5.3.1平行线的性质(一)
5.3.1平行线的性质(1)课件(新人教版七年级数学下)
创设情景
现在同学们已经掌握了利用同位角相等,或者内错角相等, 或者同旁内角互补, 判定两条直线平行的三种方法.在这一 节课里:大家把思维的指向反过来: 如果两条直线平行,那 么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达
【课中探究】
1.数学活动 (1)学生画图活动:用直尺和三角尺画出两条平行线a∥b,再 画一条截线c与直线a、b相交,标出所形成的八个角 (2)学生测量这些角的度数,把结果填入表内.
三、选择题. 1.∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF所截而成的内错角,那么∠1和∠2 的大小关系是( ) D A.∠1=∠2 B.∠1>∠2; C.∠1<∠2 D.无法确定 2.一个人驱车前进时,两次拐弯后,按原来的方向前进, 这两次拐弯的角 度是( B) A.向右拐85°,再向右拐95°; B.向右拐85°,再向左拐85° C.向右拐85°,再向右拐85°; D.向右拐85°,再向左拐95°
3.数学活动——在小组内部交流，归纳结论.
平行线具有性质: 性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,简称为两直线平行, 同位 角相等. 性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,简称为两直线平行, 内错 相等. 性质3:两条直线按被第三条线所截,同旁内角互补,简称为两直线平行, 同旁 内角互补.
5.3.1平行线的性质（1）
【学习目标】
1.掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算. 2.能区分平行线的性质和判定,平行线的性质与判定的混合应用.
【重点难点】
重点：探索并掌握平行线的性质,能用平行线性质进行简单的推理和计算. 难点：能区分平行线的性质和判定,平行线的性质与判定的混合应用 .
4.数学活动——先独立思考，然后在小组内交流，并展示.
5.3.1《 平行线的性质》教材解读-人教版数学七年级下册
5.3.1《平行线的性质》教材解读一、课标内容《课程标准》相关内容：1.在探索直线平行的性质的过程中，掌握平行线的三条性质，并能用它们进行简单的推理和计算。
2.进一步发展空间观念，体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式下的数学活动中，发展合情推理和演绎推理的能力。
3.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，培养学生参与活动和交流合作的意识。
4.敢于发表自己的想法，勇于质疑、敢于创新，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成严谨求实的科学态度。
二、教材分析（一）教材的地位作用《平行线的性质》是新人教版七年级数学下册第五章第三小节的内容，本节课是在学生已经学习了同位角、内错角、同旁内角和平行线的判定的基础上进行教学的。
这节课是空间与图形领域的基础知识，在以后的学习中经常要用到。
它为今后三角形内角和、三角形全等、三角形相似等知识的学习奠定了理论基础。
（二）知识要点及重难点平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
重点：探究平行线的性质。
难点：明确平行线的性质和判定的区别。
三、教材编写特点教材由平行线的判定引入对平行线性质的研究，既渗透了图形的判定和性质之间的互逆关系，又体现了知识的连贯性，平行线的三条性质都是需要证明的，但是为了与学生思维发展水平相适应，性质1是通过操作确认的方式得出的，在性质1的基础上经过进一步推理，得到性质2和性质3，这一过程体现了由实验几何到论证几何的过渡，渗透了简单推理，体现了数学在培养良好思维品质方面的价值。
四、教学建议教材所选的例题及课后练习题1，都是平行线性质的直接运用，较为简单。
练习题2是平行线判定和性质的综合运用，是为了让学生区分判定和性质，推理也比较简单。
考虑到学生还处于几何初步阶段，进度不可过快，教师可以设计一些有两步推理的证明题，让学生填充理由。
在应用知识的过程中，组织学生进行讨论，结合题目的已知条件和结论，让学生自己总结出判定和性质的区别，只有自己构造起的知识，才能真正被灵活应用。
平行线的性质(1)——平行线的性质
①如果∠1＝∠C，
那么＿＿∥＿＿（
）
② 如果∠AB1＝∠CBD 同位角相等，两直线平行 E
那么＿＿∥＿＿（
）A 4 1
③ 如果∠E2C＋∠BB＝D180内°错，角相等，两直线平行 3 2
B
那么＿＿∥＿＿（
）
CD EC BD 同旁内角互补,两直线平行
问题 通过上题可知平行线的判定方法是什么？
1.同位角相等 2.内错角相等 3.同旁内角互补
试说明∠A+∠D=180o.请补全下面的解答过程,括号
内填写依据.
F C
解: ∵ AB∥DE( 已知 )
D
∴∠A= _∠__C_P_D_ (两直线平行,同位角相等)
∵AC∥DF( 已知)
B
A
E P
图2
∴∠D+ _∠__C_P_D__=180o (两直线平行,同旁内角互补)
∴∠A+∠D=180o（ 等量代换）
说明∠A=∠D.请补全下面的解答过程,括号内填写依据.
解: ∵ AB∥DE( 已知 )
∴∠A=_∠__C__P_E_ ( 两直线平行,同位角相等)
∵AC∥DF( 已知 )
∴∠D=_∠__C__P_E( 两直线平行,同位角相等)
∴∠A=∠D ( 等量代换 )
D
A
F C
P E
B 图１
5.(2)有这样一道题：如图2,若AB∥DE , AC∥DF，
65
度数
78
c
观察 ∠1~ ∠8中，哪些是同位角？它们的度数 之间有什么关系？说出你的猜想：
a
21
34
b
65
78
c
猜想 两条平行线被第三条直线所截，同位角＿相＿等＿.
5.3 .1平行线的性质(1)
B 4 D F
如图，已知：AC∥DE，∠1=∠2， 试说明AB∥CD.
证明：由AC∥DE （已知）， 根据：两直线平行，内错角相等. A D 得∠ACD= ∠ 2 . 1 2 又由∠1=∠2（已知）.B E C 根据： 等量代换 . 得∠1=∠ACD . 再根据：内错角相等，两直线平行 . 得 AB ∥CD .
