高二数学(选修22)单元测试_2
2013年河南郑州五校联考高二数学选修2-2单元测试(理科)《导数及其应用》
2013年郑州二中高二数学选修2-2单元测试（理科）《导数及其应用》 (满分：150分 时间：120分钟)一、选择题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．抛物线y=x 2在点M （21，41）的切线的倾斜角是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．设连续函数0)(>x f ，则当b a <时，定积分òba dx x f )(的符号（ ）A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当b a <<0时是正的，当0<<b a 时是负的D ．以上结论都不对 3．已知自由下落物体的速度为V=gt ，则物体从t=0到t 0所走过的路程为（ ）A ．2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．2014gt 4．设函数()f x 的导函数为()f x ¢，且()()221f x x x f ¢=+×，则()0f ¢等于（ ）A ．0B ．4-C ．2-D ．2 5．函数x x y ln =的单调递减区间是（ ）A ．（1-e ，+∞）B ．（－∞，1-e ）C ．（0，1-e ） D ．（e ，+∞）6．若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,)3+¥ B ．1(,3-¥ C ．1[,)3+¥ D ．1(,3-¥7.（安徽9）设函数1()21(0),f x x x x=+-< 则()f x （ ）A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数8．（湖北卷7）若21()ln(2)2f x x b x =-++¥在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A. [1,)-+¥ B. (1,)-+¥ C. (,1]-¥- D. (,1)-¥-9．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下右图所示，则导函数y=f ¢(x)可能为（ ）10．（全国一7）设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-11．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为（ ）A ．0.28JB ．0.12JC ．0.26JD ．0.18J 12．(07江苏)已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x ¢，(0)0f ¢>，对于任意实数xB有()0f x ≥，则(1)(0)f f ¢的最小值为（ ） Ａ．3 Ｂ．52 Ｃ．2 Ｄ．3213．(07江西理)设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ）Ａ．15- Ｂ．0 Ｃ．15Ｄ．5 14．对于R 上可导的任意函数f （x ），且'(1)0f =若满足（x －1）f x ¢（）>0，则必有（ ）A ．f （0）＋f （2）<2f （1）B ．f （0）＋f （2）³2f （1）C ．f （0）＋f （2）>2f （1）D ．f （0）＋f （2）³2f （1） 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 15．=-ò4|2|dx x _________16．已知)(x f 为一次函数，且10()2()f x x f t dt =+ò，则)(x f =______17．（北京12）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则0(1)(1)lim x f x f xD ®+D -=D _________（用数字作答）18.（上海11）在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ， 是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当w xy =取到最大值时，点P 的坐标是 ____ 19．已知曲线323610y x x x =++-上一点P ，则过曲线上P 点的所有切线方程中，斜率最小的切线方程是20．函数3()65()f x x x x R =-+Î，若关于x 的方程()f x a =有三个不同实根，则a 的取值范围是 三、解答题：（本大题分5小题共56分） 21．(本题10分)求曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积。
(好题)高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(含答案解析)(3)
一、选择题1．已知函数222,0()11,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．222,1⎡⎤-⎣⎦B ．(],1-∞C ．()222,0-D ．222,0⎡⎤-⎣⎦2．若幂函数()f x 的图象过点21,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则函数()()e x f x g x =的递减区间为（ ） A ．()0,2 B ．(),0-∞和()2,+∞ C ．()2,0-D ．()(),02,-∞+∞3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x xf'x 0->（x 0>），则（ ）A ．()()()6f 13f 22f 3->->-B ．()()()2f 33f 26f 1->->-C ．()()()6f 12f 33f 2->->-D ．()()()3f 22f 36f 1->->-4．设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()ln 'x x f x f x ⋅<-，则使得()()240x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2-⋃ B ．()(),22,-∞-⋃+∞ C ．()()2,02,-⋃+∞D ．()(),20,2-∞-⋃5．定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，若()01f =，则不等式()xf x e >的解集为（ ）A ．()01，B ．()1+∞，C ．()1-∞，D ．()0-∞，6．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=+⋅的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数()f x 有极大值()3f -和极小值()2fB ．函数()f x 有极大值()1f -和极小值()2fC ．函数()f x 在()3,2x ∈--单调递增D ．函数()f x 在()1,2x ∈单调递增 7．函数()3sin cos 2xxf x x x =+在[]2,2ππ-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．45m ≤≤B ．24m ≤≤C ．2m ≤D ．4m ≤9．已知函数()f x 在R 上连续可导，导函数为()'f x ，(0)1f =，其满足()()01f x f x x '->-，函数()()x f x g x e=，下列结论错误．．的是（ ） A ．函数()g x 在(1,)+∞上为单调递增函数 B ．0x ≤时，不等式()x f x e ≥恒成立 C ．函数()g x 有最小值，无最大值 D ．1x =是函数()g x 的极大值点10．已知奇函数()f x 在R 上是增函数且当0x ≥时()0f x ≥ ，()()g x xf x =．若()2log 5.1a g =-，()0.82b g =，()3c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<11．已知函数()ln f x x x =，则()f x （ ） A ．在()0,∞+上递增B ．在()0,∞+上递减C ．在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递增D ．在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减12．已知函数()xe f x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],e -∞B ．(),e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题13．若函数3213()(4)32xf x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为________ 14．函数()sin cos f x x x x =+在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为________. 15．函数32()22=-f x x x 在区间[1,2]-上的最大值是___________.16．sin ),()sin cos ,(0)a x dx f x x x x x a ==+≤≤，则()f x 的最大值为_____________.17．若点()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+=⎨>⎩的图象上任意两点，且函数()f x 分别在点A 和点B 处的切线互相垂直，则12x x 的最小值为______．18．已知位移和时间的关系是321()2533s t t t t =++-，则2t =时的瞬时速度是_______ 19．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，且对任意0x >都有()()0x f x f x '⋅->成立，则不等式2()0x f x ⋅>的解集是______.20．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)=f ________三、解答题21．已知函数1()(2)ln 2f x a x ax x=-++， （1）当2a =时，求函数()f x 的极值； （2）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（3）若对a ∀∈(-3，-2)，12,x x ∈[1，3] ，不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知函数()ln f x x ax b =-+的图象在1x =处的切线方程为30x y +-=. （1）求a 和b 的值；（2）对0x ∀>，()e 3xf x x x m ≤-+成立，求实数m 的取值范围．23．已知函数())2f x x ax =-.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在区间[]0,2的最小值为23-，求a . 24．设函数()(1)ln(1)f x x x x =-++ （1）求函数()f x 的极值； （2）若方程()f x t =在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有两个实数解，求t 的取值范围； （3）证明：当0m n >>时，(1)(1)n mm n +<+.25．设函数()()2ln 2f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈（1）若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的斜率为1，求a 的值;（2）已知导函数()f x '在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1,x e ∈时，()2f x e >-. 26．设函数()()2ln 23f x x x =++.（1）讨论()f x 的单调性； （2）求()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】作出函数()f x 的图象，利用数形结合的思想判断a 的范围，找出临界点即相切时a 的取值，进而得出a 的范围． 【详解】作出()f x 的图象，如图，由图象可知： 要使()f x ax 恒成立，只需函数()g x ax =的图象恒在图象()f x 的下方， 可得1a ，设()g x ax =与函数2()22(0)f x x x x =++相切于点(),(0)P m n m <， 由()f x 的导数为22x +，可得切线的斜率为22m +， 即有22a m =+，222am m m =++， 解得2m =-，222a =-由图象可得222a -，综上可得a 的范围是[22-1]． 故选：A 【点睛】解决此类问题的关键是作出函数图象，根据数形结合的思想处理问题，本题关键找出相切时刻这一临界位置，利用直线与抛物线相切即可求解.2．B解析：B 【分析】根据条件先求解出()f x 的解析式，然后利用导数求解出()()e xf xg x =的单调递减区间. 【详解】因为()f x 为幂函数，且过点21,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以设()f x x α=，所以21=22α⎛ ⎝⎭，所以2α=，所以()2f x x =，所以2()ex x g x =，则(2)()e xx x g x '-=， 当2x >或0x <时，()0g x '<；当02x <<时，()0g x '>， 所以()()ex f x g x =的递减区间为(),0-∞和()2,+∞，故选：B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是求解完()f x 的解析式之后，根据()0f x '<去分析()f x 的单调递减区间.3．B解析：B 【分析】根据条件的结构特点构造函数，利用导数以及已知条件判断函数的单调性，然后转化求解即可． 【详解】设g （x ）=()2x f x ，定义在R 上的奇函数f （x ），所以g （x ）是奇函数，x ＞0时，g′（x ）=()()()()22'x f x xf x fx -，因为函数f （x ）满足2f （x ）﹣xf'（x ）＞0（x ＞0），所以g′（x ）＞0，所以g （x ）是增函数，g (g =()11f -，可得：((()2361f f f -＞＞． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中构造新函数()()2x g x f x =，利用导数得到函数()g x 的单调性，利用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．D解析：D 【分析】构造函数()ln (),g x xf x = 根据()g x '的符号判断函数单调性，结合函数单调性的特点，得当0x >时，f （x ）<0, 当0x <时，f （x ）>0,再解不等式即可. 【详解】构造函数()ln (),g x xf x =则()()()()ln ()ln f x f x x xf x g x xf x xx+''=+'=，已知当0x >时，()()ln 'x x f x f x ⋅<-，所以在x>0时，()g x '<0，即g （x ）在（0，+∞）上是减函数，因为y=lnx 在（0，+∞）上是增函数，所以f （x ）在（0，+∞）上是减函数已知()()f x x R ∈是奇函数，所以f （x ）在（-∞，0）上也是减函数，f （0）=0， 故当0x >时，f （x ）<0, 当0x <时，f （x ）>0,由()()240x f x ->得224040()0()0x x f x f x ⎧⎧->-<⎨⎨><⎩⎩或 ，解得x<-2或0<x<2 故选D. 【点睛】本题考查了函数的导数与函数的单调性的关系，考查了奇函数，以及不等式的解法，关键是构造函数，根据函数单调性分析f （x ）＞0与f （x ）＜0的解集.5．D解析：D 【分析】构造函数()()xf xg x e=，用导数法得到()g x 在R 上递减，然后由()01f =，得到()01g =，再利用函数的单调性定义求解.【详解】 令()()x f x g x e=，因为()()f x f x '<， 则()()()0xf x f xg x e'-'=<， 所以()g x 在R 上递减， 又()01f =，则()01g =， 不等式()xf x e >等价于()()10xf xg e>= ， 所以0x <. 故选：D 【点睛】本题主要考查函导数与函数的单调性以及函数单调性解不等式，还考查了构造函数求解问题的能力，属于中档题.6．A解析：A 【分析】根据图象判断出导函数()f x '的符号，由此求得()f x 的单调区间、极大值、极小值. 【详解】 当3x <-时，()()()10010x f x f x x ⎧+<⇒>⎨+<'⎩'，()f x 递增；当31x -<<-时，()()()10010x f x f x x ⎧+>⇒<⎨+<'⎩'，()f x 递减； 当12x -<<时，()()()10010x f x f x x ⎧+<⇒<⎨+>'⎩'；当2x >时()()()10010x f x f x x ⎧+>⇒>⎨+>'⎩'，()f x 递增； 综上：函数()f x 有极大值()3f -和极小值()2f . 故选：A 【点睛】本小题主要考查利用图象判断函数的单调性和极值，属于中档题.7．C解析：C 【分析】 利用()()'2,0f f π确定正确选项.【详解】()23sin 222cos 2202f ππππππ=+⋅=>，由此排除BD 选项. 当0x ≥时，()3sin cos 2xxf x x x =+， ()'3cos 3ln 2sin cos sin 2xx xf x x x x -⋅=+-，()'031040f =+-=>，由此排除A 选项.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图象识别，考查导数的运用.8．D解析：D 【分析】求出函数的导数，利用函数的单调性，推出不等式，利用基本不等式求解函数的最值，即可得结果 【详解】 解：由()32114332f x x mx x =-+-，得'2()4f x x mx =-+， 因为函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数， 所以240x mx -+≥在[]1,2上恒成立，得4m x x≤+恒成立因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时取等号，所以4m ≤， 故选：D 【点睛】此题考查导数的应用，考查函数最值的求值，考查基本不等式应用，考查转化思想，属于中档题9．D解析：D 【分析】 对()()xf xg x e =求导，由条件可判断单调性，即可依次判断每个选项的正误. 【详解】()()x f x g x e =，()()()xf x f xg x e-=''∴，当1x >时，()()0f x f x '->，即()0g x '>，故()g x 在(1,)+∞上单调递增，故A 正确，不符合题意；当1x <时，()()0f x f x '-<，即()0g x '<，故()g x 在(,1)-∞上单调递减，1x ∴=是函数()g x 的极小值点，故D 错误，符合题意；()g x 在(,0]-∞上单调递减，(0)()(0)1f g x g e∴≥==，即()1x f x e ≥，()x f x e ∴≥，故B 正确，符合题意；可知()g x 在1x =处取得极小值即最小值，无最大值，故C 正确，不符合题意.故选：D. 【点睛】本题考查导数的应用，属于中档题.10．C解析：C 【分析】可判断函数()g x 为偶函数，再利用导数可证明()g x 在[)0,+∞为增函数，利用指数函数和对数函数的单调性可得0.823log 5.12>>，从而可得三个函数值之间的大小关系.【详解】因为()()()g x xf x xf x -=--=，故()f x 为偶函数， 当0x ≥时，因为()()()0g x f x f x ''=+≥（不恒为零）， 故()g x 在[)0,+∞为增函数， 又()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，因为0.82223log 8log 5.1log 422=>>=>，所以c a b >>，故选：C. 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性和指数、对数的大小比较，注意两个增函数的乘积不一定是增函数，另外函数值的大小比较一般要利用函数的单调性来处理，本题属于中档题.11．D解析：D 【分析】确定函数的定义域，求导函数，根据导函数的正负确定函数的单调性. 【详解】函数的定义域为（0，+∞） 求导函数，可得f′（x ）=1+lnx 令f′（x ）=1+lnx=0，可得x=1e, ∴0＜x ＜1e 时，f′（x ）＜0，x ＞1e时，f′（x ）＞0 ∴在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减, 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增 故选D ． 【点睛】这个题目考查了导数在函数的单调性中的应用，判断函数的单调性常用的方法是：求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间.导函数为正的区间是增区间，导函数为负的区间是减区间.12．D解析：D 【分析】由题意得出()()1122x f x x f x <，构造函数()2xg x e ax =-，可知函数()y g x =在区间()0,∞+上单调递增，可得出()20x g x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，利用参变量分离法可得出2x e a x ≤，利用导数求得函数()2xe h x x=在区间()0,∞+上的最小值，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】函数()xe f x ax x=-的定义域为()0,∞+，当21x x >时，()()1221f x f x x x <恒成立， 即()()1122x f x x f x <，构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，则()()12g x g x <，所以，函数()2xg x e ax =-在区间()0,∞+上为增函数，则()20xg x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，2x ea x∴≤，令()2xe h x x=，其中0x >，则()min a h x ≤.()()212x e x h x x-'=，当01x <<时，()0h x '<，此时函数()y h x =单调递减； 当1x >时，()0h x '>，此时函数()y h x =单调递增. 所以，函数()y h x =的最小值为()()min 12e h x h ==，2e a ∴≤.因此，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】函数有只有一个极值点函数只有一个变号零点分别讨论三种情况数形结合分析整理即可得答案【详解】函数有只有一个极值点函数只有一个变号零点则易知①当时显然不合题意；②当时当时为减函数当时为增函数所以解析：[]310,3e e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭【分析】函数()f x 有只有一个极值点⇔函数()'f x 只有一个变号零点，分别讨论0k <、0k =、0k >三种情况，数形结合，分析整理，即可得答案. 【详解】函数()f x 有只有一个极值点⇔函数()'f x 只有一个变号零点，则2()(3)3(3)()x xf x e x k k x k x x x e =--+-=-'，易知(3)0,(0)3f f ''==-，①当0k <时，,()0,,()0x f x x f x →-∞>→+∞>，显然不合题意； ②当0k =时，()(3)x f x e x -'=，当3x <时()0f x '<，()f x 为减函数， 当3x >时()0f x '>，()f x 为增函数， 所以3x =为函数()f x 唯一极值点，满足题意；③当0k >时，若3x =为()'f x 唯一的零点2(3)30x e x kx kx ⇒--+=,0k >只有唯一解，则3x =，可得0-=xe kx 无解，即(3)xe k x x=≠无解，设()x e h x x =，则2(1)()x e x h x x-'=，当1x <时，()0h x '<，()h x 为减函数， 当1x >时，()0h x '>，()h x 为增函数，min ()(1)h x h e ==， 所以0k e <<，经验证满足题意；④当0k >，若3x =不是()'f x 唯一的零点，()'f x 可能有2个或3个零点，当()'f x 有3个零点时候显然不合题意，当()'f x 有两个零点时，()xe h x x=有一个零点时，k e =，当()x e h x x =有两个零点时，结合题意，3x =为其中一个零点，所以33e k =，经验证满足题意；故答案为：[]310,3k e e ⎧⎫∈⋃⎨⎬⎩⎭【点睛】解题的关键是将()f x 只有一个极值点等价为函数()'f x 只有一个变号零点，分析()'f x 解析式，数形结合，可得答案，易错点为，x=3为x-3=0和0-=x e kx 共同零点时，也符合题意，属中档题.14．【分析】先求导根据单调性求函数最大值即可【详解】因为当时函数递增当时函数递减所以故答案为：【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较取其最小或最大不确定时要分类讨论解析：2π【分析】先求导，根据单调性求函数最大值即可. 【详解】因为()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，函数()f x 递增， 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f x '<，函数()f x 递减， 所以max ()sin cos 22222f x f πππππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2π． 【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论.15．8【分析】对函数求导由导数确定单调区间由单调性确定极值再比较极值与函数端点值即可确定函数最值【详解】f′(x)=6x2-4x=2x(3x-2）已知x ∈-12当2≥x>或-1≤x<0时f′(x)>0f解析：8 【分析】对函数求导，由导数确定单调区间，由单调性确定极值，再比较极值与函数端点值，即可确定函数最值. 【详解】f ′(x )=6x 2-4x = 2x (3x -2）， 已知x ∈[-1，2]，当2 ≥ x >23或-1 ≤ x <0时， f ′(x )>0， f （x ）单调递增区间是2[1,0),(,2]3-， 当0<x <23时，f ′(x )<0， f （x ）单调递减区间是2(0,)3，故函数在0x =处取极大值，f （0）=0，又f (2)=8，故 f （x ）的最大值是8. 故答案为：8 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了计算能力，属于基础题目.16．【分析】根据定积分的几何意义以及定积分性质求得再求得利用导数分析函数单调性即可求得最大值【详解】令则又即故为半径为的半圆面积故；又是奇函数根据定积分性质则故则故当时单调递增；当时单调递减故故答案为：解析：2π【分析】根据定积分的几何意义以及定积分性质，求得a ，再求得fx ，利用导数分析函数单调性，即可求得最大值. 【详解】令m =，)n x dx =，则a m n =+，又y =222x y +=，故m的半圆面积，故212m ππ=⨯=；又y sinx =是奇函数，根据定积分性质，则0n =.故a π=.则()(),0f x xsinx cosx x π=+≤≤，()f x xcosx ='，故当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0f x，()f x 单调递增；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，0f x，()f x 单调递减.故()22max f x f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故答案为：2π 【点睛】本题考查利用定积分的几何意义求定积分，以及定积分的性质，涉及利用导数求函数的最大值，属综合中档题.17．【分析】先判定再根据切线相互垂直可得的关系利用该关系式把转化为一元函数利用导数可求其最小值【详解】当时当时因为故所以即其中又令则当时；当时故故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值解析：1e-【分析】先判定()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，再根据切线相互垂直可得12,x x 的关系，利用该关系式把12x x 转化为一元函数，利用导数可求其最小值.【详解】当1x <时，()0xf x e '=-<，当1x >时，()10f x x'=>， 因为()()121f x f x ''=-，故()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，所以1211x e x -⨯=-即12x x e =，其中11<x .又1121xx x x e =，令(),1tg t te t =<，则()()1,1tg t t e t '=+<，当1t <-时，()0g t '<；当11t -<<时，()0g t '>， 故()()min 11g t g e=-=-， 故答案为：1e-. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，注意根据导数的性质确定切点的位置，而多元函数的最值问题一般可转化为一元函数的最值问题，后者可利用导数来处理.18．17【分析】先求导再根据导数的定义求得时的瞬时速度是得解【详解】则时的瞬时速度故答案为：17【点睛】本题考查导数的定义在物理中的应用函数在处的瞬时变化率称函数在处的导数解析：17 【分析】先求导，再根据导数的定义求得2t =时的瞬时速度是(2)s '，得解. 【详解】321()2533s t t t t =++-，22()45=(2)1s t t t t '∴=++++则2t =时的瞬时速度2(2)(22)117v s '==++= 故答案为：17 【点睛】本题考查导数的定义在物理中的应用函数(=)y f x 在0=x x 处的瞬时变化率称函数(=)y f x 在0=x x 处的导数.19．【分析】令可证为偶函数且为上的增函数考虑当时的解及当时的解它们的并是所求不等式的解集【详解】等价于令则当时有故为上的增函数而故当时的解为故当时的解为因故为偶函数当时等价于因为偶函数故当时的解为即当时 解析：(1,0)(1,)【分析】 令()()f xg x x=，可证()g x 为偶函数且为()0,∞+上的增函数，考虑当0x >时，()0g x >的解及当0x <时，()0g x <的解，它们的并是所求不等式的解集.【详解】2()0x f x ⋅>等价于0()0x f x ≠⎧⎨>⎩，令()()f x g x x =，则()()()2''xf x f x g x x-=， 当0x >时，有()'0g x >，故()g x 为()0,∞+上的增函数，而()10g =， 故当0x >时，()0g x >的解为()1,+∞， 故当0x >时，()0f x >的解为()1,+∞， 因()()()()f x f x g x g x x x--===-，故()g x 为偶函数， 当0x >时，()0f x >等价于()0g x <，因()g x 为偶函数，故当0x <时，()0g x <的解为()1,0-即当0x <时，()0f x >的解为()1,0-，综上，2()0x f x ⋅>的解集是(1,0)(1,)，填(1,0)(1,).【点睛】如果题设中有关于函数()f x 及其导数()'f x 的不等式，我们应具体该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.20．-1【解析】【分析】首先对函数求导然后利用方程思想求解的值即可【详解】由函数的解析式可得：令可得：则【点睛】本题主要考查导数的运算法则基本初等函数的导数公式方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力解析：-1 【解析】 【分析】首先对函数求导，然后利用方程思想求解()'1f 的值即可. 【详解】由函数的解析式可得：()()1'2'1f x f x=+， 令1x =可得：()()1'12'11f f =+，则()'11f =-. 【点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．（1）极小值为4，无极大值（2）答案见解析（3）133m ≤- 【分析】（1）利用导数可求得结果； （2）求导后，令()0f x '=得1x a =-或12x =，对1a -与12的大小分类讨论可求得结果；（3）转化为12max (ln3)2ln3()()m a f x f x +->-1max 2min ()()f x f x =-，根据（2）中的单调性求出1max ()f x 和2min ()f x 代入后得2(4)03m a +->对a ∀∈(-3，-2)恒成立，列式23(4)0322(4)03m m ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≥⎪⎩可解得结果. 【详解】（1）当2a =时，1()4f x x x =+(0)x >，222141()4x f x x x-'=-=， 当102x <<时，()0f x '<，当12x >时，()0f x '>，所以()f x 在1(0,)2上递减，在1(,)2+∞上递增， 所以()f x 在12x =处取得极小值1()42f =，无极大值.（2）当0a <时，1()(2)ln 2f x a x ax x=-++，定义域为(0,)+∞， 221()2a f x a x x -=-+'222(2)1ax a x x+--=2(1)(21)ax x x +-=， 令()0f x '=得1x a =-或12x =， 当112a ->，即20a -<<时，由()0f x '<得102x <<或1x a >-，由()0f x '>得112x a<<-， 所以()f x 在1(0,)2和1(,)a -+∞上单调递减，在11(,)2a-上单调递增， 当112a -=，即2a =-时，22(21)()x f x x--'=0≤，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减， 当112a -<，即2a <-时，由()0f x '<得10x a<<-或12x >，由()0f x '>得112x a -<<， 所以()f x 在1(0,)a -和1(,)2+∞上单调递减，在11(,)2a -上单调递增， （3）由（2）可知对a ∀∈(-3，-2)，()f x 在[1,3]上单调递减，因为不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，等价于12max (ln3)2ln3()()m a f x f x +->-1max 2min ()()f x f x =-， 而1max ()(1)12f x f a ==+，2min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++， 所以1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+----， 即2(4)03m a +->对a ∀∈(-3，-2)恒成立， 所以23(4)0322(4)03m m ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≥⎪⎩，解得133m ≤-.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．22．（1）2a =，4b =；（2）3m ≥． 【分析】 （1）求导()1f x a x'=-，再根据函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为30x y +-=，由()12f a b =-+=，()111f a '=-=-求解.（2）将对0x ∀>，()e 3xf x x x m ≤-+成立，转化为ln 4x m x x xe ≥+-+恒成立，令()ln 4x g x x x xe =+-+，0x >，用导数法求得其最大值，由()maxm g x ≥求解. 【详解】（1）因为()ln f x x ax b =-+， 所以()1f x a x'=-， 又因为函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为30x y +-=， 所以()12f a b =-+=，()111f a '=-=-， 解得2a =，4b =.（2）因为对0x ∀>，()e 3xf x x x m ≤-+成立，所以ln 4x m x x xe ≥+-+恒成立，令()ln 4xg x x x xe =+-+，0x >则()()()()11111x x x xe g x x e xx+-'=+-+=，设()00g x '=，00x >，则01x ex =，从而00ln x x =-， 因为()13102g ⎛'=> ⎝⎭，()()1210g e '=-<， 所以()()1102g g '⋅<，因为()g x '的图象在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是不间断的，所以01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，满足()00g x '=， 当()00,x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减．从而()g x 在0x x =时取得最大值()00000ln 4143xg x x x x e =+-+=-+=，所以m 的取值范围为3m ≥． 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.23．（1）单调递减区间为30,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）53. 【分析】（1）由1a =得()5322f x x x =-，0x ≥，对函数求导，解对应的不等式，即可得出单调区间；（2）先对函数求导，分别讨论0a ≤，3025a <≤，325a >三种情况，利用导数的方法研究函数在区间[]0,2上的单调性，求出最值，列出等式求解，即可得出结果. 【详解】（1）当1a =时，())53222f x x x x x =-=-，0x ≥，所以())3122535322f x x x x '=-=-， 由()0f x '>可得35x >；由()0f x '<可得305x ≤<，所以函数()f x 的单调递减区间为30,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为3,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为())53222f x x ax x ax =-=-，[]0,2x ∈，所以())3122535322f x x ax x a '=-=-，由()0f x '=得35x a =；若0a ≤时，())530f x x a '-≥在[]0,2上恒成立，所以()f x 在[]0,2上单调递增， 最小值为()00f =不满足题意；若3025a <≤，即1003a <≤时，当30,5x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减；当3,25x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增；所以()222min 393625255253f x f a a a a ⎛⎫⎫==-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎭，则29125a ， 即52315a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以53a =，满足1003a <≤； 若325a >，即103a >时，()0f x '<在[]0,2上恒成立，所以函数()f x 在[]0,2上单调递减，因此()())min 22423f x f a =-=-，解得2a =，不满足103a >；综上，53a =. 【点睛】 方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.24．（1）0；（2）11[ln 2,0)22-+；（3）证明见详解. 【分析】 （1）首先明确定义域，再求导()ln(1)f x x '=-+，所以()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，即可得解；（2）实际研究直线x t =与函数()y f x =图像交点有两个的情况，由（1）知()f x 在1[,0]2-上单调递增，在[0,1]上单调递减，且1(1)()2f f <-，所以当11[,ln 2,0)22t ∈-+时，方程()f x t =有两解．（3）首先将两变量分离，这要用到取对数，即ln(1)ln(1),n m m n +<+因此只需证ln(1)ln(1)m n m n++<，即证ln(1)(),(0)x g x x x +=>为单调减函数，可利用导数2ln(1)1()x x x g x x -+'+=，再结合（1）的结论可证.【详解】（1）由()(1)ln(1)f x x x x =-++，定义域为()1,-+∞，()ln(1)f x x '=-+，()ln(1)00f x x x '=-+=⇒=，当10x -<<时，()()0,f x f x '>单调递增，当0x >时，()()0,f x f x '<单调递减，所以0x =为函数的极大值点，则函数()f x 的极值为(0)0(01)ln(01)0f =-++=.（2）由（1）知，()f x 在1[,0]2-上单调递增，在(]0,1上单调递减， 又111(0)0,(1)1ln 4,()ln 2222f f f ==--=-+， ∴ 135(1)()ln 20222f f --=-<． ∴ 当11[ln 2,0)22t ∈-+时，方程()f x t =有两解． （3）∵ 0m n >>.∴ 要证：(1)(1)n m m n +<+只需证ln(1)ln(1)n m m n +<+， 只需证：ln(1)ln(1)m n m n++<．设ln(1)(),(0)x g x x x+=>， 则22ln(1)(1)ln(1)1()(1)x x x x x x g x x x x -+-+++=+'=． 由（1）知()(1)ln(1)f x x x x =-++在(0,)+∞单调递减，又()00f =，∴ (1)ln(1)0x x x -++<，即()g x 是减函数，而m n >．∴ ()()g m g n <，故原不等式成立．【点睛】关键点睛：要证：(1)(1)n m m n +<+只需证ln(1)ln(1)n m m n +<+，只需证：ln(1)ln(1)m n m n ++<，构造函数ln(1)(),(0)x g x x x+=>是解决本题的关键. 25．（1）2a =；（2）证明见解析.【分析】（1）由导数的几何意义运算即可得解；（2）结合导函数的零点可得02a x =，再由函数()f x 的单调性，进而可转化条件为()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()()22,21ln ,g x x x e x x x =--∈，通过导数证明()2g x e >-即可得证.【详解】（1）因为()()2ln 2f x a x x a x =+-+，所以()()22a f x x a x'=+-+， 所以()()42212a f a '=+-+=，解得2a =； （2）证明：由题意，()()()()1222x x a a f x x a x x--'=+-+=， 因为导函数()f x '在区间()1,e 上存在零点，设零点为()00,1,x x e ∈，则()0222,e a x ∈=，所以()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+== 200002ln 2x x x x =--，设()()22,21ln ,g x x x e x x x =--∈，则()2ln 2g x x x '=-， 设()()()2ln 21,,h x g x x e x x '==-∈，则()220h x x'=-<，()h x 单调递减，又()()112h g '==-，故()2ln 20g x x x '=-<在()1,e 上恒成立，故()g x 单调递减， 所以()()2g x g e e >=-， 故当()1,x e ∈时，()2f x e >-. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导函数的零点即函数的极值点转化条件为证明2200002ln 2x x x x e -->-.26．（1）单调递增区间为31,1,,22⎛⎤⎡⎫---+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；单调递减区间为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+. 【分析】（1）先根据对数定义求出函数的定义域，然后令()0f x '=求出函数的稳定点，当导函数大于0得到函数的增区间，当导函数小于0得到函数的减区间，即可得到函数的单调区间；（2）根据（1）知()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭求出得到函数的最小值，又因为31044f f ⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭求出得到函数的最大值.【详解】解:（1）由题意得()()141232223232x x f x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=+=>- ⎪++⎝⎭. 令()0f x '≥，解得21x ≥-或312x -<≤-；令()0f x '<，解得112x -<<-. 所以函数()f x 单调递增区间为31,1,,22⎛⎤⎡⎫---+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；单调递减区间为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （2）由（1）可得：函数()f x 在区间31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦内单调递减，在11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增. 所以当12x =-时，函数()f x 取得最小值11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭. 又393ln 4162f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，而319317131ln ln ln ln 044162162272f f ⎛⎫⎛⎫--=+--=+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当14x =时，函数()f x 取得最大值为：17ln 162+.即()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+. 【点睛】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值,属于中档题.。
高二数学选修2-2练习题.doc.docx
0.3
0.4
⑶P(2
x＜4)
P( x
2)
P( x
3)
0.20.3
0.5
B组答案
13—17. BABDD 18.
