第二章数列复习课

第二章数列复习课○考试要求1．数列的概念和表示法（1）了解数列的概念和几种表示方法(列表、图象、通项公式 ) ．（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。

2．等差数列、等比数列（ 1）理解等差数列、等比数列的概念．（ 2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式．（3）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．（4）能利用等差、等比数列前n 项和公式及其性质求一些特殊数列的和．（5）能运用数列的等差关系或等比关系解决实际问题．○课前预习：1.如果等差数列 { a n } 中， a3+a4+a5＝ 12，那么 a1+a2+a3+ +a7＝ ___________.答案： 28解析： a3+a4+a5＝ 3a4＝12， a4＝ 4，∴ a1+a2+a3+ +a7＝ 7a4＝ 28.2.设 S n为等比数列 { a n} 的前 n 项和， 8a2+a5＝ 0，则S5＝___________．S2答案：－ 11解析：通过 8a2+a5＝ 0，设公比为 q，解得 q＝ -2，所以，S5＝－ 11．S23．设 { a n} 是由正数组成的等比数列，S n为其前 n 项和，已知 a2a4＝ 1，S3＝ 7，则 S5＝ ________．答案：314解析：由 a2a4＝ 1，可得 a12q4＝ 1，因此 a1＝12，又因为 S3＝a1(1+ q+q2) ＝7，联立两式，解q得 a1＝ 4， q＝1，所以， S5＝31．244.已知 { a n} 是首项为 1 的等比数列， S n是 { a n} 的前 n 项和，且 9S3＝ S6，则数列 { 1}的前 5 a n项和为 ______________.答案：3116解析：显然 q≠1，所以9(1q3 ) = 1-q6 1 q3q 2 ，所以{1} 是首项为1，公比为1 1-q 1 q a n21 (1)5的等比数列，前 5项和 T 5 231 1.16125．定义一种新的运算“ * ”，对任意正整数 n 满足下列两个条件： （ 1） 1*1 ＝3；（ 2）（n+1） *1 ＝ 3+( n*1) ．则 2003*1 ＝______________ ． 答案： 6009 ○例题分析题型一、等差、等比数列中基本量的计算例 1. 已知点（1，1）是函数3f (x) ＝a x （ a ＞ 0，且a ≠ 1）的图象上一点，等比数列{ a n } 的前n 项和为 f (n)－ c ，数列 { b n }（ b n ＞ 0）的首项为 c ，且前 n 项和 S n 满足 S n －S n － 1＝ S n + S n － 1 （ n ≥ 2）．求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式．解：因为1 1 x， f (1)＝ a ＝ ，所以， f (x)＝ ( )33又 a 1＝ f(1)－ c ＝1－ c ， a 2＝ [f(2) －c] －[f(1)－ c]＝－ 2， a 3＝ [f(3)－ c]－ [f(2)－ c]＝－ 2，3927又数列a n 成等比数列，则a 22＝ a 1a 3，即 (－ 2) 2＝( －2 )( 1－ c) ，得 c ＝1；927 3n1n又公比 qa 2 12 12 1N * ；a 1，所以 a n3 3（ n）33Q S nSn 1S nSn 1S nSn 1S nSn 1n 2又 b n 0 ， S n 0 ， S nSn 11；数列S n 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列， S n 1 n 1 1n ， S n n 2当 n2 ， b n S nSn 1n 222n 1 ；n 1b n 2n 1( n N * )；题型二、等差、等比数列的判定例 2已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且满足 a n +2 S n ·S n －1＝ 0(n ≥2)， a 1＝ 12.（ 1）求证： { 1} 是等差数列；S n（ 2）求 a n 的表达式；（ 1）证明：∵－ a n ＝ 2S n S n －1，∴－ S n +S n －1＝ 2S n S n － 1(n ≥ 2)， S n ≠ 0(n ＝ 1，2， 3 ).