理论力学第四章
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理论力学第四章习题答案
理论力学第四章习题答案理论力学第四章习题答案在理论力学的学习过程中，习题是非常重要的一部分。
通过解答习题，我们可以巩固理论知识，加深对概念和原理的理解，并培养解决实际问题的能力。
本文将为大家提供理论力学第四章习题的详细答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 一个质点在力F作用下做直线运动，已知力的大小与时间的关系为F = kt，其中k为常数。
求质点的速度与时间的关系。
解答：根据牛顿第二定律F = ma，将力的大小与时间的关系代入，得到ma = kt。
由于质点做直线运动，所以速度的变化率等于加速度，即v = ∫a dt。
将上式代入，得到v = ∫(kt/m) dt = (k/m)∫t dt = (k/m)(t^2/2) + C。
其中C为积分常数。
因此，质点的速度与时间的关系为v = (k/m)(t^2/2) + C。
2. 一个质点在力F作用下做直线运动，已知力的大小与位置的关系为F = -kx，其中k为常数。
求质点的加速度与位置的关系。
解答：根据牛顿第二定律F = ma，将力的大小与位置的关系代入，得到ma = -kx。
由于质点做直线运动，所以加速度的变化率等于速度的变化率，即a =dv/dt。
将上式代入，得到dv/dt = -kx/m。
将变量分离，得到dv = (-kx/m) dt。
对两边同时积分，得到∫dv = ∫(-kx/m) dt。
积分后得到v = (-kx^2/2m) + C1，其中C1为积分常数。
再次对上式积分，得到∫v dx = ∫((-kx^2/2m) + C1) dx。
积分后得到x = (-kx^3/6m) + C1x + C2，其中C2为积分常数。
因此，质点的加速度与位置的关系为a = (-kx/m)。
3. 一个质点在势能函数U(x) = kx^2/2下做直线运动，已知质点的质量为m。
求质点的速度与位置的关系。
解答：根据势能函数U(x) = kx^2/2，可以求得力的大小与位置的关系为F = -dU(x)/dx = -kx。
理论力学第四章
vc
运动的假象质
• （二）角动量
定义质点组对固定点的角动量（动量矩） 是质点组中各质点对同一固定点的角动 量（动量矩）之和
LNrimivi Nrimiri
i1
代入关系式
i1
rrii rrii rrcc
N
L
rircmi rirc
i1
N rimirircN miriN mirircrcmrc
Fi
N
ri
Fij
i1
j1, ji
N N N
dT F idri F ijdridW
i 1
i 1j 1,ji
• 质点组的动能定理：
质点组总动能的增量等于所有作用在各 质点上的外力所做的总功，加上内力对 各质点所做的功
注意：质点组内各个质点的质量可能 不一样，则在内力的作用下，其发生 的位移不一样，则内力对质点组做功 之和一般不为零（与动量定理和角动 量定理不同）
miri
Fi
N Fij
j1,ji
两边矢乘质点的位置矢量可得
rimiri riF iri
N Fij
j1,ji
r im ir id d tr im ir i r im ir i
r im ir id d tr im ir i d d tL i
两边对所有质点进行求和
d
dt
N i1
h 4
j
一个重要的基本原理：
有了质心的概念以后，可以建立位 于质心的参考系，则对于质点组的任意 运动，或者相应的运动定理形式，均可 以进行分离考虑：质点组相对于质心的 运动（定理） 和 质点组作为整体在质 心相对于固定参考点的运动（定理）
§4.2 质点组动量、角动量和动能
理论力学课件第四章
M iy 0
M iz 0
M
x
0
M
y
0
M
z
0（4–11）
称为空间力偶系的平衡方程.
§4–4 空间任意力系向一点的简化· 主矢和 主矩
1． 空间任意力系向一点的简化
其中，各 Fi Fi ，各 M i M o ( Fi )
一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
2． 空间任意力系的简化结果分析（最后结果）
1） 合力
当 FR 0, M O 0 最后结果为一个合力.