16
19. 15
21
22、解：（1）由题知，总得分X的概率分布列为：
2
3
21. 0.135
X-300-100100300
P
0.23
C320.220.8 C320.2 0.82
0.83
∴EX=3000.23( 100) C320.220.8100 C320.2 0.82300 0.83
X的数学期望EX
6
X
0
1
2
3
P
a
1
1
b
3
6
则a=_____
___．
9、一个袋中有
10个大小相同的小球，其中
6个红球，4个白球，现从中摸
3个，至少摸到2
个白球的概率是__________________.
三．解答题：本大题共
3小题，共
41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
10、（本题
12分）有品，其中
21、已知Y～N（3，1），P（4＜Y＜5）=_____________．
六、解答 ：本大 共3小 ，共41分，解答 写出文字 明、 明 程或演算步 。
22、某考生参加一种 ，需回答三个 ， 定：每 回答正确得
100分，回答不正确得
-100
分。已知 考生每 回答正确的概率都是
0.8，且各 回答正确与否相互之 没有
∴所求概率P（A）=19
36
（2）由 分析知，X的可能取0,1,2,
高二数学选修2-2--第一章测试题
高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题一选择题1．设xx y sin 12-=，则='y （ ）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln)(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． A ．54 B ．52C ．51D ．533．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 得值为（ ）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处得切线方程为（ ）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y5．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(得图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ⋅得值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上得可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则12--a b 得取值范围就是（ ）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(- D ．)21,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x+=在区间]2,0[π得值域为（ ）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe8．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成得图形得面积就是（ ）． A ．18B ．338C ．316 D ．169．设底面为等边三角形得直棱柱得体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）．Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 10．某人要剪一个如图所示得实心纸花瓣，纸花瓣得边界 由六段全等得正弦曲线弧)0(sin π≤≤=x x y 组成，其中 曲线得六个交点正好就是一个正六边形得六个顶点，则这个 纸花瓣得面积为（ ）． A ．2336π+ B ．223312π+C ．26π+D ．22336π+ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分。
人教A版新课标高中数学必修二第二章单元测试题(含答案)
高二周末检测题一、选择题1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2 .垂直于同一条直线的两条直线一定 ( )A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 3．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( )A ．三条交线为异面直线B ．三条交线两两平行C ．三条交线交于一点D ．三条交线两两平行或交于一点4. 在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、 能相交于点P ，那么 （ ）A 、点P 必在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面BCD 内 D 、点P 必在平面ABC 外5．若平面α⊥平面β，α∩β＝l ，且点P ∈α，P ∉l ，则下列命题中的假命题是( )A ．过点P 且垂直于α的直线平行于βB ．过点P 且垂直于l 的直线在α内C ．过点P 且垂直于β的直线在α内D ．过点P 且垂直于l 的平面垂直于β 6．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：①EF ⊥AA 1； ②EF ∥AC ； ③EF 与AC 异面； ④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P A ⊥面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，则图中直角三角形的个数是( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．69．如右图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( ) A ．与AC 、MN 均垂直相交 B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直 D ．与AC 、MN 均不垂直10、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V 11．(2009·海南、宁夏高考)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E 、F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ，平行则四边形ABCD 一定是 .14．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的平面角大小为 .QP C'B'A'CBA15．如下图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD与CD的关系为________．(2)∠BAC＝________.16．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形．②四边形BFD′E有可能是正方形．③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形．④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)三、解答题17、如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.18．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M 为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．19．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1. 20．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．21．如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.高二周末检测题答一、选择题 1-5 BDDAB 6-10 DDBAB 11-12 DC 二、填空题13、菱形 14、90° 15、(1)BD ⊥CD (2)60° 16、①③④ 三、解答题17、证明：(1)∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点，∴EF ∥AD .又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ， ∴直线EF ∥面ACD .(2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD .在△BCD 中，∵CD ＝CB ，F 为BD 的中点，∴CF ⊥BD . ∵CF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC ， 又∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面EFC ⊥平面BCD .18、[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ， ∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角． ∴tan ∠PME ＝PE EM＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.19[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件． [证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ， ∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1， ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.20.(1)证明：因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点， 所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 又PQ ⊄平面ACD ， 从而PQ ∥平面ACD .(2)如图，连接CQ ，DP ，因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ， 所以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB . 故CQ ⊥平面ABE .由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ ， 因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角， 在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝55， 因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55.21[分析] (1)转化为证明GF 平行于平面ABC 内的直线AC ；(2)转化为证明AC 垂直于平面EBC 内的两条相交直线BC 和BE ；(3)几何体ADEBC 是四棱锥C －ABED . [解] (1)证明：连接AE ，如下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点， 又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ， ∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC . 又∵AC ＝BC ＝22AB ， ∴CA 2＋CB 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE . (3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22， ∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.。
高二数学选修2-2试卷(可编辑修改word版)
x ⎰ 2015-2016 学年度高二数学下学期第一次阶段测试题(理科)一、选择题：1、函数 y = x 2 在区间[1,2] 上的平均变化率为（） A. 2B. 3B. 4D. 5 f (x ) = x 3 在 x = 0 处的导数值 f '(0) = 0 ，所以， x = 0 是函数 f (x ) = x 3 的极值点.以上推理中（ ）A ．大前提错误B ． 小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确8. 命题“关于 x 的方程 ax=b （a≠0）的解是唯一的”结论的否定是 （）A. 无解B. 两解2. 函数 y = x sin x + 的导数是( )C. 至少有两解D. 无解或至少有两解A. y / = sin x + x cos x +B. y / = sin x - x cos x +12 x 9.函数 y=2x 3-3x 2-12x+5 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ）A.5 , -15B.5 , 4C.-4 , -15D.5，-16C. y / = sin x + x cos x - 1 2 xD. y / = sin x - x cos x - 1 2 x 10. 求曲线 x - y = 0 ， y = x 2 - 2x 所围成图形的面积（ ）3．已知 f (x ) = ax 3 + 3x 2 + 2 且 f '(-1) = 4 ，则实数a 的值等于（ ）A ．1B ． 9C ．9D ． 5A ． 193B ． 163C ． 133D ． 1032 11. 用数学归纳法证明不等式“ 1 + 1 + + 1 2> 13(n > 2) ”时的过程中，由n = k 到4. 已知函数 f (x ) = + ln x ，则有（）n + 1 n = k + 1 时，不等式的左边（）n + 2 2n 24A. f (2) < C. f (3) < f (e ) < f (e ) < f (3)f (2) B. f (e ) < D. f (e ) < f (2) < f (3) < f (3)f (2)Ａ．增加了一项12(k + 1) 1 15. 在复平面内，复数1+ i对应的点位于（ ）iＢ．增加了两项 +2k + 1 2(k + 1) Ｃ．增加了两项 1 + 1 ，又减少了一项 1Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限2k + 1 2(k + 1) k + 1 Ｄ．增加了一项 1 2(k + 1)，又减少了一项 1k + 1 6. 设 f '(x ) 是函数 f (x ) 的导函数， y = f '(x ) 的图象如图所示，则 y = f (x ) 的图象最有可能的是（ ）12. 定积分1 1dx 的值为（）01+ x A ．1B.ln2C.2 - 12 2D. 1 ln 2 - 1 2 2 13. 曲线 y = x 3 - 3x + 2 上的任意一点 P 处切线的斜率的取值范围是（）A ．[3 , +∞)3B. (3 , +∞)3C. (- 3, +∞)D. [- 3, +∞)14. 已知函数 y = f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且当 x ∈ (-∞,0) 时不等式 f (x ) + xf ' (x ) < 0 成立，7．有一段“三段论”推理是这样的：若 a = 30.3f (30.3) ， b = (log 3) f (log 3), c = (log 1) f (log 3 9 1)，则 a , b , c 的大小关系是 3 9对于可导函数 f (x ) ，如果 f '(x 0 ) = 0 ，那么 x = x 0 是函数 f (x ) 的极值点，因为函数A. a > b > cB. c > b > aC. c > a > bD. a > c > bx 12 x 姓名班级座位号座位号装订线⎰二、填空题 13. 曲线 y = x 3 + x + 1在点（1，3）处的切线方程是20..已知数列{a } ，首项a = 1，前 n 项和S 满足 Sn = n 2 (n ∈ N * ) .14. “开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，n 1 nn1 1 3 1 5(1) 求出S 1 , S 2 , S 3 , S 4 ，并猜想S n 的表达式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.现给出一组数： , , , , ,它的第 8 个数是2 2 8 4 32 15. 若 f(x)=x 3＋ 3ax 2＋ 3(a ＋ 2)x ＋ 1 有极大值和极小值， 则 a 的取值范围是16. 复数 21+ i的实部为，虚部为 .三、解答题： 17. 复数 z = m 2(1 m + 8+ i ) + (6m -16)i - m + 2 .(i 为虚数单位)m + 8(1) 若复数 z 为纯虚数，求实数 m 的值;(2) 若复数 z 对应的点在第三象限或第四象限，求实数 m 的取值范围.18. 用总长 14.9m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多 0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少?21. 已知函数 f (x ) = x 3 - ax 2 - 3x 。
深圳市上沙中学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试(答案解析)
一、选择题1．若函数21()f x x ax x =++在1,12⎛⎤⎥⎝⎦是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]-B ．[1,)-+∞C ．[0,3]D ．[3,)+∞2．已知函数ln ,1()1,12x x f x xx ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()[()1]F x f f x m =++两个零点1x ，2x ，则12x x ⋅的取值范围是（ ） A ．(),e -∞B ．(),e +∞C ．(],42ln2-∞-D ．[)42ln2,-+∞3．已知函数2()f x x a =-+，2()x g x x e ，若对于任意的2[1,1]x ∈-，存在唯一的112[,]2x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（e ，4）B ．（e 14+，4] C ．（e 14+，4） D ．（14，4] 4．对任意的0a b t <<<，都有ln ln b a a b <，则t 的最大值为（ ） A ．1B ．eC ．2eD ．1e5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x xf'x 0->（x 0>），则（ ）A ．()()()6f 13f 22f 3->->-B ．()()()2f 33f 26f 1->->-C ．()()()6f 12f 33f 2->->-D ．()()()3f 22f 36f 1->->-6．已知函数f (x )在x =x 0处的导数为12，则000()()lim3x f x x f x x∆→-∆-=∆（ ）A ．-4B ．4C ．-36D ．367．如图所示，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是29y x =-+，则()()44f f '+的值为（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．28．函数()22xx f x e-=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若函数()33=-f x x x 在区间()5,21a a -+上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,4- B ．()1,4- C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭10．已知点M 在函数()x f x e =图象上，点N 在函数()ln g x x =图象上，则||MN 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．2D ．311．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，()f x y e '=的图象如下图所示，则()y f x =的单调减区间是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),2-∞C ．()0,1D ．()1,212．已知奇函数()f x 在R 上是增函数且当0x ≥时()0f x ≥ ，()()g x xf x =．若()2log 5.1a g =-，()0.82b g =，()3c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<二、填空题13．函数()2ln 2x f x x =-在其定义域内的一个子区间[]1,1k k -+内不是单调函数，则k的取值范围是______________．14．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且()()0f x f x +'>，则()2ln 2a f =，()1b ef =，()0c f =的大小关系为_____15．如图，C 、D 是两所学校所在地，C 、D 到一条公路的垂直距离分别为8,27CA km DB km ==.为了缓解上下学的交通压力，决定在AB 上找一点P ，分别向C 、D修建两条互相垂直的公路PC 和PD ，设02APC πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则当PC PD +最小时，AP =_______km .16．已知函数()1ln f x x x =--，对定义域内的任意x 都有()2f x kx ≥-，则实数k 的取值范围是______.17．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，且对任意0x >都有()()0x f x f x '⋅->成立，则不等式2()0x f x ⋅>的解集是______.18．已知函数()32331f x x ax x =-++在区间()2,3上至少有一个极值点，则a 的取值范围为__________．19．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则()f e =__________．20．设函数()f x 的导函数为'()f x ，若3'()52(1)f x x xf =+，则(3)f '＝______．参考答案三、解答题21．已知函数ln ()1xf x x=+． （1）求()f x 的最大值；（2）设实数0a >，求函数()(()1)F x a f x =-在[,2]a a 上的最小值．22．已知函数()(ln )xe f x a x x x=--，a R ∈．（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性： （2）当1a =-时，函数1()()xg x f x x e mx x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭满足：对任意(0,)x ∈+∞，都有()1g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．23．已知函数()2()(2,)xf x x ax a e a x R =++≤∈. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使()f x 的极大值为3；若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.24．已知函数()1ln f x ax x =--，a ∈R . （1）当a =2时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在x =1处取得极值，对x ∀∈(0，+∞)，()2f x bx -≥恒成立，求实数b 的取值范围；（3）当1x y e >>-时，求证：ln(1)e ln(1)x yx y -+>+.25．已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．26．已知函数f （x ）＝ax 3+bx +c 在x ＝2处取得极值为c ﹣16. （1）求a 、b 的值；（2）若f （x ）有极大值28，求f （x ）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先求出()32221212x ax f x x a x x +-=+-='，由()f x 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦是增函数，则()0f x '≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，即32210x ax +-，也即212a x x -+在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立， 【详解】()32221212x ax f x x a x x+-=+-='， 令32()21g x x ax =+-，要使函数21()f x x ax x =++在1,12⎛⎤⎥⎝⎦是增函数， 则有()32210g x x ax =+-≥在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立， 即32210x ax +-，即212a x x -+在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立， 令21()2h x x x =-+，32()20h x x '=--<，所以()h x 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减， 故1()32h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，所以3a ≥ 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查根据函数单调性求参数的范围，解答本题的关键是()f x 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦是增函数转化为()0f x '≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，即32210x ax +-，分离参数即212a x x -+在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，属于中档题.2．A解析：A 【分析】根据题中条件，得到()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <；令112m t e -=->，得到()122t x x e x =-，12t >，设()()22tg t e t =-，对其求导，判定其单调性，求出值域，即可得出结果. 【详解】 当1≥x 时，()ln 0f x x =>，∴()11f x +≥， 当1x <时，()1122x f x ->=，()312f x +>； ∴()()1ln 1f f x f x +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()[()1]F x f f x m =++两个零点1x ，2x ，等价于方程()()1ln 10F f x f x m +=++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦有两个根1x ，2x ， 则()1mf x e-+=，即()1mf x e-=-有两个根1x ，2x （不妨设12x x <），则1≥x 时，2ln 1mx e -=-；当1x <时，1112m x e --=-，令112mt e-=->，则2ln x t =，112x t -=；所以2tx e =，122x t =-； 则()122t x x e x =-，12t >，设()()22tg t e t =-，12t >，则()2tg t te '=-，当1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g t '<显然恒成立，所以函数()g t 单调递减，则()12g t g ⎛⎫<=⎪⎝⎭所以()g x 的值域为(-∞，即12x x 的取值范围为(-∞. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据函数零点个数结合函数解析式，得到()1mf x e-=-有两个根为1x 和2x ，再构造函数，利用导数的方法求解即可.3．B解析：B 【分析】结合导数和二次函数的性质可求出()f x 和()g x 的值域，结合已知条件可得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：g （x ）=x 2e x 的导函数为g ′（x ）=2xe x +x 2e x =x （x +2）e x ，当0x =时，()0g x '=， 由[)1,0x ∈-时，()0g x '<，(]0,1x ∈时，()0g x '>，可得g （x ）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g （x ）在[–1，1]上的最小值为g （0）=0，最大值为g （1）=e ， 所以对于任意的2[1,1]x ∈-，2()[0,e]g x ∈．因为2y x a =-+开口向下，对称轴为y 轴，又10202--<-，所以当0x =时，max ()f x a =，当2x =时，min ()4f x a =-， 则函数2()f x x a =-+在[12-，2]上的值域为[a –4，a ]，且函数f （x ）在11[,]22-，图象关于y 轴对称，在（12，2]上，函数()f x 单调递减．由题意，得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -， 可得a –4≤0<e <14a -，解得e 14+<a ≤4．故选:B ．【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是12()()f x g x =这一条件的转化.4．B解析：B 【分析】令ln xy x=，问题转化为函数在(0,)t 递增，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出t 的最大值即可． 【详解】0a b t <<<，ln ln b a a b <，∴ln ln a ba b<，()a b <， 令ln xy x=，则函数在(0,)t 递增， 故21ln 0xy x -'=>， 解得：0x e <<，所以(0,)t 是(0,)e 的子集， 可得0t e <≤，故t 的最大值是e ， 故选：B ． 【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围．5．B解析：B 【分析】根据条件的结构特点构造函数，利用导数以及已知条件判断函数的单调性，然后转化求解即可． 【详解】设g （x ）=()2x f x ，定义在R 上的奇函数f （x ），所以g （x ）是奇函数，x ＞0时，g′（x ）=()()()()22'x f x xf x f x -，因为函数f （x ）满足2f （x ）﹣xf'（x ）＞0（x ＞0），所以g′（x ）＞0，所以g （x ）是增函数，g (g =()11f -，可得：((()2361f f f -＞＞． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中构造新函数()()2x g x f x =，利用导数得到函数()g x 的单调性，利用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.6．A解析：A 【分析】根据题意，由极限的性质可得则000000()()()()1lim =lim 33x x f x x f x f x f x x x x∆→∆→-∆---∆-∆∆，结合导数的定义计算可得答案． 【详解】根据题意，函数()f x 在0x x =处的导数为12，则000000()()()()112lim=lim 4333x x f x x f x f x f x x x x ∆→∆→-∆---∆-=-=-∆∆；故选：A ． 【点睛】本题考查极限的计算以及导数的定义，属于容易题．7．C解析：C 【分析】由切线方程可得切点坐标和切线斜率，进而可得结果. 【详解】切线方程为：29y x =-+，当4,1x y ==，()4-2'=f 则()41=f ，()(4)4-1'+=f f 故选：C 【点睛】本题考查了导数得几何意义，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.8．D解析：D 【分析】利用函数()f x 的奇偶性和单调性确定正确选项.【详解】()f x 的定义域为R ，()()22x x f x f x e--==，所以()f x 为偶函数，排除AB 选项.当0x >时，()22xx f x e -=， ()2'22xx x f x e-++=，令'0f x 解得31x =+，所以()f x 在()0,31+递增，在()31,++∞上递减.所以C 选项不符合，D 选项符合. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查利用导数研究函数的单调性.9．C解析：C 【分析】对函数()f x 进行求导，可得函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，可得()f x 的图像，由函数在区间()5,21a a -+上有最小值，数形结合可得关于a的不等式，计算可得答案. 【详解】解：由3()3f x x x =-，可得()2333(1)(1)f x x x x '=-+=--+，当11x -<<，()0f x '>，当1x <-或1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，则()f x 的图像如图所示，因为函数在区间()5,21a a -+上有最小值，故51212a a -<-<+，解得：112a -<， 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的最值问题，体现了数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.10．B解析：B 【分析】根据函数()xf x e =与函数()lng x x =互为反函数，将问题转化为求函数()xf x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果. 【详解】因为函数()x f x e =与函数()ln g x x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，所以||MN 的最小值为函数()xf x e =的图象上的点M 到直线y x =的距离的2倍，即为函数()xf x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，因为()xf x e '=，所以函数()xf x e =的图象上与直线y x =平行的切线的斜率01x k e ==，所以00x =，所以切点为(0,1)，它到直线y x =的距离2d ==，所以||MN 故选：B. 【点睛】本题考查了互为反函数的图象的对称性，考查了导数的几何意义，属于中档题.11．B解析：B 【解析】分析：先根据图像求出()1f x e '≤，即得()0f x '≤，也即得结果. 详解：因为当2x ≤时，()1f x e '≤，所以当2x ≤时，()0f x '≤， 所以()y f x =的单调减区间是(),2-∞， 选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.12．C解析：C 【分析】可判断函数()g x 为偶函数，再利用导数可证明()g x 在[)0,+∞为增函数，利用指数函数和对数函数的单调性可得0.823log 5.12>>，从而可得三个函数值之间的大小关系.【详解】因为()()()g x xf x xf x -=--=，故()f x 为偶函数， 当0x ≥时，因为()()()0g x f x f x ''=+≥（不恒为零）， 故()g x 在[)0,+∞为增函数， 又()()22log 5.1log 5.1a g g =-=， 因为0.82223log 8log 5.1log 422=>>=>，所以c a b >>，故选：C. 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性和指数、对数的大小比较，注意两个增函数的乘积不一定是增函数，另外函数值的大小比较一般要利用函数的单调性来处理，本题属于中档题.二、填空题13．【分析】求出函数的定义域利用导数求出函数的极值点由题意可知函数的极值点在区间内结合题意可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】函数的定义域为令可得列表如下： 极 解析：()1,2【分析】求出函数()f x 的定义域，利用导数求出函数()f x 的极值点，由题意可知，函数()f x 的极值点在区间()1,1k k -+内，结合题意可得出关于实数k 的不等式组，由此可解得实数k 的取值范围. 【详解】函数()2ln 2x f x x =-的定义域为()0,∞+，()211x f x x x x ='-=-. 令()0f x '=，0x ，可得1x =，列表如下：所以，函数f x 在1x =处取得极小值，由于函数()2ln 2x f x x =-在其定义域内的一个子区间[]1,1k k -+内不是单调函数，则()11,1k k ∈-+，由题意可得111110k k k -<⎧⎪+>⎨⎪->⎩，解得12k <<.因此，实数k 的取值范围是()1,2. 故答案为：()1,2. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 内存在极值点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.14．