∴1－ 1 ＝2，又 1＝1＝2，∴{ 1S n S n －1S 1 a 1S n } 是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列 .（ 2）解析：由 (1)，1＝ 2+( n － 1) ·2＝ 2n ，∴ S n ＝1.S n2n当 n ≥2时， a n ＝ S n －S n － 1＝ 1－1 ＝－ 12n2(n 1) 2n(n 1)1〔或 n ≥2时， a n ＝－ 2S n S n －1 ＝－〕；2n( n 1)当 n ＝1 时， S 1＝ a 1＝ 1.21∴ a ＝2( n 1),n( n2). 12n( n 1)题型三、原数列与生成数列的关系例 3.已知数列 { a n } 为等差数列，公差 d ≠0， { a n } 的部分项组成下列数列： a k 1 ，a k 2 ， ，a k n ，恰为等比数列，其中k 1＝ 1， k 2＝ 5， k 3＝ 17，求 k 1＋ k 2＋ k 3＋ ＋k n .解：设 { a n } 的首项为 a 1，∵ a k 1 、a k 2 、a k 3 成等比数列， ∴（ a 1＋ 4d ）2＝ a 1（ a 1＋ 16d ）.得 a 1＝ 2d ，a k 2＝3.∵ a k n ＝a 1＋（ k n － 1）d ，又 a k n n － 1 n －1－ 1.q ＝＝ a 1·3 ，∴ k n ＝2·3a k 1∴ k ＋ k ＋ ＋k ＝2（ 1＋ 3＋ ＋ 3n －11 3n n）－ n ＝ 2×－ n ＝ 3 － n － 1.12n1 3题型四、等差、等比数列的求和例 4. 设数列 { a n } 是一个公差不为 0 的等差数列，它的前10 项的和 S 10＝ 110，且 a 1，a 2，a 4 成等比数列．（ 1） 求数列 { a n } 的通项公式；（ 2） 设 b ＝ n · a n，求数列 { b n } 的前 n 项的和 ．n 2 T n（ a 1+d ） 2=a 1(a 1+3 d)，a 1＝ 2，解：（ 1）设数列 { a n } 的公差为 d ，则 d ≠0，由 10a 1+10×9d=110．解得 d ＝ 2．2∴ a n ＝ 2n(n ∈ N*). （ 2） b ＝ n ·ann，由错位相减法得T ＝4nn2 ＝ n ·4n9[1+(3 n －1) ·4] ．题型五、等差、等比数列的综合例 5. 已知数列 { a n } 是首项为1，公比为 1的等比数列， 设 b n 15log 3 a n t ，常数 t N * .33 33（Ⅰ）求证 : { b n } 为等差数列；（Ⅱ）设数列 { c n } 满足 c n a n b n ，是否存在正整数 k ，使 c k ,c k 1,ck 2按某种次序排列后成等比数列，若存在，求 k,t 的值，若不存在，说明理由 .k15log 3 (a n 1)解 :（Ⅰ） a n 3 3 ， b n 1 b n5 ， {b n } 是首项为 b 1t 5 ,公差为 5 的等差数a n列nkk 1k 2（Ⅱ） c n(5n t) 3 3 ，令 5n tx ，则 c k x 3 3 ， c k 1( x5) 33， c k 2( x 10) 3 3kk 1k 2①若 c k2c k 1ck 2，则 ( x 3 3 )2 ( x 5) 33( x 10)3 3化简得： 2 x215x50 0 ，解得 x 10 或5（舍）2进而求得： k 1,t 5 或 k 2,t0 （舍）②若 c k 2 1c k c k 2 ，同理可得： x( x 10) ( x 5)2 ，显然无解 .③若 c k 22c k c k 1 ，同理可得： x( x 5)( x 10) 2 ，方程无整数根综上：存在 k 1,t 5 适合题意 .○过关训练.2.设公比为 q （ q>0）的等比数列 { a n } 的前 n 项和 S n ，已知 S 2＝ 3a 2+2， S 4＝3a 4+2，则 q ＝ ________.3．在等比数列 { a n } 中， a 1＝ 1，公比 |q| ≠1，若 a m ＝a 1a 2a 3 a 4a 5，则 m ＝ ___________. 答案： 1154．已知 { a n } 为等比数列， S n 是它的前 n 项和，若 a 2·a 3＝ 2a 1， 且 a 4 与 2a 7 的等差中项为 4，则 S 5＝ __________.答案： 31解析：设 { a n } 的公比为 q ，则由等比数列的性质知， a 2·a 3＝ a 1·a 4＝ 2a 1，即 a 4＝ 2。