合力作用点过简化中心.
当 FR 0, M O 0, FR M O 时，d
MO FR
最后结果为一合力.合力作用线距简化中心为 d
MO FR
3．力偶系的合成与平衡条件
=
=
M1 r1 F1 , M 2 r2 F2 ,......, M n rn Fn
如同右图
有 M Mi FR Fi
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶
矩矢的矢量和.
M x M ix , M y M iy , M z M iz
zC
Pz
P
i i
则计算重心坐标的公式为
xC
Px
P
i i
yC
Py
i
i
P
zC
Pz
P
i i
（4–14）
对均质物体，均质板状物体，有
xC
V x
A
i i
xC
P Ai xi
yC
V y
A
i i
理论力学第四章
同理求解得
F1min
G tan tanjf 1 tanjf tan
G tan(
jf
)
y
F1
x
Fmax
FN G
4、几何法求F1的最小值F1min，受力分析如图。
F1min
画力三角形如图。
由力三角形可得 F1min Gtan( jf )
物块平衡时，F1的大小应满足
FR2
-jf
jf
FR2
G
G F1min
对多数材料，通常情况下
f fs
理论力学
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3
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§4-2 摩擦角与自锁现象
一、摩擦角 ①全约束力 即FR= FN + FS ，它与接触面的公法线成一偏 角j ，当物体处于临界平衡状态，即静摩擦力达到最大值 Fmax时,偏角j达到最大值jf，全约束力与法线夹角的最大 值jf叫做摩擦角。
fs2P 1 fs2
代入（3）
得
tan min
1 fs2 2 fs
1 tan2jf 2tanjf
cot 2jf
tan(
2
2jf
)
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FNB
B
FSB Pmin A FSA
几何法求解
当梯子处于向下滑动的临界平衡状态
时，受力如图，显然 FRA FRB ，于是
G tan jf F1 G tan jf
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17
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[例] 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦因数均为 f s=0.5，
求 多大时，梯子能处于平衡？
理论力学第4章 摩擦
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N, ②加大摩擦系数f
4
3、 特征： 大小：0 F Fmax （平衡范围）满足 X 0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反
定律：Fmax f N （ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
所以物体运动：此时
F '动 N f '100.11N
（物体已运动）
25
[练习2] 已知A块重500N，轮B重1000N，D轮无摩擦，E 点的摩擦系数fE=0.2，A点的摩擦系数fA=0.5。
求：使物体平衡时块C的重量Q=？ 解：① A不动（即i点不产
生 平移）求Q 由于
T 'F1 f AN1 0.5500250N
14
此力系向 A点简化
d'
滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡
①滚阻力偶M随主动力偶（Q , F）的增大而增大;
② 0 M Mmax
有个平衡范围;
滚动 摩擦 ③ M max 与滚子半径无关;
④滚动摩擦定律： M max d N，d 为滚动摩擦系数。
15
滚动摩擦系数 d 的说明：
①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。
19
四、例题 [例1] 作出下列各物体
的受力图
20
[例2] 作出下列各物体的受力图
① P 最小维持平衡 ② P 最大维持平衡
状态受力图；
状态受力图
21
[例3] 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1,
求能自锁的倾斜角 。
解：研究楔块，受力如图
4
3、 特征： 大小：0 F Fmax （平衡范围）满足 X 0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反
定律：Fmax f N （ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
所以物体运动：此时
F '动 N f '100.11N
