二次函数的应用(3)利润问题
2024中考数学专题 二次函数的应用
二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．题型一利润问题..................................................................................................................................1题型二几何问题................................................................................................................................14题型三构造函数解决实际问题.. (21)题型一利润问题1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那么商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（）A ．2105607350y x x =--+ B ．2105607350y x x =-++ C ．210350y x x =-+D ．2103507350y x x =-+-2．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．(2)若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？(3)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？3．某运动器材批发市场销售一种篮球，每个篮球进价为50元，规定每个篮球的售价不低于进价．经市场调查，每月的销售量y(个)与每个篮球的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x606264y500480460销售量(1)求y与x之间的函数关系式；(不需求自变量x的取值范围)(2)该批发市场每月想从这种篮球销售中获利8000元，又想尽量多给客户实惠，应如何给这种篮球定价？(3)物价部门规定，该篮球的每个利润不允许高于进货价的50%，设销售这种篮球每月的总利润为w(元)，那么销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？4．新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？(3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？5．某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不高于35元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？6．某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元．(1)商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个14.45元售出，求每次降价的百分率；(2)市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？②若要使用甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？7．某公司去年推出一种节能产品，售价(y 元/个)与月销量(x 个)的函数关系如下表，成本为20(元/个)，同时每月还需支出固定广告费47500元.售价y （元/个）119118117116115…月销量x （个）100200300400500…(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数或反比例函数的有关知识，写出y 与x 之间的函数关系式；(2)若出售这种节能产品的月利润为(w 元)，请用含x 的代数式表示月利润w ，并求出当月销售量为5000个时的月利润；(3)该公司去年每个月都销售了5000个这种节能产品．从今年一月份开始，因物价上涨，广告费每月上涨了2500元，产品成本增加了m %，因此售价上调0.6%m 元，由此月销量减少0.4%m ．结果今年一月份的月利润比去年每个月的月利润减少了3500元．求m 698.3≈768.7≈27616.6≈）8．某公司购进一批受环境影响较大的商品，该商品需要在特定的环境中才能保存．已知该商品成本y （元/件）与保存的时间第x （天）之间的关系满足2217y x x =++，该商品售价p （元/件）与保存时间第x （天）之间满足一次函数关系，其对应数据如下表所示．x （天） (1)2…p （元/件）…97105…(1)求商品的售价p （元/件）与保存时间第x （天）之间的函数解析式；(2)求保存第几天时，该天此商品不赚也不亏；(3)请你帮助该公司确定在哪一天卖出时，该天每件商品能获得最大利润，并求此时每件商品的售价是多少？9．云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进,A B 两种类型的头盔，已知购进3个A 类头盔和4个B 类头盔共需288元；购进6个A 类头盔和2个B 类头盔共需306元．(1),A B 两类头盔每个的进价各是多少元？(2)在销售中，该商场发现A 类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A 类头盔每个x 元（50100x ≤≤），y 表示该商家每月销售A 类头盔的利润（单位：元），求y 关于x 的函数解析式并求最大利润．10．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售量为y件．(1)则y与x的函数关系式为：______，自变量x的取值范围是：______；(2)每件商品的售价定为多少元时（x为正整数），每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？a a>元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利(3)若在销售过程中每一件商品都有()0润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围：______．11．跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为32元；甲种跳绳每根获利4元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳25根、乙种跳绳30根一共花费885元．(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？(2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共60根，在费用不超过1000元的情况下，如何进货才能保证利润W最大？(3)由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出120根和105根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳的售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高1元均少卖出5根，为了每天获取更多利润，请问店主将两种跳绳同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？12．我市某苗木种植基地尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单日销售n （株）与第x 天（x 为整数）满足关系式：50n x =-+，销售单价m （元/株）与x 之间的函数关系为1201202420102130x x m x x⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩（）（）(1)计算第10天该果苗单价为多少元/株?(2)求该基地销售这种果苗20天里单日所获利润y （元）关于第x （天）的函数关系式．(3)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将区30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”，试问：基地负员人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱?13．某电子公司，生产并销售一种新型电子产品，经过市场调查发现：每月生产x 台电子产品的成本y （元）由三部分组成，分别是生产线投入、材料成本、人工成本，其中生产线投入固定不变为2000元，材料成本（单位：元）与x 成正比例，人工成本（单位：元）与x 的平方成正比例，在生产过程中得到数下数据：x （单位：台）2040y （单位：元）21042216(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若某月平均每台电子产品的成本26元，求这个月共生产电子产品多少台？(3)若每月生产的电子产品均能售出，电子产品的售价也随着x 的增大而适当增大，设每台电子产品的售价为Q （单位：元），且有Q mx n =+（m 、n 均为常数），已知当2000x =台时，Q 为35元，且此时销售利润W （单位：元）有最大值，求m 、n 的值（提示：销售利润＝销售收入－成本费用）14．某文具店某种型号的计算器每个进价14元，售价22元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10个以上的，每多买一个，所买的全部计算器每个就降价0.1元，例如：某人买18个计算器，于是每个降价()0.118100.8⨯-=（元），因此所买的18个计算器都按每个21.2元的价格购买，但是每个计算器的最低售价为18元．(1)一次至少购买___________个计算器，才能以最低售价购买(2)写出该文具店一次销售()10x x >个时，所获利润y （元）与x （个）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当1050x <≤时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？15．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植．现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型的农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．河南某地某种粮大户，去年．．种植优质小麦360亩，平均每亩收益440元．他计划今年．．多承租一些土地，预计原来种植的360亩小麦，每亩收益不变．新承租的土地，每增加一亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．(1)该大户今年．．新承租多少亩土地，才能使总收益为182400元？(2)该大户今年．．应新承租多少亩土地，可以使总收益最大，最大收益是多少？16．红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．17．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．18．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数．．；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；a>给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元()0于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．19．随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=()()1000002010080002050tt t⎧≤≤⎪⎨+<≤⎪⎩，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）20．2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p （元/只）和销量q （只）与第x 天的关系如下表：第x 天12345销售价格p （元/只）23456销量q（只）7075808590物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q （只）与第x 天的关系为2280200q x x =-+-（630x ≤≤，且x 为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出．．．．该药店该月前5天的销售价格p 与x 和销量q 与x 之间的函数关系式；（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W （元）与x 的函数关系式，并判断第几天的利润最大；（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m 倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m 的取值范围为______．题型二几何问题1．如图，四边形ABCD 是边长为2cm 的正方形，点E ，点F 分别为边AD ，CD 中点，点O 为正方形的中心，连接,OE OF ，点P 从点E 出发沿E O F --运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 运动，两点运动速度均为1cm/s ，当点P 运动到点F 时，两点同时停止运动，设运动时间为s t ，连接,BP PQ ，BPQ V 的面积为2cm S ，下列图像能正确反映出S 与t 的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，ABC 是等边三角形，6cm AB ＝，点M 从点C 出发沿CB 方向以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，同时点N 从点C 出发沿射线CA 方向以2cm/s 的速度匀速运动，当点M 停止运动时，点N 也随之停止．过点M 作//MP CA 交AB 于点P ，连接MN ，NP ，作MNP △关于直线MP 对称的MN P '，设运动时间为ts ，MN P '与BMP 重叠部分的面积为2cm S ，则能表示S 与t 之间函数关系的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．3．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，45A ∠=︒，90C ∠=︒，4cm AD =，3cm CD =．动点M ，N 同时从点A 出发，点M 2cm /s 的速度沿AB 向终点B 运动，点N 以2cm /s 的速度沿折线AD DC -向终点C 运动．设点N 的运动时间为s t ，AMN 的面积为2cm S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．4．如图1，在四边形ABCD 中，,90,45BC AD D A ∠=︒∠=︒∥，动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 2cm /s 的速度沿AB 向点B 运动（运动到B 点即停止），点Q 以2cm /s 的速度沿折线AD DC →向终点C 运动，设点Q 的运动时间为(s)x ，APQ △的面积为()2cmy ，若y 与x 之间的函数关系的图像如图2所示，当7(s)2x =时，则y =____________2cm ．5．【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长4m AD =，宽1m =AB 的长方形水池ABCD 进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM 仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m 的矩形水池EFGH （如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD 的边AD 加长长度DM 为()()m 0x x >，加长后水池1的总面积为()21my ，则1y 关于x 的函数解析式为：()140y x x =+>；设水池2的边EF 的长为()()m 06x x <<，面积为()22m y ，则2y 关于x 的函数解析式为：()22606y x x x =-+<<，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．【问题解决】(1)若水池2的面积随EF 长度的增加而减小，则EF 长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________2m ；(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的()m x 值是_________；(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，()m x 的取值范围是_________；(4)在14x <<范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x 的值；(5)假设水池ABCD 的边AD 的长度为()m b ，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积()23m y 关于()()m 0x x >的函数解析式为：()30y x b x =+>．若水池3与水池2的面积相等时，()m x 有唯一值，求b 的值．6．某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．7．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．(1)若矩形养殖场的总面积为362m，求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？8．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度1mAE 的水池且需保证总种植面积为232m，试分别确定CG、DG的长；(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？9．如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED 和矩形ABCD 构成，矩形的一边BC 为12米，另一边AB 为2米．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，规定一个单位长度代表1米．E （0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点1P ，4P 在x 轴上，MN 与矩形1234PP P P 的一边平行且相等．栅栏总长l 为图中粗线段12PP ，23P P ，34P P ，MN 长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点2P ，3P 在抛物线AED 上．设点1P 的横坐标为()06m m <≤，求栅栏总长l 与m 之间的函数表达式和l 的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形1234PP P P 面积的最大值，及取最大值时点1P 的横坐标的取值范围（1P 在4P右侧）．10．如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A 处，另一端固定在离地面高2米的墙体B 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y （米）与其离墙体A 的水平距离x （米）之间的关系满足216y x bx c =-++，现测得A ，B 两墙体之间的水平距离为6米．图2（1）直接写出b ，c 的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为3724米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？题型三构造函数解决实际问题1．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A ．3B ．2C ．13D ．7米2．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为()A ．226675y x =B ．226675y x =-C ．2131350y x =D ．2131350y x =-3．竖直上抛物体离地面的高度()h m 与运动时间()t s 之间的关系可以近似地用公式2005h t v t h =-++表示，其中()0h m 是物体抛出时离地面的高度，()0/v m s 是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m 的高处以20/m s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）A ．23.5m B ．22.5m C ．21.5m D ．20.5m4．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．5．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m 时，水面宽度为4m ；那么当水位下降1m 后，水面的宽度为_________m.6．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．7．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m /s 的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间的函数关系是2520h t t =-+，当飞行时间t 为___________s 时，小球达到最高点．8．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系：2520h t t =-+，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t =_________s ．9．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．10．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为53米，出手后铅球在空中运动的高度y （米）与水平距离x （米）之间的函数关系式为2112y x bx c =-++，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米．11．如图，水池中心点O 处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O 在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m 时，水柱落点距O 点2.5m ；喷头高4m 时，水柱落点距O 点3m ．那么喷头高_______________m 时，水柱落点距O 点4m ．12．崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x 2+4x （单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是________米．13．某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y=________．。
二次函数与商品利润最大问题
初中数学课件
课堂寄语
二次函数是一类最优化问题 的数学模型，能指导我们解决生活中 的实际问题，同学们，认真学习数学 吧，因为数学来源于生活，更能优化 我们的生活。
初中数学课件
作业超市
必做题：大演草 说明指导60页例题1 选做题：中考备战二次函数的应用题
.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称
轴是
x b 2a
，顶点坐标是
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
.
