=0;79.解方程:x2﹣5x+1=0；80.解方程：x2﹣2x=4．81.解方程:x2+3x-2=0. 82.解方程:x2-5x+1=0（用配方法）83.解方程:x2+5x﹣6=0（因式分解法） 84.解方程：x2+3x﹣4=0（公式法）85.解方程:x2﹣4x+1=0（配方法） 86.解方程:(x﹣5)2=16 （直接开平方法）87.解方程:(x﹣1)(x+2)=6． 88.解方程:2x2+3x+1=089.解方程：（3x+1）2=9x+3． 90.解方程：5x2﹣3x=x+191.解方程：(x﹣4)2=(5﹣2x)2． 92. 解方程:(2x+1)2+15=8(2x+1)93.解方程：x2+x﹣1=0． 94.解方程：2x2﹣3x﹣1=0．95.解方程:x2-2x-3=0 96.解方程:3x2－7x＋4=0.97.解方程:(x+3)(x-1)=12 98.解方程:x2-x-6=099.解方程:2x2﹣4x=1（用配方法） 100.解方程:(x+8)(x+1)=-12参考答案1.答案为：x=，x2=．12.答案为：x=1,x2=-3.5.13.答案为：y=y2=-1.5.14.答案为：x=5,x2=-2.15.答案为：x=5,x2=-1.16.答案为：∴，7.答案为：x=1/2,x2=-2/3.18.答案为：x=39.答案为：10.答案为：x=-3,x2=-9.111.答案为：12.答案为：x=13,x2=-3.4.113.答案为：x=﹣1+，x2=﹣1﹣．114.答案为：x=1，x2=﹣5．115.答案为：x=．16.答案为：x=2,x2=3.117.答案为：x=-0.5,x2=-2.118.答案为：；19.答案为：x=-3+,x2=-3-120.答案为：x=2721.答案为：略；22.答案为：x=x2=2；123.方程无实根；24.答案为：x=-1,x2=6. ；125.答案为：x=﹣6，x2=2；126.答案为：∴x1=，x2=．27.答案为：x=6+2，x2=6﹣2；128.答案为：x=5，x2=7．129.答案为：x=4+，x2=4﹣；130.答案为：x=3，x2=﹣5131.答案为：x=3，x2=0.25．132.答案为：x=-3,x2=-5.133.答案为：x=x2=-0.2.134.答案为：x=1，x2=﹣7．135.答案为：x=﹣5，x2=1；136.答案为：x=﹣4/3，x2=﹣8；137.答案为：x=，x2=．138.答案为：x=＋1，x2=1-139.答案为：x=1/3，x2=9．140.答案为：x=2，x2=1．141.答案为：，；42.答案为：x=1.5，x2=﹣1．143.答案为：44.答案略；45.答案为：x=0，x2=3；146.答案为：x=＋，x2=-.147.答案为：x=2＋，x2=2-.148.答案为：t=1，t2=.149.答案为：x=-，x2=-7.150.答案为：x=3＋，x2=3-.151.答案为：x=，x2=．152.答案为：y=，y2=.153.答案为：54.答案为：x=3,x2=-3;155.答案为：∴x=1﹣，x2=1+；156.答案为：x=1，x2=1.5．157.答案为：x=1+，x2=1﹣；158.答案为：x=5，x2=13/3.159.答案为：60.答案为：x=﹣3+3，x2=﹣3﹣3．161.答案为：x=2，x2=1．162.答案为：63.答案为：x 1=，x 2=. 64.答案为：x 1=5，x 2=﹣1． 65.答案为：x 1=1，x 2=-. 66.答案为：x 1=，x 2=-2. 67.答案为：x 1=，x 2=.68.答案为：x 1=-1，x 2=-2.69.答案为：x 1=，x 2=3.70.答案为：x 1=-1，x 2=-2.71.答案为：x 1=3，x 2=﹣1．72.答案为：x 1=3，x 2=3.25；73.答案为：x 1=＋，x 2=-74.答案为：x 1=，x 2=1 75.答案为：x 1=﹣2，x 2=8．76.答案为：x 1=-1，x 2=2.77.答案为：x 1=1，x 2=3.78.答案为：x 1=22 ，x 2=2-2. 79.答案为： 80.答案为：x 1=1+，x 2=1﹣．81.∵a=1,b=3,c=-2,∴Δ=32-4×1×(-2)=17,∴x=,∴x 1=,x 2=.82.答案为：，.83.x1=﹣6，x2=1．84.答案为：x=﹣4，x2=1；185.；86.x=1，x2=9；187.x=，x2=．188.x1=﹣0.5，x2=﹣1；89.x1=﹣，x2=．90.x=﹣0.2，x2=1；191.x=3，x2=1．192.x=1，x2=2．193.x=，x2=．194.x=，x2=．195.96.解：(3)x＝，x2＝1197.98.99.x=1+，x2=1﹣．1100.1=﹣4，x2=﹣5．。
初三数学方程式练习题目精选
初三数学方程式练习题目精选1. 解下列方程：(1) 3x - 5 = 10(2) 2(5x + 3) = 26(3) -4(x + 2) - 3 = 5 - 6x2. 某数的一半加上5等于该数的四分之一减去3，求这个数是多少？3. 解方程10 - x = 2(x + 3)。
4. 某数减去8的两倍等于该数加上10的三倍，求这个数是多少？5. 一直线上有两个整数标志，离它们的距离为16，两个整数标志的和是53，求这两个整数是多少？6. 一桶水果有30个，有苹果、橙子和香蕉三种水果，若苹果的个数是橙子个数的3倍，香蕉个数是橙子个数的2倍，求苹果、橙子和香蕉各有多少个？7. 解方程(2x + 1)(3 - 2x) = 2x + 9。
8. 解方程-3(2x - 1) + 4x = 2(3x + 5) - 8。
9. 某数减去它的三分之一再加12等于该数的两倍，求这个数是多少？10. 宁宁买了一些图书，每本10元，若多付1元，则可少买1本，若少付1元，则可多买1本。
求宁宁购买的图书本数和要付多少钱？11. 解方程2(x - 1) + 5 = 3(x + 2) - 4。
12. 解方程2(x - 1) + 3(2x + 1) = 13。
13. 解方程2(3x - 4) = 5(2x + 3) - 7x。
14. 解方程2(3 - x) = 4 - (5 + 2x)。
15. 一辆车以时速60公里从A地出发，一小时后，另一辆车从A地出发，以75公里的时速追赶前一辆车，在追赶了多长时间后，两车相遇？这些题目将帮助你熟练掌握解一元一次方程的方法和技巧。
通过反复练习，相信你的数学功底会得到极大提升。
在解答问题时，要注意仔细分析每道题目给出的条件，并采用合适的方法进行求解。
考虑到字数要求，这里提供了一些题目，希望对你的学习有所帮助。
祝你取得良好的成绩！。
初三下册数学方程式练习题
初三下册数学方程式练习题1. 问题解析本文旨在提供初三下册数学方程式的练习题，以帮助学生加强对方程式的理解和应用能力。
通过解答一系列的习题，学生可以巩固知识，提升技能，为即将到来的考试做好准备。
2. 一元一次方程2.1 解方程1) 解方程2x + 3 = 7。
2) 解方程5 - 3x = 2x + 11。
3) 解方程4(2x - 1) = 18。
2.2 应用1) 解决这个等式：3a - 4 = 5。
2) 空室利用率为0.8，计算房间总数x。
已知有3个房间没人住。
3) 父亲今年的年龄是儿子的3倍，父亲的年龄是y。
儿子的年龄是多少？3. 一元二次方程3.1 解方程1) 解方程x^2 + 3x - 4 = 0。
2) 解方程2x^2 - 5x + 2 = 0。
3) 解方程x^2 + 5x + 6 = 0。
3.2 应用1) 某物体从高度为h的位置自由下落，落地时速度为0。
求落地时间t。
2) 在一辆汽车的制动距离公式中，已知制动距离S和初速度v，求加速度a。
3) 将一个矩形花坛围墙的两边加起来等于30米，矩形的长比宽多2米，求矩形的长和宽。
4. 一元一次不等式4.1 解不等式1) 解不等式2x - 5 > 3。
2) 解不等式3 - 2x < 7。
3) 解不等式4x + 6 ≤ 22。
4.2 应用1) 一家商场打折促销，已知商品原价x元，现促销价为80元，求最低原价。
2) 在一个长方形花坛的一侧种植花草，规定花坛的最大周长为50米，求花坛的最大面积。
3) 小明的生日在第x天，根据规定，小明生日当天要放烟花，求可能的最早和最晚日期。
5. 四则运算方程5.1 解方程1) 解方程3x + 4 = 7 - 2x。
2) 解方程2(x + 3) - 5(2x - 1) = 4(x + 2) - 10。
5.2 应用1) 某公司购进x台电脑，每台成本为C元，总成本为30000元，求每台电脑的成本。
2) A、B两地相距250千米，从A地出发两车同时向B地驶去，甲车速度v1千米/小时，乙车速度v2千米/小时。
专题复习】九年级数学上册 一元二次方程解法练习100题(含答案)
专题复习】九年级数学上册一元二次方程解法练习100题(含答案)1.解方程：$2x^2-8x+3=0$，使用公式法。
2.解方程：$(2x-1)(x+3)=43$。
3.解方程：$4y^2+4y-1=-10-8y$。
4.解方程：$(x-1)(x-3)=8$。
5.解方程：$5x^2-8x+2=0$。
6.解方程：$x(x-3)=10$。
7.解方程：$x^2-2=-2x$。
8.解方程：$3x(7-x)=18-x(3x-15)$。
9.解方程：$4x(3x-2)=6x-4$。
10.解方程：$x^2+12x+27=0$。
11.解方程：$2x^2-4x+1=0$，使用配方法。
12.解方程：$4(x-1)^2=9(x-5)$。
13.解方程：$x^2-6=-2(x+1)$。
14.解方程：$x^2+4x-5=0$。
15.解方程：$2x^2+5x-1=0$。
16.解方程：$3(x-2)^2=x(x-2)$。
17.解方程：$2x^2-3x-2=0$。
18.解方程：$2x^2-7x+1=0$。
19.解方程：$x^2-6x-4=0$，使用配方法。
20.解方程：$x^2-4x-3=0$。
21.解方程：$x^2-5x+2=0$。
22.解方程：$x^2-4x+8=0$。
23.解方程：$3x^2-6x+4=0$。
24.解方程：$(x-2)(x-3)=12$。
25.解方程：$(x-3)(x+7)=-9$。
26.解方程：$3x^2+5(2x+1)=0$，使用公式法。
27.解方程：$x^2-12x-4=0$。
28.解方程：$(x-5)(x-6)=x-5$。
29.解方程：$x^2-8x-10=0$。
30.解方程：$x(x-3)=15-5x$。
31.解方程：$5x(x-3)=(x+1)(x-3)$。
32.解方程：$x^2+8x+15=0$。
33.解方程：$25x^2+10x+1=0$。
34.解方程：$x^2+6x-7=0$，使用配方法。
35.解方程：$x^2+4x-5=0$，使用配方法。
中考数学复习专题综合过关检测—分式方程及应用(含解析)
中考数学复习专题综合过关检测—分式方程及应用（含解析）（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．（2023•天涯区一模）把分式方程﹣＝1化为整式方程正确的是（）A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2【答案】D【解答】解：方程变形得：+＝1，去分母得：1+（1﹣x）＝x﹣2，故选：D．2．（宝应县二模）初三（1）班在今年的植树节领有平均每人植树6棵的任务，如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成，每人应植树的棵数为（）A．9B．10C．12D．14【答案】B【解答】解：设单独由男生完成，每人应植树x棵．那么根据题意可得出方程：，解得：x＝10．检验得x＝10是方程的解．因此单独由男生完成，每人应植树10棵．故选：B．3．（2023•邵阳县一模）分式方程＝的解是（）A．x＝3B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝﹣3【答案】D【解答】解：去分母得，3（x+1）＝2x，去括号得，3x+3＝2x，移项得，x＝﹣3，检验：把x＝﹣3代入x（x+1）＝﹣3（﹣3+1）＝6≠0，∴x＝﹣3是原方程的解，故选：D．4．（2023•武威三模）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可得，＝2，故选：A．5．（2023•龙江县校级三模）若关于x的分式方程无解，则a的值为（）A．0B．1C．﹣1或0D．0或1【答案】D【解答】解：，方程两边同时乘以x﹣2，得1﹣a＝2ax﹣4a，移项、合并同类项，得2ax ＝3a +1，∵方程无解，∴2a ＝0或＝2，解得a ＝0或a ＝1．故选：D ．6．（2023•环翠区一模）若关于x 的分式方程﹣1＝有增根，则a 的值为（）A ．﹣3B ．3C ．2D ．﹣【答案】A【解答】解：方程两边都乘以（x ﹣2）得：6﹣（x ﹣2）＝﹣ax ，解得：x ＝，∵方程有增根，∴x ﹣2＝0，∴x ＝2，∴＝2，解得：a ＝﹣3．故选：A ．7．（2023•东港区校级三模）某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的a 元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买口罩x 包，则依题意列方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解答】解：设原计划购买口罩x 包，则实际购买口罩（x +5）包，依题意得：＝+2．故选：B．8．（2023•吴桥县校级模拟）“若关于x 的方程无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：尖尖：去分母得：ax＝12+3x﹣9，移项得：ax﹣3x＝12﹣9，合并同类项得：（a﹣3）x＝3，∵原方程无解，∴a﹣3＝0，∴a＝3．丹丹：去分母得：ax＝12+3x﹣9，移项，合并同类项得：（a﹣3）x＝3，解得：x＝，∵原方程无解，∴x为增根，∴3x﹣9＝0，解得x＝3，∴＝3，解得a＝4．下列说法正确的是（）A．尖尖对，丹丹错B．尖尖错，丹丹对C．两人都错D．两人的答案合起来才对【答案】D【解答】解：去分母得：ax＝12+3x﹣9，移项，合并同类项得：（a﹣3）x＝3，∵原方程无解，∴x为增根或a﹣3＝0，当3x﹣9＝0，解得x＝3，此时＝3，解得a＝4；当a﹣3＝0，解得a＝3；综上所述：a的值为3或4，故选：D．9．（2023•义乌市模拟）若分式的值为1，则x的值是（）A．5B．4C．3D．1【答案】A【解答】解：根据题意得：＝1，去分母得：x﹣2＝3，解得：x＝5，检验：把x＝5代入得：x﹣2≠0，∴分式方程的解为x＝5．故选：A．10．（2023•黄埔区校级二模）在正数范围内定义一种运算“※”，其规定则为a※b＝，如2※4＝，根据这个规则，则方程3※（x+1）＝1的解为（）A．B．1C．﹣1D．﹣【答案】A【解答】解：由题意得：3※（x+1）＝．∵3※（x+1）＝1，∴．∴x+1+3＝3（x+1）．∴x+4＝3x+3．∴﹣2x＝﹣1．∴x＝．当x＝时，3（x+1）≠0．∴这个方程的解为x＝．故选：A．二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）11．（2023•柳州三模）分式方程的解是x＝﹣2．【答案】x＝﹣2．【解答】解：，方程两边都乘x（x﹣3），得2（x﹣3）＝5x，解得：x＝﹣2，检验：当x＝﹣2时，x（x﹣3）≠0，所以x＝﹣2是分式方程的解．故答案为：x＝﹣2．12．（2023•梁山县模拟）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为．【答案】．【解答】解：设学生步行的速度为每小时x里，则牛车的速度是每小时1.5x里，∵学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院，∴，故答案为：．13．（2023•建湖县一模）关于x的分式方程＝2的解为正数，则a的取值范围是a＜4且a≠2．【答案】a＜4且a≠2．【解答】解：去分母得：1﹣（a﹣1）＝2（x﹣1），解得：x＝2﹣a，由分式方程的解为正数，得到2﹣a＞0，且2﹣a≠1，解得：a＜4且a≠2，故答案为a＜4且a≠2．14．（2023•盐田区二模）当x＝﹣8时，分式的值为2．【答案】﹣8．【解答】解：根据题意得：＝2，去分母得：x﹣2＝2（x+3），解得：x＝﹣8，检验：把x＝﹣8代入得：x+3≠0，∴分式方程的解为x＝﹣8，则当x＝﹣8时，分式的值为2．故答案为：﹣8．15．（2023•市北区三模）甲、乙两人同时从学校出发，去距离学校15千米的农场参加劳动．甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10分钟，求甲和乙的速度各是多少？设乙的速度为x千米/小时，则根据题意可列方程为．【答案】．【解答】解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为1.2x千米/小时，根据题意得：．故答案为：．16．（2023•九龙坡区校级模拟）若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，关于y的分式方程+＝1有整数解，则符合条件的所有整数a的和是﹣10．【答案】﹣10，【解答】解：关于x的不等式组整理得，∵关于x的不等式组有且仅有四个整数解，∴1≤＜2，∴﹣8＜a≤﹣3，解分式方程得y＝且≠2，∵关于y的分式方程有整数解，且a为整数，∴符合条件的所有整数a为﹣7，﹣3，∴符合条件的所有整数a的和为：﹣7﹣3＝﹣10．故答案为：﹣10．三、解答题（本题共7题，共58分）。
初三下册数学方程练习题
初三下册数学方程练习题一、一元一次方程1. 解方程：3x + 5 = 14解析：首先，将方程中的常数项5移到等号右边，得到3x = 14 - 5，即3x = 9。
然后，将方程两边的系数3约去，得到x = 9 ÷ 3，即x = 3。
因此，方程3x + 5 = 14的解为x = 3。
2. 解方程：2(3x - 7) = 10解析：首先，使用分配律展开括号，得到6x - 14 = 10。
然后，将方程中的常数项-14移到等号右边，得到6x = 10 + 14，即6x = 24。