（物体已运动）
25
[练习2] 已知A块重500N，轮B重1000N，D轮无摩擦，E 点的摩擦系数fE=0.2，A点的摩擦系数fA=0.5。
求：使物体平衡时块C的重量Q=？ 解：① A不动（即i点不产
生 平移）求Q 由于
T 'F1 f AN1 0.5500250N
14
此力系向 A点简化
d'
滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡
①滚阻力偶M随主动力偶（Q , F）的增大而增大;
② 0 M Mmax
有个平衡范围;
滚动 摩擦 ③ M max 与滚子半径无关;
④滚动摩擦定律： M max d N，d 为滚动摩擦系数。
15
滚动摩擦系数 d 的说明：
①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。
19
四、例题 [例1] 作出下列各物体
的受力图
20
[例2] 作出下列各物体的受力图
① P 最小维持平衡 ② P 最大维持平衡
状态受力图；
状态受力图
21
[例3] 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1,
求能自锁的倾斜角 。
解：研究楔块，受力如图
理论力学第四章扭转
由 M x 0, T Me 0 得T＝M e
内力T称为截面n-n上的扭矩。
Me
Me
x T
Me
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。
+
T
-
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
4
32 7640180 80109 π 2 1
86.4 103 m 86.4mm
d1 86.4mm
4.直径d2的选取
按强度条件
A M e1 d1
B d2 C
M e2
M e3
3 16T 3 16 4580
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
结论：
0, 0
横截面上
0 0
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。
t
D
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力
强度计算三方面：
① ②
校核强度：
max
Tm a x WP
设计截面尺寸：
WP
Tmax
[ ]
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
③ 计算许可载荷： Tmax WP[ ]
例4.2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴 的强度。
内力T称为截面n-n上的扭矩。
Me
Me
x T
Me
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。
+
T
-
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
4
32 7640180 80109 π 2 1
86.4 103 m 86.4mm
d1 86.4mm
4.直径d2的选取
按强度条件
A M e1 d1
B d2 C
M e2
M e3
3 16T 3 16 4580
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
结论：
0, 0
横截面上
0 0
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。
t
D
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
②横截面上各点处，只产生垂 直于半径的均匀分布的剪应力
强度计算三方面：
① ②
校核强度：
max
Tm a x WP
设计截面尺寸：
WP
Tmax
[ ]
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
③ 计算许可载荷： Tmax WP[ ]
例4.2 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力[t ] = 80MPa ，试校核该轴 的强度。
理论力学第4章
n BA
τ
aτ BA
B
aA
n BA
当ω ≠ 0 时
a
A
ω
a ≠0
n BA
α
[aB ]AB ≠ [aA]AB
当 ω = 0时
n aBA = 0 aτ ⊥ BA BA
aA
有 [ aB ] AB = [ aA ] AB
4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析
4.2.3 投影法 已知R﹑ω﹑30°，求vB，αB。
r
A
O
vA
vO 2rω ωO = = = 2ω r r
ωO
r
ω
vA = 2rωO = 4rω
