高等数学ppt5.1

y y = f (x)
o a
图5 －1
x b
2
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(1) 已知 矩形面积＝高×底 将[a, b]分成 n 个小区间, 称为子区间. 记分点为
a = x0 < x1 < x2 < L< xn−1 < xn = b
子区间 [ x i −1 , x i ]的长度为 ∆ x i = x i − x i −1
在每个子区间[xi-1, xi ]上任取一点ξi, ξi ∈ [xi-1, xi ],
如果极限 lim
( 其中 ∆ x i = x i − x i − 1 , λ = max ∆ x i , )
1≤ i ≤ n
∑1 λ→0 i=
n
f (ξ i ) ∆ x i 存在 ,
则称这个极限值为函数f (x)在[a, b]上的定积分. 9
∫a f (x)dx ≤ ∫a g(x)dx
证:Q
b
b
g( x ) − f ( x ) ≥ 0
∴ =
即:
∫a [ g ( x ) − f ( x )]dx ∫a
b
b
g ( x )dx − ∫ f ( x )dx ≥ 0
a
b
b
∫a f ( x )dx ≤ ∫a g ( x )dx
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b
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§5.1 定积分概念与性质
一、定积分问题举例 二、定积分定义 三、定积分的性质
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§5.1定积分概念与性质 5.1定积分概念与性质
一、定积分问题举例
1.曲边梯形的面积 注: 设 y = f (x)在区间 [ a, b] 上非负、连续, 由直线 x = a, x = b, y = 0, 及曲线 y = f (x) 所围 成 的图 形, 称 为曲边梯形, 其中曲线 弧称为曲边.
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
c b
b
c
b
f ( x )dx
此时, c 称为[a, b]的外分点. 证: 第一种情形, a < b < c, 有
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫b f ( x )dx b c c 于是 ∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx − ∫b f ( x )dx c b = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx 类似证第二种情形. a c
y=f (x) y A A o a b x
∫a f ( x )dx = 曲边梯形面积 A
b
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(2) 若当x∈[a, b]时, 连续函数 f (x) ≤ 0,
y o
a A
b x
∫a f ( x )dx = − A
(3) 若当x∈[a, b]时, 连续函数 f (x) 既取得正值, 又取得 负值时
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记成
其中: f (x)叫做被积函数. f (x)dx叫做被积表达式. x叫做积分变量, a叫做积分下限. b叫做积分上限, [a, b]叫做积分区间.
∫a f (x)dx = lim∑ f (ξi )∆xi λ→ 0 i=1
b
n
和 lim ∑ f (ξ i )∆ x i叫做 f (x)的积分和.
b
b
∫a f ( x )dx ≤ M ( b − a )
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b
所以
∫a f ( x )dx ≤ M m≤
(b − a )
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由介值定理 ∃ξ∈[a , b]. 使 即:
(b − a ) b ∫ f (x)dx = f (ξ)(b − a)
a
∫a f ( x )dx =
b
f (ξ )
y A1 o a A2
b
y=f (x)
y=f (x) A3 b x
∫a f ( x )dx = A1 − A2 + A3
b
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例 : 利用定义计算定积
解: 因为y=x2在[0, 1]上连续, 定积分存在, 将区间[0, 1]等分成 n等份, [0, 1] n , 分点为
y
y=x2
n
b
= k lim ∑ f (ξ i ) ⋅ ∆xi= k ∫ f ( x )dx
λ →0
i =1
a
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性质2: 设f (x)、g(x)在[a, b]上可积, 则 f (x) ± g(x) 在[a, b]可积, 且
∫a[ f (x) ± g(x)]dx = ∫a f (x)dx ± ∫a g(x)dx
T1 = t 0 < t1 < t 2 < L < t n−1 < t n = T2
[T1, T2]分成 n 个小段 [t0, t1] , [t1, t2 ], …, [tn-1, tn ] 6
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每小段时间长
∆ t i = t i − t i −1
在每个子区间[ti-1, ti ]上任取一点ξi 由时刻ti-1 到时刻 ti 走过的路程为∆Si
1 = lim 3 ∑ i 2 n→ ∞ n i =1
n
n
i 2 1 = lim ∑ ( ) ⋅ n→ ∞ n i =1 n
1 1 = lim 3 ⋅ n ⋅ ( n + 1)( 2n + 1) n→ ∞ n 6
1 n ⋅ ( n + 1)( 2n + 1) = lim 3 n→ ∞ 6 n
1 = 3
推论2:
∫a f (x)dx ≤ ∫a| f (x) | dx
− | f ( x ) |≤ f ( x ) ≤ | f ( x ) |
b b
b
b
Q 证:
b a
∴ − ∫ | f ( x ) | dx ≤ ∫ f ( x )dx ≤ ∫ | f ( x ) | dx
a a
即:
∫a f ( x )dx ≤ ∫a | f ( x ) | dx
i =1 n
( 3 )记 λ = max { ∆ x i }, 令 λ → 0
1≤ i ≤ n
n
将[a, b]分得越细, 近似公式越精确.