当a>0时，抛物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有
4ac b2
最 小 值，是 4a
；
当 a<0时，抛物线开口向 下
数有最 大
4ac b2
值，是 4a
，有最 高 。
即：y=-20x2+100x+6000，
当
x 100 5 2 (20) 2
时,
y 20 (5)2 100大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销 售情综况合,可你知知，道应应定该价如6何5元定时价，
才能能使使利利润润最最大大了。吗?
点，函
基础扫描
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二次函数特定范围内的最值
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二 如何定价利润最大
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
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二次函数的应用
---商品利润最大问题
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复习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中 的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变 量的取值范围. （难点）
专题08 二次函数实际应用中的利润问题(解析版)-【压轴必考】
专题08 二次函数实际应用中的利润问题 经典例题例1.某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y （单位：千克）和每千克的售价x （单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中5080x ≤≤，（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．【解析】（1）设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，则由图象可得()50,100和()80,40，代入得： 501008040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2200k b =-⎧⎨=⎩，∴y 关于x 的函数解析式为2200y x =-+； （2）设该电商每天所获利润为w 元，由（1）及题意得：()()240220022808000w x x x x =--+=-+-，∴-2＜0，开口向下，对称轴为702b x a=-=， ∴5080x ≤≤，∴当70x =时，w 有最大值，即为22702807080001800w =-⨯+⨯-=； 答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．例2.合肥百货大楼以进价120元购进某种新商品，在5月份试销阶段发现，在售价不低于130元的情况下每件售价（元）与商品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系：（1）请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的a 值为（2）若百货大楼该商品柜组想日盈利达到1600元，应将售价定为多少元？（3）柜组售货员小李发现销售该种商品m 件与n 件的利润相同，且m n ≠，请直接写出m 与n 所满足的关系式．【答案】（1）20；（2）160元；（3）m +n =80【解析】（1）∴130+70=200，135+65=200，140+60=200，∴每件的售价与产品的日销量之和为200，∴a =200-180=20，故答案为：20；（2）由（1）知：当每件产品每涨价1元时，日销售量减少1件，设每件产品定价为x 元（x ＞120），则产品的日销量为（200-x ）元，依题意得：（x -120）（200-x ）=1600，整理得：x 2-320x +25600=0，解得：x 1=x 2=160．答：每件产品定价为160元时，每日盈利可达到1600元；（3）由（1）知：当每件产品每涨价1元时，日销售量减少1件，∴当销售该种商品m 件时，定价为：（200-m ）元，销售该种商品n 件时，定价为：（200-n ）元， 由题意得：（200-m -120）m =（200-n -120）n ，整理得：（m -n ）（m +n -80）=0，∴m ≠n ，∴m +n -80=0，即m +n =80．故答案为：（1）20；（2）160元；（3）m +n =80例3.某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x 元，每星期销售量为y 个．（1）请直接写出y （个）与x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y =-2x +220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【解析】（1）由题意可得，y =100-2（x -60）=-2x +220；（2）由题意可得，（-2x +220）（x -40）=2400，解得，170x =，280x =，∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．（3）设该网店每星期的销售利润为w 元，由题意可得w =（-2x +220）（x -40）=223008800-+-x x ， 当752b x a=-=时，w 有最大值，最大值为2450， ∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．【变式训练1】天府新区某商场开业后要经营一种新上市的文具进价为10元/件．试营销阶段发现：当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设该商场销售这种文具每天的销售量为y 件，销售单价为x 元/件(3)1x ≥．（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）设商场每天的销售利润为w （元），若每天销售量不少于150件，求商场每天的最大利润．【答案】（1）10380y x =-+；（2）1950元【解析】（1）当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，∴销售量y 件，销售单价x 元/件(13)x 之间的关系为：25010(13)10380y x x =--=-+； （2）每天销售量不少于150件，150y ∴，即10380150x -+，解得23x ，商场每天的销售利润2(10)(10)(10380)10(24)1960w x y x x x =-⋅=-⋅-+=--+，w ∴关于x 的抛物线对称轴为24x =，而100-<，开口向下，当23x 时，图象在对称轴左侧，w 随x 的增大而增大，23x ∴=时，w 最大，且w 最大值为1950，∴若每天销售量不少于150件，则商场每天的最大利润是1950元．【变式训练2】某地区在2020年开展脱贫攻坚的工作中大力种植有机蔬菜．某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图（2）所示（其中图（1）的图象是直线，图（2）的图象是抛物线）．（1）求每千克蔬菜销售单价y 与销售月份x 之间的关系式；（2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求出最大收益；（3）求出一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？【答案】（1）y =23-x +7；（2）5月出售每千克收益最大，最大为73元；（3）一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．【解析】（1）设y kx b =+，将(3,5)和(6,3)代入得，3563k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得237k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩．273y x ∴=-+； （2）设每千克成本与销售月份之间的关系式为：y =a （x -6）2+1，把(3,4)代入得，4=a （3-6）2+1，解得13a =．21(6)13y x ∴=-+，即214133y x x =-+． 收益23W =-217(413)3x x x +--+217(5)33x =--+， 103a =-<，∴当5x =时，73W =最大值．故5月出售每千克收益最大，最大为73元； （3）一年中销售每千克蔬菜的收益：23W =-217(413)3x x x +--+， 当1W =时，23-217(413)13x x x +--+=，解得：x 1=7，x 2=3， 103a =-<，x 为正整数，∴一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月． 故答案为：（1）y =23-x +7；（2）5月出售每千克收益最大，最大为73元；（3）一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．【变式训练3】红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x （单位：元/件），月销售量为y （单位：万件）．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a 元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a 的值．【答案】（1）5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）4．【解析】（1）由题意，当4050x ≤≤时，5y =，当50x >时，50.1(50)0.110y x x =--=-+，0y ≥，0.1100x ∴-+≥，解得100x ≤，综上，5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩； （2）设该产品的月销售利润为w 万元，①当4050x ≤≤时，5(40)5200w x x =-=-，由一次函数的性质可知，在4050x ≤≤内，w 随x 的增大而增大，则当50x =时，w 取得最大值，最大值为55020050⨯-=；②当50100x <≤时，2(40)(0.110)0.1(70)90w x x x =--+=--+，由二次函数的性质可知，当70x =时，w 取得最大值，最大值为90，因为9050>，所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元）， 5070x ∴<≤，设该产品捐款当月的月销售利润为Q 万元，由题意得：(40)(0.110)Q x a x =---+，整理得：221400.1()390240a a Q x a +=--+-+， 140702a +>，∴在5070x <≤内，Q 随x 的增大而增大， 则当70x =时，Q 取得最大值，最大值为(7040)(0.17010)903a a ---⨯+=-，因此有90378a -=，解得4a =．【变式训练4】某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量y （万件）与售价x （元/件）的函数关系式为()()2140,406080.6070x x y x x ⎧-+≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ （1）当售价为60元/件时，年销售量为________万件；（2）当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？（3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出x 的取值范围．【答案】（1）20；（2）当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元；（3）4555x ≤≤【解析】（1）=6080608020x y x y =-+=-+=当时，代入中，得．（2）设销售该产品的年利润为W 万元，当60x ≤40＜时，()()()2302140250800W x x x =--+=--+．∴20<－，∴当50x =时，800W =最大当6070≤≤x 时，()()()2308055625W x x x =--+=--+∴10-<，6070≤≤x ，∴当60x =时，600W =最大∴800600>，∴当50x =时，800W =最大∴当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元．（3）4555x ≤≤理由如下：由题意得 ()()3021407504555x x x --+≥≤≤解得：故答案为：（1）20；（2）当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元；（3）4555x ≤≤ 课后训练1．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？【答案】（1）5550y x =-+；（2）70元；（3）80元．【解析】（1）∴依题意得()150100102y x =+-⨯⨯， ∴y 与x 的函数关系式为5550y x =-+；（2）∴依题意得()504000y x -=，即()()5550504000x x -+-=，解得：170x =，290x =， ∴7090<∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；（3）设每月总利润为w ，依题意得 ()()()250555050580027500w y x x x x x =-=-+-=-+-∴50-<，此图象开口向下∴当()8008025x =-=⨯-时， w 有最大值为：258080080275004500-⨯+⨯-=（元），∴当销售单价为80元时利润最大，最大利润为4500元，故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．2．红星工厂研发生产某种产品，成本为3万元/吨，每天最多能生产15吨．工厂为持续发展，尝试与博飞销售公司建立产销合作关系，双方约定：合作第一个月，工厂产品仅由博飞销售公司订购代销，并每天按博飞销售公司当日订购产品数量生产，当日出厂价格y （万元/吨）与当日订购产品数量x （吨）之间的关系如图所示：（1）直接写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）红星工厂按产销合作模式生产这种产品，设第一个y （万元/吨）月单日所获利润为w （万元）， ①求w （万元）与x （吨）的函数关系式；②为响应国家“乡村振兴”政策，红星工厂决定，将合作第一个月中单日所获最大利润捐赠给附近村委会．试问：工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠多少万元？【答案】（1）9(05)4(515)x x y x -+≤≤⎧=⎨≤⎩＜；（2）①w =26(05)(515)x x x x x ⎧-+≤≤⎨≤⎩＜；②工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠15万元．【解析】（1）当0≤x ≤5时，设函数关系式为：y =kx +b ，把（0，9），（5，4）代入上式，得945b k b =⎧⎨=+⎩，解得：19k b =-⎧⎨=⎩，∴y =-x +9， 当5＜x ≤15时，y =4，综上所述：9(05)4(515)x x y x -+≤≤⎧=⎨≤⎩＜； （2）①由题意得：w =(y -3)x =()()6(05)43(515)x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎨-≤⎪⎩＜，∴w =26(05)(515)x x x x x ⎧-+≤≤⎨≤⎩＜； ②当05x ≤≤时，w =()22639x x x -+=--+，此时x =3，w 最大值=9，当515x ≤＜时，w =x ，此时，x =15，w 最大值=15，综上所述：工厂这次为“乡村振兴”最多捐赠15万元．3．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现销售量y （件）与售价x （元/件）（x 为正整数）之间满足一次函数关系：（1）求y 与x 的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润及此时的销售单价分别为多少元？【答案】（1）50012000y x =-+；（2）一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，销售单价分别为12元【解析】（1）设y 和x 的函数表达式为y kx b =+，则10000495005k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得50012000k b =-⎧⎨=⎩， 故y 和x 的函数表达式为50012000y x =-+；．（2）设这一周该商场销售这种商品的利润为w 元，由题意得：3155001200006000x x ≤≤⎧⎨-+≥⎩， 解得312x ≤≤，这一周该商场销售这种商品获得利润：()()()235001200035001350036000w y x x x x x =-=-+-=-+-，∴22750055125551252w x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭， ∴312x ≤≤，故12x =时，w 有最大值为54000，答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，销售单价为12元．