最后，将方程两边的系数6约去，得到x = 24 ÷ 6，即x = 4。
因此，方程2(3x - 7) = 10的解为x = 4。
二、一元二次方程1. 解方程：x^2 + 4x + 4 = 0解析：这是一个完全平方公式的形式，即(x + 2)(x + 2) = 0。
根据乘法逆元的原理，当且仅当两个因数之一等于0时，乘积等于0。
因此，x + 2 = 0得到x = -2。
因此，方程x^2 + 4x + 4 = 0的解为x = -2。
2. 解方程：2x^2 - 5x - 3 = 0解析：首先，使用因式分解法，将方程拆分成两个一元一次方程的乘积形式，得到(2x + 1)(x - 3) = 0。
根据乘法逆元的原理，当且仅当两个因数之一等于0时，乘积等于0。
因此，2x + 1 = 0得到x = -1/2，x - 3 = 0得到x = 3。
因此，方程2x^2 - 5x - 3 = 0的解为x = -1/2和x = 3。
三、一元一次不等式1. 解不等式：2x + 3 < 7解析：首先，将不等式中的常数项3移到不等号右边，得到2x < 7 - 3，即2x < 4。
然后，将不等式两边的系数2约去，得到x < 4 ÷ 2，即x < 2。
因此，不等式2x + 3 < 7的解为x < 2。
中考数学《一元二次方程》专题复习检测试卷
中考数学《一元二次方程》专题复习检测试卷一．单项选择题（共15小题，每小题3分，共45分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．3（1+x ）2＝3x 2+7B ．3（1+x ）2＝x （3x +7）C ．px 2+x ﹣4＝x （px ﹣1）D ．2x 2＝02．若关于x 的方程mx m ﹣1+（m ﹣3）x +5＝0是一元二次方程，那么m 的值为（ ）A ．m ＝3B ．m ＝2C ．m ＝1D ．m ≠03．一元二次方程2x 2﹣2x ＝1的一次项系数和常数项依次是（ ）A ．﹣2和﹣1B ．﹣2和1C ．2和﹣1D ．2和14．如果关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+3x +|a |﹣2＝0的常数项为0，那么a 的值一定是（ ）A ．2B ．﹣2C ．2或﹣2D ．05．已知m 是方程x 2﹣x ﹣2＝0的一个根，则代数式m 2﹣m +2022的值等于（ ）A ．2024B ．2022C ．2023D ．20216．已知x ＝﹣1是一元二次方程x 2+mx ＝3的一个解，则m 的值是（ ）A ．0或2B ．2C ．0D ．﹣27．方程x 2＝4的解是（ ）A ．±√2B ．√2C ．±2D ．28．一元二次方程x 2﹣3＝0的根是（ ）A ．x =±√3B ．x =√3C ．x ＝3D ．x ＝09．用配方法解方程x 2+7x ﹣5＝0，变形后的结果正确的是（ ）A ．(x +72)2=694 B ．(x +72)2=294 C ．(x −72)2=694 D ．(x −72)2=29410．用配方法解方程x 2+4x ﹣1＝0，配方后的方程是（ ）A ．（x +2）2＝5B ．（x ﹣2）2＝3C ．（x ﹣2）2＝5D ．（x +2）2＝311．对于实数a ，b ，定义运算“※”：a ※b ＝a 2﹣2b ，例如：5※1＝52﹣2×1＝23．若x ※x ＝﹣1，则x 的值为（ ）A ．1B ．0C ．0或1D ．1或﹣112．如果a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，那么下面对a的估值一定正确的是（）A．﹣1.5＜a＜﹣1B．2＜a＜3C．﹣4＜a＜﹣3D．4＜a＜513．方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是（）A．x＝2B．x＝﹣3C．x1＝﹣2，x2＝3D．x1＝2，x2＝﹣314．一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的一个解是x＝2，则另一个解是（）A．x＝3B．x＝2C．x＝1D．无法判断15．如果y为实数，且满足等式（y2+m2）2﹣2（y2+m2）＝24，那么5（y2+m2）的值一定是（）A．6B．30C．36D．12二．填空题（共10小题，每小题3分，共30分）16．若关于x的方程（m+1）x m2+1−3x+2＝0是一元二次方程，则m的值是________．17．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为________．18．关于x的方程x2+kx+2＝0的一个根是1，则k＝________．19．方程x2﹣5＝0的根是．20．下面是某同学解方程x2+6x﹣16＝0的部分运算过程：解：移项，得x2+6x＝16，…第一步配方，得x2+6x+9＝16+9，…第二步即（x+3）2＝25，…第三步两边开平方，得x+3＝5，…第四步①该同学的解答从第________步开始出错．②请写出正确的解答过程．21．如果用公式法解关于x的一元二次方程，得到x=−9±√92−4×3×1，那么该一元二次方2×3程是________．22．方程x2＝x的解是________．23．实数x、y满足（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则x2+y2的值为________．24．一元二次方程x2+5x+1＝0的根的判别式的值是________．25．写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下两个要求：①二次项系数为2，②两根分别为3和−1：________．2三．解答题（共4小题，共75分）26．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值．27．已知m是方程2x2﹣7x+1＝0的一个根，求代数式m（2m﹣7）+5的值．28．（1）用适当的方法解方程：81（1﹣x）2＝64．（2）请你结合生活经验，设计一个问题，使它能利用建立方程模型“100（1﹣x）2＝81”来解决．你设计的问题是：．29．阅读材料，并回答问题．小明在学习一元二次方程时，解方程2x2﹣8x+5＝0的过程如下：解：2x2﹣8x+5＝0．2x2﹣8x＝﹣5．①．②x2−4x=−52+4．③x2−4x+4=−52．④(x−2)2=32．⑤x−2=√62．⑥x=2+√62问题：（1）上述过程中，从________步开始出现了错误（填序号）．（2）发生错误的原因是：__________．（3）写出这个方程的解：__________．。
人教版九年级中考数学 考点复习 二元一次方程组 专题练习
人教版九年级中考数学考点复习 二元一次方程组 专题练习一.选择题（本大题共10道小题）1. 下列方程中,是二元一次方程的是( )A.xy ＝2B.3x ＝4yC.x 2D.x 2+2y ＝4 2. 下列方程中,①x+y=6;②x(y+1)=6;③3x+y=z+1;④mn+m=7,是二元一次方程的有( )A.1个B.2个C.3个D.43. 如果3x 3m-2n -4y n-m +12＝0是关于x 、y 的二元一次方程,那么m 、n 的值分别为( )A.m ＝2,n ＝3B.m ＝2,n ＝1C.m ＝-1,n ＝2D.m ＝3,n ＝4 4. 方程组的解是( ) A. B. C. D.5. 用加减消元法解二元一次方程组时,下列方法中无法消元的是( ) A.①×2﹣② B.②×(﹣3)﹣① C.①×(﹣2)+② D.①﹣②×36. 如图,在数轴上,点A 、B 分别表示数a 、b,且a+b=2.若AB=4,则点A 表示的数为( )A.-1B.-2C.2D.17. 若方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝4k －5①2x ＋6y ＝k ② 的解中x ＋y ＝16,则k 等于( ) A.15 B.18 C.16 D.178. 方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝□x ＋y ＝3 的解为⎩⎨⎧x ＝4y ＝□,则被遮盖的两个数分别为( ) A.9,－1 B.9,1 C.7,－1 D.5,19. 同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km,它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km.现在它们都从A 地出发,行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶,然后甲车再行驶返回A 地,而乙车继续行驶,到B 地后再行驶返回A 地.则B 地最远可距离A 地( )A.120kmB.140kmC.160kmD.180km10. 《九章算术》卷八方程第十题原文为:“今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而亦钱五十.问:甲、乙持钱各几何？”题目大意是:甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有钱50;如果乙得到甲所有钱的23,那么乙也共有钱50.问:甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x,y,则可列方程组为( )A. ⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝50，y －23x ＝50B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12y ＝50，y ＋23x ＝50C.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝50，x ＋23y ＝50D.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝50，x －23y ＝50 二、填空题（本大题共6道小题）11. 已知x 、y 满足方程组,则x+y 的值为______.12. 写出二元一次方程3x-y=4的一组解 (写出一组即可)13. 关于x 、y 二元一次方程组2352x y x y k +=⎧⎨-=⎩的解满足6x+y=21,则k 的值为______.14. 已知二元一次方程x ＋3y ＝14,请写出该方程的一组整数解 .15. 某企业有A,B 两条加工相同原材料的生产线.在一天内,A 生产线共加工a 吨原材料,加工时间为(4a+1)小时;在一天内,B 生产线共加工b 吨原材料,加工时间为(2b+3)小时.第一天,该企业将8吨原材料分配到A,B 两条生产线,两条生产线都在一天内完成了加工,且加工时间相同,则分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为 _____.第二天开工前,该企业按第一天的分配结果分配了8吨原材料后,又给A 生产线分配了m 吨原材料,给B 生产线分配了n 吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料,且加工时间相同,则mn 的值为 _____.16. 我国古代问题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺,若将绳四折测之,绳多一尺,井深几何？这段话的意思是:用绳子量井深,把绳三折来量,井外余绳四尺,把绳四折来量,井外余绳一尺,井深几尺？则该问题的井深是 尺.三、解答题（本大题共6道小题）17. 列二元一次方程组解应用题:某大型超市投入15000元资金购进A 、B 两种品牌的矿泉水共600箱,矿泉水的成本价和销售价如下表所示:(1)该大型超市购进A、B品牌矿泉水各多少箱?(2)全部销售完600箱矿泉水,该超市共获得多少利润?18. 某体育器材店有A、B两种型号的篮球,已知购买3个A型号篮球和2个B型号篮球共需310元,购买2个A型号篮球和5个B型号篮球共需500元.(1)A、B型号篮球的价格各是多少元?(2)某学校在该店一次性购买A、B型号篮球共96个,总费用为5700元,这所学校购买了多少个B 型号篮球?19. 某超市对甲、乙两种商品进行打折销售,其中甲种商品打八折,乙种商品打七五折,已知打折前,买6件甲种商品和3件乙种商品需600元;打折后,买50件甲种商品和40件乙种商品需5200元.(1)打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元?(2)某人购买甲种商品80件,乙种商品100件,问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元?20. 某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为15元/辆,小型汽车的停车费为8元/辆.现在停车场内停有30辆中、小型汽车,这些车共缴纳停车费324元,求中、小型汽车各有多少辆？21. 2020年是脱贫攻坚最后一年,某镇拟修一条连通贫困山区村子的公路,现有甲、乙两个工程队.若甲、乙合作,36天可以完成,需用600万元;若甲单独做20天后,剩下的由乙做,还需40天才能完成,这样所需550万元.(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天?(2)求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少万元?22.我校组织了国学经典知识竞赛,学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励.若购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需280元；若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480元.求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各是多少元.。
中考数学专题复习一元二次方程的综合题附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2， ∴k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1． 【答案】x 1=1+3，x 2=1﹣3 【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可. 试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3， 解得：x 1=1+3，x 2=1﹣3．3．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根． （1）求a 的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值． 【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣26a a + ，x 1x 2=6aa + ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2． 【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣+1=﹣．∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数， ∴﹣是负整数，即是正整数．∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6， ∴a 的值为7、8、9或12． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．4．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0 a=1 b=﹣7 c=10 ∵b 2﹣4ac=9＞0∴x=2b b 4ac 2a--=732±∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2． 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5． 探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根． （1）当m=2时，求△ABC 的周长； （2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1． 【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5． （1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1，可求得m.【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+34=0，∴x1=12，x2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.5．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5五月80151【答案】6．由图看出，用水量在m 吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m 吨，需要加收．7．（问题）如图①，在a×b×c （长×宽×高，其中a ，b ，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？ （探究）探究一：（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2=232⨯=3条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3． （2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6． （3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12+线段，棱AC ，AD 上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______． 