于是:
A= lim∑ f (ξi )⋅ ∆xi
λ→ 0i=15盐城工学院高等数学课题组
2. 变速直线运动的路程. 设某物体作变速直线运动. 已知速度V = V(t)是 时间间隔[T1, T2]上 t 的连续函数. 计算在这段时间 内物体所经过的路程 S. (1) 匀速直线运动. 路程＝速度×时间 在[T1, T2]内任意插入若干个分点
λ →0
i =1
n
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2. 可积的充分条件. 定理1: 设f (x)在区间[a, b]上连续, 则f (x)在[a, b]可积. 定理2: 设f (x)在区间[a, b]上有界, 且只有限个间断点, 则f (x)在[a, b]上可积. 3. 定积分的几何意义. (1) 若当 x∈[a, b]时, 连续函数f (x) ≥ 0
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c
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性质4: 设在[a, b]上, f (x) ≡ 1. 则
∫a 1dx = ∫a dx = b − a
性质5: 设f (x)在[a, b]上可积, 且 f (x) ≥ 0. 则
b
b
∫a f (x)dx ≥ 0
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b
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推论1: 如果在[a, b]上可积, 且 f (x) ≤ g(x). 则
2 1 2 1 2
(2) 规定当a= b时, (3) 规定当a > b时,
b
∫a f ( x )dx = 0 ∫a f ( x )dx = − ∫b
a
b
f ( x )dx
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作
业
P233 习题5-1
6, 8
26
分 ∫ x2dx
0
1
0
1 2 n n
n − 11 n
x
1 2 n−1 0< < <L< <1 n n n 1 i ∆ x i = , 取 ξ i = ( i = 1, 2 ,L , n ) n n
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于是 x 2 dx = lim
n
∫0
1
∑ f (ξ i ) ⋅∆ x i λ →0 i =1
( 3 )记 λ = max { ∆ x i }, 令 λ → 0
1≤ i ≤ n
于是:
S = lim∑ (ξi )⋅ ∆ti V
0 λ→ i=1
n
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二、定积分定义
1. 定义: 设函数f (x)在[a, b]上有界, 将[a, b]任意分成 n个子区间, 分点为
a = x0 < x1 < x2 < L< xn−1 < xn = b
过每个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯 形分成n个窄曲边梯形, 3
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y 在每个小区[xi-1 , xi]上 任取一点ξi
y = f (x)
窄曲边梯形面积
0
a
b
x
∆A ≈ f (ξi )⋅ ∆xi i
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(2) 曲边梯形面积
A ≈ f (ξ1 ) ⋅ ∆x1 + f (ξ 2 ) ⋅ ∆x2 + L + f (ξ n ) ⋅ ∆xn = ∑ f (ξ i ) ⋅ ∆xi