数学物理方法习题

“齐次 边界条件”？ 边界条件” 初始条件：
u |t =0 = ϕ ( x, y, z ) 对于波动方程，需要两个初始条件： ut |t =0 = ψ ( x, y, z )
对于输运方程，仅需一个初始条件：u |t =0 = ϕ ( x, y, z )
对于稳定场方程，无需初始条件
数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”：
ˆ n 0 l ˆ n
x
数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”：
【例】杆的纵振动 1. P161，第2题：端点受力，第二类边界条件 P161，第2
杆端点受杨氏弹性力与其形变的关系为：YS u n | x = a = f (t ) 其中 f (t )的正方向为端点的外法线方向，则： YSu x | x =0 = −YSun | x =0 = − F0 , YSu x | x =l = YSun | x =l = F0 （注：本题答案有误，请认真阅读第156页内容）
故：
1 1 1 bk = − [cos(k + α )π − 1] − [cos(k − α )π − 1] π k +α π k −α 1 1 1 =− ( + )[(−1) k cos απ − 1] π k +α k −α 2k = [(−1) k +1 cos απ + 1] π (k 2 − α 2 ) 1
1 1 1 =− [cos( k + α )π − 1] − [cos( k − α )π − 1] π k +α π k −α
周期函数的傅里叶级数 周期函数的傅里叶级数展开： 傅里叶级数展开：
续上页：
cos(k + α )π = cos kπ cos απ − sin kπ sin απ = (−1) k cos απ cos(k − α )π = cos kπ cos απ + sin kπ sin απ = (−1) k cos απ
双曲型 抛物型 椭圆型
“二阶 线性 偏微分方程”？“齐次 方程”？ 偏微分方程” 方程”
数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”：
常见的三类边界条件： 常见的三类边界条件：
第一类： u ( x, y, z , t ) |边界x0 , y0 , z0 = f ( x0 , y0 , z0 , t ) 第二类： u n |边界x0 , y0 , z0 = f ( x0 , y0 , z0 , t ) 第三类： (u + Hun ) |边界x0 , y0 , z0 = f ( x0 , y0 , z0 , t )
k f ( x) = ∑ 2 [( −1) k +1 cos απ + 1] sin kx π k =1 (k − α 2 )
2
∞
数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”：
输运方程、稳定场方程 泛定方程：波动方程、 定解问题： 边界条件：三种类型 定解条件： 初始条件：
受力平衡 ⇒ T1 cos α1 = T2 cos α 2 , T1 sin α1 + T2 sin α 2 = F0 h很小 ⇒ α i 很小 ⇒ cos α i ≈ 1, sin α i ≈ α i ≈ tan α i , i = 1,2 h h l ∴T1 = T2 = T , F0 = T (tan α1 + tan α 2 ) = T ( + ) = Th x0 l − x0 x0 (l − x0 ) F0 x0 (l − x0 ) 则： = h T l ∴当0 < x < x0时，u ( x,0) = x tan α1 = x h F0 l − x0 = x x0 T l
b b
必备的高等数学知识： 必备的高等数学知识： 高等数学知识
微积分： 三角函数有关的积分 微积分：与三角函数有关的积分
• 多项式与三角函数之积：分部积分 多项式与三角函数之积：
b 1 1 1 b ∫a x sin kxdx = ∫a x(− k cos kx)′dx = − k x cos kx |a −∫a (− k )cos kxdx = ... b b b1 1 1 b ∫a x cos kxdx = ∫a x( k sin kx)′dx = k x sin kx |a − ∫a k sin kxdx = ... b b
∞
偶函数的傅里叶展开：只含余弦项 偶函数的傅里叶展开：只含余弦项
2, k = 0 kπ x 2 l kπξ f ( x) = a0 + ∑ ak cos , ak = ∫0 f (ξ )cos l dξ , δ k = 1, k ≠ 0 δkl l k =1