由 a 4 与2a 7 的等差中项为 5知，a 42a 72 5 ，即 a 71(25 a 4 )1(2 5 2)1 ．44242 44∴ q 3a 71，即 q1． a 4 a 1q 3 a 11 2 ，即 a 1 16 ．a 4 8281a 9+a 105．已知等比数列 { a n } 中，各项都是正数， 且 a 1， a 3，2a 2 成等差数列， 则a 7 +a 8 ＝ _________.2答案： 3+2 2解析：由已知得a 3＝ a 1+2a 2，得 q ＝ 1+ 2，所以，a 9+a 10＝ q 2＝ 3+22.a 7+a 86．已知 { a n } 为等差数列， a 1 +a 3+a 5 ＝ 105，a 2+a 4+a 6＝ 99，若 S n 表示 { a n } 的前 n 项和，则使得 S n 达到最大值的 n 是 ___________ ．[ 解析 ]：由 a 1 + a 3 + a 5 ＝ 105 得 3a 3 105, 即 a 3 35 ，由 a 2 a 4 a 6 ＝ 99 得 3a 4 99 即a 4 33 ，∴ d2 ， a n a 4 (n 4) ( 2) 41 2n ，由a n 0 an 1得 n 20 ．7.设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和，已知 a 1 ＝1，a n ＝－ S n ·S n －1(n ≥2) ，则 S n ＝ _______________ ．1 答案： S nn8．已知 { a n } 是公差不为零的等差数列， a 1＝ 1，且 a 1， a 3， a 9 成等比数列 .（ 1）求数列 { a n } 的通项；（ 2）求数列 { 2a n } 的前 n 项和 S n .解：（ 1）由题设知公差d ≠0，由 a ＝ 1，a 1 ，a ， a 成等比数列得（ 1+2d ）2＝1+8d ，13 9解得 d ＝ 1， d ＝0（舍去），故 { a n } 的通项 a n ＝1+ （ n － 1） ×1＝ n.a n，由等比数列前n 项和公式得：(2)由（ 1）知 2 n ＝ 2 23n2(1 2n ) ＝ n+1-2.S m ＝ 2+2 +2+ +2＝ 1 229．已知数列 { a n } 满足当 n ≥ 2 时， a n ＝ a n－1，且 a ＝ 1．n －1151+4a（ 1）求证：数列 { 1} 是等差数列； a n（ 2）试问 a 1a 2 是否是数列 { a n } 中的项？如果是，是第几项；如果不是，说明理由．解：（ 1）由 a n ＝ a n －1 得： a n － 1－a n －4a n － 1a n ＝ 0，由 a 1＝ 1≠ 0 及逆推式，知 a n ≠ 0，1+4a n －1 5两边同除以 a －1a n ，得 1 － 1＝ 4（ n ≥ 2），所以，数列 { 1na n a n －1a n } 是等差数列 .(2)由（ 1）得 1＝ 1+4（ n － 1）＝ 4n+1 ，∴ a n ＝ 1 ，∴ a 1 a 2＝ 1，a n a 1 4n+1451 1令 4n+1＝ 45，得 n ＝ 11，所以， a 1a 2 是数列 { a n } 中的第 11 项．10.已知 { a n } 是公差为 d ≠0的等差数列， S n 为数列 { a n } 的前 n 项和 （ 1）若 a 1＝ 4，S 3和 S 4的等比中项是 S 5，求数列 { a n } 的通项公式3 45（ 2）是否存在 p ， q ∈N* 且 p ≠q ，使得 S p+q 是 S 2p 和 S 2q 的等差中项？证明你的结论 . 解（ 1）S 3和 S 4 的等比中项是 S 5，(a 1 2d )2( a 1 d )(a 1 3d ) a 1 4 ，3 451212 32 2 5d 2 12d0 d0 da n n．555（ 2）假设存在 p ， qN * 且 pq ，使得 S p q 是 S 2 p 和 S 2q 的等差中项则 2[（ p+q ） a 1+(p+q)( p+q-1)d] ＝ 2pa 1+ p(2p － 1)d+2qa 1+ q(2q －1)d ． 2整理得 d[( p q)( p q 1)] d[ p(2 p 1)q(2 q 1)]d 0p 2 2 pq q 20即 p q 与p q 矛盾所以不存在 p ， q N * 且 pq ，使得 S p q 是 S 2 p 和 S 2q 的等差中项。