5.已知 aO ,θ , R求 α? ,
O
R
θ
vo
ao
vO = Rω
τ 对t求导 αO = Rα
aO cosθ ∴ α= R
4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析
4-2-2 瞬心法 二. 加速度瞬心法 a)加速度瞬心Ca S上 aCa = 0
a
n CB
τ aCB
C
R
ω
aC
aB
x
①铰接，各点运动方向确定，可顺次求解； ② ωAB = 0 ,
[αA ]AB =[αB ]AB；
③投影方向的选择。
4.3 平面机构的运动分析
4-3-1 一般分析思路 2 .瓦特行星转动机构。 已知 r1 = r2 = 30 3cm
O A = 75cm,AB =150cm,ω0 = 6 (1/s) ,θ = 60o ,β = 90o 1
S
v BA
ω
vA
B
vA
A
vB = vA + vBA
τ
aτ BA
B
aA
n BA
当ω ≠ 0 时
a
A
ω
a ≠0
n BA
α
[aB ]AB ≠ [aA]AB
当 ω = 0时
n aBA = 0 aτ ⊥ BA BA
aA
有 [ aB ] AB = [ aA ] AB
4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析
4.2.3 投影法 已知R﹑ω﹑30°，求vB，αB。
r
A
O
vA
vO 2rω ωO = = = 2ω r r
ωO
r
ω
vA = 2rωO = 4rω
5.已知 aO ,θ , R求 α? ,
O
R
θ
vo
ao
vO = Rω
τ 对t求导 αO = Rα
aO cosθ ∴ α= R
4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析
4-2-2 瞬心法 二. 加速度瞬心法 a)加速度瞬心Ca S上 aCa = 0
a
n CB
τ aCB
C
R
ω
aC
aB
x
①铰接，各点运动方向确定，可顺次求解； ② ωAB = 0 ,
[αA ]AB =[αB ]AB；
③投影方向的选择。
4.3 平面机构的运动分析
4-3-1 一般分析思路 2 .瓦特行星转动机构。 已知 r1 = r2 = 30 3cm
O A = 75cm,AB =150cm,ω0 = 6 (1/s) ,θ = 60o ,β = 90o 1
S
v BA
ω
vA
B
vA
A
vB = vA + vBA
理论力学第四章
=
=
F = F′ = F2 1 1
= F2′ = F3 = F3′
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量
（搬来搬去，滑来滑去）
力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．力偶系的合成与平衡条件
=
=
r r r r r r r r r M 1 = r1 × F1 , M 2 = r2 × F2 ,......, M n = rn × Fn
∑F = 0
x
F sin 45o − F2 sin 45o = 0 1
∑F
z
y
=0
FA sin 30o − F cos 45o cos 30o − F2 cos 45o cos 30o = 0 1
∑F = 0
F cos 45o sin 30o + F2 cos 45o sin 30o + FA cos 30o − P = 0 1
Mz (FR ) = Mz (F1) + Mz (F2 ) +...... + Mz (Fn )
三、力对轴的矩的解析算式
z Fz F O Fx z x y x y Fy
M z (F )
= M z ( Fx ) + M z ( Fy ) + M z ( Fz )
= − yFx + xFy + 0
M x (F ) = yFz − zFy
r r r M O ( F ) = yFz − zFy = M x ( F ) x r r r M O ( F ) = zFx − xFz = M y ( F ) y r r r M O ( F ) = xFy − yFx = M z ( F )
理论力学第四章
7
斜面自锁条件 f
螺纹自锁条件
8
自锁的应用
W
FR
9
§5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题
仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同．
几个新特点
1 画受力图时，必须考虑摩擦力； 2 严格区分物体处于临界、非临界状态； 3 因 0 Fs Fmax，问题的解有时在一个范围内．
10
FA f s FNA FB f s FNB
(d) (e)
解方程可得
FNA FNB FN FA FB Fmax f s FN F 2 Fmax
代入式 (c) 解得
alim
b 2 fs
21
例题
摩 擦
解： 图解法
例 题 4-4
取推杆为研究对象，这时应将A，B处的摩
5
利用摩擦角测定摩擦因数