引例1 小明必须要订做一块与原来一模一样的 新玻璃，已知量得∠A＝115°，∠D＝100°， 请你想一想，梯形的另外两个角各是多少度时， 才能为小明合理地解决问题。 解：∵AD∥BC （已知） A D ∴ A ＋ B＝180° C (两直线平行，同旁内角互补) B 即 ∠B＝ 180°－ A＝180°－115°＝65° ∵AD∥BC （已知） ∴ D＋ C＝180° （两直线平行，同旁内角互补） 即 C＝180°－ D ＝180°－100°＝80° 答：梯形的另外两个角分别为65°、80° 。
思考2
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
精彩回放
平行线的性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 平行线的性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 简单说成：两直线平行，内错角相等。 平行线的性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
判断正误
①两直线被第三条直线所截，同位角相等（
②两直线平行，同旁内角相等。（
×
×
）
）
③“内错角相等，两直线平行”是平行线的性质。 （ ）
×
④“两直线平行，同旁内角互补”是平行线的性 质。（ ）
√ห้องสมุดไป่ตู้
完成并比较．如图， (1)∵a∥b(已知)， ∴∠1___ ) = ∠2( 两直线平行，同位角相等 (2)∵ a∥b (已知)， = ∠3( 两直线平行，内错角相等 ∴∠2___ ) (3)∵a∥b(已知)， ∴∠2＋∠4＝180 ____( ° 两直线平行，同旁内角互 )
5.3.1平行线的性质(第一课时)
5.3.1平行线的性质(第1课时)一、内容和内容解析1.内容平行线的性质。
2.内容解析平行线的性质是证明角相等、研究角的关系的重要依据，是研究几何图形位置关系与数量关系的基础，是平面几何的一个重要内容和学习简单的逻辑推理的素材。
它不但为三角形内角和定理的证明提供了转化的方法，而且也是今后学习三角形、四边形、平移等知识的基础。
图形的性质是研究图形构成要素之间的关系，它和图形的判定是几何中研究的两个重要方面。
平行线的性质是学生对图形性质的第一次系统研究，对今后学习其他图形性质有“示范”的作用。
教科书由平行线的判定引入对平行线性质的研究，既渗透了图形的判定和性质之间的互逆关系，又体现了知识的连贯性。
平行线的三条性质都是需要证明的，但是为了与学生思维发展水平相适应，性质1是通过操作确认的方式得出的（在九年级“圆”一章中再用反证法证明）,在性质的基础上经过进一步推理，得到性质2和性质3。
这一过程体现了由实验几何到论证几何的过渡，渗透了简单推理，体现了数学在培养良好思维品质方面的价值。
因此，可以确定本节课的教学重点：得到平行线的性质的过程。
二、目标和目标解析1、目标（1）理解平行线的性质。
（2）经历平行线性质的探究过程，从中体会研究几何图形的一般方法。
2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道平行线性质的内容，并会运用性质进行简单推理。
达成目标（2）的标志是：学生通过实验探究、操作确认获得性质1，再借助已有相关知识，通过推理得到另外两条性质。
知道平行线的判定和性质的异同，能用自己的语言叙述获得性质的过程。
三、教学问题诊断分析平行线的性质是学生对图形性质的第一次系统研究，对于研究过程和研究方法都是陌生的，所以学生需要在老师的引导下类比研究平行线的判定的过程来构建平行线性质的研究过程。
对于作为培养学生推理能力的内容——性质2和性质3的得出，学生可以做到“说理”，但把推理过程从逻辑上叙述清楚存在困难，需要教师先做示范，然后进行模仿。
5.3 平行线的性质
5.3.1平行线的性质（一）学习目标1．使学生理解平行线的性质和判定的区别．2．使学生掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理．学习过程一、复习:如图，填空⑴∵∠1=∠5（已知），∴∥( ，两直线平行).⑵∵∠3=∠5（已知），∴∥( ，两直线平行).⑶∵∠3+∠6=180°（已知），∴∥( ，两直线平行).二、新知探究1．实验观察，发现平行线第一个性质请学生画出下图进行实验观察．设l1∥l2，l3与它们相交，请度量∠1和∠2的大小，你能发现什么关系？请同学们再作出直线l4，再度量一下∠3和∠4的大小，你还能发现它们有什么关系？平行线性质1：两直线平行，同位角相等．2．演绎推理，发现平行线的其它性质（1）已知：如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD．求证：∠1= ∠2．由此可得：平行线性质2：两直线平行，角相等．（2）已知：如图2-64，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD．求证：∠1+∠2=180°．由此可得：平行线性质3：两直线平行，．3．平行线判定与性质的区别与联系区别：（1）性质：，．（2）判定：，．联系：它们的条件和结论是互逆的，性质与判定要证明的问题是不同的．练习1．填空（括号内填根据）①∵∠1=∠3（已知），∴∥（）②∵a∥b（已知），∴∠1+∠2=180°（）③如图: ∵AB ∥CD （已知）∴∠1= ∠3 （）又∠3= ∠2 （）∴∠1= ∠2又∵∠4+ ∠2 =180 ゜（）∴∠1+ ∠4 =180 ゜例1．如图，已知∠1=∠2，∠3=110°，求∠4的度数？练习2.如图所示，已知∠B=60°，∠BDE=120°，问∠C与∠AED相等吗？为什么？3．如图，AB∥CD，AD∥BC，求证：∠A=∠CCA BC D12345FE678ab123cD5.3.1 平行线的性质(二)学习目标1.进一步巩固平行线性质和判定，培养推理能力和有条件表达能力;2.能够综合运用平行线性质和判定解题.学习过程一.复习1．平行线的判定方法有哪些？平行线的性质有哪些？2．如图1，已知直线a、b被直线c所截，在括号内为下面各小题的推理填上适当的根据: (1) ∵a∥b (已知)，∴∠1=∠3 ( );(2) ∵∠1=∠3 (已知)，∴a∥b( );(3) ∵a∥b (已知)，∴∠1+∠4=180º ( );(4)∵∠1+∠4=180º (已知)，∴a∥b( );二、例题巩固例1一块梯形铁片的残余部分如图，量得∠A=75º，∠B=72º，梯形的另外两个角分别是多少度? 练习1．如图所示，已知：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且AB∥CD．求证：∠1+∠2=90°．例2 如图所示．已知：AD∥BC，∠AEF=∠B，求证：AD∥EF．练习2．⑴回答：如图①∠3=∠B，则∥，依据是②∠2+∠A=180°, 则∥，依据是；③∠1=∠4，则∥，依据是④GC ∥EF,AB ∥EF, 则∥，依据是；⑵如图所示，已知：∠1=∠2，求证：∠3+∠4=180°．⑶如图所示，已知，∠1=∠2，∠A=∠D.求证：AB∥CDFEDCBAab123c4图1FEDCBA21EDBA EDCBA FECBA5.3.1 平行线的性质与判定学习目标2. 进一步巩固平行线性质和判定，培养推理能力和有条件表达能力; 2.能够综合运用平行线性质和判定解题. 学习过程1.复习⑴ 如图1，点E 在CD 上，点F 在AB 上，G 是AD 延长线上一点。
5.3平行线的性质(第1课时)-教学设计
学习发现的平行线第一个性质
通过自主学习，合作学习，培养学生分析问题、解决问题的能力。
4
演绎推理，发现平行线的其它性质
把问题交给学生，培养学生观察、分析、想象、推理的能力，体现学生的主体地位。
5
巩固新知深化理解
检验新知的掌握情况，帮助学生巩固平行线的性质及文字语言、符号语言、图形语言之间的相互转化，为今后进一步学习推理打下基础。
5.3平行线的性质教学设计
第1课时
一、教学任务分析
教学目标
知识技能
理解平行线的性质和判定的区别，并能够正确掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理。
数学思考
在生动的情境中让学生获得平行线性质的初步经验；培养学生观察、分析、想象、推理的能力；经历探索直线平行的性质过程，从中感受转化的数学思想。
解决问题
布置作业：
1.教科书练习题1、2题
2.预习5.3.2命题、定理、证明
教师布置作业。
学生记录作业。
对学生可能会提出一些疑问。教师应给出有针对性的、具体的指导与帮助。
巩固所学
首先，学生动笔操作、回答计算结果。
然后，分组讨论、交流。
教师板书
充分调动学生的主动性和积极性，让学生独立思考，同时，通过实例，培养学生分析问题的能力，让学生从具体的实例中发现数学问题，使学生懂得数学来源于现实,服务于现实生活。
6
问题
1.平行线判定与性质的区别与联系
（1）性质：根据两条直线平行，去证角的相等或互补。
问题3
1.你能结合图形ห้องสมุดไป่ตู้表达你得到的结论吗？
如果 ，那么∠1=∠2。
2.你能用文字语言表达这个结论吗？
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。（性质1）
5.3.1 平行线的性质(1) -李欢
5.3.1 平行线的性质（1）长海三中李欢教材分析：本节课的主要内容是平行线的三条性质等内容，首先在研究了平行线的判定的基础上研究平行线的性质，学生很自然就想到研究平行线的性质也要研究同位角、内错角、同旁内角的关系，因此从平行线的判定关系入手，引入对平行线性质的探究。
平行线的性质是教学中的重点，而平行线的判定与性质互为逆命题，条件与结论相反，因此区分判定和性质是教学中的一个难点。
在教学过程中可以告诉学生，从角的关系得到两直线平行式判定，由已知直线平行，得出角的相等或互补关系，是平行线的性质。
教学目标：1、经历探索平行线的性质的过程，掌握平行线的性质。
2、会用平行线的性质进行简单的推理和计算。
3、经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理的表达能力。
重点：平行线性质的探索。
难点：有条理的表达和简单的推理计算。