探究二：（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2=232⨯=3条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+．（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段，棱AD 上只有1条线段，则图中长方体的个数为______． （6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．探究三：（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段，则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++．（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB 上有()a a 12+条线段，棱AC上有()b b 12+条线段，棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段，则图中长方体的个数为______．（结论）如图①，在a×b×c 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______． （拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．【答案】探究一：（3）()a a12+；探究二：（5）3a（a+1）；（6）()()ab a1b14++；探究三：（8）()()3ab a1b12++；【结论】：①()()()abc a1b1c18+++；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：探究一、（3）棱AB上共有()a a12+线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×1×1=()a a12+，故答案为() a a12+；探究二：（5）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×6×1=3a（a+1），故答案为3a（a+1）；（6）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有()b b12+条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×()b b12+×1=()()ab a1b14++，故答案为()() ab a1b14++；探究三：（8）棱AB上有()a a12+条线段，棱AC上有()b b12+条线段，棱AD上有6条线段，则图中长方体的个数为()a a12+×()b b12+×6=()()3ab a1b12++，故答案为()()3ab a 1b 12++；(结论)棱AB 上有()a a 12+ 条线段，棱AC 上有()b b 12+条线段，棱AD 上有()c c 12+条线段，则图中长方体的个数为()a a 12+×()b b 12+×()c c 12+=()()()abc a 1b 1c 18+++，故答案为()()()abc a 1b 1c 18+++；(应用)由(结论)知，()()()abc a 1b 1c 18+++，∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180，故答案为为180；拓展：设正方体的每条棱上都有x 个小立方体，即a=b=c=x ，由题意得33(1)8x x +=1000， ∴[x （x+1）]3=203， ∴x （x+1）=20，∴x 1=4，x 2=-5（不合题意，舍去） ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64． 【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．8．阅读下面的例题， 范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0． 【答案】x 1=4，x 2=﹣5． 【解析】 【分析】分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可．【详解】当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5， 故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．9．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断． (1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1 ∴2--2=0．∴∴另一根是2； (2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根10．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝0． （1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根． 【答案】（1）a=15，方程的另一根为12；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b 2－4ac ＝0求出a 的值，再代入解方程即可． 【详解】（1）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15．将a＝15代入原方程得24x2054x5-+-=，解得：x1＝12，x2＝2．∴a＝15，方程的另一根为12；（2）①当a＝1时，方程为2x＝0，解得：x＝0.②当a≠1时，由b2－4ac＝0得4－4(a－1)2＝0，解得：a＝2或0．当a＝2时，原方程为：x2＋2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝－1；当a＝0时，原方程为：－x2＋2x－1＝0，解得：x1＝x2＝1．综上所述，当a＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1.考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.。
(专题精选)初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编附解析
（专题精选）初中数学方程与不等式之分式方程难题汇编附解析一、选择题1．解分式方程221112x x x x --=--时，去分母后所得的方程正确的是（ ） A ．220x x -+= B ．4241x x x -+=-C ．4241x x x +-=-D ．221x x x +-=- 【答案】C【解析】【分析】根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母2（x-1），整理即可得答案．【详解】 ∵221112x x x x --=--， ∴221112x x x x -+=--， 方程两边同时乘以最简公分母2（x-1）得：4x+2(x-2)=x-1，去括号得：4x+2x-4=x-1，故选：C ．【点睛】本题考查解分式方程，正确得出最简公分母是解题关键．2．解分式方程11222x x x -+=--的结果是（ ） A ．x="2"B ．x="3"C ．x="4"D ．无解【答案】D【解析】【分析】【详解】解：去分母得：1﹣x+2x ﹣4=﹣1，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．故选D ．考点：解分式方程．3．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元，已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多35m ．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x 元/3m ，根据题意列方程，正确的是（）A．30155113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭B．30155113xx-=⎛⎫-⎪⎝⎭C．15305113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭D．15305113xx-=⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】利用总水费÷单价＝用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3得出方程即可．【详解】解：设去年居民用水价格为x元/3m，根据题意得：30155113xx-=⎛⎫+⎪⎝⎭，故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键．4．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物．设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】甲种机器人每小时搬运x千克，则乙种机器人每小时搬运（x+600）千克，由题意得：，故选B.【点睛】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，解答时根据甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等建立方程是关键．5．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同．设原计划平均每天生产x个零件，根据题意可列方程为（）A ．60045025x x=- B ．60045025x x =- C ．60045025x x =+ D ．60045025x x =+ 【答案】C【解析】【分析】 原计划平均每天生产x 个零件，现在每天生产（x+25）个，根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同即可列出方程.【详解】由题意得：现在每天生产（x+25）个， ∴60045025x x=+， 故选：C.【点睛】 此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是列方程的关键.6．方程24222x x x x =-+-- 的解为（ ） A ．2B ．2或4C ．4D ．无解 【答案】C【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：2x=（x ﹣2）2+4，分解因式得：（x ﹣2）[2﹣（x ﹣2）]=0，解得：x=2或x=4，经检验x=2是增根，分式方程的解为x=4，故选C ．【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．已知关于x 的分式方程211x k x x -=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．20k -<<B ．2k >-且1k ≠-C ．2k >-D ．2k <且1k ≠ 【答案】B【解析】【分析】先用k 表示x ，然后根据x 为正数列出不等式，即可求出答案.【详解】 解：211x k x x-=--Q ， 21x k x +∴=-， 2x k ∴=+，Q 该分式方程有解，21k ∴+≠，1k ∴≠-，0x Q >，20k ∴+>，2k ∴>-，2k ∴>-且1k ≠-，故选：B ．【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.8．甲、乙两人同时分别从A ，B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地．已知A ，C 两地间的距离为110千米，B ，C 两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C 地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ）A ．1101002x x=+ B ．1101002x x =+ C ．1101002x x =- D ．1101002x x =- 【答案】A【解析】 设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．解：设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意得：1102x +=100x， 故选A ．9．方程10020x +＝6020x-的解为（ ） A ．x ＝10B ．x ＝﹣10C ．x ＝5D ．x ＝﹣5 【答案】C【解析】【分析】方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），解得，x＝5，经检验，x＝5是方程的根．【详解】解：方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），得100（20﹣x）＝60（20+x），整理，得8x＝40，解得，x＝5，经检验，x＝5是方程的根，∴原方程的根是x＝5；故选：C．【点睛】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏验根是解题的关键．10．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．10x-102x=20 B．102x-10x=20 C．10x-102x=13D．102x-10x=13【答案】C【解析】【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【详解】由题意可得，10 x -102x=13，故选：C．【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．11．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（）A．1000100030x x-+=2 B．1000100030x x-+=2C．1000100030x x--=2 D．1000100030x x--=2【答案】A【解析】分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据题意，可列方程：1000100030x x-+=2，故选A．点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．12．方程31144xx x--=--的解是（）A．－3 B．3 C．4 D．－4【答案】B【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：3-x-x+4=1，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选：B．【点睛】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．13．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设每个A型包装箱可以装书x本，则每个B型包装箱可以装书（x+15）本，根据单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个，列方程得：，故选C.14．若关于x 的分式方程2233x m x x -=--有增根，则m 的值为（ ）． A ．3B．CD．【答案】D【解析】 解关于x 的方程2233x m x x -=--得：26x m =-， ∵原方程有增根，∴30x -=，即2630m --=，解得：m =故选D.点睛：解这类题时，分两步完成：（1）按解一般分式方程的步骤解方程，用含待定字母的式子表示出方程的根；（2）方程有增根，则把（1）中所得的结果代入最简公分母中，最简公分母的值为0，由此即可求得待定字母的值.15．关于x 的分式方程26344ax x x -+=---的解为正数，且关于x 的不等式组1722x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩有解，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值之和为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】C【解析】【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a ＜2且a≠1，根据不等式组有解，即可得出a ＞-5，找出-5＜a ＜2且a≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论．【详解】 解分式方程26344ax x x -+=---得：x=43a -， 因为分式方程的解为正数， 所以43a -＞0且43a-≠4， 解得：a ＜3且a≠2， 解不等式1722x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，得：x≤a+7， ∵不等式组有解，∴a+7＞1，解得：a ＞-6，综上，-6＜a ＜3，且a≠2，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值的和为：|-5|+｜-4｜+｜-3｜+｜-2｜+｜-1｜+｜0｜+｜1｜=16，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组有解，找出-6＜a ＜3且a≠2是解题的关键．