利用摩擦角的概念， 可用简单的实验方法，测 定静摩擦因数。把要测定 的两种材料分别做成斜面 和物块，把物块放在斜面 上，并逐渐从零起增大斜 面的倾角，直到物块刚开 始下滑为止。这时的角就 是要测定的摩擦角。 临界状态： f
f s tan f tan
6
2 自锁现象
0 F sin30 P cos30 FN 0
Fs 403.6 N (向上)， FN 1499N
而： Fmax f s FN 299 .8N 物块处于非静止状态．
Fd f d FN 269.8N , 向上．
12
例题
摩 擦
例 题 4-2
在倾角 α 大于摩擦角 f 的固定斜面上放有重 P 的 物块，为了维持这物块在斜面上静止不动，在物块上 作用了水平力F。试求这力容许值的范围。
理论力学-第四章
2r
−
2mω
×
v′
即对平面转动参照系S ′，若添上三种惯性力，
mω × r、mω 2r、− 2mω × v′，则牛顿定理对S′适用。
1) mω 2r ：惯性离心力，由S′系的转动所引起。 2) − 2mω × v′：科里奥利力，由S′系的转动及质点对此
转动参照系相对运动引起。
∴
a
=
a′
−
ω2
R
+
2ω
×
v′
当S ′系的原点O′与S系的原点O不重合时，如O′对O的速度
为v0，加速度为a0，则
v a
= =
d ∗ r
+
ad′ +t
at
ω
+
×
r
+
v0
ac + a0
v0 ：牵连速度的一部分
a0 ：牵连加速度的一部分
§3. 非惯性系动力学
§4. 地球自转所产生的影响
地球即自转又公转，故为非惯性参照系。 公转的角速度很小，所产生的惯性离心力，几乎与太阳 的引力相当； 自转的角速度约为7.3×10-5弧/s。认为沿地轴为恒矢量：
ω自 = 0
由于惯性离心力的作用，重力常小于引力，且随纬度降低 而减小。在两极，|重力|=|引力|，且方向一致。 引力的作用线通过地心，而重力的作用线一般不通过。
×
r
=
ωk
×
(
xi
+
yj )
=
ωxj
−
ωyi
则
v = v′ + ω × r
即绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。
理论力学第四章任意力系
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。
二、空间任意力系的简化与合成
1、空间一般力系向一点简化 把研究平面一般力系的简化方法用来研究空间一般力系的
简化问题，须把平面坐标系扩充为空间坐标系。
设作用在刚体上有
F1 F2
AB
I
Fi
y
R'
Ox
y
MO
O
简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0 ;
R'
2 . R' 0 , MO 0 ;
x
3 . R' 0 , M O 0 ;
4. R' 0 , M O 0 .
4. R' 0 , M O 0 .
为最一般的情况。此种情况还可以继续
2 . R' 0 , MO 0 ;
简化结果为一合力偶,MO = M 此时力系等效于一个力偶的作用.
因为力偶 可以在平面内任意 移动，故 这种情况下主矩与 简化中心 O 无关。
F1 F2
AB
I
Fi
y
MO Ox
y
MOOΒιβλιοθήκη 简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0 ;
求：１）合力的大小与方向；２）合力与基线OA的交点到O点的
距离 x 及合力作用线方程。(力系向Ｏ点简化的最后结果）
y 3m
解:１）求 FR'x , FR'y
▼
P1
1.5
9m
F1
3m
P2
理论力学第四章
sin f s cos F1 P cos f s sin
设物块有下滑趋势时，推力为 F2
画物块受力图
Fx 0,
Fy 0,
F2 cos P sin Fs 2 0
F2 sin P cos FN 2 0
Fs 2 f s FN 2
sin f s cos F2 P cos f s sin
sin f s cos sin f s cos F2 PF P F1 cos f s sin cos f s sin
用几何法求解 解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan( )
A
F
Fs W
A
不滑动条件：Fs fFN
FN
Mf
M f FN 不滚动条件：
Fmax min{ fW ,
R
F fW F W R
W}
例4-5 已知： P , R , , ；
求： （1）使系统平衡时，力偶矩 M B ； （2）圆柱 O 匀速纯滚动时，静滑动摩擦系数的 最小值.
Fmax
开始运动前, φ角随F 的改变而改变，临近运动时达到最大 值 0 φ max 摩擦角是静摩擦力取值范围的几何表示
2 测定摩擦系数的一种简易方法
tan tan f f s
3 自锁现象
当作用于物体的 全部主动力的合 力S的作用线在摩 擦角之内时，则 无论该力怎样大， 物体必保持静止， 这种现象称为摩 擦自锁现象。
解： （1）设圆柱 O 有向下滚动趋势，取圆柱 O
M A 0 P sin R FTmin R M1max 0