教学方法：有目的有计划的设计问题，引导学生进行观察、实验、猜测和推理等活动，从而使学生完成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。
教学过程：一、复习1、复习平行线的判定方法。
2、把它们已知和结论颠倒一下，可以得到怎样的语句？它们成立吗？（通过复习回忆平行线的判定来引入新课。
）二、深入探究1、画图活动。
学生利用三角板和直尺画出两条平行线a∥b，再画一条截线c，与直线a、b相交，标出所形成的八个角。
老师板演，利用几何画板画出几何图形。
（画平行线的这个过程主要是让学生明白，确定平行线性质的前提是要有两条平行线。
）2、已知a∥b，度量∠1和∠5的大小，会发现同位角∠1 ∠5。
同时还会发现其他同位角∠2和∠6，,∠3和∠7，∠4和∠8也。
3、学生说出猜想，师生一起归纳平行线的性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
（通过学生自己的操作发现，验证出平行线的性质。
）4、（1）通过观察发现，∠5的同位角∠1与∠3是，所以∠1与∠3是相等的，又因为∠1=∠5，所以∠3=∠5，所以猜想两直线平行，不仅同位角相等，内错角也。
5.3.1《平行线的性质》重难点专项练习【六大题型】(解析版)
5.3.1《平行线的性质》重难点题型专项练习考查题型一 两直线平行同位角相等的应用典例1．（2022秋·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a b ∥，2110Ð=°，则1Ð的度数为（ ）A ．70°B ．75°C ．80°D ．85°【答案】A【分析】由a b ∥，根据两直线平行，同位角相等，即可求得3Ð的度数，又由邻补角的定义即可求得1Ð的度数．【详解】解：如图：∵a b ∥，2110Ð=°，∴32110Ð=Ð=°，∵13180Ð+Ð=°，∴170=°∠．故选：A ．【点睛】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质，正确运用数形结合思想．变式1-1．（2022·四川德阳·模拟预测）如图，直线//a b ，将三角尺的直角顶点放在直线b 上，如果260Ð=°，那么1Ð的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】A【分析】根据平行线的性质求出3Ð，由平角性质可知1180390ÐÐ=°--°即可得出结论．【详解】如图：//a b Q ，2360\Ð=Ð=°，1180903180906030\Ð=°-°-Ð=°-°-°=°，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质推理是解题的关键．变式1-2．（2022·宁夏固原·校考模拟预测）如图，把一个三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果123Ð=°，那么2Ð的大小为（ ）A ．23°B ．46°C ．57°D ．67°【答案】D【分析】根据余角的定义求出3Ð，再根据两直线平行，同位角相等可得23ÐÐ=．【详解】解：∵123Ð=°，∴3902367°°Ð=-=°，∵直尺的两边互相平行，∴2367Ð=Ð=°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．变式1-3．（2022秋·陕西西安·七年级校考期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若165Ð=°，则2Ð的大小是（ ）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°【答案】B【分析】由30°三角尺可知360Ð=°，由平角可求4Ð，再根据平行线的性质可知24ÐÐ=．【详解】解：如图：由30°三角尺可知360Ð=°，∵1+3+4180ÐÐÐ=°，∴418013180656055Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，由平行线的性质可知2455Ð=Ð=°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质及直角三角形的性质，充分运用三角板和直尺的几何特征是解题的关键．考查题型二 两直线平行内错角相等的应用典例2．（2021·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，直线12l l ∥，直角三角板的直角顶点C 在直线1l 上，一锐角顶点B 在直线2l 上，若135Ð=°，则2Ð的度数是（ ）A ．65°B ．55°C ．45°D ．35°【答案】B【分析】先根据角的和差求出3Ð的度数，然后根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图，135Ð=°Q ，90ACB Ð=°，390155\Ð=°-Ð=°，又12l l ∥，2355\Ð=Ð=°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．变式2-1．如图，AB CD P ，40B Ð=°，则ECD Ð的度数为（ ）A ．160°B ．140°C ．50°D ．40°【答案】B【分析】利用平行线的性质先求解DCB Ð，再利用邻补角的性质求解ECD Ð即可．【详解】解：∵AB CD P ，40B Ð=°，∴40DCB B Ð=Ð=°，∴180140ECD DCB Ð=°-Ð=°，故选B ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．变式2-2．（2022·河南洛阳·统考一模）如图，ACD Ð是ABC V 的外角，AB CE ∥，80BAC Ð=°，35DCE Ð=°，则ACB Ð的度数为（ ）A ．55°B ．65°C ．75°D ．85°【答案】B【分析】由80AB CE BAC Ð=°，∥可得80ACE Ð=°，进而即可求ACB Ð；【详解】∵80AB CE BAC Ð=°，∥,∴80BAC ACE Ð=Ð=°，∵35DCE Ð=°，∴()18065ACB ACE DCE Ð=°-Ð+Ð=°．故选：B.【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”定理是解题的关键．变式2-3．如图，直线AB ，CD 被直线DE 所截，AB CD ∥，140Ð=°，则D Ð的度数为（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．140°【答案】B【分析】根据两直线平行内错角相等可得出答案．【详解】解：∵AB CD ∥，140Ð=°，∴140D Ð=Ð=°，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解本题的关键．考查题型三 两直线平行同旁内角互补的应用典例3．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知直线AB CD ∥，130GEF Ð=°，135EFH Ð=°，则12Ð+Ð的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．65°D ．85°【答案】D【分析】由130GEF Ð=°，135EFH Ð=°可得1324265°Ð+Ð+Ð+Ð=，由AB CD P 得34180Ð+Ð=°，进而可求出12Ð+Ð的度数．【详解】解：如下图所示，∵130GEF Ð=°，∴13130°Ð+Ð=，∵135EFH Ð=°，∴24135°Ð+Ð=，∴1324265°Ð+Ð+Ð+Ð=∵AB CD P ，∴34180Ð+Ð=°，∴121324(34)26518085°Ðа+Ð=Ð+Ð+Ð+Ð-+Ð=°=-，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．变式3-1．如图，已知直线a b ∥，把三角板的直角顶点放在直线b 上．若140Ð=°，则2Ð的度数为（ ）A ．140°B ．130°C ．120°D ．110°【答案】B【分析】根据互余计算出3904050Ð=°-°=°，再根据平行线的性质由a b ∥得到21803130Ð=°-Ð=°．【详解】解：∵1+3=90Ðа，∴3904050Ð=°-°=°，∵a b ∥，∴23180Ð+Ð=°．∴218050130°°=Ð=-°．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．变式3-2．（2022秋·福建福州·七年级校考期中）如图，AB CD P ，170=°∠，则2Ð=（ ）A ．70°B ．80°C ．110°D ．120°【答案】C【分析】先利用对顶角相等，再利用两直线平行，同旁内角互补得出答案．【详解】解：170Ð=°Q ，3170\Ð=Ð=°，//AB CD Q ，2180318070110\Ð=°-Ð=°-°=°．故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握性质是解答题的关键．变式3-3．如图，AC BD ∥，AE 平分BAC Ð交BD 于点E ，若166а＝，则2Ð= （ ）A ．123°B ．128°C ．132°D ．142°【答案】A【分析】如图：根据平角的定义及角平分线的性质求得3Ð的度数，再根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图：∵166Ð=°，∴180118066114BAC Ð=°-Ð=°-°=°，∵AE 平分BACÐ∴1131145722BAC °°Ð=Ð=´=，∵AC BD ∥，∴23180Ð+Ð=°，∴2180318057123Ð=°-Ð=°-°=°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质是解答本题的关键．考查题型四 根据平行线的性质探究角的关系典例4．（2022秋·重庆铜梁·七年级校考期中）如图，已知AB DE ∥，且∠C=110°，则∠1与∠2的数量关系为__________________ .【答案】2170Ð=Ð+°【分析】过点C 作CF AB ∥，则CF AB DE ∥∥，根据平行线的性质可得角之间的关系，从而∠1与∠2的数量关系即可求解.