16．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得 A ．25301018060(%)x x -=+ B ．253010180(%)x x -=+ C ．30251018060(%)x x -=+ D ．302510180(%)x x -=+ 【答案】A【解析】若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．解：设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，()253010180%60x x -=+ 故选A ．17．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）A ．606030(125%)x x -=+B ．606030(125%)x x-=+ C ．60(125%)6030x x⨯+-= D ．6060(125%)30x x⨯+-= 【答案】C【解析】 分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x +万依题意得：606030125%x x -=+，即()60125%6030x x ⨯+-=． 故选C ．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．18．八年级（1）班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ）A ．300300201.2x x -= B ．300300201.260x x =- C ．300300201.260x x x -=+ D ．3002030060 1.2x x -= 【答案】D【解析】【分析】原计划每小时植树x 棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x 棵，原计划植300棵树可用时300x 小时，实际用了3001.2x 小时，根据关键语句“结果提前20分钟完成任务”可得方程．【详解】设原计划每小时植树x 棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x 棵，由题意得：3002030060 1.2x x-=， 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时间与实际所用时间．19．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：23a b a ab⊗=-，这里等式右边是通常的四则运算．若32x x ⊗⊗（﹣）＝，则x 的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 【答案】B【解析】【分析】利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可．根据题中的新定义化简得：339342x x=+-，去分母得：12﹣6x =27+9x ，解得：x =﹣1，经检验x =﹣1是分式方程的解．故选B ．【点睛】本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．已知关于x 的分式方程13222mx x x -+=--有解,则m 应满足的条件是（ ） A ． 1 2m m ≠≠且B ．2m ≠C ．1m =或2m =D ．1m ≠或2m ≠ 【答案】A【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程(m-2)x=-2，由分式方程有解可知m-2≠0，最简公分母x-2≠0，求出x 的值，进一步求出m 的取值即可.【详解】 13222mx x x-+=--， 去分母得，1-（3-mx ）=2(x-2)整理得，（m-2）x=-2 ∵分式方程13222mx x x-+=--有解， ∴m-2≠0，即m≠2， ∴22x m -=- ∵分式方程13222mx x x-+=--有解， ∴x-2≠0，即x≠2， ∴222m -≠-，解得，m≠1， 所以，m 的取值为： 1 m ≠且2m ≠故选：A.【点睛】 此题主要考查了分式方程的求解，关键是会解出方程的解，注意隐含条件.。
初三数学方程专题复习题
初三数学方程专题复习题1.如果x y y x b a b a 2427773-+-和是同类项,则x 、y 的值是A.x ＝－3,y ＝2B.x ＝2,y ＝－3C.x ＝－2,y ＝3D.x ＝3,y ＝－22 解下列方程组：1{4519323a b a b +=--= 2{2207441x y x y ++=-=- 3、 若方程组{31x y x y +=-=与方程组{84mx ny mx ny +=-=的解相同,求m 、n 的值. 1．若⎩⎨⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧-=-=+1242a y x b y ax 的解,则⎩⎨⎧==______________b a ． 2. 在方程3x +4y =16中,当x =3时,y =___；若x 、y 都是正整数,这个方程的解为_____．3. 下列方程组中,是二元一次方程组的是A ．⎪⎩⎪⎨⎧=+=+9114y x y x B ．⎩⎨⎧=+=+75z y y x C ．⎩⎨⎧=-=6231y x x D ．⎩⎨⎧=-=-1y x xy y x 4. 关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+m y x m y x 932的解是方程3x +2y =34的一组解,那么m =A ．2B ．-1C ．1D ．-25．某校初三2班40表格中捐款2元和.若设捐款2元的有x 名同学,捐款3元的有y 名同学,根据题意,可得方程组A ．272366x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．2723100x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．273266x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．2732100x y x y +=⎧⎨+=⎩二1. 把分式方程11122x x x--=--的两边同时乘以x-2, 约去分母,得 A ．1-1-x=1 B ．1+1-x=1 C ．1-1-x=x-2 D ．1+1-x=x-22. 方程2321x x -=+的根是 A.－2 B.12 C.－2,12D.－2,1 3. 当m =_____时,方程212mx m x +=-的根为124. 如果25452310A B x x x x x -+=-+--,则 A=____ B ＝________.5. 若方程1322a x x x -=---有增根,则增根为_____,a=________. 6解下列分式方程：韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ,则12b x x a +=-,12c x x a⋅= 注意：1222121212()2x x x x x x +=+-⋅ 222121212()()4x x x x x x -=+-⋅；12x x -=3①方程有两正根,则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；②方程有两负根,则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪⋅>⎩ ；③方程有一正一负两根,则1200x x ∆>⎧⎨⋅<⎩； ④方程一根大于1,另一根小于1,则120(1)(1)0x x ∆>⎧⎨--<⎩ 4应用韦达定理时,要确保一元二次方程有根,即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时,一般把所求作得方程的二次项系数设为1,即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时,需使二次项系数0a ≠,同时满足∆≥0;求代数式的值,常用整体思想,把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +,•两根之积12x x ⋅的代数式的形式,整体代入;4．用配方法解一元二次方程的配方步骤：例：用配方法解24610x x -+=第一步,将二次项系数化为1：231024x x -+=,两边同除以4 第二步,移项： 23124x x -=- 第三步,两边同加一次项系数的一半的平方：2223313()()2444x x -+=-+第四步,完全平方：235()416x -=第五步,直接开平方：344x -=±,即:1344x =++,2344x =-+ 中考考点①利用一元二次方程的意义解决问题；②用整体思想对复杂的高次方程或分式方程进行变形换元法；③考查配方法主要结合函数的顶点式来研究；④一元二次方程的解法；⑤一元二次方程根的近似值；⑥建立一元二次方程模型解决问题；⑦利用根的判别式求方程中字母系数的值和利用根与系数关系求代数式的值；⑧与一元二次方程相关的探索或说理题；⑨与其他知识结合,综合解决问题;一、填空题1、关于x 的方程2(3)20m x --=是一元二次方程,则m 的取值范围是 ____ .2、若(0)b b ≠是关于x 的方程220x cx b ++=的根,则2b c +的值为____ .3、方程2310x x -+=的根的情况是_______________________________.4、写出一个既能直接开方法解,又能用因式分解法解的一元二次方程是_______________.5、在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为)(b a a b a -=*,根据这个规则,方程(2)50x +*=的解为_________________.6、如果关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个实数根,则k 的取值范围是_____________;7、设12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根,则代数式3322121212()()()0a x x b x x c x x +++++=的值为___________.8、 a 是整数,已知关于x 的一元二次方程01)12(2=-+-+a x a ax 只有整数根,则a =__________.二、选择题1、关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定2、已知方程有一个根是,则下列代数式的值恒为常数的是 A 、 B 、 C 、D 、 3、方程23270x +=的解是 A. B. C. D. 无实数根4、若关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=没有实数根,那么k 的最小整数值是 A. 1 B. 2 C. 3 D.5、如果a 是一元二次方程230x x m -+=的一个根,a -是一元二次方程230x x m +-=的一个根,那么a 的值是A 、1或2B 、0或3-C 、1-或2-D 、0或36、设m 是方程250x x +=的较大的一根,n 是方程2320x x -+=的较小的一根,则m n += A. B. C. 1 D. 2三、解答题2、已知方程222(9)(34)0x k x k k +-+++=有两个相等的实数根,求k 值,并求出方程的根;3、已知,,a b c 是ABC ∆的三条边长,且方程222()210a b x cx +-+=有两个相等的实数根,试判断ABC ∆的形状;4、 已知关于x 的一元二次方程2223840x mx m m --+-=.1求证：原方程恒有两个实数根;2若方程的两个实数根一个小于5,另一个大于2,求m 的取值范围.一元二次方程的应用专项训练解应用题步骤：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验根是否符合实际情况；⑥作答;一传播问题1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有多少个队参加比赛二商品销售问题售价—进价=利润 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品,进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P 件与每件的销售价X 元满足关系：P=100-2X 销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元每天要售出这种商品多少件2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为４０只,且每日产出的产品全部售出,已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ元,售价每只为Ｐ元,且Ｒ Ｐ与x 的关系式分别为R=500+30X,P=170—2X;（１）当日产量为多少时每日获得的利润为１７５０元（２）若可获得的最大利润为１９５０元,问日产量应为多少3.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克;现该商品要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件,每件盈利４０元;为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存;经市场调查发现,如果每件童装每降价４元,那么平均每天就可多售出８件;要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元三平均增长率问题变化前数量×1 x n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤,2003年平均每公顷产8450公斤,求水稻每公顷产量的年平均增长率;3.某种商品,原价50元,受金融危机影响,1月份降价10％,从2月份开始涨价,3月份的售价为元,求2、3月份价格的平均增长率;4.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率四数字问题1.两个数的和为8,积为,求这两个数;2.两个连续偶数的积是168,则求这两个偶数;3.一个两位数,个位数字与十位数字之和为5,把个位数字与十位数字对调,所得的两位数与原来的两位数的乘积为736,求原来的两位数;五面积问题1.为了绿化学校,需移植草皮到操场,若矩形操场的长比宽多14米,面积是3200平方米则操场的长为米,宽为米;2.若把一个正方形的一边增加2cm,另一边增加1cm,得到的矩形面积的2 倍比正方形的面积多11cm2,则原正方形的边长为 cm.3.一张桌子的桌面长为6米,宽为4米,台布面积是桌面面积的2倍,如果将台布铺在桌子上,各边垂下的长度相同,求这块台布的长和宽;4如图,在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形,使得留下的图形图中阴影部分面积是原矩形面积的80％,求所截去的小正方形的边长;。
中考数学专题练习直接开平方法解一元二次方程(含解析)
2019中考数学专题练习-直接开平方法解一元二次方程（含解析）一、单选题1.若分式的值为0，则x的值是（）A.1或-1B.1C. -1D.0【答案】B【考点】分式的值为零的条件，解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】根据分子为0，同时分母不等于0时，分式值是零，即可得到结果．由题意得，解得，则x=1，故选B.【点评】解答本题的关键是熟练掌握分式值是零的条件：分子为0，同时分母不等于0．2.若25x2=16，则x的值为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：25x2=16，x2= ，x=± ，故答案为：A【分析】观察次方程缺一次项，可以用直接开平方法求解或利用因式分解法求解。
3.方程的根是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】用开平方法可得【分析】将原方程变形为=4，用直接开平方法解得x=2，即= 2 ，= − 2.4.一元二次方程x2=2的解是（）A.x=2或x=﹣2B.x=2C.x=4或x=﹣4D.x=或x=﹣【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：∵x2=2，∵x=±．故选：D．【分析】直接开平方解方程得出答案．5.方程x2=9的解是（）A.x1=x2=3B.x1=x2=9C.x1=3，x2=﹣3D.x1=9，x2=﹣9【答案】C【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【解答】解：x2=9，两边开平方，得x1=3，x2=﹣3．故选C．【分析】利用直接开平方法求解即可．6.一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-4【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．【解答】（x+6）2=16，两边直接开平方得：x+6=±4，则：x+6=4，x+6=-4，故选：D．7.方程x2=9的解是（）A.x=9B.x=±9C.x=3D.x=±3【答案】D【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】解：∵x2=9，∵x=±3，故选：D．【分析】直接开平方法即可得．8.若是反比例函数，则b的值为（）A.1B.－1C.D.任意实数【答案】A【考点】直接开平方法解一元二次方程，反比例函数的定义【解析】【解答】，解得.故答案为：A.【分析】根据反比例函数的定义知，自变量次数为-1，b2-2=-1，得b=1，,又因为比例系数k≠0，得b+1≠0，得b≠-1，综合分析可得b=1。