Fy 0
理论力学课件 第四章
处地面的铅直约束力。
3.8 空间力系的平衡方程
z
FA
FB
O1
E
M
D
x
O2
G
FC
解：
y
取货车为研究对象
O3
∑ Fz = 0, FA + FB + FC − G = 0
∑Mx = 0, FC × O3D − G × EM = 0
∑ M y = 0, G × O1E − FC × O1D − FB × O1O2 = 0
0.6 m
C
2. 销钉B为研究对象
0.8 m
H
A
BF
45o
I
ED
列平衡方程
∑ Fx = 0,
∑ Fy = 0,
−
FBx
+
)iv
+
Fy
(∑ M
y
vj +
)vj +
(∑
Fz
Mz
v k
)kv
=
v 0
=
v 0
投影式
∑ Fx = 0
∑ Fy = 0
∑ Fz = 0
∑Mx =0 ∑My =0 ∑Mz =0
空间汇交力系平衡方程 空间力偶系平衡方程 空间平行力系平衡方程
∑ Fx = 0 ∑Mx =0
∑ Fz = 0
∑ Fy = 0 ∑My =0
F
W
Fs
A FN M f
∑MA = 0: M f − FR= 0 ⇒ M f = FR
不滑动条件： Fs ≤ fFN ⇒ F ≤ fW
不滚动条件： M f ≤ δFN
Fmax
=
min{
fW , δ W }
(完整版)理论力学---第四章摩擦
sin q cosq
fs cosq fs sinq
P
F
sin q cosq
fs cosq fs sinq
P
F1
22
第四章 摩擦
用几何法求解 解: 物块有向上滑动趋势时
F1max P tan(q )
23
第四章 摩擦
物块有向下滑动趋势时
F1min P tan(q )
P tan(q ) F P tan(q )
力偶矩的大小
A
M O
B
P
25
第四章 摩擦
已知：b , d , fs , 不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求： 挺杆不被卡住之值. a
26
第四章 摩擦
解： 取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置.
Fx 0 FAN FBN 0
Fy 0 FA FB F 0 M A 0
FN
(a
d 2
)
FBd
利用三角公式与 tan fs ,
P sinq fs cosq F P sinq fs cosq
cosq fs sinq
cosq fs sinq
24
第四章 摩擦
无重杆OA AB.其中OA长度L与水平线的倾角
为q
AB 水平.将重为P的物块放在斜面上，斜面
倾角 大于接触面的摩擦角 f
问若想在OA 杆上加一主动力偶使物块静止 在斜面上,转向?
19
第四章 摩擦
已知： P ,q , fs .
求： 使物块静止，
水平推力
F的大小．
20
第四章 摩擦
解：
使物块有上滑趋势时，推力为
F1
画物块受力图
F 0, x
F1 cosq P sinq Fs1 0
理论力学 第四章 空间力系
第四章空间力系本章将研究空间力系的简化和平衡条件。
工程中常见物体所受各力的作用线并不都在同一平面内，而是空司分布的，例如车床主轴、起重设备、高压输电线塔和飞机的起落架等结构。
设计这些结构时，需用空间力系的平衡条件进行计算。
与平面力系一样，空间力系可以分为空间汇交力系、空司力偶系和空间任意力系来研究。
§4-1 空间汇交力系1.力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解若已知力F与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角分别为α、β、γ，如图4-1所示，则力在三个轴上的投影等于力F的大小乘以与各轴夹角的余弦，即X=cosαY=cosβ (4-1)Z=cosγ当力与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时，可把力先投影到坐标平面Oxy上，得到力，然后再把这个力投影到x、y轴上。
在图4-2中，已知角γ和，则力在三个坐标轴上的投影分别为X=sinγcosY=sinγsin (4-2)Z=cosγ若以、、表示力F沿直角坐标轴x、y、z的正交分量，以i、j、k分别表示沿x、y、z坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则图4-2=++=X i+Y j+Z k (4-3)由此，力在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为:=X i，=Y j，=Z k (4-4)如果己知力F在正交轴系Oxyz的三个投影，则力F的大小和方向余弦为=cos(,i)=cos(,j)= (4-5)cos(,k)=例4-1图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力的作用。
已知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) β和压力角α，试求力沿x、y和z轴的分力。