【详解】解：过点C 作CF AB ∥，如图：则CF AB DE ∥∥，∴1BCF Ð=Ð，2180DCF Ð+Ð=°，∵110BCD Ð=°，∴1101101DCF BCF Ð=°-Ð=°-Ð，∴11012180°-Ð+Ð=°，∴2170Ð=Ð+°.故答案为：2170Ð=Ð+°.【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是作出平行线，利用平行线的性质得出角之间的关系.变式4-1．（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）如图，已知AB CD ∥，CE BF ∥，则B C Ð+Ð= ______ ．【答案】180°##180度【分析】根据两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补，得到EHB C Ð=Ð，180EHB B Ð+Ð=°，等量代换即可求得B C Ð+Ð的值．【详解】解：如图，设AB 与CE 交于点H ，∵AB CD ∥，CE BF ∥，∴EHB C Ð=Ð，180EHB B Ð+Ð=°，∴180B C Ð+Ð=°．故答案为：180°．【点睛】此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用．变式4-2．（2022秋·内蒙古乌海·七年级校考期中）如图，AB ∥EF ，则∠A ，∠C ，∠E 满足的数量关系是______．【答案】360A C E Ð+Ð+Ð=°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．【详解】如下图所示，过点C 作//CD AB ，∵//CD AB ，∴180A ACD Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补），∵//AB EF ，//CD AB ，∴//CD EF ，∴180E DCE Ð+Ð=°（两直线平行，同旁内角互补），∴360A ACD E DCE Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴360A ACE E Ð+Ð+Ð=°，∴在原图中360A C E Ð+Ð+Ð=°，故答案为：360A C E Ð+Ð+Ð=°．【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．变式4-3．（2022秋·山东青岛·七年级统考期末）如图，直线AB//CD ，∠AEM ＝2∠MEN ，∠CFM ＝2∠MFN ，则∠M 和∠N 的数量关系是________．【答案】∠EMF=23∠ENF【分析】利用平行线的性质以及已知条件解决问题即可．【详解】解：过点M 作MJ ∥AB ，过点N 作NK ∥AB ．∵AB ∥CD ，∴MJ ∥AB ∥CD ，NK ∥AB ∥CD ，∴∠EMJ=∠AEM ，∠FMJ=∠CFM ，∠ENK=∠AEN ，∠FNK=∠CFN ，∴∠EMF=∠AEM+∠CFM ，∠ENF=∠AEN+∠CFN ，∵∠AEM=2∠MEN ，∠CFM=2∠MFN ，∴∠AEM+∠CFM=23（∠AEN+∠CFN ），即∠EMF=23∠ENF ．故答案为：∠EMF=23∠ENF ．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．考查题型五 利用平行线的性质求角的度数典例5．（2022秋·北京西城·七年级期中）如图，若AB CD ∥，EF 与AB ，CD 分别相交于点E ，F ，EP EF ^，EFD Ð平分线与EP 相交于点P ，20BEP Ð=°，则PFD Ð=__________°．【答案】35°【分析】由题可求出BEF Ð，然后根据两直线平行，同旁内角互补可知DFE Ð，根据角平分线的定义可得到结果．【详解】∵EP EF ^，∴90PEF Ð=°，∵20BEP Ð=°，∴110BEF PEF BEP Ð=Ð+Ð=°，∵AB CD P ，∴18070EFD BEF Ð=°-Ð=°，∵FP 平分EFD Ð，∴1352PFD EFD Ð=Ð=°．【点睛】本题考查了平行线的性质与角平分线的定义，以及三角形的内角和定理，注意数形结合思想是解题关键．变式5-1．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，已知AB EF ∥，BC DE ∥，若70B Ð=°，则E Ð=________°．【答案】110【分析】先根据“两直线平行，内错角相等”得出BGE Ð，再根据“两直线平行，同旁内角互补”得出答案．【详解】如图所示．∵AB EF ∥，∴70B B G E Ð=Ð=°.∵BC DF ∥，∴180BGE E Ð+Ð=°，∴180110E B G E Ð=°-Ð=°．故答案为：110．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，灵活选择平行线的性质是解题的关键．变式5-2．如图，AB CD ∥，若40A Ð=°，26C Ð=°，则∠E=______．【答案】66°##66度【分析】如图所示，过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥，根据两直线平行内错角相等分别求出4026AEF CEF =°=°∠，∠，则66AEC AEF CEF =+=°∠∠∠．【详解】解：如图所示，过点E 作EF AB ∥，∵EF AB AB CD ∥，∥，∴AB CD EF ∥∥，∴4026AEF A CEF C ==°==°∠∠，∠∠，∴66AEC AEF CEF =+=°∠∠∠，故答案为：66°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出4026AEF CEF =°=°∠，∠是解题的关键．变式5-3．将一块长方形纸折成如图的形状，若已知1=110а，则2Ð=____°．【答案】55【分析】根据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到2Ð的度数．【详解】解：如图所示：∵AB CD P ，∴1==110ACD Ðа，∵由折叠可知122ECD ACD Ð=Ð=Ð，∴2=55а，故答案为：55．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键．考查题型六 平行线的判定与性质的综合应用典例6．（2022秋·陕西渭南·七年级统考期中）如图，已知点B 、C 在线段AD 的异侧，连接、AB CD ，点E 、F 分别是线段、AB CD 上的点，连接CE BF 、，分别与AD 交于点G ，H ，且AEG AGE Ð=Ð，C DGC Ð=Ð．(1)求证：AB CD ∥；(2)若180AGE AHF °Ð+Ð=，求证：B C Ð=Ð；(3)在（2）的条件下，若117BFC C Ð=Ð，求AHB Ð的度数．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)70°【分析】（1）只需要证明AEG C Ð=Ð即可证明AB CD ∥；（2）先证明HGE AHF =∠∠得到BF CE P 则B AEG =∠∠，再由AEG C Ð=Ð即可证明B C Ð=Ð；（3）根据平行线的性质得到180BFC C Ð+Ð=°，AHB DGC Ð=Ð，再结合已知条件求出C Ð的度数即可得到答案．【详解】（1）证明：∵AEG AGE Ð=Ð，C DGC Ð=Ð，AGE DGC Ð=Ð，∴AEG C Ð=Ð，∴AB CD ∥；（2）证明：∵180180AGE HGE AGE AHF +=°+=°∠∠，∠∠，∴HGE AHF =∠∠，∴BF CE P ，∴B AEG =∠∠，又∵AEG C Ð=Ð，∴B C Ð=Ð；（3）解：由（2）得BF CE P ，∴180BFC C Ð+Ð=°，AHB DGC Ð=Ð，又∵117BFC C Ð=Ð，∴111807C C +=°∠∠，∴70C Ð=°，∴70AHB DGC C ===°∠∠∠．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．变式6-1．（2022秋·广东东莞·七年级统考期中）如图，点B ，C 在线段AD 的异侧，点E ，F 分别是线段AB ，CD 上的点，已知12Ð=Ð，3C Ð=Ð．(1)求证：AB CD ∥；(2)若24180Ð+Ð=°，求证：180BFC C Ð+Ð=°；(3)在（2）的条件下，若3021BFC Ð-°=Ð，求B Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)50B Ð=°【分析】（1）已知12Ð=Ð，所以32Ð=Ð，又因为3C Ð=Ð，可以得出1CÐ=Ð即可判定AB CD ∥；（2）已知23ÐÐ=，24180Ð+Ð=°，可以得出//BF EC ，即可得出180BFC C Ð+Ð=°；（3）由（1）（2）可知AB CD ∥，//BF EC ，可以得出1C Ð=Ð，180BFC C Ð+Ð=°；可以得出30212BFC C Ð-°=Ð=Ð，可以得出C Ð，又因为1C B Ð=Ð=Ð，即可求出B Ð的度数．【详解】（1）证明：12Ð=ÐQ ，3C Ð=Ð，23ÐÐ=，1C \Ð=Ð，//AB CD \；（2）证明：24180Ð+Ð=°Q ，23ÐÐ=，34180\Ð+Ð=°，//BF EC \，180BFC C \Ð+Ð=°；（3）180BFC C Ð+Ð=°Q ，30212BFC C Ð-°=Ð=ÐQ ，230BFC C \Ð=Ð+°，230180C C \Ð+°+Ð=°，50C \Ð=°，130BFC \Ð=°，//AB CD Q ，180B BFC \Ð+Ð=°，50B \Ð=°．【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．变式6-2．如图，已知12AB CD Ð=Ð∥，．