4．夏天到了，宁波人最惦记的水果——杨梅进入成熟期，一水果店老板进行杨梅销售，已知杨梅进价为25元/千克．如果售价为30元/千克，那么每天可售出150千克：如果售价为32元/千克，那么每天可售出130千克．经调查发现：每天销售盘y (千克）与售价x (元/千克)之间存在一次函数关系．（1）求出y 关于x 的一次函数关系式；（2）若杨梅售价不得高于36元/千克，该店主销售杨梅每天要获得960元的毛利润，则销售单价应定为多少元/千克?（毛利润=销售额-进货成本〉（3）设杨梅每天销售的毛利润为W 元，当杨梅的售价定为多少元/千克时，每天销售获得的毛利润最大?最大毛利润是多少元?【答案】（1）y=-10x+450；（2）33元/千克；（3）售价定为35元/千克时，每天销售获得的毛利润最大，最大毛利润是1000元．【解析】（1）∴每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，∴设y=kx+b，∴x=30时，y=150，x=32时，y=130，则1503013032k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得：10450kb=-⎧⎨=⎩，∴y关于x的一次函数关系式：y=-10x+450；（2）设销售单价应定为x元/千克，由题意得：（x-25）（-10x+450）=960，解得：x=37或x=33，∴杨梅售价不得高于36元/千克，∴x=37不合题意，∴x=33，答：销售单价应定为33元/千克；（3）设杨梅的售价定为m元/千克时，每天销售获得的毛利润最大，则W=（m-25）（-10m+450）=-10m2+700m-11250=-10（m-35）2+1000，∴-10＜0，∴当m=35时，W有最大值，最大值1000元，答：杨梅的售价定为35元/千克时，每天销售获得的毛利润最大，最大毛利润是1000元．5．某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y（单位：万件）与销售单价x（单位：元）之间有如下表所示关系：（1）根据表中的数据，在图中描出实数对(,)x y所对应的点，并画出y关于x的函数图象；（2）根据画出的函数图象，求出y关于x的函数表达式；（3）设经营此商品的月销售利润为P（单位：万元）．①写出P关于x的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不．得超过．．．进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）图象见解析；（2）216y x =-+；（3）①222032P x x =-+-；②销售单价应定为3元．【解析】（1）y 关于x 的函数图象如图所示：（2）由（1）可设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，则由表格可把()()4,8,5,6代入得：4856k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：216k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数关系式为216y x =-+； （3）①由（2）及题意可得：()()()22221622032P x y x x x x =-=--+=-+-；∴P 关于x 的函数表达式为222032P x x =-+-；②由题意得：2200x ≤⨯％，即4x ≤，∴22203210x x -+-=，解得：123,7x x ==，∴3x =； 答：此时的销售单价应定为3元．。
2023年二轮复习解答题专题十七：二次函数的应用(销售利润问题)(原卷版)
2023年二轮复习解答题专题十七：二次函数的应用——销售利润问题方法点睛二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题.典例分析例1：（2022青岛中考）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？专题过关1. （2022鄂尔多斯中考）（10分）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．（1）求第二批每个挂件的进价；（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？2．（2022荆门中考）（10分）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x ＜80时，其销售量y （万个）与x 之间的关系式为y ＝﹣x +9．同时销售过程中的其它开支为50万元．（1）求出商场销售这种商品的净利润z （万元）与销售价格x 函数解析式，销售价格x 定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？（2）若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格x 的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x 应定为多少元？3. （2022宁波中考）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y 千克与每平方米种植的株数x （28x ££，且x 为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．（1）求y 关于x 的函数表达式．（2）每平方米种植多少株时，能获得最大产量？最大产量为多少千克？4. （2022广元中考）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？4. （2022滨州中考）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y 是销售价格x （单位：元）的一次函数．（1）求y 关于x 的一次函数解析式；（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．5. （2022营口中考）某文具店最近有A ，B 两款纪念册比较畅销，该店购进A 款纪念册5本和B 款纪念册4本共需156元，购进A 款纪念册3本和B 款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A 款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B 款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价的之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：售价（元/本）…22232425…每天销售量（本）…80787674…（1）求A ，B 两款纪念册每本的进价分别为多少元；（2）该店准备降低每本A 款纪念册的利润，同时提高每本B 款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A 款纪念册每本降价m 元．①直接写出B 款纪念册每天的销售量（用含m 的代数式表示）；②当A 款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润多少？6. （2022盘锦中考）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y （个）与销售单价x （元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？（3）设该玩具日销售利润为w 元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？7. （2022抚顺中考） 某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足如图所示的一次函数关系．是（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？8．（2022葫芦岛中考）（12分）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y （千克）与每千克售价x （元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：每千克售价x （元）……202224……日销售量y （千克）……666054……（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？9. （2022铜仁中考）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：（1）求每天销量y （吨）与批发价x （千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？10．（2022天门中考）（10分）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）有如下表所示的关系：销售单价x （元/千…2022.52537.540…克）销售量y （千克）…3027.52512.510…（1）根据表中的数据在如图中描点（x ，y ），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y 关于x 的函数关系式；（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w （元）（不计其它成本）．①求出w 关于x 的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w ＝240（元）时的销售单价．11. （2022荆州中考）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y ＝24－x ，第一年除60万元外其他成本为8元/件．（1）求该产品第一年的利润w （万元）与售价x 之间的函数关系式；（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？12. （2022十堰中考）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y （件）与销售时间x （天）之间的关系式是203062403040x x y x x <£ì=í-+<£î，，，销售单价p （元/件）与销售时间x （天）之间的函数关系如图所示．（1）第15天的日销售量为_________件；（2）当030x <£时，求日销售额的最大值；（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？13 .（2022大庆中考） 果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg ．在确保每棵果树平均产量不低于40kg 的前提下，设增种果树x （0x >且x 为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为kg y ，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．（1）图中点P 所表示的实际意义是________________________，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少____________kg ；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量(kg)w 最大？最大产量是多少？14. （2022贺州中考） 2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品，某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x 元时，求该商品销售量y 与x 之间的函数关系式；（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W 最大，最大利润是多少元？15. （2022北部湾中考） 打油茶是广西少数民族特有的一种民俗，某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y （盒）与销售单价x （元）之间的函数图像如图所示．（1）求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶月销售利润最大求出最大利润．16.（2022郑州一模） 某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为y ＝()()821202030mx m x n x ì-£<ïí££ïî，x 为正整数，且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克．已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入﹣成本）．（1）m ＝ ，n ＝ ；（2）求每天的利润W 元与销售的天数x （天）之间的函数关系式；（3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？17. （2022河南天一大联考）某体育用品专卖店新进一批篮球和足球，已知每个篮球的进的价比每个足球的进价多30元，用6000元购进篮球的数量与用4800元购进足球的数量相同．（1）求篮球、足球每个进价分别为多少元？（2）专卖店准备在进价基础上，篮球加价60%作为售价，足球加价50%作为售价．该专卖店平均每天卖出篮球120个，足球100个．为回馈顾客，减少库存，专卖店准备搞活动促销．经调查发现，篮球、足球的销售单价每降低10元，这两种商品每天都可多销售20个，为了使每天获取更大的利润，该专卖店决定把篮球、足球的销售单价都下降a 元．请通过计算说明，如何定价，专卖店才能获取最大利润．18. （2022河南商水二模）小强经营的网店以特色小吃为主，其中一品牌茶饼的进价为6元/袋，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y （单位：袋）与线下的售价x （单位：元/袋，1016x ££，且x 为整数）满足一次函数的关系，部分数据如下表所示．x （元/袋）1011121314y （袋）10090807060（1）求y 与x 的函数关系式．（2）若线上的售价始终比线下的售价每袋便宜1元，且线上的月销量固定为60袋．问当x 为多少时，线上和线下的月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．19.（2022河南虞城二模） 铁棍山药上有像铁锈一样的痕迹．故得名铁棍山药．某网店购进铁根山药若干箱．物价部门规定其销售单价不高于80元/箱，经市场调查发现：销件单价定为80元/箱时，每日销售20箱；如调整价格，每降价1元/箱，每日可多销售2箱．（1）已知某天售出铁棍山药70箱，则当天的销售单价为______元/箱．（2）该网店现有员工2名．每天支付员工的工资为每人每天100元，每天平均支付运费及其他费用250元，当某天的销售价为45元/箱时，收支恰好平衡．①铁棍山药的进价；②若网店每天的纯利润(收入-支出)全部用来偿还一笔15000元的贷款，则至少需多少天才能还清贷款？20. （2022平顶山一模）基商场以30元/台的价格购进500台新型电子产品，在销售过程中发现，其日销售量y （单位∶台）与销售单价x （单位∶元）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）按物价部门规定，产品的利润率不得超过 80%，该电子产品每台最高售价为 元，此时的日销售量为台 ；（3）若按照日销售获得最大利润时的售价，计算商场销售完这批电子产品获得的总利润．21. （2022开封二模）“慈母手中线，游子身上衣”，为感恩母亲，许多子女选择用康乃馨这种鲜花来表达对母亲的祝福．某花店采购了一批康乃馨，进价是每支8元．当每支售价为12元时，可销售30支；当每支售价为10元时，可销售40支．在销售过程中，发现这种康乃馨的销售量y （支）是每支售价x （元）的一次函数()030x £<．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设此花店这种康乃馨的销售利润是w 元，根据题意：当销售单价为多少元时，商家获得利润最大．22. （2022河南安阳县一模）疫情期间，为满足市民防护需求，某药店想要购进A 、B 两种口罩，B 型口罩的每盒进价是A 型口罩的两倍少10元．用6000元购进A 型口罩的盒数与用10000元购进B 型口罩盒数相同．（1）A 、B 型口罩每盒进价分别为多少元？（2）经市场调查表明，B 型口罩受欢迎，当每盒B 型口罩售价为60元时，日均销量为100盒，B 型口罩每盒售价每增加1元，日均销量减少5盒．当B 型口罩每盒售价多少元时，销售B 型口罩所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？23. （2022河南汝州一模）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．已知2盆盆景与1盆花卉的利润共330元，1盆盆景与3盆花卉的利润共240元．（1）求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？（2）调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为1W ，2W （单位：元）．①含x 的代数式分别表示1W ，2W ；②当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少元？。
九年级数学二次函数应用之最大利润问题
变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。