【分析】令则可以判断出在上单调递增再由根据单调性即可比较大小【详解】令则因为对于恒成立所以所以在上单调递增因为所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数利用导数判断出在上单调递增更关 解析：c a b <<【分析】令()()xg x f x e =，则()()()0xg x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，可以判断出()()xg x f x e =在R上单调递增，再由()ln 2a g =，()1b g =，()0c g =根据单调性即可比较大小. 【详解】令()()xg x f x e =，则()()()()()xxxg x f x e f x e e f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，因为()()0f x f x +'>对于x ∈R 恒成立， 所以()()()0xg x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以()()xg x f x e =在R 上单调递增，()()()ln22ln 2ln 2ln 2a f e f g ===，()()()1111b ef e f g ===， ()()()0000c f e f g ===，因为0ln 21<<，所以()()()0ln 21g g g <<，所以c a b <<， 故答案为：c a b << 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()xg x f x e =，利用导数判断出()g x 在R 上单调递增，更关键的一点要能够得出()ln 2a g =，()1b g =，()0c g =，根据单调性即可比较大小.15．12【分析】由题意得：再利用导数求函数的最小值即可；【详解】由题意得：当时当得：当得：当时取得最小值故答案为：12【点睛】利用导数求函数的最值注意不一定要把的值求出直接利用复合函数的性质可简化计算量解析：12 【分析】 由题意得：827sin sin cos sin()2AC DB y PC PD πθθθθ=+=+=+-，再利用导数求函数的最小值即可； 【详解】 由题意得：827sin sin cos sin()2AC DB y PC PD πθθθθ=+=+=+-，33'228cos 27sin sin cos y θθθθ-=-，当'0y =时，2tan 3θ=， 当'0y >得：2tan 3θ>，当'0y <得：2tan 3θ<， ∴当2tan 3θ=时，y 取得最小值， ∴8122tan 3AC AP θ===， 故答案为：12. 【点睛】 利用导数求函数的最值，注意不一定要把θ的值求出，直接利用复合函数的性质，可简化计算量.16．【分析】不等式分离变量等价变形为构造函数函数求导求出单调区间可得函数最小值【详解】∵∴也即在时恒成立令则令易知在上单调递减在上单调递增故∴故答案为：【点睛】本题考查数的单调性及不等式恒成立问题转化为 解析：21(,1]e -∞-【分析】不等式()2f x kx ≥-分离变量,等价变形为1ln 1x k x x≤+-，构造函数()1ln 1x g x x-=+，函数求导()2ln 2x g x x -'=，求出单调区间，可得函数最小值.【详解】∵()1ln 2f x x x kx =--≥-，∴1ln kx x x ≤+-，0x >，也即1ln 1xk x x≤+-在0x >时恒成立.令()1ln 1x g x x-=+，0x >，则()2ln 2x g x x -'=，0x >，令()20g x x e '=⇒=.易知()g x 在()20,x e ∈上单调递减，()g x 在()2,x e ∈+∞上单调递增，故()()22min 11g x g ee ==-，∴211k e ≤-. 故答案为：21(,1]e -∞- 【点睛】本题考查数的单调性及不等式恒成立问题转化为函数最值问题.不等式恒成立问题的求解方法：(1)已知不等式()0f x λ≥，(λ为实参数)对任意的x D ∈恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法， (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.17．【分析】令可证为偶函数且为上的增函数考虑当时的解及当时的解它们的并是所求不等式的解集【详解】等价于令则当时有故为上的增函数而故当时的解为故当时的解为因故为偶函数当时等价于因为偶函数故当时的解为即当时 解析：(1,0)(1,)【分析】 令()()f xg x x=，可证()g x 为偶函数且为()0,∞+上的增函数，考虑当0x >时，()0g x >的解及当0x <时，()0g x <的解，它们的并是所求不等式的解集.【详解】2()0x f x ⋅>等价于0()0x f x ≠⎧⎨>⎩，令()()f x g x x =，则()()()2''xf x f x g x x-=， 当0x >时，有()'0g x >，故()g x 为()0,∞+上的增函数，而()10g =， 故当0x >时，()0g x >的解为()1,+∞， 故当0x >时，()0f x >的解为()1,+∞， 因()()()()f x f x g x g x x x--===-，故()g x 为偶函数，当0x >时，()0f x >等价于()0g x <，因()g x 为偶函数，故当0x <时，()0g x <的解为()1,0-即当0x <时，()0f x >的解为()1,0-，综上，2()0x f x ⋅>的解集是(1,0)(1,)，填(1,0)(1,).【点睛】如果题设中有关于函数()f x 及其导数()'f x 的不等式，我们应具体该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.18．【解析】【分析】由在区间中至少有一个极值点等价与方程在其判别式的条件下在区间有解即可求解【详解】因为而在区间中至少有一个极值点等价于方程在其判别式的条件下在区间有解所以由可得令求导数可得所以在上单调解析：55,43⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由()f x 在区间(2,3)中至少有一个极值点，等价与方程()0f x '=在其判别式>0∆的条件下在区间(2,3)有解，即可求解． 【详解】因为()22363f x x ax =-+'，而()f x 在区间(2,3)中至少有一个极值点，等价于方程223630x ax -+=在其判别式>0∆的条件下在区间(2,3)有解， 所以由223630x ax -+=可得11()2a x x=+， 令()11()2g x x x =+，求导数可得()211(1)2g x x=-'， 所以()g x 在(2,3)上单调递增，所以5115()423x x <+<， 解得5543a <<，此时满足>0∆，故实数a 的取值范围是55(,)43．【点睛】本题主要考查了利用导数在函数中的应用，解题的关键是()f x 在区间(2,3)中至少有一个极值点转化为方程()0f x '=在判别式>0∆的条件下在区间(2,3)有解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．19．-1【解析】分析：先求导数解得代入解得详解：因为所以所以因此点睛：利用导数的几何意义解题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化解析：-1. 【解析】分析：先求导数，解得()'f e ，代入解得()f e . 详解：因为()()2'ln f x xf e x =+，所以1()2()f x f e x''=+ 所以11()2()(),f e f e f e e e''+∴=-'= 因此1()2()ln 1.f e e e e=-+=-，点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.20．【解析】结合导数的运算法则可得：则导函数的解析式为：据此可得： 解析：105【解析】结合导数的运算法则可得：()()2'152'1f x x f =+，则()()()'1152'1,'115f f f =+∴=-， 导函数的解析式为：()2'1530f x x =-，据此可得：()2'315330105f =⨯-=.三、解答题21．（1）11e+，（2）02a <≤时，min ()()ln F x F a a ==，当2a >时，，min 1()(2)ln 22F x F a a ==【分析】（1）令导函数为0求出根，判断根左右两边的导函数符号，判断出函数的单调性，求出函数的最值（2）利用（1）的结论，判断出函数的最大值在e 处取得，最小值在端点处取得，通过对a 的分类讨论比较出两个端点值的大小，求出最小值【详解】解：（1）因为ln ()1x f x x =+，所以'21ln ()xf x x -=（0x >）， 令'()0f x =，得x e =，因为当0x e <<时，'()0f x >，当x e >时，'()0f x <， 所以()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， 所以max ln 1()()11e f x f e e e==+=+，（2）ln ()(()1)xF x a f x a x=-=⋅， 因为0a >，由（1）知()F x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以{}min ()min (),(2)F x F a F a =， 因为ln ln 21()(2)ln 222a a aF a F a a a a a -=⋅-⋅=， 所以当02a <≤时，()(2)0F a F a -≤，min ()()ln F x F a a ==， 当2a >时，()(2)0F a F a ->，min 1()(2)ln 22F x F a a == 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的最值，考查计算能力和分类讨论思想，属于中档题22．（1）函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）[2,)-+∞. 【分析】（1）先对函数求导，令()0f x '=求出1x =，根据导数的方法，即可得到函数单调性；（2）先由1a =-，得到()ln (1)xg x xe x m x =-++，由分离参数法方法，将原不等式化为1ln 1x x m e x +≥--，构造函数1ln ()1xx h x e x+=--，利用导数的方法求出其最大值，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，()22(1)()x x x ax e x a xe e f x a x x x+--'=--= ∵0a >，0x >，0x ax e ∴+>，令()0f x '=，得1x =，所以01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （2）当1a =-时，1()()ln (1)x xg x f x x e mx xe x m x x ⎛⎫=+++=-++ ⎪⎝⎭由()1g x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，得1ln 1xx m e x+≥--， 设1ln ()1x x h x e x +=--，则222ln ln ()x x x x e xh x e x x-+'=-=-， 设2()ln xx x e x ϕ=+，则0x >时，()21()20xx x x e xϕ'=++>，所以()ϕx 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0e ϕ=>，1ln 2024ϕ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，所以函数()ϕx 在(0,)+∞上有唯一的零点01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭当00x x <<时，()0x ϕ<，()0h x '>，()h x 单调递增; 当0x x >时，()0x ϕ>，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以0x >时，()00max 001ln ()1x x h x h x e x +==-- 所以001ln 1x x m e x +≥--， ()02000ln 0xx x e x ϕ=+=，000011ln x x e x x ∴=，即000011ln ln ln ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭因为ln y x x =+是增函数，所以0001lnln x x x ==-， 000000001ln 11122x x x x x x m e e e e x x +-∴≥--=--=--=-， 即m 的取值范围为[2,)-+∞. 【点睛】 思路点睛：导数的方法研究由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.23．（1）()f x 在()2-∞-，和()1，-+∞上单调递增，在()21--，上单调递减；（2）存在，243a e =-． 【分析】（1）当1a =时，()2()1xf x x x e =++，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得出函数()f x 的单调区间；（2）求导，分2a =和2a <两种情况得出导函数的正负，得出函数()f x 的单调性，从而得函数的极大值，建立方程，解之可得答案． 【详解】（1）当1a =时，()2()1xf x x x e =++，所以()()()'2()3212x x f x e x x e x x =++=++，令'()0f x =，得1x =-或2-，所以当2x <-或>1x -时，'()>0f x ；当21x -<<-时，'()0f x <，所以()f x 在()2-∞-，和()1，-+∞上单调递增，在()21--，上单调递减；（2）存在，243a e =-，理由如下：()()()'2()2+22x x f x e x a x a e x a x ⎡⎤=++=++⎣⎦，令'()0f x =，得x a =-或2-， 因为2,a ≤所以2,a -≥-所以当2a =时，'()>0f x 恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 不存在极值，所以2a ≠；当2a <时，>2a --，所以当2x <-或>x a -时，'()>0f x ；当2x a -<<-时，'()0f x <，所以()f x 在()2-∞-，和()a -+∞，上单调递增，在()2a --，上单调递减， 所以函数()f x 在2x =-时，取得极大值，所以()23f -=，即()2(2)243f a a e --=+=-，解得2432a e =-<，所以存在，243a e =-，使()f x 的极大值为3． 【点睛】利用导函数研究函数的单调性，极值，最值等问题时，关键在于分析出导函数取得正负的区间，如果有参数，需讨论参数的范围，使之能确定导函数取得正负的区间． 24．（1）函数()f x 的减区间是1(0,)2，增区间是1(,)2+∞；（2）b ≤211e -；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间即可；（2）根据极值点得出1a =，再将题设不等式化为1ln 1x b x x≤+-，求出1ln ()1xg x x x=+-的最小值，即可得出实数b 的取值范围； （3）将1x y e >>-变形为ln(+1)ln(+1)ln 1x y e >>=，结合分析法要证ln(1)ln(1)x yx ey -+>+只需证明ln(1)ln(1)x y e e x y >++，构造函数()ln(1)x e h x x =+，利用导数证明其在(1,)e -+∞上是增函数，从而得出()()h x h y >，即ln(1)e ln(1)x yx y -+>+.【详解】解：（1）当2a =时，()21ln f x x x =--，其中0x > 所以121()2x f x x x-'=-= 令()0f x '<，则210x x -<，即102x << 令()0f x '>，则210x x ->，即12x >所以函数()f x 的减区间是1(0,)2，增区间是1(,)2+∞ （2）因为函数()f x 在1x =处取得极值，所以()01f '= 又1()f x a x'=-，所以10a -=，1a = 因为()2f x bx -≥对x ∀∈(0，+∞)恒成立即()1ln 2f x x x bx =--≥-对x ∀∈(0，+∞)恒成立1ln 1x b x x≤+-对x ∀∈(0，+∞)恒成立令1ln ()1xg x x x=+-，则min ()b g x ≤ 22211ln ln 2()x x g x x x x--'=--=，由()0g x '=得2x e = 所以()g x 在2(0,]e 上是递减，2[,)e +∞上是递增，所以()()22min 11g x g ee ==-所以b ≤211e - （3）因为1x y e >>-，所以+1+1x y e >>，ln(+1)ln(+1)ln 1x y e >>=所以ln(1)ln(1)x yx ey -+>+等价于ln(1)ln(1)x y e x e y +>+，即ln(1)ln(1)x y e e x y >++ 要证明ln(1)ln(1)x yx ey -+>+，只要证明ln(1)ln(1)x y e e x y >++ 令()ln(1)x e h x x =+，只要证明()ln(1)xe h x x =+在(1,)e -+∞上是增函数又21[ln(1)]1()ln (1)x e x x h x x +-+'=+，易知1ln(1)1x x +-+在(1,)e -+∞上是增函数 所以111ln(1)ln 101x e x e e+->-=->+，所以21[ln(1)]1()0ln (1)x e x x h x x +-+'=>+ 所以()ln(1)xe h x x =+在(1,)e -+∞上是增函数又1x y e >>-，所以()()h x h y >，即ln(1)ln(1)x ye e x y >++，所以ln(1)ln(1)x yx ey -+>+.【点睛】本题的第三问中，关键是利用分析法从结论入手，构造函数结合导数证明单调性，从而利用单调性的性质证明不等式.25．（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在,724a ≥【分析】 （1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间；（2）求出导函数'()g x ，假设存在，则'()0g x ≥在(0,)+∞上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值．【详解】（1）当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+->． 所以2()3f x x x '=+-=232(2)(1)x x x x x x-+--= 令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<，所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在724a ≥，满足题设， 因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229x a x x x +-+ 所以224()23a g x x x x '=+-+ 要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-≥+∈+∞ 即3243660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x x a +-≥-，(0,)x ∈+∞ 令32436()6x x x h x +-=，(0,)x ∈+∞， 则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17224h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴324366x x x +--在(0,)+∞上的最大值为724．所以存在724a ≥，满足题设． 【点睛】 本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x >确定增区间，用'()0f x <确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多．26．（1）1,12a b ==-；（2）最小值为4-，最大值为28.【分析】（1）先对函数()f x 进行求导，根据(2)0f '=，(2)16f c =-，求出a ，b 的值．（2）根据导数可知()f x 在2x =-处取得极大值，即可求出c ，再求出端点处的函数值，即可判断.【详解】（1）因3()f x ax bx c =++ ，故2()3f x ax b '=+，由于()f x 在点2x =处取得极值，故有(2)0(2)16f f c ==-'⎧⎨⎩，即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ，解得112a b =⎧⎨=-⎩； （2）由（1）知 3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-令()0f x '= ，得122,2x x =-=，当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数；当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数，当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数．由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-，由题设条件知1628c += ，得12c =，此时(3)921f c -=+=，(3)93f c =-+=，(2)164f c =-=-，因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-，最大值为28.【点睛】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．。
人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（ ）A ．0B ．2C ．2019D ．20202．已知函数2()ln f x a x x =+，0a >，若曲线()y f x =在点(1,1)处的切线是曲线()y f x =的所有切线中斜率最小的，则a =（ ）A ．12B ．1CD ．23．已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞4．已知函数()=x e xf x x+，1(ln )a f e =，1()2b f =，1()c f e =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()()()g x x f x '=+在[0,]x π∈内的单调递增区间是（ ）A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．设函数()21ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,∞+ D ．()(),10,-∞-+∞7．已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-9．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)16f =，且()f x 的导函数'()41f x x <-，则不等式2()21f x x x <-+的解集为（ ） A ．{}|33x x -<< B ．{}|3x x >- C ．{}|3x x >D ．{|3x x <-或3x10．已知函数()f x 的导函数()f x ，且满足2()32(2)f x x xf '=+，则(5)f '=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．-1211．已知函数2()sin cos f x x x x x =++，则不等式1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<的解集为（ ） A ．(,)e +∞B ．(0,)eC ．1(,)e eD ．1(0,)(1,)e e12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()1xf x '>，则（ ） A ．()()21ln 2f f -< B ．()()21ln 2f f -> C ．()()211f f -<D ．()()211f f ->二、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，若对任意的正实数，()()()()220,xf x f x g x x f x '+<=，则不等式()(12x g g ->的解集为______ 14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()xf x f x '<，若()10f =，则不等式()0f x x>的解集为________. 15．函数32()22=-f x x x 在区间[1,2]-上的最大值是___________.16．若点()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+=⎨>⎩的图象上任意两点，且函数()f x 分别在点A 和点B 处的切线互相垂直，则12x x 的最小值为______． 17．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020,若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ,则实数a ＝_______. 18．已知函数()331xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--的值为_______.19．已知函数()f x axlnx =，()x 0,∞∈+，其中a 为实数，()f'x 为()f x 的导函数，若()f'e 2(e 2.71828==⋯是自然对数的底数)，则a 的值为______．20．函数sin x y x e =+在点(0,1)处的切线方程是__________．三、解答题21．已知函数()1ex f x a +=，()ln1xg x a=-，其中0a >. （1）若1a =，在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点O 分别作函数()y f x =与()y g x =的图象的切线1l ，2l ，求1l ，2l 的斜率之积；（2）若()()f x g x ≥在区间()0,∞+上恒成立，求a 的最小值. 22．已知函数()331f x x x =-+.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.（3）求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.23．设函数32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f --的切线方程为123y x =+，求a ，b 的值； （2）若()f x 在3x =处取得极值，求a 的值； （3）若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围.24．已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.25．已知函数()ln f x ax x b =+，()23g x x kx =++，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为1y x =-，a ，b ，R k ∈．（1）若函数()f x 在(),b m 上有最小值，求a ，b 的值及m 的取值范围； （2）当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，其中 2.718e =⋅⋅⋅，e 为自然对数的底数，若关于x 的不等式()()20f x g x +≥有解，求k 的取值范围．26．已知函数f （x ）＝ax 3+bx +c 在x ＝2处取得极值为c ﹣16. （1）求a 、b 的值；（2）若f （x ）有极大值28，求f （x ）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+， ()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ++-+'==+， 所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数； （2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.2．D解析：D 【分析】()y f x =的所有切线的斜率即为()2af x x x'=+（0x >）的值域，由题意知当1x =时()f x '取得最小值，由基本不等式可知()2a x f x x '=+≥=，当且仅当2ax x =即22a x =时()f x '取得最小值，可得2a = 【详解】 因为2()ln f x a x x =+，定义域为()0,∞+，所以()2af x x x'=+， 由导数的几何意义可知：当1x =时()f x '取得最小值， 因为0a >，0x >，所以()2a x f x x '=+≥=， 当且仅当2ax x=即22a x =时()f x '取得最小值， 又因为1x =时()f x '取得最小值，所以2212a =⨯=， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由导数的几何意义可得当1x =时()2af x x x'=+取得最小值，再利用基本不等式求()f x '取得最小值时满足2ax x=即22a x =，即可求出a 的值. 3．D解析：D 【分析】根据条件()()12122f x f x x x ->-可变形为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-，构造函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-，利用其为增函数即可求解. 【详解】 根据1212()()2f x f x x x ->-可知112212()2[()]20f x x f x x x x --->-， 令()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>- 由112212()2[()]20f x x f x x x x --->-知()g x 为增函数， 所以()()'200,0ag x x x a x=+-≥>>恒成立， 分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -在1x =时有最大值为1， 故1a ≥. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题由条件()()12122f x f x x x ->-恒成立，转化为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-恒成立是解题的关键，再根据此式知函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题. 4．B解析：B 【分析】求出()f x 的导数，根据导数判断出函数的单调性，再根据111ln ,,2e e的大小关系即可判断. 【详解】()=x e xf x x+，0x ≠()()()()2211xx x e x e x e x f x x x+-+-'∴==， 当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增，11012e <<<，112f f e ⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且1112f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 1ln 10e =-<，()11ln 111f f e e ⎛⎫∴=-=-< ⎪⎝⎭，111ln 2f f f e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c b a >>.故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，注意函数的定义域为{}0x x ≠，故单调区间有3个，故在判断1(ln )a f e=的大小的时候应从函数值判断，而不能直接利用单调性.5．C解析：C 【分析】先对函数()f x 求导，再利用辅助角公式化简，然后利用正弦函数图像和性质即可分增区间. 【详解】()cos2f x x =， ()'2sin 2f x x ∴=-，2()2sin 24sin 23g x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，令2222232k x k πππππ-+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ-+≤≤-+， ()g x ∴在[]0,π内的递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C . 【点睛】本题主要考查的是正弦复合函数的单调性以及单调区间的求解，以及复合函数的导数的求法，熟练掌握正弦函数图像和性质是解决本题的关键，是中档题.6．B解析：B 【详解】()21ln 2f x x ax bx =--,,,由得，()()()1111ax x f x ax a x x+-=-+-=-', 若,由,得,当时,,此时单调递增；1x > 时,,此时单调递减；所以是的极大值点．若,则由,得或．时的极大值点, ,解得．综上：,的取值范围时．故选B ．【点晴】本题是一道关于函数极值的题目,考虑运用导数求函数的极值．对求导,得,由得,将代入到导函数中,可得()()()1111ax x f x ax a x x+-=-+-=-',接下来分和两种情况,结合函数的单调性,分别求出的极大值点,从而建立的不等式求解即可．7．A解析：A 【分析】利用函数的定义域和函数的值域排除BD ，通过函数的单调性排除C ，推出结果即可. 【详解】令()ln 1g x x x =--，则11()1x g x x x-'=-=， 由()0g x '>得1x >，即函数()g x 在(1,)+∞上单调递增， 由()0g x '<得01x <<，即函数()g x 在(0,1)上单调递减， 所以当1x =时，()()min 10g x g ==， 于是对任意(0,1)(1,)x ∈+∞，有()0g x >，则()0f x >，故排除BD ，因为函数()g x 在()0,1单调递减，则函数()f x 在()0,1递增，故排除C.【点睛】本题考查利用导数对函数图象辨别，属于中档题.8．D解析：D 【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线， 当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-， 故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.9．C解析：C 【分析】根据题意，设2()()21g x f x x x =-+-，求导分析可得()0g x '<，即函数()g x 在R 上为减函数，则原不等式可以转化为()()3g x g <，结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，设2()()21g x f x x x =-+-，其导数()()41g x f x x '='-+， 又由()41f x x '<-，即()410f x x '-+<， 则()0g x '<，即函数()g x 在R 上为减函数，又由f （3）16=，则g （3）f =（3）18310-+-=， ()()22()21()2103f x x x f x x x g x g <-+⇒-+-<⇒<，又由函数()g x 为减函数，则有3x >，则不等式2()21f x x x <-+的解集为{|3}x x >； 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．10．B解析：B 【分析】将()2f '看出常数利用导数的运算法则求出()f x '，令2x =求出()2f '代入()f x '，令5x =求出()5f '即可．【详解】 解：()2()322f x x xf '=+，()()622f x x f '∴=+'， ()(2)1222f f '∴=+'(2)12f '∴=- ()624f x x '∴=- (5)65246f '∴=⨯-=故选B ． 【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，解题的关键是弄清()2f '是常数，属于基础题．11．C解析：C 【分析】先判断出()f x 为R 上的偶函数，再利用当0x >时，()'0f x >得到函数的单调性，从而可解原不等式. 【详解】因为()()()()22()sin cos sin cos f x x x x x x x x x f x -=--+-+-=++=，所以()f x 为R上的偶函数，又1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<等价于(ln )(ln )2(1)0f x f x f +--<即：(ln )(1)f x f <，()'()sin cos sin 22cos f x x x x x x x x =+-+=+，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在()0,∞+为增函数，故(ln )(1)f x f <等价于ln 1x <即1ln 1x -<<即1x e e <<，故不等式的解集为1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,，故选C.【点睛】对于偶函数()f x ，其单调性在两侧是相反的，并且()()()f x fx f x ==-，对于奇函数()g x ，其单调性在两侧是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则f ．12．B解析：B 【解析】分析：根据题意，由()1xf x '>可得()()'1f x lnx x='>，构造函数()()g x f x lnx =-，可得()()()110xf x g x f x x x-=-=''>'，故()g x 单调递增，根据单调性可得结论． 