(1)求证：EF NP ∥；(2)若FH 平分EFG Ð，交CD 于点H ，交NP 于点O ，且14010FHG Ð=°Ð=°，，求FGD Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)60°【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换得出1BNP Ð=Ð，即可判定EF NP ∥；（2）过点F 作FM AB ∥，根据平行公理得出AB FM CD ∥∥，根据平行线的性质及角平分线定义得到50GFH EFH Ð=Ð=°，根据三角形外角性质求解即可．【详解】（1）证明：∵AB CD ∥，50GFH EFH Ð=Ð=°∴2BNP Ð=Ð，∵12Ð=Ð，∴1BNP Ð=Ð，∴EF NP ∥；（2）解：如图，过点F 作FM AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB FM CD ∥∥，∴14010EFM HFM FHG Ð=Ð=°Ð=Ð=°，，∴50EFH EFM HFM Ð=Ð+Ð=°，∵FH 平分EFG Ð，∴50GFH EFH Ð=Ð=°，∴60FGD GHF HFG Ð=Ð+Ð=°．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．变式6-3．（2022秋·福建福州·七年级校考期中）如图，在ABC V 中，AGF ABC ÐÐ=，12180Ð+Ð=°．(1)求证：DE BF ∥；(2)若DE AC ^，2140Ð=°，求AFG Ð的度数．【答案】(1)见解析(2)50°【分析】（1）由于AGF ABC ÐÐ=，可判断GF BC ∥，则1CBF ÐÐ=，由12180Ð+Ð=°得出2180CBF ÐÐ+=°判断出BF DE ∥；（2）由BF DE ∥，BF AC ^得到DE AC ^，由2140Ð=°得出140Ð=°，得出AFG Ð的度数．【详解】（1）解：BF DE ∥，理由如下：AGF ABC ÐÐ=Q ，GF \BC ∥，1CBF ÐÐ\=，12180Ð+Ð=°Q ，2180CBF ÐÐ\+=°，BF \DE ∥；（2）解：BF Q DE ∥，BF AC ^，DE AC \^，12180Ð+Ð=°Q ，2140Ð=°，140Ð\=°，904050AFG Ð\=°-°=°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等，同旁内角互补．。
《5.3.1 平行线的性质》教案、导学案、同步练习
《5．3.1 平行线的性质》教案第1课时平行线的性质【教学目标】1．理解平行线的性质；(重点)2．能运用平行线的性质进行推理证明．(重点、难点)【教学过程】一、情境导入窗户内窗的两条竖直的边是平行的，在推动过程中，两条竖直的边与窗户外框形成的两个角∠1、∠2有什么数量关系？二、合作探究探究点一：平行线的性质如图，AB∥CD，BE∥DF，∠B＝65°，求∠D的度数．解析：利用“两直线平行，内错角相等，同旁内角互补”的性质可求出结论．解：∵AB∥CD，∴∠BED＝∠B＝65°.∵BE∥FD，∴∠BED＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－∠BED＝180°－65°＝115°.方法总结：已知平行线求角度，应根据平行线的性质得出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．再结合已知条件进行转化．探究点二：平行线与角平分线的综合运用如图，DB∥FG∥EC，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，∠PAG＝12°，求∠ABD 的度数．解析：先利用GF ∥CE ，易求∠CAG ，而∠PAG ＝12°，可求得∠PAC ＝48°.由AP 是∠BAC 的角平分线，可求得∠BAP ＝48°，从而可求得∠BAG ＝∠BAP ＋∠PAG ＝48°＋12°＝60°，即可求得∠ABD 的度数．解：∵FG ∥EC ，∴∠CAG ＝∠ACE ＝36°.∴∠PAC ＝∠CAG ＋∠PAG ＝36°＋12°＝48°.∵AP 平分∠BAC ，∴∠BAP ＝∠PAC ＝48°.∵DB ∥FG ，∴∠ABD ＝∠BAG ＝∠BAP ＋∠PAG ＝48°＋12°＝60°.方法总结：(1)利用平行线的性质可以得出角之间的相等或互补关系，利用角平分线的定义，可以得出角之间的倍分关系；(2)求角的度数，可把一个角转化为一个与它相等的角或转化为已知角的和差．探究点三：平行线性质的探究应用如图，已知∠ABC .请你再画一个∠DEF ，使DE ∥AB ，EF ∥BC ，且DE 交BC 边与点P .探究：∠ABC 与∠DEF 有怎样的数量关系？并说明理由．解析：先根据题意画出图形，再根据平行线的性质进行解答即可．解：∠ABC 与∠DEF 的数量关系是相等或互补．理由如下：如图①，因为DE ∥AB ，所以∠ABC ＝∠DPC .又因为EF ∥BC ，所以∠DEF ＝∠DPC ，所以∠ABC ＝∠DEF .如图②，因为DE ∥AB ，所以∠ABC ＋∠DPB ＝180°.又因为EF ∥BC ，所以∠DEF ＝∠DPB ，所以∠ABC ＋∠DEF ＝180°.故∠ABC 与∠DEF 的数量关系是相等或互补．方法总结：画出满足条件的图形时，必须注意分情况讨论，即把所有满足条件的图形都要作出来．三、板书设计平行线的性质⎩⎨⎧⎭⎬⎫两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补求角的大小或说明角之间的数量关系【教学反思】平行线的性质是几何证明的基础，教学中注意基本的推理格式的书写，培养学生的逻辑思维能力，鼓励学生勇于尝试．在课堂上，力求体现学生的主体地位，把课堂交给学生，让学生在动口、动手、动脑中学数学第2课时平行线的性质和判定及其综合运用【教学目标】1．掌握平行线的性质与判定的综合运用；(重点、难点)2．体会平行线的性质与判定的区别与联系．【教学过程】一、复习引入问题：平行线的判定与平行线的性质的区别是什么？判定是已知角的关系得平行关系，性质是已知平行关系得角的关系．两者的条件和结论刚好相反，也就是说平行线的判定与性质是互逆的．二、合作探究探究点一：先用判定再用性质如图，C，D是直线AB上两点，∠1＋∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF ∥AB.(1)CE与DF平行吗？为什么？(2)若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数．解析：(1)由∠1＋∠DCE＝180°，∠1＋∠2＝180°，可得∠2＝∠DCE，即可证明CE∥DF；(2)由平行线的性质，可得∠CDF＝50°.由DE平分∠CDF，可得∠CDE＝1 2∠CDF＝25°.最后根据“两直线平行，内错角相等”，可得到∠DEF的度数．解：(1)CE∥DF.理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DCE＝180°，∴∠2＝∠DCE，∴CE∥DF；(2)∵CE∥DF，∠DCE＝130°，∴∠CDF＝180°－∠DCE＝180°－130°＝50°.∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝12∠CDF＝25°.∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠CDE＝25°.方法总结：根据题目中的数量找出各量之间的关系是解这类问题的关键．从角的关系得到直线平行用平行线的判定，从平行线得到角相等或互补的关系用平行线的性质，二者不要混淆．探究点二：先用性质再用判定如图，已知DF∥AC，∠C＝∠D，CE与BD有怎样的位置关系？说明理由．解析：由图可知∠ABD和∠ACE是同位角，只要证得同位角相等，则CE∥BD.由平行线的性质结合已知条件，稍作转化即可得到∠ABD＝∠C.解：CE∥BD.理由如下：∵DF∥AC，∴∠D＝∠ABD.∵∠C＝∠D，∴∠ABD＝∠C，∴CE∥BD.方法总结：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．探究点三：平行线性质与判定中的探究型问题如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF.(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由；(2)∠AFD与∠AED之间有怎样的数量关系？解析：平行线中的拐点问题，通常需过拐点作平行线．解：(1)∠AED＝∠BAE＋∠CDE.理由如下：如图，过点E作EG∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG∥CD，∴∠AEG＝∠BAE，∠DEG＝∠CDE.∵∠AED＝∠AEG＋∠DEG，∴∠AED＝∠BAE＋∠CDE；(2)同(1)可得∠AFD ＝∠BAF ＋∠CDF .∵∠BAF ＝2∠EAF ，∠CDF ＝2∠EDF ，∴∠BAE ＋∠CDE ＝32∠BAF ＋32∠CDF ＝32(∠BAF ＋∠CDF )＝32∠AFD ，∴∠AED ＝32∠AFD .方法总结：无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎刃而解．三、板书设计⎭⎬⎫同位角相等内错角相等同旁内角互补判定性质两直线平行【教学反思】本节内容的重点是平行线的性质及判定的综合，直接运用了“∵”“∴”的推理形式，为学生创设了一个学习推理的环境，逐步培养学生的逻辑推理能力．因此，这一节课有着承上启下的作用，比较重要．本节内容的难点是理解平行线的性质和判定的区别，并在推理中正确地应用．由于学生还没有学习命题的概念和命题的组成，不知道判定和性质的本质区别和联系是什么，所以在教学中，应让学生通过应用和讨论，体会到如果已知角的关系，推出两直线平行，就是平行线的判定；反之，如果两直线平行，得出角的关系，就是平行线的性质《5.3.1 平行线的性质》导学案第1课时 平行线的性质【学习目标】：1.掌握两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补，并能熟练运用.2.通过独立思考，小组合作，运用猜想、推理的方法，提升自己利用图形分析问题的能力.3.激情投入，全力以赴，培养严谨细致的学习习惯.【重点】：平行线的性质.【难点】：根据平行线的性质进行推理.【自主学习】一、知识链接平行线的判定方法有哪几种？