（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值。
题型三：实际问题中的方案决策例3 某小区有一长100 m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。
阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m 。
预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元。
（1）设其中一块绿化区域的长边长为xm ，写出工程总造价y （元）与x （ m ）的函数式系式（写出x 的取值范围）； （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。
（参考数据：732.13 ）一、能力培养某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件。
已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5。
（1）若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由。
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题(精选50题 附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题（精选50题附答案）1．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该产品的总开支（不含进价）总计120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在如图所示的一次函数关系.（1）求y关于x的函数关系；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利W（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支），当销售单价为何值时年获利最大?并求这个最大值.2．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件.市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件.(1)求出每天所得的销售利润w(单位：元)与每件涨价x(单位：元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；(3)商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案.方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元.请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.3．某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出2件.若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？你若是商场经理，为获得最大利润，每件衬衫应降价多少元，此时最大利润是多少？4．银隆百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五•一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．（1）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？（2）这次降价活动中，1200元是最高日利润吗？若是，请说明理由；若不是，请试求最高利润值．5．某商店销售一种商品，通过记录，发现该商品从开始销售至销售的第x天结束时（x 为整数）的总销量y（件）满足二次函数关系，销量情况记录如下表：（1）求y与x之间的函数关系式（不需要写自变量的取值范围）；（2）求：销售到第几天结束时，该商品全部售完？（3）若第m天的销量为22件，求m的值．6．河西王府井销售一种T 恤衫，每件进价为40 元，经过市场调查，一周的销售量y 件与销售单价x 元/件满足某种函数关系：（1）请根据所学的知识，选择合适的函数模型，求出y 与x 的之间的函数关系式；（2）设一周的销售利润为w 元，请求出w 与x 的函数关系式，并确定当销售单价为多少时一周的销售利润最大，并求出最大利润；（3）商场决定将一周销售T 恤衫的利润全部捐给某村用于精准扶贫的水网改造项目，在商场购进该T 恤衫的资金不超过6000 元情况下，请求出该商场最大捐款数额是多少元？7．某产品成本为400元/件，由经验得知销售量y与售价x是成一次函数关系，当售价为800元/件时能卖1000件，当售价1000元/件时能卖600件，问售价多少时利润W最大？最大利润是多少？8．某大型超市将进价为40 元的某种服装按50 元售出时，每天可以售出300 套，据市场调查发现，这种服装每提高1 元，销售量就减少5 套，如果超市将售价定为x 元，请你求出每天销售利润y 元与售价x 元的函数表达式．9．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之问存在着如图所示的一次函数关系.（1）求y关于x的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助⑵中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？10．我市红领服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实验商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y1（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如表所示：时间t（天）0 5 10 15 20 25 30 日销售量y t0 25 40 45 40 25 0 （百件）（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）网上商店的日销售量y2（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图所示．求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y 与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．11．某旅游度假区内某个宾馆有120间标准房，当标准房价格为每间200元时，每天都客满，经市场调查，标准房价格与平均入住房数之间的关系如下：（1）若日平均入住房数y（间）与日平均每间房价x（元）之间成一次函数关系，求出y关于x的函数关系式：（2）如果不考虑其他因素，宾馆的标准房日平均每间房价为多少元时，客房的日营业收入最大，最大日营业额为多少元？12．某商品现在的售价为每件25元，每天可售出30件．市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件．已知该商品的进价为每件20元，设该商品每天的销售量为y 件，售价为每件x元（x为正整数）(1) 求y与x之间的函数关系式；(2) 该商品的售价定为每件多少元时，每天的销售利润P（元）最大，最大利润是多少元？(3) 如果物价部门规定该商品每件的售价不得高于32元，若要每天获得的利润不低168元，请直接写出该商品的售价x（元）的取值范围.13．某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y(间)与房价x(元)(180≤x≤300)满足一次函数关系，部分对应值如下表：(1)求y与x之间的函数表达式；(2)已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每间空置的客房，宾馆每日需支出各种费用60元．当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大利润．(宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出)14．某商场将进货价30元的书包以40元售出，平均每月能售出600个。
二次函数的实际应用(利润问题)
建立模型
将问题抽象为二次函数模型，确定各项参数。
验证和调整
通过实际数据验证模型的准确性，并根据实际 情况进行调整和优化。
2 图像特点
二次函数的图像形状通常为抛物线，具有顶点、对称轴和开口方向等特点。
3 重要概念
二次函数的最值、最值点、零点等重要概念对利润问题的分析很有帮助。
二次函数的利润问题
利润问题是二次函数在实际应用中的一个典型问题。通过二次函数，我们可以计算出不同销量对应的利润，并 进一步分析销量与利润之间的关系。
利润的计算公式
1 收入
收入是销量乘以单价，可以表示为 R = px，其中 p 表示单价，x 表示销量。
2 成本
成本是与销量相关的固定成本和单位成本的乘积，可以表示为 C = a + bx。
3 利润
利润是收入减去成本，可以表示为 P = R - C。
二次函数在利润问题中的应用举例
例一：最大利润
根据给定的销量-利润函数，我们 可以通过分析函数的图像找到最 大利润所对应的销量。
例二：利润变化率
我们可以通过利润函数的一阶导 数（利润对销量的变化率）来分 析利润的增减情况。
例三：最佳生产量
通过分析利润函数的零点，我们 可以确定最佳生产量以最大化利 润。
最大化利润和最小化亏损
最大化利润
通过优化销量，控制成本和定价策略，我们可以最 大化企业的利润。
最小化亏损
在经营中，我们也需要考虑如何降低亏损，避免经 营困难。
求解利润最大化的方法
1
利润函数建模
将利润问题建立二次函数模型，确定各项参数。
2
图像分析
分析二次函数图像的顶点、开口方向等特点，确定最值点。
九年级数学二次函数应用之最大利润问题
变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。
（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值。
题型三：实际问题中的方案决策例3 某小区有一长100 m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。
阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m 。
预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元。
（1）设其中一块绿化区域的长边长为xm ，写出工程总造价y （元）与x （ m ）的函数式系式（写出x 的取值范围）； （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。
（参考数据：732.13 ）一、能力培养某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件。
已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5。
（1）若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由。
二次函数的应用--利润问题专项复习
二次函数的应用---利润问题专项复习
环节二、例题讲解（展示、帮扶）
例1、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件.如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定在什么范围时，每个月的利润不低于3000元？
练1：某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y 元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）为了使顾客尽量满意，每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？。
二次函数的应用——利润问题
1、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）•与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）15 23…y（件）25 21…若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？2、某环保器材公司销售一种市场需求量较大的新型产品．已知每件产品的进价为40元．经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元），存在如图所示的一次函数关系．每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销售量y（万件）存在函数关系z＝10y＋42.5（1）求y关于x的函数关系式．（2）试写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售总金额－年销售产品的总进价－年总开支金额）当销售单价为x为何值的，年获利最大？最大值是多少？（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下使产品的销售量最大，你认为销售单价应为多少元？3、将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这个商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。
（1）问：为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时进货多少个？（2）当定价为多少元时，可获得最大利润？4、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？1、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
二次函数的实际应用(利润最值问题)附答案
第3课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问题[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值．解：4)1(2-+=x y当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x解：4)1(2-+=x y∵30≤≤x ，对称轴为1-=x∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润则：)10300)(4060(1x x y -+-= )60010(102---=x x6250)5(102+--=x当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）)20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？解：设每件价格提高x 元，利润为y 元， 则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x当5=x ，4500max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元， 则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x当55=x ，30250max =y （元）答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=． 则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ．⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元， 所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x 400502-+-=x x225)25(2+--=x当25=x ，225max =y （元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中， “某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程．3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元)(30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)．解：⑴设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ． ⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202-+-=x x∵020<-=a ∴P 有最大值．当35)20(21400=-⨯=x 时，4500max =P （元）（或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值）答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x16)35(12≤-≤x∴31≤x ≤34或36≤x≤39． 作业布置：1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元． 解：设每件价格降价x 元，利润为y 元， 则：)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x当5=x ，625max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．