十三章 电流和稳恒磁场习题解

第十三章 电流和稳恒磁场习题13-1 北京正负电子对撞机的储存环是周长为240m 的近似圆形轨道，求当环中电子电流强度为8mA 时，在整个环中有多少电子在运行。

已知电子的速率接近光速。

解：设储存环周长为l ，电子在储存环中运行一周所需时间cl v l t ≈= 在这段时间里，通过储存环任一截面的电量即等于整个环中电子的总电量，以Q 表示，则 cl I It Q == 故电子总数为10819-3-104103106.1240108⨯=⨯⨯⨯⨯⨯===ec Il e Q N13-2 一用电阻率为ρ的物质制成的空心半球壳，其内半径为1R ，外半径为2R 。

试计算其两表面之间的电阻。

(此题课本的习题答案错了，答案是用空心球壳计算的结果) 解：)R 1-R 1(222122121πρπρρ====⎰⎰⎰R R R R r dr SdrdR R13-3 大气中由于存在少量的自由电子和正离子而具有微弱的导电性，地表面附近，晴天时大气平均电场强度约为120m V /，大气中的平均电流密度约为212-/104m A ⨯。

问：（1）大气的电阻率是多大？（2）若电离层和地表面之间的电势差为V 5104⨯，大气中的总电阻是多大？(课本习题中平均电流密度值错了，指数少了负号)解： （1）大气电阻率 m j E ⋅Ω⨯=⨯==1312-103104120ρ（2）总电阻Ω=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯==1961037.614.3410410442612-52）（E R j U I U R π13-4 如图所示，一内、外半径分别为1R 和2R 的金属圆筒，长度l ，其电阻率ρ ，若筒内外电势差为U ，且筒内缘电势高，圆柱体中径向的电流强度为多少 ？ 解： rlrS r R π2d d d ρρ== 12lnπ2π2d 21R R lrlrR R R ρρ==⎰ 12ln π2R R lU RU I ρ==13-5 一铜导线横截面积为42mm ，20s 内有80C 的电量通过该导线的某一横截面，已知铜内自由电子的数密度为-322105.8m ⨯，每个电子的电量为C -19101.6⨯，求电子的平均定向速率。

解： 26/101m A tS qS I j ⨯===s m nej v /1035.75-⨯==13-6 如图所示，一用电阻率为 ρ 的材料制成的圆台，其高为l ，两端面的半径分别为1R 和 2R 。

试计算此圆台两端面之间的电阻。

解建立如图坐标轴，在x 处高度为d x 的圆台电阻为2πd d rxR ρ= ① 由几何关系，可得221)(R l x R R r +-= ②将②代入①，并积分得圆台两端面之间的电阻[]2102221π)(πd R R lR l x R R xR lρρ=+-=⎰13-7 下列说法正确的是哪个？（A ） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过（B ） 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 （C ） 磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零 （D ） 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感强度都不可能为零 答案 B13-8 如图所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a 、b 两点，并与很远处的电源相接。

求环心O 的磁感强度．解 根据磁场叠加原理，O 点磁感应强度由acb 、adb 、be 、ef 、fa 中电流共同产生。

电源很远，0=ef B 。

be 、fa 两段直线的延长线通过O 点，0=be B ，0=ef B 。

设两圆弧长分别为1l 和2l ，流过的电流为1I 和2I ，方向如图。

圆弧acb 、adb 中电流在O 点产生的磁场分别为21101π4r l I B μ=方向垂直纸面向里22202π4r l I B μ=方向垂直纸面向外圆弧acb 、adb 构成并联电路，有 2211R I R I = 或 Sl I S l I 22111ρρ= 即 2211l I l I = 故可得O 点磁感应强度0π4π42220211021=-=-=rl I rl I B B B O μμ13-9 如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，它们在点O 的磁感强度各为多少？解 图（a ）中，两直线电流延长线均通过O 点，所以021==B B 。

O 点处总磁感应强度仅为四分之一圆弧电流产生，故有RIB O 80μ=方向垂直纸面向外图（b ）中，O 点处总磁感应强度可看作圆形电流和无限长直导线电流组成，由叠加原理，得RIRIB O π2200μμ-=方向垂直纸面向里图（c ）中，O 点处总磁感应强度可看作二分之一圆弧电流和两半无限长直导线电流组成，由叠加原理，得RIRIRIRIRIB O 4π24π4π400000μμμμμ+=++=方向垂直纸面向外13-10 有一同轴电缆，其尺寸如图所示．两导体中的电流均为I ，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑．试计算以下各处的磁感强度：（1） r ＜R 1 ；（2）R 1 ＜r ＜R 2 ；（3） R 2 ＜r ＜R 3 ；（4） r ＞R 3 ．画出B －r 图线．解 同轴电缆的磁场分布具有轴对称性，磁感应线是围绕轴线的同心圆。