二、新知预习如图，直线a与直线b平行，直线c与它们相交.（1）量一量：用量角器量图中8个角的度数.（2）说一说：由测量的结果，你发现∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8、∠3与∠6、∠4与∠5、∠3与∠5、∠4与∠6的大小有什么关系？（3）想一想：（2）中的各对角分别是什么角？（4）议一议：两条平行直线被第三条直线所截，所得的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？三、自学自测1.如图，直线a∥b，∠1=70°，那么∠2的度数是（）A.50°B.60°C.70°D.80°2.下列说法中，（1）同位角相等，两直线平行；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）内错角相等，两直线平行；（4）同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.其中是平行线的性质的是（）A.（1）和（3）B.（2）C.（4）D.（2）和（4）【课堂探究】要点探究探究点：平行线的性质问题1：画两条平行线a//b，然后画一条截线c与a、b相交，标出如图所示的角. 度量所形成的8个角的度数，把结果填入下表：角∠1 ∠2 ∠3 ∠4度数角∠5 ∠6 ∠7 ∠8度数观察：∠1~ ∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？说出你的猜想.猜想：两条平行线被第三条直线所截，同位角 .思考：再任意画一条截线d，同样度量各个角的度数，你的猜想还成立吗？问题2：如图，已知a//b,那么∠2与∠3相等吗？为什么?问题3：如图,已知a//b,那么∠2与∠4有什么关系呢？为什么?例1.如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？例2：小明在纸上画了一个∠A，准备用量角器测量它的度数时，因不小心将纸片撕破，只剩下如图的一部分，如果不能延长DC、FE的话，你能帮他设计出多少种方法测出∠A的度数？【当堂检测】1.如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截(1)从∠1=110°可以知道∠2 是多少度吗,为什么？(2)从∠1=110°可以知道∠3是多少度吗,为什么？(3)从∠1=110°可以知道∠4 是多少度吗,为什么？2.如图，一条公路两次拐弯的前后两条路互相平行.第一次拐弯时∠B是142°，第二次拐弯时∠C是多少度？为什么？3.如图，直线 a ∥ b,直线b垂直于直线c，那么直线a垂直于直线c吗?4.如果有两条直线被第三条直线所截，那么必定有（）A.内错角相等B.同位角相等C.同旁内角互补D.以上都不对5.(1)如图1,若AB∥DE , AC∥DF，试说明∠A=∠D.请补全下面的解答过程,括号内填写依据.解: ∵ AB∥DE( )∴∠A=_______ ( )∵AC∥DF( )∴∠D=______ ( )∴∠A=∠D ( )(2)如图2,若AB∥DE , AC∥DF，试说明∠A+∠D=180o.请补全下面的解答过程,括号内填写依据.解: ∵ AB∥DE( )∴∠A= ______ ( )∵AC∥DF( )∴∠D+ _______=180° ( )∴∠A+∠D=180°（）6.【拓展题】如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，∠2和∠3有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？5.3.1 平行线的性质第2课时平行线的性质和判定及其综合运用【学习目标】：1.进一步熟悉平行线的判定方法和性质.2.运用平行线的性质和判定进行简单的推理和计算.【重点】：平行线的判定方法和性质.【难点】：平行线的性质和判定的综合运用.【自主学习】一、知识链接1.平行线的判定方法有哪些？2.平行线的性质有哪些？二、新知预习1.两条直线被第三条直线所截，同位角、内错角相等，或者说同旁内角互补，这句话对吗？2.自主归纳：（1）两直线平行，同位角，内错角，同旁内角 .（2）不难发现，平行线的判定，反过来就是，注意它们之间的联系和区别.（3）运用平行线的性质时，不要忽略前提条件“”，不要一提同位角或内错角，就认为是相等的.【课堂探究】一、要点探究探究点：平行线的性质和判定及其综合应用例1.如图，三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°.（1）DE和BC平行吗？为什么？（2）∠C是多少度？为什么？做一做：已知AB∥CD，∠1 = ∠2.试说明:BE∥CF.例2.如图，AB∥CD，猜想∠A、∠P 、∠PCD的数量关系，并说明理由.例3.如图，若AB//CD ，你能确定∠B 、∠D 与∠BED 的大小关系吗？说说你的看法．【变式题1】如图，AB//CD ，探索∠B 、∠D 与∠DEB 的大小关系 .【变式题2】如图,AB ∥CD,则∠A ，∠C 与∠E 1，∠E 2，…，∠E n 有什么关系？【变式题3】如图,若AB ∥CD, 则∠A ，∠C 与各拐角之间有什么关系？EDC BA【当堂检测】1.填空：如图,(1)∠1= 时，AB∥CD.(2)∠3= 时，AD∥BC.2.直线a,b与直线c相交，给出下列条件：①∠1= ∠2;②∠3= ∠6;③∠4+∠7=180°;④∠3+ ∠5=180°，其中能判断a//b的是( )A. ①②③④ B .①③④ C. ①③ D. ④3. 有这样一道题：如图，AB//CD,∠A=100°, ∠C=110°,求∠AEC的度数. 请补全下列解答过程.解：过点E作EF//AB.∵AB//CD（已知）,∴ // (平行于同一直线的两直线平行）.∴∠A+∠ =180°，∠C+∠ =180°(两直线平行，同旁内角互补）.又∵∠A=100°，∠C=110°（已知）,∴∠ = °, ∠ = °.∴∠AEC=∠1+∠2= °+ ° = °.4.已知AB⊥BF，CD⊥BF，∠1= ∠2，试说明∠3=∠E.5.如图,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 °，求∠AGD的度数.第五章相交线与平行线5.3.1《平行线的性质》同步练习一、单选题（共15题；共30分）1、如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20o，那么∠2的度数是（ )A、30°B、25°C、20°D、15°2、如图所示BC//DE，∠1=108°，∠AED=75°，则∠A的大小是（）A、60°B、33°C、30°D、23°3、两条平行直线被第三条直线所截，下列命题中正确的是（）A、同位角相等，但内错角不相等B、同位角不相等，但同旁内角互补C、内错角相等，且同旁内角不互补D、同位角相等，且同旁内角互补4、一架飞机向北飞行，两次改变方向后，前进的方向与原来的航行方向平行，已知第一次向左拐50°，那么第二次向右拐（）A、40°B、50°C、130°D、150°5、如图，下列说法正确的是（）A、若AB//CD，则∠1=∠2B、若AD//BC，则∠B+∠BCD=180ºC、若∠1=∠2，则AD//BCD、若∠3=∠4，则AD//BC6、下列图形中，由AB//CD能得到∠1=∠2的是（）A、 B、C、 D、7、下列语句：①两条不相交的直线叫做平行线；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若AB=BC，则点B是AC的中点；④若两角的两边互相平行，则这两个角一定相等；其中说法正确的个数是（）A、1B、2C、3D、48、同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（）A、平行或垂直B、平行或相交C、平行、相交或垂直D、相交9、下列生活实例中；①交通道口的斑马线；②天上的彩虹；③体操的纵队；④百米跑道线；⑤火车的平直铁轨线．其中属于平行线的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个10、如图，AB∥CD，∠A=46°，∠C=27°，则∠AEC的大小应为（）A、19°B、29°C、63°D、73°11、如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A=50°，∠1=35°，∠2的度数为（）A、95°B、65°C、85°D、35°12、如图，已知：AB∥CD，CE分别交AB、CD于点F、C，若∠E=20°，∠C=45°，则∠A的度数为（）A、5°B、15°C、25°D、35°13、如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α=（）A、20°B、25°C、30°D、35°14、如图，若a∥b，则下列选项中，能直接利用“两直线平行，内错角相等”判定∠1=∠2的是（）A、 B、C、 D、15、如图，如果AB∥CD，那么图中相等的内错角是（）A、∠1与∠5，∠2与∠6B、∠3与∠7，∠4与∠8C、∠5与∠1，∠4与∠8D、∠2与∠6，∠7与∠3二、填空题（共5题；共10分）16、如图，已知：∠A=∠F，∠C=∠D，求证：BD∥EC，下面是不完整的说明过程，请将过程及其依据补充完整．证明：∵∠A=∠F（已知）∴AC∥________，________∴∠D=∠1________又∵∠C=∠D（已知）∴∠1=________________∴BD∥CE ________17、如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为________ 度（用关于α的代数式表示）．18、如图所示,一条公路两次拐弯后和原来的方向相同,即拐弯前、•后的两条路平行,若第一次拐角是150°,则第二次拐角为________ .19、如图，把含有60 º角的三角尺ABC的直角顶点C放在直线DE上，当AB∥DE。
5.3.1平行线的性质(1)(贾玲艳)
如果两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 简记为：两直线平行，同位角相等
辨一辨：
(1) 凡是同位角相等这句话对吗?