详解：令()(),0g x f x lnx x =->， ∴()()()11xf x g x f x x x=''-'-=， ∵()1xf x '>， ∴()0g x '>，∴函数()g x 在()0,+∞上单调递增， ∴()()21g g >，即()()2211f ln f ln ->-， ∴()()21ln2f f ->． 故选B ．点睛：本题考查对函数单调性的应用，考查学生的变形应用能力，解题的关键是根据题意构造函数()()g x f x lnx =-，通过判断函数的单调性得到函数值间的关系，从而达到求解的目的．二、填空题13．【分析】根据条件可得函数为偶函数且在单调递减从而可得不等式【详解】当时且为偶函数在单调递减解得：故答案为：【点睛】求解的关键在于构造什么样的函数再利用导数研究函数的单调性进而将不等式进行等价转化解析：1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据条件可得函数()g x 为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，从而可得不等式. 【详解】当0x >时，()''(()2())0g x x xf x f x =+<，且()g x 为偶函数，∴()g x 在(0,)+∞单调递减， ∴()(()111122222x x x g g g g--->⇔>⇔<112x ⇔-<， 解得：1322x <<， 故答案为：1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】求解的关键在于构造什么样的函数，再利用导数研究函数的单调性，进而将不等式进行等价转化.14．【分析】令对其求导由时可知从而在上单调递减由的奇偶性可得是定义域上的偶函数从而可得出在上的单调性再结合可求出的解集【详解】由题意令则因为时则故在上单调递减又是定义在上的奇函数所以所以即是上的偶函数根 解析：()()1,00,1-【分析】 令()()f xg x x=，对其求导，由0x >时，()()xf x f x '<，可知()0g x '<，从而()g x 在()0,∞+上单调递减，由()f x 的奇偶性，可得()g x 是定义域上的偶函数，从而可得出()g x 在(),0-∞上的单调性，再结合()()110g g -==，可求出()0g x >的解集.【详解】 由题意，令()()f x g x x =，则()()()2xf x f x g x x'-'=， 因为0x >时，()()xf x f x '<，则()()()20xf x f x g x x'-'=<，故()g x 在()0,∞+上单调递减，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，即()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据偶函数的对称性，可知()g x 在(),0-∞上单调递增，且()()()11101f g g -===，所以()()1,00,1x ∈-时，()0g x >.故答案为：()()1,00,1-.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数()()f xg x x=，求导并结合当0x >时，()()xf x f x '<，可求出函数()g x 在()0,∞+上的单调性，再结合函数的奇偶性，可求出()g x 在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．15．8【分析】对函数求导由导数确定单调区间由单调性确定极值再比较极值与函数端点值即可确定函数最值【详解】f′(x)=6x2-4x=2x(3x-2）已知x ∈-12当2≥x>或-1≤x<0时f′(x)>0f解析：8 【分析】对函数求导，由导数确定单调区间，由单调性确定极值，再比较极值与函数端点值，即可确定函数最值. 【详解】f ′(x )=6x 2-4x = 2x (3x -2）， 已知x ∈[-1，2]，当2 ≥ x >23或-1 ≤ x <0时， f ′(x )>0， f （x ）单调递增区间是2[1,0),(,2]3-， 当0<x <23时，f ′(x )<0， f （x ）单调递减区间是2(0,)3，故函数在0x =处取极大值，f （0）=0，又f (2)=8，故 f （x ）的最大值是8. 故答案为：8 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了计算能力，属于基础题目.16．【分析】先判定再根据切线相互垂直可得的关系利用该关系式把转化为一元函数利用导数可求其最小值【详解】当时当时因为故所以即其中又令则当时；当时故故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值解析：1e-【分析】先判定()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，再根据切线相互垂直可得12,x x 的关系，利用该关系式把12x x 转化为一元函数，利用导数可求其最小值.【详解】当1x <时，()0xf x e '=-<，当1x >时，()10f x x'=>， 因为()()121f x f x ''=-，故()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，所以1211x e x -⨯=-即12x x e =，其中11<x . 又1121xx x x e =，令(),1tg t te t =<，则()()1,1tg t t e t '=+<，当1t <-时，()0g t '<；当11t -<<时，()0g t '>， 故()()min 11g t g e=-=-， 故答案为：1e-. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，注意根据导数的性质确定切点的位置，而多元函数的最值问题一般可转化为一元函数的最值问题，后者可利用导数来处理.17．0【分析】结合所求式子与已知的式子特点可以对原函数求导然后利用赋值法求解即可【详解】对已知的式子两边同时求导可得：2020a （1+ax ）2019令x ＝1则：2020a （1+a ）2019＝a1+2a2解析：0 【分析】结合所求式子与已知的式子特点,可以对原函数求导,然后利用赋值法求解即可. 【详解】对已知的式子两边同时求导可得：2020a （1+ax ）2019220191232020232020a a x a x a x =++++,令x ＝1则：2020a （1+a ）2019＝a 1+2a 2+3a 3+…+2020a 2020, 又因为：a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a , 所以（1+a ）2019＝1,所以a ＝0. 故答案为：0. 【点睛】本题考查了二项式定理的系数的性质、赋值法的应用.同时考查了学生的运算能力,属于中档题.18．3【分析】根据解析式可得到解析式可求得；求导后可得到从而代入的值可求得结果【详解】故答案为：【点睛】本题考查根据函数的性质求解函数值的问题涉及到导数的运算关键是能够通过函数解析式得到原函数和导函数的解析：3 【分析】根据()f x 解析式可得到()f x -解析式，可求得()()3f x f x -+=；求导后可得到()()f x f x ''-=，从而代入x 的值可求得结果.【详解】()333311x x x e f x x x e e --=-=-++ ()()3f x f x ∴-+=()()202020203f f ∴+-=()()222223333332121xx x x x x x e e f x x x x e e e e e ---'=+=+=-++++++ ()()f x f x ''∴-= ()()201920190f f ''∴--= ()()()()20202020201920193f f f f ''∴+-+--=故答案为：3 【点睛】本题考查根据函数的性质求解函数值的问题，涉及到导数的运算，关键是能够通过函数解析式得到原函数和导函数的性质.19．1【分析】根据题意求出函数的导数将代入计算可得解可得a 的值即可得答案【详解】根据题意函数则函数若则解可得；故答案为1【点睛】本题考查导数的计算关键是掌握导数的计算公式属于基础题解析：1 【分析】根据题意，求出函数()'f x 的导数，将x e =代入计算可得()'ln 22f e a e a a =+==，解可得a 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，函数()ln f x ax x =，则函数()()()''ln ln 'ln f x a x x ax x a x a =+=+， 若()'2f e =，则()'ln 22f e a e a a =+==， 解可得1a =； 故答案为1． 【点睛】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．20．【解析】分析：求出函数的导数求得切线的斜率由斜截式方程即可得到所求切线的方程详解：的导数为在点（01）处的切线斜率为即有在点（01）处的切线方程为故答案为点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有利用解析：210x y -+=【解析】分析：求出函数sin xy x e =+的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程.详解：sin x y x e =+的导数为'cos x y x e =+， 在点（0,1）处的切线斜率为0cos02k e =+=， 即有在点（0,1）处的切线方程为210x y -+=. 故答案为210x y -+=.点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线()y f x =在点0x 的导数0'()f x 就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.三、解答题21．（1）1；（2）21e. 【分析】（1）利用导数的运算法则和公式求得1()e x f x +'=，1()g x x'=，得到切线1l ，2l 的斜率∴111ex l k +=，221l k x =，根据两切线都经过原点，求得121,e x x ==，进而求得两直线的斜率之积;（2）问中是典型的无法分离参数的情况，进行转化并构造函数，1()e x F x x +=，转化为()ln 1x F x F a ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，分类讨论，并注意利用导数进一步研究函数()F x 的单调性，当ln 10,x a ->转化为1max ln 1e x x x x a a +⎛⎫≥-⇒≥ ⎪⎝⎭，进而再次造函数令1()ex x x ϕ+=，利用导数研究单调性并求得其最大值，即得a 的最小值. 【详解】解：（1）当1a =时，()1x f x e=＋，()ln 1g x x =-设过原点O 的直线分别切()f x ，()g x 于点()111,P x y ，()222,P x y1()e x f x +'=，1()g x x'=， ∴111e x l k +=，221l k x =且11111122222e e 1e ln 11x x x x x x x x ++⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩ ∴12221e 1el l k k ⋅=⋅=． （2）由1eln 1x xa a+≥-在(0,)+∞上恒成立得∵0a >，∴111eln x x a a a+≥- ln 1eln 1ln 1e (*)xx ax x x x a a a +⎛⎫⎛⎫≥-=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1()e x F x x +=，∴()ln1x F x F a ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭①当ln 10xa-≤时，(*)左边0,>右边0,≤显然成立 ②当ln10,xa->注意到1()(1)e 0x F x x +'=+> ∴()F x 在(0,)+∞上∴1maxln1e x x x x a a +⎛⎫≥-⇒≥ ⎪⎝⎭ 令1()e x x x ϕ+=，11221e e 1()e ex x x x x x x ϕ++++--'==，令()0x ϕ'= 得01x <<时，()0x ϕ'>，()x ϕ↗； 当1x >时，()0x ϕ'<，()x ϕ↘ ∴max 21()(1)x e ϕϕ==，∴21a e ≥．【点睛】本题考查求曲线上某点处的切线的斜率问题和利用导数研究不等式恒成立问题，属中档题，难度一般.关键是要熟练掌握导数的运算法则和求导公式，这是一切导数问题的基础，第（2）问中将不等式整理为为ln 1eln 1ln 1e (*)xx ax x x x a a a +⎛⎫⎛⎫≥-=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1()e x F x x +=，转化为()ln 1x F x F a ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，是难点也是解决问题的关键点，多次构造函数，并利用函数思想进行转化和求解是本题的显著特点，值得好好体会.22．（1）310x y +-=；（2）()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-；（3）最大值为3，最小值为1-. 【分析】（1）对()f x 求导， ()0k f '=，计算()0f 求切点，利用点斜式即可写出切线方程； （2）令()0f x '>可得单调递增区间，令()0f x '<可得单调递减区间； （3）求出()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调性，即可利用单调性求出最值.【详解】()()()233311f x x x x ==+'--，()03k f '==-，因为()01f =，所以切点为()0,1，所以切线方程为()130y x -=--， 即310x y +-=，（2）由()()()2333110f x x x x '=-=+->可得1x >或1x <-，由()()()2333110f x x x x '=-=+-<可得11x -<<，所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞， 单调递减区间为()1,1-，（3）由（2）知()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，[]1,2单调递增，所以31113312228f ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3223213f =-⨯+=， ()3113111f =-⨯+=-，所以()()min 11f x f ==- ，()()max 23f x f == ， 所以函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为1-， 【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.23．（1）0a =，4b =-；（2）3a =；（3）[0,)a ∈+∞.（1）利用导数的几何意义，可得(1)12f '-=，(1)9f -=-，计算整理，即可求得a ，b 的值；（2）令'(3)0f =，即可求得a 的值，检验可得3x =为极值点，即可得答案； （3）令'()0f x =，解得1x a =，21x =，分别求得1a <和1a ≥时，()f x 的单调区间，结合题意，分析推理，即可得答案. 【详解】（1）因为32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，所以2()66(1)6f x x a x a '=-++，由题设可得(1)121212f a '-=+=，(1)959f a b -=-+-=-， 解得0a =，4b =-.（2）因为()f x 在3x =取得极值， 所以(3)12360f a '=-+=，解得3a =.当3a =时，'2()624186(1)(3)f x x x x x =-+=--， 令'()0f x =，解得x=1或3，所以3x =为()f x 的极值点，故3a =满足题意. （3）令()6()(1)0f x x a x '=--=， 得1x a =，21x =. 当1a <时，若(,)(1,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,)a -∞和(1,)+∞上为增函数， 故当01a ≤<时，()f x 在(,0)-∞上为增函数恒成立. 当0a <时，()f x 在(,)a -∞上为增函数，不符合题意， 当1a ≥时，若(,1)(,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞和(,)a +∞上为增函数， 从而()f x 在(,0)-∞上也为增函数，满足题意.综上所述，当[0,)a ∈+∞时，()f x 在(,0)-∞上为增函数. 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间和极值点问题，考查计算求值，分类讨论的能力，属中档题. 24．（1）54a =；（2）单调递减区间是()0,5，单调递增区间是()5,+∞. 【分析】（1）求导，使()12f '=-求解a 的值；（2）将（1）中所求a 的值代入，求解()0f x '>和()0f x '<的区间，从而得出函数()f x 的单调区间.（1）对()f x 求导得()2114a f x x x=--'， 由()f x 在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =， 知()3124f a '=--=-，解得54a =. （2）由（1）知()()53ln 0442x f x x x x =+-->，则()22454x x f x x'--=， 令()0f x '=，解得1x =-或5x =，因为1x =-不在()f x 的定义域()0,∞+内，所以舍去. 当()0,5x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,5内单调递减； 当()5,x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()5,+∞内单调递增. 故()f x 的单调递减区间是(0，5)，单调递增区间是()5,+∞. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求解，难度一般.25．（1）1,0,a b =⎧⎨=⎩；1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）2321e e k e -+≥-. 【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a ，b 的方程组，求出a ，b 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值，进而可得m 的取值范围；（2）问题等价于不等式22ln 3x x x k x++≥-在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，设()22ln 3x x x h x x ++=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求导可得函数的最值，进而可得k 的取值范围． 【详解】（1）()()ln 1f x a x '=+，由题意得()()1011f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，解得：10a b =⎧⎨=⎩， 故()ln 1f x x '=+， 当()0f x '>，即1x e>时，()f x 单调递增， 当()0f x '<，即10x e<<时，()f x 单调递减， 因为()f x 在()0,m 上有最小值， 所以m 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）关于x 的不等式()()20f x g x +≥在1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， 即232ln 0x x x kx ++≥+在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， 等价于不等式22ln 3x x x k x++≥-在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， 设()22ln 3x x x h x x ++=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()2223x x h x x+-'∴=-， 当()0h x '>，即11x e<<时，()h x 单调递增， 当()0h x '<，即1x e <<时，()h x 单调递减， 又21321e h e e e -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2e 2e 3e e h ++=-， 所以()()22222211233212420e e e e e e e e h h e e e e e e ---++-+-++⎛⎫-=-==< ⎪⎝⎭， 故()2min 1321e e h x h e e -+⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以2321e e k e-+≥-． 【点睛】本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道中档题.26．（1）1,12a b ==-；（2）最小值为4-，最大值为28.【分析】（1）先对函数()f x 进行求导，根据(2)0f '=，(2)16f c =-，求出a ，b 的值．（2）根据导数可知()f x 在2x =-处取得极大值，即可求出c ，再求出端点处的函数值，即可判断.【详解】（1）因3()f x ax bx c =++ ，故2()3f x ax b '=+，由于()f x 在点2x =处取得极值，故有(2)0(2)16f f c ==-'⎧⎨⎩，即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ，解得112a b =⎧⎨=-⎩； （2）由（1）知 3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-令()0f x '= ，得122,2x x =-=，当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数； 当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数， 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数． 由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-，由题设条件知1628c += ，得12c =，此时(3)921f c -=+=，(3)93f c =-+=，(2)164f c =-=-， 因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-，最大值为28.【点睛】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．。
(好题)高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(答案解析)(4)
一、选择题1．已知函数ln,1 ()1,12x xf x xx≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()[()1]F x f f x m=++两个零点1x，2x，则12x x⋅的取值范围是（）A．(),e-∞B．(),e+∞C．(],42ln2-∞-D．[)42ln2,-+∞2．已知函数(),0,,0.lnx xf xkx x>⎧=⎨≤⎩，若x R∃∈使得()()00f x f x-=成立，则实数k的取值范围是（）A．(],1-∞B．1,e⎛⎤-∞⎥⎝⎦C．[)1,-+∞D．1,e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭3．已知关于x的方程ln2lnx a x-=有三个不等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．1,2e⎛⎫+∞⎪⎝⎭B．21,4e⎛⎫+∞⎪⎝⎭C．(),e+∞D．()2,e+∞4．已知函数()f x是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有()()2xf xef x-=，当0x<时，()()0f x f x+'>，若()()211ae f a f a+≥+，则实数a的取值范围是（）A．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．[)0,+∞D．(],0-∞5．对任意的0a b t<<<，都有ln lnb a a b<，则t的最大值为（）A．1 B．e C．2e D．1e6．函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①-3是函数y=f(x)的极值点；②y=f(x)在区间(-3，1)上单调递增；③-1是函数y=f(x)的最小值点；④y =f (x )在x =0处切线的斜率小于零. 以上正确命题的序号是（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()23()()g x f x f x '=+在[0,]x π∈内的单调递增区间是（ ） A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知函数f (x )在x =x 0处的导数为12，则000()()lim 3x f x x f x x∆→-∆-=∆（ ）A ．-4B ．4C ．-36D ．369．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x ≠”的否命题是“若21x =，则1x =”B ．命题“0x R ∃∈，2000x x -＜”的否定是“x R ∀∈，20x x -＞”C ．“()y f x =在0x 处有极值”是“0()0f x '=”的充要条件D ．命题“若函数2()1f x x ax =-+有零点，则“2a ≥或2a ≤-”的逆否命题为真命题 10．若()()21ln 22f x x b x =-++在[)1,-+∞上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞11．函数()22xx f x e-=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．12．已知函数()cos ln f x x x =-+，则()1f '的值为（ ） A ．sin11- B ．1sin1- C ．1sin1+ D ．1sin1--二、填空题13．若关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为________.14．已知()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，1()()2f x lnx ax a =->，当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a =________.15．已知曲线x xy e=在1x x =处的切线为1l ，曲线ln y x =在2x x =处的切线为2l ，且12l l ⊥，则21x x -的取值范围是_________.16．函数()1ln(12)2xf x x x-=+-的导函数是()f x '，则()f x '=______________. 17．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)=f ________18．已知函数f (x )＝ln x －f ′ (12)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________． 19．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则()f e =__________．20．已知()5234501234532x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++的值为______三、解答题21．已知函数()1ln 1f x x x =+-，()()1x g x f x e x m x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦.（1）求()f x 的单调区间；（2）当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，判断函数()g x 的零点个数.22．已知函数()ln f x a x ax =+，2()2g x x x =+，其中a R ∈. （1）求函数()()()h x f x g x =+的极值； （2）若()g x 的图像在()()11,A x g x ，()()()2212,0B x g x xx <<处的切线互相垂直，求21x x -的最小值.23．已知函数2()3(6)ln ()f x x a x a x a R =+--∈ （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当1a =时，证明：对任意的20,()352x x f x e x x >+>++.24．已知函数321()23f x x bx x a =-++，2x =是()f x 的一个极值点. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若当[1,3]x ∈时，22()3f x a ->恒成立，求实数a 的取值范围.25．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图所示，x 轴与曲线相切于原点，所围成的区域(阴影)面积为2764.（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[,]()m m >00上的值域. 26．已知函数211()ln (,0)22f x x a x a R a =--∈≠. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据题中条件，得到()1mf x e-=-有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <；令112m t e -=->，得到()122t x x e x =-，12t >，设()()22tg t e t =-，对其求导，判定其单调性，求出值域，即可得出结果. 【详解】 当1≥x 时，()ln 0f x x =>，∴()11f x +≥， 当1x <时，()1122x f x ->=，()312f x +>； ∴()()1ln 1f f x f x +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()[()1]F x f f x m =++两个零点1x ，2x ，等价于方程()()1ln 10F f x f x m +=++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦有两个根1x ，2x ， 则()1mf x e-+=，即()1mf x e-=-有两个根1x ，2x （不妨设12x x <），则1≥x 时，2ln 1mx e -=-；当1x <时，1112m x e --=-， 令112mt e-=->，则2ln x t =，112x t -=；所以2tx e =，122x t =-； 则()122t x x e x =-，12t >，设()()22tg t e t =-，12t >，则()2tg t te '=-，当1,2t ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g t '<显然恒成立， 所以函数()g t 单调递减，则()12g t g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭所以()g x的值域为(-∞，即12x x的取值范围为(-∞. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据函数零点个数结合函数解析式，得到()1mf x e-=-有两个根为1x 和2x ，再构造函数，利用导数的方法求解即可.2．D解析：D 【分析】由已知建立方程，反解出k ，将问题转化为求函数值域问题，然后利用函数的性质求出最值即可求解. 【详解】由题意可得：存在实数00x ≠，使得()()00 f x f x -=成立，假设00x >，则00x -<， 所以有00ln kx x -=， 则0ln x k x =-， 令()ln xh x x=-， 则()2ln 1x h x x -'=， 令()0h x '>，即ln 1x >， 解得x e >，令()0h x '<，即ln 1x <， 解得0x e <<，则()h x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增， 所以()()()ln 1min e h x h x h e e e≥==-=-， 所以1k e≥-， 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查了分段函数的存在性问题，构造函数，利用导函数求最值是解决本题的关键.3．B解析：B 【分析】方程有三个解转化直线ln y x a =-与函数2ln y x =有三个交点，作出函数2ln y x =的图象，作出直线ln y x a =-，可知，只要求得直线ln y x a =-与函数2ln y x =的图象相切a 的什值，即可得结论． 【详解】转为直线ln y x a =-与函数2ln y x =有三个交点.显然当0x <时，有一个交点：当0x >时，只需ln y x a =-与2ln y x =有两个交点即可. 由2'1y x==，得2x =，ln y x a =-与2ln y x =相切时，切点坐标为()2,2ln 2， 此时24e a =. 由图象可知，当2,4e a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，关于x 的方程ln 2ln x a x -=有三个不等的实数根． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查方程根的个数问题，解题方法是转化为直线与函数图象交点个数，进而转化为研究函数的性质，本题是用导数求出函数的切线方程方程．然后结合图象可得结论．4．B解析：B 【分析】构造函数()()xg x e f x =，根据题意，可得函数()g x 的奇偶性，根据0x <时()()0f x f x +'>，对函数()g x 求导，可得函数()g x 的单调性，将()()211a e f a f a +≥+，左右同乘1a e +，可得()()211211a a e f a e f a +++≥+，即()()211g a g a +≥+，利用()g x 的性质，即可求得答案.【详解】∵()()2x f x e f x -=，∴()()()x x xf xe f x e f x e --==-， 令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，当0x <时()()0f x f x +'>，∴()()()'0xx e f x f x g '+⎡⎤⎣⎦>=，即函数()g x 在(),0-∞上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在()0,∞+上单调递减， ∵()()211ae f a f a +≥+，∴()()211211a a ef a e f a +++≥+，∴()()211g a g a +≥+，即211a a +≤+， 解得，203a -≤≤， 故选：B . 【点睛】解题的关键是将题干条件转化为()()()x x xf x e f x e f x e--==-，根据左右相同的形式，构造函数()()xg x e f x =，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于()()211a e f a f a +≥+，不符合函数()g x 的形式，需左右同乘1a e +，方可利用函数()g x 的性质求解，属中档题.5．B解析：B 【分析】令ln xy x=，问题转化为函数在(0,)t 递增，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出t 的最大值即可．【详解】0a b t <<<，ln ln b a a b <，∴ln ln a ba b<，()a b <， 令ln xy x=，则函数在(0,)t 递增， 故21ln 0xy x -'=>， 解得：0x e <<，所以(0,)t 是(0,)e 的子集， 可得0t e <≤，故t 的最大值是e ， 故选：B ． 【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围．6．A解析：A 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【详解】根据导函数图象可知：当(),3x ∈-∞-时，()0f x '<，在()3,1x ∈-时，()0f x '≥∴函数()y f x =在(),3-∞-上单调递减，在()3,1-上单调递增，故②正确；则3-是函数()y f x =的极小值点，故①正确；∵在()3,1-上单调递增，1∴-不是函数()y f x =的最小值点，故③不正确； ∵函数()y f x =在0x =处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故④不正确. 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查导函数图象在函数单调性和极值中的应用，考查导数的几何意义，其中利用导函数判断单调性的步骤为： 先求出原函数的定义域； 对原函数求导；令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调．7．C解析：C 【分析】先对函数()f x 求导，再利用辅助角公式化简，然后利用正弦函数图像和性质即可分增区间. 【详解】()cos2f x x =，()'2sin 2f x x ∴=-，2()2sin 24sin 23g x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， 令2222232k x k πππππ-+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ-+≤≤-+， ()g x ∴在[]0,π内的递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C . 