理论力学-第4章

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第4章 运动分析基础
第2篇 工程运动学基础
第4章 运动分析基础
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运动学（kinematics）研究物体在空间的位置随时间的变化， 运动学（ kinematics） 研究物体在空间的位置随时间的变化 ， 即物体的运动，但是不涉及引起运动的原因。 即物体的运动，但是不涉及引起运动的原因。 物体的运动都是相对的， 物体的运动都是相对的，因此研究物体的运动必须指明参考 体和参考系。 体和参考系。 物体运动的位移、速度和加速度都是矢量， 物体运动的位移、速度和加速度都是矢量，因此研究运动学 采用矢量方法。而且，一般情形下， 采用矢量方法。而且，一般情形下，这些矢量的大小和方向会随 着时间的变化而变化，因而称为变矢量。 着时间的变化而变化，因而称为变矢量。变矢量运算与常矢量有 相同之处，也有不同之处。这是学习运动学的难点。 相同之处，也有不同之处。这是学习运动学的难点。
第4章 运动分析基础
刚体的简单运动 结论与讨论
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点的运动学
第4章 运动分析基础
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点的运动学
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瞬时的加速度： y 点在 t 瞬时的加速度：
∆v dv & a = lim = =v ∆→ ∆ t 0 t dt
d2 r & a = 2 =& r dt
显然，速度v和加速度a也都是变矢量。 显然，速度v和加速度a也都是变矢量。
点的运动学
位矢、速度和加速度 位矢、速度和加速度
描述点的运动的直角坐标法 z
τ=
ds & s v ＝ ＝τ dt
点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。 点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。
v =v τ τ
点的运动学
位矢、速度和加速度 位矢、速度和加速度
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几点讨论
的方向运动； ， & s > 0 则 v >0 即点沿着s+的方向运动； τ
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范钦珊教育与教学工作室
理论力学
(4)
清华大学出版 社
2011年11月14日 2011年11月14日
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第2篇 工程运动学基础
理论力学
第2篇 工程运动学基础
位矢、速度和加速度 位矢、
点的运动学
参考系
点的运动学
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参考系
点的运动学
参考系
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根据运动的相对性，研究物体的运动，必须选取另一个物体 根据运动的相对性，研究物体的运动， 作为参考，这一物体称为参考体 参考体(reference body)， 作为参考，这一物体称为参考体(reference body)，与参考体固连 的坐标系称为参考系 参考系(reference system)。 的坐标系称为参考系(reference system)。 参考体总是一个大小有限的物体， 参考体总是一个大小有限的物体，而参考系则应理解为与参 考体固连的整个坐标空间。例如，若以地球作为参考体， 考体固连的整个坐标空间。例如，若以地球作为参考体，研究行 星的运动，对于所研究的行星而言，地球是遥远而不可及的， 星的运动，对于所研究的行星而言，地球是遥远而不可及的，但 是与地球固连的参考系却可以延伸到所研究的行星处。 是与地球固连的参考系却可以延伸到所研究的行星处。
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工程运动学涉及工程运动分析的基本的概念、 工程运动学涉及工程运动分析的基本的概念 、 基 本理论和基本方法。 本理论和基本方法。 这些内容不仅是工程运动学的基 而且也是工程动力学 工程动力学(dynamics)的基础 的基础。 础，而且也是工程动力学(dynamics)的基础。 运动学的研究对象是点和刚体。 运动学的研究对象是点和刚体。 工程运动学的分析方法主要是矢量方法。 工程运动学的分析方法主要是矢量方法。
& & & ax = & , ay = & , az = & x y z
点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应 坐标对时间的二阶导数。 坐标对时间的二阶导数。
点的运动学
位矢、速度和加速度 位矢、速度和加速度
描述点的运动的弧坐标法
如果已知点的轨迹， 如果已知点的轨迹，则可在轨迹 上任取一点为原点，运动的点P至原 上任取一点为原点，运动的点 至原 点的弧长s＝OP，并且规定：原点 点的弧长 ，并且规定：原点O 的某一侧弧长为正；另一侧为负。 的某一侧弧长为正；另一侧为负。这 种具有确定正负号的弧长s称为 称为P点的 种具有确定正负号的弧长 称为 点的 弧坐标(arc coordinate of a directed 弧坐标 curve)。弧坐标 完全确定了动点 在 完全确定了动点P在 。弧坐标s完全确定了动点 轨迹上的位置。 轨迹上的位置。 点运动时，其弧坐标随时间而变化： 点运动时，其弧坐标随时间而变化：
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P
v
z
r
k iO x y j
不受约束的点在空间有 3个自由度，在直角坐标 个自由度， 系中， 系中，点在空间的位置由 3个方程确定： 个方程确定：
a
y x
x = f1(t) y = f2(t) z = f3(t)
点的运动学
z
P
v
z
r
O x y
a
& & & & v = r = xi+ y j+ z k = vx i+vy j+ vz k
y x
& & & vx = x , vy = y , vz =z
点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对 时间的一阶导数。 时间的一阶导数。
点的运动学
位矢、速度和加速度 位矢、速度和加速度
考虑到在Oxyz定参考系中，i、j、k均为常矢量 定参考系中，
& j & i = & =k =0
& & & & v = r = xi+ y j+ z k = vx i+vy j+vz k
点的运动学
位矢、速度和加速度 位矢、速度和加速度
描述点的运动的直角坐标法
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描述点的运动的直角坐标法
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z
P
v
z
& & & & v = r = xi+ y j+ z k = vx i+vy j+vz k
r
O x y
a
y x
& x y z & & & a = v = & i+ & j+& k = ax i+ay j+az k
点的运动学
位矢、速度和加速度 位矢、速度和加速度
描述点的运动的矢量法
在时间间隔∆ 在时间间隔∆t内，点由位置P运动到 点由位置P
P′
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z
v
P
∆r
t 瞬时: 矢径 r(t) 瞬时: t＋∆ t 瞬时: 矢径 r (t ＋ ∆ t ) 瞬时: 或r(t)＋ ∆ r(t) ∆ t 时间间隔内矢径的改变量,称为点的 时间间隔内矢径的改变量, 位移
点的运动学
位矢、速度和加速度 位矢、速度和加速度
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♣ 曲线运动 —— 最一般的情 形为三维变速曲 线运动
点的运动学
位矢、速度和加速度 位矢、速度和加速度
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s = s(t)
的弧坐标形式的运动方程。 这就是动点P的弧坐标形式的运动方程。
点的运动学
位矢、速度和加速度 位矢、速度和加速度
描述点的运动的弧坐标法 弧坐标具有以下要素： 弧坐标具有以下要素：
1. 有坐标原点 一般在轨迹上 有坐标原点(一般在轨迹上 任选一参考点作为坐标原点)； 任选一参考点作为坐标原点 ； 2. 有正、负方向 一般以点的 有正、负方向(一般以点的 运动方向作为正向)； 运动方向作为正向 ； 3. 有相应的坐标系。 有相应的坐标系。
z
P
P´
r = r (t)
因此，位矢为变矢量。 因此，位矢为变矢量。

O
r´
P″
r″
y
x
r = r (t) 则是用变矢量表示的 点的运动方程。 点的运动方程。点P在运动过 程中， 程中，其位置矢量的端点描绘 出一条连续曲线， 出一条连续曲线，称为位矢端 图(hodograph of position vector)。显然， vector)。显然，位矢端图就是 的运动轨迹（trajectory）。 点P的运动轨迹（trajectory）。