中考数学专题复习：一元二次方程
中考数学专题复习：一元二次方程一、选择题1.下列方程是一元二次方程的是()=4 D.x2-2=0A.x+2y=1B.x+y2C.3x+1x2.若一元二次方程x2-(b-4)x+9=0的一次项系数为2，则b的值为()A.2B.4C.-2D.63.用配方法解方程x2-4x-7=0，可变形为()A.(x+2)2=3B.(x+2)2=11C.(x-2)2=11D.(x-2)2=34.一元二次方程x2+2x-3=0的根是()A.x1=1，x2=-3B.x1=-1，x2=-3C.x1=-1，x2=3D.x1=1，x2=35.若x=2是关于x的一元二次方程ax2-bx+4=0的解，则2021+2a-b的值是()A.2016B.2018C.2019D.2022x2-x-2=0的四个步骤中，出现错误的是()6.下列用配方法解方程12图1A.①B.①C.①D.①7.关于x的一元二次方程(2-a)x2+x+a2-4=0的一个根为0，则a的值为()A.2B.0C.2或-2D.-28.生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是()A.x(x+1)=182B.x(x-1)=182C.x(x+1)=182×2D.x(x-1)=182×29.已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根，则下列说法正确的是()A.1一定不是方程x2+bx+a=0的根B.0一定不是方程x2+bx+a=0的根C.1和-1不都是方程x2+bx+a=0的根D.1和-1都是方程x2+bx+a=0的根10.已知关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为()A.2B.0C.1D.2或011.已知关于x的方程(k-3)x2-4x+2=0有实数根，则k的取值范围是()A.k ≤ 5B.k<5且k≠3C.k ≤ 5且k≠3D.k ≥512.已知方程x2+3x-4=0的解是x1=1，x2=-4，则方程(2x+3)2+3(2x+3)-4=0的解是()A.x1=-1，x2=-3.5B.x1=1，x2=-3.5C.x1=1，x2=3.5D.x1=-1，x2=3.513.已知1是关于x的一元二次方程x2-kx+4=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则①ABC的周长是()A.6或9B.6C.9D.5或914.若关于x的一元二次方程x2-3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2-ab+b2=18，则ab +ba的值是()A.3B.-3C.5D.-515.某市发出生活垃圾分类的号召后，实现生活垃圾分类的社区由今年第一季度的1250个迅速增加到第三季度的1800个，照此速度增加，今年第四季度实现生活垃圾分类的社区可以达到()A.2140个B.2160个C.2180个D.2200个16.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有下列说法：①若a+b+c=0，则b2-4ac>0；①若方程的两根为-1和2，则2a+c=0；①若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根；①若b=2a+c，则方程有两个不相等的实数根.其中正确的有()A.①①①B.①①①C.①①①D.①①①①二、填空题17.一元二次方程2x(x+3)=x的解是________.18.若关于x的方程x2-mx+2m=0有两个相等的实数根，则(1)m的值为________；(2)代数式2m2-16m+5的值为________.19.一款衬衫每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，商店决定降价销售，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，那么平均每天可多售出2件.(1)设每件衬衫降价x元，则每天可售出________件；(用含x的代数式表示)(2)每件衬衫降价________元时，平均每天盈利1200元.三、解答题20.用适当的方法解下列方程.(1)x2-6x+2=0；(2)3x(x-1)=2-2x.21.已知关于x的方程x2+2(2-k)x+3-6k=0.(1)若x=1是此方程的一根，求k的值及方程的另一根；(2)试说明无论k取何值，此方程总有实数根.22.已知关于x的一元二次方程(c+a)x2+2bx+(c-a)=0，其中a，b，c分别是①ABC三边的长.(1)如果x=-1是此方程的根，试判断①ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断①ABC的形状，并说明理由；(3)已知a①b①c=3①4①5，求该一元二次方程的根.23.阅读下列内容，并回答问题：n(n-3).如果一个n边形共有20条对角线，那么我们知道，计算n边形的对角线条数公式为12n(n-3)=20.整理得n2-3n-40=0，解得n=8或n=-5.∵n为大于等于3的整数，∵n=-5可以得到方程12不合题意，舍去，∵n=8，即该多边形是八边形.根据以上内容，回答问题：(1)若一个多边形共有14条对角线，求这个多边形的边数；(2)A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线.”你认为A同学的说法正确吗?为什么?24.如图2，在直角墙角AOB(OA①OB，且OA，OB长度不限)中，要砌20 m长的墙(即AC+BC=20 m)，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96 m2.(1)求该地面矩形的长；(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖，单价分别为50元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，则用哪一种规格的地板砖费用较少?图225.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元/件销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销量，决定降价销售，根据市场调查发现，该T恤的单价每降低1元/件，每个月可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元/件，设第二个月单价降低x元/件.(1)填表(不需要化简)：时间第一个月第二个月清仓时单价(元/件)8040销售量(件)200(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应为多少?26.如图3所示，在①ABC中，①B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm.点P从点A开始沿AB边向点B 以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.【思考】如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒，①PBQ的面积等于8 cm2?【探究】如果点P，Q分别从点A，B同时出发，线段PQ能否将①ABC分成面积相等的两部分?若能，求出运动时间；若不能，说明理由.【拓展】若点P沿射线AB方向从点A出发，以1 cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发，以2 cm/s的速度移动，点P，Q同时出发，则经过几秒，①PBQ的面积为1 cm2?图3参考答案1.D[解析]x+2y=1是二元一次方程，不符合题意；x+y2不是方程，不符合题意；3x+1x=4是分式方程，不符合题意；x2-2=0是一元二次方程，符合题意.2.A[解析]∵一元二次方程x2-(b-4)x+9=0的一次项系数为2，∵-(b-4)=2，解得b=2.3.C[解析]∵x2-4x-7=0，∵x2-4x+4=11，∵(x-2)2=11.4.A[解析]∵b2-4ac=22-4×1×(-3)=16>0，∵x=-2±√162×1=-2±42，∵x1=1，x2=-3.5.C[解析]∵x=2是关于x的一元二次方程ax2-bx+4=0的解，∵a×22-2b+4=0，化简，得2a-b=-2，∵2021+2a-b=2021+(2a-b)=2021+(-2)=2019.6.D[解析]解方程12x2-x-2=0，去分母，得x2-2x-4=0，即x2-2x=4.配方，得x2-2x+1=5，即(x-1)2=5.开方，得x-1=±√5，解得x=1±√5，则四个步骤中出现错误的是①.故选D.7.D[解析]∵(2-a)x2+x+a2-4=0是关于x的一元二次方程，∵2-a≠0，即a≠2.把x=0代入(2-a)x2+x+a2-4=0，可得a2-4=0，解得a=±2.综上，a=-2.8.B9.C[解析]∵关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根，∵，∵b=a+1，b=-(a+1).当b=a+1时，有a-b+1=0，此时-1是方程x2+bx+a=0的根；当b=-(a+1)时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根.∵a+1≠0，∵a+1≠-(a+1)，∵1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根.故选C.10.B[解析]设方程的两根为x1，x2，根据题意，得x1+x2=0，所以a2-2a=0，解得a=0或a=2，当a=2时，方程化为x2+1=0，b2-4ac=-4<0，故a=2舍去，所以a的值为0.11.A[解析]当k-3=0，即k=3时，方程化为-4x+2=0，解得x=12；当k-3≠0时，b2-4ac=(-4)2-4(k-3)×2≥0，解得k≤5且k≠3.综上所述，k的取值范围为k≤5.12.A[解析]把方程(2x+3)2+3(2x+3)-4=0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3=1或2x+3=-4，所以x1=-1，x2=-3.5.故选A.13.C[解析]将x=1代入方程，得1-k+4=0，解得k=5.则方程为x2-5x+4=0，解得x=1或x=4.当三角形的三边长为1，1，4时，1+1<4，不能构成三角形，舍去；当三角形的三边长为4，4，1时，1+4>4，能构成三角形，则三角形的周长为1+4+4=9.14.D[解析]∵a，b为方程x2-3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根，∵a+b=3，ab=p.∵a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=32-3p=18，∵p=-3.当p=-3时，b2-4ac=(-3)2-4p=9+12=21>0，∵p=-3符合题意.∵a b +ba=(a+b)2-2abab=(a+b)2ab-2=32-3-2=-5.故选D.15.B[解析]设平均每个季度的增长率为x，则1250(1+x)2=1800，∵1+x=±1.2，∵x1=0.2=20%，x2=-2.2(舍去)，∵第四季度实现生活垃圾分类的社区可以达到1800×(1+20%)=2160(个)，故选B.16.C[解析]①当x=1时，有a+b+c=0，即方程有实数根，∵b2-4ac≥0，故错误；①把x=-1代入方程，得a-b+c=0.……A，把x=2代入方程，得4a+2b+c=0.……B，2×A+B，得6a+3c=0，即2a+c=0，故正确；①方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则-4ac>0，∵b2-4ac>0，∵方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，故正确；①若b=2a+c，则b2-4ac=(2a+c)2-4ac=4a2+c2.∵a≠0，∵4a2+c2>0，∵方程有两个不相等的实数根，故正确.①①①都正确.17.x1=0，x2=-2.5[解析]方程2x(x+3)=x移项，得2x(x+3)-x=0，分解因式，得x[2(x+3)-1]=0，即x(2x+5)=0，∵x=0或2x+5=0，∵x1=0，x2=-2.5.18.(1)0或8(2)5[解析](1)∵关于x的方程x2-mx+2m=0有两个相等的实数根，∵b2-4ac=(-m)2-8m=m2-8m=m(m-8)=0，解得m=0或8.(2)∵m2-8m=0，∵2m2-16m+5=2(m2-8m)+5=5.19.(1)(20+2x)(2)20[解析](1)设每件衬衫降价x元时，每天可售出(20+2x)件，每件盈利(40-x)元.(2)根据题意，得(20+2x)·(40-x)=1200，解得x1=20，x2=10.因为为了扩大销售量，增加利润，所以x=20.20.解：(1)移项，得x2-6x=-2.配方，得x2-6x+9=-2+9，即(x-3)2=7.开方，得x-3=±√7.∵x 1=3+√7，x 2=3-√7. (2)移项，得3x (x -1)+2x -2=0. 3x (x -1)+2(x -1)=0，因式分解，得(x -1)(3x +2)=0， 即x -1=0或3x +2=0. ∵x 1=1，x 2=-23.21.解：(1)把x =1代入方程，得1+2(2-k )+3-6k =0，解得k =1. 故方程为x 2+2x -3=0.设方程的另一个根是x 2，则1·x 2=-3，解得x 2=-3. 故k 的值为1，方程的另一根为x =-3. (2)∵关于x 的方程x 2+2(2-k )x +3-6k =0中， b 2-4ac =4(2-k )2-4(3-6k )=4(k +1)2≥0， ∵无论k 取何值，此方程总有实数根.22.解：(1)①ABC 是等腰三角形.理由：把x =-1代入方程，得c +a -2b +c -a =0，则c =b ， ∵①ABC 是等腰三角形.(2)①ABC 是直角三角形.理由：根据题意，得(2b )2-4(c +a )(c -a )=0，即a 2+b 2=c 2， ∵①ABC 是直角三角形. (3)∵a ①b ①c =3①4①5， ∵设a =3t ，b =4t ，c =5t (t ≠0)， 则原方程可变为4x 2+4x +1=0， 解得x 1=x 2=-12.23.解：(1)根据题意，得12n (n -3)=14. 整理，得n 2-3n -28=0，解得n =7或n =-4.∵n 为大于等于3的整数，∵n =-4不合题意，舍去， ∵n =7，即这个多边形的边数是7. (2)A 同学的说法不正确.理由如下：当12n (n -3)=10时，整理，得n 2-3n -20=0，解得n =3±√892.∵符合方程n 2-3n -20=0的正整数n 不存在，∵一个多边形不可能有10条对角线.24.解：(1)设AC=x m，则BC=(20-x)m.由题意，得x(20-x)=96，即x2-20x+96=0，∵(x-12)(x-8)=0，解得x1=12，x2=8.当AC=12m时，BC=8m，AC为矩形的长，此时矩形的长为12m.当AC=8m时，BC=12m，BC为矩形的长，此时矩形的长为12m.答：该地面矩形的长为12m.(2)①若选用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖，则12 0.8×80.8=15×10=150(块)，150×50=7500(元)；①若选用规格为1.00×1.00(单位：m)的地板砖，则12 1×81=96(块)，96×80=7680(元).∵7500<7680，∵选用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖费用较少.25.[解析](1)第二个月的单价=第一个月的单价-降低的价格，销售量=200+10×降低的单价；清仓时的销售量=800-第一个月的销售量-第二个月的销售量.(2)等量关系为总售价-总进价=9000元.把相关数值代入计算即可.解：(1)填表如下.时间第一个月第二个月清仓时单价(元/件)8080-x40销售量(件)200200+10x800-200-(200+10x)(2)80×200+(80-x)(200+10x)+40×[800-200-(200+10x)]-800×50=9000，即x2-20x+100=0，解得x1=x2=10.当x=10时，80-x=80-10=70.答：第二个月的单价应为70元/件.[点评]本题考查一元二次方程的应用.用列表格的方法得到第二个月的单价和销售量以及清仓时的销售量是解决本题的突破点，得到总利润的等量关系是解决本题的关键.26.解：【思考】设经过x s，①PBQ的面积等于8cm2，依题意，得1(6-x)·2x=8，解得x1=2，x2=4.2经检验，x1，x2均符合题意.答：经过2s或4s，①PBQ的面积等于8cm2.【探究】不能.理由：假设经过y s，线段PQ能将①ABC分成面积相等的两部分.×6×8=24(cm2)，∵S①ABC=12∵1(6-y)·2y=12.2整理，得y2-6y+12=0.∵b2-4ac=36-4×12=-12<0，∵此方程无实数根，∵线段PQ不能将①ABC分成面积相等的两部分.【拓展】①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，设运动时间为m s，此时0<m<4.(6-m)(8-2m)=1，依题意，得12即m2-10m+23=0.解得m1=5+√2，m2=5-√2.经检验，m1=5+√2不符合题意，舍去，∵m=5-√2.①当点P在线段AB上，点Q在射线CB上时，设运动时间为n s，此时4<n<6.(6-n)(2n-8)=1，依题意，得12即n2-10n+25=0，解得n1=n2=5.经检验，n=5符合题意.①当点P在射线AB上，点Q在射线CB上时，设运动时间为k s，此时k>6.(k-6)(2k-8)=1，依题意，得12即k2-10k+23=0，解得k1=5+√2，k2=5-√2.经检验，k2=5-√2不符合题意，舍去，∵k=5+√2.综上所述，经过(5-√2)s或5s或(5+√2)s，①PBQ的面积为1cm2.。