【点睛】本题主要考查的是正弦复合函数的单调性以及单调区间的求解，以及复合函数的导数的求法，熟练掌握正弦函数图像和性质是解决本题的关键，是中档题.8．A解析：A 【分析】根据题意，由极限的性质可得则000000()()()()1lim =lim 33x x f x x f x f x f x x x x∆→∆→-∆---∆-∆∆，结合导数的定义计算可得答案． 【详解】根据题意，函数()f x 在0x x =处的导数为12，则000000()()()()112lim=lim 4333x x f x x f x f x f x x x x ∆→∆→-∆---∆-=-=-∆∆；故选：A ． 【点睛】本题考查极限的计算以及导数的定义，属于容易题．9．D解析：D 【分析】选项A ，否命题，条件否定，结论也要否定；选项B ，命题的否定，只对结论否定；选项C ，()y f x =在0x 处有极值，既要满足0()0f x '=，也要满足函数在0x 两边的单调性要相反；选项D ，若函数2()1f x x ax =-+有零点，等价于0∆≥，原命题与逆否命题同真假． 【详解】选项A ，命题“若21x =，则1x ≠”的否命题是“若21x ≠，则1x =”，错误；选项B ，命题“0x R ∃∈，2000x x -＜”的否定是“x R ∀∈，20x x -≥”，错误；选项C ，0()0f x '=不能得到()y f x =在0x 处有极值，例如3()f x x =在0x =时，导数为0，但0x =不是函数极值点，错误；选项D ，若函数2()1f x x ax =-+有零点，即方程210x ax -+=有解，所以0∆≥，解得2a ≥或2a ≤-，所以原命题为真命题，又因为原命题与逆否命题同真假，所以逆否命题也是真命题，正确．2a ≥或2a ≤- 【点睛】本题主要考查命题真假性的判断，涉及到四个命题、充要条件以及特称命题的否定．10．B解析：B 【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案 【详解】由题意可知()02bf x x x '-+≤+=，在[)1x ∈-+∞，上恒成立， 即()2b x x ≤+在[)1x ∈-+∞，上恒成立， 由于()2y x x =+在[)1,-+∞上是增函数且最小值为1-，所以1b ≤-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题，属于中档题.11．D解析：D 【分析】利用函数()f x 的奇偶性和单调性确定正确选项. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()22x x f x f x e--==，所以()f x 为偶函数，排除AB 选项.当0x >时，()22xx f x e-=，()2'22xx x f x e-++=，令'0f x 解得1x =，所以()f x 在()1递增，在)1,+∞上递减.所以C 选项不符合，D 选项符合. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查利用导数研究函数的单调性.12．C解析：C 【分析】根据导数的运算法则先求出函数的导数()f x '的解析式，再把1x =代入()f x '的解析式运算求得结果． 【详解】∵函数()cos ln f x x x =-+，∴()1sin f x x x'=+， ∴()1sin11f ='+，故选C. 【点睛】本题主要考查求函数的导数，导数的加减法则的应用，属于基础题．二、填空题13．【分析】本题现将不等式运用参变分离化简为再构造新函数求最大值最后求实数a 的取值范围【详解】解：∵不等式在区间上有解∴不等式在区间上有解∴不等式在区间上有解令（）则∴当时单调递减∴不等式在区间上有解即 解析：(,1)-∞【分析】本题现将不等式220x ax +-<运用参变分离化简为2a x x<-，再构造新函数2()f x x x=-求最大值，最后求实数a 的取值范围. 【详解】解：∵ 不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解， ∴ 不等式22x a x-<在区间[1,4]上有解，∴ 不等式2a x x<-在区间[1,4]上有解， 令2()f x x x =-，（14x ≤≤），则22'()1f x x=--，∴ 当14x ≤≤时，'()0f x <，()f x 单调递减， ∴ max 2()(1)111f x f ==-= 不等式2a x x<-在区间[1,4]上有解，即max ()a f x∴1a <故答案为：(,1)-∞ 【点睛】本题考查不等式存在性问题，借导函数研究原函数单调性求最大值，是中档题.14．1【分析】根据函数的奇偶性确定在上的最大值为求导函数确定函数的单调性求出最值即可求得的值【详解】是奇函数时的最小值为1在上的最大值为当时令得又令则在上递增；令则在上递减得故答案为：1【点睛】本题考查解析：1 【分析】根据函数的奇偶性，确定()f x 在(0,2)上的最大值为1-，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得a 的值． 【详解】()f x 是奇函数，(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，()f x ∴在(0,2)上的最大值为1-，当(0,2)x ∈时，1()f x a x'=-， 令()0f x '=得1x a =，又12a >，102a ∴<<，令()0f x '>，则1x a <，()f x ∴在1(0,)a 上递增；令()0f x '<，则1x a>， ()f x ∴在1(a，2)上递减，111()()1max f x f ln aaaa ∴==-=-，10ln a∴=，得1a =． 故答案为：1． 【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．15．【分析】由求导根据得到由得到而然后令用导数法求解【详解】令则所以因为故所以因为故又令则当时为减函数故所以在上恒成立故在上为减函数所以即因此的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义导数 解析：(),1-∞-【分析】 由()xx f x e=，()ln g x x =，求导，根据12l l ⊥，得到1121x x x e -=，由20x >，得到11x >.而112111x x x x x e --=-，然后令()1,1xx h x x x e -=->，用导数法求解. 【详解】令()x x f x e =，()ln g x x =，则()1x xf x e -'=，()1g x x'=， 所以1111x xk e -=，221k x =， 因为12l l ⊥，故112111x x e x -⨯=-，所以1121x x x e -=， 因为20x >，故11x >.又112111x x x x x e --=-，令()1,1x x h x x x e -=->，则()221xx xx x e h x e e---=-='， 当()1,x ∈+∞时，2xy x e =--为减函数，故12210x x e e --<--<，所以()0h x '<在()1,+∞上恒成立， 故()h x 在()1,+∞上为减函数，所以()()11h x h <=-，即211x x -<-. 因此，21x x -的取值范围是(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】利用基本函数求导公式和导数运算法则求出导数然后代入求值【详解】解：因为由于且解得：且即的定义域为：即：故答案为：【点睛】本题考查基本函数求导公式和导数运算法则以及复合函数求导考查计算能力解析：23242142x x x x -+--+ 【分析】利用基本函数求导公式和导数运算法则，求出导数，然后代入求值． 【详解】 解：因为()1ln(12)2xf x x x-=+-， 由于20x ≠且120x ->，解得：12x <且0x ≠， 即()f x 的定义域为：()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭， ()()11()ln 12()ln 1222x x f x x x x x '--⎡⎤''∴=+-='+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦2223222(1)14214122122242x x x x x x x x x x -----+-=-+=+=-+---， 即：()23242142x x f x x x -+-'=-+. 故答案为：23242142x x x x-+--+． 【点睛】本题考查基本函数求导公式和导数运算法则，以及复合函数求导，考查计算能力．17．-1【解析】【分析】首先对函数求导然后利用方程思想求解的值即可【详解】由函数的解析式可得：令可得：则【点睛】本题主要考查导数的运算法则基本初等函数的导数公式方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力解析：-1 【解析】 【分析】首先对函数求导，然后利用方程思想求解()'1f 的值即可. 【详解】由函数的解析式可得：()()1'2'1f x f x=+， 令1x =可得：()()1'12'11f f =+，则()'11f =-. 【点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．-1【分析】根据题意由函数f （x ）的解析式对其求导可得在其中令可得再令即可解可得f′（1）的值【详解】根据题意函数f(x)＝lnx －f′()x2＋3x －4其导数令令则即答案为-1【点睛】本题考查导数解析：-1 【分析】根据题意，由函数f （x ）的解析式对其求导可得112'32f x xf x '=-+（）（） ，在其中令12x = 可得12f ⎛⎫' ⎪⎝⎭，再令1x =即可解可得f′（1）的值，【详解】根据题意，函数f (x )＝ln x －f ′ (12)x 2＋3x －4， 其导数112'32f x xf x '=-+（）（），令12x =，1111152'3,,1222222f f f '=-⨯⨯+∴'=（）（）（） 令1x =，则15213 1.12f x '=-⨯⨯+=-（） 即答案为-1. 【点睛】本题考查导数的计算，注意12f ⎛⎫'⎪⎝⎭为常数． 19．-1【解析】分析：先求导数解得代入解得详解：因为所以所以因此点睛：利用导数的几何意义解题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化解析：-1. 【解析】分析：先求导数，解得()'f e ，代入解得()f e . 详解：因为()()2'ln f x xf e x =+，所以1()2()f x f e x''=+ 所以11()2()(),f e f e f e e e''+∴=-'= 因此1()2()ln 1.f e e e e=-+=-，点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.20．233【解析】分析：根据题意在（3﹣2x ）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中令x=0可得a0=243设y=（3﹣2x ）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5解析：233 【解析】分析：根据题意，在（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5中，令x=0可得a 0=243，设y=（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，求出其导数，分析可得y '=﹣104(32)x -=a 1+2a 2x+3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4，令x=1可得a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，将其值相加即可得答案．详解：根据题意，（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5中， 令x=0可得：35=a 0，即a 0=243，设y=（3﹣2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5， 其导数y′=﹣10（3﹣2x ）4=a 1+2a 2x+3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x=1可得：﹣10=a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5， 则a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5=243﹣10=233； 故答案为：233点睛：（1）本题主要考查二项式定理的应用和导数，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力基本的计算能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是想到赋值法，令x=0可得a 0=243，令x=1可得﹣10=a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5.其二是要看到0123452345a a a a a a +++++要想到求导.三、解答题21．（1）增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)；（2）当112em e e<-+或m e >时，函数()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上没有零点；当112e e m e e-+≤≤时，函数()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有一个零点.【分析】（1）求得函数的导数21()x f x x -'=，根据导函数的符号，即可求得函数的单调区间； （2）当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，把函数()g x 的零点个数转化为方程(ln 1)xx e x m -+=的根的个数，构造新函数()(ln 1)xh x x e x =-+，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，结合最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()1ln 1f x x x=+-的定义域为(0,)+∞ ，且22111()x f x x x x -'=-=令()0f x '>，解得1x >；令()0f x '<，解得01x <<，所以函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1).（2）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的零点个数等价于方程(ln 1)x x e x m -+=的根的个数，令()(ln 1)xh x x e x =-+，则1()ln 11x h x x e x ⎛⎫'=+-+⎪⎝⎭， 由（1）知，()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在(1,)e 上单调递增，所以当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()(1)0f x f ≥=，即1ln 10x x +-≥在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 所以()1ln 11011x h x x e x ⎛⎫'=+-+≥+=⎪⎝⎭. 所以()(ln 1)xh x x e x =-+在1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1min11()2e h x h e e e ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，max ()()h x h e e ==，当112em e e<-+或m e>时，函数()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上没有零点；当112ee m e e-+≤≤时，函数()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有一个零点.【点睛】对于利用导数研究函数的零点问题求解策略：把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数或转化为方程根的个数问题； 通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．求满足函数零点个数的参数范围时，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围. 22．（1）答案见解析；（2）1. 【分析】（1）求导2(1)2()2(2)a x x a h x x a x x⎛⎫++ ⎪⎝⎭'=+++=，然后分0a ≥，0a <讨论求解. （2）求导()22g x x '=+，根据()g x 的图像在()()11,A x g x ，()()22,B x g x 处的切线互相垂直，得到()()1222221x x ++=-，即 ()121141x x =--+，然后由()21221141x x x x -=+++，利用基本不等式求解.【详解】（1）函数2()ln (2)h x a x x a x =+++的定义或为(0,)+∞，2(1)2()2(2)a x x a h x x a x x⎛⎫++ ⎪⎝⎭'=+++=， 若0a ≥，()0h x '>恒成立，此时()h x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；若0a <时，()0h x '=，解得2a x =-， 当02ax <<-时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当2ax >-时，()0h x '>，()h x 单调递增. ∴当2a x =-时，()h x 有极小值2ln 224a a ah a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极大值.（2）()22g x x '=+，则()()1222221x x ++=-，其中，120x x <<，1222022x x ∴+<<+，且()121141x x =--+，210x -<<，()212211141x x x x ∴-=++≥=+，当且仅当21(1,0)2x =-∈-时取等号， ∴当212x =-，132x =-时，21x x -取最小值1.【点睛】结论点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． 23．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得增减区间；（2）不等式变形为ln 20x e x -->，令()ln 2x h x e x =--，由()h x '的单调确定其有唯一零点0x ，得出0x 为()h x 极小值点，也是最小值点，证明最小值即得． 【详解】（1）由题意知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞由已知得26(6)(6)(1)()6(6)a x a x a x a x f x x a x x x+---+=+--==' 当0a 时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞ 当0a >时，由()0f x '>，得6a x >，由()0f x '<，得06ax << 所以函数()f x 的单调递增区间为,6a ∞⎛⎫+⎪⎝⎭，单调递减区间为0,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上，当0a 时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，0a >时，函数()f x 的单调递增区间为,6a ∞⎛⎫+⎪⎝⎭，单调递减区间为0,6a ⎛⎫⎪⎝⎭． （2）当1a =时，不等式2()352x f x e x x +>++可变为ln 20x e x -->. 令()ln 2xh x e x =--，则1()xh x e x'=-，可知函数()h x '在(0,)+∞单调递增，.. 而131303h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，(1)10h e '=->所以方程()0h x '=在(0,)+∞上存在唯一实根0x ，即01x e x =当()00,x x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；所以()00min 00000111()ln 2ln 220x x h x h x e x x x e x ==--=--=+-> 即 ln 20x e x -->在(0,)+∞上恒成立， 所以对任意20,()352x x f x e x x >+>++成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，考查不等式恒成立问题．把不等式化简后，引入新函数，由导数得出新函数的最值，证明最值符合不等关系即可证原不等式．这里对导函数的零点不能求得具体数，可以得出其存在性，得出其性质（范围），然后利用导数的零点化简原函数的最值，以证结论． 24．（1）(,1)-∞，(2,+)∞；（2）01a <<. 【分析】（1）根据2x =是()f x 的一个极值点，2x =是2()220f x x bx '=-+=方程的一个根，解得b ，然后令()0f x '>求解. （2）将 [1,3]x ∈时，22()3f x a ->恒成立，转化为22()3f x a >+恒成立，只需2min 2()3f x a >+求解. 【详解】（1）2()22f x x bx '=-+.∵2x =是()f x 的一个极值点， ∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根， 解得32b =. 令()0f x '>，则2320x x -+>， 解得1x <或2x >.∴函数()y f x =的单调递增区间为(,?1)-∞，(2,+)∞. （2）∵当(1,2)x ∈时()0f x '<，(2,3)x ∈时()0f x '>， ∴()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2(2)3f a =+. 若当[1,?3]x ∈时，要使22()3f x a ->恒成立，只需22(2)3f a >+， 即22233a a +>+， 解得 01a <<. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<. 25．（1）323()2f x x x =-；（2）答案见解析. 【分析】（1）由图知(0)0f =得0c ，x 轴与曲线相切于原点得(0)0f '=，在利用定积分求阴影面积即可；（2）先求出()f x 在R 上的单调性，再根据m 的位置分类讨论，即可求出. 【详解】（1）由(0)0f =得0c，2()32f x x ax b '=++，由(0)0f '=得0b =，∴322()()f x x ax x x a =+=+，令()0f x =，得0x =或x a =-，由图知0a ->，即0a <，则易知图中所围成的区城(阴影)面积为()4343200()4312aaax ax a f x dx x ax dx ---⎛⎫-⎰=-⎰+=-+= ⎪⎝⎭， 即4271264a =，从而得32a =-， ∴323()2f x x x =-. （2）由（1）知2()333(1)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=，解得0x =或1x =， 由题310,(1)22f f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：①当01m <<时，()f x 在0,m 上单调递减，所以()()(0)f m f x f ≤≤，即323()02m m f x -≤≤； ②当312m ≤≤时，()f x 在[0,1)上单调递减，在(1,]m 上单调递增，所以(1)()(0)f f x f ≤≤，即1()02f x -≤≤； ③当32m >时，()f x 在[0,1)上单调递减，在(1,]m 上单调递增，所以(1)()()f f x f m ≤≤，即3213()22f x m m -≤≤-， 综上可知：当01m <<时，()f x 值域为323,02m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 当312m ≤≤时，()f x 值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 当32m >时，()f x 值域为3213,22m m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点晴】此题要抓住图像的特征，找寻特殊点，充分体现了函数部分数形结合思想和分类讨论思想. 26．（1）10x y +-=；（2）答案见解析；（3）()(],00,1-∞.【分析】（1）当2a =时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线()y f x =在点()1,()f x 处的切线方程；（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数()f x 的单调区间； （3）根据函数的单调性求出函数的最小值即可实数a 的取值范围． 【详解】解：（1）2a =时，211()2ln 22f x x x =--，(1)0f =， 2'()f x x x=- ，'(1)1f =-曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程10x y +-=（2）2'()(0)a x af x x x x x-=-=>①当0a <时，2'()0x af x x-=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+②当0a >时，令'()0f x =，解得x =x =所以函数()f x 的递增区间为+∞，递减区间为（3）对任意的[1,)x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[1,)x ∈+∞，min ()0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在[1,)+∞上是增函数，所以只需(1)0f ≥ 而11(1)ln1022f a =--= 所以0a <满足题意；②当01a <≤时，01<≤，()f x 在[1,)+∞上是增函数，所以只需(1)0f ≥ 而11(1)ln1022f a =--= 所以01a <≤满足题意；③当1a >1>，()f x 在上是减函数，)+∞上是增函数，所以只需0f ≥即可 而(1)0f f <= 从而1a >不满足题意；综合①②③实数a 的取值范围为()(],00,1-∞.【点睛】本题主要考查函数切线的求解，以及函数单调性和函数最值的求解，综合考查函数的导数的应用，属于中档题．。
(完整版)高中数学选修2-2综合测试题(附答案)
高二数学选修2-2综合测试题一、选择题：1、i 是虚数单位。
已知复数413(1)3iZ i i+=++-，则复数Z 对应点落在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限2、在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形1 3 6 10 15 则第n 个三角形数为（ ） A ．n B ．2)1(+n n C ．12-n D ．2)1(-n n 3、求由曲线y x =2y x =-+及y 轴所围成的图形的面积错误．．的为（ ） A.4(2)x x dx -+⎰B.0xdx ⎰C.222(2)y y dy ---⎰ D.022(4)y dy --⎰4、设复数z 的共轭复数是z ,且1z =,又(1,0)A -与(0,1)B 为定点,则函数()f z =(1)z +()z i -︱取最大值时在复平面上以z ,A,B 三点为顶点的图形是A,等边三角形 B,直角三角形 C,等腰直角三角形 D,等腰三角形5、函数f(x)的定义域为R ，f(-1)=2,对任意x R ∈，'()2f x >,则()24f x x >+的解集为(A)(-1，1) (B)(-1，+∞) (c)(-∞，-l) (D)(-∞,+∞)6、用数学归纳法证明412135()n n n +++∈N 能被8整除时，当1n k =+时，对于4(1)12(1)135k k +++++可变形为Ａ．41412156325(35)k k k +++++·Ｂ．441223355k k ++··Ｃ．412135k k +++Ｄ．412125(35)k k +++7、设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且(3)0g -=，则不等式f (x )g (x )<0的解集是（ ） A. (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3)C.(－∞，－3)∪(3，+∞)D. (－∞，－3)∪(0，3) 8、已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f的前n 项和为n S ,则2011S 的值为（ ）20122011.20112010.20102009.20092008.D C B A9、设函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 22k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围是 ( )A.13k <B.103k <≤C.103k ≤≤D.13k ≤10、函数()y f x =在定义域3(,3)2-内可导，其图象如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≤的解集为 （ ） A ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]481,2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]31,1,222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3148,1,,32233⎛⎤⎡⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎥⎢⎝⎦⎣⎦⎣⎭11、 已知函数)(131)(23R b a bx ax x x f ∈+-+=、在区间[-1,3]上是减函数，则b a +的最小值是A.32B.23C.2D. 312、函数32()393,f x x x x =--+若函数()()[2,5]g x f x m x =-∈-在上有3个零点，则m 的取值范围为（ ） A ．（-24,8） B ．（-24,1]C ．[1,8]D ．[1,8）高二数学选修2-2综合测试题（答题卡）一、选择题（60分）。
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选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题一.选择题: （以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共50分） 1. 集合P ={1, 4, 9, 16…}，若a ∈P , b ∈P 则a ⊕b ∈P ，则运算⊕可能是（ ） A ．加法 B ．减法 C ．除法 D ．乘法2. 若平面四边形ABCD 满足0AB CD +=,()0AB AD AC -⋅=,则该四边形一定是（ ） A ．直角梯形 B ．矩形 C ．正方形 D ．菱形3.给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）： ①“若a,b b a b a R =⇒=-∈0,则”类比推出“若a,b b a b a C =⇒=-∈0,则”； ②“若a,b,c,d d b c a di c bi a R ==⇒+=+∈,,则复数”类比推出“若a,b,c,d ,Q ∈ 则d b c a d c b a ==⇒+=+,22”；③“若a,b b a b a R >⇒>-∈0,则” 类比推出“若a,b b a b a C >⇒>-∈0,则”； 其中类比结论正确的个数是（ ） (A)0 (B)1 (C)2(D)34.平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到(3)n n ≥维向量，n 维向量可用 123(,,,,)n x x x x 表示.设123(,,,,)n a a a a a =,123(,,,,)n b b b b b =,规定向量a 与b 夹角θ的余弦为∑∑∑====n i ni i i ni ii b a ba 11221))((cos θ.当(1,1,1,1)a =,(1,1,1,1)b =--时，cos θ=（ ）A ．n n 1- B ．nn 3- C ．n n 2- D ．n n 4- 5. 下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是（ ）A ．sin2xy = B ． sin y x = C ． tan y x =- D ． cos 2y x =- 6. 若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为 y =x 2、值域为{0,4}的“同族函数”共有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D.无数7.对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若 ,,1a b R a b +∈+=且，则122a b--的上确界为（ ） A ．92 B ．92- C ．41D ．4- 8.如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点。
(人教版)北京市选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试题(答案解析)