2．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x （元/千克） … 25 24 23 22 … 销售量y （千克） (200)250030003500…（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x ，y ）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式； （2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？ 解：（1）由图象可知，y 是x 的一次函数，设y=kx+b ，•∵点（•25，2000），（24，2500）在图象上， ∴200025500,:25002414500k bk k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 ， ∴y=-500x+14500．（2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P 与x 的函数关系式为P=-500x 2+21000x-188500， 当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元．3．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q 关于x的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？解：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x2+900x+30000.(3)设总利润为W元则：W=Q－1000×30－400x=－10x2+500x=－10(x2－50x) =－10(x－25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元．答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．4．(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ． (1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元? 解：)802)(20()20(+--=-=x x w x y )40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x160012022-+-=x x当30=x ，200max =y （元）(1)y 与x 之间的的函数关系式为；160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． (3) 150200)30(22=+--x ，25)30(2=-x28351>=x （不合题意，舍去）252=x答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．12．(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：（1）甲地当年的年销售额为万元；．（2）在乙地区生产并销售时，年利润．由，解得或．经检验，不合题意，舍去，．（3）在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得（万元）；将代入，得（万.元）．，应选乙地．可编辑。
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题( 附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题（附答案）1. 某网店经营一种品牌水果, 其进价为10元/千克, 保鲜期为25天, 每天销售量(千克)与销售单价(元/千克)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x的函数关系式；(2)当该品牌水果定价为多少元时, 每天销售所获得的利润最大？(3)若该网店一次性购进该品牌水果3000千克, 根据(2)中每天获得最大利润的方式进行销售, 发现在保鲜期内不能及时销售完毕, 于是决定在保鲜期的最后5天一次性降价销售, 求最后5天每千克至少降价多少元才能全部售完？2. 特产店销售一种水果, 其进价每千克40元, 按60元出售, 平均每天可售100千克, 后来经过市场调查发现, 单价每降低2元, 则平均每天可增加20千克销量.（1）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元, 每千克水果应降多少元？（2）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利最大, 每千克水果应降多少元？3．某文具店购进A, B两种钢笔, 若购进A种钢笔2支, B种钢笔3支, 共需90元；购进A种钢笔3支, B种钢笔5支, 共需145元．（1）求该文具店购进A.B两种钢笔每支各多少元？（2）经统计, B种钢笔售价为30元时, 每月可卖64支；每涨价3元, 每月将少卖12支, 求该文具店B种钢笔销售单价定为多少元时, 每月获利最大？最大利润是多少元？4．某公司可投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本）, 成功研发出一种产品, 公司按订单生产（产量＝销售量）, 第一年该产品正式投产后, 生产成本为8元/件, 此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝﹣x+28．（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元, 那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年, 该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发, 使产品的生产成本降为6元/件, 为保持市场占有率, 公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价, 另外受产能限制, 销售量无法超过14万件, 请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元.5．某实验器材专营店为迎接我市理化生实验的到来, 购进一批电学实验盒子, 一台电学实验盒的成本是30元, 当售价定为每盒50元时, 每天可以卖出20盒．但由于电学实验盒是特殊时期的销售产品, 专营店准备对它进行降价销售．根据以往经验, 售价每降低3元, 销量增加6盒．设售价降低了x（元）, 每天销量为y（盒）．（1）求y与x之间的函数表达式；日销售利润w875 1875 1875 875（元）（注: 日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价x为多少元时, 日销售利润w最大？最大利润是多少元？（3）当销售单价x为多少元时, 日销售利润w在1500元以上？（请直接写出x的范围）7. 某公司销售一批产品, 进价每件50元, 经市场调研, 发现售价为60元时, 可销售800件, 售价每提高1元, 销售量将减少25件.公司规定:售价不超过70元.(1)若公司在这次销售中要获得利润10800元, 问这批产品的售价每件应提高多少元?(2)若公司要在这次销售中获得利润最大, 问这批产品售价每件应定为多少元?8．某公司开发了一种新型的家电产品, 又适逢“家电下乡”的优惠政策．现投资万元用于该产品的广告促销, 已知该产品的本地销售量（万台）与本地的广告费用（万元）之间的函数关系满足．该产品的外地销售量（万台）与外地广告费用（万元）之间的函数关系可用如图所示的抛物线和线段来表示．其中点为抛物线的顶点.结合图象, 求出（万台）与外地广告费用（万元）之间的函数关系式；()2求该产品的销售总量y（万台）与本地广告费用x（万元）之间的函数关系式；如何安排广告费用才能使销售总量最大？9．某电子厂生产一种新型电子产品, 每件制造成本为20元, 试销过程中发现, 每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时, 厂商每月获得的利润为400万元？（3）根据相关部门规定, 这种电子产品的销售单价不能高于40元, 如果厂商每月的制造成本不超过520万元, 那么当销售单价为多少元时, 厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？10．某灯具厂生产并销售A, B两种型号的智能台灯共100盏, 生产并销售一盏A型智能台灯可以获利30元；如果生产并销售不超过20盏B型台灯, 则每盏B型台灯可以获利90元, 如果超出20盏B型台灯, 则每超出1盏, 每盏B型台灯获利将均减少2元．设生产并销售B型台灯x盏．（其中x＞20）（2）当A型台灯所获得的利润比B型台灯所获得利润少200元时, 求生产并销售A, B 两种台灯各多少盏？（3）如何设计生产销售方案可以获得最大利润, 最大的利润为多少元？11．某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出20件, 每件盈利40元, 为了扩大销售量, 增加盈利, 尽快减少库存, 商场决定采取适当的降价促销措施, 经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元, 那么平均每天就可多售出2件．（1）求出商场盈利与每件衬衫降价之间的函数关系式；（1）请直接写出a的值为；（2）从第21天到第40天中, 求q与x满足的关系式；（3）若该网店第x天获得的利润y元, 并且已知这40天里前20天中y与x的函数关系式为y＝﹣x2+15x+500i请直接写出这40天中p与x的关系式为: ；ii求这40天里该网店第几天获得的利润最大？13. 某工厂生产甲、乙两种产品, 已知生产1吨产品甲需要2吨原材料A；生产1吨产品乙需要3吨原材料A. 根据市场调研, 产品甲、乙所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间分别满足函数关系：产品甲：y＝ax2+bx且x＝2时, y＝2.6；x＝3时, y＝3.6产品乙: y＝0.3x（1）求产品甲所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间满足的函数关系；（2）若现原材料A共有20吨, 请设计方案, 应怎样分配给甲、乙两种产品组织生产, 才能使得最终两种产品的所获利润最大.14. 某商场销售一批衬衫, 平均每天可售出20件, 每件盈利40元. 为了扩大销售, 增加盈利, 商场采取了降价措施. 假设在一定范围内, 衬衫的单价每降1元, 商场平均每天可多售出2件, 设衬衫的单价降x元, 每天获利y元.（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件, 那么衬衫的单价应降多少元, 才能使得这批衬衫一天内售完, 且获利最大, 最大利润是多少？种成本为25元/件的新型商品．在40天内, 其销售单价n（元/件）与时间x（天）的关系式是：当1≤x≤20时, ；当21≤x≤40时, .这40天中的日销售量m（件）与时间x（天）符合函数关系, 具体情况记录如下表（天数为整数）:时间x（天）日销售量m(件）45 40 35 30 25 …（1）请求出日销售量m（件）与时间x（天）之间的函数关系式；（2）若设该同学微店日销售利润为w元, 试写出日销售利润w（元）与时间x（天）的函数关系式；16．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球, 规定试销期间单价不低于成本价, 且获利不得高于40%．经试销发现, 销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元, 试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时, 该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元, 请确定销售单价x的取值范围．销售单价q（元/件）与x满足: 当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+ . （1）请分析表格中销售量p与x的关系, 求出销售量p与x的函数关系．（2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式.（1）请你根据表中的数据, 用所学知识确定与之间的函数表达式；（2）该商店应该如何确定这批文具盒的销售价格, 才能使日销售利润最大？（3）根据（2）中获得最大利润的方式进行销售, 判断一个月能否销售完这批文具盒, 并说明理由.20. 某工厂加工一种商品, 每天加工件数不超过100件时, 每件成本80元, 每天加工超过100件时, 每多加工5件, 成本下降2元, 但每件成本不得低于70元.设工厂每天加工商品x（件）, 每件商品成本为y（元）,（1）求出每件成本y（元）与每天加工数量x（件）之间的函数关系式, 并注明自变量的取值范围；（2）若每件商品的利润定为成本的20%, 求每天加工多少件商品时利润最大, 最大利润是多少？21．家用电器开发公司研制出一种新型电子产品, 每件的生产成本为18元, 按定价40元出售, 每月可销售20万件, 为了增加销量, 公司决定采取降价的办法, 经过市场调研, 每降价1元, 月销售量可增加2万件．（1）求出月销售利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式.（2）为了获得最大销售利润, 每件产品的售价定为多少元？此时最大月销售利润是多少？（3）请你通过（1）中函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围, 使月销售利润不低于480万元.22．城隍庙是宁波市的老牌商业中心, 城隍庙商业步行街某商场购进一批品牌女装, 购进时的单价是600元, 根据市场调查, 在一段时间内, 销售单价是800元时, 销售量是200件, 销售单价每降低10元, 就可多售出20件．(1)求出销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求出销售该品牌女装获得的利润W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：x（10万元）y 1 1.5 1.8 …（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费, 试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10~30万元, 问广告费在什么范围内, 公司获得的年利润随广告费的增大而增大？24．绿色生态农场生产并销售某种有机产品, 每日最多生产130kg, 假设生产出的产品能全部售出, 每千克的销售价y1（元）与产量x（kg）之间满足一次函数关系y1＝﹣x+168, 生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数图象如图中折线ABC所示．（1）求生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）求日利润为W（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少kg时, 这种产品获得的日利润最大？最大日利润为多少元？25．新鑫公司投资3000万元购进一条生产线生产某产品, 该产品的成本为每件40元, 市场调查统计：年销售量y（万件）与销售价格x（元）（40≤x≤80, 且x为整数）之间的函数关系如图所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如何确定售价才能使每年产品销售的利润W（万元）最大？（3）新鑫公司计划五年收回投资, 如何确定售价（假定每年收回投资一样多）？26. 某商品的进价是每件40元, 原售价每件60元. 进行不同程度的涨60 61 62 63 …价后, 统计了商品调价当天的售价和利润情况, 以下是部分数据:售价（元/件）利润（元）6000 6090 6160 6210 …（1）当售价为每件60元时, 当天售出件；（2）若对该商品原售价每件涨价x元（x为正整数）时当天售出该商品的利润为y元.①用所学过的函数知识直接写出y与x之间满足的函数表达式：.②如何定价才能使当天的销售利润不等于6200元？27．服装厂批发某种服装, 每件成本为65元, 规定不低于10件可以批发, 其批发价y （元/件）与批发数量x（件）（x为正整数）之间所满足的函数关系如图所示．（1）求y与x之间所满足的函数关系式, 并写出x的取值范围；（1）由题意知商品的最低销售单价是元, 当销售单价不低于最低销售单价时, y是x的一次函数. 求出y与x的函数关系式及x的取值范围；（2）在（1）的条件下, 当销售单价为多少元时, 所获销售利润最大, 最大利润是多少元？29. 某店只销售某种进价为40元/kg的产品, 已知该店按60元kg出售时, 每天可售出100kg, 后来经过市场调查发现, 单价每降低1元, 则每天的销售量可增加10kg.（1）若单价降低2元, 则每天的销售量是_____千克, 每天的利润为_____元；若单价降低x元, 则每天的销售量是_____千克, 每天的利润为______元；（用含x的代数式表示）（2）若该店销售这种产品计划每天获利2240元, 单价应降价多少元？（3）当单价降低多少元时, 该店每天的利润最大, 最大利润是多少元？30. 某文具店出售一种文具, 每个进价为2元, 根据长期的销售情况发现：这种文具每个售价为3元时, 每天能卖出500个, 如果售价每上涨0.1元, 其销售量将减少10个. 物价局规定售价不能超过进价的240%.（1）如果这种文具要实现每天800元的销售利润, 每个文具的售价应是多少？（2）该如何定价, 才能使这种文具每天的利润最大？最大利润是多少？31．