(完整版)九年级数学中考复习专题一元二次方程练习题及答案
中考数学复习专题一元二次方程一、选择题:1、若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．02、方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C．（x+3）2=4 D．（x﹣3）2=43、关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0，常数项为0，则m值等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．04、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=1965、若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＜1且k≠0 B．k≠0 C．k＜1 D．k＞16、关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是( )A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠07、已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（） A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．108、若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（）A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣39、有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x值为（） A．5 B．6 C．7 D．810、毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为（）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人11、某市2013年生产总值（GDP）比2012年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2013年增长7%．若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A.12%+7%=x%B.（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C.12%+7%=2•x%D.（1+12%）（1+7%）=（1+x%）212、设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则的值为（）二、填空题:13、方程2x2﹣1=的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．14、若关于x的方程(a＋3)x|a|－1－3x＋2＝0是一元二次方程，则a的值为________________．15、把方程（2x+1）（x—2）=5－3x整理成一般形式后，得，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是。
中考数学一元二次方程与分式方程专题练习含解析
一元二次方程与分式方程一、选择题1．下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；④若b2﹣4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有①④D．只有②③④2．四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，则四边形ABCD是（）A．矩形B．平行四边形C．梯形D．平行四边形或梯形3．正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（1﹣2a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定二、填空题4．已知方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．5．已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是．6．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为．7．若关于x的方程有增根，则m的值是．8．方程的解是；若关于x的方程﹣1=0无实根，则a的值为．三、解答题9．阅读下列材料：关于x的方程：的解是x1=c，；（即）的解是x1=c；的解是x1=c，；的解是x1=c，；…（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．10．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m≠0）（1）若m=1，求出此时方程的实数根；（2）求证：方程总有实数根；（3）设m＞0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）、若y是关于m的函数，且y=x2﹣2x1，求函数的解析式，并画出其图象．（画草图即可，不必列表）11．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于．12．如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2；①当2＜t≤4时，试探究S2与之间的函数关系；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的？13．A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．（1）求y关于x的表达式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）．请直接写出s关于x的表达式；（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象．14．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z 与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x 之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．15．要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．16．如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N 作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值．（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．一元二次方程与分式方程参考答案与试题解析一、选择题1．下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；④若b2﹣4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有①④D．只有②③④【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】①②③小题利用移项与变形b2﹣4ac与0的大小关系解决；处理第④小题时不要疏忽二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点情况．【解答】解：①b2﹣4ac=（﹣a﹣c）2﹣4ac=（a﹣c）2≥0，正确；②若b＞a+c，则△的大小无法判断，故不能得出方程有两个不等实根，错误；③b2﹣4ac=4a2+9c2+12ac﹣4ac=4（a+c）2+5c2，因为a≠0，故（a+c）2与c2不会同时为0，所以b2﹣4ac＞0，正确；④二次函数y=ax2+bx+c与y轴必有一个交点，而这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，故正确．故选B．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数．2．四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，则四边形ABCD是（）A．矩形B．平行四边形C．梯形D．平行四边形或梯形【考点】根的判别式；梯形．【分析】AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，即判别式△=b2﹣4ac≥0，可得到AB与CD的关系，再判定四边形的形状．【解答】解：∵a=1，b=﹣3m，c=2m2+m﹣2∴△=b2﹣4ac=（﹣3m）2﹣4×1×（2m2+m﹣2）=（m﹣2）2+4＞0∴方程有两个不相等的实数根．∴AB≠CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是梯形．故选C．【点评】本题利用了一元二次方程的根的判别式与根的关系，梯形的判定求解．3．正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（1﹣2a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【考点】根的判别式；正比例函数的性质．【分析】正比例函数的图象经过第二、四象限，则（a+1）＜0，求出a的范围，结合一元二次方程的△，来判断根的情况．【解答】解：由题意知，（a+1）＜0，解得a＜﹣1，∴﹣4a＞4．因为方程x2+（1﹣2a）x+a2=0的△=（1﹣2a）2﹣4a2=1﹣4a＞5＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】（1）正比例函数y=kx，当k＜0，图象过二、四象限；k＞0时，图象过一、三象限．（2）一元二次方程的△＞0时，有两个不相等的实数根．（3）本题要会把a＜﹣1转化为1﹣4a＞5．二、填空题4．已知方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≠±2．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程成立的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，∴m2﹣4≠0，∴m≠±2．【点评】此题比较简单，考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．5．已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是0≤k≤1且k≠．【考点】根的判别式．【专题】压轴题．【分析】二次方程有实数根即根的判别式△≥0，找出a，b，c的值代入列出k的不等式，求其取值范围．【解答】解：因为关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，所以△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4（1﹣2k）×（﹣1）=4﹣4k≥0，解之得，k≤1．又因为k≥0，1﹣2k≠0，即k≠，所以k的取值范围是0≤k≤1且k≠．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零和被开方数大于零这两个隐含条件．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为16．【考点】一元二次方程的应用；三角形三边关系；菱形的性质．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD 的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD 的周长．【解答】解：∵解方程x2﹣7x+12=0得：x=3或4∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；∴菱形的边长为4．∴菱形ABCD的周长为4×4=16．【点评】由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形两边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．7．若关于x的方程有增根，则m的值是2．【考点】分式方程的增根．【专题】计算题．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得m﹣1﹣x=0，∵方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=2．故答案为：2．【点评】增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．8．方程的解是x=0；若关于x的方程﹣1=0无实根，则a的值为±1．【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【分析】本题考查解分式方程能力，观察可得方程最简公分母为2（x﹣2），去分母，化为整式方程求解．分式方程﹣1=0无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．【解答】解：方程两边同乘2（x﹣2），得2x﹣2=x﹣2，解得x=0．经检验x=0是原方程的根，故方程的解是x=0；（1）x=1为原方程的增根，此时有ax+1﹣（x﹣1）=0，即a+1﹣（1﹣1）=0解得a=﹣1．（2）方程两边都乘（x﹣1），得ax+1﹣（x﹣1）=0，化简得：（a﹣1）x=﹣2．当a=1时，整式方程无解．综上所述，当a=±1时，原方程无解．【点评】将分式方程化为整式方程的关键是确定最简公分母，要根据分式的分母确定最简公分母．分母是多项式能进行分解的要先进行分解，再去确定最简公分母．分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．三、解答题9．阅读下列材料：关于x的方程：的解是x1=c，；（即）的解是x1=c；的解是x1=c，；的解是x1=c，；…（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．【考点】解分式方程．【专题】阅读型．【分析】此题为阅读分析题，解此题要注意认真审题，找到规律：x+=c+的解为x1=c，x2=，据规律解题即可．【解答】解：（1）猜想的解是x1=c，x2=．验证：当x=c时，方程左边=c+，方程右边=c+，∴方程成立；当x=时，方程左边=+c，方程右边=c+，∴方程成立；∴的解是x1=c，x2=；（2）由得，∴x﹣1=a﹣1，，∴x1=a，x2=．【点评】解此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律：x+=c+的解为x1=c，x2=．10．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m≠0）（1）若m=1，求出此时方程的实数根；（2）求证：方程总有实数根；（3）设m＞0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）、若y是关于m的函数，且y=x2﹣2x1，求函数的解析式，并画出其图象．（画草图即可，不必列表）【考点】根与系数的关系；解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣因式分解法；根的判别式；待定系数法求反比例函数解析式．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）把m的值，代入方程，解方程即可；（2）运用根的判别式判断，列出判别式的表达式，再变形成为非负数，得出△≥0即可；（3）可根据求根公式求出x1、x2，代入y=x2﹣2x1中，得出关于m的函数关系式，根据m＞0，画出函数图象．【解答】解：（1）若m=1，方程化为x2﹣5x+4=0即（x﹣1）（x﹣4）=0，得x﹣1=0或x﹣4=0，∴x1=1或x2=4；证明：（2）∵mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0是关于x的一元二次方程，∴△=[﹣（3m+2）]2﹣4m（2m+2）=m2+4m+4=（m+2）2∵m≠0，∴（m+2）2≥0，即△≥0∴方程有实数根；解：（3）由求根公式，得．∴或x=1∵=2+∵m＞0，∴=2+＞2∵x1＜x2，∴x1=1，∴即为所求．此函数为反比例函数，其图象如图所示：即为所求．此函数为反比例函数，其图象如图所示：【点评】本题重点考查了反比例函数的性质（点评不合题意）及一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（此题并没有设计，需要重新检查此题），是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．11．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于75°或15°．