一、选择题1．已知函数(),0,,0.lnx x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，若0x R ∃∈使得()()00 f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞B ．1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数，若()()()201920191f m m f ->-，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()0,2020B ．()2019,+∞C ．()2020,+∞D ．()2019,20203．已知函数[](),1,2,xae f x x x=∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞ 4．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()()211ae f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)0,+∞D ．(],0-∞5．对任意的0a b t <<<，都有ln ln b a a b <，则t 的最大值为（ ） A ．1B ．eC ．2eD ．1e6．已知111ln 20x x y --+=，22262ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（ ）A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为1657．设()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数，()f x '为其导函数，已知()()1221f x f x -=-，()20f -=，当0x >时，()()xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．()(),20,2-∞-D ．()()0,22,+∞8．已知函数()22,22,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．28,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．28,4e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)28,4,e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭9．若函数()()22co 102s x f x x f x '=++，则6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．0B ．6πC ．3π D ．π10．函数()3sin cos 2xxf x x x =+在[]2,2ππ-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．11．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-12．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，()f xy e '=的图象如下图所示，则()y f x =的单调减区间是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),2-∞C ．()0,1D ．()1,2二、填空题13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()xf x f x '<，若()10f =，则不等式()0f x x>的解集为________. 14．函数()sin cos f x x x x =+在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为________. 15．已知函数1()f x x ax=+在(),1-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是_____________．16．函数322()f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则+a b 的值为________．17．设函数()()21xf x e x ax a =--+，其中1a <，若仅存在两个整数n 使得()0f n <，则实数a 的取值范围是__________.18．已知32()3f x x x a =-+(,a R ∈a 为常数),在]2,2⎡-⎣上有最大值4，那么此函数在]2,2⎡-⎣上的最小值为_______.19．已知函数()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈的最小值为2，则实数m 的值为____________． 20．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则()f e =__________． 三、解答题21．已知函数321()12f x x x ax =-++． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在1x =处有极小值，求函数()f x 在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值．22．已知函数21()ln 2f x x x =+． （1）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最大值及最小值；（2）对x D ∈，如果函数()f x 的图象在函数()G x 的图象的下方，则称函数()f x 在区间D 上被函数()G x 覆盖．求证：函数()f x 在区间(1,)+∞上被函数32()3g x x =覆盖． 23．设函数()ln f x x x =． （1）设()()f xg x x'=，求()g x 的极值点； （2）若210x x >>时，总有()()()2221212m x x f x f x ->-恒成立，求实数m 的取值范围．24．（1）已知函数f （x ）=2ln x +1．若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围； （2）已知函数()()=ln f x x mx m m -+∈R .讨论函数()f x 的单调性. 25．已知函数()2ln f x x x=+. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.26．已知函数()1ln f x ax x =--，a R ∈. （1）1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，且对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围.参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由已知建立方程，反解出k ，将问题转化为求函数值域问题，然后利用函数的性质求出最值即可求解. 【详解】由题意可得：存在实数00x ≠，使得()()00 f x f x -=成立，假设00x >，则00x -<， 所以有00ln kx x -=，则0ln x k x =-， 令()ln xh x x=-， 则()2ln 1x h x x -'=， 令()0h x '>，即ln 1x >， 解得x e >，令()0h x '<，即ln 1x <， 解得0x e <<，则()h x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增， 所以()()()ln 1min e h x h x h e e e≥==-=-， 所以1k e≥-， 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查了分段函数的存在性问题，构造函数，利用导函数求最值是解决本题的关键.2．D解析：D 【分析】构造函数()()f x h x x =，根据导数可判断函数单调递减，由()()2019120191f m f m ->-，结合函数定义域可解得. 【详解】令()()f x h x x =，()0,x ∈+∞，则()()()2xf x f x h x x'-'=， 因为()()0xf x f x '-<，所以()0h x '<，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减． 因为()()()201920191f m m f ->-，20190m ->，所以()()2019120191f m f m ->-，即()()20191h m h ->，所以20191m -<且20190m ->，解得20192020m <<， 所以实数m 的取值范围为()2019,2020． 故选D ． 【点睛】易错点点睛，本题的容易忽略定义域20190m ->，切记解函数抽象不等式要优先考虑定义域.3．A解析：A 【分析】根据条件变形可知()()F x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，转化()0F x '≤恒成立，即可求解. 【详解】 不妨设()()121212,1,f x f x x x x x -<<-可得()()1122.f x x f x x ->-令()(),F x f x x =-则()F x 在区间[]1,2上单调递减， 所以()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，()()2110,x ae x F x x --≤'=当1x =时，,a R ∈当(]1,2x ∈时，()()21xx a g x e x ≤=-， 而()()()222201x x x x g x e x -'-+=<-，所以()g x 在区间[]1,2上单调递减，则()()2min 42g x g e ==， 所以24,a e ⎛⎤∈-∞⎥⎝⎦. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题中[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，可转化为函数()()F x f x x =-递减是解题的关键，突破此点后，利用导数()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，分离参数就可求解.4．B解析：B 【分析】构造函数()()xg x e f x =，根据题意，可得函数()g x 的奇偶性，根据0x <时()()0f x f x +'>，对函数()g x 求导，可得函数()g x 的单调性，将()()211a e f a f a +≥+，左右同乘1a e +，可得()()211211a a e f a e f a +++≥+，即()()211g a g a +≥+，利用()g x 的性质，即可求得答案.【详解】 ∵()()2x f x e f x -=，∴()()()x x xf xe f x e f x e --==-， 令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数， 当0x <时()()0f x f x +'>，∴()()()'0xx e f x f x g '+⎡⎤⎣⎦>=，即函数()g x 在(),0-∞上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在()0,∞+上单调递减， ∵()()211ae f a f a +≥+，∴()()211211a a ef a e f a +++≥+，∴()()211g a g a +≥+，即211a a +≤+， 解得，203a -≤≤， 故选：B . 【点睛】解题的关键是将题干条件转化为()()()x x xf x e f x e f x e--==-，根据左右相同的形式，构造函数()()xg x e f x =，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于()()211a e f a f a +≥+，不符合函数()g x 的形式，需左右同乘1a e +，方可利用函数()g x 的性质求解，属中档题.5．B解析：B 【分析】令ln xy x=，问题转化为函数在(0,)t 递增，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出t 的最大值即可． 【详解】0a b t <<<，ln ln b a a b <，∴ln ln a ba b<，()a b <， 令ln xy x=，则函数在(0,)t 递增， 故21ln 0xy x -'=>， 解得：0x e <<，所以(0,)t 是(0,)e 的子集，可得0t e <≤，故t 的最大值是e ， 故选：B ． 【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围．6．D解析：D 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线22260x y ln +--=上，则221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．求出d 的最小值为两直线平行时的距离，即可得到M 的最小值，并可求出此时对应的2x 从而得解． 【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线24220x y ln +--=上，221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方．由2y lnx x =-+，得11y x'=-，与直线22260x y ln +--=平行的直线的斜率为12k =-．令1112x -=-，得2x =，则切点坐标为(2,2)ln ，切点(2,2)ln 到直线22260x y ln +--=的距离d == 即221212()()M x x y y =-+-的最小值为165． 又过(2,2)ln 且与22260x y ln +--=垂直的直线为22(2)y ln x -=-，即2420x y ln --+=，联立222602420x y ln x y ln +--=⎧⎨--+=⎩，解得145x =，即当M 最小时，2145x =． 故选：D ．【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题．7．B解析：B 【分析】由已知条件得函数()f x 为偶函数，引入()()g x xf x =，利用导数可得(0,)+∞上()g x 为增函数，结合(2)0=g 可解不等式()0>g x ，从而得()0f x >在(0,)+∞上的解，再由偶函数得出结论． 【详解】由()()1221f x f x -=-，可知()f x 为偶函数，构造新函数()()g x xf x =，则()()()g x xf x f x ''=+，当0x >时()0g x '>. 所以()()g x xf x =在()0,∞+上单调递增，又()20f =，即()20g =. 所以由()()0g x xf x =>可得2x >，此时()0f x >.又()f x 为偶函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为()(),22,-∞-+∞.故选：B ． 【点睛】本题考查的奇偶性与单调性，考查由导数确定函数的单调性，具有奇偶性的函数的不等式求解时，如果是偶函数，可利用单调性求出(0,)+∞上的解，然后再利用奇偶性得出{|0}x x ≠上的解集，如果是奇函数可由奇函数定义得出函数在R 上的单调性，然后由单调性解不等式．8．C解析：C 【分析】当2x ≥时，利用导数研究函数的单调性，()()g x f x m =-有两个零点，即()y f x =的图象与直线y m =有两个交点，结合函数图象，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：当2x ≥时，设()22x x x h x e +=，则()()()2222222x x x xx e x x e x h x e e +-+-'==-， 易知当2x >时，()0h x '<，即()h x 是减函数，∴2x =时，()()2max 82h eh x ==， 又x →+∞时，()0h x →且()0h x >，而2x ≤时，()2f x x =+是增函数，()24f =．()()g x f x m =-有两个零点，即()y f x =的图象与直线y m =有两个交点，函数()22,22,2xx xxf x ex x⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩的图象如下所示：所以280me<<．故选:C．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数方程思想与数形结合思想，属于中档题. 9．B解析：B【分析】先对函数()f x求导，采用赋值的方式计算出()0f'的结果，由此计算出6fπ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()()20sin1f x x f x''=-+，所以令0x=，则()01f'=，所以()2sin1f x x x'=-+，则66fππ⎛⎫'=⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】本题考查导数中的计算，采用赋值法求解出函数解析中的未知量是解答的关键，难度一般. 10．C解析：C【分析】利用()()'2,0f fπ确定正确选项.【详解】()23sin 222cos 2202f ππππππ=+⋅=>，由此排除BD 选项. 当0x ≥时，()3sin cos 2xxf x x x =+， ()'3cos 3ln 2sin cos sin 2xx xf x x x x -⋅=+-，()'031040f =+-=>，由此排除A 选项.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图象识别，考查导数的运用.11．D解析：D 【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线， 当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-， 故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.12．B解析：B 【解析】分析：先根据图像求出()1f x e '≤，即得()0f x '≤，也即得结果. 详解：因为当2x ≤时，()1f x e '≤，所以当2x ≤时，()0f x '≤， 所以()y f x =的单调减区间是(),2-∞， 选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.二、填空题13．【分析】令对其求导由时可知从而在上单调递减由的奇偶性可得是定义域上的偶函数从而可得出在上的单调性再结合可求出的解集【详解】由题意令则因为时则故在上单调递减又是定义在上的奇函数所以所以即是上的偶函数根 解析：()()1,00,1-【分析】 令()()f xg x x=，对其求导，由0x >时，()()xf x f x '<，可知()0g x '<，从而()g x 在()0,∞+上单调递减，由()f x 的奇偶性，可得()g x 是定义域上的偶函数，从而可得出()g x 在(),0-∞上的单调性，再结合()()110g g -==，可求出()0g x >的解集.【详解】 由题意，令()()f x g x x =，则()()()2xf x f x g x x'-'=， 因为0x >时，()()xf x f x '<，则()()()20xf x f x g x x'-'=<，故()g x 在()0,∞+上单调递减，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，即()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据偶函数的对称性，可知()g x 在(),0-∞上单调递增，且()()()11101f g g -===，所以()()1,00,1x ∈-时，()0g x >.故答案为：()()1,00,1-.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数()()f xg x x=，求导并结合当0x >时，()()xf x f x '<，可求出函数()g x 在()0,∞+上的单调性，再结合函数的奇偶性，可求出()g x 在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．14．【分析】先求导根据单调性求函数最大值即可【详解】因为当时函数递增当时函数递减所以故答案为：【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较取其最小或最大不确定时要分类讨论解析：2π 【分析】 先求导，根据单调性求函数最大值即可. 【详解】因为()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=， 当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，函数()f x 递增， 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f x '<，函数()f x 递减， 所以max ()sin cos 22222f x f πππππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2π． 【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论.15．【分析】根据题意将问题转化为以在区间上恒成立再分类讨论即可得答案【详解】解：因为函数在上单调递增所以在区间上恒成立当时显然在区间上恒成立当时因为在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以 解析：()[),01,-∞+∞【分析】根据题意将问题转化为以()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立，再分类讨论即可得答案. 【详解】解：因为函数1()f x x ax=+在(),1-∞-上单调递增， 所以()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 当0a <时，显然()22211'10ax f x ax ax -=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 当0a >时，因为()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立， 所以210ax -≥在区间(),1-∞-上恒成立， 所以21≥a x在区间(),1-∞-上恒成立， 所以2max11a x ⎛⎫≥=⎪⎝⎭ 综上实数a 的取值范围是()[),01,-∞+∞故答案为：()[),01,-∞+∞【点睛】本题考查根据函数在区间上单调求参数范围问题，考查化归转化思想与数学运算能力，是中档题.16．【分析】先根据极值列方程组解得值再代入验证即可确定结果【详解】解∵函数∴又∵函数当时有极值10∴∴或当时有不等的实根满足题意；当时有两个相等的实根不满足题意；∴【点睛】本题考查根据极值求参数考查基本 解析：7a b +=【分析】先根据极值列方程组解得a b ，值，再代入验证，即可确定结果. 【详解】解∵函数322()f x x ax bx a =--+∴2()32f x x ax b '=--，又∵函数322()f x x ax bx a =--+，当1x =时有极值10，∴2320110a b a b a --=⎧⎨--+=⎩，∴411a b =-⎧⎨=⎩或33a b =⎧⎨=-⎩当411a b =-⎧⎨=⎩时，2()32(1)(311)0f x x ax b x x '=--=-+=有不等的实根满足题意； 当33a b =⎧⎨=-⎩时，22()323(1)0f x x ax b x '=--=-=有两个相等的实根，不满足题意； ∴7a b +=【点睛】本题考查根据极值求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.17．【分析】设则存在两个整数使得利用导数分析函数的单调性与极值作出函数的图象可得出关于的不等式组进而可求得实数的取值范围【详解】设由题意可知存在两个整数使得当时；当时函数的最小值为而直线恒过定点如下图所解析：253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】 设()()21xg x ex =-，y ax a =-，则存在两个整数1x 、2x ，使得()()1122g x ax ag x ax a ⎧<-⎪⎨<-⎪⎩，利用导数分析函数()y g x =的单调性与极值，作出函数()y g x =的图象，可得出关于a 的不等式组，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】 设()()21xg x ex =-，y ax a =-，由题意可知，存在两个整数1x 、2x 使得()()1122g x ax a g x ax a ⎧<-⎪⎨<-⎪⎩，()()21x g x e x '=+，当21x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.∴函数()y g x =的最小值为()min 12g x g e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()01g =-，()10g e =>，而直线y ax a =-恒过定点()1,0，如下图所示：则满足不等式()0f x <的两个整数解应分别为11x =-，20x =，所以()()1223g a g a ⎧-<-⎪⎨-≥-⎪⎩，即23253a ea e ⎧->-⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩，解得25332a e e ≤<. 因此，实数a 的取值范围是253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查利用导数研究函数不等式的整数解问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.18．【解析】【分析】利用导数二次函数的性质研究函数的单调性由单调性求得函数在上的最值【详解】因为所以利用导数的符号可得函数的增区间为减区间为因为所以在上单调递增在上单调递减当时函数取得最大值所以所以可得 解析：16-【解析】 【分析】利用导数、二次函数的性质研究函数的单调性，由单调性求得函数在[2,2]-上的最值. 【详解】因为32()3f x x x a =-+，所以2'()363(2)f x x x x x =-=-，利用导数的符号，可得函数的增区间为(,0),(2,)-∞+∞，减区间为(0,2)， 因为[2,2]x ∈-，所以()f x 在[2,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减， 当0x =时，函数取得最大值4a =， 所以32()34f x x x =-+，所以(2)812416f -=--+=-，(2)81240f =-+=， 可得当2x =-时，函数取得最小值为16-， 故答案是：16-. 【点睛】该题考查的是有关求函数在某个区间上的最小值的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数最值问题，属于简单题目.19．【分析】求出分三种讨论函数的单调性可得函数的最小值从而得到的值【详解】当时为减函数故解得舍；当时为减函数故舍；当时若故在上为减函数；若故在上为增函数；所以故符合；综上故填【点睛】求函数的最值应结合函 解析：e【分析】 求出'()f x ，分0m ≤，10m e <≤，1m e>三种讨论函数的单调性可得函数的最小值，从而得到m 的值. 【详解】()1'(),0,mx f x x e x-=∈， 当0m ≤时，'()0f x <，()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈为减函数，故 ()min 12f x me =-=，解得3m e=，舍；当10m e<≤时，'()0f x <，()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈为减函数，()()min 12f x f e me ==-=，故3m e=，舍；当1m e >时，若10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，'()0f x <，故()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数； 若1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，'()0f x >，故()f x 在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数； 所以min 11()ln 2f x m m m=⨯-=，故m e =，符合； 综上，m e =，故填e . 【点睛】求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，如果导数的符号还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导函数），再利用导数判断其符号．20．-1【解析】分析：先求导数解得代入解得详解：因为所以所以因此点睛：利用导数的几何意义解题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化解析：-1. 【解析】分析：先求导数，解得()'f e ，代入解得()f e . 详解：因为()()2'ln f x xf e x =+，所以1()2()f x f e x''=+ 所以11()2()(),f e f e f e e e''+∴=-'= 因此1()2()ln 1.f e e e e=-+=-，点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.三、解答题21．（1）210x y -+=；（2）4927． 【分析】（1）当2a =时，求得函数的导数2()32f x x x '=-+，得到(0)2f '=，即可求解曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）由函数在1x =处有极小值，求得2a =-，得到2()32f x x x '=--，根据导数的符号，求得函数的单调性，进而求得函数的最大值，得到答案. 【详解】（1）当2a =时，函数321()212f x x x x =-++， 可得2()32f x x x '=-+，可得(0)2f '=又由()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程12(0)y x -=-，即210x y -+=.（2）由321()12f x x x ax =-++，可得2()3f x x x a '=-+， 因为函数在1x =处有极小值，可得(1)20f a '=+=，解得2a =-，此时321()212f x x x x =--+，且2()32f x x x '=--， 令()0f x '=，即2320x x --=，解得23x =-或1x =，当23x <-或1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当213x -<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以函数()f x 在23(2,),(1,)32--上单调递增，在区间2(,1)3-上单调递减， 所以()11,(2)52f f =--=-， 因为24931(),()32724f f -==， 所以函数()f x 的最大值为249()327f -=. 【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 22．（1）()2max 12e f x =+；()min 12f x =；（2）证明见解析.【分析】（1）利用导数，判断函数的单调区间，再求函数的最值；（2）利用导数证明函数3221()()()ln 032h x g x f x x x x =-=-->恒成立，即证明()min 0h x >. 【详解】（1）1()f x x x'=+当[1,e]x ∈时，()0f x '>，∴() f x 在[1,]e 递增()2max()12e f x f e ==+()min 1(1)2f x f ==（2）令3221()()()ln 32h x g x f x x x x =-=-- 21()2h x x x x'=--()()323232111x x x x x x x--==-+-()21(1)21x x x x=-++ ∵1x >，∴()0h x '>∴()h x '在(1,)+∞上递增()min 211(1)0326h x h ==-=> ∴()g x 的图像在()f x 的上方，∴()f x 在区间(1,)+∞上被函数()g x 覆盖． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等主要方法有两个，比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 23．（1）1x =是函数的极大值点，无极小值点；（2）[)1,+∞．【分析】（1）求得()g x ，进而得到()g x '，判断()g x '与0的关系即可得出函数()g x 的单调区间，得极值点；（2）引入新函数()()22m m x f x x =-，依题意可得函数()m x 在()0,∞+上单调递减，求导可知1ln xm x+≥在()0,∞+上恒成立，结合函数()g x 的单调性，求得()g x 在()0,∞+上的最大值，即可得到实数m 的取值范围．【详解】 解：（1）()1ln f x x '=+，()1ln xg x x+=， ()2ln xg x x∴'=-， 显然，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，∴函数()g x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞，故1x =是函数的极大值点；（2）对于()()()2221212m x x f x f x ->-可化为()()22112222m m f x x f x x ->-， 令()()22m m x f x x =-，210x x >>，()m x ∴在()0,∞+上单调递减，()1ln 0m x x mx ∴'=+-≤在()0,∞+上恒成立，即1ln xm x+≥， 又()1ln xg x x+=在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ()g x ∴的最大值为()11g =，1m ∴≥，即实数m 的取值范围为[)1,+∞．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立求参数的取值范围，解题关键是引入新函数()()22m m x f x x =-，已知不等式说明了此函数的单调性，由导数根据此函数单调性可求得参数范围． 24．（1）1c ≥-．（2）答案见解析． 【分析】（1）不等式变形为()2f x x c -≤，求出()2f x x -的最大值后可得c 的范围；（2）求出导函数()'f x ，确定()'f x 的正负，得()f x 的单调性．【详解】（1）()f x 定义域是(0,)+∞，由()2f x x c ≤+得，2ln 12c x x ≥+-，设()2ln 12g x x x =+-，则22(1)()2x g x x x-'=-=， 当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<， ∴()g x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，∴max ()(1)2ln1121g x g ==+-=-，∴1c ≥-．（2）()()=ln f x x mx m m -+∈R ，定义域是(0,)+∞，1()f x m x'=-， 当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上递增， 当0m >时，1()()m x m f x x -'=，当10x m <<时，()0f x '>，1x m >时，()0f x '<， ∴()f x 在1(0,)m 上递增，在1(,)m +∞上递减．综上，0m ≤时，()f x 的增区间是(0,)+∞，0m >时，()f x 的增区间是1(0,)m ，减区间是1(,)m +∞． 【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．（1）已知()f x 的导函数是()'f x ，解不等式()0f x '>可得增区间，()0f x '<可得减区间．（2）()f x m ≥恒成立，则min ()m f x ≤，若()f x m ≤恒成立，则max ()m f x ≥． 25．（1）30x y +-=；（2）max 1()21f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()min (2)1ln 2f x f ==+【分析】（1）由()2ln f x x x=+得()12f =，切点为()1,2，由()212f x x x '=-，求出()11f '=-即为斜率，即可写出在点()()1,1f 处的切线方程.（2）根据导数判断()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性，即可求出最值. 【详解】由()2ln f x x x=+得()12f =，所以切点为()1,2，因为()212f x x x'=-，所以()11f '=-， 曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()2(1)1y x -=--，即30x y +-= ，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：30x y +-=.（2）()22122x f x x x x='-=-， 由()0f x '>得2x e <<， 由()0f x '<得12x e<<， 所以()f x 在1,2e⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()2,e 单调递增，所以()min (2)1ln 2f x f ==+， 121f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()21f e e =+ ()1f f e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以max 1()21f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 综上所述：()min (2)1ln 2f x f ==+，max 1()21f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求函数的单调性和最值，属于中档题.26．（1）()f x 的单调递减区为(0,1)，单调递增区间为[1,)+∞.（2）21b e -≤-【分析】（1）求导后，利用()0f x '>可得单调递增区间，()0f x '<可得单调递减区间； （2）求导后，利用()01f '=可得1a =，将()2f x bx ≥-转化为1ln 1x b x x ≤+-，构造函数1ln ()1x g x x x=+-，利用导数求出()g x 的最小值即可得解. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为1a =，所以()1ln =--f x x x ， 所以1()1f x x '=-1x x-=， 令()0f x '>，得1x >，令()0f x '<，得01x <<， 所以()f x 的单调递减区为(0,1)，单调递增区间为[1,)+∞.（2）因为11()ax f x a x x'-=-=，且函数()f x 在1x =处取得极值，所以()01f '=，即10a -=，解得1a =，由（1）知，1a =满足题意，所以()1ln =--f x x x ，由已知对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，得1ln 2x x bx --≥-， 即1ln 1x b x x≤+-对()0,x ∀∈+∞恒成立，， 令1ln ()1x g x x x=+-，则2211ln ()x g x x x -'=--2ln 2x x -=， 令()0g x '>，得2x e >，令()0g x '<，得20x e <<， 所以()g x 在2(0,)e 上递减，在2[,)e +∞上递增，所以当2x e =时，()g x 取得最小值，最小值为22222121()111g e e e e e-=+-=-=-， 所以21b e -≤-.【点睛】 本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用函数的极值求参数，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题.。
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2单元测试 第2章推理与证明