某制衣企业直销部直销某类服装,价格（元)与服装数量(件)之间的关系如图所示,现有甲乙两个服装店,计划在"五一”前到该直销部购买此类服装, 两服装店所需服装总数为件,乙服装店所需数量不超过件,设甲服装店购买件,如果甲、乙两服装店分别到该直销部购买服装,两服装店需付款总和为元.(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.(2)若甲服装店购买不超过100件,请说明甲、乙两服装店联合购买比分别购买最多可节约多少钱32. 某企业接到生产一批手工艺品订单, 须连续工作15天完成. 产品不能叠压, 需专门存放, 第x天每件产品成本p（元）与时间x（天）之间的关系为p＝0.5x+7（1≤x≤5, x 为整数）. 约定交付产品时每件20元. 李师傅作了记录, 发现每天生产的件数y（件）与时间X（天）满足关系:（1）写出李师傅第x天创造的利润W（不累计）与x之间的函数关系式．（只要结果, 并注明自变量的取值范围．）（2）李师傅第几天创造的利润最大？是多少元？（3）这次订单每名员工平均每天创造利润299元. 企业奖励办法是: 员工某天创造利润超过平均值, 当天计算奖金30元. 李师傅这次获得奖金共多少元？33. 某手机专营店, 第一期进了品牌手机与老年机各50部, 售后统计, 品牌手机的平均利润是160元/部, 老年机的平均利润是20元/部, 调研发现：①品牌手机每增加1部, 品牌手机的平均利润减少2元/部；②老年机的平均利润始终不变.该店计划第二期进货品牌手机与老年机共100部, 设品牌手机比第一期增加x部. （1）第二期品牌手机售完后的利润为8400元, 那么品牌手机比第一期要增加多少部？（2）当x取何值时, 第二期进的品牌手机与老年机售完后获得的总利润W最大, 最大总利润是多少？34．某公司经销一种水产品, 在一段时间内, 该水产品的销售量W（千克）随销售单价x（元/千克）的变化情况如图所示．（1）求W与x的关系式；（2）若该水产品每千克的成本为50元, 则当销售单价定为多少元时, 可获得最大利润？（3）若物价部门规定这种水产品的销售单价不得高于90元/千克, 且公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润, 则销售单价应定为多少元？35. 某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示, 成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段, 图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低, 此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜, 每千克的收益最大？简单说明理由.（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元, 且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克, 求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？36. 某商品的进价为每件20元, 市场调查反映, 若按每件30元销售, 每天可销售100件；若销售单价每上涨1元, 每天的销售就减少5件.(1)设每天该商品的销售利润为y元, 销售单价为x元(x≥30), 求y与x的函数解析式；(2)求销售单价为多少元时, 该商品每天的销售利润最大, 最大利润是多少？37. 数学兴趣小组几名同学到商场调查发现, 一种纯牛奶进价为每箱40元, 厂家要求售价在40～70元之间, 若以每箱70元销售平均每天销售30箱, 价格每降低1元平均每天可多销售3箱.（1）求出y 与x 之间的函数表达式（2）该新型“吸水拖把”每月的总利润为w （元）, 求w 关于x 的函数表达式, 并指出销售单价为多少元时利润最大, 最大利润是多少元？（3）由于该新型“吸水拖把”市场需求量较大, 厂家又进行了改装, 此时超市老板发现进价提高了m 元, 当每月销售量与销售单价仍满足上述一次函数关系, 随着销量的增大, 最大利润能减少1750元, 求m 的值.39．某花店用3600元按批发价购买了一批花卉.若将批发价降低10%, 则可以多购买该花卉20盆.市场调查反映, 该花卉每盆售价25元时, 每天可卖出25盆.若调整价格, 每盆花卉每涨价1元, 每天要少卖出1盆. （1）该花卉每盆批发价是多少元？（2）若每天所得的销售利润为200元时, 且销量尽可能大, 该花卉每盆售价是多少元？ （3）为了让利给顾客, 该花店决定每盆花卉涨价不超过5元, 问该花卉一天最大的销售利润是多少元？40. 某商店经营一种小商品, 进价为3元, 据市场调查, 销售单价是13元时平均每天销售量是400件, 而销售价每降低一元, 平均每天就可以多售出100件.(Ⅰ)假定每件商品降低x 元, 商店每天销售这种小商品的利润y 元, 请写出y 与x 之间的函数关系. (注：销售利润=销售收入-购进成本)(Ⅱ)当每件小商品降低多少元时, 该商店每天能获利4800元？40元, 根据市场调查：在一段时间内, 销售单价是50元时, 销售量是600件,而销售单价每涨2元, 就会少售出20件玩具.（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞50）, 请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润ω元, 并把结果填写在表格中：销售单价（元）销售量y（件）①销售玩具获得利润ω（元）②（2）在（1）问条件下, 若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于54元, 且商场要完成不少于400件的销售任务, 求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？42．如图，某工厂与两地有铁路相连，该工厂从地购买原材料，制成产品销往地.已知每吨进价为600元（含加工费），加工过程中1吨原料可生产产品吨，当预计销售产品不超过120吨时，每吨售价1600元，超过120吨，每增加1吨，销售所有产品的价格降低2元.设该工厂有吨产品销往地.（利润＝售价—进价—运费）（1）用的代数式表示购买的原材料有吨.（2）从地购买原材料并加工制成产品销往地后，若总运费为9600元，求的值，并直接写出这批产品全部销售后的总利润.（3）现工厂销往地的产品至少120吨, 且每吨售价不得低于1440元, 记销完产品的总利润为元, 求关于的函数表达式, 及最大总利润.43. 水产经销商以10元/千克的价格收购了1000千克的鳊鱼围养在湖塘中（假设围养期每条鳊鱼的重量保持不变）, 据市场推测, 经过湖塘围养后的鳊鱼的市场价格每围养一天能上涨1元/千克, 在围养过程中（最多围养20天）, 平均每围养一天有10千克的鳊鱼会缺氧浮水。
二次函数应用——利润问题
典型例题分析：例题2
某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退 回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7 角时，每天卖出160个。在此基础上，这种面包的单价每 提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个。考虑了所有 因素后该零售店每个面包的成本是5角。设这种面包的单 价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为 y（角）。 ⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面 包个数； ⑵求y与x之间的函数关系式； ⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获 得的利润最大？最大利润为多少？
变式训练4：
某商店经营一批进价为10元的商品，据市场分析，每件售 价15元，则一天可售55件，如果售价每降1元，则日销售 量可增加3件，（为了方便结账，定价取整数）设销售单 价为x元，日销售量为y件，日获利为w元。 解答下列问题： 试写出y与x之间的函数关系式； 试写出w与x之间的函数关系式； 计算单价为12元时的日销售量和日销售利润； 若使日销售利润达到200元，且老板要尽快减少库存，则 售价应定为多少元? 定价为多少元时，日获利最多，为多少？ 分别写出本题中w与x的取值范围。
变式训练3：
为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精 神,最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策, 使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已 知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品 每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系: ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元). (1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式. (2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利 润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千 克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为 多少元?
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题( 附答案)
1．某网店经营一种品牌水果，其进价为 10 元/千克，保鲜期为 25 天，每天销售量 y (千 克)与销售单价 x (元/千克)之间的函数关系如图所示. (1)求 y 与 x 的函数关系式；
(2)当该品牌水果定价为多少元时，每天销售所获得的利润最大？ (3)若该网店一次性购进该品牌水果 3000 千克，根据(2)中每天获得最大利润的方式进行 销售，发现在保鲜期内不能及时销售完毕，于是决定在保鲜期的最后 5 天一次性降价销 售，求最后 5 天每千克至少降价多少元才能全部售完？
A型
B型
合计
台灯数量（盏）
x
100
每盏台灯获利（元）
30
（2）当 A 型台灯所获得的利润比 B 型台灯所获得利润少 200 元时，求生产并销售 A， B 两种台灯各多少盏？ （3）如何设计生产销售方案可以获得最大利润，最大的利润为多少元？ 11．某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售 量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价促销措施，经市场调查发现： 如果每件衬衫降价 1 元，那么平均每天就可多售出 2 件． （1）求出商场盈利与每件衬衫降价之间的函数关系式； （2）若每天盈利达 1200 元，那么每件衬衫应降价多少元？ 12．某大学生利用暑假 40 天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种新型商品成本
其中点 A 为抛物线的顶点．
1 结合图象，求出 y2 （万台）与外地广告费用 t （万元）之间的函数关系式； 2 求该产品的销售总量 y （万台）与本地广告费用 x （万元）之间的函数关系式；
3 如何安排广告费用才能使销售总量最大？
9．某电子厂生产一种新型电子产品，每件制造成本为 20 元，试销过程中发现，每月销 售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数 y＝﹣2x+100．（利 润＝售价﹣制造成本） （1）写出每月的利润 z（万元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为 400 万元？ （3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于 40 元，如果厂商每月的制 造成本不超过 520 万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大 利润为多少万元？ 10．某灯具厂生产并销售 A，B 两种型号的智能台灯共 100 盏，生产并销售一盏 A 型智 能台灯可以获利 30 元；如果生产并销售不超过 20 盏 B 型台灯，则每盏 B 型台灯可以 获利 90 元，如果超出 20 盏 B 型台灯，则每超出 1 盏，每盏 B 型台灯获利将均减少 2 元．设生产并销售 B 型台灯 x 盏．（其中 x＞20） （1）完成下列表格：
二次函数的实际应用利润问题
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) (0≤X≤30)
即 y10x210x06000
精选ppt
10
y10x210x06000 (0≤X≤30)
x2ba5时， y最大值 1052 100560006250
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
6250 6000
若生产厂家要求每箱售价在45—55元之间。 如何定价才能使得利润最大？（为了便于计 算，要求每箱的价格为整数）
精选ppt
13
有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克， 放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后 每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天 需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去， 假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放 养期间蟹的重量不变）.
际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买
进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润
y 6 0 x3 010 x8 43 0 010 x8
1x2 8 6x0 60(0≤0 x≤200 )
当 答x：定2价ba为5358时1 ， y元最时大，利18润最53大2，6最0大53 利6润0为060605005元0 3
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？
精选ppt
9
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出18件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
第二章 二次函数习题PPT：第3课时 利用二次函数解决利润问题
解：（1）根据题意，得y＝－21x＋50. （2）根据题意，得（40＋x）（－12x＋50）＝2 250， 解得x1＝50，x2＝10. ∵每件利润不能超过60元，∴x＝10. 答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2 250元.
（3）根据题意，得w＝（40＋x）（－
1 2
x＋50）＝－
3.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元 （20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件.若使利润最大，每 件的售价应为 25 元.
4.（2018·榆林期末）幸福村为了维护村民的利益，限定村内所有商店 的商品的利润率不得超过50%，村内一家商店以每件8元的价格购进一批 商品，该商品每件售价定为x元，每天可卖出（100－4x）件，每天销售该 商品所获得的利润为y元.
②（ⅰ）当0＜x≤30时，令－2（x－25）2＋2 450＝2 400，解得x1＝ 20，x2＝30.
∵抛物线w＝－2（x－25）2＋2 450的开口向下， ∴当20≤x≤30时，w≥2 400. 此时，当天利润不低于2 400元的天数为30－20＋1＝11（天）. （ⅱ）当30＜x≤50时， 由①可知当天利润均低于2 400元. 综上所述，当天利润不低于2 400元的共有11天.
类型2 每……每……问题
6.喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件， 每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出 10件.设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售该商品的利润 为y元，则y与x的函数表达式为（A ）
A.y＝－10x2＋100x＋2 000 B.y＝10x2＋100x＋2 000 C.y＝－10x2＋200x D.y＝－10x2－100x＋2 000
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题(精选60题 附答案)
7．某种商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200 件；如果每件
商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件.若商城某个月要盈利 1250 元，求每件商品
应上涨多少元？
8．为鼓励大学生毕业后自主创业,我市出台了相关政策：由政府协调,本市企业按成本价
提供产品给应届毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.赵某按照相关
(2)设赵某获得的利润为 W(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润?