解:先将力向z轴和Oxy平面投影，得Z=-sinα=cosα再将力向x、y轴投影，得X=-sinβ=-cosαsinβY=-cosβ=-cosαcosβ则沿各轴的分力为=-cosαsinβi，=-cosαcosβj，=-sinαk式中i、j、k为沿x、y、z轴的单位矢量，负号表明各分力与轴的正向相反。
理论力学第四章
5. S 系与 S ′系间加速度变换公式
dv′ d 2 R dω dr ′ dv d dR + 2 + × r′ + ω × a= = v′ + + ω × r′ = dt dt dt dt dt dt dt
d *r ′ d*v′ d 2 R dω = + ω × v′ + 2 + × r′ + ω × dt + ω × r ′ dt dt dt
例3、内壁光滑的水平细管以匀角速度绕过其一端的竖直轴转动， 、内壁光滑的水平细管以匀角速度绕过其一端的竖直轴转动， 管内有一质量为m的小球 初始时小球与竖直轴的距离为a， 的小球， 管内有一质量为 的小球，初始时小球与竖直轴的距离为 ，且相 对管静止，求小球沿管的运动规律及所受的约束力。 对管静止，求小球沿管的运动规律及所受的约束力。 建立坐标系如图，受到惯性力如下： 解： 建立坐标系如图，受到惯性力如下：
ɺɺ + ω 2 sin θ = 0 θ
注：采用不同的坐标系,加速 采用不同的坐标系, 度变换公式的具体分解结果是 不同的. 相应在动力学问题中, 不同的. 相应在动力学问题中, 选用不同的非惯性系, 选用不同的非惯性系, 惯性力 中各项的具体内容是不同的. 中各项的具体内容是不同的.
非惯性系中，牛顿第二定律不能成立 非惯性系中，牛顿第二定律不能成立. 但是在引入惯性力之后, 但是在引入惯性力之后, 在非惯性系中可以把惯性力与相互作 用力等同看待, 此时在非惯性系内牛顿第二定律在形式上得以 用力等同看待, 此时在非惯性系内牛顿第二定律在形式上得以 等同看待 形式上 成立. 成立. 通过简单的类比, 通过简单的类比, 可以知道在惯性系中得到的动力学规 如三个定理、三个守恒定律等), 只要计入惯性力, 律 (如三个定理、三个守恒定律等), 只要计入惯性力, 则在 非惯性系中亦可形式上不变地成立.从某种意义上说， 形式上不变地成立 非惯性系中亦可形式上不变地成立.从某种意义上说，惯性系 与非惯性系的差别仅仅在于是否考虑惯性力而已. 是否考虑惯性力而已 与非惯性系的差别仅仅在于是否考虑惯性力而已.
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主矩大小 M O M Ox2 M Oy2 M Oz2
M
2 x
M
2 y
M
2 z
15
2. 空间一般力系简化结果的讨论 1).若FR ' 0, M O 0 则力系简化为合力，与简化中心有关。 2).若 FR ' 0, M O 0 则力系简化为合力偶,与简化中心无关。 3).若 FR ' 0, M O 0 则力系简化为力螺旋(或合力） 4).若 FR ' 0, M O ,0 则该力系平衡
1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
三要素：
(1）大小:力F与力臂的乘积
(2) 方向:转动方向 (3) 作用面：力矩作用面.
r r rr MO(F) r F （4–8）
MO( F ) Fd Fr sin
矢量方向：右手螺旋定则。（将右手四指握拳并以它们的弯曲
方向表示力使物体绕该轴转动的转向，而拇指的指向就是力对
主矢方向 cos
Fx
, cos
Fy
, cos
Fz
FR'
FR'
FR'
14
主矩大小
MO
M Ox2
M
2 Oy
M Oz2
主矩方向： cos' MOx , cos ' MOy , cos ' MOz
MOΒιβλιοθήκη MOMO由于力对点之矩与力对轴之矩存在如下的关系:
mox [ mO (Fi )]x mx (Fi ) moy [ mO (F )]y my (F ) moz [ mO (F )]z mz (F )
大小： MO( F ,F' ) MO( F ) MO( F' ) rAB F
与矩心无关。
合成： M Mi
平衡：
Mx 0
My 0
Mz 0
12
§4–3 空间一般力系向一点的简化·主矢和主矩
1． 空间任意力系向一点的简化
其中，各
rr Fi Fi
，各
r rr Mi Mo(Fi )
一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系. 13
点之矩矢量的指向）
3
由于F
Xi Yj
Zk
rr
r xi
r yj
r zk
X和x分别表示力F 和A点的坐标在对 应坐标轴上的投影。
i jk mO (F) r F x y z
XYZ
mO
(F)
( yZ
zY
)i
(zX
xZ
)j
(xY
yX )
k
[mO (F )]x i [mO (F )]y j [mO (F )]z k
16
1） 合力
r
r
当
FR
0, MO
0 最后结果为一个合力.
r
合力作用点过简化中心.