第2章过关检测(时间90分钟，满分100分)一、填空题(本大题共14小题，每小题4分，满分56分)1．如果f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 010)f (2 009)等于__________．2．若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比为：S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ和OR 上分别有点P 1、P 2与点Q 1、Q 2和R 1、R 2，则类似的结论为：__________.3．根据图中的5个图形及相应的点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有__________个点．4．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的．”中的“小前提”是__________．5．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则S (n )共有__________项，S (2)＝__________.6．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1， 则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时等式成立． 由此可知对任何n ∈N *，等式都成立． 上述证明的错误是__________．7．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N *)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有①F (8)不真；②F (8)真；③F (6)不真；④F (6)真；⑤F (5)不真；⑥F (5)真．其中真命题是__________．8．从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出一般的式子是__________．9．已知a ＞b ＞0，且ab ＝1，若0＜c ＜1，p ＝log c a 2＋b 22，q ＝log c (1a ＋b )2，则p 、q的大小关系是__________．10．在椭圆中，我们有如下结论：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上斜率为1的弦的中点在直线x a 2＋yb 2＝0上，类比上述结论，得到正确的结论为：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上斜率为1的弦的中点在直线__________上．11．在等差数列{a n }中，当a r ＝a s (r ≠s )时，数列{a n }必定是常数列．然而在等比数列{a n }中，对某些正整数r ，s (r ≠s )，当a r ＝a s 时，非常数数列{a n }的一个例子是__________．12．将正奇数排列如下表，其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *，j ∈N *)，例如a 32＝9，a ij＝2 009，则i ＋j ＝__________.13．在平面上的n 个圆中，每两个圆都相交，每三个圆不交于一点，则它们把平面分成__________部分．14．{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a n ＋1a n ＝(a n －1＋2)(a n －2＋2)，n ＝3,4,5，…，则a 3＝__________.二、解答题(本大题共4小题，满分44分)15．(10分)如图，已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a .求证：b 与c 是异面直线．16.(10分)已知数列{a n}满足a1＝1，且4a n＋1－a n a n＋1＋2a n＝9(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)由(1)猜想{a n}的通项公式a n，并用数学归纳法证明你的猜想．17．(12分)下列命题是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则b2－aca＜ 3.18．(12分)已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，是否存在自然数m ，使对任意n ∈N *，都有m 整除f (n )？若存在，求出最大值的m 值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．参考答案1．2 009 解析：令x ＝n (n ∈N *)，y ＝1得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝f (n )，所以f (n ＋1)f (n )＝1，所以f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 010)f (2 009)＝1＋1＋…＋1＝2 009. 2.VO —P 1Q 1R 1VO —P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 23．n 2－n ＋1 解析：如设第n 个图中的点数为a n ，则有a 1＝1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝32－2，a 4＝13＝42－3，a 5＝21＝52－4.故a n ＝n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1.4．② 解析：①的意思是：如果船不准时起航，那么它就不能准时到达目的港，它的逆否命题是：如果船准时到达目的港，那么它是准时起航．由此可知，①是大前提，②是小前题．5．n 2－n ＋1 1312解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个自然数，即S (n )共有n 2－n ＋1项．S (2)＝12＋13＋14＝1312. 6．在证明n ＝k ＋1时，没有用假设n ＝k 时的结论7．③⑤ 解析：“F (k )真⇒F (k ＋1)真”等价于“F (k ＋1)假⇒F (k )假”．8．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2(n ∈N *) 解析：1－4＝－(1＋2)＝(－1)2－1·2(2＋1)2，1－4＋9＝1＋2＋3＝(－1)3－13(3＋1)2，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)＝(－1)4－14(4＋1)2，由此可归纳出结论． 9．p ＞q 解析：∵a 2＋b 22≥ab ＝1，∴p ＝log c a 2＋b 22＜0.又q ＝log c (1a ＋b )2＝log c 1a ＋b ＋2ab＞log c 14ab ＝log c 14＞0，∴q ＞p . 10.x a 2－yb2＝0 11．1，－1,1，－1，…(不唯一)12．60 解析：2 009是正奇数1,3,5，…中的第1 005个，则1 005＝1＋2＋3＋…＋(i －1)＋j ＝(i －1)i2＋j .估算：当i ＝45时，(i －1)i2＝990，j ＝15，所以i ＋j ＝60.13．n 2－n ＋2 解析：n ＝1时，a 1＝2； n ＝2时，a 2＝4＝a 1＋2＝a 1＋2×1； n ＝3时，a 3＝8＝a 2＋4＝a 2＋2×2； n ＝4时，a 4＝14＝a 3＋6＝a 3＋2×3； …a n ＋1＝a n ＋2n .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2a n ＋1＝a n＋2n⇒a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2×1＋2＝n 2－n ＋2.14．2 解析：由已知a 4a 3＝(a 2＋2)(a 1＋2)＝5×2＝10×1， ∴a 3可能取值1,2,5,10. 若a 3＝1，a 4＝10，从而a 5＝(a 3＋2)(a 2＋2)a 4＝1510＝32，显然a 5不是非负整数，与题设矛盾． 若a 3＝10，则a 4＝1，从而a 5＝60. 但再计算a 6＝35，也与题设矛盾．∴a 3＝2，a 4＝5(或a 3＝5，a 4＝2⇒a 5∉N *，舍去)． 15．证明：假设b 、c 不是异面直线，即b 与c 共面， 设b 与c 确定的平面为γ，则γ∩α＝b ，γ∩β＝c ， ∵a ∥c ，∴α∥γ.又a ⊂α，且α∩γ＝b ， ∴a ∥b ，这与a ∩b ＝A 矛盾．因此b 与c 不可能共面，故b 与c 是异面直线． 16．解：(1)由4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9得 a n ＋1＝9－2a n 4－a n ＝2－1a n －4，求得a 2＝73，a 3＝135，a 4＝197.(2)猜想a n ＝6n －52n －1.证明：①当n ＝1时，猜想成立．②设当n ＝k 时(k ∈N ＋)时，猜想成立，即a k ＝6k －52k －1，则当n ＝k ＋1时，有a k ＋1＝2－1a k －4＝2－16k －52k －1－4＝6k ＋12k ＋1＝6(k ＋1)－52(k ＋1)－1，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．③综合①②，猜想对任何n ∈N ＋都成立． 17．解：此命题是真命题．∵a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0. 要证b 2－ac a ＜3成立，只要证b 2－ac ＜3a ，即证b 2－ac ＜3a 2，也就是证(a ＋c )2－ac ＜3a 2，即证(a－c)(2a＋c)＞0，∵a－c＞0,2a＋c＝(a＋c)＋a＝a－b＞0，∴(a－c)(2a＋c)＞0成立．故原不等式成立．18．解：由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，f(4)＝1 224，猜想f(n)被36整除．证明：①当n＝1时，猜想显然成立．②设n＝k时，f(k)能被36整除．则n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，根据假设3[2(k＋7)·3k＋9]被36整除，而3k－1－1是偶数，∴18(3k－1－1)能被36整除，从而f(k＋1)能被36整除．综上所述，n∈N*时，f(n)能被36整除，由于f(1)＝36，故36是整除f(n)的自然数中的最大数．。
高中数学选修2-2模块测试试题(北师大)
金陵寺中学2013－2014学年度第二学期上半学期高二数学（选修2-2）模块测试试题说明：1．本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷50分，第II 卷100分，共150分；答题时间120分钟．2．试题作答要卷面整齐，书写在规定位置。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1．复数73ii -=+（ ）A.2i +B.2i -C.2i -+D.2i --2. 曲线2x y =在(1,1)处的切线方程是（ ）A. 230x y ++=B. 032=--y xC. 210x y ++=D. 012=--y x 3.22(cos sin )x x dx ππ-+⎰的值是（ ）A ．0B ．4πC ．4D ．24．一物体运动方程为2()323s t t t =-+，那么物体在 3t =秒末的瞬时速度为（）A ．8B ．10C ． 16D ． 245．曲线212y x =在点1(1,)2处切线的倾斜角为（ ）A ．4π- B ．1 C ．4πD ．34π6．设21sin x y x -=，则'y =（ ）A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．x xx x x 22sin cos )1(sin 2-+-C ．x x x x sin )1(sin 22-+-D ．x x x x sin )1(sin 22---7．函数32()29121f x x x x =-++的单调减区间为（ ）A ．（1，2）B ．(,1)-∞C ．(2,)+∞D ．(,1),(2,)-∞+∞8．函数23()(1)1f x x =-+在1x =-处（ ）A ．有极大值B ．有极小值C ．无极值D ．无法确定极值情况9．函数32()26187f x x x x =---在区间[1，4]上的最小值为（ ）A ．-64B ．-61C ．-51D ． -5610．已知函数1213243'''()sin ,()(),()(),()(),f x x f x f x f x f x f x f x ====，1'()(),n n f x f x -=则2009()f x 等于（ ）A ．cos x -B ．sin x -C ．cos xD ．sin x 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸中的横线上）11．观察下面的几个算式，找出规律。
高二数学第一章推理与证明单元测试题及答案
高二数学选修2-2《推理与证明》质量检测试题参赛试卷 姓名：_________班级：________ 得分：________第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
. 2．由10>8，11>10，25>21，…若a >b >0且m >0，则a ＋m 与a 之间大小关系为( )A ．相等B ．前者大C ．后者大D ．不确定3、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。
(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
5、用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 （ ）A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．122++k k 6、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=8时该命题不成立D ．当n=8时该命题成立7、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211nn n n +++++=-++-+-时，若已假设2(≥=k k n 为偶 数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立8、在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 20049、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是（ ） A ．12 B.13 C.14 D.1510、数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想当n ≥1时，S n =（ ） A ．1212-+n nB ．1212--n nC ．nn n 2)1(+ D ．1－121-n二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）11、设等差数列{a n }的前n 项和为S n , 则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．12、设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f = ；当ｎ＞４时，()f n ＝ （用含n 的数学表达式表示）。
高中数学 排列组合单元试卷 新人教A版选修2
高二数学 排列组合单元测试卷一、选择题（每题4分，共计60分）1．5人站成一排照相，甲不站在排头的排法有（ ）A ．24种B ．72种C ．96种D ．120种 2．*N k ∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为（ ）A ．5079k k A --B ．2979k A -C ．3079k A - D ．3050k A -3．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有（ ）A ．3种B ．6种C ．1种D ．27种4．若532m mA A =，则m 的值为 （ ） ()A 5 ()B 3 ()C 6 ()D 75．由0，1，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（ ）A ．9B ．21C ． 24D ．426．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，有 _____种不同的种植方法7．五种不同商品在货架上排成一排，其中,A B 两种必须连排，而,C D 两种不能连排，则不同的排法共有（ ）A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种8.6名学生承担6项任务，每人承担一项，如果甲不承担其中某两项任务，那么不同的分配方法的种数是（ ）A ．96种B ．480种C ．720种D ．5400种9.学校的五位领导从周一至周五安排值班，其中甲不能安排在周三，乙不能安排在周一，则不同的安排方法有（ ）种.A ．36种B ．78种C ．120种D ．210种10.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数中任取出4个数，使它们的和为奇数，共有（ ）种取法.A ．40种B ．50种C ．60种D ．72种11．方程382828x x C C -=的解集为（ ） A ．{}4 B ．{}9 C ．φ D ．{}4,912.某篮球队有9名队员，其中有2名是主力队员，现要选5名队员出场，其中主力必须出场，则不同的选法共有（ ）A ．21种B ．35种C ．84种D ．126种13.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）Ａ 36种 Ｂ 48种 Ｃ 96种 Ｄ 192种14 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A 40种 B 60种 C 100种 D 120种15．5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同分法的种数为( ) A 78种 B 96种 C 120种 D 240种 二、填空题（21题每空2分，其余各题，每题4分，共计40分） 16．给出下列问题：①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少中不同的票价？③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？ 以上问题中，属于排列问题的是 （填写问题的编号） 17.一名老师和4名同学排成一排照相留念，若老师不站两端，则共有 种不同的排法. 18.用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的五位数，且2与3不相邻的五位数有个.19.将3封不同的信投入4个邮箱，共有 种不同的投法。
人教版新课标高中数学选修2-2《导数及其应用》单元测试题(含答案)
11 Oyx导数单元测试题 2014.3.12一、选择题(共10小题，每小题5分,共50分)1. 函数3(21)y x =+在0x =处的导数是 （ ） A.0B.1C.3D.62．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是 （ ）A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x3．设函数()f x 的导函数为()f x '，且2()2'(1)f x x x f =+⋅，则'(0)f 等于 ( )A ．0 B. -4 C. -2 D. 2 4. 给出以下命题：① 若()0b af x dx >⎰，则()0f x >； ②20sin 4x dx =⎰π；③()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 0 5．函数313y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3C. 极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值26. 若函数32()33f x x bx b =-+在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是（ ）A. 02b <<B. 2b <C. 0b >D. 102b << 7. 方程0109623=-+-x x x 的实根个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．08. 已知自由下落物体的速度为V gt =，则物体从0t =到0t 所走过的路程为（ ）A ．2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．2014gt 9．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 10．已知函数(1)()y x f x '=-的图象如图所示，其中()f x '为函数()f x 的导函数，则()y f x =的大致图象是( )二、填空题(共4小题，每小题5分,共20分)11.dx x ⎰--3329= , dx x x ⎰+20)sin (π＝ .12. 已知曲线323610y x x x =++-上一点P ，则过曲线上P 点的所有切线方程中，斜率最小的切线方程是 .13．由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积为 . 14．已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集 .三、解答题15．（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在2x =-处取得极值,并且它的图象与直线33y x =-+ 在点( 1 , 0 ) 处相切, 求,,a b c 的值.16．（本小题满分12分）平面向量13(3,1),(,)22a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t 使2(3),x a t b y ka tb =+-=-+且x y ⊥，试确定函数()k f t =的单调区间.17.（本小题满分12分）已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)， 如图所示.求：（1）0x 的值； （2）,,a b c 的值. （3）若曲线=y )(x f )20(≤≤x 与m y =有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分13分）已知函数()32f x x ax bx c =-+++图像上的点),1(m P 处的切线方程为31y x =-+．（1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式； （2）函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围.19．（本小题满分13分）定义在定义域D 内的函数)(x f y =，若对任意的D x x ∈21,都有12|()()|1f x f x -<，则称函数)(x f y =为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”.试问函数]1,1[()(3-∈+-=x a x x x f ,R a ∈)是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由.20．（本小题满分13分） 设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．周三练习题答案1—5 DDBBC 6—10 DCACB11. 92π,218π+ 12.3110x y --=13. 1 14. (,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞15.'2'2'2:()32(2)3(2)2(2)01240(1)3231,8()(1,0)1106f x x ax b f a b a b f a b a b f x a b c c =++∴-=-+-+=∴-+==++=-∴==-∴+⨯+⨯+=∴=3解又又过点,116．解：由13(3,1),(,)22a b =-=得0,2,1a b a b === 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=33311430,(3),()(3)44k t t k t t f t t t -+-==-=- （t ≠0）'233()0,1,144f t t t t =-><->得或；2330,1144t t -<-<<得 且 t ≠0所以增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；减区间为(1,0),(0,1)-。
人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数(),0,,0.lnx x f x kx x >⎧=⎨≤⎩，若0x R ∃∈使得()()00 f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞B ．1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2．已知奇函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，且()11f =-，则“1x >-”是“()1xf x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件.3．已知函数2()85f x x x =---，()x e exg x ex+=，实数m ，n 满足0m n <<，若1x ∀∈[],m n ，2x ∃∈()0,∞+，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．D ．4．已知函数()2ln f x ax x x -=-有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．()0,1C ．21,e e +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．210,e e +⎛⎫⎪⎝⎭5．已知a R ∈，0b ≠，若x b =是函数()()()2f x x b x ax b =-++的极小值点，则实数b 的取值范围为（ ）A ．1b <且0b ≠B ．1b >C ．2b <且0b ≠D ．2b >6．设()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数，()f x '为其导函数，已知()()1221f x f x -=-，()20f -=，当0x >时，()()xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()(),22,-∞-+∞C ．()(),20,2-∞-D ．()()0,22,+∞7．已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π4a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π33b f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<8．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=+⋅的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数()f x 有极大值()3f -和极小值()2fB ．函数()f x 有极大值()1f -和极小值()2fC ．函数()f x 在()3,2x ∈--单调递增D ．函数()f x 在()1,2x ∈单调递增9．若函数()33=-f x x x 在区间()5,21a a -+上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,4- B ．()1,4- C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭10．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7B ．4C ．0D ．﹣411．已知()f x 的定义域为(0,)+∞，fx 为()f x 的导函数，且满足()()'f x xf x <-，则不等式(1)(1)f x x +>-()21f x -的解集是（ ）A ．0,1B ．2,C ．1,2D ．1,12．已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()()0,1,4,+∞C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,4)二、填空题13．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c 与时间t 的关系为()c f t =，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t 变化的关系如下图所示．给出下列四个结论：① 在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；② 在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；③ 在23[,]t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； ④ 在12[,]t t ,23[,]t t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同. 其中所有正确结论的序号是_____．14．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数.若()()()2202020202f m m f ->-，则实数m 的取值范围为______.15．已知()f x '是函数()()322113f x mx m x n x =-+-+的导函数，若函数()x y f f '=⎡⎤⎣⎦在区间[],1m m +上单调递减，则实数m 的范围是______.16．若点()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+=⎨>⎩的图象上任意两点，且函数()f x 分别在点A 和点B 处的切线互相垂直，则12x x 的最小值为______． 17．已知函数()ln 2f x x x =-+，存在(]00,4x ∈，使得()0f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是________． 18．若()()21ln 22f x x b x =-++在()1,-+∞上是减函数，则b 的取值范围是________． 19．已知函数(a ≤0)，函数，若不存在，使，则实数的取值范围为___．20．已知函数()()221f x x xf '=+，则()1f 的值为__________．三、解答题21．已知函数1()(2)ln 2f x a x ax x=-++， （1）当2a =时，求函数()f x 的极值； （2）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（3）若对a ∀∈(-3，-2)，12,x x ∈[1，3] ，不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知函数()2()2xx f x xe a x a R ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）当1a =时，求函数()f x 的极值； （2）讨论函数()f x 的单调性.23．已知函数32()f x x ax bx c =+++在0x 处取得极小值32-，其导函数为()'f x ．当x 变化时，()'f x 变化情况如下表：（1）求0x 的值； （2）求,,a b c 的值．24．设函数32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f --的切线方程为123y x =+，求a ，b 的值； （2）若()f x 在3x =处取得极值，求a 的值； （3）若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围. 25．已知函数()(0)x xf x x e=>． （1）求函数()f x 的最大值；（2）若函数()()g x f x m =-有两个零点，求实数m 的取值范围；（3）若不等式2()()0f x af x ->仅有一个整数解，求实数a 的取值范围．26．已知函数211()ln (,0)22f x x a x a R a =--∈≠. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由已知建立方程，反解出k ，将问题转化为求函数值域问题，然后利用函数的性质求出最值即可求解. 【详解】由题意可得：存在实数00x ≠，使得()()00 f x f x -=成立，假设00x >，则00x -<， 所以有00ln kx x -=， 则0ln x k x =-， 令()ln xh x x=-， 则()2ln 1x h x x -'=， 令()0h x '>，即ln 1x >， 解得x e >，令()0h x '<，即ln 1x <， 解得0x e <<，则()h x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增， 所以()()()ln 1min e h x h x h e e e≥==-=-， 所以1k e≥-， 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查了分段函数的存在性问题，构造函数，利用导函数求最值是解决本题的关键.2．B解析：B 【分析】根据奇函数的定义和单调性可确定()f x 和()f x '的符号，由奇偶性定义可知()g x 为偶函数，利用导数可确定()g x 单调性；根据()()111g g =-=，利用单调性可求得()1xf x <的解集，根据推出关系可确定结论. 【详解】()f x 为(),-∞+∞上的奇函数，∴()00f =，又()f x 单调递减，∴当0x <时，()0f x >；当0x >时，()0f x <，且()0f x '≤， 令()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，()g x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()0xf x ≤；当0x <时，()0xf x <；()()g x xf x ∴=-，()()()()()g x f x xf x f x xf x '''∴=--=-+⎡⎤⎣⎦当0x ≥时，()0f x ≤，()0g x '∴≥，()g x ∴在[)0,+∞上单调递增， 由偶函数对称性知：()g x 在(],0-∞上单调递减；()()()1111g g f =-=-=，∴由()()1g x xf x =<得：11x -<<，()()1,11,≠-⊂-+∞，∴“1x >-”是“()1xf x <”的必要不充分条件.故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查充分条件与必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件， 则q 对应的集合与p 对应集合互不包含．3．B解析：B 【分析】先用导数法研究()y g x =，然后的同一坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =的图象，根据[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立求解. 【详解】因为()x e exg x ex+=，所以()()211x x e x e g x ex ex '-⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭， 当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，()10g '=， 所以()g x 在1x =处取得极小值，且为定义域内唯一极值，()()min 12g x g ∴==.()22185()4111f x x x x -==---++≤，作函数()y f x =与()y g x =的图象， 如图所示：当()2f x =时，方程两根分别为7-和1-， 则n m -的最大值为：()176---=. 故选：B 【点睛】关键点睛：利用导数和二次函数的性质，作出图像，利用数形结合进行求解，考查了转化化归的的思想、运算求解，以及数形结合的能力，属于中档题.4．B解析：B 【分析】函数()2()ln 0f x ax x x x =-->有两个零点，即方程2ln x xa x +=有两个根，设()2ln x xg x x+=，求出()g x '，研究出函数()g x 的单调性，由()g x 的图象与y a =有两个交点，得出a 参数的范围，即得结果. 【详解】 函数()2()ln 0f x ax x x x =-->有两个零点，由题意得方程2ln x x a x +=有两个根，设()2ln x xg x x+=，则y a =与()y g x =有两个不同的交点，又()2431(1)(ln (2)12ln ）x x x x x x x g x x x +-+--'==， 设()12ln h x x x =--，则()210h x x'=--<所以()12ln h x x x =--在()0,∞+上单调递减，又(1)0h = 当()()(0,1),0,0x h x g x '∈>>，所以()g x 在(0,1)上单调递增，当()()(1,),0,0x h x g x '∈+∞<<，所以()g x 在(1,)+∞上单调递减，又(1)1g =，22111()01e g e e e e -==-<⎛⎫ ⎪⎝⎭，当(1,)x ∈+∞时，ln 0x x +>，则()0g x >，即()g x 在(1,)+∞上单调递减，但恒正. 作出函数()y g x =的大致图象如下：要使()y g x =的图象与y a =有两个交点， 所以实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.5．B解析：B 【分析】由x b =既是()f x 的极小值点，又是零点，且()f x 的最高次项系数为1，因此可设2()()()f x x b x m =-+，这样可求得1m =-，然后求出()'f x ，求得()'f x 的两个零点，一个零点是b ，另一个零点2x 必是极大值点，由2b x >可得b 的范围． 【详解】因为()0f b =，x b =是函数()f x 的极小值点，结合三次函数的图象可设2()()()f x x b x m =-+，又2()()()f x x b x ax b =-++，令0x =得22b m b =-，1m =-，即2()(1)()f x x x b =--，22()3(42)2f x x b x b b '=-+++()(32)x b x b =---，由()0f x '=得1x b =，223b x +=， x b =是极小值点，则23b +是极大值点，23b b +>，所以1b >． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围．6．B解析：B 【分析】由已知条件得函数()f x 为偶函数，引入()()g x xf x =，利用导数可得(0,)+∞上()g x 为增函数，结合(2)0=g 可解不等式()0>g x ，从而得()0f x >在(0,)+∞上的解，再由偶函数得出结论． 【详解】由()()1221f x f x -=-，可知()f x 为偶函数，构造新函数()()g x xf x =，则()()()g x xf x f x ''=+，当0x >时()0g x '>. 所以()()g x xf x =在()0,∞+上单调递增，又()20f =，即()20g =. 所以由()()0g x xf x =>可得2x >，此时()0f x >.