(3)物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于 28 元.如果赵某想要每月获得
的利润不低于 3000 元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元? 9．为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根 据场调查，在草莓上市销售的 30 天中，其销售价格 m （元/公斤）与第 x 天之间满足
销售利润＝日销售额﹣日维护费）
（3）求日销售利润 y 的最大值及相应的 x ．
10．某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 80 元，经市场调查，每天的销售量 y（千克）与每千克售价 x（元）满足一次函数关系， 部分数据如下表：
售价 x（元/千克）
产品 每件售价（万 元）
每件成本（万 元）
每年其他费用（万 元）
每年最大产销量 （件）
甲6
a
20
200
乙 20
10
40＋0.05x2
80
其中 a 为常数，且 3≤a≤5． （1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为 y1 万元、y2 万元，直接写出 y1、y2 与 x 的函数关系式；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润； （3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由． 5．为推进生态文明建设,加快发展新能源汽车,国家对新能源汽车实行补贴政策。一家 4S 店从事某品牌纯电动汽车和插电式混动汽车两种新能源汽车(以下简称电动车和混动 车)的销售，电动车每辆进价 16 万元，去年国家对该车每辆补贴 4.5 万元，补贴后每辆 售价 14 万元；混动车每辆进价 18 万元，去年国家对该车每辆补贴 2.8 万元，补贴后每 辆售价 18 万元。该 4S 店去年 12 月共销售这两种汽车 120 辆，获得利润 324 万元。 (1)求该 4S 店去年 12 月销售了多少辆混动车? (2)今年国家对该品牌新能源汽车的补贴有所下降,电动车每辆比去年少补贴 0.5 万元,混 动车每辆比去年少补贴 0.8 万元,该 4S 店为减少损失,今年 1 月把电动车的售价提高了
专题03 二次函数与实际应用(销售利润问题)-2022年中考数学二次函数重点题型(全国通用版)解析版
专题03 二次函数与实际应用（销售利润问题）1．（2021·辽宁丹东·中考真题）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？【答案】（1）5550y x =-+；（2）70元；（3）80元．【分析】（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；（2）根据题意，按照等量关系“销售量⨯（售价-成本）4000=”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；（3）设每月所获利润为w ，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．【详解】解：（1）∵依题意得()150100102y x =+-⨯⨯， ∴y 与x 的函数关系式为5550y x =-+；（2）∵依题意得()504000y x -=，即()()5550504000x x -+-=，解得：170x =，290x =，∵7090<∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元； （3）设每月总利润为w ，依题意得()()()250555050580027500w y x x x x x =-=-+-=-+-∵50-<，此图象开口向下∴当()8008025x =-=⨯-时， w 有最大值为：258080080275004500-⨯+⨯-=（元）， ∴当销售单价为80元时利润最大，最大利润为4500元，故为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．2．（2021·辽宁锦州·中考真题）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t ，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m （万元）与原料的质量x （t ）之间的关系为m ＝50＋0.2x ，销售价y （万元/t ）与原料的质量x （t ）之间的关系如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设销售收入为P （万元），求P 与x 之间的函数关系式；（3）原料的质量x 为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．【答案】（1）1y 204x =-+；（2）21165P x x =-+；（3）原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是3265万元 【分析】 （1）利用待定系数法求函数关系式；（2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式；（3）设销售总利润为W ，根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b +＝，将（20，15），（30，12.5）代入，可得：20153012.5k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：1420k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为1y 204x =-+；（2）设销售收入为P （万元），∴()2411120%2016545P xy x x x x ⎛⎫=-=⨯-+=-+ ⎪⎝⎭， ∴P 与x 之间的函数关系式为21165P x x =-+； （3）设销售总利润为W ， ∴()216.216 6.2500.25W P x m x x x x =--=-+--+， 整理，可得：()22148132650245555W x x x =-+-=--+， ∵﹣15＜0， ∴当24x ＝时，W 有最大值为3265， ∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是3265万元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及了数形结合的数学思想，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．3．（2021·辽宁盘锦·中考真题）某工厂生产并销售A ，B 两种型号车床共14台，生产并销售1台A 型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B 型车床，则每台B 型车床可以获利17万元，如果超出4台B 型车床，则每超出1台，每台B 型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B 型车床x 台．（1）当4x >时，完成以下两个问题：①请补全下面的表格：万元，问：生产并销售B 型车床多少台？（2）当0＜x ≤14时，设生产并销售A ，B 两种型号车床获得的总利润为W 万元，如何分配生产并销售A ，B 两种车床的数量，使获得的总利润W 最大？并求出最大利润．【答案】（1）①14x -，21x -；②10台；（2）分配产销A 型车床9台、B 型车床5台；或产销A 型车床8台、B 型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元【分析】（1）①由题意可知，生产并销售B 型车床x 台时，生产A 型车床（14-x ）台，当4x >时，每台就要比17万元少（4x -）万元，所以每台获利17(4)x --，也就是（21x -）万元； ②根据题意可得根据题意：(21)10(14)70x x x ---=然后解方程即可；（2）当0≤x ≤4时，W ＝10(14)x -＋17x ＝7140x +，当4＜x ≤14时，W ＝2( 5.5)170.25x --+，分别求出两个范围内的最大值即可得到答案.【详解】解：（1）当4x >时，每台就要比17万元少（4x -）万元所以每台获利17(4)x --，也就是（21x -）万元①补全表格如下面：由B 型可获得利润为(21)x x -万元，根据题意：(21)10(14)70x x x ---=， 2312100x x -+=，(21)(10)0x x --=，∵0≤x ≤14， ∴10x =，即应产销B 型车床10台；（2）当0≤x ≤4时，该函数值随着x 的增大而增大，当x 取最大值4时，W 最大1＝168（万元）；当4＜x ≤14时，则W ＝10(14)x -＋(21)x x -＝211140x x -++＝2( 5.5)170.25x --+，当5x =或6x =时（均满足条件4＜x ≤14），W 达最大值W 最大2＝170（万元），∵W 最大2＞ W 最大1，∴应分配产销A 型车床9台、B 型车床5台；或产销A 型车床8台、B 型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解.4．（2021·湖北荆门·中考真题）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y （件）是关于售价x （元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x ，周销售量y ，周销售利润W （元）的三组对应值数据．；（2）若该商品进价a （元/件），售价x 为多少时，周销售利润W 最大？并求出此时的最大利润；（3）因疫情期间，该商品进价提高了m （元/件）（0m >），公司为回馈消费者，规定该商品售价x 不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m 的值．【答案】（1）3300y x =-+；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）5m =【分析】（1）①依题意设y =kx +b ，解方程组即可得到结论；（2）根据题意得(3300)()W x x a =-+-，再由表格数据求出20a =，得到2(3300)(20)3(60)4800W x x x =-+-=--+，根据二次函数的顶点式，求出最值即可； （3）根据题意得3(100)(20)(55)W x x m x =----，由于对称轴是直线60602m x =+>，根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：（1）设y kx b =+，由题意有 401807090k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得3300k b =-⎧⎨=⎩， 所以y 关于x 的函数解析式为3300y x =-+；（2）由（1）(3300)()W x x a =-+-，又由表可得：3600(340300)(40)a =-⨯+-，20a ∴=，22(3300)(20)336060003(60)4800W x x x x x ∴=-+-=-+-=--+．所以售价60x =时，周销售利润W 最大，最大利润为4800；（3）由题意3(100)(20)(55)W x x m x =----， 其对称轴60602m x =+>，055x ∴<时上述函数单调递增， 所以只有55x =时周销售利润最大，40503(55100)(5520)m ∴=----．5m ∴=．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．5．（2021·四川南充·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y （元）与购进数量x （千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z （元/千克）与一天销售数量x （千克）的关系为112100z x =-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w （元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）【答案】（1）苹果的进价为10元/千克；（2）10(100)8200(100)x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩；（3）要使超市销售苹果利润w 最大，一天购进苹果数量为200千克．【分析】（1）设苹果的进价为x 元/千克，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；（2）分两种情况：当x ≤100时， 当x ＞100时，分别列出函数解析式，即可；（3）分两种情况：若x ≤100时，若x ＞100时，分别求出w 关于x 的函数解析式，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：（1）设苹果的进价为x 元/千克， 由题意得：30020022x x =+-，解得：x =10，经检验：x =10是方程的解，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克；（2）当x ≤100时，y =10x ，当x ＞100时，y =10×100+（10-2）×（x -100）=8x +200，∴10(100)8200(100)x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩； （3）若x ≤100时，w =zx -y =21112102100100x x x x x ⎛⎫-+-=-+ ⎪⎝⎭=()21100100100x --+， ∴当x =100时，w 最大=100，若x ＞100时，w =zx -y =()2111282004200100100x x x x x ⎛⎫-+-+=-+- ⎪⎝⎭=()21200200100x --+， ∴当x =200时，w 最大=200，综上所述：当x =200时，超市销售苹果利润w 最大，答：要使超市销售苹果利润w 最大，一天购进苹果数量为200千克．【点睛】本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用，根据数量关系，列出函数解析式和分式方程，是解题的关键．6．（2021·湖北黄冈·中考真题）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x （单位：元/件），月销售量为y （单位：万件）． （1）直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a 元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a 的值．【答案】（1）5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）4．【分析】（1）分4050x ≤≤和50x >两种情况，根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件”即可得函数关系式，再根据0y >求出x 的取值范围；（2）在（1）的基础上，根据“月利润=（月销售单价-成本价）⨯月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；（3）设该产品的捐款当月的月销售利润为Q 万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得5070x <≤，再根据“月利润=（月销售单价-成本价a -）⨯月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．【详解】解：（1）由题意，当4050x ≤≤时，5y =，当50x >时，50.1(50)0.110y x x =--=-+，0y ≥，0.1100x ∴-+≥，解得100x ≤，综上，5(4050)0.110(50100)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩； （2）设该产品的月销售利润为w 万元，①当4050x ≤≤时，5(40)5200w x x =-=-，由一次函数的性质可知，在4050x ≤≤内，w 随x 的增大而增大，则当50x =时，w 取得最大值，最大值为55020050⨯-=；②当50100x <≤时，2(40)(0.110)0.1(70)90w x x x =--+=--+，由二次函数的性质可知，当70x =时，w 取得最大值，最大值为90，因为9050>，所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元），5070x ∴<≤，设该产品捐款当月的月销售利润为Q 万元，由题意得：(40)(0.110)Q x a x =---+， 整理得：221400.1()390240a a Q x a +=--+-+， 140702a +>， ∴在5070x <≤内，Q 随x 的增大而增大，则当70x =时，Q 取得最大值，最大值为(7040)(0.17010)903a a ---⨯+=-，因此有90378a -=，解得4a =．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．7．（2021·浙江·中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有,A B 两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？【答案】（1）20%；（2）①798万元，②当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为817.6万元【分析】（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为x ，则四月份的游客为()41x +人，五月份的游客为()241x +人，再列方程，解方程可得答案； （2）①分别计算购买甲，乙，丙种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案；②设丙种门票价格降低m 元，景区六月份的门票总收入为W 万元，再列出W 与m 的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案．【详解】解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为x ，由题意，得24(1) 5.76x +=()21 1.44,x ∴+=解这个方程，得120.2, 2.2x x ==-（舍去）答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%．（2）①由题意，丙种门票价格下降10元，得：购买丙种门票的人数增加：0.6+0.4=1（万人），购买甲种门票的人数为：20.6 1.4-=（万人），购买乙种门票的人数为：30.4 2.6-=（万人），所以：门票收入问； ()()100 1.480 2.61601021⨯+⨯+-⨯+798=（万元）答：景区六月份的门票总收入为798万元．②设丙种门票价格降低m 元，景区六月份的门票总收入为W 万元，由题意，得()()()()10020.068030.0416020.060.04W m m m m m =-+-+-++化简，得20.1(24)817.6W m =--+，0.10-<，∴当24m =时，W 取最大值，为817.6万元．答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为817.6万元．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，掌握利用二次函数的性质求解利润的最大值是解题的关键．8．（2021·湖北武汉·中考真题）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A ，B 两种农作物为原料开发了一种有机产品，A 原料的单价是B 原料单价的1.5倍，若用900元收购A 原料会比用900元收购B 原料少100kg ．生产该产品每盒需要A 原料2kg 和B 原料4kg ，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x 元（x 是整数），每天的利润是w 元，求w 关于x 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a 元（a 是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．【答案】（1）每盒产品的成本为30元．（2）210140033000=-+-w x x ；（3）当70a ≥时，每天的最大利润为16000元；当6070a <<时，每天的最大利润为()210140033000a a -+-元．【分析】（1）设B 原料单价为m 元，则A 原料单价为1.5m 元．