(2) 两直线被第三条直线所截,同位角相等呢?
(3) 两条直线在什么情况下, 同位角会相等呢?
ba
1
2
c
c
a1 2
34
b
56
78
思考
如图，已知：a// b 那么3与2有什么关系？
如图：已知a//b，那么2与 3有什么关系呢？
解： a//b （已知）
1= 2（两直线平行，同位角相等） c
1+ 3=180°（邻补角定义）
2+ 3=180°（等量代换）
a
2
3
b
1
平行线的性质3
两 几何条语平言行表线示被：第三条直线所截，同旁内角互补。
简 ∵ 单a//说b (成已：知)两直线平行，同旁内角互补。
5.3.1 平行线的性质（1）
小田 @
做一做：
回答：如图
1、若∠3=∠B，则
，
依据是
。
2、若∠2+∠A=180°,则
,
依据是
。
3、若
，则GC∥EF，
依据是
。
4、若GC ∥ EF,AB ∥ EF,则
，
依据是
。
如何判定两直线平行？
同位角相等 平行条件 内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
条件： 角的关系
平行关系
4. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
5.平行线的定义. 6、平行于同一条直线的两条直线互相平行。
探究
任意画两条互相平行的直线，再任意画一条直线 与这两条平行线相交。测量同位角的度数，你发现了 什么?与其他同学的发现相同吗?
5.3.1平行线的性质1doc
能结合一些具体内容进行说理，初步养成言之有据的习惯，从而培养逻辑性的数学思维。
重点
探索并掌握平行线的性质，能用平行线性质进行简单的推理和计算。
难点
难点：能区分平行的性质和判定，正确利用平行线的性质解决有关问题
教学流程安排
活动说明
活动目的
知识链接
回顾旧知，导入新知，出示目标
新知初探
掌握平行线的性质及符号表示
老师：出示学习目标进行解读。
做好知识的铺垫，明确本节课的学习任务。
二、新知初探：（学，展：10分钟）
活动一：平行线的性质1：两直线平行，同位角相等。（2分钟）
学生：1、动手操作，完成习题1（存在适当的误差是允许的）
2、总结性质并用符号表示。
老师：1、巡视点拨，评价激励
2、板书性质一
活动二：平行线的性质2：两直线平行，内错角相等。:8分钟）
典例分析
会使用平行线的性质进行计算
题组练习
强化平行线的性质
达标Байду номын сангаас测
检测学习成果
教学过程设计
问题与情景
设计意图
一、知识回顾（导：5分钟）
问题：1、平行线的判定方法有哪些？这些判定方法中共同点是什么？
2、由已知角相等或互补能推出两直线平行，那么由两直线平行能否推出两角相等或互补呢？
学生：书写平行线的判定方法及符号表示。
平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补。
学生：1、独立完成习题2、3，推理发现其他性质。
提示：以性质1为依据，结合判定的推理方法。
2、对子组互助完善答案，并展示上板。
3、展讲。要求：结合图形，思路明确，条理清晰。
老师：1、巡视指导，进行点拨。
5.3.1 平行线的性质(1)
B
1
C
2
F D
已知AB∥CD,∠B=130°,∠E=80° 已Байду номын сангаасAB∥CD,∠B=35°,∠E=80° 求∠D的度数
A
E C
B E D
考 考 你
如图DE∥GF,BC∥DE EF∥DC, DC∥AB 你知道∠B与∠F的关系吗?
D G C
E
F B
A
复习回顾：
平行线的判定方法 平行线的性质
同位角相等， 两直线平行． 两直线平行， 同位角相等． 两直线平行， 内错角相等． 两直线平行， 同旁内角互补．
∴ AE∥BC
（内错角相等，两直线平行）
6.如图，已知∠ABC＋∠C＝180°，BD 平分∠ABC,∠CBD与∠D相等吗？请说明 理由．
A B
D
C
7．如图， ∠1＝ ∠2，∠3＝65°．
求∠4的度数．
a
1 2 3 4
b
c
d
∵ AD//BC （已知） A ∴∠2=∠3
（两直线平行，内错角相等）．
B
5.已知：如图∠1＝∠2， ∠A＝ ∠C,说明：AE∥BC
（已知） 解：∵ ∠1＝∠2 ∴AB//CD （同位角相等，两直线平行） ∴ ∠ 3＝ ∠ A （两直线平行，同位角相等） ∵ ∠A＝∠C （已知） （等量代换）
∴ ∠ 3＝ ∠ C
如图，一条公路两次转弯后， 和原来的方向相同.如果第一 O 次拐的角是36 ，第二次拐 的角是多少度？为什么?
如图，在一条公路两侧铺设 平行管道，如果公路一侧铺设 o 的角度为120 ，那么为了使管 道对接，别一侧应以什么角度 铺设？为什么？
如图，DE∥BC，DF∥AC 试写出图中和∠C相等的角
平行线的性质(1)-
北
北
•B
41°
A•
如图，F在直线DF上，B在直线AC上， 若∠ AGB= ∠ EHF, ∠ C= ∠ D 则∠ A= ∠ F，为什么？
D
E
F
H
G
A
BC
本节小 结
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
判定 性质
两直线平 行
再见
即：两直线平行，同位角相等
性质2 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等
即：两直线平行，内错角相等
性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补
即：两直线平行，同旁内角互补
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过程给了它缤纷；生命本没有芳香，过程给了它花香；生命本是一朵白色的纸花，过程给了它活力。法布尔的《昆虫记》告诉我们：生命的意义在于去发现、去挖掘、去体现。生命是美丽的，生命的美丽，永远是展现在她的进取之中，就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬 勃生机中；像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中；像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中……法布尔的《昆虫记》也告诉我们我们的生命不是天地间的过客,也不是时光的影子,我们的生命是自然的花朵,是岁月的果实,我们是宇宙间充满激情、梦想、力 量和智慧的创造者,我们正以自己的奋斗展现着人类生命的美丽。法布尔的《昆虫记》还告诉我们生命是伟大的，生命给予我们一切，生命让世界变得更美丽。有了生命才有了生活，有了生活才有了生命，生命让生活充满活力，我们要珍惜生命、赞叹生命、感谢生命。 纵观历史，我们可 以发现，历史上那些伟人、那些为人们所怀念和称颂的人、那些被认为实现了生命意义的人，都是对社会发展做出了极大贡献的人；而历史上那些坏人之所以是坏人，就是因为他们被认为是对社会发展起到破坏作用的人。揭开中国历史的篇章，有多少人的生命
5.3.1平移
课题：5.3.1平行线的性质重点难点：知识点一：平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等m//n ∴∠1=∠3性质2：两直线平行，内错角相等m//n ∴∠3=∠2性质3：两直线平行，同旁内角互补m//n ∴∠2+∠4=180º知识点二：平行线的性质与判定的联系与区别区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算判定由数到形，用于判定两直线平行联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关典型例题分析：题型一：平行线性质的基本应用例1：已知：AB//CD,直线EF分别交AB,CD于E，EG平分∠BEF,∠1=40º求:∠2的度数题型二：平行线性质的灵活应用——一题多解例2：如图，AB//CD,EPF为折线，试探究∠P与∠AEP与∠PFC的关系，并给出证明。
题型三：平行线性质与判定的综合运用例3：已知：∠AED=70º，∠ACB=70º，CD平分∠ACB.求:∠EDC的度数例4：已知：AD//BC,∠A=∠C.求证：AB//CD同步练习：1.已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D,试说明∠A=∠F.2.如下图，AM//CN（1）求∠MAB+∠ABC+∠BCN的度数（2）求∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN的度数（3）根据（1）（2）题，你能探究出一个结论吗？你能直接写出这一结论3.如图，已知DE//BC,∠D:∠DBC=2：1，∠1=∠2，求∠DEB 的度数.4.已知：如图，AB//CD,被直线EF 所截交AB,CD 于M,N,MP 平分∠EMB,NQ 平分∠MND,那么MP//NQ,为什么?5.如图所示，已知：AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，且AB ∥CD ．求证：∠1+∠2=90°6.如图所示，已知：∠1=∠2，求证：∠3+∠4=180°7.已知：如图，AB//CD,分别探究下图中∠APC 与∠PAB 、∠PCD 的关系.达标检测：一、选择题:1、如图5，∠1和∠2互补，那么图中平行的直线有（）A、ba// B、dc// C、ed// D、ec//图5 图62、下列条件中，能得到互相垂直的是（）A、对顶角的平分线B、平行线的同位角的平分线C、平行线的内错角的平分线D、邻补角的平分线3、如图6，nm//，那么∠1、∠2、∠3的关系是（）A、∠1+∠2+∠3=360° B、∠1+∠2-∠3=180°C、∠1-∠2+∠3=180°D、∠1+∠2+∠3=180°二、解答题：1、如图7，点A在直线MN上，且MN//BC，求证∠BAC+∠B+∠C=180º2、如图，M、N、T在同一直线上，且∠1=∠3，∠P=∠T，求证：∠M=∠R。
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内错角，同旁内角之间又有什么关系呢？
2.