又()f x 为偶函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为()(),22,-∞-+∞.故选：B ． 【点睛】本题考查的奇偶性与单调性，考查由导数确定函数的单调性，具有奇偶性的函数的不等式求解时，如果是偶函数，可利用单调性求出(0,)+∞上的解，然后再利用奇偶性得出{|0}x x ≠上的解集，如果是奇函数可由奇函数定义得出函数在R 上的单调性，然后由单调性解不等式．7．D解析：D 【分析】 首先设函数()()sin f x g x x=，判断函数的单调性，和奇偶性，利用函数的性质比较大小. 【详解】 设()()sin f x g x x=，()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数， 并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减，444sin 4f ag ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33333sin 3f b f g g πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--==-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，222sin 2f c fg ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即a b c >>. 故选：D 【点睛】本题考查导数与函数性质的综合应用，重点考查构造函数，利用函数的性质比较大小，属于中档题型.8．A解析：A 【分析】根据图象判断出导函数()f x '的符号，由此求得()f x 的单调区间、极大值、极小值. 【详解】当3x <-时，()()()10010x f x f x x ⎧+<⇒>⎨+<'⎩'，()f x 递增； 当31x -<<-时，()()()10010x f x f x x ⎧+>⇒<⎨+<'⎩'，()f x 递减； 当12x -<<时，()()()10010x f x f x x ⎧+<⇒<⎨+>'⎩'；当2x >时()()()10010x f x f x x ⎧+>⇒>⎨+>'⎩'，()f x 递增；综上：函数()f x 有极大值()3f -和极小值()2f . 故选：A 【点睛】本小题主要考查利用图象判断函数的单调性和极值，属于中档题.9．C解析：C 【分析】对函数()f x 进行求导，可得函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，可得()f x 的图像，由函数在区间()5,21a a -+上有最小值，数形结合可得关于a的不等式，计算可得答案. 【详解】解：由3()3f x x x =-，可得()2333(1)(1)f x x x x '=-+=--+，当11x -<<，()0f x '>，当1x <-或1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，则()f x 的图像如图所示，因为函数在区间()5,21a a -+上有最小值，故51212a a -<-<+， 解得：112a -<， 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的最值问题，体现了数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.10．A解析：A 【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ． 11．B解析：B 【分析】构造函数()()F x xf x =，再根据单调性解不等式，即得结果. 【详解】令()()F x xf x =，则()()()0F x f x xf x ''=+<，所以()F x 在(0,)+∞上单调递减(1)(1)f x x +>-()21f x -，2(1)(1)(1)x f x x ∴++>-()21f x -，2(1)(1)F x F x ∴+>-， 2011,2x x x ∴<+<-∴>，故选：B 【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.12．B解析：B 【分析】结合函数图象比较()f x 与()f x '的大小，求出()()0f x f x -<′成立的x 的范围，求出()g x 的导数，判断其与0的关系即可.【详解】结合图象：()01x ∈，和()4x ∈+∞，时，()()f x f x '<，即()()0f x f x -<′， 而()()()0xf x f xg x e -=<′′，故()g x 在()0,1，()4,+∞递减，故选B ． 【点睛】本题主要考查了数形结合思想，考查函数的单调性与导数的关系，判断()f x 与()f x '的大小是解题的关键，属于中档题.二、填空题13．①③④【分析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义结合图象判断选项【详解】①在时刻为两图象的交点即此时甲乙两人血管中的药物浓度相同故①正确；②甲乙两人在时刻的切线的斜率不相等即两人的不相同所以甲乙两人血解析：①③④ 【分析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项. 【详解】①在1t 时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在2t 时刻的切线的斜率不相等，即两人的()2f t '不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是()()3232f t f t t t --，故③正确；④在[]12,t t 时间段，甲的平均变化率是()()2121f t f t t t --，在[]23,t t 时间段，甲的平均变化率是()()3232f t f t t t --，显然不相等，故④正确.故答案为：①③④ 【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是()()f t t f t t+-.14．【分析】令求得函数的导数根据函数的单调性把题设中的不等式转化为即可求解【详解】令则因为所以所以函数在为单调递减函数又由所以即所以即所以解得综上可得实数的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了利用 解析：()2020,2022【分析】令()(),(0,)f x h x x x=∈+∞，求得函数的导数，根据函数的单调性，把题设中的不等式转化为(2020)(2)h m h ->，即可求解.【详解】令()(),(0,)f x h x x x =∈+∞，则()()2()xf x f x h x x '-=， 因为()()0xf x f x '-<，所以()0h x '<，所以函数()h x 在(0,)+∞为单调递减函数， 又由()()()2202020202f m m f ->-， 所以20200m ->，即2020m >，所以()()2020220202f m f m ->-， 即(2020)(2)h m h ->，所以20202m -<，解得2022m <， 综上可得，实数m 的取值范围为()2020,2022.故答案为：()2020,2022. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，以及函数的单调性的应用，着重考查了构造、转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.15．【分析】求出函数的导函数利用导函数研究原函数的单调区间再二次求导得从而得到的单调区间由导函数在区间上单调递增求出其值域将函数的单调性把问题转化为即可列出不等式即可求出的范围【详解】解：由函数得由得或 解析：[]1,0-【分析】求出函数()f x 的导函数，利用导函数研究原函数的单调区间，再二次求导得()22f x x m ''=-，从而得到()f x '的单调区间，由导函数在区间[m ，1]m +上单调递增求出其值域[]1,0-，将函数的单调性把问题转化为[][]1,01,1m m -⊆-+，即可列出不等式即可求出m 的范围. 【详解】解：由函数3221()(1)3f x x mx m x n =-+-+，得222()21()1f x x mx m x m '=-+-=--， 由2()10x m -->，得1x m <-或1x m >+，∴函数()f x 的增区间为(,1)m -∞-，(1,)m ++∞，由2(1)0x m --<，得11m x m -<<+，∴函数()f x 单调减区间为[]1,1m m -+，由()22f x x m ''=-，则()0f x ''>时，x m >；()0f x ''<时，x m <，得()'f x 的单调增区间为[),m +∞，单调减区间为(],m -∞，函数()f x '在[],1m m +上单调递增，∴函数()f x '在[],1m m +上的值域为[]1,0-， 又函数[()]y f f x '=在区间[],1m m +上单调递减， 也就是函数()y f x =在区间[]1,0-上单调递减，因此要满足条件[][]1,01,1m m -⊆-+，即1110m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得：10m -≤≤， ∴实数m 的范围是[]1,0-.故答案为：[]1,0-. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及根据复合函数的单调性求参数取值范围，考查转化思想和运算能力，属中档题.16．【分析】先判定再根据切线相互垂直可得的关系利用该关系式把转化为一元函数利用导数可求其最小值【详解】当时当时因为故所以即其中又令则当时；当时故故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值解析：1e-【分析】先判定()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，再根据切线相互垂直可得12,x x 的关系，利用该关系式把12x x 转化为一元函数，利用导数可求其最小值.【详解】当1x <时，()0xf x e '=-<，当1x >时，()10f x x'=>， 因为()()121f x f x ''=-，故()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，所以1211x e x -⨯=-即12x x e =，其中11<x . 又1121xx x x e =，令(),1tg t te t =<，则()()1,1tg t t e t '=+<，当1t <-时，()0g t '<；当11t -<<时，()0g t '>， 故()()min 11g t g e=-=-， 故答案为：1e-. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，注意根据导数的性质确定切点的位置，而多元函数的最值问题一般可转化为一元函数的最值问题，后者可利用导数来处理.17．【分析】由题意可得利用导数求出函数在区间上的最大值即可得出实数的取值范围【详解】存在使得成立等价为令得当时函数是增函数；当时函数是减函数当时函数在处取得最大值所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛解析：1,2e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【分析】由题意可得()max m f x ≤，利用导数求出函数()y f x =在区间(]0,4上的最大值，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】()ln 2f x x x =-+，存在(]00,4x ∈，使得()0f x m ≥成立等价为()max f x m ≥．()ln 1f x x '=--，令()0f x '=，得1x e=. 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()ln 2f x x x =-+是增函数；当1,4x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，函数()ln 2f x x x =-+是减函数，当(]0,4x ∈时，函数()ln 2f x x x =-+在1x e =处取得最大值12e +，所以12m e≤+． 因此，实数m 的取值范围是1,2e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦. 故答案为：1,2e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式能成立问题，结合题意转化为与函数最值相等的不等式问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】由题意得出对任意的恒成立利用参变量分离法得出求出二次函数在区间上的值域即可得出实数的取值范围【详解】由于函数在上是减函数则对任意的恒成立即得二次函数在区间上为增函数则因此实数的取值范围是故答 解析：(],1-∞-【分析】由题意得出()0f x '≤对任意的()1,x ∈-+∞恒成立，利用参变量分离法得出22b x x ≤+，求出二次函数22y x x =+在区间()1,-+∞上的值域，即可得出实数b 的取值范围.【详解】()()21ln 22f x x b x =-++，()2bf x x x '∴=-++，由于函数()()21ln 22f x x b x =-++在()1,-+∞上是减函数， 则()0f x '≤对任意的()1,x ∈-+∞恒成立，即2bx x ≤+，得()222b x x x x ≤+=+， 二次函数22y x x =+在区间()1,-+∞上为增函数，则()()21211y >-+⨯-=-，1b ∴≤-.因此，实数b 的取值范围是(],1-∞-. 故答案为：(],1-∞-. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，利用参变量分离法求解是一种常用的方法，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.19．-10【解析】【分析】先求导分别求出导函数的最值再根据不存在x1x2∈R使得f′（x1）＝g′（x2）得到关于a 的不等式解得即可【详解】∵函数f （x ）＝ex ﹣ax 函数g （x ）＝﹣x3﹣ax2∴f′（ 解析：【解析】 【分析】先求导，分别求出导函数的最值，再根据不存在x 1，x 2∈R ，使得f ′（x 1）＝g ′（x 2），得到关于a 的不等式解得即可． 【详解】∵函数f （x ）＝e x ﹣ax ，函数g （x ）＝﹣x 3﹣ax 2， ∴f ′（x ）＝e x ﹣a ＞﹣a ，g ′（x ）＝﹣x 2﹣2ax ＝﹣（x ）2，∵不存在x 1，x 2∈R ，使得f ′（x 1）＝g ′（x 2）， ∴，解得-1≤a ≤0，故答案为．【点睛】本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题．20．-3【解析】由函数则令所以解得即所以解析：-3 【解析】由函数()()221f x x xf =+'，则()()221f x x f +''=，令1x =，所以()()1221f f =+''，解得()12f '=-，即()24f x x x =-，所以()211413f =-⨯=-.三、解答题21．（1）极小值为4，无极大值（2）答案见解析（3）133m ≤- 【分析】（1）利用导数可求得结果； （2）求导后，令()0f x '=得1x a =-或12x =，对1a -与12的大小分类讨论可求得结果；（3）转化为12max (ln3)2ln3()()m a f x f x +->-1max 2min ()()f x f x =-，根据（2）中的单调性求出1max ()f x 和2min ()f x 代入后得2(4)03m a +->对a ∀∈(-3，-2)恒成立，列式23(4)0322(4)03m m ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≥⎪⎩可解得结果. 【详解】（1）当2a =时，1()4f x x x =+(0)x >，222141()4x f x x x-'=-=， 当102x <<时，()0f x '<，当12x >时，()0f x '>，所以()f x 在1(0,)2上递减，在1(,)2+∞上递增， 所以()f x 在12x =处取得极小值1()42f =，无极大值.（2）当0a <时，1()(2)ln 2f x a x ax x=-++，定义域为(0,)+∞， 221()2a f x a x x -=-+'222(2)1ax a x x +--=2(1)(21)ax x x +-=，令()0f x '=得1x a =-或12x =， 当112a ->，即20a -<<时，由()0f x '<得102x <<或1x a >-，由()0f x '>得112x a<<-， 所以()f x 在1(0,)2和1(,)a -+∞上单调递减，在11(,)2a-上单调递增， 当112a -=，即2a =-时，22(21)()x f x x--'=0≤，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减， 当112a -<，即2a <-时，由()0f x '<得10x a<<-或12x >，由()0f x '>得112x a -<<， 所以()f x 在1(0,)a -和1(,)2+∞上单调递减，在11(,)2a -上单调递增， （3）由（2）可知对a ∀∈(-3，-2)，()f x 在[1,3]上单调递减， 因为不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，等价于12max (ln3)2ln3()()m a f x f x +->-1max 2min ()()f x f x =-， 而1max ()(1)12f x f a ==+，2min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++，所以1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+----， 即2(4)03m a +->对a ∀∈(-3，-2)恒成立， 所以23(4)0322(4)03m m ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≥⎪⎩，解得133m ≤-.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ． 22．（1）极大值112e-，极小值0；（2）答案见解析. 【分析】（1）当1a =时，2()2xx f x xe x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求导，令()0f x '=可得极值点和极值； （2）()()(1)xf x x e a '=+-，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出． 【详解】（1）当1a =时，2()2xx f x xe x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()(1)(1)1x x x f x e xe x e x '=+-+=+-， 令()0f x '=，得1x =-或0x =.∴1x =-时，()f x 有极大值()12f e-=-， 0x =时，()f x 有极小值()00f =；（2）()()(1)(1)xxxf x a e e xe x x a '=+-+=+-，当0a ≤时，0x e a ->，由()0f x '>得1x >-， 即函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，由()0f x '<得1x <-，即函数()f x 在(),1-∞-上单调递减； 当0a >时，令()0f x '=得1x =-或ln x a =.①当ln 1a =-，即1a e -=时，无论1x >-或1x <-，均有()0f x '>， 又()10f '-=，即在R 上()0f x '≥，从而函数()f x 在R 上单调递增； ②当ln 1a <-，即10ae 时，由()()(1)01xe f x x a x '=+->⇒>-或ln x a <时， 函数()f x 在()1,-+∞和(),ln a -∞上单调递增；由()()(1)0ln 1xf x x a a e x '=+-<⇒<<-时，函数()f x 在()ln ,1a -上单调递减； ③当ln 1a >-，即1a e ->时，由()()(1)0ln xf x x e a x a '=+->⇒>或1x <-时， 函数()f x 在()ln ,a +∞和(),1-∞-上单调递增； 由()()(1)01ln xf x x a x a e '=+-<⇒-<<时， 函数()f x 在()1,ln a -上单调递减.综上，当0a ≤时， ()f x 单调递增区间是()1,-+∞上， 单调递减区间是(),1-∞-上； 当10ae 时，()f x 单调递增区间是(),ln a -∞,()1,-+∞，单调递减区间是()ln ,1a -；当1a e -=时，()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞；当1a e ->时，()f x 单调递增区间是(),1-∞-,()ln ,a +∞， 单调递减区间是()1,ln a -. 【点睛】关键点点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)在研究函数单调性的过程中，要准确判断导数的符号，当()f x '含参时，要依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 23．（1）01x =；（2）1,2,02a b c =-=-=. 【分析】（1）由表可得出1x =是极小值点；（2）由题可得()01f '=，3(1)2f =-，2()03f '-=，由此可求出. 【详解】解：（1）由题意可知，2()32f x x ax b '=++ 当2(,1)3x ∈-时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 所以()f x 在区间2(,1)3-上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增. 故1x =时，函数()f x 有极小值，所以01x =.（2）由（1）知1x =为函数()f x 的极小值点，得()01f '=，即320a b ++=.①因为函数()f x 的极小值为32-，所以3(1)2f =-， 即312a b c +++=-，整理得：52a b c ++=-.② 由题可知23x =-为函数()f x 的极大值点，所以2()03f '-=， 即44033a b -+=.③ 联立①②③得：1,2,02a b c =-=-=.【点睛】关键点睛：本题考查函数的导数与极值的关系，解题得关键是知道函数在极值点处的函数值为0.24．（1）0a =，4b =-；（2）3a =；（3）[0,)a ∈+∞.【分析】（1）利用导数的几何意义，可得(1)12f '-=，(1)9f -=-，计算整理，即可求得a ，b 的值；（2）令'(3)0f =，即可求得a 的值，检验可得3x =为极值点，即可得答案；（3）令'()0f x =，解得1x a =，21x =，分别求得1a <和1a ≥时，()f x 的单调区间，结合题意，分析推理，即可得答案.【详解】（1）因为32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，所以2()66(1)6f x x a x a '=-++，由题设可得(1)121212f a '-=+=，(1)959f a b -=-+-=-，解得0a =，4b =-.（2）因为()f x 在3x =取得极值，所以(3)12360f a '=-+=，解得3a =.当3a =时，'2()624186(1)(3)f x x x x x =-+=--，令'()0f x =，解得x=1或3，所以3x =为()f x 的极值点，故3a =满足题意.（3）令()6()(1)0f x x a x '=--=，得1x a =，21x =.当1a <时，若(,)(1,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,)a -∞和(1,)+∞上为增函数，故当01a ≤<时，()f x 在(,0)-∞上为增函数恒成立.当0a <时，()f x 在(,)a -∞上为增函数，不符合题意，当1a ≥时，若(,1)(,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞和(,)a +∞上为增函数，从而()f x 在(,0)-∞上也为增函数，满足题意.综上所述，当[0,)a ∈+∞时，()f x 在(,0)-∞上为增函数.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间和极值点问题，考查计算求值，分类讨论的能力，属中档题.25．(1)1e ；(2)10m e <<；(3)221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【分析】(1)求导，利用导数可得函数的单调性，进而求得函数的最值；(2)函数()()g x f x m =-有两个零点，转化为函数()(0)x x f x x e =>的图象与直线y m =有两个交点．结合（1）中结论即可求得m 的取值范围；(3)由()0f x >，可得()f x a >只有一个整数解，由()f x 的极大值为()11f e =，012<<， ()222f e=，可得a 的取值范围． 【详解】(1)函数()(0)x x f x x e =>， 则1()x x f x e-'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，也是最大值为()11f e=．(2)函数()()g x f x m =-有两个零点，相当于函数()(0)x x f x x e =>的图象与直线y m =有两个交点．当0x =时，(0)0f =，x →+∞时，()0f x →，结合（1）中结论，可得10m e<<． (3)因为()0f x >，所以不等式2()()0f x af x ->仅有一个整数解， 即()f x a >只有一个整数解，因为()f x 的极大值为()11f e =，012<<，()222f e =， 所以当221,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x a >只有一个整数解1x =， 即当221,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，不等式2()()0f x af x ->仅有一个整数解1x =． 所以实数a 的取值范围是221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数与方程思想，属于中档题． 26．（1）10x y +-=；（2）答案见解析；（3）()(],00,1-∞. 【分析】（1）当2a =时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线()y f x =在点()1,()f x 处的切线方程；（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数()f x 的单调区间； （3）根据函数的单调性求出函数的最小值即可实数a 的取值范围．【详解】解：（1）2a =时，211()2ln 22f x x x =--，(1)0f =， 2'()f x x x=- ，'(1)1f =- 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程10x y +-=（2）2'()(0)a x a f x x x x x -=-=>①当0a <时，2'()0x a f x x-=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+②当0a >时，令'()0f x =，解得x =x =所以函数()f x 的递增区间为+∞，递减区间为 （3）对任意的[1,)x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[1,)x ∈+∞，min ()0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在[1,)+∞上是增函数，所以只需(1)0f ≥而11(1)ln1022f a =--= 所以0a <满足题意；②当01a <≤时，01<≤，()f x 在[1,)+∞上是增函数，所以只需(1)0f ≥ 而11(1)ln1022f a =--= 所以01a <≤满足题意；③当1a >1>，()f x 在上是减函数，)+∞上是增函数，所以只需0f ≥即可 而(1)0f f <= 从而1a >不满足题意；综合①②③实数a 的取值范围为()(],00,1-∞.【点睛】 本题主要考查函数切线的求解，以及函数单调性和函数最值的求解，综合考查函数的导数的应用，属于中档题．。
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高二数学（选修2-2）单元测试班级： 姓名： 座号： 成绩：____________1. 已知物体的运动方程是2341644t t t s +-=（t 表示时间，s 表示位移），则瞬时速度为0的时刻是： A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒 2.1-=⎰A.2πB.πC.2πD.4π 3. 设)(x f 是可导函数，且/0000(2)()lim 2,()x f x x f x f x x∆→-∆-==∆A.0.5B. 0C. －1D.－24. 若()f x 为偶函数，且/()f x 存在，则/(0)f 等于A.0B.lC.1-D.x - 5. 如果1N 能拉长弹簧1 cm,为了将弹簧拉长6 cm,所耗费的功为A. 0.18JB. 0.26JC. 0.12JD.0.28J 6./(3)baf x dx =⎰A.()()f b f a -B.(3)(3)f b f a -C.1[(3)(3)]3f b f a - D.3[(3)(3)]f b f a - 7. 已知函数x x x f sin 21)(2+=，则/()f x 的大致图象是A B C D8. 函数4cos 2)(2-+=x e x f x 在]20[π，上是： A.在],0[π上是增函数，]2,[ππ上是减函数 B.减函数 C.在],0[π上是减函数，]2,[ππ上是增函数 D.增函数9. 函数)1(log )(2+=x x f ，若321x x x >>，则/1()f x ，/2()fx ，/3()f x 的大小关系为： A.///123()()()f x f x f x >> B. ///132()()()f x f x f x >> C.///213()()()f x f x f x >> D. ///321()()()f x f x f x >> 10. limlnn →∞=A.221ln xdx ⎰B.212ln xdx ⎰ C.212ln(1)x dx +⎰ D.221ln (1)x dx +⎰二、填空题（每题4分，共16分）11. 已知函数y =/|x e y ==__________4e12. 变速直线运动的物体的速度2()5v t t =-,初始位置(0)1x =,则2s 时所处的位置(2)x 为___________13. 2(1)lim(sinsinsin sin )n n n n n n n nπππππ→∞-++++= ________________14. 点P 在曲线323y x x =-+上移动，则在P 点处的切线的倾斜角取值范围为_____________________三 解答题（第15、16、17题每小题8分，第18 、19、20题每小题10分，共54分）15. 当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂．刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增加，随着时间的增加，它增加幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少．如果使用杀菌剂t 小时后的细菌数量由函数()B b t =给出。
（1）/()b t 的符号可以是什么？为什么？ （2）//4(5)0,(10)10b b ==-的实际意义是什么？16. 求下列定积分的值（1）22cos2xdx ππ⎰ （2）2||24x e dx -⎰17.设函数2()(0)1axf x a x =>+ （1） 求证：()f x 取得极大和极小值各1个 （2） 当极小值为1-时，求a 的值；18.在区间[ 0，1]上给定曲线2y x =，试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积（1）12S S =； （2）12S S S =+最小。
19. 已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --= （Ⅰ）求导数/()f x ；（Ⅱ）若/(1)0f -=，求)(x f 在[2,2]-上的最大值和最小值；（Ⅲ）若)(x f 在(,2)-∞-和[2，+∞]上都是递增的，求a 的取值范围。
20. 如图，ABCD 是边长为4 km 的正方形地块，地域内有一条河流MD ，其河流是以AB 中点M 为 顶点且开口向右的一段抛物线（河流宽度忽略不计）．新长城公司准备投巨资建一个大型游乐园 PQCN （如图所示）．问如何修建才能使矩形游乐园的面积最大？饶平二中高二数学（选修2-2）单元测试(1)答案班级： 姓名： 座号： 成绩：____________6.///[(3)](3)(3)(3)|33b b a a f x f x f x dx f x C =∴==⎰ 10. 211limlnlim ln(1)n n n i in n →∞→∞==+∑211111lim 2ln(1)2lim ln(1)2ln n n n n i i i ixdx n n nn →∞→∞===+=+=∑∑⎰四、填空题（每题4分，共16分）11.4e12. 2202225(2)(0)(5)(2)33x x t dt x -=-=∴=⎰13. 001limsinsin cos |2nn i i xdx x nnππππ→∞===-=∑⎰ 14. 3[0,)[,)24πππ 三 解答题（第15、16、17题每小题8分，第18、19、20题每小题10分，共54分）15.答：（1）/()b t 可以是“正”，因为刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增加；/()b t 也可以是“负”，因为到一定时间，细菌数量开始减少。
………………………………………………………4分（2）/(5)0b =表示在使用杀菌剂5小时附近时细菌数量保持不变；/4(10)10b =-表示在使用杀菌剂 10小时附近时细菌数量以每小时410个的速率下降。
…………………………………………………8分 16. 解（1）22221cos 12cos (sin )|2224x x dx dx x x πππππππ+-==+=⎰⎰ ……………………………4分 （2）22||0222222224442|2|2(1)2(1)224xx x x x e dx e dx e dx ee e e e e -----=+=-+=-+-=+-⎰⎰⎰ ………8分17. 证明：（1）2/22(1)()(1)a x f x x -=+，令/()0f x =，得1x =± ……………………………3分 当(,1)x ∈-∞-时，/()0f x <，当(1,1)x ∈-时，/()0f x >，故在1x =-时，()f x 取得极小值1个；当(1,1)x ∈-时，/()0f x >，当(1,)x ∈+∞时，/()0f x <，故在1x =时，()f x 取得极大值1个；……………………………7分 （2）(1)1,2f a -=-∴= ……………………………8分 18.解：（1）12232232120221,(1)333tt S t t x dx t S x dx t t t t =⋅-==--⋅=-+⎰⎰ ………………………4分 33212221333S S t t t t =∴=-+∴= ……………………………6分（2）321241(01)33S S S t t t =+=-+≤≤ ， /21424()2S t t t t =-=-，令/0,S =得10,2t t == …………8分易知12t =是极小值点，又1112(),(0),(1)2433S S S ===故12t =时，12S S S =+最小 …………………………10分 19.解: (Ⅰ)由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--='ax x x f ……………………………2分(Ⅱ)由0)1(=-'f 得21=a ,此时有43)(),21)(4()(22--='--=x x x f x x x f . 由0)1(=-'f 得34=x 或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,29)1(,2750)34(==-=--=f f f f 所以f(x)在[--2,2]上的最大值为,29最小值为 .2750-……………………………6分 (Ⅲ)解法一: 423)(2--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得 ,0)2(,0)2(≥'≥-'f f 即{084.048≥+≥-a a ∴--2≤a ≤2.所以a 的取值范围为[--2,2]. ……………………………10分 解法二:令0)(='x f 即,04232=--ax x 由求根公式得: )(3122122,1x x a a x 〈+±=所以.423)(2--='ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负.由题意可知,当x≤-2或x≥2时, )(x f '≥0, 从而x 1≥-2, x 2≤2,即⎪⎩⎪⎨⎧+≤+-≤+6122.6122a a a a 解不等式组得: --2≤a ≤2.∴a 的取值范围是[--2,2].20.解：建立如图所示直角坐标系， 设抛物线方程是22(0)y px p =>， 由题意可知D （4，2），代人得12p =， 故河流的曲线方程是2(02)y x y =≤≤， ……………………………3分设点2(,)(02)P y y y ≤≤， 则2||2,||4,PQ y PN y =+=-设矩形游乐园面积为S ，则232(2)(4)248S y y y y y =+⋅-=--++ …………………………6分/2344S y y =--+，令/0S =，解得23y =或2y =-（不合题意舍去） 当2(0,)3y ∈时，/0S >；当2(,2)3y ∈时，/0S <故当23y =时，S 有最大值， ……………………………8分此时点42(,)93P ，且832||,||39PQ PN ==故矩形游乐园的长为329km ，宽为83km 时，面积最大. ……………………………10分。