然后再根据“用900元收购A 原料会比用900元收购B 原料少100kg ”列分式方程求解即可；（2）直接根据“总利润=单件利润×销售数量”列出解析式即可；（3）先确定210140033000=-+-w x x 的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）设B 原料单价为m 元，则A 原料单价为1.5m 元． 依题意，得9009001001.5m m-=． 解得，3m =，1.5 4.5m =．经检验，3m =是原方程的根．∴每盒产品的成本为：4.5243930⨯+⨯+=（元）．答：每盒产品的成本为30元．（2）()()305001060w x x =---⎡⎤⎣⎦210140033000x x =-+-；（3）∵抛物线210140033000=-+-w x x 的对称轴为w =70，开口向下∴当70a ≥时，a =70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；当6070a <<时，每天的最大利润为()210140033000a a -+-元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键．9．（2021—2022湖北黄石八中九年级期中）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A ，B 两种农作物为原料，开发了一种有机产品．A 原料的单价是B 原料单价的1.5倍．若用900元收购A 原料会比用900元收购B 原料少100kg ，生产该产品每盒需要A 原料2kg 和B 原料4kg ，每盒还需其它成本9元．市场调查发现：该产品售价为每盒40元时，每天可卖出150盒．如果每盒的售价每涨1元（售价每盒不能高于45元），那么每天少卖10盒．设每盒涨价x 元（x 为非负整数），每天销售y 盒．（1）求该产品每盒的成本（成本＝原料费+其它成本）； （2）求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）如何定价才能使每天的利润最大且每天销量较大？每天的最大利润是多少？ 【答案】（1）30；（2）15010y x =-，05x ≤≤（x 为非负整数）；（3）42或43，1560 【分析】（1）根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本＝原料费＋其它成本计算每盒产品的成本即可；（2）根据每盒售价每涨1元，则每天少卖10盒．可直接列出每天销售y 盒与每盒涨价x 元之间的函数关系式，再根据售价每盒不能高于45元且x 为非负整数，可得出x 的取值范围； （3）根据每天的利润等于一盒的利润乘以每天卖的总盒数列出函数关系式，再利用函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）设B 原料单价为m 元，则A 原料单价为1.5m 元， 根据题意，得9009001001.5m m-=， 解得： 3m =， ∴1.5 1.53 4.5m =⨯=，∴每盒产品的成本为：4.5243930⨯+⨯+=(元)， 答：每盒产品的成本为30元；（2）∵每盒的售价每涨1元，那么每天少卖10盒．∴y 与x 的函数关系式为：15010y x =-， 又∵售价每盒不能高于45元，x 为非负整数， ∴自变量x 的取值范围为：05x ≤≤（x 为非负整数）； （3）设每天的利润为w 元， 则有：(4030)(15010)w x x =+--210501500x x =-++25312510()22x =--+，∴w 是关于x 的一元二次方程，x 为非负整数 ∴当23x =或时，时，y 取得最大值为1560， ∴每盒定价为：42或43(元)，答：定价为42.或43元时才能使每天的利润最大且每天销量较大，每天的最大利润是1560元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和分式方程，解题的关键是熟练应用二次函数求最值．10．（2021—2022湖北谷城九年级期中）为了落实国务院“三农”优惠政策，最近，市委市政府出台了一系列优惠措施，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：280w x =-+．设这种产品每天的销售利润为y （元）． （1）求y 与x 之间的函数关系式．（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？【答案】（1）221201600y x x =-+-；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元；（3）25元 【分析】（1）根据销售额=销售量×销售价单x ，列出函数关系式．（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值．（3）把y =150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x ，根据x 的取值范围求x 的值． 【详解】解：（1）∵()()()2202028021201600y x w x x x x =-⋅=--+=-+-∴y 与x 的函数关系式为：221201600y x x =-+- （2）()2221201*********y x x x =-+-=--+ ∵20-<，∴当30x =时，y 有最大值.y 最大值为200.答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.⑶当150y =时，可得方程()2230200150x --+=.解得125x =，235x =.∵3528>，∴235x =不符合题意，应舍去 .答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元. 【点睛】本题是函数思想的具体运用，构建二次函数关系式，利用二次函数的最大值确定销售的最大利润．11．（2021·湖南郴州·中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y （单位：万件）与销售单价x （单位：元）之间有如下表所示关系：（1）根据表中的数据，在图中描出实数对(,)x y 所对应的点，并画出y 关于x 的函数图象； （2）根据画出的函数图象，求出y 关于x 的函数表达式； （3）设经营此商品的月销售利润为P （单位：万元）． ①写出P 关于x 的函数表达式；②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过．．．．进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）图象见详解；（2）216y x =-+；（3）①222032P x x =-+-；②销售单价应定为3元． 【分析】（1）由题意可直接进行作图；（2）由图象可得y 与x 满足一次函数的关系，所以设其关系式为y kx b =+，然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可；（3）①由题意易得()2P x y =-，然后由（2）可进行求解；②由①及题意可得22203210x x -+-=，然后求解，进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解． 【详解】解：（1）y 关于x 的函数图象如图所示：（2）由（1）可设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，则由表格可把()()4,8,5,6代入得：4856k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：216k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 的函数关系式为216y x =-+； （3）①由（2）及题意可得：()()()22221622032P x y x x x x =-=--+=-+-；∴P 关于x 的函数表达式为222032P x x =-+-； ②由题意得：2200x ≤⨯％，即4x ≤， ∴22203210x x -+-=， 解得：123,7x x ==， ∴3x =；答：此时的销售单价应定为3元． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键． 12．（2021·湖北天门·中考真题）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售．为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a 元/件进行补贴，设某月销售价为x 元/件，a 与x 之间满足关系式：()20%10a x =-，下表是某4个月的销售记录．每月销售量y （万件）与该月销售价x （元/件）之间成一次函数关系(69)x ≤<．（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？（3）当销售价x 定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴） 【答案】（1）1090y x =-+；（2）4万元；（3）当销售价x 定为7元/件时，该月纯收入最大． 【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）将8x =代入()20%10a x =-求出a 的值，代入y 与x 的函数关系式求出该月的销售量，再利用a 乘以该月的销售量即可得；（3）设该月纯收入为w 万元，先根据纯收入的计算公式求出w 与x 之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，将点(6,30),(7,20)代入得：630720k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1090k b =-⎧⎨=⎩，则y 与x 的函数关系式为1090y x =-+； （2）当8x =时，()20%1080.4a =⨯-=， 1089010y =-⨯+=，则0.4104⨯=（万元），答：政府该月应付给厂家补贴4万元； （3）设该月纯收入为w 万元，由题意得：(1090)6(1090)(20%1(1090)0)w x x x x x -=-+--++-+， 整理得：28(5)(9)8(7)32w x x x =---=--+，由二次函数的性质可知，在69x ≤<内，当7x =时，w 取得最大值，最大值为32， 答：当销售价x 定为7元/件时，该月纯收入最大． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．12．（2021—2022安徽合肥市九年级月考）合肥市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p （元/千克）与时间第t （天）之间的函数关系为：()()116140,41464180,2t t t p t t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩且为整数且为整数，日销售量y （千克）与时间第t （天）之间的函数关系如图所示：（1）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ （2）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠()7m m <元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求m 的取值范围．【答案】（1）第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元；（2）21天；（3）57m ≤< 【分析】（1）用待定系数法先求得函数解析式，设日销售利润为w ，分140t ≤≤和4180t ≤≤两种情况，根据总利润=每千克利润⨯销售量，列出函数表达式，结合二次函数的性质分别求得最值即可判断；（2）求出=2400w 时对应t 的值，结合函数性质就可得出答案；（3）根据题意列出函数表达式，确定开口方向和对称轴，由140t ≤≤且销售利润随时间t 的增大而增大，结合二次函数性质即可得到答案． 【详解】解：设函数的表达式为：()0y kt b k =+≠，将(0,198),(80,40)代入得：1988040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2200k b =-⎧⎨=⎩，∴()2200080y t t t =-+≤≤，为整数． 设日销售利润为w 元，则(6)w p y =-，当140t ≤≤时，211(166)(2200)(30)245042w t t t =+--+=--+，∴当30t =时，=2450w 最大．当4180t ≤≤时，21(466)(2200)(90)1002w t t t =-+--+=--，∴当41t =时，=2301w 最大 ∵24502301>∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．（2）当140t ≤≤时，21=(30)24502w t --+，令=2400w ，即21(30)2450=24002t --+，解得：1220,40==t t ，∵102a =-<，对称轴30t =，∴当2040t ≤≤时，日销售利润不低于2400元．但当4180t ≤≤时，=23012400w <最大， ∴t 的取值范围是2040t ≤≤∴所以共有21天销售利润不低于2400元 （3）设日销售利润为w ，根据题意得：()()2111662200302200020042w t m t t m t m ⎛⎫=+---+=-+++- ⎪⎝⎭，∴该函数的对称轴为302302122mt m +=-=+⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且102a =-< 又∵w 随t 的增大而增大， ∴30240+≥m 解得：5m ≥ 又∵7m < ∴57m ≤< 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象性质，二次函数的最值以及在实际销售中的应用，牢记相关的知识点是解题关键．13．（2021·江苏扬州·中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：．．②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润． 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等； （2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元()0a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围． 【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）50150a << 【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x 辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果； （2）设两公司的月利润分别为y 甲，y 乙，月利润差为y ，同（1）可得y 甲和y 乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y 关于x 的表达式，根据二次函数的性质，结合x 的范围求出最值，再比较即可；（3）根据题意得到利润差为()25018001850y x a x =-+-+，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆，结合x 为整数可得关于a 的不等式180016.517.5100a-<<，即可求出a 的范围． 【详解】解：（1）()50105030001020010-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦=48000元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元； 设每个公司租出的汽车为x 辆，由题意可得：()5050300020035001850x x x x -⨯+-=-⎡⎤⎣⎦， 解得：x =37或x =-1（舍），∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等； （2）设两公司的月利润分别为y 甲，y 乙，月利润差为y ， 则y 甲=()50503000200x x x -⨯+-⎡⎤⎣⎦， y 乙=35001850x -，当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x ＜37， y =y 甲-y 乙=()()5050300020035001850x x x x -⨯+---⎡⎤⎣⎦。
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1）在所给的直角坐标系甲中： ①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点； ②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象． （2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律： ①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单 价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？ 若有，试求出；若无，请说明理由． ②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数 图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．Fra bibliotek结束寄语
•生活是数学的源泉.
展示讨论
2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次 产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润 增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产 60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档 次的产品利润最大？
课堂练习
某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商 品的日销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
2、在这个问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变 量？
3、根据前面的分析我们若设每个涨价x元，总利润为y元，此时 y与x之间的函数关系式是 ，化为一般式 。 这里y是x的 函数。现在求最大利润，实质就是求此二次函 数的最值，你会求吗？试试看
展示讨论
1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每 件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， 商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬 衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多 少元？ （2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
初中数学九年级上册 （苏科版）
6.2 二次函数的应用（3）
盐城市北蒋实验学校九年级数学备课组
课前导学
1、问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据 市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是 13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多? 问题1、总利润= × ，单件利润= — 。
课堂练习
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些 橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树 所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树 就会少结5个橙子. (1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因量？ (2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平 均每棵树结多少个橙子？ (3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式. (4)种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？ (5)增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?