∞
定义在有限 定义在有限区间(0,l)：延拓成周期函数 有限区间(0,l 延拓成周期函数
要求 f (0) = f (l ) = 0 ⇒ 延拓成奇的周期函数 要求 f ' (0) = f ' (l ) = 0 ⇒ 延拓成偶的周期函数
必备的高等数学知识： 必备的高等数学知识： 高等数学知识
微积分： 三角函数有关的积分 微积分：与三角函数有关的积分
• 三角函数自身： 三角函数自身：
1 sin k x dx = − cos k x |b = ... a ∫a k
h F0 x0 当x0 < x < l时，u ( x,0) = (l − x) tan α 2 = (l − x) (l − x) = (l − x0 ) T l 即初始位移应表示为： F0 l − x0 T l x, u |t =0 = F0 x0 (l − x), T l 0 < x ≤ x0 x0 < x < l
f ( x) = ∑ bk sin kx, bk =
k =1
2
π
0
f (ξ ) sin kξ dξ
π
bk =
π∫
2
π
0
cos αξ sin kξ dξ =
π∫
0
[sin( k + α )ξ + sin( k − α )ξ ]dξ
π
1 cos( k + α )ξ cos( k − α )ξ =− [ + ] π k +α k −α 0 1
2. P201，第1题：有限长、自由振动 P201，第1
泛定方程：“自由” utt − a 2u xx = 0 (0 < x < l , t > 0) ⇒ ⇒ 边界条件：“两端固定” u | x =0 = u | x =l = 0 ⇒ 定解条件： 初始条件：“初始静止” ut |t =0 = 0, “初始位移” u |t =0 = ？ ⇒
周期函数的傅里叶级数 周期函数的傅里叶级数展开： 傅里叶级数展开：
kπ x kπ x 实数形式：f ( x) = a0 + ∑ (ak cos ) + bk sin l l k =1 1 l a0 = ∫ f (ξ )dξ 2l −l 1 l kπ ξ ak = ∫ f (ξ ) cos dξ l −l l 1 l kπ ξ bk = ∫ f (ξ ) sin dξ −l l l
【例】弦的振动 1. P179，第1题：无限长、自由振动 P179，第1
泛定方程： “自由” utt − a 2u xx = 0 (−∞ < x < ∞, t > 0) ⇒ ⇒ 边界条件：“无限长” 没有边界条件 ⇒ 定解条件： 初始条件：“初始位移” u |t =0 = ϕ ( x) ⇒ “初始速度” ut |t =0 = − aϕ ′( x)
0
F0
α1
u x
α2
h x0
T1
T2
u x
l
数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”：
【例】弦的振动 3. 振动的几种常见边界条件：
“端点固定” u |x = a = 0 （弦、杆） ⇒ “端点自由” un |x = a = u x |x = a = 0 （弦、杆） ⇒ “端点受力” un |x = a = ±u x |x = a = f (t ) / YS （杆） ⇒ 其中：a = 0 或 l 当 a = 0时“±”取“−” 当 a = l 时“±”取“+”
泛定方程的导出：
• 确定研究物理量 微元分析 偏微分方程
常见的三类泛定方程： 常见的三类泛定方程：
波动方程： 输运方程： 稳定场方程： utt − a 2 ∆u = f ( x, y, z , t ) ut − a 2 ∆u = f ( x, y, z , t ) − a 2 ∆u = f ( x, y, z , t )
b
∫
b
a
cos k x dx =
1 sin k x |b = ... a k
• 三角函数之积：积化和差 三角函数之积：
1 ∫a sin α x cos k x dx = ∫a 2 [sin(α + k ) x + sin(α − k ) x]dx = ... b b1 ∫a cos α x sin k x dx = ∫a 2 [sin(α + k ) x − sin(α − k ) x]dx = ... b b1 ∫a cos α x cos k x dx = ∫a 2 [cos(α + k ) x + cos(α − k ) x]dx = ... b b 1 ∫a sin α x sin k x dx = ∫a (− 2 )[cos(α + k ) x − cos(α − k ) x]dx = ...
数学物理定解问题的“翻译” 数学物理定解问题的“翻译”：
【例】杆的纵振动 3. P201，第4题：初始长度收缩 P201，第4