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．【解答】解：当高在三角形内部时，由已知可求得三角形的顶角为30°，则底角是75°；当高在三角形外部时，三角形顶角的外角是30°，则底角是15°；所以此三角形的底角等于75°或15°【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出75°一种情况，把三角形简单的化成锐角三角形．12．如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2；①当2＜t≤4时，试探究S2与之间的函数关系；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的？【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）在解析式y=﹣x+4中，分别令y=0，x=0就可以求出与x，y轴的交点坐标；（2）根据MN∥AB，得到△OMB∽△OAB，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出，用OM表示出来；（3）根据t的不同值，所对应的阴影部分的图形形状不同，因而应分2＜t≤4和当0＜t≤2两种个情况进行讨论．【解答】解：（1）当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．∴A（4，0），B（0，4）；（2）∵MN∥AB，，∴OM=ON=t，∴S1=OM•ON=t2；（3）①当2＜t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为（t，t）．理由：当t=2时，OM=2，ON=2，OP=MN==2，直角三角形AOB中，设AB边上的高为h，易得AB=4，则×4h=4×4×，解得h=2，故t=2时，点P在l上，2＜t≤4时，点P在△OAB的外面．F点的坐标满足，即F（t，4﹣t），同理E（4﹣t，t），则PF=PE=|t﹣（4﹣t）|=2t﹣4，所以S2=S△MPN﹣S△PEF=S△OMN﹣S△PEF，=t2﹣PE•PF=t2﹣（2t﹣4）（2t﹣4）=﹣t2+8t﹣8；②当0＜t≤2时，S2=t2，t2=，解得t1=﹣＜0，t2=＞2，两个都不合题意，舍去；当2＜t≤4时，S2=﹣t2+8t﹣8=，解得t3=3，t4=，综上得，当t=或t=3时，S2为△OAB的面积的．【点评】本题主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，以及利用三角形的相似的性质．是一个难度较大的综合题．13．A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．（1）求y关于x的表达式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）．请直接写出s关于x的表达式；（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象．【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）由图知y是x的一次函数，设y=kx+b．把图象经过的坐标代入求出k与b 的值．（2）根据路程与速度的关系列出方程可解．（3）如图：当s=0时，x=2，即甲乙两车经过2小时相遇．再由1得出y=﹣90x+300．设y=0时，求出x的值可知乙车到达终点所用的时间．【解答】解：（1）方法一：由图知y是x的一次函数，设y=kx+b．∵图象经过点（0，300），（2，120），∴解得，∴y=﹣90x+300．即y关于x的表达式为y=﹣90x+300．方法二：由图知，当x=0时，y=300；x=2时，y=120．所以，这条高速公路长为300千米．甲车2小时的行程为300﹣120=180（千米）．∴甲车的行驶速度为180÷2=90（千米/时）．∴y关于x的表达式为y=300﹣90x（y=﹣90x+300）．（2）由（1）得：甲车的速度为90千米/时，甲乙相距300千米．∴甲乙相遇用时为：300÷（90+60）=2，当0≤x≤2时，函数解析式为s=﹣150x+300，2＜x≤时，S=150x﹣300＜x≤5时，S=60x；（3）在s=﹣150x+300中．当s=0时，x=2．即甲乙两车经过2小时相遇．因为乙车比甲车晚40分钟到达，40分钟=小时，所以在y=﹣90x+300中，当y=0，x=．所以，相遇后乙车到达终点所用的时间为﹣2=2（小时）．乙车与甲车相遇后的速度a=（300﹣2×60）÷2=90（千米/时）．∴a=90（千米/时）．乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示．【点评】本题以行程问题为背景，考查由一次函数图象求解析式．分析相遇问题，求相遇时间及速度，依据速度和时间画函数图象，重点考查学生的观察、理解及分析解决问题的能力．14．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z 与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x 之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可知直接计算这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）；（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，并根据图象上点的坐标利用待定系数法求函数的解析式即可；（3）表示出蔬菜的总收益w（元）与x之间的关系式，w=﹣24x2+21600x+2400000，利用二次函数最值问题求最大值．【解答】解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，分别把点（50，1200），（100，2700）代入得，50k+800=1200，100k1+3000=2700，解得：k=8，k1=﹣3，种植亩数与政府补贴的函数关系为：y=8x+800每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=﹣3x+3000（x＞0）（3）由题意：w=yz=（8x+800）（﹣3x+3000）=﹣24x2+21600x+2400000=﹣24（x﹣450）2+7260000，∴当x=450，即政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元．【点评】主要考查利用一次函数和二次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．利用二次函数的顶点坐标求最值是常用的方法之一．15．（2009•潍坊）要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；相切两圆的性质．【专题】几何图形问题．【分析】（1）把P、Q合并成矩形得长为（60﹣3×硬化路面的宽），宽为（40﹣2×硬化路面的宽），由等量关系S P+S Q=S矩形ABCD÷4求得并检验．（2）两等量关系2×O1到AD的距离=40；2×圆的半径+2×圆心到边的距离=60，列方程组求出并检验．【解答】解：（1）设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，根据题意，得：（60﹣3x）×（40﹣2x）=60×40×，解得，x1=10，x2=30，经检验，x2=30不符合题意，舍去．所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．（2）设想成立．设圆的半径为r米，O1到AB的距离为y米，根据题意，得：，解得：y=20，r=10，符合实际．所以，设想成立，则圆的半径是10米．【点评】分析图形特点，根据题意找出等量关系列出方程或方程组，解决问题并检验．16．如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N 作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值．（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；动点型．【分析】（1）可在直角三角形CPN中，根据CN的长和∠CPN的正切值求出．（2）三角形MPA中，底边AM的长为3﹣x，关键是求出MA边上的高，可延长NP交AD于Q，那么PQ就是三角形AMP的高，可现在直角三角形CNP中求出PN的长，进而根据AB的长，表示出PQ的长，根据三角形的面积公式即可得出S与x的函数关系式．根据函数的性质可得出S的最大值．（3）本题要分三种情况：①MP=PA，那么AQ=BN=AM，可用x分别表示出BN和AM的长，然后根据上述等量关系可求得x的值．②MA=MP，在直角三角形MQP中，MQ=MA﹣BN，PQ=AB﹣PN根据勾股定理即可求出x的值．③MA=PA，不难得出AP=BN，然后用x表示出AM的长，即可求出x的值．【解答】解：（1）；（2）延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由（1）得：PN=，则PQ=QN﹣PN=4﹣=x依题意，可得：AM=3﹣x，S=AM•PQ=（3﹣x）•=2x﹣x2=﹣（x﹣）2+∵0≤x≤1即函数图象在对称轴的左侧，函数值S随着x的增大而增大．∴当x=1时，S有最大值，S最大值=（3）△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：①若PM=PA，∵PQ⊥MA，∴四边形ABNQ是矩形，∴QA=NB=x，∴MQ=QA=x，又∵DM+MQ+QA=AD∴3x=3，即x=1②若MP=MA，则MQ=3﹣2x，PQ=，MP=MA=3﹣x在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP2=MQ2+PQ2∴（3﹣x）2=（3﹣2x）2+（x）2，解得：x=（x=0不合题意，舍去）③若AP=AM，由题意可得：AP=x，AM=3﹣x∴x=3﹣x，解得：x=综上所述，当x=1，或x=，或x=时，△MPA是等腰三角形．【点评】本题是点的运动性问题，考查了图形面积的求法、等腰三角形的判定等知识．（3）题要按等腰三角形腰和底的不同分类讨论．。
中考数学专题复习《方程与不等式》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《方程与不等式》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．下列等式变形错误的是（ ）A ．若 33x y -=- 则 0x y -=B ．若112x x -= 则 12x x -= C ．若 13x -= 则 4x =D ．若 342x x += 则 324x x -=-2．用配方法解一元二次方程2870x x +-= 则方程可化为（ ）A ．2(4)23x +=B ．2(8)23x +=C ．2(4)9x +=D ．2(8)9x +=3．在解方程3157246x x -+-= 时 第一步去分母 去分母后结果正确的是（ ） A ．12(31)12212(57)x x --⨯=+ B ．3(31)1222(57)x x --⨯=+ C ．3(31)322(57)x x --⨯=+D ．3(31)22(57)x x --⨯=+4．下列方程为一元一次方程的是（ ）A ．+2=3 x yB ．5y =C ．22x x =D ．12y y+= 5．《九章算术》中记载：“今有善田一亩 价三百 恶田七亩 价五百．今并买一顷 价钱一万．问善恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩 价值300钱 坏田7亩 价值500钱．今共买好 坏田1顷（1顷=100亩） 价钱10000钱．问好 坏田各买了多少亩？设好田买了x 亩 坏田买了y 亩 则下面所列方程组正确的是（ ） A ．{x +y =100300x +7500y =10000 B ．{x +y =100300x +5007y =10000 C ．{x +y =1007500x +300y =10000D ．{x +y =1005007x +300y =100006．已知方程组35ax by ax by +=-⎧⎨-=⎩的解是12x y =-⎧⎨=⎩则2a b -的值是（ ） A ．3B ．－3C ．5D ．－57．如图 由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上 重叠部分（阴影）的面积是4m 2 广告牌所占的面积是 30m 2（厚度忽略不计） 除重叠部分外 矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m 2 设矩形面积是xm 2 三角形面积是ym 2 则根据题意 可列出二元一次方程组为（ ）A ．{x +y −4=30(x −4)−(y −4)=2B ．{x +y =26(x −4)−(y −4)=2C ．{x +y −4=30(y −4)−(x −4)=2D ．{x −y +4=30x −y =28．为了奖励学习认真的同学 班主任老师给班长拿了40元钱 让其购买奖品 现有单价为4元的A 种学习用品和单价为6元的B 种学习用品可供选择 若40元钱恰好花完 则班长的购买方案有（ ） A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种9．若x y < 则下列不等式中不成立的是（ ）A ．22x y -<-B ．22x y -<-C ．22x y ->- D ．22x y ->-10．已知公式12111R R R =+ （ 12R R ≠ ） 则表示 1R 的公式是（ ） A ．212R RR RR -=B ．212RR R R R =-C ．1212()R R R R R +=D ．212RR R R R=-二 填空题11．已知2x =是方程230x x m -+=的解 则m 的值为 ． 12． 已知a ＝120222023+ b ＝120232023+ c ＝120242023+ 则代数式 2（a 2＋b 2＋c 2-ab-bc-ac ）的值是 ．13．若一元二次方程 22(1)310k x x k -++-= 有一个根为 0x = 则k= ．14．今年春节某超市组装了甲 乙两种礼品盆 他们都是由 ,,a b c 三种零食组成 其中甲礼品盒装有3千克 a 零食 1千克 b 零食 1千克 c 零食 乙礼品盒装有2千克 a 零食 2千克 b 零食 2千克 c 零食 甲 乙两种礼品盒的成本均为盆中 ,,a b c 三种零食的成本之和.已知每千克 a 的成本为10元 乙种礼品盒的售价为60元 每盒利润率为25%甲种每盒的利润率为50%当甲 乙两种礼盒的销售利润率为13时 该商场销售甲 乙两种礼盒的数量之比是 . 三 解答题15．计算：（1）解方程组：{y =2x −5 ①7x −3y =20 ② （2）解不等式：32523x x --> （3）解不等式组：523923x x ->⎧⎨-<⎩（4）解不等式组：{5x −12≤2(4x −3)x+42<3−6x−1616．解方程：241x - + 21x + ＝ 1xx - 17．小红和小凤两人在解关于x y 的方程组 {ax +3y =5 ，bx +2y =8 .时 小红只因看错了系数a 得到方程组的解为 {x =−1 ，y =2 . 小凤只因看错了系数b 得到方程组的解为 {x =1 ，y =4 .求a b 的值和原方程组的解.18．阅读理解下列材料然后回答问题：解方程:x²-3|x|+2=0解：（1）当x≥0时 原方程化为x²-3x+2=0 解得： 1x =2 2x =1 （ 2 ）当x ＜0时 原方程化为x²+3x+2=0 解得： 1x =1 2x =-2. ∴原方程的根是 1x =2 2x =1 3x =1 4x =-2. 请观察上述方程的求解过程 试解方程x²-2|x-1|-1=0.19．如图 在矩形ABCD 中剪去正方形ABFE 后 剩下的矩形EFCD 与原矩形ABCD 相似．求矩形ABCD 的宽和长的比．20．为了丰富市民的文化生活 我市某景点开放夜游项目．为吸引游客组团来此夜游 特推出了如下门票收费标准：标准一：如果人数不超过20人 门票价格为60元/人标准二：如果人数超过20人 每超过1人 门票价格降低2元 但门票价格不低于50元/人．（1）当夜游人数为15人时 人均门票价格为 元 当夜游人数为25人时 人均门票价格为 元（2）若某单位支付门票费用共1232元 则该单位这次共有多少名员工去此景点夜游？21．已知 422(2)50a a b y y+--+= 是关于y 的一元一次方程.（1）求 ,a b 的值. （2）若 2a x =-是 2211632x x x m--+-+= 的解 求 b m a m +-- 的值.22．新冠疫情以来 口罩成为了生活和工作的必需品.某口罩生产企业主要生产过滤式和供气式两种口罩.有过滤式口罩机和供气式口罩机各 10 台 统计发现 去年每台过滤式口罩机的产量比每台供气式口罩机多 60 万个 过滤式口罩的出厂价为 0.2 元/个 供气式口罩的出厂价为 4 元/个 两种口罩全部售出 总销售额为 10200 万元.（1）去年每台供气式口罩机的产量为多少万个？（2）今年 为了加大口罩供应量 该企业优化了生产方法 在保持口罩机数量不变的情况下 预计每台过滤式口罩机和供气式口罩机的产量将在去年基础上分别增加 2%a 和 %a .由于过滤式口罩更受市场欢迎 出厂价将在去年的基础上上涨 %a 而供气式口罩的出厂价保持不变 两种口罩全部售出后总销售额将增加20%17a 求 a 的值. 23．定义一种新运算“a ⊗ b”：当a≥b 时 a ⊗ b=a+2b 当a ＜b 时 a ⊗ b=a-2b.例如：3 ⊗ (-4)=3(8)(5)+-=- ()61262430-⊗=--=- .（1）填空：（-3） ⊗ （-2）=（2）若 (34)(5)(34)2(5)x x x x -⊗+=-++ 则x 的取值范围为 （3）已知 (57)(2)1x x -⊗-> 求x 的取值范围（4）利用以上新运算化简： ()()2235102m m m m ++⊗- .答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】A.若 33x y -=- 则 0x y -= 正确B.若112x x -= 两边同乘以2 则 22x x -= 故错误 C.若 13x -= 则 4x = 正确 D.若 342x x += 则 324x x -=- 正确 故答案为：B.【分析】等式的基本性质：（1）等式两边同加（或减）同一个数（或式子） 结果仍相等 （2）在不等式两边同乘一个数 或除以一个不为0的数 结果仍相等。