(1)用直尺和三角尺画出两条平行线
a∥b,再画一条截线c，使之与直线
a,b相交，并标出所形成的八角． (2)测量上面八个角的大小，记录下
来．从中你能发现什么？
c d a b
如果两直线不平行，上述结论还成 立吗？
3.结论
平行线的性质1（公理） 两条平行线被第三条直线所截，同 位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相 等。
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
3.问题
平行线的判定方法有哪三种？它 们是先知道什么……、 后知道什么？
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
两直线平行
方法4：如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行.
平行线的性质
二、实践探究：(一)探究1
1、问题：
根据同位角相等可以判定两直线平行， 反过来如果两直线平行同位角之间有
7、已知
∠ADE=60 ° ∠B=60 °∠AED=40°
求证：（１）DE∥BC （２） ∠C的度数 （1）∵∠ADE=60 ° ∠B=60 ° （已知） ∴∠ADE=∠B （等量代换） ∴DE∥BC
(同位角相等，两直线平行)
（2）∵ DE∥BC
（已证）
∴∠AED=∠C (两直线平行，同位角相等)
2.如图：已知a//b，那么2与 3有什么关系呢？
解：
1= 2（两直线平行，同位角相等） 1+ 3=180°（邻补角定义） 2+ 3=180°（等量代换）
a//b （已知）
c
a
2 3 1
b
平行线的性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
5、如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行。第一 次拐的角∠B是142゜，第二次 拐的角∠C是多少度？为什 么？
╯C B╭
b
6、如图直线 a ∥ b,直线b垂直于直线c 则直线a垂直于直线c吗? 7 、 如图 是一梯形机器零件模型,下底两角残缺了. A 现只知上底两角度数为115 ゜和100゜. 工人师傅不用测量就知道下底两角度数, B 你知道吗?为什么?
一、学前准备：
1、已知直线AB 及其外一点P，画出 过点P的AB 的平行线。
P
A
B
2、回答：如图
(1)∠3=∠B，则EF∥AB，依据是
同位角相等，两直线平行
(2)∠2+∠A=180°,则DC∥AB,依据
同旁内角互补，两直线平行
(3)∠1=∠4，则GC∥EF，依据是
内错角相等，两直线平行
(4)GC ∥ EF,AB ∥ EF,则GC∥AB，依据
a
? c
D
C
答案： 5 （∠C=142°）两直线平行，内错角相等 6（垂直 ） 7（65 ° 80°）
例
解:
• 1.如图,直线a∥b, ∠1=54°,∠2, ∠3, ∠4各是多少度?
a
∵ ∠2=∠1 (对顶角相等)
1 2 4
∴ ∠2=∠1 =54°
∵ a∥b(已知) ∴ ∠4=∠1=54°(两直线平行,同位角相等) ∠2+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补) ∴ ∠3= 180°－ ∠2= 180° － 54°=126°
3
b
2.如图：已知
1= 2
求证： BCD+ D=180 证明：如图 ∵ 1= 2（已知） ∴AD∥_____( BC 内错角相等，两直线平行 ) ∵AD ∥_____ BC （已证）
∴ BCD+ D=180（ 两直线平行,同旁内角互补 )
比一比
平行线的“判定”与“性质”有什么不同
（二）、探究2
回答
1.如图，已知：a// b 那么3与2有什么关系？
例如：如右图因为 a∥b, 所以 ∠1= ∠2( 两直线平行，同位角相等 ), 又 因为∠3 = ∠ ___( 1 对顶角相等), 所以∠ 2 = ∠3.
平行线的性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 简单说成：两直线平行，内错角相等。
3╰ 1╰
B
╮2
╮4
C
6、在(1)同位角相等(2)两直线平行(3)是判定(4)是性质 中语序排列有(a).(1)(2)(4) (b).(1)(2)(3) (c).(2)(1)(3) (d).(2)(1)(4)，其中语序排列正确的个数有： A.0个 B. 1个 C.2个 D.3个
答案：3、D 4、C 5、B 6、C
B
E的性质：
性质１：两直线平行，同位角相等．
∵ a∥b ( 已知 )
∴ ∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)
性质２：两直线平行，内错角相等．
∵a∥b( 已知 ) ∴ ∠1=∠3(两直线平行，内错角相等)
性质３：两直线平行，同旁内角互补．
∵a∥b( 已知 ) ∴ ∠1+∠4=180° (两直线 平行，同旁内角互补)
判定：已知角的关系得平行的关系． 推平行，用判定． 性质：已知平行的关系得角的关系． 知平行，用性质．
四.谈收获：
已知 判定
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
得到
两直线平行
性质 已知
我认为……
得到
我学会了…… 我明白了…… 我会用…… 我想……
3、两条平行线被第三条直线所截,相等同位角的对数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4 、 ∠1 和∠2是两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角,要使这两 条直线平行,必须( ) A. ∠1= ∠2 B. ∠1+∠2=90 ゜ C. 2(∠1+∠2)=360 ゜ D .∠1是钝角, ∠2是锐角 5 、 如图A D ∥BC,则下面结论中正确的是: A. ∠1= ∠2 B.∠3= ∠4 C. ∠A A D = ∠C D.∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4= 180 ゜
三、学以致用
产品/ 服务信息
1、两直线平行，同位角 相等 . 2、两直线平行，内错角 相等 . 3、两直线平行，同旁内角 互补 . 4、如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截 A 2╭ C E 4 ( ╯3 ╯1
B D ∠2=110° （1）从 ∠1=110 ゜ 可以知道 ∠2 是多少度？为什么？ （2）从 ∠1=110 ゜ 可以知道 ∠3是多少度？为什么？∠3=110° （3）从 ∠1=110 ゜ 可以知道 ∠4 是多少度？为什么？∠4=70°
又∵∠AED=40° （已知）
∴∠C=40 ° （等量代换）
思 考 分 析
8.知识拓展
如图，若AB//CD，你能确定∠B、∠D与∠BED的大小 关系吗？说说你的看法． 解答：过点E作EF//AB． ∴∠B=∠BEF． ∵AB//CD． ∴EF//CD． ∴∠D =∠DEF． ∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF ＝∠DEB． 即∠B＋∠D＝∠DEB． A