当
rr FR 0, MO
rr 0, FR MO
空间汇交力系的合力
r
r
rr r r r r
FR Fi Fixi Fiy j Fixk
称为力系的主矢
空间力偶系的合力偶矩
r
r
Mo Mi Mo (Fi )
称为空间力偶系的主矩
主矢大小 FR ' FRx'2 FRy'2 FRz'2 ( Fx)2 ( Fy)2 ( Fz)2
Fx F cos
Fy F cos Fz F cos
8
1.力在直角坐标轴上的投影
二次投影法
Fz
F xy F sin
Fy
Fx F sin cos
Fx
Fy F sin sin
Fz F cos
F Fx Fy Fz
F Fxi Fyj Fzk
F Fx2 Fy2 Fz2
cos X ,cos Y ,cos Z
可见：F对O点之矩在三个坐标轴上的投影分别为：
rr Mo (F )x yFz zFy
rr M o (F ) y zFx xFz
rr Mo (F )z xFy yFz
4
(4-4)
2.力对轴的矩
力使物体绕某轴转动的效应可用此力在垂直于该轴平面上的
分力对此平面与该轴的交点之矩来度量，我们将力在垂直于
F
F
F
9
2. 空间汇交力系的合成：
FR F1 F2 F3 Fn Fi FR Fxi Fy j Fzk
合力: FR
F2 Rx
F2 Ry
F2 Rz
(
FiX)2 (
FiY)2 (
FiZ)2
cos FRx , cos FRy , cos FRz
FR
FR
FR
10
3. 空间汇交力系的平衡： 空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零
与式(4-4)比较,得:
rr
r
Mo (F )x yFz zFy M x (F )
rr
r
M o (F ) y zFx xF M y (F )
rr
r
Mo (F )z xFy yFz M z (F )
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩.
7
空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
理论力学
1
空间力系:各力的作用线不在同一平面内的力系。
迎面 风力
侧面 风力
b
2
§4-1 力对点之矩和力对轴之矩
平面力系中，各力与矩心均在同一平面内（即各力的力矩平面相同），所 以力对点之矩的代数符号完全能够区分各力使物体绕矩心转动的转向。空 间力系中，各力的作用线分别与空间中同一点所构成的平面互不相同，故 各力使物体绕该点转动的转轴也不同。
某轴的平面上的分力对此平面与该轴的交点之矩，称为力对
Ｚ
轴之矩。
r
r
如力F对Z轴之矩表示为： Mz (F) Mo (Fxy ) Fxy h
Ｆ
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴之矩为零。
方向：右手螺旋法则，与Z轴正方向一致时为正，反之为负。单位：N·m
5
2.力对轴的矩
力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的 代数和。
例：将Fxy再分解为Fx、Fy，根据合力矩定理则有：
M z ( F ) M O( Fxy ) M O( Fx ) M O( Fy ) xFy yFx
同理有：
M M
x y
F F
yFz zFx
zFy xFz
M z F xFy yFx
（4-6）
6
3.力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
即：FR Fi 0
FR
Fx2 Fy 2 Fz 2
空间汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0
Fz 0
11
§4-2 空间力偶系
1.平面力偶系： M mi 代数和
２.空间力偶系： 力偶用矢量表示
３.空间力偶三要素：作用面方位、在作用面的 转向、任一力大小与力偶臂的乘积F.d。 空间力偶三要素可用力偶矩矢来表示。