初三解方程练习题大全
初三解方程练习题大全解方程是初三数学中的重要知识点之一，也是一项需要坚实基础和长期积累的技能。
本文将为大家提供初三解方程的练习题大全，帮助学生巩固和提高解方程的能力。
一、一元一次方程1. 解方程：2x - 4 = 10解析：将方程中的常数项移到等号右边，得2x = 10 + 4，再将系数约去，可得x = 7。
2. 解方程：3(x + 2) = 27解析：先利用分配律化简方程，得3x + 6 = 27，再将常数项移到等号右边，可得3x = 27 - 6，最后将系数约去，可得x = 7。
3. 解方程：5 - 3x = 1解析：将方程中的常数项移到等号右边，得-3x = 1 - 5，再将系数约去，可得x = -2。
4. 解方程：-2(x - 3) = 4解析：先利用分配律化简方程，得-2x + 6 = 4，再将常数项移到等号右边，可得-2x = 4 - 6，最后将系数约去，可得x = -1。
二、一元二次方程1. 解方程：x^2 + 3x + 2 = 0解析：可以使用因式分解或配方法解这个一元二次方程。
通过因式分解，我们可以得到(x + 1)(x + 2) = 0，进而得到x = -1 或 x = -2。
2. 解方程：2x^2 - 5x + 2 = 0解析：可以使用因式分解或配方法解这个一元二次方程。
通过因式分解，我们可以得到(2x - 1)(x - 2) = 0，进而得到x = 1/2 或 x = 2。
3. 解方程：3x^2 + 5x - 2 = 0解析：可以使用因式分解或配方法解这个一元二次方程。
通过因式分解，我们可以得到(3x + 2)(x - 1) = 0，进而得到x = -2/3 或 x = 1。
4. 解方程：x^2 + 4x + 4 = 0解析：可以使用因式分解或配方法解这个一元二次方程。
通过因式分解，我们可以得到(x + 2)^2 = 0，进而得到x = -2。
三、应用题1. 小明今年的年龄是小红去年年龄的2倍，若小红去年的年龄是x 岁，求小明今年的年龄。
中考数学专题复习题：一元二次方程
1 / 3中考数学专题复习题：一元二次方程一、单项选择题（共10小题）1．已知方程260x x +−=的两个根是a b ，，则ab 的值为（ ）A ．1B ．1−C ．6D ．6−2．在下列方程中，不属于一元二次方程的是（ ）A．2152x −=xB ．7x 2=0C ．0.3x 2+0.2x =4D ．x (1-2x 2)=2x 2 3．如果关于x 的方程240x x m −+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．关于x 的不等式x ﹣2a ＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2+ax +1=0根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定5．若关于的一元二次方程2210kx x +−=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1k >−B ．且0k ≠C ．1k ≥−且D ．1k <−且6．如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，下列方程正确的是（ ）A ．x (x +1)=81B ．1+x +x 2=81C ．1+x +x (x +1)=81D ．1+(x +1)2=817．已知关于x 的方程220x kx +−=的一个解与方程131x x +=−的解相同，则方程的另一个解是（ ）A ．B ．2−C ．1D ．28．从4−，，，0，1，2，4，6这八个数中随机抽一个数，记为a ，数a 使关于xx 1k >−0k ≠0k ≠220x kx +−=1−2−1−2 / 3的一元二次方程()22240x a x a −−+=有实数解，关于y 的分式方程1311y a y y+−=−−有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ）A ．B ．C ．D ．29．已知ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足方程a 2x 2-(c 2-a 2-b 2)x +b 2=0，则方程根的情况是（ ）A ．有两相等实根B ．有两相异实根C ．无实根D ．不能确定10．三角形两边的长分别是6和8，第三边的长是一元二次方程216600x x −+=的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A ．24B ．24或 C ．48或D ．二、填空题（共5小题）11．已知x =-2是方程x 2+mx -6=0的一个根，则方程的另一个根是________.12．在国际象棋比赛中，若要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x 个参赛棋手，则可列方程为________.13．一元二次方程23670x x −−=的二次项系数是________，常数项是________． 14．把方程232x x −=用配方法化为2()x m n +=的形式，则m =______，n =______． 15．如图是一块矩形菜地ABCD ，AB=a （m ），AD=b （m ），面积为2()s m ，现将边AB 增加1m.（1）如图1，若a=5，边AD 减少1m ，得到的矩形面积不变，则b 的值是________. （2）如图2，边AD 增加2m ，有且只有一个a 的值，使得到的矩形面积为22()s m ，则s 的值是________.三、解答题（共7小题）16．解方程：（1）x 2-2x =1；（2）(x +3)2-2(x +3)=0 6−4−2−3 / 317．已知关于x 的方程x 2+9x +25+m =0，（1）若此方程有实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）条件下m 取满足条件的最大整数时，求此时方程的解.18．一次函数5y x =−+与反比例函数k y x=的图象在第一象限交于A ，B 两点，其中()1,A a ．（1）求反比例函数表达式；（2）若把一次函数的图象向下平移b 个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请求出b 的值．19．先化简再求值：2221(1)11m m m m m −−÷−−−+，其中m 是方程22016x x −=的解． 20．现有一块长20cm ，宽10cm 的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm 2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．21．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3=0，当Rt △ABC 的斜边a且两直角边b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的周长.22．已知关于的一元二次方程22(12)10k x k x +−+=有两个不相等的实数根.（1）求的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为12x x ，，且满足121223x x x x +=−，求的值.5y x =−+k y x=x k k。
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初三数学方程专题复习题1.如果x y y x b a b a 2427773-+-和是同类项，则x 、y 的值是（ ）A.x ＝－3，y ＝2B.x ＝2，y ＝－3C.x ＝－2，y ＝3D.x ＝3，y ＝－22 解下列方程组：（1）{4519323a b a b +=--= （2）{2207441x y x y ++=-=-3、 若方程组{31x y x y +=-=与方程组{84mx ny mx ny +=-=的解相同，求m 、n 的值.1．若⎩⎨⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧-=-=+1242a y x b y ax 的解，则⎩⎨⎧==______________b a ．2. 在方程3x +4y =16中，当x =3时，y =___；若x 、y 都是正整数，这个方程的解为_____．3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧=+=+9114y x y x B ．⎩⎨⎧=+=+75z y y x C ．⎩⎨⎧=-=6231y x x D ．⎩⎨⎧=-=-1y x xy y x4. 关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+m y x m y x 932的解是方程3x +2y =34的一组解，那么m =（ ）A ．2B ．-1C ．1D ．-25．某校初三(2)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表：捐款(元) 1 2 3 4人 数 6 7表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组A ．272366x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．2723100x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．273266x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．2732100x y x y +=⎧⎨+=⎩（二）1. 把分式方程11122x x x--=--的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ） A ．1-(1-x)=1 B ．1+(1-x)=1 C ．1-(1-x)=x-2 D ．1+(1-x)=x-22. 方程2321x x -=+的根是（ ） A.－2 B.12 C.－2，12D.－2，1 3. 当m =_____时，方程212mx m x +=-的根为124. 如果25452310A B x x x x x -+=-+--，则 A=____ B ＝________. 5. 若方程1322a x x x -=---有增根，则增根为_____，a=________.6解下列分式方程：25211111 332552323x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）； 2222213(1)1142312211x x x x x x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫+=+=+-+= ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭（4）；（5）；（6）韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅= 注意：（1）222121212()2x x x x x x +=+-⋅（2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅；12x x -=（3）①方程有两正根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；②方程有两负根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪⋅>⎩ ；③方程有一正一负两根，则1200x x ∆>⎧⎨⋅<⎩； ④方程一根大于1，另一根小于1，则120(1)(1)0x x ∆>⎧⎨--<⎩ （4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时满足∆≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，•两根之积12x x ⋅的代数式的形式，整体代入。
4．用配方法解一元二次方程的配方步骤：例：用配方法解24610x x -+=第一步，将二次项系数化为1：231024x x -+=，（两边同除以4） 第二步，移项： 23124x x -=- 第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：2223313()()2444x x -+=-+ 第四步，完全平方：235()416x -=第五步，直接开平方：344x -=±，即:1344x =++,2344x =-+ 【中考考点】①利用一元二次方程的意义解决问题；②用整体思想对复杂的高次方程或分式方程进行变形（换元法）；③考查配方法（主要结合函数的顶点式来研究）；④一元二次方程的解法；⑤一元二次方程根的近似值；⑥建立一元二次方程模型解决问题；⑦利用根的判别式求方程中字母系数的值和利用根与系数关系求代数式的值；⑧与一元二次方程相关的探索或说理题；⑨与其他知识结合，综合解决问题。
一、填空题1、关于x 的方程2(3)20m x ---=是一元二次方程，则m 的取值范围是 ____ .2、若(0)b b ≠是关于x 的方程220x cx b ++=的根，则2b c +的值为 ____ .3、方程2310x x -+=的根的情况是_______________________________.4、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是_______________.5、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为)(b a a b a -=*,根据这个规则，方程(2)50x +*=的解为_________________.6、如果关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个实数根，则k 的取值范围是_____________。
7、设12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则代数式3322121212()()()0a x x b x x c x x +++++=的值为___________.8、 a 是整数，已知关于x 的一元二次方程01)12(2=-+-+a x a ax 只有整数根，则a =__________.二、选择题1、关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定2、已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、3、方程23270x +=的解是（ ） A.B. C. D. 无实数根4、若关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=没有实数根，那么k 的最小整数值是（ ）A. 1B. 2C. 3D.5、如果a 是一元二次方程230x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程230x x m +-=的一个根，那么a 的值是（ ）A 、1或2B 、0或3-C 、1-或2-D 、0或36、设m 是方程250x x +=的较大的一根，n 是方程2320x x -+=的较小的一根，则m n +=（ ） A. B. C. 1 D. 2三、解答题2、已知方程222(9)(34)0x k x k k +-+++=有两个相等的实数根，求k 值，并求出方程的根。
3、已知,,a b c 是ABC ∆的三条边长，且方程222()210a b x cx +-+=有两个相等的实数根，试判断ABC ∆的形状。
4、 已知关于x 的一元二次方程2223840x mx m m --+-=.（1）求证：原方程恒有两个实数根;（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围.一元二次方程的应用专项训练解应用题步骤：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验根是否符合实际情况；⑥作答。
（一）传播问题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？（二）商品销售问题售价—进价=利润一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且ＲＰ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。
（１）当日产量为多少时每日获得的利润为１７５０元？（２）若可获得的最大利润为１９５０元，问日产量应为多少？3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。
为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。
经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。
要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？。