取半径为 r 的磁感应线作积分环路L ，由安培环路定理得∑⎰=⋅=⋅ii LI r B l B 0π2d μ（1） r ＜R 1时，22101πππ2r R I r B μ=⋅ 21012πR Ir B μ= （2） R 1 ＜r ＜R 2时，I r B 02π2μ=⋅ rIB 2π02μ=（3） R 2 ＜r ＜R 3时， )(π)(π2222223R r R R I I I ii ---=∑ ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⋅222322203π2R R R r I I r B μ 222322303π2R R r R r I B --=μ （4） r ＞R 3时，0π24=⋅r B 04=B磁感应强度分布曲线：13-11如图所示，一个半径为r 的半球面放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量为多大？解：做一半径为r 的圆面S′与半球面S 形成一闭合面，根据磁场中的高斯定理可知：0S d =⋅⎰SB即穿过闭合面的总磁通量为0。

也就是说穿进S 面的磁通量等于穿出S′面的磁通量。

所以通过半球面的磁通量为：απcos 2B r S B s s ='⋅=Φ=Φ'13-12如图所示，载流长直导线的电流为I ，试求通过矩形面积的磁通量。

(与书中P 61 例13-2相同)解：无限长载流直导线在空间产生的磁场为因为B 与S 的法线方向相同，则OR 3R 2R 102I B xμπ=02m Id BdS ldx xμπΦ==210021ln22d m Sd Il Il d dx BdS x d μμππΦ===⎰⎰13-13电流I 均匀地流过半径为R 的圆形长直导线，试计算单位长度导线内的磁场通过附图中所示剖面的磁通量。

解：围绕长直导线的轴线取同心圆为环路l ，取其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理可得∑⎰⎰===⋅i llI r B dl B l d B 02μπ在导线内r<R ， 所以202RIrB πμ=在剖面上磁感应强度分布不均匀，因此需要根据磁通量的定义⎰⋅=ΦsS d B m进行计算。

沿轴线方向在剖面上取面元ldr ds =，考虑到面元上各点B相同，则穿过面元2222I Ir I r R R ππ==∑的磁通量d Φ=BdS ，通过积分，可得单位长度导线内的磁通量πμπμ420020sIdr RIr dr B Rm ==⋅=Φ⎰⎰13-14已知地面上空某处地磁场的磁感强度B =0.4×10-4T ，方向向北，若宇宙射线中有一速率v =5.0×107m/s 的质子，垂直地通过该处.求洛伦兹力的大小，并与该质子受到的万有引力相比较。

解： 洛伦兹力的方向如图所示因B v⊥，质子所受洛伦兹力N qvb f 16-102.3⨯== 在地球表面质子所受到的万有引力为N g m G p 26-1064.1⨯== 因此，N Gf101095.1⨯= 即质子所受的洛伦兹力远大于重力。

13-15 如附图所示，在无限长载流长直导线I 1旁，垂直放置另一长为L 的载流直导线I 2，I 2导线左端距I 1为ɑ，求导线I 2所受到的安培力。

(此题课本的习题答案错了)解：由于电流I 2上各点到电流I 1距离相同，I 2各点处的B 相同，I 2收到的安培力方向如图所示，安培力大小为：I 2受到I 1的引力，同理I 1也受到I 2的引力。

13-16.在均匀磁场中，放置一半圆形半径为 R 通有电流为I 的载流导线，求载流导线所受的安培力。

f01211sin 22μI πF I LB θB θπa===010122sin 222μI μI I LπF I Lπa πa==解：d LF =I l B ⨯⎰，由于均匀磁场中平面载流闭合线圈所受合力为0，故半圆形导线所受安培力等于图中紫色直线导线所受安培力，大小为2RIB ，方向垂直向外。

或：RIB d IRB IdlB dF F 2sin sin 0====⎰⎰⎰θθθππ13-17 如图（ａ）所示，一根长直导线载有电流I 1 ＝30 A ，矩形回路载有电流I 2 ＝20 A ．试计算作用在回路上的合力．已知d ＝1.0 cm ，b ＝8.0 cm ，l ＝0.12 m ．解：各段导线受力如图（b ）所示，由于长直载流导线在矩形回路平面上产生的磁场均垂直向里，与四段电流都垂直，即有：d LLF I l B I Bdl =⨯=⎰⎰。

01()2πI B r rμ=⋅。

122()d bd F F I B r dr +==⎰，前者方向向下，后者向上；二者对合力的贡献抵消。

32()F B d I l =，方向向右；42()F B d b I l =+，方向向左；故作用在回路上的合力大小为{}3012012211()()() 1.28102π2π()I I lI I lb F B d B d b I l N d d b d d b μμ-=-+=⋅-==⨯++，方向指向长直导线。

θθd θd13-18 一半径为R 的薄圆盘,放在磁感应强度为B 的均匀磁场中, B 的方向与盘面平行,如图所示,圆盘表面的电荷面密度为σ,若圆盘以角速度ω绕其轴线转动,试求作用在圆盘上的磁力矩。

解：如图所示取一小圆环，其电流为：d d 2πd d 2πI f q r r r r ωσωσ===，其磁矩大小为：23d d dm dIS r r r r r ωσππωσ==⋅=，方向向上（与B 垂直），故总磁力矩为：43d 4RRBR M dm B B r r πωσπωσ=⨯==⎰⎰，方向向里。